VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Rimas Banys

MATEMATIN ĖS ANALIZĖS KURSAS

Mokomoji knyga

Vilnius 2008

2

1. NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

1.1. Pirmykštė funkcija

Pirmoji matematinės analizės kurso dalis skirta diferencialiniam skaičiavimui, kurio pagrindinė sąvoka yra išvestinė. Šią sąvoką įve-dėme, norėdami nusakyti funkcijos grafiko liestinę ir apskaičiuoti jos krypties koeficientą. Taigi šią problemą galima laikyti pradine išves-tinės sąvokos motyvacija. Matėme, kad išvestinė yra nepaprastai svarbi ir plačiai taikoma įvairiose srityse, kurios iš pirmo žvilgsnio atrodo neturinčios nieko bendra su grafikų liestinėmis.

Antrosios kurso dalies, kuri vadinama integraliniu skaičiavimu, pagrindinė sąvoka yra integralas. Integralo sąvokos pradine motyvaci-ja galima laikyti plokštumos srities, kuri yra tarp funkcijos f grafiko

ir x-ų ašies atkarpos [ ]ba, , ploto ir jo apskaičiavimą. Šis plotas yra

lygus funkcijos f integralui atkarpoje [ ]ba, , kuris žymimas simbo-

liu dxxfb

a∫ )( . Integralas plačiai taikomas sprendžiant įvairias proble-

mas, kurios kaip ir išvestinės atveju atrodytų turinčios maža bendro su pirminiu uždaviniu – ploto skaičiavimu. Integralas pavyzdžiui naudo-jamas skaičiuojant kūnų tūrius, kreivių lanko ilgius, paviršių plotus, kintamos jėgos atliekamą darbą, nustatant svorio centrą.

Pasirodo, kad norint apskaičiuoti funkcijos f integralą, pakan-

ka rasti tokią funkciją F , kurios išvestinė yra duotoji funkcija: )()( xfxF =′ . Taigi turime atlikti veiksmą atvirkščią diferencijavi-

mui. Šią matematinę operaciją ir nagrinėsime pirmajame skyriuje. Iš fizikos kurso žinome, kad laisvai krentančio beorėje erdvėje

kūno pagreitis yra pastovus, t.y. nuo laiko nepriklausantis dydis, ku-ris paprastai žymimas simboliu g ir kuris apytikriai lygus 9,8 m/s2.

Tai reškia, kad krentančio kūno greitis kas sekundę padidėja dydžiu g (m/s). Pažymėję )(tv krentančio kūno greitį laiko momentu t ,

turėsime kintamojo t funkciją v , atitinkančią sąlyga gtv =′ )( arba,

3

kitaip užrašius, gdt

dv= . Ar galime iš šios sąlygos nustatyti, kaip

greitis v priklauso nuo laiko t , kitaip sakant, ar galime rasti funkciją )(tv , žinodami, kad jos išvestinė yra pastovus dydis g ? Lengva

pastebėti, kad funkcija gttv =)( atitinka šią sąlygą, kaip ir funkcija 2)( += gttv arba funkcija Cgttv +=)( , kai C yra bet koks skai-

čius. Taigi radome funkciją (ir ne vieną), kurios išvestinę žinojome iš anksto.

Nesunku rasti ir tokią funkciją )(xF , kurios išvestinė yra lygi

pavyzdžiui funkcijai 2)( xxf = . Funkcija CxxF += 3

3

1)( , kai C

yra bet kokia konstanta (pastovus dydis), atitinka šią sąlygą. Abiem atvejais rastosios funkcijos )(tv ir )(xF yra vadinamos duotųjų funkcijų, atitinkamai pastoviosios funkcijos lygios skaičiui g ir

funkcijos 2)( xxf = pirmykštėmis. Dabar suformuluosime pirmykš-

tės funkcijos apibrėžimą bendruoju atveju. Tarkime, funkcijos F ir f yra apibrėžtos kokiame nors intervale I (baigtinaime ar begali-

niame). 1 apibrėžimas. Funkcija F yra vadinama funkcijos f pir-

mykštė funkcija (intervale I ), jei )()( xfxF =′ su visais x (iš inter-

valo I ). Pagal šį apibrėžimą funkcija xsin yra funkcijos xcos pirmykš-

tė, 2x – funkcijos 23

1 3 +x pirmykštė, o x

1 – funkcijos xln pir-

mykštė intervale ( )∞,0 .

Pastaba. Kadangi funkcijos F diferencialas yra dxxFxdF )()( ′= , tai galime sakyti, kad F yra funkcijos f pir-

mykštė, jei fxxfxdF )()( = . Pastebėsime, kad jei F yra funkcijos f pirmykštė, tai su bet ku-

ria konstanta C funkcija CxF +)( taip pat yra funkcijos f pir-

mykštė. Pavyzdžiui, su kiekviena konstanta C funkcija

4

CxxG += 3)( yra funkcijos 23)( xxf = pirmykštė. Taigi jei funkci-

ja turi pirmykštę, tai ji turi be galo daug. Kyla klausimas, ar kiekvie-

na funkcijos 23)( xxf = pirmykštė turi pavidalą Cx +3 . Į šį klausi-

mą atsako tokia teorema. 1 teorema. Jei )()( xfxF =′ su kiekvienu Ix∈ , tai kiekviena

funkcijosf pirmykštė funkcija G intervale I gali būti išreikšta su-

ma CxFxG += )()( , čia C yra konstanta.

Įrodymas. Kadangi funkcijos F ir G turi tą pačią išvestinę, tai kaip žinome iš kurso pirmosios dalies, šios funkcijos skiriasi pasto-viu dydžiu, t.y. CxFxG =− )()( . ∇

Iš šios teoremos išplaukia, kad jei F yra funkcijos f kuri nori pirmykštė funkcija, tai visos f pirmykštės funkcijos turi pavidalą

CxF +)( . Pavyzdžiui, kadangi 3)( xxF = yra funkcijos 23)( xxf = pirminė funkcija, tai f visų pirminių funkcijų aibė yra

{ }RCCx ∈+ ,3 .

2 apibrėžimas. Funkcijos f visų pirmykščių funkcijų aibė va-

dinama funkcijos f neapibrėžtiniu integralu ir žymima ∫ dxxf )( .

Taigi funkcijos 23)( xxf = neapibrėžtinis integralas yra visos

funkcijos { }RCCx ∈+ ,3 . Paprastai rašoma trumpiau:

Cxdxx +=∫323 .

Bendriau, jei )()( xfxF =′ , tai rašoma CxFdxxf +=∫ )()( .

Simbolį ∫ vadinsime integralu, funkciją f – pointegracine

funkcija, o dxxf )( – pointegraciniu reiškiniu.

Pointegracinio reiškinio simbolis dxčia tik nurodo nepriklauso-mąjį kintamąjį x . Neapibrėžtinį integralą galima būtų žymėti ir

∫ )(xf . Tačiau vėliau matysime, kad simbolis ∫ dxxf )( patogesnis,

ir pointegracinį reiškinį laikysime diferencialu (žr. pastabą po 1 api-brėžimo).

5

Funkcijos neapibrėžtinio integralo suradimo operacija vadinama integravimu. Funkciją vadinsime integruojama, jei ji turi pirmykštę. Paminėsime, kad ne kiekviena funkcija turi pirmykštę, tačiau kiek-viena tolydi atkarpoje funkciją ją turi, taigi yra integruojama. Tačiau kaip ją rasti, tai jau visai kitas klausimas.

Pagrindinių integralų lentelė

1) Ca

xdxx

aa +

+=

+

∫1

1

( )1−≠a ;

2) Ca

adxa

xx +=∫

ln ( )1,0 ≠> aa ;

3) Cxx

dx+=∫ ln ;

4) Cxdxx +=∫ sincos ;

5) Cxxdx +−=∫ cossin ;

6) Cxx

dx+=∫ tg

cos2;

7) Cxx

dx+−=∫ ctg

sin2;

8) Cxx

dx+=

−∫ arcsin

1 2;

9) ∫ +=+

Cxx

dxarctg

1 2.

Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo iš karto išplaukia šios in-tegralo savybės:

1) ( ) )()( xfdxxf =′∫ ;

2) ( ) dxxfdxxfd )()( =∫ ;

3) ( ) dxxgbdxxfadxxbgxaf ∫∫∫ +=+ )()()()( .

Pastaroji savybė išreiškia tą faktą, kad integravimas (pirmykštės funkcijos radimas) yra tisinė operacija. Ši savybė ir vadinama integ-ralo teisiškumo savybė.

6

Pirmosios dvi savybės yra akivaizdžios. Norėdami įrodyti trečią-ją, turime įsitikinti, kad lygybės dešinėje pusėje esanti funkcija

∫∫ + dxxgbdxxfa )()( yra kairiosios lygybės pusės integralo poin-

tegracinė funkcijos )()( xbgxaf + pirmykštė. Bet tai iš karto išplau-

kia iš diferencijavimo operacijos savybių:

( ) ( ) ( ) =′+′=′+ ∫∫∫∫ dxxgbdxxfadxxgbdxxfa )()()()(

)()( xbgxaf += .

Pavyzdžiai Apskaičiuosime integralus, pasinaudoję integralo teisiškumo sa-

vybe ir integralų lentele:

1. ( ) =+−=+− ∫∫∫∫ dxxdxedxxdxxex xx 3sin33sin3 22

Cxex x ++−−= 2/32 22

1cos3 .

2. Cxx

dxxdxxdxx

x++=+=

+∫∫∫

− 2/12/5

2/12/32

25

21.

3. Cxxdxx

dxx

xdx

x

x+−=

+−=

+

−+=

+∫∫∫ arctg

1

11

1

11

1 22

2

2

2

.

4. ( ) ( ) =−+=−+= ∫∫∫∫ dxdxxdxxdxx 222 tg11tg1tg

Cxxdxdxx

+−=−= ∫∫ tgcos

12

.

5. =+

+−+=

+

+=

++

∫∫∫ dxx

xdx

x

xdx

x

x

13

211

313

2

31

23

Cxxdxx

dx ++−=+

−+= ∫ 1ln3

13

1

33 .

Pratimai

1. ( ) dxx∫ −232 .

7

2. dxxx

∫

−

2

11 .

3. dxx

x∫

−

+

1

32

2

.

4. ∫− x

dx

32.

5. ∫+ x

dx

cos1. (Galima pasinaudoti formule

α−α=α 22 sincos2cos ).

6. ∫+ x

dx

sin1. (Pertvarkykite pointegracinę funkciją).

7. Diferencijuodami įsitikinkite, kad abi šios lygybės yra teisin-gos:

12sin

2

1cossin Cxdxxx +=∫ ir 2

2cos2

1cossin Cxdxxx +−=∫ .

Ar šis rezultatas neprieštarauja 1 teoremai?

8. Įrodykite, kad abi funkcijos x

xF−

=1

1)(1 ir

xxF

−=

1

1)(2

yra pirmykštės funkcijai ( )21

1)(

xxf

−= . Koks yra funkcijų )(1 xF ir

)(2 xF sąryšis? 9. Tarkime, kad funkcijos )(xF ir )(xG abi yra funkcijos

xexf =)( pirmykštės. Funkcijų )(xF ir )(xG reikšmės taške 0=x

skiriasi 3. Kiek šių funkcijų reikšmės skiriasi taške 10=x ? 10. Raskite funkcijos xxf cos)( = pirmykštę, kurios grafikas

eina per tašką ( )3,π .

1.2. Paprasčiausios diferencialinės lygtys

Modeliuojant realius reiškinius labai dažnai gaunamos lygtys, į kurias įeina nežinomų funkcijų išvestinės. Pavyzdžiui, vėstančio kū-

8

no temperatūros kitimo greitis yra proporcingas šio kūno ir aplinkos temperatūrų skirtumui. Pažymėję T kūno temperatūrą (kintančią bėgant laikui t ) ir A – aplinkos temperatūrą (pastovią), gauname lygtį ( )TAkT −=′ arba, naudojant kitus išvestinės žymenis,

( )TAkdt

dT−= ,

čia k yra pastovus dydis – proporcingumo koeficientas. Panašiai, populiacijos dydžio P kitimo greitis yra proporcingas

populiacijos dydžiui, t.y. tenkina lygtį

kPdt

dP= .

Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia surasti nežinomą funkciją, kuri tenkina šią lygtį. Paprasčiausios yra tokios diferencialinės lyg-tys, į kurias įeina ieškomos funkcijos )(xyy = išvestinė ir kuri nors

žinoma funkcija )(xf . Šią lygtį galima užrašyti taip )(xfdx

dy= .

Šiuo atveju ieškomoji funkcija y yra funkcijos )(xf pirmykštė.

Pavyzdžiai 1. Parašykite lygtį kreivės, kurios kiekviename taške liestinės

krypties koeficientas yra lygus to taško dvigubai abscisei, t.y. lygus x2 . Ieškomos kreivės lygtis yra )(xyy = , čia )(xy yra nežinoma

funkcija, tenkinanti lygtį xdx

dy2= .

Ši funkcija yra funkcijos x2 pirmykštė, taigi

Cxdxxy +== ∫22 . Vadinasi, nurodytą sąlygą tenkina visos para-

bolės Cxy += 2 . Jei papildomai pareikalautume, kad kreivė eitų per

tašką pavyzdžiui (2, 5), tai įstatę šias koordinates į lygtį, gautume

C+= 225 . Iš čia 1=C . Taigi parabolė 12 += xy tenkina abu rei-

kalavimus.

9

2. Automobilis su nuspaustais stabdžių pedalais iki visiškai su-stodamas slydo 32 m. Tarkime, kad taip slystančio automobilio pa-greitis yra pastovus ir lygus 4 m/s2. Kokiu greičiu važiavo automobi-lis tuo momentu, kai buvo nuspaustas stabdžių pedalas?

Pažymėkime )(tv automobilio greitį laiko momentu t . Tuomet )(tv yra mažėjanti kintamojo t funkcija, tenkinanti diferencialinę

lygtį

4−=dt

dv.

Iš čia randame Ctdttv +−=−= ∫ 4)4()( .

Laikykime, kad stabdžiai buvo nuspausti laiko momentu 0=t , automobiliui važiuojant greičiu 0v (kurio mes nežinoma). Įstatę į

lygtį, gauname Cv += 00 , taigi 0vC = ir ieškomoji funkcija yra

04)( vttv +−= ,

tai

( ) Ctvtdtvttx ++−=+−= ∫ 02

0 24)( .

Kadangi 0)0( =x , tai įstatę į šią lygtį, gauname C=0 . Vadina-

si,

tvttx 022)( +−= .

Pagal uždavinio sąlygas, 32=x , kai 0=v . Įstatę šias reikšmes į greičio ir atstumo lygtis, gauname

040 vt +−= ir tvt 02232 +−= .

Išsprendę gauname 4=t , 160 =v . Taigi galutinai, automobilio

greitis buvo 16 m/s arba 57,6 km/h. 3. Strėle, iššauta vertikaliai aukštyn nuo žemės paviršiaus, nukri-

to po 20 sekundžių. Kokiu greičiu ji buvo iššauta ir kokį maksimalų aukštį pasiekė?

Pažymėję strėlės greitį t sekundžių po iššovimo )(tv , o pasiektą aukštį nuo žemės paviršiaus )(th , parašysime diferencialines lygtis

10

gdt

dv−= ( 8,9=g m/s2) ir )(tv

dt

dh= .

Išsprendę pirmąją lygtį, gauname Cgtdtgtv +−=−= ∫)( .

Įstatę 0=t ir 0)0( vv = , gauname lygtį

0)( vgttv +−= .

Spręsdami antrąją lygtį, gauname

( ) Ctvgtdtvgtth ++−=+−= ∫ 02

0 2

1)( .

Įstatę 0=t , gauname 0=C . Taip gavome dvi lygtis

0)( vgttv +−= ir tvgtth 02

2

1)( +−= .

Kadangi strėlė nukrito po 20 s, tai 0)20( =h . Įstatę tai į antrąją

lygtį, gauname

0202

200

2

=+− vg ir 100 =v g = 98 (m/s).

Norėdami rasti maksimalų aukštį, turime rasti funkcijos )(th di-

džiausią reikšmę. Ji įgyjama tada, kai šios funkcijos išvestinė lygi nuliui, t.y. kai greitis lygus nuliui. Išsprendę lygtį

010 =+− ggt ,

gauname 10=t . Vadinasi, maksimalų aukštį strėlė pasiekė laiko momentu 10=t . Įstatę šią t reikšmę į )(th lygtį, gauname maksi-

malų aukštį

490501002

10)10(

2

==+−= gggh (m).

Pratimai 1. Akmuo metamas vertikaliai 24 m/s greičiu. Į kokį aukštį jis

pakils ir kiek laiko išbus ore? 2. Iš 40 m aukštyje skrendančio oro baliono vertikaliai aukštyn

metamas akmuo 12 m/s greičiu. Kiek laiko akmuo išbus ore ir kokiu greičiu jis atsitrenks į žemę?

11

3. Nuspaudus 90 km/h greičiu važiuojančio automobilio stab-džius, automobilis įgijo 10 m/s2 pagreitį. Kaip toli jis nušliuožė iki visiškai sustodamas?

4. kosminis aparatas artėja link Mėnulio 1600 km/h greičiu. Įjungti stabdymo varikliai suteikia aparatui 32000 km/h2 pagreitį. Kokiu atstumu nuo Mėnulio paviršiaus reikia įjungti stabdymo varik-lius, kad aparatas sklandžiai nusileistų (greitis 0=v susilietimo su Mėnulio paviršiumi momentu)?

1.3. Integravimo būdai

Praeito skirsnio pavyzdžiuose pirmykštes funkcijas (integralus) sudarome pasinaudodami integralo teisiškumo savybe ir pagrindinių integralų lentele.

Šiame skirsnyje susipažinsime su sudėtingesnių funkcijų integ-ravimo būdais. Pradėsime nuo kintamojo keitimo būdo.

Pamėginkime rasti integralą

( ) dxx∫ + 532 .

Pointegracinę funkciją galime užrašyti kaip sudėtinę funkciją:

( ) ( ))(32 5 xufx =+ , kai 5)( uuf = , o 32)( +== xxuu .

Pastebėsime, kad kintamojo u funkcijos 5)( uuf = pirmykštė

yra funkcija 6

6

1)( uuF = . Tačiau sudėtinė funkcija

( ) ( )6326

1)( += xxuF , kaip lengva įsitikinti, nėra kintamojo x funk-

cijos ( ) ( )532)( += xxuf pirmykštė.

Apskaičiuokime sudėtinės funkcijos ( ) ( )6326

1)( += xxuF dife-

rencialą. Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę ( ) ( ) ( ) dxxuxufdxxuxuFxudF )()()()()( ′=′′= .

Kadangi dxxuxdu )()( ′= , tai paskutiniąją lygybę galima parašy-

ti taip:

12

( ) ( ) )()()( xduxufxudF = .

Vadinasi, ( ))(xuF yra funkcijos ( ) )()( xuxuf ′ pirmykštė. Kitaip

sakant,

( ) ( ) CxuFdxxuxuf +=′∫ )()()( (1)

Įstatę f ir F išraiškas, gauname

( ) ( ) ( )65 326

13232 +=′++∫ xdxxx .

Kadangi ( ) 232 =′+x , galime parašyti

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6655 3212

132

6

1

2

13232

2

132 +=+=′++=+ ∫∫ xxdxxxdxx .

Pastebėsime, kad (1) lygybė yra teisinga su bet kuriomis funkci-jomis f , ..., F ir u , jei F yra funkcijos f pirmykštė, t.y.

CuFduuf +=∫ )()( , o )(xuu = yra diferencijuojama funkcija. Ši

lygybė vadinama kintamojo keitimo formule. Pavyzdžiai

1. Raskime dxxxcossin2∫ . Pastebėję, kad xcos yra xsin iš-

vestinė arba dxxxd cossin = , pažymėkime xu sin= . Tuomet

( ) CxCuduuxxddxxx +=+=== ∫∫∫33222 sin

3

1

3

1sinsincossin .

2. raskime ∫ + dxxx3 21 . Pastebime, kad x yra dvinario

( )212

1x+ išvestinė, rašome

( ) ( ) ( ) ( )=++=+=+ ∫∫∫23/1223/123 2 11

2

1

2

111 xdxxdxdxxx

( ) ( ) CxxCuduu +++=+== ∫ 3 223/43/1 118

3

4

3

2

1

2

1.

3. Raskime dxxx 532 +∫ . Pastebėję, kad 2x yra ( )53

1 3 +x

išvestinė, naudojame keitinį 53 += xu , dxxdu 23= . Tuomet

13

( ) ( ) ==++=+ ∫∫∫ duuxdxdxxx 2/132/1332

3

155

3

15

( ) CxCu ++=+=2/332/3 5

9

2

9

2.

4. Cexdedxe xxx +== ∫∫333

3

1)3(

3

1.

5. ∫ − dxx24 . Naudosime keitinį tx sin2= . Tuomet

tdtdx cos2= . Įstatę gausime

=+

==−=− ∫∫∫∫ dtt

tdttdttdxx2

2cos14cos4cos2sin444 222

Cttttdttdtt ++=+=+= ∫∫ 2sin2)2(2cos22cos22 . Dabar vietoj t

įrašysime jo išraišką kintamuoju x . Kadangi tx

sin2= , tai

2arcsin

xt = . Toliau,

41sin1sin2cossin22sin

22 x

xttttt −=−== . Galutinai gauna-

me Cx

xx

dxx +−+=−∫4

12

arcsin242

2 .

Panagrinėsime kitą integravimo metodą, vadinamą integravimu

dalimis. Diferencijuokime dviejų integruojamų funkcijų f ir g sandau-

gą:

( ) )()()()()()( xfxgxgxfxgxf ′+′=′ . Matome, kad funkcijų f ir g sandauga yra dešinėje lygybės

pusėje esančios sumos pirmykštė funkcija, t.y. [ ]dxxfxgxgxfxgxf ∫ ′+′= )()()()()()( .

Iš tikrųjų ši lygybė yra teisinga tik pastovaus dėmens tikslumu. Jos kairėje pusėje yra funkcija, o dešinėje – visų pirmykščių funkcijų

14

aibė. Tačiau nekreipsime į tai dėmesio. Pasinaudoję integralo tiesiš-kumo savybe ir pertvarkę, gauname:

dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ ′−=′ )()()()()()( . (2)

Ši lygybė vadinama integravimo dalimis formule. Ją galima pe-rrašyti taip:

∫∫ −= )()()()()()( xdfxgxgxfxdgxf .

