matematik Öğretmeni adaylarının ardıık tek sayıların

Turkish Journal of Computer and Mathematics Education Vol.6 No.3 (2015), 446-462

Matematik Öğretmeni Adaylarının Ardışık Tek Sayıların Toplamının

İspatına Yönelik Model Oluşturma Becerilerinin İncelenmesi1

Gürsel Güler2 ve Ahmet Temizyürek

3

Öz: Bu çalışmada, orta öğretim matematik öğretmeni adaylarının ardışık tek sayıların toplamını veren kuralın

ispatına yönelik model oluşturma becerilerinin araştırılması amaçlanmıştır. Nitel araştırma yaklaşımlarından mevcut durumu yansıtmayı amaçlayan durum çalışması yönteminin esas alındığı çalışmanın verileri sınıf

ortamında gerçekleştirilen odak grup görüşmesi yardımıyla toplanmıştır. Çalışma pedagojik formasyon eğitimi

programına devam eden yirmi matematik öğretmeni adayı ile yürütülmüştür. Gönüllük esasına göre seçilen yirmi

öğretmen adayı ile yapılan odak grup görüşmesi kaydedilmiş ve daha sonra yazıya dökülerek betimsel olarak

analiz edilmiştir. Araştırmada elde edilen sonuçlara göre öğretmen adaylarının ardışık tek sayıların toplamını

veren kuralın ispatında sözel, cebirsel ve şekilsel olmak üzere üç farklı model türü kullandıkları ve bu modeller doğrultusunda altı farklı ispat oluşturdukları görülmüştür.

Anahtar Kelimeler: Matematik öğretmeni adayı, ispat, ardışık sayılar, model

DOI: 10.16949/turcomat.63535

Abstract: This study aims to look into secondary education prospective mathematics teachers’ model creation

skills regarding proof of the rule providing the sum of successive odd numbers. The study takes case study method, a qualitative research approach, as the basis to reflect the current situation, and focus group discussions

were held in classroom environment to collect data. The study was conducted on twenty prospective math

teachers studying pedagogical formation. Focus group discussions held with twenty prospective teachers selected on voluntary basis voluntarily were recorded, put on paper and analyzed descriptively. According to the

results derived from the study, it is observed that the prospective teachers used verbal, algebraic and formal

models as three model types during the proof of the rule providing the sum of successive odd numbers and created six different proofs along with these models.

Keywords: Prospective mathematics teachers, proof, successive numbers, model

See Extended Abstract

1. Giriş

Matematik eğitiminin en önemli hedeflerinden birisi öğrencilerin öğrenecekleri

kavramlarla ilgili neden, niçin sorularına karşılık olarak mantıklı cevaplar elde etmelerini

sağlayabilmektir. Öğrencilerin kavram oluşturma süreçlerindeki bu sorgulamalar ise

matematiksel ispat ve muhakeme yeteneklerinin gelişimine bağlıdır. Çünkü matematiksel

ispat, matematik eğitiminin merkezinde olup (Almeida, 2003) iletişim kurma, ilişkileri

açığa çıkarma, tahminler yapma, kavramları ilişkilendirme, ifadeleri doğrulama ve yeni

bilgileri genellemeyi içerir (Harel & Sowder, 1998; Schabel, 2005). Bu özelliklerinden

dolayı birçok çalışmada matematik öğretimi için matematiksel ispatın kullanılması

gerektiği (Knuth, 2002) ve ispat kullanımının giderek artan bir öneme sahip olduğu

(Reiss, Heinze & Klieme, 2002) vurgulanmıştır. Ayrıca araştırmacılar tarafından ispatın

1 Bu çalışmanın bir kısmı XI. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresinde bildiri olarak sunulmuştur. 2 Yrd. Doç. Dr., Bozok Üniversitesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi ABD, [email protected] 3 Prof. Dr., Bozok Üniversitesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi ABD, [email protected]

http://doi.org/10.16949/turcomat.63535

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Matematik Öğretmeni Adaylarının Ardışık Tek Sayıların Toplamının İspatına Yönelik Model Oluş…

447

matematik öğretimi açısından anlamı ve fonksiyonları belirlenmiştir. Stylianides ve

Stylianides (2009) ispatı matematik toplulukları tarafından kabul edilebilir, genel, geçerli

ve doğru bir ifade elde etmek olarak nitelendirmektedirler. Weber (2005) ise ispatı, ispatı

yapan kişi tarafından sunulan bazı varsayımlar, aksiyomlar, tanımlar gibi önemli bilgilerin

kullanıldığı matematiksel bir çalışma ve önceki teoremler, kabul edilen gerçekler yoluyla

oluşturulan çıkarımsal kuralların uygulanması ile arzu edilen sonuçların çıkarımıdır

şeklinde tanımlamıştır.

Matematiksel ispat, matematiğin vazgeçilmez bir parçası olarak nitelendirilmesine

rağmen öğretim programlarında ispatın rolü ve önemi üzerinde durulmamış (Reiss,

Heinze & Klieme, 2002) ve matematikçiler açısından genellikle matematiksel ifadelerin

doğrulanması için yeterli kanıtın gösterilmesi olarak algılanmıştır. (Mudaly & De Villiers,

2004). Bu yüzden özellikle ileri seviyedeki matematik derslerinde matematiksel kavramlar

tanıtılmaktadır ve bu kavramlara ait matematiksel önermelerin ispatları üzerine

odaklanılmaktadır (Weber, 2001). Dolayısıyla yapılan araştırmalarda, farklı sınıf

seviyelerinde öğrenim gören öğrencilerin neden ispat yaptıklarını anlamadıkları ve

derslerden geçmek için ezberlenmesi gerektiği algısına sahip oldukları sonuçları ortaya

çıkmaktadır (Güler ve Dikici, 2012; İskenderoğlu, 2010; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve

Yeşildere, 2006). Ancak 2000’li yıllardan itibaren özellikle Amerika Ulusal Matematik

Öğretmenleri Konseyi’nin (NCTM) standartlarına bakıldığında, öğrencilerin zihinsel

gelişimleri için “muhakeme ve ispat” üzerinde önemle durulması gerektiğine vurgu

yapılmaktadır (NCTM, 2000). Bununla birlikte ülkemizde de öğretim programlarının

yeniden yapılandırılması ile birlikte ispatın eğitim-öğretimdeki önemi giderek

artmaktadır. Çünkü ülkemizde öğretim programlarını yeniden yapılandırma çalışmalarının

sonucunda oluşturulan Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programında, Matematiksel

Süreç Becerileri içerisinde matematiksel akıl yürütme ve ispat yapabilme becerilerinin yer

aldığı görülmektedir (MEB, 2013).

