maTematikamoswavlis wigni

nana jafariZe maia wilosani nani wulaia

7

s a r C e v i

I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 VIklasSiSeswavlilimasalisgameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . wiladebi da maTze moqmedebani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 . ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . 113 . ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Tema:Tvlissistemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 gamosaxulebaTamniSvnelobebisSedareba . . . . . . . . . . . . . . . . 163ricxvisnaturalurixarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264gayofadobisniSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

jgufuri mecadineoba: viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 ricxvTagayofadobiszogierTiTviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Tema: sxva moqmedeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 simravleTatoloba .qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 simravleTaTanakveTadagaerTianeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 geometriulifigurebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 wrfisadawertilebisurTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . 653 wrfeebisurTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 sxivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 monakveTi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 naxevarsibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808 kuTxisgazomva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 kuTxisbiseqtrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910mosazRvrekuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111vertikalurikuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412kuTxeorwrfesSoris;wrfeTamarTobuloba . . . . . . . . . . . . . 9713texili,mravalkuTxedi,samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014samkuTxedissimaRle,biseqtrisa,mediana . . . . . . . . . . . . . . . . 10415wrewiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Tema: geometriuli agebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1 monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202 cxrilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 wriulidiagrama .piktograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

jgufuri mecadineoba: avagoT diagrama kompiuterSi . . . . . . . . . . . . 1304 monacemTasaSualo,moda,mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315 procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366 ricxvispovnamisiprocentismixedviT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417 oriricxvisSefardebisprocentuligamosaxuleba . . . . 143

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478 proporcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489 proporciulisidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210ricxvisdayofaproporciulnawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Tema: oqros kveTa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011ukuproporciulisidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Tema: ariTmetikuli saSualos gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . 165III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

1 uaryofiTiricxvebi .ricxviTiRerZi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742 racionaluriricxvebisSedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833 ricxvismoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924 racionaluriricxvebisSekreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935 racionaluriricxvebisgamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036 racionaluriricxvebisgamravleba-gayofa . . . . . . . . . . . . . 2057 gamravlebisganrigebadobiskanoni,frCxilebisgaxsna . . 2108 gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139 gantolebisamoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610amocanebisamoxsnagantolebebismeSveobiT . . . . . . . . . . . . . 22211problemismoZieba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Tema: amocanebis amoxsnis xelovneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

1 mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442 sakoordinatosibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503 grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4 paralelurigadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595 RerZulisimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626 wrfeTaparalelobisniSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657 paralelurwrfeTaTvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688 samkuTxediskuTxeebisjami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2709 samkuTxedebistolobisIdaIIniSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210tolferdasamkuTxedisTvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511samkuTxedistolferdobisniSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27712monakveTisSuamarTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27913samkuTxedebistolobisIIIniSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114samkuTxedisgarekuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28315samkuTxedisutoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28616marTkuTxasamkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29017kuTxisbiseqtrisisTviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29218paralelogrami .paralelogramisTvisebebi . . . . . . . . . . . . . 29419rombi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29820marTkuTxedi .kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

1 xarisxisTvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122 erTwevri .erTwevrebisgamravlebadaaxarisxeba . . . . . . . 3173 mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194 erTwevrisadamravalwevrisnamravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3235 mravalwevrebisnamravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3266 igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297 Semoklebuligamravlebisformulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3318 mravalwevrisdaSlamamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3369 kubebisjamidakubebissxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

es sainteresoa: Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba miaxloebiT gamoTvlebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Tema: paskalis samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

6

rogor visargebloT wigniT

wignze muSaoba rom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleT gagac-noT wignis agebuleba.

wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi _ paragrafebisgan. yovel TavSi mocemulia testebi rubrikiT `Seamowme Seni codna~. tes-tebze muSaoba dagexmarebaT TviTSemowmebasa da Seswavlili masalis ganmtkicebaSi. wignSi ganmartebebi dabeWdilia muqi SriftiT, xolo Tvisebebi, formulebi, zogierTi saWiro daskvna _ ferad fonSi.

TiTqmis yovel TavSi mocemulia am TavSi gadmocemul masalasTan dakav-

Sirebuli saintereso Tema.

yovel paragrafSi SexvdebiT zogierTs Semdegi niSnebidan:

- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnis procesSi Tavad moswavlem unda gasces pasuxi;

- wyvilebSi samuSao;

- SedarebiT rTuli amocana;

- savarjiSoebi, romelic emsaxureba gavlili masalis gameorebas;

- sagulisxmo faqti.

wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebeli da Semoklebuli aRniS-vnebisTvis gamoyenebuli maTematikuri niSnebi. gTavazobT agreTve zo-mis erTeulebs, laTinur da berZnul anbans, kvadratebis cxrils da amo-canebis pasuxebs, damxmare literaturis CamonaTvals.

gisurvebT warmatebebs!

*

s.f.s.f.

ITavi

am TavSi gavecnobiT ricxvTa gayofadobis niSnebs

da Tvisebebs. simravleebs da maTze moqmedebebs,

ricxvis naturaluri xarisxis cnebas.

8

ITavi

1 VIklasSiSeswavlilimasalis gameoreba

1.wiladebi da maTze moqmedebani

1. wiladis ZiriTadi Tviseba: wiladis sidide ar Seicvleba, Tu mis mricxvelsa da mniSvnels gavamravlebT an gavyofT erTsa da imave naturalur ricxvze.

magaliTad: 58

2540

1824

34= =; .

2. wiladebis gasaerTmniSvnelianeblad saWiroa: a) vipovoT mocemuli wiladebis mniSvnelebis (umciresi) saer-

To jeradi, romelic (umciresi) saerTo mniSvneli iqneba. b) TiToeuli wiladisTvis vipovoT damatebiTi mamravli,

risTvisac saerTo mniSvneli gavyoT mocemuli wiladebis mniS-vnelebze.

g) TiToeuli wiladis mniSvneli da mricxveli gavamravloT mis damatebiT mamravlze.

magaliTad: 16115

120, , . daviyvanoT umcires saerTo mniSvnelze.

u. s. j. (6;15;20)=60. 161060

115

460

120

360= = =, , .

3. tolmniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT), saWiroa pirveli wiladis mricxvels davumatoT (gamovakloT) meore wiladis mricxveli, mniSvneli ki igive davtovoT

magaliTad: 311

211

511

78

38

48

12+ = − = =; .

4. sxvadasxvamniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT), saWiroa:

a) es wiladebi gavaerTmniSvnelianoT. b) SevkriboT (gamovakloT) isini tolmniSvneliani wiladebis

Sekrebis (gamoklebis) wesis mixedviT.

magaliTad: 89

712

32 2136

5336 11736+ = + = = .

5. Sereuli wiladebi rom SevkriboT, saWiroa, cal-calke Sevkri-boT maTi mTeli da wiladi nawilebi.

6. Sereuli wiladebi rom gamovakloT, saWiroa cal-calke gamo-vakloT maTi mTeli da wiladi nawilebi. Tu maklebis wiladi nawili metia saklebis wilad nawilze, maSin saklebis erTi er-Teuli unda gadavaqcioT arawesier wiladad.

9

magaliTad:

a) 2 57 125 125 1435 11135− = − = ; b) 4 29 2 715 210 21

45 145 10 2145 13445− = − = + − = .

7. wiladebi rom gadavamravloT, saWiroa maTi mricxvelebis nam-ravli davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelebis namravli ki _ mniSvnelad (Tu Sesakvecia, sasurvelia gadamravlebamde SevkvecoT).

magaliTad: 1217

3439

4 213

813⋅ = ⋅ = .

8. wiladi rom wiladze gavyoT saWiroa gasayofi gavamravloT gamyofis Sebrunebul ricxvze:

891615

891516

53 2

56: = ⋅ =

⋅= .

9. Sereuli wiladebi rom gadavamravloT (gavyoT), saWiroa isini jer gadavaqcioT arawesier wiladebad da Semdeg gadavamrav-loT (gavyoT):

5 311 21011

5811

1132

2916 11316: = ⋅ = = .

10. aTwiladi rom Cveulebriv wiladad gadavaqcioT, saWiroa mZime ukuvagdoT da miRebuli ricxvi davweroT mricxvelSi, xolo mniSvnelSi ki davweroT ricxvi gamosaxuli 1-iT da marjvniv miwerili imdeni nuliT, ramdeni aTwiladi niSanic iyo aTwiladSi.

magaliTad: 2 75 275100

114 2 34, = = =

11. Cveulebrivi wiladi rom aTwiladad gadavaqcioT, saWiroa mricxveli gavyoT mniSvnelze.

a) 38 =0,375; b) 720 =0,35;

g) 16 =0,166...; d) 59 =0,555...; e) 211=0,181818... .

SevniSnoT, rom g), d) da e) SemTxvevaSi gayofis procesi usasrulod grZeldeba. aseT aTwiladebs perioduli aTwiladebi ewodeba. 0,1666... perioduli aTwiladis CanawerSi meordeba cifri 6. mas periods uwodeben, 0,166... ricxvs mokled ase weren: 0,1(6). aseve 0,555...=0,(5). 0,1818...=0,(18).

12. Tu ukveci wiladis mniSvnels ar gaaCnia 2-isa da 5-isagan gan-sxvavebuli martivi mamravli, maSin wiladi gadaiqceva sas-rul aTwiladad. yvela sxva SemTxvevaSi miiReba perioduli aTwiladi.

10

ITavi

savarjiSoebi:

gamoiangariSeT:

1.

a) 2 59 3 34+ ; b) 78

56−

; g) 7 3 29− ; d) 2 5678+

; e) 7 34 1 512+ ;

v) 8 2 38− ; z) 8 79− ; T) 7 4 511− ; i) 7 34 5 56− ; k) 3 817

712− .

2.

a) 910

56⋅

; b) 324 4⋅ ; g) 526 39⋅

; d) 5737

7485⋅ ; e) 23 5

69⋅ ;

v) 730 12⋅

; z) 5 215⋅ ; T) 6 29 1018⋅ ; i) 14

15 6611⋅ ; k) 815 1

916⋅ .

3.

a) 31223:

; b) 415 3

15:

; g) 4 34 3:; d) 59

13: ; e) 179 1

35: ; v) 7 18 4

34:

;

z) 113 8 23 149 338 158 156⋅ − +

−: ; T) 2 3

15 314 13

23: : :+

;

i) 3 115 1 115 135

25 2 17 117− +

⋅ −: ; k)

12

141816

131415 5+ + +

⋅ +

: .

4.

a) 516 0 125 1 456 7

25 4 5 45: , , : ,+ + ⋅ ; b) 10 3 75 213 1 4 159− +

, , : ;

g) 6 4 12 0 03

3 120 2 65 4 25

−

−

⋅ +

: ,

,; d)

0 3 320 112

1 88 2 325180

, :

,

−

+

⋅

.

5.

a) 32

23843 1 6

1- + ; b) 592: 3 1

91 2 5

254

$ ;

g) 551

3103

4154

12715

441

365

232

1312+ - + + - ;

d) :5121

3367

11811

152

465

2247

51813

110143·+ - - + - .

11

2. ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba

gamosaxulebas, romelic cvlads Seicavs, cvladiani gamosa­xuleba ewodeba.

gamosaxuleba SesaZloa Seicavdes erT an ramdenime cvlads.

2x(y+3), 3x2–5xy+7 _ cvladiani gamosa xulebebia.

2 13427

5 182 113 2 12 3

34− ⋅ + −; ; : _ ricxviTi gamosa xulebebia.

cxadia, nebismier ricxviT gamosaxulebas erTi garkveuli mniS-vneloba aqvs.

cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba rom vipovoT, gamosaxule-baSi cvladis nacvlad am cvladis winaswar mocemuli mniSvneloba unda CavsvaT.

savarjiSoebi:

1 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba, Tu a=3, b= 51 , c=2,3.

a) 2a; b) 10b; g) 5c; d) 3,2a;

e) 5–b; v) a–1 31

; z) b+3 103 ; T) 7–c;

i) 2a–1,5; k) 9–3b; l) 5c+7,2; m) 8b+3,1;n) 4a+b; o) 17b–c; p) 0,5c+a; J) 5

1 a +b.

2 cnobilia, rom a da b cvladebis raRac mniSvnelobebisaTvis a + b = 8. ra mniSvnelobas miiRebs a da b cvladebis imave mniSvn-elobebisaTvis Semdegi gamosaxuleba.

a) a b2+

; b) a+b+ a b8+ ; g) 3(a+b); d) a b

a b24+

++

.

3 SeadgineT naxazze mocemuli CarCos farTobis gamo-saTvleli gamosa xuleba.

4* CawereT cvladiani gamosaxuleba mocemuli mimdev-robisaTvis:

a) 5·1, 5·2, 5·3, 5·4, 5·5, 5·6, . . . ;

b) 7+1, 7+2, 7+3, 7+4, 7+5, 7+6, . . . ;

g) 2·1+3, 2·2+3, 2·3+3, 2·4+3, 2·5+3, 2·6+3, . . . ;

d) 3 1

7 1 2·

· - , 3 2

7 2 2·

· - , 3 3

7 3 2·

· - , 3 4

7 4 2·

· - , 3 5

7 5 2·

· - , 3 6

7 6 2·

· - , . . . .

6 eqvsi wlis win ani P-jer ufrosi iyo nikaze. Tu ani axla 18 wlisaa, ramdeni wlis aris nika (SeadgineT Sesabamisi gamosaxuleba)?

7 meqoTne erTi doqis gaakeTebas a saaTs undeba, xolo erT qoTans

igi a2 saaTSi amzadebs. ramden saaTSi daamzadebs meqoTne 10 doqsa

da 6 qoTans?

sami wertili ` . . . ~ niSnavs ̀ da a.S. ~

12

ITavi

3. ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi

nebismieri a, b da c ricxvebisaTvis sruldeba:

1. gadanacvlebadobis Tviseba:

a) a + b = b + a SekrebisaTvis

b) ab = ba gamravlebisaTvis

2. jufTebadobis Tviseba:

a) (a + b) + c = a + (b + c) SekrebisaTvis

b) (ab)c = a(bc) gamravlebisaTvis

3. ganrigebadobis Tviseba:

a(b+c)=ab+ac jamisTvis

a(b–c)=ab–ac sxvaobisTvis

savarjiSoebi:

1 gamoTvaleT yvelaze racionaluri xerxiT:a) 2,24+8,13+5,76+2,87; b) 2,14+3,15–1,14+4,85;g) 7,27–8,12+9,73–1,88–1,5; d) 4,08–3,75+3,92–2,25;

e) 8 73 – 2 4

3 + 574 – 1 4

1 ; v) 3,76 · 7,81 · 0 · 37;

z) 2·57·5; T) 4·78·25; i) 3,75 · 0,125 · 2 · 8; k) 0,6·3,4·5; l) 0,5·7,1·20; m) 1,25·8,91·8.

