Pusat Massa Dan Titik Berat

STATIKA adalah ilmu kesetimbangan yang menyelidiki syarat-syarat gaya yang bekerja pada sebuah benda/titik materi agar benda/titik materi tersebut setimbang.

PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT

Pusat massa dan titik berat suatu benda memiliki pengertian yang sama, yaitu suatu titik tempat berpusatnya massa/berat dari benda tersebut. Perbedaannya adalah letak pusat massa suatu benda tidak dipengaruhi oleh medan gravitasi, sehingga letaknya tidak selalu berhimpit dengan letak titik beratnya.

1. PUSAT MASSA

Koordinat pusat massa dari benda-benda diskrit, dengan massa masing-masing M1, M2,....... , Mi ; yang terletak pada koordinat (x1,y1), (x2,y2),........, (xi,yi) adalah:X = ( Mi . Xi)/(Mi) �

Y = ( Mi . Yi)/(Mi) �

2. TITIK BERAT (X,Y)

Koordinat titik berat suatu sistem benda dengan berat masing-masing W1, W2, ........., Wi ; yang terletak pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), ............, (xi,yi) adalah:X = ( Wi . Xi)/(Wi) �

Y = ( Wi . Yi)/(Wi) �

LETAK/POSISI TITIK BERAT

Terletak pada perpotongan diagonal ruang untuk benda homogen berbentuk teratur.Terletak pada perpotongan kedua garis vertikal untuk benda sembarang.Bisa terletak di dalam atau diluar bendanya tergantung pada homogenitas dan bentuknya.

TITIK BERAT BEBERAPA BENDAGambar Nama Letak Titik Berat Keterangan

Garis lurus yo = 1/2 AB z = di tengah-tengah ABBusur lingkaran yo = AB/AB . R AB = tali busurAB = busur ABR = jari-jari lingkaran

Busur setengah lingkaran yo = 2.R/p R = jari-jari lingkaranJuring lingkaran yo = AB/AB.2/3.R AB = tali busurAB = busur ABR = jari-jari lingkaran Setengah lingkaran yo = 4.R/3 p R = jari-jari lingkaranSelimut setengah bola yo = 1/2 R R = jari-jari lingkaranSelimut limas yo = 1/3 t t = tinggi limasSelimut kerucut yo = 1/3 t t = tinggi kerucutSetengah bola yo = 3/8 R R = jari-jari bolaLimas yo = 1/4 t t = tinggi limasKerucut yo = 1/4 t t = tinggi kerucut

Dalam menyelesaikan persoalan titik berat benda, terlebih dahulu bendanya dibagi-bagi sesuai dengan bentuk benda khusus yang sudah diketahui letak titik beratnya, kemudian baru diselesaikan dengan rumusan yang ada.

Contoh:

Dua silinder homogen disusun seporos dengan panjang dan massanya masing-masing: l1 = 5 cm ; m1 = 6 kg ; l2 = 10 cm ; m2 = 4 kg.Tentukan letak titik berat sistem silinder tersebut !

Jawab:

Kita ambil ujung kiri sebagai acuan, maka:x1 = 0.5 . l1 = 2.5 cmx2 = l2 + 0.5 . l1 = 5 + 5 = 10 cm

X = ( mi . xi)/(mi) �X = (m1.x1) + (m1.x1)/(m1 + m2)

X = (6 . 2.5 + 4 . 10)/(6 + 4) X = (15 + 40)/(10) = 5.5 cm

Jadi titik beratnya terletak 5.5 cm di kanan ujung m1

Rotasi Benda Tegar

Dalam penyelesaian seal rotasi benda tegar perlu diperhatikan dua hal yaitu:

GAYA sebagai penyebab dari perubahan gerak translasi ( F = m.a)�MOMEN GAYA atau MOMEN KOPEL sebagai penyebab dari perubahan gerak rotasi ( t = I . a)�

MOMEN GAYA ( t ) adalah gaya kali jarak/lengan. Arah gaya dan arah jarak harus tegak lurus.Untuk benda panjang:

t = F . l Untuk benda berjari jari:

t = F . R = I . a

F = gaya penyebab benda berotasiR = jari-jariI = lengan gaya terhadap sumbuI = m . R2 = momen inersia bendaa = percepatan sudut / angular

tA = Fy . l = F . sin q . l

Gbr. Momen Gaya

MOMEN INERSIA BEBERAPA BENDANo.Gambar Nama Momen Inertia 1. Batang silinder, poros melalui pusat I = M.l2/122. Batang silinder, poros melalui ujung I = M.l2/33. Pelat segi empat, poros melalui pusat I = M.(a2 + b2)/24. Pelat segi empat tipis, poros sepanjang tepi I = M.a/35. Silinder berongga I = M (R12 + R22)/26. Silinder pejal I = M.R2/27. Silinder tipis berongga I = M.R28. Bola pejal I = 2 M.R2/59. Bola tipis berongga I = 2 M.R2/3

