UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemática

LISTADO 7. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA (520145)

Contenido: Trigonometría

1.- Dibuje el ángulo dado, en posición normal, indicando en qué cuadrante se encuentra su

lado terminal:

(a) º60− (b) 6/7π− (c) 3/2π (d) º210

2.- Encuentre el ángulo entre 0 y π2 radianes que sea coterminal con el ángulo dado:

(a) 4

325π (b) 3

227π− (c) 6

1235π− (d) π

2333

3.- Exprese los siguientes ángulos en radianes:

(a) º15 (b) º275

4.- Encuentre las medidas en radianes y en grados del ángulo formado por :

(a) 125 de una rotación en dirección de las manecillas del reloj.

(b) 514 de una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

5.- La Tierra da una rotación completa cada 24 horas. ¿ cuánto se demora en rotar en un

ángulo de: (a) 235 º (b) 5/3π radianes ?

6.- Un automóvil viaja a 65 km/h y el diámetro de sus llantas es de 54 cm.

(a) Determine la velocidad a la cual giran sus ruedas, en revoluciones por minuto.

(b) Calcule la velocidad angular de sus ruedas en radianes por minuto.

7.- Las ruedas de un automóvil giran a un velocidad de 3

85 revoluciones por segundo

cuando éste se desplaza a 75 pies/seg. ¿ Cuál es el diámetro de la rueda? 8.- Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en la superficie de

la Tierra por un ángulo con vértice en el centro de la Tierra y que mide 1 minuto. El

diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.927 millas (terrestres). Calcule a cuántas millas

terrestres corresponde una milla náutica.

9.- Considere un punto P en el borde de una rueda que tiene un diámetro de 30 pulgadas.

Si la rueda da 80 revoluciones, ¿cuál es la distancia que recorre P?

10.- En los problemas siguientes, calcule las seis funciones trigonométricas del ángulo θ ,

si θ está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado:

(a) ( )9,4 (b) ( )6,2− (c) ( )12,7 −− (d) ( )1,4 −

11.- En los siguientes problemas se da una de las funciones trigonométricas del ángulo θ .

Con este valor y con la información adicional, determine los valores de las cinco funciones

trigonométricas restantes.

(a) 4cos =θec , θ está en el II cuadrante.

(b) ( ) 3tg −=θ , θ en el II cuadrante

(c) ( ) 5cot =θg , θ en el III cuadrante

(d) ( ) 5.2sec −=θ , θ en el II cuadrante

(e) ( ) 1.0sen −=θ , θ en el IV cuadrante

(f) ( ) 8.2cos =θec , θ en el II cuadrante.

12.- Calcule el valor exacto (no use calculadora), de las siguientes expresiones:

(a) ( )3/7sen π− (b) ( )6/11cos πec (c) ( )º405tg

(d)

−

−

−

+

311tg

32sec

27sen

34tg

35sen

45cos

πππ

πππ

(e) ( ) ( )9.46cos9.46sen 22 +−

13.- Si ( )43cos =α y ( )

72sen =β con ( )αP en el IV cuadrante y ( )βP en el II

cuadrante, calcule el valor exacto de: (a) ( )βα +cos (b) ( )αβ −sen (c) ( )α2tg Determine en qué cuadrantes se encuentran los puntos ( ) ( ) ( ), y 2P P Pα β α β α+ − . 14.- Sabiendo que ( )sec 3α = − y que ( )tg β 4= − , determine ( )sen α β+ si ( )P α y

( )P IIβ ∈ cuadrante.

15.- Decida si las siguientes funciones reales son pares o impares:

(a) ( ) ( )xxxf 4cos32 −= (b) ( ) ( )xxxxf 4sen37 3 −+−=

(c) ( ) ( )xxxf tg−= (d) ( ) 13sen += xxf

16.- Bosqueje el gráfico de las funciones, indicando su período, amplitud y fase:

(a) ( ) ( )3cos 4f x x= − (b) ( ) ( )1 sen 32

f x x= (c) ( )

+= 3

21cos xxf

(d) ( ) ( )xxf −= 4sen2 17.- Calcule el valor exacto:

a) ( )( )2/1coscos −Arc b) ( )3tgArc c)

