material del curso

Fundamentos de Álgebra

EGMA 1200

Prof. Tomás Díaz Berríos

Teoría de Conjuntos

Definición:

Conjunto: Es una colección de objetos.

� A los objetos de un conjunto se denominan elementosdel conjunto.

� Los conjuntos se indican mediante llaves { } y susnombres con frecuencia son letras mayúsculas.

Ejemplos: 1) El conjunto de las vocales. V = {a,e,i,o,u}

2) El conjunto de los colores primarios.

C = {rojo, azul, amarillo}

� Cuando los elementos de un conjunto están listadosdecimos que el conjunto está en forma de lista.

Ejemplo: L = {a,b,c,d,…}

Símbolos:

∈ Indica que un elemento “pertenece a” o “eselemento de” un conjunto.

∉ Indica que un elemento no “pertenece a” o no “es elemento de” un conjunto.

Ejemplos: V = {a,e,i,o,u}

• Si el elemento a está en el interior del conjunto V, decimos que a ∈ V.

• Si el elemento b no está en el interior del conjunto V, decimos que b ∉ V.

• En algunos conjuntos son difíciles enumerarelementos. Estos son conjuntos infinitos.

Ejemplo: El conjunto de los números naturales.

Definición:

El conjunto que no tiene elementos se llama conjuntonulo o vacío.

Símbolos: ∅, { }

Ejemplo: El conjunto de los estudiantes del cursoEGMA 1200 de L a M de 6:45 a 8:15 p.m. mayores de 100 años.

Definir Conjuntos ……

Definición:

Sub-conjunto• Decimos que A es un subconjunto de B, siy solo sí cada elemento de A es tambiénelemento de B.

Escribimos en enste caso A B.⊆

• Decimos que A no es un subconjunto de B, si y solo sí cada elemento de A no es tambiénelemento de B.

Escribimos en enste caso A B.⊆

Diagrama de Venn

Representación gráfica de un conjunto. Escribimos en este caso A B.⊆

A

B

U

Repaso: Símbolos de Desigualdades

> Se lee “es mayor que”

> Se lee “es mayor o igual que”

< Se lee “es menor que”

< Se lee “es menor o igual que”

= Se lee “es igual a”

= Se lee “no es igual a”

Asignar

Ejercicios

de

Ejemplos

……..

Notación de Conjuntos

Los conjuntos se pueden escribir de dos formas:

1) Enumeración o Forma de Lista: A = {1,2,3…}

2) Comprensión o Notación Constructiva: { }034/ 2 =+−= xxxA

A es el conjunto de todas las x tal que {1,3}

Ejemplos: { }6/ quemayornaturalnúmerounesxxE =

{ }{ }INxyxxE

óINxyxxE

∈≥=

∈>=

7/

6/

{ }ZIxyxxA ∈≤<−= 43/

Definición: Unión de Conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B, es el conjuntoformado al combinar todos los elementos que pertenecen a A con todos los elementos que pertenecen a B en un solo conjunto.

Escribimos en este caso BA∪

Intersección de Conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjuntoformado por todos los elementos que pertenecen a A y quetambién pertenecen a B.

Escribimos en este caso BA∩

Ejemplos:{ } { }6,4,25,4,3,2,1 == ByA

BA∩

BA∪Forma de Lista

Forma Constructiva BA∪

BA∩

Forma de Lista

Forma Constructiva

Ejercicios de Práctica Págs. 14 – 15

1 – 63 Impares

Inverso Aditivo u opuesto:

Dos números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica pero en direcciones opuestas.

Ejemplos: El inverso aditivo de 5 es –5

El inverso aditivo de –5 es 5

Definición: Inverso Aditivo

Para cualquier número real a su inverso aditivo es –a.

Ejemplo: Considere –10

Su inverso aditivo es – (-10) = 10

Propiedad del doble negativo:

Para cualquier número real a, - (-a) = a

Ejemplo: - (- 4.8) = 4.8

Definición: Valor absoluto de un número real

Es la distancia que existe de un número real a cero en la recta numérica.

Ejemplos: Valor absoluto de 3, -6, -2, 0

Valor absoluto de IRa∈

<−

≥=

0,

0,

asia

asiaa

Ejemplos: 4 3− 0

Determine el opuesto del valor absoluto de un número IR

7− 11−−

Desigualdades de Valor Absoluto de un número real

Inserte >, <, ó = para hacer verdadero el enunciado.

33−

8− 9

84 −−−

Suma de Números Reales

Signos Iguales:

La suma de dos números positivos, será un númeropositivo. 4 + 3 = 7

La suma de dos números negativos, será un númeronegativo -2 + -6 = -8

Signos Diferentes:

La suma de un número positivo y un número negativopuede ser positiva, negativa, o cero.

Ejemplos: -2 + 4 = 2, -6 + 3 = -3, -7 + 7 = 0

Resta de Números Reales

Esta regla dice que para restar b de a , sume el opuesto (o inverso aditivo) de b a a.

a – b = a + -b

Ejemplos:

Multiplicación de los Números Reales

Signos Iguales:

El producto de dos números con signos iguales espositivo.

Ejemplos: 5(2) = 10 -4(-3) = 12

75)1 − 48)2 −− 1110)3 −− −

Signos Diferentes:

El producto de dos números con signosdiferentes es negativo.

Ejemplos: 5(-7) = -358

3

2

1

4

3 −=

−

Propiedad Multiplicativa de Cero

Para cualquier número

Ejemplos: ……..

000, =⋅=⋅ aaa

División de los Números Reales

Signos Iguales: El cociente de dos números con signosiguales es un número positivo.

Ejemplos: …………

Signos Diferentes: El cociente de dos números con signosdiferentes es un número negativo.

Ejemplos: ………..

Ejercicios de Práctica: Págs. 26 – 27

(1-23) (35-61) (63-81) (101-123)

Propiedades de los Números Reales

a b + a ca (b + c)Propiedad Distributiva

a*b = b*a

(a*b) c = a (b*c)

a*1 = 1*a = a

( 1 es el elementoidentidad en la multiplicación)

a*1/a = 1/a*a = 1

(1/a es el inversomultiplicativo o

recíproco de a donde

a ≠ 0

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

(0 es el elemento identidad en la suma)

a + (-a) = (-a) + a = 0

(-a es el inverso aditivo u opuesto de a)

Propiedad Conmutativa

Propiedad Asociativa

Propiedad Identidad

Propiedad de los Inversos

MultiplicaciónSumaPara números IR

a, b, y c

Expresiones Algebraicas

Definición: Es una combinación de números, variables, exponentes, símbolos matemáticos y operacionesmatemáticas.

Ejemplos: ………..

Evaluar Expresiones Exponenciales

bbbbbn ⋅⋅⋅⋅⋅=

n factores de b

En general la base b a la

n-ésima potencia, escrita , donde n es un númeronatural.

nb

Orden de las Operaciones

1. Evaluar expresiones algebraicas que estén dentro de los símbolos de agrupación, incluyendo paréntesis ( ), corchetes[ ], o llaves { }.

2. Evaluar todos los términos que tienen exponentes y raíces.

3. Evaluar todas las multiplicaciones y divisiones en el ordenen que aparecen de izquierda a derecha.

4. Evaluar todas las sumas y las restas en el orden en queaparecen de izquierda a derecha.

Ejemplos: Simplifica las expresiones algebraicas

14534)1 2 +−⋅+

( )

÷⋅+−÷−+−

2

12341232)2

( )[ ]{ }375385)3 −−+

( ) 2242

735510)4

÷−+

−−+÷

3330

12264816)5

22

+−

−+÷−⋅÷

Evaluar Expresiones con Variables

2)

3)

:85.1 2

−=

=

−

xb

xa

cuandoxEvalúe

( )2)

:36312.2 2

=

++−

xa

cuandoxxEvalúe

21:.3 24 −=−=−+−− yyxdondeyxyxyx


(1 – 103) Impares

Leyes de los Exponentes

bbbbbn ⋅⋅⋅⋅⋅=

n factores de b

INnpotenciaésimanlaabase

basebblExponenciaExpresión n

∈−

−

Regla del Producto para exponentes

Si a es cualquier número real y m y n son númerosnaturales, entonces nmnm aaa +=⋅

Ejemplos: ……..

