03.05.2017

MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål,

Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning

DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer

(Del 1 leveres inn etter nøyaktig 2 timer og før hjelpemidlene kan benyttes)

Alt arbeid i regneark (Excel) og i graftegner (GeoGebra) skal limes inn i et tekstdokument (Word).

Tekstdokumentet skal ha filnavn lik elevens navn.

I tekstdokumentets topptekst skal elevens navn, klasse og dato skrives inn.

Tekstdokumentet skal leveres både på ITSLEARNING og SKRIVES UT av eleven.

Total poengsum: 46 poeng Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p Poeng i oppgaven er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering.

Det betyr at lærer vurderer i hvilken grad du

– viser regneferdigheter og matematisk forståelse

– gjennomfører logiske resonnementer

– ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner

– kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler

– forklarer fremgangsmåter og begrunner svar

– skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske fremstillinger

– vurderer om svar er rimelige

Læreplanmål

Regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger

Regne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst

Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data

Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller

Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Beregne og gjøre rede for kumulativ og relativ frekvens, presentere data i tabeller og diagrammer og drøfte ulike datafremstillinger og hvilke inntrykk de kan gi

Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner

Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål

Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale

Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner

Gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt

Omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner

Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data

Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller

Bruke digitale verktøy i utforskning, modellbygging og presentasjon

Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

Utforske matematiske modeller, sammenligne ulike modeller som beskriver samme praktiske situasjon, og vurdere hvilken informasjon modellene kan gi, og hvilket gyldighetsområde og hvilke begrensninger de har

Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon

Bruke digitale verktøy til å undersøke kombinasjoner av polynomfunksjoner, rotfunksjoner, potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter og finne gjennomsnittlig vekstfart og tilnærmingsverdier for momentan vekstfart

Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

Lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet

Beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger

KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE

Lav grad – Karakter 2 Middels grad – Karakter 3/4 Høy grad – Karakter 5/6

Begreper, forståelse og ferdigheter:

Eleven forstår en del grunnleggende begreper.

Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse av sammenhenger i faget.

Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fra ulike områder med sikkerhet og har god forståelse av dypere sammenhenger i faget.

Eleven behersker en del enkle, standardiserte framgangsmåter.

Eleven behersker de fleste enkle, standardiserte framgangsmåter, har middels god regneteknikk og bruk av matematisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk av ulike matematiske representasjoner.

Eleven viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk av matematisk formspråk og bruk av ulike matematiske representasjoner.

Problemløsning:

Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske og enkle situasjoner.

Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problem-stillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske situasjoner, og viser eksempler på bruk av fagkunnskap i nye situasjoner.

Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller og løser oppgaver med utgangspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situasjoner.

Eleven klarer iblant å planlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt av mer kompliserte metoder.

Eleven klarer delvis å planlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige antakelser.

Eleven viser sikkerhet i planlegging av løsningsmetoder i flere steg og formulering av antakelser knyttet til løsningen, viser kreativitet og originalitet.

Eleven kan avgjøre om svar er rimelige i en del enkle situasjoner.

Eleven kan ofte vurdere om svar er rimelige.

Eleven viser sikkerhet i vurdering av svar, kan reflektere over om metoder er hensiktsmessige.

Eleven viser eksempler på bruk av hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger.

Eleven bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del ulike sammenhenger.

Eleven viser sikkerhet i vurdering av hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i valg mellom hjelpemidler.

Eleven kan bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre.

Eleven klarer delvis å bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger.

Eleven kan bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger, og kan sette opp hypoteser ut fra dette.

Kommunikasjon:

Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer.

Eleven presenterer løsninger på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk.

Eleven presenterer løsninger på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk.

Karakteren 1 uttrykker svært lav kompetanse i faget.

DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer

Oppgave 1 (2) poeng

Regn ut og skriv som et helt tall eller brøk

a) 42 4−1 b) 0,006 ∶ 0,00003 c) 8∙100 2∙10−2

4∙10−1 d) (1

2)

−2 (

1

2)

a) 42 4−1 = 42+(−1) = 41 = 𝟒

b) 0,006 ∶ 0,00003 =6∙10−3

3∙10−5 = 2 ∙ 10(−3)−(−5) = 2 ∙ 10−3+5 = 2 ∙ 102 = 𝟐𝟎𝟎

c) 8∙100 2∙10−2

4∙10−1 =8 ∙ 2

4 ∙ 100+(−2)−(−1) = 4 ∙ 10−1 = 0,4 =

4

10=

𝟐

𝟓

d) (1

2)

−2 (

1

2) =

1

(1

2)

2 (1

2) =

11

4

(1

2) = 4 (

1

2) = 𝟐

Oppgave 2 (2) poeng

Finn vekstfaktoren når den prosentvise - a) nedgangen er 12% b) nedgangen er 2,3% c) oppgangen er 25% d) oppgangen er 140%

a) 𝑉𝑒𝑘𝑠𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + (−0,12) = 1 − 0,12 = 𝟎, 𝟖𝟖

b) 𝑉𝑒𝑘𝑠𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + (−0,023) = 1 − 0,023 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟕

c) 𝑉𝑒𝑘𝑠𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + (+0,25) = 1 + 0,25 = 𝟏, 𝟐𝟓

d) 𝑉𝑒𝑘𝑠𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + 𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 = 1 + (+1,40) = 1 + 1,40 = 𝟐, 𝟒𝟎

Oppgave 3 (1) poeng

I en skoeske ligger det 270 røde kuler og 230 blå kuler. Hvor mange prosent av kulene er blå?

270 + 230 𝑘𝑢𝑙𝑒𝑟 = 500 𝑘𝑢𝑙𝑒𝑟 500 kuler er alle kulene, eller 100%.

𝑃𝑟𝑜𝑠𝑒𝑛𝑡𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 =230 𝑏𝑙å 𝑘𝑢𝑙𝑒𝑟

500 𝑘𝑢𝑙𝑒𝑟= 0,46 230 blå kuler tilsvarer 46% av alle kulene.

46% av kulene er blå.

Oppgave 4 (2) poeng

Skriv på standardform

a) 1 200 000 b) 0,02 c) 23 ∙ 105 d) 0,0003 ∙ 10−5

Standardform er på formen: ±𝑎 ∙ 10𝑛 ( 1 ≤ 𝑎 < 10 )

a) 1 200 000 = 𝟏, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟔 b) 0,02 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟐

c) 23 ∙ 105 = 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟔 d) 0,0003 ∙ 10−5 = 𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟗 Oppgave 5 (1+1) poeng

I en klasse på 30 elever er det 10 som leker med dukker (D). 12 leker med biler (B) hvorav 4 leker både med dukker og biler.

a) På det vedlagte arket. a) Fyll inn tallverdiene fra oppgaven i Venndiagrammet, Krysstabellen og Valgtreet.

Se løsningen her

b) I sannsynlighetsregning, hva betyr disse symbolene : ∪, ∩, 𝑃 og .

b) ∪ Symbolet leses som UNION «den eller den» , er ikke i samme utfall.

b) ∩ Symbolet leses som SNITT «den og den» , er i samme utfall.

b) 𝑃 Symbolet leses som SANNSYNLIGHETEN , hvor ofte noe forkommer.

b) Symbolet leses som IKKE «Det omvendte»

Oppgave 6 (2+2+2+2 poeng)

Geirulf bygger figurer ved hjelp av firkantklosser.

Figur nummer en (𝐹1) består av (1 ∙ 3) firkantklosser. Figur nummer to (𝐹2) består av (4 ∙ 3)

firkantklosser. Figur nummer tre (𝐹3) består av (9 ∙ 3) firkantklosser og så videre . . .

a) Tegn av og fyll inn tabellen:

Figur nummer Firkantklosser per kvadrat Antall kvadrater Antall firkantklosser totalt

𝐹1 1 3 3

𝐹2 4 3 12

𝐹3 9 3 27

𝐹4 16 3 48

𝐹5 25 3 75

b) Finn en formel for antall firkantklosser totalt i figur nummer 𝒏.

𝑭𝒏 = 𝟑 ∙ 𝒏𝟐

c) Finn antall firkantklosser i figur nummer 30 (𝐹𝑛 = 30).

