material complementar de calculo 1
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Um pouco da história das funções e exercícosTRANSCRIPT
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FUNES
Um pouco de Histria
A origem da noo de funo:
Desde o tempo dos Gregos at Idade Moderna a teoria dominante
era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o
ponto, a reta e o plano.
Vai ser a partir desta poca que uma nova teoria, o Clculo Infinitesimal, vai
surgir e que se acaba por revelar capital no desenvolvimento da Matemtica
contempornea. A noo de funo vai ser um dos fundamentos do Clculo
Infinitesimal.
Portanto a noo de funo no muito antiga. No entanto, aspectos muito simples
deste conceito podem ser encontrados em pocas anteriores (por exemplo, na mais
elementar operao de contagem). Mas o seu surgimento como conceito claramente
individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemtica remonta apenas
aos finais do Sculo XVII.
A origem da noo de funo confunde-se assim com os
primrdios do Clculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um
tanto confusa nos "fluentes" e "fluxes" de Newton (1642 -
1727). Newton aproxima-se bastante do sentido atual de funo
com a utilizao dos termos "relatia quantias" para designar
varivel dependente, e "genita" para designar uma quantidade
obtida a partir de outras por intermdio das quatro operaes
aritmticas fundamentais.
Newton (1642-1727)
O conceito de funo um dos mais importantes da Matemtica. Este conceito
sofreu uma grande evoluo ao longo dos sculos, sendo que a introduo do
mtodo analtico na definio de funo (sc., XVI, sc. XVII) veio revolucionar a
Matemtica.
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Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "funo"
em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu
de fuctionibus". Leibniz usou o termo apenas para designar, em
termos muitos gerais, a dependncia de uma curva de quantidades
geomtricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu
igualmente a terminologia de "constante", "varivel" e parmetro".
Leibniz (1646-1716)
Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algbricos, tornou-se
indispensvel um termo que representasse quantidades dependentes de alguma
varivel por meio de uma expresso analtica. Com esse propsito, a palavra
"funo" foi adaptada na correspondncia trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e
Johann Bernoulli (1667 - 1748).
O termo "funo" no aparecia ainda num lxico matemtico surgido em 1716.
Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter
grande divulgao, contendo a sua definio de funo de uma certa varivel como
uma quantidade que composta de qualquer forma dessa varivel e constante.
Um retoque final nesta definio viria a ser dado em 1748 por
Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo
o termo "quantidade" por "expresso analtica". Foi tambm Euler
quem introduziu a notao f(x).
Euler (1707-1783)
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A noo de funo era assim identificada na prtica com a de
expresso analtica, situao que haveria de vigorar pelos Sculos XVIII e XIX,
apesar de cedo se perceber que conduzia a diversas incoerncias e limitaes (de
fato, uma mesma funo pode ser representada por diversas expresses analticas
diferentes).
Esta noo, associada s noes de continuidade e de desenvolvimento em
srie, conheceu sucessivas ampliaes e clarificaes, que lhe alteraram
profundamente a sua natureza e significado.
Como conseqncia da evoluo do estudo das funes surgem numerosas
aplicaes da Matemtica a outras cincias. Pois, os cientistas partindo de
observaes procuravam uma frmula (uma funo) para explicar os sucessivos
resultados obtidos. A funo era, ento, o modelo matemtico que explicava a
relao entre as variveis.
Assim o conceito de funo que hoje nos parece simples resultado de uma
evoluo histrica conduzindo sempre cada vez mais a abstrao, e que s no
sculo XIX teve o seu final.
Na atualidade as funes estudadas na Anlise Infinitesimal, e usadas nas
aplicaes, retm no fundamental a idia de dependncia entre variveis.
A noo de funo de importncia central na concepo e no estudo de
modelos (dinmicos, probabilsticos, de distribuio espacial,...), qualquer que seja a
sua natureza, continuando por isso a ser uma noo-chave na Matemtica atual.
1. Noo intuitiva de funo Seja um quadrado cujo lado mede .
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Indicando por p a medida do permetro depende da medida do lado do quadrado,
podemos estabelecer entre p e a seguinte relao expressa pela frmula
matemtica:
Notamos, ento, que a medida p do permetro depende da medida do lado do
quadrado, o que pode ser verificado pela tabela seguinte:
MEDIDA DO LADO ( ) MEDIDA DO PERMETRO (p)
0,5
1
1,2
2
3
4,5
2
4
4,8
8
12
18
Pela tabela, observamos que:
A medida do lado do quadrado uma grandeza varivel;
A medida p do permetro do quadrado uma grandeza varivel;
A todos os valores de esto associados valores de p;
A cada valor de est associado um nico valor de p.
Dizemos, ento:
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a) A medida p do permetro de um quadrado dada em funo da medida
do lado.
b) A relao p = 4. chama-se lei de associao ou frmula matemtica
desta funo.
c)
2. Modelos matemticos
Um modelo matemtico uma descrio matemtica, podendo ser gerado por meio
de uma funo ou equao, de um fenmeno do mundo real, por exemplo, o
tamanho de uma populao, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto
caindo, a concentrao de um produto em uma reao qumica, a expectativa de
vida de uma pessoa ao nascer ou o custo de reduo de poluentes. O objetivo do
modelo entender e fazer predies sobre um comportamento futuro.
