MATEMATIKA ZA EKONOMISTE

Dipl.ecc. Safet Hodzic Mehic

Uvod: Iz potrebe da se napie jedna struna skripta koju smo na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu, zvali Matematika za ekonomiste II i koja se sastojala iz: Privredne matematike i Financijske matematike pokuao sam da objasnim neke matematske raune koji bi trebao da zna svaki ekonomista. Ova se skripta u Republici Hrvatskoj nazvala Gospodarska matematika. Skripta je ra ena za bankare i ljude koji se bave izradom investicijskih projekata, a mogu je koristiti i uenici srednjih kola i studenti koji studiraju na ekonomskim fakultetima. Ona ukratko, kroz primjere, daje objanjenja, kako se izraunavaju neke ekonomske kategorije, a najvie se bavi kamatnim raunom. Prilikom pisanja skripte krenuo sam od same injenice da se ljudi ue na primjerima iz prakse, te sam uradio mnogo zadataka kako bi se ova materija to bolje shvatila. Skripta je podijeljena u dva velika dijela: - Privredna matematika - Financijska matematika U prvom dijelu skripte se obra uju procentni i kamatni rauni kao uvod u sloenije izraunavanje kamata, u drugom dijelu sam se bavio sloenim kamatnim raunom, tako da se moraju nauiti mnogi zadaci od samog poetka kako bi se shvatili oni na kraju knjige. Moemo rei da je prvi dio (Privredna matematika) neotu ivi dio drugog dijela (Financijske matematike ). U skripti sam pokuao objasniti i to kako se vri amortizacija zajma u Excel-u. Excel je kao to znate program kojim se najee slue ekonomisti i uz njegovu pomo se sada lako daju tabelarni prikazi amortizacije zajmova. U zadnjem dijelu sam dao i jedan novi model obrauna kamata u uslovima inflacije. Ne znam da li e ikada taj model imati znaaja na polju ekonomije, i da li e se primjenjivati u praksi, ali poto se inflacija javljala : izmedju dva Svjetska rata u Njemakoj, pa u novije vrijeme u Argentini, prije rata kod nas u bivoj Jugoslaviji, te u Italiji i nedavno u Turskoj, te u skorije vrijeme u SAD-u i mnogim zemljama pokuao se pronai jedan model za obraun kamata u uslovima inflacije. Neka to, ako nita izuavaju budui ekonomisti, kao jedan od moguih modela za obraun: uloga, renti i anuiteta u uslovima inflacije. Ako bi se ikada vie inflacija pojavila, smatram da bi se ovim modelom mogla vriti revalorizacija tj.ponovni obracun zajmova tako da ne bi dolazilo do krize u bankarstvu , kao jednom od vanih institucija u tom privrednom lancu svake ekonomije. Na kraju skripte sam dao i tabline vrijednosti za cjelobrojne vrijednost stopa od 1% do 20% za period od 30 godin. Da kaem i to ve na poetku knjige: ukoliko se dobro savlada izraunavanje ekonomskih veliina u financijskoj matematici, uz pomo malo boljeg kalkulatora onda nam ove tabline vrijednosti nisu ni potrebne.

3

4

SADRAJ: UVOD PRIVREDNA MATEMATIKA 1. PROCENTNI RAUN ILI RAUN OD STO 1.1 Uveana glavnica 1.2.Umanjena glavnica 2.PROMILNI RAUN 3. KALKULACIJE 4.RAUN DIOBE 5.RAUN SMJESE I PRAVILO TROJNO 6.VERINO PRAVILO I ARBITRAA DEVIZA 6.1.Arbitraa robe 7.PROSTO IZRAUNAVANJE KAMATE 7.1.Uveana i umanjena glavnica 7.2.Obraun kamate za mjesece 7.3.Obraun kamate za dane 7.4.tedni ulozi ili tekui rauni 8. RAUN EFEKATA 8.1.Pojam efekata 8.2.Raunanje sa efektima 8.3.Rentabilnost efekta 8.4.Lombardni raun 8.5.Raun zlata i srebra 9. ESKONTOVANJE HARTIJA OD VRIJEDNOSTI 9.1. Pojam eskonta ili diskonta 9.2. Postupci diskontovanja 10. ZAPADNO I ISLAMSKO BANKARSTVO 10.1.Organizacija privrednih drutava kod nas 10.2.Dioniarsko ili akcionarsko drutvo 10.3 Dividenda i njeno izraunavanje 10.4.Zapadno i istono ( islamsko bankarstvo )

3 11 13 14 15 16 17 17 18 20 21 22 22 22 23 24 24 25 26 28 29 30 30 30 33 33 33 34 34

5

6

SADRAJ: FINANCIJSKA MATEMATIKA PROSTI I SLOENI KAMATNI RAUN 1. Prosti kamatni raun 2. Sloeni kamatni raun 3. Jedan ulog ukamaivan vie godina 4. Jedna renta ukamaivana vie godina 5. Komforna kamatna stopa 6. Interkalarna kamatna stopa ULOZI 7. Jednaki godinji ulozi 8.1. Ulozi rastu po aritmetikoj progresiji 8.2. Ulozi rastu po geometrijskoj progresiji 9. Jednaki mjeseni ulozi anticipativni 10. Jednaki mjeseni ulozi dekurzivni 11.Jednaki ulozi ukamaivani ee od perioda ulaganja RENTE 12.Jednake godinje rente 13Rente rastu po aritmetikoj progresiji 14.Rente rastu po geometrijskoj progresiji 15.Jednake mjesene rente, anticipativne 16.Jednake mjesene rente, dekurzivne ZAJMOVI 17.Amortizacija zajma 18.Amortizacija zajma jednakim otplatama 19.Amortizacija zajma jednakim anuitetima 20.Izraunavanje ostatka duga 21. Izraunavanje sume kamata za vie perioda 22.AMORTIZACIJA ZAJMA U EXCELU 23.AMORTIZACIJA ZAJMA U USLOVIMA INFLACIJE FINANCIJSKE TABLICE ZAKLJUAK Spisak rijei, sinonima i izraza Dio intervjua sa Peterom Nicolom 35 37 38 39 40 42 42 42 44 45 46 47 48 49 51 52 53 55 57 57 58 60 60 63 65 75 89 91 92

7

8

PRIVREDNA MATEMATIKA

9

10

1. Procentni raun ili raun od 100 Procentni raun ili raun od 100 nam pokazuje koliko procenata neega otpada na 100 dijelova tog istog. Da bi bolje shvatili procentni raun poet emo od sljedee relacije: G : P = 100 : p gdje je : G - glavnica ili osnovna suma P - procent ili procentna suma p - procentna stopa procentna stopa ( p ) se uvijek izraava u procentima (% ) . Procentni raun je naao svoju primjenu u privrednoj i financijskoj matematici, kako za izraunavanje kamate, u kalkulacijama, za izraunavanja provizije itd. Evo nekoliko primjera. Primjer br. 1 Na ekonomskom fakultetu u Sarajevu upisano je u prvu godinu 200 studenata. Njih 50 je prolo u drugu godinu.Koliko je studenata prolo u drugu godinu izraeno procentualno?

Izrada: G = 200 P = 50 _______ p = ? Poet emo od osnovne relacije G : P = 100 : p Poznavajui zakon ope matematike ovu relaciju moemo pisati i ovako: G 100 ---- = ------P p

11

Iz toga se i izvode ove formule: G x p = P x 100 P x 100 G = ------------p Gxp P = ---------100

P x 100 p = --------G U prethodnom zadatku znai koristit emo ovu formulu : P x 100 p = ------------G 50 x 100 p = --------------200 5000 p = ------------200 p = 25 % To znai da je u drugu godinu prolo njih 25% izraunato u procentima. Primjer 2. Poduzee UNIS-a u Sarajevu je proizvelo 250 automobila u prvom kvartalu i time ispunio plan. Me utim u sljedeem, drugom kvartalu, ono je pobacilo za 10 auta, pa je proizvelo 240 automobila. Koliki je bio pobaaj izraen u procentu? 12

G = 250 P = 10 p=?

10 x 100 p = ----------- = 4 % 250

Poduzee UNIS-a je znai u drugom kvartalu pobacilo za 4 %. 1.1 UVEANA GLAVNICA Znai kako smo poli od relacije G : P = 100 : p u prethodnom primjeru tako moemo pisati i relaciju sa uveanom glavnicom koja glasi: ( G + P ) : p = ( 100 + p ) : p Poznavajui zakonitosti ope matematike izvode se iste formule, tj. mnoi se vanjski faktor sa vanjskim, a unutranji sa unutranjim pa je: ( G + P ) x p = P x ( 100 + p ) dalje slijedi: P x ( 100 + p ) ( G + p ) = -------------------p itd. Evo jednog primjera: Poduzee UNIS -a je proizvelo auta u ukupnom iznosu od 260 auta u prvom kvartalu i premailo normu za 10 auta. Kolika je bila norma i koliko je procenata bio premaaj? ( G + P ) = 260 P = 10 __________ p=? G=? ( G + P ) - P = 260 - 10 = 250 G = 250 P = 10 ----------p=? G : P = 100 x p P x 100 p = -------------G

13

10 x 100 p = -------------- = 4% 250 To znai da je norma bila 250 auta za prvi kvartal,a prebaen je plan izraeno u procentu za 4 %. Drugim rijeima poduzee ostvarilo normu sa 104 %. 1.2.UMANJENA GLAVNICA Kao i problemi uveane glavnice tako se i problemi umanjene glavnice rjeavaju pomou ove relacije: ( G - P ) : P = ( 100 - p ) : p Evo i jednog primjera: Radnici Energoinvesta u Sarajevu su radili 90% kapaciteta i proizveli 315 razvodnih ormara. Koliko bi proizveli ormara da su radili punim kapacitetom? Izrada: G - P = 315 ( 100 - p ) = 90 % ------------------------G=? Ova gornja osnovna relacija se mogla postaviti ovako: ( G - p ) : G = ( 100 - p ) : 100 iz toga je: 315 x 100 G = ------------------- = 350 90 Da su radnici Energoinvesta radili sa punim kapacitetom proizveli bi 350 ormara.