𝐹𝑛 = 3 ∙ 𝑛2 𝐹30 = 3 ∙ 302 = 3 ∙ 900 = 𝟐𝟕𝟎𝟎

d) Geirulf har 300 firkantklosser. Hvilket figurnummer har den største figuren han kan lage?

𝐹𝑛 = 3 ∙ 𝑛2 300 = 3 ∙ 𝑛2 300

3= 𝑛2 100 = 𝑛2 𝑛 = √100 𝑛 = 𝟏𝟎

F1

F2

F3

Oppgave 7 (1+1+1) poeng

I en kasse i Bingsfosshallen ligger det fire grønne og fire oransje basketballer.

Tenk deg at du skal ta tre basketballer tilfeldig fra kassa.

Du tar én basketball om gangen og du skal legge dem i en rekke fra venstre mot høyre.

a) Bestem sannsynligheten for at rekka vil bli som vist på bildet nedenfor.

𝑃(𝐺𝑟ø𝑛𝑛 − 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 − 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒) =

𝑃(𝐺 ∩ 𝑂 ∩ 𝑂) = (4

8∙

4

7∙

3

6) =

48

336=

24

168=

12

84=

6

42=

3

21=

𝟏

𝟕

b) Bestem sannsynligheten for at det vil bli en grønn og to oransje baller i rekka.

𝑃(𝐸𝑛 𝐺𝑟ø𝑛𝑛 𝑜𝑔 𝑡𝑜 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑠𝑗𝑒) = 𝑃(𝐺 ∩ 𝑂 ∩ 𝑂) ∪ (𝑂 ∩ 𝐺 ∩ 𝑂) ∪ (𝑂 ∩ 𝑂 ∩ 𝐺) =

(4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

3

7∙

4

6) =

48

336+

48

336+

48

336=

1

7+

1

7+

1

7=

𝟑

𝟕

c) Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst en grønn basketball i rekka.

𝑃(𝐺 ∩ 𝑂 ∩ 𝑂) ∪ (𝑂 ∩ 𝐺 ∩ 𝑂) ∪ (𝑂 ∩ 𝑂 ∩ 𝐺) ∪ (𝐺 ∩ 𝐺 ∩ 𝑂) ∪ (𝐺 ∩ 𝑂 ∩ 𝐺) ∪ (𝑂 ∩ 𝐺 ∩ 𝐺) ∪ (𝐺 ∩ 𝐺 ∩ 𝐺) =

(4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

3

7∙

4

6) + (

4

8∙

3

7∙

4

6) + (

4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

4

7∙

3

6) + (

4

8∙

3

7∙

2

6) =

48

336+

48

336+

48

336+

48

336+

48

336+

48

336+

24

336=

2

14+

2

14+

2

14+

2

14+

2

14+

2

14+

1

14=

𝟏𝟑

𝟏𝟒

. . . eller

𝑃(𝑀𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝐺𝑟ø𝑛𝑛) = (1 − 𝑃(𝐵𝑎𝑟𝑒 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑠𝑗𝑒)) = 1 − (𝑂 ∩ 𝑂 ∩ 𝑂) = 1 − (4

8∙

3

7∙

2

6) = 1 −

24

336= 1 −

1

14=

𝟏𝟑

𝟏𝟒

Oppgave 8 (1+1+2) poeng

I en kantine kan du kjøpe en kopp med te for 25 kroner. Når du har drukket opp teen kan du fylle opp koppen igjen så mange ganger du vil, men hver gang du da fyller opp koppen koster det 5 kroner.

I den samme kantina får du også kjøpt te i et pappbeger. Et pappbeger med te koster 8 kroner. Pappbegeret kan bare brukes én gang.

Både koppen og pappbegeret rommer 2,5 dl med te.

a) Bestem en lineær funksjon 𝑓 som viser hvor mye du må betale for 𝑥 pappbeger med te.

𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙 (8 kroner per pappbeger, x antall ganger)

b) Bestem en lineær funksjon 𝑔 som viser hvor mye du må betale for 𝑥 kopper med te.

