matematinės analizė i uždavinynasweb.vu.lt/mif/j.markeviciute/files/2012/08/ma-i-2012a.pdf · 3....

VILNIAUS UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS

EKONOMETRINĖS ANALIZĖS KATEDRA

Jurgita Markevičiūtė, Rimas Norvaiša

Matematinės analizė IUždavinynas

VILNIUS 2012

Turinys1 Pratarmė 3

2 Įvadas 52.1 Matematinės logikos elementai ir įrodymas matematikoje . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Aibės ir funkcijos 123.1 Aibių teorijos elementai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


3.2 Įvadas į funkcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Uždaviniai su kompiuteriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Skaičiai 214.1 Natūralieji ir racionalieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


4.2 Realieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Skaičių sekos ir eilutės 365.1 Skaičių seka: jos riba, monotoninės sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


5.2 Posekiai, ribiniai taškai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Skaičių eilutės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Aibės 516.1 Begalinės aibės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


6.2 Tiesės taškų aibės: atvirosios ir uždarosios aibės . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

6.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Funkcijos 587.1 Funkcijos: veiksmai su funkcijomis, konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . 58


7.2 Funkcijos: tolydumas, trūkiai, monotoninės . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3 Tolydumas ir tolygus tolydumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Diferencijavimas 728.1 Elementarių funkcijų išvestinių skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


8.2 Išvestinių taikymas, aukštesnės eilės išvestinės . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2.1 Pagrindinės sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2.2 Trumpi klausimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2.3 Pratybų uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3 Teiloro formulės taikymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2

1 PratarmėMatematinė analizė I tikslai yra išmokyti studentus analizuoti vieno kintamojo funkcijas.Ugdyti analitinį ir kritinį mąstymą. Kurso metu studentas turi įsisavinti ribos, tolydumo,diferencijavimo ir integravimo sąvokas realaus argumento funkcijoms su realiomis reikšmė-mis. Ugdomi gebėjimai

• žinoti realiųjų skaičių aibės savybes ir jų konstrukciją, bei funkcijos sąvoką;

• sugebėti operuoti realiųjų skaičių sekos ir funkcijos ribos sąvokomis;

• žinoti funkcijų (elementariųjų, glodžiųjų, trūkiųjų) klases ir sąryšius tarp jų;

• žinoti funkcijos išvestinės ir integralo apibrėžimus bei savybes.

• logiškai formuluoti matematikos teiginius;

• suprasti vieno kintamojo funkcijų teorijos teiginių įrodymus.

• gebėti įrodyti matematinius teiginius;

• gebėti tirti ir skaičiuoti funkcijų ribas;

• gebėti rasti funkcijų išvestines ir integralus;

• suprasti vieno kintamojo funkcijų teorijos metodus (diferencijavimą, integravimą) irgebėti juos taikyti praktikoje.

Vertinimo sistema:

1. 30% - koliokviumas (prof. R. Norvaiša)

2. 30% - egzaminas (prof. R. Norvaiša)

3. 30% - kontroliniai darbai (a. J. Markevičiūtė)

4. 10% - testai (a. J. Markevičiūtė)

Norint išlaikyti egzaminą, reikia iš trijų dalių - koliokviumo, egzamino, kontroliniųdarbų - gauti teigiamą pažymį, t.y., ne mažesnį nei 5.

Kontrolinių darbų vertinimas. Semestro metu bus 2 kontroliniai darbai. Jų trukmė1 valanda. Kontroliniai darbai rašomi raštu, pratybų metu, užbaigus atitinkamą teorijos irpraktinę dalis (visos grupės kontrolinį rašo vienu bendrai suderintu laiku). Vieną kontrolinįsudaro 3-5 uždaviniai. Uždaviniai vertinami taškais. Vertinimo sistema:

• 10 balų – ne mažiau nei 90 % galimų taškų

• 9 balai – ne mažiau nei 80 % galimų taškų





• 1-4 balai – mažiau nei 40 % galimų taškų

3

Galutinio vertinimo balo skaičiavimas: tarkime, kad studentas iš pirmojo testo gavop1 pažymį dešimties balų sistemoje, o iš antrojo testo p2 pažymį dešimties balų sistemoje,tada galutinis pažymys yra

p := p1 + p22 .

Testų vertinimas. Studentams paskiriamas namų darbų sąrašas. Semestro paskaitųmetu studentai gauna 4-6 testus 15 min. testą iš šių namų darbų. Sprendimai vertinamitaškais. Vertinimo sistema:

• 10 balų – ne mažiau nei 90 % galimų taškų






• 1-4 balai – mažiau nei 40 % galimų taškų

Galutinis namų darbų vertinimo balas: tarkime buvo m testų (testų skaičius gali skirtisdėl nenumatytų aplinkybių, planuojama, kad bus 4− 6 testai). Tarkime, kad kiekvienameteste studentas gavo ni pažymį dešimties balų vertinimo sistemoje, tada galutinis pažymysyra aritmetinis vidurkis visų gautų pažymių:

n := n1 + n2 + . . .+ nmm

.

Apvalinimo sistema. Skaičiuojant kontrolinių darbų bei testų galutinį balą, gautas arit-metinis vidurkis nebus sveikasis skaičius, todėl bus taikoma tokia apvalinimo sistema:

Gautas pažymys Galutinis pažymys∗, 1 ∗∗, 2 ∗∗, 3 ∗∗, 4 ∗∗, 5 ∗∗, 6 ∗+ 1∗, 7 ∗+ 1∗, 8 ∗+ 1∗, 9 ∗+ 1

4

2 Įvadas

2.1 Matematinės logikos elementai ir įrodymas matematikoje

2.1.1 Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimai ir pavyzdžiai. Matematinės logikos elementai yra labai svarbūs mate-matiniuose teiginių įrodymuose. Matematinis teiginys - tai teiginys apie matematiniussąryšius. Teiginius galima užrašyti įvairia forma: žodine, matematiniais ženklais. Kelimatematinių teiginių pavyzdžiai:

1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2;

2. 2x2 + 3x+ 1 = 0;

3. Jei k yra lyginis, tai k/2 yra sveikasis skaičius.

Matematiniuose teiginiuose kartai dalis informacijos nėra pasakoma, jei ji žinoma iš kon-teksto. Tarkime pirmasis teiginys gali būti suprastas kaip

kiekvienam a, b ∈ R, (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (1)

tačiau taip pat gali būti ir

kiekvienam a, b ∈ C, (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.

Jei iš konteksto nėra aiškios detalės, jos visada turi būti užrašytos. Matematiniuose teigi-niuose visada labai svarbus tikslumas.

Matematiniams teiginiams užrašyti naudojami loginiai kvantoriai. Vienas iš šių kvan-torių yra visuotinumo kvantorius ∀ skaitomas kaip kiekvienam, ar bet kuriam. Naudojantisšiuo kvantoriumi, teiginys (1) gali būti perrašytas taip

∀a, b ∈ R, (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.

Taip pat teiginiuose naudojamas egzistavimo kvantorius ∃ skaitomas kaip egzistuoja,egzistuoja bent vienas ir pan. Toliau einantys sakiniai turi tą pačią prasmę

1. egzistuoja racionalus skaičius;

2. egzistuoja bent vienas racionalus skaičius;

3. kai kurie realūs skaičiai yra racionalūs;

4. ∃x : x ∈ Q.

Jei viename teiginyje turime du skirtingus kvantorius ir juos sukeičiame vietomis, nevisada gauname teiginius, turinčius tą pačią prasmę ir tas pačias teisingumo reikšmes.Pavyzdžiui teiginiai

∀x ∈ R ∃y ∈ R, x− y < 0

bei

∃y ∈ R ∀x ∈ R, x− y < 0

yra skirtingi. Pirmasis teiginys yra teisingas, kadangi

Pavyzdys. Tegu x bet koks realus skaičius. Tada imkime bet kokį realų k > 0 ir gauname,kad x − (x + k) < 0. Taigi pirmasis teiginys yra teisingas, jeigu y = x + k. Kadangi tiekx, tiek k bet kokie skaičiai, tai gavome, kad pirmasis teiginys teisingas.

5

Tačiau antrasis teiginys yra klaidingas, nes

Pavyzdys. Imkime kokį nors y. Tada akivaizdu, jei paimsime x = y + 1, gausime, jogantrasis teiginys nėra teisingas.

Pastaba 2.1 Jei turime teiginius su tais pačiais kvantoriais t.y. ∀x∀yP (x, y) bei ∃x∃yP (x, y),tai jų reikšmės yra tokios pačios kaip ir ∀y∀xP (x, y) bei ∃y∃xP (x, y) teiginių.

Loginės operacijos padeda sujungti kelis teiginius į vieną. Neigimo operacija yra ¬,skaitoma ne, ir ji suteikia reiškiniui priešingą reikšmę. Pavyzdžiui reiškinio ∀x ∈ R, x2 > 0,neiginys yra ∃x ∈ R, x2 ≤ 0. Konjunkcijos ∧ (skaitoma ir) rezultatas yra teisingas tada irtik tada, jei du teiginiai, kuriuos jungia konjunkcija, yra teisingi. Disjunkcijos (skaitomaarba) rezultatas yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu jungiami teiginiai yra klaidingi. Jeiturime du teiginius p bei q, tai teiginys p⇒ q vadinamas implikacija ir skaitomas jei p, taiq arba iš p išplaukia q. Jei p teisinga, o q klaidinga, tai p⇒ q yra klaidinga. Visais kitaisatvejais pastarasis teiginys yra teisingas. Ekvivalentūs teiginiai žymimi p ⇔ q ir sakoma,kad "p tada ir tik tada, kai q". Šiuo atveju turime būtiną ir pakankamą sąlygas. Sakoma,kad teiginys p yra būtinas q, jeigu q ⇒ p. Tuo tarpu, sakoma, kad p yra pakankamas q,jeigu p⇒ q.

Kiekvienas matematinis teiginys yra

• arba aksioma, arba anksčiau įrodyta teorema;

• prielaida suformuluota teoremoje;

• "akivaizdžiai" seka iš ankstesnių teiginių.

Reikėtų labai atsargiai elgtis su žodžiu "akivaizdu". Kadangi "akivaizdus" rezultatas galipasirodyti klaidingas, todėl reikėtų jį patikrinti. Pradedantys įrodinėti teiginius studentaidažnai skiria daug dėmesio nesudėtingoms detalėms, o mažai sudėtingiems veiksmams.Daug praktikuojantis tampa aišku, kiek dėmesio skirti kurioms detalėms.

Įrodymai. Teiginių, susietų loginėmis operacijomis, įrodymo metodai remiasi šių loginiųoperacijų apibrėžimu. T.y., jei turimi du teiginiai p, q bei reikia įrodyti teiginį "p ir q", taibūtina parodyti, kad abu teiginiai yra teisingi. Jei turimi tie patys du teiginius, o norimaįrodyti teiginį "p arba q", tai galima elgtis trejopai:

• tarti, kad p yra klaidingas ir panaudoti tai, įrodant, kad q yra teisingas;

• tarti, kad q yra klaidingas ir panaudoti tai, įrodant, kad p yra teisingas;

• tarti, kad p ir q abu yra klaidingi ir gauti prieštarą.

Jei turima teorema suformuluota su implikacija p⇒ q galima vėlgi naudoti tris būdus:

• tarti, kad p yra teisingas ir panaudoti tai įrodant, kad q yra teisingas;

• tarti, kad q yra klaidingas ir panaudoti tai įrodant, kad p yra klaidingas;

• tarti, kad p yra teisingas ir q yra klaidingas ir panaudokite šias prielaidas gaunantprieštarą.

Norint įrodyti "tada ir tik tada" tipo teoremą "p⇔ q" reikia įrodyti p⇒ q ir q ⇒ p.Siekiant įrodyti teoremą, kurios išvada yra "egzistuoja x, toks, kad P (x)" paprastai

• arba parodoma konkrečiam x, kad teiginys P (x) yra teisingas;

6

• arba naudojami netiesioginiai argumentai, parodant, kad kažkoks x su savybe P (x)egzistuoja;

• arba tariama, kad P (x) yra klaidingas visiems x ir gaunama prieštara.

Jei teoremos išvadoje yra visuotinumo kvantorius, natūralu, kad neįmanoma įrodytiteoremos perrenkant visus įmanomus atvejus. Tada, dažnai naudojamas "sutartinio kin-tamojo" (angl., arbitrary) būdas. Pasirenkamas bet kuris objektas x (sveikasis, realusisskaičius ir pan.) ir įrodomas rezultatas šiam objektui x. Tai tas pats, kas įrodyti rezultatąkiekvienam x. Dažnai šis metodas derinamas su prieštaros metodu.

Taip pat, kai kuriais atvejais, patogu įrodinėti teiginius išskiriant tam tikrus atvejus.Pavyzdžiui, norint įrodyti, kad bet kuriems natūraliesiems skaičiams m ir n galioja savybėP (m,n) gali būti patogu nagrinėti tris atvejus m = n, m > n ir m < n.

Simbolis "=". Lygybės simbolis = vartojamas keliomis prasmėmis. Jis gali rodyti vie-nodų matematinių objektų, pavadintų skirtingai, lygybę. Pavyzdžiui, 2− 1 = 3− 2. Taippat šis simbolis vartojamas lygtyse: x2 + 3x − 4 = 0. Lygybė gali žymėti kelių išraiškųtapatybę: (x+ 2)2 = x2 + 4x+ 4. Galiausiai šis simbolis gali būti naudojamas apibrėžiantnaują vardą. Dažnai šiai lygybės prasmei taip pat naudojamas simbolis A := B, čia objektovardui A suteikiama objekto B reikšmė. Toliau pateiksime lygybės aksiomas.

Apibrėžtis 2.1 L1 (refleksyvumo aksioma) su bet kuriuo objektu x, galioja x = x;

L2 (simetriškumo aksioma) su bet kuriais dviem objektais x ir y, jei x = y, tai y = x;

L3 (tranzityvumo aksioma) su bet kuriais trim objektais x, y ir z, jei x = y ir y = z, taix = z;

L4 (keitimo aksioma) su bet kuriais dviem kurio nors tipo objektais x ir y, jei x = y,tai S(x) = S(y) visoms to tipo objektų aibėje apibrėžtoms funkcijoms, operacijoms arsavybėms S.

2.1.2 Trumpi klausimai

1. Sudarykite visų keturių loginių operacijų teisingumo lenteles.

2. Pabaikite sakinius:

(a) Jei p yra teisinga, tai ¬p yra …, ir atvirkščiai, jei p yra …, tai ¬p yra …;(b) Jei p yra teisinga ir q yra klaidinga, tai p ir q yra ….

3. Ar ¬¬p ir p yra ekvivalentūs teiginiai?

4. Ar teisingas teiginys (1 = 1) ∨ (1 = 2)?

5. Ar teisingas teiginys "Jei aš esu rožinis dramblys, tai 1 = 2"?

6. Ar teginys ¬(∀xP (x)) yra ekvivalentus ∃x(¬P (x)) teiginiui?

2.1.3 Pratybų uždaviniai

1. Kuris iš teiginių (a) ar (b) yra tautologija

(a) [(A⇒ B) ∨A]⇒ B,

(b) [(A⇒ B) ∧B]⇒ A.

7

2. Parodyti, kad yra teisingos sudėtinių teiginių formos:

(a) ¬(A ∧B)⇔ (¬A) ∨ (¬B)(b) ¬(A ∨B)⇔ (¬A) ∧ (¬B)

3. Tegul A ir B yra teiginiai. Įrodyti, kad teisingos sudėtinių teiginių formos:

(a) (A⇒ B)⇔ ((¬A) ∨B) (tiesioginis);(b) (A⇒ B)⇔ [(¬B)⇒ (¬A)] (kontrapozicijos);(c) (A⇒ B)⇔ ([A ∧ (¬B)]⇒ [C ∧ (¬C)]) bet kuriam teiginiui C (prieštaros);(d) [¬(A⇒ B)]⇔ [A ∧ (¬B)] (kontrpavyzdys).

4. Jonas, Petras ir Gediminas yra įtariami įvykdę nusikaltimą . Jų pateikti liudijimaiyra tokie:

(a) Jonas: Petras yra kaltas ir Gediminas yra nekaltas.(b) Petras: Jei Jonas yra kaltas, tai Gediminas yra nekaltas.(c) Gediminas: Aš esu nekaltas, bet bent vienas iš kitų dviejų yra kaltas.

Tarkime, kad j, p ir g yra tokie teiginiai: "Jonas yra nekaltas", "Petras yra nekaltas","Gediminas yra nekaltas".Visus liudijimus išreikškite loginėmis formulėmis ir sudarykite jiems teisingumo len-teles.

5. Paprastame teiginyje yra vienas veiksmažodis. Sudėtiniame teiginyje būna keli veiks-mažodžiai, taigi keli paprasti teiginiai. Kiekviename sudėtiniame teiginyje raskite pa-prastus teiginius, priskirkite jiems raides ir perrašykite sudėtinius teiginius loginiaissimboliais. Pirma užduotis yra išspręsta kaip pavyzdys.

(a) Jei x > 0, arba x < 0, tai x2 > 0A B C

(A ∨B)⇒ C

(b) Jei a < b ir c yra teigiamas, tai ac < bc

(c) Tam, kad q būtų racionalus, pakanka, kad q dešimtainės trupmenos išraiškabūtų baigtinė.

(d) Sveikas skaičius n yra lyginis, tada ir tik tada, kai n padalijus iš 2 liekana yranulis.

(e) Tegu n ir m yra sveiki skaičiai ir n+m yra lyginis. Tada arba n ir m abu kartuyra lyginiai arba n ir m abu kartu yra nelyginiai

(f) n lyginis yra būtina sąlyga, kad n2 būtų lyginis.(g) Tam kad n būtų lyginis yra būtina, kad n2 būtų nelyginis.

6. Paneikite šiuos teiginius. Užrašykite ir simboline išraiška, ir žodžiais (sakiniais).

(a) Jei n yra lyginis natūrinis skaičius, tai ir n2 yra lyginis natūrinis skaičius(b) Realus skaičius x(x− 1) yra teigiamas kai x > 1(c) Jei realaus skaičiaus kvadratas yra 2, tai šis skaičius nėra racionalusis.(d) Jei y > 0, tai xy < zy ⇒ x < z

7. Pavyzdžiuose (a)–(f) nustatyti, kas yra kintamasis x, kokia jo kitimo sritis ir ko-kia savybė S(x). Naudojantis pirmuoju pavyzdžiu, kitiems pavyzdžiams panaudotisimbolinę išraišką. Kuris pavyzdys nėra teiginys? Pavyzdžiams, kurie yra teiginiai,nustatyti teisingumo reikšmę:

8

(a) visiems realiesiems skaičiams r, r2 ≥ 0 (simboliškai ∀r ∈ R, r2 ≥ 0);(b) visiems natūraliesiems skaičiams n, n− 1 yra natūralusis skaičius;(c) visiems skaičiams, jei p ∈ A yra pirminis, tai p ∈ B;(d) egzistuoja racionalusis skaičius q, kurio kvadratas yra 2;(e) egzistuoja sveikasis skaičius, prie kurio pridėjus 3, gauname −1;(f) kiekvienam realiajama skaičiui r egzistuoja realusis skaičius s, kad rs = 1.

8. Performuluoti pavyzdžius (a)–(e) atskiriant kvantorius. Nustatyti teiginių teisingu-mą:

(a) kiekvienam teigiamam skaičiui x, ir kiekvienam teigiamam skaičiui y, galiojay2 = x;

(b) egzistuoja teigiamas skaičius x toks, kad kiekvienam teigiamam skaičiui y galiojay2 = x;

(c) egzistuoja teigiamas skaičius x ir egzistuoja teigiamas skaičius y tokie, kad ga-lioja y2 = x;

(d) kiekvienam teigiamam skaičiui y egzistuoja teigiamas skaičius x toks, kad galiojay2 = x;

(e) egzistuoja teigiamas skaičius y toks, kad kiekvienam teigiamam skaičiui x galiojay2 = x.

9. Paneikite šiuos teiginius. Užrašykite ir simboline išraiška ir aiškia, suprantama kalba.

(a) Kiekvienas realus skaičius x tenkina f(x) ≥ f(0)(b) sin t = cos t, kokiam nors kampui t.(c) Kiekvienam teigiamam x galima rasti tokį teigiamą y, kad xy < 0.001(d) Kiekvienam ε > 0 galima rasti tokį δ > 0, kad jei |x−y| < δ, tai |f(x)−f(y)| < ε.(e) Tam tikrai funkcijai f , f(x) neviršija 1 visiems x.

10. Pasinaudodami savo žiniomis apie realius skaičius nustatykite kurie iš šių teiginių yrateisingi, o kurie klaidingi.

(a) ∀x, ∃y 3 x+ y = 0(b) ∀x, ∀y, x+ y = 0(c) ∃x 3 ∀y, x+ y = 0(d) ∃x,∃y 3 x+ y = 0

11. Tarkime, kad realūs skaičiai a, b, c ir d yra tokie, kad a = b ir c = d. Naudojantislygybės aksiomomis įrodyti, kad a+ d = b+ c.

12. Tarkime, kad C ir D yra teiginiai. Įrodyti, kad teiginiai ¬(C ∧ D) ir (¬C) ∨ (¬D)yra ekvivalentūs.

13. Formulės struktūrinis medis yra baigtinis dvejetainis medis, kurio mazgui priskiriamaformulė ir kiekviena sudėtinė formulė šakojasi į atskiras formules. Jei A yra formulė,tai jos struktūrinis medis yra vienintelis. Pavyzdys:

9

Raskite šių formulių struktūrinius medžius:

(a) (p⇒ q)⇒ (q ⇒ r);(b) (p ∧ q)⇒ r;(c) (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r).

14. Tarkime, kad du teiginiai A1 ir A2 yra ekvivalentūs. Naudodamiesi teisingumo len-telėmis, įrodykite, kad šios poros teiginių taip pat ekvivalenčios:

(a) ¬A1 ir ¬A2;(b) A1 ∧B ir A2 ∧B;(c) B ∨A1 ir B ∨A2;(d) A1 ⇒ B ir A2 ⇒ B;(e) B ⇒ A1 ir B ⇒ A1.

15. Turime teiginius:

• p: "Aš darau namų darbus";• q: "Aš išlaikau egzaminą";• r: "Aš esu studentas";• s: "Man patinka vakarėliai".

Užrašykite teiginius žodžiais (sakiniais):

(a) p⇒ q;(b) p ∧ q;(c) p ∨ q;(d) q ⇒ p;(e) r ⇒ s;(f) r ∧ s;(g) r ∨ s;(h) (r ∧ s)⇒ ¬q;(i) (r ∧ p)⇒ q;(j) (r ∧ (s ∨ p))⇒ (q ∨ ¬q).

ir sudarykite šių teiginių teisingumo lenteles. Užrašykite jų rezultatą žodžiais. Arkurie nors iš teiginių yra tautologija?

16. Duoti teiginiai:

• p: "Lietuvoje auga bedarbystė";

10

• q: "Lietuvoje didėja emigracija";• r: "Lietuvoje didėja imigracija";• s: "Lietuvoje mažėja BVP augimas";• u: "Lietuvoje vidutinis kainų lygis didesnis nei vidutinis kainų lygis Europoje";• v: "Lietuvoje brangus aukštasis mokslas".

Sudarykite iš šių teiginių sudėtinius teiginius remdamiesi naujausia informacija patei-kiama Lietuvos žiniasklaidoje bei oficialiose institucijose (Statistikos departamente,Finansų ministerijoje, Lietuvos banke ir pan.). Panaudokite visas logines operacijas,sudarydami šiuos teiginius.

17. Sudarykite sakinius su visuotinumo bei egzistavimo kvantoriais žemiau pateiktiemsobjektams bei taisyklėms. Paneikite šiuos sakinius. Kurie iš šių sakinių yra teisingi?

(a) x - bet kuris Lietuvos mokinys, P (x) = "nori studijuoti Oksforde".(b) x - Lietuvos verslininkas, P (x) = "moka mokesčius į LR biudžetą";(c) x - bedarbis Lietuvoje, P (x) = "aktyviai ieško darbo";(d) x - Europos Sąjungos pilietis, P (x) = "nemokamai gauna aukštąjį išsilavinimą";(e) x - studentas Lietuvoje, P (x) = "aktyviai mokosi studijų metu".

18. Tarkime, kad C ir D yra teiginiai. Įrodyti, kad teiginiai ¬(C ∧ D) ir (¬C) ∨ (¬D)yra ekvivalentūs.

19. Tegul A yra teiginys:

kiekvienam realiajam skaičiui ε > 0,

egzistuoja toks n ∈ N, kad ρ(rn, r) < ε.

