BAB I LOGIKA MATEMATIKA Standar KompetensiKompetensi Dasar 4.Menggunakanlogika matematikadalampemecahan masalahyangberkaitan denganpernyataanmajemuk dan pernytaan berkuantor 4.1Memahamipernyataandalammatematika dan ingkaran atau negasinya. 4.2menentukannilaikebenarandarisuatu pernyataanmajemukdanpernyataan berkuantor 4.3 merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataanmajemukataupernyataan berkuantor yang dibenarkan 4.4menggunakanprinsiplogikamatematika yangberkaitandenganpernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikankesimpulandanpemecahan masalah. RINGKASAN MATERI Dalam kehidupan sehari hari kita selalu dihadapkandengan dua pilihan yaitu benar dan salah. Nah ... Jika Soni mencuri maka ia dihukum, benarkah pernyataan tersebut ? IPERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYA A.Pengertian Pernyataan Pernyataanadalahsuatukalimatyangbernilaibenaratausalahtetapitidak sekaligus benar dan salah. Contoh PernyataanBukan pernyataan1.2 bilangan prima ( benar ) 2.Parabolay=x2+1, terbuka ke bawah ( salah ) 1.apakah 2 bilangan prima ? 2.selamat , kamu lulus B.Kalimatterbuka,peubah/variabel,KonstantadanPenyelesaianKalimat Terbuka. Kalimatterbukaadalahsuatukalimatyangmemuatpeubah/variabelsehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Contoh Kalimat terbuka x2 x 2 = 0 , x eR X disebut variabel - 2 disebut konstanta kalimat terbuka di atas benar untuk nilai x = .... x2 x 2 = 0 ( x 2 )( x + 1 ) = 0 x = 2 atau x = - 1jadi kalimat di atas benar untuk x = 2 atau x = - 1x = 2 dan x = - 1 disebut penyelesaian kalimat terbuka x2 x 2 = 0, x eR C.Himpunan Penyelesaian suatu kalimat terbuka Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka x2 3x 10 = 0 , x eR Jawab X2 3x 10 = 0 ( x 5 ) ( x + 2 ) = 0 x = 5 atau x = - 2jadi himpunan penyelesaian{ } 5 , 2 D.Negasi atau Ingkaran suatu pernyataan. Diketahuisuatupernyataanpmakanegasinyadisimbolkan p atau~p dibaca non p atau bukan p atau tidak benar bahwa p Untuk : jika p : 2 adalah bilangan prima makap: 2 adalah bukan bilangan prima atau tidak benar bahwa 2 adalah bilangan prima. Jiak p bernilai benar makapbernilai salah atau sebaliknya. IIKONJUNGSI , DISJUNGSI , IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI. A.Konjungsi. KongjungsiadalahoperasidalamlogikadengantandahubungDANyang disimbulkan . Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataanpQp.q B B S S B S B S B S S S Cara mengingat Jikasalahsatupernyataanbernilaisalahmakakonjungsidariduapernyataanitu bernilai salah B.Disjungsi. Disjungsiadalahoperasidalamlogikadengantandahubungatauyang disimbolkan v Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataanpQpvq B B S S B S B S B B B S Cara mengingat Jika salah satu pernyataan bernilai benar maka disjungsidari dua pernyataan itu bernilai benar. Menentukan nilai x agar kalimat p(x) . q dan p(x) v q bernilai benar atau salah Contoh 1.tentukannilaiyagarpernyataanberikutbernilaibenar:duabukan bilangan prima atau 2log y = 3 jawab Agar bernilai benar 2log y = 3 harus benar , 2log y = 3 benar untuky = 23 = 8 2.Tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai salah : sin2o + cos2o = 1 dan cos y = 0,5 , y di kuadaran IV Jawab Agarbernilaisalahmakacosy=0,5harusbernilaisalah,makacosy= 0,5 yang benar y = 3000 Jadi agar salah maka y 3000 C.Implikasi ( pernyataan bersyarat ). Diketahuiduapernyataanpdanq,implikasidaripdanqdisimbolkandengan p q atau p q ( p disebut sebab / alasan dan q disebut kesimpulan ). Simbol / notasi p q dibaca1.jika p maka q 2.q jika p 3.p hanya jika q4.p syarat cukup bagi q 5.q syarat perlu untuk p Tabel kebenaran untuk implikasi p q PQp q B B S S B S B S B S B B Contoh 1.Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : 2.Tentukan nilai x yang menyebabkan implikasi jika 2x + 1 = x 2 maka 3x + 2 < 2x , x eR bernilai benar Jawab 3x + 2 < 2x 3x 2x < - 2 x < - 2catatan jika p dan q masing masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p(x) q(x) bernilai benar jika P c Q Implikasi Logis Padapernyataanmajemukp(x)q(x)jikapadasetiappengantiannilaix yangmenjadikankalimatp(x)benarakanmenjadikankalimatq(x)benarpula, maka pernyataan majemuk p(x) q(x) disebut implikasi logis. Contoh Jika x = 2 maka x 2 = 0 D.Biimplikasi ( Implikasi dwiarah ) Diketahui pernyataan p dan q maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan pq atau pq yang dibaca : 1.p jika dan hanya jika q 2.jika p maka q dan jika q maka pdisimbolkan (pq) .(q p) 3.p syarat perlu dan cukup bagi q 4.q syarat perlu dan cukup bagi p Tabel kebenaran untuk p q adalahPQpq B B S S B S B S B S S B Biimplikasi dalam bentukp(x) q(x) Biimplikasip(x)q(x)akanbernilaibenarjikahimpunankalimatterbukap(x) dan q(x) adalah sama. Contoh Jika x = 1 maka 3x + 5 = 8 dan jika 3x + 5 = 8 maka x = 1 Biimplikasi logis Biimplikasi logis p(x) q(x) disebut biimplikasi logis jika nilai x sehingga p(x) benar maka q(x) juga benar dan sebaliknya Contoh x > 3 jika dan hanya jika 2x + 1 > 7 IIILEMBAR KEGIATAN SISWA ( PORTO FOLIO ). A.Lengkapilah titik titik berikut! 