matematika - alapterv - lovassymatematikából középfokú érettségire készülnek. emelt szint...

� Matematika

� Matematika 9-12. (10-13.)- � középszint (K) - PÁLMAT1-12 - � Kidolgozandó � B

�vített

Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az

OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szerepl� min� sített tanterv 9-12. osztályokra lebontott része. E min� sítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felel� sséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Ez a kiadvány az adatbankban tárolt tantervek összefésülésével készült a 3 órás és a 4 órás változatból az érettségi általános követelményeinek ismeretében. Átdolgozva a kerettantervi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2001. májusában illetve 2004.júniusában Alkalmazható a négyosztályos gimnázium 9-12. illetve az ötosztályos gimnázium (HHT-AJTP, informatika, német nemzetiségi és angol nyelvi) specializációinak 10-13. évfolyamain a középszint érettségire el készít csoportokban. (lásd Matematika Tantárgyi Program 2004 K jel tanterve)

Matematika 9-12. illetve 10-13.középszint 9(10).K

Részei Matematika 9(10) 3. oldal Matematika 10(11) 12. oldal Matematika 11(12) 21. oldal Matematika 12(13) 21. oldal

Óraszám Iskolai: 480 óra

Megjegyzés A tanterv készít

�i Lajos Józsefné f

�munkatárs OKSZI, Pálmay Lóránt vezet

�-szaktanácsadó FPI.

Átdolgozták 1998-ban veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai: Dr. Molnár Attiláné, Báder Anikó és Békefi Zsuzsa.

Kerettantervhez igazította 2001-ben és 2004-ben: Békefi Zsuzsa a veszprémi Lovassy László Gimnázium matematika munkaközösségének vezet

�je

A 9-12. (10-13.) évfolyamon heti 3,5+ 3 + 3 + 4 órára készült a tanterv.

A 9-12. (10-13.) évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. F� témái a

kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószín� ség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítés� . Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt id

�t biztosítottunk az ismétlésre, a pedagógus által fontosnak tartott, a tanulócsoport

igényeihez igazodó foglalkozásra (gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy b�vítésére), a munkaközösség által

jóváhagyott közös témazáró dolgozatok iratására, azok eredményeinek és hibáinak megbeszélésére.

A tanterv minden évfolyamon azzal indul, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az el

�zményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál)

ezekre történnek visszautalások, illetve els�sorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes

kifejtések. Egyaránt fontosnak tartjuk a számfogalom, m� veletfogalom fejlesztését és a logikus, rugalmas gondolkodásra nevelést.

A tantervben szerepet kap a tapasztalatokra épül� matematika oktatás, az irányított felfedeztetés, az induktív

módszer. Ugyanakkor fontos a tapasztalatok által megszerzett ismereteknek az életkornak megfelel�

pontossággal történ� megfogalmazása, tudása, s a matematikán belül, illetve más tantárgyakban való

alkalmazási készsége.

A 9.(10.) évfolyamtól az induktív módszerek, a tevékenykedtet� ismeretszerzés mellett folytatódik a deduktív

módszerek alkalmazása és az elvont bizonyításokra való felkészítés. Ez hosszú folyamat, s természetesen a tanulók képességei és érdekl

�dése is meghatározza az elérhet

� szintet, de az érettségiig megfelel

� szintre el kell

juttatni a tanulókat.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelel� szint�

problémamegoldást. Azt gondoljuk, hogy a kisebb de, megértett és begyakorolt ismeretanyag, a megfelel�en

fejlesztett gondolkodási képesség többet ér, mint a nagy, de kell�en meg nem értett tananyag.

A 11-12. (12-13.) évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük a középszint� érettségi általános követelményeit. Kell

� id

�t biztosítottunk a rendszerezésre.

matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra

Lovassy Gimnázium - 2 - 2004.június

Ajánlás A tanterv azon tanulók számára készült, akik a matematika iránt különösebben nem érdekl

�dnek,

matematikából középfokú érettségire készülnek. Emelt szint� érettségi vizsgára az ezen tanterv alapján tanuló diák nincs felkészítve, hiszen annak a vizsgának több el

�írt anyagát nem dolgozza fel ez a tanterv ( pl.

analízis).

Óraszámok

évfolyamok 9.(10) 10.(11.) 11.(12.) 12.(13.)

óra/hét 3,5 3 3 4

összóraszám 130 111 111 128

Cél

• A tanterv a kerettantervben megjelölt id�szakaszokig a követelmények mindegyikét teljesíti.

• A két utolsó évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kell

� szint� feladatmegoldással a középszint� érettségi eredményes letételére való

felkészítés. • A minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet. A tantervet használó

pedagógus tudja eldönteni a többlet-követelményt. Ezt a tanulóknak ismerniük kell.

Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg a munkaközösségi ajánlások elvrendszerét figyelembevéve.

Feltételek

• A tantervek tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény el�írja. (KT 17.§)

• A tanterv teljesítéséhez szükséges, hogy a szaktanár a valószín� ségszámítás és statisztika c. alfejezet tanítását megel

�z

�en továbbképzésen vegyen részt.

• Szükséges, hogy a szaktanárnak legyenek alapfokú számítástechnikai - felhasználói ismeretei. • A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. • A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök az iskolánkban nagyrészt megvannak.

B�víteni kell a tanári felkészülésben és az órai demonstrációban használható személyi számítógépeket és

teljesítményüket. A tankönyvi segédletek tárát állandóan modernizálni kell. Ezeket a könyveket kiegészíthetik a CD-ROMok.

• Az érdekl�d

� tanulóknak szorgalmi feladatként adhatók általános iskolai szakköri ill. versenyfeladatok.

Példásul a Zrínyi verseny feladatai. Tesztes versenybe, a nemzetközi KENGURU versenybe is beneveztethet

�k ezek a tanulók.

• A matematikatörténeti részek feldolgozását önálló otthoni feladat keretében is végzik a tanulók beszámolási kötelezettséggel: kisel

�adások tartásával.

• A térgeometriai ismeretek megalapozását a tanulók által elkészített modellek jobban szolgálják, mint a demonstrációs céllal tanórára bevitt testek, a függvényfogalom elmélyítését is jobban szolgálják a tanulók által készített sablonok, mint a túl korán használt gépi grafika.

• A kerettantervben foglaltaknak megfelel�en sokfüggvényes zsebszámológépre szüksége van minden

tanulónak. • Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvek, a gyakorlást és az egyszer� bb alkalmazásokat tartalmazó

feladatgy� jtemények használatát.



Matematika 9(10) 9.(10.) K

Részei Halmazok, logika, kombinatorika 5. oldal Valós számkör, m� veletek, algebra, számelmélet 6. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek 7. oldal Függvények, függvénytranszformációk 7. oldal Alakzatok, geometriai mértékek 8. oldal Szerkesztések, bizonyítások 9. oldal Geometriai transzformációk 10. oldal Valószín� ség, statisztika 11. oldal

Óraszám Iskolai: 130 óra (37 hét)

Tanítási ciklus: 3,5 óra / 1 hét

Cél

• Az els� nyolc év tananyagának rendszerezett áttekintése, a tanultak gyakorlati alkalmazásának megmutatása

jól választott feladatokkal. • Az ismétlés során jól választott feladatokkal mutassuk meg a matematika különböz

� területeinek

összekapcsolódását. • Az év során igyekezzünk az ismétlésb

�l kiindulva tanítani és megértetni az új témákat.

• A folyamatos fejlesztés feltételezi, hogy a − számkörb

�vítés során szemléletes alapon jussunk el a valós számok halmazának ismeretéhez, a

szemléletes fogalomalkotáshoz; − kapjon hangsúlyt a halmazszemlélet er

�sítése a tanult alakzatok rendszerez

� áttekintésében;

− a szemléletes fogalomalkotással kiérleljük a definiált fogalmak megjelenését; − a függvényszemléletet er

�síti az egyenletek, egyenl

�tlenségek megoldása (pl. grafikus megoldás), a

geometriai transzformációk áttekintése. • A tanulók érdekl

�dését a tantárgy iránt a célszer� alkalmazások, (kapcsolat más m� veltségterületekkel,

illetve a gyakorlati élettel) ötletes megoldások és matematikatörténeti érdekességek tehetik folyamatossá. • Felkészítjük a tanulókat az intézményi bels

� vizsgára. A bels

� vizsgának fontos szerepe van a

pályaorientálásban. Az emelt szint� érettségi felé törekv� tanulókat a 10.(11.) osztálytól a szakkörökbe,

11.(12.) évfolyamtól fakultációra irányítjuk.

Követelmény

• Ismerje a valós számkört, tudjon benne m� veleteket végezni helyes sorrendben. • Legyen képes egyszer� m� veletek elvégzésére halmazokkal. • Tudja az algebrai kifejezéseket célszer� formára alakítani, s azokkal m� veleteket végezni. • Ismerje és alkalmazza a nevezetes szorzatokat. • Értse az egész kitev

�j � hatvány fogalmát, tudja az azonosságokat.

• Tudja felírni a számokat normálalakban. • Értse a függvény fogalmát, tudja a megadásának módjait, a tanult függvények tulajdonságait, egyszer� bb

transzformcióit. • Ismerje a nevezetes egyenl

�tlenségeket, tudja alkalmazni feladatok megoldásában.

