matematička analiza 2

7/29/2019 Matematika analiza 2

1/161

1/59

Realne funkcije

Osobine funkcija Stepena funkcija Eksponencijalna i logaritamska funkcija Trigonometrijske funkcije Elementarne funkcije
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/


2/161

2/59

Osobine funkcija

Neka je f funkcija koja preslikava skup D R (domen funkcije) uskup R. To znaci da za svako x D postoji jedan i samo jedan realanbroj y takav da je y = f(x).


3/161

2/59

Osobine funkcija


Oznaka za funkciju koja preslikava x u f(x) je x f(x). Tako, naprimer, funkcija x

x2

3x+2 je funkcija koja preslikava x u x2

3x+2.


4/161

2/59

Osobine funkcija


Oznaka za funkciju koja preslikava x u f(x) je x f(x). Tako, naprimer, funkcija x

x2

3x+2 je funkcija koja preslikava x u x2

3x+2.

Evo grafika ove funkcije:


5/161

3/59

Grafik funkcije y = f(x) je skup tacaka u ravni cije su koordinate(x, f(x)).


6/161

3/59


Za jedno x = x1 postoji samo jedno y = y1 takvo da je y = f(x).


7/161

3/59


Za jedno x = x1 postoji samo jedno y = y1 takvo da je y = f(x).Za jedno y = y2 moze postojati vise tacaka x takvih da je y2 =

f(x). Na slici su to tacke x2 i x3.


8/161

3/59


Za jedno x = x1 postoji samo jedno y = y1 takvo da je y = f(x).Za jedno y = y2 moze postojati vise tacaka x takvih da je y2 =

f(x). Na slici su to tacke x2 i x3.


9/161

4/59

.

Osim poznatih funkcija kao sto su x2, x3,sin x itd, u matematici

postoje veoma neobicne funkcije, na primer takve ciji se grafik ne mozenacrtati, ili takve za koje ne postoji formula kojom bi se opisale, ilitakve ciju je brojnu vrednost nemoguce tacno izracunati . . .


10/161

5/59

Jednakost funkcija

Za funkcije f i g kazemo da su jednake i pisemo f = g ako imaju istidomen D i ako za svako x D vazi da je f(x) = g(x).


11/161

5/59

Jednakost funkcija


Uslov da funkcije imaju isti domen je bitan deo ove defini-

cije.


12/161

5/59

Jednakost funkcija



cije.Na primer, funkcija x x2 za x [0, 1] nije jednaka funkciji x x2

za x [1, 1].


13/161

5/59

Jednakost funkcija



cije.Na primer, funkcija x x2 za x [0, 1] nije jednaka funkciji x x2

za x [1, 1].Obicno se kod ,,poznatih realnih funkcija ne precizira domen; u tom

slucaju smatramo da je funkcija zadata na najsirem mogucem domenu.

Na primer, ako govorimo o funkciji x x2

i ako nije preciziran domen,usvajamo da je to ceo skup R, dok je domen funkcije x x skupnenegativnih realnih brojeva.


14/161

6/59

Naizgled najjednostavnija funkcija je indikator skupa A, gde je A Rneki zadati skup. Ova funkcija se obelezava sa IA(x) i definise se da uzimavrednost 1 ako x A i vrednost 0 ako x = A.


15/161

6/59



16/161

6/59


Na slici je predstavljen grafik indikatora intervala [a, b), x I[a,b)(x).


17/161

6/59


Na slici je predstavljen grafik indikatora intervala [a, b), x I[a,b)(x).Obratite paznju na pune i prazne tacke na grafiku!


18/161

7/59

Neka su A1, . . . , An dati intervali, gde je n N. Ako je funkcija fdefinisana na skupu D = A1 An sa

f(x) = gi(x) za x Ai, i = 1, . . . , n ,tada kazemo da je funkcija f deo po deo jednaka funkcijama g1, . . . , gn.


