MATEMATIKA

LANJUT 2

2KA162KA16

MATEMATIKA

LANJUT 2METODE NUMERIKMETODE NUMERIK

Dwi Ermawati

Pertemuan Minggu Ke-1

Metode Numerik

2 Teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang

diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi

hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi

Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka

Solusi dari metode numerik menghasilkan solusi dengan nilai yang

mendekati dengan nilai sebernarnya (Pendekatan,Hampiran dan

perkiraan)

Metode Numerik

2Dalam penyelesaian numerik terdapat kesalahan terhadap nilai

sebenarnya.

Ada tiga macam kesalahan yaitu:

1) Kesalahan bawaan : kesalahan dari nilai data

2) Kesalahan pembulatan : karena tidak diperhitungkannya beberapa anga terakhir dari suatu bilangan

3) Kesalahan Pemotongan : karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar

Contoh: Suatu proses tak berhingga dipotong menjadi hingga

Metode Numerik

2Aturan Pembulatan:

a) Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka bukan signifikan.

Contoh:

Empat angka signifikan dari bilangan 16,7321 adalah

Bukan

Angka

Signifikasi

Angka

Signifikasi

Metode Numerik

2b) Jika digit pertama dari bukan angka signifikan lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya

buang bukan angka signifikan.

Contoh:

Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5

c) Jika digit pertama dari bukan angka signifikan lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka signifikan.

Contoh:

Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67

d) Jika digit pertama dari bilangan bukan angka signifikan sama dengan 5, maka:

- Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka bukan

signifikan.

Contoh:

Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 37,8

- Jika digit terakhir dari angka signifikan merupakan bilangan genap, maka buang bukan angka signifikan.

Contoh:

Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 79,8

Aturan-aturan pada Operasi Aritmatika Angka Signifikan

2- Penjumlahan dan pengurangan:

" Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang

koma yang paling sedikit pada bilanganbilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan".

Contoh:

2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68)

34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48)

40,55 + 3,1 + 10,222 = 53,872 (dibulatkan menjadi 53,9)

14,2294 – 2,37 = 11,8594 (dibulatkan menjadi 11,86)

- Perkalian dan pembagian:

" Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka signifikan sebanyak bilangan dengan angka signifikan

paling sedikit".

Contoh 2.18

(32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095

Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan).

Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan)

2

Aturan-aturan pada Operasi Aritmatika Angka Signifikan

Contoh:

Tulis hasil perkalian dan pembagian berikut dalam

jumlah angka signifikan yang benar.

a) 32,2 x 7,1 = 228,62

b) 3,34 x 444,76 = 1485,4984

c) 84,22 : 2,1 = 40,1048

d) 76,3 : 4, 88888 = 15,668

e) 67,3333 x 2,5 x 3,555555 = 598,5181

Penyelesaian

a) 228,62 ditulis menjadi 230

b) 1485,4984 ditulis menjadi 1480

c) 40,1048 ditulis menjadi 4,0 x 101

d) 15,668 ditulis menjadi 15,7

e) 598,5181 ditulis menjadi 6,0 x 102

Kombinasi Perkalian dan/atau pembagian denganPenjumlahan dan/atau Pengurangan

2Contoh:

Selesaikan

[15,2 x (2,8 x 10−4 )] + [(8,456 x 10−4) : 0,177]

[4,256 x 10−3 ] + [4,7774011… x 10−3]

Bulatkan besaran-besaran di dalam kurung

[4,3 x 10−3 ] + [4,78 x 10−3]

9,08 x 10−3

Bulatkan Menjadi 9,1 x 10−3

Kesalahan Absolut dan Relatif

2Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan

kesalahan dapat diberikan dalam bentuk berikut ini :

Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan

dibandingkan terhadap nilai eksak

Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan

dalam bentuk kesalahan relatif, yaitu dengan

membandingkan kesalahan yang terjadi dengan

nilai eksak.kesalahan absolut:

Kesalahan Absolut dan Relatif

2Dalam metode numerik, biasanya nilai tersebut

tidak diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan

berdasarkan pada nilai perkiraan terbaik dari nilai

eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk

berikut ini:

Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan

terhadap nilai perkiraan (approximate value)

Didalam metode numerik, sering dilakukan

pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan

tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan

perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini kesalahan

adalah perbedaan antara perkiraan sebelumya

dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif

diberikan oleh bentuk:

Contoh:

TERIMA KASIHTERIMA KASIH