matematici element are - calcul diferential si integral

8/6/2019 Matematici Element Are - Calcul Diferential Si Integral

1/102

Gheorghe PROCOPIUC

MATEMATICI ELEMENTARE

CALCUL DIFERENTIAL

SI

INTEGRAL

IASI 2007


2/102


3/102

Cuprins

1 Numere reale. Functii reale 5

1.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Functii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Limite de siruri. Limite de functii 13

2.1 Limite de siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Limita ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Proprietati ale limitei unei functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Functii continue 29

3.1 Proprietati ale functiilor continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1 Operatii cu functii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Proprietati ale functiilor continue pe un interval nchis si marginit 30

3.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Functii derivabile 33

4.1 Derivata si diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Derivatele functiilor uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Proprietati ale functiilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Reprezentarea grafica a functiilor 45

5.1 Derivata nti. Intervale de monotonie. Puncte de extrem . . . . . . . . . 455.2 Convexitate. Derivata a doua. Puncte de inflexiune . . . . . . . . . . . . 465.3 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Primitive 57

6.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3


4/102

4 CUPRINS

7 Functii integrabile 81

7.1 Integrala Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838 Aplicatii ale integralei definite 91

8.1 Aria unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 Volumul corpurilor de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.5 Lungimea graficului unei functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.7 Aria suprafetelor de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


5/102

Capitolul 1

Numere reale. Functii reale

1.1 Numere reale

Multimea numerelor reale R formeaza n raport cu operatiile de adunare si multire ostructura algebrica de corp comutativ.

O submultime A R se numeste majorata sau marginita superior daca exista unnumar real b astfel nct x b pentru orice x A. n acest caz b se numeste majorantal multimii A. Daca b A, spunem ca A are un cel mai mare element. El se noteazamax A.

Axioma lui Cantor. Orice submultime nevida majorat

a A

R admite un cel mai

mic majorant.Cel mai mic majorant al multmii A se numeste margimea superioara a lui A si se

noteaza sup A.

n mod asemanator se definesc cel mai mic element, notat min A si marginea inferioaraa lui A, notata infA.

Definitie. Spunem ca multimea A este marginita daca este marginita superior siinferior.

Axioma lui Arhimede. Pentru orice numar real x R exista un numar ntreg ka.. k x < k + 1.

Acest numar este numit partea ntreaga a lui x si se noteaza [x].Multimea numerelor reale R poate fi reprezentata biunivoc pe o dreapta, numita

dreapta reala. Din acest motiv numerele reale se mai numesc puncte.Submultimea (a, b) = {x R, a < x < b} se numeste interval deschis, iar submultimea

[a, b] = {x R, a x b} se numeste interval nchis si marginit.Se numeste vecinatate a unui punct x0 R orice interval deschis (a, b) care contine

punctul x0.Multimea formata din toate numerele reale mpreuna cu + si se numeste

dreapta ncheiata si se noteaza cuR. Semidreptele de forma (a, +) se numesc vecinatatiale lui +

, iar semidreptele de forme (

, a) se numesc vecin

at

ati ale lui

.

Pentru orice a, b R, notam prin max(a, b) cel mai mare dintre numerele a, b. Pentru

5


6/102

6 CAPITOLUL 1. NUMERE REALE. FUNCTII REALE

orice x R, modulul lui x se defineste prin

|x| = max(x, x) = x, x > 0,0, x = 0,x, x < 0. (1.1)

Modulul are urmatoarele proprietatile: 1. |x| 0 si |x| = 0 d.d. x = 0, 2. |x + y| |x| + |y|, 3. |xy| = |x| |y|, 4. Pentru > 0, |x| < d.d. < x < .

1.2 Probleme

1.1 Fie a R, a = 0. S a se rezolve nR ecuatiile: x2 = a2, x3 = a3, x4 = a4.

Solutie. Se obtine: x = a, x = a, x = a.

1.2 S a se rezolve nR ecuatiile:

a) |x| + |x + 1| = 1, b) |x 1| + |x + 1| = 2.

Solutie. a). x [1, 0], b) x [1, 1].

1.3 Dac a x, y R si |x 1| 4, |y 2| 5, s a se arate c a 6 x + y 12.

Solutie. Avem: 3 x 5, 3 y 7. Deci 6 x + y 12.1.4 S a se rezolve nR inecuatiile: a) |x|+|x 1| > 0, b) |x|+|x 3| < 0, c) |x 1| 1,

d) |x| + |x 2| 2x, e) |x + 1| > 2, f) |x + 1| > 1, g) |x 1| + |x2 3x + 2| > 0.

Solutie. Avem: a) x R, b) , c) x [0, 2], d) x [1, ), e) x (, 3) (1, ),f) x R, g) Inecuatia se mai scrie: |x 1| (1 + |x + 2|) > 0. Deci |x 1| > 0, adicax R \ {1}.

1.5 Fie x1, x2, y1, y2 R a.. x1 y1, x2 y2 si x1 + x2 = y1 + y2. S a se arate c ax1 = y1, x2 = y2. Generalizare.

Solutie. Avem ca (y1 x1) + (y2 x2) = 0 si y1 x1 0, y2 x2 0. Dar osuma de numere nenegative este nula numai daca fiecare termen este nul, ceea ce implicay1 x1 = 0, y2 x2 = 0.

Generalizare: Fie xi, yi R a.. xi yi, i = 1, n sin

i=1

xi =n

i=1

yi. Atunci xi = yi,

i = 1, n.

1.6 Pentru orice x, y R, definim media aritmetica ma = x+y2 , media geometricamg =

xy, media armonica m =

2xyx+y

. S a se arate c a: m mg ma.

Solutie. Ambele inegalitati sunt echivalente cu inegalitateax y2 0.


7/102

1.2. PROBLEME 7

1.7 S a se arate c a oricare ar fi a,b,x,y R au loc inegalit atile:(1) (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) (Cauchy-Schwartz),(2)

(x + a)2 + (y + b)2 x2 + y2 + a2 + b2 (Minkowski).

Solutie. Inegalitatea (1) se poate scrie sub forma echivalenta (bx ay)2 0. Folosind(1), avem majorarea:

(x + a)2 + (y + b)2

x2 + y2 +

a2 + b22

,

de unde rezulta inegalitatea (2).

1.8 S a se determine toate valorile num arului natural n a..:

a) 1n

< 110

, b) 1n

> 120

, c) 12n

< 1,d) 1

2n< 1

10, e) 1

5n> 1

125, f)

2n+1n

2 > 1

10,

g) n2

n+1< 10, h)

n2n2+1 1 < 1100 , i) 2n+12n+2 1 < 110 .Solutie. a) n {11, 12, 13, . . .}. b) n {1, 2, . . . , 19}. c) n N. d) n {4, 5, . . .}.

e) n {0, 1, 2}. f) n {1, 2, . . . , 9}. g) Inegalitatea se mai scrie: n2 < 10 (n + 1),n {0, 1, . . . , 10}. i) Inegalitatea revine la: 2n > 8, n {4, 5, . . .}.

1.9 S a se determine multimile:

a)

nN

0, 1

n

, b)

nN

0, 1

n

, c)

nN

[n, n] , d)nN

0, n

n + 1

.

Solutie. a) {0}, b) , c) R, d) [0, 1].

1.10 Pentru orice x, y R se noteaz a d (x, y) = |x y|, distan a euclidian a ntre x siy. S a se arate c a pentru orice x,y,z R : 1) d (x, y) 0 si d (x, y) = 0 d.d. x = y, 2)d (y, x) = d (x, y), 3) d (x, y) d (x, z) + d (z, y).

Solutie. Se face uz de proprietatile modulului: 1) |x y| 0 si |x y| = 0 d.d.

x = y, 2) |y x| = |x y|, 3) |x y| = |(x z) + (z y)| |x z| + |z y|.1.11 S a se determine valorile num arului natural n pentru care au loc relatiile:

a) d

3n + 1

n, 3

0 a.. n

2+1

n4

+1< M pentru orice n

N.

b) Nu exist a M > 0 a.. n4+1

n3+1< M pentru orice n N.


8/102


Solutie. a) Avem majorarea,

n

2

+ 1n4 + 1 = 1n2 1 +

1

n2

1 + 1n4

2.

Deci M = 2. b) Avem minorarea,

n4 + 1

n3 + 1= n

1 + 1n4

1 + 1n3

n2

.

Deci oricare ar fi M > 0, pentru n 2M avem n4+1n3+1

M.

1.13 S a se g aseasc a dou a numere reale a si b a.. a < 2n2+n

2n2+1< b.

Solutie. Evident a = 0, apoi din majorarea,

2n2 + n

2n2 + 1=

2 + 1n

2 + 1n2

32

,

deducem b = 23.

1.14 S a se arate c a pentru orice k N are loc inegalitatea1

k > 2

k + 1 2

k.

S a se deduc a de aici c a pentru orice A exist a un num ar natural N a..n

k=1

1k

> A pentru

orice n N.

Solutie. Inegalitatea se mai scrie,

1k

>2

k + 1 +

k,

echivalenta cu k + 1 > k. Apoi, folosind inegalitatea, deducemn

k=1

1k

> 2

n + 1 1

.

Din 2

n + 1 1 > A rezulta N = 1 + A2

2 1.1.15 S a se verifice prin inductie c a pentru x > 0 are loc inegalitatea:

xn 1 + n (x 1) ,

oricare ar fi n N (Bernoulli).


9/102

1.2. PROBLEME 9

Solutie. Pentru n = 0 inegalitatea este evidenta. O presupunem adevarata pentru n sio demonstram pentru n+1. Avem: xn+1 = xxn x [1 + n (x 1)] 1+(n + 1) (x 1),deoarece n (x 1)

2

0.

1.16 S a se determine minorantii, majorantii, cel mai mic element si cel mai mare ele-ment (dac a exist a) ale urm atoarelor multimi de numere reale:

1) A = {sin1, sin2, sin3}, 2) A = 1 1n

, n N ,3) A =

2n12n+1

, n N , 4) A = {x R, x2 5},5) A = {x R, x 0, x2 > 5}, 6) A = {x R, x3 x 0}.

Solutie. 1) Cum: sin 2 = sin( 2), sin3 = sin( 3), deoarece: 0 < 3 < 1 0 nu poate fi minorant almultimii A deoarece 0

A si din definitia minorantului ar rezulta ca a

0 (contradictie).

Evident infA = min A = 0. Multimea majorantilor este [1, ). ntr-adevar, b 1implica b 1 1

n, pentru orice n N. Daca b < 1 rezulta 1 b > 0 si atunci n N

a.. 1 b > 1n

sau b < 1 1n

, adica b nu ar mai fi majorant. Evident sup A = 1, n timpce max A nu exista.

3) Din inegalitatea:1

3 2

n 12n + 1

< 1, n N,

deducem ca multimea miniorantilor lui A este, 1

3

, multimea majorantilor este

[1, ), infA = min A = 13, sup A = 1, iar max A nu exista.

4) infA = min A = 5, sup A = max A = 5,5) infA =

5, sup A = , 6) infA = , max A = sup A = 1.

1.17 S a se determine infA, min A, max A si sup A dac a:

1) A =

x R, x = a+1a2+a+1

, a R .2) A =

y R, y = 3x2+4x

31

x2+1, x R

.

Solutie. 1) Din xa2

+ (x 1)a + x 1 = 0, cu a R, rezulta A = 13 , 1. DeciinfA = min A = 13, sup A = max A = 1. 2) A = [3, 5].


10/102


1.3 Functii reale

O functie f : D R, D R, se numeste functie reala de o variabila reala.Daca f : A B, g : B C sunt doua functii reale, se defineste functia compusag f : A C, prin (g f) (x) = g (f(x)), pentru orice x A. Operatia de compunere afunctiilor este comutativa.