19/161

7/59



Primer:

f(x) =

x + 2, x 0;2x+1, 0 < x < 2;x3, x

2


20/161

7/59



Primer:

f(x) =

x + 2, x 0;2x+1, 0 < x < 2;x3, x

2

Jednostavniji zapis, u obliku jedne formule, moguc je ako koristimo in-dikatore:

f(x) = (x + 2)I(,0](x) + 2x+1I(0,2)(x) + x

3I[2,+)(x)

N k A A d l d N Ak f k f


21/161

7/59



Primer:

f(x) =

x + 2, x 0;2x+1, 0 < x < 2;x3, x

2

Jednostavniji zapis, u obliku jedne formule, moguc je ako koristimo in-dikatore:

f(x) = (x + 2)I(,0](x) + 2x+1I(0,2)(x) + x

3I[2,+)(x)

Evo grafika ove funkcije:


22/161

8/59


23/161

8/59

Vrednosti na krajevima susednih intervala su iste, zato ovajgrafik nema prekida, za razliku od prethodnog grafika indika-tora.

Ak j f k ij f d fi i k A i k j B A t d f k ij


24/161

9/59

Ako je funkcija f definisana na skupu A i ako je B A, tada za funkcijug koja je definisana na skupu B pomocu jednakosti g(x) = f(x) kazemoda je dobijena od funkcije f restrikcijom domena.

Ako je funkcija f definisana na skupu A i ako je B A tada za funkciju


25/161

9/59


Na primer, funkcija x x2, x > 0 je dobijena od funkcije x x2,x R, restrikcijom domena. Ovo nije samo formalnost, ove dve funkcijese sustinski razlikuju, videcemo kasnije.

Ako je funkcija f definisana na skupu A i ako je B A tada za funkciju


26/161

9/59


Na primer, funkcija x x2, x > 0 je dobijena od funkcije x x2,x R, restrikcijom domena. Ovo nije samo formalnost, ove dve funkcijese sustinski razlikuju, videcemo kasnije.

Ako je funkcija g definisana na skupu A i ako je funkcija f definisana


27/161

10/5

Ako je funkcija g definisana na skupu A i ako je funkcija f definisanana skupu g(A), tada se na skupu A moze definisati funkcija h pomocu

jednakosti h(x) = f(g(x)). Za funkciju h kazemo da je kompozicijafunkcija f i g, u oznaci fg. Na primer, kompozicija funkcija x sin xi x x

2

je funkcija x sin x2

i njen domen je skup R.

Ako postoji realan broj T = 0 takav da je


28/161

11/5

Ako postoji realan broj T = 0, takav da jef(x + T) = f(x), za svako x D,

kazemo da je f periodicna funkcija, a broj T nazivamo periodom

funkcije f. Ako je f periodicna sa periodom T, tada je ocigledno i kTperiod funkcije f, gde je k proizvoljan ceo broj razlicit od nule.



29/161

11/5

Ako postoji realan broj T = 0, takav da jef(x + T) = f(x), za svako x D,



Primeri periodicnih funkcija:

Funkcije x sin x i x cos x su periodicne sa periodom 2;



30/161

11/5

Ako postoji realan broj T 0, takav da jef(x + T) = f(x), za svako x D,




Funkcije x sin x i x cos x su periodicne sa periodom 2; Funkcija x x [x] je periodicna sa periodom 1.

Sta je [x]?

Ako postoji realan broj T = 0, takav da je


31/161

11/5

Ako postoji realan broj T 0, takav da jef(x + T) = f(x), za svako x D,




Funkcije x sin x i x cos x su periodicne sa periodom 2; Funkcija x x [x] je periodicna sa periodom 1.

Sta je [x]?

Ako za svako x, y A D vazi


32/161

12/5

sv x, y vx < y = f(x) f(y),

kazemo da je funkcija f monotono neopadajuca na skupu A. Ako

je f(x) < f(y) kad god je x < y, kazemo da je f monotono rastucafunkcija. Analogno se definisu pojmovi monotono nerastuca i monotonoopadajuca funkcija na odredenom skupu A. Za monotono rastuce imonotono opadajuce funkcije kazemo da su strogo monotone.

Grafik monotono neopadajuce i monotono rastuce funkcije:


33/161

13/5

p j j

Grafik monotono neopadajuce i monotono rastuce funkcije:


34/161

13/5

p j j

Neka je f funkcija definisana na skupu A. Kazemo da je f bijekcija ili


35/161

14/5

j f j j f j jbijektivno preslikavanje skupa A na skup B ako je f(A) = B i akose razliciti elementi iz A preslikavaju u razlicite elemente iz B, tj. ako vazi

(

y

B)(

x

A)(y = f(x))

Preslikavanje je NA

(

x1, x2

A)(x1

= x2 =

f(x1)

= f(x2)).