Yenilenen Ortaöğretim Matematik Dersi Programı, öğrencilerin matematik öğrenme

süreçlerinde temel matematiksel kavramları kazanmalarından çok daha fazlasını

içermektedir. Bu yüzden matematiksel düşünme, problem çözme, matematiksel akıl

yürütme ve ispat yapma, ilişkilendirme, matematiği bir iletişim dili olarak kullanabilme ve

modelleme becerileri matematik öğrenme ve yapma süreçlerinin temel elemanlarıdır

(MEB, 2013). Bunun yanı sıra ispatın matematik öğretim sürecinin her düzeyine

yayılması gerektiği ve okullardaki matematik etkinliklerinin bir parçası olarak problem

çözme ve ispat uygulamalarına yer verilmesine vurgu yapılmaktadır (NCTM, 2000).

Öğrencilerin problem çözme yeteneklerinin gelişmesi için ise öğretim programlarında

matematiksel ispatın bir araç olarak kullanılması gerektiği vurgulanmaktadır (Knuth,

2002). Çünkü ispat öğrencilerin matematiksel kavramları nedenleri ile öğrenmelerine

yardımcı olacak üst biliş faaliyetleri içermektedir. Bu bağlamda öğretim programları

içerisinde yer alan beceriler ve standartlar arasındaki ilişkileri oluşturmak önem

kazanmaktadır.

Öğrencilerin matematiksel problem çözme ve ispat yapma yaklaşımları arasındaki

ilişki yapılan çalışmalarla ortaya konulmuş (Tall, 1991; Weber, 2005) ve matematiksel

G. Güler, A. Temizyürek

448

ispat ile problem çözme arasında yakın bir ilişki olduğu görülmüştür (Weber, 2004).

Matematik araştırmacıları için ispat yapma hipotezlerin formüle edildiği, test edildiği

karmaşık ve sistemli bir problem çözme aktivitesidir (Shipley, 1999). Rutin olmayan

problemlerin çözümleri bir ilişki, düzen veya örüntünün açıklanmasını gerektirdiğinden

öğrencilerde olayları inceleme, ilişki, düzen veya örüntü arama eğilimini arttırır, ispat

fikrini geliştirir (Altun, 2005). Ancak matematiksel modelleme ile matematiksel ispat

arasında sınırlı bir ilişki kurulabilmektedir. Çünkü gerçek yaşam problemlerinin

matematiksel modellenmesi ile ispat yapma arasında sınırlı bir ilişki vardır (Mudaly & De

Villiers, 2004). Bununla birlikte matematik öğrenme ve öğretmede modelleme yaklaşımı,

bir probleme çözüm bulunmasından çok, genellenebilir ve yeniden kullanılabilir bir

ilişkiler sistemi oluşturmaktadır (Doerr & English, 2003). Bu yaklaşımda daha çok örüntü

ve ilişkileri keşfedecek modellerin geliştirilmesi ve bunların başka problemlerin

çözümünde de kullanılabilmesi amaçlanmaktadır (Olkun, Şahin, Akkurt, Dikkartın ve

Gülbağcı, 2009). Dolayısıyla gerçek yaşam problemlerinin çözümü ile ispat arasındaki

ilişkiyi kurmak zor görünmesine rağmen ispat yapma süreci içerisinde gerçek yaşam

problemlerinin çözümünün değeri hafife alınmayacak kadar açıktır (Hodgson & Riley,

2001). Bu yüzden matematiksel ispat ile modelleme arasında da bir ilişki kurulabilir

(Mudaly & De Villiers, 2004). Aslında hem modelleme hem de ispat yapma süreçleri

arasında birbirini tamamlayıcı bir ilişki vardır (Hanna & Jahnke, 2004; Hodgson & Riley,

2001; Mudaly & De Villiers, 2004). Çünkü öğrenciler ispat ve modelleme süreçlerinde

benzer döngüsel aktiviteler gerçekleştirmektedirler (Hanna & Jahnke, 2004). Dolayısıyla

modelleme süreci sonunda oluşturulan görsel temsil ve modellerin ispatlarda yol gösterici

olduğu ve öğrencilerin ispat yeteneklerini geliştirdiği görülmektedir (Gabriel Stylianides,

2007). Bununla birlikte matematik öğretiminde kullanılan görsel temsil ve modellerin

ispat oluşturmaya potansiyel katkıları yapılan çalışmalarla (Davis, 1993; Hanna & Sidoli,

2007) ortaya çıkarılmasına rağmen özellikle başarılı görsel temsil ve modellerle

oluşturulabilen ispatlar sınırlıdır. Bu yüzden araştırmacıların bir kısmı bu tip ispatların

yapılan ispatları daha ileri seviyelere taşıyabileceğini, diğer bir kısmı ise formel bir ispatın

yerini tutamayacağını savunmaktadır (Hanna & Sidoli, 2007).

Matematik derslerinde bir kavramın, bir teoremin veya bir ifadenin öğrencilere

doğrudan verilmesi bu kavramların, teoremlerin veya ifadelerin öğrenilmesini ve

içselleştirilmesini zorlaştırmaktadır (Çiltaş ve Yılmaz, 2013). Bu yüzden öğrencilerin

ispatları anlamlı bir şekilde öğrenebilmeleri için matematiksel modellerden

yararlanmalarının faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu konuda Ortaöğretim Matematik

Dersi Programında tümevarım ile ilgili olarak ardışık sayıların öğretiminde kullanılması

önerilen etkinlik örnekleri bulunmaktadır. Bu etkinliklerde ardışık sayıların toplamını

veren kuralların modeller yardımıyla öğretilmesi üzerinde durulmakta ve örnek modeller

tanıtılmaktadır (MEB, 2011). Bu bağlamda yakın gelecekte sınıf içi etkinliklere yön

verecek öğretmen adaylarının öğretim programının işaret ettiği örnek modelleri ve farklı

modelleri kullanarak ispat yapabilme becerilerinin belirlenmesinin önemli olduğu

düşünülmektedir. Çünkü yapılan araştırmalar, öğretmenlerin öğrencilerine ispat becerisi


449

kazandırma süreçlerinde, ispata ilişkin algı ve deneyimlerinin etkili olduğunu

göstermektedir (Almeida, 2000; Furinghetti & Morselli, 2009). Bu yüzden çalışmada,

ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarına ardışık sayıların toplamını veren kuralın

modellerle ispatları tanıtılmış ve adayların ardışık tek sayıların toplamını veren kuralın

ispatına yönelik model oluşturma becerilerinin araştırılması amaçlanmıştır.

