matemÁtica ii (10026) 09 derivada de una función de una
TRANSCRIPT
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
1
1- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
𝑎) 𝑦 = ln(2 − √𝑥23)
2 − √𝑥23>0 → (𝑥2)
1
3 < 2 → 𝑥2 < 8 → |𝑥| < √8 → −√8 < 𝑥 < √8
𝐷𝑜𝑚 𝑦 = (−√8, √8 )
y’=−
2
3𝑥
−13
2− √𝑥23 = −2
3 √𝑥3
(2− √𝑥23)
Dom y′= ℝ − {0}
Y′ ≠ 0, ∀ 𝑥
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos (-√8, 0)
y'(-1)=2
3
(0, √8 )
y'(1)=−2
3
Signo de y′ positiva negativa
y crece decrece
b) y=𝑒√4−𝑥2
4-𝑥2 ≥ 0 → 𝑥2 ≤ 4 → |𝑥| ≤2 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
Dom y=[-2,2]
Y’=𝑒√4−𝑥2 1
2(4 − 𝑥2)−
1
2(−2𝑥)
Y’= −𝑥𝑒
√4−𝑥2
√4−𝑥2
Dom y'=(-2,2)
y'=0, para x=0
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos (-2, 0) y'(-1)>0
(0, 2) y'(1)< 0
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
2
Signo de y′ positiva negativa
y crece decrece
c)y=x-√1 − 4𝑥2
1-4𝑥2 ≥ 0 → 4𝑥2 ≤ 1 → 𝑥2 ≤1
4→ |𝑥| ≤
1
2→ −
1
2≤ 𝑥 ≤
1
2
Dom y=[−1
2,
1
2]
Y’=1- 1
2(1 − 4𝑥2)−
1
2(−8𝑥)
y'= 1+4𝑥
√1−4𝑥2
Dom y'=(−1
2,
1
2)
y'(x)= 0 →1+4𝑥
√1−4𝑥2 =0→
−4𝑥
√1−4𝑥2 =1→ −4𝑥 = √1 − 4𝑥2 (x<0)
→ 16𝑥2 = 1 − 4𝑥2, (x<0)
→ 20𝑥2 = 1, (x < 0)
→ 𝑥2 =1
20 , (x < 0)
→ |𝑥| = √1
20, (x<0)
→ 𝑥 = −√1
20
Conjuntos de positividad y negatividad de la derivada (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función)
Intervalos
(−1
2, −√
1
20)
y'(-0,3)< 0
(−√1
20 ,
1
2)
y'(0)=1
Signo de y′ negativa positiva
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
3
y decrece crece
2- Calcular el mínimo y el máximo absoluto de las siguientes funciones:
𝑎) 𝑦 =ln(2 − √𝑥23) en [−1; 1]
Los puntos x=-1 y x=1, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)
f’= −2
3 √𝑥3
(2− √𝑥23)
f′ ≠ 0, ∀ 𝑥
La derivada no existe en x=0, entonces x=0 punto crítico
Intervalos x=-1 (-1,0)
f'(-1
2)>o
x=0 (0, 1)
f'(1
2)<0
x=1
f(-1)=0 f (0)=ln2 f(1)=0
Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo
f (-1)=0 y f(1)=0, el mínimo absoluto es 0, y se alcanza en x=-1 y en x=1
El máximo absoluto es ln2, y se alcanza en x=0
𝑏) y=𝑒√4−𝑥2en su dominio de definición
Dom f=[-2,2]
Los puntos x=-2 y x=2, son puntos críticos (puntos fronteras del dominio)
f’= −𝑥𝑒
√4−𝑥2
√4−𝑥2
f’(x)=0, en x=0, x=0 punto crítico
Dom f'=(-2,2)
Intervalos x=-2 (-2,0) f'(-1)>o
x=0 (0, 2) f'(1)<0
x=2
f(-2)=1 f(0)=𝑒2 f(2)=1
Signo de f′ f'(x)>o f'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente Mínimo
f (-2)=1 y f(2)=1, el mínimo absoluto es 1, y se alcanza en x=-2 y en x=2
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
4
El máximo absoluto es e2, y se alcanza en x=0
𝑐) 𝑦 = x-√1 − 4𝑥2 en [0; 1
2]
Los puntos x=0 y x=1
2, son puntos críticos
f'= 1+4𝑥
√1−4𝑥2
f'(x)=0, para x=-√1
20 no pertenece al intervalo
f' no existe en x=−1
2 (no pertenece al intervalo) y en x=
1
2 es un punto crítico
Intervalos x=0 (0, 1
2)
f'(0,25)>0
x=1
2
f(0)=-1 f(1
2)=
1
2
Signo de f′ f'(x)>0
f Mínimo creciente Máximo
f (0)=-1, el mínimo absoluto es -1, y se alcanza en x=0
El máximo absoluto es 1
2 , y se alcanza en x=
1
2
3- Dadas las siguientes funciones de costo e ingreso, hallar el nivel de producción que hace
máximo el beneficio, y el beneficio máximo.