HUBUNGAN GERAK TRANSLASI DENGAN GERAK ROTASIGerakan Rotasi Gerak Rotasi Hubungannya Pergeseran Linier S Pergeseran Sudut q S = q . RKecepatan Linier v = ds/dt Kecepatan Sudut w = dq/dt v = w . RPercepatan Linier a = dv/dt Percepatan Sudut a = dw/dt a = a . RGaya F = m.a Momen Gaya (Torsi) t = I a t = F . REnergi Kinetik Ek = ½ m v2 Energi Kinetik Ek = ½ I w2 -

Daya P = F.v Daya P = t w -Momentum Linier P = m.v Momentum Sudut L = P R L = P RUsaha W = F.s Usaha W = t q -

Kesetimbangan

Benda dikatakan mencapai kesetimbangan jika benda tersebut dalam keadaan diam/statis atau dalam keadaan bergerak beraturan/dinamis.

Ditinjau dari keadaannya, kesetimbangan terbagi dua, yaitu:1. Kesetimbangan Translasi (a = 0)v = 0 (statis)

v = konstan (dinamis F = 0�

Fx = 0 ; Fy = 0� �

2. Kesetimbangan Rotasi (alpha = 0)w = 0 (statis)

w = konstan (dinamis) t = 0 pilih pada suatu titik dimana gaya-gaya yang bekerja terbanyak� �

Macam Kesetimbangan Statis :1. Kesetimbangan Stabil : setelah gangguan, benda berada pada posisi semula2. Kesetimbangan Labil : setelah gangguan, benda tidak kembali ke posisi semula3. Kesetimbangan Indiferen (netral) : setelah gangguan, titik berat tetap benda tetap pada satu garis lurus seperti semula

Menggeser Dan Mengguling

Benda yang mula-mula setimbang stabil akan menggeser dan/atau mengguling jika ada gaya luar yang mempengaruhinya.

Untuk benda menggeser (translasi) murni berlaku:

SF ¹ O dan St = 0

Untuk benda mengguling (rotasi) murni berlaku:

SF= 0 dan St ¹ 0

Untuk benda menggeser dan mengguling berlaku

SF ¹ 0 dan SF ¹ 0

Pada umumnya soal-soal Kesetimbangan terbagi dua jenis, yaitu:

1. Kesetimbangan titik/partikelPenyelesaian soal ini dikerjakan dengan syarat kesetimbangan translasi yaitu SF = 0.

2. Kesetimbangan bendaPenyelesaian soal ini dikerjakan dengan syarat kesetimbangantranslasi dan rotasi, yaitu SF =0 dan St = 0

Contoh:1. Sebuah balok yang massanya 80 kg tergantung pada dua utas tali yang bersambungan seperti terlihat pada gambar Jika g= 10 N/kg, berapakah besar tegangan pada tall horisontai A ?

Jawab:

Titik B dalam keadaan setimbang,jadi dapat diselesaikan dengan prinsip kesetimbangan titik. Uraikan gaya-gaya yang bekerja pada sb-x dan sb-y. Pada keadaan setimbang:SFy = 0 ® T1 - W = 0 ®T1 = W = m.g = 800 NT1 - T2 . sin 45o = 0T2 . 1/2 Ö2 = 800 T2 = 800 Ö2 N

SFx = 0 ® T1 - W = 0 ®TA - T2. cos 45o = 0TA = T2 . cos 45o TA = 800 Ö2 . 1/2 Ö2TA = 800 N2. Sebuah tangga AB homogen beratnya 30 kgf dan panjangnya 5 m, diletakkan pada lantai di A dan pada tembok di B. Jarak B ke lantai 3 m.Hitunglah besarnya gaya mendatar pada titik A supaya tangga setimbang ?