14

2.PROMILNI RAUN Isto kao i procentni raun tako i promilni raun polazi od sljedeih relacija: G = osnovna suma P = iznos promila p = promilna stopa G : P = 1000 : p Znai sve to vai za procentni raun vai i za promilni raun samo to se p izraava u promilima (). Evo i jednog primjera: Banka na ime provizije je uvijek uzimala prilikom mijenjanja deviza po 5 za trokove. Koliko bi uzela nekom klijentu na ime trokova za iznos od 500 $. G = 500 $ p = 5 ------------P=? 500 x 5 P = ------------- = 2,5 $ 1000 Banka bi uzela 2,5 $ na ime provizije. 3. KALKULACIJE Za izraunavanje mare i poreza na promet u trgovini koristimo se kalkulacijama. Njihova ema izgleda ovako: Faktura ( nabavna cijena ) +marza 20 % 5,00 KM 1,00 KM ----------------------nabavna cijena bez poreza na promet 6,00KM + porez na promet 17 % 1,02 KM prodajna cijena proizvoda 7,02 KM proizvoda

Vidimo da nam za izraunavanje mare kao osnova koristi fakturna vrijednost, a za izraunavanje poreza na promet koristimo fakturnu vrijednost uveanu za iznos mare. 15

4.RAUN DIOBE Raun diobe je postupak pomou kojeg se pojadnostavljuje rjeenje zadataka u kojima je potrebno razdijeliti neku zadanu veliinu na nositelje ( dijelove ) prema jednom ili vie kriterija. Posluit emo se jednim primjerom iz prakse. Predpostavimo da imamo poduzee u kome radi 10 radnika i koji su ostvarili bruto zaradu u iznosu od 60.000 KM. Radnici su podijeljeni u kvalifikovane ( njih ima 4 ) i polukvalifikovane ( njih ima 6 u preduzeu ). Pitamo se koliko e svaki radnik dobiti izraeno u bruto iznosu ? Kvalifikovani radnici dobijaju 50% vei iznos od polukvalifikovanih. Izrada: radnici kvalifikovani polukvalifikovani 1,5 x 4 + 6 = 12 koeficijent 1,5 1,0 broj radnika 4 6

Vidimo da mnoenjem sa ovim koeficijentom po kom se raspodjeljuje dohodak mi imamo stanje kao da u preduzeu radi 12 polukvalifikovanih radnika.

bruto dobit 60.000 ------------------ = ----------------- = 5.000 12 12 Ovo bi mogla biti godinja bruto dobit po jednom polukvalifikovanom radniku. Prema tome svaki polukvalifikovani radnik e dobiti po 5.000 KM, a kvalifikovani 5.000 x 1,5 = =7.500 KM.

16

5. RAUN SMJESE I PRAVILO TROJNO Raun smjese se primjenjuje u sluajevima kada je potrebno odrediti u kojem se omjeru i koliinama treba mijeati neke istovrsne veliine da bi se odredila neka druga veliina smjese. Evo i jednog primjera: Proizvo a koncentrata je pomjeao kukuruz i jeam u omjeru 3: 1 tj. 3 kg kukuruza i 1 kg jema.Cijena kukuruza je 0,30 KM/ kg , cijena jema 0,50 KM/ kg. Kolika bi trebala da bude cijena 1 kg smjese? tabelarni prikaz: kg KM/kg ukupno u KM/kg ---------------------------------------------------------------------------kukuruz 3 0,30 0,90 jecam 1 0,50 0,50 ---------------------------------------------------------------------------UKUPNO 4 -----1,40 Cijenu smjese emo dobiti kada podijelimo ukupan iznos ( 1,40 KM ) sa ukupnim iznosom kilograma smjese ( 4 kg )

1,40 KM cijena 1 kg smjese = --------------- = 0,35 KM/ kg 4

PRAVILO TROJNO Za odre ivanje etvrtog lana u odnosu razmjera izme u 4 veliine kada su nam poznate prve tri slui nam pravilo trojno. Trebamo razlikovati razmjere koji su direktno povezani i koji su obrnuto proporcionalni. 17

Evo i jednog primjera: Jedna pumpa bi napunila jedan bazen s vodom radei 6 sati neprestano. Za koliko bi napunila druga pumpa taj isti bazen s vodom ako je njen kapacitet duplo vei. Odmah moemo poslije kratkog razmiljanja rei da e druga pumpa napuniti bazen za 3 sata. Da bi to matematski objasnili koristiemo se ovom emom: Pumpa 1 Pumpa 2 = = 6 sati x sati

Vidimo da su ove veliine tj kapaciteti pumpe i vrijeme koje je potrebno da se bazen napuni obrnuto propocionalne te moemo pisati:

1

:

2

=

x

:

6 sati

1 i 2 smo uzeli za proporcije jer druga pumpa ima duplo vei kapacitet. Iz ove relacije izvo enjem dobijamo: 1 x 6 sati = 2x 2x =6 sati 6 x = ------------ = 3 sata 2 6.VERINO PRAVILO I ARBITRAA DEVIZA Verino pravilo nam objanjava verini raun. Verini raun je postupak pomou kojeg se pojednostavljuje rjeenje zadatka, u kojem je potrebno nai odnos izmedju dvije veliine koje su zadane ili povezane s nekim drugim veliinama.Za kupovinu i prodaju deviza,a u smislu zarade na razlici u kursevima (teajevima) koristimo verino pravilo. Opa ema verinog pravila izgleda ovako: X=Y Y1 = Z Z1 = X1 gdje je X nepoznata veliina ,aY je odnosna veliina,koja se uvijek daje u iznosu 100 jedinica ili 1 jedinicu. 18

Znai da poinjemo sa X i zavravamo sa X1 ,dok su Y i Z poznate veliine. Za izraunavanje X pomnoimo sve veliine sa desne strane i stavimo ih u brojnik ,a veliine Y1 i Z1 stavimo u nazivnike. Te je: Y x Z x X1 X = -------------Y1 x Z1 Raun deviza Deviza je svako potraivanje u stranoj valuti. Teaj ( kurs ) deviza je cijena koja se slubeno objavljuje i uz koju se kupuju i prodaju devize. Deviza za koju se teaj objavi kaemo da notira ili kotira. Postoje dva naina kotiranja: - izravno, kada se pokazuje koliko 100 jedinica strane valute vrijedi u domaoj valuti ( npr 100 Kn = 25 KM ). -posredno, pokazuje koliko se jedinica domae valute da za 1 jedinicu strane. ( npr. 1Euro = 1,955 KM) Ovim se najee izraava odnos amerikog dolara i engleske funte i sada Eura. Da bi nam ovo bilo jasnije posluit emo se jednim primjerom: Zadatak Na dan 28 maja odnos valuta je bio ovakav: U Sarajevu 1Euro = 1,955 KM 100 Kn = 26,45 KM U Zagrebu: 1Euro = 7,40Kn 100 KM=400 Kn Pitamo se gdje e poduzee prodati 2000 Eura, a gdje kupiti vodei se logikom minimuma i maksimuma. Gdje e manje platiti, a gdje e za veu svotu prodati pomenutu iznos da bi zaradio na razlici u kursevima. 19

Izrada: U Sarajevu: 1 Euro = 1,955 KM U Zagrebu: X KM I 1 Euro --------------------------------------1 Euro I 7,40 Kn 400 Kn I 100 KM 7,40 x 100 X = ---------------------- = 1,85 Eura 400 U Zagrebu je dakle 1 Euro = 1,85 KM Vidimo da je kursna razlika izmedju valuta u Zagrebu i Sarajevu u stvari 1,955/1,85 izraena u procentima 5,8 %, jer se u Sarajevu za jedan Euro dobije 1,955 KM, a u Zagrebu za taj isti Euro dobije svega 1,85 KM. To e poduzee prodati Eura u Sarajevu pa onda kupiti KM u Zagrebu i za dobijene marke kupiti Eura i ostvariti zaradu od 5,8 % i na 2000 Eura zaraditi 116,50 Eura. 6.1. Arbitraa robe Arbitraa robe je postupak u kojem se izraunava na kojem je tritu najpovoljnije kupiti, a na kojem prodati odre enu vrstu robe. Evo i jednog primjera: Koliko bi trebao da kota jedan CD u Slavonskom Brodu, ako je njegova cijena u Odaku 1 KM i ako je slubeni teaj u Zagrebakoj banci 100 Kn = 25 KM. Izrada X Kn = 1 CD 1CD = 1 KM 25 KM = 100 Kn 1x1x100 X Kn = ----------------- = 4 Kn 1x 25 Taj isti CD bi trebao da kota 4 Kn u Slavonskom brodu. 20

7.PROSTI KAMATNI RAUN Kao i procentni raun tako i kamatni raun polazi od osnovne relacije: G : K = 100 :k gdje su : G - Glavnica ili osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa se daje uvijek za godinu dana pa tako ako je neko uloio 100 KM u banku uz kamatnu stopu 5 % onda e on nakon godinu dana dobiti 5 KM na ime kamate. Zadatak 1. Neko je kod UPI banke uloio 250 KM na poetku 2004 godine uz godinju kamatnu stopu od 3 % .Koliko e on nakon godinu dana dobiti na ime kamate? Izrada: G = 250 k = 3% -----------K=? G : K = 100 : k Gxk K = ------------100

250 x 3 K = ----------- = 7,5 KM 100 On e na ime kamate dobiti 7,5 KM za jedniu godinu dana na iznos od 250 KM uz godinju kamatnu stopu od 3% . 7.1 UVEANA I UMANJENA GLAVNICA Kao i kod procentnog rauna tako i kod prostog kamatnog rauna imamo uveanu i umanjenu glavnicu te su osnovne relacije kod ovog rauna: ( G + K ) : K = ( 100 + k ) :k i za umanjenu: ( G - K ) : K = ( 100 - k ) : k 7.2. OBRAUN KAMATE ZA MJESECE Kao kod prostog kamatnog rauna za godinu dana polazi se od ove relacije uzimajui u obzir da godina ima 12 mjeseci. G : K = 1200 : ( k x m ) gdje je: G - glavnica ili osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa m - broj mjeseci u toku jedne godine 21

Evo i jednog primjera: Zadatak 1. Neko je oroio 500 KM na tri mjeseca u Poslovnoj banci uz 12 % godinje . Koliko e on dobiti na ime kamate? Izrada: G : K = 1200 : ( k x m ) 500: K = 1200: ( 12 x 3 ) 500 x 12 x 3 K = ------------------1200 500 x 3 K = ------------- = 15 KM 100 Zadatak smo mogli i drugaije uraditi,tj. da iznos od 12 % podijelimo sa 4 i dobili bi tako kamatnu stopu za 3 mjeseca.Tu stopu nazivamo preraunata kamatna stopa. K 12 k = ------ x 3 = ---- x 3 = 3 % 12 12

Pa bi relacija glasila: 500 : K = 100 : 3 500 x 3 K = ------------ = 15 KM 100 Vidimo da smo raunajui kamatu na bilo koji nain dobili isti rezultat. 7.3. OBRAUN KAMATE ZA DANE Kao i kod primjera izraunavanja kamate za mjesece tako se i kod izraunavanja kamate za dane polazi od osnovne relacije uzimajui da godina ima 365 dana. Neko pak uzima godinu u trajanju od 360 dana radi lakeg raunanja te e stoga ova relacija glasiti : 22

G : K = 360 : ( k x d) gdje je: G -osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa za godinu dana d - iznos dana za koji se rauna kamata

Primjer: Neko je uloio 600 KM uz godinju kamatnu stopu od 6 % na rok od 90 dana.Koliko e on dobiti na ime kamate? Uzet emo u ovom primjeru da godina ima 360 dana,te e osnovne relacije glasiti: G : K = 36000 : ( k x d ) 600 : K = 36000 : ( 6 x 90 ) 600 x 6 x 90 K = ---------------- = 9 KM 36000 Znai on e za 90 dana tednje na iznos od 600 KM uz 6 % godinje za 90 dana dobiti 9 KM na ime kamate. 7.4. TEDNI ULOZI ILI TEKUI RAUNI tedni ulozi su novana sredstva gra ana koje oni dre u bankama i na koje primaju kamate.Te kamate nisu velike, mada mogu biti instrument pomou koga banke privlae potencijalne tedie da deponuju novana sredstva kod njih primjenjujui vee kamatne stope na njihove uloge. Trebamo razlikovati: -oroene uloge (obino na 3 mjeseca i vie ) - tekue uloge ( a vista ) Kod prvih se komintenti banke dogovore o oroenju uloga na odre eni rok dok kod drugog komintent moe uloiti i podii svoja novana sredstva uvijek kada to on hoe. Poslije ovog rata ljudi nerado deponuju novac u bankama, jer imaju nepovjerenje u banke te se s toga i drava pojavila kao garant da e se svakom depozit kod banke od 7.500 KM biti isplaen ukoliko ga on deponuje u banci i eli da ga ponovo podigne. Iznos ovog depozita je prije bio 5.000 KM. 23

Evo i jednog primjera: Na tednoj knjiici kod jednog komitenta su se desile slijedee promjene: DATUM 31.12 2004 god 31.03 2005 god 31.06. 2005 god 01.07. 2005 god 31.12.2005 god ISPLATA 200 KM 300 KM 600 KM 500 KM 1.600 KM UPLATA 1.000 KM STANJE 1.000 KM 800 KM 500 KM 1.000 KM 1.100

Izraunajmo pripadajuu kamatu koja e biti upisana u tednu knjiicu na dan 31.12. 2005.god. na ovaj tekui raun. Kamatna stopa je 4 %.