Fie f : A B o functie bijectiva. Definim inversa lui f prin: f1 : B A,x = f1 (y) d.d. f(x) = y. Evident, f1 f = 1A, f f1 = 1B.

Fie D R o multime simetrica fata de origine si f : D R. Spunem ca f este ofunctie para daca f(x) = f(x), x D si impara daca f(x) = f(x), x D.

Fie T = 0 un numar real. Functia f : D R se numeste periodica de perioada Tdaca f(x + T) = f(x), x D, pentru care x + T D.

Functia f : D R se numeste monoton crescatoare pe D, daca x1, x2 D, cux1 < x2, urmeaza f(x1) < f(x2) si monoton descrescatoare pe D, daca x1, x2 D, cux1 < x2, urmeaza f(x1) > f(x2).

Functia f : D R se numeste marginita pe D, daca exista numerele A, B a..A f(x) B, x D sau, echivalent, daca exista M > 0 a.. |f(x)| M, x D.

Functii elementare

1. Functia polinomiala f(x) = P(x), unde P (x) este un polinom, este definita peR si nueste marginita si nici periodica. Monotonia trebuie studiata de la caz la caz. Daca P (x)

este un polinom de gradul nti, functia este monotona pe R. Functia f(x) = x2

estedescrescatoare pe (, 0) si crescatoare pe (0, ). Functia f(x) = x3 este crescatoarepe R.

2. Functia rationala f(x) = P(x)Q(x)

, unde P(x) si Q (x) sunt polinoame, este definitape R \ {x | Q (x) = 0}.

3. Functia exponentiala f(x) = ax, cu a > 0 si a = 1, este definita pe R si ia valoripe intervalul (0, ).

Aceasta functie este bijectiva si deci inversabila. Inversa sa este functia logaritmicaf1 (x) = loga x, fiind definita pe intervalul (0, ) cu valori n R. Daca a > 1 ambelefunctii sunt strict crescatoare, iar daca 0 < a < 1, ambele functii sunt strict descresca-

toare.4. Functiile trigonometrice.Functia f(x) = sin x, definita pe R cu valori n [1, 1], este marginita si periodica de

perioada principala 2. Restrictia sa la intervalul

2,

2

este bijectiva si deci inversabila.

Inversa sa este functia f1 (x) = arcsin x, definita pe intervalul [1, 1]. Ambele functiisunt strict crescatoare.

Functia f(x) = cos x, definita pe R cu valori n [1, 1], este marginita si periodica deperioada principala 2. Restrictia sa la intervalul [0, ] este bijectiva si deci inversabila.Inversa sa este functia f1 (x) = arccos x, definita pe intervalul [1, 1]. Ambele functiisunt strict descrescatoare.

Functia f(x) = tg x, definita pe R\2 + k, k Z cu valori n R, este nemarginitasi periodica de perioada principala . Restrictia sa la intervalul 2

, 2

este bijectiva si


11/102

1.4. PROBLEME 11

deci inversabila. Inversa sa este functia f1 (x) = arctg x, definita pe R. Ambele functiisunt strict crescatoare.

Functia f(x) = ctg x, definita pe R \ {k, k Z} cu valori n R, este nemarginitasi periodica de perioada principala . Restrictia sa la intervalul (0, ) este bijectiva sideci inversabila. Inversa sa este functia f1 (x) = arcctg x, definita pe R. Ambele functiisunt strict descrescatoare.

1.4 Probleme

1.18 S a se determine domeniul maxim de definitie al urm atoarelor functii:

a) f(x) = x+1x1 , b) f(x) =

x 1 + 3x,

c) f(x) = 1x1 , d) f(x) =

x+1x1 ,e) f(x) =

x2 4, f) f(x) = x

x2+4,

g) f(x) = 1|x416|15 , i) f(x) =

1 x + 1 + x,j) f(x) =

1 cos x, k) f(x) = sin x.

Solutie. a) D = R \ {1}, b) D = [1, ), c) D = (1, ), d) D = (, 1] (1, ),e) D = (, 2] [2, ), f ) D = R, g) D = R\1, 431, i) D = [1, ), j) D = R,k) D =

kZ

[2k, (2k + 1) ].

1.19 S a se studieze paritatea si imparitatea urm atoarelor functii:

a) f(x) = x2 + 10, b) f(x) = x2 + x, c) f(x) =

1 x2,d)) f(x) = x

3+xx4+1

, e) f(x) = 1x

, f) f(x) = xx21 ,

g) f(x) = x +

x2 + 1, h) f(x) =

sin2 x, i) f(x) = x2 |x| ,j) f(x) = sin2 x, k) f(x) = x1+|x| , l) f(x) = max (x, x2) .

Solutie. Functiile de la punctele a), c), h), i), j) sunt pare, iar cele de la d), e), f), k)sunt impare.

1.20 S a se arate c a urm atoarele functii sunt periodice si s a se determine perioadele lor

principale: a) f(x) = |sin x|, b) f(x) = sin (x + ), cu > 0.Solutie. a) T = , b) T = /.

1.21 S a se determine monotonia urm atoarelor functii:

a) f(x) = 1 + x2, x R, b) f(x) = x, x [0, 1] ,c) f(x) = cos x, x [0, ] , d) f(x) = x2

1+x2, x R.

Solutie. a) f nu este monotona pe R, dar este monoton descrescatoare pe (, 0)si monoton crescatoare pe [0, ), b) f este monoton crescatoare, c) f este monotondescrescatoare, d) f nu este monotona pe R, dar este monoton descrescatoare pe (, 0)si monoton crescatoare pe [0, ).


12/102


1.22 S a se arate c a urm atoarele functii sunt m arginite:

a) f(x) = 3sin 2x, b) f(x) =

x

x2+1 ,c) f(x) = x2

x2+4, d) f(x) = 2|x|.

Solutie. a) | f(x)| 3, b) | f(x)| 12, c) 0 f(x) 1, d) 0 f(x) 1.

1.23 S a se determine m =infxD

f(x) si M =supxD

f(x) pentru urm atoarele functii f :

D R:a) f(x) = 2x 1, D = [0, 1] , b) f(x) = x

x+1, D = (0, ) ,

c) f(x) = x9 2x + 1, D = [0, 1] , d) f(x) = cos 2x, D =

0, 4

.

Solutie. a) m = 1, M = 1, b) m = 0, M = 1, c) m = 0, M = 1, d) m = 0, M = 1.


13/102

Capitolul 2

Limite de siruri. Limite de functii

2.1 Limite de siruri

Definitie. Numim sir de numere reale o functie f : N R.Punnd f(n) = an, sirul f se mai noteaza (an)nN.Definitie. Spunem ca sirul (an)nN are limita a R, cnd n , daca orice

vecinatate a lui a contine toti termenii sirului, exceptnd eventual un numar finit dintreei.

Scriem atunci, limn

an = a sau an a. Daca a este finit, spunem ca sirul esteconvergent. Daca a =

sau daca sirul nu are limita, spunem ca sirul este divergent.

Teorema. Sirul an a R daca si numai daca (d.d.) pentru orice numar > 0 sepoate gasi un rang N(), astfel nct (a..), pentru orice n > N() sa avem |an a| < .

Teorema. Sirul an + d.d. pentru orice numar > 0 se poate gasi un rangN(), a.., pentru orice n > N() sa avem an > .

Teorema. Sirul an d.d. pentru orice numar > 0 se poate gasi un rangN(), a.., pentru orice n > N() sa avem an < .

Teorema. Orice sir convergent este marginit.Teorema. Fie (an) un sir de numere reale.1. Daca pentru a R exista un sir (n), a.. n 0, n 0 si pentru orice n N,

|an

a

| n, atunci sirul (an) este convergent si lim

nan = a.

2. Daca exista un sir (n), a.. n + si pentru orice n N, an n, atuncisirul (an) este divergent si lim

nan = +.

3. Daca exista un sir (n), a.. n si pentru orice n N, an n, atuncisirul (an) este divergent si lim

nan = .

Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.Teorema. Fie (an), (bn), (cn) trei siruri de numere reale astfel nct an bn cn.

Daca an a si cn a, atunci bn a.Teorema lui Stolz-Cesaro. Fie (an) si (bn) doua siruri. Daca sirul (bn) este strict

monoton si nemarginit si

limn

an+1 anbn+1 bn = R,

13


14/102

14 CAPITOLUL 2. LIMITE DE SIRURI. LIMITE DE FUNCTII

atunci exista limn

anbn

= .

2.2 Probleme

2.1 S a se arate c a limn

2n+1n+1

= 2.

Solutie. Notnd an = 2n+1n+1 , avem: |an 2| =2n+1

n+1 2 = 1

n+1. Pentru orice > 0,

conditia 1n+1

< , adica n + 1 > 1

sau n > 1

1, are loc pentru orice n > N, cuN() =

1 1.

2.2 S a se arate c a limn

10n

10n+1= 1.

Solutie. Notnd an = 10n

10n+1avem: |an 1| = 110n+1 . Dar limn

110n+1

= 0, deci an 1.

2.3 S a se calculeze L = limn

2n

+

3n

+

4n

.

Solutie. Deoarece pentru q > 1, qn , rezulta ca L = .


an, unde:

a) an =

5n23n+24n+1

, b) an = 3n2+5n+4n+1 2n+43n

.

Solutie. a) Avem

L = limn

5 3

n+ 2

n2

4 + 1n

=

5

4.

b) Deoarece 3n2+5n+4n+1

, L = .


an, unde:

a) an =2n2+5n+4

3n2+2 8n3n+1

, b) an =3n+2

3n+5n

.

Solutie. a) L =

23

83 . b) Nedeterminare de forma 1. Avem

L = limn

1 +3

3n + 5

3n+53

3n3n+5

= e limn

3n3n+5 =

1

e.


an, unde:

a) an =

n+n+1n+ 3

n+2

n, b) an =

1 + 3n+54n2+8n+2

n .


15/102

2.2. PROBLEME 15

Solutie. a) L = e = . b) L = e 34 .


1 +

1

nn+1

1 +

1

2n3n+1

.

Solutie. a) L = e. b) L = e52 .


an, unde:

a) an =

1 + 1n

nk, k R, b) an =

an+ban+c

nk, a,b,c R, a = 0, k N.

Solutie. a) L = elimn

nk

n . Se obtine: L = 1 pentru k < 1

2, L = e pentru k = 1

2,

L =

pentru k > 1

2. b) Daca b = c, an = 1 si L = 1. Presupunem b

= c. Nedeterminare

1. AvemL = lim

ne(bc)nkan+c .

Rezulta: L = ebca pentru k = 1, L = pentru k > 1 si bc

a> 0 si L = 0 pentru k > 1

si bca

< 0.


an, unde:

a) an = 3n sin 3n , b) an =

n12 +1

n14 +3

n15 +1

n110 +1

.

Solutie. a) AvemL = lim

nsin

3n

3n

= .

b) Se aduce la acelasi numitor. Deoarece 35

> 720

, L = .2.10 S a se calculeze L = lim

nan, unde:

a) an = an, a > 0, b) an =

2an+bn

3an+4bn, a, b > 0, c) an = a

n bn, a, b N.Solutie. a) Avem: L = 0 daca a (0, 1), L = 1 daca a = 1 si L = daca a (1, ).

b) Avem: L = 23

daca a > b, L = 37

daca a = b si L = 14

daca a < b. c) Daca a = b,

limita este zero. Daca a = b avem L = + daca a > b, L = daca a < b.2.11 S a se calculeze L = lim

nan, unde:

a) an =(1+ 1

n)31

(3+ 1n

)29

, b) an =(13+23++n3)n

(n+2)5.

