materi ke- 7 integrasi numerik - sketsa sang juara · 2019. 3. 14. · 2 b a x ' ( ( ) 4 ( ) (...
TRANSCRIPT
Integrasi Numerik
Materi Ke- 7
❯❯❯❯❯
Cancel OK
Semoga selalu di garis depan
dalam berkarya nyata
B.J. Habibie
Kriteria Capaian
Mahasiswa dapat :
Mencari nilai integral suatu fungsi menggunakan pendekatan metode numerik, diantaranya: • metode trapesium: satu pias/banyak pias
• metode simpson: aturan 1/3 atau aturan 3/8
Referensi: Bambang Triatmodjo, 1992, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta (BAB VI. Integrasi Numerik)
Ilustrasi
x
y
b a
)()()()( bFaFxFdxxfb
a
b
a
b
a
dxxfI )(
Dengan F(x) adalah integral dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = f(x)
I
Integral Analitis :
)(xf
Definisi
Integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan dengan mendekatinya melalui fungsi polinomial berdasar data yang tersedia.
Apa metode integral numerik ?
Integral numerik dilakukan apabila : • Integral yang tidak dapat (sukar) diselesaikan
secara analitis, • Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam
bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel)
Ilustrasi
x
y
b a
2
)()()(
bfafabI
Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:
I
Integral Numerik :
f(a)
f(b)
)(xf
Ilustrasi
x
y
c a
• Jika tersedia lebih dari dua data dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan
• luas total adalah jumlah dari luas trapesium – trapesium yang terbentuk.
• Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias.
Integral Numerik :
f(a)
f(c) )(xf
I1 I2
f(b)
b
Ilustrasi
x
y
a
• Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga
• kurva yang terbentuk tidak linier, tetapi kurva lengkung. • Contoh: Metode Simpson 1/3 (order 2), Simpson 3/8 (order 3),
dsb.
Integral Numerik :
f(a)
f(b) )(xf
b
I
Metode Trapesium
x b
a
2
)()()(
bfafabI
I
f(a)
f(b)
)(xf
Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:
Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) digantikan oleh garis lurus.
y
Contoh 1
Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung 4
0
dxeI x
Penyelesaian :
Bentuk integral di atas dapat diselesaikan secara analitis :
598150,53044
0
4
0
eeedxeI x
x
Hitungan integral numerik dilakukan dengan metode trapesium:
1963,1112
)04(2
)()()(
40
eebfaf
abI
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%46,107%100598150,53
1963,111598150,53
x
Terlihat bahwa metode ini memebrikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100%)
Metode Trapesium Banyak Pias
)(xf
x0 = a xn = b x1 x2
Δx
x3 xn-3 xn-2 xn-1 x
y
n
abx
Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil pias yang digunakan, hasil yang didapat menjadi semakin teliti.
Panjang tiap pias adalah sama, sehingga:
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfI
1
2
1
1
0
)()()(
2
)()(
2
)()(
2
)()( 010101 xfxfx
xfxfx
xfxfxI
Lanjutan
Kemudian, dapat disederhanakan menjadi persamaan sbb.:
Atau dapat ditulis juga:
Jika memperhitungkan koreksi pada ujung interval a dan b, maka digunakan persamaan sbb.:
1
1
10 )()(2)(2
n
i
nxfxfxfx
I
1
1
1)(2)()(2
n
i
xfbfafx
I
)(')('12
)(2)()(2
21
1
afbfx
xfbfafx
In
i
i
Contoh 2
Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah Δx = 1 untuk menghitung:
4
0
dxeI x
Penyelesaian :
Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah:
14
)04(
n
abx
Luas bidang dapat dihitung dengan cara sbb:
1
1
1)(2)()(2
n
i
xfbfafx
I
991950,5722
1 32140 eeeeeI
Contoh 2 (Lanjutan)
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%2,8%100598150,53
991950,57598150,53
x
Apabila dengan koreksi ujung, maka dapat dihitung dengan cara sbb:
)(')('12
)(2)()(2
21
1
1 afbfx
xfbfafx
In
i
0432140
12
12
2
1eeeeeeeI
525437,53466513,4991950,57 I
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%14,0%100598150,53
525437,53598150,53
x
Metode Simpson
x
y
)(xf
b a
• Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi untuk menghubungkan titik – titik data
• Misal: apabila terdapat satu titik tambahan diantara f(a) dan f(b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola
• Metode ini sering disebut Aturan Simpson 1/3
Metode Simpson
x
y
)(xf
b a
• Misal: apabila terdapat dua titik tambahan diantara f(a) dan f(b), maka keempat titik dapat dihubungkan dengan fungsi polinomial order tiga.