Jawab:

Pada soal kesetimbangan benda ini, terlebih dahulu gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada sistem benda tersebut.Kesetimbangan translasi

SF =0 ® SFy = 0 ® NA = W = 30 kgf

SF = 0 ® SFX = 0 ® fA = NB

Kesetimbangan rotasi:(dipilih di titik A karena titik tersebut paling mudah bergerak dan gaya-gaya yang bekerja padanya paling banyak).

StA = 0 ® NB . BC = W . AENB. 3 = 30 . 2NB = 20 kgf

Jadi besar gaya mendatar pada titik A adalah fA = NB = 20 kgf

Fluida Statis

Fluida ( zat alir ) adalah zat yang dapat mengalir, misalnya zat cair dan gas. Fluida dapat digolongkan dalam dua macam, yaitu fluida statis dan dinamis.

TEKANAN HIDROSTATIS

Tekanan hidrostatis ( Ph) adalah tekanan yang dilakukan zat cair pada bidang dasar tempatnya.

PARADOKS HIDROSTATIS

Gaya yang bekerja pada dasar sebuah bejana tidak tergantung pada bentuk bejana dan jumlah zat cair dalam bejana, tetapi tergantung pada luas dasar bejana ( A ), tinggi ( h ) dan massa jenis zat cair ( r )dalam bejana.Ph = r g hPt = Po + PhF = P h A = r g V

r = massa jenis zat cairh = tinggi zat cair dari permukaang = percepatan gravitasiPt = tekanan totalPo = tekanan udara luar

HUKUM PASCAL

Tekanan yang dilakukan pada zat cair akan diteruskan ke semua arah sama.

P1 = P2 ® F1/A1 = F2/A2

HUKUM ARCHIMEDES

Benda di dalam zat cair akan mengalami pengurangan berat sebesar berat zat cair yang dipindahkan.

Tiga keadaan benda di dalam zat cair:a. tenggelam: W>Fa Þ rb > rz

b. melayang: W = Fa Þ rb = rz

c. terapung: W=Fa Þ rb.V=rz.V' ; rb<rz

W = berat bendaFa = gaya ke atas = rz . V' . grb = massa jenis bendarz = massa jenis fluidaV = volume bendaV' = volume benda yang berada dalam fluida

Akibat adanya gaya ke atas ( Fa ), berat benda di dalam zat cair (Wz) akan berkurang menjadi:

Wz = W - Fa

Wz = berat benda di dalam zat cair

TEGANGAN PERMUKAAN

Tegangan permukaan ( g) adalah besar gaya ( F ) yang dialami pada permukaan zat cair persatuan panjang(l)

g = F / 2l

KAPILARITAS

Kapilaritas ialah gejala naik atau turunnya zat cair ( y ) dalam tabung kapiler yang dimasukkan sebagian ke dalam zat cair karena pengarah adhesi dan kohesi.

y = 2 g cos q / r g r

y = kenaikan/penurunan zat cair pada pipa (m)g = tegangan permukaan (N/m)q = sudut kontak (derajat)p = massa jenis zat cair (kg / m3)g = percepatan gravitas (m / det2)r = jari-jari tabung kapiler (m)

Fluida Dinamis

Sifat Fluida Ideal:- tidak dapat ditekan (volume tetap karena tekanan)- dapat berpindah tanpa mengalami gesekan- mempunyai aliran stasioner (garis alirnya tetap bagi setiap partikel)- kecepatan partikel-partikelnya sama pada penampang yang sama

HUKUM BERNOULLI

Hukum ini diterapkan pada zat cair yang mengalir dengan kecepatan berbeda dalam suatu pipa.P + r g Y + 1/2 r v2 = c

P = tekanan1/2 r v2 = Energi kinetikr g y = Energi potensial

] tiap satuan � waktu

CEPAT ALIRAN (DEBIT AIR)

Cepat aliran (Q) adalah volume fluida yang dipindahkan tiap satuan waktu.

Q = A . v

A1 . v1 = A2 . v2

v = kecepatan fluida (m/det)A = luas penampang yang dilalui fluida

Untuk zat cair yang mengalir melalui sebuah lubang pada tangki, maka besar kecepatannya selalu dapat diturunkan dari Hukum Bernoulli, yaitu:v = Ö(2gh)h = kedalaman lubang dari permukaan zat cair

Contoh:

1. Sebuah kolam air berdinding bujursangkar dengan panjang 15 m, tingginya 7,5m.Tentukanlah tekanan air 4,5 m di bawah permukaan air!

