matematické modelovanie, riadenie a simulacné overenie...

Technická univerzita v KošiciachFakulta elektrotechniky a informatiky

Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overeniemodelov mobilných robotov

Konfernecia TECHNICOM

23.5.2018, Košice

Ing. Jakub Čerkala, PhD.

školiteľka:doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD.

Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 1

Obsah prezentácie

1. Motivácia pre výskum v oblasti mobilnej robotiky

2. Metodika pre modelovanie kolesových mobilných robotov

3. Modelové scenáre mobilného robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom3.1 Základné modely mobilného robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom3.2 Rozšírenie modelu mobilného robota o dynamiky aktuátorov3.3 Komplexný modelový scenár mobilného robota zahŕňajúci vplyvy povrchového trenia

4. Klasické prístupy pre riadenie kolesových mobilných robotov4.1 Reaktívne navigačné riadenie robota v rovine4.2 Navigačné riadenie robota založené na kinematickom modeli


Motivácia pre výskum v oblasti mobilnej robotiky

I výskumné a projektové zameranieskupiny výskumného CMMR a PI,

I prienik témy naprieč rôznymipríbuznými oblasťami výskumu ako

I robotické ramená a manipulátory,I multiagentové systémy,I diagnostika,I 3D grafika,I počítačové videnie a iné,

I priestor pre zahrnutie prostriedkov UI

I potenciál aplikačného využitiavýsledkov v pedagogike a praxi


Analytický pohľad na mobilný robot ako dynamický systémVýznam matematického modelu mobilného robota

čierna skrinkareálny model robota

I neznáma kinematika,I neznáme obmedzenia,I neznáma dynamika,I neznáme stavy.

šedá skrinkakinematický model robota

I známa kinematika,I kinematické obmedzenia,I neznáma dynamika,I neznáme stavy.

biela skrinkamatematický model robota

I známa kinematika,I fyzikálne obmedzenia,I dynamika je určená,I stavy sú známe.


Uvažovaný mobilný robot s diferenciálnym podvozkomLaboratórny model – mobilný robot slúžiaci ako koncepčná predloha matematického modelu v práci

Laboratórny model

I zdroj reálnych dát vhodných preexperimentálnu identifikáciu,

I zvyčajne sa jedná o uzavretýsystém s pevnými parametrami avlastným riadením.

Analyticky zostavený simulačný model

I široká variabilita parametrov robota,I aproximácia aj nemerateľných stavových veličín,I dynamiku aj riadeného robota je možné

aproximovať v rôznej úrovni presnosti.Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 5

Metodika pre odvodenie matematického modelu robotaZískanie kinematiky a aproximácie dynamiky mobilného robota - modelové scenáre

Postup pre získanie matematického modelupozostáva z krokov:

I vyjadrenie kinematických obmedzenípodvozku a získanie kinematickéhomodelu,

I odvodenie matíc celkovej dynamikyrobota vhodnou metódou,

I zahrnutie vplyvu dynamík DC motorov sprevodovkami,

I rozšírenie dynamiky robota o vplyv trenia,I návrh vnútornej rýchlostnej slučky.

Uvažované polohy robota sú vyjadrenévo vektore q ∈ R𝑛×1

Metodikou boli zostavené 4 modelové scenáre uvažovaného mobilného robota.


Prvý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaJednoduchý mobilný robot so zjednodušeným kinematickým modelom a základnou dynamikou

I kinematický modelorientovaného bodu,

I dynamický modeluvažuje iba hmotnosťa zotrvačnosť,

I vnútorná slučka nabáze P regulátorov.

q =[𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 , 𝜙

]T, v =

[𝑣, 𝜔

]T, f =

[𝐹𝑅, 𝐹𝐿

]T


Prvý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaZhrnutie výhod a nevýhod aproximácie dynamiky robota prvým modelovým scenárom

I uvedená základná, hrubá aproximácia jevýhodnejšia ako iba samotný kinematickýmodel robota,

I matematický model je jednoduchéimplementovať ako simulačný model,

I fyzikálna interpretácia chovania robota jeznačne skreslená,

I návrh zosilnení P-regulátorov riadenia jesubjektívny, neodzrkadľuje skutočné akčnézásahy,

I model nie je vhodný pre otvorenú slučku.Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 8

Druhý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaMobilný robot definovaný v ťažisku a dynamikou odvodenou Newton-Eulerovým postupom

