matemática guía metodológica · establecer otras situaciones problemáticas significativas que...

Guía MetodológicaNoveno Grado

MATEMáTICA

GUIA MATE NOVENO.indd 1 27/03/10 05:29 p.m.

Noveno Grado - Matemática 3

PRESENTACIÓN

Estimados y estimadas docentes tutores de modalidades flexibles de educación, en esta ocasión te presentamos un instrumento pedagógico que ha sido diseñado con el propósito de apoyarte con el desarrollo de contenidos programáticos, que históricamente se ha constatado necesitan de una fundamentación científica más profunda para su enseñanza y para su aprendizaje, de manera que se facilite mayor comprensión de conocimientos y se garanticen mejores resultados de aprendizaje.

Este instrumento denominado “GUÍA METODOLÓGICA DE MATEMÁTICA PARA EL DOCENTE” de modalidades flexibles de educación, constituye una fuente de consulta para ampliar, fundamentar y enriquecer algunos contenidos que desarrollan los módulos de autoestudio; además contiene elementos propios de la metodología de trabajo con personas jóvenes y adultas, de manera que te vuelvas más competente en aspectos propios de la especialidad, así como en el manejo de herramientas didácticas que promuevan el aprendizaje autónomo y colaborativo, la atención a la diversidad, el enfoque de competencias, la planificación y uso del tiempo libre en el estudiantado.

Este documento presenta dos grandes partes bien diferenciadas, la primera esta referida a una breve reseña curricular sobre el plan de estudios del grado, la jornalización del año académico y algunas ideas sobre conceptos básicos de la administración curricular de las modalidades flexibles, y la segunda parte contiene el desarrollo temático acompañado de ciertas pautas metodológicas para hacer la entrega educativa.

Estamos optimistas que el uso pedagógico que hagas de este instrumento contribuirá en gran medida a fortalecer el rol de docente tutor que desempeñas, para garantizar mejores prácticas educativas con la población joven y adulta.

GUIA METODOLÓGICA MATEMÁTICA 9º.indd 3 19/06/2014 08:08:41 a.m.

4 Matemática - Noveno Grado

OBJETIVO DEL DOCUMENTO 5LINEAMIENTOS DE EVALUACIÓN 7OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA 8

UNIDAD 1 Utilicemos ecuaciones con radicales 12Lección 1 Los determinantes y sus propiedades 14Lección 2 Ecuaciones con radicales 17Lección 3 Linea recta 19Lección 4 Sistemas de ecuaciones lineales 23Lección 5 Aprendamos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales 27

UNIDAD 2 Midamos la dispersión de los datos y midamos ángulos en grados y radianes 32Lección 1 Encuentra la dispersión 35Lección 2 La desviación típica 38Lección 3 Ángulos 41Lección 4 Medidas de los ángulos 45Lección 5 Conversiones de ángulos 48

UNIDAD 3 Resolvamos ecuaciones de segundo grado y apliquemos técnicas de conteo 52Lección 1 Ecuaciones cuadráticas 55Lección 2 Métodos de solución de una ecuación cuadrática 58Lección 3 Fórmula general de una ecuación cuadrática 61Lección 4 Apliquemos técnicas de conteo 65Lección 5 Técnicas de ordenamiento 68

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Binomio de newton y triángulo de Pascal 72Lección 1 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: Método de reducción 75Lección 2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: Método de Cramer 79Lección 3 Potencias de polinomios 82Lección 4 Desarrollo del binomio de newton 85Lección 5 Triángulo de Pascal 88

UNIDAD 5 Utilicemos radicales 92Lección 1 Radicación algebraica 95Lección 2 Identificación de expresiones radicales 98Lección 3 Operaciones con radicales 101Lección 4 Factores de los radicales 105Lección 5 Operaciones con radicales 109

ÍNDICE



OBJETIVO DEL DOCUMENTOProporcionar sugerencias metodológicas y de contenido científico de la asignatura, para fortalecer las competencias profesionales de los docentes tutores que atienden modalidades flexibles, de tal forma que contribuyan a garantizar mejores resultados de aprendizaje en la población joven y adulta que se atiende.

ENFOQUE Y COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA DE MATEMáTICASEnfoque de la Asignatura: Resolución de Problemas

La asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades intelectuales, como: el razonamiento lógico y flexible, la imaginación, la inteligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad, entre otras. Estas capacidades tienen una aplicación práctica en la resolución de problemas de la vida cotidiana

El enfoque de la asignatura responde a la naturaleza de la Matemática: resolver problemas en los ámbitos científicos, técnicos, sociales y de la vida cotidiana. En la enseñanza de la matemática se parte de que en la solución de todo problema hay cierto descubrimiento que puede utilizarse siempre.

En este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida, mas que un simple requisito de promoción.

Por tanto, el o la docente debe generar situaciones en el estudiantado explore, aplique, argumente y analice los conceptos, procedimientos algebraicos, algoritmos; sistematice e interprete información, y otros tópicos matemáticos acerca de los cuales debe aprender.

COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA DE MATEMáTICAS.Competencias a Desarrollar.

Razonamiento Lógico Matemático.

Esta competencia promueve en los y las estudiantes la capacidad para identificar, nombrar, interpretar información, comprender procedimientos, algoritmos y relacionar conceptos. Estos procedimientos fortalecen en los estudiantes la estructura de un pensamiento matemático, superando la práctica tradicional que partía de una definición matemática y no del descubrimiento del principio o proceso que da sentido a los saberes numéricos.

Comunicación del Lenguaje Matemático.

Las notaciones y símbolos matemáticos tienen significados precisos, diferentes a los del lenguaje natural. Esta competencia desarrolla habilidades, conocimientos y actitudes que promueven la descripción, el análisis, la argumentación y la interpretación utilizando el lenguaje matemático, desde sus contextos, sin olvidar

ÍNDICE



que el lenguaje natural es la base para interpretar el lenguaje simbólico.

• Aplicación de la Matemática al Entorno.

Es la capacidad de interactuar con el entorno y en el, apoyándose en sus conocimientos y habilidades numéricas. Se caracteriza también por la actitud de proponer soluciones a diferentes situaciones de la vida cotidiana. Su desarrollo implica el fomento de la creatividad, evitando el uso excesivo de métodos basados en la repetición.

LINEAMIENTOS METODOLÓGICOS. El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática requiere de metodologías participativas que generen la búsqueda de respuestas en el estudiante, promoviendo su iniciativa y participación en un clima de confianza que les permita equivocarse sin temor, desarrollar su razonamiento lógico y comunicar ideas para solucionar problemas del entorno.

Se deben hacer esfuerzos para evitar explicaciones largas de parte de las y los docentes tutores y procurar que los y las estudiantes disfruten Matemática, la encuentren interesante y útil porque construyen nuevos aprendizajes significativos.

Para desarrollar este proceso, se presenta como propuesta metodológica el trabajo por Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP). Esta metodología, junto a otras actividades planificadas, promueve la conversión de los tradicionales “ejercicios-problema o problemas de lápiz y papel” a verdaderas situaciones problematizadoras que impliquen al estudiantado la necesidad de utilizar herramientas heurísticas para resolverlas; por lo tanto sucitará el desarrollo de las competencias demandadas en la asignatura.• Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP).

El trabajo por RSP debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

Seleccionar el ámbito o escenario de búsqueda e indagación, especificando las variables, los objetivos de esa búsqueda, identificando la problemática y los medios disponibles.

Recopilar y sistematizar la información de fuentes primarias o secundarias que promuevan la objetividad y exactitud del análisis y pensamiento crítico.

Utilizar la deducción de formulas para seleccionar el proceso algorítmico que mejor se adecue a la resolución de problemas.

Expresar con lenguaje matemático y razonamiento lógico la solución al problema planteado.

Establecer otras situaciones problemáticas significativas que permitan transferir los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales aprendidos en la aplicación del RSP.



Los docentes tutores deben considerar que las actividades propuestas correspondan con los conocimientos previos del y la estudiante. De igual forma, es necesario adecuar el proyecto en una situación contextualizada, considerando las diferencias individuales de la población estudiantil.

El disponer de diversos procedimientos metodológicos-didácticos proveerá en cada estudiante un aprendizaje significativo; pero también es importante que el o la docente tutora se asegure que el procedimiento lógico empleado haya sido debidamente aprendido.

Aplicabilidad del Aprendizaje.

El desarrollo de los saberes matemáticos debe ser transferible a situaciones del entorno, haciendo al estudiante competente en la aplicabilidad a problemas reales que enfrenta. En el área matemática es fácil estructurar problemas relacionados con el ambiente particular del joven adulto, ya que consciente o inconscientemente la utiliza. La metodología con base en competencias es, por tanto, compatible con la realidad, haciendo procedimientos algorítmicos abstractos apacibles a situaciones reales. Entre mas locales sean los problemas, o mas conexión tengan con la experiencia de la vida, mas comprensibles y familiares resultan los diferentes procedimientos matemáticos.

El aprendizaje como Proceso Abierto, Flexible y Permanente.

La creación del acto educativo o el ambiente en el que se ejecuta el proceso-aprendizaje para ser congruente con la nueva metodología deberá ser abierto, flexible y permanente, incorporando los avances de cultura, la ciencia y la tecnología que sean pertinentes basado en las metodologías activas y variadas que permitan personalizar los contenidos de aprendizaje y promuevan la interacción de todos los estudiantes.

Los diferentes recursos con los que se cuenta ahora pueden hacer que las matemáticas sean comprendidas con mayor facilidad. El acceso a herramientas técnicas debe saber lograr que el saber sea flexible y permanente por el grado de ocupación que este demanda.

Consideración de Situaciones Cercanas a los Intereses de los Estudiantes.

Los intereses de las y los estudiantes varían de acuerdo a regiones o situaciones de su entorno, de aquí la habilidad del docente o tutor para interpretar los gustos por los cuales son motivados estos. Es preciso evaluar los intereses de los y las estudiantes, pueden ser aplicables a la experiencia educativa.

Los juegos de video o juegos de mesa suelen ser muy atractivos para los jóvenes. En Matemática, por ejemplo, existe un gran esfuerzo por convertir en juegos temas como: fracciones, factorización, progresiones, etcétera. Se comprueba que la utilización de estas situaciones cercanas a los estudiantes pueden desarrollar, con mayor rapidez, habilidades en ellos, haciéndolos competentes en su desarrollo académico.

Rol Activo del estudiante en el Aprendizaje de la Matemática.



Concebidos como actores en la resolución de problemas, son ellos quienes aportan soluciones. Las explicaciones del docente deben ser breves, esforzándose, sobre todo, en hacer trabajar al alumnado.

LINEAMIENTOS DE EVALUACIÓN.Los lineamientos para la evaluación de los aprendizajes establecidos por el Ministerio de Educación (Evaluación al Servicio de los Aprendizajes, MINED 2007) muestran el marco normativo para determinar las pautas y procedimientos a utilizar. Asimismo, se debe tomar como referencia el documento “Currículo al Servicio del Aprendizaje” (MINED 2007) para establecer e implementar los acuerdos de la evaluación en el centro educativo, los cuales se encuentran planteados en el Proyecto Curricular de Centro. (PCC).

Evaluación Diagnóstica: Cuando se comienza el año y al inicio de cada nueva unidad, se puede realizar la evaluación diagnostica de forma general, resolviendo una serie de situaciones problemáticas aplicadas a la vida. En estas se pondrán en evidencia las competencias que posee cada estudiante al momento de utilizar diferentes algoritmos para la solución de problemas. De esta forma, se potenciará el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Evaluación Formativa: merecen especial atención los conocimientos equivocados o acientíficos del estudiantado ya que las competencias de esta asignatura demandan el descubrimiento, la apertura de espacios para el ensayo o el error, y la comprobación de supuestos.

Estos procedimientos son fundamentales al evaluar formativamente al estudiantado, porque permiten detectar las causas de sus errores o confusiones, para ayudarles a superarlos antes de adjudicar una calificación.

Evaluación Sumativa: De acuerdo con la naturaleza de la adquisición de las competencias, la prueba objetiva solo es una actividad entre otras. Se debe diseñar de manera que evalué contenidos conceptuales y procedimentales independientes o integrados tomando en cuenta los indicadores de logro.

Se recomienda incluir actividades que evalúen los aprendizajes de las y los estudiantes enfrentándolos a una situación problemática que se resuelva con la aplicación de procedimientos: identificar, clasificar, analizar, explicar, representar, argumentar, predecir, inventar; y la utilización de conocimientos con determinadas actitudes.



Objetivos de la Asignatura de Matemática Séptimo Grado

Al finalizar el séptimo grado, el alumnado será competente para: Aplicar diferentes estrategias y procedimientos aritméticos al proponer soluciones a problemas del quehacer diario referidos al uso de los enteros.

Participar con actitud propositiva, al resolver problemas del entorno, utilizando unidades de medida.

Utilizar la información estadística con criticidad, al interpretar la información del entorno.

Interpretar y valorar el lenguaje simbólico del álgebra como una herramienta, que facilita la generalización de lo cotidiano.

Octavo Grado

Al finalizar el octavo grado, el alumnado será competente para: Resolver con seguridad y autonomía problemáticas de su entorno, aplicando las operaciones con números reales.

Interpretar y cuantificar la realidad de su entorno aplicando el cálculo de áreas y volúmenes.

Participar en la toma de decisiones al analizar y discutir la información, aplicando las medidas de tendencia central.

Generalizar la aritmética y establecer procedimientos algebraicos que faciliten la propuesta de soluciones a problemáticas de su cotidianidad.

Noveno Grado

Al finalizar el noveno grado el estudiante será competente para: Valorar la precisión del cálculo matemático en propuestas de solución que requiera la determinación de áreas de sectores circulares.

Tomar decisiones acertadas en su diario vivir, al analizar críticamente las posibilidades de ocurrencia de un suceso.

Poner soluciones a problemas de su realidad, al interpretar la información obtenida, aplicando con seguridad las medidas de dispersión.

Resolver soluciones problemáticas de su entorno escolar y social, utilizando sistemas de ecuaciones.



PROPUESTA DE JORNALIZACIÓN DEL AÑO ACADÉMICO

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Período de inducción:

Diagnóstico de competencias básicas de la asignatura

x

Estrategias de aprendizaje autónomo x x Refuerzo a contenidos deficitarios xMódulo 1: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 1

x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xUnidad 2: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 2

x x x x x


x x x x x


x x x x x


x x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xRefuerzo académico x

Semanas Semanas Semanas SemanasMES 1 MES 2 MES 3ACTIVIDAD / MES MES 4



PROPUESTA DE JORNALIZACIÓN DEL AÑO ACADÉMICO

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Período de inducción:

Diagnóstico de competencias básicas de la asignatura

x

Estrategias de aprendizaje autónomo x x Refuerzo a contenidos deficitarios x

Módulo 1: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 1

x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico x

Unidad 2: Diagnóstico y desarrollo de la unidad 2

x x x x x



x x x x x



x x x x x



x x x x x

Prueba objetiva xRefuerzo académico xRefuerzo académico x

Semanas Semanas Semanas Semanas Semanas Semanas SemanasMES 5 MES 6 MES 7 MES 8 MES 9 MES 10MES 4


12 Matemática

Unidad 1 Utilicemos ecuaciones con radicales

Comentemos la unidad

Las cinco lecciones que conforman esta unidad pueden enmarcarse dentro del campo algebraico; no obstante parece conveniente que analicemos, en principio, si la secuencia u ordenamiento de los contenidos de las mismas es la más adecuada o si vale la pena hacer una entrega diferente. La rigidez no es una propuesta válida de aprendizaje, mucho menos de enseñanza.

El propósito de esta introducción se orienta a realizar una revisión general de contenidos y una ampliación conceptual de toda la unidad. Aunque se tendrá más tarde la oportunidad de analizar cada lección por separado.

Sobre la lección 1, que se refiere al cálculo de determinantes y sus propiedades, habría posiblemente que razonar y decidir, si es apropiado brindarla al estudiante como inicio de la unidad, o, si no sería mejor, ubicarla como lección 4 antes de la resolución de sistemas de ecuaciones que se desarrolla en la lección 5.

La razón de esto es que, al proponerla al inicio, se le está dando al estudiante un abstracto matemático, una regla de fácil cálculo que simplemente debe memorizar.

Si se emplea el comentario de la ventana que está al final de la lección 1, se concluye que el determinante es, en realidad, una garantía de la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Y ahora su importancia se haría más evidente.

En la ecuación lineal: a + bx = 0, es determinante, para que haya solución, que b no sea cero.

De la misma forma si en un sistema de dos ecuaciones con dos variables x e y, se tiene que a1 y b1 son los coeficientes que acompañan a las variables x e y en la primera ecuación y, a2, b2 son los coeficientes en la segunda ecuación, entonces la expresión:

(a1b2 – a2b1) no debe ser igual a cero. Es determinante para la solución del sistema.

El recurso:

a b

a b1 1

2 2

= a1b2 –a2b1; es ahora meramente didáctico.

La lección 2 resume su objetivo en resolver una ecuación en una variable, la variable x; la cual presenta la particularidad de contener expresiones radicales de índice 2.

En la práctica se trata simplemente de ecuaciones lineales en una variable que tienen oculta su identidad, pero que mediante el adecuado manipuleo algebraico se convierten en ecuaciones de la forma: a + bx = 0.


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Se conocen como ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales.

Las páginas iniciales de la lección solo intentan refrescar al estudiante sobre las expresiones radicales y sus propiedades.

En la lección 3, no se está resolviendo en realidad ninguna ecuación, sino más bien estudiando la relación entre dos variables x e y, cuyas expresiones algebraicas conforman una ecuación lineal en dos variables.

Hay, sin embargo, una disyuntiva al abordar esta lección ya que, vista como ecuación literal, podemos trabajar el comportamiento lineal de las variables en la manera que hacemos con las fórmulas. Por ejemplo, las escalas de temperatura: grados Celsius C y grados Fahrenheit F, se relacionan de manera lineal mediante la ecuación:

F C= +95

32 Si para un valor de la variable C, se calcula su temperatura equivalente

en la escala F, los pares de valores de la forma (C, F) se pueden graficar; evidenciando en forma plausible la relación lineal.

O bien, se desarrolla la línea recta en el plano como un adelanto de geometría analítica. En este último caso se debe adoptar una mayor precisión en el concepto de pendiente como una razón de cambio (un cambio en la variable x determina un cambio proporcional en la variable y) ante la inconveniencia de definirla como la tangente de un ángulo en posición estándar.

La lección 4 parece intuitivamente útil para la construcción de sistemas de ecuaciones (dos ecuaciones, dos incógnitas) y la búsqueda aproximada de su solución mediante un método gráfico. No obstante, parece recomendable discutir sobre la conveniencia de hablar sobre “búsqueda de solución” cuando se tiene una sola ecuación en dos variables

Si utilizamos lo visto en la lección 3; entonces la ecuación lineal 3x + 5y = 64, que se genera en el ejemplo 1 página 37, se puede analizar a través de su gráfica de puntos correspondientes solo a valores enteros, y haría evidente que hay múltiples soluciones.

En la lección 5 no habría entonces ningún problema ya que solo se trataría de un paseo de campo por los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, incluyendo la solución mediante determinantes.

Resumiendo: podría discutirse y llegar a un consenso a nivel institucional y entre los profesores, el ordenamiento siguiente:

1. Resolución de ecuaciones con expresiones que tienen radicales.

2. Desarrollo de la línea recta en el plano.

3. Construcción de sistemas y solución gráfica.

4. Determinantes y sus propiedades.

5. Métodos de resolución de sistemas.



El concepto principal en esta lección es el de determinante. El libro de texto señala que: “un determinante, es un número asociado a un arreglo cuadrado de números, encerrado entre dos barras verticales”. A continuación el libro de texto pasa a ilustrarlo y luego a proporcionar una regla de cálculo para determinantes 2 × 2.

La pregunta que, como docente tutor, nos debemos hacer aquí es si con esta definición obtendremos indicadores de logro satisfactorios, es decir que el estudiante explique, resuelva, interprete; con seguridad, interés, orden, perseverancia, etc, todo lo relativo a los determinantes que se le presenta en esta lección.

Construir inductivamente un concepto matemático, hasta donde sea posible en esta etapa del conocimiento del estudiante, puede ser un buen apoyo metodológico para el desarrollo de contenidos. ¿Qué saberes previos del estudiante podemos emplear para este propósito en esta lección? el mas importante es: la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Tal como se señala en la introducción de esta unidad: la ecuación lineal: a + bx = 0, tiene solución siempre que el coeficiente b que acompaña a la variable x no sea cero.

En la ecuación equivalente x = −a / b, se hace evidente que b es “determinante” para la solución de la ecuación. Nótese que estamos hablando de un número pero que no está asociado a un arreglo cuadrado de números.

Orientaciones

En la introducción de la lección 1, en el libro de texto, y también al final en la parte de la ventana, se vincula el determinante con los sistemas de ecuaciones lineales.

Este es en realidad el origen histórico de los determinantes y puede ensayarse como un camino de procedimiento que acerque al estudiante a una definición que le despierte mayor interés.

No es necesario desarrollar el tema de resolución de ecuaciones, que se inicia en la lección 3, pero puede presentarse brevemente en forma intuitiva con el propósito intencionado de justificar la expresión determinante.

El sistema: a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Lección 1LOS DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES

Primera Unidad


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Tiene como solución algebraica para x

a1b2x + b1b2y = c1b2 (multiplicando por b2)−a2b1x − b2b1y= −c2b1 (multiplicando por b1)----------------------------- (a1b2 −a2b1)x = (c1b2 −c2b1)

x

c b c ba b a b

=−( )−( )

1 2 2 1

1 2 2 1

Para que exista el valor de la x es necesario que el denominador no sea cero. En otras palabras decimos que (a1b2 −a2b1), es un elemento determinante en la solución.

Ahora, se estaría en facultad de definir el determinante y su forma operativa de cálculo.

“Un determinante, es un número asociado a un arreglo cuadrado de números, encerrado entre dos barras verticales”.

Un determinante de orden 2 × 2 (o de orden 2) se calcula de la siguiente forma.

a b

a b1 1

2 2 = a1b2 –a2b1

Se puede hacer notar aquí que el determinante está formado por los coeficientes que acompañan a las variables en las dos ecuaciones.

El estudiante podría identificar ahora en forma inmediata si el determinante (llamado determinante del sistema) de un sistema tal como:

3x + 4y = 24 2x + 3y = 17

Es igual a cero o es diferente de cero. Esto le servirá más tarde para comprender que una condición necesaria para que un sistema tenga solución (y además sea única) es que el determinante formado por los coeficientes no se anule.

(Nota: el sistema propuesto se puede recrear con un escenario como el siguiente: Doña Juanita y Doña Carmen compran en el mismo supermercado, queso y carne de la misma calidad. Doña Juanita compró 3 libras de queso más 4 de carne y gastó 24 dólares, Doña Carmen compró 2 libras de queso más 3 de carne e invirtió 17 dólares, ¿qué precio tienen la libra de queso y la libra de carne?) Se puede proporcionar luego la solución x = 4, y = 3.

