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COLEGIO DEBACHILLERES

MATEMÁTICAS I

FASCÍCULO 2. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Autores: Rosa Ma. Espejel Mendoza Mario Luis Flores Fuentes Rolando Pous Villalpando Pedro Romo Altamirano Ma. Estela Ruiz Hernández Andrés Sosa Estrada

2

Colaboradores:Juan Pérez RodriguezOlivia Hernández RomeroEloísa Poot Grajales

Asesoría PedagógicaDora Ma. Mireles Alvarado

Revisión de ContenidoJosé Luis Pérez CossJoel Díaz Guadarrama

Diseño EditorialLeonel Bello CuevasJavier Darío Cruz Ortiz

C O L E G IO D EB A C H IL L E R E S

3

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

PROPÓSITO

1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRÁICA

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

1.2.1 Reducción de Términos Semejantes 1.2.2 Adición y Sustracción de Polinomios 1.2.3 Multiplicación de Polinomios 1.2.4 División de Polinomios

RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN

CAPÍTULO 2. LENGUAJE ALGEBRÁICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

PROPÓSITO

2.1 PRODUCTOS NOTABLES

2.1.1 Productos de Dos Binomios con Término Común 2.1.2 Productos de Dos Binomios Conjugados 2.1.3 El Cuadrado de un Binomios 2.1.4 El Cubo de un Binomio 2.1.5 El Binomio de Newton

5

7

9

11

20

20263662

767780

85

87

89

89929598100

Í N D I C E

4

2.2. FACTORIZACIÓN

2.2.1 Factorización por Factor Común 2.2.2 Factorización por Agrupación de Términos 2.2.3 Factorización de un Trimonio Cuadrado Perfecto 2.2.4 Factorización de una Diferencia de Cuadrados

2.2.5 Factorización de una Suma de Cubos 2.2.6 Factorización de una Diferencia de Cubos

2.2.7 Factorización de los Trinomios de la Forma x² +bx + c y ax² + bx + c

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

2.3.1 Expresiones Algebraicas Racionales 2.3.2 Operaciones con Expresiones Algebraicas

Racionales

RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES INTEGRALES AUTOEVALUACIÓN

RECAPITULACIÓN GENERAL

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

GLOSARIO

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

109

109112113117118123124

133

133

151

168169171

173

174

177

180

181

182

5

Son muchas y muy diversas las actividades del ser humano en las que es suficiente usarprocedimientos aritméticos para resolver problemas; sin embargo, son también muchasen las que éstos no bastan.

A partir de este fascículo veremos otro tipo de ejemplos más específicos y estudiaremosprocedimientos más generales para resolver problemas.

El método algebraíco, de hecho presente en toda la matemática puesto que la soluciónde gran número de problemas requieren del cálculo algebraíco.

El álgebra tiene su propio lenguaje, el lenguaje algebraíco, por medio del cual se puedeobtener expresiones generales que pueden operarse y aplicarse en muchas y muyvariadas situaciones particulares.

Aunque en el fascículo uno estudiaste algunos elementos de este método algebraíco ysu importancia, para este fascículo estudiarás la operatividad de las expresionesalgebráicas, utilizando los conocimientos que tienes sobre expresiones y operacionesaritméticas y retomando problemas sobre este tema, para que puedas manejar ejemplosy des solución a problemas.

I N T R O D U C C I Ó N

6

El siguiente esquema indica los temas y subtemas que estudiarás y la vinculación queexiste entre ellos.

FASCÍCULO 2

OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA

CAPÍTULO 1

OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO: EXPRESIONESALGEBRAICAS

CAPÍTULO 2

LENGUAJE ALGEBRAÍCO:PRODUCTOS NOTABLES,FACTORIZACIÓN YSIMPLIFICACIÓN DEEXPRESIONES ALGEBRAICASRACIONALES

TERMINOLOGÍA YNOTACIÓN

OPERACIONESCON

EXPRESIONESALGEBRQAICAS

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OPERATIVIDAD DEL LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.1 Reducción de Términos Semejantes1.2.2 Adición y Sustracción de Polinomios1.2.3 Multiplicación de Polinomios1.2.4 División de Polinomios

C A P Í T U L O 1

9

Al finalizar el estudio de este fascículo conocerás con mayor detalle la terminología quese emplea en álgebra, así como la notación que se usa comúnmente, gracias a la cualpodrás operar con las expresiones algebraicas.

¿QUÉ APRENDERÁS?

Diversos métodos para resolver problemas, además conocer las ventajas del método consistente en

establecer modelos algebraicos para la soluciónde problemas.

¿CÓMO LO APRENDERÁS?

A través de la elaboración de operaciones algebraicas tal como; la suma, la sustracción, multiplicación y división

de polinomios, aplicando las propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes.

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

Para encontrar la solución de ecuaciones que te ayudarán a resolver un gran número de problemas diarios.

P R O P Ó S I T O

11

CAPÍTULO 1. OPERATIVIDAD DEL LENGUAJEALGEBRAICO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ALGEBRAICA.

En el fascículo 1 estudiaste diversos métodos para resolver problemas, además deconocer las ventajas del método consistente en establecer modelos algebraicos para lasolución de los problemas, modelos que has empleado, aunque no les llamaras así; porejemplo: la fórmula que se utiliza para calcular el área de un triángulo.

Si conocemos la medida b de la base y la medida h de la altura de un triángulo yqueremos obtener su área, sustituimos en la fórmula las letras por los datos númericos.Así, si la base mide 12 metros y la altura 8, el área del triángulo es:

Otros ejemplos que has visto son los siguientes:

Estas igualdades, que expresan ciertos fenómenos o Leyes de la Física y la Geometría,son expresiones algebraicas de las que iniciaremos su estudio, pues éstas nospermitirán operar de una manera fluida y se facilitará con ello la resolución de problemas

Como ejemplo de expresiones algebraicas tenemos:

A = bh 2

A = (12m) ( 8m) = 48m2

2

f =ma A = r2 a = Vf - Vo t

12

A las letras, que en las expresiones algebraicas representan a números realescualesquiera, se le llaman literales.

Si en una expresión algebraica se sustituyen las literales por números reales y seefectúan las operaciones indicadas, se obtiene como resultado un número real, llamadovalor numérico de la expresión para esos valores.

En los casos en que las literales aparezcan en el denominador hay que tener cuidado deque el valor del denominador sea distinto de cero al efectuar la sustitución. Cuando setrate de raices, se debe tener cuidado de que al sustituir las literales por números noresulten raíces pares de números negativos, porque sus resultados no son númerosreales.

Observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Calcular el valos numérico de la expresión algebraica

Para los siguientes valores de x:

Solución:

a) Al sustituir a x por 7 obtenemos:

a) x = 7; b) x = 12, y c) x = -5.

a) 3a + 2b

b) 2x + 6y - 3z

c) 8x - y

d) 6x 5a

e) 6x3

f) x

2

212

3

=

xx

35

7 37 5

412

16

=

13

, , , .

b) Si sustituimos a x por 12 resulta:

c) Si x = -5, obtenemos:

Mientras por una parte 8 no es un número real, por otra no es posible dividirlo entrecero; por lo tanto, si x toma el valor de -5, la expresión no simboliza un número real.

Cuando en una expresión algebraica aparece únicamente la operación de multiplicaciónde números y potencias positivas enteras de las literales, ésta recibe el nombre detérmino, como se muestra a continuación:

Ahora revisaremos los elementos que conforman un término, para lo cual tomaremos elejemplo de la expresión

32

a4b5

Como ya sabes, un término es el producto de dos o más factores (los factores sonelementos de la multiplicación). En este caso los factores son:

32

, 4 5. a y b

b2 3x2

52x ax y z2 3 4

317

.

12 312 5

917

5 35 5

80

¡?

14

Al factor numérico se le conoce como coeficiente numérico del término y se acostumbraescribirlo al principio del término.

Por otra parte, cada uno de los factores es coeficiente del producto de los otros. Así:

Al producto de los factores literales se le llama parte literal del término.

Un factor literal está compuesto por base y exponente. En el siguiente cuadro semuestra la base y el exponente de los factores literales de

Factor literal Base Exponente

a 4 a 4

b5 b 5

32

4 5a b .

32

factornumérico

a b4 5,

factoresliterales

coeficiente numérico

a 4 es coeficiente de 32

5b

b5 es coeficiente de 52

4a

Entonces podemos decir un factor es un número, unaletra o la combinación de números y letras que indicancuantas veces entra la literal como sumando.

32

a b4 5

coeficiente numérico parte literal

15

¿Cómo se puede determinar el grado de un término algebraico?

Recuerda que a 4 indica un producto de cuatro factores iguales y b5 un producto decinco factores iguales:

a a a a a4

b b b b b b5

Observa que en el ejemplo anterior significa multiplicación y que no se usa el signo de xpara no confundir con la literal x que en algunas expresiones se utiliza.

¿Qué producto indicaría X8?

Otro elemento del término es el signo (positivo o negativo), que corresponde al signo delcoeficiente numérico. Así, si tenemos que en la expresión 3 2x su signo es positivo y enla expresión 4 6y el signo es negativo, puedes observar que en los casos con signopositivo no se acostumbra anotar éste.

Otro elemento es el grado de un término, el cual puede ser absoluto o en relación a unaliteral. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de las literales ovariables, de ahí tenemos que:

Término Grado absoluto deltérmino

a 2 25y 1

3 2xy 3

6 2 4x y 6

9x yn n 2n

Observa que el exponente 1 no se escribe, además de que el término 7 2 4x y es degrado 6 por la suma de los exponentes (2+4) de los factores literales.

Por otro lado, el grado de un término con respecto a una literal corresponde a suexponente, es decir, en 7 2 4x y el grado del término con respecto a x es 2 y con respectoa y es 4.

16

Con el propósito de comprender los conceptos vistos se presenta el siguiente cuadro:

Término Coeficientenúmerico

Factoresliterales

Gradoabsoluto

Grado respectoa x

Gradorespecto a

y4 2 3x y -4 x y2 3 5 2 3

3 3 4x y 3 x y3 4 7 3 4

xy2 -1 xy2 3 1 234

6 2x y 34

x y6 2 8 6 2

x 1 x 1 1 08 8 0 0 0 0

Al clasificar los elementos de cada una de las expresiones siguientes se cometieron 4errores, encuéntralos.

5 4x y coeficiente -5 base x, yexponente 4,1

x2 coeficiente no tiene; base x___exponente 2

6a coeficiente 6 base aexponente no tiene

3 2xy coeficiente 3 base x exponente1,2

En las expresiones algebraicas los términos están separados los signos de más (+) omenos(-).

Esta expresión tiene tres términos : 5 2x ; 2x ; 3 .

Esta expresión tiene dos terminos: 9 2m ; 4 2n .

3) 5

Esta expresión tiene un término: 5.

1) 5 2 32x x

2) 9 42 2m n

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

17

Como puedes ver, estas expresiones algebraicas están compuestas por un término o lasuma de dos o más términos. A este tipo de expresiones se les llama monomios opolinomios según sea el caso.

A los polinomios los podemos clasificar según el número de términos que contengan. Siuna expresión algebraica tiene un término se le llama monomio, si tiene dos, binomio; sitiene tres términos, trinomio, y así consecutivamente.

Observa los siguentes ejemplos:

“Expresiones Algebraicas” Clasificacion1) 3 62 2 5x y xy binomio2) 6 2x binomio3) 6 2 62a b a trinomio4) 6y monomio5) 6 3 4 82xy xy x polinomio

Los polinomios, como los términos, tiene grado, que puede ser grado del polinomio ogrado con respecto a la variable. Así, en el ejemplo 1

3 62 2 5x y xy

el grado del polinonio es seis (6), que corresponde al grado del término de mayor grado,en este caso 6 5xy . El grado del polinomio respecto a x es dos ya que corresponde almayor exponente de esa variable en el polinomio 3 2 2x y - 6xy5

Realiza las siguientes actividades:

1. De los siguientes términos señala la parte literal, el coeficiente numérico y el gradoabsoluto del término.

a) 3x3y5

b) 4ab3

c) 23

xy2

d) a


18

1 Término Coeficiente numérico Parte literal Grado absolutoa) 3 3 2x y 3 x y3 2 5

2. Clasifica los polinomios por su número de términos y señala su grado absoluto y conrespecto a una variable.

a) 3x 3x 22

b) 8x y 3x y 6x y 86 1 5 2 3 3

c) x 162

d) x 2xy y2 2

e) x 8

f) 6

1 ExpresiónAlgebraica

Clasificación por elnúm. de términos

Grado absoluto Grado conrespecto

a xa) 3 3 22x x trinomio 2 2

Hasta el momento hemos visto que en el lenguaje algebraico se utilizan letras pararepresentar números reales y que las expresiones algebraicas están conformadas poruna serie de elementos tales como:

TERMINO, COEFICIENTE, LITERAL, EXPONENETE, GRADO y que se clasifican enMONOMIO (un término), en BINOMIO (dos términos), TRINOMIO (tres términos) yPOLINOMIO (cuando son dos o más términos).

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

UN TÉRMINO DOS O MÁS TÉRMINOS

MONOMIO BONOMIO, TRINOMIO,POLINOMIO

COEFICIENTENUMÉRICO LITERALES EXPONENTES

GRADOABSOLUTO

GRADO CONRESPECTO AUNA LITERAL

20

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En este tema estudiarás las expresiones algebraicas como el elemento de lasoperaciones matemáticas, por ejemplo, la Adición y Sustracción de polinomios, laMultiplicación de Polinomios así como, la División de polinomios, para lo cual seconsideran las propiedades y condiciones que se establecieron en el tema anterior.

1.2.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Como en el tema anterior aprendiste a distinguir cuáles expresiones algebraicas sontérminos y que elementos constituyen a estos últimos, ahora operarás con ellos.

En el estudio de las Matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones como3x, 4 2x , 2 3x . Representamos a x por un segmento de longitud x, a x2 por un cuadradode lado x, y a x3 por un cubo de arista x como se ve en la siguiente figura: 1

Fig. 1

De acuerdo con la interpretación anterior, ¿cuáles de las siguientes sumas crees quepueden expresarse como un solo término?:

a) 2 3 2x x+ ; b) 4 23 3x x+ ; c) 2 5x x+ ; d) 6 2 2x x-

Para saber cuándo podemos reducir la suma de dos o más términos a un solo términonecesitamos observar su conformación.

¿Recuerda cuáles son los componentes de un término?Considera la expresión -3 x2 y3

x x

x2 xx3

x

x

x

-3 x2 y3

coefiecientenumérico

exponentes

parte literal

literales

21

Analicemos los términos de cada uno de los siguientes grupos:

a) -3x2 ; 4 2x

Estos dos términos tienen la misma parte literal, es decir, las literales y sus respectivosexponentes son iguales.

b) 5 3a ; -2a2 .

Las partes literales de estos términos son diferentes aun cuando se trata de la mismaliteral porque tienen diferentes exponentes:

c) 2 3 2x y ,-3x y3 2

4

Los dos términos tienen la misma parte literal.

d) . .0 5 2 4x y , 12 4 2. y x , -3.5 4 2x y .

Únicamente los dos primeros términos coinciden en la parte literal ya que por lapropiedad conmutativa.

x y y x2 4 4 2= .

e)34

4m , -5m n4 ,12

4m ,23

4m n ,13

4m .

Aquí tienen la misma parte literal el primero, el tercero y el quinto y por otra parte, elsegundo y el cuarto términos.

Hemos encontrado que algunos términos coinciden en su parte literal. Éstos reciben elnombre de términos semejantes y su importancia es muy grande en la simplificación deexpresiones algebraicas.

Por lo tanto términos semejantes son dos o más términos cuyas partes literales soniguales.

22

Identifica los terminos semejantes en cada uno de los siguientes incisos.

a) 2 2x y , -3xy2 , 4 2y x , -x y2 .b) 3 1v , 2 2v , -4v1 , 5 2v * .c) 2 r2 , 4 r , r2 , -3r en donde =3.141592

En expresiones como V1, V2 los números 1 y 2 son subíndices. Se usan para indicar queV1 es la velocidad de un móvil y V2 la del otro.

Las expresiones algebraicas son un conjunto de número y/o letras querepresentan números reales; por lo tanto cumplen con todas las propiedadesconmutativa y asociativa de la adición y de la multiplicación, y la distributiva de lamultiplicación con respecto a la adición, puede extenderse a más de dossumandos o factores según sea el caso, esto es:

1) La suma o el producto de un número finito de números reales no es afectado por laforma en que se ordenen o asocien.

por ejemplo:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]a c b d f e a b c d e f a b c d e f+ + + + + = + + + + + = + + + + + .

2) El producto de un número real a, por la suma de un número finito de números reales,es igual a la suma de los productos de a, por cada uno de los sumandos.

Por ejemplo:( )a b c d e ab ac ad ae+ + + = + + + .

La más sencilla de las operaciones con expresiones algebraicas es la suma de términossemejantes. Se acostumbra llamar a esta operación reducción de términos semejantes,y la forma de llevarla a cabo se observa en los siguientes ejemplos:1) Reducir los términos 8 62 2x x+ .


23

Solución:

8 6 142 2 2x x x+ = .

Este resultado se obtuvo al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación conrespecto a la adición en su modalidad ax+bx=(a+b)x a nuestro ejemplo, como vemos enseguida:

( )8 6 8 6 142 2 2 2x x x x+ = + = .

Observa que hemos sumado los coeficientes numéricos de los términos dejando intactala parte literal.

2) Simplificar la expresión 8y3 - 7y3

Solución:

8y3 - 7y3 = (8 - 7) y3

= 1 y3

= y3

3) Simplificar la expresión 3 7 11ab ab ab+ -

Solución:

( )3 7 11 3 7 11ab ab ab ab+ - = + -= -1ab= -ab

Recuerda que -1(a) = -a para todo número real a.

Veamos otros ejemplos en donde no todos los términos son semejantes.

Simplificar la siguiente expresión:

1) 3 22b b+ .

Solución:

Esta suma no se puede reducir porque los términos no son semejantes. Recuerda lainterpretación geométrica que le dimos a x, y x 2, en la que la primera se representa unalínea mientras que la segunda se refiere a una superficie.

2) a+b-a+b. Trata de identificar qué propiedad utilizarías antes de ver la solución.

24

Solución:

Aquí conmutamos y asociamos a los términos semejantes:

a+b-a+b=(a-a)+(b+b) =(1-1)a+(1+1)b

=0a+2b = 0+2b =2b.

3) 6.5h + 2.5k +6-1.7h + 3.4k

Solución:

6.5h + 2.5k + 6-1.7h + 3.4k = (6.5h - 1.7h) + (2.5k + 3.4k) + 6 = (6.5 - 1.7)h + (2.5 + 3.4)k + 6 = 4.8h + 5.9k + 6.

Con la práctica puedes suprimir algunos pasos del proceso, como se ve en lossiguientes ejemplos:

1) 13

12

14

43

12

13

43

12

14

12

2 2 3 2 3x x x x x x x x

= + +53

14

12

2 3x x x

2) 3E+2D-F-4E+3D-F=-E+5D-2F.

Una de las finalidades del aprendizaje de las operaciones con expresiones algebraicases el llegar a resolver diversos problemas que se presentan cotidianamente o en algunoscasos relacionados con diferentes ciencias. Por el elemento únicamente llevaremos acabo uno de los pasos que se siguen en la resolución de esos problemas: la obtenciónde la expresión algebraica para una cierta cantidad.

Observa los siguientes ejemplo:

1) Escribe la expresión algebraica que se utiliza para obtener el perímetro de untriángulo tal que, uno de sus lados mide x unidades, otro 4

5 de éste y el tercero la mitad

del primero.

Solución:

El perímetro solicitado es 2310

x .

2) Expresar algebraicamente el precio total de un pantalón cuyo precio es x pesos másel 10% del IVA.

25

Solución:

El 10% de x es 0.1x, así que el precio total del pantalón es x+0.1x=(1+0.1)x=1.1x

Observa que la expresión1.1x es el precio con el IVA incluido, de cualquier artículo deprecio x.

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Identifica los términos semejantes en los siguientes incisos.

a) 1.8c , 2 5 2. c , 3 4 2. c , -2c .

b)-mv 2

52mv mv2

3-mv

2 .

c) 3 2x , 4xy -2xy 5 2y

2. Simplifica las siguientes expresiones además de reducir los términos semejantes.

a) x xy xy y2 22 2+ - +

b) a ab ab b2 22 2+ + +

c) 27 18 12 18 12 83 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b- + + + +

d)18

16

29

16

29

827

3 2 2 2 2 3a a b ab a b ab b+ + - - -

e) a b a b a b a b a b a b1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3+ + + - -

f) 8 6 12 92 2a ab b b+ - +


26

El estudio de las expresiones algebraicas como elementos de las diferentesoperaciones matemáticas, se hace tomando en cuenta en todo momento laspropiedades y condiciones establecidas en el tema anterior.

Esto es muy comprensible, porque las letras únicamente simbolizan valores, yen consecuencia, los cálculos matemáticos aplicados a esos símbolos se hacencon los valores del coeficiente y del exponente de los términos en las expresionesalgebraicas.

RECUERDA:

1.2.2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

En la solución de problemas como el siguiente se observa la utilidad de denominarprocedimientos para resolver operaciones con polinomios.

Se tiene una mesa rectangular a la que se desea poner como adorno en la orilla cintametálica. Si las dimensiones de la mesa son las que muestra la siguiente figura. 2

¿Cuál es la cantidad de cinta que se usa?

Para determinar la cantidad de cinta a usar, necesitamos resolver operaciones conpolinomios.

A partir de este momento llamaremos polinomio a expresiones algebraicas como: 0, 7,3x (monomios); 5 72y - , -4xy + 3x (bonomios); 6 2 84 3x y x z w (trinomio), loscuales podemos escribir en forma general como:

P x a x a x a x ann

nn

o( ) ... ,11

1 con n Z , n 0 y a R

3x-42y+5

2y+5

3x-4

Fig. 2

27

de lo que concluimos que 1x

y 7 + x no son polinomios.