UPLATA (G) 1. 2. 3. 4.

BROJ DANA DO 31.12.

KAMATA +40 KM - 6 - 6 KM +12 KM

1.000 KM 360 200 KM 270 300 KM 180 600 KM 180 -------------------------------

40 KM Po ovom stanju zakljuujemo da je neko dobio na ime kamate iznos od 40 KM za godinu dana. 8. RAUN EFEKATA 8.1. POJAM EFEKATA Efekti su vrijednosni papiri koji glase na dugorono uloena novana sredstva i koji vlasniku donose stalni ili promjenjivi prihod u obliku kamata ili u obliku dividende.Zato se efekti kao vrijednosni papiri dijele u dvije osnovne skupine: - efekti koji donose kamate ( obveznice ili obligacije, rente zadunice i zalonice - efekti koji donose dividendu ( dionice ili akcije ) Javne efekte izdaje drava, kanton ili grad, odnosno optina, dok privatne efekte izdaje banka ili tedionica, industrijska ili trgovaka preduzea. 24

Efekti mogu biti izdati u razliitim apoenima. Iznos na njima se naziva nominalna vrijednost efekta, a teajna vrijednost je vrijednost po kome se taj efekat u datom momentu kupuje ili prodaje. Za efekte koji su ponu eni na berzi kaemo da notiraju. Oni notiraju na dva naina: - u postocima od nominalne vrijednosti - po komadu Kod rauna efekata mjeseci se raunaju po 30 dana s time da prvi dan ulazi u obraunsko razdoblje. Oni se na berzama kupuju i prodaju posredstvom meetara.

8.2. RAUNANJE SA EFEKTIMA Rekli smo ve neto o nominalnoj i teajnoj vrijednosti efekata. Da bi nam raunanje s efektima bilo jasnije posluit emo se jednim primjerom: Kolika je teajna vrijednost zajma od 3500 KM, ako je teaj 83. NV x t 3500 x 83 T=--------------------= --------------------= 2905 100 100

NV- nominalna vrijednost T-teajna vrijednost t- teaj Teajna vrijednost ovog zajma je dakle 2905. Meetarina se rauna od teajne vrijedniosti uveane za kamate i pri kupovini se dodaje, a pri prodaji se oduzima. ema za obraun : Teajna vrijednost -------------------------------------------------+ kamata meetarina + trokovi ---------------------------------------------------------------------------Vrijednost ------------------------------------------------25

Primjer Kolika je vrijednost 50.000 KM 3%-tnih obveznica prodatih 18.05. po 76,40? Kamate dospijevaju 01.01 i 01.07. Meetarina je 0,5 promila. Teajna vrijednost je 50.000 x 76,40 T = ------------------------- = 38.200 KM 100

Lako emo izraunati iznos kamate za 138 dana. K= 575 KM T + K = 38.200 + 575 = 38.775 KM Iznos meetarine je: M=19,40 KM Tako da bi ema izgledala ovako: Obraun prodaje 18.05. 50.000 KM a 76,40 + kamata 3%/138 dana - meetarina/ 5 promila vrijednost = 38.200,00 KM = 575,00 KM 38.775,00 KM 19,40 KM 38.755,60 KM

8.3.RENTABILNOST EFEKTA Rentabilnost efekta se moe izraunati samo kod onih vrijednosnih papira koji imaju stalne kamate. Rentabilnost se izraunava pomou ovih formula: - za dionice D x 100 R = ---------------T gdje su: R-rentabilnost efekta D - dividenda T - teaj 26

- za efekte s kamatama NV x 100 R = ---------------------T gdje su: NV - nominalna vrijednost T - teaj

Gledajui ove formule doli smo do opte formule za izraunavanje rentabilnosti efekta:

K x 100 R = -------------------T gdje je: K- kamata koju donosi teaj Primjer: Nominalna vrijednost dionice je 1000 KM i donosi dividendu od 5%. Kolika je rentabilnost te dionice ako je njen teaj 750. Izrada: 1000 x 5 D = -------------------= 50 100 50 x 100 R = --------------------= 6.67% 750 Do istog rezultata mogli smo doi koristei verino pravilo. R = 1000 KM 750KM = 5% 1000 x 5 R = ------------------ = 6,67% 750 Rentabilnost efekta R je dakle 6,67 %. 27

8.4. LOMBARDNI RAUN Zajam moemo dobiti na osnovu lako unovivog pokretnog zaloga koji zovemo lombardom, a poslovanje s njim lombardni raun. Ti lako unovivi predmeti mogu biti : plemeniti metali (zlato, srebro, platina, ) , trgovaka roba, mjenice i sl. Osnova za utvr ivanje iznosa lombardnog zajma je vrijednost zaloenih lombardnih predmeta. Kao kreditna baza se uzima teajna vrijednost efekta gdje se odobrava obino od 40% do 95% njihove teajne vrijednosti. Za plemenite metale taj je procenat mnogo vei dok je za pokvarivu robu on manji. Lombardnim poslovanjem se bave obino javna skladita jer se ova roba uzima na uvanje. Obino je to: ito, eer, kava itd . Na ove artikle se dobija zajam od oko 60% vrijednosti robe, dok se na zlato dobija zajam i do 90% vrijednosti robe. ema za obradu lombardnog zajma izgleda ovako: Nominalna vrijednost --------------------------------------- lombard --------------------------------------= lombardna vrijednost --------------------------------------- kamata ---------------------------------------( trokovi + provizija ) --------------------------------------za isplatu Primjer: Neko je elio da zaloi zlatni nakit teine 500 grama uz obavezu da e lombardni zajam vratiti u roku od 3 mjeseca. Cijena zlata na tritu je tada bila 5 KM/gr, a kamatna stopa u banci 12%.Stopa lombarda je 90%. Koliko e on dobiti od banke ukoliko mu ona odobri lombardni zajam. Nominalna vrijednost 500grx5 KM/gr - lombard 10% lombardna vrijednost -kamata za 3 mjeseca/12 % - trokovi i provizija za isplatu = 2.000 KM 200 KM 1.800 KM 54 KM 6 KM 1.740 KM

Znai banka bi mu mogla dati zajam od 1740 KM i ako se klijent ne pojavi u toku 3 mjeseca i ne vrati zajam od 1.800 KM banka moe prodati njegov zlatni nakit i tako izmiriti njegovo dugovanje.

28

8.5. Raun zlata i srebra Zlato i srebro su plemeniti metali koji se daju legirati s drugim metalima ( obino bakrom i niklom ), pa ine onda legure. istog zlata skoro nigdje nema. Zbog toga to je on jako rijedak elemenat koji se moe nai u prirodi i zbog svojih prirodnih svojstava sluio je prije kao novac te su od njega pravljeni zlatnici, a i kao rezerve banaka tako deponovan u zlatnim ipkama u Narodnim bankama svake zemlje kao novana podloga. to ga je banka vie imala mogla je da emituje vie novca u opticaj. Nakon krize u svijetu 70-ih godina prolog stoljea kao podloga za rezerve ga je zamjenio iznos deviznih rezervi.Omjer izme u teine iste kovine i legure naziva se finoa. Finoa zlata moe se izraziti: a) promilno b) engleskim nainom u karatima Kao stoprocentno zlato je uzeto da je to u stvari zlato istoe 24 karata. Mnogo puta smo uli da je istoa zlata 14 karata.Izraunaemo onda kolika je ta istoa izraena promilno. Zadatak emo raditi upotrebom pravila trojnog. Izrada: 1000 promila X promila 14 x 1000 X = ----------------------24 X = 583,33 promila. Znai da 14 karatnoom zlatu odgovara istoa od 583,33. Ako ste ikada vidjeli ig na burmama i prstenju i broj 585 znajte onda da je to 14 karatno zlato. 24 karata 14 karata

29

9.ESKONTOVANJE HARTIJA OD VRIJEDNOSTI 9.1.Pojam eskonta ili diskonta U privrednom poslovanju svako je dugovanje i potraivanje vezano za kamate. S obzirom na dospijee, tj rok plaanja,u platnom prometu mogua su ova tri sluaja: a) dunik podmiruje svoju obavezu na dan dospijea po ugovoru. Iznos koji on tada plaa zove se nominalni iznos. b) dunik podmiruje obavezu prije dospijea. Ona tada plaa iznos po ugovoru umanjen za kamatu ( diskont ). Kamate koje se oduzimaju od nominalnog iznosa zovemo eskontovanje ili diskontovanje. To proizilazi iz same injenice da " imati novac u rukama danas, puno vie vrijedi nego imati ga " sutra". Zato se vri eskontiranje nominalne vrijednosti neke hartije od vrijednosti ( npr. mjenice ), za iznos kamate. Kao to smo rekli ta kamata se oduzima od nominalne vrijednosti. Diskontni raun je dakle raun izraunavanja sadanje vrijednosti novanog iznosa kad plaanje vrimo prije ugovorenog roka.

ema kalkulacije izgleda ovako: Nominalna vrijednost - diskont diskontovana vrijednost ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9.2. Postupci diskontovanja 1. Trgovaki diskont Trgovaki diskon se najvie upotrebljava u poslovanju s novcem i hartijama od vrijednosti. Kod njega nominalna vrijednost uzima kao ist iznos glavnice ( G ). Primjer Kolika je nominalna vrijednost mjenice izdate 01.01.2005,ako je njena diskontovana vrijednost 1410 KM, a njen rok dospijea 30.60. 2005.god. Diskontna stopa je 12%. 30