Solutie. a) Avem1 +

1

n

3 1 = 3n

2 + 3n + 1

n3,

3 +

1

n

2 9 = 6n + 1

n2.

Rezulta L = 12. b) Deoarece 13 + 23 + + n3 = n2(n+1)2

4, se obtine L = 1

4.


16/102



an, unde:

a) an = an3+n2+3

bn3+n+6, b) an = 1n4

nk=1

(12 + 22 + + k2) .

Solutie. a) Daca a = b = 0, atunci L = +. Daca a R si b = 0, atunci L = ab.

Daca a R si b = 0, atunci L = a (+). b) Deoarece 12 + 22 + + k2 = n(n+1)(2n+1)6

,

se obtine an =n(n+1)(n2+3n+2)

12n4. Deci L = 1

12.


an, unde:

a) an =14+25+36++n(n+3)

Cnn+3

, b) an =1

2n3+n+5(12 + 22 +

+ n2) .

Solutie. a) Avem, mai nti,

1 4 + 2 5 + 3 6 + + n (n + 3) =n

k=1

k (k + 3) =n (n + 1) (n + 5)

3,

iar

Cnn+3 = C3n+3 =

(n + 3) (n + 2) (n + 1)

6.

Se obtine L = 2. b) L = 16.


an, unde:

a) an =1

nm

1k + 2k + + nk , k , m N, b) an = 2

(1+ 1n)k1

, k N.

Solutie. a) Conform teoremei lui Stolz-Cesaro, avem:

L = limn

(n + 1)k

(n + 1)m nm = limn(n + 1)k

m nm1 + C2mnm2 + + 1,

de unde, rezulta: L =1m , pentru k = m 1, L = , pentru k > m 1, L = 0, pentruk < m 1. b) Deoarece

1 +

1

n

k 1 = k n

k1 + + 1nk

,

rezulta L = .


an, unde:

a) an =n

2n + 3n + + nn, b) an =nn

n! , c) an =

2nk=1

1k .


17/102

2.2. PROBLEME 17

Solutie. a) Deoarece n

2n + 3n + + nn > n, L = . b) Deoarece nn > n!n, pentrun > 3, L = . c) Avem:

an =

1 +

1

2

+

1

3+

1

4

+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8

+

+

1

2n1 + 1+ + 1

2n

.

Deci,

an >1

2+

1

4+

1

4

+

1

8+

1

8+

1

8+

1

8

+

+ 12

n+

+

1

2n = 1

2

+1

2

+

+

1

2

=n

2

.

Rezulta L = .2.16 S a se calculeze L = lim

nan, unde:

an =

n + 1 2n + 2 + n + 3.Solutie. Avem:

L = limn

n + 1 n + 2

+ lim

n

n + 3 n + 2

=

= limn

1n + 1 +

n + 2

+ limn

1n + 3 +

n + 2

= 0.


an, unde:

an =

n4 + n2 + 1

n4 n2 + 1.Solutie. Termenul general al sirului se mai scrie

an =2n2

n4 + n2 + 1 +

n4

n2 + 1

.

De unde, L = 1.

2.18 S a se calculeze limitele sirurilor:

an =

n2 + 4n + 5 n2 4n + 20,bn =

n2 + 4n + 20 n2 4n + 5,

cn =

n2 + 5n 4n + 8

n2 3n + 2n + 5.Solutie. Avem:

an =8n 15

n2 + 4n + 5 +

n2

4n + 20

.

Deci lim ann

= 4. Analog obtinem: lim bnn

= 4, lim cnn

= 4.


18/102


2.19 S a se calculeze limitele sirurilor:

an =

n + 2n + 1 n + 4n + 1,bn = n + 11 + 8n + 5 n + 4 + 2n + 5,cn =

n +

n2 1

n n2 1.

Solutie. Avem pe rnd:

an =2n + 1

n + 2

n + 1 +

n + 4

n + 1,

deci lim ann

= 1. Analog obtinem: lim bnn

= 3, lim cnn

= .

2.20 S a se calculeze limita sirului dat de termenul general

an =

n +

4n2 + 3n + 1

n2 + 3n + 4

nn+

n+1

, R.

Solutie. Avem mai nti:

limn

n +

4n2 + 3n + 1n2 + 3n + 4

= + 2.

Daca + 2 = 1, adica =

1, avem o nedeterminare de tipul 1. Se obtine lim ann

= 1.

Daca = 1, avem lim ann

= ( + 2).


an, unde:

a) an = 5

n

np + 1 n + 1 , p N, b) an = nk n+2n+5 1 , k N.Solutie. a) Daca p = 1, an = 0. Daca p > 1,

L = limn5

n

n

p1 +

1

np 1

np1 +

1

np

= .b) Termenul general al sirului se mai scrie

an =3nk

n + 5

n + 2 +

n + 5 .

Rezulta: L = 32, pentru k = 1 si L = , pentru k > 1.


an, unde:

a) an =3n2 + n + 1 an, a R, b) an = 5n + 1 52n + 1.


19/102

2.2. PROBLEME 19

Solutie. a) Daca a 0, L = . Daca a > 0, termenul general al sirului se mai scrie

an = n23

1 + 1n

+ 1n2

an13 ,de unde L = . b) Amplificnd cu conjugata se obtine L = .


an, unde:

an =n

nk + nk1 + + 1 n.

Solutie. Amplificnd cu conjugata se obtine L = 1k

.


an, unde:

an =k

n +

k

n + k

n kn, k N, k 2.

Solutie. Amplificnd cu conjugata se obtine L = 12, pentru k = 2 si L = 0, pentru

k > 2.


an, unde:

an =k

n +

k

nk1 + k

n kn, k N, k 2.

Solutie. Amplificnd cu conjugata se obtine L = 1k

.


an, unde:

a) an = n

n, b) an =n

n2 + 4n + 7, c) an =

1n

1n .

Solutie. a) Deoarece nn > 1, pentru n 2, notnd n = nn 1, avem ca n > 0.De aici avem

n = (1 + n)n = 1 + nn +

n (n 1)2

2n + + nn >n (n 1)

22n.

Deci, pentru n 2, n 0, obtinem L = 0.

2.36 S a se g aseasc a termenul general al sirului (un) dat prin relatia de recurent a:

un =

1

12un1 +

1

2un2,

pentru n 2, cu u0 = 1 si u2 = 12 . S a se calculeze apoi limita sa.

Solutie. Ecuatia caracteristica atasata relatiei de recurenta este 12r2 r 6 = 0 siare radacinile r1 = 34 , r2 = 23 . Deci un este de forma un = a

34

n+ b

23

n. Tinnd

seama de conditiile initiale, se obtine a = 1417

, b = 317

. Asadar, un = 1417

34

n+ 3

17

23

n,

iar L = 0.

2.37 S a se g aseasc a termenul general al sirului (un) dat prin relatia de recurent a:

un = un1 + 4un2 4un3,pentru n 3, cu u0 = 3, u2 = 1 si u3 = 9. S a se calculeze apoi limita sa.

Solutie. Ecuatia caracteristica atasata relatiei de recurenta este r3 r2 4r + 4 = 0si are radacinile r1 = 1, r2 = 2, r3 = 2. Tinnd seama de conditiile initiale, se obtineun = 1 + (1 + (1)n) 2n. Sirul nu are limita.

2.38 Sirul (an) este dat prin relatia de recurent a:

an =

an1 + k,

pentru n 1, cu a0 > 0. S a se arate c a sirul este convergent si s a se calculeze limita sa.


23/102

2.3. LIMITE DE FUNCTII 23

Solutie. Fie = k + 12

+ 12

4k + 1 radacina ecuatiei x =

x + k. Daca a0 < sirul

este crescator si marginit superior, iar daca a0 sirul este descrescator si marginitinferior, deci convergent. Trecnd la limita n relatia de recurenta, se obtine L = .

2.39 S a se g aseasc a n functie de a, b si x1 termenul general al sirului dat prin relatiade recurent a:

xn = axn1 + b, a R \ {0, 1} , b R.S a se calculeze apoi limita sa.

Solutie. Se observa ca:

xn xn1 = a (xn1 xn2) = a2 (xn2 xn3) = . . . = an2 (x2 x1) .De aici rezulta ca:

xn = an

1 x1 +

b

a 1 ba 1 .

Daca b = x1 (1 a), atunci L = x1. Daca |a| < 1, atunci L = b1a . Daca |a| > 1, atunciL = .

2.40 Sirul (an) este dat prin relatia de recurent a:

an =3

6 + an1,

pentru n 2, cu a1 = 3

6. S a se arate c a sirul este convergent si s a se calculeze limitasa.

Solutie. Sirul este strict crescator si marginit superior de 2, deci convergent. Limitasa este radacina ecuatiei L3 L 6 = 0, adica L = 2.

2.3 Limite de functii

2.3.1 Limita ntr-un punct

Fie f : E R si x0 un punct de acumulare al multimii E R.Spunem ca numarul real l este limita functiei f n punctul x0 daca pentru orice

vecinatate U a lui l exista o vecinatate V a lui x0 a.. oricare ar fi x = x0, x V E, saavem f(x)

U si scriem

limxx0

f(x) = l.

Punctul x0 poate sa nu apartina multimii E, dar trebuie sa fie punct de acumularepentru E. Att x0 ct si l pot fi finite sau infinite, vecinatatile V si U fiind definitecorespunzator.

Daca x0 si l sunt finite, defintia precedenta este echivalenta cu definitia care urmeaza:Spunem ca numarul real l este limita functiei f n punctul x0 daca pentru orice > 0

exista un numar () > 0 a.. x E pentru care 0 < |xx0| < , sa avem |f(x)l| < .Definitia limitei unei functii ntr-un punct poate fi formulata si cu ajutorul sirurilor.Spunem ca numarul real l este limita functiei f n punctul x0 daca pentru orice sir

(xn), xn E, xn = x0, convergent la x0, sirul corespunzator al valorilor functiei (f(xn))este convergent la l.


24/102


2.3.2 Proprietati ale limitei unei functii

Deoarece limita unei functii ntr-un punct se poate defini cu ajutorul limitei unui sir, oparte dintre proprietatile limitelor sirurilor sunt valabile si pentru limite de functii.

Fie f1, f2 : E R, doua functii definite pe E R si x0 un punct de acumulare almultimii E.

Daca functiile f1 si f2 au limite n punctul x0, finite sau infinite si:1. daca suma limitelor are sens, atunci functia suma f1 + f2 are limita n punctul x0

si

limxx0

(f1(x) + f2(x)) = limxx0

f1(x) + limxx0

f2(x);

2. daca produsul limitelor are sens, atunci functia produs f1

f2 are limita n punctul

x0 silim

xx0(f1(x) f2(x)) = lim

xx0f1(x) lim

xx0f2(x);

3. daca ctul limitelor are sens, atunci functia ct f1/f2 are limita n punctul x0 si

limxx0

f1(x)

f2(x)=

limxx0

f1(x)

limxx0

f2(x);

4. daca limita lui f1 la puterea limita lui f2 are sens, atunci functia ff2

1

are limita npunctul x0 si

limxx0

(f1(x))f2(x) =

lim

xx0f1(x)

limxx0

f2(x)

.

Fie u : E F si f : F R doua functii si x0 un punct de acumulare al multimiiE, pentru care exista lim

xx0u(x) = u0, u0 punct de acumulare al multimii F. Daca exista

limuu0

f(u) = l, atunci functia compusa f u : E R are limita n punctul x0 si

limxx0

(f

u)(x) = l.

