matematika_skripta za ribare

7/25/2019 MATEMATIKA_skripta Za Ribare

1/133

Matematika(za biologe, ekologe, ribare, farmaceute,...)

Tanja Vucicic


2/133

Sadrzaj

Predgovor iii

1. Uvod 11.1. Elementi matematicke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Skupovi brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Relacija inkluzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Funkcije 92.1. Denicije i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Elementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Opca potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3. Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.5. Ciklometrijske ili arkus-funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.6. Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.7. Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Nizovi i redovi 423.1. Nizovi realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Redovi realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Osnove diferencijalnog racuna 51

4.1. Limes i neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Pojam derivacije i pravila deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1. Derivacija kompozicije funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2. Logaritamsko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.3. Derivacija implicitno i parametarski zadane funkcije* . . . . . 64

4.3. Derivacija vieg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4. LHospitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5. Monotonost i ekstrem funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6. Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7. Taylorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

i


3/133

SADRZAJ ii

5. Osnove integralnog racuna 795.1. Neodreeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1. Metoda supstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.2. Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.3. Integrali nekih racionalnih i iracionalnih funkcija . . . . . . . . 865.2. Odreeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1. Supstitucija varijabli i parcijalna integracija uodreenom integralu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2. Nepravi integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2.3. Konvergencija hiperharmonijskog reda . . . . . . . . . . . . . 1025.2.4. Primjena odreenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3. Priblizna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3.1. Trapezna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.2. Simpsonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Diferencijalne jednadzbe 1156.1. Rjeavanje diferencijalne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.1. Diferencijalna jednadzba separiranih varijabli . . . . . . . . . 1176.1.2. Linearna diferencijalna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Bibliograja 129


4/133

Predgovor

Ovo su skripta u nastajanju, a na osnovi priprema i biljeki za predavanja iz pred-meta Matematika s osnovama statistike koji sam nekoliko akademskih godina drzalana studiju Biologija i ekologija mora Sveucilita u Splitu.

iii


5/133

Poglavlje 1.

Uvod

1.1. Elementi matematicke logike

U "matematickoj" komunikaciji koristit cemo posebnu vrstu izjavnih recenica,tzv. logicke sudove.

Denicija 1.1.1. Logicki sud (kra ce: sud) je svaka smislena izjavna recenicakoja je istinita ili neistinita (lazna) tj. podrediva je nacelu iskljucenja treceg.

Primjerice:(a) Koliko dana ostajete?(Nije sud jer nije izjavna recenica.)(b) Glazba je najvaznija umjetnost. (Nije sud jer se ovoj recenici ne moze utvrditi

istinosna vrijednost.)(c) "1


6/133

1. UVOD 2

Primjer 1. Izjavna recenica "x je student" nije sud. Onace sudom postati akovarijabla (nepoznanica) x poprimi vrijednost konkretnog imena iz danog univerzalnogskupa. Slicno je s izjavnom recenicom "student x je polozio ispit y" u kojoj sepojavljuju dvije varijable (nepoznanice).

Denicija 1.1.2. Izjavnu recenicu koja sadrzi jednu ili vie nepoznanica i kojapostaje sudom kad sve te nepoznanice poprime odreene vrijednosti iz univerzalnogskupaU nazivamologickim predikatom ili kratkopredikatom naU.

Izreku predikata je uobicajeno simbolizirati slovom P: Tako bismo predikat "xje student" iz prethodnog primjera naznacili jednostavnoP(x), odnosno, s P(x; y)bismo simbolizirali predikat "studentxje polozio ispit y":

Predikat mozemo pretvoriti u sud pomocu logickihkvantikatora, a da pritom varijable ne poprime konkretne vrijednosti. Dva su osnovna tipa kvantikatora:

univerzalni, oznake 8;kojucitamo "(za) svaki" iegzistencijalni, oznake 9;kojucitamo "postoji (neki)". Koristi se i ekskluzivni egzistencijalni kvantikator9! saznacenjem "postoji jedinstveni".

Vratimo se sad predikatima iz Primjera 1. Neka nam najprije P(x) oznacujepredikat "xje student". Pomocu kvantikatora od njega lako dobijemo sljedeca trisuda:

(i) (8x)P(x)(Svaka osoba je student);(ii) (9x)P(x)(Postoji neka (barem jedna) osoba koja je student);(iii) (9!x)P(x)(Postoji tocno jedna osoba koja je student).

Negacije sudova(i) i(ii) su redom sudovi:(9

x)kP(x): Postoji osoba koja nije student;(8x)kP(x): Ne postoji niti jedna osoba koja je student.

Dakle, pri negiranju suda univerzalni kvantikator prelazi u egzistencijalni i obratno.Koristeci relaciju ekvivalencije sudova, pravilo za negiranje gornjih sudova logickimsimbolima mozemo pisati u obliku:

k((8x)P(x)) () (9x)kP(x);k((9x)P(x)) () (8x)kP(x):Primijetimo da vrijedi implikacija(8x)P(x) =) (9x)P(x).Neka nam sadaP(x; y)oznacuje predikat "studentx je polozio ispity". Tada je(i) (8x)(8y)P(x; y)sud: Svaki student je polozio svaki ispit;(ii) (8x)(9y)P(x; y)sud: Svaki student je polozio barem jedan ispit;(iii) (9y)(8x)P(x; y)sud: Postoji neki ispit kojega je polozio svaki student;(iv) (9x)(8y)P(x; y)sud: Postoji student koji je polozio sve ispite;(v) (9x)(9y)P(x; y) sud: Postoji barem jedan student koji je polozio barem

jedan ispit;(vi) (9!x)(9!y)P(x; y)sud: Tocno jedan student je polozio tocno jedan ispit.

Usporedbom (ii) i (iii) zakljucujemo da redoslijed varijabli kojima je pridruzenkvantikator utjece na tvrdnju suda.

Problem 1.1.1. Neka jeU skup realnih brojeva. Od univerzalnog kvantikatora ipredikata"x2 >1" i"x >1"formirajte relaciju meu sudovima istinitu naU:


7/133

1. UVOD 3

Rjeenje. (8x) (x > 1 =) x2 > 1): Dakle je "x2 > 1" nuzan uvjet za"x > 1": Takoer, "x > 1" je dovoljan uvjet za "x2 > 1": Primijetimo da obratnaimplikacija(8x) (x2 >1 =) x >1) ne vrijedi jer i za realne brojeve x < 1vrijedix2 > 1: Prema tomu, na zadanom univerzalnom skupu Une vrijedi ekvivalencija

formiranih sudova.

Problem 1.1.2. U prethodnom problemu korigirajte predikat"x > 1" tako da do-bijete valjanu relaciju ekvivalencije meu sudovima na skupu realnih brojeva.

Rjeenje. " jxj > 1": Naime, realni brojevi x za koje vrijedijxj > 1 obuh-vacaju brojeve x > 1 i x 1() x2 >1). Kazemo:jxj >1

je nuzan i dovoljan uvjet za x2 >1 na skupu realnih brojeva.

Problem 1.1.3. Je li istinit sud(

9x) (x2+ 1 = 0)na skupu realnih brojeva? Je li

istinit na nekom drugom skupu brojeva?

Rjeenje. Ovaj sud nije istinit na skupu realnih brojeva jer su kvadratirealnih brojeva nenegativni. Istinit je na skupu kompleksnih brojeva, na primjer zaimaginarnu jedinicu x = i:

Problem 1.1.4. Komentirajte istinitost suda (8(x; y)) (x2 +y2 > 1) na skupuprirodnih i na skupu realnih brojeva.

Rjeenje. Za svaki par prirodnih brojeva(x; y) dani predikat je istinit, nomozemo naci puno parova realnih brojeva (x; y) za koje predikat nije istinit, na

primjer (0; 0); (1; 0); (0; 1):Problem 1.1.5. Koji su od sljede cih sudova istiniti, a koji lazni na skupu realnihbrojeva:

1) (8x) (8y)(x 2y= 0);2) (9x) (8y)(x 2y= 0);3) (8x) (9y)(x 2y= 0):Rjeenje. 1) Lazno(F); 2) Lazno(F); 3) Istinito (T):

1.2. Elementi teorije skupovaSkup je osnovni matematicki pojam kojeg ne deniramo, vec ga smatramo intu-itivno jasnim. Pod njim razumijevamo objedinjavanje bilo koje mnozine objekata(elemenata!) u jednu cjelinu. Uocite da je ovdje upotrijebljena rijec mnozina samosinonim za rijec skup. Vec smo je koristili i u prethodnoj tocki u pojmu univerzalnogskupa.

Skup je zadan (odreen) ako se tocno zna koji su njegovi elementi tj. clanovi.Oznacujemo ga velikim slovom, na pr. S;X;A;:::;a njegove elemente malim slovom,na pr. s;x;a;:::: Oznaka a2 A znaci da element a pripada skupu A:Za negiranjepripadnosti skupu koristi se oznaka =2; na pr. y =2 X znaci da y nijeclan skupaX: Pretpostavka je da su svi elementi nekog skupa meusobno razliciti. Skup bezelemenata nazivamopraznim skupomi za njega koristimo oznaku;:


8/133

1. UVOD 4

Jedan nacin zadavanja skupa je popisati sve njegove elemente unutar viticastihzagrada, na pr. X =fx ; y; z; wg ili A =fag (jednoclani skup). Takoer, skupmozemo zadati pomocu karakteristicnog svojstva tj. predikata P: Ako skup Scinesvi objekti koji imaju svojstvo P, to zapisujemoS=

fs

jP(s)

g:Time naznacujemo

da je skupu S pridruzen predikat pripadanja P(s)koji je istinit za one elemente skoji pripadajuS; a lazan za sve ostale s:

Primjer 2. Skupovefx 2 N jxje manji ili jednak4g ifx 2 N jx2 je manji od21godredimo nabrajanjem njihovih elemenata.

N je standardna oznaka za skup prirodnih brojeva. Lako vidimo da je u obaslucaja odgovorf1; 2; 3; 4g ; to znaci da jedan te isti skup mozemo denirati ra-zlicitim predikatima.

1.2.1. Skupovi brojeva

Nabrojimo najprije skupove poznate iz osnovne i srednje kole, a koji su najvaznijiza naa daljnja razmatranja - skupove brojeva. Redom, kako ih upoznajemo krozkolovanje, to su:

1. N = f1; 2; 3;:::gskup prirodnih brojeva,2. Z = f:::; 2; 1; 0; 1; 2;:::g skup cijelih brojeva,3. Q =

x

yj x 2 Z ^ y2 N

skup racionalnih brojeva tj. cjelobrojnih razlo-

maka i4. R skup realnih brojeva, univerzalni skup za glavninu razmatranja u ovom

kolegiju.

Skupovi prirodnih i cijelih brojeva sudiskretni, to znaci da izmeu dva ra-zlicita prirodna (ili cijela) broja ne mora lezati treci prirodni (ili cijeli) broj. Zarazliku od njih, skupovi racionalnih i realnih brojeva sugusti. Izmeu svaka dvarazlicita racionalna broja nalazi se jo barem jedan racionalni broj, a time i beskon-acno puno njih. Analogno svojstvo ima i skup R: Zanimljivo je da se pokazuje da

je skupQ gust naR, tj. da izmeu svaka dva razlicita realna broja sigurno lezi jobarem jedan racionalni broj. Ipak, skupR je neprebrojiv, za razliku od skupa Qkoji, zajedno sN i Z;spada u prebrojive skupove.

