MATEMATIKA TERAPAN yusronsugiarto.lecturer.ub.ac.id

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan dari y terhadap x

𝑥𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒3𝑥 = 0

𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 sin 𝑥 = 0 contoh

Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut

ORDE PERTAMA

ORDE KEDUA

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒4𝑥 = 0 ORDE KETIGA

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 1

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2 + 1 ORDE PERTAMA

ORDE PERTAMA

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 3𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2y = 𝑥2 ORDE KEDUA

(𝑦3 + 1)𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦2 = x ORDE KETIGA

ORDE PERTAMA

PROSES PEMBENTUKAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial dalam prakteknya dapat dibentuk dari suatu pertimbangan masalah fisis. Secara matematis persamaan-persamaan diferensial dapat muncul apabila konstanta-konstanta sembarangnya dieliminasi dari fungsi yang diberikan.

Soal 1 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 Bentuklah PD-nya. A dan B kontanta

sembarang

Jawab Jadi

ORDE KEDUA

PROSES PEMBENTUKAN DIFERENSIAL

Soal 2 Bentuklah persamaan deferensial dari fungsi

PROSES PEMBENTUKAN DIFERENSIAL

KESIMPULAN : Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1

Konsatanta sembarang menghasilkan PD Orde I

Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang menghasilkan PD Orde II

PROSES PEMBENTUKAN DIFERENSIAL

Soal 3 Bentuklah persamaan deferensial dari fungsi

Kesimpulan : Persamaan diferensial Orde ke N diturunkan dari fungsi yang mempunyai N buah konstanta sembarang.

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal hubungan antara y dan x nya. Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara : 1. Integrasi Langsung (paling mudah) 2. Pemisahan Variabel 3. Substitusi Y=V.X 4. Persamaan Linier (Penggunaan FI)

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. PEMECAHAN DENGAN INTEGRASI LANGSUNG → dy/dx = f(x)

Pecahkanlah persamaan

Jawab:

Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c (constanta). Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban khusus.

Soal 4

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

2. DENGAN PEMISAHAN VARIABEL→ dy/dx = f(x,y)

Pecahkanlah persamaan

Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas

Soal 5

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

2. DENGAN PEMISAHAN VARIABEL→ dy/dx = f(x,y)

Selesaikanlah Soal 6 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x

Pecahkanlah persamaan Soal 7

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x

Pecahkanlah persamaan

Y = v . x , disubstitusikan ke persamaan : Jawab :

Jadi : ………… persamaan (1)

Soal 7

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 + 3(𝑣. 𝑥)

2𝑥=𝑥 + 3𝑣𝑥

2𝑥=1 + 3𝑣

2

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x

Pecahkanlah persamaan Soal 8 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥2 + 𝑦2

𝑥𝑦

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral)

Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor 1-3 sulit untuk diterapkan.

Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral)

Soal 8

PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral)

Soal 9 Pecahkanlah

TERIMA KASIH yusronsugiarto.lecturer.ub.ac.id