matematika a zenØben - web.cs.elte.hu · 6 azonos hosszœsÆgœ, azonos vastagsÆgœ Øs...
TRANSCRIPT
Matematika a zeneacutebenSzakdolgozat
Keacutesziacutetette Kiss GabriellaMatematika Bsc tanaacuteri szakiraacuteny
Teacutemavezető Szeredi Eacuteva főiskolai docensELTE TTK Matematikataniacutetaacutesi eacutes Moacutedszertani Koumlzpont
Eoumltvoumls Loacuteraacutend Tudomaacutenyegyetem
Termeacuteszettudomaacutenyi Kar
Budapest 2010
2
Tartalomjegyzeacutek
Bevezeteacutes 4
1 A Pythagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk 5
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese 5
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese 7
13 Irracionaacutelis szaacutemok leacutetezeacutese 10
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll 15
2 Az aranymetszeacutes 17
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa 17
22 Szerkeszteacutesi moacutedok 19
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel 20
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes 24
-Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
3 Szimmetriaacutek 27
31 Transzformaacutecioacutek csoportok reacuteszcsoportok 27
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek 31
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport 37
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben 38
- Johann Sebastian Bach d-moll keacutetszoacutelamuacute invencioacute
Oumlsszegzeacutes 40
Melleacutekletek 41
Irodalomjegyzeacutek 43
3
bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit
elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo
( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)
4
Bevezeteacutes
2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc
szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az
egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni
Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri
szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a
tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az
aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam
matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon
oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy
elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem
baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a
rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed
le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam
aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett
Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez
iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett
doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az
egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg
oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei
kompoziacutecioacutekhoz
Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint
az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez
oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a
szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a
keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak
a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen
folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati
diplomamunka kereteacuteben
5
1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese
A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is
vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve
taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket
bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton
vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki
egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka
szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek
Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok
aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a
harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat
oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden
igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz
legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek
meghataacuterozni
Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei
hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve
Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia
megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy
alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem
tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett
ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a
vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de
oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a
kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a
hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a
kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes
aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
2
Tartalomjegyzeacutek
Bevezeteacutes 4
1 A Pythagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk 5
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese 5
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese 7
13 Irracionaacutelis szaacutemok leacutetezeacutese 10
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll 15
2 Az aranymetszeacutes 17
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa 17
22 Szerkeszteacutesi moacutedok 19
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel 20
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes 24
-Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
3 Szimmetriaacutek 27
31 Transzformaacutecioacutek csoportok reacuteszcsoportok 27
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek 31
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport 37
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben 38
- Johann Sebastian Bach d-moll keacutetszoacutelamuacute invencioacute
Oumlsszegzeacutes 40
Melleacutekletek 41
Irodalomjegyzeacutek 43
3
bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit
elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo
( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)
4
Bevezeteacutes
2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc
szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az
egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni
Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri
szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a
tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az
aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam
matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon
oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy
elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem
baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a
rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed
le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam
aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett
Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez
iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett
doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az
egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg
oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei
kompoziacutecioacutekhoz
Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint
az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez
oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a
szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a
keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak
a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen
folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati
diplomamunka kereteacuteben
5
1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese
A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is
vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve
taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket
bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton
vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki
egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka
szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek
Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok
aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a
harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat
oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden
igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz
legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek
meghataacuterozni
Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei
hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve
Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia
megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy
alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem
tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett
ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a
vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de
oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a
kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a
hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a
kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes
aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
3
bdquo Oh egek ndash mennyi uumlgyes moacutedszer szolgaacutel arra hogy valamit
elrejtsuumlnk egy zeneműbenhelliprdquo
( D R Hofstadter Goumldel Escher Bach)
4
Bevezeteacutes
2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc
szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az
egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni
Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri
szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a
tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az
aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam
matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon
oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy
elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem
baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a
rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed
le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam
aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett
Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez
iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett
doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az
egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg
oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei
kompoziacutecioacutekhoz
Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint
az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez
oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a
szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a
keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak
a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen
folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati
diplomamunka kereteacuteben
5
1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese
A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is
vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve
taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket
bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton
vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki
egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka
szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek
Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok
aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a
harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat
oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden
igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz
legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek
meghataacuterozni
Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei
hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve
Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia
megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy
alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem
tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett
ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a
vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de
oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a
kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a
hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a
kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes
aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
4
Bevezeteacutes
2007-ben felveacutetelt nyertem az ELTE TTK aacuteltal meghirdetett Matematika Bsc
szakra A matematika tanaacuteri szakiraacuteny vaacutelasztaacutesa nem volt keacuterdeacuteses hiszen maacuter az
egyetemre valoacute jelentkezeacutes előtt tudtam hogy erre a teruumlletre szeretneacutek szakosodni
Mindig is nagyon szerettem a zeneacutet iacutegy maacutesodik eacutevben felvettem az Eacutenek-zene tanaacuteri
szakiraacutenyt Egyik vezeacutenyleacutes oacuteraacuten egy Bartoacutek koacuterusművet kellett vezeacutenyelni ahol a
tanaacuterom eacuterdekesseacutegkeacuteppen elaacuterulta hogy a darab csuacutecspontja eacuteppen az
aranymetszeacutespontban van Az aranymetszeacutes fogalmaacuteval maacuter koraacutebban is talaacutelkoztam
matematikai tanulmaacutenyaim soraacuten iacutegy nagyon megoumlruumlltem hogy a zene ily moacutedon
oumlsszekapcsoloacutedhat a matematikaacuteval Annyira felkeltette az eacuterdeklődeacutesemet hogy
elkezdtem ebben a teacutemaacuteban kutakodni nem csak aranymetszeacutest keresve hanem
baacutermilyen matematikai vonatkozaacutest a zeneacuteben Meglepődve tapasztaltam hogy a
rendelkezeacutesemre aacutelloacute szakirodalom eacutes tanulmaacutenyok sokasaacutega hatalmas anyagreacuteszt fed
le elegendőt egy szakdolgozati teacutema koumlruumlljaacuteraacutesaacutehoz ezeacutert doumlntoumlttem a sajaacutet magam
aacuteltal kitalaacutelt teacutema vaacutelasztaacutesa mellett
Az anyag amit talaacuteltam tuacutel nagy egy Bsc diplomamunkaacuteban valoacute kifejteacuteshez
iacutegy annak csak egy reacuteszeacutet tudom reprezentaacutelni A teacutemakoumlroumlk amelyek mellett
doumlntoumlttem a zeneacuteben valoacute araacutenyok - reacuteszletesebben az aranymetszeacutes- valamint az
egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek megjeleneacutese Ennek megfelelően proacutebaacuteltam meg
oumlsszeszedni matematikai definiacutecioacutekat teacuteteleket amelyek szervesen kapcsoloacutednak zenei
kompoziacutecioacutekhoz
Az első fejezetben a phytegoreusok aacuteltal felfedezett zenei araacutenyokroacutel valamint
az irracionaacutelis szaacutemokroacutel beszeacutelek A maacutesodik fejezetben az aranymetszeacuteshez
oumlsszegyűjtoumltt matematikai eacutes zenei eredmeacutenyeket ismertetem A harmadik fejezetben a
szimmetriaacutekkal foglalkozom Ez egy hatalmas teruumllet a matematikai haacutettere eacutes a
keacutepzőműveacuteszetben zeneacuteben valoacute megjeleneacutese is nagyon gazdag Ennek a gazdagsaacutegnak
a dolgozatomban csak egy kis szeleteacutet mutatom be de teacutemaacuteban nagyon sziacutevesen
folytatnaacutem a keresgeacuteleacutest eacutes bővebben kifejteneacutem egy Msc-s szakdolgozati
diplomamunka kereteacuteben
5
1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese
A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is
vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve
taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket
bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton
vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki
egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka
szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek
Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok
aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a
harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat
oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden
igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz
legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek
meghataacuterozni
Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei
hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve
Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia
megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy
alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem
tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett
ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a
vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de
oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a
kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a
hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a
kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes
aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
5
1 A Phytagoreusok eacutes munkaacutessaacuteguk
11 A hangok araacutenyainak felfedezeacutese
A matematika eacutes zene kapcsolataacutenak kutataacutesaacuteroacutel maacuter ie a VI szaacutezadboacutel is
vannak forraacutesaink ezek koumlzuumll elsőkkeacutent emliacutethetjuumlk meg Pythagoras tanait illetve
taniacutetvaacutenyainak a pythagoreusok aacuteltal feljegyzett eacutes megfogalmazott eacuteszreveacuteteleket
bdquoPythagoras koumlruumll meacuteg eacuteleteacuteben egy filozoacutefiai iskola eacutes koumlzoumlsseacuteg szerveződoumltt Kroton
vaacuterosaacuteban Az oacutekori forraacutesokboacutel a pythagoreus iskola koumlvetkező keacutepe bontakozik ki
egy szigoruacute eacuteletelvekhez eacutes kemeacuteny felveacuteteli felteacutetelekhez koumltoumltt a beavatottsaacuteg foka
szerint bdquokoumlroumlkrerdquo osztott elitista eacutes arisztokratikus jellegű szervezeteacute melynek
Pythagoras felteacutetlen iraacutenyiacutetoacuteja voltrdquo [4] A pythegoreusok felfogaacutesa szerint a szaacutemok
aacutelltak mindenek felett bdquo amiről ki tudtaacutek mutatni hogy megegyezik a szaacutemokban eacutes a
harmoacuteniaacutekban az eacuteg tulajdonsaacutegaival reacuteszeivel eacutes az egeacutesz rendszerrel azokat
oumlsszeszedve egymaacutessal kapcsolatba hoztaacutek Ha pedig valami hiacuteja volt minden
igyekezetuumlkkel azon voltak hogy egeacutesz elgondolaacutesuk heacutezagtalanul oumlsszefuumlggő egeacutesz
legyenrdquo [1] A harmoacutenia termeacuteszeteacutet eacutes viszonyait is a szaacutemok segiacutetseacutegeacutevel proacutebaacuteltaacutek
meghataacuterozni
Gyakran kiacuteseacuterleteztek monochordon (egyhuacuteruacute hangszer) a konszonancia (zenei
hangok harmonikus oumlsszecsengeacutese) eacutes a huacuterhosszak koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacuteseket keresve
Mesteruumlk Pythagoras fogalmazta meg a huacuterhosszak araacutenyaacutet a konszonancia
megszoacutelaltataacutesaacutera Ennek felfedezeacuteseacuteről szoacutel egy monda mely szerint bdquo Egy
alkalommal eacuteppen gondolataiban eacutes feszuumllt toumlprengeacutesben meruumllt el afelől hogy nem
tudna-e a hallaacutesnak valami segiacutető eszkoumlzt kitalaacutelnihellipEkoumlzben egy kovaacutecsműhely mellett
ment el s valami isteni veacuteletlen folytaacuten meghallotta a kalapaacutecsokat amint az uumlllőn a
vasat kalapaacuteltaacutek s hogy egymaacutesnak egy kapcsolat kiveacuteteleacutevel vegyesen de
oumlsszhangzoacutean adtaacutek a hangokat Felismerte ugyanis bennuumlk az oktaacutevot a kvintet a
kvartothellipberohant a kovaacutecsműhelybe eacutes sokfeacutele kiacuteseacuterlet reacuteveacuten uacutegy talaacutelta hogy a
hangok kuumlloumlnbseacutegeacutenek oka a kalapaacutecsok suacutelyaacuteban rejlikhellipEz utaacuten a meacuterteacutekeket eacutes a
kalapaacutecsokkal a legteljesebben megegyező suacutelyokat pontosan megjegyezve hazateacutert eacutes
aacutetloacutesan a falakba erősiacutetett egyetlen coumlvekethellipErre felfuumlggesztett neacutegy azonos anyaguacute
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
6
azonos hosszuacutesaacuteguacute azonos vastagsaacuteguacute eacutes egyformaacuten sodrott huacutert eacutespedig egyiket a
maacutesik melleacute A nehezeacutekeket alsoacute reacuteszuumlkre koumltoumltte uacutegy szerkesztve hogy a huacuterok
hosszuacutesaacutega teljesen egyenlő legyen Akkor felvaacuteltva kettőnkeacutent megpendiacutetette a
huacuterokat eacutes iacutegy megtalaacutelta az hellipoumlsszhangokatrdquo [1] hogy Pythagoras valoacuteban egy
kovaacutecsműhelyben joumltt raacute erre a felismereacutesre azt nem tudjuk ami viszont biztos hogy
tőle szaacutermazik a hangkoumlzoumlk araacutenyainak leiacuteraacutesa A feljegyzeacutesek szerint neacutegyfeacutele suacutelyt
hasznaacutelt melyek rendre 12 9 8 eacutes 6 meacuterteacutekűek voltak A legnagyobb suacutely a
legkisebbel oktaacutev hangzatot adott (126 ahogy a suacutelyok araacutenylottak) iacutegy megaacutellapiacutetotta
hogy az oktaacutev 21 araacutenyuacute A legnagyobb a legkisebb mellett leacutevővel kvinthangzaacutest adott
(128) iacutegy az araacuteny 32 a legnagyobb illetve a suacutelyban utaacutena koumlvetkező (129) a kvart
hangkoumlzt eredmeacutenyezte iacutegy annak araacutenya 43 lett
Tovaacutebbi eszkoumlzoumlkoumln is kiacuteseacuterletezett toumlbbek koumlzoumltt monochordon is A kifesziacutetett
huacutert megpendiacutetve kapta az alaphangot Ugyanezzel a fesziacuteteacutessel ha a huacutert a feleacutere
roumlvidiacutetette akkor az alaphang oktaacutevja hallatszott A keacutetharmadaacutera roumlvidiacutetett huacuter a
kvintet a haacuteromnegyed hosszuacutesaacuteguacute huacuter pedig a kvarthangzaacutest adta
A pythegoreusok az alaphangot adoacute huacuter hosszaacutet 12 egyseacutegnek vetteacutek iacutegy ők is
megkaptaacutek ugyanazokat a szaacutemokat mint Pythagoras mely szerint a kvarthoz tartozoacute
huacuterhossz 9 a kvinthez 8 az oktaacutevhoz pedig 6 egyseacuteg Ezek utaacuten pedig a koumlvetkező
oumlsszefuumlggeacuteshez jutottak melyek a huacuterhosszak araacutenyaira vonatkoznak 129=86 mind a
keacutet oldalon leacutevő araacuteny a kvarthangzaacutest hataacuterozza meg