Suformuluoti tokį teiginį ekvivalentų ¬A, kuriame nebūtų neigimo loginės operacijos¬. Atsakymą pagrįsti.

20. Tarkime, kad A ir B yra tokie teiginiai, kuriems yra teisinga implikacija A ⇒ B.Įrodyti, kad su bet kuriuo teiginiu C, yra teisinga implikacija C ∨A⇒ C ∨B.

21. Tarkime, kad A, B ir C yra teiginiai. Įrodyti, kad teiginiai

A ∧ (B ∨ C) ir (A ∧B) ∨ (A ∧ C)

beiA ∨ (B ∧ C) ir (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

yra ekvivalentūs.

22. Tegul A, B ir C yra teiginiai. Įrodyti, kad

(A⇒ B)⇔ ([A ∧ (¬B)]⇒ [C ∧ (¬C)]).

11

3 Aibės ir funkcijos

3.1 Aibių teorijos elementai


Apibrėžimai. Aibė yra kokių nors objektų rinkinys, kuriuos jungia bendra savybė (artaisyklė). Objektai, sudarantys aibę, vadinami aibės elementais. Jei objektas x priklausoaibei X, tai šis teiginys užrašomas x ∈ X. Jei elementas nepriklauso aibei, rašysime x /∈ X.Aibės aprašomos užrašant bendrą juos jungiančią savybę S(x):

{x : x turi savybę S(x)}

arba išvardinant aibės elementus (visus arba dalį ir dedamas daugtaškis …)

{1, 2, 3, . . .} .

Dvi aibės X ir Y laikomos lygios, žymima X = Y , jei ∀x (x ∈ X ⇔ x ∈ Y ) t.y., jei josabi turi tuos pačius elementus. Elementų neturinti aibė vadinama tuščiąja aibe ir žymima∅. Tuščia aibė yra vienintelė. Sakoma, kad aibė X yra aibės Y poaibis, žymima X ⊂ Y ,jeigu ∀x (x ∈ X ⇒ x ∈ Y ). Kitas aibių lygybės apibrėžimas sako, kad aibės yra lygios,jei jos yra viena kitos poaibis, t.y.,

X = Y ⇔ (X ⊂ Y ) ir (Y ⊂ X).

Operacijos su aibėmis. Naujos aibės gaunamos atliekant operacijas su aibėmis. Tar-kime, kad aibė W yra aibė sudaryta iš aibių. Tada aibės W jungtimi vadiname aibę, kuriąsudaro elementai priklausantys bent vienam aibės W elementui:⋃

W = {x : ∃X ∈W : [x ∈ X]} .

Dviejų aibių sąjunga yra aibė sudaryta iš abiejų aibių elementų.

X ∪ Y = {x : [x ∈ X] ∨ [x ∈ Y ]} .

Panašiai, aibės W sankirta vadinama aibė sudaryta iš elementų esančių visuose aibėsW elementuose: ⋂

W ={x ∈

⋃W : ∀X ∈W : [x ∈ X]

}.

Dviejų aibių sankirta sudaryta iš elementų, priklausančių abiems aibėms

X ∩ Y = {x ∈ X ∪ Y : [x ∈ X] ∧ [x ∈ Y ]} .

Aibės X papildinys, atsižvelgiant į aibę U , yra

X = {x : [x ∈ U ] ∧ [x /∈ X]} .

Aibių X ir Y skirtumas yra nauja aibė sudaryta iš aibės X elementų, kurių nėra aibėje Y

X \ Y = {x ∈ X : [x ∈ X] ∧ [x /∈ Y ]} .

Aibės X kardinalinis skaičius yra aibės elementų skaičius, žymimas |X|. Jei |X| <∞, taiaibė yra baigtinė. Kitu atveju aibė yra begalinė.

Jei x ir y yra bet kurie du objektai, tai jų sutvarkytoji pora, žymima (x, y), yra išdviejų komponenčių sudarytas naujas objektas, kurio pirmoji komponentė yra x ir antrojikomponentė yra y. Dvi sutvarkytosios poros (x, y) ir (u, v) yra lygios, jei x = u ir y = v.

12

Dviejų aibių X ir Y Descarteso sandauga yra aibė, žymima X × Y , kurios elementais yravisos tos sutvarkytos poros, kurių pirmoji komponentė yra aibės X elementas ir antrojikomponentė yra aibės Y elementas. Kitaip tariant

X × Y := {(x, y) : [x ∈ X] ∧ [x ∈ Y ]} .

Dviejų aibių X ir Y sąryšiu vadinamas bet kuris šių aibių Descarteso sandaugos X×Ypaibis. Kai X = Y , bet kuris Descarteso sandaugos X ×X poaibis B vadinamas aibės Xbinariuoju sąryšiu. Jei (x, y) ∈ B tai sakoma, kad elementas x ∈ X susijęs su elementuy ∈ Y sąryšiu B: Norėdami tai pažymėti, rašome xBy.

Apibrėžtis 3.1 Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra

1. trichotomija, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X galioja tik viena iš trijų alternatyvų:arba xBy, arba yBx, arba x = y;

2. pilnas, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X yra arba xBy, arba yBx (arba ir vienas, irkitas);

3. tranzityvus, jei bet kuriems x ∈ X, y ∈ X ir z ∈ X, iš to, kad xBy ir yBz išplaukiaxBz;

4. simetriškas, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X, xBy tada ir tik tada, kai yBx;

5. antisimetriškas, jei visiems x ∈ X ir y ∈ X, iš xBy ir yBx išplaukia x = y;

6. refleksyvus, jei xBx kiekvienam x ∈ X.

AibėsX binarusis sąryšis ' vadinamas ekvivalentumo sąryšiu, jei ' (arba jos apibrėžtaspoaibis B ⊂ X×X) yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus. Jis yra tam tikras elementųlygybės apibendrinimas. Jei ' yra aibės X ekvivalentumo binarusis sąryšis, tai elementox ∈ X ekvivalentumo klasė yra aibė

[x] := [x]' := {y ∈ X : y ' x} .

Dvi ekvivalentumo klasės yra arba lygios, arba nesikerta.


1. Turime aibes {1, 2, 3, 4, 5} ir {3, 5, 7, 9, 11}. Raskite šių aibių sankirtą ir sąjungą.Koks naujųjų aibių kardinalinis skaičius.

2. Turime aibę W = {{3, 4} , {Pavasaris,Ruduo} , {7, 8}}. Raskite aibės W jungtį beisankirtą.

3. Turime du keturkampius A ir B, kurių viršūnės yra A = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}bei B = {(0.5, 0.5), (1, 0), (1.5, 0.5), (1, 1)}. Nubrėžkite šiuos keturkampius. Tarkime,kad visi taškai esantys tuose keturkampiuose sudaro aibes. Brėžinyje pažymėkitešias aibes. Pažymėkite aibių sankirtą ir sąjungą. Užrašykite naujų aibių viršūnes.Ar gautosios aibės yra baigtinės?

4. Turime dvi aibes A = {1, 2, 3} ir B = {4, 5, 6, 7}. Raskite šių aibių Descartesosandaugą. Ar gautoji aibė yra begalinė?

5. Ar įmanoma, kad I ir R\I abu būtų intervalai? Ar šie intervalai abu gali būti uždari?

6. Ar aibės ∅ bei {∅} yra lygios? Paaiškinkite.

7. Paaiškinkite, kodėl dvi ekvivalentumo klasės nesikerta?

13


1. Nagrinėkime aibes:

(a) A = {Sausis, Vasaris, Kovas, ..., Gruodis}(b) B = {Sausis, Kovas, Gegužė, Liepa, Rugsėjis, Lapkritis }(c) C = {1, {2, 3}, x2 + 1,Lapkritis,dramblys}(d) D = {2, 3}(e) I = [2, 3] = {x|2 ≤ x ≤ 3}

Atsakykite į klausimus ir atsakymus pagrįskite:

(a) Akivaizdu, kad B ⊂ A. Ar kurios nors iš aibių A, B, C, D, I yra kitų poaibiai?Ar kurios nors aibės yra kitų aibių elementai?

(b) Raskite taisyklę, kuri leistų apibrėžti aibę B aibės A terminais. T. y., B = {m ∈A|...kažkas...}.

(c) Apibūdinkite aibė A×D. Kiek elementų yra šioje aibėje?(d) Išvardinkite toliau aprašytų aibių elementus: A \B, B \A, A∩C, B ∩A, D∩ I,

D ∪ I.

2. Aprašykite aibes išvardindami jų elementus

(a) Realieji skaičiai tenkinantys lygtį x2 − 1 = 0(b) Realieji skaičiai tenkinantys lygtį x2 + 1 = 0(c) Sveikieji skaičiai tarp −3 ir 4 imtinai.(d) Natūralieji skaičiai(e) Lyginiai skaičiai.(f) Lygčių sistemos sprendiniai {

x+ 2y = 5,4x− 2y = 0.

3. Aibės X ir Y yra lygios, jei X ⊂ Y ir Y ⊂ X. Parodyti, kad taip apibrėžtai aibiųlygybei galioja refleksyvumo, simetriškumo ir tranzityvumo aksiomos.

4. Tegul X, Y ir Z yra aibės. Įrodyti, kad Z ∩ (X ∪ Y ) = (Z ∩X) ∪ (Z ∩ Y ).

5. Tegul X ir Y yra aibės. Įrodyti: jei X ⊂ Y , tai X = Y \(Y \X).

6. Tegu X ir Y yra aibės. Įrodyti, kad (X\Y ) ∪ (Y \X) = (X ∪ Y )\(X ∩ Y )

7. Tegul X, Y ir Z yra aibės. Įrodyti, kad X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y ) ∪ (X \ Z).

8. Tegul X, Y ir Z yra aibės. Įrodyti, kad X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z).

9. Tegul X, Y ir Z yra aibės. Įrodyti, kad X ∪ (X ∩ Y ) = X.

10. Tegul X yra aibė ir ' yra ekvivalentumo binarusis sąryšis aibėje X. Įrodyti:

(a) [x] ⊂ X, kiekvienam x ∈ X. (Čia [x] yra ekivalentumo klasė, [x] := {y ∈ X, y 'x}).

(b) x ∈ [x] kiekvienam x ∈ X.

14

11. Tegul N yra natūraliųjų skaičių aibė. Dekarto sandaugoje X := N × N apibrėžkimebinarųjį sąryšį 'Z bet kuriems (k, n) ∈ X ir (p, q) ∈ X, sakydami, kad (k, n) 'Z(p, q), jei k + q = p + n. Parodykite, kad taip apibrėžtas binarusis sąryšis aibėje Xyra ekvivalentumo binarusis sąryšis.

12. Tegu sąryšis ' aibėje R yra apibrėžiamas taip: x ' y tada ir tik tada, jei x− y ∈ Z.Įrodykite, kad ' yra ekvivalentumo sąryšis. Kokia yra 1 ekvivalentumo klasė? 2

3?

13. Tegul Z yra sveikųjų skaičių aibė ir Z+ := Z\{0} = {±1,±2, . . . }. Dekarto sandau-goje X := Z×Z+ apibrėžkime binarųjį sąryšį 'Q bet kuriems (a, b) ∈ X ir (c, d) ∈ Xsakydami, kad (a, b) 'Q (c, d), jei ad = bc. Parodykite, kad taip apibrėžtas binarusissąryšis aibėje X yra ekvivalentumo binarusis sąryšis.

14. Bet kuriems x, y ∈ R apibrėžkime ekvivalentumo sąryšį

x ' y jei |x| = |y| .

Apibūdinkite ekvivalentumo klases [0], [5] bei [−5].

15. Iš bet kurios aibės S, galime sudaryti laipsninę aibę P(S), kurią sudaro visi aibės Spoaibiai. Pavyzdžiui, jei S = {1, 2}, tada P(S) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

(a) Raskite P(S), jei S = {2, 7, 23}.(b) Parodykite, kad jei S ⊂ T , tai P(S) ⊂ P(T ).(c) Tarkime N10 = {1, 2, ..., 10} ir N11 = {1, 2, ..., 10, 11}. Paaiškinkite, kodėlP(N11) turi dvigubai daugiau elementu nei aibė P(N10).

16. Tarkime A ir B yra aibės R poaibiai. Nagrinėkime du tvirtinimus:

i R \ (A ∪B) = (R \A) ∪ (R \B);ii R \ (A ∪B) = (R \A) ∩ (R \B);

(a) Vienas iš dviejų tvirtinimų (i) arba (ii) yra klaidingas. Identifikuokite klaidingąteiginį ir pateikite konkrečius pavyzdžius, iliustruojančius, kad teiginys klaidin-gas.

(b) Kas nutinka atskiru atveju, kai A = B?

17. Aibių X ir Y sąjungos kardinalinis skaičius yra

|X ∪ Y | = |X|+ |Y | − |X ∩ Y | .

Paaiškinkite žodžiais šią lygybę. Pateikite du pavyzdžius, kurie parodo, kad lygybėyra teisinga. Paaiškinkite, kada ir kodėl nagrinėjamoje lygybėje galime atsisakytinario |X ∩ Y |. Pateikite pavyzdį.

18. Tarkime, kad prekės kiekis x "yra prieinamas už kainą p ir su pajamomis w". Pažymė-kime, kad aibė X = R+, tada Walras’o biudžeto aibė, žymima B(p, w), apibrėžiamakaip B(p, w) = {x ∈ R+ : p · x ≤ w}. Tarkime, kad p = 4 ir w = 8. Raskite Walras’obiudžeto aibę. Jei p ir x yra vektoriai, tai p ·x žymi skaliarinę jų sandaugą. Tarkime,p = (4, 6), x = (x1, x2) bei w = 8. Raskite Walras’o biudžeto aibę šiuo atveju.

19. Žaidimų teorija yra strateginė sąveika tarp žmonių (žaidėjų). Jei analizuojame dvie-jų žmonių žaidimą, mes turime specifikuoti abiem žaidėjams galimus pasirinkimus.Tarkime, kad pirmojo žaidėjo galimi pasirinkimai yra aibė A = {a, z}, t.y., aukštynir žemyn. Tuo tarpu antrojo žaidėjo galimi pasirinkimai yra aibė B = {K,V,D},t.y., kairė, vidurys, dešinė. Pusiausvyra šiame žaidime yra pasirinkimų vektorius,t.y., sutvarkyta pora. Raskite visų galimų pusiausvyrų aibę.

15

3.2 Įvadas į funkcijas


Apibrėžimai. Funkcija yra viena pagrindinių matematinių sąvokų. Vienas iš galimųfunkcijos apibrėžimų yra sutvarkytas aibių trejetas (X,Y, F ), čia X yra apibrėžimo sritis,Y - reikšmių sritis, o F sutvarkytų porų aibė (x, y), kai x ∈ X ir y ∈ Y . Būtina sąlygayra tai, kad kiekvienas elementas iš apibrėžimo srities yra pirmasis elementas tiktai vienojesutvarkytoje poroje. Žymėjimas f : X → Y nurodo, kad f yra funkcija su apibrėžimosritimi X bei reikšmių sritimi Y . Kitas galimas funkcijos apibrėžimas yra

Apibrėžtis 3.2 Tegul X ir Y yra aibės ir tegul S yra tokia savybė (taisyklė) siejanti aibiųX ir Y elementus. Taip pat, kiekvienam

x ∈ X ∃! y ∈ Y kuriems teisinga S(x, y).

Funkcija f iš X į y atitinkanti S savybę yra objektas, kuris duotam x ∈ X priskiria tokįf(x) ∈ Y , kad yra teisinga S(x, f(x)). Tokiu būdu, su visais x ∈ X ir y ∈ Y ,

y = f(x)⇔ teisinga S(x, y).

Tegul f : X → Y yra funkcija ir A ⊂ X. Funkcija fA : A → Y su reikšmėmisfA(x) := f(x) kiekvienam x ∈ A vadinama funkcijos f siauriniu, o funkcija f vadinamafunkcijos fA tęsiniu. Dvi funkcijos f : X → Y ir g : X → Y su tomis pačiomis apibrėžimoir kitimo sritimis yra lygios, rašoma f = g, jei f(x) = g(x) kiekvienam x ∈ X. Jeigu turimedvi funkcijas f : X → Y ir g : Y → Z, kad f reikšmių sritis yra lygi g apibrėžimo sričiai.Funkcija g ◦ f : X → Z su reikšmėmis

(g ◦ f)(x) := g(f(x)), x ∈ X,

vadinama funkcijų g ir f kompozicija.Tegul f : X → Y yra funkcija. Pagal apibrėžimą funkcija f kiekvienam aibės X

elementui priskiria aibės Y elementą. Taip pat su kiekviena aibe A ⊂ X, aibė

f [A] := {y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = f(x)} = {f(x) : x ∈ A}

vadinama f funkcijos pagalba gautas A aibės vaizdas aibėje Y .

Kelios funkcijų rūšys. Tegul f : X → Y yra funkcija. Tada

• Jei f [X] = Y , tai sakoma, kad funkcija f yra siurjekcija.

• Funkcija f vadinama injekcija, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X iš f(x) = f(y)išplaukia x = y.

• Funkcija vadinama bijekcija, jei ji yra injekcija ir siurjekcija.

Kai turima bijekcija, galima apibrėžti atvirkštinę funkciją. Aibių poros Y ir X savybėS(y, f−1(y)) apibrėžia funkciją iš Y į X vadinamą atvirkštine funkcijai f ir žymima f−1 :Y → X. Kitaip tariant, pagal šią taisyklę

f−1(y) = x jei f(x) = y.

16


1. Jei funkcija nėra siurjekcija, ar galima atlikti kokius nors pakeitimus funkcijos api-brėžime, kad ji taptų siurjekcija.

2. Ar žemiau pateikti sąryšiai yra funkcijos. Jei taip nusakykite apibrėžimo ir reikšmiųsritis.

(a) y2 = x2 + 2;(b) log(y) = 5x+ 2y;

(c) y = e12 (sin2 x+cos2 x);

(d) x = log(π),

čia x priklauso apibrėžimo sričiai, o y reikšmių sričiai.

3. Pateikite pavyzdį funkcijos f : R→ R, kuri tenkina reikalavimus:

(a) f(x) > 0, kai x < 0, ir f(x) < 0, kai x > 0;(b) f(0) neapibrėžta, f(x) > 0, kai x > 0;(c) pastovi intervaluose (−∞,−30), (−10, 10) bei [18, 27].


1. Turime tris aibes A = {Sausis, V asaris, · · · , Gruodis}, N12 = {1, 2, · · · , 12} beiP = {Alisa, Tomas,Karolis,Dovydas}. Ar toliau apibrėžti sąryšiai yra funkcijos?

• MėnesioNumeris : A→ N12, čia MėnesioNumeris(Sausis) = 1, MėnesioNumeris(V asaris) =2 ir t.t.;

• ŽodžioIlgis : A→ N12, čia ŽodžioIlgis(a) yra žodžio a raidžių skaičius;• GimimoMėnuo : P → A, čia GimimoMėnuo(p) yra mėnuo, kada gimė asmuo p:

kintamasis (asmuo) Alisa Tomas Karolis Dovydasfunkcijos reikšmė (mėnuo) Gegužė Gruodis Gruodis Spalis

• j : P → N12, čia j(p) = MėnesioNumeris (GimimoMėnuo(p));• Kvadratas : N12 → N12, čia Kvadratas(n) = n2.

2. Ar toliau išvardintos funkcijos yra injekcija:


• GimimoMėnuo : P → A, čia GimimoMėnuo(p) yra mėnuo, kada gimė asmuo p;• i : Q→ R, čia i(x) = x;• c : R→ R, čia c(x) = 3;• L : R→ R, čia L(x) = 3x+ 5.

3. Ar toliau išvardintos funkcijos yra surejekcija:

• MėnesioNumeris : A→ N12, čia MėnesioNumeris(Sausis) = 1, MėnesioNumeris(V asaris) =2 ir t.t.; (1 uždavinys)

• GimimoMėnuo : P → A, čia GimimoMėnuo(p) yra mėnuo, kada gimė asmuo p;(1 uždavinys)

• i : Q→ R, čia i(x) = x;

17

• q : R→ R, čia q(x) = x2 − 6x.

4. Kurių funkcijų kompozicijos yra prasmingos:


• ŽodžioIlgis : A→ N12, čia ŽodžioIlgis(a) yra žodžio a raidžių skaičius;• GimimoMėnuo : P → A, čia GimimoMėnuo(p) yra mėnuo, kada gimė asmuo p:

kintamasis (asmuo) Alisa Tomas Karolis Dovydasfunkcijos reikšmė (mėnuo) Gegužė Gruodis Gruodis Spalis

• j : P → N12, čia j(p) = MėnesioNumeris (GimimoMėnuo(p));• Kvadratas : N→ N, čia Kvadratas(n) = n2.

5. Ar egzistuoja šių funkcijų atvirkštinės funkcijos? Jei taip, tai raskite jas.


• ŽodžioIlgis : A→ N12, čia ŽodžioIlgis(a) yra žodžio a raidžių skaičius;• Kvadratas : N→ N, čia Kvadratas(n) = n2.

6. "TermoMaster" gamina termometrus. Vadybininkas įvertino, kad savaitinis pelnas(doleriais) yra

P (x) = −0.001x2 + 8x− 5000

čia x termometrų skaičius. Koks "TermoMaster" pelnas per savaitę, jei jie pagaminaa) 1000 termometrų per savaitę, b) 2000 termometrų per savaitę.

7. Cowling’o taisyklė yra metodas taikomas apskaičiuoti vaisto dozę vaikui. Tarkime ažymi suaugusiajam rekomenduojamą dozę (miligramais) ir t vaiko amžius (metais),tada vaikui rekomenduojama dozė yra

D(t) =(t

24

)a.

Parodykite, kad funkcija D(t) yra tiesinė. Jei suaugusiajam rekomenduojama dozėyra 500 mg, kokia dozė rekomenduojama 4 metų vaikui.

8. Video kasečių paklausa aprašoma funkcija

p = d(x) = −0.01x2 − 0.2x+ 8

čia p yra vieneto kaina doleriais ir x vienetų paklausa per savaitę (matuojama tūkstan-čiais vienetų). Virš kokios kainos nebėra paklausos? Kokia yra maksimali paklausaper savaitę. Pasiūlos funkcija šioms video kasetėms aprašoma

p = s(x) = 0.01x2 + 0.1x+ 3.

Kokia yra žemiausia kaina su kuria pardavėjas sutiks pardavinėti savo prekes? Ras-kite pusiausvyra tarp pasiūlos ir paklausos.

9. Įrodyti, kad funkcija f : X → Y yra injekcija tada ir tik tada, kai bet kuriemsx, y ∈ X iš x 6= y išplaukia f(x) 6= f(y).

10. Tegu f, f : X → Y ir g, g : Y → Z. Įrodyti: jei g ◦ f = g ◦ f ir g yra injekcija, taif = f . Ar šis teiginys teisingas, jei g nėra injekcija?

18

11. Tegul funkcijos f : X → Y ir g : Y → Z yra bijekcijos. Įrodyti, kad kompozicija g ◦fyra bijekcija ir jos atvirkštinės funkcija (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

12. Tarkime, kad Jūs turite parduotuvę. Parduotuvės prekių aibė yra X, o kainų aibė yraY . Tarkime, kad kiekviena prekė turi vienintelę kainą. Sudarome taisyklę p : X → Y ,kuri kiekvienai prekei priskiria kainą.

• Pateikite pavyzdį (vieną ar kelis), kokia galėtų būti taisyklė p;• Ar Jūsų pateiktame pavyzdyje funkcija yra tiesinė, kvadratinė, logaritminė ar

pan.? Remdamiesi turimomis žiniomis, pabandykite pagrįsti kodėl pasirinkotebūtent tokį pavidalą.

13. Sudarykite lentelę, kurioje būtų Jūsų 2 mėnesių pajamos (gautos iš tėvų, darbo irpan.) X bei išlaidos Y . Sudarykite tiesinę funkciją, kuri atvaizduotų jūsų išlaidų pri-klausomybę nuo pajamų. (Patarimas. Prisiminkite mokyklinės geometrijos kursą.)Ar ši funkcija yra injekcija, siurjekcija, bijekcija.

14. Tarkime, kad įmonės pajamos Y = [0, 200] priklauso nuo jos investicijų X = [1, 45]pagal tokią taisyklę p : X → Y :

p(x) = 30 · log(x)− 0, 05 · x2

čia log(x) žymi natūrinį logaritmą.