Izrada: Nominalna vrijednost - diskont 180dana/12% diskontovana vrijednost 1410 1% = --------------- =15 94% Ako je 1% = 15 KM onda je 100% = 1500 KM te je nominalna vrijednost ove mjenice 1.500 KM. b) Slubeni diskont Kod slubenog diskonta se nominalna vrijednost uzima kao uveana glavnica ( G + K ). Potsjetimo se zadataka iz kamatnog rauna gdje smo obra ivali uveanu i umanjenu glavnicu. Diskontovati neke mjenice znai umanjiti njenu nominalnu vrijednost za iznos kamate od roka kada se ona plaa do roka dospijea i oduzeti od njenog nominalnog iznosa kamatu za te dane. Broj dana u godini se moe uzeti kao 360 ili 365. Obino se uzima 360 dana radi lakeg izraunavanja. Rok plaanja mjenice U praksi se moe desiti sluaj da je istekao rok plaanja mjenice. Ukoliko ne do e do podmirenja obaveze toga dana banka bi trebala prolongirati potraivanje. Prolongirati ili produziti rok plaanja zove se reeskont. Terminski rok plaanja je sluaj kada se sve vrijednosti na mjenici svode na zajedniki rok plaanja. Taj datum se oznaava kao srednji rok plaanja. Taj rok mi uzimamo proizvoljno i nazivamo ga epoha. U izraunavanju srednjeg dospjea (epohe ) mogua su 4 sluaja: 1.) iznosi ( glavnice) razliite i kamatne stope razliite. raunamo ga po formuli: G 1 k 1 d 1 + G 2 k 2 d 2 + ... + G n k n d n dx = -----------------------------------------------------------G 1 k 1 + G 2 k 2 +............+ G n Gdje su: G - glavnica ili osnovna suma k - kamatna stopa d- broj dana za koji se racuna kamata ili interes 31 100% 6 94 %

2) drugi sluaj: iznosi jednaki i kamatne stope jednake G 1 d 1 + G 2 d 2 +.......+ G n d n dx = ----------------------------------------------G 1 + G 2 +......+ G n 3. Trei sluaj Iznosi jednaki i kamatne stope razlite: k 1 d 1 +k 2 d 2 +...........+ k n d n dx = --------------------------------------------k 1 +k 2 +.......+k n 4. Iznosi jednaki i kamatne stope jednake d 1 +d 2 +................+ d n dx = ----------------------------------------n Primjer: Izdate su etiri mjenice: 50.000 KM 50.000 KM 50.000 KM 50.000 KM dospijeva za 40 dana dospijeva za 50 dana dospijeva za 60 dana dospijeva za 70 dana

Ove etiri mjenice moramo zamjeniti novom mjenicom. Kamatna stopa za sve etiri mjenice je jednaka. Koji je srednji rok plaanja? Vidimo da se primjenjuje formula pod 4. jer su jednaki iznosi i jednake kamatne stope te je srdnji rok jednak: 40 + 50 + 60 + 70 dx = ----------------------------- = 55 dana 4

32

10. ZAPADNO I ISTONO BANKARSTVO 10.1. Organizacija privrednih drutava Uvod: U socijalistikoj privredi koja je vladala kod nas sve do samog rata 1992-e godine prolog stoljea poznavali smo Osnovne organizacije udruenog rada (OOUR), Radne organizacije ( RO) i Sloene organizacije udruenog rada ( SOUR), kao oblik organizovanja radnika i kao privredne subjekte. Privatizacijom koja je poela jo krajem 80-ih godina prolog vijeka Zakon o udruenom radu ( ZUR) je zamjenjen novim Zakonom o poduzeima, koji je predvidio novi oblik organizovanja poduzea u BiH. Tako da je sada kod nas najpoznatiji: D.j.o. drutvo jednog lica kao to mu sam naziv kae je poduzee koje je osnovalo i registrovalo jedno lice kod suda i ono njime upravlja. D.o.o. - drutvo sa ogranienom odgovornou, Poznato kao oblik poduzea koji osnivaju dva ili vie lica kao oblik okrupnjavanja kapitala. Ako ste ikada vidjeli negdje GMBH onda znajte da se radi o njemakoj skraenici za ova drutva. Vlasnici poduzea odgovaraju za eventualne poslovne promaaje iznosom uloga koji je registrovan u sudski registar. Taj ulog moe biti: u stvarima , novcu ili pravima. 10.2.DIONIARSKO ILI AKCIONARSKO DRUTVO Kada neka banka eli da pokrene neko poduzee ona emituje akcije ili dionice kako bi sakupila kapital za pokretanje tog poduzea. Ove certifikate koje smo mi dobijali i koje smo prodavali ili ulagali u fond mogli smo smatrati prvim vrijednosnicama koje su se pojavile kod nas. Trebamo razlikovati nominalnu vrijednost dionica i njenu stvarnu vrijednost na tritu. Njena stvarna vrijednost zavisi od ponude i potranje za tim dionicama i formira se na burzi vrijednosnih papira. Poznato je da je nedavno otvorena i burza vrijednosnih papira u Sarajevu. Akcionarska ili dioniarska drutva imaju Skuptinu drutva koja se sastaje svake godine i raspravlja o poslovnoj strategiji drutva te utvrdjuje koliki je bio dobitak drutva tj dividenda. Dividenda je znai poslovni rezultat poduyea koji se rauna na uloeni kapital u dioniko drutvo. Primjer: Ako je u preduzee uloeno 1.000.000 KM i ako je njegova dobit na kraju godine bila 200.000 KM to bi znailo da je dividenda bila 20% pozitivna na uloeni kapital. Ta dividenda se tada dijeli na akcionare srazmjerno ueu kapitala u tom drutvu.

33

Jo da kaemo da onaj koji kontrolie paket akcija u akcionarskom drutvu ima veu mo odluivanja u poslovanju akcionarskog poduzea i vei broj glasova prilikom glasanja o nekim prijedlozima na Skuptini akcionarskog preduzea.

10.3. IZRAUNAVANJE DIVIDENDE Primjer: UPI banka je za pokretanje tvornice papira u Maglaju emitirala dionice nominalne vrijednosti 1.000 KM. Ukupan broj dionica je 2000. Banka je uspjela da rasproda sve dionice i tako skupila 2.000.000 KM za pokretanje fabrike papira. Poslije godinu dana ona je ostvarila pozitivan finansijski rezultat od 100.000 KM. Kolika je bila dividenda na svaku akciju ili dionicu? 100.000 D = (--------------------)x100=5% 2.000.000 Znai da e svaki vlasnik dionice dobiti 5% u novcu kada se bude vrila raspodjela dobiti u akcionarskom preduzeu. To bi znailo ako jedan ovjek raspolae sa paketom od 10 dionica nominalne vrijednosti od 1000 KM da e on dobiti. 5 1.000 x 10 x --------- = 500 KM 100 On e dobiti 500 KM na ime dividende ovog dioniarskog drutva. 10.4. ZAPADNO I ISTONO (ISLAMSKO ) BANKARSTVO

Da bismo objasnili razliku izme u zapadnog i islamskog bankarstva morali smo da objasnimo strukturu poslovnih drutava s posebnim osvrtom na akcionarska drutva i dividende kao zarade nekog preduzea. Poto je u islamskim zemljama kamata zabranjena to je u svijetu poznato islamsko bankarstvo koje funkcionira upravo ovako kao to smo objasnili kod akcionarskih drutava. Jer ako neko ima interesa da ulae u BiH iz islamskih zemalja i eli da mu se vrati uloeni kapital on nee traiti kamatu, ali e otkupiti dio preduzea i trait e dio zarade na kraju svake godine kao neki oblik dividende. Utoliko se razlikuje zapadno bankarstvo i istono kao dva razliita modela poslovanja banaka. 34

FINANCIJSKA MATEMATIKA

35

36

PROSTI I SLOENI KAMATNI RAUN 1.PROSTI KAMATNI RAUN Da bi shvatili sloeni kamatni raun mi se moramo potsjetiti prije svega procentnog rauna i prostog kamatnog rauna. Sjetimo se da procentni raun kree od relacije: G:P=100: p gdje je: G-glavnica P-Procenntna suma p- procentna stopa uvijek data u procentima (%). Evo ponovo istih primjera: Na ekonomskom fakultetu u Sarajevu upisano je u prvu godinu 200 studenata. Njih 50 je prolo u drugu godinu studija. Koliko je studenata procentualno prolo u prvu godinu? Dakle rekli smo da je: G:P=100:p Iz ove relacije izvodimo: Px100 Gxp P x 100 G=-----------; P=------------; p=--------------p 100 G U naem primjeru: 50x100 p=-------------= 25% 200 Dakle njih 25% je prolo u drugu godinu. Da se potsjetimo i toga da je procentni raun identian prostom kamatnom raunu ukoliko se kamata obraunava za godinu dana. Tako da je: G:K=100: k G-osnovna suma K - iznos kamate k-kamatna stopa 37

Evo i jednog primjera: Neko je kod UPI banke uloio 250 KM na poetku 2004-e godine. Koliko e on dobiti na ime kamate uz kamatnu stopu od 3% : Gxk 250x3 K= ------------= ---------------= 7,50 KM 100 100 Znai da e on dobiti na ime kamate 7,50 KM. Jo ega se moramo potsjetiti iz prostog kamatnog rauna su zadaci sa uveanom i umanjenom glavnicom, a posebno obrauna kamata za mjesece. I ovdje se polazi od relacije: G:K= 1200: ( kxm), gdje je: m- broj mjeseci za koje se vri ukamaivanje. Zadatak: Neko je oroio 500 KM na tri mjeseca uz 12% godinje.Koliko ce on dobiti na ime kamate za ta tri mjeseca? 500 x 12 x3 K =------------------= 15 KM 1200 Znai on ce dobiti na ime kamate za tri mjeseca iznos od 15,00 KM. Ukratko smo se potsjetili prostog kamatnog rauna.