Complementos

De acuerdo a los contenidos de la presente lección, ésta no incluye el cálculo de determinantes de tercer orden. Es un tema que está postergado para lección 2 de la unidad 4, sin embargo, no parece muy problemático incluirlo aquí como un algoritmo de cálculo que conduce a un número llamado determinante.

Como una actividad adicional se le puede invitar al estudiante a comparar la equivalencia de la regla propuesta de cálculo (regla de Sarrus) con la siguiente:

Actividad

Para calcular el valor del determinante de tercer orden, aplica la indicación que se te proporciona a continuación. Compara luego con el valor obtenido aplicando la regla de Sarrus.

−

−=

1 3 12 5 03 1 2

A

Indicación: para calcular el determinante debes, en principio, sumar, precedidos de signo +, el producto de los elementos en la diagonal principal y luego el de todos aquellos productos de elementos que forman un triángulo con base paralela a la diagonal principal.


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El algoritmo le permitiría al estudiante ensayar mentalmente los cálculos y, con un poco de práctica calcular el determinante. (Nótese que es el mismo mecanismo de Sarrus, desde otra óptica)

Adicionales

Algunas ideas referentes a la evaluación de los indicadores de logro, deben orientarse a reforzar el manejo de las propiedades de los determinantes, mediante actividades como la siguiente.

Actividad

Verificar mediante un ejemplo numérico las siguientes identidades de los determinantes. Expresar en palabras lo que está sucediendo en cada caso Identidad

Ejemplo

a bc d

c da b

=− 5 23 4

3 45 2

=− (5 × 4) – (3 × 2) = −[(3 × 2) –(5 × 4)] 20 – 6 = −[ 6 – 20] 14 = −(−14) 14 = 14

La misma idea para las siguientes:

a) a bc d

b ad c

=− c) a b

c dk a ka b

c kc d= +

+

b) a kbc kd

k a bc d

=

A continuación, debes sumar, precedidos de signo -, el producto de los elementos en la diagonal secundaria y luego el de todos aquellos productos de elementos que forman un triángulo con base paralela a la diagonal secundaria. La suma algebraica de los 6 productos es el valor del determinante.

= + (−1 × 5 × –2) + (3 × 0 × 3) + (2 × 1 × 1) – (3 × 5 ×1) – (−1 × 1 × 0) – (2 × 3 × −2) = 10 + 0 +2 – 15 + 0 + 12 = 9

= A-1 3 1

3 1 -2

2 5 0 = A-1 3 1

3 1 -2

2 5 0

Triángulos positivos Triángulos negativos



Para resolver este problema, el estudiante debe de conocer, o bien recordar, varias cosas:

En principio la fórmula del área de un triángulo.

6 22

12 2 4x

x+ = → + =

Conocer la definición de raíz cuadrada y raíz cúbica de un número; así como algunas definiciones a an n( ) =

5 5 5 52

33( ) = ( ) =,

Emplear la propiedad de identidad.Sí a = b entonces a2 = b2; en general: sí a = b entonces an = bn; n entero.

Orientaciones

No se debe perder el propósito de esta lección adentrándose muchos en el tema de radicación, ya que puede representar muchos problemas para el estudiante, y este conocimiento se presenta de manera exhaustiva en la unidad 5. Las ecuaciones a resolver no deberían requerir más que lo que se ha planteado arriba.

x + =2 4

x +( ) =2 42 2

x x+ = → =2 16 14

Ejercicios tales como el planteado en el ejemplo 20, deberían quizás evitarse y dejarse para más adelante. Es conveniente también que en el ejemplo 19; resolver

x x+ + − =+2 1 5 ; se acompañe al estudiante al revisar la solución.

Los ejercicios planteados en la actividad 2, tienen el grado de dificultad adecuada para este tipo de ecuaciones.

Lección 2ECUACIONES CON RADICALES

Primera Unidad

La presente lección es bastante cerrada en el sentido de que solo se trata de resolver ecuaciones con radicales que, luego de un manipuleo algebraico, conducen a ecuaciones lineales.

Un triángulo rectángulo mide 6 unidades en uno de sus catetos y x + 2 en el otro; su área es igual a 12u2. ¿Cuál es el valor de x?

x + 2A = 12u2

6


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El ejercicio puede servir para recordar al estudiante el teorema de Pitágoras.

x + + =2 36 52x + 2 + 36 = 52 → x =14

b) 2 2 2 3y + =

2 2 2 32 2

y +( ) =( )2 2 12 1 6 5y y y+ = → + = → =

Demandar al estudiante que compruebe la solución.

c) 3 1 4t + =−

Este ejercicio puede servir para hacer ver al estudiante que hay ecuaciones que son imposibles en el campo de los números reales. La raíz cuadrada de un número no puede ser negativa x ≥( )0

3 1 42 2

t +( ) = −( )3 1 16 5t t+ = → =

Si el estudiante no comprueba su solución aceptaría muy contento t = 5 como su respuesta al problema, sin embargo, al sustituir en la ecuación. Resulta:

3 5 1 4 16 4 4 4( )+ =− → =− → =−

¡Contradicción! No es una solución correcta.

x x+ + =23 7x x+ = −23 7

x x+ = −( )23 7 2

x x x+ = − +23 49 14 2

x 2 15 26 0− + = (¡Resulta una cuadrática!)

Factorizando hallamos dos raíces: x x x y x−( ) −( )= → = =23 2 0 13 2

x = 13 se descarta porque un lado no puede ser mayor que el perímetro… la solución es x = 2.

Al desarrollar, por ejemplo, el número 4, se puede aprovechar para hacer recuerdo al estudiante la regla cancelativa de la suma.

Sí a + c = a + b entonces c = b

9 5 3 12x x− = −9 5 3 12 2x x− = −( )9 5 9 6 12 2x x x− = − +− =− + → =5 6 1 1x x

Otros ejercicios.

a) En el triángulo rectángulo, hallar el valor de x.

d) x x+ + =5 5

x x+ = −( )5 5

x x x x x+( ) = −( ) → + = − +5 5 5 25 102 2

10 20 2 4x x x= → = → =

Demandar al estudiante que compruebe la solución.Adicionales

Es importante tener en cuenta lo que sucede cuando se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación. Considérese la ecuación x = −7. Al elevar el cuadrado ambos lados se tiene x2 = 49 → x = ±7 la nueva ecuación tiene dos raíces, −7 y + 7; mientras que la inicial tiene solo una: −7.

Las ecuaciones con radical pueden estarse presentando también en su equivalente de ecuación exponencial, por ejemplo: resolver x +( ) =2 2

13

Podemos convertirla a x + =2 23 y ahora proceder como los anteriores:

x x x+( ) = → + = → =2 4 2 4 63 2

Debemos también tener presente que algunas ecuaciones con radical no conducen necesariamente a ecuaciones lineales.

Supongamos que se nos ocurre al siguiente problema.

El triángulo rectángulo de la figura tiene perímetro igual 10. Hallar el valor de x.

x + 252

6

x x+ + + =23 3 10

3

x + 23x



Las relaciones de proporcionalidad directa constituyen un conocimiento que el estudiante ya tiene y que podemos emplear para introducirlo en este tema. Al igual que, lo que ya sabe respecto del plano cartesiano y la localización de pares ordenados de número reales de la forma a b,( ) .

Si un comerciante nos expresa que la razón: Ingresos por venta de un producto (y) a la cantidad vendida del producto (x) es igual a 3, nos está diciendo en realidad cuál es el precio del artículo que vende.

La proporción es yx

= 3 , que se puede expresar y x= 3 . (El precio del artículo es $3)

Si elaboramos una tabla y ploteamos algunos puntos en el plano, éstos se comportarán siguiendo una recta:

x y0 01 32 63 9

La expresión y x= 3 constituye una ecuación de una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

La misma idea de la razón constante puede ser útil para introducir el concepto de pendiente de la recta.Z

Si vende 1 artículo, percibe 3 dólares. Razón 31

3=

Si vende 2 artículos, percibe 6 dólares. Razón

62

3=

Si vende 3 artículos, percibe 3 dólares. Razón 9

33=

Por cada unidad que vende, sus ingresos aumentan en 3 dólares más.incremento enincremento en

yx

m= Es en realidad la pendiente de la recta.

Lección 3LINEA RECTA

Primera Unidad

x

y

10 2

2

4

6

8

3 54 6 7 8 9


Guía Metodológica


Orientaciones

Hay tres cosas importantes en esta lección, que el estudiante debe aprender a hacer con seguridad:

Calcular la pendiente dados dos puntos del plano.

Identificar en una ecuación de la forma y mx b= + que la pendiente es precisamente el coeficiente que acompaña a la variable x.

Saber emplear la expresión y y m x x− = −( )1 1 para hallar la ecuación de la recta.

Cuando calcula la pendiente debe llamársele la atención al estudiante sobre la elección correcta de las coordenadas que va restar y la importancia de guardar las leyes de los signos. Por ejemplo si se quiere hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 2 5,−( ) , P2 4 7,( )

Es muy común observar los siguientes errores:

m = −−

= =7 54 2

22

1 m = −−

= =7 54 2

22

1

En lugar de m = − −( )−

= =7 54 2

122

6 , vale la pena también hacerle comprender que

obtendrá el mismo resultado si los puntos son P1 4 7,( ) , P2 2 5,−( )Si se logra que el estudiante no cometa estos errores tendríamos casi garantizado que obtendrá muy bien la ecuación de la recta.

Debería también hacérsele conocer que al emplear la expresión obtiene la misma ecuación si usa:

m P= −( )6 2 5, o bien m P= ( )6 4 7,y x− −( )= −( )5 6 2 y x− = −( )7 6 4y x+ = −5 6 12 y x− = −7 6 24

y x= −6 17

y x= −6 17 Igual se le puede hacer notar que al presentar la ecuación de la forma y x= −6 17 , el coeficiente que acompaña a la variable x, es en efecto la pendiente que viene de calcular.

Otros Ejercicios

1. Es importante que el estudiante se familiarice con la expresión de calculo de pendiente y pueda interpretar sus resultado, en términos de su signo y sus incrementos. Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:

a) 1 2 2 5, ,( )( ) b) 1 7 4 1, ,( )( )


Guía Metodológica


b) Solución

Sean x y1 1 1 7, ,( )=( ) y x y2 2 4 1, ,( )=( )

myx

y yx x

= =−−

= −−

=IncrementoenIncrementoen

2 1

2 1

1 74 1

−−2 La pendiente es negativa y observando la recta de izquierda a derecha, notamos que baja.

2. i) Determinar la ecuación de la recta L que pasa por (0, 3) con pendiente −2

ii) Hallar la abscisa del punto de L cuya coordenada y es −1.

iii) Graficar L.

Solución

i) y y m x x− = −( )1 1

y x y x− =− −( ) → =− +3 2 0 2 3

ii) Sustituir y por −1 en la ecuación − =− + → =1 2 3 2x x

iii) Se conocen los puntos (0, 3) y (2, −1); de la recta.

a) Solución

Sean x y1 1 1 2, ,( )=( ) y x y2 2 2 5, ,( )=( )m

yx

y yx x

= =−−

= −−

=IncrementoenIncrementoen

2 1

2 1

5 22 1

33

La pendiente es positiva y observando la recta de izquierda a derecha, notamos que sube.

x

y

0

2

4 3

6

8

10

12

1 2 3 54

x

y

1-1 0 2

2 2

4

6

8

3 54 6 7

x

y

1-1-2 0 2

2

4

6

8

3 54

3. Repetir: una recta L tiene pendiente 5 y pasa por (−1, 3). Hallar la ordenada del punto de L cuya abscisa es 1. Graficar.


Guía Metodológica


Adicionales

Es importante remarcar algunas cosas sobre la pendiente y algunos casos especiales de rectas.

En una recta L1 no importa cuales dos puntos se escojan para hallar la pendiente, el resultado será siempre el mismo L.

y yx x

y yx x

m2 1

2 1

3 2

3 2

−−

= −−

=

Las longitudes de los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales.

Si dos puntos distintos del plano tienen la misma ordenada, la recta es paralela con el eje x.

3 5 2 55 52 3

05

0, ,( ) −( ) = −− −

=−

=m

y x y− = −( ) → =5 0 5 5

En general y k=

Si dos puntos distintos del plano tienen la misma abscisa, la recta es paralela en el eje x.

5 3 5 22 35 5

50

, ,( ) −( ) = − −−

= −m está división no está definida en los números reales,

por lo tanto tampoco su pendiente.

La recta se expresa de manera muy especial x = 5

En general x k=

x

y

0 x 1 x 2 x 3



La idea central de esta lección es la de introducir al estudiante en la solución de sitemas de ecuaciones lineales a traves de la solución gráfica.

El uso de ecuaciones lineales de oferta y demanda de un bien, en el campo de los negocios, se puede ensayar aquí para hallar el punto donde se cortan ambas rectas(punto de equilibrio).

Se proponen al estudiante dos ecuaciones lineales y se les solicita que las grafique en el primer cuadrante del sistema de coordenadas. Para orientar el trazo de las rectas se les puede sugerir (en este caso) que marquen escalas desde cero hasta quince para ambos ejes: cantidades que en el eje de las ordenadas y precio p, en el eje de las abcisas. Recordarles además que bastan dos punetos para trazar una recta en el plano.

Las ecuaciones de oferta: q = (1/2)p + 2, y de demanda q = –p + 14, pueden servir para este propósito. El punto de equilibrio (8, 6) deberá aparecer muy visible en el gráfico. Una breve discusión sobre la relación entre las pendientes de las rectas y lo que representan en el sentido de oferta y demanda de un bien, puede ser útil.

En Estados Unidas y Canadá las temperaturas se miden en grados Fahrenheit (F); en América Central y América del Sur se miden en grados Celsius (grado centígrado °C). Si cero grados Celsius equivalen a 32 grados F y 30 Celsius equivalen a 86 F. La relación lineal que guardan amabas escalas, la puede determinar el estudiante aplicando lo aprendido en la lección 3 sobre la línea recta.

Con los puntos de la forma (C, F): (0, 32) y (30, 86)

Obtenemos la ecuación:

m = −−

= =86 3230 0

5430

95

F C− = −( )32

95

0

F C= +95

32

Que se llama ecuación lineal (o, de primer grado) en las dos variables F y C. Es importante notar la utilidad práctica de tener una ecuación que gobierne las variables.

Si en el Golfo de Fonseca la temperatura se encuentra en 40 °C (muy sofocante). ¿A cuanto equivale en grados Fahrenheit? Basta por supuesto que sustituya el valor de C en:

F C= +9

532

por F F= ( )+ =9540 32 104

Lección 4SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Primera Unidad


Guía Metodológica


El punto P x y0 0,( ) es la solución.

No hay solución.

En la actividad 1, página 41, del libro del estudiante se solicita la solución gráfica de varios sistemas. Se sugiere para esta metodología que se utilice papel cuadriculado y procurar que las coordenadas del punto solución, si existe, sean números enteros.

Orientaciones

Se debe insistir que las ecuaciones lineales se representan como líneas rectas en el plano, y que por lo tanto, si dos rectas L1 y L2 son exactamente diferentes, entonces solo hay dos situaciones a considerar:

Las rectas L1 y L2 se cortan en un solo punto (X0, Y0) (Son concurrentes).

Las rectas L1 y L2 no se cortan en ningún punto (Son Paralelas).

Si son concurrentes entonces decimos que (X0, Y0) es la solución del sistema. Si no lo son, entonces no hay solución.

x

y

P

(x0,y0)

L1

L2

x

y L1

L2


Guía Metodológica


Que el estudiante compruebe que en efecto P (4, 3) es solución del sistema.

Otros Ejercicios

Una máquina industrial costo $60,000 y va perdiendo su valor al cabo de los años. Al final de 12 años se considera que la máquina ya no vale nada. Si suponemos que la máquina se deprecia siguiendo una tendencia lineal, hallar la ecuación de depreciación a través del tiempo en años.

Un Procedimiento para el sistema del ejercicio número 1, página 41, puede ser el de instruir al estudiante a que encuentre las intersecciones con el eje X, y con el eje Y.

x y− =1 Si x = 0 , se tiene y =−1 punto 0 1, −( ) Si y = 0, se tiene x = 1 punto (1, 0)

x y+ = 7 Si x = 0 , entonces y = 7 punto 0 7,( ) Si y = 0 , entonces x = 7 punto 7 0,( )

x

y

10 2

2

4

6

3-1 4 5 6 7 8 9 10

P(4,3)


Guía Metodológica


Solución

V: valor de la máquina. T: Tiempo en años.

En el años cero( el momento cuando se compra) la maquina vale $60,000 P1 (0, 60000) al cabo de 12 años no vale nada P2 (12, 0).

m = −−

=−0 60 00012 0

5 000,

,

y x− =− −( )0 5 000 12,

y x=− +5 000 60 000, ,

Cuando la máquina llegó a 7 años de uso, ¿Cuál es su valor?

y =− ( )+ =5 000 7 60 000 25 000, , ,

Después de 7 años la mauina se ha depreciado $35,000

Un terreno costó $35,000 y va ganando, 7% de su valor inicial cada año que pasa. Hallar la ecuación del valor del terreno conforme pasan los años.

Se trata de que el estudiante observe un caso de apreciación lineal.

Cuando t = 0 se tiene V = 35,000. Cuando t = 1 se tiene V= 35,000 + 7%(35,000) = 37,450 Tenemos P1 (0, 35,000) y P2 (1, 37,450) V = 2,450t + 35,000.

Hallar gráficamente la solución de los sistemas:

a) y x= Solución P 2 2,( ) b) y x= +2 1 Resultan paralelas, no hay

y x− =−4 y x− =2 5 solución.

Adicional

La solución grafica de un sistema de ecuaciones, puede servir al estudiante para tomar mejor práctica en el graficado de líneas rectas en el plano. Le puede ayudar también a identificar sistemas redundantes; es decir, aquellos en los cuales las ecuaciones del sistema son iguales. Esto se observara cuando al graficarlos resulta una sola recta.

Por ejemplo:

El sistema 2 54 2 10y xy x− =

− + =Está formado en realidad por una sola ecuación ya que

−−

+−

= −−

42

22

102

y x conduce a

2 5y x− =

Más allá de la utilidad de graficar rectas en el plano, debemos concluir que la solución gráfica no resulta muy eficiente, en comparación con las soluciones analíticas que se desarrollan en la lección 5.



En la lección 4, se llegó a la conclusión que, el lugar donde se intersectan dos rectas L1 y L2 , graficadas en un mismo sistema coordenado, es precisamente la solución del sistema de ecuaciones que corresponden a las rectas.

Podemos emplear a manera de introducción la obtención de las ecuaciones de rectas del plano; ensayar una vez más la solución gráfica, y apoyar mediante este camino los diferentes métodos de solución analítica que se desarrollan en la presente lección.

Por ejemplo

Podemos retomar nuestras ideas que vimos sobre las curvas de oferta y demanda, al inicio de la lección 4.

Una recta de oferta tiene pendiente m1 = 2 y pasa por el punto (1, 3); una recta de demanda tiene pendiente m2 = –1/3 y pasa por el mismo punto. Determinar las ecuaciones:

L1: y x x y− = −( ) → − =−3 2 1 2 1

L2: y x x y− =− −( ) → + =313

1 3 10

Una pregunta a los estudiantes: “En el sistema de ecuaciones que hemos encontrado, ¿Cuál es la solución? Será interesante observar si todos concluyen de manera inmediata que, por supuesto, la solución es el punto 1 3,( ) y que además es el punto de equilibrio. Se puede luego solicitar que hagan el gráfico de las rectas, comenzando por localizar en el plano el punto solución.

A partir de aquí se puede señalar que existen varios métodos algebraicos para obtener la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Orientaciones

El sistema obtenido:

L1: 2 1x y− =− L2: x y+ =3 10

Se puede utilizar para presentar el método de reducción de una manera sencilla.

Se multiplica la ecuación L1 por 3 y luego se efectúa la suma miembro a miembro con L2

6 3 33 10

7 7 1

x yx y

x x

− =−+ =

= → = Sustituyendo x = 1 en L1: 2 1 1 3( )− =− → =y y

Lección 5APRENDAMOS METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Primera Unidad


Guía Metodológica


Por supuesto que es la solución que se esperaba P 1 3,( ) ; ya que así se habían construido las rectas.

Lo importante con esta idea es que el estudiante, pueda percatarse de la facilidad y el poderío de las soluciones analíticas, más eficientes que las soluciones gráficas.

Para que no se crea que los sistemas de ecuaciones están vinculados únicamente a las ecuaciones de las rectas es conveniente plantear otros ejemplos que se salgan de este ámbito. Un ejemplo que puede ser adecuado para este propósito es el que aparece en la lección uno. “Doña Juanita y doña Carmen compran en el mismo supermercado, queso y carne de la misma calidad. Doña Juanita compró 3 libras de queso, más 4 de carne y gastó 24 dólares; doña Carmen compró 2 libras de queso, más 3 de carne e invirtió 17 dólares.

¿Qué precio tienen la libra de queso y la libra de carne?

Si se definen con claridad las variables:

a: precio en dólares de una libra de queso.b: precio en dólares de una libra de carne.

Se puede señalar al estudiante que:

3a: gasto por 3 libras de queso.4b: gasto por 4 libras de carne.

Que conduce a 3 4 24a b+ = (Ecuación de doña Juanita) y

2 3 17a b+ = (Ecuación de doña Carmen).

El sistema resultante se puede emplear para revisar los demás métodos de resolución.

La actividad 1, página 49 del texto del estudiante se puede enriquecer agregando algunos ejercicios de aplicación que conduzcan al planteamiento de un sistema.

Otros ejercicios

La construcción de un sistema de ecuaciones, dada una información, no es en realidad una tarea fácil para el estudiante y es conveniente discutir paso a paso el procedimiento. El siguiente ejercicio puede ser util en el camino de definir variables y seguir construcciones.


Guía Metodológica


Ejercicio

Calcule los dos términos de una fracción sabiendo que:

Si se suma 3 al numerador y se suma 1 al denominador, la nueva fracción obtenida es equivalente a 1

2 Si se resta 5 al numerador y se resta 3 al denominador, la nueva fracción obtenida es

equivalente a 13

Si el estudiante sigue al pie de la letra las dos instrucciones no debería tener mucho problema para plantear: (y: numerador, x: denominador)

yx

y x++

= → − =−31

12

2 5

yx

y x−−

= → − =53

13

3 12

(Vale la pena recordarle que las reglas que se emplean para resolver una ecuación en una variable son válidas también para ecuaciones con dos variables).

El sistema:

2 5y x− =−

3 12y x− =

Se puede emplear para revisar incluso la solución por determinantes:

x =

−

−−

= =

2 53 12

2 13 1

391

39

y =

− −−

= =

5 112 1

1171

17

Ahora queda comprobar si 17

39 cumple las condiciones dadas.

El estudiante puede emplear el mismo sistema para resolver por: igualación, sustitución y reducción.


Guía Metodológica


Adicionales

Los diferentes casos que se le pueden presentar al estudiante al resolver un sitema, se pueden abordar mediante ejemplos adecuados. Aui alguna ideas.

El sistema 2 4m n− =−

m n− =2 1

Tiene una sola solución: m n=− =−3 2; ; y se dice que el sistema es consistente.