2. Yöntem

Bu araştırma orta öğretim matematik öğretmeni adaylarının ardışık tek sayıların toplamını

veren kuralın ispatına yönelik model oluşturma becerilerinin incelenmesi ve eğer varsa bu

süreçte ortaya çıkan güçlüklerin belirlenerek nedenlerinin ortaya konulması amacıyla

yapılan nitel bir araştırmadır. Araştırmada desen olarak bir grup veya olayı derinlemesine

inceleme imkanı sunan bütüncül tek durum çalışması kullanılmıştır. Çünkü durum

çalışmalarında, araştırılan durum hakkında zengin bir şekilde açıklayıcı bilgiler sunmak

için derin ve çeşitli bilgi kaynaklarından beslenerek katılımcıların açıklamaları,

görüşmeler ve diğer veri kaynaklarından elde edilen bilgiler birleştirilip çalışılan durum

hakkında karar verilir (Kaleli-Yılmaz, 2014).

2.1. Katılımcılar

Araştırma Karadeniz bölgesinde bulunan bir üniversitenin pedagojik formasyon

eğitimi sertifika programına devam eden öğretmen adaylarından, 2013-2014 eğitim-

öğretim yılı güz döneminde Özel Öğretim Yöntemleri dersini alan 52 öğrenciyi

kapsamaktadır. Bu ders kapsamında öğretmen adayları matematik özel öğretim

yöntemleri, bu yöntemlere yönelik etkinlik örnekleri, Ortaöğretim Matematik Dersi

Programı ve programda yer alan beş temel becerinin incelenmesi ve geliştirilmesi

üzerinde bireysel ve grup çalışmaları yapmışlardır. Bu süreçte özellikle modelleme ve

ispat becerileri üzerine odaklanılarak bu becerilerin geliştirilmesi ve aralarında bir ilişki

kurulabilmesi için etkinlikler yapılmıştır. Bu etkinlikler içerisinde ardışık sayıların

toplamını veren kuralın ispatı için modeller oluşturulması da yer almaktadır. Bunun için

ardışık sayıların toplamını ve günlük yaşam durumlarını içeren “Abaküs Problemi”

araştırmacılar tarafından oluşturularak ispatında kullanılabilecek modeller öğretmen

adaylarına tanıtılmıştır. Aşağıda “Abaküs Problemi” için öğretmen adaylarına gösterilen

şekilsel ve cebirsel modellerden örnekler sunulmuştur.

Model 1 (Gauss Yöntemi): Cebirsel olarak sunulan model örneği;

𝟏+𝟐+𝟑+𝟒+⋯+𝒏 𝒏+(𝒏−𝟏)+⋯+𝟏)

(𝒏+𝟏)+(𝒏+𝟏)+⋯+(𝒏+𝟏)} = 𝒏. (𝒏 + 𝟏) olur. Burada elde edilen sonuç aynı toplamın iki

defa yazılması sonucu elde edildiğine göre; 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ + 𝒏 =𝒏.(𝒏+𝟏)

𝟐 olur.

Model 2: Ardışık sayıların toplamı için şekilsel olarak sunulan bu modelde dikdörtgen

ve alan modellerinden yararlanılmıştır.


450

Şekil 1. Abaküs probleminin çözümüne yönelik şekilsel model örneği (Nelsen, 1993)

Araştırmanın verileri, 52 öğretmen adayı içerisinden gönüllülük esasına göre

belirlenen 20 adayın katıldığı odak grup görüşmesi ile elde edilmiştir. Odak grup

görüşmesine katılan öğretmen adaylarının 12’si kadın, 8’i ise erkektir. Ayrıca araştırmaya

katılan öğretmen adaylarına yapılan çalışma hakkında bilgi verilerek gerçek isimlerinin

gizli tutulacağı belirtilmiştir. Araştırmaya katılan adaylara, öğretmen adayını simgeleyen

ÖA1, ÖA2,…, ÖA20 şeklinde kodlar verilmiştir.

2.2. Veri Toplama ve Analizi

Araştırmanın verileri Özel Öğretim Yöntemleri dersinin son haftası sınıf ortamında

gerçekleştirilen odak grup görüşmesi sonucunda elde edilmiştir. Odak grup görüşmesinde

öğretmen adaylarına ardışık sayılar için oluşturulan “Abaküs Problemi” nin ardışık tek

sayılar için revize edilen şekli sunulmuştur. Adaylardan bu problemde yer alan ardışık tek

sayıların toplamını veren kuralın modeller yardımıyla ispatlarını oluşturmaları ve

paylaşmaları istenmiştir. Öğretmen adaylarının problemi net bir şekilde görebilmeleri için

odak grup görüşmesi süresince “Abaküs Problemi” projeksiyon cihazı ile yansıtılmıştır.

Problemin çözümüne yönelik adaylar tarafından bireysel olarak oluşturulan model ve

ispatlar tahtaya yazılarak araştırmaya katılan her bir adayın fikirleri alınmaya çalışılmıştır.

Bu sayede adayların oluşturdukları her model ve ispatın tartışılarak doğruluklarına diğer

adayların ikna edilmesi için argümanlar üretilmesi sağlanmıştır. Bununla birlikte her aday

problem için kendilerine dağıtılan kağıtlar üzerinde de çalışmışlardır. Veri toplama

amacıyla kullanılan problem aşağıda sunulmuştur.

Aşağıda, yeterince uzun beş çubuktan oluşan bir abaküs örneği verilmiştir. Abaküste;

sırasıyla I. çubukta 1 adet, II. çubukta 2 adet ve benzer biçimde diğer çubuklara da

numarası kadar boncuk takılıyor. Buna göre 50. çubuğa gelindiğinde toplam kaç tane

boncuk kullanılması gerekir?