(a) Nubrėžkite šios funkcijos grafiką.(b) Ar ši funkcija yra injekcija? siurjekcija? bijekcija?(c) Pakomentuokite, kokią priklausomybę nuo pajamų rodo funkcijos grafikas?

15. Turime funkcijas iš R į R

• f(x) = 3x;• g(x) = log x;• h(x) = sin x;• w(x) = 2x2 − 5x+ 8.

Raskite kompozicijas:

• g ◦ f ;• g ◦ h;• f ◦ h;• w ◦ h;• h ◦ f .

Raskite visų apibrėžtų funkcijų atvirkštines funkcijas? Ar jos egzistuoja? Jei kaikuriais atvejais funkcija neegzistuoja, ką reikia pakeisti, kad ji egzistuotų? Atlikitepakeitimus ir raskite atvirkštines funkcijas.

19

3.3 Uždaviniai su kompiuteriu

1. Nubrėžkite funkcijų grafikus ir raskite reikšmes f(3), f(4.125):

(a) f(x) = x3(x− 2)4;(b) f(x) = x3 − 4x2 + 4x+ 2.

2. Alzheimer’io liga sergančių žmonių skaičius Jungtinėse valstijose aprašomas funkcija

f(t) = −0.0277t4 + 0.3346t3 − 1.1261t2 + 1.7575t+ 3.7745 0 ≤ t ≤ 6,

čia f(t) matuojamas milijonais ir t matuojamas dešimtmečiais, bei t = 0 atitinka1990 metus.

(a) išbrėžkite grafiką aibėje [0, 7]× [0, 12];(b) Koks tikėtinas pacientų skaičius 2020 m. pradžioje? Koks tikėtinas pacientų

skaičius 2040 m.?

20

4 Skaičiai

4.1 Natūralieji ir racionalieji skaičiai


Natūraliųjų skaičių apibrėžimas. Tegul

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

yra aibė, kurios elementai gaunami nuosekliai ir neribotai skaičiuojant. Skaičiavimas pra-dedamas nuo nulio. Neformaliai kalbant, natūraliuoju skaičiumi vadinamas bet kuris aibėsN elementas.

Pastaba 4.1 Mes nagrinėsime natūraliųjų skaičių sistemą su nuliu joje. Kai kurie apibrė-žimai neįtraukia nulio į natūraliuosius skaičius. Tačiau tai tik susitarimo reikalas. Nulisnatūraliųjų skaičių sistemoje atlieka "pradžios" vaidmenį. Jei nagrinėjamos sistemos api-brėžime neįtraukiamas nulis, tada "pradžios" vaidmenį atlieka 1.

Toliau griežtai apibrėšime natūraliųjų skaičių sistemą. Tarkime, kad X yra rinkinys ob-jektų vadinamų natūraliaisiais skaičiais. Be to, rinkinyje X yra objektas vadinamas nuliu,žymimas 0, ir kiekvienam natūraliajam skaičiui apibrėžta prieaugio operacija ++, kuriosrezultatas natūraliajam skaičiui x žymimas x + +. Peano aksiomų pagalba apibrėšimenatūraliuosius skaičius:

Apibrėžtis 4.1P1 Nulis yra natūralusis skaičius;P2 Natūraliojo skaičiaus prieaugis yra natūralusis skaičius.P3 Nulis nėra natūraliojo skaičiaus prieaugiu.P4 Tą patį prieaugį turintys natūralieji skaičiai yra lygūs.P5 Tegul S yra natūraliųjų skaičių savybė. Jei nulis turi S savybę ir jei S savybę turinčionatūraliojo skaičiaus prieaugis taip pat turi S savybę, tai S savybę turi visi natūraliejiskaičiai.

Sakoma, kad objektų trejetas (X, 0,++) yra natūraliųjų skaičių sistema, jei rinkiniuiX, objektui 0 ir operacijai ++ galioja Peano aksiomos P1, …, P5.

Natūraliųjų skaičių aritmetika. Tegul m ∈ N, m + 0 := m ir m · 0 := 0. Tarkime,kad su kuriuo nors m ∈ N apibrėžta suma m + n ∈ N bei sandauga m · n ∈ N. Tadaapibrėšime sumą m + (n + +) := (m + n) + + ir sandaugą m · (n + +) := m + m · n. nkėlimas 0 laipsniu yra n0 := 1. Tarkime, kad nm apibrėžtas su kuriuo nors m ∈ N . Tadaapibrėžiamas nm+1 := nm · n.

Teorema 4.2 Toliau formuluojamos lygybės galioja visiems natūraliesiems skaičiams:

1. sumos asociatyvumo dėsnis: m+ (n+ k) = (m+ n) + k;

2. sumos komutatyvumo dėsnis: m+ n = n+m;

3. distributyvumo dėsnis: m · (n+ k) = m · n+m · k;

4. sandaugos asociatyvumo dėsnis: m · (n · k) = (m · n) · k;

5. sandaugos komutatyvumo dėsnis: m · n = n ·m;

21

6. prastinimo dėsnis: jei n+ k = m+ k, tai n = m.

Natūralusis skaičius vadinamas teigiamu, jei jis nėra lygus nuliui. Teigiamų natūraliųjųskaičių aibę žymėsime N∗.

Tvarka natūraliųjų skaičių aibėje. Tegul n ∈ N ir m ∈ N. Sakoma, kad n yradidesnis arba lygus už m ir rašoma n ≥ m arba m ≤ n, jei n = m + k su kuriuo norsk ∈ N. Sakoma, kad n yra griežtai didesnis už m ir rašoma n > m arba m < n, jei n ≥ mir n 6= m. Natūraliesiems skaičiams n, m ir k galioja savybės:

1. n ≥ n (tvarkos refleksyvumas);

2. jei n ≥ m ir m ≥ k, tai n ≥ k (tvarkos tranzityvumas);

3. jei n ≥ m ir m ≥ n, tai n = m (tvarkos antisimetriškumas);

4. jei n < m, tai n+ k < m+ k (suma išlaiko tvarką);

5. jei n < m ir l ∈ N yra teigiamas, tai n · l < m · l (sandauga išlaiko tvarką);

6. n < m tada ir tik tada, kai m = n+ l su kuriuo nors teigiamu natūraliuoju skaičiumil;

7. n < m tada ir tik tada, kai n+ + ≤ m.

Natūraliųjų skaičių trichotomija sako, kad bet kuriems dviems natūraliesiems skaičiamsn ir m galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų:

n < m arba n = m arba n > m.

Matematinės indukcijos principas. Penktoji Peano aksioma apibūdina matematinėsindukcijos principą. Matematinė indukcija yra labai svarbus įrankis matematikoje. Jinaudojama įrodant teiginius visiems sveikiesiems skaičiams, pvz., įrodant tokius teiginius:

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2

Jei x1, x2, . . . , xn > 0 tada(x1 + x2 + . . .+ xn)/n ≥ (x1 · x2 · . . . · xn)1/n

čia n bet koks sveikasis skaičius.Tarkime turime teiginį S(n). Jo įrodymas visiems natūraliesiems skaičiams n susideda

iš trijų žingsnių:

1. Įrodoma, kad teisinga nuliniam elementui: S(0) arba S(1);

2. Daroma indukcinė prielaida: tariama, kad S yra teisinga kuriam nors k;

3. Įrodoma, kad S yra teisinga k + 1.

Pastaba 4.3Indukcinė prielaida yra būtinas žingsnis. Ja remiantis įrodomas teiginys.Ne visada yra patogu pradėti nuo nulinio elemento. Taip pat galima pradėti nuo n0 elementoir teiginį įrodinėti ∀n > n0.Kartais indukcinė prielaida keičiama į: S yra teisinga kiekvienam m ≤ k.

22

Sveikieji skaičiai. Descarteso sandaugoje N × N apibrėžiame binarųjį sąryšį 'Z, saky-dami, kad

(k, n) 'Z (p, q) tada ir tik tada, kai k + q = n+ p

bet kuriems (k, n), (p, q) ∈ N×N. Šis binarusis sąryšis 'Z yra ekvivalentumo sąryšis aibėjeN×N. Faktoraibė [N×N]'Z = {[(k, n)]Z : (k, n) ∈ N× N} vadinama sveikųjų skaičių aibe,žymima Z, o jos elementai vadinami sveikaisiais skaičiais, čia

[(k, n)]Z := [(k, n)]'Z = {(p, q) ∈ N× N : (p, q) 'Z (k, n)} .

Operacijos Z aibėje turi įprastas komutatyvumo, asociatyvumo ir distributyvumo sa-vybes. Sakysime, kad sveikasis skaičius yra teigiamas, jei jis yra teigiamas natūralusisskaičius. Sakysime, kad sveikasis skaičius yra neigiamas, jei jis yra teigiamo natūraliojoskaičiaus adicinis atvirkštinis. Skaičiams iš sveikųjų skaičių aibės galioja viena iš trijųalternatyvų: skaičius yra teigiamas, skaičius yra neigiamas, skaičius lygus nuliui. Sveikie-siems skaičiams galioja ta pati tvarka, kaip ir natūraliesiems skaičiams bei trichotomijossavybė.

Sveikąjam skaičiui x galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų: x yra teigiamas, x = 0,x yra neigiamas. Sveikojo skaičiaus x moduliu (arba absoliučiuoju didumu) vadinamasskaičius

|x| :=

x jei x yra teigimas0 jei x = 0−x jei x yra neigiamas

Bet kuriems sveikiesiems skaičiams x ir y galioja trikampio nelygybė

|x+ y| ≤ |x|+ |y| .

Racionalieji skaičiai. Descarteso sandaugoje Z × Z+ apibrėžkime binarujį sąryšį 'Q,sakydami, kad

(a, b) 'Q (c, d) tada ir tik tada, kai ad = bc

bet kuriems (a, b), (c, d) ∈ Z × Z+. Šis binarusis sąryšis 'Q yra ekvivalentumo sąryšisaibėje Z× Z+. Aibė Z× Z+ suskyla į ekvivalentumo klases

[(a, b)]Q := [(a, b)]'Q = {(c, d) ∈ Z× Z+ : (c, d) 'Q (a, b)} ,

kurias ir laikysime racionaliaisiais skaičiais. Tada faktoraibė

[Z× Z+]'Q = {[(a, b)]Q : (a, b) ∈ Z× Z+}

vadinama racionaliųjų skaičių aibe ir žymima Q, o jos elementai vadinami racionaliaisiaisskaičiais.

Racionaliųjų skaičių aibėje Q apibrėšime sumos, daugybos, atimties ir dalybos opera-cijas. Tegul q := [(a, b)]Q ∈ Q ir r := [(c, d)]Q ∈ Q. Kadangi (a/b) + (c/d) = (ad+ cb)/bd,racionaliųjų skaičių q ir r suma vadinsime ekvivalentumo klasę

q + r := [(ad+ cb, bd)]Q ∈ Q.

čia bd 6= 0 ir todėl (ad+cb, bd) ∈ Z×Z+. Skaičių q ir r daugyba apibrėžiama ekvivalentumoklase

q · r := [(ac, bd)]Q ∈ Q.

23

Su bet kuriuo racionaliuoju skaičiumi q = [(a, b)]Q ∈ Q, racionalusis skaičius

−q := [(a, b)]Q ∈ Q

vadinamas (adiciniu) atvirkštiniu skaičiui q. Turint atvirkštinį elementą, racionaliųjų skai-čių aibėje Q apibrėžiama atimties operacija lygiai taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atveju:su bet kuriais q, r ∈ Q, r − q = r + (−q). Elementas 0Q := [(0, 1)]Q, 0 ∈ Z, vadinamasnuliu racionaliųjų skaičių aibėje Q. Tada kiekvienam r ∈ Q bus r + 0Q = r ir egzistuostoks vienintelis s ∈ Q, kad r+ s = 0Q. Tegul 1Q := [(1, 1)]Q. Tada kiekvienam r ∈ Q+ busr · 1Q = r ir egzistuos vienintelis s ∈ Q, kad r · s = 1Q. Toks s vadinamas (multiplikaciniu)atvirkštiniu skaičiui r ir žymimas r−1. Bet kuriam nelygiam nuliui r ∈ Q ir bet kuriams ∈ Q apibrėšime dalybos operaciją:

s/r := s · r−1.

Sumos, daugybos, atimties ir dalybos operacijos Q aibėje turi įprastas komutatyvumo,asociatyvumo ir distributyvumo savybes.

Teorema 4.4 Tegul x, y ir z yra Q aibės elementai. Tada

x+ y = y + x sumos komutatyvumas(x+ y) + z = x+ (y + z) sumos asociatyvumas

x+ 0 = 0 + x = x

x+ (−x) = (−x) + x = 0xy = yx daugybos komutatyvumas

(xy)z = x(yz) daugybos asociatyvumasx1 = 1x = x

x(y + z) = xy + xz

(y + z)x = yz + zx.

Jei x nėra lygus nuliui, tai

xx−1 = x−1x = 1.

Racionalusis skaičius q vadinamas teigiamu, jei egzistuoja tokia teigiamų sveikųjų skai-čių pora a ir b, kad q = a/b. Racionalusis skaičius q vadinamas neigiamu, jei q = −r sukuriuo nors teigiamu racionaliuoju skaičiumi r, t.y. q = (−a)/b su kuriais nors teigiamaissveikaisiais skaičiais a ir b. Teigiamų racionaliųjų skaičių aibę žymėsime Q∗. Tegul q ir rracionalūs skaičiai. Sakoma, kad q > r tada ir tik tada, kai q−r yra teigiamas racionalusisskaičius, ir q < r tada ir tik tada, kai q − r yra neigiamas racionalusis skaičius. Taip patsakoma, kad q ≥ r tada ir tik tada, kai q > r arba q = r, ir analogiškai sakoma apie q ≤ r.

Teorema 4.5 Tegul q, r ir p yra racionalieji skaičiai. Tada

• galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų: q > r, q = r arba q < r (racionaliųjų skaičiųtrichotomija);

• q < r tada ir tik tada, kai r > q (antisimetriškumas);

• jei q < r ir r < p, tai q < p (tranzityvumas);

• jei q < r, tai q + p < r + p;

• jei q < r ir p yra teigiamas, tai qp < rp.

24

Racionaliojo skaičiaus q ∈ Q moduliu (arba absoliučiuoju didumu) vadinti skaičių

|q| = |a||b|, kai q = a/b su kuriuo nors (a, b) ∈ Z× Z+.

Taigi racionaliojo skaičiaus q modulio išraiška yra tokia pati, kaip ir sveikųjų skaičių atveju:

|q| :=

q jei q yra teigimas0 jei q = 0−q jei q yra neigiamas

Teorema 4.6 Tegul q ir r yra racionalūs skaičiai. Tada

1. |q| ≥ 0 (neneigiamumas);

2. |q| = 0 tada ir tik tada, kai q = 0;

3. |q · r| = |q| · |r| (multiplikatyvumas);

4. |q + r| ≤ |q|+ |r| (subadityvumas arba trikampio nelygybė) .

Dviejų skaičių skirtumo modulis dažnai vadinamas atstumu ir bet kuriems racionaliemsskaičiams q ir r yra lygus

ρ(q, r) := |q − r| .

Teorema 4.7 Bet kuriems q, r, p ∈ Q galioja

1. ρ(q, r) ≥ 0 (neneigiamumas);

2. ρ(q, r) = 0 tada ir tik tada, kai q = r ;

3. ρ(q, r) = ρ(r, q) (simetriškumas);

4. ρ(q, r) ≤ ρ(q, p) + ρ(p, r) (tranzityvumas).

Tegul q yra racionalusis skaičius. Pirmiausia q0 := 1. Toliau, jei qn yra apibrėžtas sukuriuo nors n ∈ N, tai qn+1 := qn · q.

Tegul q yra nelygus nuliui racionalusis skaičius. Kiekvienam n ∈ N, q−n := 1/qn.Tegul A yra racionaliųjų skaičių aibė. Sakoma, kad A yra aprėžta aibėje Q, jei egzis-

tuoja toks M ∈ Q, kad |x| ≥M kiekvienam x ∈ A.


1. Pateikite pavyzdį skaičiaus, kuris būtų

(a) racionalus, sveikas ir natūralus;(b) natūralus, bet ne sveikas;(c) racionalus, bet ne sveikas.

2. Pateikite pavyzdį racionalaus skaičiaus, kuris yra tarp šių dviejų racionalių skaičių:

(a) 0.75 ir 1.125;(b) 0.375 ir 3/7.

3. Koks racionalus skaičius tarp 1/2 ir 2/3 yra tris kartus "toliau" nuo 2/3 nei nuo 1/2.

25


1. Įrodyti lygybes, pasinaudojant apibrėžimu

2 + 2 = 42 · 2 = 4;

2. Tegu, n ir m natūralieji skaičiai. Įrodyti, kad

n ·m = m · n

Pagalbiniai faktai:

(a) Irodyti, kad 0 ·m = 0.(b) Įrodyti, kad (m+ +) · n = m · n+ n

3. Tegu n yra teigiamas natūralusis skaičius. Įrodykite, kad egzistuoja toks vienintelisnatūralusis skaičius m, kad m+ + = n.

4. Įrodykite, kad natūraliesiems skaičiams n, m, ir k galioja savybės:

(a) n ≥ n(b) jei n ≥ m ir m ≥ k, tai n ≥ k(c) jei n ≥ m ir m ≥ n, tai n = m

(d) jei n ≥ m, tai n+ k ≥ m+ k

(e) jei n < m ir l ∈ N yra teigiamas, tai n · l < m · l(f) n < m tada ir tik tada, kai m = n + l su kuriuo nors teigiamu natūraliuoju

skaičiumi l(g) n < m tada ir tik tada, kai n+ + ≤ m

5. Įrodyti tapatybę (m+ n)2 = m2 + 2m · n+ n2, bet kuriems n,m ∈ N.

6. Tegu x ∈ N ir y ∈ N yra teigiami. Tada egzistuoja tokie n ∈ N ir m ∈ N, kad

x = ny +m ir 0 ≤ m < y.

Parodyti, kad n ir m yra vieninteliai skaičiai tenkinantys šią lygybę.

7. Naudodami matematinę indukciją įrodykite

(a) 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)2 ;

(b) 13 + 23 + 33 + ...+ n3 = n2(n+1)2

4 ;(c) n3 + 2n dalinasi iš 3;

8. Tegul q yra racionalusis skaičius. Įrodyti, kad galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų:

(a) q yra teigiamas racionalusis skaičius;(b) q yra nulis;(c) q yra neigiamas racionalusis skaičius.

9. Tegul q ir r yra racionalūs skaičiai. Įrodyti,

(a) |q| ≥ 0;(b) |q| = 0 tada ir tik tada, kai q = 0;

26

(c) |q · r| = |q| · |r|;(d) |q + r| ≤ |q|+ |r|.

10. Tegu q racionalusis skaičius. Įrodyti, kad egzistuoja vienintelis sveikasis skaičius n,kad n ≤ q < n+ 1.

11. Tegu q, r ∈ Q ir q < r. Įrodyti, kad egzistuoja toks p ∈ Q, kad q < p < r.

12. Tegul q, r ∈ Q ir n,m ∈ N. Įrodyti (naudojant indukciją)

(a) qn · qm = qn+m, (qn)m = qnm ir (qr)n = qn · rn;(b) qn = 0 tada ir tik tada, kai q = 0;(c) jei q ≥ r ≥ 0, tai qn ≥ rn ≥ 0;(d) jei q > r ≥ 0 ir n > 0, tai qn > rn ≥ 0;(e) |qn| = |q|n.

13. Parodykite, kad

(a) bet kuriam sveikajam skaičiui k 6= 0 galioja, kad pora (kn, km) priklauso aibei[(m,n)]Q.

(b) jei pora (a, b) ∈ [(m,n)]Q, a, b ∈ R, tada aibės [(m,n)]Q ir [(a, b)]Q lygios.

14. Sugalvokite kiekvienai iš šių aibių priegaugio operaciją ir nustatykite kurias Peanoaksiomas šios aibės tenkina, o kurių ne.

(a) ∅(b) {1}(c) {1, 2, 3, 4, 5}(d) {2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . }(e) {1, 3

2 , 2,52 , 3,

72 , 4,

92 , . . . }

(f) {x ∈ Q : x ≥ 1}(g) [1,∞)

15. Įrodykite:

(a) kad 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6 naudodamiesi matematine indukcija;

(b) kad 3n > n2, kai n = 1, n = 2 ir matematinės indukcijos pagalba, įrodykite, kad3n > n2 visiems teigiamiems natūraliesiems skaičiams didesniems už 2;

(c) kad n! > 2n, čia n ≥ 4.

16. Matematinės indukcijos pagalba įrodykite lygybes (šie uždaviniai yra mechaniniai,bet nebūtinai lengvi):

27

01 + 11 + · · ·+ (n− 1)1 = n2

2 −n

2

02 + 12 + · · ·+ (n− 1)2 = n3

3 −n2

2 + n

6

03 + 13 + · · ·+ (n− 1)3 = n4

4 −n3

2 + n2

4

04 + 14 + · · ·+ (n− 1)4 = n5

5 −n4

2 + n3

3 −n

30

05 + 15 + · · ·+ (n− 1)5 = n6

6 −n5

2 + 5n4

12 −n2

12

06 + 16 + · · ·+ (n− 1)6 = n7

7 −n6

2 + n5

2 −n3

6 + n

42

07 + 17 + · · ·+ (n− 1)7 = n8

8 −n7

2 + 7n6

12 −7n4

24 + n2

12

08 + 18 + · · ·+ (n− 1)8 = n9

9 −n8

2 + 2n7

3 − 7n5

15 + 2n3

9 − n

30

17. Matematinės indukcijos pagalba įrodykite:

1 + 1√2

+ 1√3

+ · · · 1√n≤ 2√n

2! · 4! · 6! · · · (2n)! ≥ ((n+ 1)!)n√2 +

√2 +

√2 + · · ·+

√2 = 2 cos π

2n+1

sin θ + sin 2θ + sin 3θ + · · ·+ sinnθ =sin(

(n+1)θ2

)sin(nθ2

)sin(θ2

)18. Universiteto studento vidutinių išlaidų santykis maistui, nuomai, drabužiams bei

pasilinksminimams yra 2 : 4 : 1 : 3:

• Jei studento pajamos 1000 Lt/mėn, kiek jis išleidžia maistui ir nuomai, drabu-žiams bei pasilinksminimams;

• Tarkime, studento pajamos yra 5000 Lt/mėn. Palyginkite išlaidas tarp dviejųgalimų variantų: 2 : 4 : 1 : 3 ir 3 : 2 : 2 : 3.

19. Studentas(-ė) turi 6 nuolaidų kuponų kortelę

Pirkite marškinius už 50 Lt.Gaukite antrus už 1/2 kainos

Visoms kelnėms 50 % nuolaida

Visai sportinei avalynei 15% nuolaida

Perkant batus už 300 Lt gaukite 50 Lt nuolaidą

Visiems papuošalams 25% nuolaida

28

Pirkite palaidinę už 50 Lt. Gaukite antrą už 1/2 kainos

Studentas(-ė) gali rinktis iš šių prekių (kiekis neribojamas):

• Marškiniai - 50 Lt;• Kelnės - 75 Lt;• Kelnės - 100 Lt;• Sportiniai bateliai - 150 Lt;• Sportiniai bateliai - 175 Lt;• Batai - 300 Lt;• Kaklo papuošalas - 93 Lt;• Žiedas - 78 Lt;• Palaidinė - 50 Lt.

(a) Studento(-ės) biudžetas yra 500 Lt. Vienas kuponas gali būti naudojamas vienaiprekei. Sudarykite pirkinių krepšelį, neviršijantį biudžeto.

(b) Tarkime, kad iš 6 kuponų galima naudoti tik 3. Kuriuos verta labiausiai pasi-rinkti turint 500 Lt biudžetą? 300? 150?

29

4.2 Realieji skaičiai


Realiųjų skaičių aibės konstravimas remiasi ne naujos algebrinės operacijos įvedimu ra-cionaliųjų skaičių aibėje, bet perėjimu nuo diskretaus prie tolydaus. Matematinė tokioperėjimo priemonė grindžiama iš principo skirtingos sąvokos, skaičių sekos ribos, apibrėži-mu.

Racionaliųjų skaičių seka. Tegul m yra sveikasis skaičius. Racionaliųjų skaičių seka,žymima

(qn)n≥m = (qm, qm+1, qm+2, . . .),

yra funkcija {n ∈ Z : n ≥ m} 3 n→ qn ∈ Q. Šios funkcijos argumentas n vadinamas sekosindeksu, o kiekviena funkcijos reikšmė qnq vadinama sekos nariu.