2 isargebleT namravlis ganrigebadobis TvisebiT da SeasruleT moqmedeba:

a) 5,8·2,7+5,8·1,3; b) 52·35; g) 4 32 ·6; d) 4 2

1 ·8;

e) 7·0,32+7·0,18; v) 39·45; z) 31·62; T) 3125 ·4.

3 gaamartiveT:a) 2,7a·3,1; b) 12,5m·2n; g) 3(n+5);d) 8(10+n); e) 4,5(8–n); v) 8(2n+0,2);z) 2

43 x·7

113 ; T)

41 (8n+16); i) 2(

31 x–

21 ).

4 gaamartiveT gamosaxuleba da gamoTvaleT misi mniSvneloba, roca m=0,1 da n=2.

a) 4m+7n–2,1n; b) 17,58m–5,105m+7n;g) n n m19

61

332

9- + ; d) n m3192

4125

5185

132+ + - .

msgavsi wevrebi rom SevkriboT, saWiroa S e v k r i b o T m a T i k o e f i c i e n t e b i , a s o i T i n a w i l i k i u c v l e l a d g a d a -vitanoT.

13

2a

3a

5a

a

5 gaxseniT frCxilebi da SeaerTeT msgavsi wevrebi:a) 3x+2(4x–1); b) 5+0,3(3x–2);g) 5(t+2)+3(2t–1); d) 4(2x+2)+2x–1.

6 gaamartiveT gamosaxuleba: a) 3a+7a; b) 4b+9b; g) 8a–4a; d) 10x–4x; e) 7,8x+4,5x; v) 257,05a–18,3a;

z) a a b32

131

31+ - ; T) m m n

41

43+ - ; i) x x

65

131

43

41+ ;

k) 3,7a+4,1b–3,4b; l) 18,27x–5,4x+7y; m) 37,01b+4,9a–3,18a.

7 gadaixazeT qvemoT mocemuli cxrili rveulSi da SeavseT:

a) x y 2x 4y 2x–4y+7 b) u v 3(u+v) 2uv 3(u+v)–2uv

3 0 3 2

1,5 0,25 5 1

4 2 12

32

8 ipoveT naxazze mocemuli oTx-kuTxedis perimetri, Tu a tolia:

a) 3,1 dm; b) 2,4 sm;

g)5,02 sm; d) 4 dm.

9* arsebobs Tu ara naturaluri ricxvi, romlis cifrebis nam-ravlia 588?

14

ITavi

Tvlissistemebi

Tvlis sistema - aris ricxvebis Caweris saSualeba, ise rom maTi wakiTxva da maTze ariTmetikuli moqmedebis Sesruleba moxerxebuli iyos.naturaluri ricxvebis Caweris umartives sistemaSi ricxvebi, mxolod erTi cifriT Caiwereboda, magaliTad: erTi - I ; ori - I I ; sami - I I I ; . . . . Tvlis aseT sistemaSi ricxvebze moqmedebebi martivad ganisazRvreboda. magaliTad:

cxadia, aseTi Canaweri didi ricxvebisaTvis sakmaod mouxerxe-belia da maTze ariTmetikuli moqmedebebis Sesrulebis dros didia Secdomis daSvebis Sansic.

arqeologiuri gaTxrebis Sedegad dadasturda, rom pa-leoliTis xanidan, adamianebi cdilobdnen dasaTvleli sagnebi daejgufebinaT 3, 4, 5 an 7-eulebad. aseTi dajgufeba aadvilebda Tvlas da radgan, yvelaze xSirad isini TiTebis daxmarebiT iTvlidnen, amitom daiwyes dajgufeba 5-5-ad, an 10-10-ad. SemdgomSi 10 aseuli – 1 aTaseuli... Tu daTvlisas aRmoCndeboda, rom sagnebis raodenoba iyo 2 aseuli, 7 aTeuli da kidev 4 sagani, maSin 2-jer imeorebdnen aseulebis niSans, 7-jer – aTeulebis niSans da 4-jer erTeulebis niSans. cxa-dia es niSnebi ar gavda erTmaneTs, da amitom aseT CanawerSi niSnebi SeiZleboda ganlagebuliyo nebismieri mimdevrobiT, anu CanawerSi niSnakebis mdebareobas ar hqonda mniSvneloba, mniSvneloba hqonda mxolod maT raodenobas. Tvlis aseT sis-temebs arapo ziciuri ewodeba.

Zvel romSi ricxvebis aRsaniSnad specialuri simboloebi arsebobda: 1 – I, 5 – V , 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D da 1000 – M-iT aRiniSneboda.

Tema

15

moiZieT informacia Cvenamde moRweuli Tvlis sistemebis Sesaxeb. moamzadeT Tema „Tvlis sistemebi“ da waikiTxeT gakveTilze, risTvisac gamoiyeneT wignis bolos miTiTebuli literatura da internet misamarTi.

proeqti damoukidebeli kvlevisTvis:

romauli ricxvebis saSualebiT ricxvebi 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14, 19, 20, .... Sesabamisad ase aRiniSneba:

ricxvebis Caweris Tanamedrove, AaTobiTi sistema, Zvel in-doeTSi Caisaxa. mogvianebiT ki arabebis meSveobiT evropaSic (X s.) gavrcelda.Tanamedrove poziciur sistemaSi cifris mniSvneloba damokidebulia imaze, Tu romel adgilze dgas igi. magali-Tad, 728-Si aseulebis TanrigSi weria 7, rac imas niSnavs, rom am ricxvSi Svidi aseulia. Sesabamisad, 2 aTeuli da 8 erTeuli. es ricxvi ase Caiwereba: 728 = 7·100 + 2·10 + 8.

Tu, sazogadod, samniSna ricxvs abc -Ti aRvniSnavT, maSin abc = 100a + 10b + c. Sesabamisad oTxniSna ricxvi ase gamois-

axeba: abcd = 1000a + 100b + 10c + d.

16

ITavi

2 gamosaxulebaTamniSvnelobebisSedareba

1. ori avtomanqana erTdroulad gav-ida Tbilisidan erTi da imave mimar-TulebiT. pirveli moZraobda 60 km/sT, meore ki _ 70 km/sT siCqariT. romeli av-tomanqana ufro Sors iqneba Tbi lisidan 3 sT-is Semdeg da ramdeni kilometriT?

amoxsna: 3 saaTSi I avtomanqana gaivlida 3·60=180 km-s, xolo meore – 3·70=210 km-s. radgan 210 km metia, vidre 180 km, amitom Tbilisidan ufro Sors II avtomanqana iqneba. Tan 210 – 180 = 30 km-iT.

2. nika 1974 wlis 26 maiss daibada, misi da nato ki – 1976 wlis 26 maiss. CamoTvlili winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli mcdari?

a) nato da nika asakiT tolebi arian;

b) nato ufrosia nikaze;

g) nato umcrosia nikaze.

cxadia, radgan nika 2 wliT adre daibada vidre nato, amitom WeSma-riti iqneba g) winadadeba. danarCeni ori ki – mcdari.

yoveli ori a da b ricxvisaTvis marTebulia erT­erTi Sem­degi sami Tanafardobidan, danarCeni ori ki – mcdari.

sityvierad: simboloTi: a naklebia b­ze a < b a metia b­ze a > b a udris b­s a = b

`<~ da `>~ simboloebs utolobis niSnebi ewodeba.

or gamosaxulebas, SeerTebuls ̀ <~ an ̀ >~ niSniT, utoloba ewodeba.

magaliTad, 2·80 < 7·50 – ricxviTi utolobaa.

CavweroT utolobis saxiT:

1) temperatura zafxulSi 25 gradusze meti da 40 gradusze naklebi iyo. Tu temperaturas t asoTi aRvniSnavT, miviRebT, rom t>25° da t<40°-ze.

180 km

210 km

Tbilisi

17

miRebuli ori utoloba SesaZlebelia erTi, egreTwodebuli, or-magi utolobis saxiT ase CavweroT:

25° < t < 40°.2) moswavleTa raodenoba skolis nebismier klasSi ar aris naklebi 28-ze da ar aRemateba 40-s.

moswavleTa raodenoba ar aris naklebi 28-ze niSnavs, rom klasSi SesaZlebelia iyos 28 an 28-ze meti moswavle da Tu moswavleTa ra-odenobas n-iT aRvniSnavT, maSin SegviZlia CavweroT: n>28 an n=28, rac mokled ase Caiwereba: n ≥ 28.

moswavleTa raodenoba ar aRemateba 40-s, niSnavs, rom klasSi SesaZlebelia iyos 40 an 40-ze naklebi moswavle, e. i. n<40 an n=40. am SemTxvevaSi ki weren: n ≤ 40.

miRebuli ori utoloba, n ≤ 40 da n ≥ 28, ormagi utolobis saxiT ase Caiwereba: 28 ≤ n ≤ 40.

utolobebs, romlebic > an < niSnebiTaa Sedgenili, mkacri utolobebi ewodeba, xolo ≥ an ≤ niSnebiT Sedgenils _ aramkacri utolobebi.

magaliTi 1.

SeadareT ricxvebi: a) 18,324 da 18,334; b) 3,61 da 3,057.

amoxsna:

a) 18,32418,334

) → radgan 2<3, b) 3,613,057

) → radgan 6>0,

amitom 18,324 < 18,334. amitom 3,61 > 3,057.

1-el a) magaliTSi wiTeli cifrebi SecvaleT ise, rom ricxvebi erTmaneTis toli aRmoCndes. SesaZloa Tu ara, rom igive movimoqmedoT 1-el b) maga liTSic?

magaliTi 2.

SeadareT a + b da 2a – b gmosaxulebaTa mniSvnelobebi, Tu:

a) a = 0 da b = 0; b) a = 2 da b = 3; g) a = 8 da b = 2.

amoxsna:

a) a + b = 0 + 0 = 0, 2a – b = 2·0 – 0 = 0.e.i. roca a = b = 0, maSin a + b = 2a – b.

b) a + b = 2 + 3 = 5, 2a – b = 2·2 – 3 = 1 .e.i. roca a = 2 da b = 3, maSin a + b > 2a – b .

g) a + b = 8 + 2 = 10, 2a – b = 2·8 – 2 = 14.roca a = 8 da b = 2, maSin a + b < 2a – b.

C a n a w e r i

28 > a < 40arasworia!

18

ITavi

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

1. or gamosaxulebas, SeerTebuls „>“ an „<“ niSniT, ? ewodeba.

2. 21 ? 11

5 ; 3. 98 ?

1514 ; 4.

1011 ?

67 ;

5. 73 ? 11

6 ; 6.  2345679 ? 2345689; 7. 5,201 ? 5,2010.

8. 7,1 ? 7,1·0,9. 9. 5,5 ? 5,5·1,01.

10. 8,6 ? 8,6 : 0,3. 11. 8,6 ? 8,6 : 1,3.

savarjiSoebi:

1 SeadareT erTmaneTs:

a) 18,399 da 18,6017; b) 2,0 da 2; g) 71,01 da 71,010;

d) 53 da

57 ; e) 38,56 da 37,79; v) 41,09 da 39,99.

2 daalageT zrdis mixedviT:

a) 0,15; 0,1; 0,149; b) 0,713; 0,710; 0,719;

g) 12,0; 12,18; 12,01; d) 13,09; 12,18; 13,1;

e) 6,25; 6,21; 6,29; v) 18,239; 18,219; 18,241.

3 SeadareT erTmaneTs gamosaxulebaTa mniSvnelobebi:

a) 5,2·12,4 da 15,3·5,1; b) 32 + 5

1 da 23 +1; g) 63· 7

5 da 63: 52 ;

d) 71 · 81 da 0; e) 8,36 da 8,36· 4

3 ; v) 3,07 da 3,07·1,29;

z) 5,01 da 5,01: 43 ; T) 21,005 da 21,005·1,29; i) 15 ·0,35 da 0,35;

k) 127,05·1,5 da 127,05; l) 37,8· 17 da 37,8; m) 105,4: 1

4 da 105,4.

4 SeadareT erTmaneTs Semdeg gamosaxulebaTa mniSvnelobebi:

a) 14–3x da 15+2x, roca x = 3; 1; 2,5.b) 3a+21 da 4a+15, roca a = 5; 6; 7.g) 2a+5 da 2a–3, roca a = 2; 3; 10.

5 waikiTxeT Semdegi utolobebi:

a) 21a + 13 < 6a – 7; g) 6,7m – 5,05 > 3m + 1;b) 21,5 < 3,7 ≤ 8; d) 18 9

2 ≥ x ≥ 3,7.

6 CawereT ormagi utolobis saxiT:

a) 2m > 5 da 2m < 10; g) x metia 8-ze da naklebia 9-ze;

b) 3n + 1 ≤ 3 da 3n + 1 > 3; d) 2a ar aRemateba 18-s da metia 12-ze.

19

15 erTi kviris ganmavlobaSi daakvirdiT, ra dros andomebT TiToeuli sagnis momzadebas. gamoitaneT daskvna, romel sagans ufro swrafad amzadebT da romlis momzadebas uT-mobT yvelaze met dros.

amocana damoukidebeli kvlevisTvis:

7 CawereT utolobis saxiT:

a) x naklebia 7-ze an udris 7-s;

b) y ar aRemateba 17-s;

g) 2a–1 metia 9-ze da ar aRemateba 20-s;

d) x araa naklebi 7-ze da naklebia 16-ze;

e) a metia 9-ze an udris 9-s;

v) x metia an tolia 0-ze.

8 gakveTilis bolos moswavlebma maswavlebels davalebisa da sakontrolo weris rveulebi Caabares, sul 49 cali. yvela mo-swavlem Caabara Tu ara orive rveuli?

9 daasaxeleT 3-is jeradi ricxvi, romelic iyofa 20-ze.

10* ramdeni samSabaTi iyo im TveSi, romlis 5 ricxvi iyo samSabaTi.

11 wris ra nawilia daStrixuli?

12 dawereT udidesi da umciresi naturaluri ricxvebi, romelTa CanawerSi yvela cifri TiTojer gvxvdeba.

13* amoxseniT gantoleba:a) ((2(x+1)+10):5+8)·3–6=30.b) (((((5x+7):2–1):2+25):3+4)·5=70.

