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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 8

30 de maio de 2012

Aula 8 Matemática Básica 1

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado


R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a,b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

R é ordenado










Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivos

números reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos


Observações

Fato: a > 0⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

Fato: a a. Prova:

a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a− b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.

Observações





a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a− b < 0 ⇔ b > a.

Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a,b, c ∈ R, a 0, a b · c. [PO04]∀a,b, c ∈ R, a b. [PO06]∀a,b, c ∈ R, a 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a b · c. [PO10]∀a,b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.

[PO01]




[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.

[PO02]

∀a,b, c ∈ R, a 0 (2)

=⇒ b + 0− a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.

[PO03]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c < b · c,

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.

[PO04]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.

[PO05]

∀a,b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0− a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

[PO06]

∀a,b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a,b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.

[PO06]




[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a,b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).

[PO07]

∀a,b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.




=⇒ a < b,

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.

[PO08]

∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a 0 tais que a ·c 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c (1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

[PO09]

∀a,b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

Demonstração.




=⇒ a < b,

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.

Demonstração. Exercício.

[PO10]

∀a,b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.

[PO11]

∀a,b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.


(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.

[PO11]



(⇒) Temos que

a 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a 6= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo−(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.

[PO12]: Parte 1

∀a,b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

[PO12]: Parte 2

∀a,b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).


[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.



[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.


[PO14]




[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).

[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a 6= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.

[PO16]

a 6= 0⇔ a2 > 0.



[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.

[PO17]

(i) a > 0⇔ a3 > 0, (ii) a < 0⇔ a3 < 0.

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Observações








Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) > 1

2· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]⇐⇒ x >

12· 4 = 2


(x − 5) · (x − 1) > 0

[PO12]

⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Intervalos

Sejam a,b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞,b) = {x ∈ R | x < b},[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.

Intervalos



(−∞,+∞) = R.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b

:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado

, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto

, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda

, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita

. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados

: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.

Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.

Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a,b] é um intervalo fechado, (a,b) é um intervalo aberto, [a,b) éfechado à esquerda, (a,b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞,b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a,b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Observações

Outras notações para intervalos:

]a,b[ para indicar o intervalo (a,b),

[a,b[ para indicar o intervalo [a,b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.


Observações






Intervalos

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b


Intervalos

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

a b

Intervalos

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b

Intervalos

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b

Intervalos

(−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

b


Intervalos

(−∞,b) = {x ∈ R | x < b}

b

Intervalos

[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

a


Intervalos

(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}

a

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.


#

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.


#

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0


x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é completo


Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...




Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...




Q é completo?

Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?

Resposta: não!


Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...


Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!


Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...




R é completo!

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Em R, xn converge para o número√

2 ∈ R!

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...




R é completo!

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Em R, xn converge para um número em R!

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)


R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo



R é completo!

O que é 3√

5?


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Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.


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