Ahora vamos a iniciar con las operaciones básicas de adición y sustracción depolinomios.

En vista de que las literales de las expresiones algebraicas representan números reales,los polinomios representan numeros reales, por lo que en las operaciones con ellos seaplican las propiedades de los números reales.

Para hacer más fácil el trabajo con polinomios es conveniente ordenarlos ya sea deforma creciente a decreciente, de esta menera:

P x x x x( ) 4 2 8 63 2

P x x x x( ) 4 6 2 83 2 En forma decreciente es la manera más utilizada.

P x x x x( ) 8 2 6 42 3 En forma creciente.

P x x x( ) 9 3 44

P x x x x x( ) = -9 + + + -4 3 20 0 3 4 En forma decreciente, que es la manera másutilizada

P x x x x x( ) = -4 + + + -3 0 0 92 3 4 En forma creciente

Para ilustrar el proceso que se emplea para sumar polinomios, utilizando laspropiedades de los números reales, observa los siguientes ejemplos:

Sumar los monomios 5 3x y - 9 3x .

5 5 93 3 3 3x x x x+ -9 = -( )= -( )5 9 3x por propiedad distributiva.= -4x 3 .

Observa que para sumar monomios simplemente se reducen términos semejantes.

Ejemplos:

Para resolver la suma de los polinomios

términosagregados

28

( ) ( ),8 7 6 4 3 74 2 2x x x x x

se realizan los siguientes pasos:

1. ordenar en forma decreciente los exponentes de los términos de cada polinomio.

( ) ( )7 6 8 4 7 34 2 2x x x x x por conmutatividad.

2. Hacer que los polinomios sean completos.

( ) ( )7 0 6 8 0 0 0 4 7 34 3 2 4 3 2x x x x x x x x

3. Agrupar los términos semejantes

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 0 0 0 6 4 8 7 0 34 4 3 3 2 2x x x x x x x x por propiedadasociativa y conmutativa.

4. Redicir términos semejantes:

7 2 34 2x x x .

5. Así el resultado de la suma de los polinomios originales queda de la siguientemanera: (-8x + 7x4 + 6x2) +(-4x2 - 3 + 7x) = 7x4 + 2x2 - x - 3

Observa que los términos cuyo coeficiente es cero no se escriben

Ejemplo:

Efectúa la suma de los polinomios

(4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3y)

Observa que en estos polinomios algunos términos tienen dos literales pero la formade resolver esta suma es igual:

(4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) + (-10x3y+3xy3 +7)

¿Notaste que los polinomios han sido ordenados con respecto a la literal x en formadecreciente?

(4x3 y - 10x3 y) + (5x2 y2+0x2 y2) + (9x y3 + 3xy3) + (8+7) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15

Por lo tanto:

(4x3 y +5x2 y2 + 9x y3 + 8) + (3xy3 + 7 - 10x3 y) = -6x3 y + 5x2 y2 +12 xy3 + 15

29

Ejemplo:

Suma los polinomios 35

12

23

14

72

3 2 2x x x x .

Observa que los coeficientes son racionales, sin embargo, en éste ejemplo elprocedimiento es el mismo:

a) 35

23

12

14

72

3 2 2x x x x

b) 35

23

0 12

0 14

72

3 2 3 2x x x x x x

c) 35

0 23

14

0 12

72

3 3 2 2x x x X x x

d) 35

0 23

14

0 1 12

72

35

512

33 2 3 2x x x x x x

Por lo tanto:

35

12

23

14

72

3 2 2x x x x = 35

512

33 2x x x

Ejemplo:

Suma los polinomios73

65

52

54

89

32

25

2 2 4 3 2 3 4 4 3 2xy x y x y x y x y x y xy .

En este ejemplo se tienen coeficientes racionales y dos literales; sin embargo, elprocedimiento para sumar es igual.

52

65

73

32

89

54

25

4 3 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y xy x y x y x y xy ;

30

52

0 65

73

32

89

54

25

4 3 3 4 2 2 4 3 3 4 2 2x y x y x y xy x y x y x y xy

52

32

89

0 65

54

73

25

4 3 4 3 3 4 3 4 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y xy xy

52

32

89

0 65

54

73

25

4 3 3 4 2 2x y x y x y xy

x y x y x y xy4 3 3 4 2 289

4920

4115

Por lo tanto:

73

65

52

54

89

32

25

89

4920

4115

2 2 4 3 2 3 4 4 3 2 4 3 3 4 2 2xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y xy

Por lo tanto en la suma de tres o más polinomios que incluyen dos o más literales seemplea el mismo procedimiento.

Para restar polinomios se debe recordar que por definición a-b=a+(-b). Esto significa queen la resta de números reales al minuendo se le suma el inverso aditivo del sustraendo.

Por lo consiguiente, es importante que identifiques el inverso aditivo de cualquierpolinomio.

¿Recuerdas cómo se localizan en la recta numérica los inversos aditivos de los númerosreales?.

Polinomios Inverso aditivo3 6 42x x 3 6 4 3 6 42 2x x x x

6 3 22y y 6 3 2 6 3 22 2y y y y

12 6 82xy xy 12 6 8 12 6 82 2xy xy xy xy

sustraendo

minuendo

a - b

31

Ahora puedes realizar la sustracción de polinomios.

Resuelve las siguientes operaciones:

x x4 45 3 8 7 2 5 3 8 7 2

El procedimiento aritmético que utilizaste para realizar la operación anterior se utilizapara restar polinomios; por ejemplo, para restar los polinomios.

7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x se obtiene el inverso aditivo del

sustraendo.

sustraendo inverso aditivo

2 6 4 83 2 4x x x x 2 6 4 83 2 4x x x x

Una vez obtenido éste se procede a efectuar la suma de polinomios, aplicando elprocedimiento adecuado.

8 7 6 8 6 4 24 3 4 3 2x x x x x x x

8 7 0 6 8 6 4 24 3 2 4 3 2x x x x x x x x

8 8 7 6 0 4 6 24 4 3 3 2 2x x x x x x x x

8 8 7 6 0 4 6 24 3 2x x x x.

7 8 6 2 6 4 8 16 4 83 4 3 2 4 4 3 2x x x x x x x x x x x.

Observa que en la sustracción de polinomios lo que realmente se hace es sumar alminuendo, el inverso aditivo del polinomio correspondiente al sustraendo.

Si en la solución de la siguiente sustracción de los polinomios.

3 2 6 6 82 2x x x x .

se obtiene como resultado 2x2 - 4x + 2, se estaría cometiendo un error, realiza en tucuaderno la operación, ¿Cuál es el error?


32

Resta los siguientes polinomios:

a) 7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y .

7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y xy x y x y x y .

inverso aditivo del sustraendo

ordenando los polinomios:b) 8 7 5 6 6 3 4 53 3 2 4 4 2 3 3 2x y x y xy x y x y x y .

completando los polinomios:

c) 0 8 7 5 6 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4x y x y x y xy x y x y x y xy

Agrupando términos semejantes:

d) 0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 4 2 3 3 3 3 2 2 4 4x y x y x y x y x y x y xy xy

Sacando factor común:

e) 0 6 8 3 7 4 5 0 6 54 2 3 3 2 4x y x y x y xy .

Efectuando operaciones:

f) 7 8 5 6 4 6 5 3 6 5 3 5 112 3 3 4 2 4 2 3 3 4 2 3 3 2 4x y x y xy x y x y x y x y x y x y xy .

Otra manera de resolver las adiciones y sustracciones de polinomios es colocándolos enforma vertical, aunque se debe cuidar que en la misma columna queden los términossemejantes.

Ejemplo:

Suma de polinomios: 8 3 7 2 3 43 2 2x x y x x

8 3 0 73 2x x x+ 0 2 3 43 2x x x

8 3 113 2x x x

33

Ejemplo:

Si se tiene la sustracción: 7 8 6 2 6 4 83 4 3 2 4x x x x x x x .

Recuerda que en la sustracción, al minuendo se le suma el inverso aditivo delsustraendo, por lo que se le cambia de signo a todos y cada uno de los términos delsustraendo y se suman los polinomios.

8 7 0 64 3 2x x x x+ 8 6 4 24 3 2x x x x

16 4 84 3 2x x x x.

Ejemplo:

Realiza la operación de :35

12

23

14

72

3 2 2x x x x .

35

23

0 12

3 2x x x

+ 0 14

72

3 2x x x

35

1112

43 2x x x .

Ejemplo:

Resta los polinomios: 7 8 5 6 4 6 5 32 3 3 4 2 4 2 3 3x y x y x y x y x y x y

0 8 7 5 64 2 3 3 2 4x y x y x y x y+ 6 3 4 0 54 2 3 3 2 4x y x y x y x y

6 5 3 5 114 2 3 3 2 4x y x y x y x y

Cuando se realizan operaciones de adición y sustracción es necesario trabajar, enalgunos casos, con signos de agrupación, por lo que a continuación te presentamosalgunos ejemplos tomando en cuenta las siguientes reglas:

34

REGLAS: Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se deja el signo que

tenga cada término que se halle dentro de él.

Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (-) se cambia el signo acada término que se halle dentro de él.

Ejemplo:

6 3 4 8 2ab a a ab a .

Recuerda que para restar se suma el inverso aditivo.

Se inicia con la eliminación del signo de agrupación que contiene menor número detérminos. (Paréntesis.)

6 3 4 8 2ab a a ab a .

Se continúa con el signo de agrupación que contiene menor número de términos,después de los paréntesis. (Corchete.)

6 3 4 8 2ab a a ab a .

Después se aplica el procedimiento para la solución de la adición y la sustracción depolinomios:

6 8 3 4 2ab a

Así, el resultado de suprimir signos de agrupación es:

6 3 4 8 2 2ab a a ab a ab a

Ejemplo:

2 5 2 3x x y x y

Al aplicar el mismo procedimiento, obtenemos:

2 x 5 x 2 y x 3 y

2 5 2 3x x y x y2 5 2 3x x y x y2 5 2 3x x x y y6x y

35

Ahora retomemos el problema de la mesa rectangular.

3 4 3 4 2 5 2 5x x y y . Con lo que al hacer la adición tenemos:3 4 3 4 2 5 2 5x x y y = 3 4 3 4 2 5 2 5x x y y

= 3 3 2 2 4 4 5 5x y= 6 4 2x y

La expresión algebraica que representa la cinta metálica a utilizar es 6 4 2x y

Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3 9 1 2 3 7 42 3 3x x x x x

b)34

143

95

75

83

67

32

2 3 2x x x x x

c) 8 5 2 9 53 2 3x x x x bx

d) 3 8 4 5 2 92 2 2 2x y xy xy x y

e)27

83

45

34

27

54

3 2 3 2 2 3x y x y xy xy x y

f) 2 1 63a x a a x

Recordemos que las dimensiones de esta mesa son 3x-4 y 2y+5. Como ya sabes elperímetro es la suma de los lados de la figura, por lo tanto hay que obtener la suma delos polinomios.


36

1.2.3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Como ya se tiene conocimiento de los polinomios y en particular se aprendió la forma desumarlos, iniciaremos ahora el estudio de la multiplicación de polinomios. Para efectuarel producto de polinomios haremos uso de las operaciones de los números reales.

Empezaremos nuestro estudio con la multiplicación de dos potencias de la misma base:

Ejemplo:

Multiplicar x2 por x3 .

Solución:

2 factores 3 factores

x x2 3 x x x x x es decir, x x2 3 5:2 factores 3 factores 5 factores

x x2 3 x x x x x x x x x x .

Se observa en el ejemplo que se han sumado los exponentes.

Ejemplo:

Multiplica xm por x2 .

Solución:

m factores 2 factores m+2 factores

x xm 2 x x x x....... x x , es decir, x x xm...... 2 .

En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros nonegativos, entonces:

m factores n factores

a am n a a a a....... a a a..... ,

m+n factores

es decir, a a am n m n .

37

Esto nos conduce a lo que llamamos la primera ley de los exponentes, la cual se enunciade la siguiente manera:

Ejemplo:

Multiplicar y y y y5 2 5 2 7

¿Cómo multiplicarías 5 2a por 4a ?

Observa que en este ejemplo hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativadel producto.

5 4 5 42 2a a a a .

Sustituimos las factores 5 y 4 por su producto, es decir:

5 4 202 2a a a a ;

5 4 20 202 2 1 3a a a a

Ejemplos:

2 5 2 5 102 2 1 3m m m m( ) : ,

5 6 5 6 30 302 5 2 5 2 5 7x x x x x x ;

3 8 24 242 6 2 6 8a a a a ;

7 8 7 8 56 565 5 1 5 6y y y y y y

3 6 3 6 18 182 8 2 8 2 8 10b b b b b b

El producto de dos potencias de la misma base, es igual a la base elevada a la suma desus exponentes.

38

Ejemplo:

La siguiente figura representa la cubierta de una mesa.

fig. 3

El área de la figura se obtiene a través de una multiplicación de monomios, es decir,

A=(4m)(2m)=8m2 .

Se observa en el ejemplo, que la solución resulta ser otro monomio en el cual hacambiado no sólo el coeficiente, la expresión de la variable (concretamente, suexponente) y el grado del monomio, sino también su característica esencial ya que almultiplicar longitudes se obtienen superficies.

Esto nos muestra que la multiplicación de expresiones algebraicas produce cambiosimportantes; por ejemplo, al multiplicar una potencia por un tiempo, se obtiene trabajo; sise multiplica una masa por una aceleración, se obtiene fuerza, etc. De esta manera, sepuede comprender mejor el carácter de la multiplicación algebraica y su importancia.

Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y la reglade los signos se ha obtenido el producto de monomios. En los ejercicios que se dan acontinuación deberás obtener el producto de monomios con la aplicación de laspropiedades y leyes correspondientes. Indica como en los ejemplos planteados cuálespropiedades o reglas utilizaste.

1) (8mn)(m2) 6) x x xp p1

2) (-6x2 y)(3xy) 7) x y yn n n y2

3) (-5ab)(-4a2b) 8) x xy ym m24) (x3 y2 z6)(2x2 y3 z3 )(5xyz) 9) x x x x2 2 2 23 5 25) (-6x2yz)(2x3 yz2 ) 10) 8 27 2 3 7m n m n

2m

4m


39

Sabemos que el área de una figura como la siguiente, se obtiene por medio de unamultiplicación de los monomios. Determina cuál es el monomio resultante de la regiónsombreada.

fig. 4

a) Monomio resultante del cuadro mayor: __________________________.

b) Monomio resultante del cuadro menor: __________________________.

c) Monomio resultante de la región sombreada: ______________________.

Una vez que te haz familiarizado con potencias de la misma base, determinaremos lapotencia de otra potenciaEjemplo:

(34)5 = 3 3 3 3 34 4 4 4 4 , y por la primera ley de los exponentes:

5 Factores 5 Sumandos

(34)5 = 34+4+4+4+4 = 320 ,

Se observa en el ejemplo que se han multiplicado los exponentes.

Ejemplo:

(b2)n = b2 b2........b2 ;

n factores n sumandos

(b2)n = b2+2+2+..........+2 , esto es,

(b2)n = b2 n

y3y

3y

40

En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enterospositivos entonces.

(am)n = am am am ......... am ;

n factores n sumandos

(am)n = am+m+m+.........+m

Por lo tanto, (am)n =am n .

Esto nos conduce a la que llamaremos segunda ley de los exponentes:

Ejemplo:

(x2 )3 = x2 x2 x2 ;

3 factores 3 sumandos

(x2 )3 = x2+2+2 = x6,

es decir, (x2)3 = x6.

Observa que se han multiplicado los exponentes.

El siguiente ejemplo nos servirá para mostrar cómo obtener el producto de monomios.

Ejemplo:

Multiplicar (5a2)3 por (2a)2.

(5a2)3 (2a)2

Al aplicar la segunda ley de los exponentes se obtiene:

(5a2)3 (2a)2 = (53a6)(22a2).

La potencia de otra potencia de la misma base, es igual a la base elevada al productode los exponentes.

41

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación cambiamos el orden de los factores53 a6 22 a2 y asociamos de diferente manera.

(5a2)3 (2a)2 = (53 22)(a6 a2).

Efectuamos operaciones:

(125 4) = 500. es decir,

(5a2)3 (2a)2 = 500 (a6a2).

Por la primera ley de los exponentes, se tiene:

500(a6a2) = 500(a6+2)= 500a8; por lo tanto.

(5a2)3 (2a)2 = 500a8

Obten los siguientes productos:

a) (3x2)3 (x)2

b) (-8a3)(2a2)2

c) (-6a5)2(-2a)3

d) (3y5)(-6y2)3

A continuación determinaremos la potencia de un producto.

Ejemplo:

(a b)5 = (a b) (a b) (a b) (a b) (a b).

5 factores

Al continuar los factores y asociar de diferente manera:

(a b)5 = (a a a a a) (b b b b b).

5 factores 5 factores

es decir, (a b)5 = a5 b5.


42

Ejemplo:

(xy)n = (xy) (xy) (xy) .............. (xy)

n factores

Al conmutar los factores y asociar de diferente manera:

(xy)n =(x · x · x · x ...... · x) (y · y · y · y ...... · y).

n factores n factores

(xy)n = xn · yn

En general, si a y b son dos números reales y m es un número entero positivo,entonces:

(a · b)m =(ab)(ab).....(ab)

m factores

= a · a · a · ....... · a b · b · b ....... · b

m factores m factores

(a · b)m = ambm

Ejemplo:

a) (xy)m = xm · ym ·

b) (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144.

c) (a2 · b3)3 = a2·3 b3 · 3 = a6 b9.

d) (5a2)3 = 53a2·3 = 125a6 .

La ley anterior también podemos utilizarla para obtener el producto de un monomio; porejemplo:

Multiplicar (3a2)2 por (5b)3.

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevadosa la misma potencia.

43

Por la tercera ley de los exponentes, se tiene:

(3a2)2 (5b)3 = (32a4)(53b3).

Por la propiedad conmutativa, combinamos el orden de los factores 32, 53, a4,b3 yasociamos de diferente manera:

(3a2)2(5b)3 = (3253)(a4b3).

Efectuamos el producto y se tiene:

(3a2)2(5b)3 = (1125)(a4b3)

Obtener el producto de los siguientes monomios.

a) (-3x)3 (ab)2 c) (4y5)2 (x3y2)5 e) (-a2b5)2 (-3a2b2)3

b) (a2b2)3 (3a3b)2 d) (m2n)3 (-8xy2)2 f ) -(3x2y3)5 (2x3y)2

A continuación se determinará la forma de elevar una fracción a un exponente. Para elloveamos el siguiente ejemplo:

xy

xy

xy

xy

3

.

3 factores

Asociado:

xy

xy

xy

= x x xy y y

xy

3

3 .

Se observa en el ejemplo que tanto el numerador x, como el denominador y se elevan alexponente 3.

En general, si a y b son dos números enteros diferentes de cero y m es un númeroentero positivo entonces:


44

ab

ab

ab

ab

a a ab b b

m • • •• • •

m factores m factores

es decir, ab

ab

m m

m

Esto nos conduce a la cuarta ley de los exponentes la cual se enuncia de la siguientemanera:

Para elevar una fracción a un exponente, tanto el numerador como el denominador seelevan a dicho exponente.

Ejemplos:

xy

xy

b b b

ab

ab

ba

ba

5 5

5

3 3

3 3

2

3

3 6

9

2

5 5

10

4 4 64

Ahora trataremos la división de potencias de la misma base distinta de cero.

El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero, presenta tres casos, loscuales dependen de que el exponente del dividendo (numerador) sea mayor, igual omenor que el del divisor (denominador), es decir.

aa

a si m nn

an

m

n

m n

n m

11

si m

si m .

a)

b)

c)

d)

45

Primer caso: aa

a sim nm

nm n

Ejemplo:

88

8 8 8 8 88 8 8

8 85

35 3 2• • • •

• •;

ó 88

8 8 88 8 8

8 8 1 8 85

32 2• •

• •• • • ;

m factores

aa

a a a aa a a a

am

nm n• • • •

• • • •

n factores

Por lo tanto, aa

am

nm n si m>n, lo cual nos muestra el primer caso de la quinta ley de

los exponentes.

Ejemplos:

a) 1010

10 105

25 2 3 c) 6

66 6

8

48 4 4

b) mm

m m8

38 3 5 d) y

yy y

44 1 3

Ahora, obtengamos el producto de monomios.

Ejemplos:

Multiplicar6

6

3

3

4

2

2 5

2 3

x

x

y

y•

46

Para la ley de los exponentes se tiene:

6

6

3

36 3

6 3

4

2

2 5

2 32 2 2

2 2 2 4

x

x

y

yx y

x y

•

Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores 6 32 2 2 4, , , ,x y es decir,

6

6

3

36 3

4

2

2 5

2 32 2 2 4x

x

y

yx y• • •

Se sustituyen los factores 62 y 32 por su producto, esto es:

6 3 3242 2 2 4 2 2x y x y

Por lo tanto:

6

6

3

3324

4

2

2 5

2 32 4x

x

y

yx y•

Obtén el producto de los siguientes monomios aplicando las propiedades de losnúmeros reales y las leyes de los exponentes. Justifica la respuesta.

ax

x

xx

) •4

4

22

8

3

3

ba

a)

3

3

2 7

2 5 c bb

) 88

6

5

dx

x)

2

2

3 5

3 2 ex

x)

5 3

6 2 fa

a)

4

4

2 2

2 3


47

Segundo caso aa

m

n 1 si m = n.

Aquí el cociente es igual a uno ya que una cantidad dividida entre sí misma da la unidad.

Ejemplo:33

3 33 3

12

2••

.

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n son números enteros nonegativos, entonces:

m factores

aa

a a a a aa a a a a

m

n• • • • •• • • • •

,1 ya que m = n.

n factores

es decir, aa

m

m 1, lo cual demuestra el segundo caso de la quinta ley de los exponentes.

