matemáticas básicas: sistemas lineales
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Matemáticas Básicas: SistemasLineales
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
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1 Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
Determinantes de tercer orden
Ejemplos
2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales
Ejemplos
Oferta y demanda
2
Determinantes
3
Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
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Definición
Definición 1.1. ∣∣∣∣∣∣a b
c d
∣∣∣∣∣∣ = ad − bc.
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Ejemplo 1.1. ∣∣∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣∣∣ =
6
Si consideremos el siguiente sistema de ecuacionesa1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2... (1.1)
7
...y definimos
∆ =
∣∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
∣∣∣∣∣∣∆x =
∣∣∣∣∣∣c1 b1
c2 b2
∣∣∣∣∣∣∆y =
∣∣∣∣∣∣a1 c1
a2 c2
∣∣∣∣∣∣ ...
8
...entonces
x = ∆x
∆y = ∆y
∆
(1.2)
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Ejemplo 1.2.Resuelva el sistema 2x + 3y = 8
x − 2y = −3
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Determinantes
Determinantes de tercer orden
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Figura 1.1: Determinante 3 × 3
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Figura 1.2: Como desarrollar un determinante 3 × 3
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Ejemplo 1.3.
Desarrolle el siguiente determinante
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Ejemplo 1.4.
Resuelva el siguiente sistemax + 2y − z = −33x + y + z = 4x − y + 2z = 6
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Determinantes
Ejemplos
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El método de solución de sistemas de ecuaciones linales, pormedio de determinantes, se conoce como Regla de Cramer.
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Ejemplo 1.5.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer4x + 2y = 5
3x − 4y = 1
18
Ejemplo 1.6.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer3u + 2v = 18
−5u − v = 12
19
Ejemplo 1.7.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer
2x + y − z = 53x − 2y + 2z = −3x − 3y − 3z = −2
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Ejemplo 1.8.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer
x + 2z = 73x + y = 52y − 3z = −6
21
Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.
En este caso, decimos que el sistema es consistente.
22
Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.
En este caso, decimos que el sistema es consistente.
22
Si ∆ = 0, entonces o bien existen multiples soluciones, o bienno existe alguna en absoluto.
En cualquier caso, decimos que el sistema es inconsistente.
23
Determine si 5x − 2y = 1010x − 4y = 20
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.
24
Determine si 5x + 3y = 1510x + 6y = 60
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.
25
Determine si x − 3y + 2z = 42x + y − 3z = −24x − 5y + z = 5
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
27
Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
28
Supongamos que ai, bi, ci, i = 1, 2 son número dados:a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y tales que cumplan ambas ecuacionessimultaneamente.
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Ejemplo 2.1.La solución del sistema x + y = 7
x − y = 3
es x = 5, y = 2.
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A continuación, ejemplificaremos algunos de los métodos máscomunes para resolver sistemas de ecuaciones.
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Suma y resta
Ejemplo 2.2.
2x − y = 4 (2.1)x + 2y = −3 (2.2)
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Método de sustitución
Despejando de (2.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Sutituyendo en (2.2), obtenemos
x + 2(2x − 4) = −3.
33
Método de sustitución
Despejando de (2.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Sutituyendo en (2.2), obtenemos
x + 2(2x − 4) = −3.
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Método gráfico
Figura 2.1: 2x-y=4 , x+2y=-3
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Tipos de sistemas
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales
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Supongamos que ai, bi, ci, di, i = 1, 2, 3 son número dados:a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y, z tales que cumplan las ecuacionessimultaneamente.
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Ejemplo 2.3.Resuelva
2x + 5y + 4z = 4 (a)x + 4y + 3z = 1 (b)x − 3y − 2z = 5 (c)
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Ejemplos
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Ejemplo 2.4.
2x − y = 4x + y = 5
40
Ejemplo 2.5.
5x + 2y = 32x + 3y = −1
41
Ejemplo 2.6.
2x + 3y = 36y − 6x = 1
42
Ejemplo 2.7.
5y = 3 − 2x
3x = 2y + 1
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Ejemplo 2.8.
x − 23 + y + 1
6 = 2x + 3
4 − 2y − 12 = 1
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Ejemplo 2.9.
Encuentre dos números sabiendo que si uno de ellos se sumacon el doble del otro se obtiene 21, y que si este último sesuma con el doble del primero resulta 18.
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Ejemplo 2.10.
Hace seis años, Agustín era 4 veces mayor que Pablo.Encuentre sus edades actuales sabiendo que dentro de 4 añossólo será dos veces mayor que Pablo.
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Ejemplo 2.11.
Dos libras de café y 3 kg de mantequilla cuestan $4.20. Alcabo de 1 mes, el precio del café ha subido 10 % y el de lamantequilla 20 % de forma que la adquisición de los productosanteriores cuesta ahora $4.86. Determine el precio original decada uno de los productos.
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Ejemplo 2.12.
Si se mezclan 3 galones de aceite del tipo A con 7 galones deltipo B el precio de la mezcla es de 43 pesos/galón. Sinembargo, si se mezclan 3 galones del aceite A con 2 galonesdel B el precio de la mezcla es de 46 pesos/galón. Encuentre elprecio del galón de cada uno de los tipos de aceite.
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Ejemplo 2.13.
Un inversionista tiene colocado parte de su capital a 3 % y elresto a 5 % de interés simple, percibiendo anualmente $116 deintereses. Si aumenta en 25 % el dinero que tiene a 3 % y en40 % el que tiene a 5 %, sus intereses anuales aumentan en$41. Calcule el dinero que tiene invertido a cada uno de lostipos de interés.
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Ejemplo 2.14.
Encuentre 3 números sabiendo que el primero es igual alsegundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y eltercero es igual al primero más 1, y que si se resta el segundode la suma del primero con el tercero el resultado es 5.
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Oferta y demanda
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El costo total C de un lote de mercancía está dado por
C(q) = C0 + C ′ ∗ q
donde q es el número de unidades, C0 es un costo fijo por lotey C ′ es el costo marginal, i.e., el costo por unidad.
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El ingreso total I por un lote de mercancía está dado por
I(q) = p ∗ q,
donde p es el ingreso marginal, i.e, el ingreso por unidad(generalmente el precio unitario de venta), mientras que q esnuevamente el número de unidades.
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La ganancia (o utilidad) U(q) por un lote de mercancía estádada por
U(q) = I(q) − C(q) = p ∗ q − (C0 + C ′ ∗ q) ,
o de manera equivalente
U(q) = (p − C ′) ∗ q − C0.
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El punto de equilibrio se alcanza cuando los costos son igualesa los ingresos, es decir,
I(q) = C(q),
o de manera equivalente, cuando la ganancia es nula:
U(q) = I(q) − C(q) = 0.
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Ejemplo 2.15.
Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y delos materiales por reloj es de $15 dólares y los costos fijos sonde $2000 dólares al día. Si se vende cada reloj a $20 dólares.a) ¿Cuántos relojes deberá producir y vender para mantenerseen el punto de equilibrio? b) ¿Cuántos relojes deberá venderpara tener una utilidad de $3000 dólares?
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Ejemplo 2.16.2.-El costo total diario de producir manzanas caramelizadasesta dado por: y = 2.5x + 300.
(a) Si cada manzana se vende a $4 ¿Cuál es el punto deequilibrio?
(b) Si el precio de venta incremente a $5 ¿Cuál es el nuevopunto de equilibrio?
(c) Si se sabe que al menos 150 manzanas pueden venderse aldía ¿Qué precio deberá fijarse para garantizar que no hayapérdidas?
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