I kinematický modeluvažovaný v ťažisku,

I Newtonov-Eulerovdynamický model,

I vnútorná slučka nabáze inverznejdynamiky. q =

[𝑥𝑡, 𝑦𝑡, 𝜙

]T, v =

[𝑣, 𝜔

]T, 𝜏 =

[𝜏𝑅 𝜏𝐿

]T


Druhý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaZhrnutie výhod a nevýhod aproximácie dynamiky robota druhým modelovým scenárom

I čiastočne presnejšia, ale len približnáaproximácia chovania robota,

I potenciálna možnosť dokonaléhosledovania referenčnej trajektórie,

I fyzikálna interpretácia chovania robota prilineárnom pohybe je nepostačujúca,

I náročnejší návrh a realizácia riadenia,I model nie je vhodný pre otvorenú slučku.


Tretí modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaMobilný robot s dynamikou získanou pomocou Lagrangeovho prístupu vrátane DC motorov

I kinematický modelpre bod na osi X𝐿,

I Lagrangeov model,I zahrnutá dynamika

DC motorov,I PI regulátory. q =

[𝑥𝑡, 𝑦𝑡, 𝜙

]T, v =

[𝑣, 𝜔

]T, u =

[𝑢𝑅 𝑢𝐿

]T


Tretí modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaZhrnutie charakteristických vlastností v dynamike robota

Charakteristické vlastnostizostaveného modelu:

I fyzikálne presnejšiaaproximácia chovania,

I uvažovanie obmedzeníaktuátorov a riadenia,

I model systému vhodnýpre syntézu riadenia,

I využitie modelu aj votvorenej slučke,

I absencia povrchovéhotrenia.

Referenčný bod P je posunutý voči ťažisku o vzdialenosť𝑑 v zmysle natočenia robota.


Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaKomplexný mobilný robot s dynamikou získanou pomocou Lagrangeovho prístupu vrátane DC motorov a trenia

I kinematický model vľubovoľnom bode,

I Lagrangeov model,I zahrnutá dynamika

DC motorov,I povrchové trenie,I PI regulátory.

q =[𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 , 𝜙, 𝜃𝑅, 𝜃𝐿

]T, 𝜂 =

[𝜔𝑅, 𝜔𝐿

]T, u =

[𝑢𝑅 𝑢𝐿

]T


Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaMatematický a stavový model aproximácie mobilného robota - bez riadenia

Matematický model 4. modelového scenára

q = S(q)𝜂 (1)M(𝜂)�� + V(q, q)𝜂 + F(𝜂, 𝜏 m − 𝜏 z) = B(q)𝜏 m − B(q)𝜏z (2)

Lm𝑑i𝑑𝑡

+ Rmi + 𝑁602𝜋

Ke𝜂 = u (3)

pričom platia väzby

qP = SP(q)𝜂 (4)𝜏 m = 𝑁K𝜏 i (5)

Stavový opis aproximácie mobilného robota

𝑑

𝑑𝑡

⎡⎢⎣qP𝜂i

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣0 SP(q) 00 −M−1(q)

[V(q, q) + F(𝜂, 𝜏 m − 𝜏 z)

]M−1(q)B(q)𝑁K𝜏

0 −L−1m

602𝜋 𝑁Ke −L−1

m Rm

⎤⎥⎦⎡⎢⎣q

𝜂i

⎤⎥⎦

+

⎡⎢⎣ 00

L−1m

⎤⎥⎦ u +

⎡⎢⎣ 0−M−1(q)B(q)

0

⎤⎥⎦ 𝜏 z

(6)Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 14

Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaKinematický model - vyjadrenie rýchlostí referenčného bodu robota v rovine

Navrhnutá metodikaumožňuje určiťkinematické obmedzeniapre referenčný bod Pzvolený ľubovoľne v LSSpodvozku robota.