Realni brojevi se mogu predociti brojevnim pravcem kojeg najcece oznacujemoslovom x. To je orijentirani pravac cijoj je svakoj tocki pridruzen jedan realni

broj i obratno, svakom je realnom broju pridruzena tocno jedna tocka brojevnogpravca. Pridruzivanje pocinje odabirom tockeO2x kojoj je pridruzen realni brojnula i zatim odabirom tocke pridruzene broju jedan kojim se utvruje orijentacijapravcaxod nule prema jedinici:Standardno je jedinica pozicionirana desno od nule ismjer s lijeva na desno je smjer rasta realnih brojeva pridruzenih tockama brojevnogpravca u smislu ureajne relacije "manje ili jednako" (oznaka: ) denirane naR:Po isticanju cjelobrojnih tocaka na x, a zatim i tocaka pridruzenih racionalnimbrojevima, necemo iscrpiti sve tocke brojevnog pravca iako je Q gust u R. Nanesemoli na brojevni pravac od ishodita nadesno dijagonalu kvadrata sa stranicom duljine

jedan, njen desni kraj past ce u tocku pridruzenu brojup

2(Pitagorin poucak!), a

ovaj broj nije racionalan. Dokazuje se, naime, da vrijedi(8a; b 2 N)

p26= a

b;


9/133

1. UVOD 5

tj. da sep

2ne moze prikazati u obliku kvocijenta dva prirodna broja. To ima zaposljedicu da je decimalni prikaz ovog brojabeskonacan neperiodickidecimalnibroj. S druge strane, svaki racionalni broj u svom decimalnom prikazu ima ilikonacni broj decimala ili beskonacno njih, ali uz periodicko ponavljanje konacne

grupe znamenaka. Za brojp2kazemo da pripadaskupu iracionalnih brojeva.Tom skupu pripadaju na pr. i brojevi

p3;2 +

p7; e; i tako dalje. U praksi smo ove

brojeve prisiljeni prikazivati izvjesnim konacnim brojem decimala, ovisno ozeljenojtocnosti. Priblizna vrijednost iracionalnog broja eiznosi 2.7183, a 3:1416: Zaskup iracionalnih brojeva koristi se oznaka I:Racionalni i iracionalni brojevi zajednotvore skup realnih brojeva.

1.2.2. Relacija inkluzije

Izdvajanje pojedinih dijelova iz polaznog skupa dovodi nas do cesto susretane relacije

inkluzijecija je oznaka :Denicija 1.2.1. Reci cemo da jeYpodskup skupaX (i pisatiY X), odnosnoda jeXnadskup skupaY (i pisatiX Y), ako je svaki element skupaY ujednoelement skupaX; tj. ako vrijediy2 Y =) y2 X:Primjer 3. a)f1; ag f1; 2; 3;a;b;c;dg:

b)N Z Q R:c) Oznacimo R+ =fx2 R jx > 0g: Tada vrijediR+ R: Takoer, vrijede

relacijeR+ R+0 iR+0 R, gdje jeR+0 = fx 2 R jx 0g:d)IntervaliuR su podskupovi sljede cih tipova:

ha; bi = fx 2 R jx > a ^ x < bg (otvoreni interval uR);[a; b] = fx 2 R jx a ^ x bg (zatvoreni interval ili segment uR);ha; b] ; [a; bipoluotvoreni intervali uR; a =2 ha; b] ; b 2 ha; b] ;ha; 1i = fx 2 R jx > ag (beskonacni otvoreni interval uR);[a; 1i = fx 2 R jx ag (beskonacni poluotvoreni interval uR);h1; a] = fx 2 R jx ag (beskonacni poluotvoreni interval uR);h1; ai = fx 2 R jx < ag (beskonacni otvoreni interval uR).

Nije teko vidjeti da vrijedi: (8X) ; X i (8X) X X: Drugim rijecima,prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je vlastiti podskup.

Dva su skupa jednaka ako se sastoje od istih elemenata. Dakle:

X=Y () (X Y^ Y X);odnosno,(8x)(x2X () x2Y):U protivnom piemo X6=Y :Ako je ispunjenoY X i Y 6= X; kazemo da je Ypravi podskup od X i katkad to isticemooznakomY X iliY( X: Znaci da vrijedi tvrdnja (8X)k(X X):

Skup svih podskupova skupa Xnazivamopartitivnim skupom od X i oz-nacujemo ga sP(X):Dakle,P(X) =fYj Y Xg :Primjerice, ako je X=fa; bg,onda jeP(X) =f;; fag; fbg; fa; bg =Xg : Koliko skup X ima elemenata izrazavase njegovim kardinalnim brojem i oznacuje sjXj : Ako skup X ima konacanbroj elemenata, onda je kardinalni broj takvog skupajXjupravo broj njegovih el-emenata. Poznato je da vrijedijP(X)j = 2jXj: Primijetite da smo u prethodnomprimjeru imali jXj = 2 i jP(X)j = 4:


10/133

1. UVOD 6

Ponovimo da skupove ukljucene u razmatranje izvjesnog problema redovito pro-matramo kao podskupove ireg, univerzalnog skupa. Univerzalni skup se bira prim-

jereno tretiranom problemu. Na pr. ako diskutiramo o skupu svih studenata istudentica, za univerzalni skup mozemo uzeti skup svih ljudi.

1.2.3. Operacije sa skupovima

Denicija 1.2.2. Neka su skupoviAiB podskupovi univerzalnog skupaU:UnijaskupovaA iB; u oznaciA [ B; je skupfx2Ujx2A _ x2Bg:PresjekskupovaA i B; u oznaci A\B; je skupfx2 Ujx2 A^x2 Bg: Razlika skupa A odskupaB; u oznaciAnB; je skupfx2 Ujx2 A ^ x =2 Bg: RazlikuUnA nazivamokomplementomskupaA(u odnosu naU)i oznacujemo ga sAc:

Primjer 4. R = Q [ I; I = RnQ; I \Q =;; Z \N=N; Z \ R=Z:

Primjer 5. U univerzalnom skupuU= fx2N jx


11/133

1. UVOD 7

Problem 1.2.1. 1)A=fx2 N jx 6g:OdrediteA [ B iA \ B:

2) A= fx 2 R j 7 x 13giB= fx 2 Q j 5< x 37g:OdrediteA \ B:3) A= [

7; 4] iB=

h1; 8

i:OdrediteAc; Bc; A

nB; B

nA; A

[B iA

\B:

4) A =fx2 Z j3 < x 7g i B =fx2 Z j3 x < 7g: Ako jeC = A \ B;odrediteP(C):

Rjeenje. 1)A [ B=B jer je A B; A \ B=A jer je A B:2)A \ B= fx 2 Q j 5< x 13g:3) Ac = Rn[7; 4] =h1; 7i [ h4; +1i ; Bc = Rn h1; 8i =h1; 1][

[8; +1i ; AnB= [7; 1]; BnA= h4; 8i ; A [ B= [7; 8i ; A \ B= h1; 4] :4)C= f4; 5; 6g ;P(C) = f;; f4g; f5g; f6g; f4; 5g; f4; 6g; f5; 6g; f4; 5; 6g =Cg :Pored opisanih nacina, od dva skupa mozemo dobiti novi i tzv. Kartezijevim

mnozenjem.

Denicija 1.2.3. Neka su skupoviA iB neprazni skupovi. Direktni ili Kartezijevprodukt skupaA sa skupomB, u oznaciA B; je skup svih ureenih parova(x; y)elemenatax 2 A iy2 B:

Dakle, A B =f(x; y)jx2A ^ y2Bg: (x; y) = (x0; y0) () x= x0 ^ y=y 0:Ako jeA= ;ili B = ;;deniramoA B= ;:Ocito jeA B6=B A:Jednakostvrijedi samo kad je A = B;odnosno, kad se radi o Kartezijevom kvadratu.

Primjer 6. Neka jeA= f1; 0; 1giB= f6; 7g: Tada jeA

B =

f(

1; 6); (

1; 7); (0; 6); (0; 7); (1; 6); (1; 7)g

:

Primjer 7. Kartezijev kvadratR2 = R R =f(x; y)jx2 R ^ y2 Rg, predstavlja-ju ci realne brojeve brojevnim pravcem, mozemo predociti kao skup tocaka koordinatneravnine.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Koordinatna ravnina XoY

Svaki podskup A R2 naziva serelacijom naR: Tako jeA =f(x; y)2R2 jx2 + y2 =r2g;kruznica radijusar u koordinatnoj ravnini, primjer relacije naR:

U slucaju Kartezijevog produkta vie skupova A1; A2;:::;Anstavljamo:A1 A2 ::: An := f(x1; x2;:::;xn)jx12 A1 ^ x22 A2 ^ ::: ^ xn2 Ang:Elemente ovog produkta nazivamo ureenim n-torkama.


12/133

1. UVOD 8

Problem 1.2.2. Neka jeA= [1; 1] iB= f3g: Gracki prikazite skup A B:

Problem 1.2.3. Neka jeA = [3; 1]iB = [2; 3]:Gracki prikazite skupoveABiB

A:


13/133

Poglavlje 2.

Funkcije

2.1. Denicije i osnovna svojstva

Pojam funkcije je jedan od najvaznijih pojmova u matematici.

Denicija 2.1.1. Neka suXiYneprazni skupovi, afpravilo po kojem sesvakomelementu skupaX pridruzujetocno jedanelement skupaY: Tada kazemo da jef

funkcijailipreslikavanjeiz skupaXu skup Y: Skup Xnazivamodomenomilipodrucjem denicije preslikavanjaf, a skup Y kodomenom ili podrucjem vrijed-nosti preslikavanjaf:

Za preslikavanje iz prethodne denicije koristimo oznake f :X!Y, (X; Y ; f )ili samo fako je ostalo jasno iz konteksta. Za domenu preslikavanjaf uobicajena

je i oznakaD(f):

o oo o o

o o o o o

Preslikavanje iz X u Y

o

o

o

oo oo oo

o

Nije preslikavanje

X

o

o

o

YY

Na gornjoj slici desnim dijagramom nije zadano prelikavanje iz sljedecih razloga:- jednom elementu domene pridruzena su dva elementa kodomene;- postoji element domene kojemu nije pridruzen niti jedan element.Neka je x2 X: Jedinstveni element skupa Y u kojeg se x preslika nazivamo

slikomelementa xi oznacujemo ga s f(x):Za y2 Y je skupf1

(y) :=fx 2 Xj f(x) =ygpraslika ilioriginal elementa y. On moze biti prazan skup,jednoclani skup ili vieclani skup. Vrijedi:

9


14/133

2. FUNKCIJE 10

f(X) := ff(x)j x 2 Xg Y i f1(Y) =X:Dva preslikavanja smatramo jednakima ako im se podudaraju domena, kodomena

i zakon pridruzivanjaf. Logickim simbolima to zapisujemo: (X; Y ; f ) = (X0; Y0; f0)() X=X0 ^ Y =Y0 ^ f=f0:

Primjer 8. a)Identitetana skupuA je preslikavanje idA : A! A, deniranopravilomidA(x) =x; 8x2A: Neka jeB A: Preslikavanjei: B!A deniranopravilomi(x) =x; 8x 2 B nazivamoinkluzijom.

b) Neka je f : X! Y dano preslikavanje i A X: Tada preslikavanje g :A!Y denirano sag(x) =f(x);8x2A nazivamorestrikcijompreslikavanjafna skup Ai oznacujemo gafjA:

c) Neka je I R. Svaku funkciju deniranu na I nazivamo funkcijom re-alne varijable. Funkciju koja poprima vrijednosti u skupuR nazivamorealnom

funkcijom. Dakle je f : I! R realna funkcija realne varijable. Ukoliko jezakon pridruzivanja realne funkcije zadan nekim matematickim izrazom, prirod-nim podrucjem denicijete funkcije nazivamo najve ci skup realnih brojeva zakoje doticni matematicki izraz denira realni broj. Primjerice, korjenovanje je re-alna funkcija s prirodnim podrucjem denicijeR+0; a glede njenog zakona pridruzi-vanjafpostoji dogovor matematicara da, ako se drukcije ne naglasi, razumijevamof(x) = u

px(pozitivna vrijednost). Alternativno se moze uzetif(x) =

px:U pr-

vom slucaju se radi o rastu coj, a u drugom o padaju coj funkciji. Naime, za funkcijuf : I! R kazemo da jemonotono rastu ca (neopadaju ca) na I ako rastunezavisne varijable odgovara rast (neopadanje) zavisne. Simbolicki to zapisujemo:

(8x1; x22 I) x1< x2=) f(x1)< f(x2) (f(x1) f(x2)):

Za funkcijuf : I! R kazemo da jemonotono padaju ca(nerastu ca) na Iako rastu nezavisne varijable odgovara pad (ne rast) zavisne. Logickim simbolima:

(8x1; x22 I) x1< x2=) f(x1)> f(x2) (f(x1) f(x2)):

Daljnji primjeri realnih funkcija realne varijable su trigonometrijske funkcije kojese upoznaju u srednjoj koli. Prisjetimo se da je kodomena funkcija sinus i kosinusinterval [

1; 1], odnosno svaki nadskup tog intervala.

U vizualizaciji funkcijskog djelovanja sluzimo se grafom funkcije. Iz grafacestojednostavno razabiremo informacije o funkciji koje nisu evidentne iz njenog ver-balnog ili algebarskog opisa.