𝑎) 𝐶 = 50𝑥 + 100 𝐼 = −2𝑥 2 + 650𝑥
(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = -2𝑥2 + 650𝑥 − 50𝑥 − 100= -2𝑥2 + 600𝑥 − 100
El dominio de 𝐵 es [0; +∞),
luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐵′(𝑥) = -4x+600
Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.
Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 150, estudiando los signos de 𝐵′
Intervalos x=0 (0,150)
x=150 (150,+∞)
B'(0)=600 B'(150)=0 B'(200)=-800+600 =-200
Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
5
lim𝑥→+∞
𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞
(−2𝑥2 + 600𝑥 − 100) = −∞
𝑥 = 150 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)
B(150)=44900
Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 150 unidades y el beneficio máximo
es $44900.
𝑏) 𝐶 = 1/3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 800 𝐼 = −10𝑥 2 + 200
(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = −1
3𝑥3 − 5𝑥2+ 200𝑥 − 800
El dominio de 𝐵 es [0; +∞), luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐵′(𝑥) = −𝑥2 − 10𝑥 + 200
Como 𝐵′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de 𝐵 donde no exista 𝐵′.
Se buscan los valores donde 𝐵′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 10, estudiando los signos de 𝐵′
Intervalos x=0 (0,10)
x=10 (10,+∞)
B'(0)=200 B'(10)=0 B'(11)=-121-100+200=-21
Signo de B′ B'(x)>o B'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
lim𝑥→+∞
𝐵(𝑥) = lim𝑥→+∞
(−1
3𝑥3 − 5𝑥2 + 200𝑥 − 800) = −∞
𝑥 = 10 máximo absoluto de 𝐵 en [0; +∞)
B(10) ≅ 366,67
Luego el nivel de producción que da el beneficio máximo son 10 unidades y el beneficio máximo
es $366,67, aproximadamente.
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
6
4- La curva de demanda de ciertas sillas está dada por 𝑝 = −1
10𝑥 + 15. Hallar la función de
ingreso el determinar el número de sillas a ubicar en el mercado para obtener el máximo
ingreso.
En primer lugar, para obtener la función Ingreso, debemos hacer
𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = (−1
10𝑥 + 15) . 𝑥 = −
1
10𝑥2 + 15𝑥
El dominio de I es [0; +∞),
luego 𝑥 = 0 es un punto crítico.
𝐼′(𝑥)=−
15
𝑥+15
Como I′ es un polinomio, no hay puntos del dominio de I donde no exista I′.