Preslikavanje je 1-1

Bijektivno preslikavanje naziva se i uza jamno jednoznacnim


36/161

15/5

preslikavanjem skupa A na skup B. Naime, kod ovakvog preslikavanjasvakom y B odgovara jedan i samo jedan element x iz A takav da

je y = f(x). Prema tome, moze se definisati inverzno preslikavanje ili

inverzna funkcija f1

koja preslikava skup B = f(A) na skup A idefinisana je sa

y = f1(x) x = f(y) (x B, y A).

Ako je funkcija strogo monotona na skupu A, onda je ona bijekcija skupa


37/161

16/5

A na skup B = f(A). Ovo tvrdenje je lako dokazati polazeci od definicijebijekcije: treba dokazati samo da se razliciti elementi iz A preslikavaju urazlicite elemente iz f(A), sto sleduje iz stroge monotonosti. Na primer,

ako je f monotono rastuca funkcija na skupu A, onda je f(x) < f(y) kadgod je x < y. Prema tome, za svaku funkciju f koja je strogo monotonana skupu A, moze se definisati inverzna funkcija f1 koja preslikava f(A)u A.

Primeri:


38/161

17/5

Funkcija x x3 je monotono rastuca. Njena inverzna funkcija jey = 3

x, sto se dobija resavanjem jednacine y3 = x po y.

Primeri:


39/161

17/5



Funkcija x x2

nije monotona na svom prirodnom domenu R.Zajedno x dobijaju se dva resenja jednacine y2 = x, i zato ova funkcijanema inverznu.

Primeri:


40/161

17/5



Funkcija x x2

nije monotona na svom prirodnom domenu R.Zajedno x dobijaju se dva resenja jednacine y2 = x, i zato ova funkcijanema inverznu.

Ali, mozemo da posmatramo funkciju koja se od ove dobija restrikci-jom domena: x x2, x > 0. Ova funkcija jeste monotona, i njenainverzna funkcija je x x.


41/161

18/5

Grafici funkcije i njoj inverzne su simetricni u odnosu na pravu y = x

Slika skupa A D je f(A) = {f(x) | x A}.


42/161

19/5

Slika skupa A D je f(A) = {f(x) | x A}.I lik k B R j k ih ih D k ji


43/161

19/5

Inverzna slika skupa B R je skup svih onih x D koji sefunkcijom f preslikavaju u B:

f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.

Slika skupa A D je f(A) = {f(x) | x A}.I lik k B R j k ih ih D k ji


44/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.

Primer: Neka je f(x) = x2, sa domenom R. Tada je

f([2, 2]) =

Slika skupa A D je f(A) = {f(x) | x A}.Inverzna slika skupa B R je skup svih onih x D koji se


45/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.


f([2, 2]) =[0, 4];



46/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) =



47/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4];



48/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =



49/161

19/5


f1(B) ={

x

D|

f(x)

B}

.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];



50/161

19/5


f1(B) ={

x

D

|f(x)

B

}.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];

f1([

4, 4]) =



51/161

19/5


f1(B) ={

x

D

|f(x)

B

}.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];

f1([

4, 4]) =

[2, 2];



52/161

19/5

p j p jfunkcijom f preslikavaju u B:

f1(B) ={

x

D

|f(x)

B

}.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];

f1([

4, 4]) =

[2, 2]; f1((4, 0)) =



53/161

19/5


f1(B) ={

x

D

|f(x)

B

}.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];

f1([

4, 4]) =

[2, 2]; f1((4, 0)) =

;



54/161

19/5


f1(B) ={

x

D

|f(x)

B

}.


f([2, 2]) =[0, 4];

f([0, 2]) = [0, 4]; f1([0, 4]) =

[2, 2];

f1([

4, 4]) =

[2, 2]; f1((4, 0)) =

;

Paznja:Inverzna slika skupa uvek postoji (mada moze biti prazanskup). Inverzna funkcija ne mora da postoji.


55/161

20/5

Ako je domen D funkcije f simetrican (tj. ako zajedno sa svakom svojomtackom x sadrzi i tacku x) i ako za svako x D vazi da je f(x) = f(x),za funkciju kazemo da je parna, a ako za svako x

D vazi f(

x) =

f(x), funkcija je neparna. Naravno, funkcija ne mora biti ni parna nineparna, a jedina funkcija koja je istovremeno i parna i neparna je funkcijaf(x) 0 za x D.