Pažymėję )(xfu = , )(xvg = , formulę užrašysime turbūt daž-

niausiai naudojamu pavidalu, kuriuo ją ir įsiminti lengviausia:

∫∫ −= vduuvudv . (3)

Pavyzdžiai 6. dxx∫ ln . Čia xu ln= , xv = . Pasinaudoję (3) formule, gau-

name:

Cxxxdxx

xxxxxdxxdxx +−=−=−= ∫∫∫ ln1

ln)(lnlnln .

7. dxxx∫ ln . Šiuo atveju žymėti xxu ln= ir xv = būtų nenau-

dinga. (Įsitikinkite tuo!). Todėl šiek tiek pertvarkę, panaudosime (3) formulę:

=−=−=

= ∫∫∫∫ dx

xxx

xxd

xx

xxxdxdxx

1

2

1ln

2)(ln

2ln

22lnln 2

2222

Cx

xx

+−=22

1ln

2

22

.

8. −=−= ∫∫ xxxxdxxxdx arcsin)(arcsinarcsinarcsin

( )∫∫−

−−=−

− )(12

1arcsin

1

22/12

2xdxxxdx

x

x.

Pastarajame integrale panaudoję keitinį 21 xu −= , gauname len-

telės integralą 2/12/1 2uduu =∫− . Galutinai

Cxxxdxx +−+=∫21arcsinarcsin .

15

9. dxxe x∫

− . Pažymėkime xeu −= , xdxdv= . Tuomet 2

2

1xv =

ir integruodami dalimis gausime

∫∫∫−−−− +=

= dxexexxdedxxe xxxx 222

2

1

2

1

2

1.

Gavome sudėtingesnį integralą nei tas, kurį sprendžiame. Vadi-nasi, funkcijų u ir v parinkimas nebuvo sėkmingas.

Pamėginkime pažymėti xu = , dxedv x−= , xev −−= . Su šiais pažymėjimais

Cexedxexeexddxxe xexxxx +−−=+−=−= −−−−−−∫∫∫ )( .

10. =−== ∫∫∫ xdexeexdxdxe xxxx sinsin)(sinsin

xdxexe xx cossin ∫−= . Gavome panašų integralą su xcos vietoj

xsin . Dar kartą integruodami dalimis gauname:

−==−= ∫∫ xexdxexdxexedxxe xxxxx sincoscossinsin

[ ]∫∫ +−=− xdxexexeexd xxxx sincossin)(cos .

Dabar gavome tokį pat integralą, kaip ir pirminis, atsidurdami lyg ten pat, kuo pradėjome. Tačiau perkėlę pastarąjį integralą į kai-riąją lygybės pusę, gauname:

xexedxxe xxx cossinsin2 −=∫ .

Taigi galutinai turime

( ) Cxexedxxe xxx +−=∫ cossin2

1sin .

Pratimai

1. ( )∫− 210 x

xdx.

2. ∫ − dxxx 232 .

3. ∫+ 41 x

xdx.

16

4. ∫+3 3

2

1x

dxx.

5. dxx

x∫sin

( xu = ).

6. dxx

x∫

2ln.

7. dxxx∫3cossin .

8. dxx

x∫ 2cos

tg. Raskite šį integralą, panaudoję keitinius xu tg=

ir x

ucos

1= . Palyginkite abiem atvejais gautus rezultatus ir paaiš-

kinkite juos. Integruodami dalimis, raskite šiuos integralus:

10. dxxe x∫

2 .

11. xdxx ln3∫ .

12. ∫ xdxarctg .

13. ∫ dxx

x2

ln.

14. ∫ − dxxx 23 1 .

15. dtt∫ )sin(ln .

16. dxxx∫ arctg

17. dxx∫ )cos(ln .

18. Įrodykite, kad su kiekvienu natūraliuoju n teisinga lygybė

dxexnexdxex xnxnxn∫∫

−−= 1 . Pasinaudoję šia lygybe, raskite

dxex x∫

3 .

17

1.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas

Racionaliąja trupmena (racionaliąja funkcija) vadinama tokia funkcija, kurios reikšmė kiekviename taške x yra dviejų daugianarių

)(xP ir )(xQ reikšmių tame taške dalmuo:

mmmm

nnnn

bxbxbxb

axaxaxa

xQ

xPxf

++++

++++==

−−

−−

11

10

11

10

...

...

)(

)()( .

Jeigu skaitiklyje esančio daugianario laipsnis yra aukštesnis arba toks pat kaip vardiklio daugianario (tokia racionalioji trupmena vadi-nama netaisyklingąja), tai padaliję skaitiklio daugianarį iš vardiklio daugianario, šią trupmeną galima užrašyti kaip sumą naujo daugiana-rio ir racionaliosios trupmenos, kurios skaitiklio daugianario laipsnis jau žemesnis nei vardiklio (tokia racionalioji) trupmena vadinama taisyklingąja). Pavyzdžiui,

1

21

1

14

24

246

+

−++=

+

−+++

x

xx

x

xxxx.

Integruoti daugianarius jau mokame, todėl lieka pasiaiškinti tai-syklingųjų racionaliųjų trupmenų integravimo būdus.

Iš algebros kurso žinoma, kad kiekvieną daugianarį galima para-šyti kaip sandaugą, kurioje dauginamieji yra tiesiniai dvinariai (jų bendras pavidalas bax+ ) ir neskaidūs kvadratiniai trinariai

( cbxax ++2 , 042 <− acb ). Tiesa, praktiškai rasti tokį skaidinį gali būti ir nelengva, bet iš principo tai visuomet galima padaryti. Kai integruojamos racionaliosios trupmenos vardiklis išskaidytas, trup-meną galima parašyti kaip sumą paprastesnių trupmenų, kurias gali-ma integruoti. Tos paprastesnės integruojamos trupmenos turi pavi-

dalą ( )nbax

A

+ arba

( )ncbxax

NMx

+

+2

, čia n yra bet koks natūralusis

skaičius. Todėl turime išmokti integruoti tokio pavidalo trupmenas. Taisyklingąją racionaliąją trupmeną lengviausia išreikšti tokio

pavidalo trupmenų suma tuo atveju, kai vardiklio daugianarį galima išskaidyti vien tiesiniais daugikliais. Tada sumą sudaro tik pirmojo

18

pavidalo trupmenos. Pavyzdžiui, raskime integralą dxx

∫−1

22

. Ne-

sunku pastabėti, kad pointegracinę racionaliąją funkciją išreikšti dviejų paprastesnių trupmenų suma:

( )( ) 1

1

1

1

11

2

1

22 +

−+

−=

+−=

− xxxxx.

Todėl ieškomas integralas yra

∫ ∫ ∫ ++−

=++−−=+

−−

=−

Cx

xCxx

x

dx

x

dxdx

x 1

1ln1ln1ln

111

22

.

Raskime integralą ( )( )∫

−++

dxxx

x

212

3.

Dabar jau sunkiai iš karto atspėti, kaip integruojamąją trupmeną išreikšti dviejų paprastesnių trupmenų suma, tačiau nesunku rasti tokią išraišką. Pamėginkime rasti tokius skaičius A ir B , su kuriais teisinga lygybė

( )( ) 212212

3

−+

+=

−++

x

B

x

A

xx

x.

Sudėkime šios lygybės dešinėje pusėje esančias trupmenas: ( ) ( )( )( )

( )( )( )112

22

212

122

212 −++−+

=−+

++−=

−+

+ xx

BAxBA

xx

xBxA

x

B

x

A.

Matome, kad ieškoma išraiška bus teisinga parinkus tokius A ir B , su kuriais ( ) BAxBAx +−+=+ 223 . Taip bus, kai 12 =+ BA ,

o 32 =+− BA . Išsprendę šias dvi lygtis, gauname 1−=A , 1=B . Vadinasi, galime parašyti

( )( ) 2

1

12

1

212

3

−+

+−

=−+

+xxxx

x.

Dabar lengvai randame ieškomą integralą:

( )( )( )

∫ ∫∫∫ =−+++

−=−

++

−=−−

+2ln

12

12

2

1

212212

3x

x

xd

x

dx

x

dxdx

xx

x

Cxx +−++−= 2ln12ln2

1.

19

Panašiai galima išreikšti kiekvieną taisyklingąją racionaliąją

trupmeną )(

)(

xQ

xP, kurios vardiklis išskaidytas tiesiniais dvinariais:

( )( ) ( )++

++

+=

+++= ...

...

)(

)(

)(

22

2

11

1

2211 bxa

A

bxa

A

bxabxabxa

xP

xQ

xP

nn

nn

n

bxa

A

++ .

Šios lygybės dešinėje pusėje esančias trupmenas integruoti jau mokame:

( )Cbax

bax

baxd

a

Adx

bax

A++=

++

=+

∫∫ ln .

Jei racionaliosios trupmenos vardiklio )(xQ skaidinyje kuris

nors tiesinis dvinaris yra aukštesniu negu pirmasis laipsniu, tai visos trupmenos išraiška racionaliųjų trupmenų suma jau bus kitokia. Pa-

vyzdžiui, trupmena ( )22

1

+

+

x

x su jokiu A nėra lygi nei

2+x

A, nei

( )22+x

A. Tačiau galima rasti du skaičius A ir B , su kuriais

( ) ( )22 222

1

++

+=

+

+

x

B

x

A

x

x.

Norėdami rasti tuos skaičius, sudėkime lygybės dešinėje esan-čias trupmenas:

( ) ( )22 2

2

22 +

++=

++

+ x

BAAx

x

B

x

A.

Matome, kad parinkę reikšmes 1=A ir 1−=B , turėsime racio-

naliosios funkcijos trupmenos ( )22

1

+

+

x

x išraišką dviejų trupmenų

suma:

( ) ( )22 2

1

2

1

2

1

+

−+

+=

+

+

xxx

x.

Dabar galime integruot:

20

( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫∫ =++−+=

+

−+

+=

+

+ − 222ln2

1

2

1

2

1 222

xdxxdxx

dxx

dxx

x

( )C

xx +

+−+

−+=+−

12

22ln

12

.

Apibendrindami šiuos pavyzdžius, suformuluosime bendrą tai-syklę, kaip taisyklingą racionaliąja trupmeną, kurios vardiklis yra tiesinių dvinarių (nebūtinai pirmuoju laipsniu) sandauga, išreikšti trupmenų suma.

1 taisyklė. Taisyklingąją racionaliąją trupmeną, kurios vardiklis

yra tiesinių dvinarių ( )nbax+ ( n gali būti bet kuris natūralusis

skaičius) sandauga, išreiškiant trupmenų suma, kiekvieną tiesinį dvi-

narį bax+ atitinka trupmena bax

A

+, o kiekvieną tiesinį dvinarį

( )nbax+ ( 1>n ) atitinka trupmenų suma

( ) ( )nn

bax

A

bax

A

bax

A

+++

++

+...

221 .

Pagal šią taisyklę, kai )(xP laipsnis yra žemesnis negu

( ) ( ) ( ) ...)( kmn qpxdcxbaxxQ +++= ,

( ) ( ) ( ) ( )++

++

+=

+++...

...

)(2

21

bax

A

bax

A

qpxdcxbax

xPkmn

( ) ( ) ( ) ( )221

221 ...

qpx

C

qpx

C

dcx

B

dcx

B

dcx

B

bax

Am

mn

n

++

++

+++

++

++

++ .

Pavyzdžiai

1. Racionaliąją trupmeną ( )3

3

1

12

+

+−

xx

xx išreikšime paprastesnių

trupmenų suma:

( ) ( ) ( )323

3

1111

12

++

++

++=

+

+−

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx.

21

Norėdami rasti koeficientus A , B , C ir D , galime sudėti deši-nėje pusėje esančias trupmenas arba tiesiog padauginti abi šios lygy-

bės puses iš ( )31+xx . Gauname:

( ) ( ) ( ) DxxCxxBxxAxx ++++++=+− 11112 233 .

Surinkę koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių, turime:

( ) ( ) ( ) AxDCBAxCBAxBAxx +++++++++=+− 32312 233 .

Ši lygybė bus teisinga su visais x tada, kai: 1=+ BA ,

023 =++ CBA , 23 −=+++ DCBA ,

1=A . Išsprendę šią lygčių sistemą, gauname: 1=A , 0=B , 3−=C ,

2−=D . Vadinasi, ( ) ( ) ( )323

3

1

2

1

31

1

12

+−

+−=

+

+−

xxxxx

xx.

Dešinėje šios lygybės pusėje esančias trupmenas jau visai lengva integruoti.

2. Raskime dxxxx

xx∫

−+

−−

2

43423

2

.

Pirmiausia išskaidysime vardiklį: ( )=−+=−+ 22 223 xxxxxx

( )( )21 +−= xxx .

Dabar rasime tokius skaičius A , B ir C , su kuriais yra teisinga lygybė

212

43423

2

++

−+=

−+

−−x

C

x

B

x

A

xxx

xx.

Sudėję dešiniosios pusės trupmenas, gausime: ( )( ) ( ) ( )

=−+

−++++−=

++

−+

xxx

xCxxBxxxA

x

C

x

B

x

A

2

1221

21 23

( )( ) ( ) ( )xxx

xCxxBxxxA

2

122123 −+

−+++−= .

Šios trupmenos skaitiklis turi būti lygus integruojamos trupme-nos skaitikliui:

22

( )( ) ( ) ( ) =−++++−=−− 1221434 2 xCxxBxxxAxx

( ) ( ) AxCBAxCBA 22 −+++++= .

Sprendžiame lygčių sistemą: 4=++ CBA ,

32 −=−+ CBA , 42 =A .

Išsprendę lygtis gauname 2=A , 1−=B , 3=C . Dabar lengvai randame integralą:

∫∫ +−−=

+

+−

−=−+

−−1lnln2

2

3

1

12

2

43423

2

xxdxxxx

dxxxx

xx

Cx +++ 2ln3 .

Išsiaiškinome, kaip racionaliąją funkciją )(

)(

xQ

xP išreikšti papras-

tųjų trupmenų suma, kai vardiklio daugianaris išskaidytas tiesinių dvinarių sandauga:

( ) ( ) ( ) ...)( kmn qpxdcxbaxxQ +++= . Lieka išnagrinėti atvejį,

kai )(xQ skaidinyje yra kvadratinių trinarių ( )ncbxax ++2 , čia n

arba vienetas, arba bet kuris kitas natūralusis skaičius. Išnagrinėsime kelis pavyzdžius.

Racionaliąją funkciją 24

23 1235

xx

xxx

+

−+− išreikšime integruoja-

mų trupmenų suma. Ši funkcija yra taisyklingoji racionalioji trupme-

na, kurios vardiklį galima išskaidyti tiesinio dvinario ( )20−x ir nes-

kaidaus kvadratinio trinario 12 +x sandauga: ( )12224 +=+ xxxx .

Jau žinome, kad dvinarį ( )22 0−= xx paprastųjų trupmenų sumoje

atitiks suma 2x

B

x

A+ . Iš algebros kurso žinoma, kad kvadratinį trina-

rį 12 +x atitinka trupmena 12 +

+

x

NMx. Taigi, galime parašyti kaip:

23

1

12352224

23

+

+++=

+

−+−

x

NMx

x

B

x

A

xx

xxx.

Norėdami apskaičiuoti koeficientus A , B , M ir N , abi lygy-bės puses padauginsime iš dešinėje esančių trupmenų bendro vardik-

lio ( )122 +xx . Gausime

( ) ( ) ( ) =+++++=−+− 22223 111235 xNMxxBxAxxxx

( ) ( ) BAxxDBxCA +++++= 23 .

Koeficientus randame, išsprendę šias lygtis: 5=+CA ,

3−=+ DB , 2=A , 1−=B .

Taigi galime parašyti:

1

231212352224

23

+

−+

−+=

+

−+−

x

x

xxxx

xxx.

Visos trys dešinėje esančios trupmenos lengvai integruojamos. Suformuluosime antrąją taisyklę. 2 taisyklė. Taisyklingąją racionaliąją trupmeną, kurios vardiklis

yra kvadratinių trinarių ( )ncbxax ++2 ( n gali būti bet kuris natūra-

lusis skaičius) sandauga, išreiškiant trupmenų suma, kiekvieną trina-

rį cbxax ++2 atitinka trupmena cbxax

NMx+

+

+2

, o kiekvieną trinarį

( )ncbxax ++2 ( )1>n atitinka trupmenų suma

( ) ( )nnn

cbxax

NxM

cbxax

NxM

cbxax

NxM

++

+++

++

++

++

+222

222

11 ... .

Kai racionaliosios trupmenos vardiklis )(xQ yra išskaidytas tie-

sinių dvinarių ir kvadratinių trinarių sandauga, tai kiekvieną tokį dauginamąjį atitinka paprastų (integruojamų) trupmenų suma, suda-ryta pagal suformuluotas taisykles.

24

3 pavyzdys.

( ) ( )( ) ( )+

++

++=

+−+++

+22222

2

1113321

2

x

C

x

B

x

A

xxxxxx

x

( )2222131332 +−

++

+−

++

+

++

xx

LKx

xx

NMx

xx

EDx.

Abi šios lygybės puses padauginę iš trupmenų bendro vardiklio

( ) ( )( )2222 13321 +−+++ xxxxxx , panašiai kaip jau darėme apskai-

čiuojame koeficientus ir gauname integruojamų trupmenų sumą.

Apsiribosime integralu dxcbxax

NMx∫

++

+2

.

Pirmiausia raskime integralą ∫+ ax

dx2

, čia 0>a .

Pavyzdžiui, kai 9=a , tai

( )( )

( )∫ ∫ ∫∫ =+

=+

=+

=+ 13

1

13/

3/

3

1

13/9

1

9 2222 u

du

x

xd

x

dx

x

dx

Cx

Cu +=+=3

arctg3

1arctg

3

1, čia pažymėjome

3

xu = .

Panašiai, su bet kokiu 0>a naudojame keitinį a

xu = . Tada

duadx = ir gauname ∫ ∫ +=+

=+

Ca

x

au

du

aax

dxarctg

1

1

122

.

Dabar panagrinėkime integralą ∫++ cbxax

dx2

, kai 0≠b . Ka-

dangi ∫∫++

=++ qpxx

dx

acbxax

dx22

1, čia

a

bp = ,

a

cq = , tai integ-

ruosime racionaliąją trupmeną qpxx ++2

1. Integruojamos trupme-

nos vardiklyje prie pirmųjų dviejų dėmenų sumos

25

xp

xpxx2

222 +=+ pridėję 4

2p, gautume dvinario

2

px+ kvadra-

tą: 22

2

2222

+=

++p

xp

xp

x . Todėl galime parašyti

−+

−=+++=++4242

2222

22 pq

pxq

px

pxqpxx . Kadangi

trinario qpxx ++2 diskriminantas yra neigiamas, tai 04

2

>−p

q .

Pažymėję 2

pl = ,

4

2pqr −= , integruojame:

( )∫ ∫∫ =+=+

=++

=++

Cr

u

ru

du

rlx

dx

qpxx

dxarctg

222

Cr

lx+

+= arctg .

Integruokime

( )−

++

+=

++

−+=

++∫∫∫ dx

rlx

lxdx

qpxx

ppx

qpxx

x222

2/2/

( )( )( )( )

( ) ++=+

−++

++=

++− ∫∫

22

2

2ln

2

1arctg

2

11lx

r

lx

rlx

rlxddx

rlx.....

.........................................................

Išsiaiškinome, kaip integruoti dxcbxax

NMx∫

++

+2

.

4 pavyzdys

Raskime integralą dxxx

∫++ 569

12

.

Pirmiausia vardiklyje išskirkime pirmąjį kvadratą:

=

+−++=

++=++9

5

9

1

9

1

3

29

9

5

3

29569 222 xxxxxx

26

+

+=9

4

3

19

2

x . Panaudoję keitinį 3

1+= xu , gausime:

=+=+

=++

∫∫ Cu

duu

dxxx 2

3arctg

2

3

9

1

9/4

1

9

1

569

122

Cx

++

=2

13arctg

6

1.

Pratimai Integruokite:

1. ( )( )∫

+−+

dxxx

x

52

32.

2. dxx

x∫

+1

2

.

3. dxx

x∫

−

−

9

32

2

.

4. dxxxx

x∫

+−

+

65

123

3

.

5. dxxx

x∫

+−

+

12

3224

2

.

6. ( )( )∫

++dx

xx 11

12

.

7. dxxx

∫++ 54

12

.

8. dxxx

x∫

−+

+

344

232

.

9. dxxx

xx∫

++

−

22

22

3

.

27

1.5. Trigonometrinių reiškinių integravimas

Šiame skyrelyje nagrinėsime funkcijų ( )xxR cos,sin integravi-

mą, kai ( )vuR , yra kintamųjų u , v racionalioji funkcija. Tokia yra,

pavyzdžiui, funkcija ( )uuvv

vuvuR

++

−=

3

2 3, . Tada

( )xxxx

xxxxR

sincossincos

cos3sincos,sin

3

2

++

−= . Integruodami trigo-

nometrinius reiškinius, dažnai naudosimės keliomis elementariomis

tapatybėmis: 1cossin 22 =+ xx , xxx cossin22sin = ,

xx

22

cos

1tg1 =+ , xxx 22 sincos2cos −= . Iš pastarosios tapatybės,

panaudoję pirmąją, lengvai gauname: 2

2cos1sin2 x

x−

= ,

2

2cos1cos2 x

x+

= .

Pavyzdžiai

1. ( ) −=−= ∫∫∫ dxdxxxdx2

110cos1

2

15sin2

20

1

2

1cos

20

1

2

1)10(10cos

10

1

2

1−=−=− ∫∫ xduuxxxd (panaudojome

keitinį xu 10= ).

2. ( )

∫ ∫∫ ∫ −=−

+=

+ x

xd

x

dxdx

x

x

x

dx222 sin

)(sin

sincos1

cos1

cos1. Pirmasis in-

tegralas yra lentelėje, o antrąjį pertvarkome į lentelės integralą, pa-naudoję keitinį xu sin= . Gauname:

Cx

xx

dx++−=

+∫

sin

1ctg

cos1.

Funkciją ( )xxR cos,sin paprastai galima integruoti naudojant

vadinamą universalųjį keitinį 2

tgx

t = . Tokiu atveju tx arctg2= ,

28

21

2

t

dtdx

+= ,

21

2sin

t

tx

+= ,

2

2

1

1cos

t

tx

+

−= . Įstačius šias išraiškas,

funkcija R pertvarkoma į racionaliąją kintamojo t funkciją. Tačiau dažnai būna lengviau atlikti pertvarkymus, naudojant keitinius

xt sin= , xt cos= arba tgxt = .