2.SLOENI KAMATNI RAUN Do sada smo u privrednoj matematici izuavali zadatke prostog kamatnog rauna koji nam se mogu postaviti u praksi tj. one zadatke za izraunavanje kamata u toku jedne godine, nekoliko mjeseci ili dana. Sada cemo izuavati uloge, rente i anuitete , te kako se oni izraunavaju za vie godina. Vidjet ete da postoje razliiti modeli ovih pomenutih veliina, a da bi najbolje shvatili ove raune trebamo se potsjetiti iz ope matematike zadataka iz geometrijskih nizova i geometrijske sredine. Ako to dobro savladamo onda nee biti tekoa da shvatimo i obraun zajma u uslovima inflacije , model koji sam ponudio ukoliko se inflacija desi u bilo kojoj zemlji u svijetu. 38

3. JEDAN ULOG UKAMAIVAN VIE GODINA Da bi shvatili ovaj kamatni raun posluit emo se odmah primjerom iz prakse. Predpostavimo da je neko uloio 1000 KM na poetku jedne godine. On e taj ulog drati u banci 5 godina i banka e mu svake godine zaraunati 5% kamate. Koliko e biti stanje na raunu nakon tih 5 godina.

ematski to izglada ovako 1000 K=? ------------------------------------------------0 1 2 3 4 5

god

Izrada u=1000 n=5; broj obraunskih perioda, godina k=5%, kamatna stopa za godinu dana ----------------K=? Ako bi neko uloio 1KM na poetku jedne godine, on bi uz 5% godinje imao: 1,05 KM 1,05x1,05 = 1,05 1,05x1,05x...1,05 = 1,05 n2

na kraju prve godine na kraju druge godine itd. nakon n godina

Zato moramo izraunavati ovaj faktor ukamaenja r. On se izraunava na slijedei nain. k r=(1+------); gdje je k- kamatna stopa za godinu dana 100 K= u x r n K-ulog + kamata za n godina r -faktor ukamaenja za jednu godinu, n- broj godina Faktor ukamaenja r nam pokazuje koliko je stanje na raunu u jednoj banci nakon godinu dana za jednu jedinicu novca. U naem primjeru on je 1,05. To znai da 1 KM uz 5% godinje, nakon godinu dana e narasti na 1,05 KM. 39

Stoga nae K izraunavamo ovako: K=1000 x 1,05 5 = 1276,30 KM Vidimo da bi neko na ime kamate dobio 276,30 KM ako bi uloio 1000 KM uz 5% godinje u trajanju od 5 godina. Primjer 2. Stanarine u 1999-oj godini su iznosile 150 KM za odre ene stanove. Kolike e one biti u 2002-oj godini ako su iste rasle po 4 % godinje? ema: 1999 2000 2001 2002 I-------------------------------I 150 KM; 4% K=150 x 1,04 3 = 168,70 KM Ovo znai da e stanarine u 2002-oj godini iznositi 168,70 KM. U tablicama, na kraju knjige, moete nai vrijednosti r za trideset perioda i odre ene vrijednosti k tako da moemo pisati da je: k r = (1+ ------ ) 100 n n r = I - prve tablice k 4. JEDNA RENTA UKAMAIVANA VIE GODINA Ako je neko uloio u banku jedan iznos i eli da mu se on isplati nakon nekoliko godina priamo o jednoj renti. Da bi bolje shvatili ovaj zadatak posluit emo se jednim primjerom iz prakse. Zadatak 1. Neko je jedan iznos K uloio uz 5% godinje i eli da nakon 5 godina dobije 1000 KM na ime kamate i otplate. Koji iznos on mora uloiti? 40

ema K=? 5% R=1000 KM ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 5 1 K=R x (---------) rn n K= R x II k n 1 II = ------k rn Lako emo izraunati vrijednost rente (R). 1 K = 1000 x (-----------) rn 1 K= 1000 x ------------ = 783,50 KM 1,27628 On e znai danas uloiti 783,50 KM da bi nakon 5 godina uz kamatnu stopu 5% dobio 1000 KM. - Vidimo da su druge tablice jednake recipronoj vrijednosti prvih tablica

41

5. KOMFORNA KAMATNA STOPA Komforna kamatna stopa se moe definisati ovako: Komforna kamatna stopa je stopa ijom primjenom dobijamo isto onoliko kamate uz rje i obraun koliko dobijemo primjenom godinje kamatne stope uz godinji obraun. To znai da emo njenom primjenom uz kvartalni obraun,etiri puta ukamaivati neki ulog i da e nam ona dati isto onoliko kamate koliko i godinja kamatna stopa za godinu dana. Ako je godinja kamatna stopa k=10% onda e po formuli komforna kamatna stopa (c) biti: c= ( m r - 1) x 100 c=( 4 1,1 -1) x 100 c= 2,411369% Ako neko uloi 100 KM na poetku godine on e uz 10% godinje na raunu imati 110 KM. Stanje po kvartalima uz upotrebu komforne kamatne stope bi bilo ovako: 100 102,40 104,90 107,40 110 -------------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 Iz ove eme vidimo da upotrebom ove komforne kamatne stope uz ei obraun dobijemo isto onoliko kamate ako bi upotrijebili godinju kamatnu stopu i godinji obraun kamate. 6. INTERKALARNA KAMATNA STOPA Interkalarna kamatna stopa se primjenjuje u sluaju obrauna zajmova ukoliko se njihova otplata odga a za neki period, npr. tri ili est mjeseci, godinu, a nekada i dvije godine. Primjenjuje se tako to se njenom upotrebom izraunava kamata na zajam i dopisuje zajmu pa se onda na taj iznos izraunava visina anuiteta. Nekada se u praksi ova kamata na tzv. Grace period isplauje odmah upotrebom interkalarne kamatne stope, a anuiteti na zajam po njihovom prispjeu. Da bi ovo bilo jasnije uzet emo da je odobren zajam od 5.000 KM zu kamatnu stopu od 10% i da je Grace period na zajam est mjeseci. Izraunali bi da je interkalarna kamata na zajam 250 KM za est mjeseci ( interkalarna kamatna stopa u ovom sluaju jednaka preraunatoj stopi od 5%) i ovaj bi iznos isplatili odmah banci ili bi ovaj iznos dopisali iznosu duga koji sada iznosi (5.000 + 250 ) tj. 5.250 KM. 7. JEDNAKI GODINJI ULOZI ematski obraun jednakih godinjih uloga moemo prikazati ovako: u u u u ..........u K -------------------------------------------------0 k%1 2 3 n-1 n I I I I I---------I I I I------------------I I I---------------------------I I------------------------------------I---------------------------------------------42

Vidimo da se ovi jednaki godinji ulozi ulazu anticipativno (na poetku svake godine) i da se njihova vrijednost moe izraunati nakon n godina po ovoj formuli:

K= u x r n + u x r

( n 1)

+uxr

( n 2)

+ ......+ u x r 2 + u x r

Da ne bi raunali ovoliko korak po korak izvedena je formula po kojoj je: r (r n - 1 ) K = u ---------------------( r - 1) U prilogu u finansijskim tablicama ete vidjeti vrijednosti treih tablica koji su izraunati za jedinine vrijednosti K za nekoliko perioda i uz nekoliko vrijednosti kamatnih stopa. Ako se radi o dekurzivnim ulozima onda se oni izraunavaju uz pomo ove formule: (r n - 1) K = u -----------(r-1) Zadatak: Neko je odluio da na poetku svake godine ulae u banku po 500 KM uz 6% godinje. Koliko e on dobiti ako je ulaganje vreno u toku 7 godina. ematski to izgleda ovako u u u u u u u K=? --------------------------------------------------------------------0 6% 1 2 3 4 5 6 7 1,06 ( 1,06 7 - 1) 7 K= 500 ------------------------- = 500 III ( 1,06 - 1 ) 6 K= 4448,73 KM Ovaj rezultat bi dobili i da smo ukamaivali jedan po jedan ulog na ovaj nain. K= 500 x r 7 + 500 x r 6 + ... + 500 x r = 4448,73 KM 43

k Da se posjetimo ( r= 1+ ------). 100 6 U ovom primjeru r = (1+ -----------)= 1,06. 100 Ako bi se ulaganje vrilo na kraju svake godine onda bi to ematski izgledalo ovako. K=? 500 500 500 500 500 500 500 ---------------------------------------------------------------------0 6% 1 2 3 4 5 6 7 Matematski ovaj zadatak rjeavamo uz pomo ove formule. (r n - 1) K= u ---------------(r-1) (1,06 7 - 1) K= 500 ------------------ = 4196,90 ( 1,06 - 1 ) Vidimo da je ovaj iznos K manji nego u sluaju kod anticipativnih uloga. To je iz razloga to se ovdje radi o dekurzivnim ulozima i to se svaki ulog ukamauje manje godinu dana nego u prolom primjeru te je stoga on manji za iznos kamate na uloge za tu godinu. 8.1.ULOZI RASTU PO ARITMETIKOJ PROGRESIJI Pretpostavimo da elimo da ulaemo u banku 3 godine na poetku svake godine poveavajui uloge svake godine za 100 KM. Prvi ulog u 1 iznosi 500 KM. Kamatna stopa je 6 % svake godine.Pitamo se koliko e biti stanje na naem raunu po isteku tree godine. ematski prikaz: 500 k=6% 500+100 500+200 K= ? ---------------------------------------------------------------------------------------0 1 2 K= 500 x 1,06 3 + 600 x 1,06 442

+ 700 x 1,06 = 2011,67 KM

To smo mogli izraunati i primjenom formule: r (r n -1) 100d r(r n -1) K= u 1 --------------- +/- ----------- ( ---------------- - nr ) (r-1) k (r-1) gdje je d- apsolutno poveanje ili smanjenje svakog narednog uloga 8.2.ULOZI RASTU PO GEOMETRIJSKOJ PROGRESIJI Ako elimo da nam ulozi rastu ili opadaju za odre eni procenat onda govorimo o ulozima koji rastu ili opadaju za odre eni procenat. ematski prikaz: u 1 q u 1 q 2 .................... u 1 q ( n 1) K=? u1 ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 .................. (n-1) n Za izraunavanje stanja na raunu koristimo se ovom formulom: r ( rn - qn ) K = u 1 -------------------(r-q) Pretpostavimo sada da nam je kamatna stopa 6%, a da ulozi rastu za 10% svake godine, u toku 3 godine i da prvi ulog u 1 iznosi 200 KM. Izrada: t- stopa poveanja slijedeeg uloga u nizu t 10 q = ( 1+ ----------)= (1 + ----------)= 1,10 100 100 r = 1,06 n= 3 u 1 = 200 -------------------------------------------K=? 45

Iz gornje formule emo izraunati. 1,06 ( 1,06 3 - 1,10 3 ) K= 200 ---------------------------------= 741,90 (1,06 - 1,10)

U sluaju dekurzivnih uloga primjenjuje se ova formula. Rije je dakle o ulozima koji se uplauju na kraju obraunskog perioda, a mijenjaju se po geometrijskoj progresiji.