1.Tentukan nilai x agar pernyataan beikut benar ! a) 3log x = 4 atau 919 . 32 2 = b)0 cos2 =t dan 2 sin x = 1 , 0 < x < 900 pq~p~p . q~p v q B B S S B S B S S ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... pq~qp ~ qp ~ q B B S S ... ... ... ... S ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... pq~q~q . p~q p(~q.p)~q B B S S B S B S S S pq~p~q~pv q~p.~q(~pvq)(~p.~q) B B S S B S B S S ... ... ... c)jika xxcos1sec =maka0 22> x xd)36 kelipatan dari 3 jika dan hanya jika06 21s+xx e)sin2x cos2x = - 1 syarat prlu untuk tan x = 1 , 1800 < x < 2700 jawab a)karena 919 . 32 2 =(salah),maka 3logx=4harusbenar.Agarbenar ( ) ...... ..........= = xb)Agar benar 2 sin x = 1 ( harus benar ). Sin x =..... x = ............ c)Karena xxcos1sec =( benar ) maka x2 x 2 > 0 harus benar Agar benar x2 x 2 > 0 ( x..........)( x ...........) > 0 jadi...................... d)Karena 36 kelipatan dari 3 benar maka06 21s+xx harus ........... Agar .................. ,06 21s+xx Harga nol : x = ............ atau x = ............ Jadi............ e)Karena sin2x cos2x = - 1 adalah ........... , tan x = 1 harus ........... Agar. Tan x = 1 makax 2.Lengkapilah tabel berikut a)

b)

c)

d) pqr~qpv~qq.r(pv~q)(q.r) B B B B S S S S B S S B e) 3.Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut a) 2log 8 = 3 atau 3 bilangan komposit b)jika sin2x + cos2 x = 1 maka sin 2 t = - 1c)8x 1 = 4 , x = 5/3 dan3 4 48 =d)log a + log b = log ab jika dan hanya jika ( 2log 3 )( 3log2 ) = 1 e)5 bilangan prima syarat cukup bagi 5 bilangan ganjil. Jawab a)p v q( B ) jika salah satu benar p : 2log 8 = 2log 2...= .....jadi...... b)p : sin2 x + cos2 x = 1 adalah pernyataan.. q : sin 2t = sin ( .)o = pernyataan .. jadi p qadalah .. c)p :( ) ..... ..... .... 2 2 2 2 4 8.... .... .... ....13 1= = = = =xxx ( ) q :..... ..... ) (...)(.... 48 = =( . ) jadi pernyataan p . q = d)p : log a + log b = log ab( ........) q :(2log 3 )( 3log 2 ) = ....log ........ = ...........( ..... ) jadi pq ( ......... ) e)p : 5 bilangan prima ( ......) q : 5 bilangan ganjil ( ...... ) jadi p syarat cukup bagi q ( ...... ) B.Tugas 1.Buatlah lima contoh kalimat yang merupakan pernyataan dan tiga contoh kalimat yang bukan pernyataan. 2.Buatlahmasingmasingsebuahkalimatmajemukyangmenggunakanoperasi kongjungsi,disjungsi,implikasidanbiimplikasikemudiantentukannilai kebenarannya! UJI MATERI 1 ABerilah tanda silang ( x ) pada huruf a, b , c , d atau e di depan jawaban yang tepat. 1Kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali ... a)Matahari terbit dari barat b)Bunga melati berwarna putih c)Log 10 = 2 d)Kamu sangat hebat. e)Ngawi berada di jawa 2Diketahuipernyataanp,q,rdenganp(B),q(S)danr(B),pernyataanmajemuk berikut benar kecuali ... a)( p q ) v rb)( ~ p q ) . r c)( p r ) q pq~ p~p v q B B S S B S B S d)( ~ p v q ) r e)( ~ r v p ) ~ q 3diberikan empat pernyataan p, q , r dan s jika pernyataan pv q , q r dan r s adalah salah maka pernyataan berikut benar kecuali ... a)~s b)~p c)~p .~ q d)p q e)~ s v ~ p 4agar pernyataan berikut bernilai salah jika 2log a + 2log b = 2 log ab maka x2 + 3x 4 0 nilai x adalah ... a) 4 x 1 b)x - 4 atau x > 1 c)x < - 4 atau x > 1 d) 4 < x < 1 e)x < - 1 atau x > 4 5jika p(B), ~ q (B) dan ~ r (S) maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah . a)( p . q ) v r b)( p . ~ qv c)p . ( q . r ) d)p v ( q . r ) e)p v ( ~ q . ~r ) 6 Nilai kebenaran dari kolom ke 4 adalah .... a.BBSB b.BBBS c.BSBB d.SBSB e.SBBB 7Diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah , maka : 1.~ p q 2.~ p v ~ q 3.q v p 4.~ q . p Pernyataan di atas yang benar adalah... a)1,2 dan 3 b)1 dan 3 c)2 dan 4 d)4 saja e)semua benar 8Agar pernyataan berikut bernilai benar 2 bilangan komposit atau x2 2x 3 = 0 maka nilai x =.... a)3 atau 2b) 3 atau 2 c)3 atau 2 d)1 atau 2e)3 atau 19jikapernyataanpbenar,qsalahdansbenar,makapernyataanberikutyang bernilai benar adalah ... pq~ qp ~ q B B S S B S B S pqp.qp (p.q) B B S S B S B S a)( p . q ) s b)(~ p v q ) . s c)( p v q ) . s d)p ( q v ~ s ) e)( q . s ) v ~ p 10 Negasi dari pernyataan semua siswa SMA tidak suka belajar adalah ... a)semua siswa SMA suka belajar b)ada siswa SMA tidak suka belajar c)Tidak semua siswa SMA suka belajar d)Ada siswa SMA suka belajar e)Tidak ada siswa SMA suka belajar 11Jika pernyataan p(B) , q(B) dan r(S) maka pernyataan(1) ( p . q ) r (2) ( p v ~q ) ~ r (3) (r . p ) ~ q(4) ( q r ) . p yang bernilai benar adalah ... a)1 , 2 dan 3 b)1 dan 3 c)2 dan 4 d)4 sajae)semua benar 12jawaban kolom terakhir dari tabel dibawah ini adalah ... a)SBSB b)SBBS c)SBSS d)BBBB e)SBBB 13Agar pernyataan berikut 1 sin23 =t dan 3log ( x + 5 ) = 2 bernilai benar, nilai x = ... a)9 b)6 c)4 d)3 e)2 14 Nilai kebenaran pada kolom terakhir adalah .... a)SSBB b)BSSS c)SSBS d)SBSB pq~ p. B B S S B S B S B B B S pq~ p~ p v q ( ~ p v q ) p B B S S ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... pq~qp ~ qq .