matematyka dla opornych i ich korepetytorów michalina ... · 1 5 125 30 która z podanych liczb...
TRANSCRIPT
matematyka dla opornych i ich korepetytorów
Matematykamichalina malinowska
matura dla opornych
zestaw Ipoziom podstawowy
Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, foto-graficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji.
Projekt okładki: Michalina Malinowska
Skład: Michalina Malinowska
Copyright © Michalina Malinowska
ISBN: 978-83-940990-0-8
mdo - matematyka dla opornych
4
odpowiedzi
wstęp
co już potrafię - zestaw I
rozkład materiału
gdy chcesz powrócić do podstaw
gdy szukasz szybkiej powtórki
gdy chcesz dobrze zdać maturę
gdy lubisz wyzwania
57874767881
matematyka: matura dla opornychspis treści
gdy potrzebujesz dowodu 8386
mdo - matematyka dla opornych
wstęp 5
wstęp
Dla większości maturzystów obowiązkowa matura z matematyki to zło konieczne, coś co trzeba zdać a następnie o tym zapomnieć. Nie chcą więc spędzać każdej wolnej chwili zmagając się z dziesiątkami zadań, z których żadne nie pojawi się na egzaminie. W zasadzie to chcą zdać/dobrze zdać maturę przy możliwie jak najmniejszej liczbie rozwiązanych zadań. A gdy liczy się jakoś a nie ilość to przygotowane przeze mnie repetytorium sprawdzi się doskonale.
„Matematyka: matura dla opornych” to zbiór 395 zadań, umożliwiających powtórkę całe-go wymaganego na maturze materiału. Zadania opracowałam na podstawie materiałów udostę- pnionych przez CKE oraz oficjalnych arkuszy maturalnych, są więc dostosowane do aktualnych wymogów oraz standardów. Zrezygnowałam jednak z formy testowej – moim zdaniem ważniejsze od nauki dopasowywania otrzymanych wyników do podanych odpowiedzi jest to, by uczniowie zrozumieli istotę zadań oraz poznali schematy ich rozwiązywania.
Zamieszczone w repetytorium zadania są różnorodne, dlatego ze zbioru mogą korzystać zarówno zatwardziali humaniści, oraz ci, którzy matematykę lubią i rozumieją. Niektóre zadania umożliwiają powrót do korzeni – są powtórką materiału przerabianego w gimnazjum a nawet w szkole podstawowej. Czasami skupiają się na oczywistych oczywistościach – kwestiach często nie tłumaczonych przez nauczycieli bo „to przecież oczywiste i każdy to wie”. Z mojej wieloletniej praktyki wynika jednak, że dla uczniów oczywiste oczywistości wcale nie są tak oczywiste i lepiej (nawet narażając się na śmieszność i protekcjonalne spojrzenia) im o nich wspomnieć. Inne są ty-powymi, schematycznymi zadaniami maturalnymi, zadaniami pewniakami – dzięki ich rozwiązaniu uczeń oswoi się z tym, co go czeka w maju. Mając jednak na uwadze to, że każde drobne odchylenie od schematu czy użycie innego sformułowania w poleceniu może powodować, że proste zadanie staje się problemem nie do rozwiązania, czasami prezentuję je w dość niekonwencjonalnej formie. Dzięki temu uczeń nie tylko uczy się je rozwiązywać, ale także myśleć i kombinować. Osobną grupę zadań stanowią dowody, tych w zbiorze jest aż 31 – ich przykładowe rozwiązania zamieściłam na końcu książki, w dziale z odpowiedziami. Szczególną uwagę polecam zwrócić na dowody na podzielność liczb oraz algebraiczne – tak naprawdę to nie są one trudne, jak już się zrozumie, o co w nich chodzi. A zrozumieć warto, bo co roku pojawiają się one na egzaminie i co roku są wyzwaniem dla wielu maturzystów (w 2014 roku zadanie tego typu rozwiązało zaledwie 8% abi-turientów). Ponadto w repetytorium nie brakuje zadań z modelowania matematycznego (słynnych i oklepanych pociągów, samochodów, turystów…) – także w nowym wydaniu (zgodnym z przykład-ami zamieszczonymi w „Zbiorze zadań maturalnych z matematyki” udostępnianym przez CKE) oraz ambitniejszych zadań wymagających niekonwencjonalnego podejścia oraz matematycznej biegłości i pewności siebie.
mdo - matematyka dla opornych
6 wstęp
Rozwiązanie wszystkich zadań zajmuje około 50 godzin. Jeżeli więc jesteś korepetytorem to pamiętaj o tym planując swoją pracę z uczniem. Jeżeli nie masz tyle czasu możesz pominąć niektóre zadania. By ułatwić ci wybór tych najważniejszych spośród ważnych na końcu książki zamieściłam przykładowe listy zadań, których rozwiązanie polecam. W zależności od poziomu zaawansowania oraz czasu jakim dysponuje twój uczeń możesz wybrać wariant najbardziej dostosowany do jego potrzeb.