43costg πArc

d) ( )54

1312 sensensen ArcArc + e) ( )23

2coscos π+Arc

f) ( )( )21

21 tgtgtg −+ ArcArc g) ( )12

543 tgtg2tg ArcArc +

h) ( )813sensen πArc i) ( )( )7

8tgtg π−Arc j) ( )( )π12coscos −Arc

18.- Demuestre las siguientes identidades:

(a) ( )2tgsecsen1sen1 xx

xx

−=+− (b) yyec

yyecyy coscos

tgsencoscot 2 ⋅=+

+

(c) ααα

2sec2sen11

sen11

=+

+−

(d) ( ) xxx 3sen4sen33sen −=

(e) y

yyytg2

sentg2

sen 2 −=

(f)

yyy 2

2

tg1tg12cos

+−

=

(g) xxxxx tg

12sen10sen12cos10cos

=+− (h) ( )3cos3cos2/1

6cos

6cos yxyxyx

+=

−

+

(i) θθ

θθ

sencos1

cos1sen +

=−

(j) ααα 442 sencoscos21 =+−

(k) cot cos 1sec tg

g ecθ θθ θ

= +−

(l) ββ

βββ sen2cot

cotsencos=

+ g

(m) αααααα 2sec2tg

sencossencos

+=−+

19.- Resuelva las siguientes ecuaciones:

(a) tt cossen = (b) ttt cos23cossen2 2 −=

(c) αα sectg1 =+ (d) 0cos2sen =xx

(e) 02sen3sen2 2 =−− θθ (f) 14cot −=θg

20.- Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo [ ]π2,0 :

(a) 22cos22sen24sen =−+ xxx (b) 13

sec −=

x

(c) 0coscos =− xx (d) 113sec3sen 2 =−xx

21.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) ( ) ( ) 012cos312sen =−+− xx , para [ ]π2,0∈x

b) 2tgcot =− xxg , para [ ]π2,0∈x

c) 01cos3sencos 22 =−+− xxx , para [ ]π2,0∈x .

d) 0sensen =− xx , para [ ]π2,0∈x .

e) xx 22 cos2

cos2 =

, para [ ]π2,0∈x .

f) ( ) ( ) 02sen4sen =+ xx para [ ]ππ 3,3−∈x .

g) ( ) ( ) 03cos2coscos =++ xxx para IRx∈

h) 3

2sensen π=+ xArcxArc

i) 2

12sen2sen π=+

xArc

xArc .

j) 4

cot2tg π=+ xgArcxArc

k) ( )

=−

23sen12cos 2 ArcxArc

l) x

xArcxArc21tgcos −

= para 10 ≤< x

22.- Desde una torre de observación de 25 metros de altura, un hombre observa, desde una

posición situada a 2 metros bajo el extremo superior de la torre, que el ángulo de elevación de

la copa de un árbol es º12=α y que el ángulo de depresión de su base es º72=β . Si las

bases de la torre y del árbol están a un mismo nivel horizontal, ¿cuál es la altura del árbol? ¿A

qué distancia está la torre del árbol?

23.- Una persona se propone medir la altura de un edificio que está frente a su casa, situada

a 12 metros de distancia. Para ello, se sube al techo de su casa y mide el ángulo de elevación

de la terraza superior del edificio y el ángulo de depresión de su base, obteniendo 45º y 60º

respectivamente. Determine la altura del edificio y la altura de la casa.

24.- Se va a construir un túnel a través de una montaña, desde A hasta B. Un punto C,

desde el cual A y B son visibles, está a 385 metros de A y 556 metros de B. ¿Qué

longitud tiene el túnel si la medida del ángulo ACB∠ es de 36º ?

25.- Al mediodía un barco se encuentra en un punto A y en ese instante toma el rumbo

N30ºE avanzando 5 millas en esa dirección. Después toma el rumbo de S75ºE avanzando

otras 5 millas. Calcule a qué distancia de A se encuentra el barco al finalizar este recorrido.

26.- Un avión vuela a una altura de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo

en tierra. Un minuto más tarde el ángulo de depresión del objeto es de 42º. Determine la

velocidad aproximada del avión.

27.- Un barco parte de un punto O a la 1.00 P.M. y navega a una velocidad de

24 millas/hora en dirección S 35º E. Otro barco parte del mismo punto a la 1.30 P.M. y

viaja a 18 millas/hora en dirección S 20º O. ¿Cuál será la distancia que los separa a las 3.00

P.M.?