( p ~ q ) B B S S ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... pqrq rp ( q r ) B B B B S S S S ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .... e)SBBB 15Kalimat untuk kolom terakhir pada tabel di bawah adalah .... a)p q b)~ p q c)~ p ~ q d)~ q p e)q ~ pB. Jawablah soal soal berikut dengan benar! 1Diketahuipernyataanp(B),~q(B)danr(S)tentukannilaikebenarandari pernyataan majemuk berikut : a)( p . q ) ~ r b)~ p ( q v r ) c)~r ( p q ) d)( q r ) . p e)( ~ q . p )( r v q ) f)( p . ~ q ) . r 2Diketahui ketiga pernyataan berikut bernilai benar p ~ q , q v r dan r s. Jika p bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran daria)q b)r c)s d)~ r . s 3Tentukan nilai x agar pernyataan berikut benar ! a) 2log 8 = 3 dan xlog 5 = 1 b)jika 25 bilangan kuadrat maka 2x2 x 1 = 0 c)6 adalah faktor dari 86 atau 2 sin x = 1 , 0 x t d)0 sin2 =t jika dan hanya jika 2log 32 = x e)jika log 100 = 2 maka 2log 2log x = 2 4Lengkapilah tabel berikut : a) b) c) pqrqrp. ( q r ) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S ... ... ... ... ... ... .. ... pq~ p~ qq v ~ pp . ~ q (qv~p)(p.~q) B B S S d) e)

5Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ! a)Sin t = 0 atau sin2 x cos2 x = 1 b)Jika 5 bilangan komposit maka 5 bilangan ganjil c)15 kelipatan 5 jika dan hanya jika 15 bilangan prima d)1 cos2 =t dan log 10 = 1 e)jika log 1 = 0 maka log 0,1 IIIPERNYATAAN MAJEMUK. A.Pengertian Pernyataanmajemukadalahyangdibentukdaribeberapapernyataantunggal( komponen ) yang dipakai dengan menggunakan kata hubung logika. Contoh~ p q ( p v q ) r B.Pernyataan majemuk yang ekuivalen. Duapernyataanmajemukdikatakanekuivalenjikauntuksemuakemungkinan nilaikebenarankomponenkomponenselalumempunyainilaikebenaranyang sama. Contoh Perhatikan tabel berikut ! pq~ p~ p v qp q B B S S B S B S S S B B B S B B B S B B Kolom 3 dan 4 bernilai sama sehingga ( ~ pv q ) ekuivalen dengan p q yang ditulis ( ~ p v q ) p q Sifat sifat operasi dalam logika 1. Komutatif : p v q q v p p . q q . p 2. Assosiatif : p v ( q v r ) ( p v q ) v r p .( q . r ) ( p . q ) . r 3. Distributif: p . ( q v r ) ( p . q ) v ( p . r ) p v( q . r ) ( p v q ) . ( p v r ) 4. De Morgan: ~ ( p v q ) ~ p . ~ q ~ ( p . q ) ~ p v ~ q 5. Ingkaran rangkap : ~ ( ~ p ) p 6. Idempoten : p v p p p . p p 7. Identitas: p v B B p v S pp . B p p . S S 8. Kesetaraan: ( ~ p v q ) p q p q ( p q ).( q p ) 9. Komplemen : p v ~ p B p . ~ p S 10. Tautologi Sebuahkalimatmajemukyangselalubernilaibenaruntuksemua kemungkinan nilai kebenaranContoh ( p . q ) pselalu bernilai B11. Kontradiksi Sebuah kalimat yang benilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran misalnya~ p . ~ ( p q ) C.Ingkaran / negasi Konjungsi , Disjungsi , Implikasi dan Biimplikasi. 1.~ ( p v q ) ~ p . ~ q 2.~ ( p . q ) ~ p v ~ q 3.~ ( p q ) p . ~ q 4.~ ( p q ) ( p . ~ q )v( q . ~ p ) IVHUBUNGAN KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI. Jika diketahui implikasi p qmaka : 1.Konvers : q p 2.Invers: ~ p ~ q 3.Kontraposisi: ~ q ~ p pqp qq p ~ p ~ q ~ q ~ p B B S S B S B S B S B B B B S B B B S B B S B B Dari di atas disimpulkan bahwap q ~ q ~ p ~ p ~ q q p contoh 1.tentukannegasidariinversimplikasijikaibupergikepasarmakaadik menangis jawab invers Jika ibu tidak pergi ke pasar maka adik menangis Negasinya Ibu tidak pergi ke pasar dan adik tidak menangis 2.Tentukan kontraposisi dari konvers implikasi p ( q v ~ r ) JawabKonvers ( q v ~ r ) p Kontraposisi dari konversnya~ p ( ~ q . r ) Ternyatakontraposisidarikonversimplikasisamadenganinversdariimplikasi tersebut VPERNYATAAN BERKUANTOR. A.Kuantor universal ( umum ) Kata yang digunakan : semua , setiap , seluruhnyaSimbol yang dipakai Ax atau x dibaca setiap x Contoh semua siswa SMA berseragam OSIS B.Kuantor eksistensial ( khusus ) Kata yang digunakan : ada , beberapa , sebagian , terdapat Simbol yang dipakai Ex atau -x dibaca ada x Contoh ada bilangan prima yang genap C.Negasi pernyataan berkuantor. 1.Diketahuipernyataanp:xP(x)dibacasetiapxberlakusifatP(x) maka ~ p : Ex ~P(x) dibaca ada x yang tidak berlaku sifat P(x) 2.Diketahui pernyataan q : Ex Q(x) dibaca ada x berlaku sifat Q(x) maka ~ q : Ax ~Q(x) dibaca setiap x berlaku sifat bukan Q(x) Contoh p : semua warga menginginkan pemimpin yang tidak korupsi ~ p : ada warga yang menginginkan pemimpin yang korupsi q : Beberapa bilangan ganjil habis dibagi 3 ~ q : semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 3 LEMBAR PORTOPOLIO 1.Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi a)Jika bulan bersinar terang maka langit cerah sekali b)( p . q ) r c)5 , 0 cos23=t atau nilai maksimum y = cos ax adalah 1 d)~ p v qjawab a)konversinverskontraposisi b)konversr ( p . q ) invers kontraposisi c)diubah dulu menjadi : jika5 , 0 cos23=t maka...... konvers invers kontraposisi d)diubah dulu menjadi : ~ p v q .... ....... konvers invers kontraposisi 2.Tentukan nilai dari pernyataan majemuk berikut ! a)q ~ p b)~ q ( ~ q v p ) c)( p . q ) ~ p d)( p v ~ r ) q jawab a)karena ada 2 pernyataan maka tabelnya terdiri 4 baris pq~ pq ~ p pq~ q v p~ q ( ~ q v p ) B B B S pq~ q v p~ q ( ~ q v p ) B S pqr B B B B S S S S B B ... .. B .. .. S B S .. .. .. .. .. .. pqp v qq ( p v q ) B B S S B B S S B S B S b)

