matemática ii científico idal 2017 geometría 1 prof. a

Matemática II Científico IDAL 2017 Geometría 1 Prof. A. Galli – Prof. F. Díaz

1

1)

a) Considere tres puntos distintos del plano A, B y C. ¿Cuántas rectas distintas ellos

determinan? Discutir según posición de los puntos, la cantidad de soluciones

b) Considere cuatro puntos distintos del plano A, B, C y D. ¿Cuántas rectas distintas ellos

determinan? Discutir según posición de los puntos, la cantidad de soluciones

c) Si se tienen n puntos distintos del plano, tales que no existen tres alineados. ¿Cuántas

rectas distintas ellos determinan?

2) Solamente usando regla y compas construye lo que se pide en cada una de las siguientes

partes

a) Construir dos rectas paralelas.

b) Construir dos rectas perpendiculares.

c) Construir un triángulo equilátero de lado 4 cm

d) Construir un ángulo de 30 grados

e) Construir la mediatriz de un segmento AB

f) Construir la bisectriz de una ángulo ABC cualquiera

g) Construir un cuadrado de lado 4cm

3) Dados tres puntos A, B y C del plano, no alineados, cualesquiera. Hallar un punto P que

equidiste de A, de B, y de C

4) Construir un T(MNP) en cada caso

a) MN=5cm NP=6cm MP=4cm

b) MN=6cm NP= 3cm MNP=30

c) MN= 4cm PMN=45 MNP= 60

d) MN=8cm NP=3cm MP= 4cm

e) PMN= 45 MNP=60 PM=6cm

f) HM=4cm NP=6cm PM=7cm

g) MedM=6cm medN=5cm MN=4cm

5) Investiga que significa cada uno de los siguientes conceptos, y completa el cuadro

CONCEPTO PRIMITIVO :

AXIOMA

POSTULADO :

TEOREMA :

COROLARIO :


2

Geometría: podemos partir de que es la Ciencia que estudia las propiedades de

las figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la

posición.

Algunos conjuntos de puntos son:

Nombre del

Conjunto

PUNTO RECTA SEGMENTO SEMIRRECTA PLANO

Representación

Simbolo

Se lee

Punto P

Recta MN

Recta NM

Segmento

MN

Segmento

NM

Semirrecta

MN

Plano α

ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano

limitada por dos semirrectas que tienen el origen común”.

Un ángulo se mide (en grados sexagesimales), en grados, minutos y segundos.

O = vértice del ángulo

OA

y OB semirrectas

AOB BOA

A

O

B


3

El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del

circulo completo.

Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es

decir:

Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de

segundo, es decir:

6)

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro)

ÁNGULO COMPLETO ÁNGULO LLANO ÁNGULO OBTUSO

mide

mide Mide

Dibujo

Dibujo Dibujo

ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDO

mide

mide

Dibujo

Dibujo

1º = 60’

1’ = 60’’


4

SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se

pueden sumar o restar como sigue:

Ejemplos: 1) Suma de ángulos: 15º 28’ 35’’

+ 48º 47’ 52’’

63º 75’ 87’’

Luego, 63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’

2) Realiza la resta: 150º

- 122º 45’ 35’’

Así 149º 59’ 60’’

- 122º 45’ 35’’

27º 14’ 25’’

7)

A) Determinar el valor de los siguientes ángulos:

AOC = BOE =

BOD = COF =

AOE = DOF =

AOF =

B) Dados los siguientes ángulos:

D C B

47º 41º

30º

E 51º 0 A

F


5

= 28º 55’ , = 140º 40’ 52’’ , = 91º 10’ 20’’

Calcula

a) + + = b) - = c) 2

C) En la figura, OC es bisectriz del AOB.

Encuentra el valor de x e y , si AOB = 140º.

2y-40º x+20º

DEFINICIONES :

ÁNGULOS ADYACENTES

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado

en común.

y son adyacentes

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

Dos ángulos adyacentes son complementarios si suman en conjunto 90º.