Regla del cociente para exponentes

Si a es cualquier número real distinto de cero y m y

n son enteros distintos de cero, entoncesnm

n

m

aa

a −=

Ejemplos: ……..

Regla del exponente negativo

Para cualquier número real a distinto de cero y cualquier número entero no negativom.

m

m

aa

1=−

Ejemplos:

Escriba las siguientes expresiones sin exponentes negativos.

24) −a 3) −zb 2

1)

−yc

3

2)

−z

pd

Ejemplos: Simplifique

3232) yxa −−

232)() −−− bcazb

324) nmzc −−

3

24)

−r

pqd

Regla del Exponente Nulo

Si a es cualquier número distinto de cero, entonces 10 =a

Ejemplos: Simplifique:

0) xa 04) xb ( )05) xc ( )0) bad +−

A- Utilice las reglas de los exponentes para simplificar lassiguientes expresiones.

32 23) −⋅a3

2

2

4) −b 5

4

) −

−

z

zc

53) aad ⋅−

B- Simplifique:

21 232) −− ⋅−a ( )0211 34324) ⋅−⋅−− −−b

C- Simplifique: ( )( )5

63 2−

−

x

xx

D- Simplifique:

−

−

22

34

5

23

4

6

3

4

yx

yx

xy

yx

E- Simplifique: ( )( )

54

2753

20

56

yx

yxyx−

−−−

5) Regla de la potencia para exponente

A- Si a es un número real y m y n son enterosentonces ( ) nmnm aa ⋅=

Ejemplos:( )23) aa ( ) 53)

−yb ( )323) −c

B- Si a y b son números reales y m es un entero entonces

( ) mmmbaab = ( ) m

mm

ba

ba =

Ejemplos:

( )2122)1 −yx ( ) 324)2−−ab

2

3

5)3

−m

6) Regla del exponente negativo para fracciones

Para cualquier a y b, a ≠ 0, b ≠ 0 mm

a

b

b

a

=

−

Ejemplos:2

8

6)1

−

2

24

46

8

4)2

−

−

−

zxy

yx

Ejercicios de Práctica: Págs. 281-282

Págs. 289

Notación Científica

- La notación científica se utiliza para escribir cantidades muypequeñas o muy grandes.

- Una cantidad expresada en notación científica consiste de un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.

Ejemplos de números en notación científica

6102.3 ×310176.4 × 21064.2 −×

Pasos para escribir un número en notación científica

1. Mueva el punto decimal hasta que solo un dígito aparezca a la izquierda del punto decimal. Con esto se obtiene un númeromayor o igual a 1 y menor que 10.

2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. Si el número original fue 10 o mayor que 10, la cuenta se considera positiva. Si el número original fue menorque 1, la cuenta se considera negativa.

3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevadoal número (potencia) determinado en el paso 2.

Ejemplo: Escriba los siguientes números en notación científica.

1) 5,800 2) 0.000405

3) 302,000,000 4) 0.0036

Pasos para convertir un número en notación científica a

forma decimal

1. Observe el exponente de la base 10.

2. a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal hacia la derecha el mismo número de lugares del exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros al número. Con esto se obtiene un número mayor o igualque cero.

b) Si el exponente es 0, el punto decimal en el número no se mueve de su posición actual. Elimine el factor 10°.Con esto se obtendrá un número mayor o igual a 1pero menor que 10.

c) Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda el mismo número de lugares que el exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros. Estoproduce un número menor que 1.

Ejemplo: Escriba la respuesta sin exponentes.

( ) ( )000006.0

000,400000012.0

Ejercicios de Prácita: Pág. 282

Ejemplos: Escriba cada número sin exponentes

4101.2) ×a 31073.8) −×b81043.1) ×c

Ejemplo: Divida

003.0

0000144.0

Exponentes Racionales

n a Radicando

RadicalÍndice

Cambio de la forma radical a la exponencial

Una expresión radical de la forma se puedeescribir como una expresión exponencial mediante la siguiente regla.

n a

Regla: Para cualquier número a no negativo y cualquier

entero positivo n ≥ 1.

nn aa1

=

Ejemplos:

b)1 8)2 4 9)35)4 m

Regla: Para cualquier número positivo a y enteros m y n,

n ≥ 2.

( ) n

mmnn m aaa ==

Potencia

Índice

Ejemplos:

5)1 b ( )3)2 y 5 3)3 z

Cambio de la forma exponencial a la forma radical

Las expresiones exponenciales con exponentes racionalesse pueden convertir en expresiones radicales. El numeradordel exponente racional es la potencia, y el denominador del exponente racional es el índice o raíz de la expresión radical.

Ejemplos: 21

)1 c 524)2 3

26)3 4

3)4 z

Ejemplos: Escribir en forma exponencial y simplifique después.

12 64)1 ( )8)2 x16 4)3 m 20 10)4 p

Regla- Para cualquier número no negativo a.

( ) aaaa nnnnn n ===

Ejemplos: 7 7)1 x ( )33)2 y

Aplicación de las reglas de exponentes

21

16)1

23

16)2

( ) 53

32)3 −

( ) 21

36)4 −

( ) 23

254)5

410)6

( ) 21

254)7

−

Ejercicios de Práctica: Págs. 458-459

Introducción a los polinomios

Definiciones:

Enunciado: Oración matemática o aseveración entre dos numerales.

Término: Es una expresión algebraica que es un numeral o el producto o cociente de un numeral y una o más variables.

Numeral: Símbolo escrito que se usa para representar un número.

Definición:

• Es un término o la suma de términos en los cuales todaslas variables tienen exponentes enteros no negativos y ninguna variable aparece en el denominador.

Polinomio:

• Toda expresión de la forma

edescendentordenenxenpolinomiollamaSe

xaxaxaxaxa n

n

n

n

n

n

00

11

22

11 ... ++++ −

−−

−

1

2

1

a

a

a

a

n

n

n

−

−

Son Coeficientes Numéricos

Definición:

Coeficiente: Cada uno de los factores de un término.

Coeficiente Numérico: Factor numérico de un término.

Ejemplos de Polinomios en x

x3)1

23)2 x

42

16)3 2 +− xx

No son Polinomios

21

)1 x

12)2 −x

x

1)3

Ejemplos de polinomios x y y

22)1 xy−

yx2

2

1)2

yxxy 263)3 +

534)4 22 +− xyyx

Determina los coeficientes numéricos de los siguientes

polinomios.

323)1 2 −+ xx 82

135)2 356 −+−+ xxxx

Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos.

Monomio: Polinomio que tiene un solo término.

Ejemplos:

2

5,

4

3,

2

1,2,3 322 xy

zyxxx

Binomio: Polinomio que tiene dos términos.

Ejemplos:

Trinomio: Polinomio que tiene tres términos.

32)1 2 ++ xxEjemplos:

22 2)2 baba +−

22 2105)3 yxyx −+

Si el polinomio tiene más de tres términos no tiene un nombre especial. “Poli”es un prefijo que significa muchos. Simplemente se llama polinomio.

El grado de un término

Es la suma de los exponentes de las variables quehay en el término.

Ejemplo: 72 232 Gradozyx →

El grado de un polinomio

Es igual al grado de su término que tiene el grado mayor.

Ejemplos: 3328)1 23 Gradoxxx →−+−

5635)2 322 Gradoyxx →−−

Dato: Los polinomios por lo general se escriben en ordendescendente de la variable x.

222

12 234 +++− xxxx

Polinomio Cuadrático

Un polinomio de grado 2 en una variable.

Ejemplo: 432 ++ xx

Polinomio Lineal

Un polinomio de grado 1 en una variable.

Ejemplos: 2)1 −x y5)2

Escriba cada uno de los siguientes polinomios en ordendescendentes.

xxxx 523)1 324 +−++

22 53)2 baab −+

Suma de Polinomios

Definición: Términos Semejantes

Términos que tienen los mismos exponentes en las mismas variables.