Referenčný bod leží mimo počiatku LSS a ťažiska.Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 15

Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaOdvodenie dynamického modelu pomocou Lagrangeovej metódy doplnený o Tustinov model trenia

Dynamický model aproximácie mobilného robota s trením je vyjadrený maticovo ako

M(q)��+V(q, q)𝜂 + F(𝜂, 𝜏 m − 𝜏 z) = B(q)𝜏 m − B(q)𝜏z (7)

Výsledné točivé momenty motorov kolies sú

𝜏𝑅 = 𝑁k𝜏 𝑖𝑅 − 𝐵z ekv𝜔𝑅 − 𝜏𝑓𝑠𝑅 − 𝜏z𝑅 (8)𝜏𝐿 = 𝑁k𝜏 𝑖𝐿 − 𝐵z ekv𝜔𝐿 − 𝜏𝑓𝑠𝐿 − 𝜏z𝐿 (9)


Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaKonceptuálna bloková schéma


Štvrtý modelový scenár aproximácie dynamiky mobilného robotaZhrnutie implementovaných vnútorných vplyvov a väzieb na dynamiku robota

Uvažované vnútorné väzby:I diskrétna slučka URO,I kinematické obmedzenia,I viskózne trenie rotorov,I odstredivá sila,I povrchové trenie kolies,I viskózne trenie ložísk,I spätná EM sila motorov,I autoindukcia vo vinutí,I pomer prevodovky,I pôsobenie porúch.


Navigačné riadenie mobilného robota v rovine

Polárne súradnice 𝜌, 𝛼, 𝛽 vyjadrujú odchýlkyžiadanej pozície od aktuálnej pozície mobilnéhorobota reprezentovanej v referenčnom bode P.

Riadenie robota môže závisieť odI interných senzorov,I externých senzorov,I konštrukcie,I alebo realizovateľnosti

riadenia.Ing. Jakub Čerkala, PhD. Matematické modelovanie, riadenie a simulačné overenie modelov mobilných robotov 23.5.2018 19

Reaktívne riadenie mobilného robota v rovineKrokové postupné riadenie robota do bodu bez plánovania pohybu

Riadenie založené na postupnom prepínaní polárnychodchýlok a minimalizácii iba jedinej odchýlky naraz.

I vhodné pre maticové prostredie,I jednoduchá realizácia,I neprirodzený pohyb robota,I nevhodné pre pohyb po krivke.

Pohyb robota má charakterčastého prepínania v okolícieľového bodu.

Sledovanie rýchlostí

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.5

0

0.5

1

Linearnerychlosti

v1,v2,v3[m

.s−1]

Krokove postupne riadenie do statickeho bodu - sledovanie linearnej rychlosti

v1 - kinematicky, eα = 1◦

v2 - s dynamikou, eα = 1◦

v3 - s dynamikou, eα = 2◦

0 1 2 3 4 5 6 7 8−3

−2

−1

0

1

Cas simulacie t [s]

Uhloverychlosti

ω1,ω2,ω3[rad.s−1]

Krokove postupne riadenie do statickeho bodu - sledovanie uhlovej rychlosti

ω1 - kinematicky, eα = 1◦

ω1 - s dynamikou, eα = 1◦

ω3 - s dynamikou, eα = 2◦


Reaktívne riadenie mobilného robota v rovineReaktívne plynulé riadenie robota do bodu

Možnosť hľadať cieľ, plynulá minimalizácia odchýlok.I vhodné pre maticové prostredie a krivky s malým

zakrivením,I nevhodné pre pohyb po krivke s veľkým

zakrivením.

Zatáčanie je závislé na rozsahucitlivosti senzora umiestnenom vprednej časti robota.

Senzorický rozsah robota


Reaktívne riadenie mobilného robota v rovineReaktívne plynulé riadenie robota do bodu

Zmeny rýchlostí do cieľového bodu

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Linearnerychlosti

v1,v2,v3[m

.s−1]

Reaktıvne plynule riadenie do bodu - sledovanie linearnej rychlosti

v1 - kinematicky, δ = 10◦

v2 - s dynamikou, δ = 10◦

v3 - s dynamikou, δ = 15◦

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Cas simulacie t [s]

Uhloverychlosti


Reaktıvne plynule riadenie do bodu - sledovanie uhlovej rychlosti

Minimalizácia pozičnej chyby robota

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Odchylky

ρ1,ρ2,ρ3[m

]

Minimalizacia odchylky uhloveho vzdialenosti ρ

ρ1 - kinematicky, δ = 10◦

ρ2 - s dynamikou, δ = 10◦

ρ3 - s dynamikou, δ = 15◦

0 1 2 3 4 5 6−150

−100

−50

0

Cas simulacie t [s]

Odchylky

α1,α2,α3[◦]

Minimalizacia odchylky uhloveho natocenia α

α1 - kinematicky, Kα = 2

α2 - s dynamikou, Kα = 2

α3 - s dynamikou, Kα = 4

Výhoda uvažovaného typu riadenia spočíva v prirodzenejšom pohybe vo väčšejvzdialenosti od cieľa.