9

A C

O B


6

L1

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos adyacentes son suplementarios

si suman en conjunto 180º

180º

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA

SECANTE.

1 2

3 4

8)

A) En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?

2x+3 41º

B) En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?

2x+80

60°

1 4 5 8

2 3 6 7

Ubicar los ángulos 5, 6, 7 y 8

L2


7

C) En la figura, encuentra los valores de x e y

D) La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de

ellos es el triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ?

E) Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º

más que el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ?

F) G) H)

3x 2x 5x

2x-10°

x+40° x+50°

2x-80°

5x-75°

3x x+20°

3x-15°

3x x+20°

116°

y-30º

2x 3x-30º


8

TRIÁNGULOS.

Identificar los triángulos.

ABC triángulo cualquiera

AB , BC y AC lados del triángulo

interiores

, , exteriores

A, B y C vértices del triángulo

CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS.

SEGÚN SUS LADOS.

1. EQUILÁTERO AB BC AC

2. ISÓSCELES AC BC

3. ESCALENO AB BC AC

SEGÚN SUS ÁNGULOS :

4. ACUTÁNGULO Todos sus ángulos interiores son agudos.

5. RECTÁNGULO 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios

6. OBTUSÁNGULO 1 ángulo obtuso y dos agudos.


9

PROPIEDADES DE TODO TRIÁNGULO :

I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMAN EN CONJUNTO 180º.

II. LOS TRES ANGULOS EXTERIORES EN CONJUNTO, SUMAN 360º.

III. CADA ANGULO EXTERIOR ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LOS

DOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES.

9)

A) De los tres ángulos de un triángulo el

mayor mide 32 más que el segundo y

éste 25 más que el tercero. ¿ Cuánto

mide cada ángulo ?

B) El ángulo basal de un triángulo

isósceles mide 57 más que el

ángulo del vértice.

¿ Cuánto mide cada ángulo ?

C) Los ángulos interiores de un triángulo

están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es

la medida del ángulo del medio ?

D) El perímetro de un triángulo

equilátero es 24. ¿ Cuál es la

magnitud de su lado ?


10

LINEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.

I.BISECTRICES.

C AE = b

BF = b

CD = b

F E Las tres bisectrices se cortan en

un mismo punto que sirve de centro a la

circunferencia INSCRIPTA.

A D B

DICHO PUNTO SE LLAMA INCENTRO.

II. MEDIANAS

C E punto medio de BC

D punto medio de AB

F punto medio de AC.

F E AE = ta ; BF = tb ; CD = tc

G

Las tres medianas se cortan en un

sólo punto llamado CENTRO DE

GRAVEDAD o BARICENTRO

Una característica especial de las medianas es que el segmento adyacente al vértice

es el doble del segmento adyacente al lado. es decir, AG = 2GE.

A D B


11

III. ALTURAS DEL TRIÁNGULO.

C La altura es un segmento

perpendicular al lado trazada

desde el vértice opuesto.

CD AB ; AE BC ; BF AC

E Las tres alturas se cortan en un

F mismo punto llamado

ORTOCENTRO.

A D B

IV. PARALELEA MEDIA

C D, E y F son los puntos medios

de los lados del triángulo.

DE, EF y FD son las medianas.

Cada paralela media que une dos puntos

medios es paralela al lado al tercer lado y

es la mitad de dicho lado.

A

B F

E

D


12

V. MEDIATRICES

Mediatriz es la perpendicular

trazada en el punto medio de cada

lado del triángulo.

Las tres mediatrices se cortan en

un solo punto que sirve de centro a

la circunferencia circunscripta, es

decir, pasa por cada vértice del

triángulo. Dicho punto se denomina

CIRCUNCENTRO.

10)

A) ¿Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas.

i) en un triángulo rectángulo Conclusiones B

C A

ii) en un triángulo acutángulo Conclusiones B

A C


13

iii) en un triángulo obtusángulo Conclusiones

B

A C

Dibuja las medianas : Conclusiones

B

A C

Traza las mediatrices de los lados del triángulo :

Conclusiones

B

A C

Traza las medianas

Conclusiones

B

A C


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CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS

PRIMER CASO : Se conocen los tres lados.