Dato: Para sumar dos polinomios se suman los términossemejantes.

Ejemplos:

( ) ( )345132:)1 22 +−+−+− xxxxeSimplifiqu

( ) ( )23242:)3 2222322223 −++++− bbababbabaeSimplifiqu

++−

+

+−2

3

5

3

3

2

2

1

5

2

3

1)4 22 aaaa

( ) ( )82623:)2 233 +−+− xxxxeSimplifiqu

Resta de Polinomios

1) Elimine los paréntesis y sumamos el opuesto del sustraendo.

2) Sume los términos semejantes.

Ejemplos: Forma Horizontal

( ) ( )5836)1 22 −+−−− xxxx

( ) ( )5323)2 2423 ++−++− aaaa

( )14353)3 2222 +−−+− nnmmnnm

Forma Vertical

Multiplicación de Polinomios

A – Multiplicación de dos monomios

Ejemplos: ( )( )113)1 mm

( )( )23 32)2 xx −

( )( )46234)3 yxyx

( ) ( )( )22)4 bbaab −−

( )( )22433)5 bcacba −−

B – Multiplicación de un monomio por un polinomio

Propiedad Distributiva: Supongamos que a, b y c ∈ IR, entonces a ( b + c ) = ab + ac.

Ejemplos:

− 342 62

14)1 yyy

( )3543)2 22 ++ mnnmmn

C – Multiplicación de dos binomios

Horizontal

( ) ( )dcba ++

Vertical

( )( )dc

ba

+×

+

Ejemplos: ( ) ( )53)1 ++ xx

( )

−+ yxx

3

1242)2 2

( )252)3 −x

( )223)4 ca +

Cuadrado de un Binomio

( ) 222 2 bababa ++=+

( ) 222 2 bababa +−=−

( )22 43)1 −xEjemplos:

( )223 25)2 yx −

( )[ ]22)3 −+ nm

Diferencia de Cuadrados

( ) ( ) 22 bababa −=−+

Ejemplos: ( ) ( )4343)1 +− xx

+

−

5

25

5

25)2 yy

Ejercicios de Práctica: Págs. 297 - 298

División de Polinomios

A – División de un polinomio entre un monomio.

Ejemplos:

a

aaa

2

846)1

23 −+

ab

babaab

6.

2412.6.3)2

2222

−−+

2

2534

2

5364)3

xy

xyxyxy +−−

B – División de un polinomio entre un binomio.

Ejemplos:

2

107)1

2

+++

y

yy

1

35)2

2

+++

a

aa

a

aaa

32

41146)3

23

+−−+−

12

6)4

2

3

+−

−

xx

x


Técnicas de factorización de Expresiones Algebraicas

El Máximo Factor Común

El (MFC) de dos o más expresiones es el máximofactor que divide ( sin residuo) a cada expresión.

Ejemplos: Tres Números

1) 12, 18, 24

Tres Términos

2345 ,,,)2 xxxx

A - Para factorizar un monomio en un polinomio debemosdeterminar el máximo factor común (MFC) de cada términodel polinomio.

Ejemplos: 3) Determine el MFC de los siguientes términos.

364 ,,) zzza

bababab 42543) ++

2234 12816) abaac ++

Ejemplo: 4) Determine el MFC de los siguientes términos.

( ) ( ) ( )43 210,23,24 −−− yyy

Factorización – Un número se puede expresar como el productode dos o más números.

Ejemplo: 36

Dato: Recuerde que si a*b = c, entonces a y b son factores. Una expresión puede tener muchos factores.

¿Cuáles son los factores de 12?

¿Cuáles son los factores de ?36x

La propiedad distributiva establece que:

( ) acabcba +=+)1

( )cbaacab +=+)2

B – Para factorizar un monomio en un polinomio.

1. Determine el Máximo Factor Común de todos los términos del polinomio.

2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor.

3. Utilice la propiedad distributiva para factorizar el MFC.

Dato: Factorizar es lo opuesto a multiplicar.

Ejemplos: Determina el MFC de los siguientes polinomios y simplifica.

235 1248)1 aaa +−

65243 122418)2 xyyxyx +−

1227458 601545)3 dcdcdc −+−

( ) ( )523527)4 −+− xxx

( ) ( )726723)5 2 +−+ xxxx

( ) ( )32 23102315)6 −+− aa

( ) ( ) ( ) ( )4342534)7 +−−−− qpqp

C – Factorización Mediante Agrupación

Cuando un polinomio tiene cuatro términos se podríafactorizar los polinomios por agrupación.

=+++ cbacaba2

Para factorizar cuatro términos por agrupación

1. Ordene los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno.

2. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos.

3. Si los dos términos formados en el paso 2 tienen un MFC, factoricelo.

Ejemplos:xyxxy +++ 22)1 2

5533)2 −+− xyxy

2)3 xabaxbx +−−

23 2510)5 aaa −+−


223 6923)4 bbaaba +−−

D – Factorización de Trinomios Cuadráticos

1. Para factorizar trinomios de la forma

1,2 =++ acuandocbxax

a) Determine dos números (o factores) cuyo productosea c y cuya suma sea b.

b) Los factores del trinomio serán de la forma

( ) ( )____ ++ xx

Factor Determinante

Factor Determinante

Ejemplos:158)1 2 ++ xx

145)2 2 −+ xx

482)3 2 −− yy

22 152)4 yxyx −+

Dato: Si cada término de un trinomio tiene un factor común, utilice la propiedad distributiva para remover el factor común antes de seguir el procedimiento anterior.

7263)5 2 −− xx

2. Para factorizar trinomios de la forma

.,1,2 errorypruebautilizandoadondecbxax ≠++

a) Escriba todas las parejas de factores del coeficientedel término cuadrático, a.

b) Escriba todas las parejas de factores de la constante, c.

c) Intente diversas combinaciones de estos factores hastaencontrar el término medio correcto, bx.

Ejemplos: 20236)1 2 ++ xx

10133)2 2 +− xx

2476)3 2 −+ aa

18518)4 2 +− xx

22 10116)5 yxyx −−

Ejercicios de Prática: Págs. 349

E – Factorizar la diferencia de dos cuadrados

Diferencia de cuadrados ( ) ( )bababa −+=− 22

Definición:

Cuadrado Perfecto: Es un número que se obtiene al multiplicar otro número por si mismo.

Ejemplos: 9)1 2 −x

22 254)2 yx −

188)3 2 −a

( ) 22 16)4 aba −+

222 33)5* yxxyx −+−

F – Factorizar trinomios cuadrados perfectos

( ) 222 2 bababa ++=+

( ) 222 2 bababa +−=−

Trinomios cuadrados perfectos

( )222 2 bababa +=++

( )222 2 bababa −=+−

Ejemplos: 96)1 2 ++ zz

22 9124)2 yxyx +−

( ) ( ) 4343)3 2 ++++ xx

22 96)4* baa −+−

259124)5* 22 −++ xyxy

G – Factorizar sumas o diferencias de cubos

La factorización de la suma o diferencia de dos cuboses el producto de un binomio por un trinomio.

Suma de dos cubos: ( ) ( ) ( )2233 babababa +−+=+

( ) ( ) ( )2233 babababa ++−=−

Para que un polinomio sea la suma o diferencia de dos cubos, cada término tiene que ser un cubo perfecto.

Definición:

Cubo Perfecto: Es un número que se obtiene al multiplicartres factores idénticos.

Ejemplos: 27)1 3 +z

8)2 3 −p

243)3 3 +y

63 648)4* xy −

( ) 642)5* 3 +−x

532235)6* bbabaa +−−

Ejercicios de Práctica: Pág. 356

Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones de Primer Grado

A – Ecuaciones de Primer Grado

Definiciones:

Ecuación:

• Es una proposición matemática de igualdad.

• Una ecuación debe contener un signo igual y unaexpresión matemática de cada lado del signo igual.

Soluciones o raíces de la ecuación:

Son los números que hacen una proposiciónverdadera.

Conjunto Solución:

Es el conjunto de números reales que hacenverdadero a la ecuación.

