MATEMATIKA 1

Drugi pismeni kolokvijum, 10.1.2014

Grupa 2

Rexe�a zadataka i rezultati

Prof Dragan �ori�

Zadaci i rexe�a

1. Dat je niz (an), gde je

an =1

4√n4 − 2n

+1

4√n4 − 2n+ 1

+ · · ·+ 14√n4 + 3n

, n ≥ 2.

(1) Ispitati konvergenciju niza (an) i u sluqaju da konvergira odrediti �egovu graniqnuvrednost.

(2) Odrediti taqke nagomilava�a niza (bn) qiji je opxti qlan dat sa

bn =(−1)n + 2

3· an +

n2 cos 2nπ3 + 1

3n2 − n.

Rexe�e: (1) Ako je un =5n+ 1

4√n4 + 3n

i vn =5n+ 1

4√n4 − 2n

, tada je un < an < vn i limn→∞

un =

limn→∞

vn = 5. Na osnovu teoreme o tri niza sledi da je niz (an) konvergentan i da je limn→∞

an = 5.

Na slede�oj slici je ucrtano prvih nekoliko qlanova 'policajaca' (un) i (vn), a odgo-varaju�i qlanovi niza (an) se nalaze izme�u �ih.

2 4 6 8 10 125

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

u2, u

3,…, u

12

v2, v

3, …, v

12

(2) Neka je bn = pn · an + cn · qn + rn, gde je

pn =(−1)n + 2

3, qn =

n2

3n2 − n, cn = cos

2nπ

3, rn =

1

3n2 − n.

Nizovi (an), (qn) i (rn) su konvergentni, pri qemu je

limn→∞

an = 5, limn→∞

qn =1

3, lim

n→∞rn = 0,

a nizovi (pn) i (cn) su periodiqni jer je

p2k = 1, p2k+1 =1

3(k ∈ N), c3l = 1, c3l+1 = c3l+2 = −1

2(l ∈ N).

Ako dati niz (bn) razlo�imo na xest podnizova (uzimaju�i u podniz svaki xesti qlan),imamo

b6m = 1 · a6m + 1 · q6m + r6m → 1 · 5 + 1 · 13+ 0 =

16

3, m→∞,

b6m+1 =1

3· a6m+1 −

1

2· q6m+1 + r6m+1 →

1

3· 5− 1

2· 13+ 0 =

3

2, m→∞,

b6m+2 = 1 · a6m+2 −1

2· q6m+2 + r6m+2 → 1 · 5− 1

2· 13+ 0 =

29

6, m→∞,

b6m+3 =1

3· a6m+3 + 1 · q6m+3 + r6m+3 →

1

3· 5 + 1 · 1

3+ 0 = 2, m→∞,

b6m+4 = 1 · a6m+4 −1

2· q6m+4 + r6m+4 → 1 · 5− 1

2· 13+ 0 =

29

6, m→∞,

b6m+5 =1

3· a6m+5 −

1

2· q6m+5 + r6m+5 →

1

3· 5− 1

2· 13+ 0 =

3

2, m→∞.

Poxto su svi ovi podnizovi (nizovi) konvergentni, �ihove graniqne vrednosti su jedinetaqke nagomilava�a datog niza (bn).

Dakle, taqke nagomilava�a datog niza su brojevi3

2, 2,

29

6i

16

3.

2. Date su funkcije f : x 7→ ln(cosx) i g : x 7→ e−2x2.

(1) Odrediti Maklorenove polinome qetvrtog stepena funkcija f i g.

(2) Odrediti vrednost realnog parametra A tako da funkcija h definisana sa

h(x) =

g(x)− 4f(x)− 1

x3, x 6= 0

A, x = 0

bude neprekidna u taqki x = 0.

Rexe�e: (1) Za x→ 0 je

f(x) = ln

(

1− x2

2+x4

24+ o(x4)

)

= −x2

2+x4

24− 1

2· x

4

4+ o(x4) = −x

2

2− x4

12+ o(x4),

g(x) = 1− 2x2 +1

2· 4x2 + o(x4) = 1− 2x2 + 2x4 + o(x4).

Prema tome, tra�eni Maklorenovi polinomi F4 i G4 za funkcije f i g su

F4(x) = 1− x2

2− x4

12, G4(x) = 1− 2x2 + 2x4.

(2) Za x→ 0 je

h(x) =G4(x)− 4F4(x)− 1 + o(x4)

5x4=

73x

4 + o(x4)

5x4=

7

15+ o(1),

pa je limx→0

h(x) =7

15. Prema tome, funkcija h je neprekidna u taqki x = 0 ako je A =

7

15.

Na slici levo dati su grafici funkcije g i Maklorenovog polinoma G4, a na slicidesno je grafik funkcije h u sluqaju kada je ona neprekidna u taqki x = 0, odnosno kada

je A =7

15≈ 4.66.

−1 −0.5 0 0.5 1

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

2 x4 − 2 x2 + 1

g

G4

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

x

h

A

4. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f : x 7→ 1 + lnx

x(1− lnx).

Rexe�e: (1) Iz uslova x > 0 i 1 − lnx 6= 0 dobijamo da je Df = (0, e) ∪ (e,+∞), a izjednakosti 1+ lnx = 0 imamo da je f(x) = 0 za x = 1/e. Funkcija je pozitivna za x ∈ (1/e, e)i negativna za x ∈ Df \ (1/e, e).

