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TEORÍA DE CONJUNTOS - SEGUNDO DE SECUNDARIA

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

NIVEL I

1) Determinar por extensión el siguiente conjunto: A = {2x+1 /x∈N; 1≤x<6}

a) {1;2;3;4;5}b) {5;7;9}c) {3;5;7;9;11}d) {3;5;7;9}e) N.A.

2) Determinar por extensión el siguiente conjunto: P = { x +1 /x∈N; 4≤x≤15; “x” es par}

a) {5;7;9;11;13}b) {2;4;6,8}c) {4;6;8;10;12;14}d) {5;7;9;11;13;15}e) N.A.

3) Determina por extensión el siguiente conjunto: B = {2 x +1 /x∈N; 1≤x≤10; “x” es impar}

a) {2;3;7}b) {1;3;5;7;9}c) {3;7;11;15;19}d) {3;7;11;15}e) N.A.

4) Determina por extensión el siguiente conjunto: A = { x +4 /x∈N; 2≤x≤11; “x” es impar}

a) {7;9; 11; 13; 15}b) {9; 11; 13; 15}c) {7;9; 11; 13}d) {2; 4; 6; 8;10}e) N.A.

5) Del conjunto A = {x∈N: 1 < x < 5}, la suma de sus elementos es:

a) 12 b) 8 c) 11 d) 9 e) 10

6) Si M = {3;5;7;9;11}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos:

A. M = {x/ x∈N ∧ x < 6}B. M = {2x +1)/ x∈N ∧ 1≤x < 6}C. M = {2x - 1)/ x∈N ∧ 1< x < 6}

a) Sólo IIb) Sólo Ic) Sólo IIId) Sólo I y II

e) Sólo II y III

7) Si A = {4x/ x∈N, 3≤x < 6}; entonces por extensión será:

a) A = {3; 4; 5}b) A = {4; 4; 4}c) A = {12; 16}d) A = {12; 16; 20}e) N.A.

8) Si: B = {x3– 1/ x∈N; 2≤x≤5}; entonces por extensión será:

a) B = {2; 3; 4; 5}b) B = {2; 3; 4}c) B = {7;26; 63}d) B = {7; 26; 63; 124}

9) Determinar el siguiente conjunto por extensión: Q = { 2x/x∈N; 2≤x≤10}

a) {4;6;8;10;12;18;20}b) {2;4;6;8;10;12;14;18;20}c) {1;4;6;8;10;12;14;16;18;20}d) {4;6;8;10;12;14;16;18;20}e) {6;8;10;12;14;16;18;20}

10) Si: B ={ x2– 3/ x∈N; 3≤x < 6} ; entonces por extensión será:

a) B = {3;4;5}b) B = {3;4;5;6}c) B = {6;13;22}d) B = {6;13;22; 33}e) N.A

TAREA PARA LA CASA:

1) Determinar por extensión: Q = {x/x∈N; 4≤x < 8; x es impar}

A) {5} B) {7} C) {5;7} D) {4; 6} E) N.A.

2) ¿Cuántos elementos del conjunto B siguiente son impares?

B = {y∈N/ y = x – 1; x∈N ∧ 2 < x ≤7}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N. A.

3) Hallar el n(A) + n(B) si:

A = {x / x∈N; 5 < x < 8} B = {x / x∈N; 2 < x≤5}

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4) Determina por extensión: A = { n2+ 1 / n∈N; 3 < n < 6}

Dé como respuesta la suma de sus elementos.

A) 44 B) 46 C) 48 D) 40 E) 43

5) En el gráfico hallar el número de elementos de:

NIVEL II

1) Dar la suma de los elementos pares del siguiente conjunto:

C = {y∈N/ y = x + 8; x∈N y 3≤x < 7}

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) N.A.

2) ¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto? A = {x/x∈N; x > 11 y x < 17}

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

3) Hallar n(A) + n(B) si: A = {x∈N/ x es par; 2≤x < 9} B = {x∈N/ x = 2y; y∈N ∧ 1≤y≤4}

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) N.A.

4) Dado los conjuntos:

C = {10;20;30;40;50}D = {x∈N/ x =10; y∈N ∧ 2≤y < 5}

Calcular: n(C) + n(D) – n(C∪D)

A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6

NIVEL III

1) Calcule la suma de los elementos del conjunto:

A) 40 B) 14 C) 42 D) 21 E) 30

2) Dado el conjunto:

A) 7 B) 2 C) 9 D) 6 E)

3) Dado los conjuntos: A = {1;6;7;9} B = {7;8;9;11} Calcule cuántos elementos tiene el conjunto M donde:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4) Si: A = {2n + 1/ n∈B} B = {a2-1/ a∈N; 2 < a < 5}

Indique la suma de los elementos de A.