Reaktívne riadenie mobilného robota v rovineReaktívne plynulé riadenie robota do bodu založené na spätnej väzbe

Riadenie je založené minimalizácii odchýlok naraz.I univerzálny typ spätno-väzobného riadenia,I jednoduchá realizácia,I voľba koeficientov regulátorov je čiastočne

subjektívna,I iba lokálna stabilita.

Lineárny a rotačný pohyb súriadené nezávislo.

Sledovanie rýchlostí

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

Linearnerychlosti

v1,v2,v3[m

.s−1]

Reaktıvne plynule riadenie do statickeho bodu - sledovanie linearnej rychlosti

v1 - kinematicky, Kα = 2v2 - s dynamikou, Kα = 2v3 - s dynamikou, Kα = 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8−3

−2

−1

0

1

Cas simulacie t [s]

Uhloverychlosti


Reaktıvne plynule riadenie do statickeho bodu - sledovanie uhlovej rychlosti

ω1 - kinematicky, Kα = 2ω2 - s dynamikou, Kα = 2ω3 - s dynamikou, Kα = 4


Reaktívne riadenie mobilného robota v rovinePomerové reaktívne riadenie diferenciálne riadeného mobilného robota

Špeciálne riadenie aplikovateľné pre dvojkolesovýdiferenciálne riadený podvozok.

I vhodné pre sledovanie krivky snímanej senzorom,I intuitívne nastavovanie regulátorov,I vyžaduje sústavný pohyb robota a neostré

trajektórie.

Pohyb robota v rovine pokruhovej trase

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pomerove reaktıvne riadene mobilne roboty v rovine

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]


Spätno-väzobné riadenie založené na kinematickom modeli robota

I jednoduchosť realizácie,I simultánna minimalizácia všetkých odchýlok,I vyjadrenie rozsahov prípustných zosilnení,I riadenie aj s cúvaním,I trvalá regulačná odchýlka pri pohybe.

𝜌 =√

(𝑥ref − 𝑥)2 + (𝑦ref − 𝑦)2

𝛼 = tan−1(

𝑦ref − 𝑦

𝑥ref − 𝑥

)− 𝜙 + 𝜋

𝛽 = 𝜙ref − 𝛼 − 𝜙


Spätno-väzobné riadenie založené na kinematickom modeli robotaSimulačné overenie - riadenie do pozície z jej blízkeho okolia

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Suradnica v osi X [m]

Suradnicavosi

X[m

]

Kinematicke riadenie robota v rovine - stabilne aj v smere

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Suradnica v osi X [m]Suradnicavosi

X[m

]

Kinematicke riadenie robota v rovine - stabilne aj v smere


Spätno-väzobné riadenie založené na kinematickom modeli robotaSimulačné overenie - sledovanie pohybujúceho sa referenčného bodu

0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Kinematicke navigacne riadenie - sledovanie bodu po priamke

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]

Ciel riadeniaStop: [0.87 m, 0.5 m, 30◦]Kinematicky robotStop: [0.86 m, 0.5 m, 30◦]Robot s dynamikouStart: [0 m, -0.5 m, 0◦]Stop: [0.86 m, 0.5 m, 30◦]

Riadenie je plynulé, pôsobí prirodzene aje použiteľné aj pre sledovaniepohybujúceho sa cieľa v rovine.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Kinematicke navigacne riadenie do bodu bez prepınania smeru

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]

Ciel riadeniaStop: [0 m, 0 m, 135◦]Kinematicky robotStop: [6.1e-05 m, -6.1e-05 m, 135◦]Robot s dynamikouStart: [1 m, 0.5 m, 0◦]Stop: [0.00012 m, -0.00012 m, 135◦]


Spätno-väzobné riadenie založené na kinematickom modeli robotaSimulačné overenie - sledovanie pohybujúceho sa referenčného bodu

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kinematicke navigacne riadenie - sledovanie bodu po tvare

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]

Ciel riadeniaStop: [1.5 m, 0 m, 90◦]

Kinematicky robot

Start: [0.8 m, 0 m, 0◦]

Stop: [1.1 m, -0.75 m, 31.3◦]

Robot s dynamikou

Stop: [1.1 m, -0.76 m, 31.2◦]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

Linearnarychlost

[m.s−1]

Cas simulacie t [s]

Sledovanie linearnej a uhlovej rychlostı

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

Uhlovarychlost

ωt[rad.s−1]

referencna linearnaskutocna linearnareferencna uhlovaskutocna uhlova

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−50

0

50

Cas simulacie t [s]

