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Función de m componentes y n variables
Sea F una función, F : RnàRm, con m componentes y1,y2,…,ym; que depende de n variables x1,x2,…,xn. Es decir F=(y1(x1,x2,…,xn), y2(x1,x2,…,xn),…, ym(x1,x2,…,xn))
Matriz Jacobiana o matriz de derivadas parciales
∂(y1, y2,..., ym )∂(x1, x2,..., xn )
=
∂y1∂x1
∂y1∂x2
... ∂y1∂xn
∂y2∂x1
∂y2∂x2
... ∂y2∂xn
... ... ... ...∂ym∂x1
∂ym∂x2
... ∂ym∂xn
"
#
$$$$$$$$$
%
&
'''''''''
m renglones
n columnas
mxn
Determinante Jacobiano o Jacobiano
J = ∂(y1, y2,..., yn )∂(x1, x2,..., xn )
=
∂y1∂x1
∂y1∂x2
... ∂y1∂xn
∂y2∂x1
∂y2∂x2
... ∂y2∂xn
... ... ... ...∂yn∂x1
∂yn∂x2
... ∂yn∂xn
n renglones
n columnas
nxn
m=nàmatriz jacobiana es cuadrada Determinante de la matriz jacobiana
Cuidado con la notación!! • DisRnguir entre matriz jacobiana y el jacobiano • En algunos libros la matriz jacobiana se denota por JF y el jacobiano |JF|
o bien el jacobiano mismo por ESPECIFICAR QUÉ SE ESTÁ CALCULANDO (la matriz o el jacobiano)
J y1, y2,..., ymx1, x2,..., xn
!
"#
$
%&, o ∂(y1, y2,..., ym )
∂(x1, x2,..., xn )
Ejemplos: Matrices jacobianas 2x2 y 3x3
• F(u,v), G(u,v) 2x2
• F(u,v,w), G(u,v,w), H(u,v,w) 3x3
∂(F,G)∂(u,v)
=
∂F∂u
∂F∂v
∂G∂u
∂G∂v
"
#
$$$$
%
&
''''
∂(F,G,H )∂(u,v,w)
=
Fu Fv FwGu Gv Gw
Hu Hv Hw
"
#
$$$$
%
&
''''
Teoremas sobre jacobianos Supongamos todas las funciones conRnuamente diferenciables en una región R 1. Una condición necesaria y suficiente para que
todas las ecuaciones F(u,v,x,y,z)=0; G(u,v,x,y,z)=0,
Puedan resolverse para u,v (por ejemplo), es que el jacobiano sea diferente de cero en R Es decir, podemos despejar u=u(x,y,z), v(x,y,z).
∂(F,G)∂(u,v)
≠ 0
Regla de la cadena para jacobianos
2. Si x,y son funciones de u,v, es decir, x= x(u,v), y = y(u,v);
mientras que u,v son funciones de r,s u=u(r,s), v=v(r,s),
entonces ∂(x, y)
∂(r, s)=∂(x, y)∂(u,v)
∂(u,v)∂(r, s)
4. Si u=f(x,y), v=g(x,y), una condición necesaria y suficiente para que una forma funcional ϕ(u,v)=0 exista entre u y v es que En principio, podemos entonces despejar u=u(v) o bien v=v(u).
∂(u,v)∂(x, y)
= 0
Transformaciones (mapeos)
y
x
(x,y)
v
u
(u,v)
u(x,y) v(x,y)
x(u,v) y(u,v)
Inversa
Transformación uno a uno (un punto a un solo punto)