( rn - qn ) K = u 1 ----------------------(r-q) U sluaju da je r = q nije mogue dobiti rezultat na ovaj nain jer bi trebalo dijeliti nulu s nulom te se u tom sluaju stanje na raunu K dobija po ovoj formuli: K= u 1 x n 9. JEDNAKI MJESENI ULOZI, ANTICIPATIVNI Poto svaka banka vri obraun kamata jednom u godini a mnoga se plaanja vre mjeseno traio se model obrauna kamata na mjesene uloge. Ovi zadaci se mogu rijeiti na dva naina i to: -kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna -primjenom komforne kamatne stope Predpostavimo da tedimo na ime svog djeteta po 50 KM mjeseno i da je godinja kamatna stopa na tednju 5%. tediti emo na ovaj nain 2 godine. ema: u u u u u u ........................................................... u u ---------------------------------------------------------------------------- K=? 0 1 2 I I I--------------------------------------------------------------------------46

Izrada: -prvo emo postaviti formulu za izraunavanje naeg K kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna. (m + 1 ) x k K = u ( m + ----------------- ) x 200 (r n - 1 ) ------------------(r-1)

gdje je m u stvari broj mjeseci u godini; m= 12 ( 12 + 1 ) x 5 ( 1,05 n - 1 ) K = 50 ( 12+ -----------------------) x -------------------- = 1263,30 200 ( 1,05 - 1 )

- ovaj zadatak se mogao uraditi i primjenom komforne kamatne stope za jedan mjesec r c = 1,004nm r c ( r c -1 ) K = u x ---------------------------( rc - 1 )

1,004 ( 1,004 24 - 1) K = 50 x ---------------------------- = 1263,10 ( 1,004 - 1 ) 10. JEDNAKI MJESENI ULOZI, DEKURZIVNI Uzet emo sada jedan primjer iz prakse. Ako neko eli da osigura novano svoje dijete staro tri godine on moe da ulae svaki mjesec neki mali iznos na njegovu tednu knjiicu s time da rauna, kada to dijete postane punoljetno da ima novac na raspolaganju za studij , vjenanje i sl. Zato esto roditelji u razvijenom svijetu uplauju po 50 KM mjeseno, u trajanju i po 15 godina da bi to svoje dijete obezbijedili kasnije. Vidjet ete da oni na svome raunu tada imaju popriline svote novca. Uzet emo da je kamatna stopa na ove tedne uloge 5% godinje.Koliko ja stanje na raunu poslije 15 godina ako su se uplate na raun vrile dekurzivnim mjesenim ulozima od po 50 KM. 47

Izrada: - kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna (m-1)xk ( rn - 1 ) K = u x ( m + -----------------) x ------------------200 (r-1) 11x5 (1,05 5 - 1) K = 50 x ( 12 + --------------- ) x ---------------------200 ( 1,05 - 1 ) K = 13.243,80 KM

- upotrebom komforne kamatne stope rc =12

r

( r 180 - 1 ) c K = 50 x -------------------- = 13 241,20 ( rc - 1 ) Vidimo da postoje male razlike u ovim rezultatima tako da se oba naina izraunavanja mjesenih uloga mogu smatrati korektnim.

11. JEDNAKI ULOZI UKAMAIVANI EE OD PERIODA ULAGANJA Posluit emo se konkretnim primjerom kada imamo dvogodinje uloge, a period obrauna je godina dana. Godinja kamatna stopa je 5%, a iznos uloga je 100 KM. 48

Izrada: Prvo to emo uraditi je preraunati faktor ukamaenja za dvije godine. Njega emo oznaiti sa r 2 . k 2 = ((1,05 2 ) - 1 ) x 100 = 10,25%. Ova stopa je sada vaea za dvije godine umjesto stope od 5% kojom vrimo obraun za godinu dana.

k2 r 2 = (1+ ---------- ) 100 ema: 100 KM 100KM K=? ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 -anticipativno r 2 (r 2 - 1 ) 2 2 K = 100 x ------------------------= 231,80 KM (r 2 - 1) - dekurzivno K= 100 x 1,05 2 + 100 = 210,25 KM RENTE 12. JEDNAKE GODINJE RENTE Ako neko uloi jedan iznos u banku i eli da mu se u narednom periodu isplauju jednaki iznosi onda govorimo o jednakim rentama.Za izraunavanje ovih renti posluit e nam ovi modeli obrauna koji su slini modelima uloga. Kada smo obra ivali probleme jednog uloga i pominjali vrijednosti prvih tablica, rekli smo da su druge tablice u stvari reciprona vrijednost prvih tablica. Tako da su rente u neku ruku diskontovana vrijednost uloga. Ovo to je reeno bie vam malo jasnije kada uradite koji zadatak i kada to prikaete sebi na emi za obraun renti. 49

Opa ema za rente izgleda ovako: K R R R....... R R R ----------------------------------------------------------0 1 2 3 4 ... n ----------I -------------------I -----------------------------I --------------------------------------I ----------------------------------------------------------I Vidimo da je K (ulog) u ovom sluaju jednak zbiru diskontovanih renti u nultom trenutku, tako da moemo pisati. a) za anticipativne godinje rente r (r n - 1 ) K = R x ------------------r n ( r-1) b) za dekurzivne godinje rente (r n - 1 ) K= R x -----------------r n ( r-1 ) Zadatak 1. Neko je uloio iznos od 10.000 KM u banku i eli da mu se to isplati u obliku renti u toku 6 godina uz godinju kamatnu stopu 10% na poetku svake godine. Izrada: K= 10.000 KM k= 10% n= 6 godina -----------------R=? 1,10 ( 1,10 6 - 1) K= R x -------------------------1,10 6 ( 1,10 - 1 ) R= 2.087,30 KM 50

Vidimo da e ta osoba koja uplati 10.000 KM u neku banku uz 10% kamate dobijati iduih 6 godina na poetku svake godine iznos od 2.087,30 KM. Uzmimo sada ovaj prethodni zadatak i pomatrajmo ga tako pitajui se ta bi se desilo ako bi rente isplaivali dekurzivno. Neko je uloio 10.000 KM i eli da mu se rente (R) isplauju dekurzivno u narednih 6 godina (n), na kraju svake godine uz godinju kamatnu stopu (k) od 10 %. ema: 10.000 R R R R R R ----------------------------------------------------------0k=6%1 2 3 4 5 6 (1,10 6 - 1 ) 6 10.000 = R x -------------------------- = R x IV 1,10 6 (1,10-1 ) 10 R = 2296,10 Povjeriocu ove banke e dakle biti isplaeno 6 jednakih godinjih dekurzivnih renti u iznosu od 2296,10 KM. Vidimo da se ovdje koriste IV tablice 13. RENTE RASTU PO ARITMETIKOJ PROGRESIJI a) anticipativne Zadatak emo dati ematski: K=? R R+10 R+20 ---------------------------------------------------------0 k= 12% 1 2 3 R 1 = 100 KM Koliki je iznos K? 1 1 K= 100 + 110x-------------- + 120 x --------------------1.12 1.12 2 Iznos K = 293,90 KM 51

Iznos prve rente smo mogli izraunati i upotrebom formule: r ( r n 1) 100d r ( r n 1) n K=R1 ---------------- -------------- ( ------------ - ---------) r n (r 1 ) k r n (r-1) r ( n 1) b) dekurzivne Isti ovaj zadatak posmatrat emo kao da je banka isplaivala rente na kraju godine tj. dekurzivno. 1 1 1 K= 100 x ------------ + 110 x ----------------- + 120 x ---------------1,12 1,12 2 1,12 3 K= 262,40 KM Ili upotrebom formule: rn 1 100d r n -1 n K=R1 ------------- ------- ( ------------- - ------ ); d apsolutno poveanje naredne rente r n (r-1) k r n (r-1) rn 14.RENTE RASTU PO GEOMETRIJSKOJ PROGRESIJI a)anticipativno I rente (R) kao i ulozi (u) mogu rasti ili opadati za odre eni procenat tj. po geometrijskoj progresiji. Formula za izraunavanje ovih veliina glasi: r ( rn - qn ) K = R 1 x ------------------------rn ( r - q ) Uzmimo da je t procenat poveanja ili smanjenja svake slijedee rente i da iznosi 20%, te da godinja kamatna stopa k=12% tj. Prva renta R 1 = 1000 KM, a n= 3 godine 1,10 ( 1,10 3 - 1,20 3 ) K= 1000 x ----------------------------------1,10 3 ( 1,10 - 1,20 ) K= 3281,00 KM 52

b) dekurzivno Isti primjer posmatran dekurzivno: (1,10 3 - 1,20 3 ) K = 1000 x -------------------------------1,10 3 ( 1,10 - 1,20 ) K= 2.982,70 KM Znai da trebamo uplatiti ovaj iznos K da bi dobili tri rente na kraju sve tri godine. Prva renta je 1000 KM a svaka slijedea je za 20% vea tj, 1.200 KM i 1.440 KM.

15. JEDNAKE MJESENE RENTE, ANTICIPATIVNE Vidjet emo kasnije da se rente mogu posmatrati kao anuiteti i da slobodno moemo pisati da je (R) = (a). Samo je pitanje ko se javlja kao povjerioc, da li je to banka ili neko drugo lice. Kod rauna renti povjerilac je komitent i on deponuje u banku novana sredstva kako bi u narednom periodu uivao rentu, a kod amortizacije zajma banka daje kredit te je ona povjerioc i kredit joj se vraa kroz otplatu anuiteta.Da kaemo odmah da anuitet sadri otplatu i kamatu u sebi. O tome emo govoriti poslije. Zadatak. Neko je uloio u banku 100.000 KM i eli da mu se isplauju mjesene anticipativne rente u toku 5 godina. Kamatna stopa je 12 % godinje.

Izraunajte iznos mjesene rente R. Zadatak emo rijeiti na dva naina i to; - kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna - upotrebom komforne kamatne stope

53

Zadatak emo postaviti ematski:

RRRRRRRRRRR.....................................................RRRRR ---------------------------------------------------------------------------0 12% 1 2 3 4 5 -----------------------------------------------------------------------l

Izrada a) kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna K = 100.000 k= 12% n= 5 m=12 -------------------R=?

(m+1)x k ( rn - 1 ) K=R ( m +--------------) x ------------------------200 r n (r-1) ( 12 + 1 ) x 12 ( 1,12 5 - 1) K = R ( 12 +------------------------) x -------------------------200 1,12 5 ( 1,12 - 1 ) R = 2170,70 b) upotrebom komforne kamatne stope Komfornu kamatnu stopu za mjesec dana emo izraunati na slijedei nain: c= ( 12 r - 1) 100 c= ( 12 1,12 - 1 ) 100 = 0,95% 54

0,95 r c = ( 1 + -------------- ) 100 Izrada zadatka: K= 100.000 k= 12 % c = 0,95 r c = 1,0095 n = 5 broj godina m= 15 broj mjeseci -------------------------------R=? mn r c (r c - 1 ) K = R x --------------------mn r c ( rc - 1 ) 1,0095 ( 1,0095 60 - 1 ) 100.000 = R x ------------------------------1,0095 60 ( 1,0095 - 1 ) R = 2173,00 Vidimo da se na oba naina dobija korektan rezultat. 16.JEDNAKE MJESENE RENTE , DEKURZIVNE Uzmimo sada da je godinja kamatna stopa 12 %, da je iznos K=100.000 KM i da se rente isplauju dekurzivno, na kraju svakog mjeseca u toku 5 godina. To znai da e biti isplaeno 60 jednakih mjesenih renti. Koliki je iznos rente(R)?

Izrada K = 100.000 k= 12% n= 5 m=12 -------------------R=?