451

Şekil 2. Abaküs problemi

Odak grup çalışmasındaki amaç, bireysel görüşmelerde akla gelmeyecek bazı

konuların grup görüşmelerinde diğer bireylerin açıklamaları çerçevesinde akla gelebilmesi

ve ek yorumların oluşturulabilmesidir (Eraslan, 2012). Öğretmen adayları ile

gerçekleştirilen odak grup görüşmesi 50 dakika sürmüştür. Görüşmenin tamamı kamera

ile kayıt altına alınmıştır. Daha sonra elde edilen veriler çözümlenmiş ve adaylar

tarafından oluşturulan yazılı dökümanlarla birlikte nitel betimsel analiz tekniği

kullanılarak analiz edilmiştir. Analiz sürecinde iki farklı araştırmacı eş zamanlı ve

birbirinden bağımsız olarak öğretmen adaylarının yanıtlarını incelemişlerdir. Öğretmen

adaylarının oluşturdukları 6 modelin geçerliliği üzerinde araştırmacılar fikir birliğine

varmışlardır. Verilerin tutarlılığını artırmak için ise analiz sürecinde adaylar tarafından

oluşturulan modeller ve ortaya çıkan söylemler doğrudan alıntılar kullanılarak

sunulmuştur.

3. Bulgular

Çalışmanın bu kısmında odak grup görüşmesi sonucunda öğretmen adayları tarafından

oluşturulan sözel, cebirsel ve şekilsel model türleri içerisinde yer alan 6 farklı durum ve

bu süreçte ortaya çıkan söylemler meydana geldiği sırada sunulmuştur.

3.1. Model Oluşturma Süreçleri

Öğretmen adayları ardışık tek sayıların toplamını veren kuralın ispatında ilk olarak

kare ve alan modellerinden yararlanarak şekilsel bir model oluşturmuşlardır. ÖA1 ardışık

tek sayılar için I. adımda bir, ikinci adımda üç ve daha sonrada beş kareyi birbiri etrafında

çizerek yine bir kare elde edilebileceğini ve bu son elde edilen karenin alanının ardışık tek

sayıların toplamına eşit olacağını belirtmiştir. Aşağıda ÖA1 tarafından oluşturulan model

ve diğer öğretmen adaylarının bu süreçteki söylemleri sunulmuştur.

ÖA1: Şu şekilde olabilir… Bir tane kare çizebiliriz, onun etrafına 3 tane kare çizebiliriz, daha

sonra onunda etrafına 5 tane kare çizebiliriz… Bu şekilde devam edildiğinde 𝑛2 gelmez mi

acaba…

Mülakatçı: Arkadaşınızın fikri için ne diyorsunuz? Bu fikir geçerli bir model oluşturabilir mi?

Tartışalım…

ÖA3: Ben tam olarak anlayamadım arkadaşımızın fikrini…

ÖA4: Söylediklerinizi çizebilir misiniz? O şekilde ne söylediğini daha net görebiliriz…


452

ÖA1: Evet çizebilirim… [ÖA1 arkadaşlarına ifade ettiği geometrik modeli çiziyor]

Şekil 3. ÖA1 tarafından oluşturulan model

ÖA4: İçten dışa doğru 1, 2, 3,…, diye sıralandığı için bir kare oluyor evet…

ÖA3: Evet demek ki bu yol doğru olur… Her biri için doğru oluyor…

ÖA2: Bence tahta da göstermek daha mantıklı olabilir… Bu şekilde daha net görebiliriz…

Mülakatçı: Tamam o şekilde yapalım… Fikri olan arkadaşımız tahtada izah etsin, üzerine

tartışalım…

ÖA1: 𝑛 = 1 için 1 tane, 𝑛 = 2 için 3 tane, 𝑛 = 3 için 5 tane ve 𝑛 = 4 için 7 kare birbiri

etrafına çizilerek büyük bir kare elde edilebilir. Buradan da 𝑛 = 4 olduğu için kenar

uzunluğu 4 olur. Buradan da küçük karelerin sayısı 𝑛2 = 42 = 16 elde edilir…

ÖA4: Evet bu şekilde çok güzel görülüyor ispat…

Öğretmen adaylarının oluşturdukları ikinci ispat modeli ise; özel öğretim yöntemleri

dersinde birinci yazar tarafından ardışık sayıların toplamı için gösterilen ve Gauss

Yöntemi olarak isimlendirilen ispatın ardışık tek sayıların toplamı için uygulanmış

şeklidir. Bu modelde adaylar hem sözel hem de cebirsel modeller kullanmışlardır. Bu

model ÖA5 tarafından oluşturulmuştur ve diğer öğretmen adaylarının tamamı ispatın

doğruluğu noktasında birleşmişlerdir.

ÖA5: Toplamı tersten yazabiliriz, yani Gauss yöntemi olabilir…

Mülakatçı: Bakalım… Söylediklerinizi tahtada yazabilir misiniz?

ÖA5: Şöyle…

1+3+5+⋯+(2𝑛−1)

(2𝑛−1)+(2𝑛−3)+(2𝑛−5)+⋯+1

2𝑛+2𝑛+2𝑛+⋯+2𝑛=𝑛.2𝑛 olur. Bu ifade elde etmek istediğimiz toplamın iki

katı olduğu için 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) =𝑛.2𝑛

2= 𝑛2 olur.

Mülakatçı: Evet arkadaşlar yapılan ispatta bir hata var mı?

Adayların tamamı: Yok… Doğru…


453

Üçüncü model örneği ÖA6 tarafından ortaya atılmıştır. ÖA6 ardışık tek sayılar dizisi

içerisinde yer alan terimlerin karşılıklarını kareler yardımıyla modellemiştir. Öğretmen

adayı bu modelde ilk olarak sözel devamında ise şekilsel bir model oluşturmuştur. Fakat

oluşturduğu modelin sadece terimlerin karşılığı için geçerli olduğu ve terimlerin toplamını

vermediği diğer adaylar tarafından fark edilmiştir. Öğretmen adaylarının katkılarıyla

birinci modelin bir benzeri oluşturulmuştur. Sonuçta ulaşılan model ilk modelle benzerlik

göstermesine rağmen modellerin oluşturulma süreçlerinin oldukça farklı olduğu

görülmüştür.

ÖA6: Bence burada alt alta 1, 3, 5… şeklinde kareler çizilerek yapılabilir… [Tahtada

çiziyor]… Bu şekilde kareleri çizdiğimizde toplam 𝑛2 tane karemiz olur. Burada 𝑛 tane satır

elde ettiğimizde toplamı elde ederiz.