El sistema x y2 6

4+ = 1)

3 24x y+ = 2)

Se reduce en realidad a una sola ecuación al multiplicar la ecuación 1) por 6, se obtiene la ecuación 2). El sistema es consistente, pero debido a que las ecuaciones son dependientes, se tienen múltiples soluciones. Si denotamos x a= , entonces sus soluciones se pueden escribir:

a a, 24 3−( ) , si a = 0 , a = 2 , a = 5 se obtienen los pares 0 24,( ) , 2 18,( ) , 5 9,( ) etc.

El sistema: 3 2 4x y− = (1)

6 4 16x y− = (2)

Es inconsistente. Si se multiplica por −2 la ecuación (1) se tiene

− + =−

− =

=

6 4 86 4 16

0 8

x yx y

Que es una contradicción. El sistema es imposible.

Ampliación conceptual del proyecto

El proyecto tal como está planteado al estudiante, lleva implícito el enfrentarlo a cierto tipo de problemas de aplicaciones en realidad son dos problemas, que se resuelven planteando un sistema de ecuaciones lineales.

Conceptualmente este tipo de problemas hace referencia a dos tipos de incógnitas que usualmente llamamos x, y; las cuales dentro del contexto del problema, queda muy claro que se relaciona de manera lineal: ax + by

Estas variables deben quedar totalmente especificadas al inicio de la solución.

Las ecuaciones que se generan están asociados a dos momentos descriptivos del problema, o dos situaciones diferentes de relación entre las variables. El problema estriba en identificarlos.


Guía Metodológica


Talvez valdría la pena revisar con el estudiante los ejemplos discutidos en la lección 5; donde las instrucciones para identificar esos momentos se hacen un poco plausibles.

El objetivo del proyecto va siempre en la dirección de construir un sistema de ecuaciones lineales; de manera que para apoyarlo se pueden discutir y resolver problemas similares por ejemplo el siguiente:

Patricia tiene $3.50 en monedas de 10 y monedas de 25 centavos. Si el número de monedas de diez se intercambia con el número de monedas de 25, tendrá $4.30. ¿Cuántas monedas de diez y de 25 tiene?

Definiendo las variables:

a: número de monedas de 10 centavos

b: números de monedas de 25 centavos

Y los momentos descriptivos se obtiene al sistema:

0.10a + 0.25 b = 3.40

0.10b + 0.25 a = 4.30

Con solución a = 14 y b = 8

Un campo muy adecuado continua siendo el de las relaciones lineales entre el precio (p) de un producto y sus cantidades (q) ofrecidas por el productor o bien demandadas por el consumidor. Esto conduce al estudio de rectas de oferta y demanda, cuya solución se conoce como punto de equilibrio del mercado. Se trata de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que son el precio p y la cantidad q.



Unidad 2 Midamos la dispersión de los datos y midamos ángulos en grados y radianes


Las primeras dos lecciones de esta unidad son del campo de la Estadística Descriptiva y tratan sobre la dispersión de datos y sus principales medidas; las tres siguientes caen en el ámbito de la geometría en el plano y presentan de manera muy puntual el concepto de ángulo y sus diferentes formas de medirlos.

El abordaje de el recorido de la variable que se analiza en la lección 1, considera que está muy bien logrado. Es una definición muy simple, pero que puede iniciar el análisis de datos, si se discute sobre sus valores límites en el contexto de la variable y si se desarrolla en térmicos comparativos como se sugiere en la activida 2, página 63.

Las medidas se calculan para caracterizar lo conjuntos de datos, pero en ocasiones esa caracterización se nos hace difícil si no tenemos algún referente de comparación. Por ello es que parece muy conveniente analizar conjuntamente al menos dos grupos de datos y luego dejar al estudiante que señale las diferencias que observa en las medidas calculadas.

Ejemplo

Los resultados del último examen de Matemáticas en noveno grado A y noveno grado B, fueron para dos muestras de notas de 7 estudiantes de cada grado, los siguientes:

Noveno A: 5.5 6.0 6.5 6.5 6.5 7.0 7.5

Noveno B: 4.5 5.0 6.0 6.5 6.5 8.0 9.0

Invitemos a nuestros estudiantes a comentar sobre los resultados. Seguramente algunos expresarán muy buenas ideas pero sin realizar ningún cálculo. Si los invitamos a calcular, comenzarán a notar las coincidencias y diferencias. Por ejemplo que las medias aritméticas son iguales, pero que los recorridos de las variables son distintos.

X XA B= =65 65. .

R A = 7.5 – 5.5 = 2 RB = 9 – 4.5 = 4.5

Comentarios que deberían aparecer o inducirse pueden ser:

Las notas de noveno A están más concentradas alrededor de su media aritmética.

Las notas de noveno B están más dispersas. Hay notas bastante buenas pero también notas muy bajas.


Guía Metodológica


Esto permite tener una alternativa para definir el Grado como la noventava parte de un ángulo recto; los 90 ángulos resultantes cada uno a la par del otro miden, en consecuencia, cada uno, un grado.

De esta manera: el ángulo recto tiene 90 grados, el ángulo llano tiene 180°, el ángulo agudo es el que tiene menos de 90° y el ángulo obtuso entre 90° y 180°.

Con referencia al sistema sexagesimal el texto le da mucha importancia a que el estudiante identifique con claridad los submúltiplos sexagesimales del grado: minutos y segundos.

Las notas de noveno A son más homogéneas, por lo tanto su media aritmética se puede considerar que “representa” mejor a los datos.

Sobre la desviación estándar o desviación típica ahondaremos un poco más al revisar la lección 2; no obstante, vale la pena señalar desde ya lo siguiente: debe hacerse la diferencia entre la desviación estándar correspondiente a la población(σ) y la desviación que se calcula para una muestra (s).

Población: σµ

=−

=∑( )X

N

ii

N2

1 Muestra: sX Xni=−( )−

∑ 2

1

En el texto del estudiante se utiliza la expresión rX Xni=−( )∑ 2

, cuya corrección debe criticarse un poco.

Respecto de la segunda parte de esta unidad (lecciones 3, 4 y 5) que se refiere a los ángulos y sus medidas la sugerencia es que se enfatice en las medidas mediante el sistema sexagesimal( grados, minutos, segundos) y las que se expresan con el sistema circular o radial(en radianes).

Debe por supuesto aclararse el sistema de rotaciones pero quizá no insistir mucho en el.

Luego de definir lo que se entiende por ángulo: “Región del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común” y definir con claridad la región; debería incluirse desde el principio entre los tipos de ángulo, el ángulo recto.

Cuando las dos semirrectas que generan el ángulo son perpendiculares


Guía Metodológica


Para la notación del ángulo en grados decimales (por ejemplo 38.27°) lo único que debe recordarse al estudiante es que el número 2 representa dos décimas de grado y el 7, siete centésimas de grado.

La conversión de grados centesimales a grados sexagesimales está muy bien ejemplarizada en el libro; aunque, más tarde al comentar la lección se harán algunas sugerencias.

Sobre el sistema circular y las medidas de ángulos en radianes, es importante que el estudiante comprenda que un arco de un radián es una parte de la longitud de una circunferencia de radio especificado,¿cuánto es esa parte? La longitud del radio. El ángulo de un radián es el ángulo que corresponde al arco de un radián.

Algunas preguntas que se pueden formular al estudiante:

¿Cuántos radianes caben en la longitud L de una circunferencia de radio r?

¿ A cuánto de una pizza circular corresponde un pedazo de un radián?

a) 14

b) 12

c) 16

d) 12π

¿A cuánto equivale en radianes un ángulo de 180°?

La idea es que llegue a deducir que la longitud de la circunferencia es aproximadamente 6.28 veces su propio radio. (2π) y que por lo tanto si le proporcionan un pedazo de

pizza de un radián, le estarían dando un poco menos de la sexta parte de la pizza, en

realidad ( 12π ) de la pizza.

La equivalencia 180° → π es por supuesto la clave para las conversiones de radianes a grados sexagesimales y viceversa.

45° → radianes 45180 4

°°=( )

π π

grados → grados (π/ grados) = radianes

π3

radianes → π

π3180

60( )° = °

kπ radianes → kπ (grados/π) = grados

En la revisión particular de las lecciones tendremos la oportunidad de abordar las diferentes actividades. Hay algunas muy importantes como los ángulos complementario y suplementario, las sumas y restas de ángulos y el cálculo de la longitud de arco que tenemos al final de la lección 5.



Es bueno recordar a nuestros estudiantes que es el comportamiento de la variable la que se estudia a través de sus datos y que mientras más conozcamos de la variable más significativo será nuestro analisis. Por ello, en el tema de la amplitud, parece conveniente examinar y criticar los valores máximos y mínimos que presenta la serie y por supuesto el intervalo entre los límites.

Supóngase que las precipitaciones en mm, registradas el día de ayer en 10 estaciones metereológicas distribuidos en todo el pais fueron: 12, 20, 8, 4, 45, 10, 84, 9, 17, 32

¿Se podria pensar que el país se encuentra en plena época lluviosa?.

El mínimo valor de 4 mm de lluvia (lo cual significa que han caído 4 litros de agua por metro cuadrado de superficie) no es una cantidad que cause ningún estrago, aunque es importante para mantener la humedad necesaria del suelo para las plantas.

El máximo valor de 84 mm, sin embargo, se puede considerar un diluvio ya que, si se trata de lo acumulado en un día, con seguridad ha causado inundaciones, destrozado cultivos y otros tipos de daños.

A continuación se puede invitar al estudiante a criticar en forma similar las siguientes series de datos:

Variable Datos ComentarioEdad del padre en un grupo de 10 familias.

28, 32, 24, 26, 41, 38, 58, 27, 32, 25

Notas de un examen de estadística.

5.4, 9.2, 7.3, 6.9, 8.2, 6.1, 7.6

Peso en libras de 8 recién nacidos

7, 7.5, 8.5, 5.3, 8.1, 9.4, 15.0, 4.8

Hay un niño muy desnutrido y otro que debe ponerse a dieta

Tiempo en minutos que tardan 9 operadoras en realizar una tarea

4.2, 5.1, 7.9, 3.8, 5.3, 4.6, 5.1, 10.4, 4.1

Estatura en cm de un grupo de jóvenes de noveno grado

158, 163, 160, 166, 169, 180, 150, 178, 160, 163, 148, 165, 168

Lección 1eNcueNtra la dispersióN

Segunda Unidad


Guía Metodológica


Orientaciones.

La discusión que se viene de sugerir sobre los datos es muy importante porque proporciona un conocimiento inicial sobre el comportamiento de la variable. El estudiante puede comenzar a identificar valores extremos y más aún, dudar de la calidad o incluso la existencia de un dato.

Por ejemplo un recién nacido que pese 1 libra o, un estudiante de noveno con una estatura de 250 cm. En ambos casos se hace necesario una revisión del dato fuente, porque puede que solo se trate de un error de registro.

La definición de recorrido o rango de la variable es muy simple y seguramente a eso se debe la creencia de que no aporta mayor información sobre el comportamiento de la variable. R = Máximo valor – Mínimo valor

Sin embargo, tiene cierto grado de cultura ya que, visto como intervalo, se entiende que todos los valores de la serie se encuentran dentro de ese rango.

Al calcular todos los recorridos de los datos del cuadro de arriba se pueden formular algunas preguntas:

¿Podemos hacer comparaciones entre los recorridos?,

¿Tiene sentido comparar el recorrido de la precipitación en mm con el rango del peso en libras de los recién nacidos?

¿Cuándo y en que condiciones es correcto comparar recorridos?

Las preguntas no deben tener mayor dificultad para ser respondidas. El estudiante puede llegar a concluir que, en general, es dable comparar dos series de datos siempre que se refieran a la misma variable y al mismo proceso de observación.

Otros ejemplos:

1. Ya que la media aritmética es muy importante para calcular otras medidas de variabilidad, se puede proponer como ejercicio su cálculo para todas las series planteadas en el cuadro. (media de edades de los padres: 33.1 años; media de las notas: 7.2,...)

2. Dos muestras tomadas de una misma población de medidas proporcionaron los siguientes valores:

Muestra A: 50 70 65 78 85 60 Muestra B 10 48 125 60 85 80

a) Calcular y comparar los recorridos de ambas muestras.

b) Calcular la media aritmética de cada serie.


Guía Metodológica


Solución: en la muestra A se tiene R = 85 – 50 = 35, en la muestra B se tiene R = 125 – 10 = 115.

El intervalo en el que se distribuyen los seis valores de la muestra B, es más de tres veces superior que el recorrido de los datos de la muestra A. Se dice que los datos de B presentan mayor variabilidad que los de A.

Las medias aritméticas de las dos muestras son sin embargo, iguales a 68.

Esta combinación de resultados es la que emplean algunos estadígrafos para decir que X A =68 es más representativa, como medida central, de los datos de la muestra A que

lo que puede ser de la muestra B.

Con el proposito de observar acumulaciones diferentes de datos, dentro de un mismo recorrido se puede realizar la siguiente actividad:

Preparar dos tipos de test para los estudiantes(pueden ser de conocimientos generales) uno que sea evidentemente facil(¿comó se llama el presidente de la Republica de El Salvador?) y el otro con mayor dificultad(¿de cuántos millones de dólares es el presupuesto anual de El Salvador?).

Distribuir las notas obtenidas en ambos exámenes por separado y analizar su comportamiento, dentro de la amplitud de la variable de notas.

Adicionales

El recorrido es la medida más gruesa para analizar la variabilidad, por ello sus alcances son limitados; sin embargo, es útil desde la perspectiva que establece los límites inferior y superior del intervalo entre los cuales se encuentran todas las observaciones.

Es también un conocimiento necesario, para decidir el número de sub intervalos o clases que se deben tomar para la realización posterior de un conteo de observaciones en cada clase.

En la siguiente lección se estudia la desviación típica o estándar, la cual se considera una medida más robusta y más precisa para analizar la variabilidad.



Dos muestras tomadas de una misma población de medidas proporcionaron los siguientes valores:

Muestra 1: 50 70 65 78 85 60 Muestra 2: 10 48 125 60 85 80

Solicitemos a nuestros estudiantes que realicen la siguiente actividad:

i) Que tracen una línea recta y que la marquen, comenzando con cero, de 20 en 20, con intervalos de igual ancho, hasta llegar a 140.

ii) Que señalen con un punto rojo, en la parte superior de la línea, los valores de la muestra 1; y con un punto negro, en la parte inferior de la línea, los valores de la muestra 2.

iii) Que coloquen en la parte inferior de la línea, un triangulito que señale la localización de la media aritmética. (las medias de las dos muestras son iguales a 68)

iv) Que escriban un comentario sobre lo que observan sobre la distribución de los datos en las dos muestras.

recta numerica

La actividad debería servir para introducir al estudiante en el concepto de “desvío” o “desviación” respecto de la media.

Desvío = observación – media de lasa observaciones di = xi − x

¿Cuál es el mayor desvío en la muestra 1? _______________(50 – 68 = −18) ¿Cuál es el mayor desvío en la muestra 2? _______________(125 – 68 = −58)

Un comentario que debería salir de manera natural por parte del estudiante es que los puntos negros, localizados bajo la línea, están más dispersos que los puntos rojos, que se encuentran arriba de la línea.

Lección 2LA DESVIACIÓN TÍPICA

Segunda Unidad

En consecuencia, si las desviaciones tiene el mismo punto de referencia ( x = 68), la muestra 1 está menos dispersa que la muestra 2.

Orientaciones

Se considera muy conveniente que el estudiante comprenda el porque de la fórmula de cálculo de la desviación típica y no solamente que pueda calcular el valor, para ello: se puede invitar al estudiante a que compruebe, en ambas muestras:“ que la suma algebraica de todos los desvíos respecto de la media 68 es igual a cero”. En la muestra 1 y también en la muestra 2:

( )xii

− ==∑ 68 0

1

6

Se le puede agregar al estudiante que este resultado no resulta útil en la búsqueda de una medida de variabilidad, pero que si puede serlo “ la suma de los cuadrados de los desvíos”, por cuanto no se anulan.

( )xii

− >=∑ 68 02

1

6

Para que la suma no crezca mucho y las unidades de la variable no queden elevadas al cuadrado se decide emplear la expresión:

( )x xii

−

−=∑ 2

1

6

6 1, que ya no se anula, pero que

administra los desvíos en su cálculo.

Es importante que el estudiante se acostumbre a utilizar la fórmula de abajo cuando se trate de calcular la desviación típica de una muestra:

s

x x

n

ii

n

=−

−=∑ ( )2

1

1 y que la distinga de la fórmula:

σµ

=−

=∑ ( )X

N

ii

N2

1 la cual se emplea para la

desviación típica poblacional.


Guía Metodológica


Al finalizar los cálculos debería obtener como respuestas s1 = 17.57 y s2 = 38.76, concluyendo que en efecto, la variabilidad de la muestra 2 es mayor (2.2 veces en este caso) que la variabilidad de la muestra 1.

Debe enfatizarse al estudiante el siguiente argumento: “mientras más grandes son los desvíos entre cada xi y x , más elevado es el valor de la desviación estándar”, y es este sentido que se considera una medida de variabilidad.

El tutor puede evaluar la conveniencia de utilizar la forma alternativa de cálculo de la desviación típica.

sX Xni=−( )−

∑ 2

1

el cuadro de cálculos es más simple:

Los resultados son los mismos de arriba.

Otros ejercicios

1. Calcular la desviación típica para cada una de las muestras que se presentan en el cuadro que se encuentra al inicio de la lección 1. Comentar sobre el valor encontrado.

Variable Datos Cálculos y comentariosEdad del padre en un grupo de 10 familias

28, 32, 24, 26, 41, 38, 58, 27, 32, 25

x = 33.1 s = 10.37El padre de 58 años incrementa la desviación

Notas de un examen de estadística

5.4, 9.2, 7.3, 6.9, 8.2, 6.1, 7.6

x = 7.2 s = 1.27

Peso en libras de 8 recién nacidos

7, 7.5, 8.5, 5.3, 8.1, 9.4, 15.0, 4.8

x = 8.2 s = 3.16La desviación es muy grande. Está influenciada por el valor extremo de 15 libras

Tiempo en minutos que tardan 9 operadoras en realizar una tarea

4.2, 5.1, 7.9, 3.8, 5.3, 4.6, 5.1, 10.4, 4.1

x = 5.6 s = 2.16

Estatura en cm de un grupo de jóvenes de noveno grado

158, 163, 160, 166, 169, 180, 150, 178, 160, 163, 148, 165, 168

x = 163.7 s = 9.2Los datos se presentan bastante homogéneos, por lo que la desviación es razonable

xi xi − x (xi − x )2

50 70

50 – 68 = − 18 70 – 68 = 2

(−18)2 = 32422 = 4

xi xi 2

50 70

502 = 2500 702 = 4900

x∑ x 2∑

Se puede pedir ahora al estudiante que calcule para las dos muestra de arriba la desviación estándar de cada una, empleando la fórmula sugerida. La organización de los datos, tal como se utiliza en el texto es muy adecuada:


Guía Metodológica


2. Los salarios quincenales en dólares de 10 trabajadores de una industria son:

158, 163, 160, 166, 169, 180, 150, 178, 160, 163.

a) Calcular la media aritmética y la desviación típica de los salario.

b) Debido al alto costo de la vida se decide aumentar 30 dólares a cada trabajador, ¿cuánto valen la media aritmética y la desviación típica de los nuevos salarios?

Solución:

Los salarios iniciales tienen media x = 164.7 y desviación s = 9.08.

Los nuevos salarios : 188, 193, 190, 196, 199, 210, 180, 208, 190, 193. tiene media aritmética x = 164.7 +30 = 194. 7 y desviación típica s = 9.08.

Se puede aprovechar aquí para discutir con el estudiante la situación del problema. Si cada trabajador recibe 30 dólares mas en su salario la media se desplaza 30 dólares más, sin embargo la distribución de las salarios es la misma. El trabajador que ganaba menos dentro del grupo sigue ganado menos y el que ganaba más continua ganado más.

Adicionales

Al desarrollar ejercicios con el estudiante puede ser muy útil platicar sobre las ventajas y desventajas de la desviación estándar, y sus propiedades tal como la que apareció en el último ejemplo.

Para ilustrarlas se pueden generar con el estudiante algunas series simples de datos:

El profesor aumenta un punto a todas las notas del último examen de matemática.

Demandar a cada estudiante que use celular, cuál es el gasto mensual en dólares. Analizar que sucede con la desviación típica si todos los compañeros deciden incrementar 12% sobre el consumo actual.

Ventajas de la desviación estándar

1. Se utilizan todos los datos para su cálculo, no como en el recorrido que solo se emplean el mayor y el menor valor.

2. Guarda las mismas unidades de la variable de estudio. Si la variable está en libras la desviación también representa libras.

3. Permite comparar distribuciones que tienen medias iguales o muy parecidas. La muestra que presenta el mayor valor de desviación es la que tiene mayor variabilidad.

Desventajas de la desviación estándar En las distribuciones asimétricas se ve muy afectada por los valores extremos, por lo que se debe tener especial cuidado al momento de interpretarla.

Propiedades de la desviación estándar

Considérese la muestra {x1, x2, x3,...xn} con desviación estándar S.

1. Si a cada elemento de la muestra se le suma o resta una misma cantidad b, la desviación permanece inalterable:

Sb = S

2. Si cada elemento de la muestra se multiplica por una misma cantidad a la desviación queda multiplicada por esa cantidad:

Sa = aS



Nuestro estudiante tiene un conocimiento previo que podemos emplear para volverlo a introducir en el estudio de los ángulos y sus medidas.

Nos referimos al estudio de los triángulos que el realizó cuando hizo el octavo grado.

En aquella oportunidad conoció que un triángulo:

Es una figura geométrica que tiene tres lados AB , AC y BC y además tres ángulos a los que a menudo hacía referencia en forma directa como A, B y C. De manera que tiene un conocimiento intuitivo de lo que significa ángulo.

Además conoció sobre la clasificación de los triángulos, no sólo por la longitud de sus lados, sino también por la medida de sus ángulos. Eso significa que previamente fue adiestrado en “la medida en grados de los ángulos: ángulo agudo, recto y obtuso”; que origina la clasificación de triángulos en:

Parece pues conveniente el revisar un poco algunos de sus conocimientos sobre los triángulos ya que pueden ser útiles al desarrollo de esta lección.

Orientaciones

En la presente lección se aborda el estudio de los ángulos desde una perspectiva diferente, esto es como “ángulos orientados”, muy distinto al manejo de los ángulos como elementos de un triángulo.

Podemos decir que aquello se enmarcaba dentro de la geometría; en tanto que, aquí se puede situar como el inicio del estudio de la trigonometría.

La siguiente figura puede ser útil para introducir desde otro punto de vista la idea de ángulo.

Lección 3ÁNGULOS

Segunda Unidad

A C

B

A C

B

A C

B

A C

B


Guía Metodológica


Dos semirrectas de un mismo origen O: Ox y Oy.

Definen dos regiones dentro del plano; el ángulo xOy se asocia a la región rayada del plano. (En esa región se cumple que si los puntos M y N se encuentran al interior de ella, entonces el segmento MN queda enteramente contenido dentro de la región, no así lo que sucede con los puntos M’ y N’).