14* mocemulia naturalur ricxvTa mimdevroba: 6; 11; 16; 21; 26 ... daakvirdiT mas da gamoTqviT varaudi, ra kanonzomierebiTaa es mimdevroba Sedgenili. ekuTvnis Tu ara am mimdevrobas ricxvebi: 91; 125; 137; 226?

20

ITavi

3 ricxvisnaturalurixarisxi

1. mefes sami Svili hyavda. ramdeni memkvidrisgan Sedgeba mefis meoTxe Taoba, Tu CavTvliT, rom misi STamomavlebis yovel warmomadgenels sami Svili hyavda?

erTi da imave Tanamamravlebis namravli SegviZlia CavweroT gamosaxulebis saxiT, romelsac xarisxi ewodeba. magaliTad, 7·7·7·7·7=75.

a ricxvis n naturaluri xarisxi – an, sadac n>1, ewodeba n cali ricxvis namravls, romelTagan TiToeuli a­s tolia. a­s xarisxis fuZe ewodeba, n­s _ xarisxis maCvenebeli.

miRebulia, rom a1 = a .

moyvanili magaliTis SemTxvevaSi 7 xarisxis fuZea, 5 _ xarisxis maCvenebeli.

xarisxi a fuZiTa da n maCvenebliT Semdegnairad iwereba _ an, xolo ikiTxeba `a xarisxad n~, an `a-s n xarisxi~.xarisxis ganmartebidan,

a2 = a · a; a3 = a · a · a; a4 = a · a · a · a.

zogadad, ...· · ·a a a ajer

n

n

=-

1 2 344 44 .

ricxvis xarisxis povnas xarisxSi ayvanas an axarisxebas uwo deben.

34 = 3 3 3 3· · ·jer4-S

. 03 = 0·0·0 = 0.

73 = · ·7 7 7jer3-S

. 81 = 8.

daasaxeleT xarisxis fuZe, xarisxis maCvenebeli da gamoTvaleT:a) 35; b) 24; g) 53.

SeasruleT moqmedeba: 3·52·22 – 2·43 + 7.

SevTanxmdeT, rom me-2 xarisxs `kvadrati~ vuwodoT, me-3 xarisxs _ `kubi~.

101 = 10102 = 100103 = 1 000104 = 10 000 = 10 aTasi105 = 100 000 = 100 aTasi106 = 1 milioni109 = 1000 milioni = = 1 miliardi1012 = 1000 miliardi = = 1 trilioni1015 = 1000 trilioni = = 1 kvadrilioni1018 = 1000 kvadrilioni = = 1 kvintilioni

kvadratis farTobia: S = a2 (kv. sm)

kubis moculoba: V = 33 = 27 sm3

a sm

a sm

3 sm

3 sm

3 sm

(3, 4,

5)

(5, 12, 13)

(7,2

4,25

)

(33,

54,6

5)

(39,3

0,89

)

(35,

12,3

7)

(65,

48,7

3)

(91,

60,1

09)

(65,7

2,97)

(45,

28,5

3)

(65,

88,1

37)

(15,

8, 7)

(21, 20,

29)

21

ufrCxilo gamosa xule-baSi pirvelad Sesrul-deba axarisxeba.

wiTeli cifrebiT miTi-Tebulia moqmedebis rigi.

cxadia, paragrafis dasawyisSi dasmuli problema ase gadawydeba:

xarisxis ganmartebis Semdeg SegviZlia mravalniSna ricxvi saTan-rigo Sesakrebebad Semdegnairad CavweroT:

27865=2·10000+7·1000+8·100+6·10+5=2·104+7·103+8·102+6·10+5.

magaliTi 1. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba: a) 2·103; b) 26+34.

amoxsna:

a) 103 = 10·10·10 = 1000; 2·103 = 2·1000 = 2000.

b) 26 = 2·2·2·2·2·2 = 64; 26 = 64; 34 = 3·3·3·3 = 81 26 + 34 = 64 + 81 = 145.

magaliTi 2.ipoveT 144-isa da 80-is udidesi saerTo gamyofi da umciresi saerTo jeradi.

I Taoba

me-4 Taoba Sedgeba 34=81 memkvidrisganmefe

II Taoba123

456

789

3

1

2 . . . . . .

gavixsenoT:

2 7 8 6 5

aTia

Tas

eul

ebi

aTas

eul

ebi

aseu

leb

i

aTeu

leb

i

erT

eul

ebi

144723618931

222233

144

12 12·

2 · 2 · 3 2 · 2 · 3·

240

24 10·

3 · 2 · 2 · 2 2 · 5·

144 = 2·2·3·2·2·3 = 24·32.240 = 3·2·2·2·2·5 = 24·3·5.

e.i. 144 = 24 · 32

240 = 24 · 3 · 5

u.s.g. (144;240) = 24 · 3 = 48

amoxsna:

144 = 24 · 32

240 = 24 · 3 · 5

u.s.j. (144;240) = 24 · 32 · 5 = 720

ganxiluli sqemis mixedviT aRwereT mocemuli ricxvebis udidesi saerTo gamyofisa da umciresi saerTo jeradis moZebnis xerxebi.

22

ITavi

1. 315 = ...· · ·3 3 3jer? -S

. 2. ...· · ·8 8 8jer6-S

= 8 ? .

3. 1300 = ? . 4. 10000000 =10 ? .

5. (2n)6 = ( n) ( ) ... ( )· · ·n n2 2 2

jer? -1 2 34444 4444

= ? . 6. 5a· 5a·5a·5a=(5a) ? .

1 CawereT xarisxis saxiT:a) 0,7·0,7·0,7·0,7; g) 5·5·5; e) ...· · · ·y y y y

jer25-1 2 344 44 .

b) 52 · 52 · 52 · 52 ; d) (a–b)(a–b); v) ...·4 4 4· ·

jer30-S.

2 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:

a) a4, Tu a=2; b) 0,01y4, Tu y=2; 3; 10;

g) b3, Tu b=0,1; d) 2b3+3, Tu b=11; 0; 15;e) n4, Tu n=5; v) 3x3–4y2, Tu x=1 da y=2;z) 30·a3+4,5·b4, Tu a=0,1 da b=10; T) 3x4+2x3–x2+8, Tu x=2.

3 gamoiangariSeT:

a) 24; b) (0,7)2; g) 73; d) 42; e) 32 4

` j ; v) 34.

4 gamoiangariSeT:

a) 34 – ( 12 )2 + 3·23 ; b) 0,14 · 5 + 0,23 · 10 .

5 kalkulatorisTvis Sedgenili moqmedebaTa romeli Tanamimdev-robiT iqneba SesaZlebeli gamosaxulebis mniSvnelobis povna?

a) 3,53 A. 7,1 yS 14 =

b) 184 B. 4 yS 18 =

g) 418 C. 3,5 yS 3 =

d) 7,114 D. 18 yS 4 =

imetyvelesworad!

a _ xarisxis fuZea

5 _ xarisxis maCvenebelia

a5 _ xarisxia

a5

a xarisxad 5

a-s mexuTe xarisxi

a ayvanili mexuTe xarisxSi

a5

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

savarjiSoebi:

23

6 kvadratuli formis mindvris sigrZe 8 m-ia. ipoveT am min-dvris farTobi kvadratul metrebSi da Semdeg gamosaxeT igi kvadratul santimetrebSi.

7 ipoveT im kubis moculoba da zedapiris farTobi, romlis wibos sigrZea a) 5 sm; b) a sm.

8* kubis wibo a sm-ia. rogor Seicvleba misi moculoba, zedapiris farTobi, Tu wibos sigrZes: a) gavadidebT 3-jer, b) SevamcirebT 2-jer?

9 ipoveT Semdegi ricxvebis umciresi saerTo jeradi da udidesi saerTo gamyofi:a) 36-is da 45-is; b) 40-is da 48-is; g) 72-is da 180-is.

10 daasaxeleT orniSna ricxvebi, romlebsac aqvT mxolod sami gamyofi.

11 ras udris ori martivi ricxvis umciresi saerTo jeradi.

12 sul mcire ramdeni metri qsovili unda hqondes gamyidvels, rom misi gayidva SeZlos rogorc sam-sami, ise xuT-xuTi me-trobiT.

13 rZis ra umciresi raodenobaa saWiro, rom misi ganawileba SeiZlebodes rogorc 8 litrian, aseve 12 litrian WurWlebSi.

14 navsadguridan erTdroulad gadis 2 gemi. erTi yovel 6 TveSi brundeba navsadgurSi, meore ki _ yovel 15 TveSi. ra drois Semdeg aRmoCndeba orive gemi erTdroulad navsadgurSi.

15 samzareulo oTaxSi, romlis sigrZea 575 sm da sigane 375 sm, unda daagon kvadratuli formis metlaxis filebi.a) sul didi, ramdeni santimetri SeiZleba iyos aseTi filebis sigrZe?b) ramdeni aseTi zomis filis dagebaa saWiro?

16 roca giorgi 9 wlis gaxda, mamam dabadebis dReze aCuqa yula-ba, romelSic 1 lari iyo da dapirda, rom yovel momdevno dabadebis dReze yulabaSi Caagdebda 2-jer mets, vidre wina dabadebis dRes. ra Tanxa eqneba giorgis, roca mas 20 weli Seusruldeba?

17 qvemoT mocemulia garkveuli kanonzomierebiT dalagebuli naturaluri ricxvebi. daadgineT es kanonzomiereba da gaagrZeleT mwkrivi sami elementiT (SesaZloa erTze meti xerxiTac ki):

a) 1, 2, 4, . . . b) 2, 4, 8, . . . g) 1, 4, 9, . . .

d) 3, 9, 27, . . . e) 5, 25, 125, . . . v) 1, 8, 27, . . .

1m2 = 1m · 1m == 100·100 sm2 == 10000 sm2 == 104 sm2

24

ITavi

ifiqreT da iazrovneT:

18 romelia meti:

a) 53 Tu 33; b) 28 Tu 48; g) 110 Tu 101; d) (12)2

Tu (12)5

;

e) 26 Tu 62; v) 38 Tu 36; z) 46 Tu 36; T) (12)4

Tu 1.

19 ricxvis CanawerSi miuTiTeT Sesabamisi Tanrigebi da gaSaleT es ricxvi saTanrigo SesakrebTa jamad:a) 2751; b) 3001; g) 50,12; d) 18,105;e) 1057,109; v) 3,5; z) 3,53; T) 3,5301.

20 ? magivrad CasviT iseTi ricxvi, rom miiRoT swori toloba:

a) 1m = 10 ? mm; b) 1 m2 = 10 ?

sm2 = 10 ? mm2;

g) 1kg = 10 ? g; d) 1 t = 10 ?

kg = 10 ? g;

e) 1km = 10 ? m = 10 ?

sm; v) 1 sT = ? wT = ? wm.

21 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:

a) 0,72 + 25·3;b) 18,5:0,05·100 – 5·23;g) 152 + 117,45:(35 – 28,9 + 6,9);d) [(132,5 – 121,7)·0,1:0,4 + 4] – 0,33:0,9;e) 2b + c2:a + 4, Tu a = 2, b = 5 da c = 4;v) 15c:(1 – b), Tu c = 0,3 da b = 0,1.

22 ipoveT Secdoma amoxsnaSi:

a) 4·7 + 8 = 4·15 = 60; b) 38 – 8:2 = 30:2 = 15; g) 7 + 82 = 225;d) 5 + 3·23 = 5 + 216 = 221; e) 5·32 – 100 = 225 – 100; v) 142:2 = 49.

23 cnobilia, rom a) u.s.g. (a;b) = b. ipoveT u.s.j. (a;b); b) u.s.j. (a;b) = a. ipoveT u.s.g. (a;b).

24 SeavseT Tavisufali ujrebi mocemuli nimuSis mixedviT. gamoi-taneT Sesabamisi daskvna.

a 35 40 70 100

b 63 25 105 125

u.s.g. (a;b) 7

u.s.j. (a;b) 315

a · b 2205

u.s.j. (a;b) × u.s.g. (a;b) 2205

2,51

2105

101

2

=

= + +

25

amocana damoukidebeli kvlevisTvis:

25*. mocemulia ricxvTa mwkrivi:a) 3, 6, 9, 12, 15; b) 4, 8, 12, 16, 20;g) 1, 4, 7, 10, 13; d) 2, 7, 12, 17, 22.

SeamCnieT kanonzomiereba da dawereT mwkrivis kidev sami wevri.

26* buratinos gakveTilze ramdenime ricxvis Sekreba daavales. magaliTis gadawerisas man ramdenime Secdoma dauSva: erT-erT SesakrebSi erTeulebis TanrigSi 3-ianis nacvlad 9-iani gadmowera, meore SesakrebSi aseulebis Tanri gSi 7-iani CaTvala 1-ianad, xolo mesame SesakrebSi aTaseulebis TanrigSi 6-ianis nacvlad 5-iani Cawera. amis Semdeg man Sekriba es ricxvebi da miiRo 72438. Sekrebisas mas axali Secdoma ar dauSvia. ra pasuxs miiRebda buratino, sworad rom gadmoewera magaliTi?

27 dawereT marTkuTxa formis nakveTis perimetris gamosaTvleli gamosaxuleba, Tu nakveTis sigrZe 12 m-iT metia siganeze. ipoveT nakveTis sigrZe da sigane, Tu am nakveTis SemosaRobad saWiroa 72 m sigrZis mavTulbade.

28* romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva. kviris ra dRe iyo am Tvis 26 ricxvi?

29 a) kvadratis ra nawilia gaferadebuli? b) ipoveT kvadratis daStrixuli nawilis

farTobi, Tu kvadratis gverdis sigrZe 6 sm-ia.

30* gayaviT 32 bavSvi or jgufad ise, rom pirvel jgufSi bavSvebis

raodenoba iyos meore jgufis bavSvebis raodenobis 53 .

31 ori martivi ricxvis jami kentia. ras udris am ori ricxvidan umciresi?

32 CawereT yvela samniSna ricxvi, romelic SeiZleba CavweroT cifrebiT 3; 4; 6 (ricxvSi cifrebi ar gameordes) da daalageT isini zrdadobis mixedviT.

33 SeadgineT yvela samniSna ricxvi, romlebic Caiwereba cifre-biT 2 da 4 da daalageT isini klebis mixedviT.

26

ITavi

Seamowme Seni codna:

1 mTeli ricxvi, romelic akmayofilebs utolobas, 0 ≤ x < 2 aris: a) 2; b) mxolod 1; g) 0 da 1; d) mxolod 0.