Jeżeli któryś z Twoich uczniów zdaje „starą” maturę, również może korzystać z tego repety-torium, ponieważ znajduje się w nim kilka zadań zgodnych z poprzednimi standardami. Zadania te wyróżnione są kolorem zielonym, więc łatwo je odróżnić od pozostałych.
Najlepsze efekty uczniowie osiągają korzystając z pierwszego oraz drugiego zestawu zadań (który ukaże się niebawem). Oba zawierają identyczne zadania, choć oczywiście z innymi wynikami. Pierwszy zestaw możesz wykorzystać podczas korepetycji, rozwiązując go razem z uczniem, drugi natomiast pozostawić uczniowi do samodzielnego, równoległego rozwiązywania. Dzięki temu lepiej utrwali i zapamięta przerabiany materiał.
Brak samodzielnego myślenia oraz przyzwyczajenie do schematów to dwa główne powody dla których matury z matematyki nie zdaje co roku parędziesiąt tysięcy osób. Kolejny to niechęć do tego przedmiotu – głównie wynikająca z zaniedbań sięgających często czasów szkoły podstawowej. Wiadomo: jak się czegoś nie rozumie to trudno to też polubić. Dlatego mam nadzieję, że wszystko to, co oferuje przygotowane przeze mnie repetytorium, czyli gruntowną powtórkę, odświeżanie starych i zdobywanie nowych wiadomości, pozwoli Twoim uczniom nie tylko dobrze zdać maturę, ale także lepiej zrozumieć matematykę, i kto wie… może nawet polubić.
mdo - matematyka dla opornych
rozkład materiału 7
rozkład materiału
1 - 50
wyrażenia algebraiczne
65 - 90równania i nierówności
91 - 170funkcje
51 - 64
ciągi 171 - 219
funkcje trygonometryczne
planimetria
geometria analityczna
stereometria
220 - 231
232 - 286
287 - 331
332 - 361
362 - 395statystyka i rachunek prawdopodonieństwa
czas: 5,5 h
czas: 2,5 h
czas: 3 h
czas: 12 h
czas: 4,5 h
czas: 1,5 h
czas: 7,5 h
czas: 4 h
czas: 5 h
czas: 4,5 h
razem: 395 czas: 50 h
liczby rzeczywiste
mdo - matematyka dla opornych
8 co już potrafię - zestaw I
co już potrafięzestaw I
1 Oblicz:
12 - 21 - 24 + 52
- 15 - 33 - 18 + (- 27)
35 - (- 49) - 17 - (- 13)
23 + 19 34 + 15
2 Oblicz zachowując kolejność wykonywania działań:
3 + 3 • 3
56 : 7 • 2
12 + 7 - 25
-15 : (- 3) + 2 • (-8)
4 Oblicz, nie używając kalku-latora:
0,5 • 0,4 0,8 • ( - 8)
3 Oblicz, zachowując kolejność wykonywania działań:
(8 - 2 • 3)2 + [81 : (- 3)3 + 10]
6 Oblicz:
122,75
3,125231
5 Oblicz:
49
1528 1 6
71 813 32 1
6
3 35
610
1621 8 15 5
6
34
712
35 2 1
218
561
3711,4
mdo - matematyka dla opornych
co już potrafię - zestaw I 9
8 Oblicz:
122
34
47
272
9 Oblicz:
4,15 1320
121,4 3
7 Oblicz:
5 56 (- 2) 9 7
3 1( )2 343 27
8
10 Wynikiem jakiego działania jest:
suma
iloczyn
różnica
iloraz
11 Jakim procentem liczby 35 jest licz-ba 14? Jakim procentem liczby 14 jest liczba 35?
Ile wynosi 45% z 80?
Wyznacz liczbę, której 12% jest rów-ne 36.
Znajdź liczbę o 24% większą od licz-by 60.
Zapisz liczbę o 38% mniejszą od licz-by 150.12 Dane są dwie liczby rzeczywiste a i b:
Liczba a jest o 25% większa od liczby b. Ile wynosi liczba b?