• Legyen képes lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek, egylenletrendszerek egyszer� paraméteres egyenletek

megoldására. • Ismerje a legfontosabb síkbeli és térbeli alakzatokat, azok tulajdonságait, mértékeit. • Tudja a háromszögek oldalai, szögei közötti összefüggéseket és nevezetes vonalaikkal kapcsolatos tételeket. • Tudja a vektor fogalmát, jelölését. • Tudja két vektor összegét, különbségét, számmal való szorzatát, összetev

�kre bontását megszerkeszteni,

végrehajtani. Ismerje a helyvektor fogalmát.



• Tudja a kör középponti szögéhez tartozó körív hosszát, a körcikk területét. • Értse a geometriai transzformáció, mint függvény fogalmát, tudja az egybevágósági transzformációkról és a

hasonlóságról tanultakat. Ismerje fel a szimmetriákat különböz� alakzatokon.

• Tudjon néhány bizonyítást (pl. Thalész, Pitagorasz), ismerjen nevezetes ponthalmazokat.

El � zmény

• Az els� nyolc év tananyagának megfelel

� szint� elsajátítása; a korosztálynak megfelel

� szint� írásbeli és

szóbeli kommunikációs készség, az ért�-elemz

� olvasási készség megléte, birtoklása.

• Nyitottság, érdekl�dés, szorgalom.

Tartalom

Tananyagegységek: I. Gondolkodási módszerek: 8 óra + folyamatos

1. Halmazok, logika, kombinatorika (10 óra) II. Számtan, algebra: 44 óra

1. Valós számkör, m� veletek, algebra, egész kitev

�j � hatványok, számelmélet (24 óra)

2. Egyenletek, egyenl�tlenségek (20 óra)

III. Függvények, függvénytranszformáció: 18 óra IV. Geometria: 34 óra

1. Alakzatok, geometriai mértékek (14 óra) 2. Szerkesztések, bizonyítások (12 óra) 3. Geometriai transzformációk ( 8 óra)

V. Valószín� ség, statisztika: 10 óra VI. Rendszerezés, ismétlés, összefoglalás: 8 óra

VII. Témazáró dolgozat írása és értékelése: 8 óra.

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követ

�en egy-egy dolgozatjavító, értékel

� órát iktatunk be.

A tanév anyagának felsorolása nem jelent feltétlenül feldolgozási sorrendet, a tanár felcserélheti és apróbb egységekre is felbonthatja az év matematika anyagát.

Értékelés

• A tanuló munkájának értékelésekor megfelel� arányban kapjon szerepet a szóbeliség is. Figyelemmel

kísérjük az órai munkát, a tanulói aktivitást, rendszeresen ellen�rizzük a házi feladatok elkészítését.

• A szóbeli feleletek és a rövid felmérések (röpdolgozatok) mellett négy egész órás témazáró felmérést iratunk, de ezen kívül fontosnak tartjuk - különösen több iskolából jött tanulók esetén - az év eleji diagnosztizáló felmérés írását, hogy tájékozódhassunk az osztály matematikai ismereteir

�l és azok

alkalmazásának színvonaláról, a gondolkodás fejlettségér�l.

• A tanmenetben meghatározott témából intézményi bels� vizsgát szervezünk, amelyik lehet például az utolsó

témazáró dolgozat is. A bels� vizsgák követelményét részint teljesítette az a tanuló, aki eredményesen és

rendszeresen old meg versenyel�készít

� feladatokat, eredménnyel vesz részt az országos versenyek els

�

fordulóján, színvonalas matematikatörténeti kisel�adást tart, feladatok megoldásához használ személyi

számítógépet. • A bels

� vizsga egyik célja, hogy segítsen a pályairány eldöntésében. Szaktárgyunk esetében annak

eldöntésére van szükség, hogy a tanuló középszint� vagy emelt szint� érettségi vizsgát készül-e tenni. Amennyiben az emelt szint� érettségi vizsgára készül, 10.(11.) osztálytól már ajánlatos szakkörre járnia, hogy a 11.(12.) évfolyamon fakultáción tanulhassa a matematikát.

Feltételek

• Egyetemet végzett matematika tanár, aki a valószín� ségszámítás és statisztika témakör tanításából továbbképzésen vett részt.



• Megfelel�en felszerelt matematika "szertár".

• A tanulóknak: tankönyv, melyet a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgy� jtemény. Füzetek, körz

�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, a

matematika iránt nagyobb érdekl�dést mutatók számára a KÖMAL cím� folyóirat.

• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, , színes kréta, írásvetít

� fóliákkal, személyi számítógép használati lehet

�ség, oktatóprogramok (szoftverek),

matematikai témájú videokazetták, lehet�ség sokszorosításra.

Halmazok, logika, kombinatorika 9.(10.)K


Cél

• Halmazszemlélet fejlesztése. Halmazm� veletek megismerése. • A szaknyelv és a fokozatosan b

�vül

� jelölésrendszer helyes alkalmazása.

• A kommunikációs készség továbbfejlesztése érvelésekben, vitákban, bizonyításokban. • Definiciók és tételek megkülönböztetése. • Többféle megoldás keresése. • Kombinatorikus gondolkodás továbbfejlesztése.

Követelmény

• Gyakorlottság az összes eset rendszerezett felsorolásában kis elemszám esetén. • Ismerkedjen a matematikai jelölésekkel. • Legyen képes egyszer� bb matematikai szövegek ért

� elemzésére, tudja használni a szaklexikont.

• Ismerje és értse a legalapvet�bb m� veleteket, halmazokkal, tudja alkalmazni konkrét példák esetében.

Legyen képes egyszer� példák kapcsán fadiagram, útdiagram, táblázatok készítésére, az "összeadási szabály" és a "szorzási szabály" alkalmazására.

El � zmény A témához kapcsolódó követelmények teljesítése 8. osztállyal bezárólag.

Tartalom

• Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata. • Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementerhalmaz képzése. • Venn-diagram használata feladatok megoldásában. • Alaphalmaz, megoldáshalmaz. • Definició, tétel, bizonyítás. Ellenpélda. • Példák a skatulyaelv alkalmazására. • Változatos kombinatorikai feladatok kapcsán az összes eset megkeresése, az "összeadási szabály" és a

"szorzási szabály" alkalmazásával is.

Értékelés

• A házi feladatok rendszeres megbeszélése. • Szóbeli és rövid, egyszer� feladatokat tartalmazó írásbeli felmérés.

Feltételek Írásvetít

� fóliák, színes tollak, szemléltet

� eszköz

�k.



Valós számkör, m veletek, algebra, számelmélet 9.(10)K


Cél

• A számfogalom fejlesztése.A m� veletek kiterjesztése algebrai egész és törtkifejezések esetében. A m� veleti tulajdonságok áttekintése. Helyes m� veleti sorrend biztos alkalmazása.

• A matematikai szimbólumok elmélyítése, alkalmazása különböz� problémák lejegyzésére.

• Nevezetes összefüggések, azonosságok megismerése és alkalmazása. • A hatványozás értelmezésének kiterjesztése egész kitev

�kre.

• A tanult számelméleti ismeretek áttekintése, alkalmazása algebrai kifejezéseket tartalmazó feladatokban. • A bizonyítási igény fejlesztése.

Követelmény

• Ismerje a számírás alapelveit. Legyen tisztában a tízes számrendszerrel, a helyiérték fogalmával. • Tudja és értse a tanuló az algebrai egész és törtkifejezés fogalmát, tudja azok célszer� átalakítását

elvégezni, helyettesítési értéküket kiszámítani. • Ismerje a nevezetes azonosságokat és a nevezetes közepeket, és legyen képes alkalmazni egyszer� bb

feladatok megoldásában. • Tudja az egész kitev

�j � hatvány fogalmát, értse és igazolja a hatványozás azonosságait.

• Az oszthatósági alapismeretek: prímtényez�s felbontás, osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó,

legkisebb közös többszörös egyszer� feladatokban történ� alkalmazása.

• Tudja alkalmazni a tanult számelméleti ismereteket, a m� veleti és algebrai azonosságokat, valamint a hatványozás azonosságait algebrai kifejezést tartalmazó oszthatósági feladatok megoldása esetén.

El � zmény

• Az el�z

� nyolc év e témákhoz kapcsolódó követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• Valós számkör. Számhalmazok kapcsolata.M� veletek: alapm� veletek a valós számok körében, bet� s kifejezések körében, halmazok körében (unió, metszet, különbség, kiegészít

� halmaz).

• Algebrai egész és törtkifejezések átalakításai (kiemelés, beszorzás). Helyettesítési érték. • Nevezetes azonosságok: kéttagú bet� kifejezések 2. és 3. hatványa, háromtagú kifejezés négyzete. • Egész kitev

�j � hatványok (0 és negatív kitev

�).

• A hatványozás azonosságai és igazolásuk. • A számok normálalakja. • Gyakorlati alkalmazások. Kerekítés. Közelít

� érték.

• Nevezetes egyenl�tlenségek, számtani- és mértani közép fogalma, kapcsolata.

Értékelés

• Házi feladatok rendszeres megbeszélése, ellen�rzése.

• Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a halmazok

és valós számkör, m� veletek, algebra és számelmélet témakörökb�l.

Feltételek Feladatgy� jtemények. Írásvetít

� és fóliák, tollak. Prímszámtáblázatok. Sokfüggvényes zsebkalkulátor.