Naudodami keitinį xu sin= , turime ux arcsin= ,

21 u

dtdx

−= , 21cos ux −= . Šis keitinys paprastai naudojamas,

kai funkcija ( )vuR , yra nelyginė kintamojo v atžvilgiu, t.y.

( ) ( )vuRvuR ,, −=− , arba, tas pats, ( ) ( )xxRxxR cos,sincos,sin −=− .

Jei keitinys xu cos= , tai ux arccos= , 21 u

dtdx

−−= ,

21sin ux −= . Šis keitinys tinka, kai ( ) ( )xxRxxR cos,sincos,sin −=− .

Kai ( ) ( )xxRxxR cos,sincos,sin =−− , naudojame keitinį

xu tg= . Tada ux arctg= , 21 u

dudx

+= ,

22 1

1

tg1

1cos

uxx

+=

+= ,

22 1tg1

tgsin

u

u

x

xx

+=

+= .

3. ∫+ x

dx

cos1. Panaudosime universalųjį keitinį. Pertvarkę integ-

ruojamos trupmenos vardiklį, gauname: 22

2

1

2

1

11cos1

tt

tx

+=

+

−+=+ .

Įstatome dx išraišką: dtt

t

dt

x

dx=

+

++

+ 2

1

1

2

cos1

2

2. Todėl

Cx

Ctdtx

dx+=+==

+∫∫

2tg

cos1. Atkreipiame dėmesį į tai,

kad ankstesniame pavyzdyje gavome kitą šio integralo išraišką. Pa-aiškinkite tai.

29

4. ( ) ∫∫∫ =+=== Cuduuxxdxdxx 3222

3

1sinsincossin

Cx+= 3sin3

1 (naudojom keitinį xu sin= ).

5. ( ) ( ) ( ) =−== ∫∫∫ xdxxxddxx sinsin1sincoscos 223

( ) ( )∫ ∫∫ −=−= duuxxxdxd 22 sinsinsinsin

..................................................... (keitinys xu sin= ).

6. ( ) ( ) ( )

∫ ∫∫ =−

−=

−−=

− 5cos

cos1cos

5cos

cossin

5cos

sin 223

x

xdx

x

xxddx

x

x

( )∫

−−

=5

12

u

duu. Čia panaudoję keitinį xu cos= gavome racionalio-

sios funkcijos integralą, kurį jau mokame rasti.

7. ∫−+ 1cossin3sin2 xxx

dx. Naudosime keitinį xu tg= . Integ-

ruojamos trupmenos vardiklį pertvarkome taip:

=−+

−+

++

=−+ 11

1

13

11cossin3sin

222

22

uu

u

u

uxxx

22

22

1

13

1

13

u

u

u

uuu

+

−=

+

−−+= . Įstatę į integralą, gauname:

( )( )( )

( )∫ ∫∫ =

−−

=+−

+=

−+ 13

13

3

1

113

1

1cossin3sin 2

2

2 u

ud

uu

duu

xxx

dx

Cx +−= 1tg3ln3

1.

Pratimai

1. ∫xx

dx

cossin3.

2. dxx∫ 3sin2 .

3. ∫ xdx4sin .

30

4. xdx3tg∫ .

5. dxx∫5cos .

6. dxx∫3tg .

7. xdxx 32 cossin∫ .

8. ∫ dxx

x

cos

sin3

.

9. ∫x

dx

sin (keitinys

2tg

xt = ).

1.6. Trigonometriniai keitiniai

Integruojant funkcijas, kurių išraiškoje yra reiškiniai 22 xa − ,

22 ax − arba 22

1

xa +, dažnai sėkmingi būna ketiniai atitinkamai

tax sin= , t

ax

cos= ir tax tg= . Iliustruosime šių keitinių taikymą

pavyzdžiais.

Raskime integralą dxx

x∫

− 21. Čia 1<x . Pamėginsime keitinį

tx sin=

π<<

π−

21

2. Tuomet tdtdx cos= . Integruojame:

Cttdttdtt

tdx

x

x+−==

−=

−∫ ∫∫ cossincos

sin1

sin

1 22. (Kai

22

π<<

π− t , tai 0cos >t , todėl tt cossin1 2 =− ). Ieškomas integ-

ralas yra kintamojo x funkcija, todėl įstatome =−= tt 2sin1cos

21 x−= . Todėl Cxdxx

x+−−=

−∫

2

21

1.

31

Raskime integralą ∫ − dxx24 . Panaudosime keitinį tx sin2= .

Tada tdtdx cos2= . Įstatome:

( )∫∫∫∫ =+==−=− dtttdttdttdxx 2cos12cos4cossin4424 222

sin2)2(2cos2 +=+= ∫ tttdt ........................

Dabar, vietoj t įstatę 2

arcsinx

t = ir pasinaudoję tapatybe

txttt cos2cossin22sin == , gauname:

Ctxx

dxx ++=−∫ cos22

arcsin24 2 .

Norėdami parašyti tcos kaip kintamojo x funkciją, nusibraižy-kime statųjį trikampį, kurio smailusis kampas yra t , o įžambinė lygi 2.

Šio trikampio statinio prieš kampą t ilgis yra tx sin= , o kito

statinio – 22 x− (Pitagoro teorema). Todėl 2

2cos

2xt

−= . Gau-

name atsakymą:

Cxxx

Ctxx

dxx +−+=++=−∫22 2

2arcsin2cos2

2arcsin24 .

Dabar panaudosime kitą keitinį integruodami ∫−

dxx

x 162

( 4>x ). Naudosime keitinį t

xcos

4= ,

xt

4arccos= ,

t

t

t

tdx

cos

tg4

cos

sin42

== . Paskaičiuokim: tt

tx tg4

cos

cos161616

2

22 =

−=− ,

ttt

x

xsincos

4

tg4162

==−

. Įstatom:

∫∫∫∫ =

−===

−dt

ttdttdt

t

tdx

x

x1

cos

14tg4sin

cos

tg4

162

22

Ctt +−= 4tg4 . Norėdami grįžti prie kintamojo x , nubraižykime

statųjį trikampį, kurio smailusis kampas yra t , statinis šali to kampo 4, o įžambinė x .

32

Statinio prieš kampą t ilgis yra 42 −x (Pitagoro teorema), o

4

4tg

2 −=

xt . Galutinai gauname:

Cx

xdxx

x+−−=

−∫

4arccos44

16 22

.

Raskime integralą ( )∫

+22 94x

dx. Kadangi

θ=+θ

22

cos

11tg , tai

turėtume parinkti tokį keitinį, kad integruojamos trupmenos vardikly-

je vietoj 24x po pakeitimo turėtume t2tg9 .

Tuomet vardiklyje turėtume: ( ) ( )t

tx4

2222

cos

819tg994 =+=+ .

Taip gausime, panaudoję keitinį tx tg2

3= ,

t

dtdx

2cos2

3= .

Integruojame:

( )( ) =+===

+∫∫∫∫ dtttdtdt

t

t

x

dx2cos1

108

1cos

54

1

cos81

cos

2

3

94

22

4

22

Cttt

Ctt

++=++= cossin108

1

1082sin

216

1

108. Norėdami grįžti

prie kintamojo x , nugraižykime statųjį trikampį, kurio kampas t , statinis prieš šį kampą lygus x2 , statinis prie šio kampo lygus 3, o

įžambinė – 94 2 +x . Matome, kad 94

2sin

2 +=

x

xt ,

94

3cos

2 +=

xt . Įstatę šias išraiškas ir

3

2arctg

xt = , gauname

( )∫ ++

+=+

Cx

xx

x

dx

9418

1

3

2arctg

108

1

94222

.

Pratimai

33

1. ∫−

dxx225

1.

2. ∫−

dxxx 22 9

1.

3. ∫−

dxx

x2

2

16.

4. ∫−

dxx

x2

2 1.

5. ∫+

dxx21

1.

6. ∫+

dxx2916

1.

7. dxx

x∫

−162

.

8. ∫ − dxxx 23 16 .

9. dxxx 23 1625+∫ .

1.7. Pirmykštės funkcijos egzistavimas

Kaip žinome iš diferencialinio skaičiavimo kurso, ne kiekviena, net ir tolydi, funkcija turi išvestinę. Pavyzdžiui, funkcija xxF =)(

neturi išvestinės tašką 0=x . Natūralus klausimas – ar kiekviena funkcija turi pirmykštę. Bendrai atsakymas į šį klausimą neigiamas.

Apibrėžkime funkciją f taip:

<−

≥=

.0kai,1

,0kai,1)(

x

xxf

Aišku, kad funkcija CxxF +=)( su kiekviena konstanta C yra

funkcijos )(xf pirmykštė intervale ( )∞,0 arba bet kuriame intervale

34

( )∞⊂ ,0I , o funkcija CxxG +−=)( – funkcijos )(xf pirmykštė

intervale ( )0,∞− . Dabar panagrinėkime bet kokį intervalą ( )ba, , kuriam priklauso taškas 0=x . Aišku, kad funkcijos )(xf bet kuri

pirmykštė intervale ( )0,a turi pavidalą Cx+− , o intervale ( )b,0 –

pavidalą Dx+ . Aišku, kad su jokiomis C ir D reikšmėmis tokia funkcija negali būti diferencijuojama taške 0=x . Vadinasi, funkcija

)(xf neturi pirmykštės jokiame intervale, kuriam priklauso taškas

0=x . Pastebėsime, kad funkcija )(xf nėra tolydi, ji turi trūkį taške

0=x . Vėliau sužinosime, kad kiekviena tolydi intervale I funkcija turi tame intervale pirmykštę. Tačiau tolydumas nėra būtina sąlyga, kad funkcija turėtų pirmykštę. Panagrinėsime funkciją, apibrėžtą taip:

=

≠−=

.0kai,0

,0kai,1

cos1

sin2)(

x

xxx

xxf .

Ši funkcija yra trūki taške 0=x , tačiau ji turi pirmykštę. Ne-sunku įsitikinti, kad funkcija )(xF , apibrėžta formule

=

≠=

.0kai,0

,0kai,1

sin)(

2

x

xx

xxF ,

kiekviename taške turi išvestinę )(xf : kai 0≠x , tai

)(1

cos1

sin21

sin2 xfxx

xx

xdx

d=−=

, o taške 0=x pagal išvesti-

nės apibrėžimą )0(01

sin1

lim)0( 20 f

xx

xF

dx

dx === → . Vadinasi,

)(xF yra funkcijos )(xf pirmykštė intervale ( )∞∞− , .

Kaip minėta, kiekviena tolydžioji funkcija turi pirmykštę savo tolydumo intervale. Tačiau deja tą pirmykštę ne visada galima iš-reikšti mums įprastu būdu kaip daugianarių, trigonometrinių, laipsni-nių ar logaritminių funkcijų kombinacijas. Tokiu atveju sakoma, kad integralo negalima išreikšti elementariosiomis funkcijomis. Tokie

35

yra integralai dxe x∫

− 2, dx

x

x∫sin

, dxx

x∫cos

, dxx2sin , dxx∫ sin ,

∫x

dx

ln. Su kai kuriais iš jų mums teks dar ne kartą susidurti.

36

2. APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

2.1. Srities plotas ir integralo sąvoka

Neapibrėžtinį integralą mes susiejome su pirmykšte funkcija. Apibrėžtinio integralo sąvoka susiesime su figūros plotu. Matysime, kad tokios skirtingos sąvokos kaip pirmykštė funkcija ir plotas turi glaudų ryšį.

Ploto vienetu laikome vienetinį kvadratą, t.y. kvadratą, kurio kraštinės ilgis yra 1. Į stačiakampį, kurio kraštinės yra p ir q , „tel-pa“ pq tokių kvadratų (ploto vienetų). Todėl stačiakampio plotas yra apibrėžiamas pqS= . Stačiakampio įstrižainė dalija stačiakampį į du

vienodo ploto stačiuosius trikampius, todėl stačiojo trikampio su

statiniais p ir q plotas apibrėžiamas pqS2

1= . O kaipgi apibrėžti

plotą figūros, esančios tarp x ašies atkarpos [ ]ba, ir teigiamos funk-cijos )(xfy = grafiko? Tokia figūra vadinama kreivine trapecija. Jei ši funkcija būtų pastovi, cxf ≡)( , tai figūra būtų stačiakampis, kurio

plotas lygus ( )abc − . Jei funkcija nėra pastovi, tai natūralu būtų elg-

tis taip. Suskaidykime atkarpą [ ]ba, taškais

bxxxxa n =<<<<= ...210 į n trumpų atkarpėlių [ ]10 , xx ,

[ ]21, xx , ..., [ ]nn xx ,1− . Iš kiekvienos atkarpėlės galų iškelkime stat-

menis iki susikirtimo su funkcijos grafiku. Visa figūra tampa suskai-dyta į n siaurų juostelių, o visos figūros plotas lygus tų juostelių

plotų sumai: ∑=∆=∆++∆+∆=

n

iin SSSSS

121 ... (čia iS∆ yra i-osios

juostelės plotas, o ∑=

n

i 1– sumos simbolis).

Pasirinkime atkarpos [ ]ba, skaidinio bet kurią atkarpėlę

[ ]ii xx ,1− ir joje kurį nors tašką [ ]iii xxx ,1*

−∈ . Iš šio taško iškelto

statmens iki funkcijos grafiko ilgis yra )( *ixf , o sandauga

37

( )1* )( −− iii xxxf yra siauro stačiakampio, kurio pagrindas yra atkar-

pėlė [ ]ii xx ,1− , o aukštinė )( *ixf , plotas. Kai atkarpėlė [ ]ii xx ,1− yra

trumpa, tai šio stačiakampio plotas yra artimas juostelės plotui, t.y.

( )1* )( −−≈∆ iiii xxxfS . Vizualiai šios dvi figūros atrodo sutampan-

čios. Aišku, kad kuo siauresnė juostelė (trumpesnė atkarpėlė), tuo ši apytikslė lygybė yra tikslesnė. Parašykime apytikslę lygybę

∑∑==

∆≈∆=n

iii

n

ii xxfSS

1

*

1)( (čia pažymėta 1−−=∆ iii xxx ). Dabar jau

turbūt aišku, kad srities plotą galėtume apibrėžti kaip tokių sumų ribą, kai visų atkarpėlių ilgiai ix∆ artėja prie nulio, t.y.

0max →∆ ix . Vadinasi, galime parašyti

i

n

iix xxfS

i∆= ∑

=→∆

1

*0max )(lim . Suma i

n

ii xxf ∆∑

=1

* )( vadinama funkci-

jos )(xf Rymano integraline suma. Ši suma aišku priklauso nuo to,

kaip atkarpa [ ]ba, suskaidyta į atkarpėles ir kokie taškai parinkti kiekvienoje iš šių atkarpėlių. Tačiau jei funkcija )(xf yra tolydi

atkarpoje [ ]ba, , tai visų sumų riba yra ta pati, nepriklausanti nuo

atkarpos skaidinio ir taškų atkarpėlėse parinkimo. Tokių sumų riba vadinama funkcijos )(xf apibrėžtiniu integralu atkarpoje [ ]ba, ir

žymima ∫b

a

dxxf )( .

Skaičiuodami plotus, dažnai naudosimės šiomis lengvai įrodo-momis sumų formulėmis:

( )

2

1

1

+=∑

=

nni

n

i, (1)

( )( )

6

121

1

2 ++=∑

=

nnni

n

i, (2)

( )

4

1 22

1

3 +=∑

=

nni

n

i. (3)

38

Pavyzdžiai

1. Apskaičiuokime sumą ( )∑=

−10

1

2 23i

ii .

Pasinaudodami (2) formule, galime parašyti:

( ) ( )( )1155

6

1201101032323

10

1

10

1

210

1

2 =++

=−=− ∑∑∑=== iii

iiii .

2. Raskime ribą 3

222 ...321lim

n

nn

++++∞→ .

Vėl pasinaudosime (2):

( )( )=

++=

++++∞→∞→ 33

222

6

121lim

...321lim

n

nnn

n

nnn

6

2121lim

6

1=

+⋅

+= ∞→ n

n

n

nn .

3. Apskaičiuokime plotą figūros, kuri yra tarp funkcijos xxf =)( grafiko ir x ašies atkarpos [0, 1]. Kadangi ši figūra yra

statusis trikampis su vienetiniais statiniais, tai iš anksto žinome, kad

jos plotas lygus 2

1. Tačiau kol kas pamirškime tai ir atlikime visą

aprašytą procedūrą. Pirmiausia suskaidykime vienetinę atkarpą į n vienodo ilgio da-

lių. Tokio skaidinio taškai yra vienodi: 00 =x , n

x1

1 = , n

x2

2 = , ...,

n

ixi = , ...,

n

nxn

11

−=− , 1=nx . Visų atkarpėlių ilgiai yra vienodi:

nx

1=∆ . Kiekvienoje atkarpėlėje pasirinkime po tašką – dešinįjį kraš-

tinį atkarpėlės tašką: n

ixx ii ==* (čia =i 1, 2, 3, ..., n). Dabar suda-

rykime integralinę Rymano sumą: ( )

nn

nni

nnn

ixxxxfR

n

i

n

i

n

ii

n

iin 2

1

2

1

2

111)(

21

211

*

1

** +=+

===∆=∆= ∑∑∑∑====

.

39

Iš geometrinių samprotavimų aišku, kad ieškomas figūros plotas

yra mažesnis negu apskaičiuotoji suma, t.y. n

RS n 2

1

2

1* +=> .

Dabar kitaip parinkime taškus skaidinio atkarpėlėse [ ]ii xx ,1− ,

imdami ne kraštinį dešinįjį, o kairįjį tašką: n

ixx ii

11

** −== − , =i 1, 2,

..., n . Rymano integralinė suma, atitinkanti šį taškų parinkimą, yra tokia:

( ) ==−=−

=∆=∆= ∑∑∑∑∑−

=====

1

12

12

11

**

1

**** 11

111)(

n

i

n

i

n

i

n

ii

n

iin i

ni

nnn

ixxxxfR

( )nn

nn

2

1

2

1

2

12

−=−

= .

Aišku, kad ši suma yra mažesnė už ieškomą plotą. Taigi, turime dvigubą nelygybę:

nRS

nR nn 2

1

2

1

2

1

2

1 *** +=<<−= .

Iš čia:

2

1limlim *** === ∞→∞→ nnnn RRS .

4. Apskaičiuokite plotą figūros, kurią iš apačios riboja x ašies

atkarpa [0, 1], o iš viršaus – funkcijos 3)( xxf = grafikas.

Suskaidykime atkarpą [0, 1] į n vienodo ilgio atkarpėlių taškais:

00 =x , n

x1

1 = , n

x2

2 = , ..., n

ixi = , ...,

n

nxn

11

−=− , 1==

n

nxn .

Skaidinio atkarpėlių ilgiai yra n

x1

=∆ . Sudarome sumą:

( )=+++=

++

+

=∆∑=

3334

333

1...21

11...

1211)( n

nnn

n

nnnnxxf

n

ii

( ) 2

4

22 1

4

1

4

1

+=

+=

n

n

n

nn.

40

Matome, kad n neaprėžtai didėjant, ši suma artėja prie skaičiaus

4

1. Vadinasi, ieškomas plotas

4

11

0

3 == ∫ dxxS .

Pratimai

Užrašykite šias sumas, panaudodami sumos simbolį ∑=

n

i 1:

1. 1197531 +++++ . 2. 87654321 −+−+−+− . 3. 362516941 +++++ .

4. 6

5

5

4

4

3

3

2

2

11 +++++ .

5. 36

1

25

1

16

1

9

1

4

1

2

1−+−+− .

6. 554433221 ++++ .

Apskaičiuokite sumas (pasinaudodami (1), (2) ir (3) formulė-mis):

7. ( )∑=

−9

152

ii .

8. ( )∑=

−n

ii

112 .

9. ( )∑=

+9

1

2 23i

i .

10. ∑=

10

1

3

ii .

Pasinaudodami (1), (2) ir (3) formulėmis, apskaičiuokite ribas

11. 2

...321lim

n

nn

++++∞→ .

12. 4

333 ...321lim

n

nn

++++∞→ .

41

13. ( )∑=

∞→ +−n

in ii

n 1

34

121

lim .

Sudarykite funkcijos )(xf Rymano integralinę sumą atkarpoje

[ ]ba, , padaliję šią atkarpą į n vienodo ilgio dalių:

14. 23)( −= xxf , [ ] [ ]3,0, =ba , 6=n .

15. 1)( 2 += xxf , [ ] [ ]3,2, =ba , 5=n .

16. 38)( xxf −= , [ ] [ ]2,0, =ba , 8=n . Sudarykite funkcijos )(xf Rymano integralinę sumą atkarpoje

[ ]ba, , padaliję šią atkarpą į n vienodo ilgio dalių. Apskaičiavę šios

sumos ribą, kai ∞→n , raskite figūros, kurią iš apačios riboja atkar-pa [ ]ba, , o iš viršaus funkcijos )(xf grafikas, plotą:

17. xxf +=1)( , [ ] [ ]2,1, =ba .

18. 2)( xxf = , [ ] [ ]3,2, =ba .

19. 22)( xxf −= , [ ] [ ]1,0, =ba .

20. Įrodykite, kad skritulio, kurio spindulys lygus r , plotas yra 2rπ .

2.2. Apibrėžtinis integralas ir jo savybės

Praeitame skirsnyje susipažinome su apibrėžtinio integralo są-voka, susiedami ją su figūros plotu. Figūros, esančios virš atkarpos [ ]ba, ir po funkcijos )(xf grafiku, plotą apibrėžiame kaip integrali-nių sumų ribą, tą ribą pavadinę funkcijos )(xf integralu atkarpoje

[ ]ba, ir pažymėję simboliu dxxfb

a∫ )( . Apskaičiuoti tokias ribas nėra

lengva, kartais iš viso negalima, todėl labai pravartu būtų turėti būdų, kaip apskaičiuoti integralą. Pasirodo, apskaičiuoti integralą labai paprasta, jei žinome integruojamos funkcijos pirmykštę: jei

)()( xfxF =′ , tai

42

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫ .

Ši formulė vadinama Niutono-Leibnico formule. Ją įrodysime vėliau, tačiau pasinaudosime jau šiame skirsnyje.