Ejemplos:

a mm

) ,3

3 1 b) ,88

12

2 c nn

) ,5

5 1 d bb

) .10

10 1

En el tercer caso de la quinta ley de los exponentes,aa a

m

n n m

1 , donde m n.

Ejemplo:

66

6 6 66 6 6 6 6 6

6 6 66 6 6

16 6 6

1 16

16

3

6 3 3• •

• • • • •• •• •

•• •

•

Ejemplo:

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 21

2 2 21 1

2

1

2

18

2 2

2 5

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 3 6

x

x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x• •

48

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros nonegativos en donde m<n, entonces:

m factores

aa

a a a a aa a a a a

m

n

• • • • •• • • • •

n factores

m factores

a a a aa a a a a a a a an m

• • • •• • • •

•• • • •

.1 1 1

m factores n-m factores

es decir, aa a

m

n n m1 si m n, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los

exponentes.

Ejemplos:

a

a

a aa a a a

a aa a a a a a a a

2 2

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 1•• • •

••

•• •

Ejemplo:

66

6 6 66 6 6 6 6 6

6 6 66 6 6

16 6 6

1 16

16

3

6 3 3• •

• • • • •• •• •

•• •

•

Ejemplo:

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 21

2 2 21 1

2

1

2

18

2 2

2 5

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 3 6

x

x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x• •

49

En general, si a es un número real diferente de cero y m y n números enteros nonegativos en donde m<n, entonces:

m factores

aa

a a a a aa a a a a

m

n

• • • • •• • • • •

n factores

m factores

a a a aa a a a a a a a an m

• • • •• • • •

•• • • •

.1 1 1

m factores n-m factores

es decir, aa a

m

n n m1 si m n, que es el tercer caso de la quinta propiedad de los

exponentes.

Ejemplos:

a

a

a aa a a a

a aa a a a a a a a

2 2

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 1•• • •

••

•• •

50

Resuelve los siguientes ejercicios y justifica tu respuesta:

ax

x)

4

4

2 2

2 2 cy

y)

2

2

3

3 6

bm

m)

3 4

3 5 da b

a b)

5

5

2 2

2 3

También se puede obtener el producto de monomios al aplicar esta ley.

Ejemplo:

Multiplica33

22

2

3 3

xx

xx

•

Al aplicar el tercer caso de la quinta ley de los exponentes:

33

22

13

12

13

12

13 2

112

2

3 3 3 2 3 1

2

2 3

xx

xx x x

x x

x x x

• •

•


51

Simplifica los siguientes monomios:

ax

x)

5

5

2

4 cxy

xy)

4

4

4 3

4 5

bx

x)

2

6 da b

a b)

3

3

2

2 3

Una vez que te has familiarizado con las leyes de los exponentes, ahora estudiaremoslos exponentes cero.

Hemos definido ya las potencias con exponentes enteros positivos y obtenido leyes paraoperar con ellas.

Necesitamos ahora dar una interpretación a las potencias con exponentes cero ynegativos que nos permita hacer extensivas a ellas las leyes ya establecidas.

Exponente cero

La interpretación que se le da a a0 (siendo a 0), deberá hacer cierta la igualdad.

a a a an n n0 0• .

la cual se ha obtenido al extender la primera ley de los exponentes.

Entonces a = 1, porque 1 es el número que multiplicado por an nos da un producto iguala an. (Recuerda que el elemento neutro de la multiplicación es el 1.)

Con base en el razonamiento anterior se ha convenido que:

ao = 1 para a 0

la expresión a carece de significado para a = 0.

Exponentes negativos.

El significado que se le asigna a a-n , en donde n es un número positivo y a o, deberáser congruente con la extensión que deseamos hacer de la primera ley de losexponentes, esto es, tendrá que hacer verdadera la igualdad.

a a a an n n n• ,0 1

52

puesto que a an n 1; entonces:

a n debe ser el inverso multiplicador de an , es decir,

aa

nn

1 ;

aceptando entonces para a n el significado siguiente:

aa

nn

1 ; para a 0 y, n entero positivo.

Ejemplo:

simplificar y escribir sin exponentes cero o negativos53

2 3

2

x yx

Solución:

53

53

53

2 3

2

2 2 3 4

3x yx

x y xy

Simplifica y escribe sin exponentes cero o negativos las siguientes expresiones:

a xx

) 86

3

5

3

b y zy z

) 62

2 3

5 0 c xyx y

) 410

2

2 5

d aa

) 312

4

10 e x ya y

) 23

5 3

8 5 f a b ca b c

) 515

3 5 1

2 2 1

2

Hay otras propiedades que se usan con frecuencia y que pueden establecerse en formasencilla a partir de las definiciones de exponentes negativos y de las leyes de losexponentes.


53

Caso 1

Ejemplo:

ab

a

b

2

5

2

5

1

1

pero

1

11

12

52

5a

ba

b

Por lo tantoab

ba

2

5

5

2 .

En general, si a y b son números reales y, m y n son enteros, entonces (excluida ladivisión entre cero):

ab

ba

n

m

m

n .

Caso 2

Ejemplo:

ab

ab

2 2

2

Pero ab

a

b

2

2

2

2

1

1

1

11

12

2

2

2a

ba

b•

54

Por lo tanto ab

ba

ba

2 2

2

2

En general, sí a y b son números reales cualesquiera y, m y n son enteros, entonces(excluida la división entre cero):

ab

ba

n n

Simplifica y expresa los resultados. Emplea solo exponentes positivos.

a xy

)6

xy

xy

x

y

6 6

6

6

6

1

1 ;

Pero

1

1 11

6

6 6

6 6

6

6x

y xy y

xyx

•

Simplifica y escribe las respuestas. Utiliza sólo exponentes positivos.

a x yx y

b ab

)

)

86

105

2 3

1 2

3

5

3 2

c ab

dx y

)

)

4

5 5

2

21


55

Una vez que nos hemos familiarizado con la multiplicación de monomios, resultará másfácil, al utilizar para ello la propiedad distributiva, obtener el producto de un monomio porun polinomio.

Ejemplo.

a) Multiplicar xm por x x2 .

Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

x x x x x x xm m m2 2• •

Pero, x x x y x x xm m m m• • ,1 2 2 por lo que x x x x xm m m2 1 2

b x x)5 2 3

Mediante la propiedad distributiva se obtiene:

5 2 3 5 2 5 3x x x x x• •

Al usar las propiedades conmutativa y asociativa obtenemos:

5 2 3 5 2 5 3x x x x x• • •

Efectuando operaciones:

5 2 3 10 152x x x x

También se pueden omitir los pasos intermedios y operar de la siguiente manera:

a) Multiplicar x y2 por 3 2 53 2 3xy x y xy ;

x y xy x y xy x y x y x y2 3 2 3 3 2 5 3 3 43 2 5 3 2 5

b x y xy x y xy x y x y x y)2 3 8 3 6 16 63 2 2 5 2 4 3 5 7 4 4

56

Multiplica los polinomios siguientes. En los cinco primeros omite los pasos intermedios yen los siguientes indica las propiedades y leyes que aplicaste para llegar al producto:

a a n a n an

b ax bx cx d

c a b c d

d a b

e x x x y y

p q q p

m

)

)

)

)

)

abcd

a

8 2 5 6

2 8

1

2 5 6 2

2 3

10 2 2 2

f x x y xy

g m m n m n

h x x x x

i y xy x y

j b a b a b

)

)

)

)

)

x

a

4 2 3 7

3 1 5 6

3 5

3

2 3 8

2 3 2

2 3 2

2 3 2

2 3 2

2 2 3 2

Veremos ahora cómo multiplicar polinomios.

Ejemplo:

Multiplicar ( x + 3 ) por ( x + 5 )

Mediante la propiedad distributiva:

x x x x x x x x x3 5 5 3 3 5 5 3 152• • • • .

Al reducir términos semejantes, se tiene:

x x x x3 5 8 152 .

Este mismo producto se puede resolver de la siguiente manera:

x x x x x3 5 3 3 5, usando la propiedad distributiva del primer factorrespecto al segundo.


57

Al aplicar nuevamente la propiedad distributiva, se tiene:

x x x x x x

x x x x x

3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 152

• • • • ;

.

y al reducir términos semejantes, obtenemos:

x x x x3 5 8 152 .

En la resolución de los siguientes ejemplos veremos que se han omitido algunos pasosintermedios.

a x xy y x y x x y y x x y xy y) 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2

x x y xy y3 2 2 33

También se puede resolver así:

x xy y x y x x y x y xy xy y2 2 3 2 2 2 2 32 2 2

x x y xy y3 2 2 33

A veces, al multiplicar polinomios de este tipo se acostumbra ordenarlos en columnas ycada término de polinomios se multiplica por todos y cada uno de los del otro polinomio,disponiendo los productos parciales de manera que queden en columna los términossemejantes; este procedimiento es análogo al de la multiplicación de númerosexpresados en forma decimal.

58

Ejemplo:

Multiplica 3 2 5 63 2x x x por 3 5x

Al ordenar los polinomios en columnas y seguir el procedimiento indicado, se tiene:

3 2 5 63 2x x x3 5x

9 6 15 184 3 2x x x x15 10 25 303 2x x x

9 9 5 43 304 3 2x x x x

Para multiplicar polinomios como éste x xy y x y2 22 , se puede utilizar

cualquiera de los procedimientos siguientes.

x xy y2 22 x xy y2 22x y x y

x x y xy3 2 22 x y xy y2 2 32

x y xy y2 2 32 x x y xy3 2 22

x x y xy y3 2 2 33 3 x x y xy y3 2 2 33 3

Observa que de estos dos procedimientos el más práctico es el primero, aunque en lasdos formas se llega a la misma solución.

59

De las siguientes multiplicaciones, resuelve las cinco primeras siguiendo los pasoscorrespondientes. Enuncia las propiedades y leyes aplicadas, las siguientes cinco enforma abreviada y la últimas ordenándolas en columnas:

a a ab b a b

b x xy y x xy y

c a y

d y y

e x x x

f x x x x x x

g m n m m n mn n

h x y x xy y

i a a a

j x x y

k x x x x

l x x x x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

2 2 2 2

2 2 2 2

2

4 3 2 2

2 2 2 3

2 3

2 2

2

5 2

3 2 4

3 5

3 7 2 9

1 1

3 5 3 3 4 2 2

3

1 1

5

3 3 5 2 6

7 2 3

3 8

3

2

5 3 2 6 8 5

3 2

2

2 2

2 2

x x

m y y

n x x y

o a ab b a b

P x x x x

m

)

)

)

)

Para obtener productos de polinomios con coeficientes racionales simplemente, cómo enlos casos anteriores, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y la regla delos signos.


60

Ejemplo:

Multiplica12

2a por45

3a b.

12

45

2 3a a b

Por la propiedad conmutativa se cambia el orden de los factores 12

45

2 3a a b y

se asocia de diferente manera, esto es:

12

45

12

45

2 3 2 3a a b a a b• • • .

Al utilizar los propiedades descritas:

12

45

410

2 3 5a a b a b• .

Se simplifica el coeficiente 4

10, esto es:

12

45

25

2 3 5a a b a b•

Ejemplo: Multiplicar 45

23

52x x por34x

Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

45

34

23

34

5 34

2x x x x x• • •

Por las propiedades conmutativas y asociativas se obtiene:

45

23

5 34

35

12

154

2 3 2x x x x x x

61

Ejemplo:

Multiplicar12

13

14

2 2a ab b por23

32

a b

Por la propiedad distributiva, tenemos:

12

23

12

32

13

23

13

32

14

23

14

32

13

34

29

12

16

38

13

3536

23

38

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

a a a b ab a ab b b a b b

a a b a b ab ab b

a a b ab b

• • • • •

Por lo tanto,

12

13

14

23

32

13

3536

23

38

2 2 3 2 2 3a ab b a b a a b ab b

El mismo polinomio se puede resolver en otra forma:

12

13

14

23

32

12

13

14

23

12

13

14

32

2 2 2 2 2 2a ab b a b a ab b a a ab b b

Aplica nuevamente la propiedad distributiva y termina el proceso.

Ahora resuelve el producto y completa el orden de los polinomios en columnas.

12

13

14

23

32

2 2a ab b

a b

13

29

16

3 2 2a a b ab

34

2a b

13

3a

62

Determina el producto en las siguientes expresiones con coeficientes racionales, en loscuatro primeros deberás seguir todos los pasos indicando las propiedades que utilizaste.Los siguientes cuatro ejercicios los resolverás ordenando los polinomios en columnas ylos últimos cuatro resolverás, aplicando la propiedad distributiva.

a y por y x

b x xy y x y

c a b x y

d x x x x

e a a a a

f x x x x x

)

)

)

)

)

)

x

25

56

13

12

13

14

23

32

12

13

23

23

12

23

1 25

38

23

15

13

34

83

12

12

23

2 2

2

2 3

3 2 2

g a a a

a a a

i x x x x

j x x x

k y y y

l m mn

)

)

)

)

)

h) 35

54

83

15

13

23

1 25

12

18

23

13 5

34

23

13

25

34

38

14

6 34

22

14

23

2

2

3 2

2 3

3 2 2

1.2.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Una vez familiarizados con las operaciones de sumar y multiplicar polinomios, resultafácil determinar la manera de obtener el cociente de ellos.

Para dividir polinomios, es necesario recordar la ley de los signos, la de los coeficientespara la multiplicación; asimismo el algoritmo, que comúnmente utilizas para dividiraritméticamente.

Empecemos nuestro estudio con la división de polinomios.


63

Ejemplo:

Dividir 4 5x entre 2 2x

Pasos a seguir:

a) Se dispone la operación en forma de fracción (dividiendo entre divisor), es decir

42

5

2

xx

dividendo

divisor

b) Se separan los términos y al aplicar las leyes de los exponentes se obtiene:

42

42

25

2

5

23x

xxx

x•

¿Cómo puedes comprobar la división de polinomios?

Ejemplo:

Dividir 20 a b c2 3 4 entre 4 a b c0 1 2

Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior se tiene:

204

204

52 3 4

0 1 2

2

0

3

1

4

2

4 2

2

a b ca b c

aa

bb

cc

b ca

• • •

Ejemplo:

Dividir 15 2 3 6x y z entre 20 2 2x yz

Siguiendo los pasos anteriores:

1520

1520

2 3 6

2 2

2

2

3 6

2

x y zx yz

xx

yy

zz

• • •

Simplificando.

1520

34

2 3 6

2 2

2 8

4

x y zx yz

y zx

64

Ejemplo:

Dividir 10 3 5a b c entre 2 2a b.

102

53 5

24a b c

a bab c.

Aquí se observa que cuando en el dividendo hay una literal que no existe en el divisor,en este caso la letra c, dicha letra aparece en el coeficiente. Lo mismo ocurre si c secuestiona en el divisor con exponente cero ya que tendríamos:

cc

c c c01 0 1 .

Ejemplo:

Dividir a b cm n p entre 5 2 2ab c .

a b cab c

a b cm n p

m n p

51

52 21 2 2

.

Forma de comprobar la división de monomios.

Para comprobar una división de monomios se multiplica el cociente por el divisor, elresultado debe ser el dividendo:

Ejemplo:

63

23

2xx

x

Por que 2 3 62 3x x x

65

Obtén el cociente en cada una de las siguientes divisiones.

En las cinco primeras determina los pasos que se siguen, tal como se hizo en losejemplos y los restantes en forma simplificada, pero comprobando la solución.

a x xy

b x x y

c a b c ab c

d a b c a b

e x y x y

f x y z y z

g x y m

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

entre

entre x

entre m

5 6

10 5

18 2

108 20

25 5

3

9

4 2

6 2

6 4 2 2 2

7 8 5 6 2

2 5 4 2

5 4 2 5 2

3 2 5 2

h a b c a bc

i z y z

j b c y c

k x y xy

l x y x y

m a b c a b c

n x y z z

n k

)

)

)

)

)

)

)

entre

y entre x

a entre a

entre

entre

entre

entre

16 4

10 2

25 5

12 6

4 2

8 2 5 2 2

6 2 3 2

5 2 8 3

3 0 5

1 5 2 2

3 2 0 2 6 5

2 2 0 2

División de un polinomio entre un monomio

Aquí se utiliza la propiedad distributiva para expresar el cociente de un polinomio y unmonomio como suma de fracciones, como en polinomios, o como una suma de unpolinomio y una o más fracciones, es decir,

a bc

ac

bc


66

Ejemplo:

a) Dividir 20 25 15 53 2 4x x x entre x

Aplicando la propiedad distributiva se obtiene:

20 25 155

205

255

155

4 5 33 2

4

3

4

2

4 4 2 3x x x

xx

xx

xx

x x x x

b a a aa

aa

aa

aa

a a

c m m mm

mm

mm

mm m

mm m

)

)

2 2 1 2

12 4 64

124

44 4

64

3 1 14

32

2 5 2 54

4 2

2

4

2

2

2 2 22

2

Como sabemos, la comprobación de la división se obtiene al multiplicar el cociente por eldivisor.

Comprobaremos por medio de una multiplicación el primero de los casos anteriores.

En el inciso a.

Si multiplicamos el cociente 4 5 32 3x x x

por el divisor 5 4x , obtenemos el

dividendo:

5 4 5 3 20 25 15 20 25 1542 3

4 4

2

4

33 2x

x x xxx

xx

xx

x x x, que es el dividendo.

1) Comprueba en los incisos b y c

67

1) Procediendo como en el ejemplo, encuentra el cociente en cada una de las siguientesdivisiones y compruébalo.

Dividir:

a x y a x x

b a ab a b a

c m m n mn m

d x x x

e m m m n m n m n m

f m y z xy z y z xy z

g x y z x y z x y z entre x yz

m m m m m

n n n

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

x entre x

entre

entre

3 5 3

3 5 6 5

6 8 20 2

5 6

8 10 20 12 2

5 10 20 5

3 9 12 3

2 3 2 4 2

3 2 2 3

3 2 2

2 1 1 2

9 2 7 4 5 6 3 8 2

2 5 3 2 3 3 3 3 2 3

2 3 2 3 1 5

Obtención del cociente de un polinomio entre otro polinomio.

La división de polinomios se puede efectuar de la misma manera que la divisiónaritmética, con grandes números, usando el algoritmo de Euclides; por ejemplo, dadoslos números 632 y 23, obtengamos el cociente por medio del algoritmo citado, es decir,

2723 632 -46 172 161 11

(63 entre 23 da 2, como 2 por 23 es igual a 46, el residuo parcial es 17).

(Ahora, 172 entre 23 da 7 como 7 por 23 es igual a 161 y el residuo parcial es 11).


68

Comprobación.

Por lo tanto 632 = 23 x 27 + 11,

El dividendo es igual a divisor por cociente más residuo.

Ahora se obtendrá el cociente de polinomios aplicando el algoritmo de Euclides.

Para empezar a dividir un polinomio entre otro, se disponen los términos del dividendo ydivisor en orden decreciente respecto al grado de una literal. Se termina el proceso dedivisión cuando el grado del residuo, en una variable es menor que el del divisor ocuando el residuo es cero.

Ejemplo:

Dividir 6 3 2 2 32x x x entre

Pasos a seguir;

1) Se divide el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor.

62

32xx

x 2 3 63

3 22x xx

x

2) Se multiplica este primer término del cociente por el divisor y se escribe el inversoaditivo de su producto.

3 2 3 6 92x x x x 2 3 6 3 23

2x x xx

6 92x x.

3) Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.

2 3 6 3 23

2x x xx

6 92x x.6 2x

4) Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.

62

3xx

2x+3 6 33 3

22x xx

6 92x x 6 2x

69

5) Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inversoaditivo de este producto.

3 2 3 6 9x x 2x+3 6 33 3

22x xx

6 92x x 6 2x

6 9x

6) Para terminar, sumamos.

2x+3 6 33 3

22x xx

6 92x x 6 2x

6 9x 11.

Por lo tanto, el resultado de la división es: 3x-3 residuo 11 ó 3 3 112 3

xx

Y la comprobación es: 6 3 2 2 3 3 3 112x x x x .

Dividendo igual a divisor por cociente más residuo.

Ejemplo:

Dividir 2 2 4 23x x entre x, sin mencionar los pasos del algoritmo.

Se disponen los términos del dividendo y del divisor en orden decreciente y como en eldividendo falta el término x2 se debe dejar un lugar para este término.

x x xx x

2 2 4 22 4 4

3

2

2 43 2x x

4 4 2

4 8

2

2

x x

x x4 2

4 810

xx

70

Por lo tanto el resultado es: 2x2 - 4x +4 Residuo -10 ó 2 4 4 102

2x xx

Y la comprobación es:

2x3 - 4x -2 = (x+2) (2x2 -4x + 4) + (-10)

1) Aplica el algoritmo de Euclides sin mencionar los pasos y resuelve las siguientesdivisiones de polinomios:

a n n n

b x x entre x

c b b b b

d x

e x x x

)

)

)

)

)

entre

b entre b

x entre x

entre

6 11 35 3 5

4 4 2

4 10 12 9 2 3

4 14 6

8 4 1 2 2

2

3

4 3 2 2

2

3

División de monomios entre monomios con coeficientes racionales.

Ejemplo:

Dividir 52

13

3 2a a entre , esto es:

52 3

3 2a a .


71

Ahora vamos a multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El inversomultiplicativo de

13

322

aa

es .

Por lo tanto,

52

13

52

3 152

3 2

3

2

3

2

a a

aa

aa

• .

Por las leyes de los exponentes, se tiene:

52

13

152

32a a a.

División de polinomios entre monomios con coeficientes racionales.Se puede proceder del mismo modo que en el campo de los números racionales; porejemplo:

Dividir 13

38

23

3 2x x y entre x.

Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

13

38

32

3 2x x yx

Ahora se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.

36

916

3 2xx

x yx

.

Simplificando términos, se obtiene:

x xy2

2916

.

Por lo tanto, 13

38

23

12

916

3 2 2x x y x x xy.

72

Comprobación:

Se multiplica el divisor por el cociente, para obtener el dividendo, esto es:

13

38

23 2

916

26

1848

13

38

3 22 3 2

3 2x x y x x xy x x y x x y.