A) 32 B) 48 C) 42 D) 50 E) 52

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1) Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a) A U B b) A U Cc) B U Cd) B U B

2) Sean los conjuntos A={a ,b , c ,d } B={c ,d , e , f , g } y C= {b ,d , e , g } Determine:

a) A−B

b) B−A

c) C−B

d) ( A∪C )−B

e) A−(B∩C )

f) ( A∪B )−(A∩C )

3) Dado los conjuntos A y B tales que n(A) = 4, n(B) = 5 y n(A∩B=3 , determine el número de subconjuntos de A∪B

4) Dados los conjuntos:

U ={1, 2, 3, .............., 15}

A ={x/x Z, x < 6}

B ={x/x N, √3< x < √26}

C ={x/x N, x > 10}

Hallar: n(A) × n(B) × n(C)

A) 72 B) 25 C) 75 D) 81 E) 100

5) Si los conjuntos A y B son iguales, hallar: m + p

A ={7, m + 3} b ={12, p - 4}

A) 20 B) 12 C) 18 D) 15 E) 10

6) Dados los conjuntos iguales A, B y C

hallar m + t + s (m, t, s N)

A ={15, 12, 9}

B ={2m, m + 3, 15}

C ={s + 2, 12, 10 + t}

A)12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 21

7) ¿Cuántos subconjuntos tienen A?, Sí n (A) = 5

A) 16 B) 32 C) 18 D) 64 E) 25

8) Si: n (A B) = 20 n (A - B)= 12

n (B - A) = 3

hallar: n (A) + n(B)

A) 17 B) 8 C) 25 D) 30 E)15

9) En una encuesta realizada a cierto número de personas se encuentra que el número de hombres que no les gusta limpiar la casa es el triple del número de mujeres que si les gusta esta tarea. Si el número de los hombres que no les gusta limpiar es igual al número de mujeres que no les gusta limpiar. Hallar a cuántas personas se les hizo la encuesta, si a 20 personas les gusta limpiar la casa y a 10 hombres también les gusta esta tarea.

A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40

10) En una cuadrilla de 400 soldados se tiene lo siguiente: - 250 no disparan con metralleta

- 190 no disparan con fusil

- 100 no disparan estas armas

¿Cuántas personas disparan al menos una de estas armas?

A) 90 B) 150 C) 240 D) 300 E) 320

11) De un total de personas,20% cocinan, el 40% lavan y el 45% de los que cocinan también lavan. ¿Qué porcentaje no lavan ni cocinan?

A) 31% B) 49% C) 11% D) 9% E) 40%

12) Si : n(A Δ B) = 50

n(A) = 25

n (B - A) =30

hallar : n(A B)

A) 5 B) 7 C) 12 D) 19 E) 21

13) Un grupo de 63 niños dieron 3 exámenes para ser admitidos en el colegio Pitágoras y se sabe que 25 aprobaron el primer examen, 23 el segundo y 31 el tercero; 10 aprobaron el primero y el Segundo, 5 el primero y el tercero, 8 el segundo y el tercero y 4 no aprobaron examen alguno. ¿Cuántos niños fueron admitidos al colegio Pitágoras, si sólo necesitaban aprobar 2 exámenes?

A) 18 B) 19 C) 16 D) 15 E) 17

14) En una reunión donde asistieron 44 personas, se sabe que 21 personas hablan alemán; 25 hablan francés y 26 hablan castellano; 11 hablan alemán y francés ; 6 hablan alemán y castellano pero no francés; 8 hablan los 3 idiomas; 13 hablan castellano y francés . ¿Cuántos no hablan ninguno de estos tres idiomas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15) De 180 alumnos que les gustan los cursos de Aritmética; Álgebra y Física, se supo que 34 gustan Aritmética pero no de Álgebra; 18 gustan de Álgebra pero no de Física; 56 gustan de Física pero no de Aritmética. ¿A cuántos les gusta los tres cursos mencionados?

A) 92 B) 82 C) 72 D) 62 E) 64

16) De 60 estudiantes en un instituto de idiomas 20 estudian sólo inglés; 10 estudian inglés y francés; 25 estudian francés solamente. ¿Cuántos estudian otros idiomas, pero no los mencionados?

A) 7 B) 5 C) 6 D) 10 E) 12

17) En una ciudad a la cuarta parte de la población no le gusta la carne ni el pescado; a la 1/2 le gusta la carne y a los 5/12 le gusta de pescado. ¿Qué fracción de la población gusta carne y pescado?

A) 1/6 B) 5/6 C) 1/3 D) 1/12 E) 5/12

18) De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó que :60 eran mudos; 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos. De éstos últimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?