Denicija 2.1.2. Graf funkcijef :X!Y ; u oznacif; je skup ureenih parovaelemenata iz domeneX i njihovih slika.

Dakle, f =f(x; y)j x 2 X^ y = f(x)g : Prakticno, graf funkcije f : X! Yuobicajeno je predstavljati u pravokutnom koordinatnom sustavu u kojem se na osapscisa nanose jedinice mjere za nezavisnu varijablu x; a na os ordinata jediniceu kojima mjerimo zavisnu varijablu y = f(x): Crtez grafa funkcije je ravninskakrivulja.


15/133

2. FUNKCIJE 11

Primjer 9. Graf identicnog preslikavanja na segmentuI= [0; 1] R :

0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0

x

y

idI :I! I; idI= f(x; x)j x 2 Ig

Ovo je primjer realne funkcije realne varijable. Dobiveni graf je dijagonala jedinicnogkvadrata u koordinatnoj ravnini s vrhom u ishoditu.

Primjer 10. Graf populacijskog rasta ogranicenog utjecajem okoline:

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

t

p

U ovom primjeru nezavisna varijabla je vrijeme, a brojevi naznaceni na pripadnojapscisnoj osi su odabrane vremenske jedinice (na pr. dani, godine,...). Na osi or-dinata su naznaceni populacijski brojevi u danom trenutku, bilo da su to stvarnibrojevi jedinki ili predstavljaju na pr. tisucu jedinki, milijun jedinki itd. Odabir

jedinice mjere i na ovoj osi vrimo prema prirodi razmatranog fenomena.Iz grafa odmah uocavamo da se velicina populacije priblizava izvjesnoj gornjoj

granici koju, zbog utjecaja razlicitih faktora, nikad ne ce dosti ci niti premaiti. Nanaoj slici je ta granica 100 mjernih jedinica. Sa slike je takoer razvidno da pop-ulacija u svakom trenutku ne raste jednakom brzinom. (Pokuajte uociti momentnajbrzeg rasta, t.j. moment u kojem se za najkra ci protok vremena ostvari na-

jveci porast populacije!) U razmatranjima koja slijede ove cemo pojave objasniti za

funkcije op cenito kroz pojmove horizontalne asimptote i derivacije funkcije u danojtocki.


16/133

2. FUNKCIJE 12

Primjer 11. Relacija x2 +y2 = 1 predstavlja jednadzbu kruznice radijusa 1 sasreditem u ishoditu. Za koordinatuy vrijedi: y =p1 x2: Dakle su polaznomrelacijom zadane dvije funkcije. Oznacimo ih s f1 i f2; uz f1(x) = u

p1 x2 i

f2(x) =

p1

x2: Funkcijef1 if2 su denirane na segmentu [

1; 1]

R; a unija

njihovih grafova (vidi slike) je polazna kruznica. Zapamtimo da cijela kruznica nijegraf niti jedne funkcije.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

f1(x) = up

1 x2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

f2(x) = p

1 x2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

x2 + y2 = 1

Ovdje spomenimo da u koordinatnoj ravniniR2 udaljenost tocke(x; y)od ishodita(0; 0)deniramo kao nenegativni broj d = u

px2 + y2:U toj terminologiji kruznicu

iz prethodnog primjeracine sve ravninske tockecija udaljenost od ishodita iznosi1.

Primjer 12. Realnu funkciju realne varijablef sa zakonom pridruzivanjaf(x) =

ax+ b;gdje sua ib realni brojevi, nazivamolinearnom funkcijom. Graf linearnefunkcije je pravac. Broja nazivamo koecijentom smjera tog pravca, ab njegovimodsjeckom nay-osi.

Nacrtajmo graf linearne funkcije f(x) =2x+ 1: U tu svrhu mozemo odreditidvije tocke(x; y) kroz koje ovaj pravac prolazi, na pr.

x 0 1y= f(x) 1 1 , pa ce

nam trazeni pravac odrediti njihova jedinstvena pravocrtna spojnica.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

f(x) = 2x + 1

Specijalno, grafkonstantne realne funkcije f zadane zakonom pridruzivanjaf(x) =b; b 2 R;je pravac paralelan sa x-osi:Skiciramo ga u slucajub = 2.


17/133

2. FUNKCIJE 13

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

x

y

f= f(x; 2) j x 2 RgPravaccija je jednadzbax= c; c2 R;i koji prolazi na pr. tockom(c; 0)paralelno

s y-osi, nije graf funkcije. Naredna slika daje graf takvog pravca u slucaju x = 2:

Iz denicije funkcije zakljucujemo: ako postoji pravac x = c koji sijece ravninskukrivulju u vie od jedne tocke, doticna krivulja ne predstavlja graf funkcije.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

x= 2

Primjer 13. Apsolutna vrijednostrealnog broja se denira kao udaljenost tombroju pridruzene tocke na brojevnom pravcu od ishodta. Pridruzujemo li brojux 2 Rnjegovu apsolutnu vrijednost, dolazimo do funkcije s oznakomj j : R ! R+0 kojapoprima samo nenegativne vrijednosti po zakonu pridruzivanja:

jxj =

x ako jex 0;x ako jex


18/133

2. FUNKCIJE 14

Graf na gornjoj slici je simetrican obzirom na os y: To je posljedica parnostifunkcije apsolutno. Naime, funkcijuf : R ! Rsa svojstvomf(x) =f(x); 8x 2R nazivamoparnom funkcijom. Ako pakf : R! R ima svojstvo f(x) =

f(x);

8x

2 R, kazemo da je f neparna funkcija. Graf neparne funkcije je

centralno simetrican obzirom na ishodite.

Denicija 2.1.3. Neka suf : X! Y ig : Y! Z dana preslikavanja. Tadapreslikavanjeh : X! Z denirano pravilomh(x) = g(f(x)); 8x2 X, nazivamokompozicijompreslikavanjaf ig i oznacujemo ga sg f:

f(x)o

g(f(x))o

h(x)

xo

Y ZX

g

h = g o f

Iz denicije razabiremo da, ako je denirana kompozicija g f; kompozicija udrugom smjerufgne mora uopce biti denirana. No, komponiranje funkcija nijekomutativna operacija niti kada je denirana u oba smjera.

Primjer 14. Neka su dane funkcijef; g: R ! R; f(x) = 3x; g(x) =x2:Tada je(g f)(x) =g(f(x)) =g(3x) = (3x)2 = 9x2;(f g)(x) =f(g(x)) =f(x2) = 3 x2 = 3x2:Ocito je(g f)(x)6= (f g)(x):

Navedimo sada neka vazna svojstva koja preslikavanje moze imati.

Denicija 2.1.4. Preslikavanjef :X! Y jeinjektivno ako(8x1; x22 X)(x16=x2 =) f(x1)6=f(x2);surjektivno ako(8y2 Y)(9x 2 X) takav da jef(x) =y;bijektivno ako je injektivno i surjektivno.


19/133

2. FUNKCIJE 15

oo

oo

o

fnije injekcija

niti surjekcija

fje injekcija,

nije surjekcija

X

o

o

o

X YY

o

o

o

ooo oo oo

o

o

o

o

o

o

fje bijekcija

X Yf ff

Injektivnost preslikavanja, dakle, znaci svojstvo da razlicitim elementima domenebudu po tom preslikavanju u kodomeni pridruzene razlicite slike. Ovo svojstvoekvivalentno izricemo: (8x1; x22 X)(f(x1) =f(x2) =)x1 =x2):Daf :X!Ynije injekcija znaci da postoje barem dva razlicita elementa u Xkojefpreslikava uisti element izY:

Surjektivnost preslikavanja znaci da je svaki element kodomene slika baremjednog elementa iz domene, tj. da u kodomeni nema elemenata koji nisu slike

elemenata iz domene. Daf :X! Ynije surjekcija znaci da postoji neki y2 Ykoji nije slika nijednogax 2 X:

Bijekciju je moguce uspostaviti samo meu jednakobrojnim (ekvipotentnim)skupovima, tj. skupovima istog kardinalnog broja.

Primjer 15. f : R ! R; f(x) =x2; nije ni injekcija ni surjekcija.g: R ! R; g(x) = 3x;je bijekcija.Ako se za domenu i kodomenu funkcije f; uz isti zakon pridruzivanja, uzme

interval [0; 1i ;dobije se bijektivno preslikavanje.

Primijetimo da je bijekciju moguce naciniti od svake injekcije suzenjem kodomenei od svake surjekcije suzenjem domene. U drugom slucaju postupak nije jednoznacnoodreen.

Problem 2.1.1. Prisjetite se funkcijaf; f(x) =

8>>>:

x3;ex;ln x;sin x; cos x; tan x; cot x:

Za kojefje mogu ce kodomenu odabrati tako dafbude bijekcija na svom prirodnompodrucju denicije?

Rjeenje. Mogucnost ne postoji za trigonometrijske funkcije.Primjedba 2.1.1. Kompozicija bijekcija je bijekcija. Pokuajte dokazati.


20/133

2. FUNKCIJE 16

Teorem 2.1.2. Svaka bijekcijaf :X! Ydenira jedinstvenu funkcijug : Y! Xkoja ima svojstvo g f=idX if g=idY:

Funkcijug iz prethodnog teorema nazivamoinverznom funkcijomfunkcijef

i oznacujemo jef1:

Primjer 16. Preslikavanje f : R ! R; f(x) = 2x + 3 je bijekcija. Ovo lakoprovjerimo koriste ci graf funkcije.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

f(x) = 2x + 3

Surjektivnost slijedi izcinjenice da svaki pravacy =c; c2R (paralele sx-osi) imasjecite s grafomf: Nadalje, jer je to sjecite jedinstveno (tocno jedno), zakljucu-

jemo da jef injektivna funkcija.Za algebarsko odreivanje inverzne funkcije odf iskoristit cemo relacijuf

f1 =

idR:Imamo redom: x= (f f1)(x) =f(f1(x)) = 2f1(x) + 3; otudaf1(x) =

x 32

=1

2x 3

2: (2.1)

Primijetimo, ako iz izrazaf(x) = 2x + 3 eksplicitno izrazimo nezavisnu varijabluxdobivamo

x=y 3

2 =

1

2f(x) 3

2; (2.2)

a desne strane relacija (2.1) i (2.2) jedna u drugu prelaze zamjenomx! f(x):Jasno, jer kod inverzne funkcije, u odnosu na polaznu funkciju, zapravo dolazi do

zamjene uloga nezavisne varijable x i zavisne varijable y: Uoceno svojstvo ima zaposljedicucinjenicu da je graf f1 inverzne funkcije f1 zrcalna slika grafa ffunkcijefobzirom na osy = x (simetralaI iI IIkvadranta). Ovo pojednostavnjujevizualizaciju i crtanja grafa inverzne funkcije. Za svaku tocku (x0; y0)2 f vri-

jedi nam, dakle, (y0; x0)2 f1: Na sljedecoj slici prethodnom grafu (zelena crta)dodajmo graf inverzne funkcije (crvena crta). Kako su ova dva grafa pravci koji sesijeku, njihovo sjecite svakako lezi na pravcuy=x (crna crta).


21/133

2. FUNKCIJE 17

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

f(x) = 2x + 3; y = x; f1(x) = 12

x 32

Primjer 17. Parovi meusobno inverznih funkcija:1) f : [0;

1i ![0;

1i; f(x) =x2 ig: [0;

1i ![0;

1i; g(x) = +

px;

px2 =x = (

px)2; 8x 2 [0; 1i :

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

x

y

f(x) =x2; y = x; g(x) = +p

x

Primijetite da i f :h1; 0]! [0; 1i ; f(x) = x2 i g : [0; 1i ! h1; 0] ;g(x) =px predstavlja par meusobno inverznih funkcija. Skicirajte odgovaraju cegrafove.

2) f : R ! h0; 1i ; f(x) =ex ig: h0; 1i ! R; g(x) = ln x;

ln(ex) =x; 8x 2 R; elnx =x; 8x 2 h0; 1i :

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x) =ex; y = x; g(x) = ln x


22/133

2. FUNKCIJE 18

3)Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus, tangens i kotangens),tocnije - njihovih odgovaraju cih bijektivnih restrikcija, su ciklometrijske ili tzv. arkus

funkcije. Njih cemo precizno denirati u sljede coj tocki, nakon to ponovimo elemen-tarne funkcije poznate iz srednje kole.

2.2. Elementarne funkcije

Osnovne elementarne funkcijesu sljedece realne funkcije realne varijable: kon-stanta, opca potencija, eksponencijalna i logaritamska funkcija, te trigonometrijskei ciklometrijske funkcije. O konstantnoj funkciji smo vec govorili u tocki 2.1.