Jawab:

P = r . g . h = 103 . 10 . 4,5P = 4,5.104 N/m2

2. Air mengalir sepanjang pipa horisontal, penampang tidak sama besar. Pada tempat dengan kecepatan air 35 cm/det tekanannya adalah 1 cmHg. Tentukanlah tekanan pada bagian pipa dimana kecepatan aliran airnya 65 cm/det.(g = 980 cm/det2) !

Jawab:

P1 = 1 cmHg = 1.13,6.980 dyne/cm2P1 = 13328 dyne/cm2

v1 = 35 cm/det; v2 = 65 cm/det

Prinsip Bernoulli:P1 + pgy1 + 1/2rv12 = P2 + rgy2 + 1/2rv22

Karena y1 = y2 (pipa horisontal), maka:

P1 - P2 = 1/2 r (V22 - V12)P1 - P2 = 1/2 1 (652 352)P1 - P2 = 1/2 3000P1 - P2 = 1500 dyne/cm2

Jadi:

P2 = P1 - 1500P2 = 13328 - 1500P2 = 11828 dyne/cmP2 = 0,87 cmHg

Teori Kinetik Gas

Teori kinetik zat membicarakan sifat zat dipandang dari sudut momentum. Peninjauan teori ini bukan pada kelakuan sebuah partikel, tetapi diutamakan pada sifat zat secara keseluruhan sebagai hasil rata-rata kelakuan partikel-partikel zat tersebut.

SIFAT GAS UMUM Gas mudah berubah bentuk dan volumenya.Gas dapat digolongkan sebagai fluida, hanya kerapatannya jauh lebih kecil.

SIFAT GAS IDEAL

Gas terdiri atas partikel-partikel dalam jumlah yang besar sekali, yang senantiasa bergerak dengan arah sembarang dan tersebar merata dalam ruang yang kecil.Jarak antara partikel gas jauh lebih besar daripada ukuran partikel, sehingga ukuran partikel gas dapat diabaikan.Tumbukan antara partikel-partikel gas dan antara partikel dengan dinding tempatnya adalah elastis sempurna.Hukum-hukum Newton tentang gerak berlaku.

PERSAMAAN GAS IDEAL DAN TEKANAN (P) GAS IDEAL

P V = n R T = N K T

n = N/No

T = suhu ( K)�R = K . No = 8,31 )/mol. K�N = jumlah pertikel

P = (2N / 3V) . Ek ® T = 2Ek/3K

V = volume (m3)n = jumlah molekul gasK = konstanta Boltzman = 1,38 x 10-23 J/ K�No = bilangan Avogadro = 6,023 x 1023/mol

ENERGI TOTAL (U) DAN KECEPATAN (v) GAS IDEAL

Ek = 3KT/2

U = N Ek = 3NKT/2

v = Ö(3 K T/m) = Ö(3P/r)

dengan:

Ek = energi kinetik rata-rata tiap partikel gas ideal U = energi dalam gas ideal = energi total gas idealv = kecepatan rata-rata partikel gas idealm = massa satu mol gasp = massa jenis gas ideal

Jadi dari persamaan gas ideal dapat diambil kesimpulan:

Makin tinggi temperatur gas ideal makin besar pula kecepatan partikelnya.Tekanan merupakan ukuran energi kinetik persatuan volume yang dimiliki gas.Temperatur merupakan ukuran rata-rata dari energi kinetik tiap partikel gas.Persamaan gas ideal (P V = nRT) berdimensi energi/usaha .Energi dalam gas ideal merupakan jumlah energi kinetik seluruh partikelnya.

Dari persarnaan gas ideal PV = nRT, dapat di jabarkan:Pada (n, T) tetap, (isotermik)berlaku Hukum Boyle: PV = C

Pada (n, V) tetap, (isokhorik)berlaku Hukum Gay-Lussac: P/T=C

Pada (n,P) tetap, (isobarik)berlaku Hukum Gay-Lussac: V/T= C

Padan tetap, berlaku HukumBoyle-Gay-Lussac: PV/T=CC = konstan

Jadi:

(P1.V1)/T1 = (P2.V2)/T2=...dst.

Contoh:

1. Berapakah kecepatan rata-rata dari partikel-partikel suatu gas dalam keadaan normal, jika massa jenis gas 100 kg/m3 dan tekanannya 1,2.105 N/m2?