(dividendo = divisor por cociente).

Procede como en los ejemplos anteriores y divide los siguientes polinomios. Compruebala solución:

1 38

25

2 34

23

3 27

12

38

35

4 34

23

12

12

5 34

57

5 4 3 2

5 2 3 4

3 2 3 2 2 2

3 2 2 2 2

3 4 2 2 3

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

a b a b

x y z entre x y z

a a b ab a b

y x y xy y x

a b c a bc

Para dividir polinomios entre polinomios con coeficientes racionales se aplica elalgoritmo de Euclides.

Ejemplo:

Dividir 13

2845

415

23

45

3 2 2x x y xy x y entre .


73

Pasos que se siguen:

1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

2. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se escribe el inverso aditivode ese producto.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

13

25

3 2x x y

3. Se suma el dividendo con el polinomio obtenido.

23

45

13

2845

415

12

3 2 2

2

x y x x y xy

x

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

4. Se divide el primer término de esta suma entre el primer término del divisor.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

74

5. Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se escribe el inversoaditivo de este producto.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

29

415

2 2x y xy

6. Sumando los dos polinomios.

23

45

13

2845

415

12

13

3 2 2

2

x y x x y xy

x xy

13

25

3 2x x y

29

415

2 2x y xy

29

415

2 2x y xy

0 0

Por lo tanto el resultado de la división es:12

13

2x xy

Y la comprobación es: 13

2845

415

23

45

12

13

3 2 2 2x x y xy x y x xy

Compruébalo desarrollando el producto.

75

Efectúa las operaciones siguientes desarrollando los pasos propuestos.

a a a ab b entre a ab b

b x x y y xy x y

)

)

entre

13

3536

23

38

12

13

14

116

58

53

14

32

3 2 2 2 2

3 2 3 2

Hasta aquí estudiamos:

La suma de polinomios: Se obtiene por las sumas parciales de los términos semejantes,cuyos resultados se escriben a continuación del otro con sus respectivos signos.

Sustracción de polinomios: Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo elinverso aditivo o recíproco del polinomio sustraendo.

Multiplicación de polinomios: El producto de dos polinomio se obtiene multiplicando cadatérmino de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, luego se reducen lostérminos semejantes.

División de polinomios: Para dividir dos polinomios se ordenan los polinomios deldividendo y el divisor en orden decreciente. Con respecto a la misma literal y se aplica elalgoritmo de Euclides.



76

En este apartado encontrarás una síntesis de los temas y subtemas que estudiaste a lolargo del capítulo.

En el esquema que revisaste se desglosó una expresión algebraica para que ubiquescada uno de los elementos que has aplicado en los problemas que se plantearon dentrode cada uno de los temas.Ahora resuelve la siguiente operación algebraica 2 3 5 2 32a a a

RECAPITULACION

-4x2y3 + 3x3 =

TÉRMINO

GRADOABSOL.

TÉRMINO COEFICIENTENUMÉRICO

FACTORESLITERALES

GRADOY

GRADOX

-4x2 y3 -4 x2y3 5 2 3

FACTORIZACIÓN

MONOMIO POLINOMIOS

BINOMIO TRINOMIO POLINOMIO

OPERACIONES

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓNSUSTRACCIONSUMA

-4x2y3 + 3x3 =


77

Con el fin de que conozcas el nivel de tu aprendizaje realiza las siguientes actividades ysi tienes alguna duda revisa los temas que estudiaste en este capítulo.

1) Encuentra una expresión algebraica para las siguientes cantidades.

a) El perímetro de un rectángulo de largo x y ancho y.

b) El área de un paralelepípedo con las siguientes dimensiones:Largo a, ancho b, altura c.

c) La cantidad de dinero que totalizan n billetes de 50,000 pesos.

d) La cantidad de dinero que totalizan m billetes de 10.000 pesos y n billetes de20,000 pesos.

e) La cantidad a cobrar por un disco que costaba x pesos si el vendedor ofrece undescuento de 30%.

2. Con tus propias palabras escribe los pasos a seguir para resolver adiciones ysustracciones de polinomios.

3. Mediante las propiedades de los números reales, las leyes de los exponentes y laregla de los signos, has obtenido los métodos para multiplicar y dividir polinomios, detal manera que los ejercicios que se te proponen a continuación, te servirán parareafirmar tu aprendizaje. Resuélvelos e indica los propiedades y reglas que utilices.

ACTIVIDADES INTEGRALES

78

a a ba b

b ab

c x y z x y

d x y x yz x z x y

e x y z x

f a b c a b c a abc

g a a b

h x y x y

i a

m n m

n

n

)

)

)

)

)

)

)

)

)

615

42

2 4

8 2 3 2

3 6 5 6

4 2 2 3

38

15

52

27

34

2 3

1 2

2

5

2 1

2 5 3 2

2 3 2

2 3

3 4 2 5 2

2 5

5 5

2 5 2 2 2

2 3 2 5

2

8 2

2 3 4 2 2

2 2

23

53

54

13

38

12

3 34

35

4 2

6 3 5 3

10 5 2 3 5

b a b c x

j y z y z y

k x y x xy

l x x

m xy x x y x y

n x y x x x

)

)

)

)

)

79

Aplica el algoritmo de Euclides para resolvar las siguientes divisiones con polinomios.

o x x x

p n n n

q a a

r x y xy xy x y

s m n m n m m n

t a a b b a b

u x x y xy y x xy

)

)

)

)

)

)

)

entre

entre

entre

entre

entre

entre

entre

2

2

5

2 5 2 2

5 3 2 2 3

4 3 2 3 2 3

3 2 2 3 2

6 10 2

7 9 1

43

23

53

23

14

53

12

65

38

23

38

12

65

13

710

1930

34

25

910

13

3536

56

34

12

13

12

116

58

158

94

14

32

2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3

y

v x x y xy y x xy y

w a a b ab b a b

)

)

entre

entre

80

En este apartado encontrarás las respuestas de las Actividades Integrales; compara tusrespuestas y si en alguna no llegaste al mismo resultado, verifícala y en caso necesariovuelve a revisar el tema.

1. a) x x y y x y2 2

b) El área de un paralelepípedo es la suma de las áreas de sus caras:

ab ab bc bc ac ac ab bc ac2 2 2 .

c) 50 000n

d) 10 000 m + 20 000n

e) El descuento es 0.3x, entonces la cantidad a cobrar por el disco es:

x x x x0 3 1 0 3 0 7. . . .

2. Si entendiste esta parte del tema habrás observado la necesidad de seguir una seriede pasos para resolver en forma adecuada las operaciones de adición o sustracciónde polinomios, sin que los pasos requieran un orden fijo, sino más bien la habilidadque tengas en el manejo de las expresiones algebraicas.

En la realización de las actividades de consolidación, debiste considerar que:

Los polinomios se ordenan en forma decreciente.

Hacer que los polinomios sean completos.

Agrupar los términos semejantes (vertical u horizontal).

AUTOEVALUACIÓN

a

b

c

81

Sumar o sustraer los coeficientes.

En la sustracción, se debe obtener el inverso aditivo del sustraendo.

3. Obtener el producto y el cociente de polinomios son operaciones que requieren de laaplicación de las propiedades y leyes que permiten encontrar la solución deseada.

Los resultados de los ejercicios propuestos en las actividades de consolidación son lossiguientes:

82

a a ba b

ba

b ab

ba

c x y z x y x y x y x yz

d x y x yz x z x y x y x y z x yz

e x y z x x x y x z x y z

f

m n m m n m

)

)

)

)

)

615

25

42 4

2 4 8 4 4

8 2 3 2 16 4 6

3 6 5 6 15 30 5 18 36 6

2 3

1 2

5

2

5

2 110

4

2 5 3 2 4 2 6 2 3

2 3 2 2 1 4 2 2 3

2 3 5 3 3 2

)

)

)

)

)

4 2 2 3 8 4 12 6

38

15

340

52

27

57

34

23

53

54

109

54

3 4 2 5 2 5 4 4 5 4 5 2 3 1 6

2 57

5 5 5 6

2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2

2

a b c a b c a abc a b c a b c a b c a b c

g a a b a b

h x y x y x y

i a b a b c x a bx a b c x

j y z

n n n

n n

13

38

1532

18

12

3 34

35

38

310

94

95

4 2 2

6 3 5 3 2 53

10 5 2 3 5 6 3 65

3 2 5 7 8 2

2 3 3 2

8 2 6

2 3 4 2 2 2

2 2 3 2

y z y y z y z

k x y x xy x x y xy xy

l x x x

m xy x x y x y yx

xy

x y

n x y x x x x y x x

)

)

)

)

83

o x x x x x ó x

p n n n nn

q a a a

r x y xy xy x y y yx x

s m n m n m m n mn

mn mn

t

)

)

)

)

)

)

entre residuo

entre residuo ó n

entre

entre

entre

2

2

5 4

2 5 2 2 4

5 3 2 2 33

2 3

6 10 2 4 2 4 22

7 9 1 8 1 8 11

43

23

2

53

23

14

53

25

320

12

65

38

23

34

95

916

38

12

65

516

512

56

13

710

1930

34

25

910

13

56

13

3536

56

34

12

13

12

23

32

116

58

158

94

4 3 2 3 2 32

3 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

a a b b a b ab

ab a

u x x y xy y x xy y x y

v x x y xy y x xy y x y

w a a b ab

entre

entre

entre

)

)

) b a b a ab b3 2 214

32

14

32

entre

85

LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN YSIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICAS RACIONALES

2.1 PRODUCTOS NOTABLES

2.1.1. Productos de dos Binomios con Término Común.2.1.2. Producto de dos Binomios Conjugados2.1.3. El Cuadrado de un Binomio2.1.4. El Cubo de un Binomio2.1.5. El Binomio de Newton

2.2 FACTORIZACIÓN

2.2.1. Factorización por Factor Común2.2.2. Factorización por Agrupación de Términos2.2.3. Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto2.2.4. Factorización de una Diferencia de Cuadrados2.2.5. Factorización de una Suma de Cubos2.2.6. Factorización de una Diferencia de Cubos2.2.7. Factorización de Trinomios de la forma: x2+b+c y ax2+ bx +c

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASRACIONALES

2.3.1. Reglas para Simplificar Expresiones Algebraicas Racionalesa)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Monomiosb)Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomiosc)Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador Denominador dado.

C A P Í T U L O 2

86

d)Reducción de una Fracción a una Expresión Entera o Mixtae)Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionariaf) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominadorg) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomiosh) Cálculo del Mmínimo Común Múltiplo de Polinomios

2.3.2. Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionalesa) Adición de Fracionesb) Sustracción de Fraccionesc) Multiplicación de Fraccionesd) División de Fracciones

87

En este capítulo estudiarás los procedimientos para desarrollar productos notables yfactorización:

¿QUÉ APRENDERÁS?

¿CÓMO LO LOGRARÁS?

A diferenciar y desarrollar los tipos deproductos notables, y los de factorización;así como a simplificar fracciones algebraicasracionales.

Al analizar los procedimientos para obtenerlos productos notables; factorizar unaexpresión y simplificar fraccionesalgebraicas racionales.

Al desarrollar las actividades que sepropone, y comparar tus resultados con losque aparecen en el fascículo para verificarque el procedimiento que aplicaste escorrecto

Para obtener los conocimientos básicos quenecesitarás en las próximas asignaturas deMatemáticas, así como en física, Química yBiología entre otras

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

P R O P Ó S I T O

89

CAPÍTULO 2: LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTOSNOTABLES, FACTORIZACIÓN YSIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICAS RACIONALES.

2.1 PRODUCTOS NOTABLES.

En muchos casos, para resolver un problema tenemos que recurrir al álgebra, y cuandoformamos los modelos algebraicos nos enfrentamos a expresiones como las siguientes:

x x x x6 8 14 482

Y aunque parecen complejas en realidad son expresiones de fácil solución, debido a quese han establecido algunas reglas que nos ayudan a solucionarlas rápidamente conprecisión.

Para las cuales iniciaremos analizando, los productos que cumplen con una regla fija ycuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, esto es, sin verificar lamultiplicación; a estos les llamamos productos notables.

2.1.1 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.

La expresión dada (x+a) (x+b) es un producto de dos binomios, donde puedes ver que xes un término que está en ambos binomios, por lo cual se dice que es término común.Los términos +a y +b son términos no comunes.

Por lo anterior, a la expresión ( x + a ) ( x + b ) se le denomina producto de dos binomioscon término común.

90

Observa la siguiente tabla:

Productos de dos binomioscon un término común

Término común Términos no comunes

1 4 10

2 3 8

3 6 23

4 2 7 2 2

5 6 5

6 11 1

7 3 10

8 2 8 2 6

9 3 7

10 2 9

2 2

3 3

2 2

2 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

y y

k k

x x

x x

z z

x x

y y

x x

y y

x

y

k

x

x

z

x

y

x

y

2

2

2

3

2

2

4 10

3 8

623

7 2

6 5

11 1

3 10

8 6

3 7

2 9

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Si a los ejemplos 1, 3, 5, 7, 9 se les aplica el procedimiento para multiplicar dosbinomios, se tiene:

1 4 10. x x

x x x

x x

x x

2

2

2

10 4 40

10 4 40

14 40

3 6 23

. k k

k k k

k k

k k

2

2

2

23

6 4

23

6 4

163

4.

91

5 6 5. x x

x x x

x x

x x

25 6 30

5 6 30

30

7 3 103 3. x x

x x x

x x

x x

3 2 3 3

6 3

6 3

10 3 30

10 3 30

7 30

9 3 72 2. x x

x x x

x x

x x

2 2 2 2

4 2

4 2

7 3 21

7 3 21

4 21.

Observamos que este tipo de productos se efectúa del mismo modo en que semultiplican dos binomios cualesquiera; sin embargo, esto lo hacemos tanfrecuentemente que es válido tener una regla adecuada, la cual se obtiene observandodetenidamente los ejemplos anteriores.

x a x b x a b x ab2 .

Por consiguiente, el producto de dos binomios con un término común es un trinomiocuyo primer término es el cuadrado del término común, su segundo término es elproducto de la suma de los términos no comunes por el término común y el término es elproducto de los términos no comunes.

Analiza como se aplica cada paso de esta regla en los siguientes ejemplos.

Para x x1 9

1er. Paso x x x1 9 2 El cuadrado del término común.

2o. Paso x x x x1 9 1 92 El producto de la suma de los términos nocomunes por el término común.

92

3er. Paso x x x x1 9 8 1 92 El producto de los términos no comunes.

x x x x1 9 8 92

Para y y2 285

23

1er. Paso: y y y2 2 2 285

23

El cuadrado del término común.

2o. Paso: y y y y2 2 4 285

23

85

23

El producto de la suma de los

términos no comunes por el término común.

3er. Paso y y y y2 2 4 285

23

3415

85

23

El producto de los términos

no comunes.

y y y y2 2 4 285

23

3415

1615

Ahora apliquemos los tres pasos de la regla:

m m m m

p a p a p a p a

y y y y

x x x x8 3 5 24

10 33 43 330

6 3 9 18

2

2 3 2 3 4 6 2 3

2

2.1.2 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS.

El producto 103 por 97 que es una operación aritmética, se puede escribir como100 3 100 3 dado que 103 = 100 + 3 y 97 = 100 - 3. Quedando el producto

103 97 100 3 100 3 , observamos que el producto dado se puede escribircomo el producto de dos binomios, los cuales tienen un término común (100) y untérmino (3) que difieren sólo en el signo (uno es positivo y el otro es negativo).

93

De esta manera, también en Álgebra se presenta este tipo de expresiones, por ejemplo:

x x4 4

donde x es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.

y k y k ,

Donde y es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.

12

3 12

3a a

Donde 3a es el término común y los otros términos sólo difieren en el signo.

En este tipo de expresiones los términos que sólo difieren en el signo se les llamaconjugados o simétricos.

Para mayor identificación de este tipo de productos se dan a continuación los siguientesejemplos:

Producto de dos binomios Termino común o igual

Término simétrico oconjugado

1

2 2 3 2 3

3 2 1 1 2

4 3 3

5 6 6

6

2 2

3 2 4 3 2 4

.

.

.

.

.

.

a x a x

a b a b

x x

ax y ax y

x m x x m x

x y x ym n m n

aa

xy

x

xm

2

2

6

2

3

x xb b

ax ax

m x m x

yn n

;;

;;

;

;

3 31 13 3

2 4 2 4

y

A los productos de binomios como los anteriores se les llama productos de binomiosconjugados, porque tienen una parte idéntica y una parte simétrica.

Si a los ejemplos 1, 3, 5, se les aplica el procedimiento para multiplicar binomios, setiene:

1. a x a x

a ax ax x

a x x a x

a x

2 2

2 2

2 2

94

3 2 1 1 22 2. x x

2 4 1 2

4 2 2 1

4 1

2 4 2

4 2

4

x x x

x x

x

5 6 63 2 4 3 2 4. x m x x m x

36 6 6

36 6 6

36

6 2 7 2 7 4 8

6 2 7 4 8

5 4 8

x m x m x m x

x m x m x

x m x

En los ejemplos anteriores observamos que...

El producto de binomios conjugados es un binomio cuyo primer término es el cuadradode la parte idéntica menos el cuadrado del término conjugado.

Por lo tanto, el modelo matemático para el desarrollo del producto de binomiosconjugados es:

x y x y x y2 2

Analicemos la aplicación de la regla paso por paso:

Para 6 3 6 3x x

1er. Paso: 6 3 6 3 62x x El cuadrado del término idéntico.

2do. Paso:6 3 6 3 36 3

6 3 6 3 36 9

2

2

x x x

x x x Menos el cuadrado del término simétrico.

Para 6 25

6 25

2 2x x

1er. Paso: 6 25

6 25

25

2 22

x x El cuadrado del término idéntico, que en este

caso no solo es el primero que aparece en los binomios.

95

2do. Paso: 6 25

6 25

425

62 2 2 2x x x Menos el cuadrado del término

simétrico.

6 25

6 25

425

362 2 4x x x

Ahora apliquemos directamente estos dos pasos:

y y y

m m m

x m x x m x x m x

x x x

2 2 4

2

3 2 4 3 2 4 6 4 8

85

85

6425

2 2 4

5 5 25

2.1.3 EL CUADRADO DE UN BINOMIO.

Interpretación geométrica del producto notable

Un agricultor necesita conocer la superficie del terreno que va a sembrar y sólo conocesu dimensión x + y por lado.

Dibujemos el terreno:

- Identificación del producto notable.

Utilizando la definición de potencia y la operación de multiplicación con polinomios:

x y x y x y x xy yx y x xy y2 2 2 2 22

( x + y )

Para calcular la superficie se puedeutilizar la fórmula para obtener lasuperficie de un cuadrado:

A = ( ) ( )A = 2

Como en nuestro caso = x + y,la fórmula resulta.

A = (x+y)2

96

Para mayor comprensión desarrollemos otros dos ejemplos:

a b a b a b a ab ba b a ab b

a b a b a b a a b b a b

a a b b

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3

2 2 2 3 3 .

De los dos últimos ejemplos apreciamos que en el proceso de desarrollo de todobinomio al cuadrado siempre aparece una expresión que se identifica de la siguienteforma:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término másel doble del producto de los dos términos más el cuadrado del segundo.

Es por esto que se puede representar mediante el modelo matemático o fórmula:

x y x xy y2 2 22

Esta fórmula puede manejarse con mayor precisión si en el desarrollo de un binomio seutiliza su representación mediante signos de agrupación en la formula:

2 2 22

Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para elproducto notable se escribe de la forma.

x y x y x y x xy y2 2 22 .

Comprueba que este producto notable se dedujo correctamente desarrollando el binomio

x y 2mediante la multiplicación de polinomios.

Como te darás cuenta, el primer término resulta positivo, el segundo negativo y el tercerotambién positivo.

Para multiplicar el producto notable anterior, desarrollaremos binomios al cuadrado querequerirán simplificarse mediante operaciones combinadas con expresiones algebraicas.

97

Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio:

m n m m n n2 2 22

m mn n2 22 .


2 23

2 2 2 23

23

32

3 2 32

x x x

4 83

49

6 3x x .


4 2 4 2 4 2 22 2 2

x y x x y yn m n n m m

16 16 42 2x x y yn n m m

Desarrollamos este mismo ejemplo por medio de la multiplicación de polinomios ycomparemos el número de operaciones y la dificultad con que se realizan en esta formay mediante el uso del producto notable.

4 2

4 2

16 8

x y

x y

x x y

n m

n m

n n n m

8 4x y yn m m m

16 16 42 2x x y yn n m m Resultado final.

¿Cuál consideras como mejor método para desarrollar el cuadrado de un binomio, el demultiplicación de polinomios o el producto notable con su regla particular?.

98

2.1.4 EL CUBO DE UN BINOMIO

Interpretación geométrica del producto notable.Supongamos que un ingeniero necesita un tanque cúbico de dimensiones x + y porarista y que desea calcular su volumen.

Dibujemos el tanque:

x + y

x + y

x + y

Su volumen podrá calcularse mediante la fórmula para obtener el volumen de un cuboV= 3 como en nuestro caso =x+y y la fórmula resulta:

V x y 3

- Identificación del producto notable.

1. Aplicando la definición de potencia y la multiplicación de polinomios:

x y x y x y x y x xy yx y x y x x y xy y3 2 2 3 2 2 33 3 .

2. Aplicando leyes de los exponentes para descomponer la potencia y emplear el producto notable del cuadrado de un binomio, así como la multiplicación de polinomios:

x y x y x y x y x xy y x x y xy y3 2 2 2 3 2 2 32 3 3 .

Observa que el resultado final es siempre el mismo, independientemente de la forma dedesarrollar el binomio. Esto significa que se cumple la propiedad de campo de losnúmeros reales denominada conmutativa. “El orden de los factores no altera elproducto”. Así es como resulta el producto notable de:

El cubo de un binomio: x y x x y xy y3 3 2 2 33 3 .