2.2.1. Opca potencija

Neka je r2R

nf0g

i XrR skup realnih brojeva x za koje je dobro denirano

pridruzivanje x! xr: Tada funkciju f : Xr! R deniranu zakonom f(x) = xrnazivamoopcom potencijom:Razlikujemo slucajeve:a) r2 N; b) r2 Zn(N [ f0g); c) r2 QnZ; d) r2 RnQ: Istaknimo one najzan-imljivije za naa razmatranja:

- potencijes prirodnim eksponentom (f(x) = xn; n2N; Xr =R); grafovizar = 1; 2; 3i 4 :

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

y=x; y=x2; y= x3; y= x4

(2.3)

Primijetimo da je opca potencija s parnim prirodnim eksponentom parna funkcijacija je kodomena interval[0; 1i :Opca potencija s neparnim prirodnim eksponentomje neparna funkcijacija je kodomena cijeliR:

- potencijes negativnim cjelobrojnim eksponentom(f(x) =xn; n 2 N);grafovi zar= 1; 2i3:


23/133

2. FUNKCIJE 19

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

y= 1

x; y=

1

x2; y=

1

x3

(2.4)

Primijetimo da je domena funkcijafu ovom slucaju Rnf0gi da vrijedif(Rnf0g) =Rnf0gza neparne eksponente, a f(Rnf0g) = h0; 1iza parne eksponente.

- Od opcih potencijafs racionalnim eksponentomizdvojimo oneciji je za-kon pridruzivanjaf(x) =x

1

n = np

x; n 2 N:To su inverzne funkcije opcih potencija sprirodnim eksponentom, odnosno njihovih odgovarajucih suzenja koja su bijektivnapreslikavanja. Slucaj n= 2vec smo komentirali u Primjeru 17. Za n = 3graf je nasljedecoj slici obojen crveno.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

y = x1

3 = 3p

x; y = x3

3p

x3 =x = ( 3p

x)3; 8x 2 ROpcenito, ako je n neparan, vrijedi f : R ! R i f(R) = R: Za parne n imamof : [0; 1i! R i f([0; 1i) = [0; 1i(po deniciji):

2.2.2. Eksponencijalna funkcija

Denicija 2.2.1. Neka je a pozitivni realni broj, a 6= 1: Tada funkciju expa :R

!R+ sa zakonom pridruzivanja exp

a(x) = ax nazivamo eksponencijalnom

funkcijom s bazoma:


24/133

2. FUNKCIJE 20

Primjer 18. Nacrtajmo graf eksponencijalne funkcije s bazoma = 2:Kroz nekolikotocaka koje mu sigurno pripadaju i koje znamo odrediti:

x 0 1 2 1 22x 1 2 4 1

214

provucimo glatku krivulju.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

x

y

o

o

o

oo

y= 2x

Tocke na skiciranoj krivulji oznacene crvenim kruzi cem mogu predstavljati na pr.broj bakterija u kulturi koja se odlikuje time da se svake minute svaki mikroorganizampodijeli u dva. Pocnemo li pratiti broj bakterija od nulte minute kad imamo jedan

mikroorganizam, once dalje iznositi: vrijeme(min) 0 1 2 3 4

broj bakterija 1 2 4 8 16 Svaki

sljede ci element drugog retka tablice dobijemo mnozidbom prethodnog s 2. Apscisnakoordinatna os bi u ovom slucaju nosila oznake jedinica mjere za vrijeme (minute),a na ordinati bi se ocitavao broj bakterija. Uocimo, ako je ucasut minuta ocitani

broj bakterija bio N; onda smo polovinu toga broja bakterija tj. N=2 njih imali uvrijemet 1minuta.

Slicnan izgled imaju grafovi eksponencijalne funkcije s bazama a = e i a = 10prikazani na narednoj slici.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

x

y

o

y = ex; y= 10x

Sva tri dana grafa su primjeri grafova eksponencijalne funkcije s bazom a > 1koji imaju sljedece zajednicke karakteristike:

prolaze tockom (0; 1); rastuci su jer vrijedi x1< x2) ax1 < ax2;


25/133

2. FUNKCIJE 21

kad xneograniceno pada, pripadna ordinata ax je sve to bliza nuli. Kazemo:asimptota grafa je negativna poluosx:

Eksponencijalna funkcija s bazom a >1 to brze raste to je a veci. Kod nas je graf

najstrmiji u slucajuf(x) = 10x;a najmanje strm za f(x) = 2x.Promotrimo sada slucaj a


26/133

2. FUNKCIJE 22

Iz grafova ocitavamo da eksponencijalna funkcija ostvaruje bijekciju skupova RiR+:

U praksi se cesto susrecu funkcije sa zakonom pridruzivanja F(x) = F0ekx;odnosno F(x) = F0ekx; F0

2R

nf0

g; k

2R+. Nazivamo ih funkcijama ekspo-

nencijalnog rasta, odnosno pada, po stopi k :Jo se na ovom mjestu prisjetimo pravila za racunanje s potencijama. Neka su

a; b 2 R+ im; n2 R. Tada vrijedi: am an =am+n; (am)n =amn;odavde je am = (a1)m = (1

a)m = 1

am;

a0 = 1; (ab)n =anbn;(a

b)n = a

n

bn:

2.2.3. Logaritamska funkcija

Denicija 2.2.2. Neka je a pozitivni realni broj, a 6= 1: Tada funkciju loga :R+! R deniranu zakonom pridruzivanja loga(x) = y() ay = x nazivamologaritamskom funkcijom s bazoma:

Drugim rijecima, vrijedi:

(8x 2 R+) aloga(x) =x; odnosno,(8y2 R) loga(ay) =y:

Iz denicije je odmah vidljivo da je logaritamska funkcija inverzna funkcija eksponen-

cijalne funkcije s istom bazom, tj. da vrijedi: loga expa=idR i expa loga=idR+ :Problem 2.2.1. Izracunajmo na osnovi denicije:

a) log464; b) ln 1

e2; c) loga1; d) log2

1

8; e) 2log27; f) log 1000; g) log 0:01:

Rjeenje. a) log464 = log443 = 3; b)2; c) 0; d)3; e) 7; f) 3; g)2:

Napomena: oznakeloga(x)iloga x imaju isto znacenje. Upotrebljavaju se ravnopravno.

Skicirajmo graf funkcije log2 tako da prvo odredimo nekoliko tocaka koje na

njemu sigurno leze: x 1 = 20 2 = 21 4 = 22 1

2= 21 1

4= 22

log2 x 0 1 2

1

2

, a zatim

kroz njih provucemo glatku krivulju (zelena crta).

-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

o

o

o

o

o

y=x

y= log2 x


27/133

2. FUNKCIJE 23

Zrcaljenjem ove krivulje oko pravca y = xdobili bismo graf eksponencijalne funkcijes bazom 2 (crvena isprekidana crta) koju smo crtali u Primjeru 18. Uvazimo li toicinjenicu da kod meusobno inverznih funkcija kordinatne osi zamjenjuju uloge,na gornjem grafu (zeleno) na osi ordinata iscitavamo vrijeme za koje bismo imali

odreeni broj bakterija naznacen na osi apscisa. Na pr. jer tocka (4; 2) pripadagrafu, znaci da 4 bakterije imamo u kulturi za 2 minute.

Zrcaljenjem grafova eksponencijalnih funkcijaexpeiexp10nacrtanih u tocki 2.2.2.oko pravca y = x dobiju se grafovi logaritamskih funkcija loge (standardne oznakeln) i log10 (standardne oznake log). Skicirajmo ugrubo njihov izgled, koji je karak-teristican za sve logaritamske funkcije s bazom a >1:

x

y

o

1

y= loga(x); a >1

Grafovi logaritamskih funkcija s bazom a >1

prolaze tockom (1; 0); rastuci su jer za sve x1; x22 R+ vrijedi x1< x2) loga(x1)< loga(x2); za x sve to blize nuli, pripadna ordinata loga(x) neograniceno pada prema

1. Kazemo: asimptota grafa je negativna poluos y:

Funkcija loga; a > 1; to sporije raste to je a veci. Primjerice, funkcija logce dostici "visinu" 1 za vrijednost argumenta 10, dok ce funkcija ln istu "visinu"dosegnuti vec zax = e 2:7:

Skicirajmo sada graf funkcije log 12 ; dakle za a < 1: Kao prije, odredit cemonekoliko tocaka koje na njemu leze:

x 1 = (12

)0 12

= (12

)1 14

= (12

)2 2 = (12

)1 4 = (12

)2

log 12

x 0 1 2 1 2 , a zatim kroznjih provuci glatku krivulju (zelena crta).


28/133

2. FUNKCIJE 24

-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

y=x

o

o

o

o

y = log 12

x

Ovaj smo graf mogli dobiti zrcaljenjem grafa funkcijeexp 12

(crvena isprekidana crta)oko pravcay = x. Istim postupkom mozemo iz prethodno nacrtanih grafova funkcija

exp 1e iexp 110 dobiti grafove funkcijalog 1e ilog 110 :Sve su to primjeri grafova funkcijaloga; a


29/133

2. FUNKCIJE 25

Neka su a;b;x2 R+; a; b6= 1: Mozemo se zapitati u kakvoj su vezi brojeviloga x i logb x, to jest u kakvoj su vezi logaritmi jednog te istog broja u razlicitimbazama: Oznacimo li loga x = y1 i logb x = y2; iz Denicije 2.2.2. lako dobijemoay1 = x = by2; a odavde logaritmiranjem po bazi b slijedi y1logb a = y2; odnosno

loga x logb a= logb x:Konacnopravilo zamjene bazamozemo zapisati u obliku:

loga x= logb x

logb a:Specijalno, zax= b =) loga b=

1

logb a:

2.2.4. Trigonometrijske funkcije

Naziv trigonometrija potjece od "mjerenja trokuta". Pojavila se jo u 2. stoljecu pr.n. e. iz potrebe za mjerenjem kutova u astronomiji. Kasnije je primjenu nalazila unavigaciji, raznim opazanjima, a u novije doba najvie se vezuje za pojave u prirodii drutvu koje se periodicki ponavljaju: bioloke ritmove, orbite satelita, cikluse u

poslovanju itd.I mi cemo se najprije pozabaviti mjerenjem kuta.

Denicija 2.2.3. Kutje dio ravnine kojeg omeuju dva polupravca sa zajednickompocetnom tockom. Tu tocku nazivamovrhomkuta, a polupravcekrakovimakuta.Odabirom koji je krak prvi, a koji drugi, kut odreujemo kao dio ravnine izmeunjegovog prvog i drugog kraka obrnutim smjerom od kazaljki sata.

Smjer obratan od onog kazaljki na satu denira se kao pozitivan geometrijskismjer. U trigonometrijskim razmatranjima koja se provode u koordinatnoj ravnini

uobicajeno je kut postavljati u tzv. "standardni polozaj", tj. tako da mu se prvikrak podudari s pozitivnom poluosix, a onda se ta os zarotira dok ne zauzme polozajdrugog kraka. Ako je rotacija u pozitivnom smjeru i mjera kuta je pozitivna, a ako

je u smjeru kazaljke sata - radi se o kutu negativne mjere. Puni kut ima podudarnekrakove nakon jednog obilaska koordinatne ravnine i mjere je360o:

x

y

-45 deg

Kut negativne mjere45o

Primijetite da bi drugi krak kuta na lijevoj slici ujedno bio drugi krak kuta mjere120o + k 360o; k2 Z;na pr. kuta od480o;840o;240o;600o itd. Analogno vrijedii za desnu sliku.Za mnoge primjene trigonometrije mjera kuta u stupnjevima nije primjerena.Zato se uvodi mjera kuta u radijanima, skraceno "rad".