Az oktaacutevot keacutetfeacutelekeacuteppen is feliacuterhatjuk a kvint eacutes kvart hangkoumlzoumlk
oumlsszeilleszteacuteseacuteből kvart+kvint=oktaacutev illetve kvint+kvart=oktaacutev
1 aacutebra
Ha araacutenyokban akarunk gondolkodni - vagyis a kvart (43) illetve kvint (32)
araacutenyaacuteboacutel hogyan fejezhetjuumlk ki az oktaacutev araacutenyaacutet (21)- akkor nem az oumlsszeadaacutes
műveleteacutet kell alkalmaznunk hanem a pythagoreusok helyes eacuteszreveacutetele szerint
szoroznunk kell
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
7
bdquoKvart+kvint=oktaacutev oumlsszeadaacutesnak a (43)∙(32)=(21) szorzaacutes felel meg ebből
koumlvetkezik hogy az oktaacutev-kvart=kvint kivonaacutesnak a (21) (43)=(32) osztaacutes felel
megrdquo [2]
12 A skaacutelaacutek feleacutepiacuteteacutese
Neacutezzuumlnk egy c hangot adoacute 12 egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute huacutert Ezt megfelezve ismeacutet
egy c hang szoacutelal meg csak egy oktaacutevval magasabban Ebben az esetben a hangokhoz a
huacuterhosszakat rendeltuumlk 21 araacutenyban Viszont ha a fizika toumlrveacutenyeit is figyelembe
veszzuumlk melyek szerint a magasabb hanghoz nagyobb frekvencia tartozik (peacuteldaacuteul az
alsoacute c hang frekvenciaacuteja 264Hz a foumllső c hangeacute pedig 528Hz) akkor a hangokhoz a
huacuterhosszak fordiacutetott araacutenyaacutet kell hozzaacuterendelnuumlnk
A koumlvetkezőkben ezt a fajta hozzaacuterendeleacutest fogom hasznaacutelni
A phytagorasi hangsor
A pythagorasi hangtan ismereteinek segiacutetseacutegeacutevel feliacuterhatjuk az oumltvonalas
rendszerben a koumlvetkezőket
2aacutebra
De nem csak ennek a neacutegy hangnak az araacutenyaacutet lehet megaacutellapiacutetani az alaphanghoz
keacutepest hanem a C-duacuter skaacutela oumlsszes hangjaacutet meacutegpedig c-ről kiinduloacute kvintugraacutesokkal
Ezt nevezzuumlk phytagorasi hangsornak
Minden kvintugraacutesnaacutel az adott hang araacutenyszaacutema 32-szereseacutere nő A 3 aacutebraacuten a c-hez
viszonyiacutetott hangok araacutenyszaacutemaacutet talaacuteljuk valamint a szomszeacutedos hangok koumlzoumltti
taacutevolsaacutegoknak az araacutenyszaacutemaacutet
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
8
3aacutebra
Ezeket az araacutenyszaacutemokat keacutetfeacutele szaacutemolaacutessal is megkaphatjuk
Sain Maacuterton a koumlvetkezőkeacuteppen szaacutemolt az első kvintugraacutessal a c hangroacutel a g-re
jutunk 1∙32 (Az alaphanghoz az 1-es szaacutemot rendeljuumlk jelen esetben c=1) A maacutesodik
ugraacutes g-ről drsquo-re 94-et ad 32∙32 Ezt egy oktaacutevval lejjebb uacutegy kapjuk meg ha
leosztjuk 2-vel tehaacutet a d hanghoz a 98-os araacutenyszaacutem tartozik A koumlvetkező ugraacutes az a
hangra visz 98∙32=2716 Az a hangroacutel ersquo-re ugrik 2716∙32=8132 ami egy oktaacutevval
meacutelyebben 8164-ed araacutenyszaacutemot adja Veacuteguumll e-re egy kvintugraacutessal megkapjuk a h
hangot 8164∙32=243128
Sajaacutet elgondolaacutes szerint egy kicsit roumlvidebb moacutedszerrel hataacuteroznaacutem meg ezeket
az araacutenyszaacutemokat Nem kvintugraacutesokban gondolkodok hanem nagy
szekundleacutepeacutesekben A nagy szekund araacutenyszaacutemaacutet pedig az 11-es reacuteszben maacuter emliacutetett
moacutedon kapom meg Adott a kvart eacutes a kvint hangkoumlzoumlk araacutenyszaacutema iacutegy
meghataacuterozhatom a kvint-kvart taacutevolsaacutegot is ami egy nagy szekundnak (egeacutesz
hangkoumlznek) felel meg (32)(43)=(98) Tehaacutet ha c hangroacutel elkezdek felfeleacute leacutepegetni
nagy szekundokban akkor az araacutenyszaacutemokat 98-al kell szoroznom eacutes iacutegy megkapom
az aacutebraacuten laacutethatoacute toumlrtszaacutemokat Termeacuteszetesen a kis szekundleacutepeacuteseket uacutegy keruumlloumlm ki
hogy a kvart kvint eacutes oktaacutev araacutenyszaacutemaacutet adottnak tekintem
Akaacutermelyik gondolatmenetet is neacutezzuumlk pythagorasi hangsort nem tudunk
feleacutepiacuteteni mivel sohasem juthatunk el az alaphang oktaacutevjaacutehoz sem kvintugraacutesokkal
sem pedig nagy szekundleacutepeacutesekkel Matematikai megfogalmazaacutesban 32-nek eacutes 98-nak
nem leacutetezik olyan pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenya mely megegyezne a 2-nek valamely
pozitiacutev egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaacuteval Nagyon kicsi elteacutereacutessel megkoumlzeliacutethetjuumlk az
alaphang oktaacutevjainak az araacutenyszaacutemaacutet peacuteldaacuteul (98)6asymp202728 ami nagyon koumlzel van 2-
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
9
nek az első hatvaacutenyaacutehoz eacutes a fuumll szaacutemaacutera is szinte elhanyagolhatoacute ez a kis kuumlloumlnbseacuteg
meacutegis keacutet kuumlloumlnboumlző hangot hataacuteroznak meg
A diatoacutenikus skaacutela
A nyolcfokuacute pythagorasi skaacutelaacutehoz nagyon hasonloacute diatoacutenikus skaacutela maacutesneacuteven
heacutetfokuacute hangsor sokkal szeacutelesebb koumlrben terjedt el Leacutenyege hogy az oktaacutevot heacutet
hangkoumlz alapjaacuten osztja fel illetve a hangkoumlzei kis egeacutesz szaacutemok araacutenyaival vannak
kifejezve laacutesd az alaacutebbi aacutebraacuten
4aacutebra
A keacutet skaacutela koumlzoumltti elteacutereacutes nagyon kicsi eleacuteg ha egy hangon megvizsgaacuteljuk Neacutezzuumlk
meg a phytagorasi skaacutelaacuteban az e hanghoz tartozoacute araacutenyt 8164 ugyanehhez az e
hanghoz a diatoacutenikus skaacutelaacuteban 54 araacuteny tartozik Koumlzoumls nevezőre hozva
8164 8064=54
A temperaacutelt skaacutela
A XVIII szaacutezad elejeacuten megjelent az igeacuteny a transzponaacutelaacutesra mely szerint nem
csak a c hangra eacutepiacutethetek hangkoumlzoumlket egymaacutes utaacuten hanem a skaacutela baacutermely hangjaacutera
Az oktaacutev egy uacutejfajta felosztaacutesaacutet vetteacutek A zongora billentyűin joacutel laacutethatoacute hogyan is
toumlrteacutent a felbontaacutes a feheacuter billentyűk maacuter adottak voltak a fekete billentyűk
beilleszteacuteseacutevel emelteacutek a hangok szaacutemaacutet 7-ről 12-re Iacutegy az oktaacutevot 12 egyenlő
hangkoumlzre osztottaacutek Egy adott hangra ha elkezdjuumlk feleacutepiacuteteni egymaacutes utaacuten ezt a
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
10
hangkoumlzt a 12 leacutepeacutes utaacuten eljutunk az adott hang oktaacutevjaacutehoz vagyis ha k-val jeloumlljuumlk
ennek a hangkoumlznek az araacutenyaacutet akkor 1∙k12=2 k=12radic2asymp10595 Iacutegy kaptaacutek meg az
egyenletesen temperaacutelt kromatikus hangsort
5aacutebra
13 Irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacutese
Mint maacuter laacutettuk a phytegoreusok a zeneelmeacutelet teruumlleteacuten jelentős eredmeacutenyeket
eacutertek el Toumlbbek koumlzoumltt megaacutellapiacutetottaacutek a hangok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet amelynek
segiacutetseacutegeacutevel tudatosan tudunk hangkoumlzoumlket keacutepezni eacutes megszoacutelaltatni
A vilaacuteg oumlsszes jelenseacutegeacutet a szaacutemokkal proacutebaacuteltaacutek kapcsolatba hozni A termeacuteszeti
elemekhez testeket rendeltek mint peacuteldaacuteul a tűzhoumlz tetraeacutedert a levegőhoumlz oktaeacutedert a
viacutezhez ikozaeacutedert Az elemeknek nem csak testeket hanem eacutevszakokat is
megfeleltettek azoknak pedig szaacutemokat Sőt az eacutevszakok egymaacuteshoz valoacute viszonyaacutet a
hangkoumlzoumlk segiacutetseacutegeacutevel fejezteacutek ki mely szerint a tavasz az őszhoumlz kvart a teacutelhez
kvint a nyaacuterhoz pedig oktaacutev viszonylatban aacutell
Ez mind azt mutatja hogy a szaacutemok mindenek felett aacutelltak ezeacutert nem is olyan meglepő
hogy a matematika teruumlleteacuten is szaacutemos felfedezeacutesre jutottak
Az irracionaacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutet is a phytagoreusoknak tulajdoniacutetjaacutek
Ez a probleacutemakoumlr a neacutegyzet oldala eacutes aacutetloacutejaacutenak oumlsszemeacuterhetőseacutege kapcsaacuten meruumllt fel
Proklosz -goumlroumlg filozoacutefus koumlltő eacutes matematikus Kru412- Kru485 ndash kommentaacuterjai
Platoacuten az Aacutellam ciacutemű műveacutehez a mai napig foumlnnmaradtak Iacuteraacutesaiban az alaacutebbi moacutedon
hataacuterozta meg az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
11
Az egyseacuteget mint minden szaacutem őseacutet definiaacutelta amely egyben oldal eacutes aacutetloacute is lehetett
Egy oldal-eacutes egy aacutetloacuteegyseacutegből alkotott uacutej oldalakat illetve aacutetloacutekat a koumlvetkezőkeacuteppen
uacutej oldalt kapunk ha az oldalegyseacuteghez egy aacutetloacuteegyseacuteget adunk eacutes uacutej aacutetloacutet kapunk ha az
aacutetloacuteegyseacuteghez keacutet oldalegyseacuteget adunk
Iacutegy az uacutejonnan keletkezett oldalszaacutem 2 az aacutetloacuteszaacutem pedig 3 Ugyanezt az eljaacuteraacutest
folytatjuk a kapott szaacutemokra vagyis 2+3=5 22+3=7 eacutes iacutegy tovaacutebb Az algoritmus
folytataacutesaacuteval a koumlvetkező rekurzioacutes keacutepletet kapjuk
an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n
A keacuterdeacutes ami roumlgtoumln felmeruumllhet meacutegis hogyan joumlttek raacute hogy a fent emliacutetett
moacutedon alkossunk oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokat
A koumlvetkezőkben BL Van der Waerden sejteacuteseacutet szeretneacutem ismertetni amelynek
tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten toumlmoumlr leiacuteraacutesa reacuteszletesebb kidolgozaacutesra eacutes utaacutenagondolaacutesra
keacutesztetett Van der Waerden sejteacutese Proklosz Kommentaacuter Platoacuten Aacutellamaacutehoz ciacutemű
műveacutenek ihleteacutese nyomaacuten szuumlletett melyre neacutehaacuteny oumlsszefuumlggeacutes felhasznaacutelaacutesaacutenaacutel
hivatkozik is
A goumlroumlg matematikaacuteban keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacuterhetőseacutegeacutet egymaacutes vaacuteltakozoacute
kivonaacutesaacuteval aacutellapiacutetottaacutek meg Ez azt jelenti hogy a kisebb mennyiseacuteget elvesszuumlk a
nagyobbikboacutel bgta felteacutetelezeacuteseacutevel a (b-a) mennyiseacutegről beszeacuteluumlnk
Az uacutejonnan kapott keacutet mennyiseacuteg oumlsszemeacutereacutese utaacuten ismeacutet a nagyobboacutel kivonjuk a
kisebbet Koumlzoumls meacuterteacutek leacutetezeacutese eseteacuten a folyamat veacutegeacuten keacutet egyenlő mennyiseacuteget
kapunk ezt hiacutevjuk a legnagyobb koumlzoumls meacuterteacuteknek
A moacutedszer ismerős lehet iacutegy aacutellapiacutetjuk meg keacutet szaacutemnak a legnagyobb koumlzoumls
osztoacutejaacutet Ha oumlsszemeacuterhetetlen mennyiseacutegekre alkalmazzuk az algoritmust akkor a
folyamatnak nem lesz veacutege
A fent emliacutetett eljaacuteraacutessal proacutebaacuteltaacutek a neacutegyzet oldalaacutenak eacutes aacutetloacutejaacutenak a legnagyobb koumlzoumls