2 x ricxvia ar aris naklebi 5-ze niSnavs: a) x >5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.

3 x ar aRemateba 5-s niSnavs: a) x > 5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.

4 gamosaxuleba a + b – c tolia: a) a + c – b; b) b – c + a; g) b – c – a; d) b + c – a .

5 gamosaxuleba a (bc) tolia: a) ab + ac; b) ab · ac; g) abc; d) ab – ac.

6 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:

: , : , ,1127

1918

2 42 1 21 1169

0 32-` ` .

7. gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe: 32527 · 32324 · 32528 · 32323.

8. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba: a) 0,01y4, Tu y=3; b) 2b3+3, Tu b=5; g) 2x4–5x3+x2+3x+2, Tu x=5.

9. gamoiangariSeT:

a) 0,23+0,4·24; b) 10·5·24; g) 8·0,53+25·0,22; d) 3524

2

- ` j .

10. SeavseT cxrilis carieli ujrebi:

x y 2x 3 y 2x–3y+4

5 1

2,5 0,1

7,4 2,8

1,5 8

12,6 7,5

11 Caweris gareSe daasaxeleT romeli Tanrigis erTeulebi iqneba 0-is toli Semdeg ricxvebSi:a) samas ocdarva milion orasocdaxuTi;b) samas ori milion ocdaxuTiaTas erTi;g) ormocdaSvidi milion as ori aTas ocdasami.

12 CawereT yvela xuTniSna ricxvi, romlis cifrTa jami 2-is to-lia.

27

4 gayofadobisniSnebi

1. 50 litriani WurWlidan Tafli unda gadanawildes qilebSi. daadgineT:

a) ramdeni 2- li triani,

b) ramdeni 5-litriani qila dasWirdeba mefutkres?

g) SesaZlebelia Tu ara, rom Tafli mxolod 3-litrian qilebSi gadanawildes?

amoxsna:

Tu 50 litriani WurWlidan Tafls 2 litrian qilebSi CavasxamT, maSin dagvWirdeba 50:2 = 25 qila, xolo Tu 5-litrian qilebSi – 50:5 = 10 qila. Tafli mxolod 3 litrian qilebSi ver gadanawildeba, radgan 50 ar iyofa 3-ze. am SemTxvevaSi gaivseba 16 cali 3-litriani qila, meCvidmeteSi ki aRmoCndeba Casasxmeli mxolod 2 litri: 50 = 16·3 + 2.diax, Tqven mSvenivrad iciT, rom naturaluri ricxvebis gayofisas yovelTvis naturaluri ricxvi ar miiReba. zemoT ganxiluli da misi msgavsi zogierTi sxva problemis gadasawyvetad ki mosaxerxebelia vicodeT zogierT ricxvze gayofadobis niSnebi.

vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b ) Tu ganayofi a:b naturaluri ricxvia.

e.i. sruldeba toloba: a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia.

CamovayaliboT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze, 10-ze da 4-ze gayofadobis niSnebi.

1. 2­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT bolovdeba.

luwi cifrebia 0, 2, 4, 6, 8.

kenti cifrebia 1, 3, 5, 7, 9.

a iyofa 2-ze niSnavs, rom arsebobs iseTi naturaluri k ricxvi, romlisTvisac sruldeba: a=2k.

a=2k _ luwi ricxvis formulaa.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10   ...

oris jeradi ricxvebi

naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-2 ricxvi orze iyofa.

-Ti maTematikaSi aRiniSneba sityva

„iyofa“.

50 10radgan 50 = 5·10

75 5radgan 75 = 5 · 15

a 3 e.i. a = 3k

28

ITavi

2. 10­ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic 0­iT bolovdeba

a 10, e.i. a=10k, k naturaluri ricxvia. a=10k – 10-is jeradi ricxvis formulaa.

3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis bolo cifria 5 an 0 .

a 5, e.i. a = 5k, sadac k naturaluri ricxvia.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21...

5-is jeradi ricxvebi

naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-5 ricxvi 5-is jeradia.

4. 3­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 3­ze.

magaliTad, 7452 3, radgan 7+4+5+2=18 da 18 3.

magram 3+5+6=14 da 356 ar iyofa 3-ze.

1, 2,  3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...

3-is jeradi ricxvebi

naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-3 ricxvi 3-is jeradia.

5. 9­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 9­ze.

magaliTad, 2358 9, radgan (2 + 3 + 5 + 8 = 18 da 18 9), xolo 2337 ar iyofa 9-ze, radgan 2 + 3 + 3 + 7 = 15 da 15 9. ikiTxeba: 15 ar iyofa 9-ze.

6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze .

magaliTad, , radgan 24 4.

dawereT: a) 2-is jerad, b) 3-is jerad,

g) 9-is jerad, d) 4-is jerad ricxvTa mwkrivi.

1. daasaxeleT mwkrivis pirveli wevri.

2. rogor miiReba mwkrivis yoveli wevri wina wevrisagan?

3. ra SegiZliaT TqvaT mwkrivis bolo wevrze?

4. rogor miiReba mwkrivis nebismieri wevri pirveli wevrisagan?

5. gaaCnia Tu ara msgavsi Tvisebebi naturalur ricxvTa mwkrivs?

„ar iyofa“ aRiniS-neba

„“ simboloTi.

29

magaliTi 1.ricxvs 2351-s marjvniv mivuweroT erTi cifri ise, rom miRebuli ricxvi gaiyos: a) 4-ze, b) 3-ze, g) 9-ze.

amoxsna:

a) 2351* .es ricxvi 4-ze gaiyofa, Tu 1* ricxvi gaiyofa 4-ze. aseTi ricxvebia: 12 da 16.23512 4 an 23516 4b) 2 + 3 + 5 + 1 = 11 .e.i. bolo cifri SesaZloa iyos:1; 4; 723511 3 23514 3 23517 3

g) 2+3+5+1 = 11, bolo cifri SesaZloa iyos mxolod 7.23517 9, radgan 2+3+5+1+7=18 da 18 9.

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

1. abc4 ? 2-ze; 2. abc5 ? 5-ze;

3. abc3 ? 5-ze; 4. abc34 ? 4-ze;

5. m52 ? 4-ze; 6. mn0 iyofa ? .

7. Tu ricxvis cifrTa jami iyofa ? maSin es ricxvi iyofa ? .

8. ricxvs, romelic iyofa n ricxvze, n ricxvis ? ewodeba.

9. ricxvs, romelzec iyofa n ricxvi, n ricxvis ? ewodeba.

10. luwi ricxvis momdevno ricxvi ? ricxvia.

savarjiSoebi:

1 Semdegi ricxvebidan amowereT iseTebi, romlebic iyofa: a) 3-ze; b) 9-ze; g) 5-ze; d) 4-ze; e) 2-ze; v) 3-zec da 5-zec: 335; 4781; 1002; 3005001; 6303; 304505; 2536; 5600; 78905; 56704.

2 varskvlavis nacvlad CawereT cifrebi ise, rom miRebuli ricxvi gaiyos mocemul ricxvze (ganixileT yvela SesaZlo SemTxveva).

a) 234* gaiyos 5-ze; b) 387* gaiyos 4-ze;g) 25*1 gaiyos 3-ze; d) 45*9 gaiyos 9-ze;e) 378* gaiyos 10-ze; v) *124 gaiyos 3-ze.

orniSna ricxvi aRvniS-noT ab , maSin ab=10a+b. a b c samniSna ricxvi.

abc = 100a + 10b + c275 = 2 · 100 + 7 · 10 + 5

aseu

leb

i

aTeu

leb

i

erTeulebi

30

ITavi

3 mwkrivSi dgas 137 jariskaci. gaTvla xdeba pirvel-meoreze. ra nomeria bolo jariskaci?

4* gaeciT pasuxi wina amocanaSi dasmul SekiTxvas Tu jariskacebi gaiTvlian:

a) pirvel-mexuTeze; b) pirvel-mesameze.

5 moifiqreT amocana, sadac dagWirdebaT a) 5-ze, b) 9-ze gayofado-bis wesi.

6 SeiZleba Tu ara 9 galiaSi Tanabrad gadavanawiloT 71 kurdReli?

7 romel ricxvze gaiyofa unaSTod sami erTmaneTis momdevno ricxvis jami?

8 dawereT:

a) 3-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 191-sa da 237-s Soris;

b) 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 137-sa da 172-s Soris.

9 SesaZlebelia Tu ara, rom kenti ricxvi gaiyos 4-ze? (pasuxi daasabuTeT).

10 maRaziaSi Sesulma natom SeamCnia, rom safuleSi mxolod 5 TeTriani da 10 TeTriani monetebi hqonda, SeuZlia Tu ara natos gamyidvels zustad gadauxados (xurdis dabrunebis gareSe) 6 cali saSlelis, 2 rveulis, 2 namcxvris Rirebuleba, Tu 1 saSleli Rirs 8 TeT ri, 1 rveuli _ 33 TeTri, xolo 1 namcxvari _ 50 TeTri.

11* ramdeni bavSvia klasSi, Tu maTi 34 dadis inglisurze, 57 dadis

fran gulze da cnobilia, rom mTeli klasis moswavleTa nax-

evari 15-ze naklebia.

12* dawereT udidesi xuTniSna ricxvi, romlis CanawerSi gvxvdeba yvela kenti cifri da romelic iyofa 5-ze.

13* dedam salomes supermarketSi 4 saSleli, rveulebi – TiTo 40 TeTrad, Tojina 4 larad, 12 feradi fanqari da 8 naWeri namcxvari uyida. gamyidvelma 19 lari da 30 TeTri uangariSa. salomem dedas uCurCula, rom gamyidveli Secda, sworad mixvda Tu ara salome? pasuxi daasabuTeT.

14* ipoveT:

a) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 1 da romelic iyofa 9-zec da 5-zec, magram ar iyofa 2-ze.

b) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 7 da romelic iyofa 9-zec, 5-zec da 2-zec.

31

15 giorgim, nikam da vaJam tyeSi soko wiTeli (niyvi) moagroves. Sin misulebma gadawyvites soko Tanabrad gaeyoT. SeZleben Tu ara biWebi motanili sokos Tanabrad ganawilebas, Tu:

a) giorgim ipova 37, nikam _ 40, vaJam ki _ 31 soko;

b) giorgim _ 23, nikam _ 18, vaJam ki _ 15 soko?

Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Se-sabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis Sesabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia, airCieT (C);Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisTvis, airCieT (D).

A B A B C D

16. 8 × 7 gamosaxulebis aTeulebis ricxvi

2335:5 gamosaxulebis aseulebis cifri

17. wamebis raodenoba 6 sT-SiwuTebis raodenoba erT

kviraSi

18. 3(8x+4) 4(3+6x)

19. 2(x+1)+3x–2 5x

20. 24 42

21.523 -sa da

599 -s Soris

moTavsebul mTel ricxvTa raodenoba

311 -sa da

359 -s Soris

moTavsebul mTel ricxvTa raodenoba

22. avtomobilSi gadaixades 2400 lari da kidev mTeli Rirebulebis

53 nawili. ra Rirda avtomobili?

23. ramdeniT gaizrdeba ricxvi 12, Tu mis cifrebs gadavaadgilebT. daasaxeleT yvela orniSna ricxvi, romelic cifrebis gadaad-gilebiT imdeniTve gaizrdeba.

32

ITavi

jgufuri mecadineoba

viTamaSoT!

TamaSobs ori moTamaSe.

I TamaSi.

I moTamaSe asaxelebs ricxv 1-s an 2-s, meore moTamaSes SeuZlia dasaxelebul ricxvs daumatos 1 an 2 da asaxelebs miRebul jams. igebs is, vinc pirvelad daasaxelebs 51-s.

ver mixvdiT?

CaatareT erTmaneTSi es TamaSi ramdenjerme. romelma moTamaSem moigo? aRwereT, rogor unda iTamaSos moTamaSem (romelma?) sworad, rom moigos.

II TamaSi.

qvebis grovaSi 100 qvaa. moTamaSes erT svlaze SeuZlia aiRos 1 an 3 qva. igebs is moTamaSe, romelic bolo qvas aiRebs.romeli moTamaSe moigebs, Tua) pirveli moTamaSe aiRebs 3 qvas;b) pirveli moTamaSe aiRebs 1 qvas.

III TamaSi.

qvis grovaSi 120 qvaa. moTamaSeebi, monacvleobiT, survilisamebr iRebena) 1, 2, 3 an 4, b) 1, 2, 3, 4 an 5 qvas. romeli moTamaSe moigebs da rogori wesiT unda iTamaSos man, rom moigos, Tu mogebulad iTvleba is moTamaSe, romelic aiRebs bolo qvas?

33

5 ricxvTagayofadobiszogierTi Tviseba

1. saaxalwlo zeimze Tovlis babuam Ia da Ib klasis moswavleebs saCuqrad TiTo yuTi Sokoladis fila miutana. ganawile bis Semdeg aRmo Cnda, rom: a) Ia klasis TiToeul moswavles Sexvda sam-sami fila, xolo Ib klasis moswavleebs ki _ oTx-oTxi fila. SeeZlo Tu ara Tovlis babuas imave raodenobis Sokoladis fila (1 yuTi) 12 bavSvisTvis Tanabrad gaenawilebina?b) Ia klasis TiToeul moswavles ergo eqvs-eqvsi fila, Ib klasisas _ oTx-oTxi. SeeZlo Tu ara Tovlis babuas imdenive Sokoladis fila (1 yuTi) 24 bavSvisTvis Tanabrad gaena wilebina?

Tqven ukve iciT zogierT ricxvze, magaliTad, 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze, 10-ze gayofadobis niSnebi. SeiZleba Tu ara davadginoT, kidev sxva ricxvebze, magaliTad 12-ze, 24-ze, 15-ze da a. S. gayofadobis niSnebi? amisTvis gavecnoT ricxvTa gayofadobis ramdenime Tvisebas.