Tarkime, kad (qn)n≥m yra racionaliųjų skaičių seka ir q yra racionalusis skaičius. Saky-sime, kad (qn)n≥m konverguoja į q, jei kiekvienam ε ∈ Q∗ (teigiamam racionaliam skaičiui)egzistuoja toks natūralusis skaičius N = N(ε) ≥ m, kad visiems natūraliesiems skaičiamsn ≥ N , atstumas ρ(qn, q) = |qn − q| < ε. Sakoma, kad racionaliųjų skaičių seka (qn)n≥mkonverguoja racionaliųjų skaičių aibėje Q, jei egzistuoja toks q ∈ Q, kad (qn)n≥m konver-guoja į q.

Racionaliųjų skaičių seka (qn)n≥m vadinama Cauchy seka, jei bet kuriam ε ∈ Q∗,egzistuoja toks N = N(ε) ∈ N, kad visiems natūraliesiems skaičiams n ≥ N ir k ≥ N ,atstumas ρ(qn, qk) = |qn − qk| < ε. Jei racionaliųjų skaičių seka (qn)n≥m turi racionaliąribą, tai ji yra Cauchy seka.

Tegul m ∈ Z ir (qn)n≥m yra racionaliųjų skaičių seka. Sakoma, kad (qn)n≥m yra aprėžtajei šios sekos narių aibė {qn : n ≥ m} yra aprėžta racionaliųjų skaičių aibėje, t.y., jei galimarasto tokį racionalųjį skaičių M ≥ 0, kad |qn| ≤ M kiekvienam sveikajam skaičiui n ≥ m.Kiekviena racionaliųjų skaičių Cauchy seka yra aprėžta.

Apibrėžtis 4.2 Tegul C yra tų racionaliųjų skaičių Cauchy sekų aibė, kurių indeksai kintanatūraliųjų skaičių aibėje N, t. y.

C = {(qn) : qnQ,∀n ∈ N} .

Aibėje C apibrėšime binarųjį sąryšį 'R sakydami, kad dvi sekos (qn) ∈ C ir (pn) ∈ C yrasąryšyje (qn) 'R (pn), jei

limn→∞

(qn − pn) = 0,

t. y. kiekvienam εQ∗ egzistuoja toks N = N(ε) ∈ N, kad ρ(qn, pn) < ε kiekvienam n ≥ N .

Binarusis sąryšis 'R aibėje C yra ekvivalentumo sąryšis, todėl aibė C suskyla į ekvi-valentumo klases

LIM(qn) := [(qn)]'R = {(pn) ∈ C : (pn) 'R (qn)} .

Faktoraibė [C]'R = {LIM(qn : (qn) ∈ C} vadinama realiųjų skaičių aibe, žymima R, ojos elementai vadinami realiaisiais skaičiais.

30

Aritmetinės operacijos. Tegul t = LIM(qn) ∈ R ir s = LIM(pn) ∈ R. Racionaliųjųskaičių sekos (qn + pn) ir (qn · pn) yra Cauchy sekos. Skaičių t ir s sumą ir sandaugąapibrėžiame ekvivalentumo klasėmis, atitinkamai,

t+ s := LIM(qn + pn) ir t · s := LIM(qn · pn).

Atimties operacija apibrėžiama naudojant realiojo skaičiaus s = LIM(pn) adicinį atvirkš-tinį −s := LIM(−pn). Tada atimtimi vadinama tokia operacija, kuri realiųjų skaičiųt = LIM(qn) ir s = LIM(pn) porai priskiria ekvivalentumo klasę

t− s := t+ (−s) = LIM(qn − pn).

Racionaliųjų skaičių seka (rn) vadinama atskirta nuo nulio, jei egzistuoja toks raciona-lusis skaičius c > 0, kad |rn| ≥ c kiekvienam n ∈ N. Jei (rn) yra nuo nulio atskirta Cauchyseka, tai racionaliųjų skaičių seka (r−1

n ) yra Cauchy seka.Tegul realusis skaičius t nėra lygus 0 ir tegul nuo nulio atskirta Cauchy seka (rn)

yra tokia, kad t = LIM(rn). Skaičiaus t multiplikaciniu atvirkštiniu vadinamas realusisskaičius t−1 := LIM(r−1

n ).Tegul t ∈ R, s ∈ R ir s 6= 0. Skaičių t ir s dalyba yra tokia operacija, kuri porai (t, s)

priskiria skaičių

t/s := t · s−1 ∈ R,

vadinamą santykiu.

Teorema 4.8 Tegul t, s ir r yra R aibės elementai. Tada

t+ s = s+ t sumos komutatyvumas(t+ s) + r = t+ (s+ r) sumos asociatyvumas

t+ 0 = 0 + t = t

t+ (−t) = (−t) + t = 0ts = st daugybos komutatyvumas

(ts)r = t(sr) daugybos asociatyvumast1 = 1t = t

t(s+ r) = ts+ tr

(s+ r)t = st+ rt.

Jei t nėra lygus nuliui, tai

tt−1 = t−1t = 1.

Tvarka realiųjų skaičių aibėje. Tegul (rn) yra racionaliųjų skaičių seka. Sakoma,kad (rn) yra atskirta nuo nulio teigiamu skaičiumi, jei egzistuoja toks racionalusis skaičiusc > 0, kad (rn) ≥ c kiekvienam n ∈ N. Seka (rn) vadinama atskirta nuo nulio neigiamuskaičiumi, jei egzistuoja toks racionalusis skaičius c < 0, kad rn ≤ c kiekvienam n ∈ N.

Tegul t yra realusis skaičius. Sakoma, kad t yra teigiamas, rašoma t > 0, jei t =LIM(rn) su kuria nors atskirta nuo nulio teigiamu skaičiumi Cauchy seka (rn). Sakoma,kad t yra neigiamas, rašoma t < 0, jei t = LIM(rn) su kuria nors atskirta nuo nulioneigiamu skaičiumi Cauchy seka (rn). Ekvivalentumo klasė 0 := LIM(0) vadinama nuliu.Realiajam skaičiui t galioja tik viena iš trijų alternatyvų: t yra teigimas, t yra neigiamas,t yra nulis.

31

Tegul t ir s yra realieji skaičiai. Sakoma, kad s yra mažesnis už t, rašoma s < t, jei t−syra teigiamas. Sakoma, kad s yra didesnis už t, rašoma s > t, jei t− s yra neigiamas. Taippat sakoma, kad s yra nedidesnis už t, rašoma s ≤ t, jei s < t arba s = t, ir analogiškaisakoma, kai s ≥ tt. Taip apibrėžta tvarka realiųjų skaičių aibėje vadinama natūraliąjatvarka.

Teorema 4.9 Tegul t, s ir r yra realieji skaičiai. Tada

1. galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų: t > s, t = s arba t < s (realiųjų skaičiųtrichotomija);

2. t < s tada ir tik tada, kai s > t (antisimetriškumas);

3. jei t < s ir s < r, tai t < r (tranzityvumas);

4. jei t < s, tai t+ r < s+ r;

5. jei t < s ir r yra teigiamas, tai tr < srr.

Modulis. Realiojo skaičiaus t ∈ R moduliu vadiname

|t| :=

t jei t yra teigimas0 jei t = 0−t jei t yra neigiamas

Realiųjų skaičių modulis turi tas pačias savybes, kaip ir racionaliųjų skaičių modulis.Atstumo apibrėžimą racionaliesiems skaičiams toliau taikysime ir realiesiems skaičiams.

Skaičių tarpusavio padėtis.

Teorema 4.10 Tegul t yra teigiamas realusis skaičius. Tada egzistuoja teigiamas racio-nalusis skaičius c ir teigiamas natūralusis skaičius N tokie, kad c ≤ t ≤ N .

Apibrėžtis 4.3 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė. Sakoma, kad A yra aprėžta, jei egzis-tuoja toks M ∈ R, kad |x| ≤M kiekvienam x ∈ A.

Lema 4.11 Archimedo savybė. Natūraliųjų skaičių aibė nėra aprėžta, t. y. kiekvienamt ∈ R egzistuoja toks N ∈ N, kad t < N .

Tegul t yra realusis skaičius. Egzistuoja toks vienintelis sveikasis skaičius n, kad n ≤ t ≤n+1. Šiuo atveju n atitinka sveikąją skaičiaus dalį, žymimą btc = n, t.y., btc ≤ t ≤ btc+1.Jei s < t, tai egzistuoja toks racionalusis skaičius q, kad s < q < t.

Mažiausias viršutinis ir didžiausias apatinis rėžis. Realusis skaičius M yra realiųjųskaičių aibės A viršutinis rėžis, jei x ≤ M su kiekvienu x ∈ A. Sakoma, kad M yra aibėsA mažiausias viršutinis rėžis, jei galioja:

1. M yra aibės A viršutinis rėžis;

2. jei M ′ yra aibės A viršutinis rėžis, tai M ′ ≥M .

Jei A turi viršutinį rėžį, tai ji turi mažiausią viršutinį rėžį.Realusis skaičius m yra realiųjų skaičių aibės A apatinis rėžis, jei x ≥ m su kiekvienu

x ∈ A. Sakoma, kad m yra aibės A didžiausias apatinis rėžis, jei galioja:

32

1. m yra aibės A apatinis rėžis;

2. jei m′ yra aibės A apatinis rėžis, tai m′ ≤ m.

Jei A turi apatinį rėžį, tai ji turi didžiausią apatinį rėžį.Aibė gali neturėti maksimalaus ar minimalaus elemento, bet turėti mažiausią viršutinį

ar didžiausią apatinį rėžį.

Apibrėžtis 4.4 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė. Jei A netuščia ir turi viršutinį rėžį, taijos mažiausią viršutinį rėžį - vienintelį realųjį skaičių - žymėsime supA. Jei A netuščiair neturi viršutinio rėžio, tai šį faktą žymėsime supA = +∞. Jei A tuščia, tai rašysimesupA = −∞. Taip apibrėžtas supA vadinamas A aibės supremumu arba tiksliuoju vir-šutiniu rėžiu, o inf A := − sup(−A) vadinamas A aibės infimumu arba tiksliuoju apatiniurėžiu.

Kėlimas laipsniu. Realiojo skaičiaus r kėlimas laipsniu x yra binarinė operacija (r, x)→rx ∈ R, kurią kol kas apibrėšime kai x yra racionalusis skaičius. Skaičius r vadinamaslaipsnio pagrindu, o x vadinamas laipsnio rodikliu. Tegul r yra realusis skaičius. Pirmiausiar0 := 1. Toliau, jei rn yra apibrėžtas su kuriuo nors n ∈ N, tai rn+1 := rn · r. Kai r 6= 0,tai kiekvienam n ∈ N∗, r−n := 1/rn.

Jei r yra teigiamas realusis skaičius ir n yra teigiamas natūralusis skaičius, tai supre-mumas

r1/n := sup {x ∈ R : x > 0 ir xn ≤ r}

yra n-toji šaknis iš r.

Teorema 4.12 Tegul r, s yra teigiami realieji skaičiai ir n, m yra teigiami natūraliejiskaičiai. Tada

1. jei s = r1/n, tai sn = r;

2. atvirkščiai, jei sn = r, tai s = r1/n;

3. nelygybė r > s galioja tada ir tik tada, kai r1/n > s1/n;

4. jei r > 1, tai r1/n > r1/m tada ir tik tada, kai n < m; jei r < 1, tai r1/n > r1/m tadair tik tada, kai n > m; jei r = 1, tai r1/n = 1;

5. (rs)1/n = r1/ns1/n;

6. (r1/n)1/m = r1/(nm).

Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir q yra racionalusis skaičius. Kadangi egzistuojatokie m ∈ Z ir n ∈ N∗, kad q = m/n, tai skaičius rq := (r1/n)m vadinamas skaičiaus rlaipsniu su racionaliuoju rodikliu q.

Teorema 4.13 Tegul r, s yra teigiami realieji skaičiai ir q, p yra racionalieji skaičiai.Tada

1. rq yra teigiamas realusis skaičius;

2. rq+p = rqrp, (rq)p = rqp ir (rs)q = rqsq;

3. r−q = 1/rq;

4. jei q > 0, tai r > s tada ir tik tada, kai rq > sq;

5. jei r > 1, tai rq > rp tada ir tik tada, kai q > p; jei r < 1, tai rq > rp tada ir tiktada, kai q < p.

33


1. Palyginkite skaičius:

(a)√

2 ir√

5;(b)√

2−√

5 ir√

5− sqrt2;(c) (

√2)2 ir 2;

(d) e ir π;(e)√

2,√

3, 32 .

2. Pasakykite ar šie teiginiai yra teisingi, ar klaidingi. Atsakymus pagrįskite:

(a) Kiekviena aibė turi maksimalų ir minimalų elementą;(b) Kiekviena racionaliųjų skaičių seka yra Cauchy seka;(c) Kiekviena racionaliųjų skaičių seka yra aprėžta;(d) Kiekviena realiųjų skaičių aibė yra aprėžta;(e) Tarp dviejų realių skaičių, visada rasime racionalų.

3. Raskite aibės Amažiausius viršutinius ir didžiausius apatinius rėžius. Ar jie priklausoaibei A?

(a) A = N;(b) A = {1, 4, 8, 12, 55};(c) A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1};(d) A = {x ∈ R : 0 < x < 1};(e) A =

{x : x2 < 9

};

(f) A ={x : x2 ≤ 7

};

(g) A = {x : |2x+ 1| < 5}.


1. Ar šie teiginiai turi prasmę. Jei taip, ar jie yra teisingi, ar klaidingi:

(a) Jei r ∈ Q tada 5r ∈ Q;(b)√

8 ⊂ R \Q;(c) {

√8} ⊂ R \Q;

(d) Jei a ∈ Q ir b ∈ R \Q, tada ab ∈ R \Q.

2. Ar egzistuoja du realūs skaičiai, kurių suma lygi sandaugai?

3. Parodykite, kad neegiztuoja mažiausias realus skaičius x, kuris tenkina sąlygą 1 <x < 2 .

4. Įrodyti, kad su kiekvienu teigiamu realiuoju skaičiumi t egzistuoja toks natūralusisskaičius N , kad t > 1/N > 0.

5. Įrodyti, kad bet kuri realiųjų skaičių aibė gali turėti ne daugiau kaip vieną mažiausiąviršutinį rėžį.

6. Tegul M yra realiųjų skaičių aibės A mažiausias viršutinis rėžis. Įrodyti, kad kiek-vienam ε > 0 egzistuoja toks x ∈ A, kad x > M − ε.

34

7. Tegul A yra realiųjų skaičių aibė, o −A := {−x : x ∈ A}. Įrodyti: jei M yra aibės−A mažiausias viršutinis rėžis, tai −M yra aibės A didžiausias apatinis rėžis.

8. Tegul r yra realusis skaičius. Įrodyti, kad |r| = (r2)1/2.

9. Įrodyti, kad(nj

)≤ 2(n/2)j , bet kuriems 1 ≤ j ≤ n.

10. Tegul realusis skaičius x ≥ −1 ir n yra teigiamas natūralusis skaičius. Įrodyti, kad(1 + x)n ≥ 1 + nx.

11. Įrodyti, kad jei t ir s yra teigiami realieji skaičiai ir jei t > s, tai t−1 < s−1.

12. Tarkime, kad a ir b realūs skaičiai. Įrodykite, kad

(a) |a+ b| ≤ |a|+ |b|;(b) |a− b| ≥ ||a| − |b||;(c) |a+ b| ≥ ||a| − |b||.

35

5 Skaičių sekos ir eilutės

5.1 Skaičių seka: jos riba, monotoninės sekos


Pradėsime apibendrindami kai kurias sąvokas, anksčiau suformuluotas racionaliesiems skai-čiams.

Cauchy seka ir sekos riba.

Apibrėžtis 5.1 Tarkime, kad aibė A ⊂ Z yra baigtinė ar begalinė. Realiųjų skaičių seka,žymima (rn)n∈A, yra funkcija iš aibės A į aibę R. Šios funkcijos argumentas n ∈ A vadi-namas sekos indeksu, o šios funkcijos reikšmė rn ∈ R vadinama sekos nariu. Jei aibė Ayra baigtinė, tai (rn)n∈A vadinama baigtine seka. Jei A = N = {0, 1, 2, . . .}, tai trumpumodėlei, rašysime tiesiog (rn)n∈N := (r0, r1, r2, . . .).

Apibrėžtis 5.2 Atstumu tarp bet kurių dviejų realiųjų skaičių x ir y vadinamas jų skir-tumo modulis ρ(x, y) := |x− y|.

Atstumui tarp dviejų realiųjų skaičių galioja tos pačios savybės, kaip ir atstumui tarpdviejų racionaliųjų skaičių.

Apibrėžtis 5.3 Realiųjų skaičių seka (rn)n≥m vadinama Cauchy seka, jei bet kuriam tei-giamam realiajam skaičiui ε, egzistuoja toks natūralusis skaičius N = N(ε) ≥ m, kadatstumas ρ(rn, rk) = |rn − rk| < ε visiems n ≥ N ir k ≥ N .

Apibrėžtis 5.4 Tarkime, kad (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir r yra realusis skaičius.Sakoma, kad (rn)n≥m konverguoja į r, jei kiekvienam realiajam skaičiui ε > 0 egzistuojatoks natūralusis skaičius N = N(ε) ≥ m, kad ρ(rn, r) = |rn − r| < ε kiekvienam n ≥ N .Sakoma, kad (rn)n≥m konverguoja, jei egzistuoja toks r ∈ R, kad ((rn)n≥m konverguoja įr.

Sekos ribai galioja vienatinumo savybė, t.y., Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konver-guoja į realiuosius skaičius r ir t, tai r = t.

Apibrėžtis 5.5 Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m konverguoja į realujį skaičių r, tai rvadinamas sekos (rn)n≥m riba, o šis faktas išreiškiamas simboliu

limn→∞

rn = r arba rn → r, kai n→∞.

Jei nėra realaus skaičiaus į kurį konverguoja seka (rn)n≥m, tai sakoma, kad ji diverguoja.

Apibrėžtis 5.6 Sakome, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m diverguoja į +∞, jei su kiek-vienu M egzistuoja toks natūralusis N ≥ m, kad rn ≥ M visiems n ≥ N . Ši sekos savybėžymima limn→∞ rn = +∞ arba rn → +∞, kai n → +∞. Sakome, kad realiųjų skaičiųseka (rn)n≥m diverguoja į −∞, jei su kiekvienu M egzistuoja toks natūralusis N ≥ m, kadrn ≤ M visiems n ≥ N . Ši sekos savybė žymima limn→∞ rn = −∞ arba rnto − ∞, kain→∞.

Be to, kiekviena konverguojanti realiųjų skaičių seka yra Cauchy seka. Jei (qn) yraracionaliųjų skaičių Cauchy seka. Tada limn→∞ qn = LIM(qn).

Apibrėžtis 5.7 Sakoma, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra aprėžta realiuoju skaičiumiM , jei |rn| ≤ M kiekvienam n ≥ m. Realiųjų skaičių seka (rn)n≥m vadinama aprėžta, jeiji yra aprėžta kuriuo nors realiuoju skaičiumi M ≥ 0.

36

Kiekviena realiųjų skaičių Cauchy seka yra aprėžta.

Teorema 5.1 Tarkime, kad realiųjų skaičių sekos (rn)n≥m ir (sn)n≥m konverguoja, ati-tinkamai, į realiuosius skaičius r ir s. Tada

1. seka (rn + sn)n≥m konverguoja į r + s, t.y.,

limn→∞

(rn + sn) = limn→∞

rn + limn→∞

sn = r + s

2. seka (rn · sn)n≥m konverguoja į r · s, t.y.,

limn→∞

(rn · sn) = limn→∞

rn · limn→∞

sn = r · s

3. jei s 6= 0 ir sn 6= 0 su kiekvienu n ≥ m, tai seka (s−1n )n≥m konverguoja į s−1, t.y.,

limn→∞

s−1n =

(limn→∞

sn)−1

4. seka (max {rn, sn})n≥m konverguoja į max {r, s}, t.y.,

limn→∞

max {rn, sn} = max{

limn→∞

rn, limn→∞sn}

= max {r, s} .

Teorema 5.2 Dviejų policininkų principas. Tarkime, kad (rn)n≥m, (sn)n≥m ir (tn)n≥myra tokios realiųjų skaičių sekos, kad sn ≤ rn ≤ tn kiekvienam n ≥ m. Jei limn→∞ sn =r = limn→∞ tn, tai limn→∞ rn = r.

Monotoninės sekos. Nors kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta, tačiau ne kiek-viena aprėžta seka konverguoja.

Apibrėžtis 5.8 Sakoma, kad realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra

1. didėjanti, jei rn+1 > rn kiekvienam n ≥ m;

2. mažėjanti, jei rn+1 < rn kiekvienam n ≥ m;

3. nemažėjanti, jei rn+1 ≥ rn kiekvienam n ≥ m;

4. nedidėjanti, jei rn+1 ≤ rn kiekvienam n ≥ m.

Sakoma, kad seka yra monotoninė, jei ji yra nemažėjanti arba nedidėjanti.

Apibrėžtis 5.9 Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka. Šios sekos supremumas yra

supn≥m

rn := sup(rn)n≥m := sup {rn : n ≥ m} ,

o šios sekos infimumas yra

infn≥m

rn := inf(rn)n≥m := inf {rn : n ≥ m} .

Jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra aprėžta realiuoju skaičiumi M ≥ 0, tai

−M ≤ infn≥m

rn ≤ supn≥m

rn ≤M.

37

Teorema 5.3 Tegul (rn)n≥m ir (sn)n≥m dvi aprėžtos realiųjų skaičių sekos, o realusisskaičius c > 0. Tada aprėžtomis yra sekos (crn)n≥m ir (rn + sn)n≥m. Be to,

supn≥m

crn = c supn≥m

rn, infn≥m

crn = c infn≥m

rn,

supn≥m

(rn + sn) ≤ supn≥m

rn + supn≥m

sn

infn≥m

(rn + sn) ≥ infn≥m

rn + infn≥m

sn,

ir nelygybės gali būti griežtos.

Seka yra aprėžta iš viršaus, jei jos narių aibė turi viršutinį rėžį. Tai reiškia, kad realiųjųskaičių seka (rn)n≥m yra aprėžta iš viršaus tada ir tik tada, kai egzistuoja toks M ∈ R,kad rn ≤M kiekvienam n ≥ m. Analogiškai sakysime, kad seka yra aprėžta iš apačios, jeijos narių aibė turi apatinį rėžį.

Teorema 5.4 Tegul realiųjų skaičių seka (rn)n≥m yra nemažėjanti ir aprėžta iš viršaus.Tada (rn)n≥m konverguoja ir jos riba yra

limn→∞

rn = supn≥m

rn.

Analogiškai, jei realiųjų skaičių seka (rn)n≥m nedidėja, ir yra aprėžta iš apačios, tai

limn→∞

rn = infn≥m

rn.

Taigi, kiekviena monotoninė ir aprėžta seka konverguoja.Svarbus faktas matematikoje, kuris taikomas ir finansų matematikoje:

Apibrėžtis 5.10 Su kiekvienu n ∈ N∗, tegul cn :=(1 + 1

n

)n. Seka (cn)n∈N∗ yra nemažė-

janti, aprėžta iš viršaus ir egzistuoja riba

e: = limn→∞

cn.

Keli naudingi palyginimo testai:

Teorema 5.5 1. Jei 0 ≤ rn ≤ sn visiems n ≥ m, ir sn → 0, kai n→∞, tada xn → 0,kai n→∞.

2. Jei xn ≤ yn visiems n ≥ m, xn → x ir yn → y, kai n → ∞, tada x ≤ y. 3. Jeixn ≤ a visiems n ≥ m ir xn → x, kai n→∞, tada x ≤ a.

Aritmetinė ir geometrinė progresija. Aritmetinė progresija, tai seka a1, a2, . . . , an,kurios kiekvienas kitas narys gaunamas pridedant konstantą prie prieš tai buvusio nario.Ši konstanta paprastai žymima d ir vadinama aritmetinės progresijos skirtumu. n-tasissekos narys apskaičiuojamas pagal formulę:

an = a1 + (n− 1)d.

Aritmetinės progresijos n narių suma apskaičiuojama pagal formulę:

Sn = n

2 (2a1 + (n− 1)d) = (a1 + an)n2 . (2)

38

Geometrinė progresija, tai seka a0, a1, . . . , an, kurios kiekvienas kitas narys gaunamasdauginant iš konstantos prieš tai buvusį narį. Ši konstanta dažniausiai žymima q ir vadi-nama bendruoju daugiklius. n-tasis sekos narys apskaičiuojamas pagal formulę:

an = a0qn.