99

Es importante aclarar que no todos los binomios se presentan con literales, sino quepuede encontrarse cualquier expresión algebraica.

Por ejemplo, podría representarse un modelo algebraico con figuras geométricas.

+ 3 2 33 3 23

O bien mediante signos de agrupación en la forma:

3 3 2 2 33 3

El producto notable se identifica de la siguiente forma:

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del cuadradode este mismo por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado delsegundo, más el cubo del segundo término.

Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para elproducto notable se escribe en la forma:

x y x x y xy y3 3 2 2 33 3

Como podrás observar al desarrollar el cubo de una diferencia de dos términos, elprimero del desarrollo es positivo, el segundo negativo y, así, sucesivamente; lostérminos son positivos y negativos alternadamente hasta completar su desarrollo.

El desarrollo de este producto notable en diversos ejercicios nos mostrará como seaplica el conocimiento anteriormente adquirido en operaciones combinadas conexpresiones algebraicas.

Ejemplo. Desarrollemos el siguiente binomio:

3 14

3 3 3 14

3 3 14

14

23

3 2 2 22

23

ax by ax ax by ax by by

27 274

916

164

3 3 2 2 2 2 4 3 6a x a bx y ab xy b y

Calculemos ahora la potencia anterior por medio de multiplicación de polinomios ycomparemos el número de operaciones y dificultad con que se realizan en esta forma ymediante el uso del producto notable.

100

3 14

3 14

3 14

3 14

23

2 2 2ax by ax by ax by ax by

9 34

34

116

3 14

27 94

94

316

94

316

316

164

27 274

916

164

2 2 2 2 2 4 2

3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 3 6

3 3 2 2 2 2 4 3 6

a x abxy abxy b y ax by

a x a bx y a bx y ab xy a bx y ab xy ab xy b y

a x a bx y ab xy b y

Ejemplo.

58

410

58

3 58

410

3 58

410

410

2 3 3 4 3 2 3 3 2 3 2 3 4 2 3 3 4 2 3 4 3x y a b x y x y a b x y a b a b

125512

300640

240800

641000

125512

1532

310

8125

6 9 3 4 4 6 6 8 2 3 9 12

6 9 3 4 4 6 6 8 2 3 9 12

x y a b x y a b x y a b

x y a b x y a b x y a b

Si te diste cuenta, este binomio contiene términos racionales; no obstante, su desarrollose realiza en forma exactamente igual al ejemplo anterior.

A partir de la multiplicación de polinomios, propiedades de las potencias y el productonotable del cuadrado de un polinomio, hemos obtenido el modelo del producto notabledel cubo de un binomio.

¿Cuál es el mejor método para calcular el cubo de unbinomio: el de multiplicar polinomios o el de aplicar laregla del producto notable correspondiente?

2.1.5 EL BINOMIO DE NEWTON.

Para el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, unocorresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominadafórmula del binomio de Newton.

Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante eltriángulo de Pascal.

Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y elde un binomio al cubo mediante el modelo:

x y x xy y

x y x x y xy y

2 2 2

3 3 2 2 3

2

3 3 .

101

A fin de obtener el producto notable de un binomio a la cuarta potencia y llegar así almodelo x x y x y xy y4 3 2 2 3 44 6 4 , uno de los caminos que podemos elegir esaplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.

x y x y x y x xy y x xy y x x y x y xy y4 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 42 2 4 6 4 .

Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simpleinspección.

x y x x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y x y xy y

x y x x y x y x y x y x y x y xy y

5 5 4 3 2 2 3 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

8 8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8

5 10 10 5

6 15 20 15 6

7 21 35 35 21 7

8 28 56 70 56 28 8 .

Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:

x y x y x y

x y

1

0

1 1

1

Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de losbinomios anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado dePascal. Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Observando con atención, en este triángulo se puede descubrir que cada coeficiente sepuede obtener sumando los dos que se encuentran arriba de este último.

102

Dibujemos la sección del triángulo de Pascal que corresponde a los productos notablesque tienen exponente desde cero hasta tres.

11 1

1 2 11 3 3 1

Ahora calculemos las dos siguientes filas que corresponden a los coeficientes de losbinomios a la cuarta y quinta potencias.

11 1

1 2 11 + 3 + 3 + 1

1 + 4 + 6 + 4 + 11 5 10 10 5 1

De esta forma observa que construyendo el triángulo de Pascal podemos calcular loscoeficientes del desarrollo de cualquier potencia entera de un binomio, siempre que seconozcan los coeficientes que corresponden al desarrollo de la potencia inmediataanterior de un binomio.

Con respecto de la parte literal, volviendo a las potencias de los binomios presentadosanteriormente, tenemos lo siguiente:

Para los exponentes de los términos del desarrollo se observa que el primer elementodel binomio su exponente va disminuyendo una unidad de cada término que se agrega aldesarrollo, mientras que en el segundo elemento del binomio se reduce su exponentetambién en una unidad en la misma forma.

Ejemplo. Vamos a desarrollar los siguientes binomios aplicando el triángulo de Pascal:

1 3 1 3 4 3 1 6 3 1 4 3 1 1 81 108 54 12 1

2 2 4 2 5 2 4 10 2 4 10 2 4 5 2 4 4

32 320 1280 2560 2560 1024

4 4 3 2 2 3 4 4 3 2

3 2 5 3 5 3 4 2 1 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 4 2 5

15 12 2 9 4 6 6 3 8 10

.

.

x x x x x x x x x

a b a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

Ahora observa como se construye la fórmula del binomio de Newton y como se aplica alcálculo de binomios elevados a determinadas potencias.

103

El procedimiento para desarrollar el producto notable de un binomio elevado a cualquierpotencia entera n se deduce como una fórmula general, observando la variación de loscoeficientes y exponentes de sus términos y el número de éstos.

x y

x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x n x yn n

x yn n n

x yn n n n n n y

nn n n n n

n

0

1

2 2 0 2 1 1 2 2 2

3 3 0 3 1 1 3 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1

1 1

12 11

2 2 12 1

13 11

3 3 1 12 1

3 3 1 3 23 2 1

11

2 11 2

3 2 11 2 3 1

• • • n n n1 2 3 1

A este producto notable se le llama binomio de Newton, y fue desarrollado por el físicoinglés Isaac Newton (1642-1727).

De acuerdo con este binomio se aprecia la obtención de cualquier término del desarrollose encuentra con el siguiente procedimiento:

1. El coeficiente del primer y último término del desarrollo del binomio es uno.

2. El coeficiente de cualquier otro término se calcula multiplicando el exponente quetiene el primer elemento del binomio en el término anterior por su respectivocoeficiente y dividiendo el producto entre el número de términos anteriores.

3. El exponente del primer elemento del binomio coincide con el del mismo binomio enel primer término del desarrollo, y a partir del segundo término se va reduciendo enuna unidad en cada término que se agrega al desarrollo.

4. El exponente del segundo elemento del binomio comienza con valor cero y se vaincrementando en una unidad a partir del segundo término del desarrollo.

104

-Desarrollo del binomio de Newton empleando la fórmula general.

A partir del binomio de Newton, desarrollemos los siguientes binomios.

El primero de ellos lo obtendremos en varias fases para ilustrar la aplicación delprocedimiento anterior.

1 5 8 3. m n

FASE 1: 5 8 1 53 3m n mPrimer término.

FASE 2: 5 8 1 53 11

5 83 3 2 1m n m m n

Segundo término

FASE 3: 5 8 1 53 11

5 83 2 12 1

5 83 3 2 1 2m n m m n m n•

Tercer término

FASE 4: 5 8 1 53 11

5 83 2 12 1

5 8 1 83 3 2 1 2 3m n m m n m n n•

Último término

31

3 62

31 2 3 1

3 2 166

1• •

5 8 1 5 3 5 8 3 5 8 1 83 3 2 1 2 3m n m m n m n n

125 600 960 5123 2 2 3m m n mn n Conclusión del desarrollo.

¿Cuál procedimiento permite calcular más fácilmentepotencias de binomios: el del triángulo de Pascal o eldel binomio de Newton?

105

A fin de que practiques el desarrollo de los productos notables, multiplica los siguientesbinomios utilizando la regla correspondiente. Una vez que los resuelvas, compara tusresultados con las respuestas que aquí aparecen.

BINOMIOS CON TERMINO COMÚN.

1 3 5

2 5 2

3 19 10

4 2 12

2 32

5 1 72 2

.

.

.

.

.

x x

x x

n n

x x

x x

6 8 1

7 5 6

8 2 7

9 9 12

10 3 8

4 4

5 5

2 2

.

.

.

.

. .

a a

ab ab

a a

xy xy

a ax x

RESPUESTAS:

1 8 15

2 3 10

3 9 190

4 4 2 34

5 8 7

2

2

2

2

4 2

.

.

.

.

.

x

x

n

x

x

x

n

x x

x

6 7 8

7 30

8 5 14

9 3 108

10 5 24

8 4

2 2

10 5

2 4 2

2

.

.

.

.

. .

a

a

a

x

a

a

b ab

a

y xy

ax x


106

BINOMIOS CONJUGADOS. RESPUESTAS:

11

12

13 3 1 3 1

14 2 2

15

3 3

.

.

.

.

.

a x x a

m n m n

a a

y y y y

x y x ym n m n

11

12

13 1 9

14 4

15

2 2

2 2

2

6 2

2 2

.

.

.

.

.

a

m

y

x

x

n

a

y

ym n

CUADRADO DE UN BINOMIO RESPUESTAS:

16

17 4 2

18 3 2

19

20

2

2

2

4 4 2

1 1 2

.

.

.

.

.

a b

m

x y

x y

x yx x

16 2

17 16 16 4

18 9 12 4

19 2

20 2

2 2

2

2 2

8 4 4 8

2 2 1 1 2 2

.

.

.

.

.

a

x

x

ab b

m m

x xy y

x y y

x y yx x x x

CUBO DE UN BINOMIO.

21 3

22 4 6

23 5

24 2

25

3

3

2 3

3

3

.

.

.

.

.

a

x

x y

a x

mx ny

26 1 4

27 1

28 2 3

29 92

83

30 215

5

3

3 3

3

2 23

23

.

.

.

.

.

n

a

m y

ab a b

xy x y

107

RESPUESTAS:

21 9 27 27

22 64 288 432 216

23 15 75 125

24 8 12 6

25 3 3

26 64 48 12 1

27 3 3 1

28 8 36 54 27

29 7298

16 96 51227

30 83375

3 2

3 2

6 4 2 2 3

3 2 2 3

3 3 2 2 2 2 3 3

3 2

9 6 3

3 2 2 3

3 6 4 5 5 4 6 3

3 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

x

m

a

a a

x x x

x y x y y

a a x ax x

x m nx y mn xy n y

n n n

a a

m m y my y

a b a b a b a b

x y 415

10 1254 3 5 3 6 3x y x y x y .

BINOMIO DE NEWTON.

31 2

32 13

25

334

1

34 3

10

7

2 6

3 2 9

.

.

.

.

x

m n

ax

x y

RESPUESTAS:

31 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20

32 12187

143645

282025

562025

1123375

2249375

44846875

12878125

334096

3512

15256

516

1516

32

1

34 19683 59049 78732 61236 30618 10206

2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

6 12 5 10 4 83 6

2 4 2

27 24 2 21 4 18 5 15 8 12 10

)

)

)

)

x x x x x x x x x x

m mn mn mn mn mn mn n

a x a x a x a x a x ax

x x y x y x y x y x y 2268 324 279 12 6 14 3 16 18x y x y x y y .

108

Por medio de los productos notables se obtuvieron los productos delos factores de la siguiente forma:

Para x x3 5 se obtuvo el producto x x2 2 15

Para23

6 23

6y y se obtuvo el producto49

362y

Para x 12

2

se obtuvo el producto x x2 14

Para x y2 3 se obtuvo el producto x x y xy y3 2 2 36 12 8

Para 2 43 2 5a b se obtuvo, a través del binomio de Newton:

32 320 1280 2560 2560 102415 12 2 9 4 6 6 3 8 10a a b a b a b a b b

Y acordamos que éstos:

Corresponden a una regla general.

Nos permiten encontrar el producto de la multiplicación de dos binomios porsimple inspección.

Son procedimientos más sencillos que los de multiplicación depolinomios.

En el siguiente tema: factorización; se analizará el procedimientoinverso, es decir dado el producto encontraremos los factores.


109

2.2 FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es escribirla mediante el producto indicado de susfactores; para lo cual existen algunas reglas que analizaremos en este apartado.

Además es importante que identifiques y desarrolles los productos notables queestudiaste en el capítulo anterior de este fascículo.

2.2.1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.

Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, la aplicación correcta de lapropiedad distributiva nos permitirá expresar el polinomio como el producto de dosfactores donde uno de ellos será el factor común.

Visualizaremos lo anterior con los siguientes ejemplos.

EJEMPLO: Factorizar el polinomio 2 2x x cada término del polinomio tiene comofactor x. Por tanto x es el factor común.

Escribimos el factor común x como coeficiente de un paréntesis. Así: x .

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término delpolinomio entre el factor común. De la siguiente forma:

2 2xx

xx

x2

Y tendremos que: 2 22x x x x

EJEMPLO. Factorizar la expresión 2 83 2 2a b a b .

Los coeficientes 2 y 8 tienen como factor común 2, en su parte literal los factorescomunes son a y b, que tomaremos con su menor exponente, esto es, a yb2 .

De acuerdo con esto, el factor común de la expresión es 2 2a b , el cual escribimos comoel coeficiente de un paréntesis. Así: 2 2a b .

110

Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término delpolinomio entre el factor común, en la siguiente forma:

22

3

2a ba b

a 82

42 2

2a ba b

b

Y tendremos que: 2 8 2 43 2 2 2a b a b a b a b

EJEMPLO. Factorizar la expresión 20 10 303 2 2 3 2 2x y x y x y .

Los coeficientes 20, 10 y 30 tienen como factor común al 10, porque es el divisor mayor.

De la parte literal los factores comunes son x, y, que tomaremos con su menorexponente, esto es:

x y2 2;

Por lo anterior, el factor común de la expresión resulta ser 10 2 2x y , el cual se escribecomo el coeficiente de un paréntesis.

Así: 10 2 2x y

Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término delpolinomio entre el término común.

2010

23 2

2 2

x yx y

x ;1010

2 3

2 2

x yx y

y ;30

103

2 2

2 2

x yx y

Y tendremos lo siguiente: 20 10 30 10 2 33 2 2 3 2 2 2 2x y x y x y x y x y .

Como puedes observar, para factorizar por factor común un polinomio se procede comosigue:

1. Se busca el factor común de los términos del polinomio (primero elcoeficiente y después las literales). Si los coeficientes resultantener varios factores se saca como factor común el mayor y delas literales se toman aquellas que aparezcan en todos losterminos y con menor exponente.

111

2. El factor común obtenido se escribe como el coeficiente de unparéntesis.

3. Se divide cada término del polinomio entre el término común y loscocientes se escriben dentro del paréntesis.

En este tipo de factorización se presenta el caso de que el factor común del polinomiodado, sea otro polinomio por ejemplo, si observamos detenidamente el polinomioa x b x1 1 tienen como factor común al polinomio ( x + 1 ). En estos casos, yaidentificado el factor común, se procede de la misma forma que en los casos anteriores.

EJEMPLO. Factorizar la expresión x a a1 3 1 .

El polinomio (a + 1 ) es el factor común de la expresión y lo escribimos comocoeficiente de un paréntesis ( a + 1 ) ( ).

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de laexpresión entre el término común.

Así:x aa

x11

;3 1

13

aa

Y tenemos que x a a a x1 3 1 1 3 .

EJEMPLO: Factorizar la expresión 2 3 2 7 3 2x x x

El polinomio 3 2x es el factor común de la expresión y lo escribimos comocoeficiente de un paréntesis.

Así: 3 2x

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de laexpresión entre el término común, esto es:

2 3 23 2

2x xx

x ;7 3 23 2

7xx

Por tanto tenemos que 2 3 2 7 3 2 3 2 2 7x x x x x .

112

En algunos casos los polinomios no pueden ser factorizados por este método, como elpolinomio 7x2 - 4x +3b donde no aparece un factor común ni en los coeficientes ni en lasliterales.

Dada la expresión 4m(a2 + x - 1) + 3n (x - 1 + a2)

¿El factor común es el polinomio (a2 + x - 1)?

Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuál es el otro factor para completar la factorización de laexpresión?.

2.2.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común, como en lossiguientes casos:

1 4 4

2 3 33 4 12 3

3 2

.

.

.

ax ay a y

am m amx xy y

Para factorizar dichos polinomios no se puede aplicar el procedimiento de factorizaciónpor factor común a toda la expresión, ya que no todos los términos tienen el mismofactor común. Para lograr su factorización debemos primero agrupar términos quetengan el mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método anterior.

La agrupación de términos se puede hacer generalmente de más de una forma, con talque los términos agrupados tengan algún factor común y siempre que las cantidadesquedadas dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada gruposean exactamente iguales.

EJEMPLO. Factorizar el polinomio ax ay x y4 4 por agrupación de términos.

Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen por factor común a.

Los dos últimos términos del polinomio tienen por factor común “4” y por tanto:

ax ay x y4 4 ax ay x y4 4 agrupando términos.a x y x y4 factorizando cada grupo por factor común.x y a 4 factorizando toda la expresión anterior por factor

común.

113

EJEMPLO. Factoriza el polinomio siguiente por agrupación de términos:

2 6 5 152y y y

Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen el mismo factor común “2y”y los dos últimos términos del polinomio tienen el factor común “5”.

Por lo tanto:

2 6 5 152y y y 2 6 5 152y y y agrupando términos.

2 3 5 3y y y factorizando cada grupo por factor común.y y3 2 5 factorizando toda la expresión anterior por factor

común.

EJEMPLO. Factorizar el polinomio 8ac - 4ad - 6bc + 3bd, por agrupación de términos.

Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen factor común “4a”.

Los dos últimos términos del polinomio tienen factor común “3b”.

Por lo tanto:

8 4 6 3ac ad bc bd 8 4 6 3ac ad bc bd agrupando términos

4 2 3 2a c d b c d factorizando cada grupo por factor común.

2 4 3c d a b factorizando toda la expresión anterior por factor común.

Al efectuar el procedimiento de factorización es necesario tener cuidado con los signos,pues al agrupar términos se debe aplicar correctamente la propiedad distributiva.

2.2.3. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Ya sabes que un trinomio es un polinomio que consta de tres términos algebraicos.

Conoces también que factorizar una expresión algebraica significa escribirla en formaequivalente mediante el producto de otras expresiones más sencillas.

Pero, ¿qué es un cuadrado perfecto?.

114

Podemos construir este concepto en la siguiente forma. Si queremos calcular la raíz deun número entero tenemos dos posibilidades:

1. Raíz exacta: 25 5, porque 5 252

2. Raíz inexacta: 8 2.8 Porque (2.8)2 = 7.84 8 400 4 8 16

De estos dos números, el 25 se llama cuadrado perfecto por tener raíz exacta.

De la misma manera un término o cualquier expresión algebraica formará un cuadradoperfecto cuando tenga raíz exacta.

Ejemplos:

4 4 2

6 6 6

2 2

6 3 2 3

x x x

x x x

Entonces, para que un trinomio sea cuadrado perfecto se requerirá que tenga raízexacta y, por tanto, debe poder representarse como el cuadrado de otra expresiónalgebraica.

Por otra parte, recordemos que al desarrollar el cuadrado de un binomio obtenemos untrinomio.

x y x xy y2 2 22 .

Si aplicamos la propiedad de identidad y tratamos de calcular la raíz del trinomioobtendremos lo siguiente:

x xy y x y x y2 2 22 .

Lo anterior significa que para extraer la raíz de un trinomio necesitamos expresarlo comoel cuadrado de un binomio, es decir, escribirlo en forma equivalente mediante, elproducto de un binomio por sí mismo.

115

Al procedimiento para realizar lo anterior se le denomina factorización de un trinomiocuadrado perfecto y se representa mediante la fórmula:

x xy y x y2 2 22 .

Esta factorización debe identificarse en la siguiente forma:

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio, cuyos términoscorresponden a los dos cuadrados del trinomio.

Como puede apreciarse en este modelo, la factorización de un trinomio cuadradoperfecto es la operación inversa al desarrollo del producto notable de un binomio alcuadrado.

Si el término no cuadrático del trinomio tiene coeficiente negativo, su factorizacióncorresponde al cuadrado de una diferencia de dos términos, según la fórmula:

x xy y x y2 2 22 .

De igual forma que los productos notables, estas dos fórmulas de factorización sepueden representar mediante signos de agrupación en la forma siguiente:

2 2 22

En las siguientes actividades se utiliza esta representación para factorizar trinomioscuadrados perfectos.

EJEMPLO.

Corroboremos que el siguiente trinomio es cuadrado perfecto para poder realizar sufactorización.

9 12 42 2m mn n

116

Procedimiento:

1. Se extrae la raíz de los dos términos cuadráticos y se calcula el dobleproducto de ambas raíces.

9 12 4 9 3 22 2 2m mn n m m , n; 4n2

2 3 2 12m n mn

Como el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos es igual al término nocuadrático, se concluye que el trinomio es cuadrado perfecto.

2. Se representa el trinomio mediante signos de agrupación para obtener lafactorización.

9 12 4 3 2 3 2 2 3 2 3 22 2 2 2 2m mn n m m n n m n m n

EJEMPLO. Factoricemos el trinomio siguiente:

49 70 25 7 2 7 5 5 7 5 7 54 2 3 6 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2x x y y x x y y x y x y

49 7 25 5 2 7 5 704 2 6 3 2 3 2 3x x y y x y x y, ;

EJEMPLO. Tratemos de factorizar el siguiente trinomio:

36 30 25

36 6 25 5

2

2

x x

x x;

2 6 5 60x x

El doble producto no coincide con el término no cuadrático del trinomio y, por tanto, ésteno es cuadrado perfecto, por lo que no puede factorizarse con el procedimiento anterior.