Ecuaciones Equivalentes:

Son dos o más ecuaciones con el mismo conjuntosolución.

Ecuación Lineal o Ecuaciones de Primer Grado:

• Es aquella que puede escribirse en la forma

ax + by = c, a ≠ 0.

• El grado del término con grado mayor en la ecuación lineal es 1.

Propiedades de la Igualdad

Para todos los números reales a, b y c:

a = a Propiedad Reflexiva

Si a = b, entonces b = a. Propiedad Simétrica

Si a = b y b = c, entonces a = c Propiedad Transitiva

Dato: Para resolver ecuaciones, aplicamos las propiedades de suma y multiplicación para aislar la variable en un ladodel signo igual.

Propiedad de la suma para la igualdad

Si a = b, entonces a + c = b + c para cualquier a, b y c.

Pasos para resolver ecuaciones lineales

2. Aplique la propiedad distributiva para eliminar cualquier paréntesis.

1. Si la ecuación contiene fracciones, elimínelas multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de las fracciones.

3. Combine los términos semejantes a cada lado del signoigual.

4. Aplique la propiedad de la suma para la igualdad para rescribir la ecuación con todos los términos que contienen a la variable a un lado del signo igual y todos los términos que no la contienen al otro lado del signo igual. Para hacer esto puede que sea necesario aplicar varias veces la propiedad de la suma. El uso repetido de esta propiedad conducirá en algún momento a una ecuación de la forma ax = b.

5. Aplique la propiedad de la multiplicación para la igualdad para aislar la variable. Esto le dará una respuesta de la forma x =algún número.

6. Verifique la solución en la ecuación original mediante sustitución.

Ejemplos: Resuelva cada ecuación.

732)1 =+x

( ) ( ) 311233)2 −=+++ bb

( )[ ]343272)3 −+−=−+ xxx

424

3)4 =−x

( ) ( ) 615

31

5

2)5 =+++ xx

Definiciones:

Ecuaciones Condicionales: Son verdaderas en condicionesespecíficas.

Ejemplo: 2x + 3 = 7

Identidad: Es una ecuación que es verdadera para todoslos números reales.

Ejemplo: 2x + 1 = 5x + 1 – 3x

Ecuación Inconsistente: Es una ecuación sin solución.

Ejemplo: 2(3x + 1) = 9x + 3 – 3x

Tiene exactamente una solución real.

Es verdadera par todo número IR; tieneinfinidad de soluciones.

No tiene solución.

Ecuación Condicional

Identidad

Ecuación Inconsistente

SoluciónTipo de Ecuación Lineal

Ejercicios de Práctica Págs. 58 - 59

Definición:

Ecuaciones Literales: Son aquellas que tienen más de una letra.

Ejemplos: 5y = 2x + 3, x + 2y + 3z = 5

Fórmulas: Son ecuaciones literales que sirven pararepresentar un principio científico o de la vida real en términos matemáticos.

Ejemplos: ( )rtPA += 1

2

2

1atV =

t

dV =

Ejemplos:

A – Despeje las siguientes ecuaciones en términos de la variable indicada.

bdeostérenba min,032)1 =+

ydeostérenyx min,632)2 =−

wdeostérenw

yxmin,5

34)3 =

−

( ) ( ) ydeostérenyxyx min,437

52

3

2)4 +−=−

bdeostérenrbx

min,53

)5 −=

B – Despeje las siguientes formulas en términos de la variable indicada.

vdeostérenvtd min,)1 =

hdeostérenbhA min,2

1)2 =

221 min,

2)3 bdeostérenh

bbA

+

=

xdeostéren

n

xZ min,)4

σµ−

=

fdeostérenwf

lfd min)5

+=

Ejercicios de Práctica: Páginas 68 - 69

Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto

Resolución de ecuaciones de la forma | x | = a

Si | x | = a y a > 0, entonces x = a ó x = -a.

Ejemplos: Resuelva las ecuaciones, determine el conjuntosolución y grafique la solución.

6)1 =x

0)2 =x

1244)3 =−y

8375

2)4 =+−x

Resolución de Ecuaciones de la forma | x | = | y |

Si | x | = | y |, entonces x = y ó x = -y

Ejemplo: Resuelva las ecuaciones.

836)1 −=+ zz

xx 61052)2 −=−


B – Inecuaciones de Primer Grado

Definición: Inecuación o Desigualdad

Es una expresión matemática con uno o mássímbolos de desigualdades ≤≥<> ,,,

Ejemplos:52)1 >+x

462)2 ≤−x

Propiedades utilizadas para resolver desigualdades

1. Si a > b, entonces a + c > b + c

2. Si a > b, entonces a - c > b - c

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

4. Si a > b y c > 0, entonces a /c > b /c

5. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

6. Si a > b y c < 0, entonces a /c < b /c

La solución de una desigualdad puede indicarse de tres formas:

Solución de Desigualdades

Solución Indicadasobre la recta numérica

Solución representadaen notación de intérvalos

ax >

ax ≥

ax <

ax ≤

bxa <<

a

a

a

a b

a

( a, ∞ )

[ a, ∞ )

( - ∞, a )

( - ∞, a ]

( a, b )

bxa ≤≤

bxa ≤<

bxa <≤

a b

a b

a b

[ a, b ]

( a, b ]

[ a, b )

Ejemplo: Resuelva la siguiente desigualdad y de la solución tantoen la recta numécica como en notación de intervalo.

1) 4x + 8 < 14

2) 2x < 4x + 10

( )103

56

2

223)6

xxx+

−>

−

3

73

2

1)7

−<

− xx

Ejercicios de Práctica: Pág. 110 libro antiguo

Pág 125 libro nuevo

532)5

xx

xx+>+

( ) ( )xx −−≤++ 3251522)4

( ) ( )823142)3 −−>+ mm

Desigualdades simultáneas

Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto

Rsolución de desigualdades de la forma | x | < a

Si | x | < a y a > 0, entonces –a < x < a

Ejemplos: Resuelva las siguientes desigualdades, determine el conjunto solución por el método constructivo y grafíquelo.

543)1 ≤−x

532)2 <−x

Resolución de desigualdades de la forma | x | > a

Si | x | > a y a > 0, entonces x < -a ó x > a

Ejemplos: Resuelva las desigualdades.

712)1 ≥−x

12

5

2

43)2 ≥

−x

Problemas de Aplicación de Ecuaciones e Inecuaciones

de Primer Grado

-La parte más dificil de resolver un problema verbal estransformarlo en una ecuación.

- Algunos ejemplos o frases representadas comoexpresiones algebraicas.

Frase Expresión Algebraica

Un número incrementado en 4 ----------- __________________

Dos veces un número ------------ __________________

5 menos que un número ------------ __________________

Un número restado de 9 ------------ _________________

6 restado de un número ----------- _________________

Un octavo de un número ------------ _________________

2 más que 3 veces un número ------------ _________________

4 menos que 6 veces un número ---------- _________________

3 veces la suma de un número y 5 -------- _________________

6 % de un número -------------- _________________

El costo de un objeto incrementado

en un 7 % de impuestos ------------- _________________

25 % menos del costo de un objeto ----- _________________

A veces, en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene a esa variable.

Frase Un Segundo

Número Número

La edad de Peter ahora y la

edad de Peter en 5 años ------------- ________ ________

Un número en 3 veces el otro ---- ________ ________

Un número es 7 menos que el

otro ---------------- _________ ________

Dos enteros consecutivos ------------ ________ ________

Frase Un Segundo

Número Número

Dos enteros impares

(o pares) consecutivos ------------ ________ ________

Un número y el número

incrementado en su 7 % ------------ ________ ________

Un número y el número

decrementado en su 10 % ------------ ________ _________

La suma de dos

números es 10 ---------- _____________ ___________

Una tabla de 6 pies

cortada en dos tramos ----- _____________ ___________

$ 10,000 compartidos

por dos personas ---------- ____________ __________

Con frecuencia la palabra es en un problema verbal significa “es igual a” y se representa con el signo igual , =.