Functia u avnd limita u0 n punctul x0, urmeaza ca pentru orice sir (xn) convergentla x0, sirul (un), cu un = u(xn), este convergent la u0 Functia f avnd limita l n punctulu0, urmeaza ca sirul cu termenul general

f(un) = f(u(xn)) = (f u)(xn)

este convergent la l. Pentru siruri, criteriul lui Cauchy ne permite sa studiem convergenta unui sir fara a

fi implicata limita acestuia. Definitia limitei unei functii cu ajutorul sirurilor ne permitesa transpunem acest criteriu si la functii.


25/102

2.4. PROBLEME 25

2.4 Probleme

2.41 S a se calculeze:

1) limx

(x + 1)2

x2 + 1. 2) lim

x

3

x2 + 1

x + 1.

3) limx5

x2 7x + 10x2 25 . 4) limh0

(x + h)3 x3h

.

5) limx0

1 + x 1

3

1 + x 1 . 6) limx43 5 + x1 5 x.


1) limx0

sin5x

sin2x. 2) lim

xacos x cos a

x a .

3) limx2

tg x

x + 2. 4) lim

x

x 1x + 1

x.

5) limx0

(1 + sin x)1x . 6) lim

x0(cos x)

1x .

2.43 S a se arate c a functia f : R\ {0} R, definit a prin

f(x) = 1x

cos 1x

nu tinde c atre infinit cnd x 0.

Solutie. Pentru sirul xn = 12 +n

0, f(xn) = 0 si deci tinde la 0.

2.44 S a se arate c a functia f : R R, definit a prinf(x) = sin x, nu are limit a pentrux .

2.45 S a se determine R a.. functia f : (0, 2] R, definit a prin

f(x) =

2 2x ln (ex) + x2, x (0, 1),

+ xe

, x [1, 2],s a aib a limit a n punctul x = 1.

2.46 S a se arate c a:

1) limx

xk

ex= 0. 2) lim

xln x

xk= 0, k N.

2.47S a se cerceteze dac a functia f :

RR

, definit a prin f(x) = [x], are limit a npunctul x = 2.


26/102



1) limxx2 2x + 3x2 3x + 2

x+1

. 2) limx0

1 + 2sin2 x 3x2 .

3) limx0

ln (1 + arcsin 2x)

sin3x.

4) limx0

esin 2x esin xsin2x sin x. 5) limx3

x2 2x + 6 x2 + 2x 6

x2 4x + 3 .

6) limx2

3

x3 5x + 3 x2 + 3x 9x2 + x 6 . 7) limx5

x + 4 3x + 22

4

x + 11 2 .

8) limx0

3

1 + x2

4

1

2x

x + x2 . 9) limx0arcsin x

arctg x

x3 .

10) limx1

arcsin x 2

21 x2 . 11) limx0

1

x2 ctg2x

.

12) limx

x x2 ln x + 1

x

.

13) limx0

1 cos x cos2x 3cos3xx2

.

14) limx0

[1 + ln (1 + x) +

+ ln (1 + nx)]

1x .

15) limx0

p1x1 + p

2x2 + + pnxn

n

1x

, pi > 0, i R.

16) limx0

asin x + btg x

2

1x

, a, b > 0.

Solutie. 1) e. 2) e6. 3) 23. 4) 1. 5) 13 . 6) 730 . 7) 11227 . 8) 12 . 9) 12 . 10) 1.

11) 23. 12) Se ia x = 1

y, y 0, limita este 1

2. 13) 3. 14) e

n(n+1)2 .

15) np11 p22

pnn . 16)

ab.

2.49 S a se determine parametrul real a..

limx

x2 + x + 1 +

3

x3 + x2 + x + 1 ax

,

s a fie finit a si nenul a.

Solutie. Adunam si scadem x. Se obtine a = 2 si limita egala cu 56.

2.50 S a se determine a,b,c R a..

limx5x4 + 7x3 8x2 4x ax2 bx c = 0.


27/102

2.4. PROBLEME 27

Solutie. a =

5, b = 72

5, c = 209

40

5.


1) limx0

cos(xex) cos(xex)x3

. 2) limx0

1 cos x cos2x cos nxx2

, n N.

3) limx0

sin xn sinn xxn+2

, n 2. 4) limx0

tg xn lnn (1 + x)xn+1

.

5) limx0

(1 + x)

1x

e

1x

.

Solutie. 1) Se tine seama ca cos cos = 2sin+

2 sin

2 si se obtine limita 2. 2)Notaman = lim

x01 cos x cos2x cos nx

x2.

Avem ca a1 = 12 si an = an1 +n2

2. Se obtine an =

n(n+1)(2n+1)12

. 3) Functia se mai scrie

sin xn sinn xxn+2

=sin xn xn

xn+2+

xn sinn xxn+2

.

Se obtine limita n6

. 4) Functia se mai scrie

tg xn

lnn

(1 + x)xn+1

= tg xn

xn

xn+1+ x

n

lnn

(1 + x)xn+1

.

Se obtine limita n2

. 5) 1e.


1) limx4

sin x 3cos x cos x 3sin xln(tg x cos2x) . 2) limxx

2

e1x e 1x+1

.

Solutie. 1)326

. 2) Putem scrie

x2

e1x e 1x+1

=

x2

x (x + 1) e 1x+1 e

1x(x+1) 1

1x(x+1)

.


28/102



29/102

Capitolul 3

Functii continue

Fie f : E R, E R, o functie reala si x0 E.Spunem ca functia f este continua n punctul x0 daca oricare ar fi U o vecinatate a

lui f(x0), exista o vecinatate V a lui x0, a.. pentru orice x V E, sa avem f(x) U.Definitia precedenta este echivalenta cu urmatoarea definitie:Spunem ca functia f este continua n punctul x0 daca pentru orice > 0 exista un

numar () > 0 a.. oricare ar fi x Epentru care |xx0| < , sa avem |f(x)f(x0)| < .n cazul n care x0 E este punct de acumulare pentru E, continuitatea n punctul

x0 se poate defini cu ajutorul limitei.Spunem ca functia f este continua n punctul x0, punct de acumulare pentru E, daca

f are limita n x0 si aceasta este egala cu f(x0), adica

limxx0

f(x) = f(x0).

Deoarece f este continua n orice punct izolat din E, problema continuitatii se punenumai n punctele de acumulare ale lui E. Daca f nu este continua n x0, spunem cafunctia f este discontinua n punctul x0, iar x0 se numeste punct de discontinuitate.

Functia f este continua pe o multime A E daca este continua n fiecare punct almultimii A, adica

Spunem ca functia f este continua pe A E daca pentru orice x A si pentru orice > 0 exista un numar (, x) > 0 a.. oricare ar fi x

E pentru care

|x

x

|< , sa

avem |f(x) f(x)| < .

3.1 Proprietati ale functiilor continue

3.1.1 Operatii cu functii continue

Din definitia continuitatii cu ajutorul sirurilor si proprietatile operatiilor cu siruri rezulta:Daca functiile f, g : E R sunt continue n punctul x0, atunci:1. functia f + g este continua n x0;

2. functia f g este continua n x0;3. daca g(x0) = 0, functia f /g este continua n x0.

29


30/102

30 CAPITOLUL 3. FUNCTII CONTINUE

Fie u : E F si f : F R. Daca functia u este continua n punctul x0 E si feste continua n punctul u0 = u(x0) F, atunci functia compusa f u : E R estecontinua n punctul x0.Daca f este continua n x0 si f(x0) = 0, exista o vecinatate V a lui x0 a.. pentruorice x V E sa avem f(x) f(x0) > 0.

Daca f este continua n x0 exista o vecinatate V a lui x0 n care f este marginita.

3.1.2 Proprietati ale functiilor continue pe un interval nchis si

marginit

Prima teorema a lui Weierstrass. O functie continua pe un interval nchis si marginit[a, b] este marginita pe [a, b].

A doua teorema a lui Weierstrass. O functie continua pe un interval nchis simarginit [a, b] si atinge marginile pe [a, b].

Daca o functie continua pe un interval nchis si marginit [a, b] ia valori de semnecontrare la capetele intervalului, adica f(a) f(b) < 0, atunci exista cel putin un punctx0 (a, b) a.. f(x0) = 0.

O functie continua pe un interval nchis si marginit [a, b] ia cel putin o data toatevalorile cuprinse ntre marginea inferioara m si marginea superioara M a valorilor salepe [a, b].

Proprietatea pusa n evidenta n aceasta teorema se numeste proprietatea lui Darboux.

3.2 Probleme

3.1 S a se determine real a.. urm atoarele functii s a fie continue pe multimile lor dedefinitie:

1) f : [1, 3] R, definit a prin

f(x) =

2 2x + x2, x [1, 2),

x + 3, x [2, 3].

2) f : [0, 2]R, definit a prin

f(x) =

6sin (x1)

x1 , x [0, 1), + 5x, x [1, 2].

Solutie. 1) = 13 . 2) = 1.

3.2 S a se determine real a.. urm atoarele functii s a fie continue n punctele indicate:

1) f : R R, definit a prin

f(x) = (1cos x)x2 , x = 0,2

2, x = 0,

, x0 = 0.


31/102

3.2. PROBLEME 31

2) f : [1, ) R, definit a prin

f(x) = arctg (x1)x21 , x = 1,2, x = 1, , x0 = 1.


f(x) =

(1 + x)

1x , x > 0,

x + e, x 0, , x0 = 0.


f(x

) = 2x+2164x16 , x

= 2,

, x = 2,, x

0 = 2.

5) f : [0, ] R, definit a prin

f(x) =

e3x, x [0, 1], sin(x1)x25x+4 , x (1, ],

, x0 = 1.


f(x) = (x + ex)

1x , x < 0,

e2, x = 0,

(sin x + cos x)x , x > 0,

, x0 = 0.

Solutie. 1) {0, 1}. 2) 0, 12

. 3) = 1. 4) = 1

2. 5) = 3e3. 6) = 2.

3.3 S a se determine punctele de discontinuitate ale functiilor:

1) f(x) =

x x, x > 0. 2) f(x) = x 1

x

, x = 0, f(0) = 1.

3) f(x) = x sin1

x

, x

= 0, f(0) = 0. 4) f(x) = xparctg

1

x

, x

= 0, f(0) = 0, p > 0.

Solutie. 1) Discontinua n x = n2, n N. 2) Discontinua n x = 1k

, cu k ntreg nenul.3) si 4) Functii continue pe R.

3.4 S a se studieze continuitatea functiei f : R R definit a prin:

f(x) =

x3 x2, x Q,1

4x, x R \Q.

Solutie. Daca x0 R este un punct de continuitate pentru f, atunci pentru orice sirxn Q, xn x0 si orice sir xn R \Q, xn x0, avem: x

3

0 x2

0 = 1

4 x0, de underezulta ca x0

0, 12

.


32/102

32 CAPITOLUL 3. FUNCTII CONTINUE

3.5 Fie functia f : [0, 1] R, definit a prin

f(x) = x, x Q,1 x, x R \Q.

S a se studieze continuitatea, s a se arate c a f([0, 1]) este un interval si c a f nu areproprietatea lui Darboux.

Solutie. Punctul x0 [0, 1] este un punct de continuitate pentru f d.d. x0 = 1x0,adica x0 = 1

5

2este singurul punct de continuitate al lui f. Pentru orice x [0, 1],

x, 1 x [0, 1], deci f([0, 1]) [0, 1]. Fie y [0, 1]. Daca y Q, exista x =y2 (x Q) a.. f(x) = y, iar daca y R \Q, exista x = 1 y (x R \Q) a..f(x) = y. Asadar, [0, 1]

f([0, 1]). Avem: f([0, 1]) = [0, 1]. Pentru a arata ca f

nu are proprietatea lui Darboux, fie intervalul

19 , 14

[0, 1], cu f19 = 13 , f14 = 12 .Consideram = 1417

13

, 12

si aratam ca ecuatia f(x) = nu are solutii n intervalul

19

, 14

. Daca x Q, x = 1417 , da x = 117 / Q, daca x R \Q, 1 x = 1417 , da

x = 1 1417 /

19

, 14

, deoarece 1 1417 > 14 .