55

a) izrada kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna ( m-1 ) x k ( rn - 1 ) K = R x ( m + -----------------) x ------------------------200 rn ( r - 1 ) ( 12 - 1 ) x 12 (1,12 5 - 1) 100.000 = R x ( 12 + ------------------) x ------------------------------200 1,12 5 ( 1,12 - 1 ) R = 2191,20 a) izrada uz upotrebu komforne kamatne stope Moemo rei da se komfornom kamatnom stopom za mjesec dana svodimo ukamaivanje na mjeseno ukamaivanje. Prisjetimo se komforne kamatne stope pa emo vidjeti da sa njome u stvari uz ei obraun dobijemo isto onoliko kamate kao uz godinji obraun primjenjujui godinju kamatnu stopu samo to sa komfornom kamatnom stopom vrimo ee ukamaivanje. r c = 1,0095 Izrada zadatka: K= 100.000 k= 12 % c = 0,95 rc = 1,0095 n = 5 broj godina m= 15 broj mjeseci -------------------------------R=?mn (r c - 1) K = R -------------------------mn rc ( rc - 1 )

(1,0095 60 - 1 ) 100.000 = R x ---------------------------------1,0095 60 ( 1,0095 - 1 ) R = 2193, 60 Rezultat smo dobili korektno radei na oba naina. 56

16.AMORTIZACIJA ZAJMA Uvod: U uslovima trine privrede neminovno je da banke daju zajmove u svrhu kreditiranja odre enih oblasti privrede kao to su: poljoprivreda, industrija, energetika isl. Instrumenti kamatnih stopa tj. veih ili manjih kamatnih stopa daju privredi njen procvat u uslovima kada su ove stope na zajmove male ili koe njen razvoj kada su one velike. Nakon ovog rata u BiH kao instrument poticaja najvanije grane privrede tj. poljoprivrede, ove stope bi trebale biti do 6 % godinje. 17. AMORTIZACIJA ZAJMA JEDNAKIM OTPLATAMA Ovo je najee primjenjivani metod amortizacije zajma kod nas. Da bismo ga shvatili uzet emo jedan primjer iz prakse. Primjer: Neko je digao zajam od 1000 KM u Tuzlanskoj banci i eli da ga vrati za 10 mjeseci. Kamatna stopa na zajam je 12 % godinje. Anuiteti se vraaju u toku 10 mjeseci dekurzivno. Amortizaciona tabela: mjesec ostatak duga otplata kamata anuitet ------------------------------------------------------------------------0 1000 -----------------------1 900 100 10 110 2 800 100 9 109 3 700 100 8 108 4 600 100 7 107 5 500 100 6 106 6 400 100 5 105 7 300 100 4 104 8 200 100 3 103 9 100 100 2 102 10 0 100 1 101 -----------------------------------------------------------------------suma 1000 55 1055 KM Ovom metodom dobija se najvie kamate sa stanovita banke, ali zbog estog preraunavanja ne koristi se u modernom bankarstvu, upravo iz razloga to zahtjeva stalno ispisivanje brojki. Sada u vrijeme kompjuterske ere najee se amortizuje zajam jednakim anuitetima dok se otplate i kamate mijenjaju po periodima. Amortizacione tabele se lako i brzo vre u programu za ekonomiste Excel-u. 57

18. AMORTIZACIJA ZAJMA JEDNAKIM ANUITETIMA Da bi razumjeli ovu amortizaciju zajma posluit emo se jednim primjerom: Banka je nekome odobrila zajam od 100.000 KM uz 6% godinje. Zajam e se amortizovati jednakim godinjim dekurzivnim anuitetima u toku 5 godina. Napravite amortizacionu tabelu. Moramo znati da je anuitet otplata (b) + kamata (J). Slino raunu renti IV tablice jednake su recipronoj vrijednosti V tablica te moemo pisati: n 1 IV = ----------------k n V k Tako je anuitet (a) u raunu zajma isto to i renta (R) u raunu renti. Ovaj zadatak emo pretstaviti ematski K=100.000KMa a a a a ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 5 Formule za izraunavanje su: (r n -1) r n (r-1) K= a ----------------- iz ovog slijedi, a = K --------------------r n (r-1) (r n - 1 ) (1,06 5 - 1) 100.000 = a ---------------------1,06 5 (1,06-1) iz ovog slijedi da je a= 23.739,64 Ovaj rezultat smo mogli dobiti i da smo na iznos zajma K pomnoili sa odgovarajuom vrijednou petih tablica. 58

Formula po kojoj se one raunaju za jedinicne vrijednosti anuiteta su: n rn ( r - 1 ) V = --------------------k (r n - 1 ) a=b+J anuitet (a) je jednak zbiru otplate (b) i kamate (J), dok je R ostatak duga.

Amortizaciona tabela ---------------------------------------------------------------------------god dug i ostatak duga (K ili R) otplata (b) kamata (J) anuitet (a) ---------------------------------------------------------------------------0 100.000 0,00 0,00 0,00 1 82.266,36 17.739,64 6.000,00 23.739,64 2 63.456,34 18.804,02 4.935,60 23.739,64 3 43.524,08 19.932,26 3.807,40 23.739,64 4 22.395,88 21.128,19 2.611,40 23.739,64 5 0,00 22.395,90 1.343,75 23.739,64 ---------------------------------------------------------------------------SUMA 100.000,0 18.698,20 118.698,20 ----------------------------------------------------------------------------

J 1 = 100.000 x 0,06 = 6.000 b 1 = a - J 1 = 23.739,64 - 6.000 = 17.739,64 itd. Iz ove tabele vidimo da je zadnji ostatak duga jednak nuli, R(5)=0 da je zbir svih otplata jednak iznosu zajma, SUMA(b)=K te da je zbir iznosa zajma i kamate jednak zbiru anuiteta, K + SUMA(b)=SUM(a) To znai da smo pravilno izvrili amortizaciju zajma.

59

19. IZRAUNAVANJE OSTATKA DUGA Posluimo se tabelom iz prethodnog zadatka da bi bolje shvatili kako se ostatak duga (R) izraunava. Pretpostavimo da trebamo izraunati trei ostatak duga R(3). R 3 = 43.524,10 Ako nemamo njegovu vrijednost u tabeli to emo ga izraunati na ovaj nain.

(r ( n 3) -1) (r 2 - 1) R 3 = a -------------------- = a -----------------r ( n 3) ( r-1) r 2 ( r - 1)

(1,06 2 - 1 ) R 3 = 23.739,60 ------------------------------1,06 2 ( 1,06 - 1 ) R 3 = 43.524,10 Vidimo da smo pravilno izvrili izraunavanje treeg ostatka duga R(3) koristei se formulom za njegovo izraunavanje. 20. IZRAUNAVANJE SUME KAMATA ZA VIE PERIODA Posluimo se ponovo tabelom Zbir kamata J 1 +J 2 = 6.000 + 4.935,62 = 10.935,62 Ako elimo da izraunamo ovaj iznos, direktno, radimo to na slijedei nain. J 1 + J 2 = K (r 2 - 1 ) - a ( r - 1 ) J 1 + J 2 = 100.000 (r 2 -1) - a ( r - 1) = 10.935,62 Vidimo u ovom zadatku da mi ustvari izraunavamo kamatu na ostatak duga ( u ovom sluaju R 0 =K) i od te kamate oduzimamo kao neku nedospjelu kamatu na anuitet koji kod ovog izraunavanja posmatramo kao ulog. Ta kamata koju oduzimamo od kamate na ostatak duga je sadrana u ovom anuitetu. 60

.AMORTIZACIJA ZAJMA MJESENIM ANUITETIMA Sve do sada reeno o amortizaciji zajma je naime bilo teoretsko. Poto se obino amortizacija zajmova vri mjesenim anuitetima to moramo objasniti ponajbolje ovaj raun. Do sada smo pominjali da je ona mogua: - anticipativno, anuitetima koji se otplauju na poetku obraunskog perioda , tj na poetku mjeseca - dekurzivno, anuitetima koji se isplauju na kraju obraunskog perioda ( u ovom sluaju, na kraju mjeseca) U oba ova sluaja moemo izraunati visinu anuiteta na dva naina i to: - kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna - upotrebom komforne kamatne stope

Po imo od jednog konkretnog primjera: Zadatak: Pretpostavimo da je neko o podigao kredit od 20.000,00 KM i da ga mora amortizovati u toku 3 godine mjesenim anticipativnim anuitetima. Godinja kamatna stopa na zajam je jednaka sve tri godine i iznosi 8%. Koliki je iznos anuiteta ?

Izrada: a) izraunavanje anuiteta kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna poi emo od slijedee formule (m+1) x k (r n -1) K = a ( m+-------------- ) x ----------------------200 r n (r-1) ( 13 x 8 ) (1,08 3 -1) 20.000 = a (12 + -----------------) x ----------------------200 1,08 3 ( 1,08 - 1 ) 61

Izraunavanjem dobijamo: a = 620,00 KM b) izraunavanje anuiteta primjenom komforne kamatne stope r c -faktor ukamaenja sa komfornom kamatnom stopom, c r c = ( 1 + ----------) 100 12 rc = r Vidimo da je r c u stvari dvanaesti korijen iz naeg r.nm r c ( r c -1 ) K= a ---------------------------nm rc ( rc - 1 )

1,00643 ( 1,00643 36 - 1 ) 20.000 = a -------------------------------------1,00643 36 (1,00643-1 ) a = 620,20 KM Vidimo da smo u oba sluaja dobili isti rezultat i da smo pravilno izraunali visinu anuiteta. Izraunajmo sada visinu anuiteta u istom primjeru ako bi se zajam amortizovao mjesenim dekurzivnim anuitetima. a) kombinacijom prostog i sloenog kamatnog rauna (m-1)k rn - 1 K = a (m+ -----------------) x ------------------200 rn ( r - 1 ) m-broj obrauna u toku jedne godine tj 12 mjeseci 11 x 8 ( 1,08 3 -1 ) 20.000 = a ( 12 + --------------) x -------------------------200 1,08 3 ( 1,08 - 1 ) a = 623,90 KM

62

b) primjenom komforne kamatne stope r c = 1,00643403

( 1,0064 36 - 1 ) 20.000 = a -------------------------------1,0064 36 ( 1,0064 - 1 ) a = 624,10

Vidimo da postoje male razlike u iznosima anuiteta ali su one zanemarive. Oba naina nam daju tane rezultate onda kada su godinje stope male, medjutim to su te stope vee sve su vee i razlike u iznosu anuiteta. AMORTIZACIJA ZAJMA U EXCEL-U Kao to je ve reeno Excel je raunarski program za ekonomiste u kom se lako prikazuju tabelarni prikazi amortizacije zajmova. Nadam se da ste nauili osnove rada sa Excel-om te se neemo baviti otvaranjem i zatvaranjem te memoriranjem podataka koje imamo u naim tabelama. Posluit emo se jednim primjerom: Uzmimo da je neko dobio zajam od 10.000 KM i da ga mora vratiti uz 6% godinje u toku 5 godina godinjim dekurzivnim anuitetima. Trebamo dati tabelarni prikaz amortizacije zajma. Uz upotrebu tablica koji su dati u ovoj knjizi pogledat emo vrijednost V tablica za n=5 i k=6%. Lako emo dobiti da je vrijednost anuiteta a= 2374 KM k=6% godina 0 1 2 3 4 5 a=2374 dug anuitet otplata kamata 10000 0 0 0

Iz ove prve tabele vidimo da u nultom periodu imamo samo dug od 10.000 KM. Sada moramo izraunati po dvije vrijednosti kamate i otplate uz ve poznati anuitet koji je isti za svo vrijeme amortizacije zajma. 63

Tako da e slijedei korak tabelarno izgledati ovako.

god

dug anuitet otplata kamata 0 10000,00 0 0 0 1 8226,00 2374 1774 600 2 6345,56 2374 1880,44 493,56 2374 3 2374 4 5 2374

Iz ove tabele vidimo da je prva kamata J 1 = 600 KM, a druga J 2 = 493,60 KM, te da je prva otplata b 1 = 1774 KM , a druga otplata b 2 =1880,40 KM te ako ih oduzmemo od ostatka duga R dobit emo da je R 1 = 8226,00 KM i R 2 = 6345,60 KM.. U ovoj tabeli lako emo dobiti sve ostale vrijednosti ako markiramo u svakoj koloni posebno zadnje dvije izraunate vrijednosti i postavimo kursor u donji desni ugao te kada on dobije oblik crnog kriia ( + ) povuemo nadolje mi drei lijevu tipku mia. Tako emo dobiti slijedeu tabelu.

god

dug anuitet otplata kamata 0 10000 0 0 0 1 8226 2374 1774 600 2 6345,56 2374 1880,44 493,56 3 4352,294 2374 1993,266 380,7336 4 2239,431 2374 2112,862 261,1376 5 -0,20291 2374 2239,634 134,3659

Vidimo i u ovom primjeru da smo pravilno izvrili amortizaciju zajma uz upotrebu Excel-a jer nam je zadnja otplata b 5 jednaka predzadnjem ostatku duga R 4 te da je zadnji ostatak duga R 5 jednak nuli.