Proposición Verbal Ecuación Algebraica

4 menos que tres veces

un número es 5 -------------------- _________________

Un número decrementado

en 4 es tres más que dos

veces el número -------------------- _________________

El producto de dos enteros

consecutivos es 20 ------------------- _________________

Un número es dos más que

5 veces el otro número; la

suma de los dos números es 62 ----------- __________________

Un número incrementado en

su 15 % es 90 -------------------------------- ___________________

Un números decrementado

en su 12 % es 38 ----------------------- ____________________

La suma de un número y el

número incrementado

en su 4 % es 204 --------------------------- ________________

El costo por venta de un

VCR por x días a $15 por

día es $120 --------------------------------- _________________

Pasos para resolver un problema verbal

1. Lea el problema con cuidado.

2. Si es posible, trace un esquema que ilustre el problema.

3. Identifique la cantidad o cantidades que le piden encontrar.

4. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquiera otras cantidades que deban encontrar en términos de esta variable.

5. Escriba el problema verbal como una ecuación.

6. Despeja la cantidad desconocida en la ecuación.

7. Responda la pregunta solicitada. Asegúrese de dar las unidades apropiadas con su respuesta .

8. Verifique la solución en el problema verbal original.

Aplicaciones de Ecuaciones

Ejemplos: Aplicaciones con Números

1. Tres veces un número es 36 más que el número. Halla el número.

2. Cinco restado de dos veces un número es 41. Encuentre el número.

Aplicaciones con Edades

1. Ana tiene la mitad de la edad de su mamá. Dentro de dos años, la suma de sus edades será 61. ¿Qué edad tienecada una ahora?.

2) Roberto es 4 años mayor que su harmano Juan. Dentrode tres años, Roberto tendrá cinco veces la edad que Juan tenía hace 5 años. Halle sus edades actuales.

3) Pedro tiene 10 años y José 6. ¿Dentro de cuántos años, dos veces la edad de Pedro será tres veces la edad de José?

Aplicaciones con Figuras Geométricas

1) El largo de un rectángulo es 2 pulgadas menos que el doble del ancho. Si el perímetro es 56 pulgadas, halla el largo y el ancho.

2) Halla la medida de un ángulo cuyo complemento es el dobledel ángulo.

3) La medida de un ángulo de un triángulo es el doble de la del segundo ángulo y el tercer ángulo mide 20º más que el segundo ángulo. Halla la medida de cada ángulo.

Aplicaciones de Mezcla

1) Un comerciante desea obtener 10 libras de una mezcla de dulces y venderla a $ 0.88 libra. Él mezcla dulces de $ 0.90 libras con dulces de $ 0.70 libra. ¿Cuántas libras de cada clasedebe usar?

2) ¿Cuántas libras de café de $ 0.75 libra se deben mezclar con 40 libras de café de $ 0.80 libra para hacer una mezcla y venderla a $ 0.77 libra?

3) Hay 25 monedas repartidas en monedas de 10 ¢ y monedas de 25 ¢, cuyo valor total es $ 4.30. ¿Cuántas monedas hay de cadaclase?.

Aplicaciones de Por - Ciento

1) La oficina estadounidense de estadísticas laborales reportó un 65% de incremento en el número de madres empleadas desdeenero de 1970 hasta enero de 1990. Si el número de madresempleadas reportadas en 1990 fue de 16.8 millones, ¿Cuántasmadres fueron empleadas en 1970?.

2) El 1 de mayo de 1994, un letrero fuera del Reino Mágicode Disneyworld estableció que la admición es de $ 36.00 más un cargo extra para los adultos. Cuando usted comprasu boleto, el costo real es de $38.00. Determine la tasa del cargo extra.


Págs. 111

Aplicaciones de Inecuaciones

Números

1) Tres enteros consecutivos son tales que la suma del primero y el tercero es menor que 18 más que la mitad del segundo. Halla los valores máximos posibles para los enteros.

2) La tarifa de un Táxi es de $ 2.50 por la primera media milla y $ 1.75 por cada media milla adicional. Una parte adicional de una mitad de milla será redondeada a la siguiente media milla.

a) Escriba una desigualdad que pueda utilizarse paradeterminar la distancia máxima que Karen puede viajar si tienesolo $ 30.35.

b) Encuentre la distancia máxima que Karen puede viajar.

Ecuaciones Cuadráticas

Definición : Ecuación Cuadrática

- Una ecuación cuadrática con la variable x es una ecuaciónque puede expresarse de la forma:

.0tan,,,02 ≠=++ aysarbitrariatesconssoncybadondecbxax

- Es una ecuación polinomial de grado 2.

Ejemplos: 5) 2 =xa

08) 2 =− xxb

0463) 2 =+− xxc

Dato: Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediantetres métodos: Factorización, Completar el Cuadrado y por la Fórmula Cuadrática.

A – Resolución de Ecuaciones Cuadráticas medianteFactorización

Este método depende del siguiente principio:

El producto de dos o más números es cero sí y sólo si, al menos uno de los números es cero.

Ejemplo: Resuelve

xxa 5122) 2 −=

Dato: En general, podemos decir que una ecuación cuadráticatiene exactamente dos raíces.

- Si las dos raíces son iguales, entonces hablamos de una raíz doble.

094) 2 =−xb

0127) 2 =+− xxc

Ejercicios de Práctica:

09)1 2 =−x

12)2 2 =+ xx

xx 8)3 2 =

xx 763)4 2 +=

15812)5 2 =− bb

982)6 2 =b

cc 6)7 2 =

352)8 2 =− xx

aa += 2640)9

aa 71212)10 2 −=−

La raíz cuadrada positiva de 25: 525 =

La raíz cuadrada negativa de 25: 525 −=−

:252 solucionesdostienexecuaciónLa =

Propiedad de la raíz cuadrada

axentoncesrealnúmerounesadondeaxSi +−== ,,2

Ejemplo: Resuelva la ecuación

092 =−x

B – Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante el métodode compleción del cuadrado.

1. Utilice si es necesario, la propiedad de la multiplicación(o división) de la igualdad para que el coeficiente numérico del termino cuadrático sea 1.

2. Rescriba la ecuación de modo que la constante quede aislada, del lado derecho de ésta.

3. Considere la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, calcule su cuadrado y sume esta cantidad en ambos lados de la ecuación.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática completando

el cuadrado

5. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para calcular la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

6. Despeje la variable.

7. Verifique sus soluciones en la ecuación original.

Ejemplo: Resuelva la ecuación completando el cuadrado.

056)1 2 =++ xx

0208)2 2 =−+ xx

4. Remplace el trinomio con el cuadrado de un binomio.

xx 55)3 2 =+

015112)4 2 =+− xx

0176)5 2 =+− xx

Ejercicios de Práctica: 518 - 519

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula

cuadrática

02 =++ cbxax

Donde a es el coeficiente numérico del términocuadrático, b es el coeficiente numérico del término en primer grado y c es la constante.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática mediante la

Fórmula Cuadrática

1. Rescriba la ecuación cuadrática en forma canónica, , y determine los valores numéricos de

a, b y c .

2. Sustituya los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática y después evalúe la fórmula para obtener la solución.

02 =++ cbxaxDespeja la ecuación , para la fórmulacuadrática.

02 =++ cbxax

017)2 2 =++ xx

152)3 2 =+ xx

0184)4 2 =−− xx

0108)5 2 =++ xx

652)6* 2 =−− pp

082)1 2 =−+ xx

Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticasmediante la Fórmula Cuadrática.

El Discriminante acb 42 −

El discriminante proporciona el número y naturalezade las soluciones de una ecuación cuadrática.

Soluciones de una ecuación cuadrática

:0,02 ≠=++ acbxax

formaladecuadráticaecuaciónunaPara

,042 >−− acbSi la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas.

,042 =−− acbSi la ecuación cuadrática tiene unaúnica solución real.

,042 <−− acbSi la ecuación cuadrática no tiene unasolución real.

Ejemplo:

1)

a – Determine el discriminante de la ecuación

01682 =+− xx

b - ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación?

c – Utilice la Fórmula Cuadrática para determinar la solución ( o soluciones).