Liczba a stanowi 75% liczby b. Jakim procentem liczby a jest liczba b?
13 W pewnej gildii w grze internetowej RPG stosunek liczby wojowników do elfów i magów wynosi odpowiednio 5 : 8 : 7. Jakim procentem wszystkich graczy w tej gildi są magowie?
mdo - matematyka dla opornych
10 co już potrafię - zestaw I
21 Włącz czynnik pod znak pierwiastka:
2 5 18 2
20 Wyłącz czynnik przed znak pier-wiastka:
12 180
9 + 9 243 3 23 -5 33
17 Oblicz:
81
49
0,0025
1,44
11251
18 Oblicz:
- 0,0083
273
1,3313
2163433
361641
19 Oblicz nie używa-jąc kalkulatora:
2025
3721
576
14400
22801
15 Karolina za połowę swoich oszczędności kupiła grę komputerową. 20 % tego, co jej pozo-stało przeznaczyła na książki. Ile procent oszczędności pozostało Karolinie?
14 W pewnej klasie jest trzy razy więcej dziewczyn niż chłopców. Jaki procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią chłopcy?
16 Cenę gry komputerowej obniżono o 10%. Po miesiącu ponownie obniżono jej cenę o 10%. O ile procent łącznie obniżono cenę tej gry?
mdo - matematyka dla opornych
co już potrafię - zestaw I 11
22Usuń niewymierność z mianownika:
52
73 7
32 - 1
23 Oblicz:
2 53 3
5
3 5 2 5
3
2 - 52
2 + 53
48 + 12 3
2 4 2
3 3
3 61
( 6 - 2 )2
24 Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia:
( 5 - 3 )( 3 + 5)
( 2 3 + 3 )2
2 + 2 2( )2
5 - 3( )2
+ 3 5
25 Oblicz korzystając z praw działań na pierwiastkach:
25 + 64 - 81
5(2 3 + 5 3)35
5 + 2 45245
26 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność:
12( 1932 + 2016 ) < 2025
27 Zapisz w postaci potęgi liczby 2:
8 12
116 2 8
mdo - matematyka dla opornych
12 co już potrafię - zestaw I
28 Zapisz w postaci potęgi liczby 3:
29 Zapisz w postaci potęgi liczby 5:
27 19
19
127 9 3
125 5625
1253 25 625 5
11255
30 Która z podanych liczb jest większa?
399 czy 2734
749 czy 750
31 Zapisz liczby używając notacji wykładniczej:
5000000
432000
0,00000009
0,0001205
32 Oblicz:
93 127
8134
7 • 12 12 • 76 + 2 3( )0
16
34
5 • 20
1410 3
7 6 + 7 77 6 + 7 5
( 3 + 2 2 )[ 27 - ( ) ]18
32
12
[( 2 + 5) - ( 25 - 2 ) ]212 1
212
mdo - matematyka dla opornych
co już potrafię - zestaw I 13
log232
33 Przedstaw wyrażenie w postaci potęgi liczby a:
39 Oblicz:
log28 + 1
a-3 1a( ) ( a3 1
a74 )14
35 Oblicz:
log 51125
log3 813
log816 2
36 Oblicz:
log200 + log5
log5100 - log520
2log327
log4144 - log4312
7 log714
91 + log34
37 Oblicz:
25 log57
43 - log4 12
38 Korzystając z definicji lo-garytmu określ jakie war-tości może przyjmować x:
log x 7
log (2 - x) 4
log 5 x
log 5 (3x - 9)
log3 + 219
34 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność:
230 + 1 + 230 - 1 < 216
40 Oblicz:
log5log232
log8log381
2log16log525
mdo - matematyka dla opornych
14 co już potrafię - zestaw I
Wykaż, że liczba 5 • 33 + 34 + 35 jest po-dzielna przez 17.43
42 Ile wynosi reszta z dzielenia liczby 29 przez 8?
45 Które spośród wypisanych liczb po podzieleniu przez:
3 dają resztę 2?
7 917 5 28
5 dają resztę 3?