τR,τL[m

N.m

]

Tocive momenty vyvyjane motormi kolies

pravy motor

lavy motor

limity momentov


Riadenie robota s využitím dopredného a spätno-väzobného riadeniaSledovanie referenčnej trajektórie mobilným robotom s využitím dopredného a spätno-väzobného riadenia

I spojenie výhod dopredného a spätno-väzobného riadenia,I dopredné riadenie riadi robot po predpísanej trajektórii,I spätno-väzobné riadenie minimalizuje odchýlky v pozícii,I sledovanie trajektórie je v pozícii a aj v čase bez trvalej regulačnej odchýlky.



Celkový akčný zásah je súčtomakčných zásahov jednotlivýchregulátorov

u = vff + vfb

pričom odchýlková pozícia robotaje definovaná ako⎡⎢⎣𝑒1

𝑒2𝑒3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ cos 𝜙 sin 𝜙 0− sin 𝜙 cos 𝜙 0

0 0 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣𝑥ref − 𝑥

𝑦ref − 𝑦𝜙ref − 𝜙

⎤⎥⎦ Odchýlky od referenčnej trajektórie súminimalizované simultánne a to oddelenýmiregulátormi – dopredným a spätno-väzobným.



Charakter riadenia je určený v zmyslenastavovania parametrov regulátora.

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Sledovanie referencnej trajektorie - pohyb po usecke so zastavenım

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]

Referencna trajektoriaStart: [0.00 m, 0.00 m, 15.000◦]Stop: [0.97 m, 0.26 m, 15.000◦]Robot s dynamikou, ζ = 0.25Start: [0.00 m, -0.20 m, 45.000◦]Stop: [0.97 m, 0.26 m, 15.650◦]Robot s dynamikou, ζ = 0.75Stop: [0.97 m, 0.26 m, 15.001◦]

0 2 4 6 8 10 12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

v1,v2[m

.s−1]

Sledovanie referencnych linearnych rychlostı

v1 pre ζ = 0.25v2 pre ζ = 0.75referencne rychlosti

0 2 4 6 8 10 12−1

0

1

2

Cas simulacie t [s]

ω1,ω2[rad.s−1]

Sledovanie referencnych uhlovych rychlostı

ω1 pre ζ = 0.25ω2 pre ζ = 0.75referencne rychlosti

Robot dobehne referenčný vozík a sledujeho so zastavením v koncovom bode.



−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sledovanie referencnej trajektorie - pohyb po trajektorii ”Limacon of Pascal”

Poloha v osi X [m]

Polohavosi

Y[m

]

Referencna trajektoriaStart: [1.50 m, 0.00 m, 90.000◦]Stop: [1.50 m, 0.00 m, 90.000◦]Robot s dynamikou, ζ = 0.25Start: [1.00 m, -0.20 m, 45.000◦]Stop: [1.47 m, -0.02 m, 90.264◦]Robot s dynamikou, ζ = 0.75Stop: [1.50 m, -0.00 m, 89.827◦]

Odchýlka v poslednom bode je spôsobenádynamikou a najmä diskrétnou realizáciouriadenia pozície robota.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

v1,v2[m

.s−1]

Sledovanie referencnych linearnych rychlostı

v1 pre ζ = 0.25v2 pre ζ = 0.75referencne rychlosti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

10

Cas simulacie t [s]

ω1,ω2[rad.s−1]

Sledovanie referencnych uhlovych rychlostı

ω1 pre ζ = 0.25ω2 pre ζ = 0.75referencne rychlosti


Simulačné overenie modelového scenára v navigačnom riadení

Simulačný model, ktorý realizuje štvrtý modelový scenár aproximácie mobilného robotabol overený simulačnými experimentami v otvorenej a uzavretej slučke.

11.2

1.41.6

1.8

0.9

1

1.1

Pohyb mobilnych robotov pri skokovych zmenach rychlostı

Poloha v osi X [m]

Poloha v osi Y [m]

Referencny robot

Robot 1Robot 2

V rámci naprogramovanej Knižnice simulačných modelov kolesových mobilnýchrobotov bola realizovaná aj offline 3D vizualizácia s animáciou pohybu.


Knižnica simulačných modelov kolesových mobilných robotov


Ďakujem za pozornosť


matematické modelovanie, riadenie a simulacné overenie...

Documents