2) Sin calcular explicitamente las soluciones, determine si lassiguientes ecuaciones tienen dos soluciones reales distintas, una única solución o no tiene soluciones reales.

0642) 2 =+− xxa

085) 2 =−− xxb

9124) 2 −=− xxc


Inecuaciones o Desigualdades Cuadráticas

Ejemplos: 0122 >−+ xx

0592 2 ≤−− xx

Solución de una desigualdad cuadrática:

Es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad.

Para Para determinardeterminar laslas solucionessoluciones de de laslas desigualdadesdesigualdades cuadrcuadrááticasticasse se puedenpueden utilizarutilizar variosvarios mméétodostodos..

A – Gráfica de signos

Considere la desigualdad

0122 >−+ xx

La solución de la desigualdad es:

Constructiva

Intervalos

B – Otro método haciendo de la Propiedad Factor Nulo

0122 >−+ xx

La solución de la desigualdad es:

Constructiva

Intervalos

Ejercicios de Práctica:

189)1 2 −≤+ xx

xx <−12)2 2

02510)3 2 ≥+− xx

Ejemplo: Resuelva la desigualdad y grafique la solución.

04

3≤

−+

x

x

Ejercicios de Práctica: 553 - 554

Las soluciones de la desigualdad son:

Notación: Constructiva

Intervalos

Expresiones Racionales

Definición: Expresión Racional o Fracción Algebraica

Es una expresión de la forma p/q, donde p y q son polinomios y q ≠≠≠≠ 0.

Ejemplos:16

,5

2,4

,5

12

2

−−−−

x

x

x

xx

x

x

Dato: Al escribir una expresión racional con una variable en el denominador, siempre suponemos que el valor o valoresde la variable que anulan al denominador quedanexcluidas.

Ejemplos: Determine los valores de la variable que debenexcluirse de la expresión racional.

83

2)1

−−

x

x

152

3)2

2 −− yy

3) Determine el dominio de las siguientes funciones:

xya

2) =

4)()

2

2

−=

x

xxfb

1572)()

2 −−=

xx

xxfc

Para reducir o simplificar expresiones racionales

1. Factorice el numerador y el denominador de la forma más completa posible.

2. Divida el numerador y el denominador entre algún factor común.

Ejemplos: Simplifica

3

93)1

ba +

633

63)2

2 −+

+

xx

x

2

2

4

44)3

a

aa

−

+−

4) Reduzca:yx

yxxyyx2

3222

5

25105 −+

5) Reduzca:( ) ( ) ( )442

122

−+−+−−

xxxx

xx

Multiplicación de Expresiones Racionales

00, ≠≠⋅⋅

=⋅ dybdondedb

ca

d

c

b

a

Ejemplos: Multipliquex

z

z

x

9

23 5

2

2

⋅

Pasos para multiplicar expresiones racionales

1. Factorice lo más posible todos los numeradores y denominadores.

2. Cancele los factores comunes.

3. Multiplique los numeradores y los denominadores.

4. Reduzca lo más posible la respuesta.

Ejemplos:x

yx

yx

yx +⋅

+−

)1

23

1

44

126)2

2

2

+−

−⋅

+−

xx

y

xxy

x

x

xx

x

x

25

168

4

52)3

2

−+−

⋅−−

22

22

2

2)4

yxyx

yx

yx

yx

−−

+⋅

+−

cdbcbdb

cdbdbcb

cdbdacab

cdbdacab

−−+

+++⋅

+++−+−

∗2

2

)5

División de Expresiones Racionales

Invertimos el divisor ( la segunda fracción, o inferior) y después multiplicamos las expresiones racionales resultantes.

Ejemplos: Divida

a

x

a

x

5

9

5

3)1

3

2

2

÷

Para dividir expresiones racionales

.00,0, ≠≠≠⋅=÷ dycbdondec

d

b

a

d

c

b

a

22

244

2)4

yxyx

xyx

yx

yx

+−

+÷

−−

22

2

22

244

22)5

yxyx

x

yxyx

xyx

yx

yx

+−⋅

+−

+÷

−−


xx

xx

x

xx

42

823

3

82212)3

2

22

+

−+÷

+−

xy

yx

y

xyx 22

2

23

)2−

÷−

Suma y Resta de Expresiones Racionales

Dato: Al sumar (o restar) dos expresiones racionales con un común denominador, sumamos (o restamos) los numeradores conservando el común denominador.

0,: ≠+

=+ cc

ba

c

b

c

aSuma

0,:Re ≠−

=− cc

ba

c

b

c

asta

Pasos para sumar o restar expresiones racionales con un

común denominador

1. Sume o reste los numeradores.

2. Coloque la suma o la resta de los numeradores determinados en el paso 1 sobre el común denominador.

3. Reduzca la expresión, si es posible.

3

3

3

5)1

++

+ xx

Ejemplos:

2

4

2

3)2

+−

++ x

x

x

( ) ( ) ( ) ( )25

124

25

23)3

2

−++

+−+−+

xx

x

xx

xx

3

9

3)4

2

−−

− xx

x

52

72

52

36)5

+−

−++

x

x

x

x

6

64

6

3)6

2

−+−

−− x

xx

x

x

Pasos para determinar el mínimo común denominador de

expresiones racionales

1. Factorice completamente cada denominador. Cualquier factor que aparezca más de una vez debe ser expresado como una potencia. Por ejemplo, (x + 5)(x + 5) debe ser expresado como (x + 5)² .

2. Enumere todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparecen en cualquiera de los denominadores.

Cuando aparezca el mismo factor en más de un denominador, escriba el factor que aparezca con mayor potencia.

3. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en el paso 2.

Ejemplos: Determine el MCD

18

7

12

5)1 +

323 27

5

18

1)3

yxyx+

2

2

5

3)2

xx−

5

23)4

+−

x

y

x

4442

3)5

2

2

2 +−+

− xx

x

xx

127

6

12

5)6

2

2

2 +−−

−− xx

x

xx

x

yxSume

53)7 +

Pasos para sumar o restar expresiones racionales con

denominadores distintos

1. Determine el MCD.

2. Rescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios para obtener el MCD.

3. Conserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador.

4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD.

5. De ser posible factorice el numerador y reduzca las fracciones.

Ejemplos:32 14

3

4

5)1

xyyx+

ax

bxax

ax

ba32 912

2)2

−−

+

4

3

4

2)3

++

−−+

x

x

x

x

8185

32

1252

43)4

22 −−

−−

−−

+

xx

x

xx

x

4

6

2

1

2

1)5

2 −

−+

++

−−−

x

x

x

x

x

x


Fracciones Complejas

Definición: Fracción Compleja

Es aquella que tiene una expresión fraccionaria en su numerador, en su denominador, o en ambos.

Ejemplos:

xx

x

b

baa

ba

x

y

x

x

x

x

31

13

,,1

,3

1

,53

2

2 +

+

−

+

+

+

Fración Compleja

a

baa

ba

−

+Fracción Secundaria

Fracción Secundaria

Numerador de la Fracción Compleja

LLííneanea principal principal de la de la fraccifraccióónn

Denominador de la Fracción Compleja

Métodos para simplificar las fracciones complejas

Método 1 : Pasos para simplificar una fracción compleja

multiplicando por un común denominador.

1. Determine el mínimo común denominador de cada una de las dos fracciones secundarias.

2. A continuación determine el MCD de la fracción compleja. El MCD de la fracción compleja será el MCD de las dos expresiones determinado en el paso 1.

3. Multiplique ambas fracciones secundarias por el MCD de la fracción compleja determinado en el paso 2.

4. Simplifique lo más posible.

Ejemplos:

2

1

4

34

3

3

2

)1−

+

ba

ba11

11

)2−

+

122

21

)5 −−−

−−

−

+

baab

aba

1

42

)3

++

−

−

a

aa

a

5

32

)42

xxx

−

Método 2: Pasos para simplificar una fracción compleja

simplificando el numerador y el denominador.

1. Sume o reste cada fracción secundaria como se indica.

2. Invierta y multiplique el denominador por el numerador de

la fracción compleja.