Geometrinės progresijos n narių suma apskaičiuojama pagal formulę:

Sn =n∑k=0

aqk = a0(1− qn+1)1− q .

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos visų narių suma (|q| < 1) yra:

Sn =∞∑k=0

aqk = a01− q .


1. Pateikite aprėžtos bet nekonverguojančios sekos pavyzdį;

2. Pateikite monotoninių sekų pavyzdžių;

3. Pateikite diverguojančių sekų pavyzdžių;

4. Ar konverguoja žemiau išvardintos sekos:

(a) xn = a+ 1n sinnθ, θ ∈ R - fiksuotas;

(b) xn = b− 1n cosnθ, θ ∈ R - fiksuotas;

(c)

5. A ={x : x = −(1/n) + [1 + (−1)n]n2, ne ≥ 1

};


1. Suformuluoti ką reiškia, kad racionaliųjų skaičių seka (qn) nėra Cauchy seka. , t. y.loginiais kvantoriais išreikšti teiginį „(qn) nėra Cauchy seka“.

2. Įrodyti, kad kiekviena realiųjų skaičių Cauchy seka yra aprėžta.

3. Tegu (rn) yra realiųjų skaičių seka ir r ∈ R. Įrodyti, kad limn→∞ rn = r tada ir tiktada, kai kiekvienam k ∈ N+ egzistuoja toks N ∈ N, kad ρ(rn, r) < 1/k kiekvienamn ≥ N .

4. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka (rn) konverguoja į realųjį skaičių r, tokį kad r 6= 0.Įrodyti, kad egzistuoja toks N ≥ m, kad |rn| ≥ |r|/2 kiekvienam n ≥ N .

5. Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių seka (rn) konverguoja į teigiamą skaičių r.Įrodyti, kad seka (√rn) konverguoja į

√r.

6. Cesaro teorema Įrodykite, jei xn → x ∈ R, kai n→∞, tada

σn =∑nk=1 xnn

→ x, kai n→∞.

7. Įrodykite, kad sekos {xn} riba yra L, kai

(a) xn = 2n+ 1n

ir L = 2;

39

(b) xn = an

n! ir L = 0;

(c) xn = n√a ir L = 1.

8. Atspėkite sekos ribą ir įrodykite, kad tai ir yra riba:

(a) xn = 3n+ 2n+ 5 ;

(b) xn = (5n + 4n)1/n;

(c) xn = cosnn

.

(d) xn = 1n+√n+ 1 + 5

;

(e) xn = 4n2n− 85 .

9. Jei seka {xn} yra monotoninė ir aprėžta, tai xn konverguoja.

10. Tegul rn := 1/(n+ 1), n ∈ N. Įrodyti, kad supn∈N rn = 1 ir infn∈N rn = 0.

11. Raskite sekų ribas:

(a) {zn}, kai zn = 2n3n+ 5 ;

(b) {zn}, kai zn = 2n+ 3000003n+ 5 ;

(c) {zn}, kai zn = 2n3n2 + 5 .

(d) {zn}, kai zn = 2n3n− 5 ;

(e) {zn}, kai zn = 2n3n+ sinn+ 5 ;

(f) {zn}, kai zn = (−1)n 2n3n2 + 5 .

12. Įsitikinkite, kad(1 +

√2n

)n> n ir tuo remdamiesi įrodykite, kad limn→∞ n

√n = 1.

13. Naudodamiesi sekos ribos apibrėžimu įrodykite, kad

(a) limn→∞n+bn = 1, čia b ∈ R;

(b) limn→∞2−n2+n = −1;

(c) limn→∞n2+1n2 = 1;

(d) limn→∞1np = 0, čia p ≥ 1;

(e) limn→∞1k√n = 0, čia k ∈ N;

(f) limn→∞n√n2+n = 1;

(g) limn→∞1

3√3n−11 = 0;

(h) limn→∞(−1)n(0.99)n = 0.

14. Naudodamiesi sekos ribos apibrėžimo neiginiu įrodykite, kad seka {xn} neturi ribos:

(a) xn = 2−cos(πn)2+cos(πn) ;

(b) xn = cos πn3 ;

40

(c) xn = 2(−1)nn;

(d) xn = (−1)nn ;

(e) xn = n1+n sin πn

2.

15. Raskite sekos ribą:

(a) xn = n2n+1 ;

(b) xn = 3n2n−1 ;

(c) xn = 2+(−1)nn

(d) xn =√n+ 1−

√n;

(e) xn =3√n2 sinn!n+1 ;

(f) xn = (−2)n+3n(−2)n+1+3n+1 ;

(g) xn =√n+1

an+√n+2 , čia a ∈ R;

(h) xn = n(n+a)−√n4+bn3+1

n+5 , čia a ∈ R, b ∈ R;

(i) xn =√n+ a

√n+ 1−

√n, čia a ∈ R;

(j) xn = n(

3√

n+an+1 −

√n+bn−1

), n ≥ 2, a, b ∈ R.

16. Parodykite, kad aritmetinės progresijos sumai galioja lygybė:

n

2 (2a1 + (n− 1)d) = (a1 + an)n2

17. Įrodykite begalinės mažėjančios progresijos visų narių sumos formulę:

Sn =∞∑k=0

aqk = a01− q .

Kodėl ši formulė negalioja, kai |q| > 1?

18. (Pardavimų augimas). Baldų įmonės "Optimus" pardavimai pirmaisiais metais siekė150000 Lt. Planuojama, kad kasmet pradavimai augs 60000 Lt. Raskite, pardavimus5-taisiais metais ir visų penkų metų pardavimus.

19. (Vartotojo apsisprendimas). Keliautojas nori kuo pigiau pasiekti viešbutį iš oro uosto.Viešbutis yra už 40 km nuo oro uosto. Taksi kainos oro uoste yra po 3 eurus užpirmus du kilometrus ir po 0, 9 euro už kiekvieną papildomą kilometrą. Oro uostoautomobilis ima fiksuotą mokestį 35 eurus. Kurį variantą turi pasirinkti keliautojasir kiek jis sutaupys?

20. (Populiacijos augimas). Prognozuojama, kad Vilniuje populiacija augs 8% per metus.Jei dabartinė populiacija yra 180000, tai kokia populiacija bus po 6 metų?

21. (Taupymas). Tėvai sutarė su 9-mečiu sūnumi, kad 10-tojo gimtadienio proga į bankąjie padės taupymui 30 Lt, o per kiekvieną kitą gimtadienį iki 18-to dedamą sumąpadvigubins. Kokią sumą tėvai turės padėti į banką 18-to gimtadienio proga? Kiekbus sutaupyta per visą laikotarpį?

41

5.2 Posekiai, ribiniai taškai


Tegul f yra funkcija apibrėžta sekos (tk)k≥m indeksų aibėje su reikšmėmis sekos (rn)n≥mindeksų aibėje aibėje, t. y. tegul

f : {k ∈ N : k ≥ m} → {n ∈ N : n ≥ m} . (3)

Funkcijos f reikšmes pažymėkime nk := f(k) kiekvienam k ≥ m. Seka (nk)k≥m yratik kitas f funkcijos žymėjimo būdas. Sakoma, kad funkcija f arba seka ((nk)k≥m yradidėjanti, jei f(k + 1) > f(k) kiekvienam k ≥ m.

Apibrėžtis 5.11 Sakoma, kad realiųjų skaičių seka (tk)k≥m yra realiųjų skaičių sekos(rn)n≥m posekis, jei egzistuoja tokia didėjanti funkcija (3) su reikšmėmis nk = f(k), kadtk = rnk kiekvienam k ≥ m.

Apibrėžtis 5.12 Realusis skaičius x vadinamas realiųjų skaičių sekos (rn)n≥m ribiniu taš-ku, jei kiekvienam ε > 0 ir kiekvienam N ≥ m egzistuoja toks natūralusis skaičius n, kadn ≥ N ir ρ(rn, x) < ε.

Konverguojančios sekos posekis konverguoja į tą pačią ribą kaip ir seka.

Teorema 5.6 Bolzano–Weierstrasso. Jei realiųjų skaičių seka yra aprėžta, tai ji turi kon-verguojantį posekį. Kitaip kalbant, jei realiųjų skaičių seka yra aprėžta, tai ji turi ribinįtašką.

Apibrėžtis 5.13 Tegul (rn)n≥m yra realiųjų skaičių seka ir tegul R yra šios sekos ribiniųtaškų aibė. Jei R aibė yra netuščia ir turi viršutinį rėžį, tai jos mažiausias viršutinis rėžis,žymimas

lim supn→∞

rn := supR,

vadinamas sekos viršutine riba. Jei R aibė yra netuščia ir turi apatinį rėžį, tai jos didžiau-sias apatinis rėžis, žymimas

lim infn→∞

rn := inf R,

vadinamas sekos apatine riba. Jei seka (rn)n≥m yra neaprėžta iš viršaus, tai viršutiniaisekos ribai priskirsime simbolį +∞, t. y. lim supn→∞ rn := +∞. Jei seka (rn)n≥m yraneaprėžta iš apačios, tai apatinei sekos ribai priskirsime simbolį −∞, t. y. lim infn→∞ rn :=−∞.

Teorema 5.7 Cauchy kriterijus. Realiųjų skaičių seka konverguoja tada ir tik tada, kai jiyra Cauchy seka.

Skaičiaus kėlimas laipsniu. II dalis.

Teorema 5.8 Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir tegul x yra realusis skaičius. Jeiracionaliųjų skaičių seka (qn) konverguoja į x, tai konverguoja seka (rqn). Be to, jei (pn)yra kita racionaliųjų skaičių seka konverguojanti į x, tai seka (rpn) turi tą pačią ribą kaipir seka (rqn), t. y.

limn→∞

rqn = limn→∞

rpn .

42

Apibrėžtis 5.14 Tegul r yra teigiamas realusis skaičius ir tegul x yra bet kuris realusisskaičius. Jei (qn) yra racionaliųjų skaičių seka konverguojanti į x, tai skaičius

rx := limn→∞

rqn

vadinamas skaičiaus r laipsniu su realiuoju rodikliu x.

Teorema 5.9 Tegul r ir s yra teigiami realieji skaičiai, o q ir t yra bet kokie realiejiskaičiai. Tada

1. rq yra teigiamas realusis skaičius;

2. rq+t = rqrt ir (rq)t = rqt;

3. r−q = 1rq ;

4. jei q > 0, tai r > s tada ir tik tada, kai rq > sq;

5. jei r > 1, tai rq > rt tada ir tik tada, kai q > r; jei r < 1, tai rq > rt tada ir tiktada, kai q < r.


1. Užpildykite lentelę:Seka (−1)nn2 sin

(πn3) (−1)n

n 2 + (−1)n(1 + 1

n

)Ribinių taškų aibė • • • •

lim sup • • • •lim inf • • • •


1. Turime seką {an}. Interpretuokite posekius

a1, a3, a5, a7, · · · ir a2, a4, a6, a8, · · ·

matematine kalba ir žymėjimais. Ką galite pasakyti apie seką {an}, kai abu posekiaikonverguoja į 3? jei vienas posekis konverguoja į −3, o kitas į 3?

2. Turime seką {xn} apibrėžtą xn = (−1)n nn+1 .

(a) Raskite posekius {x2k} ir {x2k−1}. Kokios jų ribos? Ką tai sako apie sekos {xn}konvergavimą.

(b) Tegu {xnk} yra bet kuris sekos {xn} posekis. Parodykite, kad jei posekis {xnk}konverguoja, tada jis turi konverguoti į −1 arba į 1.

3. Pateikite pavyzdį sekos, kuri turi lygiai du ribinius taškus. Parodykite tai.

4. Tegul seka (an) yra aprėžta iš viršaus. Įrodyti, kad šios sekos ribinių taškų aibė yraaprėžta iš viršaus.

5. Pateikite pavyzdį neaprėžtos sekos, kuri turi lygiai vieną ribinį tašką.

6. Tegu (rn) yra nemažėjanti realiųjų skaičių seka ir tegu ji turi ribinį tašką. Įrodyti,kad (rn) konverguoja.

43

7. Pateikite pavyzdį tokių aprėžtų sekų (rn) ir (sn), kad

lim supn→∞

(rn + sn) = 0 ir lim supn→∞

rn = lim supn→∞

sn = 1.

8. Raskite visus sekų ribinius taškus:

xn = (−1)n + 2 sin(nπ

2

)+ 1n

xn = sin(π

2√n2 + n

)xn = (−1)n

(1 + 1

n

)n−1

44

5.3 Skaičių eilutės


Baigtinė eilučių suma. Tarkime turime seką (ai)m≤i≤n, tai jos baigtinė suma

n∑i=m

ai = am + am+1 + . . .+ an.

Pagrindinės baigtinių sumų savybės

Teorema 5.10 Tegu (ai)m≤i≤p ir (bi)m≤i≤p yra realiųjų skaičių baigtinė seka. Taip pat

1. tegul m ≤ n ≤ p yra natūralieji skaičiai ir tegul . Tada

n∑i=m

ai +p∑

i=n+1ap =

p∑i=m

ai.

2. tegul m ≤ n ir k yra natūralieji skaičiai. Tada

n∑i=m

ai =n+k∑

j=m+kaj−k.

3. tegul m ≤ n yra natūralieji skaičiai. Tadan∑

i=m(ai + bi) =

n∑i=m

ai +n∑

i=mbi.

4. tegul m ≤ n yra natūralieji skaičiai ir tegul c yra realusis skaičius. Tadan∑

i=m(cai) = c

n∑i=m

ai.

5. tegul m ≤ n yra natūralieji skaičiai. Tada∣∣∣∣∣n∑

i=mai

∣∣∣∣∣ ≤n∑

i=m|ai|

6. tegul m ≤ n yra natūralieji skaičiai. Jei ai ≤ bi kiekvienam i = m, . . . , n, tain∑

i=mai ≤

n∑i=m

bi

Begalinė eilučių suma. Realiųjų skaičių sekos (ai)i≥m begaline suma vadinam

∞∑i=m

ai = am + am+1 + am+2 + . . . .

Begalinės eilutės daline suma vadiname, kai n ≥ n

Sn =n∑

i=mai.

45

Apibrėžtis 5.15 Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka ir (Sn)n≥m yra jos sudaryta da-linių sumų seka. Sakoma, kad eilutė

∑∞i=1 ai konverguoja, jei konverguoja dalinių sumų

seka (Sn)n≥m. Konverguojančios eilutės suma vadinama riba

∞∑i=m

ai := limn→∞

Sn.

Jei dalinių sumų seka (Sn)n≥m diverguoja, tai sakoma, kad eilutė∑∞i=1 ai diverguoja. Pa-

staruoju atveju eilutei nepriskiriamas joks skaičius, t. y.∑∞i=1 ai yra diverguojanti eilutė.

Teorema 5.11 Eilutės konvergavimo Cauchy kriterijus. Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičiųseka. Eilutė

∑∞i=1 ai konverguoja tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks

N ≥ m, kad ∣∣∣∣∣∣n∑

i=k+1ai

∣∣∣∣∣∣ < ε kiekvienam n > k ≥ N.

Teorema 5.12 Realiųjų skaičių eilutėms∑∞i=m ai ir

∑∞i=m bi galioja teiginiai:

1. jei∑∞i=m ai konverguoja ir jos suma yra A ir jei

∑∞i=m bi konverguoja ir jos suma

yra B, tai konverguoja eilute∑∞i=m(ai + bi) ir jos suma yra A+B;

2. jei∑∞i=m ai konverguoja ir jos suma yra A ir jei c yra realusis skaičius, tai konver-

guoja eilutė∑∞i=m cai ir jos suma yra cA;

3. su kiekvienu k ∈ N, jei jei viena iš dviejų eilučių∑∞i=m ai ir

∑∞i=m+k ai konverguoja,

tai konverguoja kita eilutė ir galioja lygybė

∞∑i=m

ai =m+k−1∑i=m

ai +∞∑

i=m+kai;

4. jei∑∞i=m ai konverguoja ir jos suma yra A ir jei k yra natūralusis skaičius, tai kon-

verguoja eilutė∑∞j=m+k aj−k ir jos suma yra A.

Išvada 5.13 Jei realiųjų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja, tai konverguoja jos bendrųjų

narių seka (ai)i≥m ir riba limn→∞ ai = 0.

Pastaroji išvada yra būtina bet nėra pakankama eilutės konvergavimo sąlyga.

Teorema 5.14 Alternuojančios eilutės; Leibnizo konvergavimo požymis. Tegul (ci)i≥myra neneigiamų realiųjų skaičių nedidėjanti seka, t.y. ci ≥ 0 ir ci ≥ ci+1 kiekvienam i ≥ m.Eilutė

∑∞i=m(−1)ici konverguoja tada ir tik tada, kai ci → 0, kai i→∞.

Absoliutus konvergavimas.

Apibrėžtis 5.16 Sakoma, kad realiųjų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai, jei

konverguoja eilutė∑∞i=m |ai|.

Teorema 5.15 Jei realiųjų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai, tai ji konver-

guoja reliatyviai ir galioja nelygybė ∣∣∣∣∣∞∑i=m

ai

∣∣∣∣∣ ≤∞∑i=m|ai| .

46

Neneigiamų skaičių eilutės.

Teorema 5.16 Neneigiamų skaičių eilutė∑∞i=m ai konverguoja tada ir tik tada, kai egzis-

tuoja toks realusis skaičius M , kadn∑

i=mai ≤M kiekvienam n ≤ m.

Be to, konvergavimo atveju eilutės suma yra∞∑i=m

ai = supn≥m

n∑i=m

ai.

Teorema 5.17 Eilučių lyginimo požymis. Tegul realiųjų skaičių eilutės∑∞i=m ai ir

∑∞i=m bi

yra tokios, kad |ai| ≤ bi kiekvienam i ≥ m.

1. Jei eilutė∑∞i=m bi konverguoja, tai eilutė

∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai ir galioja

nelygybės ∣∣∣∣∣∞∑i=m

ai

∣∣∣∣∣ ≤∞∑i=m|ai| ≤

∞∑i=m

bi.

2. Jei eilutė∑∞i=m ai ne konverguoja absoliučiai, tai eilutė

∑∞i=m bi diverguoja.

Teorema 5.18 Cauchy kondensacijos požymis. Tegul (ai)i≥1 yra neneigiamų realiųjų skai-čių nedidėjanti seka, t.y. ai ≥ 0 ir ai ≥ ai+1 kiekvienam ige1. Eilutė

∑∞i=1 ai konverguoja

tada ir tik tada, kai konverguoja eilutė∞∑j=0

2ja2j = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + . . . .

Išvada 5.19 Tegul r yra teigiamas realusis skaičius. Eilutė∑∞i=1

1ir konverguoja jei r > 1

ir diverguoja jei r ≤ 1.

Kiti eilučių konvergavimo požymiai.

Teorema 5.20 Šaknies požymis; Cauchy požymis. Tegul∑∞i=m ai yra realiųjų skaičių

eilutė ir tegul α := lim supi→∞ |ai|1/i.

1. Jei α < 1, tai∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai.

2. Jei α > 1 arba α = +∞, tai∑∞i=m ai diverguoja.

3. Jei α = 1, tai negalima daryti jokios išvados.

Lema 5.21 Tegul (ci)i≥m yra teigiamų skaičių seka. Galioja nelygybės

lim infi→∞

ci+1ci≤ lim inf

i→∞c

1/ii ≤ lim sup

i→∞c

1/ii ≤ lim sup

i→∞

ci+1ci

,

kai dešinioji pusė yra skaičius, t. y. nėra +∞.

Teorema 5.22 Santykio;d’Alemberto požymis. Tegul∑∞i=m ai yra yra nelygių nuliui rea-

liųjų skaičių eilutė.

47

1. Jei lim supi→∞|ai+1||ai| < 1, tai

∑∞i=m ai konverguoja absoliučiai.

2. Jei lim inf i→∞ |ai+1||ai| > 1, tai

∑∞i=m ai diverguoja.

3. Likusiais atvejais, t. y. jei

lim infi→∞

|ai+1||ai|

≤ 1 ≤ lim supi→∞

|ai+1||ai|

,

tai negalima daryti jokios išvados.

Eilutės narių perstatymas. Baigtinėms skaičių sumoms būdinga tai, kad suma nepri-klauso nuo narių tvarkos sumoje.

Apibrėžtis 5.17 Tegul (ai)i≥m yra realiųjų skaičių seka ir tegul funkcija

f : {i ∈ N : i ≥ m} → {i ∈ N : i ≥ m}

yra bijekcija. Eilutė∑∞i=m af(i) vadinama eilutės

∑∞i=m ai perstata.


Pasirinkite teisingą variantą:

1. Eilutė 1 + 12 + 1

3 + 14 + . . .

(a) Konverguoja absoliučiai, be ne reliatyviai;(b) Konverguoja absoliučiai ir reliatyviai;(c) Nėra pakankamai informacijos;(d) Diverguoja absoliučiai ir reliatyviai;(e) Diverguoja absoliučiai, bet konverguoja reliatyviai.

2. Eilutė 1 + 1√2 + 1√

3 + 1√4 + . . .

(a) Konverguoja absoliučiai, be ne reliatyviai;(b) Konverguoja absoliučiai ir reliatyviai;(c) Nėra pakankamai informacijos;(d) Diverguoja absoliučiai ir reliatyviai;(e) Diverguoja absoliučiai, bet konverguoja reliatyviai.

3. Jei seka (ai)i≥1 nekonverguoja į nulį, kai n → infty, ką galite pasakyti apie eilutėa1 + a2 + . . .:

(a) Turi konverguoti reliatyviai, bet gali diverguoti absoliučiai;(b) Turi konverguoti absoliučiai, bet gali diverguoti reliatyviai;(c) Nėra pakankamai informacijos apie reliatyvų ir absoliutų konvergavimą;(d) Turi konverguoti absoliučiai ir reliatyviai;(e) Turi diverguoti absoliučiai ir reliatyviai.

4. Jei eilutė∑∞i=1 ai konverguoja absoliučiai ir bn < an, ∀n, tada eilutė

∑∞i=1 bi

(a) Nėra pakankamai informacijos apie reliatyvų ir absoliutų konvergavimą;

48

(b) Turi konverguoti reliatyviai, bet gali diverguoti absoliučiai;(c) Turi konverguoti absoliučiai, bet gali diverguoti reliatyviai;(d) Turi konverguoti absoliučiai ir reliatyviai;(e) Turi diverguoti absoliučiai ir reliatyviai;(f) Turi konverguoti absoliučiai ir diverguoti reliatyviai;(g) Turi absoliučiai diverguoti it konverguoti reliatyviai.


1. Rasti ribą

limn→∞

(12 + 3

22 + 523 + · · ·+ 2n− 1

2n).

2. Rasti ribą

limn→∞

( 11 · 2 + 1

2 · 3 + · · ·+ 1n(n+ 1)

).

3. Rasti ribą limn→∞(√

2 · 4√2 · 8√2 . . . 2n√2).

4. Parodyti, kad limn→∞2nn! = 0.

5. Parodyti, kad limn→∞nk

an = 0, kai a > 1.

6. Įrodyti, kad

limn→∞

(1 + 1 + 1

2! + 13! + · · ·+ 1

n!

)= e.

7. Įrodyti nelygybes:

(a)(1 + 1

n

)n< e <

(1 + 1

n

)n+1

(b) 1n+1 < ln

(1 + 1

n

)< 1

n .

8. Parodyti, kad seka xn = 1 + 1/2 + 1/3 + · · ·+ 1/n− lnn konverguoja.

9. Ištirti eilutės∑∞n=1 sinnx konvergavimą.

10. Įrodyti, kad jei konverguoja eilutės∑∞n=1 a

2n ir

∑∞n=1 b

2n, tai konverguoja ir eilutės:

∞∑n=1|anbn|

∞∑n=1

(an + bn)2

∞∑n=1

|an|n

11. Įrodyti eilutės sumuojamumą bei rasti jos sumą:∞∑n=1

(√n+ 2− 2

√n+ 1 +

√n)

49

12. Ištirkite eilučių konvergavimą:

(a)∑∞n=1

7nn6n ;

(b)∑∞n=1 e

−2nn!.

13. Raskite eilutės dalinę sumą Sn bei sumą S:

(a)∑∞n=1

1(2n−1)·(2n+1) ;

(b)∑∞n=1

1n(n+3) ;

(c)∑∞n=1

1n(n+1)(n+2) .