Nas mais diversas reas as funes so usadas para a compreenso de fenmenos
e resoluo de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o
mundo ao nosso redor. claro que essa afirmao no completamente
verdadeira, pois o mundo ao redor altamente complexo e ao trabalharmos com um
modelo fazemos simplificaes para reduzir essa complexidade. Em geral, os
modelos so avaliados para que sejam efetivamente aplicveis como ferramentas
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para entender e analisar diferentes fenmenos. O modelo a seguir didtico e,
portanto, no foi necessariamente avaliado.
Exemplo: O preo de uma corrida de txi, em geral, constitudo de uma parte fixa,
chamada bandeirada, e de uma parte varivel, que depende do numero de
quilmetros rodados. Em uma cidade X a bandeirada R$ 10,00 e o preo do
quilmetro rodado 0,50.
Modelagem Matemtica:
P= preo da corrida
a= preo do quilmetro rodado
b= bandeirada
x= nmero de quilmetros rodados
Modelo: P(x) =ax+b
Como o preo da corrida a bandeirada mais o preo do quilmetro rodado multiplicado pelo
nmero de quilmetro rodado, a funo que determina o preo da corrida dada por:
P(x) =ax+b
A funo P(x) = ax+b, que veremos mais tarde chamada funo do 1 grau.Logo o nosso
modelo Matemtico para a situao : P(x) = ax+b. Suponha que algum pegue o txi do
centro da cidade e v para sua casa situada a 8 km de distncia. Qual ser o preo da corrida?
De acordo com o modelo que descrevemos:
Fazendo a= 0,50 e b= 10,00, no modelo descrito acima temos:
P(x)= 0,5 x + 10,00
P(8)= 0,5 x 8 +10,00 = 14,00.
Portanto a pessoa pagar 14,00 reais. Neste caso dizemos que a funo linear
baxxP )( um modelo linear.
Existem vrios tipos diferentes de funes que podem ser usadas para modelar
relaes observadas no mundo real. A seguir discutiremos a definio de funo e
as diversas maneiras de descrever este conceito e suas propriedades e
caracterizaremos o comportamento e os grficos de algumas funes elementares,
bem como suas propriedades inerentes e daremos exemplos de situaes
modeladas apropriadamente por tais funes .
3. O conceito de funo atravs de conjuntos
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Como, em geral, trabalhamos com funes numricas, o domnio e a imagem so
conjuntos numricos, e podemos definir com mais rigor o que uma funo
matemtica utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
3.1 Produto cartesiano
Dados dois conjuntos no vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se A
x B) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro
elemento pertence a A e o segundo pertence a B.
A x B = {(x,y) | xA e yB}
3.2 Relao
Dados dois conjuntos A e B, d-se o nome da relao R de A em B a qualquer
subconjunto de A x B.
R relao de A em B R A x B
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3}, B = {0,2,4,6,8,10} e a relao R de A em B, tal que
y = 2x, x A e yB. Escrever os elementos dessa relao R.
Como xA: x = 0 y = 2 . 0 = 0 par (0,0)
x = 1 y = 2 . 1 = 2 par (1,2)
x = 2 y = 2 . 2 = 4 par (2,4)
x = 3 y = 2 . 3 = 6 par (3,6)
Ento, R = {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
Podemos ainda representar essa relao por meio de um diagrama ou de um
sistema cartesiano ortogonal.
Diagrama Sistema Cartesiano
A B
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Podemos observar que, numa relao R de A em B, o conjunto R formado pelos
pares (x,y) em que o elemento xA associado ao elemento y B mediante uma lei
de associao (no caso, y = 2x).
4. Definio de funo
Sejam A e B dois conjuntos no vazios e f uma relao de A em B. essa relao f
uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um
e apenas um elemento y do conjunto B.
Indica-se:
f: AB (l-se: funo f de A em B)
x y (l-se: a cada valor de xA associa-se um s valor yB)
Em que:
A recebe o nome de domnio da funo: D (f);
B recebe o nome de contradomnio da funo: C (f);
x o elemento de D (f) e chamado de varivel independente ou argumento,
e y a imagem em C (f) de x, segundo lei f, e indica-se y = f (x).
3.1 Conjunto imagem de uma funo
O conjunto imagem de uma funo , pois, um subconjunto de B, formado pelos
elementos que so imagem de ao menos um elemento de A. Representa-se:
Im (f) = {yB| x A, f (x) = y}
Exemplo:
Sejam os conjuntos:
A = nmeros naturais de 0 a 5;
B = nmeros naturais
lei: a cada elemento de A corresponde o seu triplo em B.
Diagrama:
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Cada elemento de A tem sempre um nico correspondente em B. Os conjuntos
so:
Domnio: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Contradomnio: B = I
Imagem: Im(A) = 0, 3, 6, 9, 12, 15
A lei pode ser escrita como: f: AB
ab = 3a
FUNES: SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA
Funo Sobrejetora
Definio: Uma funo f de A em B sobrejetora se, e somente se, para todo y
pertencente a A tal que f(x) = y.
Em smbolos:
f: AB, f sobrejetora y, y B, x A/ f(x) = y.
f: AB sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B, ou seja, f(A) = B.
f: AB, f sobrejetora Im(f) = B ou Im(f) = CD.
Exemplo:
O diagrama a seguir, que representa a funo f: AB, definida por f(x) = x2.