Se buscan los valores donde I′(𝑥) = 0, que es 𝑥 = 75, estudiando los signos de I′
Intervalos x=0 (0,75)
x=75 (75,+∞)
I'(0)=15 I'(75)=0
Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
𝑥 = 75 máximo absoluto de I en [0; +∞)
I(75)=562,5
Luego el nivel de producción que da el ingreso máximo son 75unidades y el ingreso máximo es
$562,5
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
7
5- Con el propósito de tener mayor seguridad, un fabricante planea cercar un área de
almacenamiento rectangular de 3300 m2, adyacente a un edificio que se utilizará como uno
de los lados del área cercada. La cerca paralela al edificio da a una calle y costará U$S 3 por
metro instalado, mientras que la cerca de los otros dos lados costará U$S 2 por metro
instalado. Encontrar la función de costo total de la instalación de la cerca y calcular la cantidad
de cada tipo de cerca de manera que el costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?
A=b.h Costo=2.2b+3h
3300=b.h C=4b+3h
3300/b=h C=4b+3.3300/b
Función de costo total:
𝐶(𝑏) =4𝑏2 + 9900
𝑏, 𝑏 ≠ 0
𝐶′(𝑏) =4𝑏2 − 9900
𝑏2, 𝑏 ≠ 0
𝐶′(𝑏) = 0
𝑏 ≈ 49,75 descartamos el valor negativo.
Intervalos (0;49,75)
x=49,75 (49,75;+∞)
I'(75)=0
Signo de C′ C'(x) <o C'(x) >0
f decreciente Mínimo creciente
ℎ ≈3300
49,75≅ 66,39
𝐶(49,75) ≈ 397,99
Se necesita aproximadamente 66,34 metros de la cerca paralela a la calle y 49,75 metros
aproximadamente de la otra cerca. El costo mínimo aproximado es de $397,99.
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
8
6- La función de costo total de un fabricante está dada por (𝑥) = 𝑥2
4+ 3𝑥 + 400 ¿Para qué nivel de
producción será mínimo el costo promedio por unidad? ¿Cuál es este mínimo?
La función costo promedio resulta 𝑐̅(𝑥) = 𝑥
4+ 3 +
400
𝑥
la derivada de la función costo promedio es 𝑐̅′(𝑥) = 1
4−
400
𝑥2
igualando la derivada a cero 1
4−
400
𝑥2 = 0 resulta x=40
El dominio de 𝑐̅(𝑥) es (0; +∞),
estudiando los signos de 𝑐̅′(𝑥) -
Intervalos (0,40)
x=40 (40,+∞)
𝑐̅′(40) =0
Signo de 𝑐̅′(𝑥) 𝑐̅′(𝑥)<o 𝑐̅′(𝑥)>0
decreciente Mínimo creciente
𝑐̅(40) =40
4+ 3 +
400
40= 23
El nivel de producción que hace mínimo el costo promedio es de 40 unidades.
El costo promedio mínimo por unidad es de 23 unidades monetarias.
7-La empresa Vista TV Cable tiene actualmente 100000 suscriptores que pagan una cuota de 𝑈$𝑆
40. Una encuesta reveló que se obtendrían 1000 suscriptores más por cada 𝑈$𝑆 0,25 de
disminución de la cuota. ¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos suscriptores se
tendrán con dicha cuota?
p=valor de la cuota
x=cantidad de suscriptores
m=-0,25/1000, (100000,40)
El valor de la cuota (p) en función de la cantidad es
P(x)= -(0,25/1000)x + 65
La función ingreso es
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
9
I(x)= p x= (−0,25
1000𝑥 + 65)𝑥 = −
0,25
1000𝑥2 +65x
Si x=0 no hay ingreso
I'(x)= - 0,50
1000𝑥 +65
- 0,50
1000𝑥 +65=0 para x=130000 (punto crítico)
Intervalos x=0 (0,130000)
x=130000 (130000,+∞)
I'(0)=65 I'(130000)=0
Signo de I′ I'(x)>o I'(x)<0
f Mínimo creciente Máximo decreciente
P(130000)=−0,25
1000130000 +65= 32,5
El ingreso máximo ($4225000), se obtiene con 130000 suscriptores, con una cuota de $32,5
8a)
lim𝑥→0
3𝑥 − 1
𝑥= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
0
0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0
3𝑥 . 𝑙𝑛3
1= 30. 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛3
8b)
lim𝑥→0+
ln(1+𝑥)
√𝑥3, indeterminación del tipo
0
0, porHL
lim𝑥→0+
ln(1+𝑥)
√𝑥3 = lim
𝑥→0+
1
1+𝑥3
2√𝑥
= lim𝑥→0+
2
3√𝑥(1+𝑥) =∞
8c)
lim𝑥→+∞
𝑙𝑛𝑥
𝑥5= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→+∞
1𝑥
5𝑥4= lim
𝑥→+∞
1
𝑥.