Egyenletek, egyenl tlenségek 9.(10.)K


Cél

• Ért�-elemz

� olvasás fejlesztése.

• Különböz� problémák matematikai modelljének felírása.

• Ellen�rzés igényének fejlesztése.

Követelmény

• Tudjon els�fokú- és els

�fokúra vezet

� törtes egyenleteket és egyenl

�tlenségeket megoldani.

• Tudjon els�fokú kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani.

• Legyen képes százalékszámítási és kamatszámítási feladatok önálló megoldására.

El � zmény A témához kapcsolódó el

�z

� évi követelmények teljesítése.

Tartalom

• Törtes egyenletek, egyenl�tlenségek algebrai megoldása és ellen

�rzése. Alaphalmaz, igazsághalmaz.

• Egyenletek ekvivalenciája. Hamis gyök. • Egyszer� bb paraméteres els

�fokú egyenletek megoldása diszkusszióval.

• Fizikai és kémiai képletekb�l a különböz

� mennyiségek kifejezése a kémia és fizika tankönyvek

felhasználásával. • Egyszer� bb abszolutértéket tartalmazó egyenletek. • Els

�fokú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megoldásuk algebrai (behelyettesít

� módszer, egyenl

�

együtthatók módszere) és grafikus úton. • Százalék- és kamat számítási feladatok. Példák a gazdasági élet területér

�l is a történelem és földrajz

tankönyv felhasználásával. • Szöveges feladatok megoldása. Ellen

�rzés a szöveg alapján.

Értékelés

• A házi feladatok rendszeres ellen�rzése.

• Rövid írásbeli és szóbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a függvények

témakörrel együtt.

Feltételek Feladatgy� jtemény. Írásvetít

� a grafikus megoldások kivetítésére, együttes ellen

�rzésére.

Függvények, függvénytranszformációk 9.(10.)K


Cél

• Függvényszemlélet fejlesztése. • A matematika különböz

� területeinek összekapcsolása (pl. függvénytranszformációk és geometriai

transzformációk). • A különböz

� gyakorlati alkalmazások megmutatása.



Követelmény

• Ismerje és tudja jellemezni a tanult alapfüggvényeket, legyen képes azok legegyszer� bb transzformációit végrehajtani.

• Tudjon saját készítés� sablon alapján rendezett ábrát készíteni a vizsgált függvényekr�l.

• Legyen képes a függvényekr�l tanultakat alkalmazni egyenletek, lineáris kétismeretlenes

egyenletrendszerek és egyenl�tlenségek megoldásában, természet- és társadalomtudományos jelenségek,

folyamatok leírásában.

El � zmény Az el

�z

� évek megfelel

� témája követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• Az egyenes arányosság, a fordított arányosság fogalma, a függvény jellemz�i, ábrázolása.

• Lineáris függvények, négyzetgyökfüggvény, els�fokú törtfüggvény.

• Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. • Abszolútérték függvény • A másodfokú függvény és transzformációi. • Egészrész- és törtrész függvény, szignum függvény fogalma, ábrázolása. • Függvénytani alapfogalmak: hozzárendelés fajtái, az egyértelm� hozzárendelés, értelmezési tartomány,

értékkészlet, zérushely, növekedési viszonyok, széls�érték szemléletes fogalma, paritás.

• Konkrét függvények konkrét transzformációi.

Értékelés

• Házi feladatok gyakori ellen�rzése.

• A megoldások leírásának külalakjának, rendezettségének értékelése. • A megoldás ellen

�rzésének értékelése.

• Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az

egyenletek, egyenl�tlenségek témakörrel együtt.

Feltételek Feladatgy� jtemények. Írásvetít

�.

Alakzatok, geometriai mértékek 9.(10.)K


Cél

• A már tanult síkbeli és térbeli alakzatok ismétlése és újabb alakzatok megismerése. • Az alakzatok jellemz

�inek, tulajdonságainak mértékeinek rendszerez

� áttekintése, kapcsolatok, össze-

függések felfedezése, rögzítése.

Követelmény

• A tanuló tudja a háromszög megadási módjait; szerkesztésének feltételeit. • Ismerje a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggéseket. • Ismerje a háromszög nevezetes vonalait, pontjait, köreit, tudja megszerkeszteni azokat. • Tudja a sokszög szögösszegének, átlói számának meghatározását. • Tudjon szöget mérni fokban, radiánban. • Legyen képes adott kör középponti szögét, körívének hosszát, a körcikk területét kiszámítani. • Értse a háromszög, négyszög középvonalának fogalmát, ismerje a középvonalak tulajdonságait.



El � zmény A téma 8. osztály végi követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• Háromszögek jellemz�i, csoportosításuk.

• Összefüggések a háromszög szögei között, oldalai között, a derékszög� háromszög oldalai között. • A háromszögekben egyenl

� oldalakkal szemben egyenl

� szög, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

• Sokszögek, szabályos sokszögek. Alaptulajdonságaik. • Konvex sokszög bels

� szögeinek összege, átlóinak száma.

• Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelez� mer

�legesek, szögfelez

�k, magasságvonalak.

• Beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja, magasságpont. • A háromszög beírt köre, köréírt köre. • Háromszögek, négyszögek középvonalai. • A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk területe. • Szögek mérése fokban, radiánban.

Értékelés

• Házi feladatok gyakori ellen�rzése.

• Rövid írásbeli és szóbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szerkesz-

tések, bizonyítások témakörrel együtt.

Feltételek Mér

�eszközök, síkbeli modellek.

Szerkesztések, bizonyítások 9.(10.)K


Cél

• A bizonyítás, cáfolás, ellenpélda lényegének megmutatása. • A definició fogalmának mélyítése. • Pontos munkára nevelés szerkesztések kapcsán. • Esztétikus külalak igényének kialakítása. • Vázlat, megoldási terv szerepének megmutatása.

Követelmény

• Igényes kivitel� szerkesztés, törekvés a diszkusszióra. • Pitagorasz- és Thalész-tétel, valamint bizonyításuk és megfordításuk ismerete. • A háromszöggel kapcsolatos tételek biztos ismerete és a bizonyításokban való jártasság.

El � zmény A téma 8. osztályig megfogalmazott követelményeinek teljesítése és az el

�z

� téma követelményeinek

teljesítése.

Tartalom

• A definíció, a tétel, a tétel megfordítása. • Thalesz- és Pitagorasz- tételek , bizonyításuk. • Thalesz-tétel, Pitagorasz-tétel megfordítása, bizonyítás. • Érint

�szerkesztési feladatok.



• Vázlat, megoldási terv készítése. • Thalesz-tétel felhasználása egyszer� bb bizonyításos feladatokban. • A háromszög oldalfelez

� mer

�legesei egy pontban metszik egymást.

• A háromszög köré írt kör és tulajdonságai. • A háromszög bels

� szögfelez

�i egy pontban metszik egymást.

• A háromszög beírt köre és tulajdonságai. A háromszöghöz hozzáírt körök szerkesztése. • A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Magasságpont. • A háromszög középvonalaira vonatkozó tétel. • A négyszögek középvonalai. • A fentiek felhasználása egyszer� bb szerkesztéses és bizonyításos feladatokban.

Értékelés

• Házi feladatok ellen�rzése.

• Rövid szóbeli és írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az alakzatok,

geometriai mértékek témakörrel együtt.

Feltételek Tanulói szerkesztési eszközök, színes kréták, színes ceruzák.

Geometriai transzformációk 9.(10.)K


Cél

• Függvényszemlélet fejlesztése. • A transzformációs szemlélet fejlesztése. • Egybevágósági transzformációk ismétl

� összefoglalása után újabb tulajdonságok, definíciók megismerése.

Követelmény

• Legyen képes a szerkesztések pontos kivitelezésére, vázlat készítésére. • Legyen képes a tanult geometriai transzformációk rendszerez

� áttekintésére, összefoglalására.

• Tudja az alakzatok egybevágóságának feltételeit. • Vegye észre adott esetben a különböz

� alakzatok szimmetriáit.

El � zmény A témában nyolcadik osztályig tanultak követelményeinek ismerete.

Tartalom

• Példák különböz� geometriai transzformációkra.

• A geometriai transzformáció fogalma. • Fixpontok, invariáns alakzatok. • Egybevágósági transzformációk (tengelyes és középpontos tükrözés, eltolás és a pont körüli elforgatás) síkban és térben. • Alakzatok (háromszögek, sokszögek, kör) egybevágóságának feltételei. • Szimmetrikus alakzatok. • Példák nem egybevágósági transzformációkra. • Szerkesztési feladatok transzformációkkal (diszkusszió).



Értékelés


• Szerkesztések pontos kivitelezésének ellen�rzése.

• Szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a

valószín� ség, statisztika témakörrel együtt.

Feltételek Írásvetít

�, fóliák, tollak, tanulói rajzeszközök, színes kréták, színes ceruzák.

Valószín ség, statisztika 9.(10.)K


Cél

• A valószín� ség fogalmának alakítása. • Statisztikai adatok helyes értelmezés, értékelés, ábrázolása, jellemz

�k leolvasásának megtanítása.

Követelmény

• Valószín� ségi kísérletek kimenetelére becslés adása. • Tudja a statisztikai adatokat táblázatba gy� jteni, ábrázolni. • Tudjon helyesen értelmezni különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatokat.