14. Panaudoję dAlambert’o požymį, pasakykite, ar konverguoja šios eilutės:

(a)∑∞n=1

1(2n+1)! ;

(b)∑∞n=1

n2

3n ;(c)

∑∞n=1 n

2 sin π2n ;

(d)∑∞n=1

n(n+1)! .

15. Panaudoję Cauchy požymį, pasakykite, ar konverguoja šios eilutės:

(a)∑∞n=1(−1)n+1 1

2n ;(b)

∑∞n=1

3n+2n6n .

50

6 Aibės

6.1 Begalinės aibės


Aibės galia. Dvi aibės yra to paties dydžio, jei jos turi tą patį elementų skaičių. Ar dviaibės yra to paties dydžio galima nustatyti susiejant aibių elementus abipus vienareikšmeatitiktimi.

Apibrėžtis 6.1 Sakoma, kad dvi aibės X ir Y yra vienodos galios arba, kad aibės X galiayra lygi aibės Y galiai, jei egzistuoja bijekcija f : X → Y .

Teorema 6.1 Tegul X, Y ir Z yra aibės. Tada

1. X yra vienodos galios kaip ir X;

2. jei X galia lygi Y galiai, tai Y galia lygi X galiai;

3. jei X galia lygi Y galiai ir Y galia lygi Z galiai, tai X galia lygi Z galiai.

Apibrėžtis 6.2 Tegul n yra natūralusis skaičius. Sakoma, kad aibės X galia yra n, arban yra aibės X kardinalinis skaičius, jei X yra vienodos galios su aibe {i ∈ N : 1 ≤ i ≤ n}.Taip pat sakoma, kad aibė X turi n elementų, arba aibės X elementų skaičius yra n, jeijos galia yra n.

Lema 6.2 Aibės galia yra nulis tada ir tik tada, kai ta aibė yra tuščioji.

Lema 6.3 Tarkime, kad n ∈ N∗ ir aibės X galia yra n. Tada X yra netuščia ir su betkuriuo elementu x ∈ X, aibės X \ {x} galia yra n− 1.

Aibės galia nusakoma vienareikšmiškai. Aibė yra baigtinė, jei jos galia yra n su betkuriuo natūraliuoju skaičiumi. Priešingu atveju aibė yra begalinė.

Baigtinių aibių galios savybės išreiškiamos naudojant natūraliųjų skaičių aritmetiką,ką iliustruoja kita teorema.

Teorema 6.4 Tarkime, kad X yra baigtinė aibė. Tada teisingi teiginiai:

1. Jei x /∈ X, tai aibė X ∪ {x} yra baigtinė ir |X ∪ {x}| = |X|+ 1.

2. Jei Y ⊂ X, tai aibė Y yra baigtinė ir |Y | ≤ |X|; jei be to Y 6= X, tai |Y | < |X|.

3. Jei Y yra baigtinė aibė, tai X ∪ Y yra baigtinė aibė ir |X ∪ Y | ≤ |X| + |Y |; be to,|X ∪ Y | = |X|+ |Y | jei papildomai X ∩ Y = ∅.

4. Jei f : X → Y yra funkcija, tai vaizdas f [X] yra baigtinė aibė ir |f [X]| ≤ |X|; jei beto f yra injekcija, tai |f [X]| = |X|.

5. Jei Y yra baigtinė aibė, tai Descarteso sandauga X×Y yra baigtinė aibė ir |X × Y | =|X| · |Y |.

51

Suskaičiuojamos ir nesuskaičiuojamos aibės.

Apibrėžtis 6.3 Aibė X vadinama suskaičiuojamai begaline, arba suskaičiuojama, jei josgalia yra lygi natūraliųjų skaičių aibės N galiai. Sakoma, kad aibė X yra ne daugiau kaipsuskaičiuojama, jei ji yra suskaičiuojama arba baigtinė. Sakoma, kad aibė yra nesuskai-čiuojama, jei ji yra begalinė ir nėra suskaičiuojama.

Teorema 6.5 Tegul X yra natūraliųjų skaičių aibės N begalinis poaibis. Tada egzistuojavienintelė bijekcija f : N→ X, kuri yra didėjanti, t. y. f(n+ 1) > f(n) kiekvienam n ∈ N.

Kadangi baigtinės aibės yra ne daugiau kaip suskaičiuojamos, tai visi natūraliųjų skai-čių aibės poaibiai yra ne daugiau kaip suskaičiuojami. Jei aibė X yra ne daugiau kaipsuskaičiuojama ir aibė Y yra X poaibis, tai Y yra ne daugiau kaip suskaičiuojama.

Teorema 6.6 (Cantor’o teorema). Tegul X yra aibė (baigtinė ar begalinė). Tada aibės Xir P(X) negali turėti tą pačią galią.

Laipsninė aibė P(X), realiųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojamos. Apie dvi aibes Air B sakoma, kad aibės A galia yra nedidesnė už aibės B galią, jei egzistuoja injekcijaf : A→ B. Jei be to, neegzistuoja bijekcija tarp A ir B, tai sakoma, kad aibės B galia yradidesnė už aibės A galią.

Kardinalinį skaičių |X| galima apibrėžti ir begalinėms aibėms X. Pavyzdžiui natūra-liųjų skaičių aibės kardinalinis skaičius ℵ0 := |N| yra mažiausias tarp begalinių aibių. Jeirealiųjų skaičių aibės kardinalinį skaičių žymėti c (angl. continuum), tai c yra didesnisuž ℵ0. Teiginys, kad tarp ℵ0 ir c nėra kitų kardinalinių skaičių vadinamas kontinuumohipoteze.


1. Kurios iš šių aibių turi tą pačią galią kaip ir intervalas [0, 1]?

(a) Dvimatė plokštuma.(b) Trimatė erdvė.(c) Racionalių skaičių aibė.

2. Kontinuumo hipotezė sako, kad

(a) Egzistuoja kardinalumas didesnis nei realiųjų ir natūraliųjų skaičių aibių kardi-nalumas.

(b) Egzistuoja kitas kardinalinis skaičius skirtingas nuo natūraliųjų skaičių aibėskardinalinio skaičiaus.

(c) Egzistuoja begalinės aibės.(d) Neegzistuoja joks kardinalinis skaičius mažesnis už realiųjų skaičių aibės kardi-

nalinį skaičių ir didesnis už sveikųjų skaičių aibės kardinalinį skaičių.

3. Turime aibes ∅, {1, 2, 3, 4}, {1, 3, 5, 7, 9, 11}, (0, 1), N, Q, R, R \ I, čia I žymi irracio-nalių skaičių aibę.

(a) Kurios trys aibės turi tą patį kardinalinį skaičių.(b) Kurių aibių kardinalinis skaičius sutampa su aibės I kardinaliniu skaičiumi.

4. Jei A yra suskaičiuojama aibė, o B yra nesuskaičiuojama aibė, tada aibė A ∪B yra

(a) Nesuskaičiuojama.

52

(b) Suskaičiuojama.(c) Baigtinė.(d) Tuščia.(e) Per mažai informacijos atsakyti į klausimą.

5. Tegul A ir B yra aibės. Ką reiškia, kad abi aibės turi tą patį kardinalinį skaičių?

(a) Kiekvienas A elementas yra ir B elementas, ir atvirkščiai.(b) A ir B abi kartu yra baigtinės arba suskaičiuojamos, arba nesuskaičiuojamos.(c) A ir B abi kartu yra baigtinės arba begalinės.(d) Egzistuoja bijekcija f : A→ B.(e) A nėra poaibis B ir B nėra poaibis A.(f) Egzistuoja injekcija f : A→ B.(g) Egzistuoja siurjekcija f : A→ B.


1. Įrodyti, kad sveikųjų skaičių aibė Z yra suskaičiuojama.

2. Įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė Q yra suskaičiuojama

3. Įrodyti, kad dviejų suskaičiuojamų aibių A ir B Dekarto sandauga A×B yra suskai-čiuojama aibė.

4. Įrodyti, kad intervalai (0, 1) ir (0,∞) yra vienodos galios.

5. Įrodyti, kad aibės N bei Z yra vienodos galios.

6. Įrodyti, kad jei aibė X yra begalinė, tai aibė P(X) taip pat begalinė.

7. Polinomai su sveikaisiais koeficientais užrašomi tokiu būdu: p(x) = a0 +a1x+a2x2 +

· · · + anxn, čia n neneigiamas sveikasis skaičius ir ∀i ai yra sveikieji skaičiai. Tokių

polinomų aibė žymima Z[x]. Parodykite, kad Z[x] yra suskaičiuojama.

8. Įrodyti, kad bet kurie du uždari intervalai yra vienodos galios.

9. Tegu A yra begalinė nesuskaičiuojama aibė, aibė B yra aibės A poaibis ir yra suskai-čiuojama begalinė aibė. Ar gali aibė A \B būti begalinė suskaičiuojama aibė?

10. Ar visų natūraliųjų skaičių aibės N ekvivalentumo sąryšių aibė yra suskaičiuojamabegalinė aibė?

11. Tegu F(A,B) žymi funkcijų iš A į B aibę.

(a) Ar aibė F({1, 2, 3} ,N) yra suskaičiuojama begalinė aibė;(b) Ar aibė F(N, {1, 2, 3}) yra suskaičiuojama begalinė aibė;

53

6.2 Tiesės taškų aibės: atvirosios ir uždarosios aibės


Intervalai. Tegu a ∈ R ir b ∈ R. Uždaru intervalu vadinama tiesės taškų aibė

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .

Jei a > b, tai intervalas [a, b] yra tuščia aibė. Jei a = b, tai intervalas [a, a] = {a} yravieninė aibė. Pusiau atviru intervalu arba pusiau uždaru intervalu vadinamos tiesės taškųaibės

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} ir (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} .

Atviru intervalu vadinama aibė

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b} .

Visais keturiais atvejais, taškas a vadinamas intervalo kairiuoju galu, o taškas b vadinamasintervalo dešiniuoju galu. Kiekvieną iš šių intervalų vadinsime baigtiniu intervalu. Aibes

(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b} ir [a,+∞) := {x ∈ R : x ≥ a} ,

bei atitinkamai apibrėžtas aibes (−∞, b) ir (a,+∞) vadinsime begaliniais intervalais.

Teorema 6.7 Tarkime, kad I yra tiesės taškų aibė turinti bent du taškus. Aibė I yraintervalas (baigtinis ar begalinis) tada ir tik tada, kai su bet kuriais u ∈ I, v ∈ I ir u < vgalioja savybė:

jei u < x < v, tai x ∈ I.

Tieses tašku klasifikavimas aibes atžvilgiu. Tegul y yra tieses taškas, t. y. y yrarealusis skaičius, arba tiesiog y ∈ R. Su bet kuriuo realiuoju skaičiumi ε > 0, taško y ε-aplinka, arba tiesiog aplinka, yra aibė tų tiesės taškų, kurie nutolę nuo y atstumu mažesniunegu ε, t. y. aibė

Oε(y) := {x ∈ R : ρ(x, y) < ε} .

Kitaip kalbant y taško ε-aplinka yra atviras intervalas (y − ε, y + ε). Taip pat naudosimey taško ε-aplinka be to taško, vadinama pradurta ε-aplinka, t. y. aibė

O•ε (y) := {x ∈ R : 0 < ρ(x, y) < ε} .

Apibrėžtis 6.4 Tegul aibė A ⊂ R ir skaičius y ∈ R.

1. Sakoma, kad y yra aibės A sąlyčio taškas, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra bent vienasaibės A taškas, t. y. kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks x ∈ A, kad x ∈ Oε(y).

2. Sakoma, kad y yra aibės A ribinis taškas, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra bent vienasaibės A taškas, skirtingas nuo y, t. y. kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks x ∈ A, kadx ∈ O•ε (y).

3. Sakoma, kad y yra aibės A izoliuotas taškas, jei y ∈ A ir egzistuoja tokia jo aplinka,kurioje daugiau nėra aibės A tašku, t. y. egzistuoja toks ε > 0, kad A ∩O•ε (y) = ∅.

54

Lyginant apibrėžimus galima pastebėti tokius tris faktus: (1) kiekvienas ribinis taškasyra sąlyčio taškas, (2) kiekvienas izoliuotas taškas yra sąlyčio taškas ir (3) taškas negalibūti kartu ir izoliuotas ir ribinis. Taip pat pastebėkime, kad skirtingai nuo izoliuoto taško,aibės A ribinis taškas neprivalo būti aibės A elementu. Taškas yra sąlyčio tada ir tik tada,kai jis yra arba ribinis arba izoliuotas.

Apibrėžtis 6.5 Tegu aibė A ⊂ R. Visų aibės A sąlyčio taškų aibė vadinama aibės Auždariniu ir žymima A. Visų aibės A ribinių taškų aibė vadinama aibės A išvestine iržymima A′. Aibės A izoliuotų taškų aibę žymėsime IA.

Teorema 6.8 Tegul X ir Y yra tiesės taškų aibės. Tada

1. X ⊂ X;

2. jei X ⊂ Y , tai X ⊂ Y ;

3. ¯X = X;

4. ¯X ∪ Y = X ∪ Y ;

5. ¯X ∩ Y ⊂ X ∩ Y .

Teorema 6.9 Taškas y yra aibės A ribinis taškas tada ir tik tada, kai jis priklauso aibėsA \ {y} uždariniui.

Teorema 6.10 Tegul aibė A ⊂ R ir y ∈ R. Taškas y yra aibės A ribinis taškas tada irtik tada, kai egzistuoja tokia iš A elementų sudaryta seka (xn), kad xn¬y kiekvienam n irxn → y, kai n→∞.

Uždarosios aibės.

Apibrėžtis 6.6 Realiųjų skaičių aibė F vadinama uždara, jei ji sutampa su savo uždariniu,t.y., jei F = F .

Tiesės taškų aibė yra uždara tada ir tik tada, kai jai priklauso visi jos ribiniai taškai.

Teorema 6.11 Teiginiai (a) ir (b) apie tiesės taškų aibė A yra ekvivalentūs, čia (a) Ayra aprėžta ir uždara; (b) kiekviena A elementų seka turi posekį, konverguojantį į aibės Aelementą.

Atvirosios aibės.

Apibrėžtis 6.7 Tegul G yra realiųjų skaičių aibė. Sakoma, kad G yra atvira, jei aibė R\Gyra uždara.

Teorema 6.12 Realiųjų skaičių aibė G yra atvira tada ir tik tada, kai kiekvienam joselementui x egzistuoja toks ε > 0, kad ε-aplinka Oε(x) ⊂ G.

Apibrėžtis 6.8 Aibės A elementas x vadinamas jos vidiniu tašku, jei egzistuoja tokia xaplinka Oε(x), kurią sudaro vien tik aibės A elementai. Aibės A visų vidinių taškų aibėvadinama jos vidumi ir žymima A◦.

Aibė yra atvira tada ir tik tada, kai visi jos elementai yra vidiniai taškai. Kitaip tariant,aibė yra atvira tada ir tik tada, kai jos vidus sutampa su visa aibe.

55

Apibrėžtis 6.9 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė ir tegul Λ yra realiųjų skaičių aibių rin-kinys. Sakoma, kad Λ dengia aibę A, arba Λ yra aibės A denginys, jei kiekvienam x ∈ Aegzistuoja tokia aibe X ∈ Λ, kad x ∈ X, t. y. jei A ⊂

⋃Λ. Sakoma, kad aibės A denginys

Λ yra skaitus arba baigtinis, jei rinkinys Λ yra, atitinkamai, suskaičiuojamas arba baigtinis.Taip pat sakoma, kad Λ yra aibės A denginys atviromis aibėmis, jei rinkinio Λ elementaiyra atvirosios aibės.

Teorema 6.13 Teiginiai (a) ir (b) apie tiesės taškų aibę A yra ekvivalentūs, čia

1. A yra aprėžta ir uždara;

2. iš kiekvieno A aibės skaitaus denginio atviromis aibėmis galima išrinkti jos baigti-nį denginį, t. y. jei atvirų aibių rinkinys {Gk : k ∈ N} yra aibės A denginys, taiegzistuoja toks n ∈ N, kad A ⊂

⋃nk=0Gk.

Teiginiai apie nesuskaičiuojamas aibes.

Teorema 6.14 Tegul Λ yra begalinis (suskaičiuojamas arba nesuskaičiuojamas) atvirų in-tervalų rinkinys dengiantis intervalą [a, b]. Tada egzistuoja baigtinis Λ elementų rinkinys{U1, . . . , Un} taip pat dengiantis [a, b].

Teorema 6.15 Kiekviena aprėžta begalinė tiesės taškų aibė turi bent vieną ribinį tašką.


1. Kokia yra skaičiaus 3 12 -aplinka.

2. Ar taškas 0 yra intervalo [0, 1) vidinis taškas? izoliuotas taškas?

3. Raskite intervalo [a, b] vidų.

4. Raskite intervalo [a, b) uždarinį.


1. Tegul a ir b yra tokie tiesės taškai, kad a < b ir tegul x ∈ (a, b). Įrodyti, kadegzistuoja tokia x aplinka Oε(x), kuri yra (a, b) poaibis.

2. Tegul a, b ∈ R. Įrodyti, kad uždaras intervalas [a, b] yra uždara aibė.

3. Įrodyti, kad aprėžtos aibės uždarinys yra aprėžta aibė.

4. Įrodyti, kad kiekviena baigtinė tiesės taškų aibė yra uždara ir aprėžta.

5. Tarkime, kad X yra netuščia ir aprėžta iš viršaus tiesės taškų aibė ir tegul M :=supX. Įrodyti, kad M yra X aibės sąlyčio taškas.

6. Tegu {X1, . . . , Xn} yra atvirų aibių rinkinys. Įrodyti, kad ∩ni=1Xi yra atvira aibė.

7. Tegu G yra atvirų aibių rinkinys (baigtinis ar begalinis). Įrodyti, kad ∪G yra atviraaibė.

8. Sudarykite aibės { 1n , n ∈ N+} atvirąjį denginį, iš kurio neįmanoma išrinkti baigtinio

denginio.

9. Įrodyti, kad intervalai [a, b) yra nei uždara nei atvira aibė.

56

10. Turime seką {xn} bei aibę A, kurioje yra visi sekos elementai. Parodykite, kad aibėsribinis taškas yra ir sekos ribinis taškas.

11. Įrodykite, kad kiekvienas uždaras aibės R poaibis yra atvirų aibių suskaičiuojamorinkinio sankirta.

12. Įrodykite, kad aibės S ⊂ R rinkinys yra suskaičiuojama begalinė aibė.

13. Jei įmanoma raskite skaičių ε tokį, kad 13 ε-aplinka apimtų 11

12 , bet neapimtų arba 12

arba 58 . Jei tokia aplinka neegzistuoja, paaiškinkite kodėl.

14. Tegu U =(

14 ,

23

)ir V =

(12 ,

65

). Perrašykite U ir V kaip ε-aplinkas. T.y., suraskite

kokio taško aplinka yra šie intervalai bei suraskite ε.

57

7 Funkcijos

7.1 Funkcijos: veiksmai su funkcijomis, konvergavimas


Nuo šiol tirsime funkcijas apibrėžtas tiesės taškų aibėje su reikšmėmis taip pat tiesės taškųaibėje. Jei nežymiai pasikeitus argumentui, funkcijos reikšmė taip pat nesmarkiai kinta, taisakoma, kad funkcija yra glodi. Jei funkcija nėra glodi, tai nežymiai pasikeitus argumentoreikšmei funkcijos reikšmė gali kisti šuoliais arba labai smarkiai svyruoti; tada sakoma, kadfunkcija yra trūki arba šiurkšti.

Veiksmai su funkcijomis. Apibrėšime aritmetines operacijas su funkcijomis.

Apibrėžtis 7.1 Tegul X yra tiesės taškų aibė, o f : X → R ir g : X → R yra funkcijos.

1. f ir g suma yra funkcija f + g : X → R su reikšmėmis

(f + g)(x) := f(x) + g(x) ∀x ∈ X.

2. f ir g skirtumas yra funkcija f − g : X → R su reikšmėmis

(f − g)(x) := f(x)− g(x) ∀x ∈ X.

3. f ir g maksimumas yra funkcija max {f, g} : X → R su reikšmėmis

max {f, g} (x) := max {f(x), g(x)} ∀x ∈ X.

4. f ir g minimumas yra funkcija min {f, g} : X → R su reikšmėmis

min {f, g} (x) := min {f(x), g(x)} ∀x ∈ X.

5. f ir g sandauga yra funkcija fg : X → R su reikšmėmis

(fg)(x) := f(x) · g(x) ∀x ∈ X.

6. jei g(x) 6= 0, ∀x ∈ X, tai f ir g santykis yra funkcija f/g : X → R su reikšmėmis

(f/g)(x) := f(x)/g(x) ∀x ∈ X.

7. Jei c ∈ R, tai cf : X → R yra funkcija su reikšmėmis

(cf)(x) := cf(x), ∀x ∈ X.

Funkciju sandauga nėra tas pats, kas jų kompozicija. Panašiai yra apibrėžiama tvarkatarp funkciju. Tegul f : X → R ir g : X → R yra funkcijos. Rašoma f ≥ g, jei f(x) ≥ g(x)kiekvienam x ∈ X. Taip pat rašoma f > g, jei f(x) > g(x) kiekvienam x ∈ X. Atskiruatveju išraiška f > 0 reiškia, kad f(x) > 0 kiekvienam x ∈ X.

58

Funkcijos konvergavimas. Apibrėšime funkcijos konvergavimo sąvoką:

Apibrėžtis 7.2 Tegul A ⊂ R, f : A → R, skaičius a yra aibės A ribinis taškas ir c ∈ R.Jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad

|f(x)− c| < ε visiems x ∈ A, kuriems 0 < |x− a| < δ,

tai sakoma, kad f konverguoja į c taške a.

Funkcijos konvergavimas taške a yra apibrėžtas jei a yra funkcijos apibrėžimo sritiesribinis taškas. Kita teorema parodoma, kaip funkcijos konvergavimas apibūdinamas tamtikrų sekų konvergavimu.

Teorema 7.1 Tegul A ⊂ R, f : A → R, a yra aibės A ribinis taškas ir c ∈ R. Teiginiai(a) ir (b) yra ekvivalentūs, čia

(a) f konverguoja į c taške a;

(b) kiekvienai aibės A \ {a} elementų sekai (xn), kuri konverguoja į a, kai n → ∞,funkcijos reikšmių seka (f(xn)) konverguoja į c kai n→∞; kitaip tariant,

jei xn ∈ A \ {a} ∀n ir limn→∞

xn = a, tai limn→∞

f(xn) = c.

jei

Kita teorema formuluojamas funkcijos ribos vienatinumo faktas.

Teorema 7.2 Tegul aibe A ⊂ R, funkcija f : A → R ir a yra aibės A ribinis taškas. Jeitaške a f konverguoja į skaičius c ir d, tai c = d.

Funkcijos f riba taške a žymima:

limx→a

f(x) = c arba f(x)→ c, kai x→ a.

Funkcijos divergavimo taške sąlyga:

Išvada 7.3 Tegul A ⊂ R, f : A→ R, a yra aibės A ribinis taškas ir c ∈ R. Jei egzistuojadvi A\{a} aibės elementų sekos (xn) ir (yn), kurios konverguoja į a kai n→∞, egzistuojaribos

u := limn→∞

f(xn) ir v := limn→∞

f(yn),

bet u 6= v, tai f diverguoja taške a.

Funkcijų konvergavimo taisyklės:

Teorema 7.4 Tegul A yra tiesės taškų aibė, skaičius a yra aibės A ribinis taškas, o f :A → R ir g : A → R yra funkcijos. Tarkime, kad taške a funkcija f konverguoja į u ir gkonverguoja į v. Tada

1. f + g konverguoja į u+ v taške a;

2. fg konverguoja į uv taške a;

3. f/g konverguoja į u/v taške a, jei v 6= 0 ir g(x) 6= 0 0 kai x ∈ A ∩ Oδ(a) su kuriuonors δ > 0;

4. max {f, g} konverguoja į max {u, v} taške a;

5. min {f, g} konverguoja į min {u, v} taške a;

6. |f | konverguoja į |u| taške a.

59

Funkcijos konvergavimo Cauchy kriterijus.

Apibrėžtis 7.3 Tegul aibe A ⊂ R, funkcija f : A → R, ir skaičius a yra aibės A ribinistaškas. Sakoma, kad funkcijai f galioja Cauchy sčlyga taške a, jei kiekvienam ε > 0egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad atstumas ρ(f(x), f(y)) < ε visiems x ∈ O•δ (a) ir y ∈O•δ (a).