375311 10418
47 Które z podanych równości są nieprawdziwe?
( 5 )2 = 52 7 4 = 74
23 = - 2
- 3
-27 = - 273 3
(-3)2 = - 3 -42 = 42
46 Które z wyrażeń są równe wyrażeniu 18 + 4,5 3?
9(2 + )2 3
218 + 9 3
29(4 + 3)
17=1
- 7
55 = (-5)5
41 Wyznacz wartość x:
log5(3x + 5) = 3
log9 log2(2x + 2) - = 012
log 6 2x = 2
Wykaż, że liczba 211 - 213 + 215 jest podziel-na przez 26.44
mdo - matematyka dla opornych
co już potrafię - zestaw I 15
48 Liczbę 27,4 zaokrąglij do cyfry jedności oraz dziesiątek. Dla obu zaokrągleń oblicz błąd względny i bezwzględny przybliżenia a t akże określ typ przybliżenia (przybliżenie z nad-miarem bądź niedomiarem).
49 Liczba 20 jest przybliżeniem liczby x. Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,48. Wy-znacz liczbę x (rozważ dwa przypadki).
50 Liczba 2 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby x. Błąd względny tego przybliżenia wynosi 20%. Oblicz wartość x.
51 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych:
liczbę o sześć mniejszą od c
liczbę o pięć większą od a
liczbę cztery razy mniejsza od d
liczbę trzy razy większą od b
liczbę, która stanowi 75% liczby e
liczbę o 35% większą od liczby f
52 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych (podaj konieczne założenia):
liczbę parzystą
liczbę nieparzystą
trzy kolejne liczby naturalne
liczbę podzielną przez 7
liczbę, która dzieląc się przez 3 daje resztę 2
liczbę dwucyfrową
53 Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla a = 3 i a = - 2
2a - a a2 + 5 - a2 + 2(- a)2
mdo - matematyka dla opornych
16 co już potrafię - zestaw I
54 Uporządkuj jednomiany:
-2 • 4a • b (-5)25 c c c
- 2 (-5) • (- d2) • (-2) • d-1
55 Wyciągnij największy wspólny czynnik przed nawias:
9a3 + 15a2 - 3a 16a2b2 - ab 48 + 8a2b
- 50c4 - 75c5 + 25c6 12 x4 1
4 x3 58 x2
57 Wyznacz wartość b wiedząc, że:
0,5b = 2,4a
12 b = b
4 + a
3b + 7a2 = ab
56 Wyznacz ze wzoru:
wartość a2 a1 a2 = - 1
wartość t stv =
wartość a b2 - 4ac4aq =q =
(2a + 3b)2 12( c - 5d)2
(4a + b) (4a - b)
58 Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
( c + d)223
34
(7a - 2b)2 (2c + d) (d - 2c)
mdo - matematyka dla opornych
co już potrafię - zestaw I 17
59 Zapisz w postaci iloczynowej:
60 Wykonaj działania i zredukuj wy-razy podobne:
6a - 5a2 - 4a + 7a2
61 Wykonaj działanie:
22a + 1
5a - 3
2b + 13 - b
3 - b1 + 2b
a2 + 2ab + b2
9c4 - 12c2d + 4d2
6a2 + 6 2ab + 3b2
14 c2 + 4d2 - 4cd
a + 2 ab + b
- 25c2 + 20cd - 4d2
2b3(0,5b2 - 10b) - 4b4( - b)32
(a + b)(2a - b) - (3b - a)(a + 3b) a + b2a ( )4
b - a
62 Dana jest liczba x taka, że: x ϵ <- 5 , 5) ∩ (5, + ∞)
czy x = 5 ?
czy x = 50 ?
63 Zaznacz przedział na osi liczbowej:
x ϵ (- ∞ , - 7 > (3, + ∞ )∩
x ϵ (- 11 , 15) / < 2, 7 >
(3a2 + a2 - 2)(a2 - 2a + 1) 2aa - b b
a + b
mdo - matematyka dla opornych
18 co już potrafię - zestaw I
-5 3 -10 -3
65 Sprawdź, czy liczba x jest rozwiązaniem równania:
34 x + 6 = 2x + 1
64 Jaki przedział zaznaczono na osi liczbowej?
x = - 5
- x + 12 = x - 7
x = 1 - 2
x2 = 2x + 1
x = 13
6x + 2 = 5 - 3x
66 Rozwiąż równanie:
5x + 15 = 0 25 x = 6
- (3x + 2) = 4(1,5x + 5)
x + 22
2x - 23 = x + 2
6 x - 3 = x 3
67 Rozwiąż równanie korzystając z własności iloczynu:
x(x - 4)(3x + 9) = 0 - 3x(x2 - 36) = 0
(x2 - 16)(3x3 + 24) = 0 (x2 - 8)(3x2 + 36) = 0