30/133

2. FUNKCIJE 26

Denicija 2.2.4. Ako kut na kruznici radijusa r;cije je sredite u vrhu kuta,odsijeca luk duljines; onda je mjera kuta u radijanima neimenovani realni broj

=s (jedinica mjere)r (jedinica mjere)

:

>

>r

s


31/133

2. FUNKCIJE 27

Problem 2.2.2. Odredite trigonometrijske funkcije kuta ako drugom kraku pri-pada tocka:

a) P(3; 4); b)P(3; 4); c)P(3; 4):

Rjeenje. U sva tri slucaja vrijedi r =p

x2 + y2 = p9 + 16 = 5: Prematomu imamo:

a)sin =4

5; cos =

3

5;tg=

4

3;ctg=

3

4;

b)sin = 45

;cos =3

5;tg= 4

3;ctg= 3

4;

c)sin = 45

;cos = 35

;tg=4

3;ctg=

3

4:

Skicirajmo jo sva tri zadana kuta u koordinatnoj ravnini:

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

o P(3,4)

P(-3,-4)

>

o>

o P(3,-4)>

>

>

>

Neka je sada mjerni broj kuta u pravokutnom trokutu. Postavimo li tajtrokut u koordinatnu ravninu na nacin da prilezeca kateta kuta lezi na osi xi damu je vrh u ishoditu (kao na slici),

x

y

x

y

r

alfa .

iz Denicije 2.2.5. lako dobijemo denicije trigonometrijskih funkcija od koje nisu

vezane za koordinatni sustav:sin =

duljina nasuprotne kateteduljina hipotenuze

; cos = duljina prilezece katete

duljina hipotenuze ;


32/133

2. FUNKCIJE 28

tg=duljina nasuprotne katete

duljina prilezece katete :

Istaknimo dva poznata nam pravokutna trokuta na sljedecim slikama. Uz po-jedinu sliku je i jednostavni upit.

x=?

1

2

30deg

.

(Odgovor : x =p

3)

1

1

x=?

45deg

.

(Odgovor : x =p

2)

Nakon utvrivanja duljina stranica oznacenih s x; iskoristimo prethodno izvedeneformule i ove pravokutne trokute za izracun vrijednosti trigonometrijskih funkcijanekih vaznijih kutova:

! 30o = 6

45o = 4

60o = 3

sin 12

p22

p32

cos p32

p22

12

tgp32

1p

3

Specijalno, tocku P(x; y)s drugog kraka kuta u standardnom polozaju mozemoodabrati tako da ona lezi na jedinicnoj kruznicicija je jednadzbax2 +y2 = 1(tzv.trigonometrijska kruznica). Tada zbog r = 1 (slika (2.5)) iz Denicije 2.2.5.dobijemo sin = y i cos = x; tj. koordinate tocke P u kojoj se sijece drugikrak kuta s trigonometrijskom kruznicom su(cos ; sin ):Odavde lako odredimotrigonometrijske funkcije karakteristicnih kutova iz sljedece tablice.

0 =2 3=2 2sin 0 1 0 1 0cos 1 0

1 0 1

Kako su tangens i kotangens ovih kutova kvocijenti odgovarajucih elemenata drugog

i treceg retka tablice (tgx = sin x

cos x; ctgx =

cos x

sin x), a dioba nulom nije provediva,

odmah vidimo da u svakom kutu iz gornje tablice nije denirana jedna od ovihdviju trigonometrijskih funkcija.

Nacrtajmo grafove trigonometrijskih funkcija. Iskoristit cemo tzv. "namatanjebrojevnog pravca na trigonometrijsku kruznicu". Pod ovim namatanjem razumije-vamo pridruzivanje broju02 R (ishoditu brojevnog pravca) tocke(1; 0)s jedinicnekruznice i, nadalje, pridruzivanje broju x2 R+ tocke kruznice do koje stignemonjenim lukom duljinexu pozitivnom smjeru, a broju x 2 Rtocke kruznice do kojestignemo lukom duljinejxjpo kruznici u negativnom smjeru. Skicom:


33/133

2. FUNKCIJE 29

+0

ox

>

Jer opseg jedinicne kruznice iznosi2; nakon to tockama intervala[0; 2i pridruzimoodgovarajuce tocke kruznice, ponovo cemo te iste tocke pridruzivati intervalima[2; 4i ; [4; 6i i tako redom. Analogno zaR: Konacno ce svakom x2 R bitipridruzena tocka na trigonometrijskoj kruznici koja lezi na drugom kraku kuta radi-

janske mjerex (usporedite Deniciju 2.2.4.).Iz Denicije 2.2.5. lako zakljucimo da ce graf funkcije sin :R ! Rciniti skup

parova (x; y); gdje je x2R, a y ordinata tocke pridruzene broju x pri namatanjuRna trigonometrijsku kruznicu. Takoer, graf funkcije cos : R ! R ceciniti skupparova(x; y);gdje je x2R, a y apscisa tocke pridruzene broju x pri namatanjuRna trigonometrijsku kruznicu.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

x

y

y= sin x

(2.6)


34/133

2. FUNKCIJE 30

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

x

y

y= cos x

(2.7)

Ponovimo:

(8x 2 R) sin x 2 [1; 1]i cos x 2 [1; 1]; (8x2 R)(8k2 Z) sin(x+ 2k) = sin x i cos(x+ 2k) = cos x; tj. sinus i

kosinus superiodicne funkcijes temeljnim periodom 2;

(8x 2 R) sin(x) = sin x;tj. sinus je neparna funkcija; (8x 2 R) cos(x) = cos x;tj. kosinus je parna funkcija.

Funkcija tangens nije denirana u nultockama funkcije kosinus. Njena je domena

D(tg) =Rnf(2k+ 1) 2j k2Zg, a za sve realne brojeve xiz D(tg)vrijednosti tgxnajlake ocitamo na pravcu x= 1: Taj pravac tangira trigonometrijsku kruznicu utocki(1; 0). Nazivamo gaos tangensa. Koristeci Deniciju 2.2.5. lako zakljucimoda jetgxordinata tocke u kojoj drugi krak kuta radijanske mjere x (postavljenog ustandardni polozaj) sijece os tangensa.

Na sljedecoj slici je luk duljine x na trigonometrijskoj kruznici (radijanska mjerakuta u standardnom polozaju) obojen crveno, a pripadna vrijednost tgx na ositangensa plavo. Ponovimo da je apscisa krajnje tocke luka upravo cos x; a njenaordinata sin x:

x

y

x

1

tgxo< (cos x, sin x)

Trigonometrijska kruznica; os tangensa


35/133

2. FUNKCIJE 31

Za kutove iz drugog i treceg kvadranta, da bismo ocitali vrijednost tangensa, moramoproduziti drugi krak kuta do sjecita s osi tangensa. Tako cemo istu vrijednost oci-tati za na pr. kut (broj) x iz prvog kvadranta i kut x+ iz treceg kvadranta, aisto vrijedi za kut (broj) x iz drugog kvadranta i kut x+ izcetvrtog kvadranta.

Ovo upravo znaci periodicnost funkcije tangens s peridom . Konacno mozemo ski-cirati i graf funkcije tangens. Graf ce u tockama skupaf(2k + 1)

2 j k2 Zg; u

kojima bi funkcija poprimala beskonacne negativne ili beskonacne pozitivne vrijed-nosti (paralelni pravci, dioba nulom!), imati prekid i sastojat ce se od beskonacnopuno grana istog oblika rastuce krivulje.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

y=tgx

(2.8)

Vrijedi:

(8x2 Rnf(2k+ 1) 2j k2 Zg)(8m2 Z) tg(x+m) = tgx; tj. tangens je

periodicna funkcija s temeljnim periodom ;

(8x2 Rnf(2k + 1) 2 j k2 Zg) tg(x) =tgx; tj. tangens je neparna

funkcija;

Kodomena funkcije tangens je cijeli R:

Funkcija kotangens nije denirana u nultockama funkcije sinus. Njena je domenajeD(ctg) = Rnfkj k2 Zg, a za sve realne brojeve x iz D(ctg)vrijednostictgxna-jlake ocitamo na pravcu y= 1:Taj pravac tangira trigonometrijsku kruznicu u tocki(0; 1):Nazivamo gaos kotangensa. Koristeci Deniciju 2.2.5. lako zakljucimo da

je ctgx apscisa tocke u kojoj drugi krak kuta radijanske mjere x (postavljenog ustandardni polozaj) sijece os kotangensa.

Na sljedecoj slici je luk duljine x na trigonometrijskoj kruznici (radijanska mjerakuta u standardnom polozaju) obojen crveno, a pripadna vrijednost ctgx na osikotangensa plavo.


36/133

2. FUNKCIJE 32

x

y

x

1 ctgx

o (cos x, sin x)

Trigonomterijska kruznica; os kotangensa

Za kutove iz treceg i cetvrtog kvadranta, da bismo ocitali vrijednost kotangensa,moramo produziti drugi krak kuta do sjecita s osi kotangensa. Tako cemo istu

vrijednost ocitati za na pr. kut (broj)x iz drugog kvadranta i kut x+ izcetvr-tog kvadranta, a isto vrijedi za kut (broj) x iz prvog kvadranta i kut x+ iztreceg kvadranta. Ovo upravo znaci periodicnost funkcije kotangens s peridom .Skicirajmo graf funkcije kotangens. On ce u tockama skupafkj k2 Zg; u ko-

jima bi funkcija poprimala beskonacne negativne ili beskonacne pozitivne vrijednosti(paralelni pravci, dioba nulom!), imati prekid i sastojat ce se od beskonacno punograna istog oblika padajuce krivulje.

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

y= ctgx

(2.9)

Vrijedi:

(8x2 Rnfk j k2 Zg)(8m2 Z) ctg(x+ m) = ctgx; tj. kotangens jeperiodicna funkcija s temeljnim periodom ;

(8x 2 Rnfkj k2 Zg) ctg(x) = ctgx;tj. kotangens je neparna funkcija; Kodomena funkcije kotangens je cijeli R:

Na ovom mjestu jo jednom nabrojimo poznate trigonometrijske identitete i adi-

cione formule:

(8x 2 R) sin2 x + cos2 x= 1;


37/133

2. FUNKCIJE 33

tgx = sin xcos x

;za sve realnex; x 6= 2

+ k; k2 Z;

ctgx= cos xsin x

= 1

tgx; za sve realne x; x 6=k; k2 Z;

sin(x + y) = sin x cos y+ cos x sin y; 8x; y2 R; cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y; 8x; y2 R:

Problem 2.2.3. Izvedite analogni trigonometrijski identitet zasin(x y)icos(x y): Nadalje, pokazite da identiteti: a) sin2x= 2 sin x cos x i b)cos2x=cos2 x sin2 x;slijede iz adicionih formula.

2.2.5. Ciklometrijske ili arkus-funkcije

Funkcija sin : R ! [1; 1] jest surjekcija, ali nije injekcija. To se jasno vidi izgrafa (2.6). Meutim, njena restrikcija sin

[2 ;2 ] : 2 ; 2 ![1; 1] je bijekcijaciji je graf dio grafa (2.6) obojen plavo. Inverznu funkciju ove restrikcije nazivamoarkus sinusi oznacujemo jearcsin. Time je odreena funkcija arcsin : [1; 1] !2

; 2

; a arcsin x je kut (opisan radijanskom mjerom tj. realni broj)ciji sinus

iznosi x; x 2 [1; 1]:Za karakteristicne kutove lako izracunamo, odnosno procitamo s grafa funkcije

sin[2 ;2 ]

: arcsin(1) = 2

; arcsin(12

) = 6

; arcsin(0) = 0; arcsin(1

2) =

6;

arcsin(1) =

2

: Dakle ce graf funkcije arcsin sadrzavati parove (x; y) iz tablice:

x 1 12

0 12

1y = arcsin x

2 6

0 6

2

. Graf je zrcalna slika plavog dijela sinusnog

vala sa slike (2.6) oko pravca y =x:

-1 1

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

y= arcsin x

Vrijedi: sin arcsin = id[1;1]; arcsin sin je funkcija denirana naR; koja jeidentitet na

2

; 2

:Drugim rijecima:

sin(arcsin x) =x za sve x 2 [1; 1];arcsin(sin x) =x za sve x 2 2 ; 2 :


38/133

2. FUNKCIJE 34

Slicno, funkcija cos : R ! [1; 1] nije injekcija, to se razabire s grafa (2.7).Meutim, restrikcija cos

[0;] : [0; ]! [1; 1] je bijekcijaciji je graf dio grafa

(2.7) obojen plavo. Inverznu funkciju ove restrikcije nazivamoarkus kosinus ioznacujemo je arccos : Time je jednoznacno odreena funkcija arccos : [

1; 1]

![0; ] ; a arccos x je kut (opisan radijanskom mjerom tj. realni broj)ciji kosinusiznosi x; x2 [1; 1]: Posebno, arccos(1) = ; arccos(

p2

2 ) =

3

4 ; arccos(0) =

2; arccos(

1

2) =

3; arccos(1) = 0: Kroz dobivene parove tocaka mozemo provuci

glatku krivulju i tako skicirati graf funkcije arccos :Alternativno taj graf dobijemozrcaljenjem plavog dijela kosinusnog vala sa slike (2.7) oko pravca y =x:

-1 0 1

1

2

3

x

y

y= arccos x

Vrijedi: cos

arccos =id[

1;1]; arccos

cos je funkcija denirana naR;acija je

restrikcija na[0; ]identitet. Dakle

cos(arccos x) =x za sve x 2 [1; 1];arccos(cos x) =x za sve x 2 [0; ] :

Vidjeli smo da se graf funkcije tangens sastoji od beskonacno puno nepovezanihgrana, pa je jasno da tangens nije bijektivno preslikavanje. No, svaka od granaponaosob je graf bijektivne funkcije. Dogovorno se izdvaja grana nad intervalom

D

2;

2E koja je na naem grafu (2.8) obojena plavo. Inverzna funkcija bijekcijetgh2 ;2 i : D2 ;2E! R naziva se arkus tangens i oznacuje arctg: Time

je odreeno preslikavanje arctg : R !D

2;

2

E; arctgx je kut (realni broj) iz

intervalaD

2;

2

Eciji tangens iznosi x; x2R:Postupkom kao za prethodne dvije


39/133

2. FUNKCIJE 35

arkus-funkcije skicirajmo njegov graf.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

x

y

arctgx

(2.10)

Vrijedi: tg arctg= idR;a arctg tg je funkcija denirana na skupuRnf(2k+1)

2j k2 Zgkoja je identitet na

D

2;

2

E:Dakle

tg(arctgx) =x za svex 2 R;arctg(tgx) =x za svex 2

D

2;

2

E:

Analognim postupkom kao kod funkcije tangens deniramo icetvrtu ciklometri-

jsku funkciju arkus kotangens, arcctg : R !h0; i : To je inverzna funkcijarestrikcije funkcije kotangens na intervalh0; i : Graf mozemo dobiti zrcaljenjemodgovarajuce ("plave") grane grafa kotangensa oko pravca y= x:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

x

y

y = arcctgx

(2.11)

Vrijedi: ctg arcctg = idR; a arcctg ctg je funkcija denirana na skupu Rnfkj k2 Zgkoja je identitet nah0; i :

ctg(arcctgx) =x za sve x2R;

arcctg(ctgx) =x za sve x 2 h0; i :


40/133

2. FUNKCIJE 36

Elementarna funkcija je svaka funkcija koja se od osnovnih elementarnihfunkcija ili njihovih restrikcija moze konstruirati primjenom konacnog broja zbra-

janja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja i komponiranja. Elementarne funkcije jeuobicajeno dijeliti na polinome, racionalne funkcije, algebarske i transcendentne

funkcije. (Ponekad se polinomi nazivaju cijelim racionalnim funkcijama, a ostaleracionalne funkcije razlomljenima.) U transcendentne funkcije, izmeu ostalih, spadajueksponencijalna i logaritamska funkcija te trigonometrijske i ciklometrijske funkcije.Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjemopcih potencija s racionalnim eksponentom i racionalnih funkcija s racionalnim ko-ecijentima. Nama su najzanimljiviji polinomi i racionalne funkcije.

2.2.6. Polinomi

Denicija 2.2.6. Neka jen2N i neka suai2R; i = 0; 1;:::;n; an6= 0. Polinomstupnjan je funkcijap:R ! R denirana zakonom pridruzivanjap(x) =anx

n

+an1xn1+ ::: + a1x + a0= (simbolom za sumu) =

nPk=0

akxk; 8x 2 R:Realne brojeve

(konstante) smatramo polinomima stupnja nula.

Brojeve ai2 R u prethodnoj deniciji nazivamokoecijentima polinomap; an je vodeci koecijent, a a0 slobodniclan. Vodeci koecijent stoji uz najvecupotenciju nezavisne varijable kojom je odreen stupanj polinoma:Primjerice, poli-nom p0; p0(x) = 2x4 3x + 1; je stupnja 4. Vrijednost polinoma u pojedinojtocki dobijemo uvrtavanjem te tocke umjesto x u zakon pridruzivanja. Tako jep0(

1) = 2

(

1)4

3

(

1) + 1 = 6:

Nul-tockaili korijen polinoma pje ona vrijednost nezavisne varijable xzakoju je ispunjeno p(x) = 0: Nultocka polinoma s realnim koecijentima ne moralezati u skupuR.

Primjer 19. Polinomq,q(x) =x2+1 nema realnih nultocki. Kako ne postoji realnibrojciji kvadrat iznosi1;zakljucujemo da jednadzbax2+1 = 0() x2 = 1 nemarjeenja u skupuR: Nultocke ovog polinoma sui; q(i) = 0, q(i) = 0.

Kompleksne nultocke polinoma ps realnim koecijentima uvijek dolaze u kom-pleksno konjugiranim parovima. Naime, ako je +i2C i vrijedi p(+i) = 0,onda je i p( i) = 0.Teorem 2.2.4. Polinom stupnja n; n2 N; s realnim koecijentima ima tocno nnultocki u skupuC.

Ova tvrdnja je jedan od oblika iskaza tzv. osnovnog teorema algebre. Ne zabo-ravimo da vrijedi C R, pa su brojem nobuhvacene sve realne nultocke. Iz algebreznamo i sljedece: ako su 1; : : : ; nnultocke polinomap; p(x) =anxn + an1xn1 +::: + a1x + a0;ondapmozemo napisati u obliku produkta linearnih faktora

p(x) =an(x 1)(x 2) (x n): (2.12)U faktorizaciji (2.12), dakle, opcenito ima i kompleksnih brojeva i. Kako zakompleksni broj z = + i; ;2 R; vrijedi (x(+ i))(x(i)) =


41/133

2. FUNKCIJE 37

x2 2x+ 2 +2; a na desnoj strani jednakosti je polinom stupnja 2 s realnimkoecijentima, zakljucujemo da je svaki polinom s realnim koecijentima mogucenapisati u obliku produkta polinoma stupnja najvie 2 s realnim koecijentima.

Iz (2.12) neposredno slijedi

a0an

= (1)n1 n; (2.13)tj. kod normiranih polinoma (an = 1)slobodniclan je do na predznak jednak pro-duktu nultocki. Relacija (2.13) je vrlo korisna za odreivanje cjelobrojnih nultockipolinoma.

Primjer 20. Evo nekoliko jednostavnih faktorizacija:1) p(x) =x3 + x= x(x2 + 1) (nultocke odp sux1 = 0; x2;3= i; x2;3 =2 R);2) p(x) =x3 + x2 =x2(x + 1) (nultocke odp sux1 = x2= 0; x3 = 1);3) p(x) =x3

1 = (x

1)(x2 + x + 1) (x1 = 1; x2;3 =

2R);

4) p(x) =x3 3x2 + 2 =x3 x2 2x2 + 2 =x2(x 1) 2(x2 1) =(x 1)[x2 2(x+ 1)] = (x 1)(x2 2x 2):Neposrednom provjerom se utvrdi danultocke polinomaq; q(x) =x2 2x 2 nisu cjelobrojne. No za polinom stupnja 2znamo odrediti nultocke x1;2= 1

p3;pa konacno imamo

p(x) = (x 1)(x (1 + p3))(x (1 p3)) = (x 1)(x 1 p3)(x 1 + p3):Primjer 21. Odredimo nultocke polinomap; p(x) =x3 + 4x2 + x 6:

Cjelobrojni djelitelji oda0= 6su:1; 2; 3; 6:Lako provjerimo da jex = 1nultocka, pa faktorizacija zadanog polinoma sadrzi faktorx 1:Kako je(x3+ 4x2+x 6) : (x 1) =x2 + 5x + 6; za cjelobrojne nultocke zadnjeg polinoma imamo istemogu cnosti kao u prethodnom koraku. Konacno: x3 + 4x2 +x 6 = (x 1)(x+2)(x + 3):

Graf polinoman-tog stupnja je neprekinuta ravninska krivulja koja ima najviensjecita s x-osi. Skicirajmo grafove polinoma redom prema njihovom stupnju don= 3.

10) n = 0Polinom p nultog stupnja je konstantna funkcija, p(x) = a0: Ako je a06= 0 ona

nema nultocki. Graf smo vec vidjeli u tocki 2.1.; to je pravac paralelan s x-osi. Iz

tradicionalnih razloga za simbol konstante umjesto a0 na skici uzimamo c 2 R.

x

y

c

y=c


42/133

2. FUNKCIJE 38

20) n = 1Polinompprvog stupnja je linearna funkcija, p(x) =a1x+a0; a16= 0:Graf mu

je pravac kojeg smo vec crtali u tocki 2.1.. Odsjecak pravca na osi ordinata je a0;a

nultockax =

a0

a1:Vodeci koecijenta1(koecijent smjera) odreuje nagib pravca;

a1je tangens kuta kojeg graf zatvara s pozitivnom poluosi x:Ako je a1>0, jeiljsti kut i graf je rastuci (x1 < x2 =) p(x1) < p(x2)). Ako je a1 < 0, je tupikut i graf je padajuci (x1 < x2 =)p(x1)> p(x2)): Iz tradicionalnih razloga zakonpridruzivanja polinoma na skici uzimamo u oblikup(x) =ax + b; a; b2 R.

x

y

alfa

>y < a x + b

>

y = ax + b; a >0

x

y

alfa

>>y > a x + b

y = ax + b; a


43/133

2. FUNKCIJE 39

p =1700x+ 85000: Dobiveni matematicki model ima smisla samo za ogranicenovariranjex u intervalu [0; 50] jer oneci civac i populacija ne mogu poprimiti nega-tivne vrijednosti. Zato je i graf naeg modela samo dio pravca.

30) n= 2Polinom p drugog stupnja je kvadratna funkcija, p(x) = a2x2 +a1x+a0; a26=

0: Njen graf je parabola koja sijece os x u najvie dvjema tockama - nultockamapolinomap: Iz tradicionalnih razloga (srednja kola!) zakon pridruzivanja polinomap zapiimo u obliku p(x) = ax2 +bx+ c; a; b; c2 R i prisjetimo se poznatih namcinjenica.

Nul-tocke polinomap zadovoljavaju kvadratnu jednadzbuax2 + bx + c= 0:

Izraz D = b2

4acnazivamodiskriminantomte jednadzbe.

Rjeenja jednadzbe nalazimo po formuli: x1;2=b p

D

2a :Pritom vrijedi:

x1+ x2 = ba

; x1x2 = c

a(usporedite (2.13));

D >0 =) x16=x2; x1;22 R;D= 0 =) x1 = x22 R;D 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

a < 0D = 0a < 0

a < 0D < 0

a < 0D > 0

Parabola doseze ekstremalnu vrijednost (minimalnu ako je a > 0; a maksi-malnu ako je a ax2 + bx + cgkoordinatne ravnine.


44/133

2. FUNKCIJE 40

x

yy = a x2 + b x + c

> > >>

y < a x2 + b x + c

y > a x2 + b x + c

> > >

Primjer 23. Za neki lijek je eksperimentalno utvreno da vezu osjetljivosti orga-nizma na lijek, oznacenu o; s dozom lijeka x opisuje relacija o(x) = 1000xx2:Prepoznajemo da se radi o kvadratnom modelu ovisnosticiji je graf parabola. Jer

je za ovu parabolua


45/133

2. FUNKCIJE 41

nultockama polinomap:Osnovnu kubnu paraboluy =x3 smo skicirali na slici (2.3).Evo jo nekoliko grafova polinoma treceg stupnja:

x

y

y= x3

x

y

o2

y= x3 2x2

x

y

o o-2 2

y = x3 4x

2.2.7. Racionalne funkcije

Racionalne funkcije su kvocijenti polinoma. Njihova domena je R s izuzetkom nul-

tocki polinoma u nazivniku. Za funkcijuf; f(x) =p(x)

q(x); p; qpolinomi,cemo reci da

jeprava racionalna funkcijaako je stupanj polinoma p manji od stupnja poli-noma q: Nepravu racionalnu funkciju mozemo, nakon diobe brojnika s nazivnikom,napisati u obliku sume polinoma i prave racionalne funkcije. Vazni primjeri racional-nih funkcija dani su na slici (2.4).

Primjer 25. Neka jef1(x) =x2 + x + 18x4 x : Tada jef1 prava racionalna funkcija.