c)

d)Karena ada 3 pernyataan maka tabelnya terdiri 8 baris 3.Tunjukkanpernyataanmajemukberikut,apakahmerupakantautologi, kontradiksi atau bukan keduanya. a)q ( p v q ) b)(( p v q ) . ~ p ) qc)( p v q ) p d)( p v q ) .( ~ p q ) jawab a)q ( p v q ) cara 1 dengan sifat sifat operasi logika q ( p v q ) ~ p v ( p v q ) ( ~ p v p ) v ... Bv ... .... cara 2dengan tabel kebenaran Karena kolom terakhir bernilai........... semua maka tautologi b)(( p v q ) . ~ p ) q pq~ pp v q(p v q ) .~ p(( p v q ) . ~ p ) q B B S S pqp vq ( p v q ) p B B S S pq( ~ p q )( p v q ) .( ~ p q ) B B S S dengan tabel kebenaran

c)( p v q ) p dengan tabel kebenaran d)( p v q ) .( ~ p q ) dengan tabel kebenaran 4.Tentukan negasi dari pernyataan a)Jika semua bilangan prima ganjil maka 2 bukan bilangan prima b)Gajah tidak punya taring dan kucing mengeong c)Bulan bersinar di malam hari atau 4 faktor dari 24 d)( ~ p . q ) r e)p q jawab a)Negasi dari p q adalah ... Jadi negasi pernyataan di atas adalah .... b)~ ( p . q ) = .... jadi negasinya ... c)~ ( p v q ) ... jadi negasinyad)~ (( ~ p . q ) r ) = ...... e)~ (p q ) = ..... UJI MATERI 2 A.Berilah tanda silang pada huruf a , b , c , d atau e pada jawaban yang benar ! 1.Negasi dari pernyataan p . ~ q adalah.. a)p v q b)~ p v ~ q c)~ p . q d)p ~qe)p q 2.Ingkaran dari pernyataan semua siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos a)Tidak ada siswa SMA 1 teladan suka membolos b)Ada siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos c)Semua siswa SMA 1 teladan suka membolos d)Ada siswa SMA 1 teladan suka membolos e)Semua siswa SMA 1 teladan rajin belajar 3.invers dari konvers implikasi ( ~ p v q ) r adalah ... a)( p .~q ) ~ r b)r ( ~ p v q ) c)~ r ( ~ p v ~ q ) d)~ r ( p . ~ q ) e)~ r ( ~ p . ~ q ) 4.Bentuk p ( qv ~ p ) ekuivalen dengan : 1.( ~ q . p ) ~ p 2.~ p v ( q v ~ p ) 3.~ p v q 4.~ p ( ~ q . p ) pernyataan yang benar adalah ... a)1 , 2 dan 3 b)1 dan 3 c)2 dan 4 d)4e)semua salah 5.Negasi kontraposisi implikasi : jika rina sakit maka semua orang susah adalah ... a)Jika rina tidak sakit maka semua orang tidak susah b)Jika rina sakit maka ada orang tidak susah c)Ada orang susah dan rina tidak sakit d)Ada orang tidak susah dan rina sakit e)Semua orang tidak susah atau rina sakit 6.konvers dari implikasi ( ~ p v q ) ~q adalah .. a)( p .`~ q ) q b)( p .`~ q ) ~ q c)~(~ p v q ) v q d)~ p v q e)p v q 7.pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ... a)~ ( p . ~q ) ~ p v q b)~( p ~ q )p . ~ q c)( pv q). ~ q p . ~ q d)( p . ~ q ) v p p . ( p v ~ q) e)~p q p v q 8.pernyataan majemuk berikut yang merupakan kontradiksi adalah ... a)( p . q ) ( p q )b)p v ( ~ p q ) c)( p q ) . p d)q . ( p . ~ q ) e)( p v ~ q ) p 9.negasi dari invers implikasi ~ p q adalah ... a)~ p . ~ qb)~ p . qc)~ p v qd)p v q e)p . q 10. NegasidaripernyataanjikaNafilatidakrajinbelajarmakasemuatemannya tidak senang adalah .... a)Jika nafila belajar maka semua temannya senang b)Jika nafila tidak rajin belajar maka ada temannya senang c)Nafila rajin belajar dan ada temannya senang d)Nafila tidak rajin belajar dan ada temannya senang e)Nafila tidak rajin belajar atau ada temannya senang 11. pernyataan ( p q ) v ( ~ q . p ) memiliki nilai kebenaran yang sama dengan ... a)BBSS b)BBBS c)SSBB d)Tautologi e)Kontradiksi 12. invers dari ( p v ~ q ) ~ p adalah ... a)( p v ~ q ) p b)( p . ~ q ) p c)~ p v q d)p . ~ qe)p v ~ q 13. negasi dari ~ p ( ~ q v r ) adalah ... a)p ( q . ~ r ) b)p . ( q . ~ r ) c)~ p . ( q . ~ r ) d)~ p v ( q . ~ r ) e)p v ( ~ q . r ) 14. diketahui tiga pernyataan berikut bernilai benarp . q , q ~ r dan ~ r s. Jika nilai kebenaran p benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ... a)r . s b)p r c)r p d)r v ~ q e)q r 15. konvers dari pernyaaan p v q adalah ... a)~ p v qb)p qc)~ p qd)q ~ p e)~ q ~ p 16. pernyataan berikut bernilai benar kecuali ... a)~ ( p . q ) ~ p v ~ qb)( p v q ) . ~ q p . ~ qc)~ ( p v ~ q ) ~ p . ~ q d)~ ( p q ) p . ~ q e)~ ( p . ~ q ) p q17. jika pernyataan p(B ) dan p . ~ q ( S ) maka pernyataan berikut : 1.p q2.~ p v ~q 3.~ p ~ q 4.( p . q ) ~ p yang benar adalah ... a)1 , 2 , 3 b)1 , 3c)2 , 4d)4 e)semua benar 18. Pernyataanp ( ~ p . q ) ekuivalen dengan... a)~ p . ( ~ p . q ) b)p . ( p . ~ q ) c)~ p v( ~ p v q) d)~ p . ( ~ p v q ) e)p . ( ~ p v q ) 19. Pernytaan berikut selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran kecuali ... a)P v ~ p b)~ ( p . ~ p ) c)( p . q ) p d)~ p . ~ ( p q ) e)( p . ~ q ) ~ q20. NegasidaripernyataanjikaKhurinpandaimenyanyimakasemuaorang senang adalah ... a)Jika khurin tidak pandai menyanyi maka semua orang tidak senang b)Jika khurin tidak pandai menyanyi maka ada orang yang senang c)Jika semua orang tidak senang maka khusin pandai menyanyi d)Khurin pandai menyanyi dan ada orang tidak senang e)Khurin tidak pandai menyanyi dan semua orang senang B.Jawablah soal berikut dengan benar ! 