Si un punto B pertenece a la semirrecta Ox y un punto A pertenece a la semirrecta Oy, se habla del ángulo BOA .

A cada ángulo se le asocia una medida de la abertura. La unidad de medida más conocida es por supuesto, el grado. Una herencia de los babilonios; que se puede definir asociado al círculo ya sea como la parte correspondiente a dividir el círculo en 360 pedazos iguales o bien dividir un ángulo recto en 90 partes iguales.

Para un ángulo xOy del plano, se traza un círculo con centro en 0, que corte 0x en B y en A.

El arco AB es una porción de la circunferencia, y tiene un valor igual a tantas veces las partes iguales en los que se haya dividido el círculo. Ese número de partes es la medida del ángulo AOB . La que en esta lección se refiere a grados.

A partir de aquí se pueden comenzar a discutir todas las ideas que contempla esta lección.

Ángulo positivo: un lado inicial OA, gira en sentido contrario a las agujas del reloj hasta encontrar al lado terminal OB.

N´

M´

O

x

yN

M

A

0

x

y

B


Guía Metodológica


Ángulo negativo: un lado inicial OA, gira en el mismo sentido de las agujas del reloj hasta encontrar al lado terminal OB.

Ángulos Coterminales: como el número de rotaciones no está restringida se puede tener dos ángulos diferentes con el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.

Es conveniente definir los ángulos en posición normal o estándar (o canónica), porque puede permitir al estudiante orientarse mejor en la identificación de otros ángulos:

El vértice es el origen de coordenadas y el lado inicial coincide con la rama positiva del eje X.

c) Al elaborar el diagrama se deduce la operación: − °+ °= °690 720 30 son coterminales.

B

ALado Inicial

Lado Terminal

0 θ

θ positivo

x

y

A0

Ladoterminal

390º 30º

-330º 30º

a)

b)

Para completar se pueden dar las otras definiciones de ángulos positivos complementarios y suplementarios: ( )θ α θ α+ = ° + = °90 180;

B

ALado Inicial0

θ

θ negativo

390º – 360º = 30º son coterminales

–330º + 360º = 30º son coterminales

Los ángulos con nombres especiales: agudo, recto, obtuso, llano.

Otros Ejercicios

1. Los siguientes ángulos están en posición estándar o canónica. ¿Cuáles de ellos son coterminales con el de 30°?

a) 390° c) −690° e) 750°

b) −330° d) 780°

Solución:

d)

730 720 10°− °= ° no son coterminales

720º 30º


Guía Metodológica


e) Realizando la misma operación: 750 720 30°− °= ° son coterminales.

2. Coloque los siguientes ángulos en posición estándar en un sistema de ejes coordenados.

a) 390º

b) –120º

c) 730º

3. Realice las operaciones y clasifique los ángulos resultantes en agudos, rectos, obtusos o llanos.

a) 270 215°− °= (Agudo)b) 120 15°− °= (Obtuso)c) 130 50°+ °= (Llano)d) 180 90°− °= (Recto)

4. Clasifique los siguientes ángulos positivos en suplementarios y complementarios o ninguno de los dos.

a) 30 70° °y c) 18 72° °y

b) 39 121° °y d) 151 29° °y

Adicionales

Los ángulos en posición estándar de medidas 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, se llaman ángulos cuadrantales. Su lado terminal coincide con una parte de los ejes coordenados. Sus ángulos muy importantes en el estudio de las funciones trigonométricas y parece conveniente que el estudiante los identifique desde ya como tales.

Otra clasificación de ángulos que también vale la pena tenerse presente, es la de ángulo de referencia θ ' de un ángulo dado .

Un ángulo θ ' puesto en posición normal, tiene como ángulo de referencia θ ' , al ángulo agudo comprendido entre el lado terminal de θ ' y el eje horizontal de las x.

Algunas preguntas para el estudiante: Las agujas horaria y minutera de un reloj, ¿Forman en algún momento ángulos agudos, rectos, obtusos, llanos? Qué propongan ejemplos de horas del día en que suceden.

x

y

x

y

730º

10ºx

y

x

y

θ

θ’

θ = 210º

x

y

θ’

θ’ = 210º – 180º = 30º



Utilizando los conocimientos de la lección anterior, podemos enfrentar a nuestro estudiante con algunos problemas sencillos como los siguientes:

a) Un aspersor riega agua a una distancia de 10 m al girar un ángulo de 135°, ¿Qué área de grama recibe agua?

Se puede comenzar cuestionando sobre qué cantidad de área cubriría el aspersor si hiciera un giro completo (360°). Sin mucha ayuda debería concluir que es el área de un círculo de radio r m=10 . A r m= = ( ) =π π π2 2 210 100 ¿Qué porción de área corresponde a un grado?: 100

360π°

¿Qué porción corresponde entonces a 135°?: 100

360135

π°

× °

¿De qué otra forma se puede abordar el problema?

b) El minutero de un reloj tiene 10 cm de largo ¿Qué distancia recorre la punta del minutero en 25 minutos?

El uso de proporcionalidad directa es siempre la idea: la distancia recorrida es una parte del perímetro de la circunferencia: P = ( )=2 10 20π π

¿Qué longitud recorre en 1 minuto?: 2060

π

¿Qué longitud recorre en 25 minutos?:

2060

25π

×

Orientaciones

Se puede razonar con el estudiante la creación de sus propias medidas angulares, basta ponerse de acuerdo en el número de partes iguales en las que se quiere dividir el círculo: en 10, 12, 20, 60, 360, etc. Cada parte constituye una unidad de ángulo y por lo tanto, cualquier ángulo se mide en esas unidades de ángulo.

Lección 4MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS

Segunda Unidad

10 m

135º

12

6

3

111

7 5

210

8 4

9


Guía Metodológica


El círculo se ha dividido en 12 partes iguales. El ángulo marcado intersecta el círculo en un arco cuya longitud corresponde a dos de esas partes, la medida del ángulo θ ' es pues igual a 2 unidades de ángulo.

Es importante que el estudiante observe la correspondencia que hay entre la abertura del ángulo y la longitud que recorre sobre la circunferencia, pues ambas cosas constituyen la base de los sistemas de medición de ángulos.

En la presente lección sólo se hace referencia a las rotaciones, sus medidas correspondientes en el sistema sexagesimal y algunas operaciones de suma y resta de ángulos.

Para convertir rotaciones al sistema sexagesimal basta hacer notar al estudiante que un ángulo de una rotación completa es equivalente a un ángulo de 360°, un ángulo de media rotación tiene 180° grados, etc.

38

de rotación → 38

360 135

× °= °

713

de rotación → 713

360 193846154

× °= °.

Para completar el ejercicio se le puede solicitar que exprese el ángulo en grados, minutos y segundos. (193° 50’ 46.15’’)

Para realizar la operación inversa basta orientarlo en que debe expresar el ángulo, que está dado en grados, minutos y segundos, en grados decimales. ¿A cuántas rotaciones equivale un ángulo de 272° 40’ 36’’?

3660

06= . décimos de minuto. 40660

06767.

.= diez milésimos de grado.

272.6767° → 2726767360

07574.

.°

°= rotaciones.

(Nota: un uso racional de la calculadora parece conveniente)

Otros Ejercicios.

1) Encontrar la medida en grados decimales de los ángulos expresados en rotaciones.

a) 29

de rotación b) 15

de rotación c) 76

de rotación

Basta hacer: ángulo en rotación x 360°

a) 29

360 80× °= ° b) 15

360 72× °= ° c) 76

360 420× °= °

2) Convertir en grados decimales con dos cifras decimales:

a) 184° 31’ 7’’ b) 14° 18’ 37’’ c) 354° 8’ 29’’

A

B

θ


Guía Metodológica


La solución se puede sugerir en dos pasos:

Primero hallar los miembros decimales y luego los grados decimales.

a) 31760

31117+

='

. ' → 1843111760

18452+

= °°. '

'.

b) 183760

18617+

='

. ' → 141861760

1431+

= °°. '

'.

c) 82960

8483+

='

. ' → 354848360

35414+

= °°. '

'.

Con la calculadora el estudiante puede hacer una sola operación:

1843160

73600

18452+ +

= °°

.

3) Dados los ángulos A= °98 22 45' '' y B = °73 40 40' '' hallar los ángulos

a) A + B b) A – B

a) Se realiza inicialmente la suma directa:

98 22 4573 40 40

171 62 85 171 63 25 17

° +°

° → ° →

' ''' ''

' '' ' '' 22 3 25° ' '' b) Acomodar la suma algebraica.

97 82 4573 40 40

24 42 5

° −°

°

' ''' ''

' ''Adicional.

Las sumas y restas de ángulos posiblemente tengan mejor sentido para el estudiante desde el punto de vista físico; ya que parece razonable sumar ángulos donde el lado terminal de uno de ellos sea el lado inicial del otro.

El uso del transportador podría ser recomendable para realizar físicamente las operaciones.

Una actividad adicional puede ser la de invitar al estudiante a que señale posibles aplicaciones o escenarios donde se requiera analizar ángulos: áreas de sectores, movimientos en círculos, ruedas de la fortuna, movimiento de péndulo, revoluciones en ruedas de bicicleta, etc.

θ = θ1 + θ2

θθ1

θ2



Para algunas aplicaciones científicas y de Ingeniería, tales como la velocidad angular en los movimientos circulares o de la longitud de arco, se emplea una medida de ángulo llamada radián.

En esta lección se trabaja fundamentalmente la relación entre grados sexagesimales y radianes.

En la lección anterior se razonó que el estudiante puede crear sus propias medidas de ángulos, dividiendo el círculo en el número de partes que el desee. ¿Qué sucede si divide el círculo en 2π partes?

¿Cuántas veces cabe el radio r en una circunferencia de radio r?

Si elabora la figura utilizando un compás, comprobará que cabe 6 veces y que sobra un pequeño pedazo de longitud.

Si Perímetro = 2π r entonces: Perímetror

rr

= =22

π π

El radio cabe 2π veces en la circunferencia, la definición usual de radián puede darse ahora:

“Si el radio del círculo es r y la longitud del arco subtendido por el ángulo central, también es r, entonces la medida del ángulo es 1 radián”.

Orientaciones.

Lo importante en esta lección es que el estudiante pueda relacionar los dos sistemas de medidas de ángulos: sexagesimal y circular, y realizar conversiones de un sistema a otro.

De la lección anterior él conoce que 1 rotación es equivalente a 360°. De la presente lección sabe que 1 rotación también equivale a 2π radianes; por lo tanto puede concluir que: 360 2°= π radianes.

O bien 180°=π 1)

Si divide la ecuación 1) entre 180° a ambos lados obtiene: 1180

°=°

π

Si divide la ecuación 1) entre , a ambos lados obtiene: 1180

radián= °π

Lección 5CONVERSIONES DE ÁNGULOS

Segunda Unidad

r

r

r

rr

r

r


Guía Metodológica


Las conversiones de muchos ángulos especiales se pueden obtener de manera sencilla si apreciamos la siguiente relación:

Ángulo Forma equivalente Equivalente en radianes90° = 180

2° π

2

45° = 1804

° π4

30° = 1806

° π6

60° = 1803

° π3

120° = 23180°( ) 2

3π

270° = 32180°( ) 3

2π

Las correspondencias señaladas son muy útiles y el estudiante puede incluso hasta memorizarlas:

“Si por ejemplo, 180° se divide entre 4, entonces basta dividir entre 4, y se obtiene el equivalente en radianes del ángulo de 45°”.

La aplicación correcta de las conversiones para cualquier ángulo deben, por supuesto estar muy claras para el estudiante.

45° → 45180 4

°°

=

π π radianes.

π3

radianes → ππ3

18060

°

= °

Al trabajar las conversiones algunos estudiantes no descifran muy bien si deben

multiplicar por π180°

o por 180°π

. Una ayuda sencilla puede ser:

Si el ángulo está en grados, deben simplificarse los grados:

x gradosgradosπ

180

Si el ángulo está en radianes, deben simplificarse los radianes:

x radianesradianes180°

π


Guía Metodológica


Otros ejemplos.

1) Hallar con tres cifras decimales la medida de:

a) Un ángulo de 43° 12’, en radianes

b) Un ángulo de 4.8 radianes, en grados decimales

Solución

a) Se convierte primero 43° 12’ a grados decimales.

43 12 431260

432° = +

= °°

' .

Ahora se hace: 432180

0754. .°×°

=

πradianes

b) Sólo se hace 48180

27502. .π

= °

2) Convierta cada ángulo de radianes a grados.

a) 4 radianes b) 73π radianes c) − 3

4π radianes

Solución

a) 4 4180

22918radianes=

= °

π.

b) 73

73

180420

π ππ

radianes=°

= °

c) − =− °

=− °3

434

180135

π ππ

radianes

3) Un péndulo se mueve con un ángulo de 25° cada segundo (unidad de tiempo). Si tiene 0.8 m de largo ¿Cuánto se mueve su punta cada segundo?

Solución

Se trata de hallar la longitud de arco:

S r= θ r m=08.

θ π=

=25

1800436.

S m= × =08 0436 0349. . .Adicionales

Una utilización muy importante que debe estar presente al estudiar este tema es el de la longitud de arco. Algunos problemas sencillos, tal vez se puedan abordar con el estudiante para motivarlo en algunas aplicaciones.


Guía Metodológica


Dos ángulos centrales θ y α subtienden arcos de longitudes S y S1 respectivamente

las razones θα

y SS1

, se sabe que se igualan formando una proporción:

θα= S

S1

Si α vale 1 radián entonces S1 es igual a r, el radio del círculo.

Por lo tanto: θ θ1= → =Sr

S r

Longitud de arco: la longitud de arco S, en un círculo de radio r, correspondiente a un ángulo central θ dado en radianes, es igual al producto de r por θ .

Un redondel tiene 20 m de radio. Una persona que camina a su alrededor ha subtendido un ángulo central de 0.48 radianes. ¿Qué distancia en metros ha recorrido?

Empleando la ecuación, basta utilizar:

r = 20 θ =048.

luego:

S m= × =20 048 96. . es la distancia recorrida.

Proyecto

El proyecto es muy sencillo. Se trata de calcular algunas medidas descriptivas para variables cuantitativas provenientes de una pequeña encuesta administrada en una población específica, que bien puede ser el mismo grupo de clase del estudiante o alguna muestra de vecinos que estén dispuestos a colaborar con ellos. Se sugieren variables antropométricas como estatura, peso, talla de zapato u otras.

Para cada variable calcular algunos valores descriptivos tales como la media aritmética, entre las medidas de tendencia central; y la amplitud o recorrido de cada variable, su desviación media y la desviación típica, entre las medidas de variabilidad. Se solicita además elaborar una tabla para cada uno de las variables.

S1

S

r

θα



Unidad 3 Resolvamos ecuaciones de segundo grado y apliquemos técnicas de conteo


En la presente unidad se abordan dos temas muy diferentes. Las primeras tres lecciones son del campo algebraico y tratan sobre la métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado; las dos siguientes caen en el ámbito de la probabilidad y la estadística y estudian las técnicas de conteo.

Es muy importante la clasificación de las ecuaciones cuadráticas que se hace en la lección 1. A partir de lo que se conoce como forma general de la ecuación cuadrática: ax bx c2 0+ + = , se clasifican las ecuaciones en completas o; incompletas puras o mixtas.

Algunos problemas sencillos pueden servir con un doble propósito: formar la ecuación y clasificarla.

Ejemplo

Hallar dos enteros positivos consecutivos tales que su producto sea 168.

x x x x+( )= → + − =1 168 168 02 ; Completa.

Un terreno rectangular mide 192 m2 de área. Si el largo del terreno es 3 veces su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

x x x3 192 3 192 02( )= → − = Incompleta pura

Clasifique la expresión cuadrática x x x−( ) =3 5 2

x x x x x2 2 23 5 4 3 0− = → − = Incompleta mixta

Para la resolución de las ecuaciones incompletas, que también se desarrolla en la lección 1, basta orientar al estudiante en dos cosas:

La solución mediante raíz cuadrada, si se trata de incompleta pura:

3 192 0 64 0 64 64 82 2 2x x x x x− = → − = → = → =± → =±


Guía Metodológica


Si se refiere a las dimensiones del terreno rectangular, la respuesta debe ser 8 m de ancho por 24 m de largo.

Si se trata de incompleta mixta tal como 4 3 02x x+ = , recordarle el empleo de la ley distributiva x x4 3 0+( )= ; y luego la propiedad del cero: mn = 0 sí y sólo sí m = 0 ó n = 0 (o ambos).

x x x4 3 0 0−( )= → = y 4 3 034

x x− = → = . Las raíces son: 034

,{ } Para la resolución completando cuadrados, que se estudia en la lección 2, la idea central es que se debe convertir ax bx c2 0+ + = (que no se puede resolver por la propiedad del cero) en una ecuación de la forma x M N+( ) =2 , donde M y N son números reales, y ahora la propiedad de la raíz cuadrada es aplicable.

x M N x M N+ =± → =− ±

Para la resolución mediante fórmula cuadrática que se desarrolla en la lección 3, lo importante es el análisis de la expresión discriminante D b ac= −2 4 , que proporciona información muy útil sobre las raíces.

A través de ejercicios adecuados el estudiante debe poder concluir:

i. Si D = 0 , hay una raíz real (una solución).

ii. Si D > 0, hay dos raíces reales distintas (dos soluciones).

iii. Si D < 0, no hay solución.

Cuando se estudien las lecciones vamos a revisar las actividades propuestas sobre este tema.

Las técnicas de conteo, que se estudian en las lecciones 4 y 5, sabemos que son útiles, como primer contacto del estudiante con los fenomenos aleatorios y tambien para determinar el número de elementos de determinados sucesos que lo conducimos, en otros cursos de estudio de los elementos del cálculo de probabilidades.


Guía Metodológica


“De un colectivo de 3 mujeres y 4 hombres se elegirán 3 personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo elegido quede conformado por una mujer y dos hombres?

Parece conveniente que el estudiante identifique la palabra combinación con el vocablo “selección”. Es, posiblemente, desde un punto de vista intuitivo, que sea más comprensible: “seleccionar 3 personas de un total de 7” que, “encuentre el total de combinaciones de 3 personas tomadas de un total de 7”

73

35

= selecciones diferentes de 3 personas.

¿Cuántos, de estos 35 grupos estarán conformados por una mujer y dos hombres?

Por principio de multiplicación 31

42

18

= …

El paso a la probabilidad es inmediato: Casos favorablesTotal de posibles

= 1835

También parece conveniente que el estudiante asocie la palabra “arreglo”, con el concepto de permutación.

Los arreglos (o desarreglos) con números, hacen evidenciar el orden de manera más definitiva.

Si a una persona le tienen que extender un cheque por $728 pero se equivocan y se lo extienden por $287, no se necesita conocer técnicas de conteo para formular un enérgico reclamo.

En el texto que tiene el estudiante, aparece una expresión de cálculo que corresponde a la fórmula para obtener el total de permutaciones cuando hay elementos repetidos.

n

n n nk

!! ! ... !1 2

Es conveniente ampliar el abordaje de ese tema para hacerlo más comprensible al estudiante. El total de arreglos que se pueden hacer con las letras de la palabra PILA es el doble de los que se pueden hacer con las letras de la palabra PALA, y todo se debe a que en esta última, la letra A se repite dos veces.

Vamos a revisar las actividades y algunos ejercicios referentes a este tema cuando desarrollemos las lecciones.



Por lo tanto, x =± =±36 6 , el valor positivo de x es la solución. De igual forma aparece la ecuación cuadrática; en ejemplos geométricos como el siguiente:

“El perímetro de un rectángulo es de 30 centímetros, y el área del mismo rectángulo es 50 centímetros cuadrados”. Hallar las dimensiones del rectángulo.

Perímetro: 2 2 30x y+ =x y+ =15

Área: xy =50

x 2 28 100+ =

x 2 100 64= −

x 2 36=

De la ecuación del perímetro se despeja: y x= −15 y luego se sustituye y en la ecuación del área. x x( )15 50− = 15 502x x− = x x2 15 50 0− − = Es un ejemplo de ecuación cuadrática o, ecuación de segundo grado en la variable x.

Orientaciones.

La ecuación x x2 15 50 0− − = es llamada ecuación cuadrática completa y su forma general es ax bx c2 0+ + = . Los coeficientes se identifican a =1 , b= 15, c = 50− .

En la lección 2 y 3 se estudian los métodos de solución de este tipo de ecuación; sin embargo se puede pedir al estudiante que compruebe que x = 5 y, en consecuencia, y = 0, constituyen la solución del problema planteado.

Existen muchos problemas de aplicación que se resuelven mediante ecuaciones cuadráticas. Las evidencias históricas señalan que los babilonios y los egipcios resolverían problemas de este tipo antes de 1800 a.C.

Como inicio del tema podemos invitar al estudiante a que dibuje en su cuaderno un cuadrado(con medidas en cm), cuyo perimetro sea igual, en valor numérico, a su área. Luego de verificar que varios lo han hecho de a = 4 cm de lado, se puede plantear la solución analítica a2 = 4a

Los siguientes ejemplos pueden servir para continuar: hallar la dimensión de uno de los lados de un triángulo rectángulo, conocidos los otros dos lados. El empleo del teorema de Pitágoras nos lleva a una ecuación cuadrática.

Lección 1ECUACIONES CUADRáTICAS

Tercera Unidad

8

10x

x

y

50 cm2


Guía Metodológica


Todas las soluciones utilizan el teorema de Pitágoras:

a) x x x x2 2 2 23 4 25 25 5= + → = → =± → =± . La solución es el valor positivo.

b) 65 16 49 49 72 2 2( ) − = → = → =± → =±x x x x . La solución es el valor

positivo.

c) Orientar al estudiante en la solución por dos pasos: primero hallar y, y luego x.

y y y2 2 2 29 15 144 12+ = → = → =

x x x2 2 2 212 13 25 5+ = → = → =

2. El volumen de una caja rectangular debetener 144 centímetros cúbicos (cm3). Su base es cuadrada y sus lados miden (x – 18) cm. Su altura es 9 cm. ¿Cuál es el valor de x?

La actividad 2 del texto del estudiante es muy adecuada para identificar la clasificación de las ecuaciones en: Completas o Incompletas: puras y mixtas. No debe causar ninguna dificultad pues solo se trata de observar si la expresión del lado izquierdo tiene tres términos o solo dos términos.

En la actividad 3 se comienza a resolver las ecuaciones incompletas.

Incompleta pura → método de la raíz cuadrada. 6 24 02x − = → 6 242x = x x2 4 4 2= → =± =±

Incompleta mixta → uso de propiedad cero. 2 6 02x x− = → 2 3 0x x( )− = x x( )− =3 0

mn = 0 Sí y solo si m = 0 ó n = 0 (ó ambos)

x x

xx x( ) ( ) ;− = →

=− = =

3 0

03 0 3

La solución S = 0 3, }{Otros ejercicios.

1. En los siguientes triángulos rectángulos hallar los valores de x, e y.

4

x3

x

4

x

15

9

13y65

x - 18x - 18

9


Guía Metodológica


Volumen = área de la base por la altura.

144 18 18 9= − −( )( )x x9 18 1442( )x − =( )x − =18 162

Aplicando método de raíz cuadrada se tiene:

x − =±18 4

x x ó x= ± → = =18 4 22 14

Se puede preguntar al estudiante. ¿Por qué x = 14 no es la solución?