Tviseba 1. Tu a (bc), maSin a b da a c.

marTlac, a (bc) niSnavs, rom ganayofSi miiReba mTeli ricxvi da sruldeba toloba: a=(bc)·n (1) Tu gamoviyenebT gamravlebis jufTebadobis Tvisebas, (1)-s SeiZleba aseTi saxe mivceT a=b(cn). radgan cn-ic mTeli ricxvia, es imas niSnavs, rom a b. analogiurad, a=c(bn), saidanac Cans, rom a c.marTlac, radgan 24 8, amitom 24 2 da 24 4 (2·4=8).36 6, amitom 36 2 da 36 3 (2·3=6).

sainteresoa, sruldeba Tu ara zemoT Camoyalibebuli winadadeba piriqiT?

e.i. Tu a b da a c gaiyofa Tu ara a ricxvi maT namravlze, bc-ze?

ganixileT ramdenime magaliTi.

rogorc xedavT, Cvens mier Camoyalibebuli winadadeba zogjer sruldeba, zogjer ara. magaliTad, 12 iyofa 6-zec da 4-zec, magram 12 ar iyofa 6·4-ze.

mocemul sqemaze kargad Cans rom 4·6=24 martiv mamravlebad daSlaSi u. s. g. (6;4)=2 orjer Sedis _ erTxel, rogorc 4-is, meored ki rogorc 6-is gamyofi. amitom cxadia, 12 aRar gaiyo maT namravlze.

meores mxriv, 12 3 da 12 4. amasTan 12 12 (12=3·4) da u. s. g. (3;4)=1.

yuradReba!

C a n a w e r i a b ( a i y o f a b - z e ) a r aRniSnavs raime moqmedebas a da b ricxvebs Soris. igi aris winadade-ba, romelic a-sa da b-s zogierTi mniSvne lobisTvis WeSmaritia, zogi-erTisTvis ki _ mcdari.

12 24

4 · 6

2 · 2 · 3 2 · 2 · 2 · 3

34

ITavi

Tviseba 2. Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c)=1, maSin a gaiyofa bc-ze.am Tvisebidan gamomdinare advilad davaskvniT:a) 6-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da 2-zec.b) 15-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da 5-zec.

CamoayalibeT 12-ze, 18-ze, 36-ze gayofadobis niSnebi. moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.

Tviseba 3. Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze, maSin a + b da a – b ricxvebic gaiyofa c-ze.marTlac, a c , niSnavs a=cn, xolo b c ki niSnavs, rom b=cm, maSin a+b=cn+cm gamravlebis ganrigebadobis kanonis safuZvelze a+b=c(n+m), radgan n+m naturaluri ricxvia, miviReT (a+b) c.analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom (a–b) c, sadac a>b.

WeSmaritia Tu mcdari winadadeba: a) Tu a da b ricxvebidan arc erTi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar gaiyofa c-ze.b) Tu a ricxvi iyofa c-ze da b ricxvi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar gaiyofa c-ze. moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.

winadadeba ̀ a b mcdaria~ imas niSnavs, rom a ricxvis b ricxvze gayo-fisas miiReba aranulovani naSTi.nebismieri a da b naturaluri ricxvebisaTvis Sesruldeba toloba:

a = bn + r,sadac a _ gasayofia, b _gamyofi, n _ ganayofi, xolo r _ naSTi. amasTan 0 ≤ r < b ,

(r=0, roca a b)14:4=3(2), e. i. 14=3·4+2.

am formulis mixedviT ukve advilad CavwerT:

1) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-Zlevs 1-s, iqneba a=3n+1. 2) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-Zlevs 2-s, iqneba b=3n+2. cxadia, 3-ze gayofisas sxva aranulovan naSTs ver miviRebT, radgan naSTi 3-ze naklebi ricxvia.

dawereT 1-eli cxrilis msgavsi cxrili 5-ze, 6-ze gayofis naSTebisaTvis.

daumtkiceblad miviRoT Semdegi Tviseba.

naSTi yovelTvis nak lebia gamyofze.

cxrili 13-ze gayofis

naSTebi0 1 2

naturaluri

ricxvebi

0369

......3n......

14710......

3n+1......

25811

......3n+2......

35

ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebis gamoyenebiT

Tviseba 4. ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli ricxvis c-ze gayofisas miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.

e. i. Tu a = cm + r1 da b = cn + r2 da amasTan, (r1+ r2) c, maSin (a + b) c.marTlac, 18-is 5-ze gayofisas miiReba naSTi 3, xolo 22-is 5-ze gayofisas miRebuli naSTia 2. maTi jami 18 + 22 = 40 iyofa 5-ze: (2 + 3 = 5).

moiyvaneT kidev ramdenime magaliTi, raTa darwmundeT me-4 Tvisebis marTebulobaSi.

naturalur ricxvebs kidev bevri Tviseba aqvT. gavecnoT erT maTgans.ganvixiloT 2-iT da 6-iT daboloebul ricxvTa namravli. magaliTad, a) 2·6=12; b) 12·6=72; g) 2·16=32; d) 22·6=132.

maSasadame, SeiZleba davaskvnaT, rom 2-iT daboloebuli ricxvis namravli 6-iT daboloebul ricxvze gvaZlevs ricxvs, romelic bolovdeba 2-iT. e. i. imave cifriT, ra cifriTac bolovdeba 2·6.aseve, ..... 4 × ..... 7 = ..... 8 (4·7=28) ..... 3 × ..... 8 = ..... 4 (3·8=24)aqedan (.....3)2 = ..... 9 ( 32 = 9 ). (.....4)2 = ..... 6 ( 42 = 16 ).da a.S.

magaliTi 1. a ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s, b ricxvi _ 2-s, c ricxvic _ 2-s. ra ricxvs miviRebT naSTSi, Tu 7-ze gavyofT: a) a+b-s, b) a+b+c-s.

amoxsna:a) a = 7n + 3, xolo b = 7m + 2.aqedan a + b = 7n + 3 + 7m + 2.

a + b = 7(n + m) + 5.miviReT, rom a + b ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi mogvcems 5-s.

b) radgan c = 7k + 2, miviRebTa + b + c = 7n + 3 + 7m + 2 + 7k + 2 = 7(n + m + k) + 7 = 7(n + m + k + 1).miRebuli Sedegidan Cans, rom naSTSi miviReT 0, e. i. (a + b + c) 7.

magaliTi 2.davasabuToT: a) 9-ze gayofadobis; b) 4-ze gayofadobis niSani.

amoxsna:

a) dasabuTeba CavataroT oTxniSna ricxvisTvis. sxva ric-xvebisTvisac damtkiceba analogiuri iqneba.ganvixiloT oTxniSna abcd ricxvi.

Tviseba 3 da Tvi se-ba 4 sruldeba Sesa-krebTa nebismieri ra o de no bi s Tvisac.

36

ITavi

353 = 3·100 + 10·5 + 34785 = 47·100 + 8·10 + 555623 = 556·100 + 2·10 + 3

cxadia, miRebuli jami gaiyofa 9-ze, Tu mocemuli ricxvis cifrTa jami a+b+c+d gaiyofa 9-ze. da piriqiT, Tu a+b+c+d ar gaiyo 9-ze jamic da e.i. abcd ricxvic ar gaiyofa 9-ze. r. d. g.

b) davamtkicoT abc samniSna ricxvisaTvis.

.miRebuli jami gaiyofa 4-ze mxolod maSin, roca 10b+c anu bc ricxvi gaiyofa 4-ze. r. d. g.

1. a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia niSnavs, rom a ? n.2. Tu a 3 da (a+b) 3, maSin b ? 3.3. Tu a 7 da (a+b) 7, maSin b ? 7.4. Tu a 6 da a 7 , maSin a ? .5. Tu a 12 da a 8 , maSin aucileblad a ? 96.6. a ricxvi 12-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 4-s, xolo b ricxvi – 5-s, maSin a+b-s 12-ze gayofisas naSTSi miiReba ? .

savarjiSoebi:

1 daamtkiceT, rom: a) luwi ricxvebis jami luwi ricxvia; b) ori kenti ricxvis jami luwi ricxvia; g) luwi da kenti ricxvis jami kenti ricxvia.

2* ramdeni kenti orniSna ricxvi arsebobs?

3 daasaxeleT 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia:

a) 58-sa da 81-s Soris, b) 127-sa da 179-s Soris.

4 cnobilia, rom a 18. gaiyofa Tu ara a ricxvi 9-ze?

5 cnobilia, rom a 39. gaiyofa Tu ara a ricxvi 3-ze?

6 daamtkiceT, rom

a) ori momdevno naturaluri ricxvis namravli gaiyofa 2-ze.

b) sami momdevno naturaluri ricxvis jami gaiyofa 3-ze, xolo namravli 6-ze.

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

37

7 moqmedebaTa Sesrulebis gareSe daadgineT, mocemuli jamidan Tu sxvaobidan, romeli iyofa unaSToT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 7-ze.a) 288+38+351+953; b) 351+1254+78;g) 255+750+1555; d) 847–77.

8 ricxvebi Cawerilia saTanrigo SesakrebTa jamis saxiT. daadgi-neT, romeli iyofa 10-ze, 3-ze, 4-ze, 5-ze. axseniT ratom?a) 5·105+3·103+2·102+10; b) 4·103+3·102+7·10+5;g) 3·104+4·103+5·102+4·10+1; d) 7·105+5·103+2·102+7·10+2.

9 daamtkiceT, rom: a) ( 2582 – 33·51 + 472) 10; b) ( 1232 – 622) 5.

10* varskvlavebis nacvlad CasviT cifrebi ise, rom Sesruldes:a) *378* 36; b) 4*25 45; g) 2895* 6; d) 56** 18.

11 daamtkiceT, rom a) (23442 – 1) 5-ze; b) (37892 – 1) 10-ze.

12. ipoveT ra cifriT bolovdeba ricxvi (733 + 29·39)·3 – 2572.

13 daamtkiceT, rom 56**7 ricxvi ar SeiZleba iyos romelime natu-raluri ricxvis kvadrati.

14* varskvlavebis nacvlad 42*4* CasviT cifrebi ise, rom miRebuli ricxvi gaiyos 36-ze.

15 ra cifriT bolovdeba 253 – 242 + 223 gamosaxulebis mniSvneloba.

16* ipoveT yvela orniSna ricxvi, romelic oTxjer metia Tavisive cifrebis jamze.

17* iam Sekriba yvela naturaluri ricxvi 1-dan 110-mde. daamtki-ceT, rom miRebuli jami unaSTod gaiyofa 37-ze.

18* daamtkiceT, rom: a) nebismieri naturaluri n ricxvisaTvis (n + 7) (n + 12) 2;b) nebismieri mTeli m da n ricxvebisaTvis mn (m + n) 2.

19 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 12k + 1 gamosa-xulebis mniSvneloba:a) iyofa 3-ze; b) ar iyofa 4-ze; g) SeiZleba gaiyos 2-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.

20 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 7k + 5 gamosa-xulebis mniSvneloba:a) iyofa 5-ze; b) ar iyofa 5-ze; g) iyofa 7-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.

21 viciT, rom (7k + 14) 3-ze maSin k-s nebismieri naturaluri mniS-vnelobisaTvis We Smritia:a) (7k + 14) 6; b) (7k + 14) 14;g) (7k + 14) 21; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.

38

ITavi

22  ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis aTeulebis cifria 5 da romelic iyofa 9-ze?

23 Tu n ricxvi 5-ze gayofisas naSTs gvaZlevs 2-s, Semdegi winadadebebidan romelia aucileblad WeSmariti?a) n luwi ricxvia;b) n + 3 ar SeiZleba iyos martivi;g) (n + 2) 7-ze gayofis naSTi 2-is tolia.

24* 2011 wlis 1 ianvari SabaTi iyo:a) ra dRe iqneba imave wlis 31 dekemberi?b) ramdeni SabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?g) ramdeni samSabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?

25* 1 marti orSabaTia. ra dRe iqneba imave wlis:

a) 5 aprili? b) 20 aprili; g) 7 maisi?

miTiTeba: marti _ 31 dRe, aprili _ 30 dRe da kidev 7 dRe, sul 68 dRe.

26* erT samefoSi saocari xe xarobda. xes 45 vaSli da 20 limoni esxa. mebaRe yovel dRiurad or nayofs wyvetda, maT adgilze ki maSinve Cndeboda erTi axali nayofi. amasTan, Tu mebaRe erTi da igive nayofs mowyvetda, maSin Cndeboda limoni, xolo sx-vadasxva nayofis mowyvetas vaSlis gaCena mohyveboda. SesaZle-belia Tu ara am xeze bolo nayofi iyos limoni?

27 SeiZleba Tu ara 4731 gazeTisgan Semdgari Sekvra gaiyos 3 tol nawilad? 9 tol nawilad?

28 ramdeni erTnairi Semadgenlobis Taiguli SeiZleba Seikras 15 vardisa da 18 mixakisagan?

29 nakiania weliwadi, romlis Tebervali 29 dRiania. kviris romeli dRe iqneba nakiani wlis TebervalSi 5-jer, Tu 1 Tebervali iyo kvira?

30 ori kvadratiT Seqmnili figuris ra nawilia Seferade-buli?

31 erTi ricxvis 32 nawili udris meore ricxvs. ipoveT am

ricxvebis Sefardeba.

32 velosipedistma 47,5 km-is gavlis Semdeg 15 km/sT siCqariT

kidev 131 saaTi iara. ramdeni kilometri gaiara velosipe-

distma sul?

39

piTagora (Zv.w.580-500 w.w.)udidesi berZeni maTematikosi

piTagorelebis azriT, ricxvebi iyofa or jgufad: keTilad da borotad, bednierebisa da ubedurebis momtanad. maTve dayves natu-raluri ricxvebi luw da kent ricxvebad. aseve srulyofil da arasrulyofil, martiv da Sedgenil, megobrul, samkuTxa, kvadratul, xuTkuTxa da a.S. ricxvebad.ricxvebs, romlebic Tavisive sakuTari gamyofebis jamis tolia, srul yofil ricx-vebs uwodebdnen. pirveli srulyofili ricx-via 6.

6 = 1 + 2 + 3 .

aseve srulyofili ricxvia

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

sul aRmoCenilia 23 srulyofili ricxvi.martiv ricxvebs, romelTa sxvaoba 2-is tolia, Zveli berZeni maTematikosebi tyup ricxvebs uwodebdnen:3 da 5; 5 da 7; 11 da 13; 17 da 19 da a. S. tyupi ricxvebia.

ifiqreT da iazrovneT:

2258 = 24 · 64 + 2

33. ganvixiloT 2-is xarisxebis bolo cifrebi

21 = 2 25 = 3 2

22 = 4 26 = 6 4

23 = 8 27 = 128

24 = 16 28 = 256

daukvirdiT miRebul Sedegebs da gamoitaneT gonivruli daskvna _ rogor vipovoT 2-is romelime maRali xarisxis bolo cifri?ganixileT 3-is, 7-is da 8-is xarisxebis bolo cifrebi.