ÖA3: Bir dakika nasıl 𝑛 tane olursa 𝑛2 oluyor…

ÖA1: Burada bir kare elde edemedik ki neden toplam 𝑛2 olsun…

ÖA6: Ardışık tek sayıların toplamı… Birinci satırda 1 tane, ikinci satırda 3 tane, üçüncü

satırda 5 tane… Bu şekilde devam eder ve sonuçta da toplam 𝑛2 olur…

ÖA5: Burada 𝑛2 nereden geldi, onu anlayamadım…

ÖA7: Evet arkadaşımızın yaptığından görülüyor… Birinci adımda 1, ikinci adımda 4,

üçüncü adımda 9… Bu şekilde terim sayısının karesi olduğu görülüyor… Yani karelerin

sayılarını topladığımızda terim sayısının karesiyle aynı oluyor.

ÖA4: Ama bence arkadaşımızın yaptığı çok net bir model değil… Bence bu gösterim ardışık

tek sayıların toplamının 𝑛2 olduğunu bildiğimiz için doğru gibi görünüyor. Bu şekilde net

değil…

ÖA1: Şöyle bir şey yapılabilir… Arkadaşımızın yaptığı modeli tam ortadan dikey olarak

ikiye bölsek ve bunu tam simetrik olarak katladığımızda 𝑛2 yi elde edebiliriz. Bu şekilde de

ilk yaptığımız ispata benzeyeceği için toplamın 𝑛2 olduğu görülür.

Mülakatçı: Bu söylediklerimizi gösterebilir miyiz?

ÖA1: [Söylediği ifadeleri tahtada çizerek gösteriyor]… Bu şekilde ikiye böldüğümüzde ve

uygun şekilde katladığımızda bir kare elde edeceğimiz için yine toplam formülünü elde

ederiz…

Şekil 4. ÖA6 tarafından oluşturulan modelin son şekli


454

ÖA4: Katladığımızda bir kare olmaz… Ama o parçayı çıkarıp eksik kısma uygun bir biçimde

yerleştirirsek kare olur…

ÖA1: Evet parçaları uygun bir şekilde birbiri üzerine yerleştirdiğimizde ilk oluşturduğumuz

şekil oluşuyor.

ÖA5: Bana göre çok net değil ama zorladığımızda bir model çıkıyor…

Araştırmada ortaya çıkan dördüncü ispat modeli ÖA8 tarafından cebirsel olarak

oluşturulmuştur. Öğretmen adayının bu modelde önceki bilgilerinden hareketle farklı iki

ardışık sayı dizisi kullanarak ardışık tek sayıların toplamına ulaştığı görülmektedir. ÖA8

oluşturduğu modelin geçerliliğine diğer adayları ikna etmekte zorlanmasına rağmen

yaptığı açıklamalar sonucunda ispatının kabul edildiği görülmüştür.

ÖA8: Ben ardışık tek sayıları parçalayıp sonra da ardışık sayıların toplam kuralını

kullanarak ispatı oluşturdum. [Tahtaya ifadelerini yazıyor]…

1+2+3+4+⋯+𝑛 0+1+2+3…+(𝑛−1)

1+3+5+7+⋯+(2𝑛−1) … Şimdi

ilk iki satırı ayrı ayrı ispat edip topladığımda 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 olması

gerekiyor. Ardışık sayıların toplamının kuralını zaten biliyoruz… Yani birinci ifade 𝑛.(𝑛+1)

2

dir ve ikinci ifade de yine 𝑛.(𝑛−1)

2 olur. Bu iki ifadeyi topladığımızda…

𝑛.(𝑛+1)

2+

𝑛.(𝑛−1)

2=

𝑛

2(𝑛 + 1 + 𝑛 − 1) =

𝑛.2𝑛

2= 𝑛2 olur.

ÖA6: Önceki ispatları içeriyor ama bana göre doğru…

ÖA5: Neden 0’dan başladığımızı anlamadım ben…

ÖA8: Ben burada ardışık sayılardan yararlandım ve iki ardışık sayı toplamının ardışık tek

sayıları vermesi için de bir basamak kaydırmam gerekiyordu. Aslında ben orada 0

kullanmadım sadece alt alta bir sütun kaydırarak topladım. Net olarak gösterebilmek içinde

0 ile başladım… Yazmasak da olur aslında…

ÖA3: Doğru evet olabilir…

ÖA5: Benim şurada kafam karıştı… İlk toplamın formülü tamam ama ikinci (𝑛−1).(𝑛−2)

2

olması gerekmez mi?

Diğer Adaylar: Yok hayır…

ÖA8: Son terim (𝑛 − 1) ve kuralda 1 fazlası alındığında… 𝑛.(𝑛−1)

2 olur…

ÖA5: Tamam şimdi… O zaman doğrudur… Toplam yine değişmez… Satır kaydırsak da

sonuç değişmez…

Öğretmen adaylarının oluşturdukları beşinci ispat modeli toplam notasyonu ve ardışık

sayıların toplamı üzerine cebirsel olarak kurulmuştur. ÖA7 tarafından oluşturulan

modelde toplam sembolünün özellikleri ve ön bilgiler kullanılmıştır. Bu yüzden diğer

adayları ikna etmekte zorlanmadığı söylenebilir.


455

ÖA7: Toplam sembolünü kullanarak bir ispat yapılabilir… ∑ (2𝑛 − 1) = 1 + 3 + 5 +𝑘𝑛=1

⋯ + (2𝑘 − 1) şeklinde modelini yazabiliriz. Şimdi ben bu toplamı ayrı ayrı yazarsam…

∑ 2𝑛𝑘𝑛=1 − ∑ 1𝑘

𝑛=1 şeklinde yazabilirim… Buradan 2 ∑ 𝑛𝑘𝑛=1 − ∑ 1𝑘

𝑛=1 olur. Buradaki ilk

toplam 1 den 𝑛 ye kadar olan sayıların toplamıdır. Yani, ardışık sayıların toplamını veren

kurala göre ilk ifade, 2.𝑘.(𝑘+1)

2= 𝑘. (𝑘 + 1) olur. İkinci ifade de değişkenim 𝑛 olduğuna

göre 𝑘 ya kadar değer alabileceğine göre, ∑ 1𝑘𝑛=1 = 𝑘. 1 = 𝑘 olur. Dolayısıyla toplam,

𝑘(𝑘 + 1) − 𝑘 = 𝑘2 + 𝑘 − 𝑘 = 𝑘2 olur.