El � zmény

• A 8. osztály végéig tanultak ismerete.

Tartalom

• Kísérletek végzése, a kimenetel vizsgálata. • Gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámítása konkrét példák kapcsán. • Gy� jtött adatok rendszerezése, ábrázolása ( kördiagram, oszlopdiagram) • Statisztikai jellemz

�k (számtani közép, módusz, medián) keresése, megfogalmazása.

• Különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatok értelmezése a történelem és földrajz tankönyvekb�l

vett példák alapján is. • Szerkesztóprogramok ismertetése, a zsebkalkulátorok statisztikus üzemmódja.

Értékelés

• Szóbeli számonkérés, órai munka értékelése. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a geometriai

transzformációk témakörrel együtt.

Feltételek Statisztikai adatok, kockák, pénzérmék, kártyák a kísérletekhez.



Matematika 10(11) 10.(11.)K Halmazok,logika 14. oldal Kombinatorika 14. oldal Számkörök, m� veletek. Algebra. 15. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek 16. oldal Másodfokú függvények, szögfüggvények 17. oldal Geometriai alakzatok, mértékek 18. oldal Geometriai bizonyítások 19. oldal Geometriai transzformációk 19. oldal Valószín� ség, statisztika 20. oldal Rendszerez� összefoglalás 21. oldal


Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét

Cél

• A valós számkörben végzett m� veletek hibátlan elvégzése. • A tanult témák rendszerez

� áttekintése, egymással és a gyakorlati élettel való kapcsolatának megmutatása.

• A tanult fogalmak, tételek, bizonyítások öszefoglalása. • Eljárások, algoritmusok er

�sítése gyakorlati feladatok megoldása.

• A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • A valószín� ség szemléletes fogalmának kialakítása. • Az alapvizsgára készül

� tanulók felkészítése.

Követelmény

• A valós számkör fogalmának és a benne végzett m� veleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való m� veletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos

alkalmazásaban egyszer� esetekben. • Egyszer� egyenletek, egyenl

�tlenségek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek és lineáris

kétismeretlenes egyenl�tlenségrendszerek készségszint� megoldása, a megoldás ellen

�rzése.

• Jártasság egyszer� szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszög� koordinátarendszerben, tulajdonságaik

leolvasása, egyszer� transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definiciójának - jellemz

�inek, mértékeinek biztos tudása.

• A geometriai transzformációk és jellemz�ik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási

feladatokban. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztés a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása derékszög� háromszögben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószín� ségi szemlélet fejlesztése.

El � zmény Az els

� 9 év követelményeinek megfelel

� szint� teljesítése.

Tartalom Az els

� 9.(10.) év tananyagának folyamatos ismétlése mellett,

• a négyzetgyök azonosságai



• az n-edik gyök fogalma és azonosságai, • másodfokú egyenletek egyenl

�tlenségek és megoldásuk,

• középpontos hasonlóság, hasonló alakzatok és ezek kerülete, területe, • párhuzamos szel

�k tétele,

• háromszögekre vonatkozó tételek, • háromszögek területének kiszámítási módjai, • sokszögekre vonatkozó ismeretek, • körrel kapcsolatos ismeretek, • térgeometriai ismeretek, • trigonometriai alapismeretek, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószín� ségi és statisztikai alapfogalmak el

�készítése.

Tananyagbeosztás:

I. Gondolkodási módszerek: 7 óra 1.Halmazok,logika (3 óra) 2.Kombinatorika (4 óra)

II. Számtan, algebra: 32 óra 1.Számkörök, m� veletek. Algebra (14 óra) 2.Egyenletek, egyenl

�tlenségek (18 óra)

III. Függvények: 19 óra 1.Másodfokú függvények, szögfüggvények (19 óra)

IV. Geometria: 33 óra 1.Geometriai alakzatok, mértékek (12 óra) 2.Geometriai bizonyítások (12 óra) 3.Geometriai transzformációk (9 óra)

V. Valószín� ség, statisztika: 6 óra VI.Rendszerez� összefoglalás: 6 óra

VII.Témazáró dolgozatok írása és értékelése: 8 óra

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követ

�en egy-egy dolgozatjavító, értékel

� órát iktatunk be.

Az utolsó témazáró dolgozat lehet 60 perces, els�sorban azokra a tanulókra gondolva, akik fakultációt

választottak.

Értékelés

• Házi feladatok alapján. • Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. • Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. • Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekb

�l tartott

kisel�adások alapján.

• A három egy órás és egy két órás témazáró felmérés alapján.

Feltételek

• Érettségit adó iskolatípus esetén egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelel

�en felszerelt matematika "szertár".

• A tanulóknak: tankönyv, melyet a szaktanár vagy a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgy� jtemény. Füzetek, körz

�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszá-

mológép, a matematika iránt nagyobb érdekl�dést mutatók számára a KÖMAL folyóirat, KENGURU

verseny el�készít

� tesztjei.



• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréta, írásvetít

� fóliákkal, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehet

�ség

sokszorosításra.

Halmazok,logika 10.(11.) K


Cél

• Halmazokról tanultak alkalmazása az els� tíz év anyagának rendszerez

� áttekintésére.

• A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés.

Követelmény

• A legegyszer� bb halmazm� veletek ismerete és konkrét feladatok megoldásában való felhasználása. • Tájékozottság a "skatulyaelv", a teljes indukció és a szitamódszer (logikai szita) legfontosabb jellemz

�ir

�l.

El � zmény E témában a 9. osztály végéig tanultak követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• A halmazokról, halmazm� veletekr�l tanultak alkalmazása más tananyagegységekben.

• A nyelv logikai elemeinek helyes használata. • A skatulyaelv, a teljes indukció, a logikai szita, mint bizonyítási módszer bemutatása konkrét egyszer� bb

feladatok kapcsán. • Az indirekt bizonyítás

Értékelés

• Konkrét - más témákhoz kapcsolódó - feladatok megoldása során történik az értékelés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a

számtan, algabra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.

Feltételek Az általános részben megfogalmazott feltételek szükségesek.

Kombinatorika 10.(11.)K


Cél

• Legyen képes a tanuló módszeresen megkeresni adott (kevés) elemszám esetén az összes lehetséges sorrendet. (Permutációk)

• Legyen képes néhány elem� halmaz összes lehetséges részhalmazát felsorolni, a részhalmazok számát felsorolás nélkül is megadni (Kombinációk).

Követelmény

• A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.



• Az összes megoldás megkeresésével kapcsolatos igény fejlesztése. • A matematika szépségének bemutatása.

El � zmény Az els

� 9(10) év során összegy� jtött tapasztalatok, módszerek ismerete, a követelmények teljesítése.

Tartalom

• Egyszer� kombinatorikus feladatok. • Ismerkedés a Pascal-háromszöggel kis n-ek esetén, a Pascal-háromszög elemeinek tulajdonságai. • Adott kis elemszám esetén a sorrendek összeszámolása. • Adott kis elemszám esetén részhalmazok kiválasztása az összes lehetséges módon. • Kiválasztási és sorrendi kérdéseket tartalmazó érdekes feladatok megoldása.

Értékelés

• A házi feladatok részletes megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a

számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételek teljesítése.

Számkörök, m veletek. Algebra. 10.(11.)K


Cél

• Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett m� veletek ért

� elvégzése.

• Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.

Követelmény

• Értse a valós szám fogalmát. Tudja igazolni, hogy négyzetgyök 2 irracionális szám. • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult m� veleteket a valós számok körében: alapm� veletek,

négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • Legyen járatos az egyszer� algebrai kifejezésekkel végzett alapm� veletekben. • Tudja kiszámítani egy adott algebrai kifejezés helyettesítési értékét. • Tudja meghatározni egyszer� esetekben az algebrai kifejezés értelmezési tartományát. • Tudja a tanult azonosságokat felhasználni algebrai kifejezések egyszer� bbé tételében. • Tudja kifejezni adott egyszer� képletek esetén a bennük szerepl

� változót.

El � zmény Az el

�z

� 9(10) év során e témában tanultak megfelel

� szint� ismerete, a témához kapcsolódó követelmények

teljesítése.

Tartalom

• Példák irracionális számokra. • A négyzetgyök 2 irracionális szám. • Négyzetgyökvonás, hatványozás, n-edik gyök, valamint ezek azonosságainak • Táblázatok és a zsebszámológép célszer� használata a számítások gyorsítására. • Kerekítés, becslés.



• Algebrai egész és törtkifejezések, és ezek célszer� átalakításai a m� veleti tulajdonságok és a tanult azonosságok felhasználásával.

• Algebrai kifejezések helyettesítési értéke, értelmezési tartománya. • A 10 év során tanultak rendszerez

� áttekintése.

Értékelés


• Alapm� veletek helyes és gyors végzésének ellen�rzése tesztlapokkal, szoftverekkel.

• Rövid írásbeli és szóbeli számonkérés • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a

számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.

Feltételek Táblázatok és zsebszámológép.

Egyenletek, egyenl tlenségek 10.(11.)K


Cél

• Egyenletek, egyenl�tlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása.

• Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. • A másodfokú egyenletek, egyenl

�tlenségek megoldási módjainak megismerése.

• Másodfokú összefüggésekre vezet� feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági

számítások köréb�l.

• Széls�érték problémák megoldásával való ismerkedés.