Dabar pateiksime griežtą integralo apibrėžimą. Tarkime, funkcija )(xf yra apibrėžta atkarpoje [ ]ba, . Nereika-

laujame, nei kad ši funkcija būtų tolydi, nei teigiama. Padalykime atkarpą [ ]ba, į n atkarpėlių taškais

bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ... . Šį taškų rinkinį

{ }nixi ...,,2,1, = vadinsime atkarpos [ ]ba, skaidiniu. Pažymėki-

me ix∆ i-osios atkarpėlės [ ]ii xx ,1− ilgį: 1−−=∆ iii xxx , o ∆ – di-

džiausiąjį iš tų ilgių (jei jie nevienodi): ini x∆=∆ ≤≤1max . Taip api-

brėžtą ∆ vadinsime skaidinio (maksimaliu) žingsniu. Kiekvienoje atkarpėlėje parinkime kurį nors tašką [ ]iii xxc ,1−∈ . Sumą

i

n

iin xcfR ∆= ∑

=1)( vadinsime funkcijos )(xf Rymano integraline

suma atkarpoje [ ]ba, . Aišku, ši suma priklauso nuo atkarpos skaidi-

nio { }ix ir taškų ic parinkimo. Funkcijos )(xf integralu atkarpoje

[ ]ba, pavadinome tokių sumų ribą, kai visų atkarpėlių ilgiai ix∆

(skaidinio žingsnis) artėja prie nulio, jei ši riba egzistuoja ir nepri-klauso nuo atkarpos [ ]ba, padalijimo ir taškų ic parinkimo. Dabar

detaliau pasiaiškinsime, kaip tą suprantame. 1 pavyzdys. Sudarykime funkcijos [ ]xxf =)( Rymano integra-

linę sumą atkarpoje [0, 2]. Priminsime, kad [ ]x yra skaičiaus x svei-

koji dalis. Atkarpą [0, 2] bet kaip padalykime į n atkarpėlių taškais 2...0 10 =<<<= nxxx . Tarkime, taškas 1=x patenka į atkarpėlę

[ ]kk xx ,1− . Jei 1=x priklauso dviem atkarpėlėm, tai tegul [ ]kk xx ,1−

būna dešinioji iš jų. Kiekvienoje atkarpėlėje pasirinkę po tašką

43

[ ]iii xxc ,1−∈ , sudarome sumą i

n

iin xcfR ∆= ∑

=1)( . Šioje sumoje iš-

skirkime k-ąjį ir n-ąjį dėmenis: +∆++∆+∆++∆= −−−− 111111 )(...)()(...)( nnkkkkn xcfxcfxcfxcfR

nn xcf ∆+ )( .

Kadangi 0)(...)()( 121 ==== −kcfcfcf , o

1)(...)( 1 === −nk cfcf , tai šią sumą galima perrašyti taip:

+−+−=∆+∆++∆+∆= +−−+ kkkknnnkkn xxxxxcfxxxR 1111 )(...

( ) +−=−+−++−+ −−−−−++ 1112112 2)(... knnnnnkk xxxcfxxxx

( )12)( −−+ nn xcf .

Dabar tarkime, kad didinant n visų atkarpėlių ilgiai artėja prie nulio: 0→∆ . Tada aišku taškas 1−nx artėja prie 2, o 1−kx prie 1.

Todėl nepriklausomai nuo to, ar n-ojoje atkarpėlėje pasirinktasis taš-kas 2=nc , ar ne,

( ) 1122)(limlimlimlim 1110 =−=−+−= −−−→∆ nnknn xcfxxR .

Vadinasi, Rymano integralinių sumų riba egzistuoja ir yra lygi 1, nepriklausomai nuo atkarpos padalijimo ir taškų atkarpėlėse parin-

kimo. Todėl galima parašyti: 1][2

0

=∫ dxx .

Dabar išnagrinėsime pavyzdį, iš kurio matysime, kad taip yra ne visada.

2 pavyzdys. Atkarpoje [0, 1] apibrėškime funkciją f taip:

0)( =xf , jei x yra racionalusis skaičius (tarp nulio ir vieneto), ir 1)( =xf , jei x yra iracionalusis. Bet kaip padaliję [0, 1] į atkarpėles,

kiekvienoje jų pasitinkime po racionalųjį skaičių. Rymano integrali-nė suma, atitinkanti šį atkarpos padalijimą ir taškų parinkimą, lygi nuliui. Taigi ir taip sudarytų sumų riba yra nulis. Jei kiekvienoje at-karpėlėje pasirinksime iracionalųjį skaičių, tai integralinė suma bus lygi vienetui. Aišku, šiuo atveju neegzistuoja integralinių sumų riba, nepriklausanti nuo atkarpos padalijimo ir taškų parinkimo. Ši funkci-ja neintegruojama.

44

Dabar griežtai suformuluosime tai, ką mes suprantame sakydami, kad integralinių sumų riba egzistuoja ir nepriklauso nuo atkarpos pada-lijimo ir taškų parinkimo, visų atkarpėlių ilgiui artėjant prie nulio.

Integralo apibr ėžimas. Skaičius I vadinamas funkcijos )(xf apibrėžtiniu integralu at-

karpoje [ ]ba, , jei kiekvienam teigiamam 0>ε egzistuoja toks 0>δ ,

kad kiekvienam atkarpos [ ]ba, padalijimui su sąlyga δ<∆ sudaryta

Rymano integralinė suma tenkina nelygybę

ε<∆− ∑=

n

iii xcfI

1)( .

Kai toks skaičius egzistuoja, jis vadinamas funkcijos )(xf

a[apibrėžtiniu integralu atkarpoje [ ]ba, , o funkcija )(xf vadinama

integruojama. Priešingu atveju funkcija vadinama neintegruojama. Taigi galime rašyti:

i

n

ii

b

a

xcfdxxf ∆= ∑∫=

→∆1

0 )(lim)( .

Matėme, kad ne visos funkcijos yra integruojamos. Aišku, kad tirti kiekvienos funkcijos integruojamumą tiesiogiai, remiantis api-brėžimu, būtų keblu. Todėl labai pageidautina būtų iš karto žinoti, kokios funkcijos integruojamos, jei tai įmanoma. Jau minėjome, kad tolydžios funkcijos yra integruojamos. Norėdami pabrėžti tai, sufor-muluosime šį teiginį kaip teoremą, nors jos ir neįrodysime.

1 teorema. Kiekviena tolydi atkarpoje funkcija yra integruoja-

ma toje atkarpoje. Iš šio teiginio išplaukia, kad jei funkcija f tolydi, tai bet kaip

sudarytos šios funkcijos integralinės sumos turi tą pačią ribą, jei tik atkarpos skaidinio maksimalus žingsnis artėja prie nulio, t.y. visi padalijimo intervaliukai trumpėja. Todėl, skaičiuojant integralines sumas, patogiausia atkarpą dalyti į vienodo ilgio atkarpėles, kiekvie-noje jų pasirinkti atkarpėlės kraštinį, dešinįjį arba kairįjį, tašką. Kar-tais būna patogiau pasirinkti atkarpėlės vidurio tašką. Didinant atkar-

45

pėlių skaičių n , skaidinio žingsnis, šiuo atveju tai yra atkarpėlės ilgis, artėja prie nulio. Tada galima rašyti:

∑∫=

∞→−

=n

iin

b

a

xfn

abdxxf

1)(lim)( .

Matėme, kad 2 pavyzdžio funkcija )(xf neintegruojama. Ji aiš-

ku nėra tolydi, kiekvienas jos taškas yra trūkio taškas. Pirmojo pa-vyzdžio funkcija [ ]xxf =)( nėra tolydi, tačiau ji integruojama vadi-

nasi, funkcijos tolydumas nėra būtina sąlyga, kad funkcija būtų integruojama, o tik pakankama. Tai reiškia, kad integruojamų funkci-jų klasė yra platesnė negu tolydžiųjų funkcijų. Suformuluosime dar vieną teiginį apie integruojamas funkcijas. Priminsime, kad taškas x vadinamas funkcijos f pirmojo tipo trūkio tašku, jei funkcija turi

tame taške (nesutampančias) vienpuses ribas. 2 teorema. Jei funkcija )(xf atkarpoje [ ]ba, turi baigtinį skai-

čių pirmojo tipo trūkio taškų, tai ji yra integruojama toje atkarpoje. Pastebėsime, kad funkcija [ ]xxf =)( bet kurioje atkarpoje turi

tik baigtinį skaičių pirmojo tipo trūkio taškų.

3 pavyzdys. Įsitikinsime, kad ∑ ∫=

∞→ =n

in dxx

n

i

1

1

02

lim . Kadangi

funkcija xxf =)( yra tolydi, tai šis integralas egzistuoja ir yra lygus

integralinių sumų ribai, kai atkarpos [0, 1] skaidinio žingsnis artėja

prie nulio. Suskaidykime šią atkarpą į n dalių taškais n

ixi = , =i 1,

2, ..., n , ir kiekvienoje atkarpėlėje pasirinkime jos dešinįjį kraštinį

tašką:

−∈=

n

i

n

i

n

ici ,

1. Kiekvienos atkarpėlės ilgis

nxi

1=∆ , o šio

skaidinio žingsnis n

1=∆ . Parašysime šiam skaidiniui ir taškų ic

rinkiniui atitinkančią funkcijos xxf =)( integralinę sumą:

46

∑ ∑∑∑= ===

=⋅=

=∆n

i

n

i

n

ii

n

ii

n

i

nn

i

nn

ifxcf

1 12

11

11)( .

Vadinasi, ∑∫=

∞→=n

in

n

idxx

12

1

0

lim .

Funkcijos xxf =)( pirmykštė yra 2

2x, todėl pagal Niutono-

Leibnico formulę 2

1

2

0

2

1 221

0

=−=∫ dxx . Vadinasi, ∑=

∞→ =n

in

n

i

12 2

1lim .

Iš integralo apibrėžimo išplaukia šios jo pagrindinės savybės, kurias paliekame skaitytojui įrodyti savarankiškai.

Integralo savybės Tarkime, funkcijos )(xf ir )(xg yra integruojamos atkarpoje

[ ]ba, , o α ir β yra pastovūs dydžiai. Tada:

1. [ ] dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a∫∫∫ β+α=β+α )()()()( .

2. Jei bca << , tai dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ += )()()( .

Integralą apibrėžėme atkarpoje [ ]ba, , kai ba< . Susitarsime,

kad 0)( =∫ dxxfb

a

, o dxxfdxxfb

a

a

b∫∫ −= )()( . Tada 2 savybė teisinga su

visais ( )∞∞−∈ ,c .

3. Jei )()( xgxf ≤ atkarpoje [ ]ba, , tai dxxgdxxfb

a

b

a∫∫ ≤ )()( .

Iš šios savybės išplaukia, kad jei β≤≤α )(xf atkarpoje [ ]ba, ,

tai ( ) ( )abdxxfabb

a

−β≤≤−α ∫ )( .

Pratimai

47

1. Pasinaudodami integralo apibrėžimu, įrodykite integralo sa-vybes.

2. Apskaičiuokite integralą ( )dxx∫−

+2

1

1 , sudarę funkcijos

xxf +=1)( integralinę sumą atkarpoje [-1, 2] ir radę jos ribą.

3. Įrodykite, kad dxxn

in

in ∫∑ =

=∞→

1

0

2

13

2

lim .

4. Įrodykite, kad dxxn

i

n

n

in ∫∑ =

=∞→

1

01coscos

1lim .

5. Funkcija )(xf apibrėžta formule: x

xf1

)( = , kai 0>x ,

0)0( =f . Ištirkite, ar ši funkcija integruojama atkarpoje [0, 1]?

Pasinaudodami Niutono-Leibnico formule, apskaičiuokite ribas:

6. ∑=

∞→ππ n

in n

i

n 1sinlim .

7. ∑=

∞→

πn

in n

i

n 1

2

sin2

lim .

8. 3

222 ......21lim

n

nn

+++∞→ .

9. nn

nn

++++∞→

..3.21lim .

2.3. Funkcijos vidutinė reikšmė

Įrodydami Niutino-Leibnico formulę, remsimės funkcijos vidu-tinės reikšmės sąvoka, kuri pati savaime yra svarbi ir naudinga.

Keliu dydžių vidurkį randame, tų dydžių sumą dalydami iš jų skaičiaus:

n

xxx n++=

...1 .

48

O kaip apibrėžti funkcijos vidutinę reikšmę kokiame nors inter-vale, juk funkcija paprastai įgyja be galo daug reikšmių? Pradėkime nuo funkcijos, apibrėžtos atkarpoje [0, 2], kuri įgyja dvi reikšmes:

0)( =xf , kai ∈x [0, 1), ir 1)( =xf , kai ∈x [1, 2]. Šios funkcijos

vidutinė reikšmė atkarpoje [0, 2] aišku yra 2

1

2

10=

+. Tačiau jei

funkcija reikšmę 0 įgytų intervale [0, 10

1), o reikšmę 1 – intervale

[10

1, 2], tai jos vidutinė reikšmė jau nebūtų

2

1. Tarkime, ši funkcija

nusako dalelės greitį (pvz., metrais per minutę). Vadinasi, dalelė 0,1 minutės dalį nejudėjo, o nuo 0,1 iki 2 min. judėjo vieno metro per minutę greičiu. Norėdami rasti dalelės vidutinį greitį laiko atkarpoje nuo 0 iki 2 min., galime per 2 min. nueitą kelią, kuris yra 1,9 m, pa-

dalinti iš laiko intervalo ilgio, t.y. iš 2. Gausime 20

19. Tačiau galime

ir kitaip pasielgti. Padalykime visą laiko atkarpą [0, 2] į 20 vienodo ilgio atkarpėlių po 0,1 min. Pirmojoje iš šių atkarpėlių funkcijos (greičio) reikšmė yra 0, o 19 atkarpėlių reikšmė yra 1. Sudėję visas 20 reikšmių ir padalinę iš atkarpėlių skaičiaus, gausime

20

19

20

1...10=

+++.

Iš šio pavyzdžio turbūt aišku, kaip reikėtų apibrėžti funkcijos vi-dutinę reikšmę atkarpoje. Tarkime, )(xf yra integruojama atkarpoje

[ ]ba, funkcija. Suskaidę šią atkarpą į n vienodo ilgio atkarpėlių

[ ]1, xa , [ ]21, xx , ..., [ ]bxn ,1− , kiekvienoje iš jų pasirenkame kurią

nors funkcijos reikšmę )( icf , [ ]iii xxc ,1−∈ , =i 1, 2, ..., 20 (čia

ax =0 , bxn = ). Kai n didelis, tai suma ∑=

n

iixf

n 1)(

1 yra artima „tik-

rajai“ funkcijos )(xf vidutinei reikšmei atkarpoje [ ]ba, , ir kuo n

didesnis, tuo ši suma artimesnė tai vidutinei reikšmei. Vadinasi, vi-suminę reikšmę galėtume apibrėžto kaip tokių sumų ribą, kai n ne-aprėžtai didėja:

49

∑=

∞→=n

iin xf

nf

1)(

1lim .

Jei dešinėje šio lygybės pusėje esanti suma būtų padauginta ne iš

n

1, iš atkarpėlės ilgio

n

ab −, tai turėtume funkcijos )(xf integralinę

sumą atkarpoje [ ]ba, . Todėl galime parašyti:

=−

−== ∑∑

=∞→

=∞→

n

iin

n

iin xf

n

ab

abxf

nf

11)(lim

1)(

1lim

dxxfab

b

a∫

−= )(

1 (1)

Šia formule apibrėžiama funkcijos )(xf vidutinė reikšmė atkar-

poje [ ]ba, .

1 pavyzdys. Tarkime, statybinių medžiagų sandėlio šildymo si-

stema taip sureguliuota, kad praėjus t valandų po 6 val. ryto, tempe-

ratūra yra 12

sin810t

Tπ

+= laipsnių. Kokia yra vidutinė temperatūra

tarp 10 val. ir 15 val.?

Turime apskaičiuoti integralą funkcijos 12

sin810)(π

+=t

tf vi-

dutinę reikšmę atkarpoje [4, 9]. Pagal (1) formulę:

dtt

T ∫

π+

−=

9

4 12sin810

49

1.

Norėdami apskaičiuoti integralą, randame funkcijos )(tf pir-

mykštę:

12cos

9610)(

ππ

−=t

ttF . Pagal Niutono-Leibnico gauname:

( ) =

ππ

+⋅−π

π−⋅=−=

12

4cos

96410

12

9cos

96910

5

1)4()9(

5

1FFT

50

4,172

1

2

2

5

9610 ≈

+

π+= (oC).

Ar kiekviena funkcija įgyja kuriame nors atkarpos taške savo vi-dutinę reikšmę? Šio skirsnio pradžioje nagrinėjome funkcijas, įgy-jančias atkarpoje [0, 2] tik dvi reikšmes – 0 arba 1. Išsiaiškinome,

kad jų vidutinės reikšmės šioje atkarpoje yra 2

1 ir

20

19. Taigi nė vie-

na iš jų jokiame taške neįgyja reikšmės, sutampančios su vidutine. Pastebėsime, kad šios funkcijos nėra tolydžios. Dabar suformuluosi-me ir įrodysime teiginį, kad kiekviena tolydi funkcija įgyja savo vi-dutinę reikšmę.

Teorema. Jei funkcija )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba, , tai toje

atkarpoje yra taškas c , kuriame funkcijos reikšmė sutampa su jos vidutine reikšme:

dxxfab

cfb

a∫

−= )(

1)( (2)

Įrodymas. Funkcija )(xf , būdama tolydi atkarpoje [ ]ba, , įgyja

savo didžiausiąją reikšmę M ir mažiausiąją m . Pagal integralo 3 savybę (žr. 2.2),

( ) ( )abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫ )( .

Padalinę šią nelygybę iš skirtumo ab − , gauname:

Mdxxfab

mb

a

≤−

≤ ∫ )(1

.

Iš šios nelygybės matome, kad skaičius dxxfab

b

a∫

−)(

1 yra tarp

funkcijos )(xf mažiausios ir didžiausios reikšmių. Pagal pirmojoje

matematinės analizės kurso dalyje įrodytą tarpinės reikšmės teoremą,

51

atkarpoje [ ]ba, yra taškas c , kuriame funkcija įgyja šią reikšmę:

dxxfab

cfb

a∫

−= )(

1)( .

Teorema įrodyta. (2) lygybę parašykime taip:

( ) dxxfabcfb

a∫=− )()( . (3)

Dešinėje lygybės pusėje yra figūros, esančios tarp atkarpos [ ]ba, ir funkcijos grafiko, plotas, o kairėje – stačiakampio, kurio

pagrindas yra atkarpa [ ]ba, , o aukštis – )(cf , plotas. Taigi (3) lygy-

bė pateikia vaizdžią geometrinę vidutinės reikšmės teoremos interp-retaciją.

2 pavyzdys. Jei automobilis per valandą nuvažiavo 100 km, tai

jo vidutinis greitis toje kelio atkarpoje buvo 100 km/h. Remdamiesi vidutinės reikšmės teorema galime tvirtinti, kad bent vienu laiko momentu automobilio greitis 100 km/h. Jeigu toje kelio atkarpoje leistinas greitis yra 90 km/h, tai tvirtai galima teigti, kad kurioje nors kelio vietoje leistinas greitis buvo viršytas 10 km/h.

Pratimai

1. Apskaičiuokite funkcijos nxxf =)( vidutinę reikšmę atkar-

poje [0, 1] ir raskite atkarpos tašką, kuriame funkcija įgyja tą reikš-mę, kai 1=n , 2=n , 3=n ir 10=n . Pavaizduokite geometriškai.

2. Apskaičiuokite funkcijos nxxf =)( vidutinę reikšmę atkar-

poje [0, 2] ir raskite atkarpos tašką, kuriame funkcija įgyja tą reikš-mę, kai 1=n , 2=n , 3=n ir 10=n . Pavaizduokite geometriškai.

3. Funkcija )(xf apibrėžta atkarpoje [0, 1] taip: kiekviename

intervale [0, 10

1) taške ji lygi 10, o kiekviename atkarpos [

10

1, 1]

52

taške funkcijos reikšmė yra 1. Apskaičiuokite šios funkcijos vidutinę reikšmę atkarpoje [0, 1].

4. Akmuo paleidžiamas kristi iš 100 m aukščio. Raskite akmens vidutinį greitį per jo kritimo iki žemės paviršiaus laiką.

5. Tarkime, 1 m ilgio strypo temperatūra kiekviename taške, ku-ris nutolęs nuo „kairiojo“ strypo galo x cm, yra ( )xxxT −= 1005)(

laipsnių. Kokia yra šio strypo vidutinė temperatūra? 6. Vienetinio apskritimo centras yra koordinačių pradžios taške.

Apskaičiuokite vertikaliosios šio apskritimo stygos ilgio vidutinę reikšmę.

2.4. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas. Niutono-Leibnico formul ė

Šiame skirsnyje įsitikinsime, kad kiekviena tolydi funkcija turi pirmykštę, ir įrodysime Niutono-Leibnico formulę.

Tarkime, )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba, funkcija. Kaip jau ži-

nome, ji yra integruojama šioje atkarpoje ir aišku kiekvienoje atkar-poje [ ]ca, , kai bca ≤≤ . Integruodami funkciją )(xf atkarpoje

[ ]ca, , su kiekviena c reikšme gauname, apskritai imant, skirtingą

integralo dxxfc

a∫ )( reikšmę, kuri priklauso nuo skaičiaus c . Vadina-

si, atkarpoje [ ]ba, turime kintamo taško c funkciją dxxfcFc

a∫= )()( .

Norėdami pabrėžti, kad c yra šios funkcijos argumentas, pažymėki-me jį, kaip labiau įprasta, ne c , o x , o vietoj integravimo kintamojo x parašykime t . Aišku, tai yra visiškai neesminis dalykas, kokia raide kurį kintamąjį žymėti. Taigi turime kintamojo x funkciją

dttfxFx

a∫= )()( . Įsitikinsime, kad funkcija )(xF kiekviename inter-

valo ( )ba, taške turi išvestinę, ir ta išvestinė sutampa su funkcija )(xf . Tai reiškia, kad )(xF yra funkcijos )(xf pirmykštė.

53

1 teorema. Jei funkcija )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba, , tai

funkcija )(xF , apibrėžta formule

dttfxFx

a∫= )()( ,

yra funkcijos )(xf pirmykštė, t.y. )()( xfxF =′ su visais ( )bax ,∈ .