ÖA1: Mantıklı, olabilir…

ÖA3: Ama tabi burada ardışık sayıların toplamını biliyor olmamız gerekir…

ÖA7: Evet onu da biliyor olmamız gerekli…

ÖA2: Tümevarım mantığıyla doğru orantılı, elbette doğru…

Öğretmen adaylarının geliştirdikleri son ispat modeli ise yine ÖA1 tarafından şekilsel

olarak oluşturulmuştur. ÖA1 bu modelde ardışık tek sayılar için üçgen ve toplam için ise

alan modellerinden yararlanmıştır. Öğretmen adaylarının bu modelin oluşumu sürecindeki

söylemleri ve ortaya çıkan model aşağıda sunulmuştur.

ÖA1: Ben bir de üçgenler yardımıyla bir geometrik model oluşturdum…

Mülakatçı: Hep beraber bakalım lütfen…

ÖA1: Alanı 1 birim kare olan bir ikizkenar dik üçgen alalım… Daha sonra ikizkenarları

kenar kabul eden bir kare ve yine aynı ikizkenar üçgeni bu üçgenin altına çizelim… Yani 3

tane aynı üçgenden elde ederiz… Daha sonra iki kare ve yine aynı üçgeni alta çizdiğimizde

beş tane aynı üçgenden elde edilir… Bu şekilde devam edilirse, 1, 3, 5,…, şeklinde tek

sayılar elde edilir. Şimdi bunların toplamını bulmak için alanları toplamamız yeterli

olacaktır. Yani, 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) ifadesinde 𝑛 terim olacağı için 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2

olduğu görülür…

Şekil 5. ÖA1 tarafından oluşturulan model

ÖA2: Mantıklı görünüyor…

ÖA7: Bir birim kabul etmeseydik olmayacaktı ama…


456

ÖA1: Burada 1 br2 almamızın sebebi 1+3+5… şeklindeki toplamı bulmak için farklı kabul

etsek örneğin 2 olsa 2 katı olan toplam elde edilir… Dolayısıyla toplamdaki sayılar

değişir…

ÖA3: Evet farklı bir toplam olur…

ÖA7: Tamam şimdi oldu, anladım…

ÖA6: Mantıklı evet doğru, kullanılabilir…

ÖA4: Çok farklı ve ilginç görünüyor…

4. Sonuç ve Öneriler

Araştırma, matematiksel ispat ve model oluşturma becerisi arasında bir ilişki

kurulabilmesi amacıyla gerçekleştirilmiştir ve sonuçta adayların ardışık tek sayıların

toplamını veren kuralın ispatında sözel, cebirsel ve şekilsel modeller ürettikleri

gözlenmiştir. Araştırma bulgularına göre, öğretmen adaylarının ardışık tek sayıların

toplamına yönelik 6 farklı model oluşturdukları görülmüştür. Adayların bu süreçte daha

çok cebirsel ve şekilsel modeller oluşturdukları gözlenmiştir. Oluşturulan sözel modellerin

ise hem cebirsel hem de şekilsel modellere ulaşmakta yol gösterici olduğu söylenebilir.

Çünkü adaylar cebirsel ve şekilsel modelleri sözel modeller üzerine kurgulamışlardır.

Adayların model oluşturma süreçlerinde ön bilgilerinin (ardışık sayıların toplamını veren

kural) etkili olduğu ve özellikle geometrik modellerin kullanıldığı ispatlarda diğer adayları

ikna etmekte cebirsel ispatlara oranla daha fazla zorlandıkları gözlenmiştir. Dolayısıyla bu

sonuç adayların modellerini kuracakları varsayımı belirleme ve aktarma noktasında

güçlük yaşamaktadır (Blum & Leib, 2007) sonuçlarını desteklemektedir. Bununla birlikte

geometrik model kullanılarak yapılan ispatlarda adayların kullandıkları modellerin

geçerlilikleri noktasında daha fazla argüman kullanmaları muhakeme yeteneğinin gelişimi

açısından önemlidir. Çünkü teoremler ispatlanırken kişilerin informal bilgilerinden yola

çıkılarak formal bilgilere ulaşmalarının sağlanması daha anlamlı, kalıcı ve etkili

öğrenmeyi sağlamaktadır (Raman, 2003). Ayrıca ispatlarda değişik materyal ve

modellerin kullanılmasının öğrencilerin ispat kapasitelerini arttırmakta etkili olduğu

belirlenmiştir (Andreas Stylianides, 2007).

Öğretmen adaylarının araştırmada kullanılan abaküs probleminin ispatı için birçok

fikir ortaya attıkları ve çeşitli varsayımlar üzerinden ispatlarını test etme fırsatı

yakalayabildikleri görülmektedir. Dolayısıyla araştırma sonuçları, uygun etkinlikler

kullanıldığında öğretmen adaylarının modeller yardımıyla ispat yapmakta başarılı

olabileceklerini ve bu sayede matematiksel muhakeme yeteneklerine katkı

sağlanabileceğini ortaya koymaktadır. Araştırmada elde edilen bu sonuç alan yazında yer

alan ve ispat yapma becerisinin gelişimi için model kullanımını öneren (Çiltaş ve Yılmaz,

2013) çalışmanın sonuçlarıyla tutarlıdır. Bununla birlikte matematiksel ispatlarda model

kullanımının ispata yönelik tutumu olumlu yönde etkilediği yapılan araştırmalarla

(Ünveren, 2010) ortaya konulmuştur. Bu yüzden öğretmen adaylarının matematiksel

ispata yönelik olumsuz tutumlarının (Almeida, 2000; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve


457

Yeşildere, 2006) değiştirilebilmesi için ispatlarda model kullanımının desteklenmesi

önerilebilir. Çünkü öğretmen adaylarının matematiksel ispata yönelik algılarının ispatı

ileriki dönemlerde derslerinde kullanım sıklığını etkilediği yapılan araştırmalarla

(Almeida, 2000; Furinghetti & Morselli, 2009) gösterilmiştir. Benzer şekilde

matematiksel ispatta kullanılan modellerin verilen bir ifadenin içselleştirilmesinde önemli

bir rol üstlendiği, öğretmen adayının zihninde oluşturulacak bir zihinsel model ile ispat

yapmaya olan tutumu değiştirmeğe olanak sağlayabilir (Çiltaş ve Yılmaz, 2013).

