materi 11_limit fungsi tri
TRANSCRIPT
Limit Fungsi Trigonometri
MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH II
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI DAN PEMBELAJARANNYA
Disusun oleh:
Kelompok X/ 2008 C
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA2010
1
1. Putri Maheni .S. (083174202)
2. Debby Dwi .S. (083174204)
3. Rita Rizki .K.S. (083174206)
4. Nizar Nur .U. (083174213)
Limit Fungsi Trigonometri
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
A.Pengertian Limit
Untuk mempelajari materi ini, sebelumnya kita harus memahami terlebih dahulu apa
itu limit. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kalimat-kalimat seperti
di bawah ini.
1. Ketika kamu melewati jalan yang menikung itu, sebaiknya
kecepatan mobilmu jangan sampai mendekati titik kritis
100 km/jam.
2. Minyak wangi yang dipakai adik sudah hampir habis.
3. Tim-tim sepak bola yang dulunya berjaya, sekarang sudah
di ambang zona degradasi.
Mendekati titik kritis, hampir, dan ambang, dalam bahasa matematika cukup
disebut dengan limit (mendekati). Limit sangat penting dipelajari karena limit
menjadikan sesuatu yang tidak terdefinisi menjadi sesuatu yang ada nilainya.
B.Memahami Limit Fungsi Secara Intuitif
Menggunakan persegi yang sisinya 1 satuan
Kegiatan awal yang dapat digunakan untuk mengawali dalam memahami konsep
limit, adalah sebagai berikut. Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya
1 satuan.
Suatu persegi sisi-sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1
satuan luas.
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah
12 satuan
luas.
2
Limit Fungsi Trigonometri
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah
12+ 1
4 satuan
luas.
Luas bagian persegi yang diarsis tebal adalah
12+ 1
4+ 1
8
satuan luas.
Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus menerus maka jumlah luas
bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati 1 satuan luas.
Jadi, hasil penjumlahan dari
12+ 1
4+ 1
8+ 1
16+ 1
32+ .. .
adalah mendekati 1.
Pengertian limit secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati 1 di atas.
C.Sifat-Sifat Dasar Limit
Untuk mempermudah perhitungan limit suatu fungsi, kita dapat menggunakan
sifat-sifat dasar limit fungsi. Sifat-sifat ini terangkum dalam suatu teorema yang
disebut Teorema Limit. Berikut ini diuraikan beberapa teorema limit. Pembuktian ini
tidak dibahas dimateri SMA, tetapi akan dibahas ditingkat yang lebih lanjut.
Untuk n bilangan bulat positif, c konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang mempuyai
limit di a berlaku teorema-teorema berikut:
1. limx → a
c=c
3
Teorema Limit
Limit Fungsi Trigonometri
2. limx→ a
xn=an
3. limx→ a
[c f (x)]=c limx→ a
f (x )
4. limx →a
[ f ( x )± g ( x ) ]=limx→ a
f ( x )± limx→ a
g ( x )
5. limx → a
[ f (x ) X g ( x ) ]=[limx → af (x ) ] X [ limx →a
g ( x ) ]
6. limx→ a
f ( x )g ( x )
=limx→ a
f ( x )
limx→ a
g ( x )
dengan limx →a
g (x ) ≠ 0
7. limx → a
[ f (x) ]n=[ limx →af (x)]n
8. limx→ a
n√ f (x )=n√[ limx→ af (x )]dengan lim
x →af ( x )>0 dan nadalah bilangan asli .
D.Pembuktian Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri
4
limx →0
xsinx
=1
limx →0
sinxx
=1
limx →0
xtanx
=1
limx →0
tanxx
=1
Catatan : Rumus – rumus tersebut hanya berlaku untuk nilai peubah x mendekati nol.
Limit Fungsi Trigonometri
1 .Membuktikan Rumus limx → 0
sinxx
=1 dan limx →0
xsinx
=1
Kita membuktikanrumus limx→ 0
sinxx
=1 dan limx → 0
xsinx
=1 dengandua cara :
a. Menggunakan Kalkulator
1¿ . limx →0
sinxx
=1
Bukti :
Perhatikan tabel berikut ini !
Tabel berikut diperoleh dari kalkulator dengan mode radian.
Tampaknya sin x
x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara
kita menduga bahwa limx → 0
sin xx
=1
2¿ . limx → 0
xsinx
=1
Bukti :
Perhatikan tabel berikut ini !
Tabel berikut diperoleh dari kalkulator dengan mode radian.