Kako je limx→0+

x lnx = 0, to je limx→0+

f(x) = −∞, pa je y-osa vertikalna asimptota grafika

funkcije f za x → 0+. Prava x = e je tako�e vertikalna asimptota (i za x → e− i zax → e+) jer je lim

x→e−f(x) = +∞ i lim

x→e+f(x) = −∞. Za x → +∞ primenom Lopitalovog

pravila dobijamo

limx→+∞

1 + lnx

x− x lnx= limx→+∞

1/x

1− lnx− 1= limx→+∞

1

x lnx= 0,

xto znaqi da je x-osa horizontalna asimptota grafika funkcije f .

(2) Poxto je

f ′(x) =1− lnx− (1 + lnx)(− lnx)

x2(1− lnx)2=

1 + ln2 x

x2(1− lnx)2> 0, x ∈ Df ,

funkcija f je rastu�a na intervalima (0, e) i (e,+∞).(3) Diferencira�em prvog izvoda dobijamo

f ′′(x) =

[

1 + ln2 x

x2(1− lnx)2

]′

=

2 lnx · 1x· x2(1− lnx)2 − (1 + ln2 x)

[

2x(1− lnx)2 + x2 · 2(1− lnx) · −1x

]

x4(1− lnx)4

=2x lnx(1− lnx)2 − 2x(1− lnx)(1 + ln2)(1− lnx− 1)

x3(1− lnx)4

=2 lnx(ln2 x− lnx+ 2)

x3(1− lnx)3.

Kako je ln2 x − lnx + 2 > 0 i x > 0 za x ∈ Df , znak drugog izvoda funkcije f isti je kao i

znak koliqnikalnx

1− lnx.

Prema tome, na intervalima (0, 1/e) i (e,+∞) funkcija je konkavna, a na intervalu(1/e, e) funkcija je konveksna. Grafik date funkcije ima samo jednu prevojnu taqku P (1, 1).

0 1 2 3 4 5 6

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

−(log(x) + 1)/(x (log(x) − 1))

P(1,1)

Na slici je data skica grafika funkcije f .

Dragan �ori�

Презиме Име Бр. Инд. 1. зад 2. зад 3. зад II колЂурђић Милена 128/13 4 6 7 17Ђуричић Невена 30/13 4 5 7 16Љубеновић Јелена 6/13 4 6 6 16Ђорђевић Петар 524/13 3 6 5 14Ђумић Тања 95/13 5 5 4 14Стојановић Петар 64/13 3 6 5 14Куљанин Милијана 36/13 5 6 2 13Стојановић Јелена 742/13 3 6 4 13Турковић Ирена 574/13 4 5 4 13Димитријевић Марко 125/13 5 5 2 12Маринковић Снежана 703/13 4 6 2 12Ракић Иван 183/13 5 4 3 12Савић Младен 43/13 3 1 8 12Џамбасовић Никола 159/13 4 6 2 12Живојиновић Лазар 601/13 4 6 1 11Милошевић Давид 689/13 3 6 2 11Тошев Сања 149/13 5 1 5 11Ђуричић Стефан 569/13 3 5 2 10Живановић Бојана 539/13 3 5 2 10Монтенегро Мариа Алессандра 538/13 3 1 6 10Ћериман Зорана 256/13 3 4 3 10Максимовић Василије 647/13 6 2 1 9Ранђеловић Ана 81/13 5 2 2 9Камберовић Филип 16/13 3 3 2 8Крстић Анђела 355/13 3 5 0 8Шљукић Исидора 743/13 4 2 2 8Јованчевић Александра 827/13 3 1 3 7Симић Александар 705/13 2 3 2 7Стојановић Петар 543/13 4 1 2 7Хоћанин Амра 174/13 4 1 2 7Девић Александар 612/13 4 1 1 6Димитријевић Филип 709/13 3 1 2 6Милошевић Жељана 24/13 4 2 0 6Михајловић Маја 643/13 4 1 1 6Рајачић Михаило 80/13 3 0 3 6Ћосић Стефан 234/13 5 1 0 6Доведан Милош 810/13 2 0 3 5Ђорђевић Христина 817/13 4 1 0 5Живковић Младен 629/07 3 1 1 5Лучић Данило 373/13 2 1 2 5Михајловић Јована 162/13 2 1 2 5Недељковић Лазар 84/13 2 1 2 5Рамљак Стефан 592/13 0 1 4 5Стојковић Анђела 526/13 3 1 1 5

Р Е З У Л Т А ТИ

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Томић Никола 747/13 4 0 1 5Алексић Бошко 147/11 2 1 1 4Дејановић Јована 299/11 2 2 0 4Марјановић Сара 172/13 3 0 1 4Ровинац Дамјан 521/13 0 0 4 4Филиповић Филип 707/13 0 2 2 4Алексић Филип 884/12 2 1 0 3Ђокић Невена 614/13 0 1 2 3Турнић Тијана 545/13 0 2 1 3Гордић Невена 208/12 1 1 0 2Димитријевић Марија 479/13 0 1 1 2Ђурић Весна 216/11 0 0 1 1Лукић Бранко 266/13 1 0 0 1Малетковић Марија 359/12 0 0 1 1

1.зад 2. зад 3. зад II кол

Радове прегледао: Проф Драган Ђорић

Увид у радове: 18.1.2014 од 9:30 до 10:30, каб.317

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)