matematicas - listado 07 - trigonometria (2)
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemática
LISTADO 7. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA (520145)
Contenido: Trigonometría
1.- Dibuje el ángulo dado, en posición normal, indicando en qué cuadrante se encuentra su
lado terminal:
(a) º60− (b) 6/7π− (c) 3/2π (d) º210
2.- Encuentre el ángulo entre 0 y π2 radianes que sea coterminal con el ángulo dado:
(a) 4
325π (b) 3
227π− (c) 6
1235π− (d) π
2333
3.- Exprese los siguientes ángulos en radianes:
(a) º15 (b) º275
4.- Encuentre las medidas en radianes y en grados del ángulo formado por :
(a) 125 de una rotación en dirección de las manecillas del reloj.
(b) 514 de una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
5.- La Tierra da una rotación completa cada 24 horas. ¿ cuánto se demora en rotar en un
ángulo de: (a) 235 º (b) 5/3π radianes ?
6.- Un automóvil viaja a 65 km/h y el diámetro de sus llantas es de 54 cm.
(a) Determine la velocidad a la cual giran sus ruedas, en revoluciones por minuto.
(b) Calcule la velocidad angular de sus ruedas en radianes por minuto.
7.- Las ruedas de un automóvil giran a un velocidad de 3
85 revoluciones por segundo
cuando éste se desplaza a 75 pies/seg. ¿ Cuál es el diámetro de la rueda? 8.- Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en la superficie de
la Tierra por un ángulo con vértice en el centro de la Tierra y que mide 1 minuto. El
diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.927 millas (terrestres). Calcule a cuántas millas
terrestres corresponde una milla náutica.
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9.- Considere un punto P en el borde de una rueda que tiene un diámetro de 30 pulgadas.
Si la rueda da 80 revoluciones, ¿cuál es la distancia que recorre P?
10.- En los problemas siguientes, calcule las seis funciones trigonométricas del ángulo θ ,
si θ está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado:
(a) ( )9,4 (b) ( )6,2− (c) ( )12,7 −− (d) ( )1,4 −
11.- En los siguientes problemas se da una de las funciones trigonométricas del ángulo θ .
Con este valor y con la información adicional, determine los valores de las cinco funciones
trigonométricas restantes.
(a) 4cos =θec , θ está en el II cuadrante.
(b) ( ) 3tg −=θ , θ en el II cuadrante
(c) ( ) 5cot =θg , θ en el III cuadrante
(d) ( ) 5.2sec −=θ , θ en el II cuadrante
(e) ( ) 1.0sen −=θ , θ en el IV cuadrante
(f) ( ) 8.2cos =θec , θ en el II cuadrante.
12.- Calcule el valor exacto (no use calculadora), de las siguientes expresiones:
(a) ( )3/7sen π− (b) ( )6/11cos πec (c) ( )º405tg
(d)
−
−
−
+
311tg
32sec
27sen
34tg
35sen
45cos
πππ
πππ
(e) ( ) ( )9.46cos9.46sen 22 +−
13.- Si ( )43cos =α y ( )
72sen =β con ( )αP en el IV cuadrante y ( )βP en el II
cuadrante, calcule el valor exacto de: (a) ( )βα +cos (b) ( )αβ −sen (c) ( )α2tg Determine en qué cuadrantes se encuentran los puntos ( ) ( ) ( ), y 2P P Pα β α β α+ − . 14.- Sabiendo que ( )sec 3α = − y que ( )tg β 4= − , determine ( )sen α β+ si ( )P α y
( )P IIβ ∈ cuadrante.