3. a) x x x x S2 9 0 9 0 0 9− = → − = → = }{( ) ,

b) 5 4 4 5 0 4 5 0 054

2 2x x x x x x S= → − = → − = → = }

( ) ,

c) x 2 36 0+ = puede servir para discutir la imposibilidad de la ecuación en el campo de los números reales. El argumento más fuerte es, por supuesto, que x 2 0≥ , para cualquier número real; por lo tanto: cantidad positiva (ó cero) + ≠36 0

Adicionales.

Como se expresaba al inicio de esta lección, las ecuaciones cuadráticas tienen un basto campo de aplicaciones en la geometría, la física, la economía, etc. En su mayoría tales aplicaciones conducen a ecuaciones cuadráticas completas, no incompletas como las que estudiamos en esta lección. Invitemos al estudiante a que formule ecuaciones cuadráticas completas e incompletas y que le proponga un contexto de ser posible.

El producto de un número, multiplicado por, el mismo número disminuido en 2, es igual a cero. ¿Cuál es el número?

Sea x: el número.

De acuerdo a la ecuación x x( )− =2 0 , es incompleta mixta.

La solución es x = 0

El área de una ventana rectangular debe ser 306 cm2. Si la longitud excede al ancho en 1 cm, ¿Cuáles son las dimensiones de la ventana?

Sea x: el ancho.

x + 1: el largo.

x x( )+ =1 306

x x2 306 0+ − = , ecuación completa.

En las lecciones siguientes comprobaremos que las dimensiones son 17 cm de ancho por 18 cm de largo.



Para activar los saberes previos del estudiante podemos comenzar por recordarle:

a) El producto d ebinomios de la forma (y + a)(y + b).

b) Si igualas el polinomio resultante a cero, obtiene una ecuación cuadratica.

c) Al producto inical (y + a)(y + b) = 0 se le puede aplicar la propiedad cero que se vio en la lección anterior. Si MN = 0, entonces M = 0 ó N = 0, o ambos; y obtiene la solución.

Trabajemos un ejemplo: ( )( )x x x x− + = + −3 5 2 152

Si formamos la ecuación x x2 2 15 0+ − =

Sabemos que esto es equivalente a: ( )( )x x− + =3 5 0 ; luego, por una extensión de la propiedad cero hacemos: x x− = + =3 0 5 0y ; y se obtiene por solución 3 5,− }{Ahora podemos pedir al estudiante que encuentre la solución de una ecuación cuadrática, cuyo lado derecho sea factorizable.

x x x x S2 5 4 0 4 1 0 4 1− + = → − − = → = }{( )( ) ,

La idea es similar para introducir el método de completar cuadrados: si se sabe que ( )x x x+ = + +1 2 12 2 y se tiene que resolver la ecuación x x2 2 15 0+ − =

Hacemos: x x2 2 15+ =

¿Qué falta en el lado izquierdo para obtener ( )x +1 2? Falta agregar el número 1. Al

hacerlo tenemos: x x2 2 1 15 1+ + = +

x +( ) =1 162 y ahora resolveremos por el método de la raíz cuadrada que ya se conoce.

Orientaciones

Es conveniente tomar algunos momentos para hacer un recordatorio al estudiante sobre el producto de binomios.

Lección 2MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UNa ECUaCIÓN CUaDRÁTICa

Tercera Unidad

Los términos independientes 3 y −7, al ser sumados (3 – 7 = - 4) producen el coeficiente que acompaña a la variable x, y al ser multiplicados: (3 (−7) = −21), reproducen el término independiente.

x

3

x–7

x–7

x2

–7x

3x–21

x2 – 4x – 21


Guía Metodológica


En todo caso sabemos que para la solución de la ecuación x x2 4 21 0− − = por el método de factorización, nuestro estudiante debe “buscar” los términos independientes de los binomios.

Por ello debemos recordarle la descomposición en factores 217

37

Y algunos casos de factoreo en ecuaciones como: 6x2 – 11x + 4 = 0 cuya descomposición (2x – 1)(3x – 4) = 0 requiere una metodologia.

Para la solución completando cuadrados, la idea consiste en ajustar el lado izquierdo de la ecuación para que se convierta en un cuadrado perfecto.

( )x b x x b+ = + +2 2 22 x x x2 26 9 3+ + = +( )

Un recurso gráfico puede servir como ayuda. Por ejemplo con la ecuación y2 + 6y = 0 se

sabe que hacemos 62

3= ahora elabormos la figura:

Expresión inicial Cantidad a sumar Resultado

x nx2 +n2

2

x nx

nx

n22 2

2 2+ +

= +

En el ejercicio 3 de la actividad 4, x: cantidad a producir.

− + −x x2 160 4800 : Expresión de cálculo de la ganancia.

− + − =x x2 160 4800 1200 : ¿Para qué nivel de producción x las ganancias son de 1200?

x x2 160 6000− =−

Podemos aqui pedirle al estudiante que utilice el recurso gráfico.

x x2 2 2160 80 6000 80− + =− +( ) ( )

( )x − =80 4002

( )x x x− =± → − =± → = ±80 400 80 20 80 20

Por lo tanto debemos sumar 9 a ambos lados de la ecuación

y y

y

2

2

6 9 9

3 9

+ + =

+( ) = con solución: y = 0, y = –6

En general el procedimiento se puede esquematizar:

3y

3y

y2yy

3

3

falta 32


Guía Metodológica


Otros ejercicios.

De la lección 1 dejamos dos ecuaciones cuadráticas.

a) x x2 15 50 0− + = . Correspondiente al problema del rectángulo de perímetro 30 cm y área 50 cm2, en el cual deseamos encontrar sus dimensiones. Resolvamos completando cuadrados:

x x2 15 50− =−

x x22 2

15152

50152

− + =− +

x −

=15

2254

2

( )2 154

254

2x − =

2 15 25 2 15 52x x−( ) = → − =±( ) 2 15 5 10 5x x y= ± → = =,

Se puede llamar la atención al estudiante que la solución por factorización le resulte más fácil: x x−( ) −( )=10 5 0

El otro ejercicio que también dejamos planteado en la lección 1, es el de “la ventana cuadrada de área 306 cm2, cuya longitud excede el ancho en 1cm. Se quiere hallar la dimensión de la ventana.

Resolveremos x x2 306 0+ − = por factorización.

( )( )x x x+ − = → =18 17 0 17 La ventana tiene ancho 17 cm y de largo 18 cm

Adicionales.

Históricamente el método de factorización fue introducido por Thomas Harriot (1560 − 1621) y el método de completar cuadrados por Francois Viète (1540 − 1603).

Es interesante observar el trabajo analítico algebraico de Viète: Para resolver por ejemplo x x2 10 96 0+ − =Procedía así: Sea x = a + b

( ) ( )a b a b+ + + − =2 10 96 0 a ab b a b2 22 10 10 96 0+ + + + − =

1) a b a b b2 22 10 10 96 0+ + + + − =( ) ( )

Ahora, hacía 2b + 10 = 0 y seleccionaba b = −5. Al sustituir en la expresión 1), se tiene:

a 2 0 25 10 5 96 0+ + + − − =( ( ) ) a a a2 2121 0 121 11− = → = → =±

Por lo tanto, como x = a + b, obtenemos x =− ±5 11 con solución S = − }{6 16, . Parece que debemos bastante de nuestro conocimiento a muchas personas.



La justificación de la solución algebraica de la fórmula cuadrática, se basa en la metodología de completar cuadrados que nuestro estudiante ya conoce.

Lo importante acá es que pueda identificar con claridad los coeficientes de la ecuación cuadrática y sustituirlos en la fórmula.

Para evitarle problemas con los signos, es conveniente que una ecuación que se presente de la forma − + − =3 8 6 02x x se transforme en 3 8 6 02x x− + =

Una entrada inicial para esta lección puede ser:

Orientaciones.

Es conveniente en esta lección realizar con el estudiante una acción integradora de los diferentes métodos que conoce para resolver ecuaciones cuadráticas.

En principio podriamos pedir al estudiante que resuelva, empleando los tres metodos: factorización, completitud de cuadrados y fórmula general de la ecuación x2 + 3x – 10 = 0; y luego que comente y explique cuál es su método preferido.

A continuación podriamos plantear una situación como la siguiente: “Una empresa que hace viajes turisticos ha determinado que sus ingresos en dólares se rigen por la expresión: 16n – 0.2 n2, donde n es el número de turistas que transporta”.

Se puede hacer notar aqui que si n = 0, no hay ingresos; si n = 1, ingresos 15.80, etc. ¿Cuántos turistas debe transportar para tener ingresos de 140 dólares? ¿cuál método considera más fácil para resolver la ecuación: 16n – 0.2 n2 = 140?

Al plantear la ecuación equivalente x2 – 80x + 700 = 0, es posible que piense que la factorización no resulta muy conveniente.

Ecuación Cuadrática Sustitución en la fórmula

a) ax bx c2 0+ + = − ± −b b aca

2 42

b) 9 6 1 02x x− + = − ± − ( )()( )

6 6 4 9 12 9

2

c) x x2 4 7 0+ + =d) x x2 19 84 0− + =.e) 3 8 29 02x x+ + =π

Lección 3FÓRMULA GENERAL dE UNA EcUAciÓN cUAdRáticA

Tercera Unidad


Guía Metodológica


También es muy importante aquí abrir un espacio de discusión sobre el análisis de la expresión discriminante: b ac2 4− . Que expliquen cuales son los beneficios de hacer ese análisis; que es lo que logra con ello.

Se le pueden plantear por ejemplo, ecuaciones como las siguientes:

Ecuación Discriminante

ax bx c2 0+ + = b ac2 4−

a) 5 9 4 02x x+ + = 9 4 5 4 1 02 − = >( )( )

b) x x2 3 3 0+ + = 3 4 1 3 3 02 − =− <( )( )

c) x x2 4 4 0+ + = 4 4 1 4 02 − =( )( )

Los ejercicios que aparecen en la actividad 2 (página 125) se pueden emplear a partir de sus soluciones, conel proposito que el estudiante se aproxime más al problema y pueda observar la consisitencia de los palnteamientos. Por ejemplo en los ejercicios a) y c) se le puede solicitar que dibuje en su cuaderno:

Un triángulo rectángulo de 84cm2 de área (catetos de 24 cm y 7 cm).

Un rectángulo de 84 cm2 de área (dimensiones 14 cm y 6 cm)

Que lea ahora los ejercicios a) y c) y que compruebe hacia atrás los valores y razonamiento informativos de cada problema (por ejemplo: 14 + 2(ancho del marco) = 20, etc.)

El ejercicio d) de la actividad 2, del libro de texto también puede ser interesante para

resolverlo con ellos: “Se demuestra que la suma 1 + 2 + 3…+ n = n n( )+12

. ¿Cuántos

números naturales consecutivos, comenzando con el número 1, suman 1275?”

Basta plantear n nn n

( )+ = → + =12

1275 25502

n n2 2550 0+ − = → Discriminante 1 4 1 2550 10201 02 − − = >( )( )La ecuación tiene dos soluciones reales pero sólo una es válida para este problema.

n n= − ± → = − ± =1 102012

1 1012

50

Se suman los primeros cincuenta números naturales.


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Otros ejercicios.

1. El área del claro de una ventana rectangular debe ser 143 unidades cuadradas (u2). Si el largo debe ser 2 unidades mayor que el ancho, ¿Cuáles son las dimensiones?

Solución

x: el ancho. (x + 2): el largo área del claro: 143x x +( )=2 143x x2 2 143 0+ − =

x x x= − ± → = − ± → =2 5762

2 242

11

Las dimensiones son 11 de ancho y 13 de largo.

2. La suma de dos números es 26 y la suma de sus cuadrados es 340. Hallar los números; llamemos x e y los dos números. (1) x y+ = 26 (2) x y2 2 340+ =

Despejamos “y” de la ecuación (1) ( )y x= −26 y la sustituimos en la ecuación (2)

x x2 226 340+ − =( )

Empleando la fórmula cuadrática los números buscados son 14 y 12.

3. Una barra de chocolate con forma rectangular mide 12 cm de largo, 7 cm de ancho y 3 cm de grueso. Los fabricantes han decidido reducir 10% el volumen de la barra, pero manteniendo el mismo grosor de 3 cm. El largo y el ancho deben reducirse en el mismo número de cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la nueva barra?

Solución

El volumen original de la barra es: V= (7 × 12 × 3) = 252 cm3 reducido en 10% queda V = (252 – 25.2) = 226.8 cm3. Si llamamos x a la reducción en cm de la barra, entonces la expresión del volumen nuevo queda:3 7 12 2268( )( ) .− − =x x( )( ) .7 12 756− − =x xx x2 19 84 0− + =.

x = ± = ±19 32742

19 1809422

. .

x =04529.


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Las nuevas dimensiones son: 12 – 0.4529 = 11.5471

7 – 0.4529 = 6.5471

Aproximadamente largo de 11.55 cm; ancho de 6.55 cm

Adicionales.

Es conveniente hacer ver al estudiante que en algunos problemas de aplicación sólo existe una sola respuesta válida, aún cuando la ecuación cuadrática presente dos soluciones. Sus comentarios sobre porqué se rechaza una de ellas deben estimularse.

Por otro lado el uso razonable de una calculadora para hallar la raíz cuadrada de la expresión discriminante, cuando utiliza la fórmula cuadrática, aparece conveniente dada la complejidad del radicando.

Algunas ideas y aplicaciones adicionales pueden ser:

Que construyan tres ecuaciones cuadráticas, una con dos soluciones distintas, otra sin soluciones reales y una que tenga exactamente una solución real.

El costo C (en dólares) de construir un armario está dado por C t= −2

103 , donde

: es la longitud del armario en metros. ¿Qué longitud debe tener un armario para que el costo se conserve en $100?

Basta con sustituir C = 100 y resolver la ecuación

10010

3 30 1000 02

2= − → − − =

t t

= ± → = =−30 70

250 20y

Consultarle, ¿Por qué =−20 no es solución?



El estudiante puede advertir que el diagrama proporciona una descripción completa de los diferentes ordenamientos, pero que el número de arreglos se puede conseguir siguiendo un razonamiento como el siguiente:

Cualquiera de los tres puede ubicarse el primero en la cola : 3

Cualquiera de los otros dos puede ubicarse el segundo : 2

Solo queda uno para ocupar la última posición : 1

El producto 3 × 2 × 1 = 6 es el total de arreglos

Ahora se puede pasar a señalar las condiciones bajo las cuales el principio de multiplicación es aplicable.

Lección 4APLIQUEMOS TÉCNICAS DE CONTEO

Tercera Unidad

La experiencia que se tiene cuando presentamos este tema al estudiante es que algunos se sienten muy a gusto y muy seguros al enfrentarse a los problemas; en cambio otros se bloquean y encuentran muchas dificultades para el análisis.

El diagrama de árbol y el principio de multiplicación son dos recursos muy importantes para introducir las técnicas de conteo. Un ejemplo sencillo de su propio entorno puede servir de introducción de manera que pueda construir la solución sin mayores problemas.

¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer cola en la tienda de la escuela: Juan, Luis y Sonia?

Inducir la solución por el método del diagrama de árbol no debe ser muy complicado:

Primero en la cola Segundo Tercero

Cafetería Total de arreglos 6


Guía Metodológica


Solución:4 2 3

Total = 4 × 2 × 3 = 24Ciencias Idiomas Humanisticas

La idea de considerar el recuento como un proceso que termina al cubrirse todas las etapas es muy importante, ya que la palabra proceso se puede asociar a diferentes escenarios:

a) En una empresa se quieren formar códigos para los artículos. Los códigos deben comenzar con dos letras y estar seguidos de tres dígitos. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar, si no se permite repetir ni letras ni dígitos? (Nota: se consideran 26 letras del alfabeto y 10 números dígitos)

El proceso consiste en formar los códigos con las especificaciones señaladas, es un proceso que tiene cinco etapas, y termina cuando se haya puesto el último dígito: 26 25 10 9 8

b) Para ir de San Salvador a Miami hay 4 líneas aéreas y de Miami a los Ángeles hay 7 líneas diferentes. ¿De cuantas formas distintas se puede hacer el viaje San Salvador – Los Ángeles, pasando por Miami?

Una actividad:

Recortar pequeños cartones y escribir en ellos los nombres de las materias que aparecen a continuación (rojos para ciencias, verdes para idiomas y amarillo para humanidades). Invitar a los estudiantes a que seleccione al azar un cartón de cada bloque.

En el área de Ciencias: Biología, Física, Química y Matemáticas En Idiomas: Francés e Inglés En Humanidades: Sociología, Filosofía y Ética

¿De cuántas formas diferentes puede elegir los 3 cursos?.

Orientaciones.

El principio de multiplicación es el principio básico de conteo, y con toda seguridad el más importante. Una idea que se puede considerar para fundamentar el uso de este principio es:

Que un proceso se completa cuando se cubren todas las etapas.

Que por cada alternativa que presente una etapa, se puede seguir cualquier camino alternativo que tenga la siguiente etapa.

P1

P2 a2

a1


Guía Metodológica


El proceso ahora consiste en hacer la ruta de viaje que tiene dos etapas muy claras: la primera tiene 4 alternativas, y al llegar a Miami, se puede elegir cualquiera de las 7 líneas disponibles para los Ángeles. En total, por el principio de multiplicación, el viaje (el proceso) se puede realizar de 4 × 7 = 28 maneras diferentes.

Otros ejercicios.

1. Cuatros amigos deciden fundar una compañía y llamarla con sus cuatro apellidos: Pérez, Fernández, Martínez, González. ¿Cuántos nombres diferentes son posibles para la compañía?.

Solución: por el principio de multiplicación: 4 × 3 × 2 × 1 = 24

2. Seis compañeros de clase entre los cuales hay dos del sexo femenino, deciden tomarse todas las fotografías posibles, disponiéndose todos en una sola fila. ¿Cuántas fotografías diferentes se pueden tomar?,¿cuántas, si las dos mujeres desean siempre salir a la par?

Solución:

Es el mismo problema de hacer cola en una cafetería. Resultan: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720, fotografías diferentes. El otro caso tiene una ligera dificultad. Una manera de abordarlo con el estudiante consiste en razonar que si las amigas quieren aparecer juntas, entonces es como si anduvieran amarradas formando un solo cuerpo, en cuyo caso solo se considerarían 5 personas.

El resultado 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, es por supuesto incompleto ya que hay dos maneras de que las amigas salgan a la par en la foto. Se puede preguntar al estudiante si cree que 120 es la respuesta. (Respuesta 120 × 2 = 240)

3) Un plan de inspección de cartones de huevos de 10 unidades es el siguiente:

Se toman dos huevos al azar del cartón. Si ambos resultan satisfactorios, se acepta el cartón; si ambos resultan defectuosos se rechaza.

Si uno resulta satisfactorio y el otro defectuoso se toma un tercer huevo del cartón.El cartón se acepta o rechaza según que ese tercer huevo resulte satisfactorio o defectuoso. ¿De acuerdo a este plan, por cuántos caminos diferentes se acepta un cartón?

Solución: Solicítese al estudiante que elabore el diagrama de árbol que ilustre el plan.

El primer huevo que se examina es una etapa de inspección y puede estar bueno(B) o malo(M), el segundo y tercer huevo examinados constituyen la segunda y tercera etapa respectivamente. Al elaborar el diagrama siguiendo las instrucciones solo resultan 6 caminos, tres de los cuales son de aceptación del lote. BB(aceptado), BMB(aceptado), BMM, MBB(aceptado), MBM, MM

3. Una universidad ofrece 8 carreras diferentes para estudios de grado. Un estudiante que solicita ingreso debe especificar: primera, segunda y tercera opción de carrera, ¿de cuántas formas diferentes puede hacer eso?

Solución:

Es un proceso en tres etapas. 8 para la primera opción, 7 la segunda y 6 la tercera opción. Total : 8 × 7 × 6 = 336

Adicional.

Se puede trabajar con el estudiante la búsqueda de problemas que podríamos llamar Isomorfos, entendiéndose por ello de manera simple que: dos problemas son isomorfos si tienen el mismo número de etapas y el mismo número de caminos en cada etapa. Esta es una buena oportunidad para que el estudiante ponga a prueba su pensamiento creativo.

Con 4 dígitos distintos, ¿cuántos números de 2 cifras se pueden formar si no se pueden repetir dígitos? R: (4 ×3=12)

Hay 4 caminos que van de A a B y 3 caminos que van de B a C. ¿Por cuántas rutas diferentes se llega de A hasta C, pasando por B? R: (4 × 3 = 12)



La palabra clave asociada al concepto de combinación es SELECCIÓN y la asociada al concepto de permutación es ARREGLO. Es indiferente cuál de las dos se estudie primero, aunque el libro de texto del estudiante comienza analizando las permutaciones; lo importante debe ser crear las situaciones didácticas que permitan al estudiante hacer uso del concepto intuitivo que tienen sobre las dos palabras. Más tarde se pueden justificar las fórmulas de conteo. Por ejemplo es muy frecuente, en algunas encuestas por muestreo, test sicológicos, exámenes, etc, que nos pidan elegir entre varias alternativas, nuestras preferencias relativas a un determinado hecho.

De los siguientes problemas que aquejan a la sociedad salvadoreña:

a) Delincuencia c) Deterioro del medio ambiente e) Insalubridad

b) Falta de empleo d) Corrupción f) Analfabetismo

i) Seleccione tres de ellos, los que a su juicio deben ser atendidos de manera inmediata”

ii) Seleccione tres de ellos, en orden de mayor a menor prioridad, que a su juicio deben ser atendidos de manera inmediata”.

Con un poco de ayuda el estudiante podrá advertir que en el primer caso solo se trata de decir los tres problemas y no importa el orden en que se digan. Es una selección de tres problemas de un total de seis que se han presentado. En el segundo caso es diferente pues, los mismos tres problemas seleccionados en i) se pueden presentar de 6 maneras distintas.(3! = 6)

Orientaciones.

Generar situaciones de modificación de orden de los elementos

Presentar al estudiante varios escenarios de situaciones didácticas donde se evidencie que el intercambio posicional de objetos respecto de un orden inicial constituye un arreglo diferente. Algunos autores hablan de variaciones cuando se refieren a ello y utilizan el principio de multiplicación.

Arreglos numéricos

La formación de los números en el sistema decimal es un recurso muy simple y muy preciso para ejemplarizar los cambios de orden. Basta llamar la atención del estudiante sobre el valor posicional de los dígitos que conforman un número dado.

3 7 8 = 3 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100 = 300 + 70 + 87 8 3 = 7 × 102 + 8 × 101 + 3 × 100 = 700 + 80 + 3

Lección 5TÉCNICAS DE ORDENAMIENTO

Tercera Unidad


Guía Metodológica


Claramente 783 es un arreglo diferente de 378. Puede ahora preguntarse, cuál es el total de arreglos diferentes con esos tres dígitos.

Arreglos de filas

Cuatro clientes haciendo fila en la caja de un supermercado, cuatro libros diferentes a ser colocados en una librera, cuatro correos electrónicos diferentes que debo contestar, son ejemplos de ordenamientos en una fila. El principio de multiplicación es aplicable y es equivalente al cálculo de: permutaciones de elementos diferentes tomándolos todos a la vez. ( 4!).