40

ITavi

Tema

sxvamoqmedeba

Cven ukve gavecaniT ricxvebze sxvadasxva moqmedebebs: Sekrebas, gamoklebas, gamravlebas, gayofas da axarisxebas. es operaciebi Sesabamisi simboloebiTaa aRniSnuli

magaliTad, a + a + a + a ≡ 4a, ...a a a

jerk

+ + +

-

6 7 8444 444 ≡ ka, ...a a a· · ·

k6 7 844 44 ≡ ak.

ra Tqma unda, SesaZlebelia, rom ricxvebze ganisazRvros kidev raime axali moqmedeba.

magaliTad, Tu a ◊ b simboloTi aRvniSnavT Semdeg moqmedebas: a ◊ b = ab + a.

maSin 7 ◊ 5 = 7·5 + 7 = 42, xolo 5 ◊ 7 = 5·7 + 5 = 40.

1. Tu a • b = a2 + b2, maSin a) 3 • 5 = b) 2 • 3 = g) 7 • 1 = d) 0 • 5 =

2. SeamowmeT 1-el magaliTSi ganmartebuli moqmedebisTvis srul-deba Tu ara:a) a • b = b • a; b) a • (b • c) = (a • b) • c.

moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.

3. Team a da b ricxvebisTvis axali moqmedeba gansazRvra da man es magaliTebze aCvena:

1 2 = 5 2 2 = 63 1 = 5 4 2 = 8

SeecadeT, gamoicnoT, Tan CaweroT, Tu rogor gansazRvra Team a b moqmedeba.

4. moifiqreT axali moqmedeba. SeadgineT cxrili ricxve-bze moqmedebaTa SedegebiT. gacvaleT miRebuli cxrilebi da CawereT megobris mier gansaz Rvruli moqmedeba nebis-mieri a da b ricxvebisTvis: „a ∇ b = ..........“.

5. amoxseniT gantoleba:

a) x • 2 = 23; b) 5 • x = 19; g) 3 • 7 = x + 11.Tu a • b = 3a + 4b.

6. a • b = 2a ba b+−

gamoTvaleT:a) 4 • 2; b) 3 • 0; g) 5 • 4.

1 ∇ 2

3 ∇ 2

2 ∇ 1

41

Seamowme Seni codna:

1. Tu :a b ab89 6 3= , maSin 2a+b tolia:

a) 9; b) 12; g) 8; d) 5.

2. Tu a ricxvi iyofa 6-zec da 8-zec, maSin a aucileblad gaiyofa:

a) 48-ze; b) 10-ze; g) 24-ze; d) 16-ze.

3. 79-is bolo cifria:

a) 7; b) 1; g) 2; d) 9.

4. 35789177-is 9-ze gayofisas naSTSi miiReba:

a) 7; b) 3; g) 4; d) 2.

5. a ricxvi 15-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 13-s, maSin a ricxvis 5-ze gayofis naSTi iqneba

a) 1; b) 4; g) 13; d) 3.

6. a ricxvi 8-e gayofisas naSTSi gvaZlevs 5-s, b ricxvi ki _ 4-s, maSin a+b-s 8-ze gayofisas naSTSi miiReba:

a) 3; b) 1; g) 4; d) 5.

7. a ricxvi 9-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 7-s, maSin 3a-s 9-ze gayofisas naSTSi miiReba:

a) 2; b) 3; g) 7; d) 1.

8. sam yuTSi awyvia burTulebi: erTSi Savi, meoreSi wiTeli da mesameSi TeTri. TiToeuli yuTi imave ferad aris SeRebili, ra feris bur-Tulebic aris masSi. viRacam ise gadaalaga burTulebi, rom arc erTi yuTis feri aRar emTxveva masSi moTavsebuli burTulebis fers. roca Savi yuTi gaxsnes, masSi wiTeli burTulebi aRmoCnda. ra feris yuTSia TeTri burTulebi?

a) TeTrSi; b) SavSi; g) wiTelSi; d) monacemebi sakmarisi ar aris.

9. (2·5·7·9+10)-is 7-ze gayofiT miRebuli naSTia:

a) 1; b) 3; g) 2; d) 6.

10. Tu x * y = x:2 + 3y, maSin 4 * 1 = : a) 4; b) 5; g) 6; d) 2.

42

ITavi

1) „A, B, C ...“ ikiTxeba: „ A, B, C da a.S.“ „ ... “ „ da a.S. “

6simravle

1. CamoTvaleT saqarTvelos mosazRvre saxelmwifoebi.

2. dawereT 45-sa da 80-s Soris moTavsebuli yvela martiv ricxvTa simravle.

yvelas kargad gvesmis, Tu ra igulisxmeba, roca vam-bobT: qarTuli anbanis aso-niSnebis simravle, VIIa klasis moswavleTa simravle, planetebis simravle da ase Semdeg.simravleTa Teoriis fuZemdebeli, germaneli maTema-tikosi, georg kantori ambobda: `simravle aris bevri, romelsac Cven erTianad gaviazrebT~. marTlac, roca vambobT, Cveni klasis moswavleTa simravle, vgulisx-mobT ara calkeul moswavles, aramed yvelas erTad.

simravle didi A,B,C...1) asoebiT aRvniSnoT.

sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle war­moadgens, am si mravlis elementebi ewodeba.

simravlis elementebi patara a,b,c,d... asoebiT aRvniS-noT.

magaliTad, Tu vixilavT amierkavkasiis qveynebis simravles, maSin misi elementebi iqneba _ saqarT-velo, somxeTi, azerbaijani. kontinentTa simravlis elementebia: evrazia, afrika, CrdiloeTi da samxreT amerika, avstralia, antarqtida. luw martiv ricxvTa simravle Seicavs erT elemenets, esaa ricxvi 2.

imis aRsaniSnavad, rom a aris A simravlis elementi,

vwerT: a∈A da vkiTxulobT `a ekuTvnis A simravles~, an `a aris A simravlis elementi~.

Tu a ar aris A simravlis elementi, vwerT: a∉A da vkiTxulobT ̀ a ar ekuTvnis A simravles~ an ̀ a ar aris A simravlis elementi~.

imis Casawerad, rom A aris simravle, romlis el-ementebia a,b,c, viyenebT simravlis Semdeg aRniSvnas: A={a;b;c}.

zemoT ganxilul magaliTebSi simravle Sedgeboda sasruli ra-odenobis elementebisagan. aseT simravles sasruli simravle ewo-deba. magram gana yvela simravle elementTa sasrul raodenobas

xalxi, anbani, iseve, rogorc naxiri, fara, rema, kolti _ mra-vals anu simravles aRniS navs.

arve

fara

naxiri

rema

43

Seicavs? magaliTad, naturalur ricxvTa simravlis elementTa raodenoba ar aris sasruli. aseT simravles usasrulo simravle ewodeba.

1. moiyvaneT usasrulo simravlis magaliTebi.

2. dawereT: a) Tqveni saswavlo nivTebis simravle;b) Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravle;g) erTiani saqarTvelos mefeTa simravle;d) planetaTa simravle.

3. WeSmaritia Tu mcdari gamonaTqvami:a) ungreTi evropis qveynebis simravlis elementia;b) TurqeTi afrikis qveynebis simravlis elementia;g) C da D wertilebi AB monakveTis wertilTa simravlis element-ebia.

4. simboloebis saSualebiT CawereT Semdegi winadadeba:a) ricxvi 5 A simravlis elementia;b) ricxvi 9 A simravlis elementi ar aris;g) A erTelementiani simravlea, romlis elementia 2.

vTqvaT, A aris dedamiwis bunebriv TanamgzavrTa simravle. maSin A iqneba erTelementiani simravle, romlis elementia ̀ mTvare~. e. i.

A={mTvare}

Tu mocemulia B simravle _ B={1;2;3;4;5;6}, am SemTxvevaSi va mbobT: simravle mocemulia elementTa CamoTvliT.

zogjer SeuZlebelia romelime simravlis yvela elementis CamoT-vla. magaliTad: 1) varskvlavTa simravlisa, 2) AB monakveTis wer-tilTa simravlisa, 3) dedamiwaze mcxovreb yvela drois adamianTa simravlisa. cxadia, am simravleTa elementebs ver CamovTvliT. aseT SemTxvevaSi vambobT: simravle mocemulia aRweriT.

naturalur ricxvTa simravlis aRsaniSnavad xmaroben Canawers {1; 2; 3; 4; ...}. savsebiT gasagebia, ra igulisxmeba mravalwertilSi. aseTi aRniSvna SeiZleba sxva simravleebisTvisac gamoviyenoT, Tu zustad garkveulia is elementebi, romlebsac mravalwertili gulisxmobs.

magaliTad: {2; 4; 6; 8; ...} _ luw ricxvTa simravlea,

{3; 6; 9; ...} _ 3-is jerad ricxvTa simravle,miRebulia, naturalur ricxvTa simravle N-iT aRiniSnos.

magaliTi 1.dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romelic iyofa 3-ze da romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 1.

44

ITavi

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

1. sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am simravlis ? ewodeba;

2. simravles, romelic usasrulo raodenobis elementebisagan Sedgeba, ? simravle ewodeba;

3.  {1; 2; 3; 6; 9; 18} aris ? -is gamyofTa simravle;

4. Tu A={2; 4; 7; 7,5}, maSin 7∈A, 2 ? A, 4 ? A, 7,3 ? A;

5. Tu A kent ricxvTa simravlea, maSin 13 ? A, 2 ? A.

savarjiSoebi:

1 dawereT: a) Tqveni klasis maswavlebelTa simravle;b) I semestrSi Sesaswavl saganTa simravle;g) Tqveni klasis moswavle gogonaTa (biWunaTa) simravle;d) Tqveni saswavlo nivTebis simravle.

2 WeSmaritia Tu mcdari qvemoT dawerili winadadebebi:

a) 2,3∈N; b) 5∈N; g) 73 ∉N; d) 100 000 ∈ N;

e) 5,1∈{1;3;5;4;7}; v) 3∉{2; 4; 6; 18; 35; 3,1}.

amoxsna:gamoviyenoT 3-ze gayofadobis niSani da gaviTvaliswinoT, rom orniSna ricxvis CanawerSi erT-erTi cifri aris 1. miviRebT, rom meore iqneba 2, 5 an 8, e. i. saZiebeli simravle aris eqvselementiani simravle:

{12; 21; 15; 51; 18; 81}

simravle, romlis elementia ricxvi 2

naturaluri ricxvi

ricxvi ar SeiZleba simravlis toli iyos!

imetyvelesworad!

2 ekuTvnis naturalur ricxvTa simravles.

2∈N 2 naturaluri ricxvia. 2 naturalur ricxvTa simravlis elementia.

A={3;5} A simravlis elementebia 3 da 5.

A orelementiani simravlea, romlis elementebia 3 da 5.

yuradReba!

2≠{2}

45

3 dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romlebic 25-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s.

4 rogor daxasiaTdeba aRweriT Semdegi simravleebi?

a) {rioni}; b) {5; 10; 15; ...}; g) {0}; d) {15

; 49

; 713

; 1017

; ...}.

5 dawereT: a) 25-sa da 57-s Soris moTavsebul 7-is jerad ricxvTa simravle; b) luw martiv ricxvTa simravle; g) orniSna martiv ricxvTa simravle, romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 9; d) orniSna ricxvTa simravle, romlebic srul kvadrats warmoadgenen.

6 Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli mcdari:a) yoveli ori naturaluri ricxvis jami naturalur ricxvTa simra vlis elementia;b) yoveli ori naturaluri ricxvis sxvaoba naturalur ricxvTa simravlis elementia;g) yoveli ori naturaluri ricxvis Sefardeba naturalur ricx-vTa simravlis elementia;d) yoveli ori naturaluri ricxvis namravli naturalur ricx-vTa simravlis elementia.

7 dawereT: a) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli mefeebi;b) xuTelementiani simravle, romlis elementebia saqarTvelos mdinareebi;g) oTxelementiani simravle, romlis elementebia kavkasionis mwvervalebi;d) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli maTematikosebi.

8 ramden adgilas unda gadavxerxoT xis mori, rom miviRoT xuTi kunZi?

9 100 metr distanciaze (dasawyisSic da boloSic) TiTo metris daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. ramdeni droSaa sul da-sobili?

10* ra cifriT bolovdeba: a) 76; b) 39.

11* naxazze mocemulia marTkuTxa para le le pipedis Slili. dawereT paralelepipedis gverdiTi da sruli zedapiris farTobis gamo saTvleli gamo-saxulebebi da ipoveT maTi mniS vneloba, roca:

a) x = 10 da y = 18; b) x = 12,5 da y = 15.

12 arsebobs Tu ara ricxvi, romlis cifrebis namrav-lia 264?

x

y

25 sm

46

ITavi

7 simravleTatoloba . qvesimravle

1. dawereT: a) 18-is jeradi yvela orniSna ricxvis simravle; b) simravle yvela im orniSna ricxvisa, romelic iyofa 2-zec da 9-zec.

2. dawereT: a) saqarTvelos mefe-qalTa simravle; b) qarTvel mefeTa simravle, romelTa mefobis peri odsac

`oqros xanas~ uwodeben.

daakvirdiT TiToeul amocanaSi miRebul simravleebs da upasuxeT: ra aqvT maT saerTo da riT gansxvavdebian isini erTmaneTisgan.

vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B, Tu es simravleebi Sedgeba erTi da imave elementebisagan.

ganmartebidan cxadia, rom, Tu A=B, maSin A simravlis yoveli elementi aris B simravlis elementic da B simravlis yoveli elementi A simravlis elementicaa. magaliTad, ganvixiloT ori A={1;5;7} da B={5;7;1} simravle. es simravleebi Sedgeba erTi da imave elementebisagan, e.i. A=B.Tu A da B simravleebi araa toli, weren – A ≠ B.Tu M={0; 5; 1; 2} da F={0; 5; 1}, am SemTxvevaSi, vxedavT, 2∈M, magram 2∉F e. i. M∉F.

1) dawereT qarTvel kosmonavtTa simravle.2) dawereT 5x–7=9 gantolebis naturalur amonaxsenTa simravle.radgan arc qarTveli kosmonavti gvyavs jerjerobiT da 5x–7=9 gantolebis amonaxsenic – x = 3,2 araa naturaluri ricxvi, orive SemTxvevaSi miviReT simravle, romelsac ar gaaCnia arc erTi elementi.

simravles, romelic arc erT elements ar Seicavs, carieli simravle ewodeba. mas ∅ simboloTi aRniSnaven.

ganvixiloT ori, A da B simravle, A={2;5} da B={2;5;7}. rogorc vxedavT, 2∈A da 2∈B, 5∈A da 5∈B, e. i. A simravlis yoveli elementi B simravlis elementia.