Įrodymas. Pagal išvestinės apibrėžimą,

( )

−

∆=

∆−∆+

=′ ∫∫∆+

→∆→∆ dttfdttfxx

xFxxFxF

x

a

xx

axx )()(

1lim

)(lim)( 00 .

Pagal integralo 2 savybę,

dttfdttfdttfxx

x

x

a

xx

a∫∫∫∆+∆+

+= )()()( ,

todėl dttfx

xFxx

xx ∫

∆+

→∆ ∆=′ )(

1lim)( 0 .

Pagal vidutinės reikšmės teoremą, intervale ( )xxx ∆+, yra taš-

kas c , kuriame teisinga lygybė dttfx

cfxx

x∫∆+

∆= )(

1)( . Keičiant x∆ ,

tas taškas c aišku irgi keisis, o kai 0→∆x , tai xc→ . Kadangi funkcija )(xf yra tolydi, gauname:

)()(lim)(1

lim)( 00 xfcfdttfx

xF x

xx

xx ==

∆=′ →∆

∆+

→∆ ∫ .

Teorema įrodyta. Pastaba. Tarkime, c yra bet kuris atkarpos [ ]ba, taškas, o

funkcija )(xG apibrėžiama lygybe dttfxGx

c∫= )()( . Tuomet aišku

)(xG taip pat yra funkcijos )(xf pirmykštė, besiskirianti nuo )(xF

pastoviu dydžiu dttfCc

a∫= )( : CxGxF += )()( .

54

Pavyzdžiai

1. raskime funkcijos ( ) dttxfx

∫ −=0

521)( išvestinę.

Pagal 1 teoremą ( )521)( xxfdx

d−= .

2. Kuriame taške funkcijos dttxfx

∫ −=0

3 1)( grafiko liestinė yra

horizontali? Liestinė horizontali tuose taškuose, kuriuose funkcijos išvestinė

lygi nuliui. Pagal 1 teoremą 3 1)( −= xxfdx

d, todėl išvestinė lygi

nuliui, kai 1=x . Vadinasi, liestinė yra horizontali tame grafiko taš-ke, kuro abscisė 1=x . Funkcijos reikšmė tame taške

( )[ ]4

31

4

31)1(

1

03/4

1

0

3 −=−=−==

=∫t

ttdttf . Taigi liestinė yra hori-

zontali grafiko taške (1, 4

3− ).

3. Raskime ribą x

dttx

x

∫→

0

2

0

cos

lim . (Nesupainiokime 2cost su

t2cos ).

Čia turime neapibrėžtumą 0

0. Taikome Lopitalio taisyklę:

11

coslim

cos

lim

cos

lim2

00

2

00

2

0 === →→→

∫∫x

xdx

d

dttdx

d

x

dtt

x

x

x

x

x .

4. Raskime funkcijos dtt

txf

x

∫=2

1

sin)( išvestinę.

55

Dabar jau negalime iš karto taikyti 1 teoremos, nes integralo vir-

šutinis rėžis yra 2x , o ne x . Pažymėkime 2xu = , dtt

tuy

u

∫=1

sin)( .

Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę

( )dx

du

du

dyxuy

dx

dxf

dx

d⋅== )()( .

Kadangi pagal 1 teoremą u

u

du

dy sin= , o x

dx

du2= , tai

xxfdx

d2)( = , tai

x

xx

x

xxf

dx

d 2

2

2 sin22

sin)( =⋅= .

Įrodysime Niutino-Leibnico formulę. 2 teorema. Tarkime, )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba, funkcija, o

)(xG – jos pirmykštė. Tada

[ ] )()()()( aGbGxGdxxf ba

b

a

−==∫ .

Ši formulė vadinama Niutono-Leibnico formule. Skirtumą

)()( aGbG − dažnai žymėsime b

axG )( arba [ ]baxG )( . Tada formulę

galima perrašyti taip:

[ ] )()()()()( aGbGxGxGdxxf ba

b

a

b

a

−===∫ .

Įrodymas. Tarkime, )(xG yra funkcijos )(xf pirmykštė. Iš 1

teoremos žinome, kad funkcija dttfxFx

a∫= )()( taip pat yra funkcijos

)(xf pirmykštė. Vadinasi, funkcijos F ir G skiriasi tik pastoviu dydžiu: CxGxF += )()( . Įstatę ax = , gauname:

CaGaF +== )(0)( . Iš čia )(aGC −= . Įstatome šią C reikšmę: )()()( aGxGxF += . Į šią lygybę įstatę bx = , gauname:

)()()()( aGbGdttfbFb

a

−== ∫ .

56

Teorema įrodyta. Integralo suvokimas kaip „be galo mažų“ atkarpėlių ilgių ir funk-

cijos reikšmių jose sandaugų dxxf )( „suma“ atveria plačias jo taiky-

mo galimybes, o Niutono-Leibnico formulė suteikia patogią ir efekty-vią galimybę apskaičiuoti integralą. Norint apskaičiuoti integralą, reikia rasti integruojamos funkcijos pirmykštę, arba kitaip, neapibrėž-tinį integralą. Tuomet telieka vienas veiksmas – apskaičiuoti pirmykš-tės funkcijos reikšmių integravimo intervalo galuose skirtumą.

Pavyzdžiai

5. Apskaičiuokime dxxx∫ +4

0

2 96 . Naudodami keitinį

92 += xu , integruojame:

( ) CxCuduudxxx ++=+==+ ∫∫3232/1

4

0

2 922396 .

Įstatę integravimo rėžius 4=x ir 0=x į pirmykštės funkcijos

( )32 92)( += xxG išraišką ir atėmę gautas reikšmes, gauname at-

sakymą:

( ) 1969294296 3324

0

2 =−+=+∫ dxxx .

Šį skaičiavimą galima atlikti ir paprasčiau, neieškant atskirai ne-apibrėžtinio integralo, o atliekant tuos pertvarkymus su apibrėžtiniu integralu:

( ) 1969223964

0

32**

*

3**

*

2/14

0

2 =

+=

==+ ∫∫ xuduudxxx .

Šios lygybės antrajame integrale nerašėme rėžių, kadangi rėžiai 0 ir 4 yra kintamojo x reikšmės. Todėl vietoj jų įrašėme simbolius ∗ ir ∗∗. Reikšmes 0 ir 4 įrašėme tik grįžę prie kintamojo x . Tačiau galima daryti ir kitaip. Kai 0=x , tai 9=u , o kai 4=x , tai

25942 =+=u . Todėl skaičiavimo veiksmus galima atlikti taip:

57

196239625

9

325

9

2/14

0

2 =

==+ ∫∫ uduudxxx .

6. Apskaičiuokime ∫−

−1

1

212 dxx . Pasinaudosime keitiniu

tx sin= ,

ππ−∈

2,

2t .

Aišku, 2

sin1π

= ,

π−=−

2sin1 . Integruojame:

( ) ==−=− ∫∫∫

π

π−

π

π−−

dtttdtdxx2

2

22

2

21

1

2 cos2sinsin1212

( ) [ ] dtttdtt ∫∫

π

π−

π

π−

π

π−

+=+=2

2

2

2

2

2

2cos2cos1 .

Pastarasis integralas aišku yra lygus

02sin2

12cos

2

2

2

2

=

=

π

π−

π

π−

∫ tdtt , tačiau pasinaudoję keitiniu tu 2=

galėtume ir taip parašyti:

0sin2

1cos

2

12cos

2

2

=

==π

π−

π

π−

π

π−

∫∫ uduudtt . Taigi galutinai

π=−∫−

1

1

212 dxx .

Panaudotas apibrėžtinio integralo skaičiavimo keičiant kintamąjį būdas remiasi šiuo teiginiu:

3 teorema. Tarkime, kad )(xf yra tolydi atkarpoje [ ]ba, funk-

cija, )(tϕ yra tolydi kartu su savo išvestine funkcija, apibrėžta at-

58

karpoje [ ]βα, ir įgyjant reikšmes atkarpoje [ ]ba, , be to a=αϕ )( ,

b=βϕ )( . Tada

( ) dtttfdxxfb

a

)()()( ϕ′ϕ= ∫∫β

α,

arba trumpiau

( ) )()()( tdtfdxxfb

a

ϕϕ= ∫∫β

α.

Įrodymas. Tarkime, kad )(xF yra funkcijos )(xf pirmykštė.

Taikydami Niutono-Leibnico formulę ir sudėtinės funkcijos diferen-cijavimo taisyklę, galime parašyti:

( ) ( ) ( )[ ] =ϕ=βϕ−αϕ=−= βα∫ )()()()()()( tFFFaFbFdxxf

b

a

( ) ( ) ( ) dtttfdtttFdttFdt

d)()()()()( ϕ′ϕ=ϕ′ϕ′=ϕ= ∫∫∫

β

α

β

α

β

α.

Žinome, kad ieškant pirmykštės funkcijos, be kintamojo keitinio naudojamas ir integravimo dalimis metodas. Iš integravimo dalimis formulės ir Niutono-Leibnico formulės tiesiogiai išplaukia šis teigi-nys:

4 teorema. Jei )(xf , )(xg ir jų išvestinės yra tolydžios atkar-

poje [ ]ba, , tai

[ ] dxxfxgxgxfdxxgxfb

a

ba

b

a

)()()()()()( ′−=′ ∫∫ ,

arba trumpiau

[ ] ∫∫ −=b

a

ba

b

a

gdffgfdg .

7 pavyzdys.

[ ] 11lnlnln11

11

=+−=−=−= ∫∫∫ eedxexxdxxdxxee

ee

.

Pratimai

59

Raskite funkcijos )(xf išvestinę )(xfdx

d:

1. ∫−

−=x

dttxf1

21)( .

2. dttxfx

∫=0

2sin)( .

3. dtttxfx

∫=2

0

2 sin)( .

4. ∫ −=x

dttxfsin

0

21)( .

5. dttxfx∫=2ln)( .

6. ( )∫−−=

2.)(

x

tt dteexf

7. dxxxf ∫π

=2/

0

sin)( .

Raskite ribas:

8. ∫→

x

x dttx 0

220 sin

1lim .

9. ( )∫ −→

x

x dttx 0

220 cos1

1lim .

10. Raskite funkcijos dtt

txf

x

∫+

=0

2 3

sin)( kirtinius taškus intervale

( )∞,0 .

Apskaičiuokite integralus:

11. dxx∫π

0

2sin .

12. dxe x∫

−1

0

2 .

60

13. ∫−

1

1

dxx .

14. ∫−

−2

1

2 1dxx .

2.5. Artutinis integralų skaičiavimas

Žinome, kad kiekviena tolydi atkarpoje funkcija yra integruoja-ma toje atkarpoje. Taip pat žinome paprastą būdą, kaip apskaičiuoti integralą. Jei mokame rasto integruojamos funkcijos f pirmykštę

G , tai pagal Niutono-Leibnico formulę

)()()( aGbGdxxfb

a

−=∫ .

Taip pat žinome, kad kiekviena tolydi funkcija turi pirmykštę. Praeitame skirsnyje įrodėme, kad funkcija F , apibrėžta formule

dttfxFx

a∫= )()( , yra funkcijos f pirmykštė. Tačiau taip pat žinome,

kad kai kurių gana paprastų funkcijų pirmykštės (neapibrėžtiniai integralai) nėra elementarios funkcijos. Tokia yra, pavyzdžiui, funk-

cija 3 21)( xxf += . Vadinasi, integralo ∫ +b

a

dxx3 21 negalime ap-

skaičiuoti, naudodami Niutono-Leibnico formulę, nors jis egzistuoja (kadangi integruojamoji funkcija yra tolydi). Tad kaipgi apskaičiuoti integralą, kai nežinome integruojamosios funkcijos pirmykštės?

Šiame skirsnyje aptarsime artutinius integralo apskaičiavimo būdus. Integralą apibrėžėme kaip Rymano integralinių sumų ribą, kai integravimo intervalo skaidinys „smulkėja“. Vadinasi, kiekviena integralinė suma yra integralo artutinė reikšmė.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime integralo dxx∫π 2/

0

sin artutinę reikš-

mę, pakeisdami šio integralo tikslią reikšmę 1 funkcijos xsin integ-

61

ralinėmis sumomis, atitinkančiomis atkarpos

π2

,0 suskaidymą į

tris vienodo ilgio atkarpas

π6

,0 ,

ππ3

,6

ir

ππ2

,3

. Kiekvienoje iš

šių atkarpėlių pasirinkę jos dešinįjį galinį tašką, sudarykime integra-linę sumą:

23,112

3

2

1

662sin

63sin

66sin3 ≈

++

π=

π⋅

π+

π⋅

π+

π⋅

π=D .

Gavome artutinę integralo reikšmę, gana ženkliai besiskiriančią nuo tikrosios reikšmės 1.

Sudarykime kitą integralinę sumą, pasirinkdami kairiuosius at-karpėlių galus:

71,02

3

2

10

663sin

66sin

60sin3 ≈

++

π=

π⋅

π+

π⋅

π+

π⋅=K

Abi gautos sumos (integralo artutinės reikšmės arba tiesiog arti-niai) ženkliai skiriasi nuo integralo reikšmės (kurią žinome). Smulki-

nant atkarpos

π2

,0 skaidinį, t.y. didinant atkarpėlių skaičių, gautos

sumos aišku vis mažiau skirsis nuo integralo reikšmės. Visiškai aišku, kodėl pirmoji suma yra didesnė, o antroji mažes-

nė už tikrąją integralo reikšmę. Galime tikėtis, kad šių dviejų sumų vidurkis yra tikslesnis integralo artinys negu kiekviena jų atskirai.

Paskaičiuokime: ( ) ( ) 97,071,023,12

1

2

1333 =+=+= KDT . Iš tikrųjų,

šis artinys skiriasi nuo integralo reikšmės jau tik trimis šimtosiomis. Įstatę į šią lygybę sumų 3D ir 3K išraiškas, gauname lygybę:

( ) +π

⋅+

π⋅

π+

π⋅

π+

π⋅

π=+=

60sin

62sin

63sin

66sin

2

1

2

1333 KDT

π+

π+

π+

π⋅=

π⋅π

+π

⋅π

+2

sin3

sin26

sin20sin62

1

63sin

66sin .

62

Atkarpos

π2

,0 skaidinio taškai yra 00 =x , 61π

=x , 32π

=x ir

23π

=x , o šio skaidinio žingsnis 6

π=∆x . Perrašykime sumą taip:

( )32103 sinsin2sin2sin2

xxxxx

T +++∆

= ,

arba vietoj xsin rašydami )(xf , perrašome taip:

[ ])()(2)(2)(2 32103 xfxfxfxfx

T +++∆

= .

Matėme, kad integralo dxx∫π 2/

0

sin artinys 3T , kurį gavome su-

skaidę atkarpą

π2

,0 tik į tris dalis, skiriasi nuo tikrosios integralo

reikšmės tik trimis šimtosiomis. Vadinasi, šis artinys yra gana tiks-lus. Aišku, kad suskaidę atkarpą ne į tris, o tarkim į dešimt dalių, gautume daug tikslesnį įvertį.

Lygiai taip pat gautume bet kokios integruojamos funkcijos in-

tegralo dxxfb

a∫ )( įvertį. Skaidant atkarpą [ ]ba, į n vienodo ilgio

atkarpėlių, skaidinio žingsnis yra n

abx

−=∆ , o skaidinio taškai

xiax ∆+=1 , =i 0, 1, 2, ..., n . Tokiu pat būdu gautas integralo įver-

tis skaičiuojamas pagal šią formulę:

[ +++++−

=≈ −∫ )(2...)(2)(2)(2

)( 1210 nn

b

a

xfxfxfxfn

abTdxxf

])( nxf+ (1)

Ši formulė vadinama trapecijų formule, o pagal šią formulę gautą artutinę integralo reikšmę nT vadinsime trapecijų artiniu. Skyrelio

pabaigoje aptarsime pagal šią formulę gauto integralo įverčio tikslumą.

63

1 pavyzdys. Pasinaudoję trapecijų formule, apskaičiuosime in-

tegralo dxx∫ +1

0

3 21 artutinę reikšmę, suskaidę atkarpą [0, 1] į dešimt

dalių. Skaidinio taškai yra 00 =x , 1,01 =x , 2,02 =x , ..., 9,09 =x ,

110 =x . Skaidinio žingsnis 1,0=∆x . Įrašę į (1) formulę, gauname:

++++++ +++

−= 3 23 23 23 2

10 )9,0(12...)2,0(12)1,0(120120

01T

09,11123 2 ≈++ .

Gavome artutinę integralo reikšmę. Aptarsime dar vieną artutinio įverčio radimo būdą. Kad vaiz-

džiai matytume, kokia to įverčio paklaida, pasirinkime integralą, kurį lengvai galime apskaičiuoti pagal Niutono-Leibnico formulę. Pavyz-

džiui, integralas 2sin0

=∫π

dxx . Suskaidykime atkarpą [ ]π,0 į dvi at-

karpas

π2

,0 ir

ππ

,2

. Funkcijos xsin reikšmės skaidinio taškuo-

se yra šios: 00sin = , 12

sin =π

ir 0sin =π . Vadinasi, funkcijos

grafikas eina per taškus (0,0),

π1,

2 ir ( )0,π . Per tris taškus, nesan-

čius vienoje tiesėje, galima nubrėžti parabolę (tik vieną). Raskime parabolės, einančios per tuos tris taškus, lygtį.

Parabolės lygtis yra cbxaxy ++= 2 . Turime parinkti tokias a ,

b ir c reikšmes, kad parabolė eitų per tuos taškus. Vadinasi, a , b ir c turi atitikti šias sąlygas:

cba +⋅+⋅= 000 2 ,

cba +π

⋅+

π⋅=22

12

.

cba +π⋅+π⋅= 20 .

64

Kitaip tariant, a , b ir c yra šios trijų lygčių sistemos sprendi-nys. Iš pirmosios lygties iš karto gauname 0=c , o išsprendę antrąją

ir trečiąją, gauname 2

4

π−=a ,

π=

4b . Vadinasi, ieškoma parabolė

yra xxyπ

+π

−=44 2

2.

Apskaičiuokime šios naujos funkcijos integralą, arba kitaip, plo-tą srities, esančios tarp šios parabolės ir x ašies:

∫π

≈π

=π+π−=

π

+π

−0

22

09,23

22

3

444dxxx .

Ši integralo reikšmė skiriasi nuo dxx∫π

0

sin tik 0,09. Vadinasi,

skaičius dxxxS ∫π

π

+π

−=0

22

44 yra pakankamai tiksli integralo

dxx∫π

0

sin artutinė reikšmė.

Šis integralo artutinės reikšmės radimo būdas sudaro Simpsono

metodo esmę. Norėdami apytiksliai apskaičiuoti dxxfb

a∫ )( , skaidome

atkarpą [ ]ba, į lyginį skaičių n vienodo ilgio dalių taškais

bxxxxa n =<<<<= ...210 . Funkcijos f reikšmės šiuose skaidi-

nio taškuose žymėsime atitinkamai 0y , 1y , 2y , ..., ny . Remiantis

integralo savybėmis, galima parašyti:

dxxfdxxfdxxfdxxfn

n

x

x

x

x

x

x

b

a∫∫∫∫−

+++=2

4

2

2

0

)(...)()()( .

Randame parabolę cbxaxy ++= 2 , einančią per funkcijos f

grafiko taškus ( )00, yx , ( )11, yx , ( )22 , yx . Pirmąjį integralą dešinėje

pakeičiame šios kvadratinės funkcijos integralu, kurį labai paprasta apskaičiuoti:

65

( ) ( ) ( ) ( )0220

22

30

32

2

23)(

2

0

2

0

xxcxxb

xxa

dxcbxaxdxxfx

x

x

x

−+−+−=++= ∫∫ .

Parabolės koeficientus a , b ir c randame išsprendę lygčių si-stemą

0020 ycbxax =++ ,

1121 ycbxax =++ ,

2222 ycbxax =++ .

Įstatę gautas a , b ir c reikšmes į apytikslę lygybę ir turėdami

omeny, kad 2

201

xxx

+= , gauname:

( ) ( ) ( )=−+−+−≈∫ 0220

22

30

32 23

)(2

0

xxcxxb

xxa

dxxfx

x

( ) ( )21021002 4

34

6yyy

abyyy

xx++

−=++

−= ..................

Toliau randame parabolę, einančią per taškus ( )22, yx , ( )33, yx ,

( )44 , yx , ir antrąjį integralą pakeičiame šios kvadratinės funkcijos

integralu:

( )432 43

)(4

2

yyyab

dxxfx

x

++−

≈∫ .

Sudėję visus 2/n integralų, gausime parabolių (Simpsono) formulę ( n – lyginis):

( ++++++−

=≈∫ ...24243

)( 43210 yyyyyn

abSdxxf n

b

a

)nnn yyy +++ −− 11 42 (2)

Ši formulė vadinama Simpsono arba parabolių formule, o pagal ją gautą artutinę integralo reikšmę vadinsime Simpsono artiniu.

66

2 pavyzdys. Pasinaudoję parabolių formule, apskaičiuosime in-

tegralo dxx∫ +1

0

3 21 artutinę reikšmę, suskaidę atkarpą [0, 1] į dešimt

dalių.

+ +++++++≈+∫ 3 23 23 23 2

301

1

0

3 2 )3,0(14)2,0(12)1,0(14011 dxx

++++ ...)4,0(123 2 .......................................

Trapecijų ir parabolių formulės yra patogios ir gana tikslios. Jos ypač naudingos dar ir todėl, kad galima įvertinti pagal šias formules gautų artutinių reikšmių tikslumą.

Pažymėkime (1) ir (2) artutinių lygybių paklaidas atitinkamai

nET ir nES . Tada

nn

b

a

ETTdxxf +=∫ )(

ir

nn

b

a

ESSdxxf +=∫ )( .

Šios paklaidos rodo, kiek tikroji integralo reikšmė skiriasi nuo artutinės, gautos naudojant trapecijų arba parabolių formules. Sufor-muluosime dvi teoremas, nurodančias kaip įvertinti šias paklaidas.