33/102

Capitolul 4

Functii derivabile

4.1 Derivata si diferentiala

Fie f : E R, E R, o functie reala si x0 E un punct de acumulare al multimii E.Spunem ca functia f este derivabila n punctul x0 daca exista si este finita limita n

x0 a functiei

Rx0(x) =f(x) f(x0)

x x0 , x E\ {x0}.

Daca f este derivabila n x0, limita finita a functiei Rx0 se numeste derivata functiei f nx0 si se noteaza cu f(x0):

f(x0) = limxx0

f(x) f(x0)x x0 .

Daca limita functiei Rx0 este infinita, atunci functia f nu este derivabila n x0. Dacalimita functiei Rx0 este se spune ca f are derivata n x0.

Spunem ca functia f : E R este diferentiabila n punctul x0 E, punct deacumulare pentru E, daca exista numarul A R si functia : E R satisfacndconditia lim

xx0(x) = (x0) = 0 a..

f(x)

f(x0) = A (x

x

0) + (x) (x

x

0),

x

E,

sau, cu x x0 = h

f(x0 + h) f(x0) = A h + (x0 + h) h, x0 + h E.

Daca f este diferentiabila n x0, aplicatia

h A h, h R,

se numeste diferentiala functiei f n x0 si se noteaza

df(x0) = df(x0; h) = A h.

33


34/102

34 CAPITOLUL 4. FUNCTII DERIVABILE

Pentru functia identica i : R R, definita prin i(x) = x, oricare ar fi x0 R are locidentitatea

i(x) i(x0) = 1 h + 0 h, h R,care arata ca functia identica este diferentiabila n orice punct x0 R si di(x0) =di(x0; h) = h, h R. Deoarece diferentiala functiei identice este aceeasi n orice punctdin R, ea se noteaza

di(x) = dx = h (4.1)

si se numeste diferentiala variabilei independente. Deci, putem scrie:

df(x0) = Adx.

Functia f este diferentiabila n x0 d.d. este derivabila n x0. Daca f este diferentiabilan x0, atunci

df(x0) = f (x0) dx.

Spunem ca functia f este de doua ori derivabila n x0 daca functia f este derivabilan x0. n acest caz, (f)(x0) se numeste derivata a doua a functiei f n x0 si se noteazaf(x0). Deci

f(x0) = (f)(x0) saud2f

dx2(x0) =

d

dx

df

dx

(x0).

Procednd prin recurenta, spunem ca f este de k ori derivabila n x0 daca f(k1) estederivabila n x0. Deci

f(k)(x0) = (f(k1))(x0) sau

dkf

dxk(x0) =

d

dx

dk1fdxk1

(x0).

Spunem ca functia f este de doua ori diferentiabila n punctul x0 daca functiadf(x; h) = f(x) h este diferentiabila n x0 oricare ar fi h R. Daca f este de douaori diferentiabila n x0 atunci aplicatia

d2

f(x0; h) = d(df)(x0; h) = d(f h)(x0; h) = (f h)(x0) h = f(x0) h2

se numeste diferentiala a doua a functiei f n x0.Functia f este de k ori diferentiabila n x0 daca diferentiala de ordinul k 1 a functiei

f, adica dk1f(x; h) = f(k1)(x) hk1 este diferentiabila n x0 pentru orice h R. nacest caz, aplicatia

dkf(x0; h) = d(dk1f)(x0; h) = (f(k1) hk1)(x0) h = f(k)(x0) hk

se numeste diferentiala de ordinul k a functiei f n x0.

Functia f este de k ori diferentiabila n x0 d.d. f este de k ori derivabila n x0.Deoarece h = dx, putem scrie dkf(x0) = f(k)(x0) dxk.


35/102

4.2. DERIVATELE FUNCTIILOR UZUALE 35

4.2 Derivatele functiilor uzuale

Dam mai jos un tabel al derivatelor functiilor uzuale:

c = 0, (tg x) =1

cos2 x, (arccos x) = 1

1 x2 ,

(x) = x1, (ctg x) = 1sin2 x

, (arctg x) =1

1 + x2,

(

x)

=1

2

x, (ex) = ex, (arcctg x) = 1

1 + x2,

( n

x)

=1

nn

xn1, (ax) = ax ln a, (sh x) = ch x,

1x

=

1

x2

, (ln x) =1

x

, (ch x) = sh x,

(sin x) = cos x, (loga x) =

1

x ln a, (th x) =

1

ch2 x,

(cos x) = sin x, (arcsin x) = 11 x2 , (cth x)

= 1sh2 x

.

Regula de derivare a functiilor compuse mpreuna cu tabelul anterior permite obtinereaurmatoarelor formule de derivare, n care u = u (x) este o functie derivabila:

(un) = nun1u, (tg u) =u

cos2 u, (arccos u) = u

1

u2

,

(u) = u1u, (ctg u) = usin2 u

, (arctg u) = u1 + u2

,

(

u)

=u

2

u, (eu) = ueu, (arcctg u) = u

1 + u2,

( n

u)

=u

nn

un1, (au) = uau ln a, (sh u) = uch u,

1

u

= u

u2, (ln u) =

u

u, (ch u) = ush u,

(sin u) = u cos u, (loga u) =

u

u ln a, (th u) =

u

ch2 u,

(cos u)

= u sin u, (arcsin u)

=

u

1 u2 , (cth u)

= u

sh2 u .

Utiliznd acest tabel si regulile de derivare formulate n ultimele doua paragrafe,putem calcula derivata oricarei functii care se obtine din acestea prin aplicarea unuinumar finit de operatii aritmetice si de compunere.

4.3 Proprietati ale functiilor derivabile

Multe dintre proprietatile functiilor derivabile de o variabila reala sunt cunoscute din

liceu. Pentru a usura expunerea rezultatelor noi, trecem totusi n revista unele dintreaceste proprietati.


36/102


Puncte de extrem. Teorema lui Fermat

Fie f : ER, E

R.

Punctul x0 E se numeste punct de extrem local sau relativ al functiei f daca existao vecinatate V a lui x0 a.. diferenta f(x) f(x0) sa pastreze semn constant pentru oricex V E. Daca:

f(x) f(x0) 0, x V E, x0 este punct de maxim local,f(x) f(x0) 0, x V E, x0 este punct de minim local.Daca diferenta f(x)f(x0) pastreaza semn constant pentru orice x E, atunci x0 se

numeste punct de extrem absolut. Orice punct de extrem absolut este punct de extremrelativ. Reciproca nu este adevarata.

Teorema lui Fermat. Fie f : I R, definita pe intervalul I R si x0 un punctde extrem interior lui I. Daca functia f este derivabila n x0, atunci f(x0) = 0.

Teorema lui Fermat este o conditie necesara de extrem.Un punct x0 I se numeste punct stationar sau punct critic al functiei f daca f este

derivabila n x0 si f(x0) = 0.Teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem ale unei functii derivabile sunt

puncte stationare.

Teoremele lui Rolle, Lagrange si Cauchy

Teorema lui Rolle. Fie f : [a, b] R. Daca:1. f este continua pe [a, b],2. f este derivabila pe (a, b),3. f(a) = f(b),atunci exista un punct c (a, b) a.. f(c) = 0.Teorema lui Lagrange. Fie f : [a, b] R. Daca:1. f este continua pe [a, b],2. f este derivabila pe (a, b),atunci exista un punct c (a, b) a.. f(b) f(a) = f(c) (b a) = df(c; b a).Teoremele lui Rolle si Lagrange afirma numai existenta punctului c (a, b), fara nici

o precizare asupra unicitatii acestuia.Din teorema lui Lagrange rezulta ca daca f : I R este derivabila pe I, atunci

oricare ar fi x1, x2

I, x1= x2, exista de forma = x1 + (x2

x1), cu

(0, 1), a..

f(x1) f(x2) = (x1 x2) f().n particular, daca a, a + h I, avem

f(a + h) f(a) = h f(), = a + h, (0, 1).Teorema 4.3 se numeste prima teorema de medie a calculului diferential sau teorema

cresterilor finite.Daca f : I R este derivavila pe I R si f(x) = 0 pe I, atunci f este constanta

pe I.

De aici rezulta ca daca f, g : I R sunt derivabile pe I R si f(x) = g(x) pe I,atunci f si g difera printr-o constanta pe I.


37/102

4.4. PROBLEME 37

4.4 Probleme

4.1 Utiliznd definitia, s a se calculeze derivatele urm atoarelor functii, n punctele spe-cificate:

1) f(x) =

x + 2, x0 = 7. 2) f(x) = ln (x2 + 5x) , x0 = 1.

3) f(x) = sin 3x2, x0 =

. 4) f(x) = arcsin (x 1) , x0 = 1.5) f(x) = e3x, x0 = 1. 6) f(x) = tg x, x0 =

4

.

4.2 S a se studieze derivabilitatea urm atoarelor functii, n punctele specificate:

1) f :1

2, R, f(x) = ln (1 + 2x) , x (12 , 0],

2x, x (0, ) , x0 = 0.

2) f : (0, ) R, f(x) =

x2 + 5x + 2, x

(0, 2],

98 x + 74 , x (0, ) , x0 = 2.

Solutie. 1) f (0) = 2. 2) f (2) = 98 .

4.3 S a se calculeze derivatele urm atoarelor functii:

1) f(x) = x4 + 5x3 8. 2) f(x) = x2 + x 3x.3) f(x) = x cos x. 4) f(x) = x1

x2+1.

5) f(x) = sin x2+cos x . 6) f(x) = lnx2

x+1.

7) f(x) = 3

1x21+x2

. 8) f(x) = ex2 cos x.

Solutie. Se obtine:1) f (x) = 4x3 + 15x2. 2) f (x) = 2x + 1

2

x 1

3( 3

x)2 .

3) f (x) = cos x x sin x. 4) f (x) = x22x1(x2+1)2

.

5) f (x) = 2cos x+1(2+cos x)2

. 6) f (x) = 1x

x+2x+1

.

7) f (x) = 43

x

(1+x2)23

1+x2

1x22

.

8) f (x) = (2x cos x x2 sin x) ex2 cos x.4.4 S a se calculeze derivatele urm atoarelor functii:

1) f(x) = ln2sin x + 1 + 2sin x 1 . 2) f(x) = sin xcos2 x + ln 1+sin xcos x .

3) f(x) = x2

x2 + k + k

2ln

x +

x2 + k

. 4) f(x) = 5 sh3 x15

+ 3sh5 x15

.

5) f(x) = exarctg ex ln 1 + e2x. 6) f(x) = xxex

(x ln x x 1) .

7) f(x) =x

2

a2 x2 + a

2

2arcsin

x

a. 8) f(x) = loge2

xn +

x2n + 1

.

Solutie. Se obtine:1) f (x) = cos x

(4sin2 x1). 2) f (x) = 2

cos3 x.

3) f (x) =

x2 + k. 4) f (x) = sh2 x15

ch3 x15

.

5) f (x) = ex

arctg ex

. 6) f (x) = xx+1

ex

(ln x)(ln x 1).7) f (x) = a2 x2. 8) f (x) = nxn12

x2n+1.


38/102



1) f(x) = ln1+

sin x1sin x + 2 arctg

sin x .2) f(x) = 3

4ln x

2+1x21 +

14

ln x1x+1

+ 12

arctg x.