• Metode ini sering disebut Aturan Simpson 3/8
Aturan Simpson 1/3
Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-1), f(xi), dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi.
)()4(3
5
1 xOfffx
I iiii
Pada pemakaian satu pias, sehingga persamaan diatas dapat ditulis sbb.: 2
abx
))()(4)((6
bfcfafab
I
dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.
Jika dengan banyak pias (hanya genap) maka persamaan yang digunakan adalah sbb.:
1
1
2
1
11 )(2)(4)()(3
n
i
n
i
xfxfbfafx
I
Contoh 3
Gunakan aturan Simpson 1/3 untuk menghitung 4
0
dxeI x
Penyelesaian :
Dengan menggunakan aturan Simpson 1/3 dengan satu pias, maka:
7696,56)4(6
04))()(4)((
6
420
eeebfcfafab
I
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%917,5%100598150,53
7696,56598150,53
x
Contoh 3 (Lanjutan)
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%5,0%100598150,53
863846,53598150,53
x
Gunakan aturan Simpson 1/3 dengan Δx=1 untuk menghitung
Penyelesaian :
Dengan menggunakan aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias, maka:
4
0
dxeI x
1
1
2
1
11 )(2)(4)()(3
n
i
n
i
xfxfbfafx
I
863846,532)(43
1 23140 eeeeeI
Aturan Simpson 3/8
Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik.
Pada pemakaian satu pias, sehingga persamaan diatas dapat ditulis sbb.: 3
abx
Catatan Penting! • Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk
jumlah pias genap. • Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode
trapesium. Tapi metode ini tidak baik karena kesalahan cukup besar. • Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah pias genap digunakan
metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.
)()(3)(3)(8
33210 xfxfxfxf
xI
)()(3)(3)(8
3210 xfxfxfxfab
I
Contoh 4
Gunakan aturan Simpson 3/8 untuk menghitung 4
0
dxeI x
Penyelesaian :
Dengan menggunakan aturan Simpson 3/8 dengan satu pias, maka:
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%761,2%100598150,53
07798,55598150,53
x
)()(3)(3)(8
3210 xfxfxfxfab
I
07798,55338
04 46667,23333,10
eeeeI
Contoh 4 (Lanjutan)
Hitung pula integral tersebut dengan menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan Δx = 0,8.
Penyelesaian :
Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:
1)0( 0 ef
95303,4)6,1( 6,1 ef
22554,2)8,0( 8,0 ef
02318,11)4,2( 4,2 ef
53253,24)2,3( 2,3 ef
59815,54)4( 4 ef
Integral untuk dua pias pertama dengan aturan Simpson 1/3 sbb.:
1
1
2
1
11 )(2)(4)()(3
n
i
n
i
xfxfbfafx
I 6,18,00 432
06,1eee
x
95303,422554,2416
6,1 x
96138,3
Contoh 4 (Lanjutan)
Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:
)()(3)(3)(8
3210 xfxfxfxfab
I
)4()2,3(3)4,2(3)6,1(8
6,14ffffI
59815,5453253,24302318,11395303,48
4,2 xxI
86549,49I
Integral total adalah jumlah dari kedua hasil di atas:
836873,5386549,4996138,3 I
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
%427,0%100598150,53
836873,53598150,53
x
Contoh 1
0
0.4
0.8
1.2
0 0.5 1 1.5 2
5,5v
log75,5v
v(y) *
*
v
y0,17
v5,75
v
*
*
ogl
V
dyvv
yv
hV
h
*0
** 5,5
vlog75,5
1
Contoh 1
5,8log75,5v
v
*
k
y
Kedalaman aliran = 1.6 m; v*=0.045 m/dt; k=0.0012 m; berapa kecepatan rerata?
Contoh 2
wind T
z d
eLz
z
zzf
/2
5)(
dzz
zF e
LzL /2
0 5
L
L
dzzf
dzzfzd
0
0
)(
)(.
L= 30 m