KOMBINATORIAL

Kaidah Dasar MenghitungDua kaidah dasar yang digunakan sebagai teknik menghitung dalam kombinatorial adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah ini dapat digunakan untuk memecahkan banyak masalah persoalan menghitung.

Prinsip Pigeonhole (Sarang Merpati)Prinsip Pigeonhole atau Prinsip Rumah Merpati pertama kali dinyatakan oleh ahli matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Leje-une Dirichlet pada tahun 1834, sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip Laci Dirichlet atau Dirichlet's box (or drawer) principle.Prinsip tersebut dinamakan prinsip pigeonhole karena berawal dari permasalahan perbedaan jumlah burung merpati dan sarangnya. Misalkan ada 20 burung merpati yang akan bertengger di 19 sarang burung merpati. Maka, salah satu dari sarang burung tersebut pasti berisi setidaknya dua burung merpatiKaidah perkalian (rule of product)Bila percobaan 1 menghasilkan p dan percobaan 2 menghasilkan q, maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan secara bersamaan akan menghasilkan p x q hasil percobaan.Kaidah pertambahan (rule of sum)Bila percobaan 1 menghasilkan p dan percobaan 2 menghasilkan q, maka bila percobaan 1 atau percobaan 2 dilakukan secara bersamaan akan menghasilkan p + q hasil percobaan.

Kaidah perkalian menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan secara simultan atau secara bersamaan, sedangkan pada kaidah penjumlahan, kedua percobaan dilakukan tidak simultan.Contoh :Sekelompok mahasiswa terdiri atas 8 orang pria dan 4 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wakil wanita ?

Penyelesaian :Ada 8 kemungkinan memilih wakil pria, dan 4 kemungkinan memilih wakil wanita. Jika 2 orang wakil harus dipilih, masing-masing satu pria dan satu wanita, maka jumlah kemungkinan perwakilan yang dapat dipilih adalah 8x4 = 32.Terdapat 6 orang pria dan 4 orang wanita.Banyak kemungkinan memilih satu orang ketua kelas, dengan syarat tidak ada batasan gender :Jika memilih pria, ada 6 cara. Atau jika memilih wanita, ada 4 cara. Jadi, ada 6+4 = 12 cara.

Banyak kemungkinan memilih satu sekretaris (pria) dan satu bendahara (wanita) : Banyak memilih sekretaris ada 6 cara. Banyak memilih bendahara ada 4 cara. Jadi, ada 6 x 4 = 24 cara.

Perluasan Kaidah MenghitungKaidah perkalian dan kaidah penjumlahan dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1,p2,......, pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini setiap p1 tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah :

p1 x p2 x x pn uintuk kaidah perkalian.

p1 + p2 + + pn uintuk kaidah penjumlahan.

Contoh :Jika ada 5 pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab benar atau salah (B atau S), berapa kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat ?Penyelesaian :Andaikan 5 pertanyaan tersebut sebagai 5 buah kotak, masing-masing kotak hanya berisi 2 kemungkinan jawaban, B atau S :

Di sini kita menggunakan kaidah perkalian karena, kesepuluh kotak ini harus terisi dengan jawaban B atau S . Jumlah kombinasi jawaban yang dapat dibuat :

2x2x2x2x2 = 25 = 32

Contoh :Perpustakaan Umum memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Prancis, dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih : 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda, dan 1 buah buku (sembarang bahasa).Penyelesaian :Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa adalah (6)(8)(10) = 480 cara.Jumlah cara memilih 1 buah buku = 6 + 8 + 10 = 24 cara.Prinsip Inklusi-EksklusiKetika dua proses dikerjakan dalam waktu yang sama, kita tidak bisa menggunakan prinsip penjumlahan untuk menghitung jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua proses tersebut. Untuk menghitung proses tersebut, kita harus mengenal prinsip inklusi-eksklusi. Prinsip inklusi-eksklusi merupakan bentuk enumerasi dan merupakan perluasan ide dalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan.Misalkan A dan B sembarang himpunan. Penjumlahan A+Bmenghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam A B sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam A B dari A+Bmembuat banyaknya anggota A B dihitung tepat satu kali. Dengan demikian,

A B= A+B- A B

ContohDalam sebuah kelas terdapat 30 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 12 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 10 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut ? Jawab : Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier. Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan AB. Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan A B. Dengan demikian A B= A+B- A B = 30 + 12 10 = 32. Jadi, terdapat 32 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.Contoh :Di sebuah jurusan dalam suatu perguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkat 3. Dari sekian banyak mahasiswa tersebut, 87 di antaranya mengambil mata kuliah teori graf diskrit, 73 mengambil mata kuliah matematika ekonomi, dan 29 mengambil mata kuliah teori graf dan matematika ekonomi. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil sebuah mata kuliah baik dalam teori graf maupun dalam matematika ekonomi?Penyelesaian: Misalkan A merupakan himpunan semua mahasiwa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf, dan B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika ekonomi. Maka |A| = 87, |B| = 73, dan |A B| = 29.

Banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf atau matematika ekonomi adalah A B= A+B- A B = 87 + 73 - 29 = 160 29 = 131Ini artinya terdapat sebanyak 134131 = 3 mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi.

Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11Penyelesaian Misalkan A = himpunan byte yang dimulai dengan 11,B = Himpunan byte yang diakhiri dengan 11A B = Himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan 11 MakaA B = himpunan byte yang berawal dengan 11 atau berakhir dengan 11 A= 26 = 64, B= 26 = 64, A B= 24 = 16.Maka A B= A+B- A B = 26+26+24 = 64 + 64 16 = 112Sebuah rumusan bagi banyaknya anggota dalam gabungan 3 himpunan A, B, dan C akan diturunkan. Untuk menyusun rumus ini perlu diingat bahwa |A|+|B|+|C| membilang tiap anggota tepat satu kali dari ketiga himpunan tersebut satu kali, anggota yang tepat 2 kali dari himpunanhimpunan itu adalah dua kali, dan anggota-anggota dalam 3 himpunan tersebut 3 kali. Untuk membuang perhitungan yang berlebih dari banyaknya angota dalam lebih dari satu himpunan, kurangi banyaknya anggota dalam irisan semua pasangan 3 himpunan, sehingga memberikan hasil |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| Ekspresi ini masih mencakup anggota-anggota yang muncul tepat satu kali dari himpunan sebanyak satu kali. Sebuah anggota yang muncul tepat dua kali dari himpunan juga dihitung tepat satu kali, karena anggota ini akan muncul dalam satu dari 3 irisan himpunan terambil 2 dalam sekali waktu. Namun, semua anggota yang muncul dalam 3 himpunan itu akan terhitung nol kali dalam ekspresi ini, karena mereka muncul dalam keseluruhan dari 3 irisan himpunan yang diambil 2 kali dalam satu kali pengambilan.Untuk memperbaiki kekurangan perhitungan ini, tambahkan banyaknya anggota dalam irisan seluruh 3 himpunan. Ekspresi final ini membilang tiap anggota satu kali, apakah itu 1, 2 atau 3 dalam 3 himpunan. Jadi,

|A u B u C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C|Prinsip pigeonhole menyatakan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif dan objek berjumlah n+1 ditempatkan dalam wadah berjumlah m, maka ada salah satu wadah yang berisi objek lebih dari satu.

Contoh Pada saat pembentukan tugas kelompok Struktur data yang dibagi menjadi dua puluh kelompok, dua puluh satu mahasiswa tidak masuk kuliah sehingga mereka belum terdaftar dalam kelompok yang sudah dibagi. Bagaimana menunjukkan bahwa paling sedikit ada dua mahasiswa yang bergabung dalam satu kelompok? PenyelesaianKita asumsikan dua puluh satu mahasiswa tersebut dengan merpati dan dua puluh kelompok sebagai rumah merpati. Berdasarkan prinsip pigeonhole terdapat rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati. Dengan demikian terdapat suatu kelompok yang memuat paling sedikit dua mahasiswa. Contoh Seorang ahli pembuat nama di sebuah kota terkadang dimintai tolong untuk memberi nama anak-anak yang lahir. Untuk minggu ini ia menyiapkan nama depan Bagas, Putra, Andi sebagai nama-nama yang bagus dan nama belakang Pratama, Kusuma, Adiguna. Pada minggu tersebut terdapat sebelas orangtua bayi yang meminta nama darinya. Bagaimana menunjukkan bahwa paling sedikit ada dua bayi yang mempunyai nama yang sama dengan asumsi bahwa ahli pembuat nama tersebut selalu memberikan nama depan dan belakang? PenyelesaianTerdapat sembilan kombinasi nama depan dan belakang yang mungkin untuk sebelas bayi yang lahir pada bulan tersebut. Kita asumsikan sebelas bayi tersebut dengan merpati dan sembilan nama sebagai rumah merpati. Berdasarkan prinsip pigeonhole terdapat rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati. Dengan demikian terdapat kombinasi nama yang dipakai paling sedikit dua bayi.

3) Jika terdapat 20 sarang merpati dan 41 ekor merpati,Berapakah banyak sarang yang ditempati 2 ekor merpati?PenyelesaianMaka akan terdapat satu buah sarang yang berisi lebih dari 2 ekor merpati. Atau dengan menggunakan rumus diperoleh paling sedikit [ 41 / 20 ] = 1 sisa bagi. Maka aka nada merpati yang menempati 1 sarang yang sudah ditempati merpati lain.

Sumber Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Revisi Kelima,Informatika Bandung, 2014informatika.stei.itb.ac.id/.../Makalah-IF2091-2012-04...informatika.stei.itb.ac.id/.../Makalah0607-75.pdfinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.../Kombinatorial.pptfile.upi.edu/Direktori/.../KOMBINATORIAL.pdffile.upi.edu/.../Prinsip_Inkl-Ekskl_YayaSK_Mat_UPI....www.math.itb.ac.id/~diskrit/Kuliah15baru.ppt