1
5𝑥4= lim
𝑥→+∞
1
5𝑥= 0
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
10
8d)
lim𝑥→−∞
𝑒𝑥
√𝑥3 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑜
∞
lim𝑥→−∞
𝑒𝑥1
√𝑥3 = 0.0 = 0
8e)
lim𝑥→0−
ln (1 − 𝑥)
𝑒1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0
0, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0−
−11 − 𝑥
𝑒1𝑥. (
−1𝑥2 )
= lim𝑥→0−
1
1 − 𝑥.𝑥2
𝑒1𝑥
= lim𝑥→0−
1
1 − 𝑥. lim
𝑥→0−
𝑥2
𝑒1𝑥
= lim𝑥→0−
𝑥2. 𝑒−1𝑥 =
lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
1
𝑥2
= lim𝑥→0−
1
𝑥2𝑒−1𝑥
−2𝑥
𝑥4
= lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
−2
𝑥
= lim𝑥→0−
1
𝑥2𝑒−1𝑥
2
𝑥2
= lim𝑥→0−
𝑒−1𝑥
2 =∞
8f)
lim𝑥→0+
𝑥. 𝑙𝑛𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
𝑙𝑛𝑥
1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0+
1𝑥
−1
𝑥2
= lim𝑥→0+
1
𝑥. (−𝑥2) = lim
𝑥→0+− 𝑥 = 0
8g) lim𝑥→0+
𝑥. 𝑒1
𝑥 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
𝑒1𝑥
1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿′𝐻
lim𝑥→0+
𝑒1𝑥 . (−
1𝑥2)
(−1
𝑥2)= lim
𝑥→0+𝑒
1𝑥 = ∞
8h)
lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 1∞
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
11
𝑦 = lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥)
ln(𝑦) = 𝑙𝑛 ( lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+
𝑙𝑛((1 + 𝑥)ln(𝑥)) = lim𝑥→0+
ln(𝑥) . ln (1 + 𝑥) =
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
ln (1 + 𝑥)
1ln (𝑥)
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0
0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
11 + 𝑥
−1𝑥
ln2 (𝑥)
= lim𝑥→0+
1
1 + 𝑥. (−𝑥 . ln2(𝑥)) = lim
𝑥→0+
1
1 + 𝑥 . lim
𝑥→0+(−𝑥 . ln2(𝑥))
= 1. lim𝑥→0+
(−𝑥 . ln2(𝑥)) = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 0. ∞
lim𝑥→0+
ln2(𝑥)
−1𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
2 ln(𝑥).1
𝑥1
𝑥2
= lim𝑥→0+
2 ln(𝑥)1
𝑥
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 ∞
∞𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→0+
21
𝑥−1
𝑥2
= lim𝑥→0+
−21
𝑥
= lim𝑥→0+
−2 x = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ln 𝑦 =
0 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑦 = 1, 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒
lim𝑥→0+
(1 + 𝑥)ln (𝑥) = 1
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
12
8i) lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥
lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥 es de la forma ∞0
lim𝑥→−∞
(1 + 𝑥2)1
𝑥 = lim𝑥→−∞
𝑒ln(1+𝑥2)1𝑥
= lim𝑥→−∞
𝑒1
𝑥ln(1+𝑥2) = 𝑒
lim𝑥→−∞
ln(1+𝑥2)
𝑥 = (𝐿𝐻)𝑒lim
𝑥→−∞
2𝑥
1+𝑥2
1 = 𝑒0=1
9- Realizar el estudio de las siguientes funciones y bosquejar su gráfico
𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)
𝑎) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−𝑥2
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: ℝ
b) Raíces: y = 0 ⟹ 𝑥. 𝑒−𝑥2= 0 ⟹ 𝑥 = 0
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (-∞; 0) 0 (0; +∞) 𝑦(−1) = (−1)𝑒−(−1)2
= −1
𝑒
𝑦(1) = (1)𝑒−(1)2
= 1
𝑒
Signo de “y” Negativa Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito (marcadas con arcos en los gráficos): - No tiene asíntotas verticales pues es una función continua en ℝ.