3) f(x) = 13 ln (1 + x) 16 ln (x2 x + 1) + 13 arctg 2x13 .4) f(x) = 3b2arctg

x

bx (3b + 2x)

bx x2.

Solutie. 1) f (x) = 2cos x

sin x

. 2) f (x) = x(x3)x41 . 3) f

(x) = 1x3+1

.4) f (x) = 4x

x

bx .


1) f(x) = arcsin xx + ln x1+1x2 .2) f(x) = ln

x4 + x2 + 1 + 2

3arctg 2x

2+13

.

3) f(x) = x4(x2+1)2

+ 3x8(x2+1)

+ 38

arctg x.

4) f(x) = 52

(2x2 + 8x + 1) 132

ln

2 (x + 2) +

(2x2 + 8x + 1)

.

Solutie. Se obtine:1) f (x) = arcsin x

x2. 2) f (x) = 2x

3+3xx4+x2+1

.3) f (x) = 1

(x2+1)3. 4) f (x) = 5x3

2x2+8x+1.

4.7 S a se arate c a derivata unei functii pare este o functie impar a, iar derivata uneifunctii impare este o functie par a.

4.8 S a se arate c a derivata unei functii periodice este o functie periodic a.

4.9 S a se arate c a functia y = xex satisface relatia xy = (1 x) y.

4.10 S a se arate c a functia y = xex2

2 satisface relatia xy = (1 x2) y.

4.11 S a se arate c a functia y = 11+x+ln x satisface relatia xy = y (y ln x 1).

4.12 S a se calculeze derivatele de ordinul doi ale urm atoarelor functii:

1) f(x) = x8 + 7x6 5x + 4. 2) f(x) = (arcsin x)2 .3) f(x) = ex

2. 4) f(x) = ln

x +

a2 + x2

.

5) f(x) = (1 + x2) arctg x. 6) f(x) = sin2 x.

Solutie. Se obtine:1) f (x) = 56x6 + 210x4. 2) f (x) = 2

1x2 +2x

(1x2)3arcsin x.

3) f (x) = 2ex2

+ 4x2ex2. 4) f (x) =

x

(a2+x2)3.

5) f (x) = 2 arctg x + 2 xx2+1

. 6) f (x) = 2cos 2x.


39/102

4.4. PROBLEME 39

4.13 S a se calculeze derivatele de ordinul n ale urm atoarelor functii:

1) f(x) = e

ax

. 2) f(x) =

1

xa . 3) f(x) =1

x2a2 .4) f(x) = cos x. 5) f(x) = sin x. 6) f(x) = ln 2xx21 .

7) f(x) = 2x. 8) f(x) = 1x23x+2 . 9) f(x) = ln (ax + b) .

10) f(x) = eax ebx. 11) f(x) = 1ax+b

. 12) f(x) = (1 + x) .

Solutie. 3) Se tine seama de identitatea: 1x2a2 =

12a

1

xa 1x+a.

4) f(n) (x) = cos

x + n2

. 5) f(n) (x) = sin

x + n

2

.

6). f (x) = x2+1x(x2+1)

si se scrie fractia ca suma de fractii simple.

7) f(n) (x) = 2x lnn 2.

8) f(x) = 1x

2

1

x

1, se obtine f(n) (x) = (

1)n n! 1(x2)n+1

1(x

1)n+1 .

9) f(n) (x) = (1)n1 (n1)!an(ax+b)n . 10) f(n) (x) = eax ebx (a + b)n.11) f(n) (x) = (1)n n!an

(ax+b)n+1.

12) Avem: f(n) (x) = ( 1) ( n + 1) (1 + x)n.

4.14 Se consider a functia polinomial a f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1. S a se calculeze

suma: S =4

k=1

1xk2 , unde xk sunt r ad acinile ecuatiei f(x) = 0.

Solutie. Din f(x) = (x x1) (x x2) (x x3) (x x4), prin derivare, deducem:

f (x)f(x)

=4

k=1

1

x xk .

Deci S = f(2)f(2)

= 4931

.

4.15 S a se determine cu ct se modific a (aproximativ) latura unui p atrat dac a aria sacreste de la 9 m2 la 9, 1 m2.

Solutie. Daca x este aria patratului si y latura sa, atunci y =

x. Se dau: x0 = 9,h = 0, 1. Cresterea laturii patratului este data de:

y y0 dy = f (x) h = 12

9 0, 1 = 0, 016 m.

4.16 S a se g aseasc a cresterea yy0 si diferentiala dy ale functieiy = 5x +x2 n punctulx0 = 2, dac a h = 0, 001.

Solutie. y y0 = 0, 009001 si dy = 0, 009.

4.17 S a se calculeze diferentiala functiei y = cos x n punctul x0 =6

, pentru h = 36

.

4.18 S a se calculeze diferentiala functiei y = 2x n punctul x0 = 9, pentru h = 0, 01.


40/102


4.19 S a se calculeze diferentialele functiilor:

1) f(x) = 1xn

. 2) f(x) = x ln x

x. 3) f(x) = x1x

.

4) f(x) = ln 1x1+x

. 5) f(x) = x2ex. 6) f(x) = ex sin x.

Solutie. Se obtine:1) df(x) = n

xn+1dx. 2) df(x) = ln x dx. 3) df(x) = 1

(1x)2 dx.

4) df(x) = 2x21 dx. 5) df(x) = x (2 x) exdx.

6) df(x) = e (x sin x + cos x) dx.

4.20 S a se calculeze diferentialele de ordinul doi ale functiilor:

1) f(x) =

1 x2. 2) f(x) = arccos x. 3) f(x) = sin x ln x.4) f(x) =

1

x ln x. 5) f(x) = x2

ex

. 6) f(x) = ex

sin x.

4.21 S a se determine abscisele punctelor de extrem ale functiilor:

1) f(x) = 2 cos x + x2. 2) f(x) = x2 (x 12)2 .3) f(x) = x

22x+2x1 . 4) f(x) =

3

(x2 1)2.

5) f(x) = 2sin 2x + sin 4x. 6) f(x) = 2 cos x2

+ 3 cos x3

.

Solutie. 1) x0 = 0 este punct de minim.2) x1 = 0, x2 = 12 sunt puncte de minim, x3 = 6 este punct de maxim.3) x1 = 0 este punct de maxim, x2 = 2 este punct de minim.

4) x1,2 = 1 sunt puncte de minim, x3 = 0 este punct de maxim.5) xk = 6 + k sunt puncte de minim, xk = 6 + k sunt puncte de maxim, k Z.6) xk = 12k si xk = 12

k 2

5

sunt puncte de maxim, yk = 6 (2k + 1) si yk =

12

k 15

sunt puncte de minim, k Z.

4.22 Fie a1, a2, . . . , an (0, ) si ax1 + ax2 + + axn n pentru orice x R. S a searate c a atunci a1 a2 an = 1.

Solutie. Fie functia f : R R, definita prin f(x) = ax1 + ax2 + + axn. Avem caf(x) n = f(0), x R, deci x0 = 0 este un punct de minim pentru f si conformteoremei lui Fermat: f (0) = 0.

4.23 Fie a, b (0, ) \ {1} a.. ax2 b + bx2 a 2ab, pentru orice x R. S a se aratec a ab = 1.

Solutie. Fie unctia f : R R, definita prin f(x) = ax2 b + bx2 a. Avem caf(x) 2ab = f(1), x R, deci x0 = 1 este un punct de minim pentru f si conformteoremei lui Fermat: f (1) = 0.

4.24 S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru functia f :

0, 2

R,definit a prin

f(x) = cos x, x 0,

4 ,

sin x, x 4

, 2

.


41/102

4.4. PROBLEME 41

Solutie. Functia nu este derivabila n 4

.

4.25 Sa se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru functiile f

: [0,

2] R,

definite prin:1) f(x) = |x 1| . 2) f(x) = |x 1|3 .

Solutie. 1) Nu. 2) Da, c = 1.

4.26 S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle pentru functiile f :

2,

2

R,definite prin:

1) f(x) = |sin x| . 2) f(x) = sin3 x .Solutie. 1) Nu. 2) Da, c = 0.

4.27 S a se arate c a polinomul lui Legendre Pn (x) = dn

dxn (x2 1)n are n r ad acini dis-tincte n intervalul (1, 1).

Solutie. Se aplica de n ori teorema lui Rolle functiei f(x) = (x2 1)n.4.28 Fie f : [a, b] R o functie continu a pe [a, b], derivabil a pe (a, b) si a.. f(a) =

f(b). S a se arate c a exist a c (a, b) a.. f(a) f(c) = f (c) (c a).Solutie. Se aplica teorema lui Rolle functiei g (x) = (x a) f(x)xf(a) pe intervalul

[a, b].

4.29 Fie numerele reale a0, a1, a2, . . . , an care verific a relatiaa01

+2a1

2+

22a23

+ + 2nan

n + 1= 0.

S a se arate c a functia f : [1, e2] R, definit a prin f(x) = a0 + a1 ln x + a2 ln2 x + +an ln

n x se anuleaz a cel putin ntr-un punct din intervalul (1, e2).

Solutie. Se aplica teorema lui Rolle functiei g (x) = a0 ln x + a1 ln2 x

2+ + an lnn+1 x

n+1.

4.30 Fie f : [a, b] R o functie continu a pe [a, b], derivabil a pe(a, b). S a sea arate c aexist a c

(a, b) a.

f (c) = a + b 2c(c a) (c b) .

Solutie. Se aplica teorema lui Rolle functiei g (x) = ef(x) (x a) (x b) pe intervalul[a, b].

4.31 Se consider a functia f : [1, 1] R, definit a prin:

f(x) =

x2 + mx + n, x [1, 0] ,px2 + 4x + 4, x (0, 1].

S a se determine m,n,p R a.. f s a satisfac a ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul[1, 1] si s a se g aseasc a valoarea constantei c n acest caz.


42/102


Solutie. n = 4, m = 4, p = 7, c = 27.

4.32 Fie f, g : [a, b] R dou a functii continue pe [a, b], derivabile pe (a, b) si cuf(a) = f(b). S a se arate c a ecuatia f(x) g (x) + f (x) = 0 are cel putin o solutie nintervalul (a, b).

Solutie. Fie h : [a, b] R, definita prin h (x) = f(x) eg(x), care este o functie Rolle.Exista deci c (a, b) a.. h (c) = 0. Dar h (x) = f (x) eg(x) + f(x) g (x) eg(x).

4.33 Fie f : [a, b] R o functie de trei ori derivabil a pe[a, b] a.. f(a) = f(b) = 0 sif (a) = f (b) = 0. S a se arate c a exist a cel putin un punct c (a, b) a.. f (c) = 0.

Solutie. Aplicam teorema lui Rolle. Exista d (a, b) a.. f (d) = 0. Exista apoic1 (a, d) si c2 (d, b) a.. f (c1) = 0 si f (c2) = 0. Deci exista c (c1, c2) a..f (c) = 0.

4.34 S a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru functia f : [0, 1] R,definit a prin f(x) =

x2 + ax, a > 0, si n caz afirmativ s a se determine constanta c

corespunz atoare.

Solutie. Da, c = 12

a + a2 + a (0, 1).4.35 S a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru functiilor f, definite

prin:

1) f(x) =

x, x [1, 2] ,x2

4 + 1, x (2, 3].2) f(x) =

x2, x [0, 1] ,2x 1, x (1, 2].

3) f(x) =

x + 1, x (0, 3],

x2

+ 1, x [4, 0] . 4) f(x) =

3x22

, x [0, 1] ,1x

, x (1, 2].

Solutie. 1) Da, f (c) = 98, c = 9

4. 2) Da, c = 3

4. 3) Da, c = 13

36. 4) Da, c1 = 12 , c2 =

2.