Note que o conjunto imagem da funo f igual ao seu contradomnio. Logo, f sobrejetora. Funo Injetora
Definio: uma funo f de A em B injetora se, e somente se, quaisquer, que
sejam x1 e x2 de A, se x1 x2 , ento f(x1) f(x2).
Em smbolos:
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f: AB
f injetora (x1 , x1 A, x2 , x2 A) (x1 x2) f(x1) f(x2).
O que equivalncia a:
f: AB
f injetora x1 , x1 A, x2 , x2 A, f(x1) = f(x2) x1 = x2.
Em lugar de dizermos que f injetora podemos dizer que f uma injeo de A em B.
Exemplo:
O diagrama abaixo representa a funo f: AB, definida por f(x) = x + 1.
Veja que f associa elementos distintos de A a elementos distintos de B. Portanto, f
injetora.
Funo Bijetora
Definio: Uma funo f de A em B bijetora se, e somente se, f sobrejetora e
injetora.
Em smbolos:
f: AB
f bijetora f sobrejetora e injetora y, y B, x A/ f(x) = y.
Exemplo:
Considere o diagrama que representa a funo f: AB, definida por f(x) = 2x + 1.
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De acordo com o que vimos anteriormente, a funo f ao mesmo tempo,
sobrejetora e injetora. Trata-se, portanto de uma funo bijetora.
Funes Crescente e Decrescente
Definio: Uma funo f de A em B , onde RBA , crescente se
)()(;, 212121 xfxfxxAxx e decrescente se ).()(, 212121 xfxfxAxxx
Definio: Uma funo f de A em B , onde RBA , no crescente se
)()(;, 212121 xfxfxxAxx e no decrescente se
).()(, 212121 xfxfxAxxx
FUNES LINEARES
Definio: Toda funo f: RR, dada por f(x)= ax+b ou y= ax+b, a0, definida para
todo x real, chamada funo linear.
Consideremos um retngulo de base x e altura 10cm.
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Indicando por p a medida do permetro desse retngulo, podemos estabelecer
entre p, x e 10 a relao expressa pela frmula matemtica:
Vemos, ento, que a medida p do permetro dada em funo da medida x da
base, ou seja:
f(x)= 2x+20 ou y= 2x+20
Nomeando por S a rea desse retngulo, podemos estabelecer entre S, x e
10 a relao expressa pela frmula matemtica:
S= 10x
Verificamos, tambm, que a rea S dada em funo da medida x da base, ou seja:
f(x)= 10x ou y= 10x
O grfico de uma funo f: RR, y= ax+b uma reta. Onde:
a um coeficiente angular (a= tg);
b um coeficiente linear.
Se a0 e b0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo afim.
Se a= 0 e b0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo constante.
Se a0 e b=0, a funo do 1 grau recebe o nome de funo linear.
Grficos das funes lineares
Seja y= ax+b
a0 crescente;
P= 2x+20
-
a0 decrescente;
Exemplos:
1) f(x)= x+3 a= 1; b= 3 a0, crescente.
2) f(x)= -2x+4 a= -2; b= 4 a0, decrescente
x Y= x+3
-3 0
-2 1
-1 2
0 3
1 4
2 5
3 6
-
3) f(x)= 2x a= 2; b= 0 a0 e b= 0
4) f(x)= -1 a= 0; b= -1
x Y= -2x+4
-3 10
-2 8
-1 6
0 4
1 2
2 0
3 -2
x Y= 2x
0 0
1 2
2 4
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Restrio Oramentria
Em nosso pas, um dos problemas que os jovens enfrentam diz respeito alocao de verbos
para programas sociais e pagamento de funcionrios. Vamos supor que existe um montante
fixo M, a ser repartido entre dois propsitos. Se denotam por se o montante a ser com
pagamento de funcionrios e por y o montante destinado aos programas sociais, temos:
Modelagem Matemtica :
M = x+y Y = M x
M denominada restrio oramentria.
Observe que estamos interessados em valores x e y tais que x e y> 0
X = 0
Y = 0
Leitura do Modelo
. A leitura prtica que se faz da restrio oramentria e que o aumento dos gastos de um setor
acarretar a diminuio de gastos com outros.
Questo Fictcia
Suponha que numa cidade X existam 200 funcionrios que ganham um salrio mdio de R$
800,00 mensais e que o montante M de R$ 300.000,00 mensais.
Qual o montante mensal disponvel para programas sociais? Os funcionrios reivindicam
13% de aumento dos seus salrios. Qual o impacto desse aumento sobre os programas sociais.
Modelo Matemtico
M = x+y y = M x
De acordo com a questo:
M = 300.000
-
X = 160000 = 800 . 200
Logo;
Y = 300.000 - 160000 = 140.000,00
Vamos calcular o aumento de 13% no salrio
800100%
x 13%
13.x 800 = 100 x x = 100
800.13 = 13.8 =104
Salrio com aumento de 13% S = 800+104 =904 reais.
Logo o incremento, devido a 13% a reais no salrio dos funcionrios ser de
X1= x+ 20.800 = 160.000,00 + 20.800 = 180.800,00Logo o montante disponvel para
programas sociais ser:
Y1= M x1 = 30.000,00 180.800,00 = 119.200,00
Observe que: Y = 140.000
Y1 = 119.200 e y.y1 =20.800
Assim:
140.000 100%
20.800 x %
x = 85,1414
208
000.140
100800.20
%
Portanto houve diminuio de aproximadamente 14,859, sobre o montante anterior disponvel
para programas sociais.