3. Simplifique cuando sea posible.

Ejemplo: Simplifique

122

21

)1 −−−

−−

−

+

yxxy

xyx

ab

ba

1

1

)2+

+


Resolución de Ecuaciones con Expresiones Racionales

1. Determine el MCD de todas las expresiones racionales en la ecuación.

2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD. Con esto hará que todos los términos de la ecuación quedenmultiplicados por el MCD.

3. Elimine los paréntesis existentes y sume los términossemejantes de cada lado de la ecuación.

4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades analizadas en secciones anteriores.

5. Verifique la solución en la ecuación original.

Pasos para resolver ecuaciones racionales

Ejemplos: Resuelva

2

1

35)1 =−

xx

2

1

2

1

4)2

−=+

xx

6

4

4)3

+=

−x

x

x

16

16

4

4

4)4

2

2

−

+=

−−

+ x

x

xx

x

3

142)5 =−

x

5

2

12

3

592

22)6

2 −=

+−

−− pppp


Aplicaciones de Ecuaciones con Expresiones Racionales

Ejemplos:

1) La suma de un número y su recíproco es 5 / 2. Halla el número.

2) El numerador de una fracción es 2 menos que el denominador. Si a ambos se les suma 5, el valor de la fracción es 3 / 4. Halla la fracción original.

3) ¿Qué número multiplicado por el numerador y sumado al denominador de la fracción 4 / 7 da como resultado la fracción igual a 5 / 3.

4) Laura puede cortar el cesped del señor Martínez en 3 horas. Damaris lo puede hacer en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardaránlas dos en cortar el césped si trabajan juntas?

5) José viaja 4 km/h más rápido que Juan. Si José recorre 120 km en el mismo tiempo que Juan hace 80 km. ¿A qué velocidadviaja cada uno?.

Radicales

xRadical

Radicando

Expresión

Radical

Índice

El índice indica la raíz de la expresión

Dato: Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raízcuadrada positiva o principal y una raíz cuadrada negativa.

Ejemplo: Número Raíz Cuadrada Raíz Cuadrada

Principal o Negativa

Positiva

25 25 25−

Definición: Raíz Cudrada Principal o Positiva

La raíz cuadrada principal o positiva de un número real positivo x, escrita como , es un número positivo cuyocuadrado es igual a x.

x

Ejemplos: =49 =64 =25

16

Otros tipos de expresiones radicales que tienen diferentes índices

3 x

5 pq

Definición: Raíces Pares

Las expresiones radicales que tieneníndices 2, 4, 6, 8, …ó cualquier entero par.

Ejemplos: 14 754 2 ,,25 yzp

Definición: Raíces Impares

Ejemplos: 17 45 103 3,32,27 qx

Las expresiones radicales que tienen índices

3, 5, 7, 9, …ó cualquier entero impar.

Definición:

La raíz n-ésima de x, , donde n es un índice par y x es un número real positivo, es el número real positivo ctal que .

n x

Ejemplos: Raíces Pares

=4Definición:

La raíz n-ésima de x, , donde n es un índice impar y x es cualquier número real, es el número real c tal que

.

n x

xcn =

Ejemplo: =−3 27

xcn =

X = 0

X < 0

X > 0

n es imparn es par+IRnúmunesxn .

IRnúmunesnoxn .

0=n x

+IRnúmunesxn .−IRnúmunesxn .

0=n x

Indique si la expresión radical es o no un número real. Si el número es un número real, determine su valor.

4 16)1 −

4 16)2 −

327

8)3 3

27

8)4 −

Evaluación de radicales utilizando Valor Absoluto

Para cualquier número real a, aa =2

Ejemplos:

24 ( )24−

Utilice el valor absoluto para evaluar:

26

( )291−

( )21+y

Regla del producto para radicales

Para a y b, números reales no negativos, nnn abba =⋅

Para simplificar radicales cuyos radicandos son números

naturales

1. Escriba el radicando como el producto de dos números, uno de los cuales sea el mayor número que es potencia perfecta para el índice dado.

2. Utilice la regla del producto para escribir la expresión como producto de raíces.

3. Determine las raíces de los números que son potencias perfectas.

Ejemplos: 18

72

60

3 54

3 375

Para simplificar radicales cuyos radicandos son variables

1. Escriba cada variable como el producto de dos factores, uno de los cuales sea la máxima potencia perfecta de la variable para el índice dado.

2. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias perfectas bajo el mismo radical.

3. Determine las raíces de todas las potencias perfectas.

Ejemplos: 7y 3 14z 5 22p

Para simplificar radicales

1. Si el radicando contiene un factor numérico, escríbalo como el producto de los números, uno de los cuales es la máxima potencia prefecta para el índice.

2. Escriba cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cuales sea la máxima potencia perfecta para el índice.

4. Simplifique el radical que contiene las potencias perfectas.

3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias prefectas (números y variables) bajo el mismo radical.

Ejemplo: 312580 zyx

3 251754 yx

Multiplicación de Radicales

63)1 ⋅

3 23 93)2 xx ⋅

4 264 3 1255)3 yxyx ⋅

3 1823 4 497)4 yxxy ⋅

( )8182)5 +xx

( )3 1083 53 2 1893)6 yxxyyx +

( )223)7 +

( )( )54335332)8 +−

Ejercicios de Práctica : Págs. 466 – 467

Regla del cociente para radicales

0, ≠= bb

a

b

an

n

n

Ejemplos:

5

3)1

3

3

3

24)2 3

27

8)3 4

9

5

3

15)4

yx

yx

Una expresión radical está simplificada si cumple lo siguiente:

1. No existe potencias perfectas que sean factores del radicando.

2. Ningún radicando contiene una fracción.

3. Ningún denominador contiene una radical.

Ejemplos:

6

1)1

23)3

x

37

2)2

32

5)4

+

23

23)5

+

−

23

562)6

−+

yx

yx

+

−)7

Ejercicios de Práctica: Págs. 474- 475

- Son los radicales que no tienen el mismo radicando e índice.

Radicales no Semejantes

- Son los radicales que tienen el mismo radicando e índice.

Radicales Semejantes

Definición:

Suma y Resta de Radicales

Pasos para sumar o restar radicales

1. Simplifique cada expresión radical.

2. Sume los radicales semejantes (si existen).

Ejemplos:

5345236)1 +−+

3333 3522326)2 +++

983505182)3 +−

yxyxx +− 22)4

3 843 210)5 yxyx −

328

124)6 +−

( ) ( )33 23 23 82)7 yxyx −−


Ecuaciones con Expresiones Radicales

Definición: Ecuación Radical

Es una ecuación que contiene una variable en un radicando.

Ejemplos: 842,104,4 3 ++=−=+= xxyx

Pasos para resolver ecuaciones radicales

1. Rescriba la ecuación de modo que el radical que contiene a la variable quede solo en un lado de la ecuación.

2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual alíndice del radical.

4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los pasos 1 a 3.

5. Despeje la variable en la ecuación resultante.

6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la presencia de soluciones extrañas.

Ejemplos:8)1 =y

53)2 =−x

4)3 3 =y

3. Agrupe o sume los términos semejantes.

0352)5 =−− xx

232164)6 22 −+=+ xxx

33 141723)7 −=− xx

12315)8 =−−− xx

332)4 −=− xx

Aplicaciones de Ecuaciones con Expresiones Radicales

1. Halla un número tal que dos veces su raíz cuadrada sea 10.

2. Halla el largo de la diagonal de un cuadrado cuyo ladomide 8 cm.

3. Halla la diagonal de un rectángulo si el largo es 8 cm y el ancho es 6 cm.

4. Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 8 pulgadas de longitud y la hipotenusa mide 4 pulgadas menos que la sumade los catetos. Determina el otro cateto.

Ecuaciones y sus Gráficas

Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares

………Explicar

Localice cada uno de los siguientes puntos en el sistema de coordenadas cartesianas

A (2,1) B (3,-2) C (-2,-1) D (-2,3) E (3,0) F (0,-3)

Fórmula de la distancia

La distancia d, entre cualquiera dos puntospuede determinarse mediante la fórmula de distancia.