Za funkciju f kazemo da je ogranicena na skupu A ako je skup f(A)ogranicen, tj. ako postoje realni brojevi a i b takvi da je a < f(x) < b


56/161

21/5

za svako x A. Ekvivalentno, funkcija f je ogranicena na skupu A akopostoji pozitivan realan broj M takav da je |f(x)| < M za svako x A.

Funkcija koja preslikava x u y moze biti zadata u eksplicitnom oblikuy = f(x), implicitnom obliku F(x, y) = 0 ili u parametarskom

blik ( ) h( ) N d l k


57/161

22/5

obliku x = g(t), y = h(t). Na primer, jednacina gornje polovine kruznicepoluprecnika 1 sa centrom u koordinatnom pocetku je y =

1 x2 u

eksplicitnom obliku. Implicitan oblik ove jednacine je x2 + y2 = 1, y

0,a parametarski oblik je x = cos t, y = sin t, t [0, ].

Funkcija koja preslikava x u y moze biti zadata u eksplicitnom oblikuy = f(x), implicitnom obliku F(x, y) = 0 ili u parametarskom

blik (t) h(t) N i j d i j l i k i


58/161

22/5

obliku x = g(t), y = h(t). Na primer, jednacina gornje polovine kruznicepoluprecnika 1 sa centrom u koordinatnom pocetku je y =

1 x2 u

eksplicitnom obliku. Implicitan oblik ove jednacine je x2 + y2 = 1, y

0,a parametarski oblik je x = cos t, y = sin t, t [0, ].

Parametarski i implicitni oblik su pogodni za predstavljanje krivih uravni i u prostoru.


59/161

23/5


P i J d i


60/161

23/5

Primer: Jednacinax2

9+

y2

4= 1

odreduje elipsu:


P i J d ai a


61/161

23/5

Primer: Jednacinax2

9+

y2

4= 1

odreduje elipsu:

Razlika izmedu krive i funkcije:


62/161

24/5

Jednoj vrednosti za x moze da odgovara najvise jedna vrednost za y,tako da je tacka (x, y) na grafiku funkcije.


63/161

25/5

Stepena funkcija

Ceo stepen: xn = x x x x n puta

, n = 1, 2, . . . , x R.


64/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.

x0 def= 1, za svako x R,


65/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.


xndef

= 1xn , n N, x R, x = 0.

S f k ij


66/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.


xndef

= 1xn , n N, x R, x = 0.Dalje:

St f k ij


67/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.


xndef

= 1xn , n N, x R, x = 0.Dalje:

Koren

St f k ij


68/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.


xndef

=1xn , n N, x R, x = 0.

Dalje:

Koren

Stepen sa racionalnim izloziocem

St f k ij


69/161

25/5

Stepena funkcija


, n = 1, 2, . . . , x R.


xndef

=1xn , n N, x R, x = 0.

Dalje:

Koren


Primer: 23/4 = (23)1/4 = 81/4 je broj koji kada se stepenuje na cetvrtistepen daje 8.

St f k ij


70/161

25/5

Stepena funkcija

Ceo stepen:

xn = x x x x n puta

, n = 1, 2, . . . , x R.


xn def

=1xn , n N, x R, x = 0.

Dalje:

Koren


Primer: 23/4 = (23)1/4 = 81/4 je broj koji kada se stepenuje na cetvrtistepen daje 8.

Sta je 2 ????


71/161

26/5

Sta je 2 ????Postepeno:

3 14 157 ( 157)1/50


72/161

26/5

23.14 = 215750 = (2157)1/50


23 14 2157

(2157)1/50


73/161

26/5

23.14 = 215750 = (2157)1/50

23.14159

= 2

314159

100000

= . . .


23 14 2157

(2157)1/50


74/161

26/5

23.14 = 2 50 = (2157)1/50

23.14159

= 2

314159

100000

= . . .


75/161

27/5

Grafici stepene funkcije x xa, za a = 1, 2, 3, 4.


76/161

28/5

Grafici stepene funkcije x xa, za a = 1, 2, 3, 4.


77/161

28/5

Obratite paznju: Ako je |x| < 1, onda |x|a opada kad a raste.

Polinomi


78/161

29/5

Polinomi

Funkcija P data sa

P(x) = anxn + an1x

n1 + + a1x + a0 (an = 0),zove se polinom stepena n.