Nótese también que puede pedirse al estudiante que presente ejemplos isomorfos, en el mismo sentido que se expresó en la lección anterior.

Arreglos con letras

Las letras que conforman una palabra se pueden reordenar para formar nuevas “palabras”(las que a menudo resultan impronunciables). Por ejemplo, con las letras de la palabra MITOS podemos formar TIMOS, IMTOS y otras. El principio de multiplicación es aplicable ya que no hay letras repetidas; de manera que el total de arreglos es: 5!.

¿Cuántas “palabras” diferentes se pueden formar con las letras de la palabra permutación?,¿cuántas se pueden formar con las letras de la palabra terremoto?

Discutir sobre el total de arreglos cuando las palabras tienen letras repetidas.

Generación de situaciones que involucren una selección de elementos. Presentar al estudiante varios escenarios de situaciones didácticas donde la idea de selección, sin intervención del orden, sea totalmente plausible.

Un amigo me va a regalar dos libros y me da a escoger de entre 5 libros que ha puesto en una mesa.

Cuántas rectas distintas se pueden trazar con 5 puntos del plano de la pizarra, donde no hay más de 2 que estén alineados.

Cinco equipos de fútbol participan en una pentagonal, a una sola vuelta, jugando uno contra todos. ¿Cuántos partidos se realizarán en total?.

Con 5 personas, ¿cuántos comités diferentes, de 2 personas, se pueden formar?

En cada caso el estudiante podrá realizar el conteo sin recurrir a fórmulas; lo importante estriba en que sea evidente, para él, que se encuentra en presencia de una selección: de libros, de puntos del plano, de equipos de fútbol, de personas; y que no hay asociada ninguna idea de orden.

Nótese además que en los 4 escenarios planteados el

total de selecciones es el mismo: 52

= 10, y que

se trata para todos los casos de combinaciones de 2

elementos tomados de un total de 5.

La búsqueda de problemas isomorfos, en el mismo sentido que se planteó para el principio de multiplicación, es válido también aquí.

Otros ejercicios.

1. Algunos problemas hacen uso combinado del principio de multiplicación, selecciones y arreglos.

Ejemplo

Un grupo de 12 trabajadores de un almacén serán asignados: 3 al departamento de juguetes, 4 al departamento de electrodomésticos y 5 al departamento de ropa. ¿de cuántas formas distintas se pueden repartir las personas?.

Solución:

El proceso consiste en distribuir a los doce trabajadores a los tres departamentos. Cada selección de trabajadores para cada departamento se considera una etapa, por lo tanto por el principio de multiplicación se debe de realizar el producto de tres selecciones.

123

220

= selecciones de tres empleados para el

departamento de juguetes

94

126

= selecciones de cuatro empleados para

el departamento de electrodomésticos.


Guía Metodológica


55

1

= de los cinco empleados que han quedado se seleccionan los cinco para el

departamento de ropa.

Total: 123

94

55

= 220 × 126 × 1 = 27720

2. Jugar a extraer los premios. En una bolsa opaca colocar 10 cartones: 3 cm la palabra PREMIO y 7 cm NO PREMIO. Invitar a los estudiantes a que extraigan 3 cartones d ela bolsa y que expliquen de cuántas formas diferentes se pudo haber llegado al resultado obtenido. Regalarle un dulce por cada premio extraido.

Si un estudiante saca 2 cartones con PREMIO y 1 con NO PREMIO ayudarle a que concluya que en la bolsa hay en realidad dos clases de objetos y que el seleccionó 2 de tres y 1 de siete, por lo que el total es:

32

71

21

=

Repetir con otros estudiantes y hacer lo mismo. Una pregunta que se puede hacer al final a toda la clase es ¿de cuántas maneras su estudiante puede obtener al menos un premio en la selección de tres cartones, la discusión puede orientarse para obtener:

31

72

32

71

33

70

+

+

Adicionales

En el libro de texto están incluidos algunos ejercicios cuyas soluciones se enmarcan en dos tipos de permutaciones.

a) Permutaciones circulares.

En el ejercicio c) de la actividad 1 (Lección 5 del libro de texto), se habla de sentar 9 personas de un comité alrededor de una mesa redonda y que el presidente y el secretario estén sentados a la par. El total de permutaciones de n elementos dispuestos en una fila es n!. Sin embargo, al ordenarse alrededor de un círculo el total de permutaciones es (n – 1 )!.

Para el ejercicio en cuestión, se consideraría que solo 8 personas están rotando, ya que el presidente y el secretario siempre van juntos. Por lo tanto el total de permutaciones se calcula: 7! × 2! = 10080


Guía Metodológica


b) Permutaciones con elementos que se repiten.

El ejemplo 1 que discutimos arriba, donde un grupo de 12 trabajadores de un almacén serán asignados: 3 al departamento de juguetes, 4 al departamento de electrodomésticos y 5 al departamento de ropa; se puede resolver abordándolo como permutaciones con elementos repetidos. Las 3 personas elegidas para el departamento de juguetes no tienen por que rotar dentro del mismo departamento, porque son las mismas 3 personas. Se razona de manera similar para los otros departamentos.

Por lo tanto cuando se trata de ejercicios de distribución en grupos, tal como el ejercicio d) de la actividad 3, el resultado se consigue mediante la fórmula para elementos repetidos.

Total = 123 4 5

!! ! !x x

= 27720 que coincide con la solución de arriba.

Sobre el proyecto

El proyecto es sencillo y el libro de texto recrea el problema con una figura muy elocuente. Inicialmente se debe resolver el problema que involucra construir una ecuación cuadrática.

Llámese y: el ancho del terreno

3y + 5 : el largo del terreno

La ecuación resultante es : y(3y + 5 ) = 1562 → 3 5 1562 02y y+ − =

Utilizando la solución por la fórmula cuadrática tenemos:

y =− ± +

=− ±5 25 4 3 1562

65 1376

( ) → y = 22 metros es el ancho del terreno

El largo del terreno es 3(22) + 5 = 71 metros.

Cada lote tendría 22 mts de largo por 14.2 de ancho. ( 715

142= . ).

Ahora, como las familias se han dividido en dos grupos 2 de una clase y 3 de otra, el total de maneras de repartir los 5 terrenos se calcula mediante la expresión de permutaciones con elementos repetidos.

Total = 53 2

10!

! !x= formas distintas de repartir los terrenos.



Unidad 4 Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Binomio de Newton y triángulo de Pascal


La presente unidad trata sobre los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas, las potencias de polinomios y el empleo del binomio de Newton y el triángulo de Pascal.

Los sistemas de ecuaciones lineales con tres o más incógnitas revisten, mucha importancia por su amplio campo de aplicaciones, en programas de producción, nutrición, asignación de recursos y otros. La solución es, cuando existe una terna ordenada x y z0 0 0, ,( ) que satisface las tres ecuaciones.

Para que el estudiante aborde los métodos de solución con interés se debe procurar que las variables y más aún la solución del sistema, hagan referencia a un problema de aplicación de fácil comprensión en su estructura y resultado.

En el proceso de solución se puede ir haciendo referencia a las reglas mínimas que sirven para mantener las ecuaciones equivalentes; es decir, lo que se conoce como operaciones elementales en filas.

Considérese el ejemplo del programa de producción de abajo.

a) Si se intercambian las filas de corte con las filas de confección, el programa no cambia.

b) Si se decide duplicar el tiempo de empaque para todos los estilos de camisa, la ecuación: 0.2x + 0.4y + 0.2z = 960 es equivalente a la inicial.

c) Si se suman dos filas, miembro a miembro; por ejemplo las correspondientes a corte y a confección, el resultado es una ecuación que tiene sentido: 0.5x + 0.9y + 0.7z = 2720 y que esta indicando el tiempo conjunto que se gasta en ambos operaciones.

Ejemplo

Un programa de producción en una maquila textil, elabora tres estilos de camisas. Hay tres departamentos que intervienen en la manufactura de las camisas y los tiempos en horas que tardan en cada uno se dan en la tabla.

Cada departamento tiene un máximo de horas de trabajo: en Corte 1160 horas, en Confección 1560 horas y en Empaque 480 horas.


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¿Qué cantidad de camisas de cada estilo deben producirse para que la planta opere con su máxima capacidad?

Departamento Estilo X Estilo Y Estilo Z Máximo HorasCorte 0.2 0.4 0.3 1160Confección 0.3 0.5 0.4 1560Empaque 0.1 0.2 0.1 480

Ecuaciones: 02 04 03 1160. . .x y z+ + =

03 05 04 1560. . .x y z+ + =

01 02 01 480. . .x y z+ + =

En la lección 2 que trata sobre el método de Cramer lo importante es que el estudiante, en la solución para una determinada variable, construya correctamente el determinante en el numerador, sustituyendo la columna que ocupan los coeficientes de la variable en cuestión; por la columna de términos constantes.

Es bueno recalcar que el determinante formado por los coeficientes que acompañan a las variables no debe ser igual a cero, pues de lo contrario el sistema no tiene solución.

En la lección 3 que trata sobre las potencias de polinomios, resulta ilustrativo desde el punto de vista algebraico, las generalizaciones de los desarrollos de las potencias cuadradas y cúbicas.

El estudiante podría hacer algunas pruebas aritméticas sobre la validez de las reglas, por ejemplo:

2 3 5 2 3 5 2 2 3 2 2 5 2 3 52 2 2 2+ +( ) = + + + ×( )+ ×( )+ ×( )

= + + + + +4 9 25 12 20 30

10 1002 =

Que ilustra:

a b c a b c ab ac bc+ +( ) = + + + + +2 2 2 2 2 2 2

Se puede notar que también coinciden en el número de términos: en el lado izquierdo son 3 92 = términos, y en el lado derecho también son nueve ya que se han reunido términos semejantes.


Guía Metodológica


En el desarrollo de la lección, ensayaremos otras ideas sobre estas potencias.

Sobre las lecciones 4 y 5 se puede decir que tanto el binomio de Newton como el Triángulo de Pascal se complementan; aunque, desde un punto de vista práctico, el binomio de Newton presenta muchas más posibilidades para el análisis y el desarrollo de los binomios, o para la identificación de términos específicos.

Es importante que el estudiante observe que los números que se generan con el algoritmo del triángulo de Pascal se pueden expresar como números combinatorios.

La simetría que se da en las filas del triángulo de Pascal se explica por la identidad

nk

nn k

=

−

De igual forma se debe insistir y ayudar en el análisis de la expresión del binomio:

a b nk

a bn n k k

k

n

+( ) =

−

=∑

0

Por ejemplo, una observación muy simple y muy útil: si el término contiene a bk

entonces el coeficiente del término es nk

.

¿Cuál es el coeficiente de a b4 3 en el desarrollo de a b+( )7 ?

El coeficiente es 73

35

= , y el término es: 35a4b3

Alguna identidades combinatorias tal como la identidad de Pascal

nk

nk

nk

= −

+ −

−

1 11

se pueden recrear al estudiante par su comprensión:

Tómese al azar un grupo de seis estudiantes e identifíquese a uno de ellos(digamos a Roberto). Ahora señálese que se va a elegir, de entre los seis, una comisión de tres estudiantes. Preguntar: ¿en cuántas de las comisiones no saldrá seleccionado

Roberto?(53

: se apartó a Roberto). ¿En cuántos si saldrá seleccionado?(52

: se

incluyo a Roberto desde el principio). El estudiante puede comprobar que:63

53

52

=+

Se pueden discutir y señalar algunos usos en los presaberes del estudiante sobre permutaciones y combinaciones.

Abordaremos un poco de esto al discutir las lecciones 4 y 5.



Resolución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas

Para iniciar este tema es conveniente que el estudiante recuerde cómo resolvía sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de reducción, o eliminación de variables.

Es básicamente lo mismo que hará en está lección con sistema de tres variables.

Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

3 5 4 1

2 7 2

x y Ecx y Ec+ =−− =−

( )

( )Hacerle recordar que se trata de eliminar variables para obtener un sistema más simplificado. Para el sistema dado, resulta más fácil eliminar la y.

Si se multiplica toda la ecuación 2 por 5, se obtiene el sistema equivalente:

3 5 4 1

10 5 35 313

x y Ecx y Ecx

+ =−− =−

39

( )

( )=−

Sumando miembro a miembro queda eliminada la y.

x =−3

Ahora sustituye x = −3 en la ecuación 1, para hallar el valor de y. 3 3 5 4 5 5 1( )− + =− → = → =y y y

La verificación es importante: 3 5 4

3 3 5 1 44 4

x y+ =−− + =−

− =−( ) ( )

2 7

2 3 1 77 7

x y− =−− − =−

− =−( )

Orientaciones.

Una idea introductoria puede ser la de que el estudiante compruebe en un sistema, una solución dada. Para ello se puede utilizar el ejemplo sobre el programa de producción que esta al inicio de esta Unidad.

Verificar que si se producen 1200 camisas de estilo x, 800 camisas de estilo y, y 200 de estilo z, la planta opera en su máxima capacidad y se satisfacen las ecuaciones del sistema. La comparación para cada departamento: corte, confección, empaque, puede ser de buen ejercicio inicial para el estudiante.

Lección 1sisteMas de ecuacioNes liNeales coN tres iNcóGNitas: Método de reduccióN

Cuarta Unidad


Guía Metodológica


Un segundo paso antes de pasar a la solución algebraica de un sistema, puede ser el de construir ecuaciones con tres incógnitas.

a) Solicítele a un estudiante que diga aproximadamente, cuántas libras de carne de pollo, libras de queso y litros de leche se consume en forma semanal en su hogar.

b) Una vez lo han expresado defina las variables:

a = Precio de la libra de pollo

b = Precio de la libra de queso

c = Precio del litro de leche

T = Total invertido de los tres productos

c) Hacerle ver que la expresión que una expresión de la forma:

3a + 2b + 4c = 18

Tiene sentido si:

a = $2 b = $4 c = $1

d) Suponiendo que esos son los precios actuales del mercado, la especificación del consumo para tres hogares (tres estudiantes) conduciría a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución son los precios dados.

Para ilustrar la extensión del método de eliminación a 3 variables es recomendable comenzar con un sistema que no resulte muy complicado para el estudiante.

Considérese el siguiente sistema:

x y zx y zx y z

− + =−+ + =+ + =

4

6

9 3 0

(Ec1)

(Ec 2)

(EEc 3)

Se detalla en esta oportunidad la solución únicamente con el propósito de seguirle los pasos al estudiante.

Se elimina la y de las ecuaciones 1 y 2.x y zx y zx z

− + =−+ + =+

46

2 2 2=

Se elimina la y empleando las ecuaciones 2 y 3.Previamente se multiplica la ecuación 2 por – 3.

− − − =−+ + =

3 3 3 189 3 0x y zx y z

6 2 18 3 9x z x z(Ec 5)Ecuación equiv

− =− → − =−aalente

El resultado intermedio es un sistema de dos ecuaciones con dos variables: las ecuaciones 4 y 5, que el estudiante ya puede resolver por eliminación.

= 8

x zx zx

x

+ =− =−

−→ =−

13 94

2 Sustituyendo x = −2 en la ecuación 4 se obtiene z = 3.Sustituyendo x = −2 y z = 3 en la ecuación 1 se obtiene:

− − + =− → =2 3 4 5y y

La solución del sistema es: x = −2, y = 5, z = 3; que el estudiante debe verificar.

Se puede emplear ahora el sistema dado arriba (con solución x = 0, y = −1, z = 1) para que el estudiante practique el método. Debe señalársele que la elección de la variable a eliminar depende de la conveniencia de los coeficientes que la acompañan. La diferencia en los signos de los coeficientes podría orientar la elección. De igual forma se sugiere que el estudiante describa con sus propias palabras los pasos que va realizando para resolver el sistema.

→ + =x z Ec1( 4)Ecuación equivalente


Guía Metodológica


Otros ejercicios.

El señor López invirtió $15,000 en tres tipos de inversión, una al 10%, otra al 8% y una última al 9%. Lo que invirtió al 10% más lo del 8% suman $3,000 más que lo invertido al 9%. Además recibió $1,360 en concepto de ganancia total por las tres inversiones. ¿Qué cantidad de dinero invirtió el señor López, en cada uno de los tres tipos de inversión?

Es conveniente acompañar al estudiante en la construcción del sistema ayudandole a definir las variables.

Sea x: cantidad invertida al 10%y: cant. invertida al 8%z: cant. invertida al 9%

De la información se obtiene:

x y z+ + =15 000, x y z+ + =15 000, (Ec.1)010 008 009 1 360. . . ,x y z+ + = 010 008 009 1 360. . . ,x y z+ + = (Ec.2)x y z+ = +3 000, x y z+ − =3 000, (Ec.3)

Ahora puede dejarse al estudiante que trabaje en la solución siguiendo el ejemplo anterior. Dependiendo de la habilidad observable se podría incluir el camino:

De la ecuación 1: x + y = 15,000 – z

Y de la ecuación 2: x + y = 3,000 + z

Y luego 15,000 – z = 3,000 + z

De donde z = 6,000

Al final deberán llegar a que el señor López invirtió:

– $ 5,000 al 10%

– $ 4,000 al 8%

– $6,000 al 9%

R/ El señor López invirtió $5,000 al 10%, $4,000 al 8% y $6,000 al 9%.


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Adicionales.

En la unidad 1 se elaboraron gráficos de las ecuaciones en dos variables y se asoció el punto de intercepción de las rectas con la solución del sistema.

En el caso de ecuaciones con 3 variables se puede intentar (sin ir más allá sobre el tema) que el estudiante extienda su visión espacial e intérprete que las ecuaciones lineales con 3 variables representan planos de un espacio tridimensional.

El docente podria elaborar en la pizarra la siguiente figura que se refiere al trazo del plano x + y + z = 6. (Ecuación 2 del sistema resuelto al inicio de la lección).

6

6 y

x

z

6

Una aplicación interesante que puede tenerse como un recurso adicional es la siguiente:

Encuentre los números reales a, b y c tales que la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c incluya los puntos (3, −2), (5, 2) y (−1, 14).

Los puntos dados deben satisfacer la ecuación: ( , )

( , )

( , )

3 2 2 9 3

5 2 2 25 5

1 14 14

− →− = + +→ = + +

− → = −

a b ca b ca b ++ c

Se obtiene el sistema de 3 ecuaciones en las variables a, b, c9 3 225 5 2

14

a b ca b ca b c

+ + =−+ + =− + =

Eliminando c, se llega al sistema 8a + b = 2 y 4a + b = –2, con solución a = 1 y b = −6.

Al sustituir en la tercera ecuación se obtiene c = 7.

La ecuación queda especificada así: y = x2 −6x +7

x

y

1-1 0 2

2

-2

4

6

8

12

10

14

3 54 6

(-1, 14)

(3, -2)

(5, 2)

7



Solución por método de Cramer.

Al igual que la sugerencia en la lección 1 es conveniente que el estudiante recuerde el método de solución por determinantes, para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que aprendió en la unidad 1; ya que el método de Cramer se puede generalizar para sistemas mayores, siempre que tengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

Resolver el sistema utilizando el método de Cramer: 2 3 73 7x yx y− =

− + =−El estudiante deberá ser capaz de plantear de manera rápida la solución:

D = −−

= − − − =−2 33 1

2 1 3 3 7( ) ( )( )

x y=

−−−

= −−

= =− −−

=−

=−

7 37 1

7147

2

2 73 7

777

1;

Insistir en la importancia que tiene el determinante D; de no ser cero, pues de lo contrario no habría solución.

Orientaciones.

La regla de Cramer es muy valiosa desde un punto de vista teórico matemático pero no es muy recomendable para resolver sistema de orden mayor que 3. Hay otros métodos más eficaces que por supuesto no se estudian en este nivel.

Para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la metodología de solución es bastante mecánica, y el mayor trabajo consiste en calcular los valores de los cuatro determinantes.

Igual que en los sistemas 2 por 2, lo importante es calcular el determinante D, de los coeficientes que acompañan a las variables.

En la lección 1 de la unidad 1 se propuso una versión modificada de la regla de Sarrus para calcular determinantes 3 por 3, que el estudiante podría ensayar. Con un poco de práctica los cálculos se pueden hacer mentalmente.

Con un ejemplo se pueden señalar los puntos importantes de la metodología.

Lección 2SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS: MÉTODO DE CRAMER

Cuarta Unidad


Guía Metodológica


Usar la regla de Cramer para resolver:

3 500

x zx y zx y

− =− + =+ =

D =

−− =−

3 0 11 1 11 1 0

5 (Determinante de los coeficientes)

Dx =−

− =−5 0 10 1 10 1 0

5 La primera fila de D, se sustituye por los términos independientes.

Dy =

−=

3 5 11 0 11 0 0

5 La segunda fila de D, se sustituye por los términos independientes.

Dz = − =3 0 51 1 01 1 0

10 La tercera fila de D, se sustituye por los términos independientes.

La solución es: xDD

yDD

zDD

x y z= = −−

= = =−

=− = =−

=−55

155

1105

2 Otros Ejercicios.

Una juguetería desea programar la producción de 3 tipos de carritos: carros de carrera, camiones de reparto y camionetas. Para su producción emplea tres máquinas: una estampadora, una que pinta con pistola y otra que empaca. El siguiente cuadro relaciona el tiempo que emplea cada máquina (en horas) para hacer cada uno de los diferentes tipos de carros y la disponibilidad en horas de cada máquina.

Máquina Carro

Moldear metal Rociar pintura Empacar

Carro de carrera 2 0.5 0.5Camión de reparto 2.5 1.5 0.5Camioneta 2 2 1Disponibilidad en horas 645 405 205

La tabla se lee así: el 1.5 significa que un camión de reparto necesita 1.5 horas en la máquina de pintura.

Considera: x: Carros de carrera. y: Camiones de reparto. z: Camionetas.

Según la información el sistema de ecuaciones lineales se plantea así:

2 25 2 645x y z+ + =. 05 15 2 405. .x y z+ + = 05 05 205. .x y z+ + =


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Resolviendo por Cramer se obtiene:

D = 1.25 Dx = 12.5 Dy = 112.5 Dz = 137.5

Luego xBB

= = =1 125125

100.

yBB

= = =2 1125125

90.

. z

BB

= = =3 1375125

110.

.

Por lo tanto se deben producir 100 carros de carrera, 90 camiones de reparto y 110 camionetas. Ahora resuelve el problema del señor López de la lección 1 por Cramer.

Adicionales.

Dado que la solución por Cramer es exactamente mecánica, quizá pueda ser interesante y más ilustrativo para el estudiante, intentar la construcción de un sistema de ecuaciones, dado un escenario o problema específico de relativa aplicación.

Por ejemplo:

Los precios de los boletos para ver una obra de teatro son: $8.ºº para adultos, $4.50 para niños y $6.ºº para jubilados. En una determinada representación se vendieron 405 boletos y se obtuvo ingresos por $2,320.ºº La cantidad de boletos vendidos para niños duplico a la de boletos para adultos. ¿Cuántos adultos, niños y personas jubiladas asistieron a la representación?

Solución.

Es muy importante la definición de las variables. x: número de adultos, y: número de niños, z: números de jubilados.