Tu A simravlis yoveli elementi B simravlis elementicaa, maSin A simravles B simravlis qvesimravles uwodeben da weren: A ⊂ B, Tu A simravle ar aris B simravlis qvesimravle, weren – A ⊄ B.

47

yuradReba!

2∈{2;5;7} da {2}⊂{2;5;7}.

Tu A ⊂ B da B ⊂ C,maSin A ⊂ C.

ganxilul magaliTSi A ⊂ B, anu {2;5} ⊂ {2;5;7}. miRebulia, rom carieli simravle nebismieri simravlis qvesim-ravlea, ∅ ⊂ A.

or A da B simravles Soris damokideb-uleba – A ⊂ B, sqematurad SesaZlebelia ase gamovsaxoT (nax. 2).

magaliTi 1.dawereT A={2;4;3} simravlis yvela qvesimravle.

amoxsna:

radgan ∅ simravle nebismieri simravlis qvesimravlea, amitom ∅ ⊂ A.

A simravlis erTelementiani qvesimravleebia: {2}, {4}, {3}.

A simravlis orelementiani qvesimravleebia: {2;4}, {2;3}, {4;3}.A simravlis samelementiani qvesimravle TviT A simravlea.

{2;4;3},e. i. A simravles gaaCnia 8 qvesimravle.

esenia: ∅, {2}, {4}, {3}, {2;4}, {2;3}, {3;4}, {2;4;3}.

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

1. A aris 20-ze nakleb martiv ricxvTa simravle. A=B, maSin B={ ? }.

2.  Tu A Tqvens saklaso oTaxSi myof ucxoplanetelTa simravlea, maSin A = ? .

3. M qarTvel kompozitorTa simravlea, xolo F yvela drois kompo zitorTa simravle, maSin M ? F.

B

A

nax. 2

A

B

C nax. 1.

48

ITavi

4. K qarTvel xelovanTa simravlea, xolo L qarTvel mocekvaveTa simravle, maSin L ? K.

5. Tqvens klasSi myof gogonaTa simravle ? klasis moswavleTa simravlisa.

savarjiSoebi:

1 WeSmaritia Tu ara qvemoT moyvanili winadadebebi:

a) {0;2}⊂{0;1;2;4;5}; b) {3;4;5;6}⊂{3;6;9;12};

g) {∅}⊂∅; d) {0}⊂∅; e) ∅⊂{0}; v) ∅⊂{∅};

z) {3;5;9}={9;3;5}; T) {2; 4; 6; 8; ...} = N.

pasuxi daasabuTeT.

2 arsebobs Tu ara iseTi simravle, romelsac aqvs:

a) mxolod erTi qvesimravle;

b) mxolod ori qvesimravle;

g) mxolod sami qvesimravle.

dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.

3 dawereT A = {5;7;8;9} simravlis orelementiani qvesi mra vleebi.

4 SeadgineT sityvebi, romelTa Semadgeneli asoebis simravle warmoa dgens sityva `WeSmariteba~-s Semadgeneli asoebisgan Semdgari simravlis qve simravleebs.

5 A iyos qarTuli taZrebis simravle. dawereT misi xuTelemen-tiani qvesimravle.

6 dawereT K = {2;7;11} simravlis yvela qvesimravle.

7 M qarTvel sportsmenTa simravlea. daasaxeleT simravlis xuTelementiani qvesimravle, romlis elementebia:

a) fexburTelebi; b) moWadrake qalebi; g) kalaTburTelebi.

8 naxazze mocemulia ABC samkuTxedi. daxazeT:

a) AMN samkuTxedi, romlis wertilTa simravle ABC samkuTxedis wertilTa simravlis qve sim-ravlea;

b) EF monakveTi, romlis wertilTa simravle BC monakveTis wertilTa simravlis qvesimravlea.

9 A={12;18;2;6} B={1;4;2;3}. a2b saxis ramdeni ricxvi iqneba B

simravlis elementi, Tu a∈A da b∈B?

B

A C

49

10 kentia, Tu luwi qvemoT mocemuli ricxvi, Tu cnobilia, rom a kenti ricxvia:

a) 3a + 1; b) 8a – 4; g) 4a + 3; d) 7a + 6.

11 ramdeni elementisagan Sedgeba orniSna ricxvTa simravle.

12 ras udris umciresi xuTniSna da udidesi oTxniSna ricxvebis sxvaoba.

13 ipoveT is udidesi ricxvi, romlis 15-ze naSTiani gayofisas ganayofSi miiReba 12.

14 SeavseT qvemoT moyvanili cxrili. dawereT gamosa xu leba (ori xerxiT), romelic gviCvenebs kviris ganmavlobaSi aRebul Tanxas, Tu cnobilia, rom saaTobrivi anazRaureba 3 laris tolia.

dReebisaaTebis

raodenobaaRebuli

Tanxa

orSabaTi 7 sT

samSabaTi 6 sT

oTxSabaTi 5 sT

xuTSabaTi 7 sT

paraskevi 4 sT

saaTebis mTliani raodenoba

15* wriul distanciaze, romlis sigrZe 100 metria, TiTo metris daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. sul ramdeni droSaa dasobili?

piTagora ambobda: `Cemi megobaria is, vinc aris Cemi meore me, rogorc ricxvebi 220 da 284~.

riTaa SesaniSnavi es ricxvebi? _ TiToeulis sakuTar gamyofTa jami meoris tolia. maT megobruli ricxvebi ewodeba. megobruli ricxvebis Semdegi wyvili aRmoCenilia marokoeli swavlulis ibi al-banis (1256-1321 ww.) traqtatSi. esenia 17296 da 18416.

dReisaTvis cnobilia megobrul ricxvTa 1100 wyvili.

50

ITavi

8 simravleTaTanakveTada gaerTianeba

1. dafaze weria naturaluri ricxvebi 1-dan 20-mde. giam gadaxaza yoveli meore ricxvi wi-Teli carciT, nanam ki yoveli mesame lurji carciT. dawereT simravle im ricxvebisa, romlebic gadaxazulia: a) wiTeli carciT (A simravle);b) lurji carciT (B simravle); g) orive feris carciT (C simravle).

daakvirdiT miRebul simravleebs da upasuxeT: rogor miiReba C simravlis elementebi A da B simravlis elementebisgan?

vTqvaT, mocemuli gvaqvs ori – A da B simravle. am simravleTa eleme ntebis saSualebiT SevadginoT axali C simravle Semdegi wesiT: C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTv-nis rogorc A, ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles A da B simravleebis TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:

C=A B ( – TanakveTis niSania).

vTqvaT, M={1;5;7}, N={3;5;7}.radgan 5∈M da 5∈N, 7∈M da 7∈N, amitom M N={5;7}.vTqvaT, mocemulia raime A da B simravle. maTi elementebis saSu-alebiT SevadginoT axali M simravle, romelic Seicavs rogorc A simravlis, aseve B simravlis yovel elements da Sedgeba mxolod am elementebisagan. aseTi wesiT Sedgenil simravles A da B sim­ravleebis gaerTianeba ewodeba da Caiwereba ase: M=A B.vTqvaT, A Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravlea, B ki _ moswavle vaJebis simravle, maSin A B iqneba Tqveni klasis moswav-leTa simravle.

aCveneT, rom nebismieri A da B simravleebisTvis sruldeba:

a) A  ∅ = ∅; b) Tu A ⊂ B, maSin A  B = A.

simravleTa TanakveTa da gaerTianeba sqematurad SesaZlebelia ase gamovsaxoT:

nax. 1

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20.

A  B=C

BA C

A  B=C

BA C

51

BA

leonard eileri (1707-1783)

10

10

11–5=6

35–10–20=5b

m

didi Sveicarieli maTe-matikosi leonard ei-leri (1707-1783) rigi amocanebis amoxsnisas xSirad sargeblobda msgavsi naxatebiT. mis pativsacemad aseT wre-ebs eileris wreebi uwo-des. amocanebis amox-snis grafikulma me-Todma gansakuTrebuli gamoyeneba hpova ing-liseli maTematikosis (logikosi) jon venis (1843-1923) SromebSi. man daxvewa da ganavi-Tara es meTodi. amitom am diagramebs zogjer eiler-venis diagrameb-sac uwodeben.

eiler-venis diagramebis daxmarebiT SesaZlebelia amoixsnas bevri amocana. ganvixiloT ramdenime aseTi amocana.

amocana 1. klasSi 35 moswavlea. aqedan 20 dadis maTematikis, 11 ki biologiis wreze. 10 bavSvi ar dadis arc erT wreze. ramdeni moswavle dadis orive wreze?

amoxsna:

vaCvenoT eileris wreebis gamoy-enebiT.im `biologebis~ raodenoba, romlebic maTematikaze ar da-dian iqneba 35–10–20=5, radgan `biologebis~ saerTo raodenoba aris 11, maSin orive wreze mosia-rule moswavleTa raodenoba iqneba 11–5=6.

amocana 2. cnobilia, rom WeSmaritia Semdegi sami winadadeba:

 TuTiyuSi Citia;   Jako TuTiyuSia; Jako laparakobs.

romeli daskvna gamomdinareobs aucileblad?a) yvela TuTiyuSi laparakobs;b) ar arsebobs molaparake Citi;g) Tu Citi laparakobs, maSin is TuTiyuSia;d) arsebobs molaparake Citi.

amoxsna: A iyos yvela Citebis simravle, B – molaparake Citebis simravle, C ki TuTiyuSebis simravle.

winadadeba “TuTiyuSi Citia” niSnavs, rom yvela TuTiyuSi Citia anu TuTiyuSebis simravle Citebis simravlis qvesimravlea, e.i. C⊂A. radgan Jako TuTiyuSia, Jako∈C da radgan Jako laparakobs, Jako∈B. e.i. Jako∈B⊂C. maSasadame, Sesabamis eiler-venis diagramebs eqneba aseTi saxe.

a) winadadeba swori rom iyos, maSin unda sruldebodes piroba C⊂B. e.i.

a) swori pasuxi ar aris;

b) pasuxi rom swori iyos, unda Sesruldes piroba Jako∉A. g) pasuxi rom iyos swori, unda Sesruldes piroba B⊂C. d) swori pasuxia, radgan Jako∈A.

A

Jako

B C

52

ITavi

A C B D A C D B

K aMN

magaliTi 1.vTqvaT A={3;5;1;2}, B={3;1;0} ipoveT: a) A B; b) A B.

amoxsna: a) 3∈A da 3∈B; 1∈A da 1∈B, e. i. A B={3;1}.

b) A B={3;5;1;2;0}.

SeavseT gamotovebuli adgilebi:

1. Tu , maSin M ? a; N ? a; MK ? a;

2. Tu 2∈A da 2∈A B, maSin 2 ? B;

3. Tu 2∈A da 2∉A B, maSin 2 ? B;

4. Tu 5∈A da 5∉B, maSin 5 ? A B;

5. a) Tu A={2;4;6} da B={2;3}, maSin A ? B={2}; b) Tu M⊂K, maSin M ? K=K; g) Tu E⊂F, maSin E ? F=E.

savarjiSoebi:

1 M simravle iyos 2-is jerad ricxvTa simravle, K _ 3-is jerad ricxvTa simravle. ipoveT M K .

2 eileris wreebis saSualebiT aCveneT, rom:a) A A=A; b) A ∅=A; g) A A=A. d) Tu B⊂A, maSin A B=A, sadac A da B nebismieri simravleebia.

3 a da b gansxvavebuli wrfeebia. ramden elements SeiZleba Sei-cavdes a da b wrfeebis wertilTa simravleebis TanakveTa?

4 ipoveT naxazze mocemuli AB da CD monakveTebis wertilTa simravleebis TanakveTa da gaerTianeba:

a) b)

5 a) qarTvel studentTa simravlis TanakveTa sportsmenTa simravlesTan aris ? .b) saqarTveloSi mcxovreb mdedrobiTi sqesis adamianTa simravlis TanakveTa 15 wlamde asakis bavSvebis simravlesTan aris ? .g) Tqveni klasis moswavle gogonebis simravlis gaerTianeba Tqvenive klasis moswavle vaJebis simravlesTan aris ? .d) Tqveni klasis friadosan moswavleTa simravles TanakveTa skolis friadosan moswavleTa simravlesTan aris ? .

53

A D

B C

D B

A C

A C

D

B

6 gadaixazeT naxazze mocemuli figurebi rveulSi da wiTlad SeaferadeT ABC da ACD samkuTxedebis wertilTa simravleebis

1) gaerTianeba; 2) TanakveTa.

a) b) g)

7 vTqvaT A={1;2;8}, B={2;4;6}, C={1;3;2}. ipoveT: a) A B C ; b) A B C .

8 M iyos qarTuli anbanis xmovan aso-bgeraTa, F ki _ TanxmovanTa simravle. ramden elementiani simravlea: a) M F ; b) M F ?

9 klasSi inglisurs swavlobs 15 bavSvi, germanuls – 17, orive enas erTdroulad – 8 bavSvi. ramdeni bavSvia klasSi?

10 ramden elementiani simravlea A B, Tu A aris 1–dan 10–is CaTvliT yvela naturaluri ricxvis kvadra tebis simravle, xolo B – amave ricxvebis kubebis simravle.

11* qeTis kata yovelTvis axvelebs wvimis wina dRes. dRes katam daaxvela. xval wvima iqneba – daskvna qeTim sworia Tu ara qeTis daskvna?

12* mocemulia, rom WeSmaritia Semdegi ori winadadeba mxolod yvavebma ician frena; yvela yvavi Savia.romeli daskvna gamomdinareobs maTgan aucileblad?a) Tu Citi Savia, man icis frena;b) Tu Citi Savia, maSin is yvavia;g) Tu Citi dafrinvas, maSin is Savia;d) bulbulma icis frena.

13* gia da daTo Sevidnen TxuTme t sar Tulian saxlSi, romlis pirveli sarTuli quCis done zea. gia avida me xuTe sar Tulze. romel sarTulze unda avides daTo, rom orjer meti raode-nobis safe xuri aiaros? (sarTulebs Soris safexurebis ra-odenoba Tanabaria).

14 gaSaleT saTanrigo Sesakrebebad: a) 34097; b) 287401.

15 ricxvi 478,47 daamrgvaleT: a) meaTedamde; b) mTelamde sizustiT.

54

ITavi

I Tavis damatebiTi savarjiSoebi:

1 dawereT 5-dan 37-mde moTavsebul: a) luw ricxvTa simravle; b) 4-is jerad ricxvTa simravle; g) im ricxvTa simravle, romlebic 6-ze gayo-fisas naSTSi 2-s gvaZleven.