Követelmény

• Tudjon megoldani els�fokú egyenleteket, egyenl

�tlenségeket és els

�fokú legfeljebb kétismeretlenes

egyenletrendszereket, egyenl�tlenségrendszereket.

• Tudja alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Értse a diszkrimináns szerepét. • Ismerje a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. • Tudjon megoldani egyszer� másodfokú egyenletre - , egyenl

�tlenségre vezet

� feladatokat.

• Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. • Alakuljon ki az önellen

�rzés igénye.

El � zmény

• Lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása.

• A témához kapcsolódó els� 9 év követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• Ismétlés szinten a lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek, egyenletrendszerek megoldása.

• Nevezetes szorzatok. Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással. • Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. • Másodfokú egyenletek gyöktényez

�s alakja, Viéte-formulák.

• Egyszer� bb másodfokú egyenl�tlenségek.

• Másodfokúra visszavezethet� egyszer� bb egyenletek.

• Szöveges feladatok. • Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között • Grafikus megoldások • Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások



• Az ellen�rzés szerepének kiemelése.

Értékelés


• Több rövid írásbeli ellen�rzés.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek, egyenl

�tlenségek és a másodfokú függvények témakörb

�l.

Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetít

� és fóliák, színes tollak.

Másodfokú függvények, szögfüggvények 10.(11.)K


Cél

• A függvényszemlélet er�sítése.

• Szövegek lefordítása a matematika nyelvére, a talált összefüggések ábrázolása derékszög� koordináta-rendszerben.

• A hegyesszög szögfüggvényeinek megismerése.

Követelmény

• Tudja ábrázolni a másodfokú függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait, jellemz�it.

• Legyen képes a másodfokú függvény egyszer� transzformációit elvégezni. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre.

El � zmény A függvényekr

�l az els

� 9(10) év során tanultak ismerete, a hozzájuk kapcsolódó követelmények teljesítése.

Tartalom

• Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). • Széls

�érték számítások.

• Hegyeszögek szögfüggvényei (definíciók) és összefüggéseik. • Pótszögek szögfüggvényei. • Néhány hegyesszög pontos szögfüggvényértéke. • Derékszög� háromszög adatainak számítása. • A fizika tantárgyban el

�forduló egyszer� bb problémák matematikai modellje is.

Értékelés

• Házi feladatok megbeszélése. • Több rövid írásbeli és szóbeli beszámoló. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek,

egyenl�tlenségek és a másodfokú függvények témakörb

�l.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvényekb

�l a geometriai alakzatok, mértékek témakörrel együtt.

Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetít




Geometriai alakzatok, mértékek 10.(11.)K


Cél A témában eddig tanultak rendszerez

� összefoglalása és kiegészítése.

Követelmény

• Tudja a háromszögek, négyszögek, sokszögek definícióját, jellemz�it, kerület- és terület számítási módjait,

az átlók számát, a bels� és küls

� szögek mértékeit, összefüggéseit.

• Ismerje és alkalmazza szerkesztési és bizonyításos feladatokban a háromszög nevezetes vonalairól, pontjairól tanultakat.

• Tudja kiszámítani ismert alakzatok kerületét, területét, térfogatát. • Tudjon kocka-, téglatest-, tetraéder-, gúla modellt készíteni, és tudja ezen testek rendezett "beszédes "

ábráit a füzetében megjeleníteni. • Tudjon területet, térfogatot számolni a hasonlóság segítségével is. • Tudja meghatározni ismert és tanult geometriai alakzatok kölcsönös helyzetét, kiszámítani hajlásszögüket,

távolságukat.

El � zmény A 9. évfolyam végéig e témában tanultak követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• Háromszögekr�l, négyszögekr

�l, sokszögekr

�l tanult ismeretek áttekintése.

• A körr�l tanultak áttekintése.

• Pitagorasz tétele és a szögfüggvények kapcsolata, számításos feladatok megoldása. • Hasonló alakzatok kerület-, terület- és térfogataránya. • Két kitér

� egyenes hajlásszöge és távolsága.

• Egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge. • Síkra mer

�leges egyenes.

• Pont távolsága síktól. • Egyszer� bb testek méretes vonatkozásai, térelemek távolsága és szöge a kocka, téglatest, tetraéder,

szabályos gúlák esetében . • A tanultak rendszerez

� összefoglalása.

Értékelés

• Házi feladatok rendszeres ellen�rzése.

• Rövid írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvények

és ezen téma geometriai számításos részéb�l.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb

�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció


Feltételek

• Geometriai alakzatok modelljei, melyekkel a tartalomban leírtakat szemléltethetjük. • Rajzeszközök, színes kréták és ceruzák.A POLYDRON testépít

� készlet.



Geometriai bizonyítások 10.(11.)K


Cél

• A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása.

Követelmény

• Tudja a párhuzamos szel�k tételét ( ismerje bizonyítását ).

• Tudja a háromszögek súlyvonalára és súlypontjára vonatkozó tételt és annak bizonyítását. • Tudja a szögfelez

� osztásarányát, ismerje a bizonyítást.

• Ismerje a derékszög� háromszögben a befogótételt, ismerje a bizonyítást.

El � zmény Az el

�z

� kilenc év megfelel

� követelményeinek teljesítése.

Tartalom

• A háromszög különböz� területképletei.

• Párhuzamos szel�k tétele és a tétel megfordítása.

• A háromszög súlyvonalai és súlypontja. • Szögfelez

� osztásaránya.

• Befogótétel. Magasságtétel. • Irracionális mér

�számú szakaszok szerkesztése.

• A tételek alkalmazása feladatokban.

Értékelés


• Több rövid felmérés írása. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi

geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció


Feltételek Tanulói rajzeszközök. Írásvetít


Geometriai transzformációk 10.( 11.)K


Cél

• Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának és tulajdonságainak, a hasonló alakzatoknak a megismerése.

Követelmény

• Tudja az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait.



• Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási feladatok megoldása során.

• Ismerje meg a vektor számmal szorzását , a vektorok felbontását a síkban

El � zmény A témában a 9.(10.) osztály végéig tanultak ismerete, és a követelmények teljesítése.

Tartalom

• Egybevágósági transzformációk átismétlése konkrét feladatok kapcsán. • Középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. • A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai. • Hasonló alazatok. • A vektor szorzása számmal, vektor felbontása a síkban • Feladatok a gyakorlati életb

�l, a természetb

�l, a természettudományos tárgyakból a hasonlóságra,

vektorokra.

Értékelés


• Szóbeli feleletek. • Több rövid írásbeli felmérés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi

geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció


Feltételek

• Feladatgy� jtemény. • Tanulói szerkesztési eszközök. Írásvetít

�.

Valószín ség, statisztika 10.(11.)K


Cél

• A valószín� ség szemléletes fogalmának kialakítása. • A valószín� ség becslése és kiszámítása egyszer� esetekeben. • Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. • Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.

Követelmény

• Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszer� esetekben. • Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószín� ségi modellel és a geometriai mértékkel

jellemezhet� valószín� ségi modellel (pl. lottó, totó).

El � zmény A témával kapcsolatos tapasztalatok és ismeretek az el

�z

� 9 évben, és az ezekhez kapcsolódó követelmények

teljesítése.

Tartalom

• Gyakoriság vizsgálata kisérletekkel. • Relatív gyakoriság fogalma.



• A valószín� ség személetes fogalma • Egyszerü problémák megoldása a klasszikus valószín� ségi modell alapján. • Találati valószín� ség szerencsejátékok esetében (pl. lottó, totó).

Értékelés

• Házi feladatok megbeszélése. • Az órai problémák els

�sorban frontális, közös megbeszélése.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb

�l.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételeken túl néhány el

�re megrajzolt, elkészített pörgetty� (színezve,

számokkal). Kockák, kártyák, pénzérmék a valószín� ségi kísérletekhez.

Rendszerez összefoglalás 10.(11.)K


Cél

• Az els� tíz évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek, bizonyítások

rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböz

� matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül.

• Feladatok a való életb�l a matematika hasznosságának igazolására.

• Az alapm� veltségi vizsgára jelentkezett tanulók felkészítésének segítése. • Segítségnyújtás a pályairány megválasztásához.

Követelmény

• Az els� tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas,

fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelel

� szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása.

• Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére.

El � zmény A matematika m� veltség területén az els

� 10 (11) évre megfogalmazottak teljesítése.

Tartalom Az els

� tíz(tizenegy) évben tanultak legfontosabb, legalapvet

�bb részeinek kiemelése, a témakörök közötti

kapcsolatok megmutatása sokszín� , érdekes gyakorlati és matematikai alkalmazásokon keresztül.

Matematika 11(12) 11.(12.)K

Részei Halmazok, matematikai logika elemei 23. oldal Kombinatorika 24. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 25. oldal Függvények 26. oldal Vektorok, trigonometria 27. oldal Koordináta-geometria 27. oldal Valószín� ségszámítás 28. oldal Ismétlés, a felhasználható további órakeret 29. oldal




Tanítási ciklus 3 óra / 1 hét

Cél

• Logikus gondolkodásra, elemi következtetésekre, szöveges indoklásokra (okfejtésre) azoknak a tanulóknak is szükségük van, akik fels

�fokú tanulmányaik során nem matematika igényes stúdiumokon vesznek részt,

s�t azoknak is, akik a középszint� érettségivel lezárják tanulmányaikat. A z e m e l t s z i n t�

é r e t t s é g i r e n e m k é s z í t i f e l i s k o l á n k a z e z e n ( K ) t an t e r v s z e r i n t t a n u l ó k a t !