𝒈(𝒙) = 𝟐𝟓 + 𝟓𝒙 (25 kroner første gang + 5 kroner per påfyll, x antall ganger)

c) Tegn av grafen, bruk det vedlagte rutearket. c) Tegn så grafene til 𝑓 og 𝑔 i samme koordinatsystem. c) Bestem grafisk hvor mange te du må drikke for at det skal lønne seg å kjøpe koppen.

Grafisk ser vi at vi må kjøpe 9 kopper med te for at det skal lønne seg å bruke kopp istedenfor å kjøpe te i pappbeger.

x

pris

60

80

100

20

40

Antall te

kr

2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 110

10

30

50

70

90

Te i kopp

Te i pappbeger

f

g

DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer

Oppgave 9 (2) poeng

De to lineære funksjonene 𝑓 og 𝑔 krysser hverandre i punktet (𝑥, 𝑦) .

Funksjonen 𝑓 er gitt ved 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 og funksjonen 𝑔 er gitt ved 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 4 .

Finn krysningspunktet (𝑥, 𝑦) .

Setter de to funksjonene lik hverandre ved regning.

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥 + 2 = −𝑥 + 4 𝑥 − (−𝑥) = 4 − 2 2𝑥 = 2 𝒙 = 𝟏

Finner 𝑦 ved å sette 𝑥 = 1 inn i 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑓(1) = 1 + 2 𝒚 = 𝟑

(𝑥, 𝑦) = (𝟏, 𝟑)

. . . eller

Bruker GeoGebra:

I inntastningsfeltet: og . Lager så punktet A ved hjelp av .

Leser av krysningspunktet (𝑥, 𝑦) = (𝟏 , 𝟑).

Oppgave 10 (1+1+1 poeng)

På en skole med 250 elever er det bare tillat å bruke tre farger på klærne.

Noen bruker bare en farge på klærne, noen to farger og noen bruker alle de tre tillatte fargene.

Tabellen nedenfor viser hvor mange elever som bruker hver av de tre fargene.

Tillatt farge på klær Antall elever

Gul 200

Brun 90

Grønn 40

a) Tegn venndiagrammet som vist nedenfor. Utfør beregningene og sett inn tallene som mangler.

Vi skal velge én tilfeldig elev fra skolen.

b) Bestem sannsynligheten for at vi kommer til å velge en elev som bruker alle tre fargene på klærne.

𝑃(𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑎𝑟𝑔𝑒𝑟 𝑝å 𝑘𝑙æ𝑟𝑛𝑒) = 𝑃(𝐺𝑢𝑙 ∩ 𝐵𝑟𝑢𝑛 ∩ 𝐺𝑟ø𝑛𝑛) =10

250=

𝟏

𝟐𝟓

Tenk deg at vi velger en elev som har brune klær.

c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven også bruker gule klær.

Eleven vi velger har Brune klær. Eleven skal også bruke Gule klær. Lager en ny tegning:

Når vi fjerner Grønne klær er det lettere å se at

innenfor den brune sirkelen er det 90 og innenfor

fellesområdet for Gul og Brun er det 35 + 10 = 45.

Vi skal finne sannsynligheten for at eleven bruker

Gule klær når eleven har Brune klær.

𝑃(𝐺𝑢𝑙𝑒 |𝐵𝑟𝑢𝑛𝑒 ) =𝑃(𝐵𝑟𝑢𝑛𝑒 ∪ 𝐺𝑢𝑙𝑒)

𝑃(𝐵𝑟𝑢𝑛𝑒)=

35 + 10

90=

45

90=

𝟏

𝟐

10

35 30

Grønn

Brun

Gul

1010

35 30

Grønn

Brun

Gul

10

5

15

145

10

35 30

Brun

Gul

15

Oppgave 11 (2 poeng)

Noen elever på en videregående skole vil kjøpe en stor buss for å feste i når russetiden kommer. Elevene blir enige om å betale like mye hver. Grafen viser sammenhengen mellom antallet elever som går sammen for å kjøpe bussen og det beløpet hver av eleven må betale.

Hvor mye må hver elev betale dersom 25 av elevene går sammen om å kjøpe bussen?