meacuterteacutekeacutet megkeresni az alaacutebbi moacutedoacuten
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
12
Legyen a egy neacutegyzet oldala b pedig az aacutetloacuteja Mivel altb ezeacutert a-t vonjuk le b-ből az
alaacutebbi aacutebra szerint
6aacutebra
Ekkor a maradeacutek b-a =AD A D pontboacutel huacutezzunk eacuterintőt az a sugaruacute koumlrhoumlz uacutegy hogy
az metssze az AB oldalt az E pontban Az A csuacutecsnaacutel 45deg-os szoumlg helyezkedik el a D
csuacutecsnaacutel pedig dereacutekszoumlg ezeacutert AD=DE=arsquo Kuumllső pontboacutel koumlrhoumlz huacutezott eacuterintők
hossza megegyezik ezeacutert EB=arsquo
A maradeacutekot vagyis arsquo-t az algoritmus szerint vonjuk le a=AB oldalboacutel ekkor brsquo=AE
az uacutejabb maradeacutek Az iacutegy kapott arsquo eacutes brsquo szinteacuten egy neacutegyzet oldala illetve aacutetloacuteja
brsquo=a-arsquo arsquo=b-a
A fenti oumlsszefuumlggeacutesből maacuter laacutetszik hogy honnan joumltt az oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok keacutepzeacuteseacutenek
szabaacutelya
a=arsquo+brsquo b=2arsquo+brsquo
Ezt az eljaacuteraacutest folytatva ismeacutet egy kisebb oldalt eacutes aacutetloacutet kapunk majd azokra
alkalmazva a szabaacutelyt szinteacuten uacutejabbakat Bizonyos leacutepeacutes utaacuten az oldalak eacutes aacutetloacutek
koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg elenyeacuteszően kicsi lesz Iacutegy keacutet kis mennyiseacuteg eseteacuten ha elfogadjuk
azok koumlzeliacutető egyenlőseacutegeacutet valamint az egyiket hosszegyseacutegnek vaacutelasztjuk akkor a
rekurzioacutes keacuteplet segiacutetseacutegeacutevel visszahelyettesiacutetve az a eacutes b-t arsquo eacutes brsquo-t arsquorsquo eacutes brsquorsquo-t hellip eacutes
iacutegy tovaacutebb kifejezhetők egymaacutes utaacuteni oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemokkal
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
13
Teacuterjuumlnk vissza az an+1=a n+d n d n+1=2a n+d n rekurzioacutes keacuteplethez
A goumlroumlgoumlk eacuteszrevetteacutek az alaacutebbi oumlsszefuumlggeacutest az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemok koumlzoumltt
d n2=2 a n
2plusmn1
Valoacutesziacutenűleg ismerhetteacutek a teljes indukcioacute moacutedszereacutet ha nem is neacutev szerint de elvben
igen Laacutessuk az oumlsszefuumlggeacutes egy bizonyiacutetaacutesaacutet
Szuumlkseacuteguumlnk lesz hozzaacute a koumlvetkező azonossaacutegra
(2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2
4m2+4mn+n2+n2=2m2+2m2+4mn+2n2
A zaacuteroacutejelek felbontaacutesaacuteval koumlnnyen igazolhatoacute az azonossaacuteg helyesseacutege
Ezutaacuten a d n2=2 a n
2plusmn1 oumlsszefuumlggeacutesre alkalmazzuk a teljes indukcioacutet
1) k=1-re igaz hiszen a1=d1=1 (negatiacutev előjellel veacuteve az egyet)
k=2-re is igaz a2=2 d2=3 (pozitiacutev előjellel veacuteve az egyet)
Ha n paacuteratlan akkor negatiacutev előjellel vesszuumlk az egyet ha pedig n paacuteros akkor
pozitiacutevval
2) Tegyuumlk fel hogy k=n-re igaz ez az indukcioacutes felteveacutesuumlnk vagyis
d n2=2 a n
2plusmn1
3) Neacutezzuumlk meg k=n+1-re
Ehhez a (2m+n)2+n2=2m2+2(m+n) 2 azonossaacutegboacutel indulunk ki Helyettesiacutetsuumlnk be m eacutes
n helyeacutere az n-edik oldal- eacutes aacutetloacuteszaacutemot
(2a n +d n)2+d n2=2a n
2+2(a n +d n) 2
A rekurzioacutes feliacuteraacutes eacutertelmeacuteben d n+1=2a n+d n eacutes an+1=a n+d n
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
14
d n+12+d n
2=2a n2+ 2an+1
2
Aacutetrendezeacutes utaacuten hasznaacuteljuk fel az indukcioacutes felteveacutest mely szerint d n2=2 a n
2plusmn1
d n+12=2an+1
2+2a n2-d n
2
d n+12=2an+1
2-(plusmn1)
Ezzel belaacutettuk hogy ha n-re eacuterveacutenyes akkor (n+1)-re is igaz csak ellenkező előjellel eacutes
ezt folytathatjuk a veacutegtelenseacutegig nagyon nagy n-ekre is
Mai matematikai tudaacutesunkboacutel maacuter tudjuk hogy egy neacutegyzet oldalaacutenak eacutes
aacutetloacutejaacutenak az araacutenya 1radic2asymp070710678hellip
Eacuteszreveacutetel a phytegoreusok aacuteltal meghataacuterozott oldal-eacutes aacutetloacuteszaacutemok araacutenya egyre
jobban koumlzeliacuteti ezt az eacuterteacuteket
23asymp066hellip 57asymp0714hellip 1217asymp07058hellip 2941asymp070731hellip
Aacutelliacutetaacutes Az oldal eacutes az aacutetloacuteszaacutemok araacutenya n noumlvekedeacuteseacutevel 1radic2-houmlz tart
Bizonyiacutetaacutes
Ennek igazolaacutesaacutera ismeacutet tekintsuumlk a maacuter joacutel ismert oumlsszefuumlggeacutest
d n2=2 a n
2plusmn1 a n2
d n2a n
2=2plusmn1a n2
a n rarr infin 1a n2rarr0
d n2a n
2rarr2
d na nrarrradic2
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
15
14 Toumlrtek taniacutetaacutesa a zeneacuten keresztuumll
A toumlrtek teacutemakoumlre nehezebben feldolgozhatoacute anyagreacutesznek szaacutemiacutet a gyerekek koumlreacuteben
sokszor nem csak az aacuteltalaacutenos iskolaacuteban hanem a koumlzeacutepiskolaacuteban is felmeruumllnek
megeacuterteacutesbeli probleacutemaacutek
Pontosan ezeacutert nagyon fontos hogy az alapok maacuter a tanulmaacutenyok megkezdeacutese elejeacuten joacutel
roumlgzuumlljenek A toumlrtek fogalmaacutenak kialakulaacutesa hosszabb idő Maacuter első osztaacutelyban is
talaacutelkoznak vele csak egy maacutesik megjeleneacutesi formaacutejukban Ezek a ritmuseacuterteacutekek
= = = =
7aacutebra
Mivel ez egy joacuteval koraacutebban megalapozott tudaacutes ndashhiszen a gyerekek maacuter első
osztaacutelyban eacutenekelnek kottaacuteboacutel- ezeacutert eacuterdemes figyelembe venni ennek a bonyolult
fogalomnak a bevezeteacuteseacuteneacutel
Ha megfigyeljuumlk az aacutebraacuten ezeknek a ritmuseacuterteacutekeknek a neveit akkor eacuteszrevehetjuumlk
hogy ezek egyben szaacutemok nevei is
=1 =12 =14 = 18 = 116
8aacutebra
Egy egeacutesz kottaacutet 2 darab feacutel kottaacutera bonthatok ami azt jelenti hogy fele annyi ideig
tartom maacutes szoacuteval keacutetszer olyan gyorsan uumltoumlk tehaacutet egy egeacuteszet felbonthatok keacutet feacutelre
Ezt uacutegy is lehet eacuterzeacutekeltetni a gyerekeknek hogy keacutet csoportra bontjuk az osztaacutelyt eacutes az
egyik csoport egeacutesz hangeacuterteacutekeket tapsol miacuteg a maacutesik feacutel hangeacuterteacutekeket Laacutethatjaacutek
hogy egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt keacutetszer lehet egy feacutel hangot tapsolni vagyis
= +
1 = 12 + 12
9aacutebra
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
16
Ugyaniacutegy be lehet vezetni a negyed fogalmaacutet Egy egeacutesz hang tartaacutesa alatt neacutegy darab
negyed hangeacuterteacuteket tapsolhatok ezeacutert egy egeacuteszet neacutegy darab negyedre bonthatok
= + + +
1 = 14 +14 + 14 + 14
10aacutebra
Ugyaniacutegy meg lehet neacutezni a tizenhatodra eacutes iacutegy tovaacutebb
Toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak szemleacutelteteacuteseacutere segiacutetseacuteguumll hiacutevhatjuk a ritmuseacuterteacutekeket hiszen
ugyanonnan szaacutermaztatjuk őket Az egeacuteszet osztjuk fel egyenlő reacuteszekre Ritmuseacuterteacutekek
segiacutetseacutegeacutevel toumlrteket adhatunk oumlssze eacutes fordiacutetva
=
12 = 18+18+14
11aacutebra
Maacutesik fajta feladat amely szinteacuten segiacutet a toumlrtek oumlsszeadaacutesaacutenak megeacuterteacuteseacuteben
= =116+116+18+14=216+18+14=12
12aacutebra
Ebből az egyenlőseacutegből ha egyet megadok akkor a hiaacutenyzoacute adatokat meg lehet
hataacuterozni Eacuterdemes uacutegy feladni a feladatot hogy az egyik oldalon egy hangeacuterteacutekek a
maacutesikon pedig toumlrtek legyenek
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
17
2 Az aranymetszeacutes
21 A fogalom tisztaacutezaacutesa
bdquoSokak szerint Pitagorasz eacutes iskolaacuteja hozta előszoumlr szoros oumlsszefuumlggeacutesbe a
geometriaacuteban szemleacutelhető harmoacuteniaacutet a szeacutepseacutegben rejlő harmoacuteniaacuteval bdquo[15]
Pontosan erről szoacutel ez a fejezet egy olyan kituumlntetett araacutenypaacuter bemutataacutesaacuteroacutel amelynek
szaacutemos előfordulaacutesi helye is azt mutatja hogy eacuterdemes odafigyelnuumlnk raacute
Az aranymetszeacutes alatt egy araacutenypaacutert eacutertuumlnk amely a koumlvetkezőkeacuteppen
keletkezik Egy taacutevolsaacutegot vagy mennyiseacuteget uacutegy osztunk ketteacute hogy az egeacutesz szakasz
(vagy mennyiseacuteg) araacutenya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobbik szelet (vagy
mennyiseacuteg) eacutes a kisebbik szelet araacutenyaacuteval
13aacutebra
Ha a szakaszok p eacutes q hosszuacuteak pltq eseteacuten akkor az alaacutebbi araacutenyt iacuterhatjuk fel
(p+q)q=qp
Az aranymetszeacutes szeleteinek az araacutenya (radic5+1)2 Ezt uacutegy kaphatjuk meg a
legkoumlnnyebben ha az egeacutesz taacutevolsaacutegot egyseacutegnek vesszuumlk a nagyobbik szeletet pedig
egyenlőre egy ismeretlennel mondjuk bdquoxrdquo-szel jeloumlljuumlk eacutes feliacuterjuk ismeacutet a definiacutecioacuteboacutel
az araacutenyokat
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
18
14aacutebra
1x=x(1-x)
rendezve az egyenletet a koumlvetkező maacutesodfokuacute egyenletet kapjuk
x2+x-1=0
a maacutesodfokuacute megoldoacute keacutepletbe behelyettesiacutetve keacutet megoldaacutesa lesz az egyenletnek de
mi csak a pozitiacutev gyoumlkoumlt vesszuumlk figyelembe mivel xgt0 ismeretlen egy taacutevolsaacutegot jeloumll
x1=(radic5-1)2asymp0618
[x2=-(radic5+1)2asymp-1618]
Ekkor 1-x=1-(radic5-1)2=(3-radic5)2
A keacutet szelet araacutenya x(1-x)=( radic5-1)(3-radic5) ami gyoumlkteleniacuteteacutes utaacuten (radic5+1)2
A koumlvetkező definiacutecioacutera Bartoacutek szonaacutetaacutejaacutenak elemzeacuteseacuteneacutel lesz szuumlkseacuteg
Definiacutecioacute Az aranymetszeacutes keacutetfeacutelekeacuteppen aacutellhat elő a hosszuacute eacutes a roumlvid szelet
sorrendjeacutetől fuumlggően Hosszuacute+roumlvid szelet sorrend fennaacutellaacutesa eseteacuten pozitiacutev
roumlvid+hosszuacute aranymetszet fennaacutellaacutesa eseteacuten pedig negatiacutev aranymetszetről beszeacuteluumlnk
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
19
22 Szerkeszteacutesi moacutedok
Toumlbbfeacutele moacutedon is szerkeszthetuumlnk aranymetszeacutest ezekből keacutetfeacutele tiacutepust szeretneacutek
ismertetni
Az első szerkeszteacutesi moacuted egy goumlroumlg matematikus neveacutehez fűződik Eudoxushoz
Egy egyseacuteg oldaluacute neacutegyzet foumlleacute feacutelkoumlriacutevet szerkesztuumlnk
15aacutebra
Phytagoras teacuteteleacutenek segiacutetseacutegeacutevel kiszaacutemolhatjuk a koumlr sugaraacutet
A keacutet befogoacute hossza 1 illetve 12 iacutegy az aacutetfogoacute radic52 hosszuacutesaacuteguacute lesz ami eacuteppen a koumlr
sugaraacuteval azonos
Ha a sugaacuterboacutel levonom a neacutegyzet oldalaacutenak a feleacutet radic52-12 akkor ennek a szakasznak