Polinomi


79/161

29/5

Polinomi

Funkcija P data sa

P(x) = anxn + an1x


Faktorizacija: P(x) = an(x

z1)(x

z2)

(x

zn), gde su zi realni

ili kompleksni brojevi

Polinomi


80/161

29/5

Polinomi

Funkcija P data sa

P(x) = anxn + an1x



z1)(x

z2)

(x



Nule:proste, visestruke

Polinomi


81/161

29/5

Polinomi

Funkcija P data sa

P(x) = anxn + an1x



z1)(x

z2)

(x



Nule:proste, visestruke Svaki polinom stepena n ima tacno n realnih ili kompleksnih

nula

Polinomi


82/161

29/5

Funkcija P data sa

P(x) = anxn + an1x



z1)(x

z2)

(x



Nule:proste, visestruke Svaki polinom stepena n ima tacno n realnih ili kompleksnih

nula

Racionalne funkcije


83/161

30/5

j

Kolicnik dva polinoma nazivamo racionalnom funkcijom:

Racionalne funkcije


84/161

30/5

j


f(x) =Pm(x)

Qn(x)=

amxm + am1xm1 + + a1x + a0

bnxn + bn1xn1 + + b1x + b0 ,

gde je am = 0, bn = 0, a m, n N {0}. Ova funkcija je definisana zasvako x

R osim u nulama polinoma Qn.

Racionalne funkcije


85/161

30/5

j


f(x) =Pm(x)

Qn(x)=


bnxn + bn1xn1 + + b1x + b0 ,



Prava, neprava

Racionalne funkcije


86/161

30/5

j


f(x) =Pm(x)

Qn(x)=


bnxn + bn1xn1 + + b1x + b0 ,



Prava, neprava Svodljiva, nesvodljiva

Racionalne funkcije


87/161

30/5


f(x) =Pm(x)

Qn(x)=


bnxn + bn1xn1 + + b1x + b0 ,



Prava, neprava Svodljiva, nesvodljiva Parcijalni razlomci:

A(x a)k i

Mx + N(x2 + px + q)k

(p2 4q < 0), k N

Parcijalni razlomci su gradivni elementi za ostale racionalne funkcije.

Racionalne funkcije


88/161

30/5


f(x) =Pm(x)

Qn(x)=


bnxn + bn1xn1 + + b1x + b0 ,



Prava, neprava Svodljiva, nesvodljiva Parcijalni razlomci:

A(x a)k i

Mx + N(x2 + px + q)k

(p2 4q < 0), k N

Parcijalni razlomci su gradivni elementi za ostale racionalne funkcije.

Primer: 21 x2 =

2(1 x)(1 + x) =

1 x + 1 + x(1 x)(1 + x) =

11 + x

+ 11 x.


89/161

31/5

Svaka prava i nesvodljiva racionalna funkcija moze se na jedinstvennacin razloziti na zbir parcijalnih razlomaka. Ako je

f(x) =Pm(x)

Q ( )


90/161

32/5

f (x)Qn(x)

prava i nesvodljiva racionalna funkcija i ako polinom Q ima faktor-izaciju

Qn(x) = bn(xx1)r1(xx2)r2 (xxk)rk(x2+p1x+q1)s1 (x2+pmx+ql)sl,

onda postoje i jedinstveno su odredeni koeficijenti Aij, Mij i Nij urazlaganju

(1) f(x) =k

i=1

rij=1

Aij(x xi)j +

li=1

sij=1

Mijx + Nij(x2 + pix + qi)j

.

Ova jednakost vazi za svako x za koje je racionalna funkcija f defin-isana.

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.


91/161

33/5

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.

D lj j d bij


92/161

33/5

Deljenjem dobijamo

f(x) = 1 +5x2 6x + 1

x3 5x2 + 6x = 1 +5x2 6x + 1

x(x 2)(x 3) .

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.

D lj j d bij


93/161

33/5

Deljenjem dobijamo

f(x) = 1 +5x2 6x + 1

x3 5x2 + 6x = 1 +5x2 6x + 1

x(x 2)(x 3) .

Razlaganje:

5x2 6x + 1x(x 2)(x 3) =

Ax

+ Bx 2 +

Cx 3

/

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.

D lj j d bij


94/161

33/5

Deljenjem dobijamo

f(x) = 1 +5x2 6x + 1

x3 5x2 + 6x = 1 +5x2 6x + 1

x(x 2)(x 3) .

Razlaganje:

5x2 6x + 1x(x 2)(x 3) =

Ax

+ Bx 2 +

Cx 3

Metoda neodredenih koeficijenata

33/5

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.