117

EJEMPLO. Factoricemos el trinomio:

1 49 142a a

Como los términos no están en el orden que tiene la fórmula para factorizar un trinomiocuadrado perfecto, se aplica la propiedad conmutativa para reordenarlos.

49 14 1 7 2 7 1 1 7 1 7 1

49 7 1 12 7 1 14

2 2 2 2 2

2

a a a a a a

a a a a; ;

2.2.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Recuerda el modelo matemático para el producto notable de dos binomios conjugadosdel que se obtiene la fórmula:

x y x y x y2 2.

Ésta nos proporciona una diferencia de cuadrados.

Si ahora aplicamos la propiedad de identidad observamos que una diferencia decuadrados se puede representar equivalentemente como un producto de dos binomiosconjugados.

x y x y x y2 2

Nuevamente se aprecia que la factorización es una operación inversa a la del desarrollode un producto notable.

Una vez más el modelo anterior se puede representar mediante signos de agrupación.

2 2

118

Este procedimiento de factorización debe identificarse en la forma siguiente:

Una diferencia de los cuadrados de dos términos algebraicos se factoriza como elproducto de dos binomios conjugados, cuyos términos son iguales a los que estánelevados al cuadrado.

Para comprender este tipo de factorización utilicemos su representación mediantesignos de agrupación para factorizar diferencias de cuadrados.

EJEMPLO. Diferencias de cuadrados con coeficientes enteros.

9 254 6a b

1. Se extrae raíz cuadrada de ambos términos para representar la diferencia de cuadrados según el modelo:

9 25 3 54 6 2 2 3 2a b a b

2. Con estas raíces se escribe el producto de binomios conjugados.

9 25 3 5 3 5 3 5 3 5 3 54 6 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3a b a b a b a b a b a b .

EJEMPLO. Diferencia de cuadrados con coeficientes racionales.

m n p p mn q p mn p p mn q p mn q p2 4

6 22

32

32

32

3

4994 7

32 7

32 7

32 7

32

Con base en el producto notable de dos binomios conjugados obtuvimos el modelomatemático para factorizar una diferencia de cuadrados.

2.2.5. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS.

Como se explicó en la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, un término escuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta. ¿Cuándo sería un término un cuboperfecto?. De igual forma un término es cubo perfecto cuando tiene raíz cúbica exacta.

119

Esto lo puedes ver en los siguientes ejemplos:

27 33 3 es la raíz cúbica exacta de 27, porque 3 273

216 63 6 es la raíz cúbica exacta de 216, porque 6 2163

x x63 2 x2 es la raíz cúbica exacta de x6 , porque x x2 3 6

8 293 3x x 2 3x es la raíz cúbica exacta de 8 9x , porque 2 83 3 9x x .

Aplicando el procedimiento para multiplicar un binomio por un trinomio, obtenemos losresultados para los siguientes ejemplos:

EJEMPLO.

a b a ab b a b

a ab b

2 2 3 3

2 2

,

a b

a a b ab3 2 2

a b ab b2 2 3

a3 b3

EJEMPLO.

x x x x2 32 4 2 8, ya que:

x x2 2 4x 2

x x3 22 4 x2 4 82x x

y3 8

120

EJEMPLO.

y y y y3 3 9 272 3 , ya que:

y y2 3 9y 3

y y y3 23 93 9 272y y

y3 27

Analizando cada uno de los resultados observamos que se obtiene una suma de cubos.

Por otra parte, si a los ejemplos anteriores les aplicamos la propiedad de identidad,obtendremos una expresión algebraica, la cual se representa mediante un producto deotras expresiones, es decir, tendremos una expresión factorizada.

a b a b a ab b

x x x x

y y y y

3 3 2 2

3 2

3 2

8 2 2 4

27 3 3 9

De esto deducimos que el modelo matemático para factorizar una suma de cubos tienela siguiente forma:

x y x y x xy y3 3 2 2

Para su correcta aplicación, conviene identificar este modelo de la siguiente forma:

La factorización de una suma de cubos es el producto de un binomio por un trinomio,donde el binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos cúbicos y el trinomioes el cuadrado de la primera raíz cúbica, menos el producto de ambas raíces cúbicas,más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.

121

Aplicaremos esta regla con la ayuda de signos de agrupación.

3 3 33 33 332

33 33 332

a) Para obtener el binomio se extrae la raíz cúbica de cada término y éstas sesuman.

3 3 33 33

b) para obtener el trinomio, se eleva al cuadrado el valor de la primera raíz y sele resta el producto de ambas raíces; al final se suma el cuadrado de la segundaraíz.

3 3 332

33 33 33

2

Apliquemos el modelo obteniendo para factorizar las siguientes sumas de cubos.

EJEMPLO. w3 125

- La raíz cúbica de los términos.w w33

3 125 5

- El cuadrado de la primera raíz. w w2 2

- El producto de ambas raíces w w5 5

- El cuadrado de la segunda raíz 5 252

Por lo tanto: w w w w2 2125 5 5 25

122

EJEMPLO. 64 6 3x y

- La raíz cúbica de los términos: 64 463 2

33

x x

y y

- El cuadrado de la primera raíz 4 162 2 4x x

- El producto de ambas raíces 4 42 2x y x y

- El cuadrado de la segunda raíz y y2 2

- Por lo tanto: 64 4 16 46 3 2 4 2 2x y x y x x y y

EJEMPLO. 18

64273

3 6

aa y

En este caso el procedimiento se desarrollará sin indicar los pasos, en la siguienteforma:

18

6427

12

43

14

23

1693

3 6 22

2 2 4

aa y

aay

ay a y

123

2.2.6. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

Para la factorización de la diferencia de cubos, el modelo matemático sólo difiere delmodelo anterior en los signos de dos de sus términos como se observa a continuación:x y x y x xy y3 3 2 2 .

Dado que el binomio x y3 3 lo puedes escribir en la forma: x y3 3 .

Como ejemplos para factorizar una diferencia de cubos calcularemos un ejercicio quecontenga los mismos términos que el de una suma de cubos, de manera que observeslas diferencias en los resultados.

EJEMPLO. w 3 125

- la raíz cúbica de ambos términos w w33 3 125 5;

- el cuadrado de ambas raíces w2 25 25,

- el producto de ambas raíces 5w

Por tanto: w w w w3 2125 5 5 25

Observa los siguientes casos para mayor comprensión de esta regla.

EJEMPLO:

8 27 2 3 4 6 93 3 2 2x y x y x xy y

EJEMPLO:

1 27 1 3 1 3 93 6 2 2 2 4x y xy xy x y

124

2.2.7. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA x bx c ax bx c2 2;

Existen algunos trinomios que no son cuadrados perfectos y que también sonfactorizables, sólo que mediante un procedimiento diferente.

A continuación presentamos ejemplos de trinomios del tipo: x bx c2

1 5 6

2 11 24

2

2

.

.

x x

x x

3 20

4 6 27

2

2

.

. .

x x

x x

Como puedes observar, estos trinomios constan de un término cuadrático, otro de primergrado y otro constante, llamado término independiente, por lo que son trinomios de unasola variable con coeficientes constantes.

El procedimiento de factorización para este caso lo describimos mediante ejemplos.

EJEMPLO. Factorizar el trinomio. x x2 3 10

La expresión factorizada de este tipo de trinomios es un producto de dos binomios conun término común, el cual se obtiene al extraer la raíz cuadrada del término cuadrático.

x x2

Los segundos términos de ambos binomios son dos números cuyo producto resulta igualal término independiente y cuya suma es igual al coeficiente del término de primer grado,esto es:

5 2 10

5 2 3

Por lo tanto, la factorización completa de trinomio en este caso resulta:

x x x x2 3 10 5 2

Cabe aclarar que los dos números pueden pertenecer a cualquiera de los dos binomios.Es decir, también se puede escribir:

x x x x2 3 10 2 5

125

EJEMPLO. Factorizar el siguiente trinomio.

x x2 13 30

- Buscamos el término común. Y calculamos los términos no comunes:

15 2 30

15 2 13

- Escribimos la factorización del trinomio.

x x x x

x x x x

2

2

13 30 15 2

13 30 2 15

ó

A continuación analizaremos algunos ejemplos de trinomios de la forma ax bx c2 .

1 6 5 4

2 2 5 3

3 3 2

2

2

2

.

.

.

x x

x x

x x

Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y sudiferencia con los trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del términocuadrático tienen un valor distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización esdiferente.

EJEMPLO. Factorizar el trinomio. 2 3 22x x

- Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el términoconstante.

Así: 2 2 4

126

- El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma deéstos sea igual al coeficiente del término de primer grado.

Así:4 1 4

4 1 3

- Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la sumade los factores y le aplicamos al propiedad distributiva.

Así: 2 3 22x x 2 4 1 22x x

- Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización poragrupación de términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.

Así: 2 3 22x x

2 4 1 2

2 4 2

2 4 2

2

2

2

x x

x x x

x x x

2 2 1 2

2 2 1

x x x

x x

EJEMPLO. Factorizar el trinomio 6 5 42x x .

Multiplicamos el coeficiente del término del segundo grado por el término constante.

Así: 6 4 24

El producto obtenido lo descomponemos en factores, de tal manera que la suma de losfactores sea igual al coeficiente del término de primer grado.

Así:8 3 24

8 3 5

Sustituimos en el trinomio dado el coeficiente del término de primer grado por la suma delos factores y le aplicamos la propiedad distributiva.

Así: 6 5 42X X 6 8 3 42x x

127

Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de agrupación de términos,con lo cual se concluye la factorización del polinomio.

Así: 6 5 42x x 6 8 3 42x x

6 8 3 4

6 8 3 4

2 3 4 1 3 4

3 4 2 1

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

Para mejor entendimiento de cómo se factoriza un trinomio de la forma ax bx c2 ,daremos dos ejemplos más en los cuales no se mencionarán los pasos como en losejemplos anteriores, pero es necesario observar que en cada ejercicio se efectúandichos pasos.

EJEMPLO. Factoriza el trinomio 6 7 22x x .

6 2 12

4 3 12

4 3 7

6 7 2 6 4 3 22 2x x x x

6 4 3 2

6 4 3 2

2 3 2 1 3 2

3 2 2 1

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

EJEMPLO. Factorizar el trinomio. 5 13 62x x

5 6 30

15 2 30

15 2 13

5 13 6 5 15 2 62 2x x x x

5 15 2 6

5 15 2 6

5 3 2 3

3 5 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

128

En los dos últimos ejemplos escribe en cada renglón los pasos que se realizaron parafactorizar.

Ahora ya sabes factorizar los trinomios de las formas x bx c y ax bx c2 2

recuerda que su única diferencia es el coeficiente del término de segundo grado.

Es importante que, dado un trinomio a factorizar, identifiques qué forma tiene a fin deque puedas emplear el procedimiento adecuado.

Para que practiques la factorización de polinomios, resuelve los siguientes ejercicios;una vez que las conlcuyas, verifica que el procedimiento que aplicaste es el correcto, através de las respuestas que aquí se presentan.

a) FACTOR COMÚN.

1 4

2 6 18

3 10 15 304 8 5 8

5 10 4 3 14 4 3

6 6 8 2

2

3 2 2

6 2 3 3 2

4 3 2

.

.

.

.

.

.

z

z z

m b m b

x y x y x yp p

x x x

x x x

b) FACTOR COMUN Y AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

7 3 40 9

8 2 4 3 69 2 2 2

10 6 9 3

2

2 2

4 3 2

.

.

.

.

x x bx

x xy xy yw y z x y z

m m m

11 3 6 2

12 10 20 1513 7 2 3 5 2 3

14 3 12 2 8

15 4 8 2

3 2 2 3

2 2

2 2

.

.

.

.

.

xy xb cy cb

x y x y xym m m

a ab ab b

x xy xy y


129

c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

16 14 49

17 2

18 4 4

19 9 30 25

20 18 81

2

4 2 2

2 2

2 2

18 9

.

.

.

.

.

x

t

a

x

t y y

mn n m

b ab a

a

21 7 49

229

23

1

23 2536 3

24 16y 216

25 2

42

3 24

2

.

.

.

.

. ( ) ( )

x

r

125

a

2

2

6

2

x

r

x x

y w w

a a b a b

d) DIFERENCIA DE CUADRADOS.

26 4 9

27 81 4

28 49 144

29 36 1

30

2

2

2 2 2 2

4 4

2 4 4 2

.

.

.

.

.

b

x

a x b y

a b

r s v w

31 19

3236 25

33 1

34 3 2

6

2

2

.

.

.

.

x

a

x - 1

16a

2

2

2

x

a b

e) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

35 8 27

36 512 27

37 1

38 216

3 3

9

3 3 3

3 6 9

.

.

.

.

x

a

x y

a

y z

b c

39 827

40 27

3

3

.

. x

y

f) TRINOMIOS DE LA FORMA x bx c

ax bx c

2

2

41 2 15

42 12 6

43 2 5 2

44 5 14

45 9 8

46 3 5 2

2

2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x x

47 10 21

48 3 2 8

49 7 30

50 30

51 6 5 6

52 5 4

2

2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x

130

RESPUESTAS: A continuación se da la solución a los ejercicios que ya resolviste, paraque verifiques tu aprendizaje.

a)1

2 3

3 2 3 6

4 5

5 10 14

6 3 4 1

4 2

2

.

.

.

.

.

.

z 4 - z

6m

5x

p + 8

4x - 3

2x

2

2

2

b mb

y x y xy

z

x

x x

b)

78 2 2 3

9 2 2

10 3 2 3 12 2

.

.

.

.

No es factorizable.x y x y

y z w x

m m m

11 2 3

12 5 2 4 3

13 2 3 7 5

14 4 3 2

15 2 4

2 2

.

.

.

.

.

y b x c

xy x xy y

m m

a b a b

x y x y

c)

16 7

17

18 2

19 3 5

20 9

2

2 2

2

2

9 2

.

.

.

.

.

x

t y

n m

b a

a

21

223

1

23 15

56

24 44

25 2

2

2 2

32 2

2

.

.

.

.

.

No es factorizable

r

x

y w

a b

d)

26 2 3 2 3

27 9 2 9 2

28 7 12 7 12

29 6 1 6 1

30

2 2 2 2

2 2 2 2

.

.

.

.

.

b b

x x

ax by ax by

a b a b

v w rs v w rs

31 13

13

326 5 6 5

33 2

34 7 2 2

3 3

.

.

.

.

x

x x

a x a x

x

a b a b

131

Los binomios que representan una suma de cubos son los ejercicios señalados con losnúmeros 35, 36, 37; los ejercicios 38, 39 y 40 representan una diferencia de cubos.

Para el caso del ejercicio 39 debiste aplicar la propiedad conmutativa de la suma, paraobtener la diferencia de cubos.

827

827

827

3 3 3y y y

e)35 2 3 4 6 9

36 8 3 64 24 9

37 1 1

38 6 6 36

2 2

3 3 6

2 2 2

2 3 2 4 2 3 6

.

.

.

.

x y x xy y

a a a

xyz x y z xyz

ab c a b ab c c

39 23

23

49

40 3 3 9

2

2

.

.

y y y

x x x

f)41 5

42 3 2

43 2 1

44 2

45 1

46 3 2

.

.

.

.

.

.

x+ 3

4x - 3

x+ 2

x+ 7

x - 8

x+1

x

x

x

x

x

x

47 7 3

48 2 3 4

49 10 3

50 6 5

51 2 3 3 2

52 1 5 4

.

.

.

.

.

.

x x

x x

x x

x x

x x

x x

132

En este tema analizamos las diferentes formas de factorización y acordamos que parallevarlas a cabo es necesario:

1. Identificar el tipo de polinomio.

2. Aplicar los pasos de la regla correspondiente para cada tipo de factorización.

Así, aplicamos la factorización para polinomios:

DE LAS FORMAS OBTUVIMOS SUSFACTORES

A TRAVÉS DE

20 10 30

6 4 21 14

9 12 4

13 30

2 15

6 5 4

9 25

125

8 27

3 2 2 3 2 2

2

2 2

2

2

2

4 6

3

3 3

x y x y x y

x x x

m mn n

x x

y y

x x

a b

w

x y

10 2 3

3 2 2 7

3 2

2 15

3 2 5

3 4 2 1

3 5 3 5

5 5 25

2 3 4 6 9

2 2

2

2 3 2 3

2

2 2

x y x y

x x

m n

x x

y y

x x

a b a b

w w w

x y x xy y

Factor Común

Agrupación de términos

Trinomio CuadradoPerfeco

Trinomio Cuadrado NoPerfecto

Trinomio x2+bx+c

Trinomio ax2+bx+c

Diferencia de cuadrados

Suma de Cubos

Diferencia de Cubos


133

2.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASRACIONALES

Una expresión racional se forma por un cociente o la división de dos expresiones:cuando estas expresiones son polinomios se dice que se forman fraccionesalgebraicas.Y éstas pueden ser:

a) polinomios enteros

b) polinomios fraccionarlos

c) polinomios racionales.

d) polinomios irracionales.

Se define como fracción algebraica al cociente que se forma entre dosexpresiones algebraicas, de las cuales analizaremos las que se forman con polinomiosenteros o racionales.

Sea la fracción algebraica x/y, la cual se forma por dos expresiones algebraicas,la “x”, que ocupa el lugar del dividendo y correspondiéndole el numerador de la fracción,y a la “y”, que ocupa el lugar del divisor y le corresponde el denominador de la fracción.Ambos son los términos de la fracción.

Representación como divisor Como fracción.

x y y x; xy

Numerador

Denominador

2.3.1 REGLAS PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Los principios que se aplican en Aritmética tienen igual aplicación en Álgebra y para elcaso de las fracciones algebraicas tienen validez también citando entre otras a:

1) Cuando el numerador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad, lafracción queda para el primer caso multiplicada por dicha cantidad o bien quedadividida entre esa cantidad para el segundo caso.

Primer caso: a) multiplica. Segundo caso: b) divide.

64

2 124

a a624

34

aa

134

2) Cuando el denominador de una fracción es multiplicado o dividido por una cantidad,la fracción queda multiplicada por dicha cantidad para el primer caso y para elsegundo caso queda dividida por dicha cantidad.

Primer caso: a)multiplicar Segundo caso: b) divide

210 3

230

x x2102

25

xx

3) Cuando tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplicano dividen por una misma cantidad la fracción no se altera.

Primer caso: a) multiplica Segundo caso: b) divide.32

3 32 3

96

32

3 32 3

32

xy

xy

xx

xy

xy

xy

ó

1020

10 220 2

510

xy

xy

xy

Se entiende como reducción de una fracción algebraica el cambio que se le realiza sinafectar su valor.

La división de polinomios de igual base permite recordar tres casos particulares, siendo:

a) Exponente del numerador Exponente del denominador.

xx

x xx

x x x xx x

x x x x4

24 2 2

2

22

1 1 ya que x2

b) Exponente del numerador = Exponente del denominador.

xx

x xx

x x xx x x

3

33 3 0

311

1=1 ya que x3

c) Exponente del numerador Exponente del denominador.

xx

x x3

53 5 2 ya que :

x x xx x x x x x

12 x

x2

21

Existen casos de la división de potencias en donde no coinciden sus bases, formandococientes que no se pueden reducir sino sólo simplificar.

135

Una fracción algebraica se simplifica cuando los términos se cambian por valoresprimos, señalando entonces que la fracción es irreducible y ha quedado expresada en suforma más simple.

Existen cambios en los signos que pueden hacerse en una fracción sin que ésta sealtere, de acuerdo con los casos:

a) Sea la fracción ab

, ésta puede quedar expresada por ab

o bien ab

también por ab

b) Cuando los términos de la fracción son polinomios se pueden cambiar los signos de la forma siguiente:

Sea la fracción m nx y

, para cambiar el signo del numerador hay que cambiar el signo

de cada término del polinomio, quedando - m + n y haciendo lo mismo con eldenominador, o sea, cambiando el signo por - x + y , concluyendo:

c) Cuando en el numerador o denominador de una fracción hay productos indicados, se pueden hacer los cambios de signos:

Se puede cambiar el signo a un número par de factores sin cambiar el signo de la fracción.

abxy

a bx y

abxy

a bxy

abxy

abx y

abxy

a bx y

abxy

a bx y

En este caso se ha cambiado el signo a cuatro factores, ysiendo el cambio valor múltiplo par, el signo de la fracciónno cambia.

136

Se puede cambiar el signo a un número impar de factores y, por consiguiente, se cambiael signo de la fracción.

abxy

a bxy

abxy

a bx y

abxy

abx y

abxy

a bx y

Si aplicamos los principios anteriores en la fracción.

x xy y

1 23 4

Los cambios de signo pueden expresarse:

x xy y

1 23 4

1 23 4

x xy y

x xy y

1 23 4

1 23 4x x

y y

x xy y

1 23 4

1 23 4x x

y y

x xy y

1 23 4

1 23 4

x xy y

En la simplificación de fracciones algebraicas, citaremos los siguientes casos:

A) Simplificación de Fracciones Cuyos Términos Sean Monomios.

Regla: Se dividen el numerador y el denominador entre sus factores comuneshasta que éstos sean primos entre sí.

EJEMPLO. Simplificar: 936

14

3 3

5 6 2 3x yx y x y

Se cambian los signos de “x” en el primer binomio delnumerador y de “y” en el primer binomio deldenominador sin cambiar el signo de la fracción.

Se cambian los signos de todos los términos del segundobinomio del numerador así como de los dos binomios deldenominador y se modifica el signo de la fracción.

Se cambian los signos del primer binomio delnumerador y se modifica el signo de la fracción alcambiarlo.

Se cambian los signos en los cuatro términos de losdos binomios del numerador sin cambiar el signo de lafracción.

137

1) Se calculan los factores primos de los coeficientes 9 y 36 y las partes literalesse dividen entre sí.

9 3 36 2

3 3 18 2

1 9 3

3 3

1

3 32 2 3 3

1

3 3

6 5

3

63 6 3

3

x yy x

yy

y yy

xx

x xx

3

53 5 2

21

2) Reduciendo los términos algebraicos que forman la fracción:

3 32 2 3 3

12 2

14

3 3

5 6 3 2 2 3x y

x y y x x y

B) Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios.