- Como en la fórmula de la función un factor es exponencial, para
determinar las asíntotas no verticales se estudian por separado los límites
para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (el símbolo ≗ indica que desde ahí aplicamos
L’Hospital):
lim𝑥→−∞
𝑥𝑒−𝑥2= lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑒𝑥2 = [−∞
∞] ≗ lim
𝑥→−∞
1
2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0
lim𝑥→+∞
𝑥𝑒−𝑥2= lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑒𝑥2 = [∞
∞] ≗ lim
𝑥→+∞
1
2𝑥. 𝑒𝑥2 = 0
Entonces y = 0 es Asíntota Horizontal (AH) para 𝑥 → +∞ y 𝑥 → −∞ (si
tiene AH entonces no posee asíntotas oblicuas)
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
13
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 𝑒−𝑥2+ 𝑥. 𝑒−𝑥2
. (−2𝑥) = 𝑒−𝑥2(1 − 2𝑥2)
- Dominio de y’: ℝ
- Raíces: y’ = 0 ⟺ 1 − 2𝑥2 = 0 ⟹ − 2𝑥2 = −1 ⟹ 𝑥2 = 1
2⟹ |𝑥| =
1
√2⟹
𝑥1 =1
√2; 𝑥2 =
−1
√2
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función):
Intervalos (−∞;
−1
√2)
−1
√2 (
−1
√2;
1
√2)
1
√2 (
1
√2; +∞)
𝑦′(−1) = 𝑒−1(−1)
= −1
𝑒
𝑦′(0) = 𝑒0(1)= 1
𝑦′(1) = 𝑒−1(−1)
= −1
𝑒
Signo de y’ Negativa 0 Positiva 0 Negativa y Decrece Min Crece Máx Decrece
c) Extremos relativos de la función:
𝑦 (−1
√2) = (
−1
√2) 𝑒
−(−1
√2)
2
= (−1
√2) (
1
√𝑒) ≅ −0,43
𝑦 (1
√2) = (
1
√2) 𝑒
−(1
√2)
2
= (1
√2) (
1
√𝑒) ≅ 0,43
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
14
III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(1 − 2𝑥2) + 𝑒−𝑥2
(−4𝑥) = −2𝑥𝑒−𝑥2+ 4𝑥3𝑒−𝑥2
− 4𝑥𝑒−𝑥2
= 4𝑥3𝑒−𝑥2− 6𝑥𝑒−𝑥2
= 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥)
- Dominio de y”: ℝ
- Raíces: y” = 0 ⟺ 𝑒−𝑥2(4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟺ (4𝑥3 − 6𝑥) = 0 ⟹ 𝑥(4𝑥2 − 6) =
0 ⟹
𝑥 = 0 𝑜 (4𝑥2 − 6) = 0 ⟹ 4𝑥2 = 6 ⟹ 𝑥2 =6
4=
3
2⟹ |𝑥| = √
3
2
𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠 ⟶ 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −√3
2 ; 𝑥3 = √
3
2
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función):
Intervalos
(−∞; −√3
2 ) −√
3
2 (−√
3
2 ; 0)
0
(0; √3
2 ) √
3
2 (√
3
2 ; +∞)
𝑦"(−2) = 𝑒−4(−20)< 0
𝑦"(−1) = 𝑒−1(2)> 0
𝑦"(1) = 𝑒−1(−2) < 0 𝑦"(2) = 𝑒−4(20)> 0
Signo de y” Negativa 0 Positiva 0 Negativa 0 Positiva y Convexa P.I. Cóncava P.I. Convexa P.I. Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función:
𝑦 (−√3
2) = (−√
3
2)
1
𝑒32
≅ (−1,22). (0,22) ≅ −0,27