Depreciao de Equipamentos
O contador de uma empresa usa o mtodo da linha reta para fazer a depreciao
de um certo equipamento de uma empresa no decorrer do tempo. Cada
equipamento de uma estimativa de vida til e o valor contbil descreve a taxa
constante de tal forma que ao trmino de vida til podemos ter um valor zero de
um valor residual denotado por r.
Modelagem da Questo
Y = valor contbil ;
I = o valor do investimento na compra do equipamento;
T = a vida til;
t= tempo
Temos que y = f (t) uma funo linear, assim f (t) = at + b sendo f (0) = I e f (t) = 0 ou f
(t) = r. Dessa forma,
I =f (0) = a .0 +b b = I
-
0 = f (t) = aT + b = aT + I
aT + I = 0 aT = -I a = T
I
Logo: f (t) = T
I+I, que uma funo linear decrescente.
Quando o valor residual r ento b = I e r = f (t) = aT + b = aT +I,
aT + I = r aT = r I a = T
Ir .
Nesse, caso o modelo Matemtico da questo :
f (t) =
T
Irt + I
A funo f (t) s tem significado para o domnio t e [0,T]
Como exemplo: Suponha que um note book foi comprado por 4.200,00 a estimativa de
vida til de 5 anos. Supondo um valor residual de 800,00, qual o valor contbil ao
trmino de 3 anos?
De acordo como modelo matemtico: T = 5
f (0) = 4.200 I = 4.200 = 6
f (5) = 800 = r a = 5
200.4800 =
5
400.3 = - 680
Logo f (t) = - 680t + 4.200
Logo, o valor contbil ao trmino de 3 anos f (3) = 2.160, ou seja, 2.160 reais.
Uma imobiliria cobra uma comisso 12% do valor da venda de um imvel mais
R$ 25,00 para as despesas de correio e divulgao. Suponha que x o valor do
imvel em reais.
a) Estabelea um modelo que descreve a comisso cobrada pela imobiliria
b) Usando o item a), responda a questo:
qual o valor recebido pela imobiliria na venda de um imvel de R$ 185.000.00?
Soluo:
1) x = valor do imvel em reais;
C = comisso da imobiliria
De acordo com a questo,
C = 12% de x + 25
C = 100
12 . x + 25 =
50
6 + 25 =
25
3x +25
O modelo da questo e dado pela funo linear
-
C (x) = 25
3x + 25
2) x = 185.000,00 = 25
3. 185.000 + 25 =
= 3.7.400+25 = 22 . 200 +25 = 22.225 = 4950
FUNO QUADRTICA
Definio: Seja f: RR dada por f(x)= ax2+ bx+ c, com a, b, c reais e a0,
denomina-se funo do 2 grau ou funo quadrtica.
O grfico da funo quadrtica uma curva aberta chamada parbola.
Sua concavidade est voltada para cima (a0) ou para baixo (a0).
a0 a0
A parbola, que representa o grfico da funo f(x)= ax2+bx+c, passa por v,
chamado vrtice, cujas coordenadas so:
Xv= a
b
2 (abscissa)
Yv= a4
(ordenada)
O vrtice o ponto extremo da parbola.
-
V= a
b
2,
a4
Teorema: Seja f: RR dada por f(x)= ax2+ bx+ c, com a, b, c reais e a0.
f(x)= a
2
2
42 aa
bx
Demonstrao:
f(x)= ax2+bx+c= a ca
bxx
2 = a c
a
bxx
2
22 = a ca
bxx
222 =
= a
a
c
a
b
a
bx
2
22
42= a
2
22
4
4
2 a
acb
a
bx = a
2
2
42 aa
bx .
A frmula dada no teorema anterior chamada forma cannica.
Definio: As razes das funes quadrticas f(x)= ax2+bx+c so os valores de x
reais tais que f(x)= 0 e, portanto, as solues da equao do 2 grau.
ax2+bx+c= 0
Utilizando a forma cannica transformada, temos:
ax2+bx+c= 0
a
2
2
42 aa
bx = 0
2
2
42 aa
bx
= 0
2
2
a
bx =
24a
a
bx
2=
24a
xa
b
2=
a2
x= a
b
2
a2
x= a
b
2
Para que exista razes reais para a equao do 2 grau ax2+bx+c= 0 depende da
R. Assim, temos trs casos a considerar:
-
1) 0, a equao apresentar duas razes distintas que so:
x1= a
b
2
e x2=
a
b
2
2) =0, a equao apresentar duas razes iguais que so:
x1=x2= a
b
2
3) 0, considerando que nesse caso R, a equao no apresenta razes
reais, isto no existe raiz quadrada de nmeros negativos.
Os grficos das funes quadrticas
0
=0
0
-
Valores mximos e mnimos da funo quadrtica
Teorema: Uma funo quadrtica pode ter um valor mximo ou um valor mnimo,
dependendo da concavidade da parbola. O valor mximo (ou mnimo)
corresponde ordenada do vrtice da parbola.
Concavidade voltada para cima (a0)
-
Essa funo tem valor mnimo yv.
O valor mnimo dessa funo :
yv= a4
Concavidade voltada para baixo (a0)
Essa funo tem valor mximo yv.
O valor mximo dessa funo :
yv= a4
A seguir descreveremos uma questo fictcia que a modelagem gera uma funo quadrtica e
a resposta depende dos valores mximo ou mmino que a funo quadrtica assume.
