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MatemáticasMatemáticas
Jornadas sobre el siglo XIX
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Concepto de demostración ( paso a paso a través de la LÓGICA)
Necesidad de AXIOMAS (no se puede demostrar TODO)
… … 2000 años después2000 años después
DESCARTES (1637)
GEOMETRÍA EUCLÍDEA (300 a.C)
Pienso, luego existo
Pienso, luego existo
KANT (1724 - 1805)
"Vemos las cosas, no como son, sino como somos nosotros."
SIGLO XIXSIGLO XIX
Gauss, “el Príncipe de las Matemáticas” (1777 - 1855)
I. Crisis de la Geometría de Euclides
II. Crisis de los Fundamentos de las Matemáticas
CAPÍTULO I
DESMONTANDO A EUCLIDESDESMONTANDO A EUCLIDES
“En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas... “
Carl Friedrich GAUSS (1813)
Los Axiomas de EuclidesLos Axiomas de EuclidesDEFINICIONES (abstracciones de la realidad física)Un punto es lo que no tiene partesUna línea es una longitud sin anchuraLos extremos de una línea son puntosUna superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. Las extremidades de una superficie son líneasEtc ...
NOCIONES COMUNES (a todas las ciencias)1. Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí2. Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales5. El “todo” es mayor que la “parte”
Los Axiomas de EuclidesLos Axiomas de Euclides
I. Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto cualquieraII. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea rectaIII. Se puede trazar una circunferencia, con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radioIV. Todos los ángulos rectos son iguales...
POSTULADOS (axiomas para la Geometría plana)
El quinto postulado de EuclidesEl quinto postulado de Euclides
“Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos”
¡Mi sistema es COMPLETO, CONSISTENTE y NO REDUNDANTE!
Círculos viciososCírculos viciosos(lo definido no debe entrar en la definición)(lo definido no debe entrar en la definición)
Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea.
La suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos (180º)
El quinto postulado es una El quinto postulado es una proposición INDECIDIBLEproposición INDECIDIBLE
1)Una sola paralela
2)Ninguna paralela
3)Al menos dos paralelas ( infinitas)
Geometrías no euclídeasGeometrías no euclídeas
ESFÉRICA u OBTUSA
PSEUDOESFÉRICAo AGUDA
(círculos máximos)
(ramas hiperbólicas)
Riemann 1854
Saccheri, Lobachevsky, Bolyai y Gauss
Geometrías no euclídeas ( y II)Geometrías no euclídeas ( y II)
Geometrías no euclídeas ( y III)Geometrías no euclídeas ( y III)
CAPÍTULO II
LA CRISIS DE LOS LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOSFUNDAMENTOS
“Las propiedades de los conjuntos finitos se han extendido alegremente a los conjuntos infinitos”
Brouwer
“Dios creó los naturales ...” “… lo demás es obra
del Hombre”
Kronecker
CAPÍTULO II
LA CRISIS DE LOS LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOSFUNDAMENTOS
"No existirá otra alegre y confiada mañana"
"Nadie podrá expulsarnos del maravilloso paraíso que Cantor ha creado para nosotros"
Russell Hilbert
Construir las MATEMÁTICASConstruir las MATEMÁTICAS
TODAS LAS MANZANAS SON ROJAS(enunciado)
EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS ESTÁ INCLUIDO EN EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS
(TEORÍA DE CONJUNTOS)
“SER MANZANA” → “SER ROJO” (LÓGICA)
La paradoja del mentirosoLa paradoja del mentiroso
“TODOS LOS MATEMÁTICOS MENTIMOS SIEMPRE”
La paradoja del mentiroso (y II)La paradoja del mentiroso (y II)
La paradoja de RussellLa paradoja de RussellLOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS
El conjunto de las manzanas NO es una manzanaEl conjunto de las cosas que no son manzanas SÍ es una cosa que no es una manzana
¿QUÉ PASA CON EL CONJUNTO DE LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS?
¿SE CONTENDRÁ A SÍ MISMO?
¿EH?
BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970)
El Hotel del InfinitoEl Hotel del Infinito
Los conjuntos infinitosLos conjuntos infinitos
“Un conjunto infinito es aquél que posee un subconjunto con la misma cantidad de elementos”
“Hay conjuntos infinitos que tienen MÁS elementos que otros”
Demuestra que el conjunto de los números reales es MAYOR que el de los números naturales.Demuestra que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado es MAYOR que dicho conjunto.
GEORGE CANTOR (1845 - 1918)
La escalera de álefsLa escalera de álefsNúmeros naturales
Números pares0 Números enteros
Números racionales
1
Números irracionales Números reales
Intervalo (0,1)Puntos de una rectaPuntos de un segmentoPuntos de un cuadrado
Puntos de todo el Universo conocido
Los monstruos de la menteLos monstruos de la menteLas curvas patológicasLas curvas patológicas
David HILBERT(1891) Helge von KOCH
(1904)
NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO(no queremos conjuntos paradójicos)
¿Cómo reconstruir las bases?¿Cómo reconstruir las bases?
CON EL INFINITO NO SE JUEGA
(escapa a nuestra intuición)
El conjunto de RUSSELL es un conjunto infinito
Uno de los Axiomas de EUCLIDES es incompatible con los conjuntos infinitos (El “todo” es mayor que la “parte”), y otro los emplea (Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta)
LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS
Brouwer
Kronecker
LOS INTUICIONISTASLOS INTUICIONISTAS
LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD DE SU CONSTRUCCIÓN
NO aceptan LOS CONJUNTOS INFINITOS ni las demostraciones por REDUCCIÓN AL ABSURDO
LOS LÓGICOSLOS LÓGICOS
Russell
AXIOMA DEL CÍRCULO VICIOSO
LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO NO SE PUEDEN DEFINIR A PARTIR DE LOS RESTANTES ELEMENTOS DEL CONJUNTO
¿Qué es eso del conjunto de todos los subconjuntos de sí mismo? ¿EH?
LOS FORMALISTASLOS FORMALISTAS
LA VERDAD MATEMÁTICA ES LA AUSENCIA DE CONTRADICCIÓN
Si no te gustan mis AXIOMAS ... ¡tengo otros!
La LÓGICA es la herramienta, el lenguajeEs INDEPENDIENTE del significado que pueda tener en el MUNDO FÍSICO
Hilbert
TEORÍAS MATEMÁTICASTEORÍAS MATEMÁTICAS
¿ÚTILES?SE MEJORAN ¿Se puedensustituir?
SE RECHAZAN
SÍSÍ
NONO
NONO
SÍSÍ
MATEMÁTICAS Y REALIDADMATEMÁTICAS Y REALIDAD