Construye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm.

Construcción :

1º Se dibujan los tres segmentos dados

2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y

con radio c. Se determina el vértice B.

3º Desde A se traza un nuevo arco hacia C con radio b.

4º Desde el vértice B se traza un arco hacia C con radio a.

5º Queda determinado el vértice C. Se une A con C y b con C

a b c

b a

A c B

10)

EN TU CUADERNO :

A) Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8

B) ¿ Crees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm. ?

SEGUNDO CASO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos..

Construye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y = 60º.

Construcción :


15

1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º

2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y

con

radio c. Se determina el vértice B.

3º En A se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo .

4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice C.

5º Se une B con C y queda construido el triángulo.

CONSTRUCCIÓN ( EN TU CUADERNO )

EN TU CUADERNO :

C) Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

D) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º

TERCER CASO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.

Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; = 120º y = 30º.

Construcción :

1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados.

2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro A y

con

radio c. Se determina el vértice B.

3º En el vértice A se copia el ángulo .


16

4º En el vértice B se copia el ángulo .

5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda

determinado

el triángulo ABC.

EN TU CUADERNO :

E) Construye un triángulo dados : a = 4,5 cm ; = 75º y = 50º

F) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; = 105º y = 35º

CUARTO CASO : Se conocen dos lados y un ángulo.

Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y = 85º.

Construcción :

1º Se dibujan los tres datos

2º Se traza una

3º

4º

5º

EN TU CUADERNO :

G) Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

H) Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º


17

11)

A) El pueblo A está situado a 23 km al sur del pueblo B. El pueblo C está 35 km al

suroeste de B. ¿ Cuál es la distancia entre A y C?

B) Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se

encuentra a 15 metros sobre el nivel del mar. ¿ A qué distancia está el barco

CONGRUENCIAS

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES


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ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es

decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :

AB = A’B’ , A = A’

A A’ AC = A’C’ , B = B’

BC = B’C’ , C = C’

B C B’ C’

La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos ABC A’B’C’

Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :

CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y

los ángulos adyacentes a él :

2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el

ángulo comprendido entre ellos :


19

3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO ( L . L. A . )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el

ángulo opuesto al mayor de ellos :

4. CRITERIO LADO - LADO - LADO ( L . L. L . )

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :

EJEMPLOS DE APLICACIÓN :

C

1) TEOREMA : La bisectriz correspondiente

al ángulo basal de un triángulo isósceles es

perpendicular a la base y la biseca. 1 2

Hipótesis : ABC es isósceles

CD es bisectríz

A D B

Tesis : ADC = CDB = 90º

y AD = DB

Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la

figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así :


20

L : AC = BC (lados iguales de un triángulo isósceles )

A : 1 = 2 (por ser CD bisectríz )

L : CD = CD ( lado común a los dos triángulos )

Por tanto : ADC DBC ( por criterio L.A.L.)

Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos

respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :

ADC + CDB = 180º ( son ángulos adyacentes )

y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los

opuestos a lados iguales ).

Además : AD = DB ( por ser elementos homólogos )

Q. E. D. ( Queda Esto Demostrado )

2) En la figura : F E

Hipótesis : FA = DA y CFA = EDA A

Tesis : i) ACF ADE

C D

ii) A es el punto medio de CE

Demostración :


21

I : CFA = EDA ( por hipótesis )

II : FA = DA ( por hipótesis )

III: CAF = EAD ( ángulos opuestos por el vértice )

por tanto : i) ACF ADE ( por criterio L.A.L.)

ii) CA = EA ( lados homólogos )

3) En la figura : C

Hipótesis : AC = AD y BC = BD

A B

Tesis : i) ABC ABD

ii) ACB = ADB

Demostración :

I: AC = AD ( por hipótesis )

II : BC = BD ( por hipótesis )

III : AB = AB ( por hipótesis )

Así : i) ABC ABD ( por criterio L.L.L.)

ii) ACB = ADB ( ángulos homólogos )

D

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