• Aki ezen (K) tanterv szerint tanult, és emelt szint� érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik/tizennegyedik évben szintemel

� foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13. ill 14. évfolyamon fogja megtanulni pl. az

analízis elemeit, és a valószín� ségi változókról szóló mélyebb ismereteket. A középszint� és emelt szint� érettségire felkészít

� két utolsó évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van.

• A helyes gondolkodás fejlesztéséhez ismeretekre van szükség. Az ismeretek az évek múltával elhalványulhatnak, de a tanulásuk során, az ismeretekhez kapcsolódó feladatok, problémák megoldása során a tanuló látásmódja fejl

�dik. A természettudományos, a technikai s

�t a humán területek tanulmányozásához

komoly segítséget nyújt a matematika, s annak nyelve. • Azon tanulók számára, akik a kés

�bbiekben humán területeken dolgoznak majd, komoly pozitív motivációt

jelenthet, ha megmutatjuk a matematika és humán m� veltség kapcsolatát, matematikatörténeti ismeretekkel f � szerezzük tanításunkat. Erre mód van a szöveges feladatok tanításakor, a trigonometria és az analitikus geometria tanításában is. Ehhez használjuk fel az iskolai könyvtárban megtalálható megfelel

�

enciklopédiákat lexikonokat, folyóiratokat, könyveket. a tanulók böngészhetnek az INTERNET-en is matematikatörténeti vonatkozásokat, életrajzi adatokat keresve.

• Ezen területek ugyanakkor alkalmat nyújtanak a matematika gyakorlati használhatóságának bemutatására is.

• A 11. ill. 12. évfolyamon elkezd�dhet a különböz

� anyagrészek rendszerezése, folytatódhat az egyes tanult

anyagrészek összekapcsolása (például az analitikus geometriában az algebra és a geometria összefésülése).

Követelmény

• A tanulók ismerjék a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát, tudjanak egyszer� bb kombinatorikai feladatokat megoldani.

• Tudjanak másodfokúra visszavezethet�, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket,

egyenl�tlenségeket megoldani, egyszer� azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor

végeznek ekvivalens lépéseket, s miként lehet a fellép� hamis gyököket kisz� rni. Tudjanak egyszer�

kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert megoldani. Ismerjék, hogy szöveges feladatokat hogyan lehet lefordítani a matematika nyelvére. Tudják, hogy a megoldásokat ellen

�rizni kell.

• Ismerjék, hogy a hatványozás általánosításakor a permanencia elvét alkalmazzuk. Ismerjék az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények definícióját, elemi tulajdonságait és ábráit.

• Zsebszámológép célszer� felhasználásával legyenek képesek megfelel� pontosságú számításokat végezni.

• Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.

• Tudják az egyenes, a kör s a parabola tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési s egyszer� ponthalmaz keresési feladatokat koordináta-geometriai módszerekkel megoldani.

• Ismerjék a statisztikai alapfogalmakat, az átlag, modus, medián, szórás fogalmát, és tudják ezeket kiszámítani konkrét számsokaság esetén

• Tudjanak klasszikus valószín� ségi feladatokat megoldani.

El � zmény A tanterv 10.(11.) osztály végéig el

�írt követelményeiben megfogalmazott, s a 11.(12.) osztály tanításakor

szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszer� sort keríteni.)



Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 12 óra

1.Halmazok, matematikai logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (8 óra)

II. Számtan-algebra: 25 óra 1.Egyenletek, egyenl

�tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (25 óra)

III. Függvények: 20 óra IV. Geometria: 32 óra

1. Vektorok, trigonometra (12 óra) 2. Koordináta-geometria (20 óra)

V. Valószín� ségszámítás: 8 óra VI. Ismétlés, rendszerezés, összefoglalás 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 6 óra

Megjegyzés: A Tartalomban leírtak nem jelentenek tanítási sorrendet.

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen

�rzése.

b) Az írásbeli ellen�rzés formái:

1. rövid dolgozat 2. az év során három teljes órás felmérés, s ezeknek teljes órában történ

� értékelése.

c) Tanév elején tanárváltozás esetén a tanár által összeállított diagnosztikus mérés a korábban tanult anyag-részek azon súlyponti témáiból, melyekre a tanévben támaszkodni fogunk.

Feltételek

• Középiskolai matematika szakos tanár. Személyi számítógép. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai feladatgy� j-

temények. Füzetek, körz�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép.

• A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetít

� fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokazetták),

fénymásolási lehet�ség feladatlapok sokszorosításához.

Halmazok, matematikai logika elemei 11.(12.)K


Cél

• A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböz� területein: egyenleteknél,

függvényeknél, ponthalmazoknál. • A feltételek, a következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjukció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenl

�tlenségek megoldásakor.

Követelmény

• A tanulók az egyszer� bizonyításokban az indukciós eljárások mellett értsék meg a deduktív következtetési módszert.

• Egyszer� bizonyításokat tudjanak reprodukálni. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehet

�ség,

akkor ellen�rzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, ill. ellen

�rzéssel sz� rhet

� ki a hamis gyök.



El � zmény Az el

�z

� tanévekben szerepl

� halmazelmélet és matematikai logika elemeinek ismerete.

Tartalom

• Negáció, konjunkció, diszjunkció és jelöléseik. • Implikáció, ekvivalencia és jelölésük. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Tétel és megfordítása.

Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböz� anyagrészekbe építve célszer� felhasználni.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.

Kombinatorika 11.(12.)K


Cél

• A kombinatorika egyszer� feladataival, módszereivel a problémafelismer� és megoldó képesség fejlesztése.

A feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés.

• Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszer� feladatokban.

• A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek, s azok felhasználása a matematika különböz� területein modell

alkotásra. • Annak ismerete, hogy a kombinatorika és gráfelmélet területén sok világhír� magyar matematikus

tevékenykedett.

Követelmény

• Ismerjék a permutáció, variáció, kombináció, ismétlés nélküli és ismétléses esetekben. Egyszer� feladatokban tudják ezeket alkalmazni.

• Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszer� bb feladatokat tudjanak

megoldani. • Ismerjék néhány magyar származású matematikus munkásságának lényegét, akik ezen a területen alkottak

El � zmény Kombinatorikából a korábban szerepl

� módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram

alkalmazása, „szorzási és összeadási szabály”).

Tartalom

• Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is). • A binomiális együtthatók és egyszerübb tulajdonságaik. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, egyszer� gráf, összefügg

� gráf, fagráf).

• Matematikatörténeti vonatkozások. A kombinatorika "magyar m� helye" : K�nig Dezs

� és K

�nig Dénes,

Erd�s Pál, Lovász László munkássága.

Értékelés

• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.



• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a valószín� ség, statisztika témakörrel együtt.

Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Egyenletek, egyenl tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 11.(12.)K


Cél

• Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek b�vítése.

• Másodfokúra visszavezethet� egyenletek, egyenl

�tlenségek, egyenletrendszerek megoldási lehet

�ségeinek

megismerése. Ilyenekre vezet� szöveges feladatok megoldása.

• Egyszer� els�- ill. másodfokúra visszavezethet

� exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenletek

megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltet

� egyenletekben a végtelen sok gyök ellen

�rzési módjának megismerése.

Követelmény

• Ismerjék meg, hogy miként lehet felismerni, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer másodfokúra visszavezethet

�, s biztonsággal tudják e visszavezetést megtenni.

• Tudjanak egyszer� exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket megoldani. • Tudják, hogy ezen egyenletekben szerepl

� függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen

szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor (pl. kett� hatványaként kapott negatív érték nem lehet

megoldása az eredeti egyenletnek). • Ismerjék fel, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást. • Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben

hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta. • Másodfokú egyenletekre visszavezethet

� egyszer� szöveges egyenleteket tudjanak megoldani.

• Ismerjék a hatványozás kiterjesztését racionális kitev�kre.

• Tudjanak egyszer� azonosságokat bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat.

El � zmény Az egyenletek, egyenl

�tlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult

azonosságoknak ismerete. A tanult hatványfogalom biztos ismerete.

Tartalom

• Másodfokúra visszavezethet� magasabbfokú ill. négyzetgyökös egyenletek.

• Els�fokúra ill. másodfokú visszavezethet

� exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

• A hatványozás kiterjesztése racionális kitev�kre.

• A hatványozás és a logaritmus azonsságai. • Egyszer� trigonometrikus azonossságok (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok, négyzetes

összefüggés, áttérés egyik szögfüggvényr�l a másikra).

• Egyszer� bb egyenl�tlenségek megoldása grafikus módszerrel is.

Értékelés

• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök,

logaritmus altémakörb�l a függvények témakörrel együtt.



• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.


Függvények 11.(12.)K


Cél

• Újabb alapvet� függvények (exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus) megismerésével a

függvényfogalom fejlesztése. Ezen függvények grafikonjainak ismerete. • Újabb függvény tulajdonságok megismerése (párosság, páratlanság, periodikusság, korlátosság), a régebbi

fogalmak tartalmának pontosítása és ezzel az elemi függvényvizsgálat b�vítése.