2* dawereT 8-dan 11-mde moTavsebul im ukvec wiladTa simravle, romelTa mniS-vnelia: a) 3; b) 7.

3. qvemoT moyvanili winadadebebidan, romelia WeSmariti da romeli mcdari:a) ricxvebi, romelTa bolo cifria 0, iyofa 5-ze;b) 5-ze iyofa mxolod 0-iT daboloebuli ricxvebi;g) Tu a iyofa 2-ze, maSin a+2 gaiyofa 4-ze;d) sami momdevno ricxvis namravli iyofa 6-ze.

4 daasaxeleT is udidesi da umciresi naturaluri ricxvi, romelTa Sorisacaa moTavsebuli gamosaxulebis mniSvneloba:

a) : , : , ,1127

1918

2 42 1 21 11619

0 32·` ` ; b) :

::

:4152

1232

1452

72

9121

61 55641

52

10151

5023

134

52

116 1075

254

· -

+

-

-;

g) ,

:

0 04

85307

83185

232-

; d) (2,4+(3,21–0,3)·2–0,44:2): 52 .

5 gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe: 32527·32324 – 32528·32323.

6* ipoveT umciresi ricxvi, romelic 2-ze, 3-sa da 11-ze gayofisas naSTSi gva-Zlevs 1-s.

7* daamtkiceT, rom Tu a+1 iyofa 3-ze, maSin (4 + 7a) aseve gaiyofa 3-ze.

8 CawereT Semdegi ricxvebis jams damatebuli maTive gaorkecebuli namravli: a) a da x; b) 3 da y; g) x, y da z.

9 CawereT b da a ricxvebis c ricxvze gayofiT miRebuli ganayofTa jami.

10 1 kg kanfeti 2 lari Rirs. dawereT x kilogrami kanfetis Rirebuleba. ra Rirs: a) 15kg? b) 32kg? g) 3,5kg? d) a kg kanfeti?

11 a luwi ricxvia. WeSmaritia, Tu mcdari:a) a + 4 luwi ricxvia; b) 2a –3 luwi ricxvia;g) 5a + 5 kenti ricxvia; d) 3a aris 6-is jeradi.

12 CawereT utolobis saxiT, romelia meti:a) a + 2 Tu a + 3; b) b + 1 Tu b – 1.

13 SeiZleba Tu ara x1

12+

gamosaxuleba iyos erTze meti? pasuxi daasabuTeT.

55

14 WeSmaritia Tu ara:

a) :765

1621

2 5121

21211

373·1 ; b) 7

553

31

171

1732

2121

31· 2+ - - - + ;

g) 7,4 · 0,38 – 0,19 · 5,4 · 2 < 0,76 · 8,3 – 8,3 · 0,66.

15* daamtkiceT, rom x-is nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis Semdegi utolobebi WeSmaritia:a) 9x2 – 5 > 0; b) 2x2 – 1 > 0.

16 telegramis gagzavnisas TiTo sityvaSi 9 TeTrs ixdian da kidev 20 TeTrs momsaxurebisas:a) ra Rirs telegramis gagzavna, Tu is x sityvisgan Sedgeba. ipoveT miRebuli gamosaxulebis mniSvneloba, roca x = 5; 10; 12.b) ramdeni sityvisagan Sedgeba telegrama, Tu mis gagzavnaSi 2 lari gadaixades?

17 ramdeni naturaluri ricxvi akmayofilebs utolobas:a) 22 ≤ n ≤ 38; b) 76 ≤ n ≤ 105.

18 amoxseniT gantoleba: a) x + 165376:323 = 704;b) 383·x + 22222 = 101503; g) y:703 + 1987 = 7891;d) 3x + 2x – 18 = 32; e) x + 3,7 + 4x + 2,4 = 96.

19 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba yvelaze moxerxebuli xerxiT:a) 9999 + 9999 + 9999 + 5; b) 999 + 998 + 997 + 6;g) 998 + 998 + 998 + 9; d) 99999 + 99999 + 10.

20 dawereT marTkuTxedis perimetris gamosaTvleli gamosaxuleba, Tu sigrZe 3-jer metia siganeze. ipoveT aseTi marTkuTxedis gverdebis sigrZe, Tu perimetri a) 40 sm-ia, b) 60 sm-ia.

21 ipoveT sami ricxvi, romelTa jamia 222, Tu meore ricxvi 2-jer meti, mesame ki 3-jer metia pirvelze.

22 ipoveT sami naturaluri ricxvi, romelTa jamia 111111, Tu pirveli 2-jer naklebia, mesame ki 2-jer meti meoreze.

23 ipoveT: a) 892; b) 152; g) 232; d) 26; e) 122; v) 142;

z) 0,33; T) 54; i) 0,24; k) 35; l) 3,12; m) 162; n) 172.

24 ra cifriT dabolovdeba:

a) 235 · 35 – 25 · 17; b) 31 · 510 + 63 · 97;g) 482 – 322; d) 273 – 57 · 32.

25 daasaxeleT 356-ze naklebi udidesi ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s.

56

ITavi

26 udidesi orniSna ricxvi, romelsac sami gamyofi aqvs.

27 *-is nacvlad CawereT iseTi cifri (cifrebi), rom miRebuli ricxvi:a) 6*35 gaiyos 3-ze; b) 823*2 gaiyos 4-ze;g) 12*5 gaiyos 9-ze; d) 2870* gaiyos 6-ze.e) *245 gaiyos 3-ze; v) 705*1 gaiyos 9-ze;z) 825*4 gaiyos 4-ze; T) 825*4 gaiyos 6-ze.

28 1 ivnisi SabaTia, ra dRe iqneba:a) imave wlis 28 ivnisi; b) imave wlis 18 ivlisi;g) imave wlis 1 agvisto; d) imave wlis 23 ivnisi.

29 daasruleT winadadeba: a) saklebi gaadides 18-iT, maklebi Seamcires 10-iT, maSin sxvaoba ...b) saklebi gaadides 20-iT, maklebi gaadides 20-iT, maSin sxvaoba ...g) gasayofi gaadides 2-jer, gamyofi – 4-jer, maSin ganayofi ... d) gasayofi gaadides 4-jer, gamyofi Seamcires 2-jer, maSin ganayofi ...e) I Tanamamravli gaadides 2-jer, meore ki Seamcires 4-jer, maSin namravli ...v) I Tanamamravli gaadides k-jer, II ki Seamcires k-jer, maSin namravli ...

30 dawereT formula ricxvebisa, romlebic

a) 7-ze gayofisas naSTSi gvaZleven 1-s; b) 5-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s;g) 3-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s;d) 10-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 8-s;e) 5-is jeradi ricxvebis;v) 6-is jeradi ricxvebis.

31 skolaSi 1000 moswavlea. 640 moswavle inglisurs swavlobs. 550 – rusuls. 100 moswavle ar swavlobs arc erT enas. ramdeni moswavle swavlobs orive enas?

32 500 me-7 klaselidan 450 dadis curvaze an fexburTze. 220 dadis mxolod curvaze, 150 ki mxolod fexburTze. ramdeni bavSvi dadis curvazec da fexburTzec.

33 A samis jerad ricxvTa simravlea. dawereT A simravlis 5-is jerad orniSna ricxvTa qvesimravle.

34 dawereT Tqveni skolis friadosan moswavleTa simravlis TanakveTa Tqveni klasis moswavleTa simravlesTan.

35 A={2;5;12}; B={5;12;3;18}.ipoveT: a) A B; b) A B; g) A simravlis yvela qvesimravle;

d) B simravlis yvela qvesimravle.

57

36 cnobilia, rom a + b = 3a – 4b. ipoveT: a) 5 + 3; b) 10 + 7; g) 8 + 1; d) 7 + 5; e) 3 + 2.

37 erTi rveuli x TeTri Rirs, 1 wigni – y TeTri. dawereT 5 rveulisa da 7 wignis Rirebulebis gamosaTvleli gamosaxuleba.

38 erT nakveTze x xe darges, meoreze 2-jer meti, mesameze ki 3-iT meti, vidre meoreze. dawereT gamosaxuleba: ramdeni xe darges samive nakveTze.

39 erTi manqana x km/sT siCqariT moZraobs meore 5 km/sT-iT meti siCqariT. ra manZils gaivlis orive manqana 5 saaTSi?

40 1 Tojina x lari Rirs, 1 burTi ki y lari. dawereT gamosaxuleba:a) ra Rirs 3 Tojina da 2 burTi;b) ramdeni lariT meti Rirs 7 burTi 2 Tojinaze;g) ramdeni lariT naklebi Rirs 1 Tojina 2 burTze.

41 dawereT 36-isa da 24-is martiv gamyofTa simravleebis TanakveTa, gaer-Tianeba.

42 ipoveT AAsimravlis yvela qvesimravle:a) A={2}; b) A={2;5}; g) A={2;5;3}; d) A={1;2;–2;0}.

43* daamtkiceT, rom: a) (15·11 + 6·11) iyofa 7-ze; b) (38·13 + 14·13) iyofa 4-ze.

udidesma berZenma maTematikosma evklidem daamtkica, rom martiv ricxvTa simravle usasruloa.

gamoCenilma berZenma mecnierma eratosTenem (Zv. w. 276-194) mogvca wesi, romlis saSualebiTac SesaZlebelia vipovoT raime ricxvze naklebi yvela martivi ricxvi.SevadginoT cxrili (nax. 1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

1 araa martivi ricxvi, amitom gadavxazoT.2 _ martivi ricxvia, igi davtovoT. gadavxazoT misi jeradi yvela ricxvi.3-ic martivia da davtovoT. gadavxazoT yvela misi jeradi ricxvi, e. i. 4-dan dawye-buli yoveli mesame (yvela gadaxazuls vTvliT). amis Semdeg pirveli gadauxazavi ricxvi martivi iqneba. esaa ricxvi 5. mas vtovebT da vxazavT yvela mis jerads da a. S. sabolood gadaixazeba yvela Sedgenili ricxvi da darCeba martivi ricxvebi. martivi ricxvebis moZebnis am wess eratosTenes saceri hqvia.

58

ITavi

Seamowme Seni codna:

1. mocemulia, rom A={2; 3; 7; –7} maSin WeSmaritia:

a) 2∉A; b) –3∉A; g) –7∉A; d) 7∈A.

2. A simravle 7-is jerad ricxvTa simravlea, maSin WeSmaritia:

a) 19∈A; b) 20∈A; g) 21∉A; d) 47∉A.

3. Tu A simravle 3-is jerad ricxvTa simravlea, B simravle ki – 6-is jerad ricxvTa simravle, maSin WeSmaritia:

a) A = B; b) A ⊂ B;

g) B ⊂ A; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.

4. simravle, romelsac mxolod erTi qvesimravle aqvs, aris:

a) erTelementiani simravle; b) carieli simravle;

g) orelementiani simravle; d) aseTi simravle ar arsebobs.

5. Tu a∈A da B nebismieri simravlea, maSin aucileblad:

a) a∈B ; b) a∈A B ; g) a∈A B ; d) A B=∅ .

6. Tu A ⊂ B da b∈B, maSin aucileblad:

a) b∈A ; b) b∈A da b∈B ; g) b∈A B ; d) b∈A B .

7. naxazze mocemulia AB da CD monakveTebi. maSin AB monakveTis wertilTa simravlis TanakveTa DC monakveTis wertilTa simrav-lesTan aris:

a) ∅; b) {A;B;P}; g) {P}; d) {P;B}.

8. mocemulia A={1;2;3}; B={2;3}; C={1;2;3} maSin A B aris:

a) ∅; b) {2}; g) {1;2;3;4;6}; d) {2;4;6}.

59

9. mocemulia, rom A={1;2}; B={2;3}; C={1;2;3}. maSin WeSmaritia:

a) A B=C; b) B C=A; g) A C=B; d) A B=C.

10. mocemulia A ⊂ B, maSin WeSmaritia:

a) Tu x∈B, maSin x∈A; b) Tu x∉B, maSin x∉A;

g) Tu x∉A, maSin x∉B; d) Tu x∈A, maSin x∉B.

Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Sesabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis Sesabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia (C);Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisvTis, airCieT (D).

A B A B C D

11. 3,1·2,3 3,2·2,2

12. 32 72 +1 7

1 –28 73 26–20 A B C D

13. 37,9·18,5 74·11 A B C D

14. 36 93 A B C D

15. 30 03 A B C D

16. a da b ricxvebs Soris operacia asea ganmartebuli: a · b = b2 – a2

risi tolia 4 · 5:a) 9; b) 10; g) 11; d) 12.

17*. a=5k+2 b=25p+3, maSin a+b moicema formuliT:

a) 5n; b) 5n+1; g) 5n+2; d) 5n+3.

18. im ricxvis formula, romelis 13-ze gayofisas naSTia 3, iqneba:

a) 3k+13; b) 13k+3; g) 13k–3; d) 3k–13.

19*. orSabaTobiT ninos kata Tevzs miirTmevs, xolo 5-is jerad ricxvebSi ki rZes. roca kata Tevzsac SeWams da rZesac miirTmevs, muceli stkivdeba. am Tvis romel ricxvSi etkineba aucileblad ninos katas muceli, Tu am Tvis pirveli ricxvi xuTSabaTia?

a) 5; b) 10; g) 15; d) 20.

60

ITavSiSeswavlilimasalismoklemimoxilva

● a ricxvis n naturaluri xarisxi – an, sadac n>1, ewodeba n cali ricxvis namravls, romelTagan TiToeuli a­s tolia. a­s xarisxis fuZe ewodeba, n­s _ xarisxis maCvenebeli.miRebulia, rom a1 = a . ...· · ·a a a a

jer

n

n

=-

1 2 344 44 .

● vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b ) Tu ganayofi a:b naturaluri ricxvia.

● 1. 2-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT bolovdeba.2. 10-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic 0-iT

bolovdeba3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis bolo cifria 5

an 0.4. 3-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 3-ze.5. 9-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 9-ze.6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan

Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze.

● Tu a (bc), maSin a b da a c.

● Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c) = 1, maSin a gaiyofa bc-ze.

● Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze, maSin a + b da a – b ricxvebic gaiyofa c-ze.

● ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli ricxvis c-ze gayo-fisas miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.

● sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am si­mravlis elementebi ewodeba.

● vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B, Tu es sim­ravleebi Sedgeba erTi da imave elementebisagan.

● C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTvnis rogorc A, ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles A da B simravleebis TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:

C=A B ( – TanakveTis niSania).