1.Tentukan konvers , invers dan kontraposisi daria)( p . q ) ~ r b)~ p v qc)jika semua siswa naik kelas maka ada guru yang tidak senang d)Harminingsih suka menyanyi atau semua orang senang 2.Manakahyangmerupakantautologi,kontradiksiataubukankeduanyadari kalimat majemuk berikut ? a)( ~ p q ) v ~ p b)( p . q ) . ( ~ p q ) c)( p . ~ q ) qd)p ( ~ q . p ) e)( p q ) v ~ qf)( p . ~ q ) v ( q . ~ p ) g)~ p . ~ ( p q ) 3.Tentukan negasi dariinvers implikasi berikut : a)Jika 4 + 3 > 5 maka semua bilangan prima adalah ganjil b)( p . ~ q ) ~ p c)Taufik menang lomba jika ia bersemangat tinggi 4.Buktikan ekuivalen berikut ! a)( p . q ) r ( p r ) v ( q r ) b)p ( q r ) ( p . q ) rc)( p q ) v ( p r ) p ( ~ q r ) d)( p . ~ q ) ~ p p q e)p ~ q ( p ~ q ) . ( q v p ) 5.tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut : a)( ~ p v q ) ( p . q ) b)p ( ~ q v p ) c)( ~ p . q ) r d)( p v ~ q ) ( ~ r . q ) VIPENARIKAN KESIMPULAN. Penarikankesimpulandaisuatuargumendidasarkandaribeberapapernyataanyang benar(disebutpremis)sehinggadidapatkansuatukesimpulan(konklusi)yang benar.Suatuargumendikatakansah(valid)jikadapatdibuktikankonjungsidaripremispremisnya adalah benar atau merupakan sebuah tautologi. Carasederhanauntukmembukikansuatuargumenitusah(valid)atautidakadalah dengan bantuan tabel kebenaran Contoh Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut validLuthfi tidak rajin belajar atau ia naik kelas Luthfi rajin belajar Kesimpulan luthfi naik kelas Jawab Misal p = luthfi rajin belajar q = luthfi naik kelas sehingga kalimat di atas dapat disimbolkanpremis 1 : ~ p v q( B )premis 2 : p( B ) konklusi : q ( B ) Perhatikan tabel kebenaran ( ( ~ p v q ) . p ) q berikut ! pq~ p( ~ p v q )( ~ p v q ) . p( ( ~ p v q ) . p ) q B B S S B S B S S S B B B S B B B S S S B B B B Dari tabel terlihat bahwa ( (~ p v q ). p ) q merupakan tautologijadi kesimpulan dari di atas valid Berbagai pola penarikan kesimpulan AModus ponen Premis 1: p q ( B ) Premis 2 : p ( B ) Konklusi: q ( B ) BModus tollens. Premis 1: p q ( B ) Premis 2 : ~ q ( B ) Konklusi: ~ p( B ) CSilogisma. Premis 1: p q ( B ) Premis 2 : q r ( B ) Konklusi: p r ( B ) DSilogisme disjungtif Premis 1: p v q ( B ) Premis 2 : ~ q ( B ) Konklusi: p ( B ) EKombinasi dua argumen modus ponens ( dilema konstruktif ). Premis 1: (pq).(rs)( B ) Premis 2 : p v r( B ) Konklusi: q v s( B ) FKombinasi dua argumen modus tollens ( dilema destruktif ). Premis 1: (pq).(rs)( B ) Premis 2 : ~ q v ~ s ( B ) Konklusi: ~ p v ~ r( B ) GKonjungsi. Premis 1: p( B ) Premis 2 : q ( B ) Konklusi: p . q( B ) HAddition ( penambahan ) Premis 1 : p( B ) pq~ p~p . qp qq((~p.q).(pq))q B B S S B S B S S S B B S S B S B S B B B S B S B B B B Konklusi : p v q( B ) Catatan Untukmembuktikansuatuargumendaribeberapapremis,bentuklahkepola-pola penarikan kesimpulan diatas, jika ternyata sulit gunakan tabel kebenaran Contoh Apakah penarikan kesimpulan berikut valid ? Premis 1: ~ p . q ( B ) Premis 2: p q ( B ) Konklusi : q ( B ) Bukti dengan tabel Pada tabel diatas pada kolom terakhir menunjukkan tautologi karena nilai kebenaran B semua sehingga argumen valid VII BUKTI LANGSUNG DAN TAK LANGSUNG. Sebuahrumus/dalil/teoremadapatdibuktikankebenarannyadenganmengambil kesimpulanyangdidasarkanpadapernyataanpernyataanyangbenar(misalnya definisi , aksioma atau sifat ) dan dari dalil dalil lain yang telah dibuktikan benar. ABukti langsung. Carapenarikankesimpulandengansilogisma,modusponen,modustollendan lain lain seperti di atas merupakan contoh contoh bukti langsung Contoh Buktikan bahwa untuk semua a dan b e R maka berlaku ( a b )2 = a2 2ab + b2

Jawab ( a b )2 = ( a b )( a b ) ( definisi perpangkatan ) = a(a -b) b( a b )( distributif perkalian ) = a2 ab ba + b2 ( distributif perkalian ) = a2 ab ab + b2( komutatif pekalian ) = a2 2ab + b2( definisi penjumlahan ) BBukti tak langsung. Jikaakanmembuktikankebenaransebuahpernyataantunggalpmakadilakukan dengancarakontradiksiyaitudenganmembuktikan~psalah.Karena~psalah maka p haruslah benar. Contoh Dengan bukti tak langsung buktikan kebenarannya : 1. 3adalah bilangan irrasional jawab misal p :3adalah bilangan irasional ~ p:3bukan bilangan irasional ~ p bernilai salah jadi pastilah p benar 2.jika n genap maka n2 genap n e bilangan bulat. Jawab Misal p : n genap q : n2 genap jadi p q ( implikasi ) akan dibuktikan kontraposisinya ~ q ~ p benar yaitu jika n2 bukan bilangan genap maka n bukan bilangan genap jelas bahwa ~ q ~ p benar jadi p q benarVIIIBUKTI DALAM MATEMATIKA DENGAN INDUKSI MATEMATIKA 1.pengertian induksi matematika. Induksimatematikaadalahprosespembuktianteorema/pernyataandarikasus-kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli. 2.Langkah langkah pembuktian dengan induksi matematika a)Dibuktikan apakah benar teorema tersebut berlaku untuk n = 1 ( bilangan asli terkecil ) pada kasus tertentu pengambilan n tidak harus 1 b)Dianggap teorema tersebut benar untuk n = k , k e A c)Dibuktikanapakahteorematersebutbenaruntukn=k+1jikabenarmaka disimpulkan teorema tersebut berlaku untuk semua nilai n. Contoh DenganinduksimatematikabuktikanbahwauntukneAberlaku2+4+6+..