5
x 0,5 0,1 0,01 →0← -0,01 -0,1 -0,5
sin xx
0,95885 0,9983 0,99998 →?← 0,99998 0,998330,95885
x 0,5 0,1 0,01 →0← -0,01 -0,1 -0,5
xsin x
1,04291 1,001671,0000
2→?← 1,00002 1,00167
1,04291
r
r AC
B D
xO
Limit Fungsi Trigonometri
Tampaknya x
sin x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara
kita menduga bahwa limx → 0
xsin x
=1
b. Menggunakan Trigonometri
Bukti:
Perhatikan gambar di samping. Dari gambar
di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,
besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak
lurus OA untuk 0 < x < 12
π
BCOB
=sin x⟹BC=OB ∙sin x
BC=rsin x
ADOA
=tan x⟹ AD=OA∙ tan x
¿ r tan x
L∆OBC<L juring OAB<L∆OAD
12
∙OC ∙BC < 12
xr2< 12
∙OA ∙ AD
12
∙OC ∙ r sin x< 12
x r2<¿ 12
∙OA ∙ r tan x¿
:12
r2
12
∙OC ∙ rsin x
12
r2<
12
x r2
12
r 2<
12
∙OA ∙ r tan x
12
r2
OCr
sin x<x< OAr
tan x
6
CatatanIngat
15< 1
4< 1
3tetapi 5>4>3
atau 3<4<5
Limit Fungsi Trigonometri
cos x sin x< x< rr
tan x
cos x sinx<x<tan x
:sin x
cosx< xsinx
< 1cosx
… (¿)
limx →0
cosx< limx →0
xsinx
<¿ limx→ 0
1cosx
¿
cos 0<limx→ 0
xsinx
<¿ 1cos 0
¿
1< limx →0
xsinx
<¿ 11
¿
1< limx →0
xsinx
<1
Maka limx →0
xsinx
=1 …¿
Dari persamaan(¿)dapat diperoleh1
cos x> sin x
x>cos x
limx →0
1cos x
>limx →0
sin xx
> limx → 0
cos x
1cos0
>limx→ 0
sin xx
>cos0
11> lim
x →0
sin xx
>1
1> limx →0
sin xx
>1
Maka limx →0
sin xx
=1 …(¿∗¿)
Persamaan (**) dan (***) dapat dituliskan sebagai berikut.
7limx →0
xsinx
=1 atau limx → 0
sin xx
=1
Limit Fungsi Trigonometri
2 .Membuktikan Rumus limx → 0
tan xx
=1 dan limx → 0
xtan x
=1
Kita membuktikanrumus limx→ 0
tan xx
=1dan limx→ 0
xtan x
=1dengandua cara :
a. Menggunakan Kalkulator
1¿ . limx →0
tan xx
=1
Bukti:
Perhatikan tabel berikut ini !
Tabel berikut diperoleh dari kalkulator dengan mode radian.
X 0,5 0,1 0,01→0
←-0,01 -0,1
-0,5
tan xx
1,09260 1,00335 1,00003 →?← 1,00003 1,003351,09260
Tampaknya tan x
x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara
kita menduga bahwa limx → 0
tan xx
=1
2¿ . limx → 0
xtan x
=1
Bukti:
Perhatikan tabel berikut ini !
8
r
r AC
B D
xO
Limit Fungsi Trigonometri
Tabel berikut diperoleh dari kalkulator dengan mode radian.