Deljenjem dobijamo


95/161

33/5

Deljenjem dobijamo

f(x) = 1 +5x2 6x + 1

x3 5x2 + 6x = 1 +5x2 6x + 1

x(x 2)(x 3) .

Razlaganje:

5x2 6x + 1x(x 2)(x 3) =

Ax

+ Bx 2 +

Cx 3


Metoda zamene vrednosti

33/5

Primer: Neka je

f(x) =x3 + 1

x3 5x2 + 6x.

Deljenjem dobijamo


96/161

33/5

Deljenjem dobijamo

f(x) = 1 +5x2 6x + 1

x3 5x2 + 6x = 1 +5x2 6x + 1

x(x 2)(x 3) .

Razlaganje:

5x2

6x + 1x(x 2)(x 3) = Ax + Bx 2 + Cx 3


Metoda zamene vrednosti

f(x) = 1 +

1

6x 9

2(x 2) +28

3(x 3)

34/5

Eksponencijalna i logaritamska funkcija


97/161

34/5

Ako je b > 0, eksponencijalna funkcija je preslikavanje x

bx i defin-

isano je za svako x R. Broj b naziva se osnovom eksponencijalnefunkcije.

34/5


Ak b k l f k l k b d fi


98/161

34/5


bx i defin-


Sta ustvari znaci

3?

34/5


Ak j b 0 k ij l f k ij j lik j bx i d fi


99/161

34/5


bx i defin-


Sta ustvari znaci

3?

Racionalne aproksimacije:

3.141593,

3

1.732051, dakle

3

3.1415931.732051

.

34/5


Ak j b 0 k ij l f k ij j lik j bx i d fi


100/161

34/5


bx i defin-


Sta ustvari znaci

3?

Racionalne aproksimacije:

3.141593,

3

1.732051, dakle

3

3.1415931.732051

. Preciznije: Neka je xn niz racionalnih aproksimacija za , gde je, na

primer, xn broj izracunat na n cifara. Neka je yn to isto za

3.Tada je xynn jedan niz racionalnih aproksimacija za broj z =

3, i na

taj nacin mozemo naci broj z sa proizvoljnom tacnoscu ali nikada

potpuno tacno!

35/5

Posebno vazna osnova e = 2.71828 . . . -prirodna osnova.


101/161

35/5

35/5

Posebno vazna osnova e = 2.71828 . . . -prirodna osnova. Broj e se prirodno pojavljuje u matematici (detalji slede kasnije)


102/161

/

35/5

Posebno vazna osnova e = 2.71828 . . . -prirodna osnova. Broj e se prirodno pojavljuje u matematici (detalji slede kasnije) Eksponencijalna funkcija x ex koristi se u biologiji, fizici, finansijskoj

matematici, epidemiologiji, itd.


103/161

/

, p g j ,

35/5




104/161

/

Euler-ova formula eix = cos x + i sin x omogucava prosirenje domenaeksponencijalne funkcije na skup kompleksnih brojeva:

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).

35/5




105/161



Broj eje jedan od pet najvaznijih brojeva u matematici: to su 0, 1, i , , e.Prema Eulerovoj formuli, postoji veza izmedu cetiri od ovih brojeva:ei = 1!

35/5




106/161



Broj eje jedan od pet najvaznijih brojeva u matematici: to su 0, 1, i , , e.Prema Eulerovoj formuli, postoji veza izmedu cetiri od ovih brojeva:ei = 1!

Brojevi kao sto su 5, 10, 100, itd. nisu vazni u matematici.

36/5


107/161

37/5

Kako je eksponencijalna funkcija sa osnovom b = 1 strogo monotona,ona ima inverznu funkciju to je logaritamska funkcija. Imamo da je

y = logb x by = x.


108/161

37/5


y = logb x by = x.


109/161

log5 25 = 2, jer je 52 = 25;

37/5


y = logb x by = x.


110/161

log5 25 = 2, jer je 52 = 25; log2 64 = 6, jer je 26 = 64;

37/5


y = logb x by = x.


111/161

log5 25 = 2, jer je 52 = 25; log2 64 = 6, jer je 26 = 64; log4 2 = 1/2, jer je 41/2 = 2;

37/5


y = logb x by = x.


112/161


log1/3 9 =

2, jer je (1/3)2 = 9;

37/5


y = logb x by = x.