4.36 S a se determine abscisa c a unui punct n care tangenta la graficul functiei f :R R, definit a prin

f(x) = x+22 , x 0,x + 1, x > 0,

este paralel a cu coarda care uneste punctele de pe grafic de abscise x1 = 4 si x2 = 3.

Solutie. c = 1336

.

4.37 S a se arate c a 3

30 3 < 19

.

Solutie. Se aplica teorema lui Lagrange functiei f : [27, 30] R, definita prinf(x) = 3

x.

4.38 S a se g aseasc a solutiile reale ale ecuatiei (a 1)x

+ (a + 3)

x

= ax

+ (a + 2)

x

, cua > 1.


43/102

4.4. PROBLEME 43

Solutie. Ecuatia se mai scrie: ax (a 1)x = (a + 3)x (a + 2)x. Consideramfunctia f : (0, ) R, definita prin f(t) = tx, pentru x R, fixat. Aplicam teoremalui Lagrange pe intervalele [a 1, a] si [a + 2, a + 3]. Exista deci c1 (a 1, a) si c2 (a + 2, a + 3) a.. f(a) f(a 1) = f (c1) si f(a + 3) f(a + 2) = f (c2). Dinf (c1) = f (c2) cu c1 = c2, rezulta x1 = 0, x2 = 1.

4.39 Fie f o functie de dou a ori derivabil a ntr-o vecin atate V a punctului a R. S ase arate c a pentru orice h suficient de mic exist a punctele p, q V a..

f(a + h) f(a h)2h

= f (p) ,f(a + h) 2f(a) + f(a h)

h2= f (q) .

4.40 S a se cerceteze aplicabilitatea teoremei lui Cauchy pentru functiile f si g, definite

prin:

1) f, g : [1, e] R, f(x) = ln x, g (x) = ex

.

2) f, g : [2, 5] R, f(x) =

x + 3, x [2, 1),x4 +

74

, x [1, 5] , g (x) = x.

3) f, g : [0, 3] R, f(x) =

x3

3 x2 + 1, x [1, 3] ,

x + 43

, x [0, 1] , g (x) = x.

Solutie. 1) Da, c = ee1 . 2) Da, c =

116

. 3) Da, c = 2

23

+ 1.

4.41 S a se calculeze, utiliznd regula lui lHospital:

1) limx0

tg xxxsin x . 2) limx1

xxxln xx+1 . 3) limx0

ln(sin 2x)ln(sin 3x)

.

4) limx

xn

eax, a > 0. 5) lim

x0

ctg x 1x

. 6) lim

x0

(1+x)

1x

e

1x

.

7) limx0

1x2

ctg2 x . 8) limx

x x2 ln 1+x

x

. 9) lim

x1

tg x4

tg x2 .Solutie. 1) 2. 2) 2. 3) 1. 4) 0. 5) 0. 6) 1

2. 7) Putem scrie:

1

x2 ctg2 x =

sin2 x x2 cos2 xx2 sin

2

x

si se aplica de patru ori regula lui lHospital. Se obtine 23. 8) Luam x = 1

t, cu t 0

pentru x . Se obtine 12. 9) 1

e.

4.42 S a se calculeze, utiliznd regula lui lHospital:

1) limx0

tg x x sin xx sin x . 2) limx

x [ln x ln (x + 1)] + 1ex [ln(ex + 1) ln x] 1 .

Solutie. 1) 5. 2) e.


44/102



45/102

Capitolul 5

Reprezentarea grafica a functiilor

Pentru reprezentarea grafica a unei functii avem nevoie de urmatoarele elemente.

5.1 Derivata nti. Intervale de monotonie. Puncte

de extrem

Fie f : E R, E R si E submultimea lui E pe care f este derivabila. Avemurmatoarele rezultate:

1. Daca derivata f este strict pozitiva pe un interval I E, atunci functia f estestrict crescatoare pe I.

2. Daca derivata f este strict negativa pe un interval I E, atunci functia f estestrict descrescatoare pe I.

3. Daca derivata f este continua si nu se anuleaza pe un interval I E, atuncifunctia f pastreaza acelasi semn pe ntreg intervalul I.

Pentru a determina intervalele de monotonie se procedeaza deci n modul urmator:1. Se determina multimea E E pe care functia f este derivabila si se calculeaza

derivata f pe multimea E.2. Se determina punctele din E n care f se anuleaza, adica se rezolva ecuatia

f (x) = 0 n multimea E.3. Se descompune E n intervale disjuncte, astfel nct pe nici un interval derivata f

sa nu se anuleze.4. Se determina semnul derivatei pe fiecare interval.5. n functie de semnul derivatei, se stabileste monotonia functiei.Punctele de extrem se determina astfel: Fie x0 un punct interior al multimii E n care

f este continua, si fie I E un interval care l contine pe x0 si astfel ca derivata f nuse mai anuleaza pe I, cu exceptia, eventual, a lui x0 (daca f este derivabila n x0). Dacape I functia f este strict crescatoare la stnga lui x0 si strict descrescatoare la dreaptalui x0, atunci x0 este punct de maxim. Daca pe I functia f este strict descrescatoare lastnga lui x0 si strict crescatoare la dreapta lui x0, atunci x0 este punct de minim.

Daca x0 este extremitatea stnga a intervalului I pe care derivata nu se mai anuleaza

si functia f este continua n x0, atunci:- daca pe I derivata este negativa, x0 este punct de maxim,

45


46/102

46 CAPITOLUL 5. REPREZENTAREA GRAFIC A A FUNCTIILOR

- daca pe I derivata este pozitiva, x0 este punct de minim.Daca x0 este extremitatea dreapta a intervalului I pe care derivata nu se mai anuleaza

si functia f este continua n x0, atunci:- daca pe I derivata este negativa, x0 este punct de minim,- daca pe I derivata este pozitiva, x0 este punct de maxim.Putem stabili daca x0 este punct de extrem si cu ajutorul derivatelor de ordin superior

ale functiei f n x0.Fie f : I R o functie de n ori derivabila, n 2, ntr-un punct x0 I, a..

f (x0) = 0, f (x0) = 0, . . . , f (n1) (x0) = 0, f(n) (x0) = 0.1. Daca n este par, x0 este punct de extrem. Daca f(n) (x0) < 0 atunci x0 este punct

de maxim, iar daca f(n) (x0) > 0 atunci x0 este punct de minim.

2. Daca n este impar, x0 nu este punct de extrem. n acest caz x0 este un punct deinflexiune.

5.2 Convexitate. Derivata a doua. Puncte de inflex-

iune

Fie f o functie definita si derivabila pe un interval I.Spunem ca functia f este convexa pe intervalul I daca tangenta n orice punct al

graficului se afla sub grafic.

Spunem ca functia f este concava pe intervalul I daca tangenta n orice punct algraficului se afla deasupra graficului.Daca f este de doua ori derivabila pe I si derivata a doua este pozitiva, atunci functia

f este convexa pe I.Daca f este de doua ori derivabila pe I si derivata a doua este negativa, atunci functia

f este concava pe I.Spunem ca punctul interior x0 I este punct de inflexiune al functiei f daca functia

are derivata n x0 si daca este convexa de o parte a lui x0 si concava de cealalta parte alui x0.

Pentru a determina intervalele pe care o functie este concava sau convexa se pro-cedeaza astfel:

1. Se calculeaza derivata a doua.2. Se determina radacinile ecuatiei f (x) = 0.3. Se determina intervalele n care derivata a doua pastreaza semn constant. Punctele

de inflexiune ale graficului se determina tinnd seama ca n aceste puncte f exista attde o parte ct si de alta a acestor puncte, iar derivata a doua are semne diferite.

5.3 Asimptote

Dreapta y = mx + n este asimptota la ramura infinita a graficului functiei y = f(x),pentru x

, dac

a

limx

[f(x) mx n] = 0.


47/102

5.4. PROBLEME 47

Dreapta y = mx + n este asimptota la ramura infinita a graficului functiei y = f(x),pentru x , daca

limx [f(x) mx n] = 0.coeficientii m,n,m, n se determina din formulele:

m = limx

f(x)x

, n = limx

[f(x) mx] ,m = lim

xf(x)

x, n = lim

x[f(x) mx] .

Daca m = 0, , dreapta y = mx + n se numeste asimptota oblica. Daca m = 0,dreapta y = n se numeste asimptota orizontala.

Dreapta x = a este asimptota verticala la graficul functiei y = f(x) daca:

limxa

f(x) = sau limxa

f(x) = .

Pentru trasarea graficului unei functii trebuie parcurse urmatoarele etape:1. Se determina domeniul maxim de definitie.2. Se calculeaza f(0) daca zero apartine domeniului de definitie. n punctul (0, f(0))

graficul taie axa Oy.3. Se rezolva ecuatia f(x) = 0. Solutiile, daca exista, reprezinta abscisele punctelor

de intersectie ale graficului cu axa Ox.4. Se calculeaza lim

xaf(x) si lim

xbf(x), unde a, b sunt extremitatile intervalelor a caror

reuniune formeaza domeniul de definitie.5. Se determina multimea n care functia este derivabila, se calculeaza derivata, serezolva ecuatia f (x) = 0, se determina semnul derivatei ntia pe subintervale. Sestabilesc eventualele puncte de extrem.

6. Se determina multimea n care functia este de doua ori derivabila, se calculeazaderivata a doua, se rezolva ecuatia f (x) = 0, se determina semnul derivatei a doua pesubintervale. Se stabilesc eventualele puncte de inflexiune.

7. Se determina asimptotele, daca este cazul.8. Se alcatuieste tabloul de variatie al functiei, care va contine pe patru linii valorile

lui x, f (x), f(x), f (x).9. Se traseaza graficul tinnd seama de datele din tabloul de variatie si de asimptote.

5.4 Probleme

5.1 S a se reprezinte grafic functia f(x) = sin x (1 + cos x).

Solutie. Functia f este definita pentru orice x R, are perioada 2 si graficul eieste simetric fata de origine, deoarece f(x) = f(x). Vom studia functia pe intervalul[0, ].

Intersectia cu axa Ox are loc n punctele x = 0 si x = .

Prima derivata este f (x) = cos x + 2cos2

x 1 = (1 + cos x)(2cos x 1). Ea seanuleaza pentru x1 = 3 si x2 = . n x1 functia are un maxim egal cu 334

.


48/102


Derivata a doua este data de f (x) = sin x (1 + 4 cos x). Ea se anuleaza n interiorulintervalului(0, ) n punctul x3 = arccos 14 , care este punct de inflexiune.

Tabloul de variatie este urmatorul.

x 0 3

arccos 14

f (x) 2 + 0 0f(x) 0 3

3

4 3

15

16 0

f (x) 0 0 + 0

Graficul functiei este dat n Fig. 5.1.

x6420-2

1

0.5

0-0.5

-1

Fig. 5.1.

5.2 S a se reprezinte grafic functia f(x) = cos 2x + 2 cos x + 1.

Solutie. Functia f este definita pe R, are perioada 2, iar graficul ei este simetricfata de axa Oy, deoarece f(x) = f(x). Vom studia functia pe intervalul [0, ].

Intersectia cu axa Oy este punctul (0, 4), iar intersectia cu axa x consta din punctele2

, 0

si (, 0).Prima derivata este f (x) = 2sin x (2cos x + 1). Ea se anuleaza pentru x1 = 0,

x2 =23 si x3 = . n x2 functia are un minim f

23

= 12 .

Derivata a doua f (x) = 2(4cos2 x + cos x 2) se anuleaza pentru x4 = arccos

3318

si x5 = arccos

33+18

. Ambele sunt puncte de inflexiune.Tabloul de variatie este urmatorul.

x 0 x42

23

x5 f (x) 0 0 + 0f(x) 4 0 1

2 0

f (x) 0 + + 0



49/102

5.4. PROBLEME 49

x420-2-4

4

3

2

1

0

Fig. 5.2.