X 0,5 0,1 0,01→0
←-0,01 -0,1
-0,5
xtan x
0,91524 0,99666 0,99997 →?← 0,99997 0,996660,91524
Tampaknya x
tan x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara
kita menduga bahwa limx → 0
xtan x
=1
b. Menggunakan Trigonometri
Bukti:
Perhatikan gambar di samping. Dari gambar
di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,
besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak
lurus OA untuk 0 < x < 12
π
BCOB
=sin x⟹BC=OB ∙sin x
BC=rsin x
ADOA
= tan x⟹ AD=OA∙ tan x
¿ r tan x
L∆OBC<L juring OAB<L∆OAD
12
∙OC ∙BC < 12
xr2< 12
∙OA ∙ AD
12
∙OC ∙ r sin x< 12
x r2<¿ 12
∙OA ∙ r tan x¿
9
Limit Fungsi Trigonometri
:12
r2
12
∙OC ∙ rsin x
12
r2<
12
x r2
12
r 2<
12
∙OA ∙ r tan x
12
r2
OCr
sin x<x< OAr
tan x
cos x sin x< x< rr
tan x
cos x sinx<x<tan x
Dari persamaan :
cos x sinx<x<tan x
: tan x
cosx sinxtanx
< xtanx
< tanxtanx
cosx sinxsinxcosx
< xtanx
<1
cosxsinx
. cosx . sinx< xtanx
<1
cos2 x< xtanx
<1… (¿)
limx →0
cos2 x< limx→ 0
xtanx
<1
cos20< limx→ 0
xtan x
<1
10
CatatanIngat
15< 1
4< 1
3tetapi 5>4>3
atau 3<4<5
Limit Fungsi Trigonometri
1¿ limx → 0
xtanx
<1
Maka diperoleh :
limx →0
xtanx
=1 … (¿)
Dari persamaan (¿ ) dapat diperoleh1
cos2 x> tan x
x>1
limx →0
1
cos2 x>lim
x→ 0
tan xx
>1
1
cos2 0>lim
x→ 0
tan xx
>1
11> lim
x →0
tan xx
>1
1> limx →0
tan xx
>1
Maka limx →0
tan xx
=1… (¿¿)
Persamaan (##) dan (###) dapat dituliskan sebagai berikut
Carilah nilai limit berikut :
a . limx→ 0
sin 2 x2x
e . limx →2
sin (t−2)t−2
11
limx →0
xtanx
=1 atau limx→ 0
tan xx
=1
Contoh Soal : Menggunakan Rumus Limit Fungsi Trigonometri
Limit Fungsi Trigonometri
b . limx→ 0
2 xtan 4 x
f . limx →0
sin2 xx2
c . limx → 0
sin 2 x3 x
g . limx→ 0
sin2 2 x(2 x )2
d . limx → 0
sin 5xsin 3x
Jawab :
a . Misalkan, y=2x .Untuk x→ 0 maka y→ 0
Jadi, limx→ 0
sin 2 x2 x
=limy→ 0
sin yy
=1
b . limx→ 0
2 xtan 4 x
=limx→ 0
2xtan 4 x
.4 x4 x
¿ limx→ 0
4 xtan 4 x
.2 x4 x
¿1 .24
¿24
c . limx → 0
sin 2 x3 x
=limx→ 0
sin 2 x3x
.2 x2 x
¿ limx→ 0
sin 2 x2 x
.2 x3 x
¿1 .23
12
Limit Fungsi Trigonometri
¿ 23
d . limx → 0
sin 5xsin 3x
=limx →0
sin 5 x .1
sin 3 x
¿ limx→ 0 ( sin 5 x
5 x ).5 x . ( 3 xsin 3 x ) .
13 x
¿ limx→ 0
5 x3 x
.( limx →0
sin5 x5 x ) .( lim
x →0
3 xsin3 x )
¿ 53
.1 .1
¿53
e . limt →2
sin(t−2)t−2
Misalkan , y=t –2. Jikat → 2maka y → 2−2 atau y → 0
Jadi,
limt →2
sin (t−2)t−2
=limy→ 0
sinyy
=1
f . limx →0
sin2 xx2 =( lim
x → 0
sin xx )
2
=(1 )2=1
g . limx → 0
sin2 2 x(2 x )2
=( limx → 0
sin 2 x2 x )
2
=(1)2=1
13
Limit Fungsi Trigonometri
14
Dari contoh soal di atas, menggambarkan hal umum sebagai berikut:
1. limx→ 0
sin axax
=limx→ 0
axsin ax
=1
2. limx→ 0
sin axbx
=limx→ 0
axsin bx
=limx →0
sin axsin bx
=ab
3. limx→ a
sin(x−a)x−a
=1
4. limx →0
sin2 xx2 =lim
x→ 0
x2
sin2 x=1
5. limx→ 0
sin2 ax¿¿ ¿
6. limx→ 0
tan axax
= limx → 0
axtan ax
=1
7. limx→ 0
tan axbx
=limx →0
axtan bx
=limx→ 0
tan axtan bx
=ab
8. limx→ 0
tan2 xx2 =lim
x→ 0
x2
tan2 x=1
9. limx→ 0
tan2 ax
( ax )2=lim
x → 0
(ax )2
tan2 ax=1
Limit Fungsi Trigonometri
E.Cara Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Trigonometri
Pertama, kita selesaikan dulu soal limit tersebut dengan cara substitusi
langsung. Jika hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu 00
, hasil tersebut
merupakan nilai limit yang dicari. Jika diperoleh bentuk tak tentu 00
, kita dapat
menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah kita kenal baik pada pembilang
maupun pada penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikian, pembilang dan
penyebut tersebut tidak lagi melibatkan fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk
tak tentu 00
.
Selanjutnya dengan substitusi langsung, kita dapat menentukan nilai dari limit
fungsi trigonometri tersebut.