Exemplo: Um avio com 120 lugares fretado para uma excurso. A companhia
exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar
vago. Qual o nmero de passageiros que torna mxima a receita da companhia?
-
Modelagem Matemtica:
Capacidade do avio =120 lugares
Nmeros de passagem = x
Preo por passageiro = 900,00 ( parcela fixa )
Parcela varivel = 10 ( 120 x )
Receita de companhia :
900x +10 (120 x) x =
900x + (1.200 10x) x =
900x + 1.200x 10x =
2.100x-10x. Como xv = a
b
2 e YV =
a4
,
ento xv = 10.2
100.2
=
2
10.2 = 105
passageiros. Logo yv = 110.250.
O Estudo de inequaes do1 e 2 graus, a partir de seus grficos.
Inequao do1 grau
Definio: Denomina-se equao do 1 grau na varivel x toda desigualdade
que pode ser reduzida a uma das formas:
ax+b 0, ax+b 0, ax+b 0 ( com a, b R e a 0).
Na resoluo de inequaes, devemos usar adequadamente as propriedades
das desigualdades entre nmeros reais e das desigualdades envolvendo adio
e multiplicao de nmeros reais. Algumas dessas propriedades so:
1) Dados x, y R, vale uma e somente uma das possibilidades: x y, x = y ou
y x.
2) Se x y e y z, ento x z (transitiva).
3) Se x y, ento, para qualquer z R tem-se x+y y+z, ou, de outra forma, se
x y e x1 y1, ento x+x1 y+y1 (soma membro a membro).
4) Se x y e z positivo, ento xz yz,ou, de outra forma, dados x, y, x1, y1
positivos, se x y e x1y1, ento xx1 yy1 ( produto membro a membro).
5) Se x y e z negativo, ento xz yz (quando multiplicamos os dois membros
de uma desigualdade por um nmero negativo, o sentido dessa desigualdade se
inverte). Isso pode ser demonstrado assim:
O produto dos nmeros positivos y x e y positivo, ou seja, (y x) ( y) 0.
Efetuando a multiplicao obtemos xz yz 0 e, assim, xz yz.
6) Se x 0, ento x2 0 (exceto zero, todo quadrado positivo).
-
7) Se 0 x y, ento 0 y
1
x
1 (quanto maior for um nmero positivo, menor
ser seu inverso).
Resoluo de equaes
Exemplos:
1) 2x5 0 em R
2x 5
x 2
5 S =
2
5 x /Rx
Podemos tambm resolver essa inequao por meio do estudo do sinal da
funo afim.
2x5 0
f(x)
2x 5 = 0
2x = 5 x 2
5
x = 2
5 zero f(x) 0 S =
2
5 x /Rx
2) Observe a seguinte inequao resolvida de dois modos:
3 2x x 12, em R
2x x 12 3
3x 15
3x 15 x 5
x 3
15 f(x) 0
-
x 5 S = 5 x / Rx
3) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa
mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final ser dado
em funo das x unidades vendidas. Resposta:
a) Qual a lei dessa funo f?
L = 5x 230.
b) Para que valores de x temos f(x) 0? Como pode ser interpretado esse caso?
Para que valores de x temos f(x) 0,
5x 230 0
5x 230
x 5
230
x 46
Ento, o comerciante ter prejuzo se vender menos de 46 unidades.
c) Para que valor de x haver um lucro de R$ 315,00?
5x 230 = 315
5x = 315+230
-
5x = 545
x = 109
d) Para que valores de x o lucro ser maior do que R$ 280,00?
5x 230 280
5x 280+230
5x 510
x 102
e)para que valores de x o lucro estar entre R$100,00 e R$180,00?
100
-
Inequao-Quociente
Observe que as seguintes inequaes apresentam um quociente de polinmios do
1 Grau:
1
1
x
x > 0
4
12
x
x < 0
23
1
x
x 0
2
32
x
x 0
Tais inequaes so denominadas inequaes-quociente.
Para resolver inequao-produto ou uma inequao-quociente como as
exemplificadas, fazemos o estudo dos sinais das funes polinomiais do 1 Grau
envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funes,
lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais.
Exemplos:
1) Resolver as inequaes (x 4) (x + 2)>0
Resoluo: Vamos estudar os sinais das funes:
f(x) = x 4 g(x) = x + 2
X 4 = 0 x + 2 = 0
X =4 x = -2
Quadro de resolues:
Resposta: S = x R/ x 2 ou x 4
2) Resolver a inequao (x + 2)(x 1)(x + 2) 0.
Resoluo:
f(x) = x + 2 g(x) = x 1 h(x) = x + 2
x + 2 = 0 x 1 = 0 x + 2 = 0
-
x = 2 x = 1 x = 2
x = 2
Quadro de soluo:
Resposta: S = x R/ 2 x 1 ou x 2.
3) Resolver a inequao 3
1
x
x 0.
Resoluo:
f(x) = x 1 g(x) = x 3
x 1 = 0 x 3 = 0
x = 1 x = 3
Quadro de soluo:
Resposta: S = x R/ x 1 ou x 3.
4) Vamos determinar o domnio da funo y = 3
1
x
x.
-
J sabemos que 3
1
x
x s possvel em R se
3
1
x
x 0; portanto, nosso problema
vai consistir em resolver a inquao quociente 3
1
x
x 0, com x 3.