8 4 5 6 2320x y z+ + =. : Ecuación de ingresos.xx y z+ + = 405

2

: Ecuación de asistencia.

xx y x y− = =0 2: Información adicional ( )

D =−

=−8 45 61 1 12 1 0

1.

,

Dx =−

=−2320 45 6405 1 10 1 0

110.

xDDx= = −

−=110

1110

De la ultima ecuación se obtiene y = 220, y de la segunda z = 75.La solución a comprobar es: x = 110, y = 220, z = 75.



Como introducción a está lección podemos recordar con el estudiante el desarrollo del cuadrado de un binomio y del cubo de un binomio.

( ) ( )a b a ab b a b a a b ab b+ = + + + = + + +2 2 2 3 3 2 2 32 3 3

( ) ( )a b a ab b a b a a b ab b− = − + − = − + −2 2 2 3 3 2 2 32 3 3

Algunos ejercicios como los siguientes se le pueden proponer para observar su procedimiento.

Desarrollar:

a) x y3 4

2 2

+ b) xy

yx23

2

3

−

En la lección se propone una extensión de estos resultados buscando una regla general para el desarrollo del cuadrado de un trinomio y el cubo de un trinomio.

El estudiante puede efectuar el desarrollo de, por ejemplo, a b+ +( )5 2 empleando las potencias de arriba. a b a b a b a b+ +( ) = +( )+[ ]= +( )+ +( )( )+5 5 2 5 52 2 2 2

= + + + + +a ab b a b2 22 10 10 25Sin embargo, no le resulta muy fácil generalizar como en (a + b)2

Orientaciones.

Un recurso que ha sido útil para el desarrollo de (a + b)2 es, considerar las áreas de los rectángulos.

a b a b a ab b+( ) +( )= + +2 22Se observa en el dibujo a la derecha.

Lección 3POTENCIAs DE POLINOMIOs

Cuarta Unidad

b2

a2ab

abb

a

ba


Guía Metodológica


Lo mismo se puede hacer para a b c+ +( )2

Invitar al estudiante a que dibuje en su cuaderno una figura cuadrada y luego que divida la base y la altura en tres egmentos de longitud arbitraria, pero de diferente tamaño.

A continuación que traze lineas horizontales y verticales hasta definir nueve sub-áreas y finalmente que identifique las áreas que tienen igual superficie.

b2

a2

ab

ac bc

ab

c2

bc

ac

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

El resultado de a b c+ +( )2 se observa en el dibujo de la izquierda. Está constituido por:

i. La suma de los cuadrados de cada uno de los términos.

ii. Más la suma de los duplos de todas las selecciones posibles de 2 términos: ab, ac, bc.

Empleando la expresión anterior se pueden desarrollar y comprobar ejercicios como el siguiente:

a) 3 4 5 3 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 52 2 2 2+ +( ) = + + + ( )( )+ ( )( )+ ( )( )12 9 16 25 24 30 402 = + + + + +144 144=

Es recomendable para el manejo del signo del término, que el polinomio se adecue como una suma de términos es decir que:

a b c− −( )2 se exprese a b c+ − + −( )( ) ( ) 2

De esta forma la regla se aplica de manera directa respetando las leyes de los signos.

Para el caso de a b c+ +( )3 se le puede sugerir al estudiante que con base en la figura elaborada para a b c+ +( )2 dibuje un cubo con altura (a + b + c).

Con un poco de imaginación espacial puede llegar a identificar las diferentes combinaciones que se dan.

Hacer mencion a la ley distributiva (a + b + c)2 (a + b + c) = . . . o bien recurrir a un diagrama de árbol(que tendría 27 ramas) podria ser util para administrar el desarollo: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2c + 3b2a+ 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc llamando la atención a que la suma de los coeficientes de los diez terminos es igual a 27.


Guía Metodológica


Otros ejercicios.

Utilicemos el desarrollo de a b a ab b+( ) = + +2 2 22 para:

1. Elevar al cuadrado una cantidad de dos dígitos.

Aunque el recurso, y la tentación de usar la calculadora siempre está presente, se puede hacer notar al estudiante, que las fórmulas se pueden emplear haciendo pequeñas modificaciones al problema inicial.

17 10 7 10 2 10 7 72 2 2 2( ) = +( ) =( ) + ( )( )+( ) = + +100 140 49 = 289

Caso Curioso

Por otra parte los números terminados en 5 se pueden elevar al cuadrado así:

65 6 7 42 5 252 2( ) × = =: y , luego pones los dos

resultados a continuación: 65 42252( ) = . ¿Te gustó verdad?

Practiquemos: 35 3 4 12 5 252 2( ) × = =: y

Luego 35 12252( ) =

¿Cuál es el cuadrado de 85?

2. Elevar al cuadrado una cantidad de tres dígitos.

De la misma manera que se procedió con dos dígitos se puede obtener el cuadrado de, por ejemplo 140.

140 100 40 100 2 100 40 402 2 2 2( ) = +( ) =( ) + ( )( )+( ) = + +10000 8000 1600

Pedirle al estudiante que practique encontrando (130)2 y

(510)2 sin usar calculadora, sólo el desarrollo de (a + b)2.

Adicional.

Organizar con el estudiante una discusión sobre cuántos términos tienen (a + b + c + d)2 y (a + b + c + d + e)2

Será interesante observar si siguen una línea de solución grafica o analítica algebraica o combinatoria, como se discute a continuación:

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de a b c d+ + +( )2

?

Combinación 41

4

= , términos que van

elevados al cuadrado.

Combinación 42

6

= , selecciones de dos, que

van multiplicadas por 2.

Total 4 + 6 = 10 términos.

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de a b c d e+ + + +( )2 ?

Total = 51

52

15

+

=

¿Cuántos términos tiene el desarrollo de a b c d+ + +( )3

?

41

4

= , términos al cubo (las variables a, b, c

y d están cada una elevada al cubo)

41

31

12

= , selecciones de dos variables,

una de las cuales está elevada al cuadrado. Van multiplicadas por 3. (Ejemplo 3a2b)

43

4

= : Selecciones de 3 variables que van

multiplicadas por 6. (Ejemplo 6abc)Total = 4 + 12 + 4 = 20 términos.



En la lección 3 el estudiante trabajó las potencias y en particular las potencias de binomios. Podemos comenzar esta lección recordándole el desarrollo de algunos de ellos:

x x x+( ) = + +2 4 42 2,

x x x x+( ) = + + +3 9 27 273 3 2

a b a a b ab b+( ) = + + +3 3 2 2 33 3

Si se deseara ahora el desarrollo de a b+( )4

, se tiene que recurrir a hacer uso del producto:

a b a b a b+( ) = +( ) +( )4 3

El siguiente diagrama de árbol puede servir:

El resultado es: a b a a b a b ab b+( ) = + + + +4 4 3 2 2 3 44 6 4 .

Señalar al estudiante que el proceso se puede seguir para a b+( )5 , aunque se vuelve cada vez más laborioso e impráctico. Más tarde se podra contrastar con el Binomio de Newton y concluirle que este constituye una mejor herramienta.

Lección 4desarrollo del BINoMIo de NeWToN

Cuarta Unidad

Orientaciones

El recurso gráfico que utilizó al inicio de la lección 3 para a b+( )4 , se puede sugerir al estudiante invitándolo a construir la tabla:

a3a4

b3

b4

3a2b

3ab2

3a2b2

3a2b2

3ab3

4a3b

6a2b2

4ab3

a3b

b3a

ba

ba

ba

ba

3a3b

Por supuesto que al reunir términos semejantes, llegan al mismo resultado, la idea es que lleguen al desarrollo de arriba y que luego puedan derivar algunas conclusiones, tales como:

Hay un término más que el exponente del binomio, total de términos n + 1 = 4 + 1 = 5.

Al igual que en las potencias de polinomios, los términos de a y b aparecen elevados a la cuarta.

El examen de las partes literales de cada término llevan a concluir que a disminuye en cada término, mientras que b aumenta con cada término. Se debe razonar con ellos el término general: a br r4− : donde r = 0, 1, 2, 3, 4

Los coeficientes que acompañan a cada uno de los cinco términos semejantes de la tabla.

a2 ab ab b2

a2 a2b2

ab a2b2 a2b2

ab a2b2 a2b2

b2 a2b2


Guía Metodológica


Finalmente, el docente puede evaluar la conveniencia de recurrir al antiguo algoritmo de generación que se basa en el término anterior. Partiendo de a4 se puede aplicar la regla:

Coeficiente exponentedeExponentede +1

× ab

1 4 0a b genera el coeficiente del 2° término 1 40 1

4×+

=


6×+

=


4×+

=

4 3ab genera el coeficiente del 5° término 4 13 1

1×+

=

Ahora puede ya estar en capacidad de desarrollar a b+( )5 siguiendo los hallazgos expresados arriba.

El paso a los coeficientes binomiales se puede inducir de manera directa haciendo que compruebe que los coeficientes 1 4 6 4 1 son exactamente

los números combinatorios 40

1

= , 4

14

= , 4

26

=

, 43

4

= y 4

41

= y que por lo tanto a b+( )4 se puede expresar

a b a a b a b+( ) =

+

+

+

4 4 3 2 240

41

42

43

+

ab b3 444

.

En notación de sumatoria a br

a br

r r+( ) =

=

−∑4

0

444 .

Otros Ejercicios

Para el manejo de los componentes del desarrollo del binomio, podría ser conveniente trabajar con el estudiante, por etapas:

a) Manipular y operar con los coeficientes binomiales, por ejemplo realizar cálculos de

la forma:72

52

53

102

106

+

; ,

, etc.

b) Trabajar con un término general específico del desarrollo de un binomio por ejemplo:

6

6

ra br r

− ; r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . . Hallar el 2º término, el 5º término. . .


Guía Metodológica


5

2 35

rx yx r

( ) ( )− : r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .

¿De qué binomio es este el término general? Hallar el 2° y el 3° término.

c) Trabajar el desarrollo de los binomios

2 35

2 35

0

55x y

rx y r

r

r+( ) =( ) ( )

=

−∑

yy

2

81

+

:con relación a (a + b)8 que identifiquen a = y2; y b

y=

1

¿Cuál es el término general?. ¿Qué número de término es el término 70y4?

d) Procurar ejercicios varios de determinación de términos del desarrollo del binomio.

¿En cuál término del desarrollo del binomio ww

−

1 8

no aparece la w?

Adicionales

Se conocen que existen aplicaciones del desarrollo del binomio es el área del conteo de elementos. Una idea de relación en ese sentido podría venir dada a través de la siguiente sugerencia.

a) De un conjunto de 5 estudiantes, por ejemplo: { Juan, René, Raúl, Claudia, María} ¿cuántas comisiones de al menos un integrante se pueden formar?

b) Pueden recordar que se trata de selecciones y que la suma:

51

52

53

54

55

+++

+

constituye la respuesta.

Continúa una operación

c) Ahora se puede ayudar a que observen que el desarrollo de (1 + 1)5: es también un recurso de análisis del problema.

1 15

1 1 25

0

55+( ) =

( ) ( ) =

=

−∑ rr

r r r la respuesta 25– 1 se puede discutir ahora.



Con la ayuda del teorema del binomio de Newton nuestro estudiante puede desarrollar los siguientes binomios: a b+( )5 y a b+( )6 .

a b a a b a b+( ) = + + +5 5 4 3 25

051

52

53

+ +a b ab b2 3 4 554

55

a b a a b a b+( ) = + + +6 6 5 4 26

061

62

63

+ + +a b a b ab b3 3 2 4 5 664

65

66

Si aislamos los coeficientes de los términos para cada binomio desarrollando los números combinatorios obtiene:

n=5 : 1 5 10 10 5 1

n=6 : 1 6 15 20 15 6 1

Se aprecia en principio una simetría de repetición de los coeficientes a partir de los lugares

centrales, lo cual obedece a una propiedad de los números combinatorios: 51

54

5= = ;

62

64

15= =

En general se cumple que nr

nn r

= − .

Más importante aún es observar que los coeficientes que corresponden a n = 5 sirven para generar los coeficientes correspondientes para cuando n = 6.

En efecto: el segundo coeficiente de a b+( )6 (el 6) se consigue sumando el primero y segundo coeficiente

de a b+( )5 , esto es 1 + 5 = 6.

El tercer coeficiente (el 15) se obtiene sumando el segundo y tercer coeficientes de a b+( )5 , es decir: 5 + 10 = 15.

De la misma manera 10 + 10 = 20, reproduce el cuarto coeficiente de a b+( )6 .

Traducido en notación de números combinatorios:50

51

61

+ = ; 51

52

62

+ = ; 52

53

63

+ = 1 + 5 = 6 5 + 10 = 15 10 + 10 = 20

Lección 5TRIÁNGULO DE PASCAL

Cuarta Unidad


Guía Metodológica


Orientaciones

Al organizar los coeficientes de todas las expresiones, comenzando desde a b+( )0 , a b+( )1 , a b+( )2 , … Se obtiene el conocido triángulo de Pascal. La mitad de un cuadrado puede servir para ello.

Utilizando el triángulo de Pascal desarrollar el

binomio xy2

5

2−

.

xy

x xy

xy2

52 2 4 2 3

21 5

210

2−

= + ( ) −

+ ( ) −

+ ( ) −

+ −

+ −

22 2

32

4 5

102

52 2

xy

xy y

= − + − + −x x y x y x y x yy2 8 6 2 4 3 2 455

252

54

516 32

De acuerdo a la regla del triángulo de Pascal que término, y de cual binomio están generando las siguientes sumas:

a) 115

116

+

= 12

6

b) 142

143

+

=

153

Es el séptimo término de a b+( )12 Es el término de a b+( )14

¿Cómo se puede razonar la siguiente igualdad?

50

52

54

51

53

55

+

+

=

+

+

Se conoce que: 50

55

=

; 52

53

=

; 54

51

=

.

Otros Ejercicios

Considere la siguiente situación: “¿Cuál es el número de posibilidades que existen de tener un determinado número de hijas mujeres en una familia?”

Para ello, primero construyamos un diagrama de árbol así: H: hombre, M: mujer

El diagrama se lee así: si hay un hijo existe una posibilidad de que sea una mujer, y una posibilidad de que sea un hombre. Si hay dos hijos, las posibilidades son HH, HM, MH y MM (El primero es el mayor y el segundo el menor). Esto último lo puedes leer rama por rama hasta terminar en la columna debajo del 2 (que significa los 2 hijos en la familia). Se observa de la tabla que para 3 hijos existen 8 formas posibles de los nacimientos (HHH, HHM,… MMM).

11

11

11

1

1

23

45

6

13

610

15

1

410

20

15

15

1

6 1

0N

1

23

45

6

H

H

M

M

H

M H

M

HM

H

M

HM

HMHMHMHMHMHMHMHM

0 1 2 3 4 5


Guía Metodológica


Ahora construyamos una tabla para contestar la pregunta que nos hicieron.

No. de hijos en la familia

Distintas combinaciones en los nacimientos No. de posibilidades de que hayan0M 1M 2M 3M 4M

0 0 11 H, M 1 12 HH, HM, MH, MM 1 2 13 HHH, HHM, HMH, HMM,

MHH, MHM, MMH, MMM1 3 3 1

4 Obsérvalas del diagrama de árbol 1 4 6 4 1

Se invita al estudiante que complete para n = 5 el diagrama de árbol y la tabla anterior y luego que observe que el número de posibilidades de que haya un determinado número de mujeres, corresponde al Triángulo de Pascal, colocando el triángulo rectángulo formado por los números de la derecha en un triángulo equilátero.

Adicionales.

Trabajar la idea de nk

nk

nk

= −

−

+ −

11

1 con combinatorios.

El triángulo de Pascal es una idea muy interesante de organización de los coeficientes binomiales, pero es, en definitiva, poco práctico, por cuánto el conocimiento de los coeficientes de un determinado binomio, digamos (a + b)15 requiere conocer los de (a + b)14. Reviste interés en el campo del conteo y la teoría de probabilidad ya que su

construcción está basada en la ecuación binomial nk

nk

nk

= −

−

+ −

11

1 ,

tal como se discutio al inicio de esta unidad.

00

10

11

20

21

22

30

31

32

33

40

41

42

43

44

n

1

2

3

4

0


Guía Metodológica


Proyecto

Con referencia al proyecto del estudiante, se trata de una aplicación de los sistemas de ecuaciones indícales en los procesos industriales y de fabricación.

El sistema asociado, considerando:

a: Número de escritorios a producir

b: Número de mesas a producir

c: Número de sillas a producir

Entonces:

2a + 2b + 4c = 52 (Carpintería)

4a + 6b + 2c = 94 (Terminaciones)

8a + 4b + 6c = 118 (Materiales)

La solución que el estudiante puede ensayar por cualquiera de los métodos proporcionados.

En la presente unidad es la siguiente:

a = 6 número de escritorios

b = 10 número de mesas

c = 5 número de sillas

Nota: la solución por determinantes proporciona los valores.

Matriz de coeficiente D = – 88

Matriz de escritorios Da = – 528

Matriz de terminaciones Db = – 880

Matriz de materiales Dc = – 440



Unidad 5 Utilicemos radicales


La presente unidad trata sobre las diferentes operaciones con radicales y el empleo de su conversión equivalente a expresiones con exponentes racionales.

Es conveniente antes de iniciar la unidad, realizar con el estudiante una activación de saberes previos.

Para dos enteros m y n, y los números reales a y b:

a 0 1= 28 10 =

aa

nn

− = 1 818

33

− =

a a am n m n= + a a a a7 3 7 3 4− + −( )= =

a an m nm( ) =

a a3 2 6( ) =

ab a bn n n( ) =

ab a b( ) =4 4 4

ab

ab

m m

m

=

ab

ab

=

5 5

5

aa

am

nm n= − a

aa a

5

25 2 3= =−

ab

ba

n n

=

−

34

43

2 2

=

−

En el intercambio de expresiones con radical a expresiones con exponentes fraccionarios (racionales) o viceversa, se hace necesario tener mucha habilidad para simplificar y expresar la respuesta.

Los radicales se pueden introducir de dos formas: una, extendiendo las leyes de los exponentes a que sean válidas para potencias fraccionarias, no solamente para potencias enteras.

7 7 712

12

2 2( ) = =×

4 4 2 232

12

12

32

33=( ) = ( )

=

Así, si 8 2

13 = , entonces el número 2, es la raíz cúbica de 8.


Guía Metodológica


En el texto de los estudiantes, la introducción se realiza interrogándose sobre las raíces de números reales: raíz cuadrada, raíz cúbica.

36 6= significa que 36 62=27 33 = significa que 27 33=a bn = significa que a b n=

La regla 1, que se deduce de esta definición es muy importante ya que es, prácticamente, la base para extraer factores de un radical.

R1: a a a an n nn( ) = ( )=,

En la lección 2 se establece la equivalencia entre los radicales y los exponentes racionales, lo cual constituye la base de todo el trabajo ulterior de la unidad.

Si se tiene, de acuerdo a R1, que:

7 72( ) = , 7 73

3( ) = , ... , 7 72020( ) = , entonces las leyes de los exponentes, se

extienden haciendo 7 712

2( ) = , 7 713

3( ) = , … , 7 7120

20( ) = .

De manera que se deduce la regla general: a an n1

=

De aquí se puede pasar a: a a a anmn

mn m mn1( ) =( ) → =

Y realizar ejercicios de simplificación.

25 5 5 12532

322 3=( ) = =

25 25 5 532 3 6 3= = =

Aunque es una frase muy popular, el estudiante debe tener muy claro que significa simplificar un radical.

En el radicando no deben haber factores que tengan exponente mayor que el índice del radical.

16 2 2 24 23 4 4 23 23x y x y x xy= = (Simplificado).

Extraer, o bien introducir factores en un radical, son de las operaciones más importantes para la simplificación de radicales, por lo que debe procurarse al estudiante suficientes ejemplos y ejercicios hasta que los realice con seguridad y aplicando correctamente las reglas.

Se dan muchas dificultades en el estudiante cuando se le pide cambiar el índice de un radical, y esto se debe la mayor de las veces a que no tiene conciencia de las limitaciones de la operación.


Guía Metodológica


No está demás recordarle los conceptos de múltiplos y submúltiplos de un número dado:

Múltiplos de 3: 6, 9, 12, 15

Submúltiplos de 12: 6, 4, 3, 2

Así: 13

26

39

412

515

= = = =

Conduce a que: a a a a a

13

26

39

612

515= = = =

Y por lo tanto: a a a a a3 26 39 412 515= = = =

Se puede incrementar o reducir un índice de un radical, sólo en múltiplos del índice dado, o bien, a submúltiplos del índice dado según que se desee aumentar o rebajar respectivamente.

La última lección presenta operaciones algebraicas con los radicales un poco más avanzadas. Podríamos decir que no son operaciones muy frecuentes; sin embargo a esas alturas de la unidad, no deberían causar mucha dificultad.

Una vez más parece conveniente recordar al estudiante el concepto de mínimo común múltiplo que constituye la clave de las operaciones.

x y MCM x y x y3 36 26 3 266: = → =

El procedimiento es similar si se trata de una división.

Tenemos adelante varias páginas para ahondar más en el tema.



Tal como se sugiere el inicio de esta unidad, es recomendable que el estudiante vuelva a familiarizarse con las propiedades de los exponentes. El resumen de reglas que allí se proponen puede servir para este propósito.

¿Pueden simplificar expresiones como la siguiente? (Deje sus respuestas con exponentes positivos.)

a) 2–3. 23 = f) x yxy

−2

2

.=

b) 814º = g) (–5x2)–1 =

c) 3–6. 34 = h) 68

2

5

xx

−

− =

d) xy

−

−

3

5 = i) ab

5

3

2

−

=

e) –4–2 = j) (x2 y–1)2 =

Orientaciones.

Para inducir la definición formal de la “raíz n-ésima principal de un número real” es mejor comenzar con la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Algunas expresiones conocidas en el campo de la geometría pueden servir.

Si el área de un cuadrado es 64 unidades cuadradas, ¿Cuánto vale x?

x2 = 64¿Qué número multiplicado por sí mismo es igual a 64?

x = 8 es llamado raíz cuadrada de 64.

Si el volumen de un cubo es 64 unidades cúbicas, ¿Cuánto vale x?

x3 = 64 ¿Qué número multiplicado por sí mismo, 3 veces, es igual a 64?

X = 4, es llamado raíz cúbica de 64.

La raíz cuadrada de un número a es un número b tal que b2 = a. La raíz cúbica de un número a es un número b tal que b3 = a.

Lección 1RADICACIÓN ALGEBRAICA

Quinta Unidad

x

x64 a2

64 a3x

xx


Guía Metodológica


El símbolo de radical se puede introducir aquí: 64 8

64 4

2

3

=

=

, significa que 64 = 8

significa que, 64 = 4

significa que a = b

3

a bn n= , Para introducir las principales reglas de los radicales que tienen índices enteros, lo mejor es hacerlo através de ejemplos numéricos. En la lección 2 de la unidad 1, se empleo la propiedad de identidad siguiente: Si A = B, entonces A Bn n= . (n entero)

Si se tiene entonces ( ) =3 =9

Si se tiene

9 3 92 2 2 2=

entonces ( ) =4 =64

Si se tiene

64 4 64

16 2

3 3 3 3

4

=

= eentonces ( ) =1 ; ( ) =516 6 54 4 13 13

las reglas ( ) , yx x x xn n nn= = se va justificando de manera natural, y son las que permiten extraer la raíz de una expresión con radical. 81 3 34 44= =

Las otras reglas que completan esta lección pueden introducirse de la misma manera.

100 4 25

10 2 5

10 2 510

2 2 2

=

===

.

.

( )110

10 5 50 2 5 5 2

827

827

23

23

23

23

2

33

3

3

3

= = =

= →

= → =

( )

Son ejemplos sencillos que ilustran las reglas xy x yn n n= . ; xy

xy

n

n

n= las

actividades que tiene el estudiante para esta lección y los siguientes ejercicios, le servirán para obtener una mayor confianza en el uso de las reglas.

Otros ejercicios.

1. Proporcionar al estudiante una hoja con la siguiente figura o dibujarla en la pizarra.

Cada cuadrito mide x cm de lado.

¿Cuál es el área de un cuadrito? x 2

¿Cuál es el área si tomas 2 cuadritos de lado?2 42 2x x( ) =

¿Y si son 6 cuadritos? 6 362 2x x( ) =

¿Cuál es el área total sombreada? 36x2 + 10x2 = 46x2

Ahora lo haremos al revés, nos dan el área del cuadrado y nos piden encontrar el lado.

Si el área es x2 el lado mide x x2 = aquí aparece la necesidad del radical.

x


Recuerda: x x2 siempre que x 0

Si el área es 36 2x , el lado mide: 36 62x x

Y si además mide x 3 cm, el lado mide: 18 cm

Considera ahora que tienes un cuadrado con un área de 46 2x , ¿Cuánto mide su lado?: 2 246x , luego

46 2x x 46

Considera un cubo con un volumen expresado así: V x y8 2 3

¿Cuál es la arista del cubo?

V 3,

3 2 38x y

Luego 8 22 33 3 2 33x y x y

2 23y x

Conclusión: El conocimiento del radical:

Es importante ya que nos ayuda a encontrar incógnitas.

Algunos problemas del campo de la geometría pueden ser útiles.

El área de un triángulo equilátero es igual a 4 3 unidades cuadradas ¿Cuánto vale el lado a?

Recordandole al estudiante que área de un triángulo = (base × altura) entre 2 puede deducir que al área de un triángulo equilátero es

A a a a a= = → = → =34

4 33

416 42 2 2por lo tanto

El volumen de una esfera es igual a 36π unidades cúbicas ¿Cuánto vale el radio r?

Basta recordarle que V r= 43

3π es la fórmula del volumen de

una esfera. Sustituyendo V =36π obtiene que r 3 .

a

a

Q

r


Una vez más las leyes de los exponentes, pueden ser siempre útiles para iniciar esta lección. Por supuesto que ahora se debe llamar la atención sobre su natural ampliación a exponentes fraccionarios 36

12 , ¿a que es igual? 36 61

2122=( ) ; si ampliamos la regla

de los exponentes, el paso siguiente que aparece más razonable es: 6 6 62 212

12( ) = =

x.

De igual forma 9 3 3 3 2732

32 3

22 2 3=( ) = = =( )

Se le puede pedir que realice los siguientes ejercicios de simplificación

8 2723

13= −( ) =________________ ______________

5 2827

13

12

23

( )( )= =___________ _______________

_______________ _______________16 932

32

15

2

= =−

y y 5513

5 35( ) = ( ) =___________ ______________

Orientaciones.

Para que el estudiante pueda establecer la equivalencia entre una expresión racional y su correspondiente forma radical y viceversa.

Del ejemplo h de arriba tenemos que 5 513

3( ) = , pero también se conoce de la lección

1, que 5 533( ) = .

La secuencia 8 8 8 8 8 82 3 3 17 17( ) = ( ) = ( ) =, ; ...

Asociada con 8 8 8 8 8 812

13

117

2 3 17( ) = ( ) = ( ) =, , ... .

nos hace concluir de manera general que si x R x x xn n n=, .y existe, entonces1

.

Para completar la regla de intercambio se puede analizar una expresión sencilla como

la siguiente: convertir 923 a la forma de expresión radical: 9 9 9

23

13

2

32

= =( )si efectúas el producto 9 9 93 3 23( )( )= , esto es: 9 9 6 6

23 23 353

5= =... ., etc

La regla general que el estudiante comprenderá y utilizará con seguridad es por lo

tanto: a amn mn= ; .n,m enteros

Lección 2IDENTIFICACIÓN DE EXPRESIONES RADICALES

Quinta Unidad


Guía Metodológica


Este intercambio requiere que se hagan suficientes ejercicios:

Vale la pena llamar la atención sobre resultados como los siguientes:

−( ) = −( ) = −( )( ) = −( ) =27 27 3 3 923 3

2 332

2

−( ) = −( )27 2732 2

3 no existe, no hay raíces cuadradas de números negativos.

Otros ejercicios.

1. Proponerle al estudiante una dinámica donde realice el intercambio de expresiones con radical a expresiones con exponentes fraccionarios. Una idea de ejemplo es la siguiente:

Expresión con radicales Expresión con exponentes fraccionarios Expresión simplificada

49 3( ) 49 49 732

12

33( ) = ( )( ) = 343

5 534 4 5 5 5 534

14

44( )= = 5

405

3

3

405

405

813

13

13

13=

=( ) 2

8 43 25 2 35x y x y 8 4 323 2 2 3 5 515

15

15x y x y x y( ) ( ) =( ) 2xy

2. Considere los siguientes triángulos semejantes:

Y encuentre el valor de “x”

10

x +144

5

x + 21


Guía Metodológica


Como son semejantes se tiene que:

x x+ = +215

14410

10 21 5 144x x+ = + Multiplicando ambos lados por 50.

2 21 144x x+ = + Dividiendo por 5.

2 21 1442 2

x x+( ) = +( ) Elevando al cuadrado.

2 21 14412

12

2 2x x+( ) = +( ) Pasando a exponente fraccionario.

4 21 144x x+( )= + Ya que x x+( ) = +21 2112

2.

4 84 144x x+ = +

4 144 84x x− = − 3 60x = x = 20

Al pasar una expresión con exponente racionales a los radicales o viceversa; la aplicación de las reglas con el propósito de simplificar, conduce al estudiante a variadas respuestas, que aunque equivalentes, no le dan seguridad si el proceso de simplificación a terminarlo. Para evitar eso se pueden acordar reglas mínimas de lo que se debe entender por “simplificar”

En el caso de trasladar una expresión radical a su forma exponencial más simple la regla no es muy complicada:

i. Se debe expresar la respuesta usando solo exponentes positivos:

Expresar 12

3

6

x

−

en forma exponencial.12

3

6

236 6

423

xx x x

=( ) =( ) =−

−− − −

En el caso de convertir a la forma radical se deben respetar las siguientes indicaciones para obtener la forma radical más simple.

ii. El radicando no debe contener factores con un exponente igual o mayor que el índice del radical x 53 : no cumple la regla( )

iii. La potencia del radicando y el índice del radical no deben tener un factor común diferente de 1. x x36 : no cumple; : si cumple.( )

Al agregar el tema de racionalización se pueden incorporar otras indicaciones.



Hay dos cosas que resultan conveniente revisar con el estudiante antes de iniciar esta lección: cuándo es que dos términos algebraicos son semejantes y cómo se descompone una expresión en sus factores primos.

¿ 2 2x y es semejante con 3 2π yx ?

¿ 2 3a b es semejante con −8 3ab ?

Seguramente recordará la definición de semejanza que conoce: son semejantes si sus partes literales son iguales.

¿Cómo es la descomposición en factores de: a) 28 y 63 b) 40 y 54?

Una vez que haya obtenido: 28 = 22 × 4, 63 = 32 × 7, etc podemos complicar un poco las cosas. Preguntemos: ¿Son semejantes los radicales a) 28 y 63 , b) 403 y 543 ?

a) 28 2 7 2 72= × = y 63 3 7 3 72= × =

b) 40 2 5 2 53 33 3= × = y 54 3 2 3 23 33 3= × =

Si en el literal a) llamamos a 7 = x , entonces los términos se convierten en 2x y 3x que resultan ser semejantes. Sin embargo, no sucede así en el literal b), ya que 53 y 23 se tienen que nombrar con diferentes variables, por lo que no podemos concluir

que sean semejantes.

Lección 3OPERACIONES CON RADICALES

Quinta Unidad


Guía Metodológica


Orientaciones.

El razonamiento anterior puede permitir que se organice junto con el estudiante la definición de radicales semejantes: aquellos que tienen igual índice del radical e igual cantidad subradical.

Para efectuar sumas y restas de expresiones con radicales la orientación al estudiante debe ser que inicialmente encuentre los factores primos de los radicandos y luego que sume o reste los radicales semejantes.

Ejemplo:

Simplificar la expresión:

= − +3 24 54 300 2412631

2223

5427931

2333

300150752551

22355

3 24 54 300 3 2 6 3 6 2 3 52 2 2 2− + = × − × + × ×

= − +6 6 3 6 10 3

= +3 6 10 3Para trabajar la extracción de factores de un radical, el principio básico a emplear es el señalado desde la lección 1: a ann = , que también se puede utilizar de la forma:

a an

n 2 2( ) = , a an

n 3 3( ) = .....

Por ejemplo: 27 3 37 43 3 2 3 33 2 3c d c d cd c d cd= ( ) =

Se recomienda trabajar con el estudiante las actividades correspondientes a esta lección ya que hay variados ejercicios que le servirán para aplicar con propiedad la metodología de simplificación.


Para repasar la extracción de factores en un radical, repasemos:

Realiza la suma de: 80 45 245

Primero tiene que extraer todos los factores posibles para ver si los radicales son semejantes y así poderlos sumar.

8040201051

22225

22 451551

335

32 2454971

577

72

22

80 45 245

= ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )2 2 5 3 5 7 52 2 2 2 =( )( ) + +2 2 5 3 5 7 5

= + +4 5 3 5 7 5

Los radicales son semejantes y por tanto se pueden sumar.

El resultado es 4 3 7 5+ +( ) = 14 5

Justifique los pasos junto con el estudiante en la siguiente suma de radicales. 5 4 2 16 132 3 3 3x xy y x y x y+ −

5 4 2 16 133 3 3 3x xy y x y x y+ − Expresión dada5 2 2 4 132 2 2 2 2 2x xy y y x xy x y xy( ) + ( ) − Escribiendo factores como

potencia de 2. 5 2 2 4 13x y xy y x xy xy xy( ) + ( ) − Extrayendo del radical las bases

que tienen exponente 2. 10 8 13xy xy xy xy xy xy+ − Multiplicando.5xy xy Sumando radicales semejantes.

Ahora que el estudiante justifique solo, los pasos en las operaciones de suma y resta planteadas a continuación: b ab ab b ab147 27 3002 4 2− +

b ab ab b ab147 27 3002 4 2− + Expresión dada

b ab a b b ab7 3 3 3 10 32 2 2 2 2 2 2( ) ( ) − ( )( ) ( ) + ( )b b a b a b b a7 3 3 3 10 32( ) − + ( )7 3 3 3 10 32 2 2b a b a b a− +

7 3 10 32 2 2b b b a− +( )14 32b a

La regla x xnn es totalmente válida para n 2 y x un número positivo o cero. Sin embargo, si x es negativo y n es un número par, la regla no es válida. Por ejemplo:

−( )3 2 debe ser igual a − 3, según esta propiedad.

Sin embargo: −( ) = −( ) −( ) = =3 3 3 9 32

Si se quiere evitar esta contradicción se debe definir que para cualquier número real

x 2x si x es positivo.0 si x es cero.− x si x es negativo.

Lo cual coincide con la definición de valor absoluto de un número. Por lo tanto si x es cualquier número real x x2 . Este problema no se presenta si n es impar y y33 no importando si y es positiva o negativa.

El siguiente error es muy fácil de cometer sino se considera lo dicho.x x x x x33 2 2+ = + =

Que parece bastante correcta. Sin embargo basta sustituir x = −5, por ejemplo para llegar a una contradicción.

x x x33 2 33 22 5 5 2 5+ = → −( ) + −( ) = −( )

→ − + =−5 5 12

0 12=− contradicción.


En la presente lección se tratan tres operaciones que también son empleadas en el proceso de simplificación de radicales.

Introducir factores en un radical.

Incrementar o reducir el índice en un radical.

Racionalizar el numerador o el denominador de una fracción con radicales.

Algunos conocimientos previos que se pueden activar en el estudiante para iniciar esta lección, pueden ser los siguientes: extración e introducción de cantidades en los radicales.

De la extracción de radicales se conoce que si el índice del radical coincide con el exponente del factor en la cantidad subradical; el factor sale del radical. Esto es: 5 52 = 5 533 = 5 544 =

¿Cómo introducir las cifras numéricas y las variables en cada uno de los radicales siguientes?

a) 5 x = b) 7 3 x = c) 12

4 x = d) 2 2x y =

¿Qué números son múltiplos de 4?: 4, 8, 12, 16, 20,…

¿Qué números son submúltiplos de 18?: 9, 6, 3, 2

¿Cuáles son los resultados de los siguientes productos?

a) x x23 3 = b) 1x

xx

⋅ =

c) x x−( ) +( )=1 1

Orientaciones.

Las reglas de los radicales justifican las operaciones de los ejercicios de arriba.

a) 5 5 5 252 2x x x x= = =

b) 7 7 7 3433 33 3 33 3x x x x= = =

c) 12

12 2 16

44

4 44

4 4x xx x=

= =

El estudiante podrá expresar con sus palabras la regla práctica para introducir factores en un radical.

Lección 4FACTORES DE LOS RADICALES

Quinta Unidad


Guía Metodológica


¿Qué valor tiene x?

Por ser semejantes, planteas lo siguiente:

x20

3 201 20

= ++

Luego, x = +

+ ( )3 201 20

20

Las reglas conocidas de los radicales también justifican el incremento o la reducción del índice de un radical.

Si un radical tiene índice 4 sólo puede aumentarse en múltiplos de 4.

Si 14

28

312

416

= = = , entonces 2 2 24 28 312x x x= ( ) = ( ) = ...

Si un radical tiene índice 18 sólo puede reducirse en submúltiplos de 18, esto es: 9, 6, 3,

2 x x x918 992= ( ) = Simplificar con el menor índice posible:

81 4 88 a b el menor submúltiplo de 8 es 2, al dividir 8 entre 2 se obtiene el índice del otro radical.

81 3 34 88 4 4 2 442 2a b a b ab= ( ) =

En la racionalización se puede proceder de dos maneras, una de ellas puede ser más práctica. Por ejemplo racionalizar el denominador de: 3

2 23 x Una forma: 3

2

3

2

2

2

3 4223 23

2 23

2 23

43

2x x

x

x

xx

= ×( )( )

=

La otra forma consiste en multiplicar por un radicando que sea igual a lo que falta para que el radicando resultante pueda salir del radical.

3

2

3

2

44

3 4

2

3 4223 23

3

3

3

3 33

3

x xxx

xx

xx

= × = =

Con un poco de práctica el estudiante puede darse cuenta que esta alternativa puede resultar más fácil.

Otros ejercicios.

1. Considera los siguientes rectángulos semejantes:

1 20+ 3 20+

20x


Guía Metodológica


Encontramos entonces 3 20

1 2020

3 20 20

1 20

2

++ ( )= +( )

+ Obtenemos 3 20 20

1 20+

+, racionalizando el denominador se tiene:

3 201 20

1 201 20

3 20 3 20 20 20 20

1 20

2

2 2+⋅ −−

=− ( ) + −

−( )

= − ( )+ −−

= − −−

= − − ( )−

3 20 3 20 20 20 201 20

40 17 2019

40 17 2 5199

= − −−

= + ≡40 34 519

40 34 519

611.

Luego el valor de x es 40 34 519

+ , aproximadamente 611.

2. Racionalizar una expresión significa quitar el radical del denominador.

Para 15a −

se debe multiplicar por la expresión 155

= ++

aa

para racionalizar

el denominador. Observa lleva el signo cambiado en el segundo término.

15

55

55a

aa

aa−

⋅ ++

= +−

Completemos la siguiente tabla:

Si el denominador tiene: Debemos multiplicar numerador y denominador por:

Para obtener en el denominador:

y4 y 34y

x 47 x 37 x

a b+ a b− a b−

a b− a b+ a b2 −

a b+ a b− a b2 −


Guía Metodológica


Adicionales.

Unas racionalizaciones que son particularmente útiles en el estudio del cálculo, son aquellas que emplean al binomio x y−( ) y su conjugada x y+( ) .

Lo práctico resulta que el producto de ellos es un producto notable, y x y x y x y−( ) +( )= − 2 .

Racionalizar:

a) 12a +

b) a ba b+−

Solución

a) 12

12

22a a

aa+

=+

× −−

= −

+a

a24

b) a ba b

a ba b

a ba b

+−

= +−

× ++

=+( )−

a ba b

2



Esta última lección esta dedicada a la multiplicación y división de radicales en los cuales los índices de los radicales son diferentes.

Podemos comenzar revisando el producto y cociente de radicales que tienen el mismo índice. Se emplean las reglas ya conocidas de:

a) xy

xy

n

nn= b) x y xyn n n=

Por ejemplo, simplificar:

a) 2 32 43 53x y x y b) 4

2

3 23

23

a bab

La solución no debe tener mayor problema para los jóvenes.

a) 2 3 2 3 6 62 43 53 2 4 53 7 53 2 23x y x y x y x y x y x y xy= ( )( )= = b) 4

2

42

23 23

23

3 2

23 23a b

aba bab

a= =

¿Cómo se procede si se tiene?:

a) 42

2 23 a bab

b) 3 32 23 3 24x y x y

Orientaciones.

Existe un recurso que ha sido empleado muy poco para simplificar expresiones con radicales, y este es el uso de la equivalencia como exponente racional.

En un producto como 12x 8 2 23 x y cuyos índices son diferentes:

i) Un primer paso a considerar es el de extraer de los radicales todo lo que sea posible.

12 8 2 3 2 4 32 23 2 23 2 23x x y x x y x x y=( )( )=ii) Ahora podemos emplear exponentes racionales.

= ( )( )4 312

132 2x x y

iii) El mínimo común múltiplo de los denominadores 2 y 3 es 6. Por lo tanto:

= ( )( )4 336

262 2x x y

iv) Regresando la equivalencia se tiene:

= ( ) ( ) = ( )( )4 3 4 336 2 2 26 3 2 2 2

6x x y x x y ya que tienen el mismo índice.

La regla entonces de manera directa consiste en determinar el índice común (mínimo común múltiplo de los índices) y elevar el radicando al exponente que resulta de dividir el índice común entre el índice inicial dado en cada radical.

Lección 5OPERACIONES CON RADICALES

Quinta Unidad


Considere que el área sombreada en la siguiente cuadrícula es de 1150 cm2. Encuentra el valor de “x”.

En la lección 1, encontraste que el área se expresa por . Igualando esta última expresión a 1150: 46 11502xSacando raíz cuadrada a ambos lados se tiene:

46 11502x

Usando el literal 3 32 23 3 24x y x y

Se tiene índice común 3 4 12× = , luego:

3 3 3 32 23 3 24 2 2 412 3 2 3

4x y x y x y x y= ( ) ( )= ( ) ( )3 32 2 4 3 2 3

12 x y x y

3 37 17 1412 7 5 212x y xy x y

Para el caso de la división el proceso es similar. Determinamos el índice común y luego tanto en el radical del numerador como del denominador elevamos los respectivos radicandos al exponente que le corresponde como resultado de dividir el índice común, entre el índice inicial dado de cada radical.

Usando el literal del inicio de la lección, 42

2 23 a bab

, se tiene índice común 3 × 2 = 6.

42

2 23 a bab

= ( )

( )

4

2

2 2 36

36

a bab

paso al índice común.

= 168

4 4

3 36

a ba b

uso de regla de radicales con igual índice. = 26 ab

Encuentra una expresión que represente el volumen.

El volumen es igual a: área de la base por la altura V A hb= ×A x xb = ( )3 3 y h x a46

Por lo tanto:V x x x= ( )( )3 3 46

= ( )x x x3 3 43 Reduciendo el índice 6 a 3.

x x x3 3 3 42

Propiedad de los radicales.

x x x3 3 23 Simplificando el exponente.

= ( )( )( )x x x 23 Por multiplicación de radicales.

x 43 Propiedad de exponentes.

= ( )x x33 Haciendo potencias de 3 para extraer del radical

V x x3

Considera ahora el siguiente paralelepípedo:

x 46

x3x3

Luego, 46 11502x Por producto de radicales.

x 46 1150 Ya que x 0 .

x1150

46Pasando a dividir.

x

115046

Por división de radicales.

x 25 5Luego el valor de x es 5.

Guía Metodológica


Adicionales.

Parece conveniente al final de esta lección hacer una recapitulación de toda la unidad. Se debe estar claro que, de acuerdo a la percepción de muchos maestros, el tema de los radicales e incluso de su operación inversa como exponentes, no es algo que resulta operativamente fácil para él. Se recomienda revisar todas las actividades propuestas en esta lección; ya que en ellas hay muchos ejercicios que servirán a nuestro estudiante para el uso correcto de reglas y procedimientos.

Algunos ejercicios como el siguiente pueden servir de fundamentación para tener presente la consideración si la variable es positiva o negativa.

Simplificar 4 233 2x x+ considerando : a) que x es un número positivo, b) que x es un número negativo.

Solución

a) 4 233 2x x+ = 4x + 2x = 6x

b) 4 233 2x x+ = 4x + 2

Si no se tiene este cuidado y se sustituye un número negativo en la ecuación a), digamos x = −3, el resultado de la izquierda no es igual al resultado de la derecha.

Proyecto

Una mueblería fabrica escritorios, mesas y sillas. La fabricación requiere de materia prima y de mano de obra. La mano de obra se clasifica en dos tipos: carpintería y terminaciones. La cantidad de recurso requerido para cada tipo de producto se muestra en la siguiente tabla:

Observa que un escritorio necesita 2 horas en carpintería, una mesa también 2 horas y una silla 4 horas; y hay una disponibilidad total de 52 horas. Así puedes leer cada una de las filas.

Si se utiliza toda la disponibilidad ¿cuántos escritorios, mesas y sillas hay que producir?

Solución:

Llamemos x: número de escritorios; y: número de mesas; z: número de sillas.

Se trata de resolver el sistema:

2x + 2y + 4z = 52 4x + 6y + 2z = 94 8x + 4y + 6z = 118

El determinante de los coeficientes es:

D = =−2 2 44 6 28 4 6

88

Los determinantes Dx, Dy, Dz son:

Dx = =−52 2 494 6 2118 4 6

528

Dy = =−2 52 44 94 28 118 6

880

Dz = =−2 2 524 6 948 4 118

440

Luego: xDDx= = −

−=528

886 escritorios.

y

DDy= = −

−=880

8810 mesas

z

DDZ= = −

−=440

885 sillas

Recursos carpinteria (horas)

terminaciones (horas)

materiales (pulgadas)

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matemática guía metodológica · establecer otras situaciones problemáticas significativas que...

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