Jika kita telah menyederhanakan fungsi yang menyebabkan bentuk tak tentu 00
pada pembilang dan penyebut, kita dapat menggunakan rumus limit fungsi
trigonometri.
Pada bagian ini, akan dibahas secara terurut baagaimana menentukan limit
fungsi trigonometri dengan cara substitusi langsung dan dengan cara
menyederhanakannnya. Akhirnya kita dapat menggunakan rumus limit fungsi
trigonometri.
1. Cara Subtitusi Langsung
Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan cara subtitusi
langsung, kita langsung memasukkan harga peubah di bawah tanda limit ke dalam
fungsi trigonometri tersebut. Jika hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu 00
,
hasil tersebut merupakan jawaban. Agar kita dapat memahaminya, mari kita
pahami contoh soal berikut.
15
Dari contoh soal di atas, menggambarkan hal umum sebagai berikut:
1. limx→ 0
sin axax
=limx→ 0
axsin ax
=1
2. limx→ 0
sin axbx
=limx→ 0
axsin bx
=limx →0
sin axsin bx
=ab
3. limx→ a
sin(x−a)x−a
=1
4. limx →0
sin2 xx2 =lim
x→ 0
x2
sin2 x=1
5. limx→ 0
sin2 ax¿¿ ¿
6. limx→ 0
tan axax
= limx → 0
axtan ax
=1
7. limx→ 0
tan axbx
=limx →0
axtan bx
=limx→ 0
tan axtan bx
=ab
8. limx→ 0
tan2 xx2 =lim
x→ 0
x2
tan2 x=1
9. limx→ 0
tan2 ax
( ax )2=lim
x → 0
(ax )2
tan2 ax=1
Limit Fungsi Trigonometri
Selesaikan limit-limit berikut dengan cara substitusi langsung.
a . limx → π
¿¿
b . limx →
π2
1−cos2 x2cos x
c . limx → 0
sin xsin x+cos x
Penyelesaian :
a . limx → π
¿¿
b . limx →
π2
1−cos2 x2cos x
=1−cos 2
π2
2cos( π2 )
=1−cos π
2cosπ2
=1− (−1 )
2 (0 )=
20=∞
c . limx → 0
sin xsin x+cos x
= sin 0sin 0+cos 0
= 00+1
=01=0
2. Cara Menyederhanakan
Apabila hasil yang diperoleh melalui substitusi langsung berupa bentuk tak
tentu 00
, Anda harus melakukan penyederhanaan terhadap fungsi trigonometri. Hal
pertama yang mungkin Anda lakukan adalah menentukan fungsi trigonometri yang
menyebabkan bentuk tak tentu 00
.
Kemudian, Anda dapat
menggunakan rumus-rumus trigonometri
pada pembilang maupun penyebut
sehingga keduanya mengandung fungsi
penyebab bentuk tak tentu 00
. Sederhanakan fungsi yang menyebabkan bentuk tak
16
CatatanPenyebab bentuk tak tentu
00
pada fungsi trigonometri adalahsin xuntuk lim
x → 0f (x ) dan
Contoh Soal : Menentukan Limit Fungsi Trigonometri
Contoh Soal : Menentukan Limit Fungsi Trigonometri
Limit Fungsi Trigonometri
tentu 00
. Selanjutnya, Anda dapat melakukan substitusi langsung untuk
mendapatkan jawabannya.
Pengetahuan rumus-rumus trigonometri yang telah Anda pelajari pada bab
sebelumya akan sangat membantu Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah
limit fungsi trigonometri.
Selesaikan limit-limit berikut dengan cara menyederhanakan.
a . limx →
π2
sin 2 xcos x
b . limx→ 0
1−cos2 x1−cos4 x
Penyelesaian:
Mulailah dengan sustitusi langsung untuk menentukan penyebab bentuk tak tentu 00
a . limx →
π2
sin 2 xcos x
=sin 2( π
2 )cos
π2
= sin π
cosπ2
=00
Penyebab bentuk tak tentu 00
yang paling sederhana untuk x→π2
adalah cos x.
Oleh karena itu, fungsi sin 2x dinyatakan dalam cos x, yaitu
sin 2 x=2 sinx cos x .