Követelmény

• Ismerjék a különböz� alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait.

• Ismerjék a trigonometrikus függvények általános értelmezését, grafikonjait, tulajdonságait. • Tudjanak saját készítés� sablonokkal trigonometrikus függvényeket ábrázolni. • Legyen gyakorlatuk ezen függvények egyszer� transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan

jelentkeznek a függvények ábráin ill. miként módosulnak a függvények tulajdonságai. • Tudják a függvények grafikonjait egyszer� bb egyenletek és egyenl

�tlenségek megoldásában felhasználni.

El � zmény Az el

�z

� tanévekben megismert függvények értelmezésének, tulajdonságainak és ábráinak ismerete.

Tartalom

• Az exponenciális, a logaritmus függvény és tulajdonságai. • A függvény inverze. Az inverz függvénypárok grafikonja a koordináta-rendszerben • A folytonosság szemléletes fogalma. • A logaritmus és exponenciális függvény grafikonjai különböz

� alap esetén.

• A trigonometrikus függvények általános értelmezése, ábrázolása, alapvet� tulajdonságai (zérushelyek,

széls�értékek, párosság, páratlanság, periodicitás, korlátosság).

• A függvénytranszformációk átismétlése és alkalmazásuk általános esetben: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(cx). • A trigonometrikus függvények egyszer� transzformációi.

Értékelés

• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. Célszer� a tanult függvényekre vonatkozó feladat szerepeltetése a teljes órás dolgozatban is.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök, logaritmus témakörb

�l az algebrai résszel együtt.

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.




Vektorok, trigonometria 11.(12.)K


Cél

• A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a koordináta-geometriában való alkalmazása. A fizikával való kapcsolat (a munka értelmezése) megmutatása.

• A sinus- és a cosinustétel alkalmazása háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok során, távolság-, magasság- és szög- meghatározási feladatok megoldása a gyakorlatban.

• A zsebszámológép célszer� használata, a gyakorlati feladatokban megfelel� pontosságú értékek

meghatározása.

Követelmény

• Ismerjék a skaláris szorzatot, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját; tudják alkalmazni a cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban.

• Ismerjék a sinus- és cosinustételt, és tudják alkalmazni a háromszög hiányzó részeinek meghatározásában.

El � zmény

• Az elemi geometriában tanult anyag. A vektorokról és a trigonometriából korábban tanultak. • Táblázat és zsebszámológép használata.

Tartalom

• A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai. • A skaláris szorzat felhasználása egyszer� bb feladatokban. • A sinus- és cosinustétel és levezetésük. • A sinus- és cosinustétel alkalmazása összetettebb síkbeli és térbeli feladatok megoldásában.

Értékelés

• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus

függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.


Koordináta-geometria 11.(12.)K


Cél

• Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenl�tlenségek

segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a parabola egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jelleg� feladatokban. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben.

Követelmény

• Ismerjék az egyenes néhány egyenletét, kör középpontos és általános egyenletét, a parabola definícióját és tengelyponti egyenletét.



• Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

El � zmény

• A tizedik évfolyamig bezárólag ezen tanterv geometriai anyagának ismerete. • Egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása. • Ponthalmazok megadása, nevezetes mértani helyek ismerete. • A koordináta-rendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektorm� veletek

koordinátákkal.

Tartalom

• Az egyenes irányvektoros, normálvektoros és általános egyenlete. • Adott ponton átmen

�, adott iránytangens� egyenes egyenlete.

• A párhuzamosság és mer�legesség feltétele.

• A kör középpontos és általános egyenlete. • A parabola definíciója, szimmetriatulajdonságai, pontjainak szerkesztése. • A parabola tengelypontos egyenlete. • A kör érint

�jének fogalma. Az érint

� egyenlete konkrét esetekben.

• Az egyenes, a kör és a parabola egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. • Távolsággal kapcsolatos feladatok.

Értékelés

• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.


Valószín ségszámítás, statisztika 11.(12.)K


Cél

• Statisztikai adatok rendszerezése, matematikai jellemzésük. • A valószín� ség kombinatorikus fogalmának megismerése.

Követelmény

• Ismerjék a statisztikai adatok rendszerezésének módszereit. • Ismerjék a különböz

� ábrázolási módokat: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram.

• Ismerjék a statisztikai adatok néhány jellemz�jét: átlag, modus, medián, szórás.

• Ismerjék, hogy ha egy valószín� ségi kisérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenl�en

valószín� ek, akkor egy esemény valószín� sége kombinatorikus úton határozható meg. • Tudjanak egyszer� valószín� ségi feladatokat (pl. kocka dobásával kapcsolatos feladatok) megoldani.

El � zmény A tanult kombinatorikai ismeretek és a valószín� ség elemi ismeretei.

Tartalom

• Statisztikai adatok gy� jtése, rendszerezése. • Statisztikai adatok különböz

� ábrázolása: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram.

• A statisztikai sokaság átlaga, modusa, mediánja.



• A gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. • A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekv

� elemszám függvényében.

• A valószín� ség szemléletes fogalma. • A valószín� ség kombinatorikus meghatározási módja: kedvez

� esetek száma/összes lehetséges eset száma.

• Egyszer� bb feladatok megoldása.

Értékelés

• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a kombinatorika, témakörrel együtt.


Ismétlés, a felhasználható további órakeret 11.(1 2.)K


Cél

• A tanult ismeretek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböz� témakörök

közötti kapcsolat megmutatása. Feladatok megoldása. • Ha az id

� engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdekl

�désének megfelel

� kiegészít

�

anyag vagy gyakorló ill. nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló id�ben.

Követelmény A 11. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.

El � zmény A tanév végén: az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek egyszer� feladatokon való alkalmazása.

Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböz

� anyagrészek

közötti kapcsolatok kimutatása.

Értékelés A tanulóknak az ismétlés idején nyújtott teljesítményét s az egész tanévi munkáját a végs

� értékelésnél

együttesen vegyük figyelembe.




Matematika 12(13) 12.(13.)K

Részei A matematikai logika elemei 31. oldal Sorozatok 32. oldal Kerület, terület, felszín, térfogat számítás 33. oldal Valószín� ségszámítás, statisztika 33. oldal Rendszerez� összefoglalás 34. oldal


Tanítási ciklus: 4 óra / 1 hét

Cél

• A tanév f� feladata e tanulócsoportnak a középszint� iskolai érettségire való eredményes felkészítése.

• Ennek érdekében e tanévben a tanult matematikai anyag igen alapos rendszerez� összefoglalására van

szükség. Kell� id

�t kell fordítani az anyag egyszer� feladatokon való begyakorlására.

• A tanév során tanítandó új anyagrészek feladatainak kiválasztásában fontos, hogy szerepeltessünk érdekes matematikatörténeti feladatokat, továbbá a matematika gyakorlatban való felhasználhatóságát megmutatható feladatokat is.

• Aki ezen tanterv szerint tanult, és emelt szint� érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik évben szintemel� foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13.(14.) évfolyamon fogja megtanulni pl. az analízis elemeit, és a valószín� ségi változókról szóló ismereteket. A középszint� és emelt szint� érettségire felkészít

� két utolsó

évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van.

Követelmény

• A tanulók ismerjék, hogy a matematikában a szerepl� állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk. Korábban

a tapasztalatok, a szemlélet segítségével, majd kés�bb alapfogalmak, axiómák, definiált fogalmak s már

bizonyított tételek felhasználásával. A logikai következtetéseknél komoly szerepe van a negációnak, a konjukciónak és a diszjunkciónak.

• Ismerjék a számtani és a mértani sorozat fogalmát, az n-edik tag és az összeg meghatározási módját, s ezekre vonatkozó képleteket tudják alkalmazni a feladatok megoldásában.Tudják a kamatos kamatszámításokat gyakorlati feladatokban is.

• Ismerjék a korábban tanult síkidomokat és testeket, ezek lényeges jellemz�it, s szemléletesen (egyszer� bb

esetekben bizonyítással) tisztázzuk a kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát. Legyenek képesek ezekre vonatkozó képletek alkalmazására geometriai és fizikai feladatokban. (Háromszög, speciális négyszögek, sokszögek, csonkagúla, forgáshengerb

�l nyert csonkakúp, gömb).

• Ismerjék a statisztika és a matematikai statisztika néhány alapfogalmát. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószín� ségét is meg tudják határozni,

melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. (Például célbalövésnél a 10-es körbe való beletalálás valószín� sége, ha tudjuk, hogy a lövés a céltábla minden pontját egyenl

� valószín� séggel találjuk el.)

• Az középszint� érettségire való felkészülés érdekében a rendszerez� ismétlés segítségével meg kell, hogy

er�södjenek a tanulókban a különböz

� témakörökben (a halmazok és matematikai logika, kombinatorika,

számfogalom, m� veletek, számolási eljárások, egyenletek, függvények, sorozatok, geometriai alakzatok, geometriai transzformációk, geometriai mértékek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, statisztika, valószín� ségszámítás) tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket feladatok megoldásakor alkalmazni is tudják.

El � zmény

• Az új anyag tanításához szükséges a korábbi években tanult logikai, sorozatokra vonatkozó s geometriai alakzatokra és mértékekre vonatkozó ismeretek.