113/161


log1/3 9 =

2, jer je (1/3)2 = 9;

log1 x nije definisan izraz;

37/5


y = logb x by = x.


114/161


log1/3 9 =

2, jer je (1/3)2 = 9;

log1 x nije definisan izraz; logb(3) nije definisan izraz.

38/5

Osobine logaritama:


115/161

38/5

Osobine logaritama: logb x1x2 = logb x1 + logb x2 za proizvoljne x1, x2 > 0;


116/161

38/5

Osobine logaritama: logb x1x2 = logb x1 + logb x2 za proizvoljne x1, x2 > 0; logb xc = c logb x, x > 0, b > 0,


117/161

38/5


logb x =logc x

logc b;


118/161

ogc

38/5


logb x =logc x

logc b;


119/161

gc

Logaritam sa osnovom e zove se prirodni logaritam i obelezava se salog bez oznake osnove:

log x ln x loge x.

39/5


120/161

Logaritamska funkcija sa osnovom b < 1 je opadajuca, a sa osnovom

b > 1 rastuca.

40/5

Funkcije x ex

i x log x su osnovne funkcije u matematici. Pomocunjih se mogu definisati ostale funkcije. Na primer,2x = ex log 2; x2 = e2log |x|; 3

x = e(1/3)log x . . .


121/161

41/5

Hiperbolicke funkcije

sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2


122/161

41/5


sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2

th x =ex ex

, cth x =ex + ex


123/161

ex + ex ex ex

41/5


sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2

th x =ex ex

, cth x =ex + ex


124/161

ex + ex ex exImaju osobine slicne trigonometrijskim funkcijama:

41/5


sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2

th x =ex ex

, cth x =ex + ex


125/161


ch2x sh2x = 1, sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y,

41/5


sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2

th x =ex ex

, cth x =ex + ex


126/161



ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y.

41/5


sh x =ex ex

2, ch x =

ex + ex

2

th x =ex ex

, cth x =ex + ex


127/161



ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y.

Ove funkcije nisu periodicne!

42/5


128/161

43/5

Inverzne funkcije:

arsh x = log(x +

x2 + 1).


129/161

43/5

Inverzne funkcije:

arsh x = log(x +

x2 + 1).

y = arch x = log(x +

x2 1), x

1, y

0.


130/161

43/5

Inverzne funkcije:

arsh x = log(x +

x2 + 1).


x2 1), x

1, y

0.

O f l d bij j j j d i h i h j i d j


131/161

Ove formule dobijaju se resavanjem jednacina sh y = x i ch y = x, smatrajuci da je y nepoznato,a x poznato.

43/5

Inverzne funkcije:

arsh x = log(x +

x2 + 1).


x2 1), x

1, y

0.

O f l d bij j j j d i h i h t j i d j t


132/161

Ove formule dobijaju se resavanjem jednacina sh y = x i ch y = x, smatrajuci da je y nepoznato,a x poznato.

Sa funkcijom arch x imamo istih problema kao i sa

x i oni se resavaju na isti nacin.

44/5

Trigonometrijske funkcije

Funkcije x sin x, x cos x, x tg x i x ctg x mogu se definisatil t l l i d t ij kih i j i ti i di


133/161

za uglove trougla polazeci od geometrijskih cinjenica, a zatim se periodicnoproduzuju na celu realnu osu.

44/5

Trigonometrijske funkcije

Funkcije x sin x, x cos x, x tg x i x ctg x mogu se definisatiza uglove trougla polazeci od geometrijskih cinjenica a zatim se periodicnod l l


134/161

za uglove trougla polazeci od geometrijskih cinjenica, a zatim se periodicnoproduzuju na celu realnu osu.Osnovni (najmanji) period funkcija x sin x i x cos x je 2, a

funkcije x tg x i x ctg x imaju osnovni period .

45/5


135/161

Grafik funkcije x

cos x dobija se pomeranjem grafika

funkcije x sin x, ulevo za /2. Drugim recima,cos x = sin(x + /2)

46/5


136/161

47/5


137/161

48/5

Inverzne trigonometrijske funkcijey = arcsin x x = sin y y

2,

2

.

y = arccos x x = cos y y [0 ]


138/161

y = arccos x x = cos y y [0, ],y = arctg x x = tg x y

2,

2

,

y = arcctg x x = ctg x y (0, ).

49/5


139/161

50/5


140/161

51/5


141/161

52/5

Elementarne funkcije

U matematici postoji tradicionalna podela na elementarne i neelemen-

tarne funkcije.