Resoluo: 3
1
x
x 0, com x 3.
f(x) = x 1 g(x) = x 3
x 1 = 0 x 3 = 0
x = 1 x = 3
Quadro de soluo:
Resposta: D = x R/ x 3 ou x 1.
Inequao do 2 grau
Definio: Chama-se inequao do 2 grau toda sentena matemtica que puder
ser colocada sob uma das formas:
Ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c 0 ou ainda
Ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c 0.
Resolver uma inequao do 2 grau significa determinar os valores reais de x que
satisfazem a inequao dada.
Exemplos:
1) ATENO COPIAR DO LIVRO.
2) Resolver a inequao x2 3x 2 0.
Resoluo: a = 1 0
x2 3x 2 = 0 x = 2
13
= 9 8 x = 2
-
= 1 x = 1
= 1
Esquema:
Como devemos ter f(x) 0: x 1 ou x 2.
Resposta: S = x R/ x 1 ou x 2.
3) Resolver a inequao x2 1 0.
Resoluo: a = 1 0
x2 1 = 0
x2 = 1
x = 1 x = 1 ou x = 1
Esquema:
Como devemos ter f(x) 0: x 1 ou x 1.
Resposta: S = x R/ x 1 ou x 1.
4) Determinar o conjunto soluo da inequao x2 10x 25 0.
Resoluo: a = 1 0
X2 10x 25 = 0
= 100 100 x = 2
10
= 0 x = 5
= 0
Esquema:
-
Como devemos ter f(x) 0: R.
Resposta: S = x / x R.
5) Resolver a inequao x2 5x 8 0.
Resoluo: a = 1 0
X2 5x 8 = 0
= 25 32
= 7 (no existe raiz real), pois 0.
Esquema:
Como devemos ter f(x) 0, ento x R.
Resposta: S = .
6) Determinar o conjunto soluo da inequao 4x2 4x 1 0.
Resoluo: a = 4 0.
4x2 4x 1 = 0 x = 8
4
4x2 4x 1= 0 x = 2
1
= 16 16
= 0
Esquema:
Como devemos ter f(x) 0, ento x 2
1.
Resposta: S =
2
1/ xRx .
Inequao-produto
Desigualdades da forma:
-
f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 so
denominadas inequaes-produto.
Exemplos:
Resolva as inequaes em R:
1) (x 3) (x2 3x 4) 0
Resoluo:
f(x) = x 3 g(x) = x2 3x 4 = 5
a = 1 0; a 0 a = 1 0; a 0 x = 2
53
x 3 = 0 = 9 16 x = 1
x = 3 = 25 x = 4
Quadro de resoluo:
De acordo com a inequao dada, devemos ter f(x) g(x) 0. Ento:
S = x R/ 4 x 1 ou x 3.
2) (x2 9x 10) (x2 4x 4) 0
Resoluo:
f(x) = x2 9x 10 g(x) = x2 4x 4
a = 1 0; a 0 a = 1 0; a 0
= 81 40 = 16 16 = 121 = 0
= 11 = 0
x = 2
119 x =
2
04
x = 10 e x = 1 x = 2
-
Quadro de soluo:
Logo, S = x R/ 1 x 10
3) ( x 1) (x2 x 5) (x2 9) 0
Resoluo:
f(x) = x 1 g(x) = x 1 h(x) = x2 9
a = 1 0 a = 1 0 a = 1 0
x = 1 = 1 20 x = 9
x = 1 = 19 x = 3 e x = 3
Quadro de resoluo:
Logo, S = x R/ x 3 ou 1 x 3.
Inequao-quociente
Desigualdade da forma:
)(
)(
xg
xf 0
)(
)(
xg
xf 0
)(
)(
xg
xf 0
)(
)(
xg
xf 0
so denominadas inquaes-quocientes.
-
Observao: Lembramos que a regra de sinal para o clculo do quociente de dois
nmeros reais a mesma que para o clculo do produto, e que uma frao se anula
quando o numerador zero e o denominador diferente de zero.
Exemplos:
Resolva a inequaes a seguir em R:
1) 54
32
xx
x 0.
Resoluo:
f(x) = x 3 g(x) = x2 4x 5
a = 1 0 a = 1 0 x = 2
64
x = 3 = 16 20 x = 5 e x = 1
x = 3 = 36 x2 4x 5 0
= 6 ento x 5 e x 1.
Quadro de resoluo:
S = x R/ x 1 ou 3 x 5.
2) 9
1282
2
x
xx 0
Resoluo:
F(x) = x2 8x 12 g(x) = x2 9
a = 1; a 0 a = 1 0; a 0
-
= 64 48 x = 9
= 16 x = 3 e x = 3
= 4 x2 9 0 ento,
x = 2
48 x = 6 e x = 2 x 3 e x 3.
Quadro de resoluo:
S = x R/ 3 x 2 ou 3 x 6.
Sistema de Inequaes do 1 grau
O conjunto soluo de um sistema de inequaes determinado pela interseco do
sistema.
Exemplos:
1) Resolver o sistema
03
512
x
x.
(I) (II)
De (I) vem: De (II) vem:
2x 1 5 x 3 0
2x 6 x 3
x 3 x 3
03
512
x
x
-
Fazendo a interseco de (I) com (II), temos:
S = x R/ x 3.