Teorema 7.5 Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A → R, ir skaičius a yra aibės A ribinistaškas. Funkcija f konverguoja taške a tada ir tik tada, kai jai galioja Cauchy salyga taškea.

Landau simboliai Apibrėžkime Landau simbolius O bei o bei funkcijų asimptotinį ek-vivalentumą. Tegu A ⊂ R, f : A→ R ir g : A→ R bei x0 ∈ A. Sakome, kad

f(x) = O(g(x)), kai x→ x0

jei egzistuoja konstanta M , kad

|f(x)| ≤M |g(x)| , ∀x ∈ Oδ(x0).

Konstanta M priklauso nuo to, kaip arti mes taško x0 galioja aprėžtumas. Panašiai api-brėžiamas kitas simbolis o. Sakome, kad

f(x) = o(g(x)), kai x→ x0

kai g(x) > 0, ∀x ∈ Oδ(x0) bei

limx→x0

∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ = 0 ∀x ∈ Oδ(x0).

Jei galioja, kad f(x) = o(g(x)), vadinasi f(x) = O(g(x)).Dvi funkcijos vadinamos asimptotiškai lygios, žymima f(x) ∼ g(x), jei

limx→x0

f(x)g(x) = 1 ∀x ∈ Oδ(x0).

Kitas asimtotinio ekvivalentumo žymėjimas yra

f(x) ∼ g(x)⇔ f(x) = g(x)(1 + o(1)).

Funkcijos vienpusis konvergavimas Toliau apibrėšime ribos iš kairės ir dešinės sąvo-kas, kurias galima traktuoti kaip įprastinės ribos dvi puses.

Apibrėžtis 7.4 Tegul A ⊂ R, f : A→ R, ir c ∈ R.

1. Tarkime, kad skaičius a yra aibės A ∩ (a,+∞) ribinis taškas. Jei kiekvienam ε > 0egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad

|f(x)− c| < ε visiems x ∈ A, kuriems a < x < a+ δ

tai sakoma, kad f konverguoja į c iš dešinės taške a.

2. Tarkime, kad a yra aibės A∩ (−∞, a) ribinis taškas. Jei kiekvienam ε > 0 egzistuojatoks δ = δ(ε) > 0, kad

|f(x)− c| < ε visiems x ∈ A, kuriems a− δ < x < a

tai sakoma, kad f konverguoja į c iš kairės taške a.

60

Jei funkcija f konverguoja į c taške a, tai ji konverguoja į c taške a iš dešinės ir iš kairės.Tačiau atvirkšcia implikacija nebūtinai teisinga. Konvergavimas iš dešinės žymimas:

limx→a+

f(x) = f(a+) = c arba f(x)→ c, kai x→ a+ .

Konvergavimas iš kairės žymimas:

limx→a−

f(x) = f(a−) = c arba f(x)→ c, kai x→ a− .

Funkcijos konvergavimas begalybėje. Konvergavimui begalybėje apibrėžti turimeapibendrinti ribinio taško sąvoką begalybės simboliams.

Apibrėžtis 7.5 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė. Sakysime, kad +∞ yra aibės A ribinistaškas, jei kiekvienam R ∈ R egzistuoja toks x ∈ A, kad x > R. Taip pat sakysime, kad−∞ yra aibės A ribinis taškas, jei kiekvienam R ∈ R egzistuoja toks x ∈ A, kad x < R.

Ribos apibrėžimas begalybėje:

Apibrėžtis 7.6 Tarkime, kad +∞ yra aibės A ⊂ R ribinis taškas, f : A→ R yra funkcijair c ∈ R. Sakoma, kad f konverguoja į c kai funkcijos argumentas neaprėžtai didėja,rašoma

limx→∞

f(x) = c arba f(x)→ c, kai x→∞,

jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks R = R(ε) ∈ R, kad atstumas ρ(f(x), c) < ε visiemsx ∈ A, kuriems x > R. Atveju, kai −∞ yra aibės A ⊂ R ribinis taškas sakome, kad fkonverguoja į c kai funkcijos argumentas neaprėžtai mažėja, rašoma

limx→−∞

f(x) = c arba f(x)→ c, kai x→ −∞,

jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks R = R(ε) ∈ R, kad atstumas ρ(f(x), c) < ε visiemsx ∈ A, kuriems x < R.


1. Pateikite funkcijos divergavimo apibrėžimą;

2. Pasakykite ribas:

(a) limx→1 x2;

(b) limx→5 x;(c) limx→0 x

3 + 3x+ 8.


1. Tegu f(x) = sin x ir g(x) = 2x+5 . Raskite:

(a) (f + g)(x);(b) (f − g)(x);(c) max{f, g}(x);(d) min{f, g}(x);(e) (fg)(x);(f) (f/g)(x);

61

(g) (cf)(x), kokiam nors c ∈ R.

Raskite aukšiau apskaičiuotų funkcijų reikšmes, kai x = π.

2. Tegu x→ 0. Įrodykite lygybes

(a) x sin√x = x3/2 + o

(x3/2

);

(b) (1 + x)n = 1 + nx+ o(x);(c) log x = o(x−ε), ε > 0;(d) arctan 1

x = O(1).

3. Įrodykite, kad limx→0sinxx = 1.

4. Raskite funkcijų ribas:

(a) limx→∞

√x+

√x+√x

x+ 1 .

(b) limx→∞

m√x− 1

n√x− 1 , čia m ir n sveikieji skaičiai.

(c) limx→0

n√

1 + x− 1x

, čia n ∈ N+.

(d) limx→7

√x+ 2− 3√x+ 20

4√x+ 9− 2.

(e) limx→π

sinmxsinnx

(f) limx→0

tan xx

(g) limx→a

sin x− sin ax− a

(h) limx→∞

(x+ 22x+ 1

)x2

(i) limx→0

ln(1 + x)x

(j) limx→0

ax − 1x

(k) limx→0

(1 + x)µ − 1x

.


(a) limx→0(1+mx)n−(1+nx)m

x2

(b) limx→0(1+x)5−(1+5x)

x2+x5

(c) limx→1x3−3x+2x4−4x+3

(d) limx→1x100−2x+1x50−2x+1

6. Įrodykite, kad

limx→a

sin x = sin a.

62

7. Sakome, kad dvi funkcijos yra asimptotiškai ekvivalenčios

f(x) ∼ g(x)⇔ limx→x0

f(x)g(x) = 1.

Parodykite, kad ∼ yra ekvivalentumo sąryšis.


(a) limx→0

x2 − 12x2 − x− 1 ;

(b) limx→1

x2 − 12x2 − x− 1 ;

(c) limx→∞

x2 − 12x2 − x− 1 ;

(d) limx→0

(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)− 1x

;

(e) limx→∞

(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(5x− 105 ;

(f) limx→2

x3 − 2x2 − 4x+ 8x4 − 8x2 + 16 ;

(g) limx→−8

√1− x− 32 + 3√x

;

(h) limx→16

4√x− 2√x− 4 ;

(i) limx→8

√9 + 2x− 5

3√x− 2 ;

(j) limx→0

√1 + x−

√1− x

3√1 + x− 3√1− x;

(k) limx→1

( 31−√x− 2

1− 3√x

);

(l) limx→0

1 + sin x− cosx1 + sin px− cos px ;

(m) limx→0

sin(a+ 2x)− 2 sin(a+ x) + sin ax2 ;

(n) limxtoπ6

2 sin2 x+ sin x− 12 sin2 x− 3 sin x+ 1

;

(o) limx→π

3

sin(x− π

3)

1− 2 cosx ;

(p) limx→0

√1 + tan x−

√1 + sin x

x3 .

63

7.2 Funkcijos: tolydumas, trūkiai, monotoninės


Funkcijos tolydumas taške y yra savybė, kad f(x) yra kaip norimai arti f(y), jei x yrapakankamai arti y. Apie funkcijos f tolydumą taške y prasminga kalbėti tada, kai funkcijayra apibrėžta ne tik taške y bet ir jo aplinkoje.

Apibrėžtis 7.7 Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A→ R ir tegul elementas y ∈ A yra aibėsA ribinis taškas. Sakoma, kad f yra tolydi taške y, arba y yra funkcijos f tolydumo taškas,jei

limx→y

f(x) = f(y);

kitaip tariant, jei f konverguoja į f(y) taške y. Jei f nėra tolydi taške y, tai sakoma, kadf yra trūki taške y arba y yra funkcijos f trūkio taškas.

Apibrėžtis 7.8 Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A→ R ir tegul elementas y ∈ A yra aibiųA∩ (−∞, y) ir A∩ (y,+∞) ribinis taškas. Sakoma, kad f taške y turi pirmos rūšies, arbapaprastąjį trūkį, jei f yra trūki taške f , tačiau f(y+) ir f(y−) egzistuoja. Priešingu atvejutrūkis vadinamas antros rūšies trūkiu.

Kartais f funkcijos trūkio tašku vadinamas taškas y jei f nėra apibrėžta tame taške,bet y yra jos apibrėžimo srities ribinis taškas.

Apibrėžtis 7.9 Tegul aibė A ⊂ R ir f : A → R yra funkcija. Sakoma, kad funkcija ftolydi, jei ji tolydi kiekviename apibrėžimo srities A ribiniame taške.

Elementariųjų funkcijų tolydumas. Tegul r > 0. Funkcija f : R → R, kurios reikš-mės yra skaičiaus r laipsnis su realiuoju rodikliu

f(x) := rx, x ∈ R,

vadinsime rodikline funkcija su pagrindu r, arba tiesiog rodikline funkcija. Rodiklinė funk-cija su pagrindu r = e vadinama eksponentine funkcija.

Teorema 7.6 Bet kuriam r > 0, rodikline funkcija su pagrindu r yra tolydi.

Tegul q ∈ R. Funkcija h : (0,+∞) → R, kurios reikšmės yra skaičiaus laipsnis surodikliu q

h(u) := uq, u > 0,

vadinsime laipsnine funkcija su laipsniu q arba tiesiog laipsnine funkcija.

Teorema 7.7 Bet kuriam q ∈ R, laipsninė funkcija su laipsniu q yra tolydi.

Tolydumo apibūdinimas. Pirmos dvi teoremos nurodo būtinas ir pakankamas sąlygastam, kad funkcija būtų tolydi taške.

Teorema 7.8 Tegul A ⊂ R, f : A→ R ir tegul elementas y ∈ A yra aibės A ribinis taškas.Kiti trys teiginiai yra ekvivalentūs:

1. f yra tolydi taške y;

64

2. kiekvienam ε > 0 egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad |f(x)− f(y)| < ε visiems x ∈ A,kuriems 0 < |x− y| < δ;

3. kiekvienai aibės A elementų sekai (xn), kuri konverguoja į y kai n → ∞, funkcijosreikšmių seka (f(xn)) konverguoja į f(y) kai n→∞; kitaip tariant,

jei xn ∈ A∀n ir limn→∞

xn = y, tai limn→∞

f(xn) = f(y).

Teorema 7.9 Tegul A ⊂ R, f : A→ R ir tegul elementas y ∈ A yra aibių A ∩ (−∞, y) irA ∩ (y,+∞) ribinis taškas. Kiti du teiginiai yra ekvivalentūs:

1. f yra tolydi taške y;

2. egzistuoja f(y−), f(y+) ir f(y−) = f(y) = f(y+).

Kitos dvi teoremos nurodo teiginius ekvivalenčius tam, kad funkcija būtų tolydi savoapibrėžimo srityje.

Teorema 7.10 Tarkime, kad uždara tieses taškų aibė A neturi izoliuotų taškų ir f : A→ Ryra funkcija. f yra tolydi tada ir tik tada, kai kiekvienos uždaros aibės F ⊂ R pirmavaizdisf−1[F ] yra uždara aibė.

Teorema 7.11 Tarkime, kad A yra atvira tiesės taškų aibė ir f : A → R yra funkcija.f yra tolydi tada ir tik tada, kai kiekvienos atviros aibes G ⊂ R pirmavaizdis f−1[G] yraatvira aibė.

Tolydumo savybė. Aritmetinės operacijos tarp funkcijų išsaugo tolydumą:

Teorema 7.12 Tegul aibė A ⊂ R ir elementas y ∈ A yra aibės A ribinis taškas. Jeifunkcijos f : A→ R ir g : A→ R yra tolydžios taške y, tai

1. f + g tolydi taške y;

2. fg tolydi taške y;

3. f/g tolydi taške y jei g(y) 6= 0;

4. max {f, g} tolydi taške y;

5. min {f, g} tolydi taške y;

6. |y| tolydi taške y.

Tolydžių funkcijų kompozicijos tolydumas:

Teorema 7.13 Tegul A ir B yra tiesės taškų aibės, f : A→ R ir g : B → R yra funkcijos,elementas y ∈ A yra aibės A ribinis taškas ir elementas f(y) ∈ B yra aibės B ribinis taškas.Jei f yra tolydi taške y ir g yra tolydi taške f(y), tai kompozicija g ◦ f yra tolydi taške y.

Funkcija tolydi uždarame intervale

Apibrėžtis 7.10 Tegul f : A → R yra funkcija. Funkcija f vadinama aprėžta iš viršaus,jei jos kitimo sritis f [A] yra aprėžta iš viršaus, t. y. jei egzistuoja toks M ∈ R, kadf(x) ≤M , kiekvienam x ∈ A.

Funkcija f vadinama aprėžta iš apačios, jei jos kitimo sritis f [A] yra aprėžta iš apačios,t. y. jei egzistuoja toks m ∈ R, kad f(x) ≥ m kiekvienam x ∈ A.

Funkcija f vadinama aprėžta, jei ji yra aprėžta iš viršaus ir iš apačios.

Teorema 7.14 Tolydi uždarame intervale funkcija yra aprėžta.

65

Maksimumo principas.

Apibrėžtis 7.11 Tegul A yra tiesės taškų aibė ir f : A → R yra funkcija. Elementasu ∈ A vadinamas funkcijos f maksimumo tašku, o skaičius f(u) vadinamas funkcijos fmaksimaliąja reikšme, jei f(u) ≥ f(x) kiekvienam x ∈ A. Taip pat sakoma, kad funkci-ja f įgyja maksimumą, jei aibėje A egzistuoja jos maksimumo taškas. Elementas v ∈ Avadinamas funkcijos f minimumo tašku, o skaičius f(v) vadinamas funkcijos f minima-liąja reikšme, jei f(v) ≤ f(x) kiekvienam x ∈ A. Taip pat sakoma, kad funkcija f įgyjaminimumą, jei aibėje A egzistuoja jos minimumo taškas.

Teorema 7.15 Tarkime, kad a ≤ b ir funkcija f : [a, b] → R R yra tolydi. Tada funkcijaf įgyja maksimumą ir minimumą.

Vidurinės reikšmės savybė.

Apibrėžtis 7.12 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė turinti bent du taškus. Sakoma, kadfunkcija f : A → R turi vidurinės reikšmės savybę aibėje A, jei bet kuriems skirtingiemsu ∈ A ir v ∈ A ir bet kuriam skaičiui y, esančiam tarp f(u) ir f(v), tarp u ir v galimarasti tokį skaičių c ∈ A, kad f(c) = y.

Teorema 7.16 Jei a < b ir funkcija f : [a, b]→ R yra tolydi, tai f turi vidurinės reikšmėssavybę intervale [a, b].

Funkcijos f : A→ R nejudamuoju tašku vadinamas toks skaičius c ∈ A, kad f(c) = c.

Teorema 7.17 Tarkime, kad a ≤ b ir funkcija f : [a, b]→ [a, b] yra tolydi. Egzistuoja tokstaškas c ∈ [a, b], kad f(c) = c.

Monotoninės funkcijos.

Apibrėžtis 7.13 Tarkime, kad A yra tiesės taškų aibė ir f : A → R yra funkcija. fvadinama nemažėjančia, jei f(x) ≥ f(y) visiems x ∈ A ir y ∈ A, kuriems x > y. fvadinama didėjančia, jei f(x) > f(y) visiems x ∈ A ir y ∈ A, kuriems x > y.

f vadinama nedidėjančia, jei f(x) ≤ f(y) visiems x ∈ A ir y ∈ A, kuriems x > y. fvadinama mažėjančia, jei f(x) < f(y) visiems x ∈ A ir y ∈ A, kuriems x > y.

f vadinama monotonine, jei ji yra nedidėjanti arba nemažėjanti.

Monotoninė funkcija neprivalo būti tolydi savo apibrėžimo srityje. Tačiau monotoninėsfunkcijos turi vienpuses ribas visuose savo apibrėžimo srities taškuose:

Teorema 7.18 Tarkime, kad a < b ir f [a, b] → R yra nemažėjanti funkcija. Tada kiek-vienam y ∈ (a, b] egzistuoja f(y−), kiekvienam y ∈ [a, b) egzistuoja f(y+), bei galiojasąryšiai

f(y−) = sup{f(x) : a <≤ x < y} ≤ f(y), jei y ∈ (a, b]f(y+) = inf{f(x) : y < x ≤ b} ≥ f(y), jei y ∈ [a, b).

Be to, jeia ≤ u < v ≤ b, tai f(u+) ≤ f(v−).

Monotoninė uždarame intervale funkcija gali turėti ne daugiau kaip suskaičiuojamąaibę trūkio taškų.

66


Pasakykite teisinga ar klaidinga:

1. Jei funkcija f nėra apibrėžta taške x = a, tai ji nėra tolydi taške x = a.

2. Visos polinominės funkcijos yra tolydžios.

3. Jei funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios visoje realiųjų skaičių tiesėje, tai f(x)g(x) taip pat

tolydi visoje R.

4. Jei f(x) yra tolydi visoje realiųjų skaičių tiesėje, tai ir |f(x)| tolydi visoje realiųjųskaičių tiesėje.

5. Jei kompozicija f ◦ g nėra tolydi taške x = a, tada arba g nėra tolydi taške x = a,arba f nėra tolydi taške g(a).


1. Tegul f : R→ R ir

f(x) ={

0, x ∈ R\Q,1, x ∈ Q

Parodyti, kad funkcija netolydi kiekviename taške.

2. Tegu f : R→ R ir

f(x) =

0, x ∈ R\Q,1b, x ∈ Q, x = a

b, (neprastinama trupmena)

Parodyti, kad funkcija tolydi iracionaliuose taškuose ir netolydi racionaliuose.

3. Tegu funkcija f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) =

x3 + 2, jei x ≤ 0,x2 − 2, jei 0 < x ≤ 2,

x, jei x > 2.

Rasti funkcijos f tolydumo ir trūkio taškus.

4. Tegu f(x) := [x] (skaičiaus sveikoji dalis). Rasti funkcijos trūkio taškų aibę.

5. Tegu a ∈ R ir f : R→ R yra funkcija su reikšmėmis

f(x) ={x2 − x+ 1, jei x ≤ 1,

ax+ 1, jei x > 1.

Kokioms a reikšmėms funkcija f yra tolydi?

6. Tarkime, kad f : (a, b)→ R yra tokia funkcija, kad

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

visiems x, y ∈ (a, b) ir λ ∈ (0, 1) (tokia funkcija vadinama iškiliąja). Įrodyti, kad fyra tolydi

7. Tarkime, kad funkcija f [0, 2] → R yra tolydi ir f(0) = f(2). Įrodyti, kad intervale[0, 2] egzistuoja tokie skaičiai a ir b, kad a− b = 1 ir f(a) = f(b).

67

8. Ištirti funkcijų tolydumą:

(a) f(x) = cos2 1x , x 6= 0, f(0) = 1.

(b) f(x) = arctan 1x , x 6= 0, f(0) = 0.

9. Patikrinkite, ar funkcija f(x) yra tolydi taške x, čia

(a) x = 1 ir

f(x) ={

3x− 5, x 6= 12, x = 1

(b) x = −2 ir

f(x) ={x2 + 2x, x ≤ −2x3 − 6x, x > −2

(c) x = 0 ir

f(x) =

x−6x−3 , x < 02, x = 0√

4 + x2, x > 0

(d) x = −1 ir

f(x) = x2 + 1x3 + 1

(e) x = 3 ir x = −3 bei

f(x) ={

x3−27x2−9 , x 6= 392 , x = 3

10. Kurioms x reikšmėms funkcija f(x) yra tolydi, čia

(a) f(x) = x2 + 3x+ 5x2 + 3x− 4 ;

(b) f(x) = (sin(x20 + 5))1/3;(c) f(x) =

√x2 − 2x;

(d) f(x) = ln(x− 1x+ 2

);

(e) f(x) = esinx

4−√x2 − 9

;

(f)

f(x) =

x−1√x−1 , x > 1

5− 3x, −2 ≤ x ≤ 16

x−4 , x < −2

11. Nustatykite, kurioms konstantų A ir B reikšmėms funkcija f(x) yra tolydi visiemsx, čia

68

(a)

f(x) ={A2x−A, x ≥ 34, x < 3

(b)

f(x) =

Ax−B, x ≤ −12x2 + 3Ax+B, −1 ≤ x ≤ 14, x > 1

12. Parodykite, kad funkcija

f(x) ={

e−1/x2, x 6= 0

0, x = 3

yra tolydi visiems x.

13. Tegu

f(x) ={x2 cos

(1x

), x 6= 0

0, x = 3

Parodykite, kad f yra tolydi visoms x reikšmėms.

69

7.3 Tolydumas ir tolygus tolydumas


Apibrėžtis 7.14 Tegul aibė A ⊂ R, funkcija f : A→ R ir tegul elementas y ∈ A yra aibėsA ribinis taškas. Sakoma, kad f yra tolydi taške y, arba y yra funkcijos f tolydumo taškas,jei

limx→y

f(x) = f(y);

kitaip tariant, jei f konverguoja į f(y) taške y.

Apibrėžtis 7.15 Funkcija f : A → R vadinama tolygiai tolydžia, jei kiekvienam ε > 0egzistuoja toks δ = δ(ε) > 0, kad

ρ(f(x), f(y)) < ε jei tik x ∈ A, y ∈ A ir |x− y| < δ.

Teorema 7.19 (Kantoro teorem). Tolydi uždarame intervale funkcija yra tolygiai tolydi.

Skirtumas tarp tolydumo ir tolygaus tolydumo. Vienintelis skirtumas tarp šiųdviejų apibrėžimų yra kvantorių tvarka. Jei norima įrodyti, kad f yra tolydi funkcija, taiįrodymo schema

Fiksuojamas y ∈ A. Fiksuojamas ε > 0. Tada δ = δ(y, ε). Pasirenkamas x ∈ A. Tarkime|x− y| < δ. ... ... ... Todėl |f(x)− f(y)| < ε.

Šiuo atveju δ(y, ε) išraiška gali priklausyti nuo y ir ε, bet negali priklausyti nuo x. Kvantoriųeiliškumais parodo tai, kad x dar nėra pasirinktas tuo metu, kai mes apibrėžiame δ, todėlδ apibrėžimas neįtraukia x. Kai norite parodyti, kad f yra tolygiai tolydi, tai

Fiksuojamas ε > 0. Tada δ = δ(ε) > 0. Pasirenkam y ∈ A. Pasirenkamas x ∈ A. Tarkime|x− y| < δ. ... ... ... Todėl |f(x)− f(y)| < ε.

Taigi δ(ε) išraiška gali įtraukti tik ε, bet joje negali būti nei x, nei y. Šį kartą δ buvoapibrėžtas anksčiau nei pasirinktas y bei x.

Iš šių apibrėžimų išplaukia, kad tolygiai tolydi funkcija yra ir tolydi, bet tolydi funkcijanebūtinai yra tolygiai tolydi.

Kitas specifikacija. Tolygų tolydumą taip pat galime specifikuoti sekomis. TarkimeA ⊂ R. Tada funkcija f : A → R yra tolygiai tolydi tada ir tik tada kai bet kuriomssekoms xn ir yn tokioms, kad limn→∞ |xn − yn| = 0 galioja

limn→∞

|f(x)− f(y)| = 0.

Jei norima parodyti, kad funkcija nėra tolygiai tolydi pakanka surasti sekas xn ir yn,kurioms galioja limn→∞ |xn − yn| = 0, bet negalioja limn→∞ |f(x)− f(y)| = 0.


1. Ar funkcija f(x) = 3x+ 1 tolygiai tolydi visoje R.

2. Ar funkcija f(x) = 3x2 + 1 tolygiai tolydi visoje R.

3. Ar funkcija f(x) = 3√x+ 1 tolygiai tolydi visoje R.

70


1. Tarkime, kad f : [a, b]→ R yra funkcija, α ∈ (0, 1] ir egzistuoja toks skaičius C ∈ R,kad

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α

visiems x, y ∈ [a, b] (tada sakoma, kad funkcijai f galioja Hölder io sąlyga su rodikliuα). Įrodyti, kad f yra tolygiai tolydi.