+ 2n = n2 + n Jawab -untuk n = 1 ruas kiri 2n = 2.1 = 2 ruas kanan n2 + n = 1 + 1 = 2 jadi benar -untuk n = k dianggap benar, sehingga berlaku 2 + 4 + 6 + ...+ 2k = k2 +k -akan dibuktikan apakah benar untuk n = k + 1 2 + 4 + 6 + ....+ 2k + 2 ( k + 1 ) = k2 + k + 2 ( k + 1 ) = k2 + k + 2k + 2 = k2 + 3k + 2 = k2 + 2k + 1 + k + 1 = ( k + 1 )2 + ( k + 1 ) jadi terbukti benar untuk 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 ( k+1 ) = ( k + 1)2 + ( k+ 1 ) LEMBAR PORTOFOLIO Aisilah titik titik di bawah dengan jawaban yang benar! 1Dari premis-premis berikut, tentukan kesimpulannya a)p ~ q ( B ) q ( B ) ..... b)~ p v q .......... kesimpulan ................ ~ r ~ q .......... ................ p p............................... ................ c)( p v q ) r .......... kesimpulan............ ~ s ~ r .......... ............ sv t .......... ............. 2denganinduksimatematikabuktikanbahwayangberikutberlakuuntuksemuax bilangan asli a)3 + 6 + 9 + 12 + .........+ 3n = n (3 + 3n ) b)34n 1 habis dibagi 80 c)2n > n jawab a)3 + 6 + 9 + ....+ 3n = n ( 3 + 3n ) * untuk n = 1 ruas kiri3n = 3 . 1 = 3 ruas kanan n ( 3 + 3n ) = ( 3 + ........) = ........ jadi benar* dianggap benar untuk n = k jadi 3 + 6 + 9 + ..........+ ........= k ( ........... ) * apakah benar untuk n = k + 1 3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) = ( k + 1 )(....... + .........) ruas kiri 3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) k (.......... + ...........) + 3 ( k+1 ) ................................................... ................................................... ................................................... = ruas kanan b)34n 1 habis dibagi 80 -untuk n = 1 maka 34 1 = 80 habis dibagi 80 -dianggap benar untuk n = k jadi 34k 1 habis ............... -akan ditunjukkan apakah benar untuk n = k + 1 34( k + 1 ) 1 apakah habis dibagi 80 ? 3 ..... 1 = ( 3 ...... - 1 ) - ........... ......................= ............................ jadi................ c)2n > n -untuk n = 1-dianggap benar untuk n = k jadi 2k > k-apakah benar untuk n = k + 1 2 k + 1 > .......... -bukti2k + 1 = 2 .... 2..... > 2kkarena 2k > k2.... 2.... > k + k > k + 1 karena k > 1 jadi................ 3Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut : a)~ q ~ p( B )b) p q( B )c) p v q ( B )~ q r ( B ) q( B )~ p( B ) p r ( B ) p ( B )~ q( B ) jawab a.~ q ~ p p ..... silogisme ~ q v r .... ..... sehinggap r( B ) b.dengan tabelpqp q( p q ) . qp q . p B B S S BB b)p v q ( B )~ p ( B ) ~ q ( B ) akan dibuktikan apakah ( p v q ). ( ~ p ) ~ qmerupakan tautologi ( p v q ) . ~ p ~q ( p . ~ p ) v ( q ....... ) ~ q............... v ( q . ........ ) ~ q .............................. ~ q~ ( ....................... ) v ~ q ............................. v ~ q .......................................... jadi............................. UJI MATERI3 ABerilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b , c , d atau e di depan jawaban yang benar! 1Diketahui 3 premis seperti berikut1)p q ( B ) 2)~ q v r( B ) 3)~ r( B ) kesipulan dari 3 premis di atas adalah ... a)p b)p ~ r c)q d)~ p e)~ q 2Diketahuipremispremisjikaamerikamarahmakaduniageger,ternyata amerika marah maka kesimpulan yang dapat diambil adalah .. a)Dunia marah b)Dunia tidak geger c)Jika dunia geger maka amerika marah d)Dunia geger e)Dunia tidak marah 3Argumen berikut yang tidak sah adalah ... a)p q pqb)~ p v q ~ p~ pc)p v q qpd)p q q ~ r p ~ r e)p v q q r~ p r 4jika premis 1 : ( p q ) . ( r s ) ( B ) jika premis 2 : p v r( B ) maka konklusinya adalah .... a)p v qb)p v r c)q v s d)q . s e)q v r 5Diketahui premis 1 : ~ p q( B ) Premis2 : ~ p v r( B ) Premis3 : ~ ( ~ s v r ) ( B ) Konklusinya adalah a)~ sb)~ q ~ s c)q s d)q ~ s e)~ q s 6diketahui premis premis berikut : premis 1 : ( p q ) . ( r s )( B ) premis 2:p v r ( B ) premis 3:~ q ( B ) kesimpulan dari ketiga premis di atas adalah ... a)p q b)~ pc)~ sd)s e)p ~ s 7diketahui penarikan kesimpulan : premis 1: ~ p v ( q . r ) premis 2: q v ~ rkonklusi :p akan benar jika , jika 1.q diganti ~ q pada premis 2 2.~ r diganti r pada premis 2 3.p diganti ~ p pada konklusi 4.~ diganti p pada premis 1 jawaban yang tepat adalah ... a.1 , 2 , 3b.1 , 3 c.2 , 4d.4 e.semua 8Alijagotinjuatauiajagogulat,ternyataalitidakjagotinju.Kesimpulandari pernyataan di atas adalah ... a)Ali tidak jago tinju b)Ali jago tinju c)Ali tidak jago gulat d)Ali jago gulat e)Ali jago tinju dan gulat 9Diketahui beberapa premis berikut : (1) Jika ifah terlambat masuk sekolah maka pak guru marah (2) Pak guru tidak marah atau semua siswa takut (3) Ada siswa tidak takut Kesimpulan dari premis (1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) adalah ... a.ifah terlambat masuk sekolah b.jika ifah terlambat masuk sekolah maka semua siswa takut c.pak guru marah d.ifah tidak terlambat masuk sekolah e.ifah tidak takut 10diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut : 1p q 2p q 3p q ~ qp r p ~ p q rq yang sah adalah ... a)1 saja b)1 dan 2 c)1 dan 3 d)2 dan 3 e)1 , 2 dan 3 BJawablah soal soal di bawah ini dengan singkat dan benar ! 1Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut a)p v q ( B ) ~ q ( B ) p( B ) b)p q ( B ) q( B ) p( B ) c)p q ( B ) ~ q r ( B ) ~ r( B ) ~ p ( B ) d)q ~ p ( B ) q( B ) p( B ) e)~ p v q( B ) r ~ q ( B ) r v ~ s ( B ) p ~ s( B ) f)p q ( B ) q r( B ) p r( B ) 2dengan induksi matematika buktikan pernyataan berikut ! a)1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + .....+ n . ( n + 1 ) = 1/3 n ( n + 1 )(n + 2 ) n e A b)A nnnkke ==), 1 4 ( 43111 c) =e = +nkn nA n n n11, 2 . 2 ). 1 (d)k2 + 1 habis dibagi 2 , k e bilangan ganjil e)n ( n + 1 ) habis dibagi 2 . n e A f)1.2.3 + 2 .3 . 4 + 3.4.5 + ...+ n (n+1)(n+2)= 41 n ( n+1 )( n + 2 )( n + 3 ) g) =+ = +nkn n n122 1 23dengan menggunakan bukti langsung, buktikan kebenaran tiap pernyataan berikut: a)untuk semua a dan b e R maka ( a b )2 = a2 2ab + b2

b)jika 3x 2 = 1 maka x2 + 4x 5 = 0 , x eR c)untuk semua sudut x maka a + cos x > 0 4Tentukan kesimpulan dari premis premis berikuta)p v ~ q ( B ) q( B ) b)p ~ q( B ) p v r ( B ) ~ r( B ) c)( q v ~ r ) p ( B ) ~ p ( B ) d)p ~ q ( B )q v r( B ) s ~ r ( B ) 5dengan menggunakan bukti tak langsung atau langsung , buktikan tiap pernyataan berikut ! a)( cos x + sin x ) 2 = 1 + 2 sin x cos xb)jika n2 bilangan bulat genap maka n bilangan genap c)buktikan bahwa2adalah irrasional d)jika x2 + 3x 4 < 0 maka 4 < x < 1 BAB II TRIGONOMETRI Standar KompetensiKompetensi Daasar 5. menggunakan perbandingan , fungsi , persamaandanidentitastrigonometri dalam pemecahan masalah. 5.1 melakukan manipulasi aljabar dalam perhitunganteknisyangberkaitan denganperbandingan,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 5.2merancangmodelmatematikadari masalahyangberkaitandengan perbandingan,fungsi,persamaandan identitas trigonometri 5.3menyelesaikanmodelmatematika darimasalahyangberkaitandengan perbandinganfungsi,persamaandan identitas trigonometri dan penafsirannya RINGKASAN MATERI Perhatikangambardisamping,pernahkahkamu mencobamemperkirakanberapatinggipohonyang kamulihatdarijaraktertentudansudutelevasi tertentu pula. Berapakah tinggi pohon tersebut ? IPENGUKURAN SUDUT DENGAN SATUAN DERAJAT DAN RADIAN. AUkuran sudut dalam satuan radian. 1 radian ( 1 rad ) adalah ukuran sudut antar dua jari jaripadasebuahlingkaranyangmencakupbusur yang sama panjang dengan jari-jari. BHubungan antara ukuran sudut dalam derajat dengan radian. 18010t=radian atau 1 radian =t o180

untuk t = 3,14159 maka 10 = 0,017453radian , dan 1 radian = 57,2960 CMengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. contoh 1)Ubahlah ke satuan derajat at52 bt43 ct53 jawab a. 0 0 0525272 36 . 2 180 . = = = tb. 0 0 04343135 45 . 3 180 . = = = t 1 rad r r O c. 0 0 05353108 36 . 3 180 . = = = t2)ubahlah ke satuan radian a750 b1200 c2100 d3300 jawab a.t t12518075=b.t t32180120=c.t t67180210=d.t t611180330=IIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SEGITIGA SIKU-SIKU. AMemahami sinus , kosinus , tangen , kotangen , sekan , kosekan pada segitiga siku siku. Sinus A = sin A = rymiring sisiA sudutdihadapansisi= = ba Kosinus A = cos A = rx= =bc miring sisiA sudutdisamping sisi Tangen A = tan A = xy= =caA sudutdisamping sisiA sudutdihadapansisi Kosekan A = cosec A = yr=A sin 1 Sekan A = sec A = xrA =cos1 Kotangen A = cot A = yxA =tan1 BNilai sinus , kosinus , dan tangen sudut sudut istimewa / khusus. 00300450600900 Sin Cos Tan0 1 0 21 321 331 221 221 1 321 21 31 0 CMenentukaua sisi segitiga siku siku jika sebuah sudut dan sebuah sisi diketahui. o o tan . tan p BCpBC= =ACAB= o cosoocoscospACpAC = = contoh diketahui segitiga ABC siku siku di A, jika Z B = 600 dan panjang AB = 4 cm. Tentukan panjang sisi AC dan BC jawab 0 060 tan . 60 tan AB AC = 3 . 4 = ACBC2 = AC2 + AB2 B C A p o A C B 4 60 A(0,0) b = r a = y c = x B C BC2 =( )224 3 4 += 16 . 3 + 16 BC2 = 16 . 4 8 4 . 16 = = BCcm DSinus , kosinus , dan tangen dari sudut di semua kuadran. Kuadran IIkuadran I Sin (+),cos(-),tan(-)sin , cos , tan semua (+) Kuadran IIIKuadran IV Tan(+),sin(-),cos(-)cos(+),sin(-),tan(-) ERumusperbandingantrigonometriuntuksinus,kosinusdantangendisemua kuadran ( sudut sudut berelasi ). 1)Kuadran I. Sin ( 90 - o )= cos o Cos ( 90 - o ) = sin o Tan ( 90 - o )= cot o 2)Kuadran II. Sin ( 90 + o ) = cos osin ( 180 - o ) = sin o Cos ( 90 + o ) = - sin o cos ( 180 - o) = - cos o Tan ( 90 + o )= - cot otan ( 180 - o ) = - tan o 3)Kuadran III. Sin ( 270 - o ) = - cos osin ( 180 + o ) = - sin o Cos ( 270 - o ) = - sin o cos ( 180 + o) = - cos o Tan ( 270 - o )=cot otan ( 180 + o ) =tan o 4)Kuadran IV. Sin ( 270 + o ) = - cos osin ( 360 - o ) = - sin o Cos ( 270 + o ) =sin o cos ( 360 - o) =cos o Tan ( 270 + o )= - cot otan ( 360 - o ) = - tan o 5)Sudut negatif.Sin ( - o ) = - sin o Cos ( - o )= cos o Tan ( - o ) = - tan o FMenentukan besar sudut jika nilai sinus , kosinus dan tangen diketahui. Contoh Tentukan besar sudut o , o di kuadran I jika : 1)Sin o = 6030to = =radian 