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
15
𝑦 (√3
2) = (√
3
2)
1
𝑒32
≅ (1,22). (0,22) ≅ 0,27
𝑦(0) = 0
𝑏) 𝑦 = 𝑥. ln(𝑥)
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)
b) Raíces: 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 0 (como 0 ∉ 𝔻 ⟹ x = 0 no es raíz) 𝒐 𝑙𝑛(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 1
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦 (1
𝑒) = (
1
𝑒) 𝑙𝑛 (
1
𝑒)
= −1
𝑒
𝑦(𝑒) = 𝑒. 𝑙𝑛(𝑒) = 𝑒
Signo de “y” Negativa 0 Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidato a Asíntota Vertical (AV): x = 0 Como la función está definida a la derecha de 0, entonces estudiamos la
AV sólo para 𝑥 → 0+:
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
16
lim𝑥⟶0+
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [0. ∞]
= {𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙}
= lim𝑥⟶0+
𝑙𝑛(𝑥)
1𝑥
= [∞
∞] ≗ lim
𝑥⟶0+
1𝑥
−1𝑥2
= lim𝑥⟶0+
1
𝑥. (−𝑥2) = 0
Entonces x = 0 no es AV de y.
- Como la función está definida a la derecha de 0, para determinar las
asíntotas no verticales se estudia sólo el límite para 𝑥 → +∞:
lim𝑥⟶+∞
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) = [∞. ∞] = ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝐻
Estudiamos si tiene Asíntota Oblicua (AO), también para 𝑥 → +∞:
𝑚 = lim𝑥⟶+∞
𝑥. 𝑙𝑛(𝑥)
𝑥= ∞ ⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑂
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1. 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥.1
𝑥= 𝑙𝑛(𝑥) + 1
- Dominio de y’: 𝑥 > 0 ⟹ 𝔻 = (0; +∞)
- Raíces: y’ = 0 ⟹ 𝑙𝑛(𝑥) + 1 = 0 ⇒ 𝑙𝑛(𝑥) = −1 ⟹ 𝑥 = 𝑒−1 ⟹ 𝑥 = 1
𝑒
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos
(0;1
𝑒)
1
𝑒 (
1
𝑒; +∞)
Signo de y’ 𝑦′ (1
𝑒2) = 𝑙𝑛 (1
𝑒2) + 1 = −2 + 1 = −1
< 0
𝑦′(𝑒) = 𝑙𝑛(𝑒) + 1 = 2 > 0
y Decrece min Crece
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
17
c) Extremos relativos de la función:
𝑦 (1
𝑒) =
1
𝑒𝑙𝑛 (
1
𝑒) =
−1
𝑒≅ −0,37
III) Obtener información de la segunda derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = 1
𝑥
- Dominio de y”: x 0
- Raíces: y” = 0 y” no tiene raíces.
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): y” es positiva en el intervalo (0; +∞) que es donde está definida la función,
por lo tanto, “y” es cóncava.
c) Puntos de inflexión de la función: no posee.