Bu araştırmanın bulguları ardışık tek sayıların toplamını veren kuralın ispatının

modeller yardımıyla yapılmasıyla sınırlıdır. Dolayısıyla Hanna ve Sidoli’ nin (2007) de

belirttiği gibi matematik ve matematik eğitimi görsel temsillerin potansiyel rollerinden ve

özellikle de ispata yönelik rollerinden hala oldukça uzakta bulunmaktadır. Bu yüzden

öğretmen adaylarının farklı ispat yöntemlerine yönelik model oluşturma süreçlerinin

incelenmesi önerilebilir. Ayrıca benzer etkinliklerle öğretmen adaylarının farklı bakış

açıları geliştirmeleri ve bunları ileride öğrencilerine yansıtabilmeleri sağlanabilir.


458

An Investigation of Model Creation Skills to Proof of Prospective

Mathematics Teachers about the Sum of Successive Odd Numbers

Extended Abstract

One of the most important objectives of mathematics education is enabling students to

provide rational answers to “why“ questions about concepts they will learn. These inquiries

of students in the conceptualization process depends on their mathematical proof and

reasoning abilities. Because, mathematical proof lies at the heart of mathematical education

(Almeida, 2003), and covers communication, exposing relations, making predictions,

connecting concepts, affirming expressions and generalizing new knowledge (Harel &

Sowder, 1998; Schabel, 2005). Due to these qualities, many studies emphasize that

mathematical proof is required in mathematical education (Knuth, 2002) and there is an

increasing need for mathematical proof (Reiss, Heinze & Kleieme, 2002). Moreover, the

renewed secondary education mathematics curriculum covers more than providing students

with basic mathematical concepts in their mathematical education process. For this reason,

mathematical thinking, problem solving, mathematical reasoning and proof, connection,

using mathematics as a communicative language and modelling skills are the basic

components of mathematics learning and teaching (MEB, 2013). Various studies revealed

the relation between mathematical problem solving and proof approaches of students (Tall,

1991; Weber, 2005) and a close relation was found between mathematical proof and

problem solving (Weber, 2004). However, there is only limited relation between

mathematical modeling and mathematical proof. Because, there is a limited relation

between mathematical modeling of real-life problems and proof (Mudaly & De Villiers,

2004). Modeling approach in mathematics learning and teaching creates a generalizable and

re-usable system of relations rather than finding a solution to a problem (Doerr & English,

2003) and this approach aims to develop models to discover patterns and relations and use

these models in solving other problems (Olkun et al., 2009). Therefore, though it is

seemingly hard to establish relationship between solution of real-world problems and proof,

the value of solving real-life problems in proof process cannot be underestimated (Hodgson

& Riley, 2001). Hence, we can establish a relationship between mathematical proof and

modeling (Mudaly & De Villiers, 2004). For this purpose, secondary education prospective

math teachers were introduced the rule providing the sum of successive odd numbers with

model proofs, and the study aims to look into model creation skills regarding proof the rule

providing the sum of successive odd numbers.

Case study, which allows us make an in-depth analysis of a group or an event, is

employed as the research design. The research was carried out with focus group discussion

method on 20 out of 52 prospective teachers selected on voluntary basis, and taking Special

Teaching Methods course in the fall term as students of pedagogical formation programme

in a university in the Black Sea Region during the 2013-2014 academic years. 12 female

and 8 male prospective teachers participated in the focus group discussion.

An Investigation of Model Creation Skills to Proof of Prospective Mathematics Teachers about the Sum of…

459

Research data was collected by a focus group discussion performed in classroom

environment at the last week of the Special Teaching Methods course. “Abacus Problem”,

which includes the sum of successive odd numbers, was used in the focus group discussion.

Descriptive analysis method was used in analysis of the gathered data.

According to research results, prospective teachers created six different proof models

consisting of verbal, algebraic and formal models to prove the rule providing the sum of

successive odd numbers. It was observed that prior knowledge of prospective teachers was

effective in their model creation process (the rule providing the sum of successive odd

numbers), and they had much more difficulties in proofs with geometrical models compared

to algebraic proofs while persuading other prospective teachers. Moreover, regarding the

validity of models used by prospective teachers in proofs with geometric models, usage of

more arguments is significant in terms of improving their reasoning skills. Because, helping

people use their informal knowledge to reach formal knowledge enables meaningful,

permanent, and effective learning with regards to theorem proofs (Raman, 2003). Besides,

use of different materials and models is effective in increasing the proof capabilities of

students (Andreas Stylianides, 2007).

It is observed that prospective teachers came up with various ideas to prove the abacus

problem in the research, and tested their proofs using different hypotheses. Therefore,

research results show that prospective teachers can be successful in proof by models with

the employment of suitable activities, and this, in turn, can contribute to their mathematical

reasoning skills. This result shows parallelism with results of study in the literature (Çiltaş

& Yılmaz, 2013). Moreover, the positive impact of using models in mathematical proofs is

revealed by various studies (Ünveren, 2010). For this reason, use of models in proofs can be

suggested to change the negative attitude of prospective teachers about mathematical proof

(Almeida, 2000; Moralı, Uğurel, Türnüklü & Yeşildere, 2006). Because, various studies

(Almeida, 2000; Furinghetti & Morselli, 2009) have shown that prospective teachers’

perception about mathematical proof influences their frequency of using proof in their

future courses. Similarly, models used in mathematical proofs play a significant role in

internalization of a given statement, and a cognitive model pictured in the minds of

prospective teachers can help change this attitude towards proof (Çiltaş & Yılmaz, 2013).

Findings of this research are limited to proving the rule providing the sum of successive odd

numbers with models. Therefore, analysis of prospective teachers’ model creation processes

of different proof methods can be suggested. Prospective teachers can develop different

points of view with similar activities, and reflect these on their students in the future.

Kaynaklar/References

Almeida, D. (2000). A survey of mathematics undergraduates interaction with proof: Some

implications for mathematics education. International Journal of Mathematical

Education in Science and Technology, 31(6), 869-890.

Almeida, D. (2003). Engendering proof attitudes: Can the genesis of mathematical

knowledge. International Journal of Mathematics Education in Science and

Technology, 34(4), 479-488.


460

Altun, M. (2005). İlköğretim ikinci kademede (6, 7 ve 8. sınıflarda) matematik öğretimi.

Bursa: Aktüel Alfa Akademi.

Blum, W., & Leib, D. (2007). How do students and teachers deal with modeling problems?