Ser på grafen og finner punkter der funksjonen sammenfaller med hele verdier på både x og y-aksen: Disse er: 2 elever betaler 60 000 kr hver, 3 elever betaler 40 000 kr hver, 4 elever betaler 30 000 hver, 6 elever betaler 20 000 kr hver, 8 elever betaler 15 000 kr hver og 12 elever betaler 10 000 kroner hver.

60 000 𝑘𝑟 ∙ 12 = 120 000 𝑘𝑟 40 000 𝑘𝑟 ∙ 13 = 120 000 𝑘𝑟

30 000 𝑘𝑟 ∙ 14 = 120 000 𝑘𝑟 20 000 𝑘𝑟 ∙ 16 = 120 000 𝑘𝑟

15 000 𝑘𝑟 ∙ 18 = 120 000 𝑘𝑟 10 000 𝑘𝑟 ∙ 12 = 120 000 𝑘𝑟

Det betyr at bussen koster 120 000 𝑘𝑟 i følge funksjonen. Elever og beløp per elev er omvendt proporsjonale størrelser.

Funksjonen er en potensfunksjon 𝑓(𝑥) = 120 000 ∙ 𝑥−1 = 120 000 ∙1

𝑥 =

120 000

𝑥 ( 𝑥 er antall elever )

Når 25 elever skal betale like mye hver: 120 000

25= 𝟒𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒓𝒐𝒏𝒆𝒓 𝒑𝒆𝒓 𝒆𝒍𝒆𝒗

Oppgave 12 (1+1+1+1+1+1 poeng)

Vi skal se på banen til ei kule.

Kulebane til ei kule som veier 32,4 gram og har en utgangshastighet 792 m/sek

Avstand (m) 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Høyde (cm) – 3,81 4,55 8,43 7,19 0,00 – 14,02 – 35,97 – 67,08 – 108,92

a) Finn den 2. gradspolynomfunksjonen som passer best til dataene.

a) Bruke fire siffer etter komma.

I GeoGebra : Skriv inn verdiene i Regneark. Merk verdiene og velg :

Funksjonen er : 𝒇(𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟏𝟓𝟕𝒙 − 𝟔, 𝟓𝟎𝟗𝟐

b) Etter hvor mange meter har kula en høyde på – 40 centimeter i følge 2. gradsfunksjonen?

I GeoGebra: Lager så et punkt A med og leser av :

Det betyr at kula har en høyde på – 40 cm etter 302,4 meter.

c) Når er kulas høyde 0,00 cm i følge 2. gradsfunksjonen?

I GeoGebra: Lager så to punkter B og C med og leser av :

og Det betyr at kula har en høyde på 0 cm både etter 23 meter og 200,9 meter.

d) Hvilken høyde har i følge 2. gradsfunksjonen kula etter 80 meter?

I GeoGebra: Lager så et punkt D med og leser av:

Det betyr at kula har en høyde på 9,7 cm etter 80 meter.

e) Kulas hastighet er 792 m/sek. Hvor mange km/t tilsvarer det?

Gjør om 𝑚/𝑠𝑒𝑘 til 𝑘𝑚/𝑡. Det er 1000 meter i én kilometer og 3600 sekunder i én time.

1000/3600 = 0,2777 Det betyr at 1 m/sek = 0,2777 km/t

792

0,2777= 𝟐𝟖𝟓𝟏, 𝟐 𝒌𝒎

𝒕⁄

f) Hvor lang tid tar det før kula har beveget seg 200 meter når hastigheten er den samme som

f) utgangshastigheten?

792 𝑚/𝑠𝑒𝑘 betyr at det tar ett sekund før kula har beveget seg 792 meter.

Vi setter opp et forhold:

1 𝑠𝑒𝑘

792 𝑚=

𝑋 𝑠𝑒𝑘

200 𝑚 𝑋 𝑠𝑒𝑘 =

1 𝑠𝑒𝑘 ∙ 200 𝑚

792 𝑚≈ 𝟎, 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒌

Oppgave 13 (1+1+1 poeng)

Tora og Geir bestemmer seg for å lage en oppgave til eleven i 3KMA og 3PBA.

De bestemmer seg for å telle antall kjøretøy (𝐾) på motorveien inn til Oslo.