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15.- Decida si las siguientes funciones reales son pares o impares:
(a) ( ) ( )xxxf 4cos32 −= (b) ( ) ( )xxxxf 4sen37 3 −+−=
(c) ( ) ( )xxxf tg−= (d) ( ) 13sen += xxf
16.- Bosqueje el gráfico de las funciones, indicando su período, amplitud y fase:
(a) ( ) ( )3cos 4f x x= − (b) ( ) ( )1 sen 32
f x x= (c) ( )
+= 3
21cos xxf
(d) ( ) ( )xxf −= 4sen2 17.- Calcule el valor exacto:
a) ( )( )2/1coscos −Arc b) ( )3tgArc c)
43costg πArc
d) ( )54
1312 sensensen ArcArc + e) ( )23
2coscos π+Arc
f) ( )( )21
21 tgtgtg −+ ArcArc g) ( )12
543 tgtg2tg ArcArc +
h) ( )813sensen πArc i) ( )( )7
8tgtg π−Arc j) ( )( )π12coscos −Arc
18.- Demuestre las siguientes identidades:
(a) ( )2tgsecsen1sen1 xx
xx
−=+− (b) yyec
yyecyy coscos
tgsencoscot 2 ⋅=+
+
(c) ααα
2sec2sen11
sen11
=+
+−
(d) ( ) xxx 3sen4sen33sen −=
(e) y
yyytg2
sentg2
sen 2 −=
(f)
yyy 2
2
tg1tg12cos
+−
=
(g) xxxxx tg
12sen10sen12cos10cos
=+− (h) ( )3cos3cos2/1
6cos
6cos yxyxyx
+=
−
+
(i) θθ
θθ
sencos1
cos1sen +
=−
(j) ααα 442 sencoscos21 =+−
(k) cot cos 1sec tg
g ecθ θθ θ
= +−
(l) ββ
βββ sen2cot
cotsencos=
+ g
(m) αααααα 2sec2tg
sencossencos
+=−+
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19.- Resuelva las siguientes ecuaciones:
(a) tt cossen = (b) ttt cos23cossen2 2 −=
(c) αα sectg1 =+ (d) 0cos2sen =xx
(e) 02sen3sen2 2 =−− θθ (f) 14cot −=θg
20.- Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo [ ]π2,0 :
(a) 22cos22sen24sen =−+ xxx (b) 13
sec −=
x
(c) 0coscos =− xx (d) 113sec3sen 2 =−xx
21.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) ( ) ( ) 012cos312sen =−+− xx , para [ ]π2,0∈x
b) 2tgcot =− xxg , para [ ]π2,0∈x
c) 01cos3sencos 22 =−+− xxx , para [ ]π2,0∈x .
d) 0sensen =− xx , para [ ]π2,0∈x .
e) xx 22 cos2
cos2 =
, para [ ]π2,0∈x .
f) ( ) ( ) 02sen4sen =+ xx para [ ]ππ 3,3−∈x .
g) ( ) ( ) 03cos2coscos =++ xxx para IRx∈
h) 3
2sensen π=+ xArcxArc
i) 2
12sen2sen π=+
xArc
xArc .
j) 4
cot2tg π=+ xgArcxArc
k) ( )
=−
23sen12cos 2 ArcxArc
l) x
xArcxArc21tgcos −
= para 10 ≤< x
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22.- Desde una torre de observación de 25 metros de altura, un hombre observa, desde una
posición situada a 2 metros bajo el extremo superior de la torre, que el ángulo de elevación de
la copa de un árbol es º12=α y que el ángulo de depresión de su base es º72=β . Si las
bases de la torre y del árbol están a un mismo nivel horizontal, ¿cuál es la altura del árbol? ¿A
qué distancia está la torre del árbol?
23.- Una persona se propone medir la altura de un edificio que está frente a su casa, situada
a 12 metros de distancia. Para ello, se sube al techo de su casa y mide el ángulo de elevación
de la terraza superior del edificio y el ángulo de depresión de su base, obteniendo 45º y 60º
respectivamente. Determine la altura del edificio y la altura de la casa.
24.- Se va a construir un túnel a través de una montaña, desde A hasta B. Un punto C,
desde el cual A y B son visibles, está a 385 metros de A y 556 metros de B. ¿Qué
longitud tiene el túnel si la medida del ángulo ACB∠ es de 36º ?
25.- Al mediodía un barco se encuentra en un punto A y en ese instante toma el rumbo
N30ºE avanzando 5 millas en esa dirección. Después toma el rumbo de S75ºE avanzando
otras 5 millas. Calcule a qué distancia de A se encuentra el barco al finalizar este recorrido.
26.- Un avión vuela a una altura de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo
en tierra. Un minuto más tarde el ángulo de depresión del objeto es de 42º. Determine la
velocidad aproximada del avión.
27.- Un barco parte de un punto O a la 1.00 P.M. y navega a una velocidad de
24 millas/hora en dirección S 35º E. Otro barco parte del mismo punto a la 1.30 P.M. y
viaja a 18 millas/hora en dirección S 20º O. ¿Cuál será la distancia que los separa a las 3.00
P.M.?