2. Parodykite, kad funkcija f(x) = sin πx yra tolydi ir aprėžta intervale (0, 1), bet ji nėra

tolygiai tolydi.

3. Ar funkcija f yra tolygiai tolydi:

(a) f(x) = ln x, x ∈ (0, 1);(b) f(x) = sinx

x , x ∈ (0, π).

4. Įrodykite, kad funkcija f(x) =√x , x ∈ (0,∞) yra tolygiai tolydi.

5. Parodykite, kad funkcija f(x) = 1x yra tolydi inervale (0, 1). Ar ši funkcija yra

tolygiai tolydi šiame intervale? Įrodykite.

6. Parodykite, kad f(x) = cosx yra tolygiai tolydi visoje R.

7. Parodykite, kad f(x) = c yra tolygiai tolydi visoje R.

8. Tarkime, kad funkcija f yra tolygiai tolydi bei seka (xn)n≥0 yra Cauchy seka. Įro-dykite, kad tada ir (f(xn))n≥0 yra Cauchy seka.

71

8 Diferencijavimas

8.1 Elementarių funkcijų išvestinių skaičiavimas


Apibrėžkime skirtuminio santykio funkciją φ(f, c) : O•δ (0)→ R su reikšmėmis

φ(f, c; t) := f(c+ t)− f(t)f(c) , c ∈ O•δ .

Apibrėžtis 8.1 Tegul A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės A vidinistaškas ir f : A→ R yra funkcija. Sakoma, kad funkcija f yra diferencijuojama taške c, jeiskirtuminis santykis φ(f, c) konverguoja taške 0, t. y. jei egzistuoja toks realusis skaičiusr, kad

limt→0

φ(f, c; t) = r.

Skaičius r vadinamas funkcijos f išvestine taške c ir žymimas f ′(c) arba f (1)(c). Sa-koma, kad funkcija f : A → R yra diferencijuojama, jei ji diferencijuojama kiekvienameapibrėžimo srities A vidiniame taške.

Atsižvelgiant į funkcijos ribos apibrėžimą turime: skaičius f ′(c) ∈ R yra funkcijos fišvestinė taške c tada ir tik tada, kai su kiekvienu ε > 0 egzistuoja toks δ > 0, kad nelygybė

∣∣φ(f, c;x− c)− f ′(c)∣∣ =

∣∣∣∣f(x)− f(c)x− c

− f ′(c)∣∣∣∣ < ε

galioja tiems x ∈ A, kuriems 0 < |x− c| < δ. Be to, dėl funkcijos ribos vienatinumo,išvestinė, jei egzistuoja, yra vienintelė.

Teorema 8.1 Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės Avidinis taškas ir funkcija f : A→ R yra diferencijuojama taške c. Tada f tolydi taške c.

Teorema 8.2 Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė, elementas c ∈ A yra aibės Avidinis taškas, o funkcijos f : A → R ir g : A → R yra diferencijuojamos taške c. Tadagalioja teiginiai:

1. sumos funkcija f + g yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinė yra

(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c);

2. sandaugos funkcija fg yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinė yra

(fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);

3. su bet kuriuo skaičiumi r ∈ R, funkcija rf yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinėyra

(rf)′(c) = rf ′(c);

4. jei be to g(x) 6= 0 kiekvienam x ∈ A, tai santykio funkcija f/g yra diferencijuojamataške c ir jos išvestinė yra

(f/g)′(c) = f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)g2(c) .

72

Teorema 8.3 Tarkime, kad A ir B yra realiųjų skaičių aibės, elementas c ∈ A yra aibės Avidinis taškas, o elementas d ∈ B yra aibės B vidinis taškas. Tarkime, kad f : A→ B yradiferencijuojama taške c funkcija ir f(c) = d, o funkcija g : B → R yra diferencijuojamostaške d. Tada kompozicija g ◦ f yra diferencijuojama taške c ir jos išvestinė

(g ◦ f)′(c) = g′(d)f ′(c).

Atvirkštinio diferencijavimo taisyklė:

Teorema 8.4 Tarkime, kad I yra intervalas, baigtinis ar begalinis, o funkcija f : IR yradidėjanti ir tolydi. Jei f yra diferencijuojama vidiniame taške c ∈ I ir f ′(c) 6= 0, taid := f(c) yra intervalo f [I] vidinis taškas ir atvirkštinė funkcija f−1 : f [I] → R yradiferencijuojama taške d su išvestine

(f−1)′(d) = 1f ′(c) .

Elementariųjų funkcijų išvestinės

1. (xα)′ = αxα−1;

2. (√x)′ = 1

2√x

;

3. (ax)′ = ax ln a, a > 0;

4. (ex)′ = ex;

5. (sin x)′ = cosx;

6. (cosx)′ = − sin x;

7. (tan x)′ = 1cos2 x

;

8. (cotx)′ = − 1sin2 x

;

9. (arctan x)′ = 11 + x2 ;

10. (arc cotx)′ = − 11 + x2 ;

11. (arcsin x)′ = 1√1− x2

;

12. (arccosx)′ = − 1√1− x2

;

13. (logα x)′ = 1x ln a , a > 0;

14. (|x|)′ = sgnx, x 6= 0;

15. ([x])′ = 0, x 6= k, k ∈ Z.

73

Funkcijų ekstremumai.

Apibrėžtis 8.2 Tegul A yra tiesės taškų aibė ir f : A→ R. Elementas u ∈ A vadinamasfunkcijos f lokalaus maksimumo tašku, jei egzistuoja toks δ > 0, kad Oδ(u) = (u−δ, u+d) ⊂A ir f(u) ≥ f(x) visiems x ∈ Oδ(u). Elementas v ∈ A vadinamas funkcijos f lokalausminimumo tašku, jei egzistuoja toks δ > 0, kad Oδ(v) = (v − δ, v + δ) ⊂ A ir f(v) ≤ f(x)visiems x ∈ Oδ(u). Elementas c ∈ A vadinamas funkcijos f lokalaus ekstremumo tašku,jei jis yra lokalaus maksimumo taškas arba lokalaus minimumo taškas.

Funkcijos maksimumo taškas vadinamas tos funkcijos globalaus maksimumo tašku,funkcijos minimumo taškas vadinamas tos funkcijos globalaus minimumo tašku, o mak-simumo arba minimumo taškas vadinamas globalaus ekstremumo tašku.

Teorema 8.5 Tarkime, kad c yra aibės A vidinis taškas ir funkcija f : A → R yra dife-rencijuojama taške c. Jei c yra funkcijos f lokalaus ekstremumo taškas, tai f ′(c) = 0.

Remiantis pastarąja teorema, jei funkcijos apibrėžimo srities vidinis taškas yra lokalausekstremumo taškas, tai arba funkcija yra nediferencijuojama tame taške arba jos išvesti-nė tame taške yra lygi nuliui. Funkcijos f apibrėžimo srities vidinis taškas c vadinamasstacionarumo tašku, jei f ′(c) = 0, ir vadinamas nediferencijuojamumo tašku, jei išvestinėtame taške neegzistuoja. Bet kuris iš šių dviejų taškų vadinamas kritiniu tašku.


1. Pateikite geometrinę išvestinės interpretaciją.

2. Raskite funkcijų išvestines:

(a) πx

i. πx2 ;

ii. − πx2 ;

iii. π.(b)√

sin x+ cosx:i. 1

2√

sinx+cosx ;ii. cosx−sinx

2√

sinx+cosx ;iii. cosx+sinx

2√

sinx+cosx .

(c) esinx:i. ecosx;ii. esinx cosx;iii. −esinx cosx.


1. Rasti funkcijos f : (a, b) → R išvestinę intervalo (a, b) taškuose pagal apibrėžimą,kai:

(a) f(x) = r

(b) f(x) = x

(c) f(x) = xα, α ∈ R.(d) f(x) = sin x.

74

2. Rasti funkcijų išvestines:

(a) ln(cos(x2))tan(ex)

(b) exp(cos(ln(x3)))√sin(x)

(c) 4√√

x+ 2− 1− 2√

2 arctan√√

x+2−12 + 1

(d) arctan√

cos 2x−√

cos 2x(e) sin2(w cosαx) + cos2(w sinαx)(f) cot(a tan(b arctan(cx)))

(g) logc√

x+1x+b

(h) xsinx + (sin x)x

(i) x(lnx)x

(j) xxxx

3. Rasti funkcijų išvestines

(a) arcsin 1|x|

(b) [x] sin2 πx

4. Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę

f(x) = 4−√x+ 3


(a) f(x) =√

13x2 − 5x+ 8;(b) f(x) = loga(4 + cosx);(c) f(x) = 7xex2 ;(d) f(x) = 23x+1 log(5x− 11).

6. Naudodamiesi apibrėžimu raskite funkcijų išvestines:

(a) f(x) = 12x−

35 ;

(b) f(x) = cos 3x;(c) f(x) =

∣∣x2 − 3x∣∣;


(a) f(x) = (4x+ x−5)1/3;

(b) f(x) =(

8x− x6

x3

)−4/5

;

(c) f(x) = 3 tan√x;

(d) f(x) = log(cos5(3x4));(e) f(x) =

√sin(7x+ log(5x));

(f) f(x) = x3 log(4x);(g) f(x) = x2e−2x;

75

(h) f(x) = (x3 − 7x2)4(1 + 9x)1/2.

8. Funkcijos f(x) santykinis pokyčio dažnis (angl. relative rate of change) atžvilgiu xapibrėžiamas:

RRC = f ′(x)f(x) .

Funkcijos f(x) procentinis pokyčio dažnis (angl. percentage rate of change) atžvilgiux apibrėžiamas:

PRC = 100 · f′(x)f(x) .

Miesto X populiacija P (tūkstančiais) laiko momentu t po 1850 metų aprašomafunkcija

P (t) = 100 + 70t− 1.5t2 + 0.01t3.

Koks yra santykinis populiacijos pokyčio dažnis 2010 metais? Koks yra procentinispopuliacijos pokyčio dažnis 2010 metais?

9. Kuriuose taškuose diferencijuojamos funkcijos | sin x| ir sin |x|?

10. Tarkime, kad tolydi funkcija f : [a, b] yra diferencijuojama atvirame intervale (a, b) irf ′(x) = 0, kiekvienam x ∈ (a, b). Įrodyti, kad f yra pastovioji funkcija su vienintelereikšme r ∈ R, t.y. f(x) = r, kiekvienam x ∈ [a, b].

76

8.2 Išvestinių taikymas, aukštesnės eilės išvestinės


Kelios naudingos formulės:

(ax)(n) = ax logn a, a > 0

(sin x)(n) = sin(x+ nπ

2

)(cosx)(n) = cos

(x+ nπ

2

)(xm)(n) = m(m− 1) · · · (m− n+ 1)xm−n

(log x)(n) = (−1)n−1(n− 1)xn

Leibnico formulė

(uv)(n) =n∑i=0

(n

i

)u(i)v(n−i)

Vidurinės reikšmės teoremos. Rolio teorema. Tegu funkcija f : [a, b] → R tolydisegmente [a, b] ir turi baigtinę arba begalinę išvestinę šiame intervale. Tegu f(a) = f(b).Tada egzistuoja ξ ∈ [a, b], kad

f ′(ξ) = 0.

Lagranžo teorema. Jeigu funkcija f : [a, b]→ R tolydi intervale [a, b] ir turi baigtinęarbą begalinę išvestinę vidiniuose šio intervalo taškuose. Tada ∃ξ ∈ (a, b) toks, kad

f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a).

Koši teorema: Jei abi funkcijos f, g tolydžios intervale [a, b] ir turi baigtinę arbabegalinę išvestinę intervale (a, b), bei g′(x) = 0 intervale (a, b), tai ∃ξ ∈ (a, b), kad

f(b)− f(a)g(b)− g(a) = f ′(ξ)

g′(ξ)

Teorema 8.6 Tarkime, kad funkcija f : (a, b) → R yra du kartus diferencijuojama. Sukiekvienu x ∈ (a, b) ir x0 ∈ (a, b) egzistuoja toks x∗ ∈ (a, b), esantis tarp x ir x∗, kaix 6= x0, kad

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + 12f′′(x∗)(x− x0)2.

Liopitalio taisyklė. Pirmoji taisyklė 00 : Jei funkcijos f, g apibrėžtos taško a, (x 6= a),

čia a yra baigtinis skaičius arba ∞. Kai x→ a abi funkcijos artėja į nulį ir egzistuoja abiišvestinės f ′, g′ taško a aplinkoje, galimai neįtraukiant taško x = a, ir egzistuoja baigtinėarba begalinė riba limx→a

f ′(x)g′(x) , tai

limx→a

f(x)g(x) = lim

x→af ′(x)g′(x) .

Antroji taisyklė ∞∞ : Jei funkcijos f, g, kai x → a abi artėja į begalybę, o išvestinėsf ′, g′ egzistuoja visiems x priklausantiems taško a aplinkai ir nelygiemsa. Be to, (f ′(x))2 +(g′(x))2 6= 0 taško a aplinkoje, egzistuoja baigtinė arba begalinė riba limx→a

f ′(x)g′(x) , tai

limx→a

f(x)g(x) = lim

x→af ′(x)g′(x) .

77

Iškilosios ir įgaubtosios funkcijos.

Apibrėžtis 8.3 Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibė, f : A → R yra funkcija irintervalas (a, b) ⊂ A. Funkcija f vadinama iškiląja intervale (a, b) (angl. convex), jei subet kuriais a < x1 < x2 < b nelygybė

f(λx1 + (1− x2)) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2)

galioja visiems λ ∈ (0, 1). Funkcija f vadinama griežtai iškiląja intervale (a, b) (angl.strictly convex), jei nelygybė yra griežta ir galioja visiems λ ∈ (0, 1). Funkcija f vadinama(griežtai) įgaubtąja intervale (a, b) (angl. (strictly) concave), jei −f yra (giežtai) iškilojiintervale (a, b). Intervalą (a, b) vadinsime funkcijos f (griežto) iškilumo arba (griežto)įgaubtumo intervalu, jei tame intervale galioja atitinkama f funkcijos savybė.

Teorema 8.7 (Pakankama iškilumo sąlyga). Tarkime, kad funkcija f : (a, b)→ R yra dukartus diferencijuojama. Jei jos antroji išvestinė f ′′ yra visur neneigiama (teigiama), taif yra (griežtai) iškiloji intervale (a, b).

Funkcija gali būti iškiląja vienoje savo apibrėžimo srities dalyje ir įgaubtąja kitojeapibrėžimo srities dalyje.

Teorema 8.8 Tarkime, kad A yra realiųjų skaičių aibe, f : A → R yra funkcija ir c yraaibės A vidinis taškas. Taškas c vadinamas funkcijos f perlinkio tašku (angl. inflectionpoint), jei c yra funkcijos f tolydumo taškas ir vienu metu yra funkcijos f griežto iškilumointervalo galas bei funkcijos f griežto įgaubtumo intervalo galas.

Teorema 8.9 (Butina perlinkio taško savybe). Tarkime, kad funkcija f : (a, b) → Ryra du kartus diferencijuojama. Jei taškas c ∈ (a, b) yra funkcijos f perlinkio taškas, taif ′′(c) = 0.

(Pakankama perlinkio taško savybe). Tarkime, kad c ∈ (a, b) ir funkcija f : (a, b)→ Ryra tolydi taške c bei du kartus diferencijuojama taško c pradurtoje aplinkoje. Jei antrojiišvestine f ′′ pereinant tašką c keičia ženklą, tai c yra perlinkio taškas.

Funkcijos ekstremumai.

Teorema 8.10 Tarkime, kad a < c < b ir du kartus diferencijuojamos funkcijos f :(a, b)→ R antroji išvestine f ′′ yra tolydi.

1. Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) < 0, tai f turi lokalųjį maksimumą taške c.

2. Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) > 0, tai f turi lokalųjį minimumą taške c.

3. Jei f ′(c) = 0 ir f ′′(c) = 0, tai taške c funkcija f gali turėti lokalųjį ekstremumą arbane.

Lokali Teiloro formulė. Jeigu funkcija f , apibrėžta kokioje nors taško x0 aplinkoje,turi baigtinę išvestinę f (n)(x0), tai teisinga lygybė

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + · · ·+ f (n)(x0)(x− x0n! + o ((x− x0)n) ,

kai x→ x0.

78

Grafiko brėžimo etapai. Asimptotės. Tiesė x = a vadinama funkcijos grafiko y =f(x) vertikale asimptote jei bent vienas iš šių teiginių teisingas:

limx→a−

f(x) = ±∞ limx→a+

f(x) = ±∞.

Funkcija f(x) gali būti apibrėžta taške a, arba ne. Taip pat jos reikšmė taške a neįtakojaasimptotės.

Horizontalios asimptotės yra horizontalios tiesės, prie kurių artėja funkcija, kai x →±∞. Horizontali funkcijos y = f(x) asimptotė y = c egzistuoja, jei

limx→−∞

f(x) = c or limx→+∞

f(x) = c.

Pirmu atveju, f(x) turi asimptotę y = c, kai x→ −∞, o kitu atveju, kai x→ +∞.Funkcijos pasvirąja asimptote vadiname tiesę y = mx+ n, m 6= 0, jei

limx→+∞

[f(x)− (mx+ n)] = 0 or limx→−∞

[f(x)− (mx+ n)] = 0.

Pirmu atveju, f(x) turi asimptotę y = mx+ n, kai x→ +∞, o kitu atveju, kai x→ −∞.Pasviroji asimptotė, kai x→ +∞ randama taip:

limx→+∞

f(x)x

= m(m 6= 0), limx→+∞

[f(x)−mx] = n.

Analogiškai, randama pasviroji asimptotė, kai x→ −∞:

limx→−∞

f(x)x

= m(m 6= 0), limx→−∞

[f(x)−mx] = n.

Taigi, grafiko brėžimo etapai yra:

1. Nustatykite funkcijos apibrėžimo sritį; ar funkcija yra periodinė; susikirtimo taškussu Ox ašimi ir ženklo pastovumo intervalus; funkcijos grafiko simetriškumą; rastitrūkio taškus bei tolydumo intervalus.

2. Išsiaiškinti asimptočių egzistavimą

3. Rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremumo taškus.

4. Nustatyti kuriuose intervaluose funkcija iškila žemyn, o kuriuose iškila aukštyn; nu-statyti perlinkio taškus.

5. Nubrėžti funkcijos grafiką.


Raskite pirmos, antros, trečios ir ketvirtos eilės funkcijų išvestines:

1. f(x) = xk, k ≥ 6;

2. f(x) = e3x;

3. f(x) = log x;

4. f(x) = sin 5x.

79


1. Raskite antros eilės išvestines:

(a) f(x) = sin x2;(b) f(x) = log φ(x);(c) f(x) = g(ex);(d) f(x) = log a+bx

a−bx

2. Naudodami aukščiau pateiktas diferencijavimo formules, raskite

(a) f (100)(x), čia f(x) = 1+x√1−x ;

(b) f (n)(x), čia f(x) = 1x2−3x+2 ;

(c) f (n)(x), čia f(x) = sin3(x);

3. Įrodykite nelygybes

(a) |sin x− sin y| ≤ |x− y|(b) pyp−1(x− y) ≤ xp − yp ≤ pxp−1(x− y), 0 < y < x, p > 1 .

4. Naudodami Liopitalio taisyklę raskite ribas:

(a) limx→0(sin x− tan x)3

sin(sin x)− tan(tan x)

(b) limx→2(x−2)2+4

sin πx4

(a

sin(x−2) −b

x−2 + c(x−2)2

)5. Raskite funkcijų Teiloro eilutes taško 0 aplinkoje

(a) f(x) = ex;(b) f(x) = sin x;(c) f(x) = log(1 + x);

6. Nubrėžkite funkcijų grafikus:

(a) f(x) = x−2√x2+1 ;

(b) f(x) = |1+x|3/2√x

;

7. Įrodykite nelygybę a− ba

< log ab<a− bb

, kai 0 < b < a.

8. Raskite f (50)(0), kai

(a) f(x) = sin x;(b) f(x) = 1

x4+1 .

9. Įrodykite nelygybes:

(a) |arctan a− arctan b| ≤ |a− b|;(b) a−b

a < log ab <

a−bb , 0 < b < a.

10. Raskite funkcijų Taylor’o eilutes:

(a) f(x) = 11−x , |x| < 1;

80

(b) f(x) = arcsin x;(c) f(x) = arctan x;(d) f(x) = log(cosx);(e) f(x) = ex

cosx ;(f) f(x) = (1 + x)ex;(g) f(x) = (1 + x)m.

11. Nubrėžkite funkcijos grafiką f(x) = x1/x.

81

8.3 Teiloro formulės taikymai

Pavyzdžiai

1. Teiloro formulės pagalba apytiksliai apskaičiuokite sin 18◦. (Pasirinkite tris narius)Sprendimas: Pagal Makloreno formulę funkcijai sin x turime

sin 18◦ = sin π

10 = π

10 −16 ·

π3

103 + 1120 ·

π5

105 +R7,

čia R7 = sin(7) c

(7)! ·x7 Lagranžo formos liekamasis narys. Kadangi c = x0 +θ(x−x0) =

0 + θx− 0 = θx < x bei | sin x| ≤ 1, ∀x, tai

|R7| =∣∣∣sin(7) c

(7)! · x7∣∣∣ < 1

7!

(π

20

)7.

Taigi

sin 18◦ ≈ sin π

10

(1− π2

600 + π4

12 · 105

)

≈ 0, 314159(

1− 9, 869604600 + (9, 869604)2

12 · 105

)≈ 0, 314159(1− 0, 016449 + 0, 000079) ≈ 0, 309017.

2. Suskaičiuoti cos 9◦ su tikslumu 10−5.Sprendimas: Nustatysime, kiek reikia paimti narių Makloreno eilutės išdėstyme,kad gautume norimą įverčio tikslumą. Liekamąjį narį imsime Lagranžo formos, tadac = θx = θ π20 <

π20 . Tada

|R2n+2| =∣∣∣(cos c)(2n+2)

(2n+ 2)! ·(π

20

)2n+2 ∣∣∣ < π2n+2

202n+2(2n+ 2)!

<π2n+2

202n+2 < 10−5.

Iš pastarosios nelygybės išsprendžiame n:

π2n+2

202n+2 < 10−5

(2n+ 2) ln π

20 < ln 10−5

2n+ 2 > ln 10−5

ln π20

2n+ 2 > −11, 51−1, 85

2n+ 2 > 6, 222n > 4, 22n > 2, 22

Vadinasi gavome, kad n ≥ 2. Taigi, imame trijų narių skleidinį (dvi išvestinės irfunkcijos reikšmė):

cos 9◦ ≈ 1− 12

(π

20

)2+ 1

4!

(π

20

)4≈ 0, 98769.

82

3. Raskite ribą limx→∞( 6√x6 + x5 − 6√x6 − x5).Sprendimas: Naudosimės (1 + x)m Makloreno eilutės skleidiniu:

limx→∞

( 6√x6 + x5 − 6

√x6 − x5) = lim

x→∞x

((1 + 1

x

) 16−(

1− 1x

) 16)

= limx→∞

x

(1 + 1

6x + o

(1x

)−(

1− 16x + o

(1x

)))= lim

x→∞x · 2

6x = 26 = 1

3 .

Uždaviniai

1. Raskite ribas:

limx→0

cosx− exp−fracx22x4

limx→0

1− (cosx)sinx

x3

83

Literatūra[1] Rimas Norvaiša, Matematinė analizė I. Paskaitų konspektas, Vilnius, 3.13 variantas,

2011.

[2] Paul Zorn, Understanding real analysis. A K Peters/CRC Press, 2010.

[3] John E. Hutchinson, Introduction To Mathematical Analysis. Department of Mathema-tics School of Mathematical Sciences, ANU 1994.

[4] D. Corbae, M. B. Stinchcombe, J. Zeman, An Introduction to Mathematical Analysisfor Economic Theory and Econometrics. Princeton University Press, 2009.

[5] Anıl Tas, Mathematical Analysis. Lecture Notes, Turkey, 2005.

[6] Duane Kouba CONTINUITY OF FUNCTIONS OF ONE VARIABLE http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/continuitydirectory/Continuity.html 1998.

84

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/continuitydirectory/Continuity.html



matematinės analizė i uždavinynasweb.vu.lt/mif/j.markeviciute/files/2012/08/ma-i-2012a.pdf · 3....

Documents