Faktorizirajmo nazivnik. Iz f1(x) = x2 + x + 1

x (2x 1)(4x2 + 2x + 1) o domeni funkcijef1

zakljucujemo: D(f1) = Rnf0;12g: Sf2(x) = 3x

4 + 2x3 + x 1x2 + 3

je zadana neprava

racionalna funkcijaf2. Vrijedi: D(f2) = R i f2(x) = 3x2 + 2x 9 +5x + 26x2 + 3

:

Racionalne funkcije s iracionalnim koecijentima, na pr. f3; f3(x) =

p3x2 + x 1

x3

+ x2

+

;

ubrajaju se u transcendentne funkcije.


46/133

Poglavlje 3.

Nizovi i redovi

3.1. Nizovi realnih brojeva

Denicija 3.1.1. Niz u skupu realnih brojeva je svaka funkcijaa: N ! R:U intuitivnom poimanju ove denicije niz zapravo poistovjecujemo s kodomenom

funkcije a i drzimo ga beskonacnim slijedom a(n); n2 N: Uz koritenje oznakea(n) = an; u praksi nam nizcine brojevi a1; a2; a3; : : : ; an; : : : . Taj slijed skracenozapisujemo u obliku(an)n2Nili jednostavno(an):Brojannazivamon-tim iliopcimclanomniza.

Primjer 26. a) 1; 2; 3; 4; 5; : : :je niz sa zakonom pridruzivanjaa(n) =an=n:b) 3; 3; 3; 3; 3; : : : je niz sa zakonom pridruzivanja a(n) = an = 3: Ovakav niz

nazivamostacionarnim.c)1; 1; 1; 1; : : : je niz sa zakonom pridruzivanjaa(n) =an= (1)n+1:d) 1;

1

2;1

4;1

8; : : : je niz sa zakonom pridruzivanjaa(n) =an=

1

2n1:

e)1;1

2; 1;

1

4; 1;

1

6; : : :je niz sa zakonom pridruzivanjaa(n) =

an=

( 1; n= 2k 1; k2 N;1

n; n= 2k; k2 N:

f )Aritmeticki nizje niz oblikaa1; a1+ d; a1+ 2d ; : : :, a1; d6= 0. Njegovn-ticlan jean = a1+ (n 1)d: Brojd nazivamodiferencijomniza. Aritmeticki nizkarakteriziracinjenica da je svaki njegovclan

aritmeticka sredinasvog prethod-

nika i svog sljedbenika, tj. an = an1+ an+1

2 : Suma prvih nclanova niza iznosi

Sn=n

2(a1+ an):

g)Geometrijski nizje niz oblikaa1; a1q; a1q2; : : :, a1; q6= 0. Njegovn-ticlanjean=a1qn1:Brojqnazivamokvocijentomniza. Geometrijski niz karakteriziracinjenica da je svaki njegovclangeometrijska sredinasvog prethodnika i svog

sljedbenika, tj. an =p

an1an+1: Suma prvihnclanova niza iznosiSn =a1qn 1q 1 :

Zaa1= 1svodi se na niz potencija1; q ; q 2; : : : ; q n; : : :.

Kazemo da je nizrastuci(neopadajuci) ako isto svojstvo ima funkcijaa:Zatakav niz vrijedi (8n2N) an < () an+1: Kodpadajuceg(nerastuceg) niza jeispunjeno (8n2 N)an>()an+1:

42


47/133

3. NIZOVI I REDOVI 43

Denicija 3.1.2. Reci cemo da je niz(an)omeen odozgoako postoji brojM2R takav da vrijedi(8n 2 N) an M:

Svaki realni broj koji ima svojstvo broja M iz prethodne denicije nazivamo

majorantom niza (an):

Denicija 3.1.3. Reci cemo da je niz(an)omeen odozdo ako postoji brojm 2 Rtakav da vrijedi(8n2 N) an m:

Svaki realni broj koji ima svojstvo broja m iz prethodne denicije nazivamominorantomniza(an):

Uvedimo sad jedan od najvaznijih koncepata matematicke analize: pojam limesaili granicne vrijednosti. Pristupit cemo mu najprije posve intuitivno, zaobilazecimatematicki formalizam. Za dani niz(an) ce nas zanimati ponaanje zamiljenih,beskonacno dalekihclanova niza. Imaju li oni neko jedinstveno odredite? Jesu limozdasviclanovi niza, to vie u nizu odmicemo, to blizi nekom brojuL;tj. "teze"liclanovi niza poprimiti izvjesnu vrijednost L2R? Ako da, govorit cemo da je nizkonvergentan, da tezi L(ili da mu je limes L)i pisati an!L ili lim

n!1an =L: U

protivnomcemo govoriti da je nizdivergentan, odnosno da divergira.Promotrimo najprije niz zadan s an=

1

n:Rekonstruirajmo ga:

(an) = (1;1

2;1

3;1

4;1

5; : : :)i pokuajmo zakljuciti postoji li takav brojLza ovaj niz. U

tu svrhu mozemo pogledati tocke na brojevnom pravcu pridruzeneclanovima niza.

o10

o1/2

o1/3

o1/4

o1/5

o1/20

+

Nakon to smo ucrtali prvih pet tocaka i ispod njih zapisali odgovarajuceclanoveniza, primjecujemo da su s odmicanjem u nizu daljnje tocke meusobno sve blize ida se nagomilavaju prema ishoditu. Za zapisclanova niza ispod pridruzenih tockipocinje nam nedostajati prostora. Da bi slika ostala jasna preskocimo nekolikotocaka. Ucrtajmo jo npr. tocku pridruzenu dvadesetomclanu niza; ona lezi nacetvrtini udaljenosti ishodita do posljednje ucrtane tocke. Dobivena slika nam daje

ideju da limes danog niza postoji i iznosi 0. Daljnju potvrdu zakljucka dobijemopromatranjem tablice s decimalnim zapisom brojeva u naem nizu:

n 21 22 23 100 1000 1001 1002 an :048 :045 :043 :01 :001 :000999 :000998 .

Ma kako mali, pozitivni broj "zamislili, uvijek je moguce pronaciclan nizacija jeudaljenost od nule manja ili jednaka ";a svi daljnjiclanovi niza su jo i blizi nuli.

Konkretno, iz tablice je to vidljivo za " = 1

1000= 103:Tisuciticlan niza je od nule

udaljen tocno za "= 0:001;a tisucu i prviclan i svi daljnjiclanovi niza su od nule

udaljeni jo manje. Konacno zakljucujemo da je niz (an) = (1

n) konvergentan, da

mu je granicna vrijednost (limes) nula i piemo limn!1

an = limn!1

1n

= 0:


48/133


Primjer 27. Odredimo granicnu vrijednost niza s op cimclanoman= n

n + 1:

Raspiimo prvih nekolikoclanova niza radi stjecanja uvida u njihovo ponaanje.

(an) = (1

2;2

3;3

4;4

5; : : :); dakle je niz rastu ci. Majoranta mu je 1. Nijedanclan ne

dostize vrijednost 1 jer je oblika pravog razlomka (brojnik je manji od nazivnika).Transformirajmo izraz za op ciclan: an =

n

n + 1=

n + 1 1n + 1

= 1 1n + 1

:

limn!1

1

n + 1 = 0; radi se o brojevima kojicine prije promatrani niz (

1

n) od drugog

mjesta nadalje. Sad zbog toga to dalekeclanove niza dobivamo oduzimanjem odjedinice sve to manjeg broja, u granicnom slucaju nule, zakljucujemo da je zadani

niz konvergentan i da tezi jedinici. Mozemo zapisati limn!1

n

n + 1= 1:

Konacno dajmo i formalnu deniciju limesa niza.

Denicija 3.1.4. Reci cemo da niz realnih brojeva(an)konvergira (tezi) real-nom broju L ako za svaki" > 0 postojin02 N takav da za svakin n0 vrijedijan Lj < ".

Logickim simbolima:

limn

an = L () (8" >0)(9n02 N)(8n n0)(jan Lj < "):

Iz denicije razaberimo: ako je L limes niza (an); za svaki " > 0 izvan intervalahL "; L + "inalazi se samo konacno mnogoclanova tog niza.

Vratimo se nizovima iz Primjera 26. Rijeimo pitanje njihove eventualne konver-gencije. Radi prikladnog iskazivanja teorije koja nam slijedi dogovorimo sljedece:skupu realnih brojeva dodajemo dva objekta koja mu ne pripadaju - meusobnorazlicite "tocke"1 i +1: Dodajemo ih na nacin da je ispunjeno (8a 2 R)1 < a < +1: Mozemo zamiljati da tocka1 lezi lijevo od svih tocaka nabrojevnom pravcu, a tocka+1desno od svih tocaka tog pravca.

a) Niz s opcimclanom an = n neomeeno raste, dakle divergira. U smisluprethodnog dogovora kazemo i da an = ndivergira k +1 i piemo lim

n!1n = +1:

(Analogno bismo za niz (an)koji neomeeno pada kazali da divergira prema1ipisali lim

n!1an= 1:)

b) Niz s opcimclanom an = 3konvergira. limn!1 3 = 3:Stacionarni niz je uvijekkonvergentan i tezi ponavljajucemclanu.

c) Niz (1; 1; 1; 1; : : :) divergira. Ponaosob, neparniclanovi tvore stacionarnipodnizjedinica koji tezi 1, a parniclanovi tvore stacionarni podniz minus jedinicakoji tezi1: Dakle, nema jedinstvenog broja kojemu bi tezili clanovi niza kad unizu idemo beskonacno daleko. Navedimo ovdje i poznatucinjenicu iz matematickeanalize.

Teorem 3.1.1. Niz realnih brojeva moze imati najvie jedan limes.

d) U slucaju niza (1;

1

2 ;

1

4 ;

1

8 ; : : :)koji je monotono padajuci razmiljanje je slicnokao za niz (an =

1

n): Zakljucujemo da je on konvergentan i vrijedi lim

n!11

2n1 = 0:


49/133


Primijetimo da se ovdje radi o geometrijskom nizu uz a1 = 1 i q= 1

2: Za prepoz-

navanje konvergentnosti ovog niza mogli smo iskoristiti i sljedecu tvrdnju koja sedokazuje u matematickoj analizi.

Teorem 3.1.2. Svaki neopadaju ci i odozgo omeeni niz realnih brojeva je konver-gentan. Svaki nerastu ci i odozdo omeeni niz realnih brojeva je konvergentan.

Teorem, dakle, govori o egzistenciji limesa, a odreivanje samog iznosa limesaje drugo pitanje. Evo jo jednog primjera primjene navedenog teorema. Za niz

an = 2n + 1

n lako ustanovljujemo da je padajuci. Transformacijom opcegclana

dobijemo an = 2 +1

n; to znaci da svaki daljnji clan dobijemo dodavanjem dvojci

sve to manjih brojeva, a pocetni broj je 3. Kako je an = 2 +1

n > 2; tj. kako opci

clan ne moze pasti ispod 2, niz je omeen odozdo i ukupno konvergentan. Na osnoviprije utvrenog lim

n!11

n= 0mozemo zakljuciti da je lim

n!12n + 1

n = 2:

e) Niz (1;1

2; 1;

1

4; 1;

1

6; : : :)je divergentan. Podniz neparnihclanova tezi jedinici,

a parnih nuli.f) Aritmeticki niz je divergentan i to monotono (neomeeno) rastuci ako je d >

0; a monotono (neomeeno) padajuci ako je d < 0: Dakle je granicna vrijednostaritmetickog niza+1za d >0;a1za d 0 on je monoton(rastuci ili padajuci ovisno o a1), a za q


50/133


limn!1

(an bn) = limn!1

an limn!1

bn = A B;limn!1

(an bn) = limn!1

an limn!1

bn=A B:Ako dodatno vrijedibn

6= 0;

8n iB

6= 0;onda je konvergentan niz(

an

bn

) i vrijedi

limn!1

anbn

=

limn!1

an

limn!1

bn=

A

B:

Primjer 29. Neka je k 2 N: Prisjetimo se grafova sa slike (2.3) i zakljucimolimn!1

nk = +1: Dakle je, temeljem posljednje relacije iz prethodnog teorema,limn!1

1

nk = 0. Slicno, za proizvoljno 2R po Teoremu3:1:4: izracunamo

limn!1

nk = lim

n!1 lim

n!11

nk = 0 = 0:

Primjer 30. Odredimo limes niza s op cimclanoman= 2n + 13n2 2n + 2 :

Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se brojnik i nazivnik podijele istim brojemn2 pa je redom:

limn!1

2n + 1

3n2 2n + 2 = limn!1

2

n+

1

n2

3 2n

+ 2

n2

= (Teorem 3:1:4:) =

limn!1

2

n+ lim

n!11

n2

limn!1

3

limn!1

2

n+ lim

n!1

2

n2

= (prethodni primjer) = 0 + 0

3

0 + 0

=0

3= 0:

Primjer 31. Uzimaju ci reciprocne vrijednosticlanova niza iz gornjeg primjera i

primjenjuju ciTeorem 3:1:4: zakljucujemo da vrijedi limn!1

3n2 2n + 22n + 1

= +1:

Primjer 32. limn!1

2n3 + n2 + 3

n3 + 4n 5 = limn!12 +

1

n+

3

n3

1 + 4

n2 5

n3

=2 + 0 + 0

1 + 0 + 0= 2:

Primjedba 3.1.1. Korisno je zapamtiti sljede ce pravilo za izracun limesa izraza

oblikaq(n) = a(n)b(n)

= aknk + ak1nk1 + + a1n + a0bmnm + bm1nm1 + + b1n + b0 ; ai; bj2 R:Vrijedi:

limn!1

q(n) =

8>>>>>>>>>>>:

+1; ako jek > m i akbm

>0;

1; ako jek > m i akbm

k;akbm

; ako jek= m:

a(n) ib(n) su neizmjerno velike velicine jer teze u1 kadn! 1: U prva dvaslucajaa(n) "brze tezi u1" odb(n); a u trecemb(n) "brze tezi u1" oda(n): Uposljednjem slucaju sua(n) ib(n)neizmjerno velike velicine istog reda, tezeu1"jednakom brzinom".