A) 22 B) 24 C) 28 D) 26 E) 30

19) De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican tenis practican fútbol; pero no todos los que practican básket practican fútbol. Solamente fútbol practican 20; tenis y fútbol pero no básket son 10; 30 tenis y básket; 10 básket y fútbol pero no tenis; 40 sólo básket y 50 otros deportes pero no los mencionados. ¿Cuántos son los componentes de dicho grupo?

A) 170 B) 180 C) 200 D) 160 E) 190

20) Ubicar la zona sombreada

M D

A) M D B) M U D C) M - D D) D - M E) M‘ D‘


MT

A) M U T B) M - T C) T - M D) M‘ - T‘ E) M T


T

P

A) P T B) P U T C) T – P D) (P - T) U (T - P) E) P - T


BA

C

A) A B C B) A B C C) A B C D) A B A E) N.A

24) Ubicar la zona sombreada A B

C

A) A B C B) A B C C) A B C D) A B C E) N.A

25) En los diagramas de Venn mostradas, sombrear las operaciones que se indican:

a)

BA

A B

U

b)

BA

C

(A B) U C

U

c)

BA

C

( A U C ) B

U

d)

BA

(A - C) B

U

C

26) Dados los conjuntos A y B, se sabe que:

n(A B) = 31

n(A - B) = 18

n(B - A) =7

Hallar n(A) y n(B)

A) 24 y10 B) 24 y 13 C) 20 y 7 D) 16 y 12 E) 15 y 12

27) 60 alumnos del 3er año efectúan sus compras de útiles escolares en una librería grande: 26 de los cuales compran libros, 25 compran cuadernos y 28 hojas; además 15 de ellos compran libros y cuadernos, 7 compran cuadernos y hojas y 6 compran libros y hojas ¿cuántos alumnos compran libros solamente?

A) 13 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16

28) Consideramos 3 conjuntos A, B, C. La intersección de los 3 tiene 5 elementos la unión de 3 tienen 50 elementos. si la unión de A y B tienen 35 elementos y se sabe que cada intersección de dos de ellos tienen 10 elementos.

¿Cuántos elementos tiene el conjunto C?

A) 15 B) 16 C) 14 D) 13 E) 1

29) Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

REFUERZA TUS HABILIDADES

1) De un salón de clase de 35 alumnos, a 24 les gusta la mazamorra, a 20 les gusta el arroz con leche, y a 4 no les gusta ni la mazamorra ni el arroz con leche. ¿A cuántos les gusta la mazamorra y el arroz con leche?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15

2) De 30 alumnos de un salón, 25 tienen el libro de Matemática y 22 tienen el libro de Inglés. Si 3 de ellos no tienen ninguno de estos libros, ¿cuántos tienen ambos libros?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 12

3) De un grupo de 320 personas, 180 usan jeans y 120 no usan zapatillas. Si 45 no usan zapatillas ¿cuántas personas usan jeans pero no usan zapatillas?

A) 65 B) 75 C) 80 D) 50

4) En un centro de idiomas están matriculados 450 alumnos. Se sabe que 180 no estudian inglés, 260 no estudian francés y la quinta parte de los matriculados lo está en inglés y francés. ¿Cuántos están matriculados en otros cursos?

A) 42 B) 60 C) 72 D) 80

5) De un grupo de 650 turistas se observó que 280 tienen planeado visitar Cusco, 220, Arequipa y el número de los que tenían planeado visitar Cusco y Arequipa es la cuarta parte de los que tienen planeado visitar otras ciudades. ¿Cuántos tienen planeado visitar solamente Cusco?

A) 230 B) 300 C) 250 D) 190

6) De 90 turistas que visitaron Cusco o Iquitos se sabe que los que visitaron ambas ciudades son la mitad de los que visitaron sólo Cusco y también son la tercera parte de los que visitaron sólo Iquitos. ¿Cuántos visitaron Cusco?

A) 36 B) 32 C) 45 D) 48

7) De 205 integrantes de un club deportivo, 110 se inscribieron en fútbol y 70 en natación. Los que se inscribieron en fútbol y natación son la mitad de los que se inscribieron en otros deportes. ¿Cuántos se inscribieron sólo en natación?

A) 25 B) 35 C) 45 D) 60

8) De 150 postulantes a las universidades de Lima, Católica y Pacífico se obtuvo la siguiente información: 35 sólo postulan a la de Lima, 45 sólo postulan a la Católica, 60 postulan a la del Pacífico. Si 20 postulan a la de Lima y a la Católica, ¿cuántos postulan a las tres universidades?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20

9) Sobre los elementos de tres conjuntos A, B y C se sabe que: 26 pertenecen a A; 31 pertenecen a B; 28 a C; 19 a los conjuntos B y C; 8 pertenecen sólo a A; 5 pertenecen a A y a B pero no a C, y 4 pertenecen a A y C pero no a B. ¿Cuántos pertenecen a B o a C, pero no a A?

A) 21 B) 22 C) 24 D) 26

10) De setenta alumnos que rindieron un examen que constaba de 3 partes se sabe que: 20 aprobaron la primera parte, 25 aprobaron la segunda parte, 21 aprobaron la tercera parte, 6 aprobaron la segunda y la tercera parte pero no la primera, 10 aprobaron sólo la primera parte, 7 aprobaron las dos primeras partes y 3 aprobaron las tres partes. ¿Cuántos desaprobaron las tres partes del examen?

A) 12 B) 17 C) 23 D) 27

11) En un salón de 35 estudiantes, 11 chicas tienen 12 años, 14 chicas no tienen 13 años, 9 chicas no tienen 12 años, 8 chicos no tienen 12 ni 13 años. ¿Cuántos chicos hay en el salón?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15

12) De un salón de 42 alumnos, 20 aprobaron aritmética; 16 aprobaron álgebra; 20 aprobaron geometría; 7 aprobaron aritmética y álgebra; 13, álgebra y geometría; 9, aritmética y geometría. Si el número de los que aprobaron los 3 cursos es la mitad del número de los que desaprobaron los 3 cursos, ¿cuántos aprobaron sólo aritmética?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

El mayor número de dos cifras diferentes, en el sistema de numeración de base 5, es: 43(5) . El mayor número de dos cifras en el mismo sistema es 44(5), ya que en este caso los dígitos no tienen que ser diferentes.Según estos ejemplos, expresa:

1) El mayor número de tres cifras diferentes, en el sistema de numeración de base 6.

2) El mayor número de tres cifras, en base 63) EL menor número de cifras, en base 64) El menor número de tres cifras diferentes, en base 6.5) EL menor número de tres cifras significativas diferentes, en base 6 (*)6) El menor número de cuatro cifras diferentes, en base 7.7) El mayor número capicúa de tres cifras, en base 8. (**)8) El menor número de tres cifras impares diferentes, en base 9.

9) El mayor número de la forma a (2a), en base 7.

10)El mayor número de la forma a (a+1), en base 4.

(*) Cifra significativa es cualquier cifra diferente de cero: (1;2;3;…..)

(**) Un número capicúa es aquel que se lee igual al derecho y al revés, por ejemplo: 5775 en base 10.

Determina el mayor valor que pueda tomar x en cada uno de los siguientes casos, su ab(n) representa un número de dos cifras en base n.

11) x2(5) 15) (2 x ) x(7 ) 19) ( x+7 )(x+3)

12)2 x(5) 16) ( x+2 )(3 x)(8) 20) ( x+4 )(3 x)

13) x (x+2)(4) 17) (2 x )(3x )12 21) ( 4 x )(x+4)

14)1 x( x+2)(4) 18) ( x2 )( x3 ) 22) ( x2 )( x4 )

(Cuando no se escribe la base se supone que es en base 10)

Convierte a base 10:

23) 23(4) 29) 1111(6)

24) 324(5) 30) 2103(4)

25) 123(4) 31) 157(8)

26) 1001(2) 32) 135(7)

27) 1110(2) 33) 245(6)

28) 3402(5) 34) 1111(2)

Convierte de la base 10, a otra base:

35) 54 a base 9 39) 6 a base 2 43) 76 a base 11




Convierte entre dos bases distintas de 10:

47) 101(2) a base 3 50) 723(8) a base 11 53) 235(6) a base 9

48) 351(6) a base 8 51) 3214(5) a base 7 54) 562(7) a base 11

49) 2001(5) a base 9 52) 1023(9) a base 12 55) αβ(12) a base 9

Calcula el valor de x, en cada caso, para que se cumpla la igualdad

56) 385 = 1xx1(6) 60) 24x(5) = 73

57) 1555 = x117(9) 61) 502x(6) = 774(12)

58) 89 = x24(5) 62) 451(x) = 3ab(7)

59) 3x(6) = 19 63) 621(x) = 4ab(8)

NÚMERO ENTEROS - REPASO

1) Entre Arturo y Manuel tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Arturo es 17 veces la que tiene Manuel, ¿Cuánto más tiene Arturo que Manuel?

A) S/. 119 B) S/. 112 C) S/. 17 D) S/. 7 E) S/. 12

2) Hace 8 años, tu edad era mayor que la de Maritza por 8 años. Si actualmente tu edad es el triple que la edad de Maritza, ¿qué edad tendrás el próximo año?

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