Regla: Se descomponen en factores comunes tanto los términos del numerador como del denominador y se suprimen los más posibles.

EJEMPLO. Simplificar: 8 274 12 9

3

2a

a a

Nota: Para este caso hay que recordar los casos de factorización.

De manera de simplificar tanto el numerador como el denominador hay que definir pormedio de cuál caso de la factorización se pueden descomponer en el producto defactores los polinomios que forman la fracción algebraica.

Para el numerador de la fracción, se observa que se trata de la suma de cubos. Por loque aplicando su regla particular de factorización tenemos:

8 27 2 3 4 6 93 2a a a a

138

En el denominador se tiene un trinomio cuadrado perfecto, el cual queda aplicándole suregla particular de factorización:

4 12 9 2 32 2a a a

Sustituyendo los factores del numerador y del denominador y simplificando factorescomunes, tenemos:

8 274 12 9

2 3 4 6 9

2 3

2 3 4 6 9

2 3 2 3

8 274 12 9

4 6 92 3

3

2

2

2

2

3

2

2

aa a

a a a

a

a a a

a a

aa a

a aa

EJEMPLO. Simplificar:a a a

a a a a

2 2

2 2

1 2 3

2 1 4 3

Para poder simplificar esta fracción algebraica es importante identificar por medio de suclasificación a todas y cada uno de las expresiones que aparecen tanto en el numeradorcomo en el denominador para que con el uso de las reglas de factorización se realice lasimplificación.

Identificación de expresiones algebraicas:

a2 1 se clasifica como una diferencia de cuadrados.

a a2 2 3 se clasifica como un trinomio de la forma x bx c2

a a2 2 1 se clasifica como un trinomio cuadrado perfecto.

a a2 4 3 se clasifica como un trinomio de la forma x bx c2

Una vez que se han identificado y clasificado las expresiones algebraicas procederemosa su factorización.

139

La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados.

a a a2 1 1 1

El trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.

a a a2 22 1 1

Los trinomios cualesquiera se factorizan como productos de binomios con términocomún.

a a a a

a a a a

2

2

2 3 3 1

4 3 3 1

Sustituyendo las expresiones algebraicas en la función por simplificar.

a a a

a a a a

a a a a

a a a

2 2

2 2 2

1 2 3

2 1 4 3

1 1 3 1

1 3 1ordenando todos los

binomios.a a a aa a a a

1 1 1 31 1 1 3

1

EJEMPLO. Simplificar: ax ax y x xy

2

29

3 3

Al numerador ax a2 9 se factoriza por factor común.

ax a a x

ax a a x x

2 2

2

9 9

9 3 3

Al denominador 3 3 2x y x xy se factoriza por agrupación de términos.

3 3 32x y x xy x y x x y ,

3 3 32x y x xy x y x Factorizamos por factor común.

Y se observa que el binomio es una diferencia de cuadrados, la cualfactorizada queda: x x3 3

Donde los dos términos de esta expresión tienende factor común al binomio ( x - y ).

140

Sustituyendo las transformaciones realizadas en la fracción:

ax ax y x xy

a x xx y x

2

29

3 33 3

3

Por lo tanto:ax a

x y x xya x x

x y xa x x

x y x

2

29

3 33 3

33 3

3

a xy x

3

Con lo cual eliminamos el binomio ( x - 3 ) tanto delnumerador como del denominador, quedando así elresultado.

C) Conversión de una Fracción a otra Equivalente con Numerador o DenominadorDado.

PRIMER CASO. Cuando se indica el numerador equivalente.

Sea la fracción 23ab

y debe convertirse a otra con numerador. 6 2a

Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el numerador original, obtenga elnumerador equivalente.

6 2 32a a a.3 3 9b a ab

23

69

2ab

aab

Por lo que para no afectar a la fracción original, habrá quemultiplicar también el denominador por este factor.

Obteniéndose la nueva fracción, que es equivalente a laprimera.

Con el objeto de poder eliminar el binomio ( x - 3 ) delnumerador es necesario cambiar el signo de los términosde binomio ( 3 - x ) del denominador, y para no alterar elsigno de la fracción debemos cambiar el signo del otrobinomio del denominador, ya que haciendo el cambio designo a dos factores (número par) no se cambia el signo dela fracción.

141

SEGUNDO CASO. Cuando se indica el denominador equivalente.

Sea la fracción 54 3y

y debe convertirse a otra con denominador 20 2 4a y .

Se procede a determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtengael denominador equivalente.

20 4 52 4 3 2a y y a y.5 5 25

54

2520

2 2

3

2

2 4

a y a y

ya ya y

TERCER CASO. Con polinomios, señalando denominador.

Sea la fracción yy

23

convertida a otra fracción con el denominador y y2 6.

Hay que determinar el factor que, multiplicado por el denominador original, obtenga elnuevo denominador.

y 2

y y y3 62

y y2 32 62 6

yy

0

y y y2 2 42 *

Quedando la conversión:

yy

y yy y

yy y

23

2 23 2

46

2

2

Producto de binomios conjugados.

D) Reducción de una Fracción a Expresión Entera o Mixta

Para no afectar a la fracción original, habrá quemultiplicar también el numerador por este factor.

El binomio ( y + 2 ) deberá multiplicarse con el numeradororiginal para no alterar la fracción.

142

Como hemos dicho, una fracción representa la división de un numerador entre undenominador. Por lo que para convertir una fracción a expresión entera o mixta serealiza la operación de división entre los elementos de la fracción.

Si ésta es exacta, la fracción equivale a una expresión entera. Si no es exacta, sedetermina el residuo para formar la expresión mixta.

EJEMPLO. Reducir cada fracción, pudiendo ser una expresión entera o mixta.

1 4 22

42

22

2

2 3 12 43

4 43

3 2 3 22

3 22

) exp.

) exp.

x xx

xx

xx

x x entera

a aa

a aa

mixta

a a2 4

3 3 12 43 2a a a3 3a

12 4

12

2

2

a

a

-4

3 6 3 5 33 2

2 1 13 2

3 2

2 2) exp.x x xx

x xx

mixta

2 1x3 2 6 3 5 32 3 2x x x x

6 3x +4x

3 3

3 2

2

2

x x

x

x 1

E) Reducción de una Expresión Mixta a Fraccionaria

Para realizar esta conversión se debe multiplicar la parte entera por el denominador; aeste producto se le suma o resta el numerador, según que tenga delante la fracción,dividiendo todo entre el denominador, y, de ser posible, se simplifica la fracción.

143

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y compara tus resultados con los queaquí aparecen, para verificar que tu procedimiento fue el correcto.

SIMPLIFICA RESPUESTAS

1 32 2

2 2 33

3 82 8

2 3

2

3

2

. )

. )

. )

aba x a

x xx

aa a

1 32

2 1

3 2 44

2

. )( )

. )

. )

x

ba x a

a aa

COMPLETA RESPUESTA.

4 32

5 5 3 15

6 15 3 10

2 2

2

2

. )

. )

. )

a ba b a ab b

xa

x x

xx x x

4 3 5 2

53

6 2

2 2

2

. )

. )

. )

a ab b

ax

x x

Reducir a expresión entera o mixta.

7 10 15 25

8 2 31

2

4 3 2

2

. )

. )

a aa

a a aa a

7 2 3 25

8 2 2 21

22

. )

. )

aa

a a aa a


144

Reducir a fracción.

9 3 52

2. ) a aa

9 12

3 2. ) a a a

a

F) Reducción de Fracciones al Mínimo Común Denominador.

Esta reducción consiste en convertir fracciones con diversos denominadores enfracciones equivalentes con igual denominador, siendo éste el menor posible.

Se realizan los siguientes pasos:

a) Si es posible, se deben simplificar las fracciones dadas.

b) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, siendo éste eldenominador común.

c) Para obtener los numeradores equivalentes se divide el mínimo común múltiplo(denominador común) entre cada denominador original y el cociente se multiplican por elnumerador respectivo.

EJEMPLO. Reducir las fracciones al mínimo común denominador.

1) Sean 2 32

542 2a a x

, ,

Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores a a x, , ;2 42 2 siendo 4 2 2a x eldenominador común. Ahora dividamos entre cada denominador y su cociente lomultiplicaremos por su numerador respectivo, quedando:

4 4 2 2 4

484

42

2 32

3 2

46

4

44

54

5

45

4

2 22

2

2 2

2

2 2

2 2

22

2

2

2 2

2

2 2

2 2

22

2

2

2 2

2

2 2

a xa

axa

ax

a xaxa x

a xa

xa

x

a xx

a x

a xx

ax

a

a xa

a x

;

;

;

145

2) Reducir: 13

16

2 392 3x

xx

xx

, , al m. c. d. (Mínimo común denominador).

Se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores 3 6 92 3x x x, , ,siendo 18 3x el denominador común.

183

6 13

1 618

618

186

3 16

3 118

3 318

189

2 2 39

2 2 318

4 618

3

2 2 3 3

32

2

3

3 2

3

3

3 3 3 3

xx

xx

xx

xx

xx

x xx

x xx

x xx

xx

xx

xx

xx

;

;

;

3) Reducir: xx

xx x

xx x

31

23 2

422 2 2, , al m.c.d.

Calculando el m.c.m. de los denominadores.

x x x

x x x x

x x x x

2

2

2

1 1 1

3 2 2 1

2 2 1

Dividiendo el m.c.m. x x x1 1 2 entre cada denominador.

x x xx x

x xx

x xx x x

x xx x x

x x xx x

x xx x

x xx x x

x xx x x

x x xx x

x xx x

x xx x x

x xx x x

1 1 21 1

2 31

3 21 1 2

5 61 1 2

1 1 22 1

1 22

2 11 1 2

2 21 1 2

1 1 22 1

1 42

4 11 1 2

5 41 1 2

2

2

2

2

2

2

146

4) Reducir las expresiones mixtas a fracciones.

1 2 31

2 1 31

3 2 31

3 51

2 2

3 1 5 185 6

1 5 6 5 18

5 6

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2

2

2 3 2

2

)

)

)

x

a

x

xx x

xx x

xx x

x

b a ba b

a b a b a b

a ba b a b

a bb

a b

x xx x

x x x x x

x xx x x x x

x xx xx x

x xx x

xx

3 2 3 2

2

2

2

6 11 6 5 185 6

11 245 6

8 33 2

82

x yx

x y yx y

23

3 69

2 2

2 Señala los errores tenidos en el cambio de la fracción.

¿Observaste que el signo del segundo término en elnumerador debe ser negativo y, además, faltó anotar laliteral x en dicho término?

9 6 33

3 2 13 2 2 3

2x y x y xyxy

x xy

¿Observaste que el signo del segundotérmino debe ser negativo y el tercer términode la expresión entera está mal simplificado,debiendo quedar como y2 ?

x y x yx y

x y x y x y

x yx y x y x y x y

x yx y

2 2 2 2

2 2

Explica los pasos de transformación necesarioshasta llegar al resultado anotado.

Al reducir la fracción a expresión entera secometieron algunos errores. Señálalos.

147

Falta realizar la suma de binomios conjugados anotada en el numerador y despuéssimplificar la expresión resultante.

x y x y

x y

x y

x yx y x y

x yx y

2 2 2 2 2 22 22 2

Recuerda que...

Se define como el común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a todaexpresión que es divisible exactamente con cada una de las expresiones algebraicas.Se conoce como el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas a laexpresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisibleen forma exacta por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

g) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Monomios.

Se calcula el m.c.m. de los coeficientes y se consideran a todas las literales, comunes ono, afectadas por su mayor exponente que se tenga en las expresiones dadas.

Ejemplos. Calcular el m.c.m. de:

1) ax2 y a x3 El m.c.m. de las literales comunes y nocomunes afectadas en su mayor exponenteserán a3 y x2 por lo que el m.c.m.

a x3 2

2) 8 2ab c y 12 3 2a b El m.c.m. de las literales para ab c2 y a b3 3

será con las literales comunes y nocomunes con su mayor exponente,quedando: a b c3 2 .

148

Se calcula el m.c.m.de los coeficientes

8 2 12 24 2 6 22 2 3 31 1

m.c.m. de 8 y 12 = 2 33 1 Juntando ambos m.c.m. (coeficientes y literales).

m.c.m. = 2 33 1 3 2a b c

3) 10 36 243 2 2 2 4a x a mx b m, ,

10 2 36 2 5 5 12 2 1 4 3

2 3 a x mx m3 2 2 2 4, , a b 1

m.c.m. a b m x3 2 4 2

24 212 2 6 2 3 3 1 m.c.m. 2 3 53 2 3 2 4 2a b m x

m.c.m. 2 3 53 2 m.c.m. 360 3 2 4 2a b m x

h) Cálculo del Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.

Para el cálculo del m.c.m. de polinomios se descomponen las expresiones algebraicasdadas en sus factores primos. El producto de los factores primos comunes y nocomunes afectados de su mayor exponente determinará el m.c.m.

EJEMPLOS. Calcular el m.c.m. de:

114 7 212) ,a x

Se calculan los factores primosde todos los coeficientes.

se analizan las literales de todas las expresionespara considerar las de mayor grado.

149

La expresión 14 2a queda integrada por sus factores 2 7 2a .

La expresión 7 21x queda integrada por sus factores 7 3x

Por lo que m.c.m.2 7 3 14 3

14 3

2 2

2

a x a x

a x

.

2) 4 8 4 6 62 2 2 2ax axy ay b x b y, ; factorizando cada expresión.

4 8 4 4 2 4 22 2 2 2 2 2 2ax axy ay a x xy y a x y a x y

6 6 6 2 32 2 2 2b x b y b x y b x y

m.c.m. 2 3 122 2 2 2 2a b x y ab x y

m.c.m. 12 2 2ab x y .

3) 2 8 3 3 18 2 10 12 6 24 243 4 3 2 5 4 3 2x x x x x x x x x x, , , .

Factorizando cada polinomio, tenemos:

1er. POLINOMIO.

1er. Paso: Por factor común.

2 8 2 43 2x x x x

2o. Paso: Por diferencia de cuadrados.

2 2 2x x x

150

2o. POLINOMIO


3 3 18 3 64 3 2 2 2x x x x x x

2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma

x bx c

x x x

2

23 3 2

.

3er. POLINOMIO.


2 10 12 2 5 65 4 3 3 2x x x x x x

2o. Paso: Factorización de un trinomio de la forma

x bx c

x x x

2

32 3 2

4to. POLINOMIO1er. Paso: Por factor común.

6 4 42x x

2do. Paso: Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

6 2 2x x

M.C.M.6 3 2 2 2

6 4 3 2

3

3 2

x x x x x

x x x x

151

2.3.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

A) Adición de Fracciones.

Para realizar cualquier tipo de adición de expresiones algebraicas racionales esconveniente seguir los siguientes pasos:

1) Se deben simplificar las fracciones iniciales del problema, cuando esto seaposible.

2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimocomún denominador.

3) Se realizan las multiplicaciones indicadas.

4) Se suman los numeradores de las fracciones resultantes quedando divididoentre el común denominador.

5) Se reducen términos semejantes en el numerador.

6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible.

Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de adición de expresionesalgebraicas racionales en los siguientes ejemplos:

A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término(monomios).

Simplificar la adición: x aax

xx x

42

25

1102

No es posible simplificar las fracciones iniciales, por lo que debemos calcular elmínimo común múltiplo para tener el mínimo común denominador, ya que son diferentesdenominadores.

2 2 5 5 10 21 1 5 5

1

ax x2 x

En los coeficientes de los denominadores se tienenlos factores primos comunes 2 5 .

En la parte literal de los denominadores se tienen alas literales comunes afectadas de su mayorexponente a, x2 , quedando el mínimo comúndenominador (m.c.d.) por 2 5 102 2ax ax .

152

Se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplica por el numeradorcorrespondiente.

x aax

xx x

x x a a x axax

42

25

110

5 4 2 2 1102 2

102

5 5 20 2 410

2 2

2axax

x x ax ax a axax

se reducen términos semejantes.

105

2 5 17 410

2

2

2

2axx

a x ax aax

1010

42

25

110

5 17 410

2

2

2

2axx

ax x aax

xx x

x ax aax

B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).

Simplificar la adición: 13 3

12 2

112x x x

Se determina que no es posible simplificar las fracciones dadas, por lo que hayque calcular el m.c.m. de los denominadores para tener el m.c.d.

Como los denominadores son polinomios diferentes, será necesario factorizarlosde acuerdo con cada caso particular.

3 3 3 1

2 2 2 1

x x

x xSe extrae el factor común.

x x x2 1 1 1 Se factoriza la diferencia de cuadrados.

m c m x x. . . 6 1 1

se obtiene el resultado ya que no es posiblesimplificar esta fracción.

153

A continuación se divide el m.c.d. entre cada denominador y su cociente se multiplicapor el numerador correspondiente. Esta división se realiza con los denominadores yafactorizados.

6 1 13 1

2 1

6 1 12 1

3 1

6 1 11 1

6

x xx

x

x xx

x

x xx x

Se concentra lo realizado particularmente para cada denominador.

13 3

12 2

11

2 1 3 1 66 1 12x x x

x xx x

Realizando las multiplicaciones.

13 3

12 2

11

2 2 3 3 66 1 12x x x

x xx x

13 3

12 2

11

5 76 1 12x x x

xx x

Realiza la adición de fracciones algebraicas y señala si se cometieron errores alsolucionar el ejercicio.

a a a13

26

3 412

4 1 2 2 3 412

a a a

3 6 12 2 4 4 4 3 412

a a a

3 3 6 2

3 3 3 3 1112

a

1 1 1

Simplificando términossemejantes en el numerador.

Como no se puede simplificar lafracción, ésta queda como resultado.

154

Desarrollando la suma de fracciones siguiente, indica si faltan o no pasos detransformación para validar el resultado señalado.

x yx y

x yx y

x y x y x y x yx y x y

x y x yx x x y

x y x yx y

2 2 2 2

2 2

Falta realizar los siguientes pasos:

x yx y

x yx y

x y x yx y

x xy y x xy yx y x y

x yx y

x yx y

resultado

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 .

Observa los siguientes ejemplos:

1 25

325

5 2 1 35 5

2 10 35 5

5 105 5

5 225

25 5 5 25

325

5 105 5

5 225

2 33

45

5 3 3 4

15

2

2

22 2

2 2

2 2

2 2

2 2

)

. . :

. . .

)

xx

xx x

x xx x

x x

m c m xx x

ox

x

m c m x x xx

xx

xx x

ox

x

a bab

a b aba b

ab a b a b ab

a b

5 15 3 1215

8 315

8 315

8 315

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b aba b

a b aba b

ab a ba b

a bab

155

b) Sustracción de Fracciones.

Para realizar la resta de fracciones se deben seguir los siguientes pasos:

1) Se simplifican las fracciones iniciales del problema, cuando esto sea posible.

2) Si las fracciones son de distinto denominador, hay que calcular el mínimocomún denominador.

3) Se multiplican las expresiones indicadas.

4) Se restan los numeradores y la diferencia queda afectada del comúndenominador.

5) Se reducen términos semejantes en el numerador.

6) Simplificamos la fracción resultante, de ser posible.

Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de restas de fraccionesalgebraicas en los siguientes ejemplos:

A) Cuando las fracciones tienen denominadores con un solo término (monomios).

a ba

aba b

a ba

aba b

ab a b ab

a b

23

4 36

23

4 36

2 2 1 4 3

6

2

2

2

2

2

2

2 4 4 3

6

2 4 4 36

2 36

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

a b ab ab

a b

a b ab aba b

a ba b

No es posible simplificar las fracciones inicialespor lo que debemos calcular el m.c.m. de losdenominadores; m.c.m. 6 2a b

Se obtienen los productos parciales:63

2 2 2

66

1 1 4 3

2

2

22

a ba

ab ab a b

a ba b

ab

;

;

Se realizan las multiplicaciones delnumerador.

Restando los numeradores.

Reduciendo términos.

156

B) Cuando las fracciones tienen denominadores con varios términos (polinomios).

2 1 1 32 2 3x x x x

xx x

x x x x

x x x x

x x x x x x x m c m x x x

x x x xx

x x

x x xx x x

2

2

3 2

2 2 3

1

1

1 1 1 1 1

2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 31 1

; . . .

x x xx x

x

x x xx x x

1 11

1

1 11 1

1

;

2 1 1 3 2 2 1 1 31 12 2 3x x x x

xx x

x x xx x x

01 1

0

x x x

x x xx x

x1 1

11

Se realizan lasmultiplicaciones indicadas enel numerador, y se suprimenlos signos de agrupamientocorrectamente.

Reduciendo términossemejantes en el numerador.

Se calcula el m.c.m. para quesea el m.c.d. por su reglacorrespondiente de factorización.

Se dividen el m.c.d.con cada denominadory su cociente semultiplica porelnumeradorcorrespondienterespetando el signo.

157

Realicemos otros ejercicios. Deberás observar qué se realizó en cada paso.

1 3 22

2 54

2

2) x xx

xx

2 4 21 2 2 ó 4 1

x x x

m c m x

xx

x x

xx

x x x

2 2

2

2

22

2

4

42

2 2 3 2

44

2 5

,

. . .

;

;

x xx

xx

x x x x

xx x x x

x

2

2

2

2

2 2

23 2

22 5

4

2 3 2 2 5

42 6 4 2 5

4

2 6 4 2 54

44

2 2

2 2x x x x

xx

x

Se reducentérminossemejantes delnumerador.

22

CÁLCULO

DEL

M. C. M.

Se realizan las divisionesparciales del m.c.d. concada denominador y elcociente se multiplica porcada numerador sinolvidar el signo delsustraendo.

Se realizan lasoperacionesalgebraicas indicadasen el numerador.

158

2) realizarxx

xx

14 4

28 8

xx

xx

x x x xx x

14 4

28 8

2 1 1 1 28 1 1

2 1 3 2

8 1 1

2 2 1 3 2

8 1 1

2 4 2 3 28 1 1

78 1 1

78 1

2 2

2 2

2 2

2

2

2

x x x

x x

x x x x

x x

x x x xx x

x xx x

x xx

C) Multiplicación de Fracciones.