1 teorema. Jei funkcija )(xf turi tolydžią antrąją išvestinę

)()2( xf atkarpoje [ ]ba, ir Mxf ≤)()2( su visais [ ]bax ,∈ , tai

( )

2

3

12n

abMETn

−≤ . (3)

2 teorema. Jei funkcija )(xf turi tolydžią ketvirtąją išvestinę

)()4( xf atkarpoje [ ]ba, ir Lxf ≤)()4( su visais [ ]bax ,∈ , tai

67

( )

4

5

180n

abLESn

−≤ . (4)

Remdamiesi šiomis teoremomis, įvertinsime paklaidas, kurias

darome skaičiuodami dxx∫π

0

sin pagal trapecijų ir parabolių formules,

kai integravimo intervalą [ ]π,0 skaidomas į 10=n dalių. Funkcijos

xxf sin)( = antroji ir ketvirtoji išvestinės xxf sin)()2( −= ir

xxf sin)()4( = yra tolydžios ir abi absoliučiu didumu neviršija 1.

Vadinasi, joms galioja šie įverčiai:

0279,01012 2

3

10 ≈⋅

π≤ET ,

0002,010180 4

5

10 ≈⋅

π≤ES .

Matome, kad naudodami parabolių formulę, integralą artutinai įvertiname daug tiksliau, negu naudodami trapecijų formulę.

3 pavyzdys. Norėdami pažymėti skaičių 2ln realiųjų skaičių

tiesėje, turėtume parašyti jį dešimtaine forma. Kadangi e<< 21 , tai eln2ln1ln << arba 12ln0 << . Taigi skaičius 2ln yra tarp 0 ir 1.

Tačiau to aišku nepakanka, norime daug tiksliau nustatyti jo vietą. Aptarsime, kaip galėtume tai padaryti.

Iš Niutono-Leibnico formulės lengvai gauname lygybę

∫=2

1

2lnx

dx.

Suskaidykime atkarpą [1, 2] į =n 2 dalių. Funkcijos x

xf1

)( =

reikšmės skaidinio taškuose 10 =x , 5,11 =x ir 22 =x yra 1, 3

2 ir

2

1. Pasinaudoję Simpsono (parabolių) formule, galima parašyti:

68

22

2

1

2ln ESSx

dx+== ∫ ,

6944,033

25

2

1

3

241

6

12 ≈=

+⋅+=S .

Norėdami įvertinti paklaidą 2ES , rasime ir įvertinsime funkcijos f ketvirtąją išvestinę:

2424

)(5

)4( ≤=x

xf , kai [ ]2,1∈x .

Pagal (4) nelygybę

120

1

16180

242 =

⋅≤ES .

Vadinasi, artutinės lygybės 6944,02ln2

1

≈= ∫x

dx tikslumas yra

geresnis negu 0,01. Todėl 0,68 < 2ln < 0,7. Į kiek dalių reikia suskaidyti atkarpą [1, 2], kad gautume 2ln

įvertį 0,0005 tikslumu? Norint atsakyti į šį klausimą, pakanka rasti

tokį n , su kuriuo 0005,04180

24<

n, nes su tokiu n ir paklaida nES

bus mažesnė už 0,0005. Pakanka imti 6=n , kad tikslumas būtų pa-kankamas.

Pratimai Suskaidę integravimo intervalą į n vienodo ilgio dalių, apskai-

čiuokite šio integralo trapecijų artinį. Atsakymą suapvalinkite iki dviejų ženklų po kablelio. Palyginkite gautus atsakymus su tikslio-mis integralų reikšmėmis, gautomis naudojant Niutono-Leibnico formulę ir lygybę =3ln 1,0986. Pasinaudoję 1 teorema, įvertinkite gautų artutinių reikšmių paklaidas ir nustatykite, į kiek dalių pakanka suskaidyti integravimo intervalą, kad paklaida būtų mažesnė už 0,01.

1. dxx∫π 2/

0

cos , 3=n .

69

2. dxx∫π

0

cos , 4=n .

3. ∫3

1 x

dx, 4=n .

Suskaidę integravimo intervalą į keturias vienodo ilgio dalis, ap-skaičiuokite šio integralo Simpsono artinį. Atsakymą suapvalinkite iki keturių ženklų po kablelio. Palyginkite gautus atsakymus su tiks-liomis integralų reikšmėmis, gautomis naudojant Niutono-Leibnico formulę ir lygybę =3ln 1,0986 (keturių ženklų tikslumu). Pasinau-doję 2 teorema, įvertinkite gautų artutinių reikšmių paklaidas ir nu-statykite, į kiek dalių pakanka suskaidyti integravimo intervalą, kad paklaida būtų mažesnė už 0,001.

4. dxx∫π

0

cos .

5. ∫3

12x

dx.

6. dxx∫4

0

3 .

7. dxx∫4

0

2 . Paaiškinkite šios užduoties atsakymą.

8. Po raketos starto kas sekundę buvo nustatomas jos greitis. Pa-sirodė, kad po pirmos sekundės greitis buvo 2 m/s, po dviejų sekun-džių – 8 m/s, o po trijų sekundžių – 20 m/s. Pasinaudoję trapecijų formulę, apskaičiuokite, kokį atstumą nuskriejo raketa per pirmąsias tris sekundes.

9. Vidurnaktį oro temperatūra buvo 14oC, po valandos 11oC, ant-rą valandą nakties 7oC, o trečią valandą nukrito iki nulio. Pasinaudo-ję trapecijų formule, apskaičiuokite vidutinę oro temperatūrą tarp vidurnakčio ir trečios valandos.

70

10. Į kiek mažiausiai dalių reikia suskaidyti atkarpą [ ]ba, , kad

pagal Simpsono formulę vertinant integralą ( )dxxxb

a∫ −+π 45ln2 ,

paklaida būtų mažesnė už 10-8?

2.6. Netiesioginiai integralai

2.2 skirsnio 1 teoremoje teigiama, kad kiekviena tolydi atkarpoje funkcija yra integruojama toje atkarpoje. Taikant integralą kartais iškyla poreikis apibrėžti integralą begaliniame intervale. Pradėkime nuo geometrinio uždavinio: įvertinti plotą plokštumos srities, esan-čios virš x-ų ašies begalinio intervalo [1, ∞) ir po funkcijos

2

1)(

xxf = grafiku. Šis plotas turėtų būti funkcijos )(xf integralo

begaliniame intervale [1, ∞) geometrinė interpretacija. Iš kairės šią sritį riboja vertikalios tiesės 1=x atkarpa, o dešinėje sritis „tęsiasi į begalybę“. Iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti, kad šios srities plotas turėtų būti begalinis. Panagrinėsime tai

Pažymėkime )(tS plotą srities, esančios virš x ašies atkarpos

[ ]t,0 ir po )(xf grafiku. Žinome, kad

∫=t

x

dxtS

12

)( .

Apskaičiavę integralą gauname:

txtS

t1

11

)(1

−=

−= .

Matome, kad koks bebūtų didelis t , šis plotas yra mažesnis už 1, o kai ∞→t , tai 1)( →tS . Natūralu laikyti, kad visos begalinės sri-

ties plotas, tuo pačiu ir integralas begaliniame pusintervalyje [1, ∞), yra )(tS riba, kai ∞→t :

∫∫ ∞→

∞=

t

t dxx

dxx 1

21

2

1lim

1.

71

Po šių geometrinių svarstymų pateiksime formalų integralo be-galiniame intervale [a, ∞) apibrėžimą.

1 apibrėžimas. Tarkime, kad funkcija )(xf yra tolydi begali-

niame intervale [a, ∞). Jeigu egzistuoja riba

dxxft

at ∫∞→ )(lim ,

tai ji vadinama funkcijos )(xf netiesioginiu integralu intervale [a,

∞) ir žymima simboliu dxxfa∫∞

)( . Taigi,

dxxfdxxft

at

a∫∫ ∞→

∞= )(lim)( . (1)

Kai ši riba egzistuoja, tai sakoma, kad netiesioginis integralas konvertuoja. Priešingu atveju sakoma, kad integralas diverguoja.

Jei funkcija )(xf yra neneigiama, tai kintamojo t funkcija

dxxftAt

a∫= )()( yra didėjanti (nemažėjanti) ir (1) riba arba egzistuoja

(yra baigtinė), arba yra begalinė. Pirmuoju atveju rašoma

∞<∫∞

dxxfa

)( , o antruoju – +∞=∫∞

dxxfa

)( .

1 pavyzdys. Ištirkime, ar integralas ∫∞

1

1dx

x konvertuoja. Pagal

apibrėžimą ∞=== ∞→∞→

∞

∫∫ tdxx

dxx t

t

t lnlim1

lim1

11

. Integralas di-

verguoja.

72

2 pavyzdys. Ištirkime netiesioginio integralo dxx∫∞

0

cos konver-

gavimą. Riba tdxx t

t

t sinlimcoslim0

∞→∞→ =∫ neegzistuoja, taigi in-

tegralas diverguoja. Panašiai apibrėžiamas netiesioginis integralas su begaliniu apa-

tiniu rėžiu: jei )(xf yra tolydi intervale (–∞, b], tai

dxxfdxxfb

ss

b

∫∫ −∞→∞−

= )(lim)( (2)

Apibrėžę netiesioginius integralus su begaliniais viršutiniu ir apatiniu rėžiais, galime apibrėžti ir netiesioginį integralą su abiem begaliniais rėžiais. Jei funkcija )(xf yra tolydi intervale ( )−∞∞, , tai

pagal apibrėžimą

dxxfdxxfdxxfc

c

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−+= )()()( . (3)

Čia c yra bet kuris (patogus) skaičius. Šis integralas konvertuo-ja, jei abu (3) lygybės dešinėje pusėje esantys netiesioginiai integra-lai konverguoja. Jei bent vienas iš jų diverguoja, tai integralas

dxxf∫∞

∞−)( divarguoja.

Turime įsitikinti, kad šis apibrėžimas yra korektiškas, t.y. kad su

kiekviena c reikšme gauname tą pačią dxxf∫∞

∞−)( reikšmę. Tačiau tai

išplaukia iš akivaizdžių lygybių:

=++=+ ∫∫∫∫∫∞

∞−

∞

∞−dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

d

d

c

c

c

c)()()()()(

dxxfdxxfd

d

∫∫∞

∞−+= )()( ,

73

kurios yra teisingos, jei tik parašytieji netiesioginiai integralai kon-vertuoja.

Visi trys apibrėžtieji integralai dar vadinami pirmojo tipo netie-sioginiais integralais.

3 pavyzdys. Ištirkime integralą ∫∞

∞− +dx

x21

1. Pasirinkę 0=c ,

parašykime

∫∫∫∫ ++

=+

++

=+

−∞→

∞

∞−

∞

∞−

0

20

2

0

22 1

1lim

1

1

1

1

1

1

ss

xdx

xdx

xdx

x

π=π

+π

=+−=+

+ ∞→−∞→∞→ ∫22

arctglimarctglim1

1lim

02

tsdxx

ts

t

t .

Pasitelkę geometrinę interpretaciją galime sakyti, kad plokštu-

mos srities, esančios tarp x ašies ir funkcijos 21

1

xy

+= grafiko

plotas yra lygus π . Gali kilti klausimas, ar teisinga lygybė

dxxfdxxft

tt ∫∫

−∞→

∞

∞−= )(lim)( .

Pateksime pavyzdį, kuris rodo, kad ši lygybė gali būti ir netei-singa.

4 pavyzdys. Įsitikinsime, kad ∫∞

∞− +

−dx

x

x21

1 diverguoja, o

π=+

−∫−

t

t

dxx

x21

1.

Pagal apibrėžimą ∫ ∫∫∞−

∞∞

∞− +

−+

+

−=

+

− 0

0222 1

1

1

1

1

1dx

x

xdx

x

xdx

x

x su są-

lyga, kad abu integralai dešinėje konvertuoja. Tačiau pastarieji di-verguoja, nes riba

74

( ) =

+−=+

−∞→∞→ ∫

t

t

t

t xxdxx

x

0

2

02

1ln2

1arctglim

1

1lim

( )

+−= ∞→21ln

2

1arctglim ttt

neegzistuoja. Randame ribą

( ) =

+−=+

−

−∞→

−∞→ ∫

t

tt

t

tt xxdx

x

x 22

1ln2

1arctglim

1

1lim

( )

++−−−= ∞→ ......1ln2

11ln

2

1)(arctgarctglim 2tttt ........

Apibrėšime antrojo tipo netiesioginį integralą, kai integravimo intervalas yra baigtinis, tačiau integruojamojo funkcija jame turi ant-rosios rūšies trūkį. Tarkime, kad neneigiama funkcija )(xf yra toly-di pusintervalyje [a, b), tačiau )(xf neaprėžtai didėja ( +∞→)(xf ),

kai bx ↑ . Kai bt < , pažymėkime )(tA plotą kreivinės trapecijos,

kuri yra virš atkarpos [ ]ta, ir po funkcijos )(xf grafiku. Kai bt ↑ , plotas didėja, o funkcija )(tA arba neaprėžtai didėja, arba turi (baig-

tinę) ribą. Pavyzdžiui, funkcija ( )21

1)(

−=

xxf yra tolydi pusinter-

valyje [0, 1), o

( )+∞→−

−=

−

−=−

= ∫ 11

1

1

1

1)(

0 02 txx

dxtA

t t

, kai 1↑t .

Jei ( ) 3/21

1)(

−=

xxg , tai

( )[ ] 1111

1)( 3

00

33/2

→+−=−=−

= ∫ txx

dxtB

t t, kai 1↑t .

2 apibrėžimas. Tarkime, kad funkcija )(xf yra tolydi pusinter-

valyje [a, b), tačiau neturi ribos )(lim xfbx↑ , kai bx ↑ . Jeigu egzis-

75

tuoja riba dxxft

abt ∫↑ )(lim , tai ji vadinama funkcijos )(xf netiesio-

giniu integralu intervale (pusintervalyje) [a, b) ir žymima simboliu

dxxfb

a∫ )( . Tai yra

dxxfdxxft

abt

b

a∫∫ ↑= )(lim)( .

Kai ši riba egzistuoja, sakoma, kad netiesioginis integralas kon-vertuoja. Jeigu riba neegzistuoja, tai sakoma, kad integralas diver-guoja.

Panašiai apibrėžiamas integralas pusintervalyje (a, b], kai funk-cija jame yra tolydi, tačiau neturi ribos taške ax = :

dxxfdxxfb

aas

b

a∫∫ ↓= )(lim)( .

Jei funkcija turi antrosios rūšies trūkį vidiniame atkarpos [ ]ba,

taške c , tai

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ += )()()( .

Šie integralai vadinami antrojo tipo netiesioginiais integralais.

5 pavyzdys. Ištirkime integralo ( )∫∞

>a

pa

x

dx0 konvergavimą.

Kaip 1≠p , tai

+−

=

+−== −

∞→+−

∞→∞→

∞

∫∫p

t

t

a

a

t

ptpt

ap

tp

xpx

dx

x

dx 11

1

1lim

1

1limlim

1

1

1 +−

−+ pa

p.

Matome, kai 1>p , ši riba egzistuoja ir

1

1

1 +−∞

∫−

= p

ap

apx

dx.

76

Kai 1<p , riba neegzistuoja (lygi begalybei), todėl integralas diverguoja. Lieka ištirti atvejį 1=p :

( ) ∞=−=∫∞

∞→ atx

dx

at lnlnlim .

Vadinasi, netiesioginis integralas ( )∫∞

>a

pa

x

dx0 konvertuoja, kai

1>p , ir diverguoja, kai 1≤p .

6 pavyzdys. Ištirkime integralo ( )∫ >a

pa

x

dx

0

0 konvergavimą. Kai

0≤p , turime apibrėžtinį integralą, kuris egzistuoja, nes tada poin-tegrinė funkcija yra tolydi. Kai 0>p ,

∫ ∫ =

+−== +−

↓↓

a a

s

a

s

pspsp

xpx

dx

x

dx

0

100 1

1limlim

−+

−= −−

↓pp

s sp

ap

110 1

1

1

1lim .

Kai 1<p , ši riba egzistuoja ir

∫−

−=

ap

pa

px

dx

0

1

1

1.

Kai 1>p , riba neegzistuoja, taigi integralas diverguoja. Lengva įsitikinti, kad jis diverguoja ir kai 1=p . Vadinasi, netiesioginis in-

tegralas ∫a

px

dx

0

konvertuoja, kai 1<p , ir diverguoja, kai 1≥p .

Palyginkite šį atsakymą su 5 pavyzdžio atsakymu. Pratimai Ištirkite netiesioginių integralų konvergavimą ir, jei konvertuoja,

apskaičiuokite:

1. ∫∞

9 xx

dx.

77

2. ∫∞

−3 2x

dx.

3. ( )∫

∞

−322x

dx.

4. ( )∫

−

∞− +

3

31x

dx.

5. ∫∞

∞− + 29 x

xdx.

6. dxx∫∞

∞−sin .

Apskaičiuokite ribas. Interpretuokite geometriškai:

7. dxxt

tt ∫

−∞→ sinlim .

8. dxxt

tt ∫

−∞→ coslim .

2.7. Netiesioginių integralų konvergavimo požymiai

Dažnai pakanka žinoti, ar duotasis integralas konverguoja, ar di-verguoja, o integralo reikšmė nėra svarbi. Kartais žinant, kad integra-las konvertuoja, galima rasti būdą jam apskaičiuoti. Todėl svarbu turėti patogių požymių, kuriais remiantis nesunkiai galima nustatyti integralo konvergavimą. Aptarsime kelis požymius.

1 pavyzdys. Tarkim, kad norime ištirti, ar integralas ∫∞

+12 77x

dx

konverguoja. Tam reikia įsitikinti, ar funkcija

∫+

=t

x

dxtA

12 77

)(

turi ribą, kai ∞→t .

78

Žinome, kad ∫∞

12x

dx konverguoja ir lygus 1 (5 pavyzdys). Aišku,

kad su visais x iš intervalo [1, ∞) nelygybė

22

1

77 xx

dx<

+

yra teisinga. Todėl su kiekvienu 1>t nelygybė 1)(01

2<<< ∫

t

x

dxtA

yra teisinga. Kadangi funkcija )(tA didėja, didėjant t , tai ji turi ribą,

t.y. integralas konverguoja. Po išnagrinėto pavyzdžio visiškai akivaizdus šis konvergavimo

požymis: 1 teorema. (Palyginimo požymis). Tarkime, kad su visais x iš

intervalo [a, ∞) nelygybė )()(0 xgxf ≤≤ yra teisinga. Tada:

a) jeigu ∞<∫∞

dxxga

)( , tai ir ∞<∫∞

dxxfa

)( ;

b) jeigu ∞=∫∞

dxxfa

)( , tai ir ∞=∫∞

dxxga

)( .

Įrodymas. Pažymėkime

dxxftFt

a∫= )()( , dxxgtG

t

a∫= )()( .

Aišku, kad su visais t nelygybė )()( tGtF ≤ yra teisinga.

Tarkime, kad dxxga∫∞

)( konverguoja. Tai reiškia, kad funkcija

)(tG turi ribą, kai ∞→t . Kadangi ši funkcija yra monotoniškai

didėjanti, tai aišku dxxgtGa∫∞

≤ )()( su visais t . Todėl ir

dxxgtFa∫∞

≤ )()( . Vadinasi, funkcija )(tF yra aprėžta. Kadangi ši

79

funkcija monotoniškai didėja, tai ji turi ribą, t.y. integralas dxxfa∫∞

)(

konverguoja. Teoremos dalis a) įrodyta. Skaitytojui paliekame pa-čiam įrodyti antrąją dalį.

2 pavyzdys. Ištirkime integralo ∫∞

3

ln

x

xdx konvergavimą.

Aišku, kad xx

x 1ln> . Kadangi ∫

∞∞=

3 x

dx, tai pagal teoremos

antrąją dalį ∫∞

3

ln

x

xdx diverguoja.

3 pavyzdys. Ištirkime integralo ∫∞

−22 2x

dx konvergavimą.

Žinome, kad integralas ∫∞

22x

dx konverguoja. Bet mūsų integruo-

jamoji funkcija yra ne mažesnė, o didesnė už 2

1

x, todėl negalime

taikyti 1 teoremos. Tačiau kai x reikšmės didelės, tai integruojamoji

funkcija 2

12 −x

ir funkcija 2

1

x yra beveik lygios, o riboje jos „su-

tampa“. Kadangi funkcijos elgesys esant didelėms kintamojo reikš-mėms ir sąlygoja integralo konvergavimą ar divergavimą, tai tiria-masis integralas turėtų konverguoti. Parašykime šių dviejų funkcijų santykį:

2

21

2

1:

2

122

2

22 −+=

−=

− xx

x

xx.

Šis santykis yra didesnis už 1, o didėjant x jis gana greitai artėja

prie 1. Su visais 5≥x šis santykis jau yra mažesnis už 10

11 , todėl

80

22

1,1

2

1

xx<

−, kai 5≥x . Kadangi integralas ∫ ∫

∞ ∞=

5 522

1,11,1

x

dxdx

x kon-

verguoja, tai dabar jau galime remdamiesi 1 teorema tvirtinti, kad

integralas ∫∞

−22 2x

dx konverguoja. Tačiau

∫ ∫∫∞∞

−+

−=

−

5

2 522

22 222 x

dx

x

dx

x

dx.

Vadinasi, tiriamasis integralas konverguoja. Šis pavyzdys įtikinamai rodo, kad jeigu dvi funkcijos „begalybė-

je sutampa“, griežčiau kalbant, jeigu jų santykio riba yra 1, tai abiejų funkcijų netiesioginiai integralai „elgiasi“ vienodai, t.y. arba abu konvertuoja, arba abu diverguoja. Nesunku suvokti, kad bus lygiai tas pats, jeigu dviejų funkcijų santykio riba bus ne 1, o kitas skaičius. Šiuos samprotavimus apibendrinsime kitoje teoremoje.

2 teorema. (Ribinis palyginimo požymis). Jeigu egzistuoja tei-

giamų funkcijų )(xf ir )(xg riba

0)(

)(lim >=∞→ K

xg

xfx , (1)

tai netiesioginiai integralai dxxfa∫∞

)( ir dxxga∫∞

)( arba abu konver-

guoja, arba abu diverguoja. Įrodymas. Tarkime, kad riba egzistuoja ir lygi 0>K . Tai reiš-

kia, kad kiekvienam 0>ε egzistuoja toks t , kad su visais tx >

nelygybė ε<− Kxg

xf

)(

)( yra teisinga.

Parinkime tokį mažą ε , kad ε−K būtų teigiamas. Pastarąją ne-lygybę perrašykime taip:

ε<−<ε− Kxg

xf

)(

)(.

Iš pastarosios nelygybės gauname:

81

( ) ( ) )()()( xgKxfxgK ε+<<ε− .