Jawab:

PV = 2/3 EkPV = 2/3 . 1/2 . m v2 = 1/3 m v2v2 = (3PV)/m = (3 P)/(m/V) = 3P/r

v = Ö3P/r = Ö3.1,2.105/100 = 60 m/det2. Suatu gas tekanannya 15 atm dan volumenya 25 cm3 memenuhi persamaan PV - RT. Bila tekanan gas berubah 1/10 atm tiap menit secara isotermal. Hitunglah perubahan volume gas tiap menit?

Jawab:

Persamaan PV = RT jelas untuk gas ideal dengan jumlah mol gas n = 1. Jadi kita ubah persamaan tersebut menjadi:

P DV + V DP = R DT (cara differensial parsial)

15 . DV + 25. 1/10 = R . 0 ® AV = -25 /15.10 = -1/6 cm3/menit

Jadi perubahan volume gas tiap menit adalah 1/6 cm3,dimana tanda (-) menyatakan gas menerima usaha dari luar (dari sekelilingnya).

Hukum I Termodinamika

Hukum ini diterapkan pada gas, khususnya gas ideal

PV = n R TP . DV + -V . DP = n R DT

Energi adalah kekal, jika diperhitungkan semua bentuk energi yang timbul.

Usaha tidak diperoleh jika tidak diberi energi dari luar.

Dalam suatu sistem berlaku persamaan termodinamika I:

DQ = DU+ DW

DQ = kalor yang diserapDU = perubanan energi dalamDW = usaha (kerja) luar yang dilakukan

DARI PERSAMAAN TERMODINAMIKA I DAPAT DIJABARKAN:

Pada proses isobarik (tekanan tetap) ® DP = 0; sehingga,

DW = P . DV = P (V2 - V1) ® P. DV = n .R DTDQ = n . Cp . DT ® maka Cp = 5/2 R (kalor jenis pada tekanan tetap)

DU-= 3/2 n . R . DT

Pada proses isokhorik (Volume tetap) ® DV =O; sehingga,

DW = 0 ® DQ = DUDQ = n . Cv . DT ® maka Cv = 3/2 R (kalor jenis pada volume tetap)AU = 3/2 n . R . DT

Pada proses isotermik (temperatur tetap): ® DT = 0 ;sehingga,

DU = 0 ® DQ = DW = nRT ln (V2/V1)

Pada proses adiabatik (tidak ada pertukaran kalor antara sistem dengan sekelilingnya) ® DQ = 0 Berlaku hubungan::

PVg = konstan ® g = Cp/Cv ,disebut konstanta Laplace

Cara lain untuk menghitung usaha adalah menghitung luas daerah di bawah garis proses.

Gbr. Isobarik Gbr. IsotermikGbr. Adiabatik

Usaha pada proses a ® b adalah luas abb*a*a

Perhatikan perbedaan grafik isotermik dan adiabatik ® penurunan adiabatik lebih curam dan mengikuti persamaan PVg= C.

Jadi:1. jika DP > DV, maka grafik adiabatik.2. jika DP = DV, maka grafik isotermik.

Catatan:Jika sistem menerima panas, maka sistem akan melakukan kerja dan energi akan naik. Sehingga DQ, DW ® (+).

Jika sistem menerima kerja, maka sistem akan mengeluarkan panas dan energi dalam akan turun. Sehingga DQ, DW ® (-).

Untuk gas monoatomik (He, Ne, dll), energi dalam (U) gas adalah

U = Ek = 3/2 nRT ® g = 1,67

Untuk gas diatomik (H2, N2, dll), energi dalam (U) gas adalah

Suhu rendah(T £ 100 K)�

U = Ek = 3/2 nRT ® g = 1,67® Cp-CV=R

Suhu sedang

U = Ek =5/2 nRT ® g = 1,67

Suhu tinggi(T > 5000 K)�

U = Ek = 7/2 nRT ® g = 1,67

Hukum II TermodinamikaFisika Kelas 1 > Teori Kinetik Zat 286

< Sebelum Sesudah >

Tidak mungkin membuat suatu mesin yang bekerja secara terus-menerus serta rnengubah semua kalor yang diserap menjadi usaha mekanis.T1 > T2, maka usaha mekanis:

W = Q1 - Q2

h = W/Q1 = 1 - Q2/Q1 = 1 - T2/T1

T1 = reservoir suhu tinggi T2 = reservoir suhu rendahQ1 = kalor yang masuk

Q2 =kalor yang dilepas W = usaha yang dilakukan h = efesiensi mesinUntuk mesin pendingin:

h = W/Q2 = Q1/Q2 -1 = T1/T2 - 1

Koefisien Kinerja = 1/h