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
18
𝒄) 𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙
𝒙 − 𝟐)
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:
𝑥
𝑥 − 2> 0 ⟹ 𝐴) 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0
𝑥 > 2
𝐵) 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0
𝑥 < 2
Entonces 𝔻 = (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
b) Raíces:
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 0 ⟺
𝑥
𝑥 − 2 = 𝑒0 = 1 ⟹ 𝑥 = 𝑥 − 2 ⟹ 0 = −2
⟹ "𝑦" 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠
c) Conjuntos de positividad y negatividad: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
𝑦(−1) = 𝑙𝑛 (1
3) < 0
//////////// 𝑦(3) = 𝑙𝑛(3) > 0
Signo de y Negativa - //////////// - Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidatos a Asíntota Vertical (AV): x = 0 y x = 2.
Analizamos los límites para 𝑥 → 0- y para 𝑥 → 2+ porque en el intervalo
(0;2) la función no está definida:
lim𝑥⟶0−
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
𝑥⟶0−
𝑥
𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(0)] = −∞
0 2
0 2
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
19
lim𝑥⟶2+
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
𝑥⟶2+
𝑥
𝑥 − 2) = [𝑙𝑛(∞)] = ∞
Entonces x = 0 y x = 2 son AV de “y”.
- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la
forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞
lim|𝑥|⟶∞
𝑙𝑛 (𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
|𝑥|⟶∞
𝑥
𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 ( lim
|𝑥|⟶∞
𝑥
𝑥 ) = 0
Entonces x = 0 es AH de y (por lo tanto no hay AO).
II) Obtener información de la primera derivada: a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1𝑥
𝑥 − 2
. (1. (𝑥 − 2 − 𝑥. 1)
(𝑥 − 2)2) =
𝑥 − 2
𝑥.𝑥 − 2 − 𝑥
(𝑥 − 2)2=
−2
𝑥(𝑥 − 2)
- Dominio de y’: x 0 y x 2
- Raíces: no tiene
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
20
𝑦′(−1) =
−2
(−1)(−1 − 2)< 0
//////////// 𝑦′(3) =
−2
(3)(3 − 2)> 0
Signo de y’ Negativa - //////////// - Negativa Y Decrece Decrece
c) Extremos relativos de la función: no posee.
III) Obtener información de la segunda derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = −(−2)(2𝑥 − 2)
(𝑥2 − 2𝑥)2 =
4(𝑥 − 1)
(𝑥(𝑥 − 2))2
- Dominio de y” = x 0 y x 2
- Raíces: y” = 0 ⟺ 4(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1 Esta raíz de y” no
pertenece al Dominio de y.
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
21
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): analizamos la concavidad de “y” en los intervalos en los que está
definida: Intervalos (−∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
𝑦"(−1) =4(−1 − 1)
((−1)(−1 − 2))2< 0
//////// 𝑦"(3) =
4(3 − 1)
(3)(3 − 2)2> 0
Signo de y” Negativa - //////// - Positiva y Convexa - - Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función: no posee porque y” no tiene raíces dentro
de los intervalos de definición de la función.
𝒅) 𝒚 = 𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
I) Obtener información de la fórmula de la función: a) Dominio:
𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠ 1 𝑦 𝑥 ≠ −1
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
22
b) Raíces:
𝑦 = 0 ⟹𝑥
𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 0
c) Conjuntos de positividad y negatividad:
Intervalos (−∞; −1) −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦(−2) < 0 𝑦 (
−1
2) > 0
𝑦 (
1
2) < 0
𝑦(2) > 0
Signo de y Negativa - Positiva 0 Negativa - Positiva
d) Asíntotas y/o límites al infinito:
- Candidatos a AV: x = 1 y x = -1. Analizamos los límites para 𝑥 ⟶ 1−, 𝑥 ⟶
1+, 𝑥 ⟶ −1−, 𝑥 ⟶ −1+:
lim𝑥⟶1+
𝑥
𝑥2− 1= [
1
0+] = ∞ lim𝑥⟶1−
𝑥
𝑥2− 1= [
1
0−] = −∞
lim𝑥⟶−1+
𝑥
𝑥2− 1= [
−1
0−] = ∞ lim𝑥⟶−1−
𝑥
𝑥2− 1= [
−1
0+] = −∞
Entonces x = 1 y x = -1 son AV de y.