2) Joo possui um terreno de 1000m2, no qual pretende construir uma casa. Ao
engenheiro responsvel pela planta, ele impe as seguintes condies: a rea
destinada ao lazer (piscina, churrasqueira etc.) deve ter 200m2, e a rea interna da
casa mais a rea de lazer devem ultrapassar 50% da rea total do terreno; alm
disso, o custo para construir a casa dever ser de, no mximo, R$ 200000,00.
Sabendo que o metro quadrado construdo nessa regio custa R$ 500, 00, qual a
rea interna da casa que o engenheiro poder projetar?
Inicialmente, vamos traduzir as condies impostas para a linguagem
matemtica. Seja x a rea interna da casa a ser projetada.
A rea interna da casa mais a rea de lazer tm que ser maior que 50% de
1000m2: x 200 500.
O custo tem que ser menor que R$ 200000, 00: 500x 200000.
Chegamos, assim, ao sistema:
200000500
500200
x
x
)(II
I
(I) x 200 500 (II) 500x 200000
x 500 200 500
500x
500
200000
x 300 x 400
Fazendo a interseco de (I) com (II), temos:
-
Portanto, a casa a ser projetada deve ter entre 300m2 e 400m2.
Sistemas de inequaes
H alguns sistemas de inequaes que apresentam uma ou mais inequaes do 2
grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequao
separadamente e depois achar a interseco das respectivas solues.
Exemplos:
1) Resolver o sistema inequao
05
682 22
x
xxx
05
682 22
x
xxx
)(
)(
II
I
Resoluo:
(I) 2x2 8 x2 6x
x2 6x 8 0
a = 1 0
x2 6x 8 = 0
= 36 32
= 4 x 2
26
= 2 x = 4 e x = 2
x 4 ou x 2
(II) x 5 0
x 5
-
Fazendo a interseco entre as solues (II), vem:
S = x R/ x 5.
2) Resolver a inequao x 4 x2 4 x 2.
Temos aqui uma dupla desigualdade que chamadas de inequao simultnea, e que
pode ser transformada num sistema de inequaes:
x 4 x2 4 x 2
24
442
2
xx
xx
)(
)(
II
I
Resoluo:
(I) x 4 x2 4
x2 x 4 4 0 (- 1)
x2 x 0
x (x 1) = 0
x = 0 e x = 1
a = 1 0
x 0 ou x 1
(II) x2 4 x 2
x2 4 x 2 0
x2 x 6 0
x2 x 6 = 0
= 1 24
= 25 x = 2
51
-
= 5 x = 3 e x = 2
a = 1 0
2 x 3
Fazendo a interseco entre a soluo de (I) e de (II), vem:
S = x R/ 2 x 0 ou 1 x 3.
FUNES EXPONENCIAIS
Crescimento Populacional
O crescimento exponencial uma excelente oportunidade de se discutir o que um modelo
matemtico. Descrever qual a sua importncia e as suas limitaes.
Questes de crescimento populacional, de caimento radiativo, arrefecimento de um corpo,
juros de depsitos, taxa de propagao de uma epidemia, etc. Fornecem inmeros exemplos
de como a funo exponencial pode ser estudada em conjuno com outras reas das cincias
naturais e at humanos e sociais.
Exemplo: Uma populao de bactrias aumenta 50% em cada dia.
Se no incio da contagem havia 1 milho de bactrias, quantos haver ao fim de t dias?
Modelagem Matemtica da Questo:
T= perodo de t dias;
M = total de bactrias em t dias;
- Inicialmente Mo = 1 milho
- Ao fim de 1 dia M1 = Mo+ 0,5 = 1,5
- Ao fim de 2 diasM2 = 1,5+0,5.1,5
= 1,5 (1+0,5) =
= 1,5 . 1,5 = 1,52
-Ao final de 3 dias M3 = 1,52+0,5 (1,5)
2
-
= 1,52 (1+0,5)
= 1,52. 1,5 = 1,5
3
- Ao final de t dias Mt = 1,5t
Vemos que o nmero de milhes de bactrias, ao fim de t dias, e dado por Mt = M (t) =
(1,5)t, que uma potncia de expoente varivel. O modelo para esta questo :
M (t) = (1,5)t
e M (t) chamado de funo exponencial.
A funo exponencial intervm em numerosas aplicaes Matemticas, na Cincia e na
Industria, e indispensvel no estudo de muitos problemas de Economia e Finanas,
nomeadamente no clculo dos juros compostos.
Dizemos que h um juro composto quando o juro ganho por um certo capital, ao fim de
um perodo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando portanto, a ganhar
juros. O investidor, no fim do ano, receber juro do juro alm do juro do capital.
Exemplo: Uma pessoa coloca 3.000 reais a prazo, taxa de 20% ao ano e no levantar
dinheiro algum durante 10 anos. Quanto tem a receber capital acumulado ao fim desse
perodo? Descreva o modelo Matemtico para a questo.
Soluo:
Modelagem Matemtica
Co = 3 mil reais
Ao fim de 1 ano C1 = 3.0,2
3 (1+0,2) = 3 . 1,2
Ao fim de 2 anos C2 = 3.1,2+0,2.3.1,2
= 3.1,2[1+0,2]
= 3.1,2 [1,2]
= 3.1,22
Ao fim de 3 anos C3 = 3.1,22+0,2.3.1,2
2
= 3.1,22
[1+0,2]
= 3.1,22.1,2 = 3.1,2
3
Ao fim de 10 anos C10 = 3.(1,2) 18,575
Modelo Matemtico da Questo: Cx = C (x) = 3.(1,2)x onde X = perodo de anos
FUNO LOGARTMICA
-
Seja a funo exponencial y = ax, com a 0 e a 1. A sua inversa chama-se funo
logartmica e indica-se y = loga x.