eacutes a neacutegyzet oldalaacutenak az araacutenya eacuteppen az előbb emliacutetett (radic5+1)2 aranymetszeacutes
szaacutemmal egyezik meg
A maacutesodik szerkeszteacutesi moacuted eseteacuteben nem egy neacutegyzetből hanem az aranymetszeacutesben
aacutelloacute szeletek koumlzuumll a nagyobbikboacutel indulunk ki vagyis q-boacutel ha (p+q)q=qp pltq
araacuteny fennaacutell
Tekintsuumlk az alaacutebbi aacutebraacutet
16aacutebra
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
20
Jeloumlljuumlk a q szakasz keacutet veacutegpontjaacutet A-val illetve B-vel vagyis AB=q A B pontban
aacutelliacutetsunk merőlegest q-ra majd erre meacuterjuumlk fel a q szakasz hosszaacutenak a feleacutet Ekkor a
kapott q2 hosszuacutesaacuteguacute szakasz maacutesik veacutegpontjaacutet jeloumlljuumlk C-vel vagyis q2=BC A C
pont koumlruumlli q2 sugaruacute koumlr metszeteacutet vesszuumlk az AC egyenessel iacutegy keacutet metszeacutespontot
kapunk D illetve E pontokat Az A-hoz koumlzelebbi D pont meghataacuterozza a keresett
taacutevolsaacutegot AD=p-t
A 16 aacutebra szerint a koumlvetkezőket iacuterhatjuk fel
q2 =AC2-(q2)2 =( AC- q2)∙( AC+q2)=AD∙AE
AB2 =AD∙AE vagyis q2=p∙(p+q) ezt pedig tudjuk hogy aranymetszeacutest definiaacutel
23 Teacutetelek a szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes az aranymetszeacutes kapcsolataacuteroacutel
Az aranymetszeacutes tovaacutebbi eacuterdekes tulajdonsaacutegainak bemutataacutesaacutehoz szuumlkseacuteguumlnk
van a pont koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak eacutertelmezeacuteseacutere ami rejtetten az előbbi
bizonyiacutetaacutes moumlgoumltt is fellelhető
Legyen adott egy P pont eacutes egy koumlr Huacutezzunk szelőket a ponton aacutet a koumlrhoumlz Minden
szelőnek a koumlrrel keacutet metszeacutespontja van Tekintsuumlk ezek előjeles taacutevolsaacutegaacutet a P ponttoacutel
Segeacutedteacutetel
Egy pontboacutel egy koumlrhoumlz huacutezott szelődarabok szorzata minden szelőre megegyezik
- Ha a P pont a koumlroumln kiacutevuumll van akkor a szorzat pozitiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln beluumll van akkor a szorzat negatiacutev
- Ha a P pont a koumlroumln van akkor a szorzat 0
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
21
Definiacutecioacute Ezt az aacutellandoacutet hiacutevjuk a P pont adott koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutenak
Kuumlloumln kiemelneacutem azt a speciaacutelis esetet amikor a pontboacutel huacutezott szelődarabok
aacutethaladnak az adott koumlr koumlzeacuteppontjaacuten Az iacutegy keletkező szelődarabok szorzata koumlnnyen
meghataacuterozhatoacute
Koumlvetkezmeacuteny1
bdquoEgy pontnak egy koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pont koumlrkoumlzeacutepponttoacutel meacutert taacutevolsaacutega
neacutegyzeteacutenek s a sugaacuter neacutegyzeteacutenek kuumlloumlnbseacutegeacutevel egyenlőrdquo [5]
Egy maacutesik egyszerű koumlvetkezmeacuteny amely szinteacuten segiacutetseacuteguumlnkre lesz
Koumlvetkezmeacuteny2
bdquoEgy a koumlroumln kiacutevuumll leacutevő pontnak a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenya a pontboacutel a koumlrhoumlz huacutezott
eacuterintő neacutegyzeteacutevel egyenlőrdquo [5]
Teacutetel1 A szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala aranymetszeacutesben aacutell a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugaraacuteval
meacuteghozzaacute uacutegy ahogy a kisebbik szelet araacutenylik a nagyobbik szelethez
Bizonyiacutetaacutes
Tekintsuumlnk egy r sugaruacute koumlrt melybe egy a oldaluacute szabaacutelyos tiacutezszoumlget iacuterunk A
csuacutecsokat a sugarakkal oumlsszekoumltve a koumlr O koumlzeacuteppontjaacuteval tiacutez egybevaacutegoacute haacuteromszoumlget
kapunk Mivel a teljes szoumlget tizedeltuumlk ezeacutert mindegyik haacuteromszoumlg O csuacutecsaacutenaacutel leacutevő
szoumlg 36deg-os A haacuteromszoumlgek egyenlőszaacuteruacuteak (szaacuteraik r hosszuacuteak) iacutegy az oldalakon
fekvő szoumlgek 72deg-osak
17aacutebra
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
22
Az a oldal eacutes az r sugaacuter kapcsolataacutet egymaacuteshoz valoacute araacutenyaacutet keressuumlk ezeacutert eleacuteg egy
kis haacuteromszoumlgben vizsgaacuteloacutedni
Hosszabbiacutetsuk meg az a alapuacute haacuteromszoumlget r hosszuacutesaacuteggal majd a meghosszabbiacutetaacutes
veacutegpontjaacutet koumlssuumlk oumlssze a haacuteromszoumlg O csuacutecsaacuteval
Az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute hogy egy uacutejabb egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hoztunk leacutetre
18aacutebra
A szaacuterszoumlget koumlnnyen kiszaacutemolhatjuk hiszen a melleacutekszoumlge 72deg iacutegy 180deg-72deg=108deg
Az alapon fekvő szoumlgek 36deg-osak
Neacutezzuumlk azt a haacuteromszoumlget amelyet a keacutet haacuteromszoumlg egyuumlttesen alkot Az alapja r
szoumlgei pedig rendre 36deg 72deg 72deg Mivel ez is egy egyenlő szaacuteruacute haacuteromszoumlget hataacuteroz
meg hasonloacute lesz az eredeti haacuteromszoumlguumlnkhoumlz melyből feliacuterhatjuk az oldalak araacutenyaacutet
ar=r(a+r)
Ez pedig a keresett araacuteny
Mivel az aranymetszet egyik szeleteacuteből a maacutesik megszerkeszthető a koraacutebban
bemutatott moacutedszerekkel ennek a teacutetelnek a felhasznaacutelaacutesaacuteval adott sugaacuter eseteacuten
megszerkeszthetjuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacutet illetve a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlget
Ha megszerkesztettuumlk a szabaacutelyos tiacutezszoumlget akkor minden maacutesodik csuacutecs
oumlsszekoumlteacuteseacutevel a szabaacutelyos oumltszoumlget is megkapjuk
A szabaacutelyos oumltszoumlg oldalaacutenak szerkeszteacuteseacutere azonban van koumlzvetlen eljaacuteraacutes is
ami az alaacutebbi teacutetelen alapul
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
23
Teacutetel2 A koumlr sugaraacuteval eacutes a koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldalaacuteval mint befogoacutekkal
szerkesztett dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg aacutetfogoacuteja a koumlrbe iacutert szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
Bizonyiacutetaacutes
A koumlvetkezőt kell megmutatnunk
r2+a2=b2
ahol bdquoardquo a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala bdquorrdquo a koumlreacute iacuterhatoacute koumlr sugara bdquobrdquo pedig a szabaacutelyos
oumltszoumlg oldala
Induljunk ki az előző teacutetel aacutebraacutejaacuteboacutel AOC haacuteromszoumlgből
19aacutebra
Tuumlkroumlzzuumlk az OAB haacuteromszoumlget az OB oldalra Az OB szoumlgfelező az OAC
haacuteromszoumlgben ndash amint azt a 18 aacutebraacuten laacutettuk ndash ezeacutert az OAB haacuteromszoumlg az OBD
haacuteromszoumlgbe jut Mivel a tuumlkroumlzeacutes taacutevolsaacutegtartoacute ezeacutert BD=a OD=r Az OC oldal
hossza meg kell hogy egyezzen az AC oldalhosszal mivel az OAC haacuteromszoumlg egyenlő
szaacuteruacute eacutes AC=a+r ezeacutert teljesuumllni kell hogy DC=a Az OA eacutes OD sugarak szoumlge 72deg
ezeacutert az AD=b taacutevolsaacuteg a keresett oumltszoumlg oldala lesz
Tekintsuumlk ezutaacuten a D koumlzeacuteppontuacute a sugaruacute koumlrt Ez aacutethalad B eacutes C pontokon
Iacuterjuk fel az A pontnak erre a koumlrre vonatkozoacute hatvaacutenyaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen
b2-a2=a∙(a+r)
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
24
A koumlvetkezmeacuteny1 eacutertelmeacuteben a∙(a+r)=r2 vagyis b2-a2=r2 eacutes ez a Pythagoras teacutetel
megfordiacutetaacutesa alapjaacuten egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlget hataacuteroz meg amelyben a befogoacutek
bdquoardquo eacutes bdquorrdquo hosszuacutesaacuteguacuteak az aacutetfogoacute pedig bdquobrdquo hosszuacutesaacuteguacute Iacutegy a bizonyiacutetandoacute aacutelliacutetaacutest
kaptuk
Ezeken a teacuteteleken segeacutedteacuteteleken eacutes szerkeszteacutesi moacutedokon alapszik az alaacutebbi
hagyomaacutenyos eljaacuteraacutes egy adott koumlrbe iacutert szabaacutelyos tiacutez- illetve oumltszoumlg oldalaacutenak
megszerkeszteacuteseacutere
Vegyuumlnk egy r sugaruacute k1 koumlrt eacutes induljunk ki az OA eacutes OB egymaacutesra
merőleges sugarakboacutel Az OA sugaacuterra r2 taacutevolsaacutegot felmeacuterve a C felezőpontot kapjuk
ami egyben egy koumlr koumlzeacuteppontja is C koumlzeacuteppont koumlruumlli r2 sugaruacute k2 koumlrt szerkesztuumlnk
Az első szerkeszteacutesi moacuted szerint CB szakasz metszete k2 koumlrrel (E metszeacutespont)
meghataacuterozza az r sugaacuterhoz tartozoacute kisebbik aranymetszet szeletet EB-t A Teacutetel1
eacutertelmeacuteben ez a szabaacutelyos tiacutezszoumlg oldala EB=a Ezt a szakaszt C koumlruumll elforgatva az
OA feacutelegyeneseacutebe az OD=a szakaszt kapjuk Mivel OA feacutelegyenes merőleges OB=r
sugaacuterra iacutegy a eacutes r szakaszok egy dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg befogoacutei A Teacutetel2 miatt az
aacuteltaluk meghataacuterozott aacutetfogoacute lesz a szabaacutelyos oumltszoumlg oldala
24 A zeneacuteben valoacute előfordulaacutes
Az aranymetszeacutes szaacutemtalan előfordulaacutesi helye koumlzuumll a zene teruumlleteacutet is
szeretneacutem kiemelnem
Egy zenei mű aranymetszeteacutenek fogalma csoumlppet sem egyeacutertelmű Sok
szempont szerint vizsgaacuteloacutedhatunk toumlbbek koumlzoumltt az uumltemszaacutem a hangeacuterteacutekek szaacutema
vagy esetleg a hangok egymaacuteshoz viszonyiacutetott taacutevolsaacutega eacutertelmeacuteben
Sok zeneszerző műveacuteben talaacutelunk valamilyen vaacuteratlan zenei fordulatot az
uumltemszaacutem aranymetszeteacuteben peacuteldaacuteul uacutej teacutema megjeleneacutese uacutej hangszer beleacutepeacutese vagy
dinamikai fokozaacutes tetőpontja eacutes meacuteg sok minden maacutest Ritkaacuten lehet megaacutellapiacutetani hogy
az adott zeneszerző szaacutendeacutekosan komponaacutelt az aranymetszeacutes araacutenya szerint vagy
oumlsztoumlnoumlsen iacuterta a műveacutet Utoacutebbi esetben valoacutesziacutenűleg paacuter uumltem elteacutereacutes előfordul
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
25
szaacutendeacutekos komponaacutelaacutesnaacutel viszont nagyon pontosan meg lehet aacutellapiacutetani a hataacuterokat
ami gyanuacutera adhat okot
Reacuteszletesebben Bartoacutek Beacutela egyik szonaacutetaacutejaacuteval szeretneacutek foglalkozni melyben
hihetetlen pontossaacuteggal jelenik meg az aranymetszeacutes Nem talaacuteltam forraacutest mely
biztosan aacutelliacutetanaacute a szaacutendeacutekos szaacutemolgataacutest baacuter Lendvai Ernő felteacutetelezeacutese szerint
Bartoacutekot nagyon foglalkoztatta a Fibonacci-sor (egymaacutes mellett leacutevő tagjainak
haacutenyadosa az aranymetszeacutes araacutenyaacutet koumlzeliacuteti)
Bartoacutek Beacutela