Etter å ha innhentet data fra klokka 06:00 til klokka 09:00 kommer de frem til denne funksjonen :

𝐾(𝑥) = 0,00011𝑥3 − 0,0326𝑥2 + 2,44𝑥 + 30 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 180

𝑥 er her antall minutter etter klokka 06:00.

a) Bruk en graftegner (GeoGebra) til å tegne grafen til 𝐾 .

I GeoGebra:

så

b) Bestem tidspunktet når flest kjøretøy kjører på motorveien.

I GeoGebra: vi får da to punkter, men det er bare A som er et toppunkt.

Leser av verdien: som betyr at 50 minutter etter kl 06:00

passerer det 84 kjøretøy/min.

Det kjører flest kjøretøy på motorveien klokka 06:50.

c) I hvilket tidsrom er det mer enn 70 kjøretøy som kjører inn til Oslo per minutt ?

I GeoGebra: Så lager vi de to punktene C og D med .

Leser av verdiene: og som betyr at det mellom 22 og 84 minutter

etter klokka 06:00 passerer flere enn 70 kjøretøy per minutt.

Mellom 06:22 og 07:24 passerer det flere enn 70 kjøretøy per minutt.

Oppgave 14 (1+1+1+1+2 poeng)

Her er den omtrentlige karakterfordelingen i matematikkfaget

for 1000 studenter ved ett universitet i Norge i 2015.

Karakterene a – f er erstattet med 6 – 1 slik at vi kan regne på tallmaterialet.

Karakter Frekvens

6 99

5 93

4 272

3 166

2 113

1 257

Kilde: uib.no

a) Hva er typetallet?

Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger.

Vi ser at frekvensen for karakter 4 er 272. (Det er flest forekomster av karakteren 4)

Typetallet er 4.

b) Finn gjennomsnittet.

Karakter 𝑥

Frekvens 𝑓

𝑓 ∙ 𝑥

6 99 594

5 93 465

4 272 1088

3 166 498

2 113 226

1 257 257

𝑁 = 1000 𝑆 = 3128

𝐺𝑗𝑒𝑛𝑛𝑜𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟 =𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑒𝑟

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟=

𝑆

𝑁=

3128

1000= 3,128 ≈ 𝟑, 𝟏𝟑

c) Finn variansen.

Vi fant gjennomsnittet (𝑔) til å være 3,128 i oppgave b).

Karakter 𝑥

Frekvens 𝑓

𝑓 ∙ Kvadratisk avvik

𝑓 ∙ (𝑥 − 𝑔)2

6 99 99 ∙ (6 − 3,128)2 = 99 ∙ (−2,872)2 0 0 ≈ 816,59 0

5 93 93 ∙ (5 − 3,128)2 = 93 ∙ (−1,872)2 0 0 ≈ 325,91 0

4 272 272 ∙ (4 − 3,128)2 = 272 ∙ (−0,872)2 ≈ 206,82 0

3 166 166 ∙ (3 − 3,128)2 = 166 ∙ (−0,128)2 ≈ 2,72 000

2 113 113 ∙ (2 − 3,128)2 = 113 ∙ (−1,128)2 ≈ 143,78 0

1 257 257 ∙ (1 − 3,128)2 = 257 ∙ (−2,128)2 ≈ 1163,79

𝑁 = 1000 𝐴 ≈ 2659,61

Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er ≈ 2659

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 =𝐴

𝑁=

2659

1000≈ 𝟐, 𝟔𝟔 𝐴 er summen av de kvadratiske avvikene

𝑁 er antall observasjoner

d) Finn standardavviket.

𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑣𝑣𝑖𝑘𝑒𝑡 = √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 = √ 𝐴

𝑁 = √

2659

1000 ≈ 𝟏, 𝟔𝟑

e) Framstill datamaterialet i et diagram som du selv velger.

Sektordiagram i Excel:

Skriver inn dataene i regnearket.

Legg merke til at vi begynner med karakter 1 øverst

og at vi benytter begge kolonnene med data.

Merk dataene og velg et diagram:

Stolpediagram i Excel:

Skriver inn dataene i regnearket.

Legg merke til at vi begynner med karakter 1 øverst

og at vi bare benytter den ene kolonnene med data.

Merk dataene og velg et diagram:

Linjediagram i GeoGebra: