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Professor Domingos Cereja
Série de Pagamentos
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Série de Pagamentos
São pagamentos efetuados em n períodos ao longo de um
determinado tempo.
Esses pagamento não necessariamente são de mesmos valores.
Série de Pagamentos
Série de Pagamentos
Renda Certa ou Anuidade
São sequências de pagamentos que ocorrem em datas
previamente estabelecidas.
As Rendas podem ser classificadas:
Série de Pagamentos
Quanto ao prazo de duração
1. Renda temporária: Quando o número de termos é definido.
2. Renda perpétua: Quando o número de termos é indefinido.
Série de Pagamentos
Quanto ao vencimento dos termos
1. Renda postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no
final do primeiro período, ou seja, quando o pagamento ocorre
no final dos sucessivos períodos.
Série de Pagamentos
Quanto ao vencimento dos termos
2. Renda antecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no
momento da realização do negócio, ou seja, quando o
pagamento ocorre no início dos sucessivos períodos.
Série de Pagamentos
Quanto a carência
1. Renda imediata: Quando os pagamentos forem exigidos logo
no primeiro período.
Série de Pagamentos
Quanto a carência
2. Renda diferida: Quando existir um período para se efetuar o
primeiro pagamento.
Série de Pagamentos
Quanto ao valor
1. Renda constante: Quando os valores dos termos forem os
mesmos.
Série de Pagamentos
Quanto ao valor
2. Renda variável: Quando os valores dos termos forem
diferentes.
Professor Domingos Cereja
Série de Pagamentos – Parte 2
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Série de Pagamentos
(FISCAL SEFAZ PI) José tem uma dívida a ser paga em três
prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao
final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao
término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao
final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5%
ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única
prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa
de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José
pagará nesta única prestação o valor de:
(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05
(D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91
Série de Pagamentos
P1 = 980; n = 3
(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05 (D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91
P2 = 320; n = 7
P3 = 420; n = 9
i = 5%
P = ? ; n = 12
Série de Pagamentos
(SEFAZ PI - ANALISTA DO TESOURO) Para quitar uma dívida
que apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, um
empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um
ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. Considerando o critério
do desconto racional composto a uma taxa de 8% ao ano, obtém-
se que P é igual a
(A) R$ 27.000,00
(B) R$ 29.160,00
(C) R$ 30.326,40
(D) R$ 31.492,80
(E) R$ 32.659,20
Série de Pagamentos
A = 77000
(A) 27.000,00 (B) 29.160,00 (C) 30.326,40 (D) 31.492,80 (E) 32.659,20
P1 = P; n = 1
P2 = 2P; n = 2
i = 8% aa
P = ?
Série de Pagamentos
(SEFAZ RJ - AUDITOR FISCAL) Uma dívida deverá ser quitada
por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da
primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$
9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$
16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a
uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio
de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui
a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação,
nesta segunda opção, é
(A) R$ 15.750,00 (B) R$ 18.150,00 (C) R$ 17.325,00
(D) R$ 16.500,00 (E) R$ 16.125,00
Série de Pagamentos
P1 = 9240; n = 1
(A) 15.750,00 (B) 18.150,00 (C) 17.325,00 (D) 16.500,00 (E) 16.125,00
P2 = 12705; n = 2
P3 = 16770,60; n = 3
i = 10% aa
P = ?; n = 1 e 2
Professor Domingos Cereja
Parte I
Renda Certa
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Renda Certa
1. Renda Postecipada
2. Renda Antecipada
3. Renda Diferida
Renda Certa
1. Renda Postecipada: É a série de pagamentos uniformes em
que o primeiro pagamento é efetuado no final do primeiro
período.
O valor atual de uma renda certa é definido como a soma dos
valores atuais de seus respectivos termos.
Renda Certa
Renda Certa
Renda Certa
fator de valor atual
O fator de valor atual é representado por an┐i
an┐i =
Renda Certa
Renda Certa
Outra forma de se representar o fator de valor atual
Professor Domingos Cereja
Parte II
Renda Certa
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Renda Certa
Uma pessoa comprou uma mercadoria e financiou em quatro
prestações mensais e consecutivas de R$ 2.000,00, sendo a
primeira paga trinta dias após a compra, considerando a taxa de
juros de 4% a.m., qual o valor da mercadoria à vista?
Renda Certa
Renda Certa
OBS: em algumas questões poderá ser empregado o termo fator
de recuperação de capital (FRC), que obtido através do inverso
do fator de valor atual.
FRC = 1/ an┐i
P = A. FRC
Renda Certa
Caso queiramos calcular o total pago, imediatamente após o
último pagamente, teremos que encontrar o chamado valor futuro,
F, que será o montante.
Renda Certa
F = A.(1 + i)n
F = P. x
F = P.
Para se chegar ao valor futuro, basta capitalizar o valor atual por
n períodosF = A.(1 + i)n
Renda Certa
Na matemática financeira,o fator é representado por Sn┐i,
e é chamado de fator de valor futuro ou fator de acumulação de
capital.
Sn┐i =
logo, F = P. Sn┐i
Professor Domingos Cereja
Parte III
Renda Certa
MATEMÁTICAFINANCEIRA
Renda Certa
F = P. Sn┐i
Renda Certa
Com referência ao exercício, do exemplo anterior, calculemos o
montante pago imediatamente após o último pagamento.
P = 2000n = 4i = 4%am
Renda Certa
2. Renda Antecipada: É a série de pagamentos uniformes em
que o primeiro pagamento é efetuado no momento da
realização do negócio.
Renda Certa
Renda Certa
Calculemos o valor atual, no mesmo exemplo, sendo agora com
renda antecipada.
R = 2000 n = 4 i = 4%
Renda Certa
3. Renda Diferida: É a série de pagamentos uniformes em que o
primeiro pagamento é efetuado após um determinado período.
Esse período sem pagamento é chamado de carência.
Renda Certa
Renda Certa
Uma empresa receberá cinco prestações mensais de R$
10.000,00, sendo a primeira após quatro meses. considerando a
taxa de juros compostos de 2%a.m., qual o valor atual?
Renda Certa
Renda Certa
(CEF – TEC. BANCÁRIO) Na negociação de uma dívida no valor
de R$ 10.000,00, o credor ofereceu as seguintes opções para o
devedor.
I Pagar toda a dívida, no ato da negociação, com desconto de
1,8% sobre o valor da dívida.
II Pagar em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses
da negociação.
III Pagar em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo um mês após a
negociação.
Renda Certa
IV Pagar em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem
desconto, com a primeira prestação vencendo no ato da
negociação.
Considerando 0,99, 0,98 e 0,97 como valores aproximados para
1,01-1, 1,01-2 e 1,01-3, respectivamente, e supondo que o devedor
poderá aplicar, no ato da negociação e a juros compostos de 1%
ao mês, quantias necessárias ao pagamento da dívida, assinale a
opção correta.
Renda Certa
(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa
que a II.
(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao
escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da
negociação, R$ 9.750,00.
(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00
no ato da negociação.
(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.
(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a
IV.
Renda Certa
Renda Certa
(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa
que a II.
(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao
escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da
negociação, R$ 9.750,00.
(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00
no ato da negociação.
(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.
(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a
IV.
Renda Certa
(PETROBRAS - TÉCNICO DE SUPRIMENTO) Um bem, cujo
preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze prestações
consecutivas, mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga
no ato da compra. Se são cobrados juros compostos de 1% ao
mês, o valor das prestações, em reais, é aproximadamente
Dado: (1,01)−12 = 0,8874
(A) 842
(B) 888
(C) 897
(D) 914
(E) 948
Renda Certa
Renda Certa
(TCE PB – AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) O valor presente
de um fluxo de 25 pagamentos iguais, mensais e postecipados,
rendendo 5% ao mês, é igual a R$ 10.000. Nessa situação, se,
em vez de postecipados, os pagamentos forem antecipados, o
valor presente do fluxo de pagamentos, em reais, será igual a
(A) 12.500.
(B) 9.523.
(C) 10.000.
(D) 10.020.
(E) 10.500.