2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacutetel
A művet Lendvai Ernő munkaacutei alapjaacuten elemzem
A fejezet elejeacuten maacuter emliacutetettem hogy a szonaacuteta elemzeacutese soraacuten szuumlkseacuteg lesz a pozitiacutev
illetve negatiacutev aranymetszet definiacutecioacutejaacutera Ha pozitiacutev aranymetszetet szaacutemolok akkor
0618-al ha negatiacutevat akkor 0382-vel kell szorozni az uumltemszaacutemokat
A teacutetel 443 uumltemből aacutell ennek pozitiacutev aranymetszete 443∙0618 vagyis 274 ahol a teacutetel
zenei suacutelypontja talaacutelhatoacute a repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese Laacutesd 2)-es melleacutekleten
A műben nagyon sok peacuteldaacutet talaacutelhatnaacutenk az aranymetszeacutes megjeleneacuteseacutere de eacuten most
csak a művet bevezető első 17 uumltemben fogok vizsgaacuteloacutedni Az első uumltem meacuteg nem
szerves reacutesze a bevezeteacutesnek ezeacutert a 2-17 uumltemig fogok szaacutemolni
Formai feleacutepiacuteteacutes
3 nagy reacuteszre tagolhatjuk a teacutemabeleacutepeacutesek alapjaacuten
(1) alaphelyzetben (tonikaacuten 2 uumltemtől)
(2) alaphelyzetben (dominaacutenson 8 uumltem veacutegeacutetől)
(3) megfordiacutetaacutesban (szubdominaacutenson 12-18 uumltem elejeacuteig)
A 3)-as melleacutekletben talaacutelhatoacute kottaacuteban (1) (2) (3) a teacutemabeleacutepeacuteseket jelzi
A vaacuteltozoacute uumltemrend miatt eacuterdemes triolaacutes egyseacutegekben gondolkodni vagyis 3
darab 8-ad hang tesz ki 1 egyseacuteget Iacutegy a 16 uumltem 46 egyseacutegből aacutell Pozitiacutev
aranymetszete 46∙0618asymp 28 ennyi egyseacutegből aacutellnak az alaphelyzetben beleacutepő tagok
tehaacutet a megfordiacutetaacutesi tag kezdeteacutet mutatja
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
26
Neacutezzuumlk csak az (1) (2) tagokat melyek 28 egyseacutegből aacutellnak 28∙0618asymp 173
ami az (1) teacutema veacutegeacutet illetve a (2) teacutema beleacutepeacuteseacutet adja
Nagyiacutetsuk fel meacuteg jobban a reacuteszeket Az (1) eacutes (2) teacutemaacuteban is fontos szerepet
toumlltenek be a cintaacutenyeacuter-uumlteacutesek amelyek sejteacutesuumlnk szerint ismeacutet aranymetszeacutespontban
aacutellnak Az (1) teacutemaacutenak a pozitiacutev metszete 173∙0618asymp11 a (2) teacutemaacutenak a negatiacutev
metszete 10∙0382asymp4 amelyek utaacuten a cintaacutenyeacuter-uumlteacutes beleacutep
A megfordiacutetaacutes-tagot a tam-tam beleacutepeacutes negatiacutev aranymetszettel tagolja 19∙0382asymp 73
Ha a reacuteszeken beluumll tovaacutebb folytatjuk a meacutereacuteseket ismeacutet megdoumlbbentő
eredmeacutenyeket kapunk Most maacuter ne egyseacutegekben gondolkodjunk hanem nyolcad
hangokban
A tonikai-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a legfontosabb forduloacutepont a Cisz
hangon valoacute timpani-beleacutepeacutes 33∙0618asymp20 eacutes a 21 nyolcadon maacuter beleacutep a timpani A
tonikai tag maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes negatiacutev metszeacutespontban aacutell 18∙0382asymp 7 eacutes
a 7 nyolcad hangon valoacuteban megszoacutelal
A dominaacutens-tag első reacuteszeacuteben (cin beleacutepeacutese előtt) a zenei suacutelypont az Esz hang
megnyuacutejtaacutesa pozitiacutev metszetben aacutell miacuteg a maacutesodik reacuteszeacuteben a kisdob-uumlteacutes a negatiacutev
metszeacutespontban aacutell
A koumlvetkező aacutebra segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyebben lehet szemleacuteltetni az egymaacutesba aacutegyazott
aranymetszeacutesek jelenleacuteteacutet
20aacutebra
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
27
3 Szimmetriaacutek
31 Transzformaacutecioacutek csoportok
Az alaacutebbi keacutepen laacutethatoacute minta szimmetrikus baacutermely kis viraacuteg koumlzeacuteppontjaacuten aacutet
huacutezott fuumlggőleges tengelyre
21aacutebra
Felfedezhetjuumlk a szabaacutelyszerűseacuteget a minta megrajzolaacutesaacutet a veacutegtelenseacutegig
folytathatnaacutenk Ezt a szabaacutelyszerűseacuteget szeretneacutenk matematikai nyelven
megfogalmazni leiacuterni
Ehhez szuumlkseacutegem lesz a szimmetria fogalmaacutenak meghataacuterozaacutesaacutera Megmutatom
hogy egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkotnak ezeacutert roumlviden eacuterintem a
csoportelmeacutelet neacutehaacuteny alapvető keacuterdeacuteseacutet is
Az itt koumlvetkező elmeacuteleti haacutetteacuter anyagaacutet Hermann Weyl Szimmetria c koumlnyve
eacutes Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba c koumlnyve alapjaacuten aacutelliacutetottam oumlssze
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
28
A siacutek egy lekeacutepezeacutese minden p ponthoz egy prsquo pontot rendel hozzaacute Speciaacutelis
esete amikor a p pontot oumlnmagaacuteba viszi ezt a lekeacutepezeacutest identitaacutesnak nevezzuumlk eacutes I-vel
jeloumlljuumlk
Neacutezzuumlk azt az S lekeacutepezeacutest amely a p pontot a prsquo pontba viszi S inverzeacuteről akkor
beszeacutelhetuumlnk ha leacutetezik egy olyan Srsquo lekeacutepezeacutes mely a prsquo-t visszaviszi p-be vagyis
SSrsquo=I eacutes SrsquoS=I Gyakori jeloumlleacutes S lekeacutepezeacutes inverzeacutere S-1
Definiacutecioacute Ha egy lekeacutepezeacutesnek leacutetezik inverze akkor koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű
lekeacutepezeacutesről maacutes szoacuteval bijekcioacuteroacutel van szoacute
Definiacutecioacute Egy X halmazt oumlnmagaacutera keacutepező bijekcioacutejaacutet az X transzformaacutecioacutejaacutenak
hiacutevjuk
Transzformaacutecioacutek oumlsszeteacuteteleacutet a koumlvetkezőkeacuteppen eacutertelmezhetjuumlk ha S a p pontot
prsquo-be viszi T a prsquo-t pedig prdquo-be ekkor T(S)=TmiddotS alatt azt a lekeacutepezeacutest eacutertjuumlk ami a p
pontot a prdquo-be viszi Fontos a sorrend előszoumlr az S transzformaacutecioacutet majd a T-t
alkalmazzuk a megszokott iacuteraacutesmoacuteddal szemben mely szerint balroacutel jobbra haladunk
A matematikaacuteban ezt S eacutes T transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacutejaacutenak hiacutevjuk
A kompoziacutecioacute művelete egy asszociatiacutev művelet azaz R(ST) = (RS)T ez koumlvetkezik
abboacutel hogy a kompoziacutecioacutekeacutepzeacutes valoacutejaacuteban egy fuumlggveacutenyoumlsszeteacutetel amiről tudjuk hogy
asszociatiacutev
Egy X ponthalmaz transzformaacutecioacuteinak a halmazaacutet jeloumlljuumlk Sx-szel
Az Sx halmaz elemeire igaz hogy
-baacutermely keacutet elem kompoziacutecioacutejaacutet a halmaz tartalmazza azaz X halmaz zaacutert a
kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve
-baacutermely S transzformaacutecioacutera SI=IS=S ahol I az identitaacutes lekeacutepezeacutest jeloumlli amely
minden elemet oumlnmagaacuteba visz
-baacutermely elemeacutenek van inverze azaz olyan S-1 melyre SS-1=I (mivel koumllcsoumlnoumlsen
egyeacutertelmű lekeacutepezeacutesekből aacutell)
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
29
Ezen tulajdonsaacutegoknak az oumlsszesseacutege a matematikaacuteban kuumlloumln elnevezeacutest kapott
Azt mondjuk hogy Sx csoportot alkot a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve vagy maacutesneacuteven
Sx szimmetrikus csoport
A csoport konkreacutet definiacutecioacutejaacutenak ismerteteacutese előtt szuumlkseacuteg van neacutehaacuteny fogalom
bevezeteacuteseacutere
Definiacutecioacute Egy R halmazon eacutertelmezett keacutetvaacuteltozoacutes művelet alatt azt eacutertjuumlk hogy
baacutermely ab є R-re ab є R tehaacutet baacuterhogy vaacutelasztok ki R halmazboacutel keacutet elemet az
azokhoz hozzaacuterendelt eacuterteacutek szinteacuten R egy eleme lesz
Definiacutecioacute Egy keacutetvaacuteltozoacutes művelet melyet R halmazon eacutertelmezuumlnk
- asszociatiacutev ha tetszőleges xyz є R-re (xy)z= x(yz) teljesuumll vagyis a zaacuteroacutejeleket
elhagyhatjuk figyelve arra hogy a tagok sorrendje megmaradjon
- kommutatiacutev ha tetszőleges xy є R-re xy=yx vagyis a tagok felcsereacutelhetőek
Megjegyzeacutes A transzformaacutecioacutekra igaz az asszociativitaacutes a kommutativitaacutes viszont
aacuteltalaacuteban maacuter nem vagyis a sorrend nem csereacutelhető fel
Erre egy egyszerű peacutelda legyen S az O pont viacutezszintes eltolaacutesa v vektorral T pedig az
O pont koumlruumlli +90deg-os elforgataacutes T(S) az O pontot B-be S(T) pedig A-ba viszi iacutegy a
keacutet lekeacutepezeacutes nem egyezik meg
22aacutebra
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
30
Definiacutecioacute Neutraacutelis elem alatt a koumlvetkezőt eacutertjuumlk e є R neutraacutelis elem ha baacutermely x є
R eseteacuten ex=xe=x
Megjegyzeacutes Ha az eltolaacutesokat vesszuumlk a kompoziacutecioacute műveleteacutere neacutezve akkor a
neutraacutelis elem a 0 vektorral valoacute eltolaacutes forgataacutesok eseteacuteben pedig a 0deg-os vagy a
kmiddot360deg-os forgataacutesok
Definiacutecioacute xy є R eseteacuten ha xy=e neutraacutelis elem akkor azt mondjuk hogy x
balinverze y-nak y pedig jobbinverze x-nek yx=e fennaacutellaacutesa eseteacuten x eacutes y egymaacutes
inverzei Egy elem invertaacutelhatoacute ha van keacutetoldali inverze vagyis leacutetezik jobb-eacutes
balinverze is
Jeloumlleacutes az inverzre x inverze x-1
Megjegyzeacutes
t tuumlkroumlzeacutes inverze oumlnmaga a v vektorral vett eltolaacutes inverze pedig a ndashv vektorral vett
eltolaacutes
Aacuteltalaacuteban keacutet transzformaacutecioacute kompoziacutecioacutejaacutenak inverzeacutere teljesuumll hogy
(A1 A2)-1=A2-1 A1
-1
Definiacutecioacute Egy G nem uumlres halmaz csoport ha eacutertelmezve van rajta egy művelet
melyre a koumlvetkezők aacutellnak fent
1)A művelet asszociatiacutev
2)Van neutraacutelis elem G-ben
3)Baacutermely G-ből vett elemnek van inverze
Definiacutecioacute Tekintsuumlk a G halmazt mely csoport illetve G egy reacuteszhalmazaacutet H-t H
reacuteszcsoportja G-nek ha csoportot alkot a G-beli műveletre neacutezve
Jeloumlleacutes H le G
Az alaacutebbi felteacutetelek ellenőrzeacuteseacutevel eldoumlnthetjuumlk hogy H (G-nek egy reacuteszhalmaza)
reacuteszcsoportot alkot-e
-H zaacutert a műveletre vagyis xy є H eseteacuten xy є H
-H-ban benne van G-nek a neutraacutelis eleme
-H zaacutert a G-beli inverzkeacutepzeacutesre vagyis x є H eseteacuten x-1 є H
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
31
32 Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek
A szimmetria fogalmaacutet lehet szűkebben eacutes taacutegabban is eacutertelmezni A szimmetria
megszokott eacutertelmezeacuteseacutehez szuumlkseacuteguumlnk van az egybevaacutegoacutesaacuteg fogalmaacutera
Definiacutecioacute Egy f transzformaacutecioacute taacutevolsaacutegtartoacute vagy maacutes neacuteven egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute ha baacutermely P Q pontokra teljesuumll hogy
d(PQ)=d(f(P)f(Q))
Ez a felteacutetel teljesuumll az identitaacutesra a nem identikus eltolaacutesokra a nem identikus