Iš šios dvigubos nelygybės ir 1 teoremos gauname įrodymą. Jei-

gu, pavyzdžiui, dxxga∫∞

)( konverguoja, tai ir integralas

( ) dxxgKa∫∞

ε+ )( konverguoja. Iš dešiniosios nelygybės ir 1 teoremos

išplaukia, kad dxxfa∫∞

)( konvertuoja. Jeigu pastarasis integralas kon-

vertuoja, tai iš kairiosios nelygybės gauname, kad ( ) dxxgKa∫∞

ε− )( ir

dxxga∫∞

)( konverguoja. Panašiai samprotaujame, kai kuris nors iš

integralų diverguoja.

4 pavyzdys. Ištirkime integralo ∫∞

−22 3

arctgdx

x

x konvergavimą.

Integralą palyginsime su konverguojančiu integralu ∫∞

22

1dx

x:

( )∞→π

→

−−=

−=

−xx

xx

xx

xx

x

2arctg

3

31

3

arctg1:

3

arctg22

2

22.

Vadinasi, tiriamasis integralas konverguoja. Kai funkcijos )(xf ir )(xg teigiamos, tai jų santykio riba gali

būti tik neneigiama (arba iš viso neegzistuoja). Panagrinėkime atvejį, kai ši riba lygi 0, t.y.

( )∞→→ xxg

xf0

)(

)(.

Šiuo atveju aišku, kad funkcija )(xf su didelėm x reikšmėm

yra ženkliai mažesnė už )(xg . Todėl iš integralo dxxga∫∞

)( konver-

82

gavimo turi išplaukti dxxfa∫∞

)( konvergavimas, o iš šio divergavimo

– dxxga∫∞

)( divergavimas. Suformuluosime tai.

3 teorema. Tarkime, kad funkcijos )(xf ir )(xg yra teigiamos

ir

0)(

)(lim =∞→ xg

xfx . Tada:

a) jeigu ∞<∫∞

dxxga

)( , tai ir ∞<∫∞

dxxfa

)( ;

b) jeigu ∞=∫∞

dxxfa

)( , tai ir ∞=∫∞

dxxga

)( .

Šią teoremą paliekame įrodyti patiems.

5 pavyzdys. Ištirkime integralo dxxe x∫∞

−

0

konvergavimą.

Palyginkime integralą su konverguojančiu integralu ∫∞

12x

dx. Pri-

taikę šių funkcijų santykiui Lopitalio taisyklę, gauname:

06

~6

~3

~1

:23

2→=−

xxxxx

ee

x

e

x

e

x

xxe ( )∞→x .

Pagal 3 teoremą integralas konverguoja. Analogiški palyginimo požymiai taikytini ir antrojo tipo netie-

sioginiams integralams. Pateiksime juos be įrodymų. Jei intervalas I yra [a, b) arba (a, b], tai integralą

4 teorema. (Palyginimo požymis). Tarkime, kad I yra interva-

las (a, b] (arba [a, b)), funkcijos )(xf ir )(xg intervalo I krašti-

niame taške a (arba b ) turi antrosios rūšies trūkį ir su visais Ix∈ nelygybė )()(0 xgxf ≤≤ yra teisinga. Tada:

83

a) jeigu ∞<∫∞

dxxga

)( , tai ir ∞<∫∞

dxxfa

)( ;

b) jeigu ∞=∫∞

dxxfa

)( , tai ir ∞=∫∞

dxxga

)( .

5 teorema. (Ribinis palyginimo požymis). Tarkime, kad I yra

intervalas (a, b] (arba [a, b)), teigiamos funkcijos )(xf ir )(xg

intervalo I kraštiniame taške a (arba b ) turi antrosios rūšies trūkį. Jeigu egzistuoja riba

0)(

)(lim >=→ K

xg

xfax (arba 0

)(

)(lim >=→ K

xg

xfbx )

tai netiesioginiai integralai dxxfa∫∞

)( ir dxxga∫∞

)( arba abu konver-

guoja, arba abu diverguoja. 6 teorema. Tarkime, kad I yra intervalas (a, b] (arba [a, b)),

teigiamos funkcijos )(xf ir )(xg intervalo I kraštiniame taške a

(arba b ) turi antrosios rūšies trūkį ir

0)(

)(lim =→ xg

xfax (arba 0

)(

)(lim =→ xg

xfbx ). Tada:

a) jeigu ∞<∫ dxxgb

a

)( , tai ir ∞<∫ dxxfb

a

)( ;

b) jeigu ∞=∫ dxxfb

a

)( , tai ir ∞=∫ dxxgb

a

)( .

6 pavyzdys. Panagrinėkime integralą dxex xp∫∞

−

0

.

Kai 0≥p , integruojamoji funkcija yra tolydi intervale [0, ∞),

todėl turime pirmojo tipo netiesioginį integralą (su begaliniu integra-vimo rėžiu). Panašiai kaip 4 pavyzdyje, lengva įsitikinti, kad šis in-tegralas konverguoja. Jeigu 0<p , tai pointegracinė funkcija turi

84

trūkų taške 0=x . Vadinasi, su neigiamomis p reikšmėmis integra-

las yra kartu ir pirmojo, ir antrojo tipo, todėl pirmiausia turime jį apibrėžti. Šį integralą apibrėšime taip:

dxexdxexdxex xpxpxp∫∫∫∞

−−∞

− +=1

1

00

.

Pirmasis integralas dešinėje yra antrojo tipo, o antrasis – pirmo-jo. Integralas konverguoja, jeigu abu šie integralai dešinėje konver-guoja. Antrasis konverguoja su kiekviena p reikšme, o norėdami

ištirti pirmojo konvergavimą, palyginkime jį su integralu

∫∫ −=

1

0

1

0

1dx

xdxx

pp . Rasime ribą

0lim1

:lim2

00 ==

→

−→ x

p

xpxp

xe

x

xex .

Remdamiesi 6 teorema galime tvirtinti, kad dxex xp∫

−1

0

konver-

guoja, jeigu ∫ −

1

0

1dx

x p konverguoja. Pastarasis integralas konverguo-

ja, kai 1<− p (žr. 2.7 6 pavyzdys), t.y. kai 1−>p . Vadinasi, integ-

ralas dxex xp∫∞

−

0

konverguoja su visais 1−>p .

Pažymėkime 1+= pt . Tada dxexdxex xtxp∫∫∞

−−∞

− =0

1

0

. Šis integ-

ralas apibrėžtas su kiekviena teigiama t reikšme ir vadinamas gama funkcija. Žymima taip:

dxext xt∫∞

−−=Γ0

1)( .

Ši funkcija dažnai naudojama matematikoje. Viena iš svarbių jos savybių yra ši: su kiekvienu natūraliuoju n lygybė

( ) !1 nn =+Γ

Pratimai

85

Ištirkite integralų konvergavimą:

1. ∫∞

−

0

2dxe x .

2. ∫∞

+03 2x

dx.

3. ∫∞

+−

+

02 3

sin2

xx

x.

4. dxxx

x∫∞

++02 53

.

5. ∫∞

13

lndx

x

x.

6. ∫1

0

cosdx

x

x.

7. ∫−

1

0 sinxx

dx.

8. ∫−

1

0 61 x

dx.

9. ( ) dxxx qp∫ −1

0

1 .

86

3. INTEGRALO TAIKYMAI

3.1. Apibrėžtinio integralo taikymo schema

Antrajame skyriuje apibrėžėme integralą kaip be galo didėjančio skaičiaus be galo mažėjančių dydžių sumos ribą. Šis integralo supra-tingumas atveria plačias taikymo galimybes geometrijoje, mechani-koje ir įvairiose kitose srityse. Naudojant integralą galima apskai-čiuoti plokščios figūros plotą, trimačio kūno tūrį, strypo masę, dalelės įveiktą atstumą, kintamos jėgos atliekamą darbą, įmonės pel-ną, sugedusių įrenginių skaičių ir aibę kitokių dydžių. Kiekvienu atveju integralinė formulė gaunama naudojant iš principo tą patį bendrą metodą, kurį dabar ir aptarsime.

Skaičiuodami kreivinės trapecijos, esančios tarp x ašies atkar-pos [ ]ba, ir funkcijos )(xfy = grafikos, plotą, atkarpą [ ]ba, taškais

bxxxa n =<<<= ...10 į n atkarpėlių [ ]ii xx ,1− , 1=i , ..., n . Visa

kreivinė trapecija atitinkamai suskaidoma į n juostelių, esančių virš tų atkarpėlių ir funkcijos grafiko, o jos plotas lygus šių juostelių plo-tų sumai:

∑=∆=

n

iiSS

1. (1)

Kiekvienoje atkarpėlėje [ ]ii xx ,1− pasirinkę bet kokį tašką

[ ]iii xxx ,1*

−∈ , 1=i , ..., n , galime parašyti apytikslę lygybę:

iii xxfS ∆≈∆ )( * , (2)

čia 1−−=∆ iii xxx , 1=i , ..., n . Ši lygybė išreiškia tai, kad i-osios

juostelės plotas apytiksliai lygus plotui stačiakampio, kurio plotis

(pagrindo ilgis yra ix∆ , o aukštis – )( *ixf . Įstatę (2) į (1), gauname:

i

n

ii xxfS ∆≈ ∑

=1

* )( . (3)

87

Pastarosios lygybės dešinėje pusėje yra funkcijos )(xf Rymano

integralinė suma atkarpoje [ ]ba, . Kai skaidinys smulkėja, t.y.

0max1

→∆≤≤

ini

x , ši integralinė suma artėja prie figūros ploto S. Gau-

name formulę:

∫=b

a

dxxfS )( . (4)

Šis metodas naudojamas apskaičiuojant įvairius dydžius. Tarki-me, kad norime apskaičiuoti dydį Q (plotą, tūrį, darbą, kreivės ilgį ir

pan.), kuris yra susietas su kokia nors atkarpa [ ]ba, taip, kad skirtin-gas šios atkarpos dalis atitinka skirtingos dydžio Q dalys. Suskai-

džius [ ]ba, į n atkarpėlių, dydis Q suskaidomas į dalis 1Q∆ , 2Q∆ ,

..., nxQ∆ ir

∑=∆=

n

iiQQ

1. (5)

Jeigu galime rasti tokią funkciją f , kad

iii xxfQ ∆≈∆ )( * , (6)

kai [ ]iii xxx ,1*

−∈ , tada dydį Q galima apytiksliai įvertinti funkcijos f Rymano integraline suma

i

n

ii xxfQ ∆≈ ∑

=1

* )( . (7)

Šios lygybės dešinioji pusė, smulkėjant [ ]ba, skaidiniui, artėja

prie integralo dxxfb

a∫ )( . Jeigu iš geometrinių, fizikinių ar kitokių

samprotavimų aišku, kad ši integralinė suma artėja prie dydžio Q ,

tai gauname lygybę:

88

dxxfQb

a∫= )( . (8)

Kadangi integralą paprastai galima apskaičiuoti, tiksliai arba ap-ytiksliai, tai šis metodas leidžia apskaičiuoti dydį Q .

1 pavyzdys. Apskaičiuokime skritulio, kurio spindulys 1, plotą. Nubraižykime koordinačių ašis taip, kad koordinačių pradžios

taškas būtų skritulio centre.

-1 1

y

x

Skritulio plotą Q susiesime su x ašies atkarpa [-1, 1]. Suskaidę

šią atkarpą į n nevienodo ilgio dalių, skritulį padaliname į n vertika-lių juostelių. Kiekvienos juostelės plotis yra

n

x2

=∆ .

Kiekvienoje atkarpėlėje [ ]ii xx ,1− pasirinkę po tašką

[ ]iii xxe ,1−∈ , i-osios juostelės plotą iQ∆ galėsime apytiksliai įver-

tinti taip:

xeQ ii ∆−≈∆ 212 .

89

xi-1 xi

ei

1 ei2

1 ei2

Aišku, kad

==−=∆−= ∫∫∑

π

π−−=∞→

2

2

21

1

2

1

2 cos21212lim dttdxxxeQn

ii

n

( ) π=+π=+=−

π

π−

∫ 2

π

2

π

2

2

2sin2

12cos1 tdtt .

Čia panaudojame keitinį tx sin= . 2 pavyzdys. To paties skritulio plotą apskaičiuosime, pasinau-

dodami apskritimo ilgio formule

rC π= 2 .

Susiekime skritulio plotą Q su x ašies atkarpa [0, 1] ir padalin-

kime skritulį į n vienodo pločio žiedinių juostelių, atitinkančių at-karpos [0, 1] skaidinį į n vienodo ilgio atkarpėlių.

90

y

x

Skritulio plotas

∑=∆=

n

iiSQ

1,

čia iS∆ yra i-osios juostelės plotas. Atkarpėlėje [ ]ii xx ,1− pasirinkę

tašką *ix , parašysime apytikslę lygybę

xxS ii ∆π≈∆ *2 .

čia n

x1

=∆ .

Aišku, kad

π=π=∆π= ∫∑=∞→

dxxxxQn

ii

n

1

01

* 22lim .

3 pavyzdys. Tarkime, kad plonas 1 m ilgio strypas išlydytas iš

skirtingų metalų taip, kad jo masės tankis taške, kurio atstumas nuo

„lengvesnio“ galo x cm, yra ( )x+10 g/cm. Tai reiškia, kad jeigu

strypas būtų išlydytas iš vienodo metalo, tai vieno centimetro ilgio strypo gabaliuko masė būtų 10 g. Jei visas strypas būtų išlydytas iš tokio metalo, kaip jo sunkesnysis galas, tai vieno centimetro masė

būtų 2010010 =+ g. reikia apskaičiuoti strypo masę.

91

Mintyse suskaidykime strypą (atkarpą [0, 100] į n vienodo ilgio

dalių. Vienos dalies ilgis n

x100

=∆ (cm). Kiekvienoje atkarpėlėje

pasirinkę po tašką, pavyzdžiui, jos vidurio tašką. Pažymime *ix i-oje

atkarpėlėje pasirinktąjį tašką. Tada i-osios atkarpėles masė yra

xxm ii ∆

+≈∆ *10 (g),

o viso strypo masė

xxmn

ii ∆

+≈ ∑

=1

*10 .

Lengvai pastebime, kad šios lygybės dešinėje pusėje yra funkci-

jos xxf +=10)( Rumano integralinė suma atkarpoje [0, 100].

Vadinasi, strypo masė yra

( ) [ ] 7,16663

20001000

3

21010

100

0

2/31000

100

0

≈+=

+=+= ∫ xxdxxm (g).

4 pavyzdys. Tarkime, kad sportinio automobilio greitis v pir-

mąsias penkias sekundes po starto kinta taip: t sekundžių po starto 23)( ttfv == (m/s). Kokį atstumą automobilis nuvažiuoja per pir-

mąsias 5 sekundes? Suskaidykime lanko atkarpą [0, 5] į n vienodo ilgio dalių. kiek-

vieno trumpo laiko intervaliuko ilgis n

t5

=∆ . Skaidinio taškai

n

iti

5= , 0=i , 1, 2, ..., n . Kiekviename intervaliuke bet kaip pasi-

renkame laiko momentą: [ ]iii ttt ,1*

−∈ 1=i , 2, ..., n . Per i-ąjį laiko

intervaliuką nuvažiuotas atstumas

ttfS ii ∆⋅≈∆ )( * ,

o per 5 sekundes

92

ttfSn

ii

n∆= ∑

=∞→ 1

* )(lim .

Ši suma yra funkcijos 23)( ttf = integralinė suma, todėl

[ ] 125350

35

0

2 === ∫ tdttS (m).

3.2. Srities ploto skaičiavimas

Jau žinome, kaip skaičiuoti kreivinės trapecijos, esančios virš atkarpos [ ]ba, ir po funkcijos )(xfy = grafiku, plotą. Dabar ap-

skaičiuosime plotą plokštumos srities, kuri yra taro dviejų funkcijų )(xfy = ir )(xgy = , [ ]bax ,∈ , grafikų. Tarkime, )()( xgxf ≤

atkarpoje [ ]ba, . Sritį iš apačios riboja )(xfy = grafikas, iš viršaus – )(xgy = grafikas, o iš šonų – vertikalios tiesės ax = ir bx = .

a

y=g x( )

b

y=f x( ) Suskaidžius atkarpą taškais bxxxa n =<<<= ...10 [ ]ba, į n

vienodo ilgio n

abx

−=∆ atkarpėlių, visa sritis padalijama į n siaurų

juostelių. i-oje atkarpėlėje pasirenkame tašką [ ]iii xxx ,1*

−∈ . Aišku,

kad i-osios juostelės plotas iS∆ apytiksliai lygus stačiakampio, kurio

plotis x∆ , o aukštis )()( **iii xfxgh −= , plotui:

93

[ ] xxfxgS iii ∆−≈∆ )()( ** ,

o visas srities plotas

[ ] xxfxgSn

iii ∆−≈ ∑

=1

** )()( .

Kuo didesnis n (smulkesnis atkarpos [ ]ba, skaidinys), tuo ši

suma artimesnė plotui S. Vadinasi,

[ ] [ ]∫∑ −=∆−=−∞→

b

a

n

iii

ndxxfxgxxfxgS )()()()(lim

1

** .

1 pavyzdys. Apskaičiuokime plotą plokštumos srities, kurią ap-

riboja kreivė 2xy = ir tiesės xy = , 2=x .

1

y=x

2

y=x

1

42

Visa sritis sudaryta iš dviejų dalių, todėl galime parašyti:

( ) ( ) +

−

=−+−=+= ∫∫

1

0

31

0

22

1

21

0

221 32

xxdxxxdxxxSSS

94

123

2

1

22

1

3

=

−

+

xx.

2 pavyzdys. Apskaičiuokime plokštumos srities, kurią apriboja

kreivės 2xy = ir xy = , plotą.

1-1

1

y=x2y=x2

y= x y= x

Visos srities plotas yra

( ) dxxxS ∫−

−=1

1

2 .

Kadangi xx = , kai 0≥x , ir xx −= , kai 0<x , tai integralą

skaidome į du:

( ) ( )3

11

0

20

1

2 =−+−−= ∫∫−

dxxxdxxxS .

Pratimai Apskaičiuokite plokštumos sričių, apribotų nurodytomis krei-

vėmis, plotą:

1. 3xy = , xy = .

2. xey = , xey −= , 10 ≤≤ x .

95

3. xxy −= 2 , xy = .

4. 3

2

xy = , 1=x , 2=x , 0=y .

5. xy sin= , 2

π=x ,

2

5π=x , 0=y .

6. xy −= 82 , xy2

1= .

7. xy 92 = , xy 3= .

8. 32 xy = , 0=x , 4=y .

Taško padėtį xy – koordinačių sistemoje galima nusakyti nuro-

dant jo koordinates ( )yx, . Čia x yra taško atstumas nuo vertikalio-sios ašies (y – ašies), o y – atstumas nuo horizontaliosios ašies.

(Turime omeny atstumą su ženklu, t.y. į vieną ar kitą pusę nuo ašies). Tačiau taško padėtį galima nusakyti ir kitu būdu, pavyzdžiui, nuro-dant jo atstumą nuo koordinačių pradžios ir atkarpos, jungiančios tašką su koordinačių pradžia, kryptį. Tokią prasmę turintys du skai-čiai ( )θ,r vadinami polinėmis koordinatėmis.

y

x

P

r

θ

Aptarsime detaliau, kaip nustatyti taško P , kurio polinės koor-

dinatės yra ( )θ,r , padėtį. Pirmiausia iš koordinačių pradžios taško

brėžiame pustiesę, sudarančią su x ašies teigiamąja kryptimi kampą θ (kampas radianais, o jo teigiama kryptis – prieš laikrodžio rodyk-lę). Šias pustieses vadinsime poline ašimi. Jei 0>r , tai taškas P yra

96

ant šios pustiesės atstumu r nuo koordinačių pradžios. Jei 0<r , tai tašką P atidedame ant šios pustiesės tęsinio priešinga kryptimi at-stumu r nuo koordinačių pradžios. Jei 0=r , taškas P sutampa su

koordinačių pradžios tašku, koks bebūtų θ . Pavyzdžiai

1. Taškas

π4

,1 yra pirmajame xy plokštumos ketvirtyje ant

tiesės xy = atstumu 1 nuo koordinačių pradžios. Jo xy – koordina-

tės yra

2

2,

2

2.

2. Taško

π4

,2 xy – koordinatės yra (1, 1).

3. Plokštumos taškai, kurių polinės koordinatės ( )θ,r tenkina

lygtį 1=r , sudaro vienetinį apskritimą su centru koordinačių pra-džioje. Taigi 1=r yra vienetinio apskritimo lygtis polinėje koordi-načių sistemoje.

Taško polinės koordinatės ( )θ,r ir ( )yx, koordinatės susietos

taip:

θ= cosrx , θ= sinry (1)

y

x

r

θ

Kai žinomos taško xy – koordinatės, polinės koordinatės ran-

damos iš šių akivaizdžių lygybių:

222 yxr += , x

ytg =θ ( )0≠x . (2)

97

3 pavyzdyje matėme, kad vienetinio apskritimo lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra labai paprasta: 1=r . Bet tai ne vienintelis atvejis. Daugelio kreivių lygtys polinėmis koordinatėmis yra papras-tesnės negu xy – koordinatėmis. Tarkime, polinės koordinatės yra susietos lygtimi )(θ= fr . Šios lygties grafiką sudaro taškai, kurių

polinės koordinatės tenkina šią lygtį. Braižydami grafiką, kiekvienai θ reikšmei iš koordinačių pradžios brėžiame pustiesę, sudarančią su x ašimi kampą θ , ir ant jos atstumu r , paskaičiuotu pagal lygtį, atidedame tašką.

4 pavyzdys. Nubraižykime lygties θ= sin2r grafiką (kreivę

θ= sin2r ). Kai 0=θ , olinė ašis sutampa su teigiamąja x ašimi. Pagal lygtį

apskaičiuota r reikšmė yra 0. Kai 6

π=θ

θ =π

θ = 5π6

θ = 2π3

θ = π2

θ = π6

apskaičiuotoji r reikšmė yra 1. Toliau 3

π=θ atitinka 3=r , o kai

2

π=θ , tai 2=r . Toliau didinant θ , polinė koordinatė r mažėja, o

kai π=θ , tai 0=r . Grįžome į pradinį kreivės tašką. Įsitikinsime, kad ši kreivė yra apskritimas. Padauginame abi lygties puses iš r :

θ= sin22 rr . Pasinaudojame (1) ir (2) lygybėmis, gauname:

98

yyx 222 =+

arba

( ) 11 22 =−+ yx .