• A rendszerez� összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjai már a korábbi évek évvégi

ismétléseikor kiemeltük, s a különböz� témák közötti összefüggésekre rámutattunk.

Tartalom A matematika logika elemei: 4 óra Sorozatok: 19 óra Kerület, terület, felszín, térfogatszámítás: 28 óra Valószín� ségszámítás: 17 óra Rendszerez� összefoglalás (részletezés kés� bb): 46 óra Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen

�rzése.

b) Az írásbeli ellen�rzés formái:

1. rövid dolgozatok 2. az új anyagból két teljes órás felmérés és ezeknek teljes órában történ

� értékelése

3. a rendszerez� összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történ

�

értékelése 4. április végén egy délutáni id

�pontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi

anyagból.

Feltételek

• Középiskolai matematika szakos tanár.Személyi számítógép.A POLYDRON testmodellkészlet. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai

feladatgy� jtemények. Füzetek, körz�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, testmo-

dellek. • A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,

színes kréták, írásvetít� fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokezetták,)

demonstrációs testmodellek, fénymásolási lehet�ség feladatlapok sokszorosításához.

A matematikai logika elemei 12.(13.)K


Cél

• A matematika iránt kevésbé érdekl�d

�, de érettségire készül

� tanulóknál is cél a bizonyítások lényegének

megértése, a definíció, a sejtés és a tétel megkülönböztetése, az axiómák jelent�ségének ismerete. A feltétel

és az állítás szerepére, bizonyos esetekben felcserélhet�ségére példák bemutatása.

• Egyszer� állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az ÉS , a VAGY, a NEM szavak helyes alkalmazása. Egyszer� példákon a teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek a megértése.

Követelmény

• Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet. • Tudják, hogy mi a negáció, konjukció, diszjunkció. • A tanult anyagban szerepl

� bizonyítási módszereket (pl. teljes indukciót) reprodukció szinten ismerjék.

El � zmény A korábbi tanévekben szerepl

� matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete.



Tartalom

• Állítások logikai értéke. • Negáció, konjukció, diszjunkció. • Néhány példa a teljes indukció megismerésére.

Értékelés

• Szóbeli számonkérés, házi feladat ellen�rzés.


Sorozatok 12.(13.)K


Cél

• A sorozatokkal kapcsolatos fogalmak b�vítése, a sorozat általános fogalmának tisztázása.

• A számtani és a mértani sorozat n-edik tagjára és az els� n tag összegére vonatkozó képlet igazolása,

alkalmazása matematikai, gyakorlati és matematikatörténeti feladatok (pl. a sakk feltalálójának jutalma) megoldására.

Követelmény

• A tanulók tudják, hogy a sorozat speciális függvény. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat általános tagjának és összegének képletét, tudják ezeket

feladatokban alkalmazni. • Ismerjenek néhány példát egyéb sorozatokra is, rekurzióval megadható sorozatokra. • Tudják kamatos kamatot számolni.

El � zmény A témáról korábban tanultak ismerete.

Tartalom

• A sorozat fogalma. Különböz� megadási módok. A sorozatok elemi tulajdonságai.

• A számtani és mértani sorozat fogalma. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagja és els

� n tagjának az összege.

• Kamatos-kamat számítása gyakorlati feladatokban.

Értékelés

• Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.



Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás 12. (13.)K


Cél

• A geometria tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben el�forduló egyszer� síkidomok definícióinak,

testek származtatási módjának megismertetése. • A tanult síkbeli és térbeli alakzatok kerületére, területére, felszínére, térfogatára vonatkozó képletek elemi

meggondolásokkal történ� megmutatása és átismétlése.

Követelmény

• Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszögek, a kör értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Tudjon egyszer� bb testekr

�l és bizonyos metszeteikr

�l rendezett, "beszédes" ábrát készíteni.

• Ismerjék a felsoroltak kerületének, területének, felszínének, térfogatának képletét, s ezeket tudják matematikai, fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.

El � zmény A geometriai alakzatokkal és mértékekkel kapcsolatos korábbi ismeretek tudása.

Tartalom

• Az elemi geometriai anyag ismétlése. • Síkidomok területének szemléletes fogalma. • Terület meghatározása különböz

� módon: átdarabolások, számításos módszerek.

• Térgeometriai ismeretek átismétlése. • Térelemek távolsága és szöge. Ezek számítása egyszer � bb testeknél. • A kocka, téglatest, paralelepipedon, hasáb, gúla, csonkagúla, henger, kúp, csonkakúp, gömb származ-tatása,

tulajdonságai, modelljeik elkészítése. • A térfogat és felszín szemléletes fogalma. • Térfogat- és felszínszámítási feladatok.

Értékelés

• Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.

Feltételek

• Lásd az általános részben megfogalmazottakat. • POLYDRON testkészlet.

Valószín ségszámítás, statisztika 12.(13.)K


Cél

• A valószín� ségi szemlélet fejlesztése. Olyan események megmutatása, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet.

• Van nulla valószín� ség� , de nem lehetetlen esemény.



• Annak beláttatása, hogy a valószín� ség meghatározása geometriai mérték segítségével történhet (hosszúság, terület, térfogat).

• A nagy számok törvényének szemléletes megismerése. • A matematikai statisztika alapfogalmainak megismerése.

Követelmény

• Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék meg a mintavételi eljárásokat. • Ismerjék, s egyszer� esetekben alkalmazni is tudják a geometriai valószín� ség fogalmát. (Pl. annak

megállapítása, hogy adott méret� négyzethálózatra dobott pénzérme milyen valószín� séggel esik valamelyik négyzet belsejébe.)

El � zmény

• A kombinatorikai, statisztikai fogalmak, alapeljárások ismerete.

• A valószín� ségr�l, valószín� ségi kísérletekr

�l, mértékekr

�l korábban tanultak ismerete.

Tartalom

• A mintavételi eljárások: visszatevéses és visszatevés nélküli esetek. Urnás modellek. • A mintavételi eljárások során definiált események kombinatorikus kiszámolása visszatevéses és visszatevés

nélküli esetben (binomiális és hipergeometrikus eloszlás konkrét adatokkal). • Az átlag és szórás kapcsolata. • Egyszer� feladatok a geometriai valószín� ség meghatározására. • A közvéleménykutatás elemei. • A matematikai statisztika alapfogalmai.

Értékelés Lásd az általános rész a) és b) pontját.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.

Rendszerez összefoglalás 12.(13.)k


Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésével, a tanult témakörök lényeges fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek, m� veltségi területek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával a középszint� érettségi vizsgára való felkészítés.

Követelmény Tudják a tanult fogalmak definícióját, tételeket (az egyszer� bbek bizonyítását reprodukálni is), a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböz

� területei közötti kapcsolatokat, a matematika s az

egyéb tudományok és m� veltségi területek közötti összefüggéseket. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat feladatok megoldásában alkalmazni.

El � zmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 12.(13.) évfolyam új témáiban el

�írt követelmények teljesítése.



Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK: a) Halmazok, matematikai logika: 4 óra

Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészít� halmaz. Halmazok közötti m� veletek. Venn-diagramos

ábrázolás. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. b) Kombinatorika: 5 óra

Permutáció, variáció, kombináció, gráfok.

SZÁMTAN, ALGEBRA: a) Számfogalom, m� velet fogalom, számolási eljárások: 4 óra

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Számok normálalakja, az abszolút érték fogalma. Az alapm� veletek és tulajdonságai. Közelít

� értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak:

legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, számok prímtényez�s felbontása. Egyszer�

oszthatósági feladatok. Helyiértékes írásmód alapelvei. b) Egyenletek, egyenl� tlenségek: 8 óra

Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellen

�rzés szerepe. Azonosságok. A

hatványozás, gyökvonás és logaritmus azonosságai. Egyszerübb trigonometrikus azonosságok. Egyenletrendszerek.

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK: 6 óra A függvény és a sorozat fogalma. Speciális függvények és sorozatok: konstans, lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények, számtani és mértani sorozat. A függvények grafikonjai és elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, széls

�érték szemléletes

fogalma, periodicitás, paritás. Függvénytranszformációk.Számítógépes függvényábrázolási módszer.

GEOMETRIA: a) Geometriai alakzatok, bizonyítások: 5 óra

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík- és térgeometriai tételek. b) Geometriai transzformációk: 3 óra

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. Mer

�leges vetítés.

c) Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria: 7 óra A vektor fogalma, m� veletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. Az egyenes, a kör, a parabola egyenlete.

VALÓSZÍN � SÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA: 4 óra Statisztikai adatok gy� jtése, rendszerezése, különböz

� ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram,

hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, medián, modus. Szórás. Számítógépes feldolgozási módszerek. Mintavételi eljárások - visszatevéses mintavétel. Valószín� ség, relatív gyakoriság, a nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Sokaság, paraméter. Minta, relatív gyakoriság. A közvéleménykutatás elemei.

Értékelés

• Lásd az általános rész a) és b) 1., 3. pontját. • A rendszerez

� összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történ

� értékelése.

− Az els� ismétl

� dolgozat témái: halmazok, algebra.

− A második ismétl� dolgozat témái: kombinatorika, valószín� ség, statisztika, függvények, geometria.

• Április végén egy délutáni id�pontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.

matematika - alapterv - lovassymatematikából középfokú érettségire készülnek. emelt szint...

Documents