forgataacutesokra a tuumlkroumlzeacutesekre illetve a csuacutesztatva tuumlkroumlzeacutesekre
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek osztaacutelyozaacutesa
Fixpontjaik szerint osztaacutelyozhatjuk őket Az eltolaacutesoknak illetve a csuacutesztatva
tuumlkroumlzeacuteseknek sohasem lesz fixpontjuk miacuteg az identitaacutesnak minden pontja fixen marad
A tengelyes tuumlkroumlzeacutesek eseteacuteben a fixpontok halmaza a tengely amire tuumlkroumlzuumlnk ezzel
ellenteacutetben a forgataacutesok fixpontjainak halmaza egyetlen pontboacutel aacutell amely koumlruumll
forgatunk Iacutegy megkapjuk a fent maacuter emliacutetett felsorolaacutest
Megjegyzeacutes az identitaacutest ugyanakkor szokaacutes speciaacutelis ndash 0 vektorral valoacute- eltolaacutesnak
illetve speciaacutelis ndash 0degszoumlggel valoacute ndash forgataacutesnak is tekinteni
Megjegyzeacutes Az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek szuumlkseacutegkeacuteppen bijekcioacutek a
taacutevolsaacutegtartaacutes miatt Emiatt leacutetezik inverzuumlk
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportja
Egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek kompoziacutecioacuteja illetve ezek inverze is egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacute iacutegy egy X halmaz egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutei csoportot alkotnak
Jeloumlleacutes a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacutera E
Definiacutecioacute Egy X alakzat ponthalmaz szimmetriaacutei azok az egybevaacutegoacutesaacutegi
transzformaacutecioacutek amelyek oumlnmagukba viszik
Aacutelliacutetaacutes Egy alakzat oumlsszes szimmetriaacuteja csoportot alkot
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
32
Peacutelda
A pentagramma
A pentagramma tanulmaacutenyozaacutesaacuteval maacuter az oacutekorban is foglalkoztak Itt
visszautalneacutek a phytegoreusokra akik neveacutehez fűződik az a hiacuteres felfedezeacutes mely
szerint a szabaacutelyos oumltszoumlg aacutetloacuteinak metszeacutespontjai keacutet reacuteszre osztjaacutek az aacutetloacutekat eacutes ezek
a reacuteszek aranymetszeacutesben aacutellnak egymaacutessal Nem csak matematikai teacutenykeacutent kezelteacutek a
pentagramma tulajdonsaacutegait hanem az aacuteltaluk keacutepviselt tanok szimboacutelumaacutenak
tekintetteacutek
Vizsgaacuteljuk meg a pentagramma szimmetriaacuteit
Az alakzatot oumlnmagaacuteba vivő transzformaacutecioacutek az O koumlzeacuteppont koumlruumlli k∙360deg5-os
szoumlggel valoacute forgataacutes (k=1hellip5) valamint az O-t eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő egyenesekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek
23aacutebra
10 műveletet hataacuteroztunk meg Ezekből vaacutelasszuk ki a O koumlruumlli 360deg5 = 72deg ndashos
szoumlggel valoacute f elforgataacutest illetve a koumlzeacuteppontot eacutes a csuacutecsokat oumlsszekoumltő tengelyekre
valoacute tuumlkroumlzeacutesek koumlzuumll az egyiket t-vel jeloumllve f1= 1∙72deg-os forgataacutes f2= 2∙72deg-os
forgataacutes eacutes iacutegy tovaacutebb iacutegy f hatvaacutenyozaacutesaacuteval előaacutelliacutethatjuk az oumlsszes toumlbbi forgataacutest
Tovaacutebbaacute fkt ismeacutet tengelyes tuumlkroumlzeacutes lesz az eredeti t tengely O koumlruumlli 2kmiddot72deg-kal valoacute
elforgataacutesaacuteval kapott tengelyre ami szinteacuten aacutethalad a pentagramma valamelyik csuacutecsaacuten
Azaz a pentagramma baacutermely szimmetriaacuteja előaacutell fktl alakban ahol k eacutes l is lehet 0
Az l = 0 esetekben kapjuk a forgataacutesokat az l =1 (l paacuteratlan) esetben kapjuk a tengelyes
tuumlkroumlzeacuteseket a k=0 l=0 esetben az I identitaacutest a helybenhagyaacutest kapjuk
Megadtam az alakzat oumlsszes szimmetriaacutejaacutet amely valoacuteban csoportot alkot
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
33
Peacuteldaacutek a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjaira
Az identitaacutesboacutel aacutelloacute halmaz I Ez minden alakzatot oumlnmagaacuteba visz
Szimmetrikusnak csak azokat az alakzatokat nevezzuumlk amelyeknek van az identitaacutestoacutel
kuumlloumlnboumlző szimmetriaacutejuk is
t I ahol t a tengelyes tuumlrkoumlzeacutest jelenti
fktl | klє Z+ az előbb emliacutetett pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
E(n∙v) | n є Z ahol E(n∙v) az n∙v vektorral valoacute eltolaacutes
Szemleacutelteteacutes
Vegyuumlk peacuteldaacutenak E-t vagyis az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutek csoportjaacutet Az
eltolaacutesok reacuteszcsoportot alkotnak E-ben hiszen van neutraacutelis eleme (a 0 vektor)
inverze (a vektor (-1)-szereseacutevel valoacute eltolaacutes) eacutes baacutermely keacutet eltolaacutes utaacuten ismeacutet
eltolaacutest kapunk
Az alaacutebbi aacutebraacuten ennek a műveacuteszetben megjelent formaacutejaacutet laacutethatjuk
24aacutebra
A fenti perzsa iacutejaacuteszokat mutatoacute friacutez Dareiosz szuacutezai palotaacutejaacuteboacutel valoacute Ha az alakok
koumlzoumltti taacutevolsaacutegot d-vel jeloumlljuumlk akkor a friacutezt a 2d-vel valoacute eltolaacutessal keacutesziacutethetjuumlk el
(2d mivel csak minden maacutesodik iacutejaacutesz ruhaacuteja egyforma)
A siacutek oumlsszes eltolaacutesai eacutes forgataacutesai szinteacuten reacuteszcsoportot alkotnak
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
34
Aacutelliacutetaacutes H halmaz jeloumllje a siacutek eltolaacutesait eacutes forgataacutesait (az identitaacutest is beleszaacutemiacutetva)
mely reacuteszhalmaza E-nek Ekkor H reacuteszcsoportot alkot E-ben
Bizonyiacutetaacutes
Az aacutelliacutetaacutes bizonyiacutetaacutesaacutera a koumlvetkezőket kell ellenőrizni Az eltolaacutesok eacutes forgataacutesok
zaacutertak a kompoziacutecioacute műveleteacutere H neutraacutelis eleme benne van E-ben illetve H zaacutert az E-
beli inverzkeacutepzeacutesre
A koumlvetkező segeacutedaacutelliacutetaacutesok hasznosak lehetnek a felteacutetelek ellenőrzeacutese soraacuten
Segeacutedaacutelliacutetaacutes1
Keacutet egymaacutes utaacuteni tengelyes tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacuteja a keacutet tengely aacuteltal koumlzbezaacutert szoumlg
keacutetszereseacutevel valoacute forgataacutes a tengelymetszeacutespont koumlruumll
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges forgataacutes előaacutell keacutet a forgataacutes koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
tengelyre vett tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen
Segeacutedaacutelliacutetaacutes2
Keacutet d taacutevolsaacutegra leacutevő paacuterhuzamos egyenesre valoacute tengelyes tuumlkroumlzeacutes egy eltolaacutes
melynek iraacutenya merőleges az egyenesek iraacutenyaacutera valamint hossza 2d
Koumlvetkezmeacuteny Tetszőleges eltolaacutes előaacutell keacutet az eltolaacutes vektoraacutera merőleges tengelyes
tuumlkroumlzeacutes kompoziacutecioacutejakeacutent
Vizsgaacuteljuk előszoumlr a neutraacutelis elem leacutetezeacuteseacutet
1) Neutraacutelis elem
E neutraacutelis eleme az identitaacutes hiszen baacutermely f egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutera igaz
hogy a vele vett kompoziacutecioacute f H-ban az identitaacutes szinteacuten neutraacutelis elem lesz
2) Inverzkeacutepzeacutes
H tartalmazza a siacutek oumlsszes eltolaacutesaacutet valamint forgataacutesaacutet tehaacutet a v vektorral valoacute eltolaacutes
mellett ott van a ndashv vektorral valoacute eltolaacutes is Ezek egymaacutes inverzei hiszen
kompoziacutecioacutejuk az identitaacutest adja
Hasonloacute a helyzet a forgataacutesok eseteacuteben vagyis H tartalmazza az azonos pont koumlruumlli α
eacutes ndashα iraacutenyiacutetott szoumlggel valoacute forgataacutesokat melyek szinteacuten egymaacutes inverzei
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
35
3) A kompoziacutecioacute műveleteacutere valoacute zaacutertsaacuteg
Ellenőrizni kell hogy baacutermely keacutet eltolaacutes forgataacutes illetve ezek kombinaacutecioacutejaacutenak
kompoziacutecioacuteja is eltolaacutes vagy forgataacutes lesz Tehaacutet nem leacutepek ki a halmazomboacutel amelyről
felteacuteteleztem hogy reacuteszcsoport
Milyen transzformaacutecioacutet adnak a koumlvetkező egybevaacutegoacutesaacutegok kompoziacutecioacutei
2 forgataacutes szorzata
f1 f2 legyenek forgataacutesok a P1 P2 koumlzeacuteppontok koumlruumllα eacutes β szoumlgekkel
Ha P1=P2 akkor a P1 koumlruumlli forgataacutest kapjuk az α +β szoumlggel
Ezek utaacuten tekintsuumlk azt az esetet amikor P1neP2 Legyen e a P1 P2 pontok aacuteltal
meghataacuterozott egyenes A segeacutegaacutelliacutetaacutes1 eacutertelmeacuteben f1-et fel tudjuk iacuterni keacutet tuumlkroumlzeacutes
szorzatakeacutent f1=t1t ahol t az e egyenesre valoacute t1 pedig egy olyan P1 ponton aacutetmenő
tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelyet α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz az e egyeneseacutebe
Ugyaniacutegy feliacuterhatjuk f2-t is t valamint t2 tuumlkroumlzeacutes szorzatakeacutent ahol t2 egy olyan P2
ponton aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes amelybe t tengelyt β2 iraacutenyiacutetott szoumlgű forgataacutes
viszi f2=t t2
Ekkor f1 f2= t1t t t2= t1 (t t) t2 = t1 t2 a kompoziacutecioacute művelet asszociatiacutev tehaacutet előszoumlr
vehetem a tt tengelyes tuumlkroumlzeacutesek szorzataacutet melyre tt=id
Az eredmeacuteny amit kaptunk a koumlvetkező
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest akkor a t1 t2 szorzat egy elforgataacutes a
metszeacutespont koumlruumll meacuteg hozzaacute 2(α2+ β2) szoumlggel
Ha t1 t2 tuumlkroumlzeacutesek tengelyei paacuterhuzamosak azaz α = - β vagy α =360deg - β akkor t1 t2szorzat egy eltolaacutes
Nem identikus forgataacutes eacutes eltolaacutes szorzata
A gondolatmenet hasonloacute mint az előző esetben
Legyen F(P) a P pont koumlruumlli forgataacutes E(v) pedig a v vektorral valoacute eltolaacutes A v-re
merőleges P ponton aacutetmenő egyenest e-vel jeloumlljuumlk
Ekkor E(v)= t1t ahol t az e-re t1 pedig egy olyan tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes mely
paacuterhuzamos az e-vel eacutes - v2 iraacutenyiacutetott taacutevolsaacutegra van tőle
F(P)= t t2 ahol t ismeacutet az e-re t2 pedig egy olyan P-n aacutetmenő tengelyre valoacute tuumlkroumlzeacutes
amelyet a - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutes visz e-be
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
36
F(P) E(v)= t1t t t2= t1 t2 ahol t|| t1 tengelyeacutevel t2 tengelye viszont P pontban metszi e-t
ezeacutert t1 tengelye nem paacuterhuzamos t2 tengelyeacutevel vagyis csak forgataacutesroacutel lehet szoacute
Fordiacutetott esetben a koumlvetkezőt iacuterhatjuk fel
E(v)= t t1rsquo ahol t az e egyenesre valoacute t1rsquo pedig az e-re paacuterhuzamos eacutes v2 iraacutenyiacutetott