In C. R. Haines, P. Galbraith, W. Blum, & S. Khan (Eds.), Mathematical modeling,

ICTMA–12, Education, Engineering and Economics (pp. 222–231). Chichester:

Horwood Publishing,.

Çiltaş, A. ve Yılmaz, K. (2013). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının teoremlerin

ifadeleri için kurmuş oldukları matematiksel modeller. Eğitim ve Öğretim Araştırmaları

Dergisi, 2(2), 107-114.

Davis, P. J. (1993). Visual theorems. Educational Studies in Mathematics, 24, 333-344.

Doerr, H. M., & English, L. D. (2003). A modeling perspective on students’mathematical

reasoning about data. Journal for Research in Mathematics Education, 34(2), 110-136.

Eraslan, A. (2012). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma

etkinlikleri üzerinde düşünme süreçleri. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 12(4),

2953-2970.

Furinghetti, F., & Morselli, F. (2009). Teachers’ beliefs and the teaching of proof. Paper

presented at Proceedings of ICME Study 19: Proof and Proving in Mathematics

Education, Taipei, Taiwan.

Güler, G. ve Dikici, R. (2012). Ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel

ispat hakkındaki görüşleri. Kastamonu Eğitim Fakültesi Dergisi, 20(2), 571-590.

Hanna, G., & Jahnke, H. N. (2004). Proving and modeling. In H. W. Henn, & W. Blum

(Eds.), Applications and modelling in mathematics education, ICMI Study 14 (pp. 109-

114).Dortmund, Germany.

Hanna, G., & Sidoli, N. (2007). Visualisation and proof: A brief survey of philosophical

perspectives. ZDM-Mathematics Education, 39, 73-78. doi: 10.1007/s11858-006-0005-

0.

Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from an exploratory

study. In A. H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in College

Mathematics Education III (pp. 234-283). Providence, RI: AMS.

Hodgson, T., & Riley, K. (2001). Real-world problems as contexts for proof. Mathematics

Teacher, 94(9), 724.

İskenderoğlu, T. (2010). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıtlamayla ilgili

görüşleri ve kullandıkları kanıt şemaları (Doktora tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.

Kaleli-Yılmaz, G. (2014). Durum çalışması. In M. Metin (Ed.), Kuramdan Uygulamaya

Eğitimde Bilimsel Araştırma Yöntemleri (pp. 261-285). Ankara: Pegem Akademi.

Knuth, E. (2002). Teacher’s conceptions of proof in the contex of secondary school

mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 61-88.

Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2011). Ortaöğretim matematik dersi 9-12. sınıflar öğretim

programı. Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, Devlet Kitapları

Müdürlüğü Basım Evi, Ankara.

An Investigation of Model Creation Skills to Proof of Prospective Mathematics Teachers about the Sum of…

461

Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2013). Ortaöğretim matematik dersi 9-12. sınıflar öğretim

programı. Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, Devlet Kitapları

Müdürlüğü Basım Evi, Ankara.

Moralı, S., Uğurel, I., Türnüklü, E. ve Yeşildere, S. (2006). Matematik öğretmen

adaylarının ispat yapmaya yönelik görüşleri. Kastamonu Eğitim Fakültesi Dergisi,

14(1), 147-160.

Mudaly, V., & De Villiers, M. (2004). Mathematical modeling and proof. Paper presented

at Proceedings of the 10th Conference of Association for Mathematics Education of

South Africa, University of the Nort-West, Potchefstroom.

National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]. (2000). Principles and standarts

for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking. The Mathematical

Association of America.

Olkun, S., Şahin, Ö., Akkurt, Z., Dikkartın, F. T. ve Gülbağcı, H. (2009). Modelleme

yoluyla problem çözme ve genelleme: İlköğretim öğrencileriyle bir çalışma. Eğitim ve

Bilim, 34(151), 65-73.

Raman, M. J. (2003). Key ideas: What are they and how can they help us understand how

people view proof?. Educational Studies in Mathematics, 52(3), 319-325.

Reiss, K., Heinze, A., & Klieme, E. (2002). Argumentation, proof and the understanding of

proof. In G. H. Weigand, N. Neill, A. Peter-Koop, K. Reiss, G. Törner, & B. Wollring

(Eds.), Developments in Mathematics Education in German-speaking Countries.

Selected Papers from the Annual Conference on Didactics of Mathematics, Potsdam,

Hildesheim: Franzbecker.

Schabel, C. (2005). An instructional model for teaching proof writing in the number theory

classroom. Primus: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate

Studies, 15(1), 45-59.

Shipley, A. J. (1999). An investigation of collage students’ understanding of proof

construction when doing mathematical analysis proofs (Unpublished doctoral

dissertation). University of American, Washington.

Stylianides, A. J., & Stylianides, G. J. (2009). Proof constructions and evaluations.

Educational Studies in Mathematics, 72, 237–253.

Stylianides, Andreas J. (2007). The notion of proof in the context of elementary school

mathematics. Educational Studies in Mathematics, 65(1), 1-20.

Stylianides, Gabriel J. (2007). Investigating the guidance offered to teachers in curriculum

materials: The case of proof in mathematics. International Journal of Science and

Mathematics Education, 6, 191-215.

Tall, D. O. (1991). The psychology of advanced mathematical thinking. Advanced

Mathematical Thinking, Kluwer: Holland.

Ünveren, E. N. (2010). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının ispata yönelik

tutumlarının matematiksel modelleme sürecinde incelenmesi (Yüksek lisans tezi).

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Balıkesir.

Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs: The need for strategic

knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48, 101-119.


462

Weber, K. (2004). Traditional instruction in advanced mathematics courses: A case study of

one professor’s lectures and proofs in an introductory real analysis course. Journal of

Mathematical Behaviour, 23, 115–133.

Weber, K. (2005). Problem solving, proving and learning: The relationship between

problem solving processes and learning opportunities in the activity of proof

construction. Journal of Mathematical Behaviour, 24, 351-360.

Kaynak Gösterme

Güler, G. ve Temizyürek, A. (2015). Matematik öğretmeni adaylarının ardışık tek sayıların toplamının ispatına

yönelik model oluşturma becerilerinin incelenmesi. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi, 6(3), 446-462.

Citation Information

Güler, G., & Temizyürek, A. (2015). An investigation of model creation skills to proof of prospective mathematics

teachers about the sum of successive odd numbers. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education,

6(3), 446-462.

matematik Öğretmeni adaylarının ardıık tek sayıların

Documents