- Analizamos las asíntotas no verticales para 𝑥 → -∞ y para 𝑥 → +∞: dada la
forma de la función, podemos analizar para |𝑥| → ∞:
lim|𝑥| ⟶ ∞
𝑥
𝑥2 − 1 = lim
|𝑥| ⟶ ∞
𝑥
𝑥2 = 0
Entonces x = 0 es AH de y.
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
23
II) Obtener información de la primera derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦′ = 1(𝑥2 − 1) − 𝑥(2𝑥)
(𝑥2 − 1)2 =
𝑥2 − 1 − 2𝑥2
(𝑥2 − 1)2 =
−𝑥2 − 1
(𝑥2 − 1)2
- Dominio de y’: (𝑥2 − 1)2 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 ≠ 1 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠
1 𝑦 𝑥 ≠ −1
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
- Raíces: y’ = 0 ⟹−𝑥2 − 1
(𝑥2 − 1)2= 0 ⟺ −𝑥2 − 1 = 0 ⟹ (−1)(𝑥2 + 1) = 0
No tiene raíces.
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función): Intervalos (−∞; −1) -
1 (−1; 1) 1 (1; +∞)
𝑦′(−2) =
−(−2)2
− 1
((−2)2
− 1)2
< 0
𝑦′(0)
−(0)2
− 1
(02 − 1)2
> 0
𝑦′(2) =
−(2)2
− 1
(22 − 1)2
< 0
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
24
Signo de y’ Negativa - Negativa - Negativa y Decrece - Decrece - Decrece
c) Extremos relativos de la función: no tiene.
III) Obtener información de la segunda derivada:
a) Dominio y raíces (puntos críticos de la función):
𝑦" = −2𝑥(𝑥2 − 1)2 − (−𝑥2 − 1)(2(𝑥2 − 1)2𝑥)
(𝑥2 − 1)4
= (𝑥2 − 1)(−2𝑥(𝑥2 − 1) − 4𝑥(−𝑥2 − 1))
(𝑥2 − 1)4
=2𝑥(−(𝑥2 − 1) − 2(−𝑥2 − 1))
(𝑥2 − 1)3=
2𝑥(−𝑥2 + 1 + 2𝑥2 + 2)
(𝑥2 − 1)3
=2𝑥(𝑥2 + 3)
(𝑥2 − 1)3
- Dominio de y”: (𝑥2 − 1)3 ≠ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⟹ |𝑥| ≠ 1 ⟹ 𝑥 ≠
1 𝑦 𝑥 ≠ −1
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
25
Entonces 𝔻 = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞)
- Raíces: 𝑦" = 0 ⟹ 2𝑥(𝑥2+3)
(𝑥2 − 1)3 = 0 ⟺ 2𝑥(𝑥2 + 3) = 0 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟹
𝑥 = 0
b) Conjuntos de positividad y negatividad (intervalos de concavidad de la
función): Intervalos (−∞; −1) -
1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +∞)
𝑦"(−2)
=2(−2)((−2)2 + 3)
((−2)2 − 1)3
< 0
𝑦"(−
1
2)
=2(−
12
)((−12
)2 + 3)
((−12
)2 − 1)3
> 0
𝑦"(
1
2)
=2(
12
)((12
)2 + 3)
((12
)2 − 1)3
> 0
𝑦"(2)
=2(2)((2)2 + 3)
((2)2 − 1)3
> 0
Signo de y”
Negativa - Positiva Negativa - Positiva
y Convexa - Cóncava P.I. Convexa - Cóncava
c) Puntos de inflexión de la función:
𝑦(0) = 0
02 − 1= 0
MATEMÁTICA II (10026) 09 Derivada de una función de una variable real
Guía de ejercicios RESUELTA
26