5.3 S a se reprezinte grafic functia f(x) =(x+1)3

x2x+1 .

Solutie. Domeniul de definitie al functiei este R. Avem: limx

f(x) = , limx

f(x) = si f(x) = 0 pentru x = 1. Intersectia cu Oy este (0, 1).Prima derivata f (x) = (

x2x2)2

(x2x+1)2 se anuleaza pentru x1 = 1 si x2 = 2.Derivata a doua este f (x) =

6(2x1)(x2x2)(x2x+1)3 . Ea se anuleaza pentru x3 =

12, x4 = 1

si x5 = 2. Toate trei sunt puncte de inflexiune. Graficul admite asimptota oblica y =x + 4. Deoarece f(x)

(x + 4) = 6x3

x2

x+1se anuleaza pentru x = 1

2

, rezulta ca asimptotataie graficul n punctul

12

, 92

. Pentru x < 1

2asimptota se afla deasupra graficului, iar

pentru x > 12

asimptota se afla sub grafic.Tabloul de variatie este urmatorul.

x 1 0 12

2 +f (x) + + 0 + + + + + 0 + +f(x) 0 1 4, 5 9 +

f (x) 0 + + + 0 0 + +Graficul functiei este dat n Fig. 5.3.

x6420-2-4-6

10

8

6

4

2

0

-2

Fig. 5.3.


50/102


5.4 S a se reprezinte grafic functia f(x) = 1x2

1+x2.

Solutie. Domeniul de definitie al functiei este R. Se observa ca limn f(x) = 1,deci y = 1 este asimptota orizontala la graficul functiei att la ramura spre , ctsi la ramura spre +. Graficul este simetric fata de axa Oy. Intersectiile cu axa Ox auloc n punctele (1, 0) si (1, 0), iar punctul de intersectie cu Oy este (0, 1).

Prima derivata este f (x) = 4x(1+x2)2

, x R. Ea se anuleaza pentru x = 0. Acestaeste un punct de maxim, deoarece f (x) > 0 pentru x (, 0) si f (x) < 0 pentrux (0, ). Valoarea functiei n punctul de maxim este f(0) = 1. Se observa apoi caf (1) = 1 si f (1) = 1.

Derivata a doua f (x) =4(3x21)

(1+x2)3, x R, se anuleaza pentru x = 1/3. Punctele

1/

3, 0 si 1/3, 0 sunt puncte de inflexiune, deoarece f (x) < 0 pentru x 1/3, 1/3 si f (x) > 0 pentru x , 1/3 1/3, .Tabloul de variatie este urmatorul.

x 1 13

0 13

1 f (x) + + 1 + + + 0 1 f(x) 1 0 1 0 1

f (x) + + + + 0 0 + + + +Graficul functiei este dat n Fig. 5.4.

x420-2-4

1

0.5

0-0.5

-1

Fig. 5.4.5.5 S a se reprezinte grafic functia f(x) = 14xx22x+2 .

Solutie. Deoarece x2 2x + 2 > 0, functia este definita pe R. Avem: limx

f(x) = 0,

deci axa Ox este asimptota orizontala. Intersectia cu axa Ox este

14

, 0

, cea cu axa Oy0, 12

.

Prima derivata este f (x) = 2(x+1)(2x3)(x22x+2)2 , x R. Ea se anuleaza pentru x = 1 si

x = 32 . Primul este punct de maxim, al doilea de minim. Derivata a doua este f (x) =

2 4x33x218x+14(x22x+2)3 , x R. Notnd P (x) = 4x3 3x2 18x + 14, din inegalitatile:

P (2) P(1) < 0, P (0) P(1) < 0, P(2) P(3) < 0,


51/102

5.4. PROBLEME 51

deducem ca derivata a doua se anuleaza n trei puncte:

x1 (2, 1) , x2 (0, 1) , x1 (2, 3) ,acestea fiind puncte de inflexiune.


x x1 1 0 14 x2 32 x3 +f (x) + + 0 0 + +f(x) 0 1 12 0 4 0

f (x) + 0 0 + 0


x1050-5-10 1

0-1

-2

-3

-4

Fig. 5.5.

5.6 S a se reprezinte grafic functia f(x) = (x + 1)

x + 2.

Solutie. Domeniul de definitie al functiei este [2, +). Graficul intersecteaza axaOx n punctul (2, 0), iar axa Oy n punctul

0,

2

.

Prima derivata f (x) =3x+5

2x+2 se anuleaza pentru x = 5

3 , care este punct de minim.Observam ca fd (2) = si f5

3

= 2

3

9.

Derivata a doua f (x) = 3x+74

(x+2)3este strict pozitiva pe (2, +).


x 2 53

1 0 +f (x) 0 + + + + + +f(x) 0 2

3

9 0 2 +

f (x) | + + + + + + + +



52/102


x43210-1-2

12

10

8

6

4

2

0

Fig. 5.6.

5.7 S a se reprezinte grafic functia f(x) =

x2 + 4x + 29 x2 2x + 2.

Solutie. Domeniul de definitie al functiei este R. Avem:

limx

f(x) = limx

6x + 27x2 + 4x + 29 +

x2 2x + 2 = 3

si limx

f(x) = 3, deci y =

3 si y = 3 sunt asimptote orizontale la ramurile spre

si

+. Intersectia cu axa Ox este 92

, 0, iar cu axa Oy este

0,

29 2.

Prima derivata este f (x) = x+2x2+4x+29

x1x22x+2 . Ecuatia f

(x) = 0 se mai scrie:

x + 2

x 1 =

x2 + 4x + 29x2 2x + 2 .

De aici deducem ca x (, 2) (1, ). Rationaliznd, obtinem ecuatia 8x2 18x +7 = 0, care are solutiile x1 = 74 si x2 =

12. A doua nsa nu convine. Pentru x1 = 74 functia

are un maxim, f74 = 5.Derivata a doua f (x) = 25(x2+4x+29)3 1(x22x+2)3 se anuleaza n doua puncte:

x1 1, 2 si x2 2, 4. Functia este convexa pe (; 1, 2) (2, 4; +) si concava pe(1, 2; 2, 4). Rezulta ca punctele de mai sus sunt puncte de inflexiune.


x 92

1, 2 0 74

2, 4 +f (x) + + + + + + 0 f(x) 3 0 3, 9 5 3

f (x) + + + 0 0 +



53/102

5.4. PROBLEME 53

x1050-5-10

5

4

3

2

1

0-1

-2

-3

Fig. 6.7.

5.8 S a se reprezinte grafic functia f(x) = 2x1x2 + ln1+x1x.

Solutie. Punnd conditiile: 1 x2 = 0 si 1+x1x > 0, rezulta domeniul de definitie alfunctiei: (1, 1). Deoarece lim

x1f(x) = si lim

x1f(x) = , dreptele x = 1 si

x = 1 sunt asimptote verticale. Graficul este simetric n raport cu originea, deoarecef(x) = f(x). Graficul trece prin origine.

Prima derivata este data de f (x) = 4(1x2)2 , x (1, 1). Functia este strict cresca-

toare pe (1, 1) si f (0) = 4.Derivata a doua f (x) = 16x

(1x2

)

3 , x

(

1, 1) se anuleaza n x = 0 si cum f (x) < 0pentru x (1, 0), f (x) > 0 pentru x (0, 1), rezulta ca originea este punct deinflexiune.


x 1 0 1f (x) + + 4 + +f(x) 0 +

f (x) 0 + +Graficul functiei este dat n Fig. 5.8.

x0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8

10

5

0

-5

-10

Fig. 5.8.


54/102


5.9 S a se reprezinte grafic functia f(x) = arcsin x2(x2+2x+2)

.

Solutie. Domeniul de definitie al functiei este dat de valorile lui x pentru care

|x|2 (x2 + 2x + 2)

1 (x + 2)2 0,

deci f : R 2

, 2

. Avem: lim

xf(x) =

4, lim

xf(x) =

4, deci graficul are

asimptotele orizontale: y = 4

la ramura graficului spre si y = 4

la ramura graficuluispre +. Functia se anuleaza pentru x = 0.

Prima derivata este data de:

f (x) = 1

x2+2x+2 , x < 2,1

x2+2x+2, x > 2.

n punctul x = 2 functia nu este derivabila, deoarece f (2 0) = 12

iar f (2 + 0) =12, astfel ca punctul

2, 2

este punct unghiular al graficului.

Derivata a doua este data de:

f (x) =

2(x+1)

(x2+2x+2)2, x < 2,

2(x+1)(x2+2x+2)2

, x > 2.

Ea se anuleaza pentru x = 1, deci punctul 1, 4

este punct de inflexiune.


x 2 1 0 +f (x) 1

2|1

2+ + + + + +

f(x) 4

2

4

0 4

f (x) | + 0


x420-2-4 0.5

0-0.5

-1

-1.5

Fig. 5.9.


55/102

5.4. PROBLEME 55

5.10 S a se reprezinte grafic functiile:

1. f(x) = x3 + x2. 2. f(x) = 1x

+ 1x2

. 3. f(x) = |x|x2+1

.

4. f(x) =

x

(x1)2 . 5. f(x) = 3x 3x. 6. f(x) = x + x2 + 2x.

7. f(x) = 1 |x2 1|. 8. f(x) = xex (x) . 9. f(x) = x2 ln x.

10. f(x) = sin x + 12 sin2x. 11. f(x) = ln1+x1x . 12. f(x) = arctg

1+x1x .

13. f(x) = x2 + 8x

. 14. f(x) = ex2. 15. f(x) = xe

1x .

Solutie. 1. Domeniul de definitie al functiei este R. Intersectiile cu axele sunt (0, 0)

si (1, 0), iar limx f(x) = , limx f(x) = . Nu avem asimptote. Functia estecontinua pe R.

Prima derivata este data de f (x) = 3x2+2x. Ecuatia f (x) = 0 are solutiile x1 = 23 ,x2 = 0, f

23

= 427 si f(0) = 0. Derivata a doua este f

(x) = 6x + 2. Se anuleaza nx = 1

3si cum f (x) < 0 pentru x < 1

3, f (x) > 0 pentru x < 1

3, rezulta ca punctul

x3 = 13 este punct de inflexiune.Tabloul de variatie este urmatorul.

x

23

13 0 +

f (x) + + 0 0 + +f(x) 4

27 2

27 0 +

f (x) 0 + + + +


x0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

Fig. 5.10.

3. Graficul functiei este dat n Fig. 5.11.


56/102


57/102

Capitolul 6

Primitive

6.1 Primitive

Fiind data o functie f : I R (I un interval R), se pun urmatoarele probleme:(A) Exista o functie F : I R a carei derivata sa fie functia f ?(B) Cum se poate determina o asemenea functie F, plecnd de la functia f ?n cele ce urmeaza vom studia cteva metode de obtinere a functiilor F care verifica

relatia F = f.Raspunsul la problema (A) este afirmativ pentru o clasa destul de larga de functii, n

particular pentru functiile continue.Spunem ca functia f : I

R admite primitiva pe I daca exista o functie F : I

R,

derivabila pe I si astfel nct F (x) = f(x), pentru orice x I. Functia F se numesteprimitiva functiei f.

Doua primitive ale functiei f difera printr-o constanta. Daca F este o primitiva afunctiei f pe intervalul I, atunci oricare ar fi constanta C, functia F + C este nca oprimitiva a functiei f pe I.

Multimea primitivelor functiei f se numeste integrala nedefinita a functiei f si senoteaza

f(x) dx, deci

matematici element are - calcul diferential si integral

Documents