2)Cos o = 1 o = 0 3)Tan o =33060to = =radian 4)Cot o = 1 4045to = =radian GMenentukannilaipendekatanfungsitrigonometridanbesarsudutnyadengan kalkulator Contoh 2700 900 1800 00 , 3600 1)Tentukan nilai dari: aSin 350 bCos 27,50 cTan 1250 dSin 2850 Jawab Dengan menggunakan kalkulator fx-3600P aTekan35kemudiantekantombolsinsiperolehhasilsin350=0,5736( empat tempat desimal ) bCos 27,50 = 0,8870 cTan 1250 = - 1,4281dSin 2850 = - 0,9660 2)Tentukan besar sudut o, jika : aSin o = 0,4321 bCos o = 0,6875 cTan o = 3,1436 dSin o = - 0,6732 Jawab Dengan menggunakan kalkulator fx-3600P aTekantombolangka0,4321kemudiantekantombolINVkemudian tombol Sin diperoleh hasilnya sin o = 0, 4321 sehingga o = 25,60090 bCos o = 0,6875 sehingga o = 46,56750 cTan o = 3,1436 sehingga o = 72,35380 dSin o = - 0,6732 ( kuadran III ) sehingga o = 1800+42,31450 = 222,31450 IIIPENERAPANRUMUSSINUS,KOSINUSdanTANGENDALAM MENYELESAIKAN SOAL. Contoh 1)Diketahui segitiga ABCsiku siku di A, jika panjangAB = 5cm dan BC = 13 cm, maka hitunglah : aSin Z B bCos Z B ctan Z B dsec Z B ecosec Z B fcotan Z B jawab AC2 = BC2 AB2 = 132 52 = 169 25 = 144 AC = 12 aSin Z B= 1312 bCos Z B= 135 ctan Z B= 512 dsec Z B= 513 ecosec Z B= 1213 f.cotan Z B= 125 2)Jika cos o = 1312 maka tentukan nilai dari o oo osin 2 costan sin 13+ , o lancip ! AB C 13 cm 5 cm Jawab 135sin = o 125tan = o 248452413 . 651310 121251351312125135sin 2 costan sin 135. 2. 13= =+= += +o oo o LEMBAR PORTOFOLIO AIsilah titik titik dengan jawaban yang benar. 1)Sederhanakan bentuk berikut : aSin ( 90 + o ) 2 cos ( 180 - o )+ 3 sin ( 270 - o)- cos(360-o)+4cos ( - o ) bTan(180 - o) + 3 cotan( 90 -o )- cotan(270+o) + 2 tan ( - o ) c2 sin (180+o) + 3cos(270+o) 2 sin( - o) 3 cos( 90 + o) jawab acos o - 2 cos . .. b tan o + c 2 sin o + .. 2)diketahui tan ZA = 23 , ZA lancip , tentukan nilai dari : asin ZA bcos ZA csecan ZA dcosec ZA ecotan ZA jawab a sin ZA = .......3 b cos ZA= ............ c secan ZA= ............ d cosec ZA= ............ e cotan ZA= ............ 3)ubahlah sudut berikut ke dalam satuan radian! aZP= 750 bZQ= 1300 cZR= 2500 dZS= 2900 eZT= 4000 fZU= 350 jawab at t........18075= = ZPbt t.................= = ZQAB C 13 cm 12 cm 5 cm o ... 4 9 = +2 cm 3 cm A ct t.................= = ZRdt t.................= = ZSet t.................= = ZTft t.................= = ZU4)hitunglah nilai dari : acos 2400 bsin 4200 ctan 3150 dcosec 1200 jawab acos 2400 = cos ( 1800 + ...... ) = - cos ......... = ....... bsin 4200 = sin ( ..... + ..... ) = sin ......... = .......... ctan 3150 = tan ( ....- ..... ) = tan ........... = ......... dcosec 1200 = cosec ( .... - .... ) = cosec ......... = ......... 5)ubahlah ke dalam satuan derajat dari sudut berikut aZA=t32 bZB=t35 cZC=t41 dZD=t34 eZE=t52 jawab aZA=..... 180 .03232= = tbZB=..... ........03535= = tcZC=..... ..........41= = tdZD=..... . ..........34= = teZE=..... . ..........52= = t BTUGAS. Dengan tabel atau kalkulator, kerjakan soal soal berikut : 1)Tentukan nilai dari aTan 720 bSin 1030 cCos 2130 dCosec 3100 eCotan 3750 fSin 4650 2)Hitunglah besar sudut o jika aCos o = 0,4521 bSin o = 0,5674 cTan o = 3,1425 dCaos o = - 0,1543 ( o di kuadran II ) UJI MATERI I ABerilah tanda silang pada huruf a , b ,c ,d atau e di depan jawaban yang tepat. 1)Segitiga ABC siku-siku di A5 = ACcm ,3 = BCcm nilai tan Z ABC = . a 32 b 25 c 35 d 45 e 65 2)jika cos 250 = p maka nilai cos 2050 adalah ... a 2pb pc p d0ep 3)diketahui sin B = 0,28 dengan 0 < B < 900 maka nilai dari cos B adalah ... a 725 b 724 c 2524 d 247e 2574)pada gambar dibawah ini BD =3 4cm dan AB = 2 cm , panjang AE = ....cm a3 4b6 c3 6d8 e3 8 5)Nilai dari ) 60 ( cos225 cot . 2 120 tan20 0+ adalah a3 4+ 8 b3 4+ 2 c3+ 8 d3 4 + 2 e3 4 + 8 6)sebuahtanggapanjangnya3,2mbersandarpadatembokdenganmembentuk sudut 600 dengan lantai. Jarak antara ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah 600 A B C D E a3 6 , 1b1,6 c1,5 d3 2 , 3e2 6 , 17)diketahui sin o = 54dan tan o bernilai positif. Nilai cos o = a 43b 54 c 53d 53 e 2517 8)Dari gambar dibawah panjang ruas garis AC adalah a3 30b30 c3 10d10 e3 59)jika cos (ot +2 ) = - , maka nilai sin o . tan o = .... a361 b332 c331 d321 e341 10) jika cot o = 0,5 maka nilai 2 cos o + cos ( o + 900) + cos ( 1800 - o ) = ... a521 b5c551 d521e55111) diketahui 900 o 1800 jika tan o =3 maka o = ... a1200 b1500 c1600 d2200 e2400 12) sebuah segitiga ABC siku-siku di A , Z B = 600 panjang BC = 4 cm. Jika AD adalah garis tinggi yang ditarik dari A maka panjang AD adalah ... cm a3,5b2 c3300 C A B d321 e341 13) jika o + | = 270 maka .... acos o + sin | = 0 bcos o - sin | = 0 ccos o - cos | = 0 dsin o - sin | = 0 esin o + sin | = - 114) jika sin P =t( P dikuadran I ) maka cotan P = ... at 1b tt 1 c tt 1 dt + 1e tt + 1 15) Bentuk 5200 jika dinyatakan dalam radian adalah ... at912bt922ct312dt872et98216) jika tan A = 21 dengan 1800 < A < 2700 maka nilai dari sin A . cos A = a 25 b 53 c 25d 52 e 5217) nilai dari 0060 cos 160 sin+ = atan 600 btan 300 csec 600 dcosec 600 esin 600 18) jikat ot