Tai yra vienetinio apskritimo su centru taške (0, 1) lygtis. 5 pavyzdys. Nubraižykime kreivę θ+= cos1r . Kai 0=θ , tai 2=r . Vadinasi, pradinis kreivės taškas yra (2, 0). Šio taško xy –

koordinatės taip pat yra (2, 0). Raskime dar kelis taškus:

π+6

,2

32;

π3

,2

3;

π2

,1 ; ( )π,0 .

Paskutinis iš šių keturių yra xy – koordinačių pradžios taškas (0,

0). Toliau didinami 4 reikšmės, gauname taškus

π2

3,1 ;

π6

10,

2

3;

π+6

11,

2

32; ( )π2,2 .

Grįžome į pagrindinį tašką. Kreivė „užsidarė“.

-1

1

2

y

x

Ši kreivė vadinama kardioide. Pamėginsime apskaičiuoti srities, kurią apriboja 5 pavyzdžio

kardioidė, plotą. Tai būtų gana sunku xy – koordinačių sistemoje,

bet visai parasta, skaičiuojant polinėmis koordinatėmis. Kadangi kardioidės apribota sritis sudaryta iš dviejų vienodo ploto dalių, tai apskaičiuosime tik viršutinės dalies plotą. Kardioidės dalis, apribo-

99

janti iš viršaus tą sritį, gaunama poliniam kampui θ kintant nuo 0 iki π . Susiekime ieškomą plotą su kintamojo θ kitimo atkarpa [ ]π,0 ,

kurią suskaidome į n vienodo ilgio dalių taškais

π=θ<<θ<θ= n...0 10 , čia n

ii

π=θ , 0=i , 1, ..., n . Pažymėkime

n

π=θ∆ . Iš koordinačių pradžios taško brėžiame n spindulių taip,

kad i-asis spindulys sudarytų su x ašimi kampą iθ :

P1

P2

P3

r1

r2

r3

θ1

Taip kardioidė padalijama į n lankų taškais iP , kurių polinės

koordinatės yra ( )iir θ, , čia iir θ+= cos1 , o sritis – į n selektorių,

kurių plotų suma sudaro ieškomą plotą:

∑=∆=

n

iiSS

1.

Artutinai įvertinsime iS∆ . Atkarpėlėje [ ]ii θθ − ,1 pasirenkame

tašką *iθ ir iš koordinačių pradžios brėžiame spindulį kampu *

iθ :

100

ri*

θi*

θi-1

Šis spindulys kerta kardiodę taške *iP , kurio polinės koordinatės

yra ( )** , ii rθ , ** cos1 iir θ+= . Sektoriaus plotas iS∆ apytiksliai lygus

plotui skritulio išpjovos, kai skritulio spindulys *ir , o išpjovos cent-

rinis kampas θ∆ . Tokios skritulio išpjovos plotas yra ( ) θ∆2*

2

1ir ,

todėl

( ) θ∆θ+=θ∆≈∆2*2* cos1

2

1)(

2

1iii rS ,

o srities plotas

( )∑=

θ∆θ+≈n

iiS

1

2*cos12

1.

Dabar aišku, kad ieškomas plotas S skaičiuojamas taip:

( ) ( ) =θθ+=θ∆θ+= ∫∑π

=∞←dS

n

ii

n

2

01

2* cos12

1cos1lim

2

1

( ) ( ) =θθ++θ+θ=θθ+θ+= ∫∫ππππ

dd0

000

2 2cos14

1sin

2

1coscos21

2

1

4

32sin

8

1

42 0

π=θ+

π+

π=

π.

Visos kardioidės apribojamos srities plotas lygus 2

32

π=S .

101

Visiškai panašiai samprotautume, norėdami apskaičiuoti plotą išpjovos kurią riboja spinduliai α=θ , β=θ ir kreivė )(θ= fr ,

β≤θ≤α .

β

α

r =f ( )θ

Tokios išpjovos plotas skaičiuojamas pagal formulę:

[ ] θθ= ∫β

αdfS 2)(

2

1. (3)

Dabar tarkime, kad dvi kreivės )(θ= fr ir )(θ= gr , β≤θ≤α ,

yra tokios, kad )()(0 θ≤θ≤ gf su visais [ ]βα∈θ , . Šios dvi kreivės ir spinduliai α=θ , β=θ apriboja paveikslėlyje pavaizduotą sritį D :

102

β

α

r =g( )θ

r =f ( )θ

D

Tokios srities plotas skaičiuojamas pagal formulę:

( ) ( )[ ] θθ−θ= ∫β

αdgfS 22 )()(

2

1. (4)

6 pavyzdys Apskaičiuokime plotą srities, kurią apriboja kreivė

θ+= cos2r , π≤θ≤ 20 . Kreivė ir sritis pavaizduota paveikslėlyje.

D

r = 2 +cosθ

Kadangi sritį sudaro dvi simetriškos dalys, apskaičiuosime tik

viršutinės dalies D plotą. Sritį D sudaro tie plokštumos taškai, ku-

103

rių polinės koordinatės atitinka sąlygas: π≤θ≤0 , θ+≤≤ cos20 r . Todėl, naudodami aibės simbolį, galime parašyti:

( ){ }θ+≤≤π≤θ≤θ= cos20,0:, rrD .

Pagal (3) formulę srities D plotas

( ) =θθ+θθ+π=θθ+= ∫∫∫πππ

dddS0

2

00

2 cos2

1cos22cos2

2

1

4

9

42

π=

π+π= .

Visos srities plotas lygus 2

9π.

Pratimai Apskaičiuokite srities, kurią apriboja duotoji kreivė, plotą: 1. θ+= cos25r . 2. θ+= 2cos1r 3. θ+= sin23r . 4. Apskaičiuokite plotą srities, kuri yra kreivės θ+= cos2r vi-

duje ir apskritimo 2=r išorėje.

3.4. Kreivės lanko ilgis

Tarkime, atkarpoje [ ]ba, apibrėžta funkcija )(xf , turinti toly-

džią išvestinę )(xf ′ . Norime apibrėžti ir apskaičiuoti šios funkcijos

grafiko lanko ilgį. Intuityviai aišku, kaip suprantame šio lanko ilgį: jeigu lankas būtų

iš plonos vielos, tai ištiesintos vielos ilgis ir būtų šio lanko ilgis. Api-brėšime tai matematiškai ir apskaičiuosime. Suskaidykime atkarpą

[ ]ba, taškais ix , 0=i , 1, ..., n į n vienodo ilgio n

abx

−=∆ dalių.

104

a bxixi-1

Pi

Pi-1

Pažymėkime iP grafiko tašką ( ))(, ii xfx , atitinkantį [ ]ba, skai-

dinio tašką ix . Sujunkime gretimus taškus tiesiomis atkarpomis

10PP , 21PP , ..., nn PP 1− ir atkarpos ilgį pažymėkime ii PP 1− ( 1=i ,

..., n). Aišku, kad kuo didesnis n , tuo lanko ilgis L artimesnis šių atkarpų ilgių sumai:

∑=

−≈n

iii PPL

11 .

Todėl lanko ilgį L apibrėšime kaip tokios sumos ribą, kai n ne-apibrėžtai didėja:

∑=

−∞→

=n

iii

nPPL

11lim (1)

Atkarpos ilgis yra (Pitagoro teorema):

( ) ( )212

11 )()( −−− −+−= iiiiii xfxfxxPP .

Pagal pirmojoje kurso dalyje įrodytą vidutinės reikšmės teore-mą, intervale ( )ii xx ,1− yra taškas ie , su kuriuo teisinga Lagranžo

formulė:

( )11 )()()( −− −′=− iiiii xxefxfxf .

Todėl

( ) ( )[ ] [ ] xefxxefxxPP iiiiiiii ∆′+=−′+−= −−−22

12

11 )(1)( .

105

Įstatę į (1) gauname:

[ ]∑=∞→

∆′+=n

ii

nxefL

1

2)(1lim . (2)

Pastebime, kad tai yra funkcijos

[ ]2)(1)( xfxg ′+=

Rymano integralinė suma. Gavome funkcijos )(xfy = ,

[ ]bax ,∈ , grafiko lanko ilgio formulę:

[ ]∫ ′+=b

a

dxxfL 2)(1 .

Pavyzdys Stogo dangai naudojami 94 cm pločio banguoti skardos lakštai.

Banguotoji lakšto briauna turi sinusoidės xy sin2= , 940 ≤≤ x ,

formą:

94 cm

Kokio pločio turi būti skardos lakštas tokiam banguotam lakštui

pagaminti? Aišku, kad skardos lakšto plotis turi būti lygus kreivės lanko

xy sin2= , 940 ≤≤ x , ilgiui L . Pagal (2) formulę

dxxL ∫ +=94

0

2cos41 .

Šį integralą galima apskaičiuoti naudojant parabolių formulę. Pratimai

106

1. Suskaidę atkarpą [ ]π2,0 į 6=n dalis ir pasinaudoję Simpso-no (parabolių) formule, artutinai apskaičiuokite sinusoidės xy sin= ,

[ ]π∈ 2,0x , lanko ilgį.

2. Apskaičiuokite kreivės lanko xy cosln−= , 66

π≤≤

π− x , ilgį.

3.5. Kūno tūris

Pirmiausia aptarsime, kaip apskaičiuoti kūno tūrį, kai žinomi to kūno lygiagrečiųjų pjūvių plotai. Tarkime, kad kūnas yra patalpintas išilgai x ašies atkarpos [ ]ba, ir kad per kiekvieną tašką [ ]bax ,∈

nubrėžus plokštumą, statmeną x ašiai, gauto pjūvio plotas yra žino-ma kintamojo x funkcija )(xS .

a

b

xi-1

ix

x

Suskaidžius atkarpą į vienodo ilgio dalis taškais <<= 10 xxa

... bxn =< , kūnas suskaidomas atitinkamai į n „sluoksnių“, o kūno

tūris V yra tų sluoksnių tūrių suma.

∑=∆=

n

iiVV

1.

107

Pasirinkę i-oje atkarpėlėje tašką [ ]iii xxx ,1*

−∈ , gausime atitin-

kamo pjūvio plotą )( *ixS , o o-ojo sluoksnio tūrį iV∆ galėsime artu-

tinai įvertinti taip:

xxSV ii ∆≈∆ )( * ,

čia n

abx

−=∆ . Kai n didelis, kūno tūris artutinai lygus sumai

∑=

∆≈n

ii xxSV

1

* )( .

Aišku, kad kūno tūrį reikia apibrėžti kaip šios sumos ribą:

∫∑ =∆==∞→

b

a

n

ii

ndxxSxxSV )()(lim

1

* .

1 pavyzdys. Apskaičiuokime vienetinio rutulio tūrį. Nubraižykime koordinačių ašis taip, kad koordinačių pradžios

taškas sutaptų su rutulio centru. Tada rutulį ribojanti sfera

1222 =++ zyx kerta x ašį taškuose 1=x ir 1−=x . Per atkarpos

[-1, 1] tašką ex = einanti plokštuma, statmena x ašiai, kerta rutulį ir pjūvyje gauname skritulį su apskritimu

222 1 ezy −=+ .

Šio apskritimo spindulys yra 21 e− , o skritulio plotas

( )21)( eeS −π= .

Rutulio tūris lygus integralui

( )3

4

3

22

321

1

1

31

1

2 π=

π−π=

π−π=−π=

−−∫ xdxxV .

2 pavyzdys. Apskaičiuokime kūno, kurį apriboja paraboloidas

22 yxz += ir plokštuma 4=z , tūrį.

108

x

y

z

4

x y +

=42

2

Tūrį susiejame su z ašies atkarpa [0, 4]. Kirsdami šį paraboloi-

dą plokštuma ez = , pjūvyje gauname skritulį, kurio apskritimas yra

eyx =+ 22 .

Šio apskritimo spindulys yra e , taigi skritulio plotas

eeS π=)( .

Kūno tūris V lygus integralui

π=π

=π= ∫ 82

4

0

24

0

zdzzV .

Dabar apskaičiuosime tūrį kūno, kuris gaunamas sukant xy

plokštumos sritį apie kurią nors ašį.

3 pavyzdys. Plokštumos sritis, esanti tarp parabolės 2xxy −= ir x ašies, sukama apie y ašį. Apskaičiuokime gauto sukimo tūrį

109

1 xxi*

y

Suskaidome atkarpą [0, 1] į n vienodų dalių, o kreivinę trapeci-

ją – į n juostelių. Kiekviena tokia juostelė, apsukama apie y ašį,

sudaro viso kūno dalį. Kūno tūris lygus tų dalių tūrių sumai:

∑=∆=

n

iiVV

1.

Kūno i-ąją dalį, kurią sudaro beapsisukanti apie ašį i-oji trapeci-jos juostelė, galima įsivaizduoti kaip nupjautą vamzdį (cilindrą), ku-

rio sienelės storis x∆ , spindulys *ix , o aukštis 2*** )()( iii xxxf −= .

Taigi

( ) xxxxV iiii ∆−π≈∆ 2*** )(2

Viso kūno tūris

( ) ( )∑ ∫=∞→

=−π=∆−π=n

iiii

ndxxxxxxxV

1

1

0

322*** 2)(2lim

6432

1

0

43 π=

−π=

xx.

Pratimai 1. Plokštumos sritis, esanti tarp x ašies atkarpos [0, π ] ir funk-

cijos xy sin= grafiko, sukama apie x ašį. Apskaičiuokite gauto

sukimo tūrį. 2. Status lygiašonis trikampis, statinis lygus 1, sukamas apie ašį,

sutampančia su šio trikampio statiniu. Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

110

3. Pirmojo pavyzdžio trikampis sukamas apie ašį, sutampančia su trikampio įžambine. Apskaičiuokite sukinio tūrį.

4. Kreivinė trapecija, kurią iš viršaus apriboja elipsė

149

22

=+yx

, o iš apačios – x ašis, sukama apie x ašį. Apskaičiuo-

kite gauto sukinio tūrį.

5. Apskaičiuokite kūno, kurį apriboja paraboloidas 48

22 yxz +=

ir plokštuma 4=z , tūrį. 6. Cilindro pagrindas yra vienetinis skritulys (spindulys 1=r ), o

cilindro aukštis 1=h . Per pagrindo skersmenį einanti plokštuma, kuri turi su cilindro viršutinės briaunos apskritimu vieną bendrą tašką (t.y. ji liečia tą apskritimą), atkerta cilindro dalį. Raskite tūrį kūno, kurį apriboja ši plokštuma, cilindro apatinis pagrindas (jo pusė) ir cilindro paviršius.

r

h

7. Plokštumos sritis, esanti tarp kreivių 3xy = ir xy = , su-kama apie y ašį. Apskaičiuokite sukinio tūrį.

8. Plokštumos sritis, esanti tarp kreivių 2xy = ir 2yx = , suka-

ma apie: a) tiesę 2−=y ;

b) tiesę 3=x .

111

9. Apskaičiuokite gautųjų sukinių tūrius. Ašies intervalo [1, ∞)

ir po funkcijos xey −= grafiku, sukama apie x ašį. Apskaičiuokite

gauto (begalinio) sukinio tūrį. 10. Plokštumos sritis, esanti virš x ašies intervalo [0, ∞) ir po

funkcijos 2xey −= grafiku, sukama apie y ašį. Apskaičiuokite gau-

to sukinio tūrį.

3.6. Kintamos jėgos atliekamas darbas

Dabar apžvelgsime, kaip naudojant intervalą apskaičiuoti kinta-mos jėgos atliekamą darbą. Kai kūnas, veikiamas pastovios jėgos F , juda atstumą S, tai jėgos atliekamas darbas

SFW ⋅= .

Kaip apskaičiuoti kintamos jėgos atliekamą darbą, kai kūnas pe-rkeliamas tiesia trajektorija iš taško ax = į tašką bx = , o jėga kiek-viename taške x tarp a ir b yra apskritai skirtinga, kitaip sakant, yra taško x funkcija )(xFF = ?

xi*a

F x ( )i*

xixi-1 b Suskaidome, kaip įprasta, atkarpą [ ]ba, taškais <<= 10 xxa ...

bxn =< į n vienodo ilgio n

abx

−=∆ dalių. Visas jėgos F atlie-

kamas darbas, perkeliant kūną iš ax = į bx = , yra suma darbų, kuriuos ši jėga atlieka perkeldama kūną tarp taškų 1−ix ir ix :

∑=∆=

n

iiWW

1.

112

Kai atkarpėlių ilgiai x∆ pakankamai maži, jėga )(xF kiekvie-

noje atkarpėlėje mažai bepasikeičia, todėl galime laikyti, kad ji lygi

)( *ixF , čia *

ix – i-osios atkarpėlės [ ]ii xx ,1− taškas. Todėl

xxFW ii ∆≈∆ )( * ,

o visas darbas yra artimas sumai

∑=

∆≈n

ii xxFW

1

* )( .

Natūralu darbą apibrėžti kaip šios sumos ribą, kai ∞→n :

xxFWn

ii

n∆= ∑

=∞→ 1

* )(lim .

Kadangi ši suma yra funkcijos )(xF integralinė suma atkarpoje

[ ]ba, , tai galutinai gauname:

dxxFWb

a∫= )( .

4 pavyzdys. Spyruoklės ilgis yra 60 cm. Norint ją išlaikyti su-spaustą iki 20 cm, reikia naudoti 8 kg jėgą. Koks atliekamas darbas suspaudžiant šią spyruoklę iki 20 cm?

Huko dėsnis teigia, kad tamprumo jėga yra tiesiog proporcinga spyruoklės deformacijai:

dkF ⋅= ,

čia d yra deformacija, o k – proporcingumo koeficientas, nusakan-tis spyruoklės stangrumą. Kadangi deformuojat spyruoklę 40-čia centimetrų, t.y. 0,4 m, tamprumo jėga yra 8, tai įstatę į lygybę gau-name:

4,08 ⋅= k . Iš čia 20=k . Todėl suspaudus spyruoklę x m, tamprumo jėga

yra xxF 20)( = .

113

Suspaudžiant iki 20 cm, atliekamas darbas

6,110204,0

0

24,0

0

=== ∫ xdxxW (kGm).

Paskutiniame pavyzdyje kintamos jėgos atliekamą darbą apskai-čiavome, sudėdami labai mažas darbo dalis, kurias sudaro kiekvie-name kelio taške jėgos atliekamas darbas, perkeliant kūną (dalelę) labai mažą kelio atkarpėlę dx. Dabar panagrinėsime kitokią schemą, kurią paaiškinsime tokiu pavyzdžiu.

Virš vandens saugyklos (baseino, ežero) iškeltas indas, į kurį reikia pripumpuoti vandens iš saugyklos. Turime apskaičiuoti rei-kiamą atlikti darbą. Tarkime, kad atstumas nuo vandens paviršiaus iki žemiausio indo taško yra a , o iki aukščiausio – b , ir kad kiek-viename aukštyje z , kuris yra tarp a ir b , žinome indo skerspjūvio plotą )(zS .

0

a

b

z S z( )

Atkarpą [ ]ba, taškais bzzza n =<<<= ...10 suskaidykime į

didelį skaičių n ilgio n

abz

−=∆ atkarpėlių. Visas indo tūris suskai-

domas atitinkamai į n sluoksnių. Kiekvieno sluoksnio storis

n

abz

−=∆ . Darbą, kurį reikia atlikti pripumpuojant indą vandens,

galime įsivaizduoti sudarytą iš n mažų pozicijų, kai i-oji darbo pozi-

114

cija atitinka indo i-ojo sluoksnio užpildymą vandeniu. Visas darbas yra visų tų darbo pozicijų suma:

∑=∆=

n

iiWW

1.

Įvertinsime iW∆ . Tai yra darbas, kurį reikia atlikti, užpildant i-

ąjį indo sluoksnį vandeniu, arba kitaip, pakeliant tą kiekį vandens į aukštį iz . Tas vandens kiekis, t.y. i-ojo sluoksnio tūris iV∆ , yra ly-

gus integralui

dzzSVi

i

z

zi ∫

−

=∆1

)( .

Pagal vidutinės reikšmės teoremą atkarpoje [ ]ii zz ,1− yra taškas *iz , su kuriuo teisinga lygybe

i

z

zi VdzzSzzS

i

i

∆==∆ ∫−1

)()( * .

Jėga, su kuria šis vandens kiekis iV∆ keliamas į aukštį *iz , yra

šio vandens tūrio svorio jėga, kuri aišku yra proporcinga iV∆ . Pa-

prastumo dėlei laikykime, kad jie tiesiog lygi iV∆ . Tada

zzSzVzW iiiii ∆=∆≈∆ )( *** ,

o visas darbas

dzzzSzzSzWb

ai

n

ii

n∫∑ =∆=

=∞→)()(lim *

1

* .

Pratimai Dalelė, veikiama jėgos )(xF , juda x ašimi nuo ax = iki bx = .

Apskaičiuokite šios jėgos atliekamą darbą. 1. 5)( =xF ; 1−=a ; 2=b .

115

2. 2

1)(

xxF = ; 1=a ; 5=b .

3. xxF 2)( −= ; 0=a ; 9=b .

4. 2

cos)(x

xFπ

= ; 0=a ; 2=b .

5. Spyruoklės ištempimui 1 cm reikia 1 kg jėgos. Koks darbas atliekamas, ištempiant spyruoklę 5 cm?

6. Spyruoklės ilgis 40 cm. Norint išlaikyti spyruoklę suspaustą iki 20 cm, reikia panaudoti 6 kg jėgą. Kokį darbą reikia atlikti, norint ištempti spyruoklę iki jos ilgis padvigubės?

7. Vertikalus cilindro formos rezervuaras, kurio spindulys 1 m, o aukštis 2 m, pakeltas 1 m virš vandens saugyklos. Kokį darbą reikia atlikti, norint pripumpuoti šį rezervuarą vandens iš saugyklos?

8. Kūgio formos rezervuaras pastatytas ant vandens saugyklos kranto. Kūgio pagrindo spindulys 1 m, aukštis 2 m. Kokį reikia atlik-ti darbą, norint pripumpuoti šį rezervuarą vandens?

9. Kūnas juda x ašimi taip, kad per laiką t nueitas kelias 3tx = . Aplinkos pasipriešinimo jėga lygi kūno greičio kvadratui.

Kokį darbą atlieka aplinkos pasipriešinimo jėga, kūnui judant nuo taško 0=a iki taško 10=b ?