Para realizar esta operación debemos seguir los siguientes pasos:

1) Los términos de las fracciones que se van a multiplicar son convertidas a susfactores primos comunes y no comunes.

2) Se simplifican, eliminando los factores comunes tanto de los numeradorescomo de los denominadores.

Se calcula el m.c.m., y para tenerel m.c.d. con cada denominadorse indican los productos concada numerador.

Se indica en el numerador quehay un binomio al cuadrado ytambién se realiza el producto debinomios con término común.

Se realiza por productos notablesel cuadrado del binomio.

Se realiza la operación demultiplicación y se suprimen lossignos de agrupamientocambiando los del sustraendo.

Se reducen términos semejantesen el numerador, asimismo, en eldenominador se puede cambiarel producto de binomiosconjugados por su diferencia decuadrados, la cual se refleja en elresultado.

159

3) Se multiplican las expresiones restantes después de la simplificación defactores comunes tanto del numerador como del denominador.

Apliquemos estos pasos de transformación para la operación de multiplicación defracciones algebraicas.

EJEMPLO.

23

34 2

2 32 2 2 3

23

34 2 4

3

2 2

2

3

2 2

2

ab

bx

xa

a b b x xa a b b b x

ab

bx

xa

xab

EJEMPLO.

3 32 4

4 4

3 32 4

4 4 3 1 22 2 1

3 32 4

4 4 3 1 2 22 2 1

3 32 4

4 4 3 22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

x xx x

xx

x xx x

x xx x x

xx

x xx x

x x xx x x

xx

x xx x

xx

Las fracciones se descomponenen sus factores, ordenándolos.

Se simplifican los factorescomunes tanto del numeradorcomo del denominador,obteniéndose directamente elresultado.

Se factorizan todas y cada unade las expresiones algebraicas.

Sustituyéndose por sus factores.

Se simplifican los factoresprimos comunes tanto delnumerador como deldenominador.

Se realizan los productosindicados en la fracciónresultante.

160

Factorizando:

3 3 3 1

4 4 2

2 4 2 2

1

3 32 4

4 4 3 62

2 2

2

2

2

x x

x x x

x x

x x x x

xx

x xx x

xx

,

EJEMPLO.

Multiplicar las siguientes fracciones.

aa a

a aa a

aa a

a a a a aa a a a a a

a

2

2

2

2 21

26

3 7 43 4

4 3

1 1 3 2 3 42 1 3 4 1 3

1

por factor común

Binomio al cuadrado

por factor común

por factor común

obteniéndose su resultado.

Factorizando todas y cada unade las expresiones queaparecen en las fracciones.

Simplificando factorescomunes tanto en elnumerador como en eldenominador.

161

EJEMPLO.Acontinuación realizaremos la multiplicación de expresiones mixtas.

Multiplica:

aa

aa

3 51

2 54

Recuerda que debemos reducir las expresiones mixtas a fracciones como ya se explicó.

aa

a aa

a aa

a aa

aa

a aa

a aa

a aa

3 51

3 1 51

2 3 51

2 81

2 54

2 4 54

2 8 54

2 34

2 2

2 2

Con las fracciones obtenidas realizaremos su multiplicación como ya hemos visto.

a aa

a aa

a a a aa a

2 22 81

2 34

4 2 3 11 4

Simplificando factores comunes tanto del numerador como del denominador, tenemos:

aa

aa

a a3 51

2 54

2 3

Con la aplicación de la regla de los productos notables para la multiplicación de binomioscon término común obtenemos el resultado de este ejercicio.

aa

aa

a a3 51

2 54

62

162

EJEMPLO.

Multiplicar. a ab

a ab 1

A) Se convierten las expresiones mixtas a fracciones:

a ab

ab ab

a ab

a b ab

ab a ab

abb1

11 1 1

B) Se multiplican las fracciones obtenidas.

a ab

a ab

ab ab

abb

a ab

a ab

ab a abb b

a ab

a ab

a b a bb b

a ab

a ab

a b bb b

a ab

a ab

a

1 1

1 1

1 1

11

1

1

2 2 2

2

2

d) División de Fracciones.

La forma más directa de realizar esta operación de división con fracciones algebraicases convertir la mecanización a una multiplicación de fracciones como ya se ha visto.

Para lograr lo anterior, al divisor se le debe invertir. Esto es, que la fracción se identifiquecon el divisor, su numerador pasará a ser denominador y el denominador pasará al lugardel numerador.

Veamos con un ejemplo lo dicho.

Dividir x x2 48

entre x2 164

163

El numerador anterior también se puede representar como:

x x x

x x x x xx

x xx x

x xx x

2 2

2 2 2

2

48

164

48

164

48

416

4 48 4 4

4 44 2 4 4

Dividendo Divisor

x x x xx

2 248

164 2 8

Divisorinvertido

4162x

x x x xx

2 248

164 2 8

Para realizar la división de fracciones de la expresión:

xx

x x xx x

3

2

3 2

212564

5 2556

Primero debemos convertir la operación indicada a una multiplicación.

xx

x x xx x

xx

x xx x x

3

2

3 2

2

3

2

2

3 212564

5 2556

12564

565 25

Se procede a realizar la multiplicación de fracciones como se explicó en el punto anteriory es conveniente precisar que todas las expresiones que aparecen en las fracciones sepueden factorizar.

x x x x3 2125 5 5 25

164

Suma de cubos - factorizada - producto de binomio y trinomio.

x x x2 64 8 8

Diferencia de cuadrados - factorizada - producto de binomios conjugados.

x x x x2 56 7 8

Trinomio - factorizado - producto de binomios con término común.

x x x x x x3 2 25 25 5 25

Polinomio -factorizado - con factor común.

xx

x x xx x

xx

x xx x

xx

x x xx x

x x x x x

x x x x x

xx

x x xx x

3

2

3 2

2

3

2

2

3 2

3

2

3 2

2

2

2

3

2

3

2

12564

5 2556

12564

565 25

12564

5 2556

5 5 25 8 7

8 8 5 25

12564

5 2556

5 78

2 358

2

2x x

x xx x

x x

Calcula el m.c.m. de las siguientes expresiones. RESPUESTAS.

11 24 36 40 60

12 3 8 10 12 16

13 4

14 3 12 2 2 6 6

15 25 125 2 10

16 15 20 5 3 3 1

27 18 3

2 3 2 4 2 5 3 6

3 2 2 3 2 2

3 2 2

3 3 2 3 2

2 3

3 2 3 2

4 3 2

. , , ,

. , , , ,

. , ,

. , , ,

. , ,

. ,

y

a x a y x y a y

a ab b a b a b

x x x x y xy

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

11 360

12 240

13 4 1

14 6 1 1

15 2 5 5 5 25

16 15 3 1 1

3 3 6

3 3

2 2

3 2

2

2 2 2

.

.

.

.

.

.

a x y

a b

x y x

x x x x

x x x x

x x x

165

Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

RESPUESTAS.

17 3 2

1812

215

430

19 3 2 3 3

20 3 25 3

1 8525 9

2

2

.

.

.

.

nm mn mx y x y y x

a bab

a mam a

a aa

a

17 3 2

18 560

19 3 2

20 7 2725 9

2

2

2

.

.

.

.

n m mnm n

x y

am bm ababm

aa a

166

21 34

28

21 88

22 35

4 33

22 3 6 2015

23 13

24

36

23 412

24 14

13

24 14 3

25

3

2 3

2 2 3

2 3

2 2 2

. .

. .

. .

. .

. .

25

x x x

a bab

aba b

a b aba b

x x x x

x x x x

a x

a x

xa x

a2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

26 2 310 10

150

9 1450 50

26 125

27 26

84 2

27 23

28 2 22

32 3

28 1

29 4 43

2 4

ax x

a x a x

aa

a aa

x xx

x

x xx

x xx x

a ab b a

. .

. .

. .

. b

a b

x xx

x xx x

xx

a aa a

a aa a

a a aa a

a aa

x

2

23

30 7 1016

2 84 4

30 54

31 7 106 7

3 42 15

2 32 8

317

32

3

2

2

2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

29

.

. .

. .

. 21

12

32 1

33 130

242

33 72 10

34 8 26 1516 9

6 13 59 1

34 3 14 3

35 63

3 549

35 13

2

2 2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

xx

x

a a a aaa

x xx

x xx

xx

a aa a

a aa a a

x

.

.

. .

. .

167

En este tema analizamos las reglas para simplificar fracciones algebraicas y operamoscon ellas, acordando que:

Los productos notables y la factorización son la base para operar con fraccionesalgebraicas.

Saber operar con fracciones algebraicas, es fundamental para resolver cualquieroperación algebraica.


168

En el desarrollo de este capítulo se dedujeron los modelos matemáticos para losprincipales productos notables y procedimientos de factorización; de la misma manerase llevó a cabo la aplicación de estos procedimientos en la simplificación de expresionesalgebraicas racionales.

RECAPITULACIÓN


FACTORIZACIÓNPRODUCTOSNOTABLES

Son todos aquellosque cumplen conuna regla fija parasu desarrolo

Es la operacióninversa a losproductos.

TIPOS

DE DOS BINOMIOS CON UNATÉRMINO COMÚN.DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS,EL CUADRADO DE UN BINOMIOEL TRIÁNGULO DE PASCALEL BINOMIO DE NEWTON.

TIPOS

POR FACTOR COMÚNPOR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.TRINOMIO CUADRADO PERFECTODIFERENCIA DE CUADRADOS.SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.TRINOMIOS DE LAS FORMAS

x2 + bx + cax2 + bx + c

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICAS RACIONALES.

Es cuando unafracción se expresaen su forma mássimple

REGLAS

De acuerdo a los principios de la aritmetica.Dependiendo de los exponentes.Cambio de los signos.Cuando los términos son monomios.Cuando los términos son polinomios.Fracciones equivalentes.Reducción de expresiones entera o mixta.Reducción de expresión mixta a fraccionaria.Reducción de mínimo común denominados.Cálculo del m.c.m. en monomios y polinomios

OPERACIONES

Adición.Sustracción.Multiplicación.División.

169

A fin de que apliques el conocimiento adquirido, deberás factorizar las siguientesexpresiones algebraicas y simplificar las expresiones algebraicas racionales, entre lascuales aparecen casos particulares para los binomios y los trinomios. También senecesita la aplicación de varios procedimientos de factorización para algunas de dichasexpresiones.

Es necesario que, antes de desarrollar un producto notable, factorizar un polinomio osimplificar una expresión algebraica racional, pongas mucha atención en su estructuraalgebraica.

1. Desarrolla los siguientes productos notables:

1 7 11

2 12

32

3 2 5

4 2

5 3 3

6 5 6

7 2

2

4 4

4

2 3

2 2

7

.

.

.

.

.

.

.

x

x x

x y

a b

y y y y

ab ab

x

8 2 3

9

10 9 5

11 2

12 2 2 2 2

13

14 3 8

3

2 2

2 3 5

3

3 4 2

.

.

.

.

.

.

.

m

m n m n

a a

a b

y x x y

a b

a b

x x

ACTIVIDADES INTEGRALES

170

II. Factoriza o simplifica, según sea el caso, los siguientes polinomios y expresionesalgebraicas racionales:

1 4

2 8

3 36 21 30

4 6 18

5 4 320

6

7 9 4 12

8 2 18 4025

9 2 6 3

10 129 1

23 1

33 1

3 4

3 3 3

2 3 4

2

2

2

2 2

2

2

2

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

m

c

a

x

a x

ax ax ax

x x

c

a ab b

n a an

y yy

xy y zx z

xx

xx

xx

11 94

19

12 6 6 513

14 2 31

2 13 5 2

15 81 4

16 19

12 3

17 6 11 10

18 1 16

19 1

2 2 2 2 4

2

2

2

2

2

6 2 8

3

2

2

2

2 2

2 2

3

.

.

.

. •

.

.

.

.

.

a x abxy b y

x xm n x m n

x xx

x xx x

a b c

xx

x xx x

x ax a

x x

m

171

Con la finalidad de que tengas una orientación en cuanto a las técnicas que se debieronemplear en la realización de la actividad anterior, revisa y compara tus respuestas; encaso de que te sea necesario, se clasifican aquí los ejercicios de dicha actividad engrupos.

1. Productos notables.

- Producto de un binomio con término común: 2, 6 y 10

- Producto de binomios conjugados: 5, 9 y 12.

- Cuadrado de un binomio: 1, y 11.

- Cubo de un binomio: 4, 8 y 13.

- Binomio de Newton: 3, 7 y 11.

II. Factorización.

- Expresiones algebraicas que requirieron la aplicación de un solo tipo defactorización: números 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 15 y 17.

- Expresiones que se factorizan mediante el empleo de varias técnicas defactorización: números 3 y 13.

- Casos especiales de binomios y trinomios: números 17 y 18.

- Expresiones algebraicas racionales a simplificar mediante el empleo de variastécnicas de factorización: números 8, 10, 14 y 16.

AUTOEVALUACIÓN

172

A continuación presentamos las soluciones de los ejercicios de la citada actividadintegral.

1. Productos notables.

1 49 154 121

2 34

3 16 160 600 1000 625

4 6 12 8

5 9

6 30

7 14 84 280 560 672 448 128

8 8 36 54 27

9

10 4 45

11 10 40 80 80

2

8 4

4 3 2 2 3 4

6 4 2 2 3

4 2

2 2

7 6 5 4 3 2

3 2

2 2

4 2

10 8 3 6 6 4 9 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

x x

x x y x y xy y

a a b a b b

y y

a b ab

x x x x x x x

m m m

m n

a a

a a b a b a b a b b

x y

a a b a b b

a a b b

x x x x x x

12 15

2 2

3 2 2 3

6 3 4 8

32

12 4 4

13 3 3

14 9 48 64

.

.

.

II. Factorización.

1 1 4

2 2 2 4

3 3 2 3 4 5

4 6 3

5 20 16

6 1

7 3 2

82 4

59 3 2

103 1

3

2 2 2

2

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x x

m ax m amx a x

ax x x

x x

c c

a a b

n a

yy

x y Zx

x

11 32

13

12 3 2 2 3

13 1

14 2 33 2

15 9 2 9 2

161 1

31

317 2 5 3 2

18 5 1 1 3

19 1 1

22

3 4 3 4

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ax by

x x

m n xxxa bc a bc

x xx x

x a x a

x x

m m m

ó x2

173

La siguiente síntesis te ayudará a que recuerdes lo que estudiaste a lo largo delfascículo.

OPERATIVIDAD EN EL ÁLGEBRA

CAPITULO 1

OPERATIVIDAD DELLENGUAJE ALGEBRAICO;


CAPITULO 2

LENGUAJE ALGEBRAICO: PRODUCTONOTABLES, FACTORIZACIÓN DE

EXPRESIONES ALGEBRAICASRACIONALES

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CLASIFICACIÓN

MONOMIO POLINOMIO

PRODUCTOSNOTABLES

FACTORIZACIÓNOPERACIONESBÁSICAS

SUMA SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

DE DOS BINOMIOS CON UNTERMINO COMÚNDE DOS BINOMIOSCONJUGADOSEL CUADRADO DE UNBINOMIOEL CUBO DE UN BINOMIOEL TRIÁNGULO DE PASCALEL BINOMIO DE NEWTON

POR FACTOR COMÚNPOR AGRUPACIÓN DETÉRMINOS, DE UNTRINOMIO CUADRADOPERFECTO.DE UNA DIFERENCIADE CUBOS.DE TRINOMIO DE LASFORMAS. x2 + bx + c ax2 + bx + c

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

RECAPITULACIÓN GENERAL

174

Realiza las siguientes actividades considerando lo que estudiaste en ambos capítulos ysi tienes alguna duda revisa las actividades anteriores.

1. Completa la siguiente tabla:

EXPRESIONESALGEBRAICAS

CLASIFICACIÓN POREL No. DE TÉRMINOS

GRADOABSOLUTO

GRADO CONRESPECTO A “X”

35

2 5 3x y z

3 6 4 22xy xy x

52

23

12

3 2 2 3xy x y x y

2. Resuelve las siguientes operaciones de expresiones algebraicas.

A x y x

B xy xy xy xy

C x y x y x y x y x y

D y y y y y y

E m y m m y m

F x y z x yz x y

G a b a b ab

H a ab b a

x y x y

)

)

)

)

)

)

)

)

2 5 3

3 2 2

8 3 3 713

12

14

43

14

53

3 2 5 4 2 6

6 6

2 8 6

14

23

14

2 2

2 2

2 5 3 3 2 5 3 3 2 5

2 2 2

3 2 6 2 2

2 2 32

3

13

14

12

16

536

16

13

12

2 3

1

2 2

b

I x y z xy z

J a a a

K a ab b a b

a b c

m m

)

)

)

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

175

3. Desarrolla los siguientes productos notables:

A x x

B y y y y

C x y

D x y

E n

F n

G x

)

)

)

)

)

)

)

2 3 2 13

3 3

2 3

25

13

4

4 3

3

2 2

2

2 22

3

3

6

4. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

A a xy x y

B x y x y x y

C x

D a b b

E a

F m m

G x m

H w

I

J x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

x

a

a

y

24 36

16 8 24

2 1

411 28

12 13 35

30 13 10

14 25

827

8 125

2 2 2 4

3 2 2 4 2

2

4 2 24

2

2

2

2

3

3

176

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas racionales.

A x x x y yx x x

B aa a

C aab b b

Dx x x

xx x x

)

)

)

)

3 12 45 14

8 274 12 9

1

11

11 2

11 2 3

3 2

4 3 2

3

2

2

177

Con la finalidad de que puedas comparar las respuestas que obtuviste revisa esteapartado.

1.

EXPRESIÓNALGEBRAICA

CLASIF. POR ELNo. DE TÉRMINOS

GRADOABSOLUTO

GRADO CONRESP. A “X”

35

2 5 3x y zMONOMIO 10 2

3 6 4 22xy xy x POLINOMIO 3 1

53

23

12

3 2 2 3xy x y x yTRINOMIO 4 3

2.A x y

B xy xy

C x yDE m y

F x y z

G a b a b

H a a b ab b

I x y z

J a a

K a b

x y x y

a b c

m m

)

)

)))

)

)

)

)

)

)

5 5

4 4

605 1

36

16 121

1658

53

13

23

12

12

13

2

2

3 3

7 4 7

2 2 1 1

3 2 2 3

1 2 3

1 2

AUTOEVALUACIÓN

178

3.

A x x

B y

C x xy y

D x xy y

E n n

F n n n

G x x x x x

)

)

)

)

)

)

)

y

n

x

4 163

1

9

4 12 9

425

415

19

12 48 64

64 144 108 27

18 135 540 1215 1458 729

2

4 2

2 2

42

2 4

3 2

3 2

6 5 4 3 2

4.A xy a xy

B x y xy x y

C x

D a b

E a a

F m m

G x x

H w w

I y y y

J x x x

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

12 2 3

8 2 1 3

1

2

7 4

3 7 4 5

6 5 5 2

12 5

12 5

23

23

49

2 5 4 10 25

2 2 2

2 2

2

22 2

2

2

179

5.

Ax x y

x x

B a aa

Ca b

D xx x

)

)

)

)

2 3

7

4 6 92 3

1

51 3

2

2

180

Con la finalidad de que apliques los conocimientos adquiridos realiza las siguientesactividades:

1) Visita el Museo UNIVERSUM y observa la relación y el uso del lenguajealgebraico y de las expresiones algebraicas con otras asignaturas tales como:Física, Química, Economía, etc.Registra y sistematiza tus observaciones, puedes apoyarte en los siguienteslineamientos.

Investiga donde esta ubicada la sala de matemáticas y anota lasexplicaciones sobre el tema estudiado.

Busca en otras salas tal como (física, Química, etc.) y has un listado decomo utilizan las expresiones algebraicas para plantear problemas de lavida cotidiana.

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

181

En este apartado encontrarás algunos términos que se vieron a lo largo del fascículo.

Coeficiente: Factor numérico de un término algebraico que indica cuantas veces setoman como sumando, la parte literal. Cuando no aparece escrito se le considera igual ala unidad.

Exponente: Es un número real o una variable que se coloca arriba y a la derecha deuna base conforma por una cantidad o una variable. El valor del exponente indica lasveces se va a multiplicar la base por sí misma.

Grado de un Término: Es el valor numérico de las suma de los exponentes que seencuentran en las variables del término.

Lenguaje Algebraico: Es el modo de expresar o indicar en forma verbal o escritacompuestas por números y las letras operaciones.

Parte Literal: Es el conjunto de letras y exponentes que van precedidas del coeficiente yque pertenecen al término algebraico.

Término Algebraico: Es la representación simbólica de un valor usando símbolosalgebraicos que no se encuentran separados entre sí por un signo (+) o un signo (-).

Término semejante: Son aquellos que conservan idéntica su parte literalmanifestándose la única variación en el coeficiente.

GLOSARIO

182

BALDOR A.: Álgebra elemental. Ediciones y Distribuciones Códice, Madrid, 1974.

BARNETT, S. A., y Nolasco: Álgebra elemental estructurada y aplicaciones, 2a. Ed..McGraw-Hill, México.

BRITTON Y BELLO: Matemáticas contemporáneas.

DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Cultural, México, 1967.

GOBRAN, Alfonse: Álgebra. Iberoamericana, México, 1986.

DOLCIANI et al.: Álgebra moderna. Publicaciones Culturales, México, 1967.

PERELMAN Y.: El divertido juego de las Matemáticas. Círculo de lectores, Ediciones Martínez Roca, Barcelona, 1968.

PHILLIPS et al.: Álgebra con aplicaciones. Haria, México, 1983.

REES P. K et al.: Álgebra. McGraw-Hill, México, 1980.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

matemÁticas i - tu portal mexicano de compra-ventagrandesofertas.com.mx/ceneval/pre-abierta-sem/1...

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