64

26. AMORTIZACIJA ZAJMA U USLOVIMA INFLACIJE POJAM INFLACIJE Inflaciju jo niko nije precizno definisao. Ono to je karakterie je stalno poveanje cijena artikala od ivotne vanosti. Ekonomski strunjaci tvrde da je inflacija od 3% do 5% dobra za ekonomiju jedne zemlje jer podstie investicije. Zbog toga i banke daju kamate svojim povjeriocima na tednju u tim procentima tako da je k godinja kamatna stopa na tednju po vi enju ( a vista) kod Zagrebacke banke od 3% do 5 %, kod UPI banke 4%, a kod Raiffeisen banke do 5%. Na ovaj nain banke dajui vee kamatne stope na tednju, privlae potencijalne tedie da deponuju svoja novana sredstva ba kod njih. Inflaciju u jednoj zemlji moemo smanjiti tako to emo smanjiti emisiju svjeeg novca. To se zove monetarni pristup u prevazilaenju inflacije i pokazalo se kao najbolje rijeenje Evo vam sada jedan tabelarni prikaz kako se inflacija kretala kod nas od 1981-e do 1989-e godine. ----------------------------------------------------------Godina Stopa inflacije -----------------------------------------------------------1981 45% 1982 31% 1983 59% 1984 53% 1985 80% 1986 88% 1987 168% 1988 210% 1989 8.000% -----------------------------------------------------------( dnevni list Oslobo enje od 20.12. 1989 god. str.16 ) Kao to vidite inflacija je krajem 80-ih godina prolog stoljea u tada bivoj Jugoslaviji bila tako visoka da je razarala ekonomiju cijele zemlje i svi rezultati tada bivaju strano obezvrije eni. Rasli su u velikoj mjeri materijalni trokovi, raspodjela drutvenog bruto proizvoda se odvijala na tetu privrede. Sirovine iz uvoza su postajale sve skuplje i skuplje, a devize su se mijenjale uglavnom na crnom tritu novca po daleko veem kursu ( teaju ) nego to je vaio slubeno u bankama. 1.Obraun kamate i inflacije na jedan ulog Odmah da kaem da e se u iduim zadacima obraun kamata vriti sa prosjenim veliinama tj. mogua je revalorizacija zajmova tako to e se izvaditi geometrijaska sredina za svaki nas faktor ukamaenja. Mogu je i mjeseni obraun kamata, ali bi u tom sluaju morali nai neku preraunatu stopu za prosjenu inflaciju u toku mjeseca. Mislim da ste dobro shvatili upotrebu komforne kamatne stope tako da vam nee biti problem preraunati nas faktor ukamacenja "r" da bi izraunali iznos uloga rente ili pak anuiteta. 65

primjer 1. Uzmimo da je neko na poetku godine uloio 2000 KM uz 5% godinje. U toku godine prosjena stopa inflacije je bila 30%. Koliko e on dobiti na ime kamate nakon 3 godine ako je prosjena stopa inflacije bila na ovom nivou. Da bismo rijeili ovaj problem to emo nas faktor r morati preraunati tako da emo dobiti novi faktor "r ik " koji emo zvati faktor ukamaenja u uslovima inflacije. Slijedi da je k r k = (1+ --------), gdje je k- godinja kamatna stopa 100

r

i

i = ( 1+--------), gdje je i- prosjena godinja stopa inflacije 100

Konkretno u ovom primjeru to bi bilo: r k = 1,05 r i = 1,30 r ik = 1,05 x 1,30 = 1,365

Izrada u= 2000 k=5% i=30% n=3 ---------------K=? iznos uloga godinja kamatna stopa prosjena godinja stopa inflacije broj obraunskih perioda , godina

K = 2.000 x r 3 = 2.000 x 1,365 3 = 5.086,60 KM. ik Na osnovu ovog modela za jedan ulog lako nam je dobiti formule za obraun renti i anuiteta imajui u vidu da je na faktor ukamaenja "r" sada "r ik ". 66

2.Obraun kamata i inflacije za jednu rentu U sluaju da hoemo da znamo koliko trebamo uplatiti danas iznos K da bi nakon nekoliko godina (n) imali iznos R (rentu) u uslovima inflacije sluimo se ovom formulom:

K R =---------------n r ik Primjer: Neko eli da uplati danas iznos od K KM, da bi nakon 5 godina podigao iznos od 100.000 KM. Kamatna stopa kod banke je bila 6 %, a prosjena stopa inflacije 50 % godinje. Koliko iznosi polog u banci?

Izrada: n=5 r k = 1,06 r i = 1,50 R = 100.000 -----------------K=? 100.000 R=------------------------1,59 5 R=9.840,40 KM Znai, danas treba uplatiti iznos od 9.840,40 KM da bi se nakon 5 godina podigla renta R od 100.000 KM, uz 6% godinje kamate i 50% inflacije. 3.Ulozi u uslovima inflacije Ulozi su obino zastupljeni u praksi kada npr roditelj eli da uplauje neki konstantan iznos na ima svog djeteta u obliku tednje za njega na dui period ,recimo od 15 do 20 godina da bi to dijete kada poraste imalo novac za studij i sl. To su obino mali iznosi, ali ako se uplauju na dug period znaju narasti na velike iznose. 67

Primjer Neko eli da uplauje iznos od 500 KM svake godine uz 10 % godinje. Prosjena stopa inflacije iznosi u toku 10 godina 35%. Koliko e biti njegovo stanje na raunu ako se ono vrilo na poetku svake godine (anticipativno) u toku od 10 godina. r k = 1,10 r i = 1,35 u= 500 KM ----------------K=? r ik = 1.10 x 1,35 = 1,485

1,485(1,485 10 -1) K=500 -------------------------- =78308,80 1,485-1 Da su se kojim sluajem ovi ulozi uplaivali dekurzivno tj. na kraju svake godine, to bi ovaj iznos bio izraunat na slijedei nain.

(1,485 10 - 1) K= 500 ------------------ = 52 733,20 KM (1,485 - 1) 4.Mjeseni ulozi u uslovima inflacije Ako neko eli da ulae svaki mjesec po 50 KM i ako je kamatna stopa kod banke 10%, a prosjena stopa inflacije 40 %. tednja se vri u toku 3 godine anticipativno. Koliko e biti stanje na raunu tedie, na kraju tree godine. r k =1,10 r i =1,40 u=50 n=3 m=12 -------------r ic =? K=? r ic = 12 1,54 = 1,03663705 68

Vidimo da smo mogli koristili ovdje prosjenu mjesenu stopu od 3,66 % da bi izraunali stanje K na kraju tree godine.

mn r ic (r ic -1 ) K = u -------------------------( r ic - 1 )

1,0366 (1,0366 36 - 1 ) K=50 ---------------------------------- =3.752,30 1,0366 - 1 Vidimo da bi stanje na kraju tree godine na tednom raunu bilo K jednako 3.752,30 KM. 5. Ulozi rastu ili opadaju po aritmetikoj progresiji Ove formule za anticipativne i dekurzivne uloge smo dali prije. Razlika je samo u tome to se se sada umjesto kamatnog faktora r koristi faktor r ik . 6. Ulozi rastu ili opadaju po geometrijskoj progresiji Daemo samo formule -anticipativno n r ik (r ik - q n ) K = u ---------------------(r ik -q)

-dekurzivnon (r ik -q n ) K = u -------------------(r ik -q)

69

7.RENTE Isto kao i uloge na lagan nain moemo rijeiti izraunavanje renti u uslovima inflacije uzimajui u obzir da je na faktor ukamaenja r koji se u normalnim okolnostima izraunava po ovoj formuli: k r=(1+--------- ) ,gdje je k- kamatna stopa za godinu dana. 100 Sada je nase "r" u stvari "r ik " a njegovo izraunavanje smo objasnili kod izraunavanje vrijednosti jednog uloga. Za sada vam dajem samo formule, a poto je izraunavanje renti identino izraunavanju anuiteta kod amortizacije zajma to emo uraditi i neki zadatak.

7.1. Rente se isplauju anticipativno u toku n godina uz godinju kamatnu stopu k i stopu inflacije i. k r k = ( 1+---------) ; k-godinja kamatna stopa 100 r i = (1 + --------) ; i - prosjena godinja stopa inflacije 100

i

r ik = r i x r k ; r ik faktor ukamaenja u uslovima inflacije

n r ik (r ik -1) K=R ----------------n r ik (r ik -1)

7.2. Rente se isplauju dekurzivno u toku n godina i godinjom kamatnom stopom k i prosjenom godinjom kamatnom stopom i .n (r ik - 1) K=R -----------------n r ik (r- 1)

70

7.3. Mjesene rente, anticipativno

r ic =

12

r ik ; r ic faktor ukamacenja za mjesec dana u uslovima inflacije . Dobija se tako to se

izrauna dvanaesti korijen iz faktora ukamaenja r ik . Izraunali smo ga kod uloga. (r 12 n - 1 ) ci K= R ---------------------------; gdje je R - renta , a n - broj godina za koji se vri r 12 n (r ci - 1 ) obraun ci

Mjesene rente, dekurzivno (r 12 n - 1) ci K = R ------------------r 12 n (r ci -1 ) ci 7.4. Rente rastu ili opadaju po aritmetikoj progresiji Formule za izraunavanje renti kada one rastu ili opadaju za neki apsolutni iznos d smo dali u dijelu o rentama samo to se kao I u sluaju uloga umjesto kamatnog faktora r sada koristi faktor rci a umjesto n korist faktor 12n. 7.5.Rente rastu ili opadaju po geometrijskoj progresiji anticipativno

n r ik (r ik -q n ) K= R ------------------------; gdje je q faktor rasta ili opadanja r ik (r ik -q ) jedinine rente

dekurzivnon (r ik - q n ) K= R ------------------; q