51/133


Na kraju ove tocke spomenimo i niz s opcim clanom an =

1 +

1

n

nzbog njegove

vaznosti u povijesti matematike:Niz je konvergentan i vrijedi limn!11 +

1

nn

=e:

3.2. Redovi realnih brojeva

Denicija 3.2.1. Red realnih brojeva je suma beskonacno mnogo sumanada oblika

a1+ a2+ a3+ a4+ +an+ = (oznakom) =1Pk=1

ak; gdje jeai2 R za svakii 2 N:Sumandak nazivamo k-timclanom reda.

Zanima nas mogucnost da ovakvo sumiranje ipak da konacan rezultat.

Poimo od primjera beskonacne sume1

Pk=1

1

2k

=1

2

+1

4

+1

8

+ 1

16

+

i vezano

za njega promotrimo kvadrat povrine 1. Zamislimo da nam, korak po korak, netkodaje najprije polovicu kvadrata, a dalje svaki put po polovicu onoga to je od njegau prethodnom koraku ostalo. Ilustrirajmo to slikom.

Korak1 Korak 2 Korak 3

Korak 4 Korak 5 Korak 6

U svakom je korakuzutim obojen dio koji se daje (tj. onaj koji mi dobijemo), abijel je dio koji preostaje nedodijeljen. Tockice oznacavaju dio koji od prije imamo.

Uocavamo da suma povrina koje dobijemo (zuti dijelovi) iznosi upravo 1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ , tj. da je to suma iz naeg primjera. Ma kako dugo proces tekao,

neki dio kvadrata uvijek preostaje, tj. ukupna dobivena povrina je manja od 1. Alikako koraci teku, povrina nedodijeljenog ostatka kvadrata tezi nuli (bijeli kvadraticiz donjeg desnog kuta na slici se sve vie steze), pa istovremeno i suma dobivenihpovrina tezi jedinici.

Sa slike lako razabiremo i da dio koji preostaje davatelju nakon n-tog korakaima povrinu

1

2n:Znaci da dobivenu povrinu nakon n-tog koraka, oznacimo je sn;


52/133


mozemo izraziti formulom sn = 1 12n

: Putamo li da proces traje neograniceno,

izgled nam je dobiti granicnu vrijednost limn!1

sn = limn!1

(1 12n

) = 1 0 = 1;dakle

ukupnu povrinu. Jer smo vidjeli da je suma dobivenih povrina1

2 +1

4 +1

8 +1

16 + ;kazat cemo da taj red,

1Pk=1

1

2k;ima sumu 1 ili da konvergira jedinici.

Generalizirajmo sad ova razmatranja.

Denicija 3.2.2. Neka je dan red1Pk=1

ak: Tada brojsn = a1+ a2+ +an nazi-vamo n-tom parcijalnom sumomdanog reda. Ako niz(sn) konvergira i vrijedi

limn!1

sn = s; onda kazemo da red1

Pk=1ak konvergira i da mu je suma s: Piemo

1Pk=1

ak=s: Inace kazemo da red

1Pk=1

ak divergira.

Poznato je da ce red sigurno divergirati ako njegov opciclan ne tezi nuli, odnosno

limk!1

ak = 0je nuzni uvjet konvergencije reda1Xk=1

ak:

Primjer 33. a)1Pk=1

k = 1 + 2 + 3 + +n+ je primjer divergentnog reda. Zanjega nije ispunjen nuzni uvjet konvergencije.

b) 1Pk=1

1k

= 1 +12

+13

+ + 1n

+ je takoer divergentan red, iako je zanjega ispunjen nuzni uvjet konvergencije. Nazivamo gaharmonijskim redom.

Op cenitije, red oblika1Pk=1

1

kp; p2R; nazivamohiperharmonijskimilip-redom.

Pokazuje se, kako - vidjetcemo u Poglavlju 5., da ovaj red konvergira zap > 1; a

divergira zap 1:Tako je red1Pk=1

1pk

divergentan, a red1Pk=1

1

kp

kkonvergentan.

c) Red oblika a + aq+ aq2+ aq3+ =1Pk=0

aqk; a; q2 R;nazivamogeometri-jskim redom, a brojqnjegovimkvocijentom. Zapravo je ovaj red suma geometri-jskog niza s istim kvocijentom i za koji je oznaceno a1=a; pa znamo da se njegova

n-ta parcijalna suma racuna po formulisn = a1 qn1 q : Odavde lako utvrujemo da

red konvergira za1 < q < 1: Kad je taj uvjet ispunjen vrijedi1Pk=0

aqk = s =

limn!1

sn = limn!1

a1 qn1 q =

a

1 q:Zajqj 1red divergira.

Primijetimo da je red1Pk=1

1

2k =

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ iz naeg prvog primjera

geometrijski red1

Pk=0

1

2

(1

2

)k s a = 1

2

i kvocijentom q = 1

2

: Prema tomu spada u


53/133


konvergentne geometrijske redoveciju sumu mozemo dobiti po formulis= a

1 q =1

2

1 1

2

= 1; a ovo potvruje na prije dobiveni rezultat.

Primijenimo sad geometrijski red u rjeavanju problema zagaenja okolia.

Primjer 34. Kolicina zagaenja kojeg uzrokuje neka tvornica je 100 jedinica nadan. Pretpostavimo da se prirodno eliminira 20% prisutnog zagaenja i procijenimonivo zagaenja okolia koji ce uzrokovati dugotrajni rad tvornice.

Napravimo prvo rekapitulaciju nastalog zagaenja po danima rada tvornice:

Dan Novo (jed.) Prethodno (jed.) Ukupno (jed.)1. 100 0 100

2. 100 100 0.8 100+100 0.83. 100 (100+100 0.8)0.8 100+100 0.8+1000.824. 100 (100+100 0.8+1000.82)0.8 100+1000.8+1000.82+1000.83

...Vidimo da se radi o sumaciji prvihclanova geometrijskog niza za koji jea1 =

100; aq= 0:8: Dakle op cenito, kolicinu zagaenjan-tog dana dobivamo po formuli

sn = a1(1 qn)

1 q = 100(1 0:8n)

1 0:8 = 500(1 0:8n): Sljede ce tablica sadrzi nekoliko

izracunatih vrijednosti.

n 10 25 40 45 50 51 60 61

sn 446:313 498:111 499:934 499:978 499:993 499:994 499:999 499:999

Dugotrajni nivo zagaenja mozemo procijeniti sumom pripadnog geometrijskog reda:

s= a

1 q = 100

1 0:8=100

0:2= 500 (jedinica).

Ako je problem zagaenja opisan geometrijskim redom, mogu ce je na pr. odreditidnevni iznos zagaenja kojice odrzati dugotrajni nivo istog na doputenoj razini.Primjerice, za trajni nivo zagaenja od 200 jedinica, a uz prirodnu eliminaciju 25%prisutnog zagaenja, kao doputenu dnevnu dozu dobivamo

a= s(1 q) = 200(1 0:75) = 200 0:25 = 50(jedinica).

Geometrijski red mozemo primijeniti u analizi efekta uzimanja odreene dozelijeka opetovano u jednakim vremenskim razmacima.

Primjer 35. Pacijentu s infekcijom grla pripisano je uzimanje Ceporexa i to pojedne kapsule od 500 mg svakih 6 sati. Metabolizam i izlucivanjecovjeka su takvi dana kraju svakog estosatnog perioda u organizmu ostane 14% kolicine lijeka s pocetkatog perioda. Odredite kolicinu lijeka u tijelu:

(a) neposredno nakon tre ce kapsule; (b) neposredno nakon este kapsule; (c) nastabilnoj razini neposredno prije i neposredno poslije uzimanja kapsule.

Oznacimo kolicinu lijeka u tijelu sQ. Qje funkcija vremena koju bitno odreuje

broj uzetih kapsula. Neka namQn oznacuje kolicinu Ceporexa u tijelu neposrednonakon uzimanjan-te kapsule. Slicno kao u prethodnom primjeru pratimo iznosQtabelarno:


54/133


Kapsula Q tik prije i-te kapsule (mg) Q i: nakon i-te kapsule (mg)1 0 500 2 500 0.14 500+500 0.143 (500+500

0.14)

0.14 500+500

0.14+500

0.142

... ... ...n (500+500 0.14+ +5000.14n2)0.14 500+5000.14+ +5000.14n1...

... ...

Iz treceg stupca vidimo da je vrijednostQn n-ta parcijalna suma geometrijskogreda sa = 500 i q= 0:14; odnosno suma prvihnclanova pripadnog geometrijskog

niza. Po poznatoj nam formuliQn =a(1 qn)

1 q =500(1 0:14n)

1 0:14 dobijemo:n 2 3 6 8 20

Qn 570:0 579:800

581:391

581:395

581:395

.

Dobivene vrijednosti smo zaokruzili na tri decimalna mjesta jer nam promatranjevie decimala nema nikakvog prakticnog znacenja. Pogled na drugi redak zadnjetablice govori da vrijednostQn u tijelu tezi ustaljenju. Nakon osme kapsule nemapromjena u njenom iznosu na tri decimalna mjesta, a prakticno bi se moglo recida se vrijednost Qn stabilizirala vec nakon uzimanja este kapsule (ustaljenje dvadecimalna mjesta). To znaci da je dolo do pribliznog izjednacenja kolicine lijekakoju tijelo eliminira izmeu dvije doze i kolicine lijeka primljene jednom dozom.

Stabilizacija je ocekivana zbog Qn ! a1 q (suma geometrijskog reda). Za na

red je s = a

1

q =

500

1

0:14 = 581:395; a ovaj se iznos do na zadovoljavaju cu

tocnost (3 decimalna mjesta) podudara sQn; n 8:Po postignu cu uocene stabilnostirazina lijeka u krvi pacijenta varira izmeu581:395mg (neposredno poslije uzimanjakapsule) i581:395 500 = 81:395 mg (neposredno prije uzimanja kapsule).


55/133

Poglavlje 4.

Osnove diferencijalnog racuna

4.1. Limes i neprekidnost funkcije

Polazite za razmatranja u ovoj tocki je zadana funkcija f : X! R; gdje jeXpodskup skupa realnih brojeva. Bez gubitka opcenitosti mozemo uzeti da je Xinterval oblika ha; bi,[a; b] ; ha; b] ; h1; a] ; ha; +1i i slicno. Primijenit cemo znanjao granicnoj vrijednosti niza realnih brojeva na proucavanje vrijednosti funkcije fuokolini neke tockec2 R koja ili pripada skupu X(domeni od f) ili je "dovoljnoblizu" X; u smislu da postoji niz tocaka (xn) X koji tezi c; tj. takav da jelimn!1

xn = c: Zanimat ce nas to se zbiva s pridruzenim funkcijskim vrijednostima

kad se vrijednosti n

matematika_skripta za ribare

Documents