taacutevolsaacutegra leacutevő tengelyes tuumlkroumlzeacutes
F(P)= t2rsquot ahol t2rsquo az e-be - α2 iraacutenyiacutetott szoumlgű elforgataacutessal vivő tengelyre valoacute
tuumlkroumlzeacutes
E(v) F(P)= t2rsquot t t1rsquo= t2rsquo t1rsquo amelyre szinteacuten t ||t1rsquo tengelyeacutevel valamint t2rsquo tengelye P
pontban metszi e-t tehaacutet t2rsquo eacutes t1rsquo tuumlkroumlzeacutesek tengelyei metszik egymaacutest a P pontban
ismeacutet forgataacutest kaptunk
Keacutet eltolaacutes kompoziacutecioacuteja
Baacutermely keacutet eltolaacutes egymaacutesutaacutenja ismeacutet egy eltolaacutest eredmeacutenyez meacuteghozzaacute az
eltolaacutesokhoz tartozoacute vektorok oumlsszegeacutevel
Leellenőriztuumlk a felteacutetelek teljesuumlleacuteseacutet iacutegy belaacutettuk hogy a siacutek eltolaacutesai eacutes forgataacutesai
valoacuteban reacuteszcsoportot alkotnak a siacutek egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacuteinak csoportjaacuteban
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
37
33 Generaacutetorelem generaacutelt reacuteszcsoport
Definiacutecioacute Legyen G csoport melyre g є G Tekintsuumlk G-nek azt a reacuteszcsoportjaacutet amely
a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyaiboacutel aacutell Ezt a reacuteszcsoportot a g elem aacuteltal generaacutelt
reacuteszcsoportnak hiacutevjuk eacutes ltggt-vel jeloumlljuumlk ltggt=gi | i є Z
Definiacutecioacute Ha a g elem egeacutesz kitevőjű hatvaacutenyai az egeacutesz G csoportot előaacutelliacutetjaacutek akkor
g-t a G generaacutetorelemeacutenek nevezzuumlk maacutes szoacuteval g elem generaacutelja a G csoportot Ebben
az esetben megkuumlloumlnboumlztetjuumlk G-t a toumlbbi csoporttoacutel eacutes ciklikus csoportnak nevezzuumlk
Peacuteldaacutekon keresztuumll valoacute szemleacutelteteacutes
1 generaacutetor elem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n E(n∙v) | n єZ ahol E(v) a v vektorral valoacute eltolaacutes a siacutek
oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 4) peacuteldaacuteja
A g (generaacutetorelem) = v vektorral vett eltolaacutes a hatvaacutenyozaacutest pedig a koumlvetkező moacutedon
definiaacuteljuk g1=E(1v) g2= E(2v) hellip gn= E(nv) n є Z+ De ezzel meacuteg nem
generaacuteltam az aacutebra oumlsszes elemeacutet g inverzeacutet eacutes ennek hatvaacutenyait is hozzaacute kell venni
g-1= E((-1)v)
Ekkor a g elem aacuteltal generaacutelt reacuteszcsoport a v vektorral vett eltolaacutesok amelyek az aacutebra
oumlsszes eltolaacutesaacutet megadjaacutek
2 generaacutetorelem leacutetezeacutese
Legyen a reacuteszcsoportom E-n f72 t amely a pentagramma szimmetriaacuteinak csoportja
a siacutek oumlsszes egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutejaacutenak reacuteszcsoportjainak 3) peacuteldaacuteja
A megadott reacuteszcsoport generaacutetorelemei f72 t
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
38
34 Szimmetriaacutek a zeneacuteben
Johann Sebastian Bach Keacutetszoacutelamuacute invencioacutek
Bach ezeket a műveket csembaloacutera iacuterta pedagoacutegiai ceacutelzattal Az invencioacutek leacutenyege
hogy a szerzőnek taacutemad egy oumltlete egy zenei motiacutevum ami az egeacutesz teacutetel jellegeacutet
meghataacuterozza
Bach invencioacuteinak tanulmaacutenyozaacutesa soraacuten joumlttem raacute hogy toumlbb matematikaacutet lehet benne
talaacutelni mint gondoltam volna Eltolaacutesokkal viacutezszintes eacutes fuumlggőleges tuumlkoumlrfordiacutetaacutesok
sokasaacutegaacuteval van tele az egeacutesz teacutetel
Szinte az oumlsszes Bach invencioacuteban talaacutelhatunk tuumlkroumlzeacuteseket eltolaacutesokat de
reacuteszletesebben a d-moll invencioacuteban mutatnaacutem meg ezek megjeleneacutesi formaacutejaacutet
Laacutesd 1)-es melleacuteklet
d-moll invencioacute
Az invencioacute a teacutema elhangzaacutesaacuteval kezdődik amit az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatunk
25aacutebra
Ha eacuteszrevesszuumlk maacuter a teacutemaacuteban talaacutelunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutest ahol a Cisz
hang a tuumlkoumlrtengely D hangroacutel a Beacute hangra megy szekundleacutepeacutesekkel iacutegy a
tuumlkoumlrtengely utaacuten a Beacute hangroacutel vissza kell mennie a D hangra ugyanazokkal a
leacutepeacutesekkel
Mivel keacutet szoacutelam mozgaacutesaacuteroacutel van szoacute iacutegy nem csak a felső szoacutelamban hanem az alsoacute
szoacutelamban is ugyaniacutegy talaacutelhatunk fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacuteseket a harmadik
uumltemtől kezdve
A tuumlkroumlzeacuteseket az alaacutebbi moacutedon is lehetne szemleacuteltetni jeloumllje 2 a szekundleacutepeacuteseket 7
pedig a szeptimugraacutesokat Ennek a jeloumlleacutesnek az eacutertelmeacuteben a teacutemaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
39
iacuterhatjuk fel 222227722222 A teacutetel soraacuten a teacutema megjeleneacuteseacuteneacutel aacuteltalaacuteban az első
szekundleacutepeacutest maacutessal helyettesiacuteti iacutegy a tuumlkroumlzeacutesek kereseacutesekor a 2222772222
szerkezetet kell figyelembe venni Ezt a sorrendet pedig az 1-27 uumltemig a 17-et kiveacuteve
mindenhol megtalaacuteljuk vaacuteltakozva a keacutet szoacutelam koumlzoumltt
A 29-35 uumltemig egy maacutesikfajta fuumlggőleges tengelyes tuumlkroumlzeacutesre bukkanhatunk Ismeacutet
az első leacutepeacutest nem kell figyelembe venni iacutegy az A hangroacutel induloacute sorrend 2222222222
vagyis a 77 ugraacutest 22 leacutepeacutessel csereacuteli ki
A 36 eacutes 37 uumltemben nem talaacutelunk tuumlkroumlzeacuteseket viszont a 38-47 uumltemig ismeacutet a
2222772222 szerkezet eacuterveacutenyesuumll
Felmeruumllhetne az a keacuterdeacutes hogy a kimaradt uumltemekben mieacutert nincs tuumlkroumlzeacutes A mű
formai elemzeacutese utaacuten viszont laacutethatjuk hogy a kimaradt uumltemekben zaacuterlatok vannak
melyek 3 nagy reacuteszre tagoljaacutek a művet iacutegy azoknak maacutes szerep jut
A viacutezszintes tengelyes tuumlkroumlzeacutesre a 22 uumltem felső szoacutelamaacuteban talaacutelhatunk peacuteldaacutet Az
első szekundleacutepeacutest ismeacutet ne vegyuumlk figyelembe Az emliacutetett szoacutelamot rakjuk a teacutema
szoacutelama alaacute Hasznaacuteljuk a koumlvetkező jeloumlleacutest uarr2 szekundleacutepeacutes fel darr2 szekundleacutepeacutes le
Teacutema uarr2uarr2uarr2uarr2darr7uarr7uarr2uarr2uarr2uarr2 22 uumltemtől felső szoacutelam darr2darr2darr2darr2 uarr6darr7uarr2uarr2uarr2uarr2
kisebb elhanyagolaacutessal szeptimugraacutest szextugraacutessal helyettesiacutetve ismeacutet laacutethatjuk a
szimmetria megjeleneacuteseacutet
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
40
Oumlsszegzeacutes
Szakdolgozatomban proacutebaacuteltam raacutevilaacutegiacutetani hogy milyen sok eacuterdekes
oumlsszefuumlggeacutes van a matematika eacutes a zene koumlzoumltt
Sok matematikust lehetne emliacuteteni akik komolyabban is művelteacutek a zeneacutet eacutes eacuterdekes
eredmeacutenyekre jutottak a matematika eacutes a zene kapcsolataacutenak szorosabbra fűzeacuteseacuteben
Pitagorasz tanulmaacutenyai mellett doumlntoumlttem mert olyan nagy oumlsztoumlnző hataacutessal volt a
koumlruumlloumltte leacutevő emberekre hogy egy egeacutesz iskolarendszert alapiacutetott meg ahol jelentős
felfedezeacuteseket tettek zenei eacutes matematikai teruumlleten egyaraacutent
Az aranymetszeacutes mindig is kuumlloumlnleges jelenseacuteg volt a matematikaacuteban a műveacuteszetben a
termeacuteszetben eacutes most maacuter tudom hogy a zeneacuteben is ezeacutert ezt a teacutemakoumlrt mindenkeacuteppen
meg akartam taacutergyalni a dolgozatomban
A csoportelmeacuteleti fejezetben azokat a fogalmakat akartam mindenkeacuteppen tisztaacutezni
amelyekről uacutegy gondoltam hogy alapvetőek a szimmetriaacutek teruumlleteacuten valoacute vizsgaacuteloacutedaacutes
soraacuten ezeacutert reacuteszletesebben kiteacutertem az egybevaacutegoacutesaacutegi transzformaacutecioacutekra
Remeacutelem a koumlzeacutepiskolai taniacutetaacutesom soraacuten alkalmam nyiacutelik a szakdolgozatomban
taacutergyalt eacuterdekesseacutegeket tovaacutebbadni a diaacutekoknak mellyel hozzaacutejaacuterulok a szeacutelesebb
laacutetoacutekoumlruumlk kialakiacutetaacutesaacutehoz
Ezuacuteton szeretneacutem megkoumlszoumlnni konzulensemnek a segiacutetseacutegeacutet aki elvaacutellalta az
aacuteltalam vaacutelasztott teacutema vezeteacuteseacutet eacutes sokban hozzaacutejaacuterult hogy leacutetrejoumlhessen ez a munka
Keacuterdeacuteseimmel baacutermikor fordulhattam hozzaacute mindig segiacutetőkeacuteszen vaacutelaszolt eacutes az
oumltleteivel uacutejabb eacutes uacutejabb ajtoacutek nyiacuteltak meg szaacutemomra a matematika eacutes zenetudomaacuteny
teruumlleteacuten
Szaktaacutersaimnak is koumlszoumlnettel tartozom akik szinteacuten segiacutetseacutegemre voltak
miutaacuten sikeruumllt felkeltenem eacuterdeklődeacutesuumlket a zene eacutes a matematika oumlsszefuumlggeacutese iraacutent
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
41
Melleacutekletek1)
Johann Sebastian Bach D-moll invencioacute
2)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek repriacutez-főteacutema beleacutepeacutese
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
42
3)
Bartoacutek Beacutela 2 zongoraacutes uumltőhangszeres szonaacuteta I teacuteteleacutenek első 22 uumlteme
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
43
Irodalomjegyzeacutek
[1] Ritooacutek Zsigmond Forraacutesok az oacutekori goumlroumlg zeneeszteacutetika toumlrteacuteneteacutehez AkadeacutemiaiKiadoacute Budapest 1982
[2] Sain Maacuterton Nincs kiraacutelyi uacutet Gondolat Kiadoacute Budapest 1986
[3] Vargha Balaacutezs Dimeacuteny Judit Loparits Eacuteva Nyelv Zene Matematika RTV-Minerva Kiadoacute 1977
[4] httphuwikipediaorgwikiPC3BCthagoreusok
[5] Hajoacutes Gyoumlrgy Bevezeteacutes a geometriaacuteba Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1960
[6] Lendvai Ernő Bartoacutek dramaturgiaacuteja Akkord Zenei Kiadoacute 1993
[7] Dr Budoacute Aacutegoston Dr Poacutecza Jenő Kiacuteseacuterleti fizika I koumltet TankoumlnyvkiadoacuteBudapest 1965
[8] B L Van der Waerden Egy tudomaacuteny eacutebredeacutese Gondolat Kiadoacute Budapest 1977
[9] Kiss Emil Bevezeteacutes az algebraacuteba Typotex Kiadoacute Budapest 2007
[10] Hermann Weyl Szimmetria Gondolat Kiadoacute Budapest 1982
[11] Kelemen Imre A zene toumlrteacutenete Nemzeti Tankoumlnyvkiadoacute Rt Budapest 1998
[12] Boosy amp Hawkes Hawkes Pocket Scores Beacutela Bartoacutek Sonata Music PublishersEngland
[13] D R Hofstadter Goumldel Escher Bach Typotex Kiadoacute Budapest 2005
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby
44
[14] Darvas Gaacutebor Zenei Zseblexikon Zeneműkiadoacute Budapest 1978
[15] Sain Maacuterton Matematikatoumlrteacuteneti ABC Tankoumlnyvkiadoacute Budapest 1978
[16] Alan Bell Trevor Fletcher Symmetry groups Derby