Jadi,
limx→
π2
sin 2 xcos x
=limx →
π2
2sin x .cos xcos x
¿ limx→
π2
2sin x
¿2 sin( π2 )
17
Limit Fungsi Trigonometri
¿2 ∙1
= 2
b . limx→ 0
1−cos2 x1−cos4 x
=¿ 1−cos 01−cos 0
=1−11−1
=00
¿
Padaumumnya , penyebab bentuk tak tentu00
untuk limx →0
f ( x ) adal ah fungsi sinus .Ole h karena itu ,
nyatakanlah fungsi cos 2x dan cos 4x dalam fungsi seperti berikut.
cos2 x=1−2sin2 x
cos 4 x=1−2sin22 x
Jadi,
limx →0
1−cos2 x1−cos4 x
=limx →0
1−(1−2sin2 x)1−(1−2sin2 2 x )
¿ limx→ 0
2sin2 x2sin2 2 x
¿ limx→ 0
sin2 x¿¿¿ ¿
¿ limx→ 0
sin2 x4 sin2 xcos2 x
¿ limx→ 0
1
4 cos2 x
¿ 1
4 cos2 0
¿ 1
4 (1)2
¿ 14
18
Limit Fungsi Trigonometri
19
Diagram alir proses penyelesaian soal limit fungsi trigonometri.
Contoh :
Limit Fungsi Trigonometri
F. Aplikasi Limit Fungsi Trigonometri
Limit fungsi trigonometri tidak dapat langsung dipakai dalam kehidupan nyata,
tetapi perlu dikaitkan dengan ilmu yang lain, misalnya fisika yaitu tentang
Kinematika.
20
MulaiSubstitusi langsung
Hasil = 0/0
Selesai
Cari penyebab 0/0 Sederhanaka
n
penyebab 0/0
Substitusi langsung
SelesaiGunakan rumus limit
Fungsi trigonometriSelesa
i
Untuk menyederhanakantida
kya
mudah
sukar
Limit Fungsi Trigonometri
Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s= 10 sin 2t dengan s
adalah jarak yang dinyatakan dalam meter. Tentukan kecepatan partikel pada saat
t=π6
detik .
Penyelesaian :
Kecepatan pada saat t dinyatakan oleh :
v(t )=limx→ 0
∆ s∆ t
=¿ limx → 0
s (t+∆t )−s (t )
∆ t¿
Diketahui :
s( t )=10 sin2 t
s( t+∆t )=10 sin 2 ( t +∆ t )
s( t+∆t )=10 sin (2t +2∆ t )
∆ s=s (t+∆t )−s (t )
∆ s=10 sin 2 ( t +2∆ t )−10 sin 2t
∆ s=10 [sin (2t +2∆ t )−sin 2 t ]…(i)
Dengan mengubah persamaan (i) menjadi bentuk :
sin A−sin B=2 cos12
( A+B ) ∙ sin12
( A+B ) , diperoleh
∆ s=10[2cos12
(2t +2∆ t+2t ) ∙sin12
(2 t+2∆ t−2 t )]❑
∆ s=20cos (2t +∆ t ). sin ∆ t
Dengan demikian,
v(t )= lim∆t → 0
20 cos (2 t+∆ t ) . sin ∆ t∆ t
❑
v(t )= lim∆t → 0
20 cos (2 t +∆ t ) ∙ lim∆t →0
sin ∆ t∆ t
v(t )=20 cos (2 t+0 ) .1
v(t )=20 cos2 t
21
Menentukan Kecepatan Sesaat
Limit Fungsi Trigonometri
Untuk t=π6
detik
Maka v(t=π6 )=20 cos2( π
6 )=20 cosπ3=20 cos 600=20( 1
2 )=10 m /detik.
DAFTAR PUSTAKA
Dosen-Dosen Fisika FMIPA ITS. 1997. Fisika Kinematika, Dinamika, Getaran Panas.
Surabaya: Yanasika.
22
Limit Fungsi Trigonometri
Halliday, David, dkk. 1998. Fisika Jilid I Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga.
Kanginan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika untuk Kelas XI SMA/MA. Jakarta :
Grafindo Media Pratama.
Kartini, dkk. 2004. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA. Klaten:
Intan Pariwara.
Moesono, Djoko. 1988. Kalkulus 1. Surabaya: Unesa University Press.
Negoro, ST, dkk. 2005. Ensiklopedia Matematika. Bogor: Ghalia Indonesia.
Nugroho Soedyarto dan Maryanto. 2008. Matematika untuk SMA dan MA kelas XI
Program IPA. Jakarta : Depdiknas.
Purcell, Edwin, dkk. 2004. Kalkulus Jilid I. Jakarta: Erlangga.
Sulistyono, dkk. 2004. Matematika SMA untuk Kelas XI. Jakarta: Erlangga.
Sunardi, dkk. 2004. Matematika IPA Kelas 2 SMA. Jakarta: Bumi Aksara.
23