O conjunto domnio
O conjunto domnio da funo logartmica o conjunto dos nmeros reais estritamente positivos.
D(f) = R*+
Conjunto imagem
O conjunto imagem da funo logartmica o conjunto dos nmeros reais.
Im(f) = R
Grfico
Quanto ao grfico da funo logartmica y = loga x temos dois casos a considerar:
1caso:
Quando a 1, f ser crescente:
2 caso:
Quando 0 a 1 f ser decrescente:
Exemplo:
Construir o grfico cartesiano das funes:
a) y = log2 x
X Y = log2 x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 1
-
4 2
b)log1/2 x
X Y = log1/2 x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
-
Equaes logartmicas
So aquelas que apresentam a incgnita no logaritmando ou na base do logaritmo.
Exemplos:
log3 (log2 x) = 2
log (x+2) + log (x+3) = log 12
log8 x log2 (2x) = 1
As equaes logartmicas podem se apresentar em trs tipos principais:
1 tipo: Aquelas em que aplicaremos apenas a definio de logaritmo para sua
resoluo.
Exemplos:
Determinar o conjunto soluo (ou o conjunto verdade) das seguintes equaes
logartmicas:
a) log5 (log2 x) = 0
Aplicando a definio, duas vezes, obtemos a soluo desta equao.
log5 (log2 x) = 0
log2 x = 50
log2 x = 1
x = 21
x = 2
S = {2}
2 tipo: Aquelas em que aplicaremos as propriedades do logaritmo para a
resoluo.
Exemplo:
Determinar o conjunto soluo da equao logartmica:
log3 (x+7) + log3 (x -1) = 2
Inicialmente aplicaremos a propriedade de logaritmo do produto, ou seja:
C.E.:
7
07
x
x
e
e
1
01
x
x
Em seguida, vamos aplicar a definio do logaritmo e resolver a equao do 2 grau.
(x+7) . (x -1) = 32
x2 x + 7x 7 9 = 0
-
x2 + 6x 16 = 0
a = 1, b = 6 e c = -16
= 36+64
= 100
x = 2
106
x = -8 (no convm)
x = 2
V = {2}
3 tipo: Aqueles em que aplicaremos a mudana de base para a resoluo.
Exemplo:
Determinar o conjunto soluo da equao logartmica:
log4 x + log2 x = 6
C.E. x > 0
1 passo: Deixar os logaritmos na mesma base; para isso vamos mudar log4 x para
base 2.
log4 x = 4log
xlog
2
2 = 2
log2 x
2 passo: Substituir 2
log2 x na equao e fazer a mudana de varivel.
2
log2 x + log2 x = 6
Fazendo log2 x = n, temos:
2
n+ n = 6
3 passo: Resolver a equao do 1 grau e determinar o valor de x.
2
n+
1
n=
1
6
2
2nn =
2
12
3n = 12
n = 4
Sendo log2 x = n, ento:
log2 x = 4
x = 24
x = 16
-
V = {16}
Inequaes logartmicas
As inequaes logartimicas caracterizam-se por envolverem a funo logartimca.
Exemplos:
log3 (2x 5) > 1
log (x2 + 4) log x 2
Vamos analisar o comportamento da funo atravs do grfico.
1 caso: quando a > 1
Nesse caso a funo crescente, ento, se loga x1 > loga x2 podemos afirmar que
x1 > x2, ou seja, conservamos o sentido da desigualdade para comprar os
logaritmandos.
Exemplo:
Se log2 x > log2 5, ento x > 5
2 caso: quando 0 < a < 1
Nesse caso a funo decrescente, ento, se loga x1 > loga x2 podemos afirmar que
0 < x1 < x2, ou seja, invertemos o sentido da desigualdade parta comparar os
logaritmandos.
Exemplo:
-
Se log2
1 x > log2
1 5, ento 0 < x < 5.
Exemplos:
1) log2 (x+2) < 3
Condio de existncia: x + 2 > 0
I) x > -2
Vamos substituir 3 por log2 8, na inequao:
log2 (x+2) < log2 8
Como a base maior que 1, basta conservar o sinal da desigualdade e resolver x+ 2
< 8.
II) x < 6
A soluo da inequao logartmica o conjunto dos nmeros reais que satisfazem
I) e II), ou seja, dada por I) II).
2) (FEI-SP) Resolver log2
1 (x2 x 6) > 0
log2
1 (x2 x 6) > 0
Condio de existncia para log2
1 (x2 x 6) > 0.
I) x2 x 6 > 0
x = -2
x = 3
V1 = {x | x < -2 ou x > 3}
Vamos substituir 0 = log2
1 1 na inequao log2
1 (x2 x 6) > log
2
1 1.
Como a base menor que 1 devemos inverter o sentido da desigualdade.
II) x2 x 6 < 1
-
x2 x 7 < 0
x = 2
291
x = 2
291
V2 = x | 2
291< x <
2
291
A soluo da equao logartmica o conjunto interseco de V1 com V2.
V = x | 2
291< x < -2 ou 3 < x <
2
291