UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fısicas y Matem aticas

Introducci on a la Matem atica Universitaria.

520145

Capıtulo 4. Inducci on.

Prof. Antonio Contreras Quilodr an.

Induccion 1 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem aticaEl Operador Sumatoria. Dados n numeros reales indexados como

a1, a2, . . . , an, se define la sumatoria de ellos, que se denotan∑

k=1

ak , por:

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · · + an−1 + an

Ejemplos. De sumatoria:

1.

n∑

k=1

k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2

2.

n∑

k=1

(2k − 1) = 1+3+5+7+ · · ·+(2n−3)+(2n−1)

Induccion 2 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Propiedades del Operador Sumatoria

1.

n∑

i=1

ai =

n∑

j=1

aj y

n∑

i=1

ai =

n−1∑

i=0

ai+1 =

n+1∑

i=2

ai−1

2.

n∑

i=1

a = a + a + · · · + a + a = na

3.

n∑

i=1

k ai = k

n∑

i=1

ai;

n∑

i=1

(ai + bi) =n∑

i=1

ai +n∑

i=1

bi

4.

n∑

i=1

m∑

j=1

bj

ai =m∑

j=1

(

n∑

i=1

ai

)

bj

Induccion 3 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Principio de induccion matematica

Sea S ⊆ N tal que

i) 1 ∈ S

ii) k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S,

entonces S = N.

Teorema. Sea S ⊆ N y p un numero natural tal que:

i) p ∈ S y ii) k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S,

entonces S contiene a cada numero mayor o igual a p.

Induccion 4 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem aticaPROGRESION ARITMETICA

Sean a, d ∈ R numeros dados. Se llama Progresi on Aritm etica

con termino inicial (primer termino) a y diferencia comun d a la

sucesion de numeros a1, a2, . . . an . . ., donde

a1 = a y ∀n ≥ 2 : an = an−1 + d.

Teorema. ∀n ∈ N : an = a + (n − 1) d.

(Demostracion: por induccion.)

Induccion 5 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Teorema.

La suma de los n primeros terminos de una Progresion Aritmetica,

con primer termino a y diferencia comun d, esta dada por

n∑

k=1

ak =n

2(2a1 + (n − 1)d) =

n

2(a1 + an) ∀n ∈ N.

(Demostracion: por induccion.)

Induccion 6 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem aticaPROGRESION GEOMETRICA

Sean a, r ∈ R numeros dados. Se llama Progresi on Geom etrica

con termino inicial a y razon (cuociente) comun r a la sucesion de

numeros a1, a2, . . . an . . ., donde

a1 = a y ∀n ≥ 2 : an = r an−1.

Teorema. ∀n ∈ N : an = rn−1 a1 = rn−1 a.

(Demostracion: por induccion.)

Induccion 7 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Teorema.

La suma de los n primeros t erminos de una Progresion

Geometrica, con primer termino a y razon comun r, esta dada por

n∑

k=1

ak = a1

(

1 − rn

1 − r

)

∀n ∈ N, ∀ r 6= 1.

(Demostracion: por induccion.)

Induccion 8 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Factorial y Coeficiente Binomial

Dado k ∈ N, se define el factorial de k, y se denota k!, como el

producto de los k primeros numeros naturales, esto es:

k! = 1 · 2 · 3 · · · (k − 1) · k, 0! = 1.

Sean k, n ∈ N ∪ {0} tales que k ≤ n. Se define el coeficiente

binomial de n y k, y se denota

n

k

, como el numero:

n

k

=n!

k! (n − k)!

Induccion 9 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

Propiedades de los Coeficientes Binomiales

Sean k, n ∈ N ∪ {0} tales que k < n. Entonces, se tiene:

•

n

0

=

n

n

= 1,

n

1

= n

•

n

k

=

n

n − k

•

n

k

+

n

k + 1

=

n + 1

k + 1

Induccion 10 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

TEOREMA DEL BINOMIO

Sean a, b ∈ R no nulos y sea n ∈ N. Entonces:

(a + b)n =n∑

k=0

n

k

an−k bk.

Observaciones.

a) El desarrollo de (a + b)n consta de n + 1 terminos.

b) En cada termino del desarrollo la suma de los exponentes de a

y b es n.

Induccion 11 . FCFM UdeC.

Inducci on Matem atica

c) Los coeficientes de los terminos equidistantes del centro son

iguales.

d) El termino que ocupa el lugar k + 1 esta dado por

Tk+1 =

n

k

an−k bk.

Induccion 12 . FCFM UdeC.