( ) ( )2,21,1 yxyyx

( ) ( )2122

12 yyxxd −+−=

Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos (-1, 5) y (-4, 1).

Fórmula del Punto Medio

Dados cualesquiera dos puntos podemosdeterminar el punto a la mitad del camino entre los puntos dados mediante la fórmula del punto medio.

( ) ( )2211 ,, yxyyx

Punto Medio =

++

2,

22121 yyxx

Ejemplo: Determine el punto medio del segmento de la recta entre los puntos (-3, 6) y (4, 1).


Graficación de Ecuaciones Lineales

Definición: Ecuación Lineal

• Es una ecuación cuya gráfica es una línea recta.

• Es una ecuación de la forma ax + by = c, donde a, b y cson números reales; a y b no son ambos 0.

Ejemplos: 3x + 4y = 10 -2x + 7y = 9

Dato: La gráfica de una ecuación es una ilustración del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Ejemplos: Grafique las ecuaciónes

1. y = 2x + 4

2

3

3

1

6

5.5 =− yx

2. x + y = 4

3. 2x – 3y – 6 = 0

4. 5 (x - 2) + 3 (y - 2) = 0

Graficación de ecuaciones utilizando las intersecciones con

los ejes

Intersecciones con los ejes x y y

- Para determinar la intersección con el eje y, se hace x = 0y se despeja y.

- Para determinar la intersección con el eje x, se hace y = 0 y se despeja x.

Ejemplo: Grafique la ecuación, localizando las interseccionescon los ejes x y y.

842 += xy

Graficación de ecuaciones de la forma x = a ó y = b

Ejemplos: 1. Grafique la ecuación y = 4

Dato: La gráfica de cualquier ecuación de la forma y = bsiempre será una recta horizontal para cualquiernúmero real a.

2. Grafique la ecuación x = -3

Dato: La gráfica de cualquier ecuación de la forma x = asiempre será una recta vertical para cualquiernúmero real a.

Ejercicios de Práctica: 150 – 151

Pendiente de una Recta

Definición: Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la razón del cambiovertical al cambio horizontal entre cualesquiera dos puntos de la recta.

Ejemplo: Considere los puntos (2, 1) y (4, 5)

…………..

La pendiente de una recta que pasa por los puntosdistintos es:

Pendiente

( ) ( )2211 ,, yxyyx

( )( ) 12

12

xx

yy

x

y

horizontalCambioxenCambio

verticalCambioyenCambioPendiente

−−

=∆∆

=

12

12

xx

yy

x

yM

−−

=∆∆

=

Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 3) y (2, -6).

Pendiente Positiva

Una recta que se eleva yendode izquierda a derecha.

Pendiente Negativa

Una recta que baja al ir de izquierda a derecha.

La pendiente de cualquier recta

vertical no está definida.

Pendiente Indefinida

Pendiente Cero

Una recta que no se eleva ni baja

al ir de izquierda a derecha.

Forma Pendiente – Ordenada al Origen

Forma pendiente – ordenada al origen de una ecuación lineal

y = mx + b, donde m es la pendiente de la

recta y b es la ordenada al origen de la

recta.

Ejemplo: y = 2x + 3

Dato: Para escribir una ecuación en forma pendiente ordenada

al origen, despejamos y en la ecuación.

Escriba la ecuación – 5x + 6y = 10 en forma pendienteordenada al origen. Establezca la pendiente y la ordenadaal origen.

Ejemplo:

Ejemplo:

Grafique 3y + 6x = 12 utilizando la ordenada al origen y la pendiente.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Definición: Rectas Paralelas

• Son dos rectas coplanarias que no se

intersecan.

• Dos rectas distintas son paralelas si suspendientes son iguales.

-Si la recta tiene pendiente y la recta tiene

pendiente y si entonces la rectas

deben ser paralelas.

1l 1m 2l

2m 21 mm =

21 lyl

Ejemplo: Dos puntos en son (1, 6) y (-1, 2).

Dos puntos en son (2, 3) y (-1, -3).

Determine si son rectas paralelas.

1l

2l

21 lyl

Definición: Rectas Perpendiculares

Son dos rectas coplanarias que se intersecan formando ángulos de 90°.

• Dos rectas serán perpendicularesentre sí cuando sus pendientes seanrecíprocas negativas.

• Para cualquier pendiente a, el recíproco negativo es -1/a.

- Si la recta tiene pendiente y la recta tienependiente y si , entonces

deben ser rectas perpendiculares.

1l 1m 2l

2m 121 −=⋅mm21 lyl

Ejemplo: Dos puntos en son (6, 3) y (2, -3). Dos puntos en son (0, 2) y (6, -2). Determine

si son rectas perpendiculares. 21 lyl

2l1l

Ejemplo: Determine si las gráficas de las siguientes ecuacionesson rectas paralelas o perpendiculares. Grafique lasecuaciones.

242

42)1

−=

=− −

xy

yx

122

1

936)2

=+

=− −

xy

yx

Forma Punto – Pendiente de una ecuación lineal

( )( ) .

,

1,1

11

rectaladepuntounesyxy

rectaladependientelaesmdondexxmyy −=−

Ejemplo: Escriba la ecuación de la recta que pasa por (4, 6) y tiene pendiente 6 en forma pendiente – ordenada al origen.

Ejemplo: Determine, en forma pendiente – ordenada al origen, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, -3) y (4, 2).

Ejemplo: Considere la ecuación de la recta . Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 1/3) y es perpendicular a la recta dada. Escriba la ecuación en forma canónica ax + by = c.

71051 += − xyl


Resolución de Ecuaciones de Sistemas Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales o Simultaneas

Ejemplo:linealesecuacionesdeSistema

xy

xy

+=

+=

42

5

Definición: Solución de un Sistema de Ecuaciones

Es un par ordenado (o pares) que satisface todaslas ecuaciones del sistema.

Ejemplo: Solución del sistema anterior (1, 6).

Dato: Un sistema de ecuaciones puede tener más de dos ecuaciones. Si un sistema consta de tres ecuacionescon tres variables, como x, y, z, la solución será un tercia ordenada de la forma (x, y, z).

Existen tres métodos para resolver ecuaciones lineales

1- Método Gráfico

La solución del sistema será el par o pares ordenadoscomunes a todas las rectas, o el punto de intersección de todas las rectas del sistema.

Cuando graficamos dos rectas existen tres situaciones posibles

Exactamente una solución

(Rectas que se intersecan)

No tienen solución

(Rectas Paralelas)

Infinitas Soluciones

Consistente Inconsistente Dependiente

Ejemplos: Grafique los siguientes sistemas de ecuacioneslineales.

1224

32)1

=+

=+

yx

yx

4

2)2

+=

+=−xy

xy

2- Método de Sustitución

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales porsustitución

1. Despeje una variable en cualquier ecuación. (Si esposible, despeje una variable con el coeficiente numéricoigual a 1 para no trabajar con fracciones.

2. Sustituya la expresión hallada para la variable del paso 1en la otra ecuación. Con esto obtendrá unaecuación con una sola variable.

3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 paradeterminar el valor de esta variable.

4. Sustituya el valor encontrado en el paso 3 en la ecuacióndel paso 1. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante.

5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplos:

24

52)1

+=

+=− xy

xy

183

112)2

=+

=+

yx

yx

3 - Método de Suma o Eliminación

1. En cada caso necesario, rescriba cada ecuación en forma canónica, es decir, de modo que los términoscon variables queden del lado izquierdo del signoigual y la constante del lado derecho del signo igual.

ax + by = c

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma (o eliminación)

2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuacionespor una constante (o constantes) para que al sumar lasecuaciones, la suma contenga sólo una variable.

4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3.

5. Sustituya el valor determinado en el paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales. Resuelva esa ecuación paradeterminar el valor de la variable restante.

3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto se obtiene una sola ecuación con una variable.

6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones en el sistema.

Ejemplos:

183

112)1

=+

=+

yx

yx

845

632)2−=−

=+

yx

yx

375

732)3−=−

=+

yx

yx

2

5

3

2

23

4)4

+=

=+

− xy

yx


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