142/161

tarne funkcije.

52/5



tarne funkcije.


143/161

jDefinicija 1 Skup elementarnih funkcija cine:

52/5



tarne funkcije.fi Sk l h f k


144/161

jDefinicija 1 Skup elementarnih funkcija cine:

Stepena, racionalna, eksponencijalna i logaritamska funkcija.

52/5


U matematici postoji tradicionalna podela na elementarne i neelemen-tarne funkcije.

D fi i ij 1 Sk l ih f k ij i


145/161

Definicija 1 Skup elementarnih funkcija cine:

Stepena, racionalna, eksponencijalna i logaritamska funkcija. Trigonometrijske funkcije i njihove inverzne funkcije.

52/5



D fi i ij 1 Sk l t ih f k ij i


146/161


Stepena, racionalna, eksponencijalna i logaritamska funkcija. Trigonometrijske funkcije i njihove inverzne funkcije. Sve funkcije koje se dobijaju iz navedenih, primenom konacno mnogo

osnovnih racunskih operacija i operacije kompozicije funkcija.

52/5



D fi i ij 1 Sk l t ih f k ij i


147/161




Prve dve navedene klase funkcija nazivaju se osnovnim elemen-tarnim funkcijama.

52/5



Defi icija 1 Sk l ta ih f k ija i


148/161





U ovoj definiciji smatra se da je domen funkcija najveci skup na komesu definisane.

52/5





149/161





U ovoj definiciji smatra se da je domen funkcija najveci skup na komesu definisane.

53/5

Pod elementarnim funkcijama u sirem smislu podrazumevamoone funkcije koje se od osnovnih elementarnih funkcija, pored osnovnihracunskih operacija i kompozicije, dobijaju i restrikcijom domena ili sudeo po deo jednake tako dobijenim funkcijama.


150/161

54/5

Funkcija f definisana sa f(x) = sin(e

arctg (log x)

) je elementarna funkcija,jer se dobija kao kompozicija cetiri osnovne elementarne funkcije.


151/161

55/5

Neka je{

rn}

niz racionalnih brojeva. Funkcija g definisana sa

g(x) =

n, ako je x = rn0, ako je x iracionalan broj,

nije elementarna funkcija, jer se ne moze dobiti od osnovnih elementarnih

funkcija primenom konacno mnogo operacija navedenih u definiciji.Grafik ove funkcije ne moze se nacrtati!


152/161

G j

56/5

U striktnom smislu, prema definiciji, funkcija definisana sa

f(x) =

sin x, x < 0,cos x, x 0

nije elementarna funkcija, ali jeste u sirem smislu, jer je deo po deo jednaka

funkcijama koje se od elementarnih dobijaju restrikcijom domena.


153/161

57/5

Ne-elementarne funkcije se u matematici koriste isto koliko i elementarne,i izracunavaju se na isti nacin, primenom numerickih racunarskih metoda.


154/161

57/5


Elementarne funkcije imaju samo prednost da su nam dobro poznatei da imaju uvek neku interpretaciju (npr. trigonometrijske funkcije imajugeometrijsko tumacenje u trouglu).


155/161

57/5


Elementarne funkcije imaju samo prednost da su nam dobro poznatei da imaju uvek neku interpretaciju (npr. trigonometrijske funkcije imajugeometrijsko tumacenje u trouglu).

Ne-elementarne funkcije ulaze u Matematiku najcesce preko integrala iredova. Na primer, funkcija


156/161

(x) =

+0

ettx1 dt

nije elementarna funkcija. Dokazi da neka funkcija nije elementarna suveoma teski.

58/5

U ovom delu smo naucili:


157/161

58/5


Opste osobine funkcija (domen, grafik, periodicnost, parnost, itd)


158/161

58/5


Opste osobine funkcija (domen, grafik, periodicnost, parnost, itd) Pojam inverzne funkcije i inverzne slike skupa


159/161

58/5


Opste osobine funkcija (domen, grafik, periodicnost, parnost, itd) Pojam inverzne funkcije i inverzne slike skupa Osobine vaznih funkcija (stepena, eksponencijalna, logaritamska, trigonometri

jske funkcije) i njihove grafike

Pojam elementarne funkcije i koje su funkcije elementarne.


160/161

59/5

Sledeci deo: Nizovi


161/161

matematička analiza 2

Documents