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Matemáticas aplicadas a las CCSSColección de Ejercicios

SUCESOS

Iñigo Zunzunegui Monterrubio

13 de octubre de 2020

mailto:[email protected]

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Índice general

Opción - Ejercicio 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Opción - Ejercicio 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Opción - Ejercicio 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2008 Junio Opción B - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62009 Septiembre Opción B - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72010 Modelo Opción A - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82010 Modelo Opción B - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82010 Junio F.E. Opción A - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92010 Septiembre F.E. Opción A - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 92011 Modelo Opción A - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102011 Septiembre Opción B - Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102015 Modelo Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122016 Modelo Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122017 Junio Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122017 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . 132017 Septiembre Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142017 Septiembre Coincidentes Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . 142018 Modelo Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142018 Modelo Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152018 Junio Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152018 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . 162018 Septiembr Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172019 Modelo Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172019 Junio Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182019 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . 192019 Septiembre Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202019 Septiembre Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212020 Modelo Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

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2020 Junio Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222020 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . 232020 Septiembre Opción A - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242021 Modelo Opción B - Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Ejercicios de Sucesos

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Ejercicio 1 (2 puntos)

Sean los sucesos A y B. Se sabe que:

P (A) = 35 & P (B) =25 & P (A ∪B)− P (A ∩B) =

310

Hallar:

a) P (A ∪B)

b) P (A ∩B)

Solución.

a) Por una parte tenemos que:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =⇒ P (A ∪B) + P (A ∩B) = 35 +25 = 1

que junto con la ecuación que nos dan en el enunciado conforman el siguiente siste-ma de ecuaciones:

P (A ∪B) + P (A ∩B) = 1

P (A ∪B)− P (A ∩B) = 310=⇒ 2P (A∪B) = 1+ 310 =

1310 =⇒ P (A∪B) =

1320

b) Despejando en la primera ecuación del sistema tenemos

1320 + P (A ∩B) = 1 =⇒ P (A ∩B) =

720

◦


En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sinrespaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas.

a) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva?

b) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no tengarespaldo?

Solución.Sean los sucesos:

R ≡ “La silla tiene respaldo”N ≡ “La silla es nueva”

Como nos han dado datos relativos al número de sillas (y no probabilidades) haremos unatabla de contigencia en donde pondremos los datos (en azul) y completaremos el resto.

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R R Total

N 7 3 10N 23 7 30

Total 30 10 40

a) P (N) = Nº sillas nuevasTotal del sillas =1040 =

14

De otra forma podemos decir que:

P (N) = P (R ∩N) + P (R ∩N) = 740 +340 =

14

= P (R) · P (N | R) + P (R) · P (N | R) = ��3040 ·

7��30

+��1040 ·

3��10

= 740 +340 =

14

b) Hallaremos P (R | N) de dos formas diferentes:

P (R | N) = 310

= P (R ∩N)P (N) =

3/401/4

= 310

◦


Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:

P (A) = 34 & P (A | B) =34 & P (B | A) =

14

a) Demuéstrese que los sucesos A y B son independientes pero no incompatibles.

b) Calcúlese P (A | B).

Solución.

a) Dos sucesos A y B son independientes si P (A∩B) = P (A)·P (B). Intentaré exprimirla información que me dan en el enunciado. Aśı:

P (B | A) = P (A ∩B)P (A) =⇒ P (A ∩B) = P (B | A) · P (A) =

34 ·

14 =

316

P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =⇒ P (B) =

P (A ∩B)P (A | B) =

3/163/4

= 14

P (A ∩B) = 316 = P (A) · P (B) =34 ·

14 =⇒ A y B son independientes

P (A ∩B) 6= 0 =⇒ A y B no son incompatibles


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b)

P (A | B) = P (A ∩B)P (B)

= A ∪B1− P (B) =1− P (A ∪B)

1− P (B)

= 1− [P (A) + P (B)− P (A ∩B)]1− P (B) =1−

(34 +

14 −

316

)1− 14

= 14

◦


Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P (A) = 14 & P (B) =13 & P (A ∪B) =

12

a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese.

b) Calcúlese P (A | B).

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2008 - Opción B )

Solución.

a) Dos sucesos son independientes si P (A ∩B) = P (A) · P (B)

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) = 14 +13 −

12 =

112 = P (A) · P (B) =

14 ·

13

Luego los sucesos A y B son independientes.

b) P (A | B) = P (A ∩B)P (B)

= P (A ∪B)1− P (B) =1− P (A ∪B)

1− P (B) =1− 1/21− 1/3 =

34

◦



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La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad deMadrid le guste la música moderna es igual a 0.55, la probabilidad de que le gste lamúsica clásica es igual a 0.40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las doses igual a 0.25. Se elige al azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidadde que le guste:

a) Al menos uno de los dos tipos de música.

b) La música clásica y también la música moderna.

c) Sólo la música clásica.

d) Sólo la música moderna.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2009 - Opción B )


M ≡ “Gustar la música moderna”C ≡ “Gustar la música clásica”

P (M) = 0.55 & P (C) = 0.40 & P (C ∩M) = 0.25

a) P (C ∩M) = P (C ∪M) = 1− P (C ∪M) = 0.25 =⇒ P (C ∪M) = 1− 0.25 = 0.75

b)

P (C ∪M) = P (C) + P (M)− P (C ∩M)P (C ∩M) = P (C) + P (M)− P (C ∪M) = 0.40 + 0.55− 0.75 = 0.20

c) P (C ∩M) = P (C)− P (C ∩M) = 0.40− 0.20 = 0.20

d) P (C ∩M) = P (M)− P (C ∩M) = 0.44− 0.20 = 0.35

◦


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Según dice un estudio el 40 % de los hogares europeos tiene contratado el acceso aInternet, el 33 % tiene contratada la televisión por cable, y el 20 % dispone de ambosservicios. Se selecciona al azar un hogar europeo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por cable?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios?

(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2010 - Opción A )


I = “Tener contratado Internet”C = “Tener contratado televisión por cable”

Del enunciado tenemos:

P (I) = 0.4 & P (C) = 0.33 & P (I ∩ C) = 0.2

a) P (C ∩ I) = P (C)− P (C ∩ I) = 0.33− 0.2 = 0.13

b)

P (I ∩ C) = P (I ∪ C) = 1− P (I ∪ C) = 1− [P (I) + P (C)− P (I ∩ C)]= 1− (0.4 + 0.33− 0.2) = 0.47

◦


Sean A y B dos sucesos aleatrorios tales que:

P (A) = 34 & P (B) =12 & P (A ∩B) =

120

Calcúlese:a) P (A ∪B) b) P (A ∩B) c) P (A | B) d) P (B | A)

(Madrid - Matemáticas CCSS - Modelo 2010 - Opción B )

Solución.

a) P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− P (A ∩B) = 1− 120 =1920)

b)

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) = 34 +12 −

1920 =

310

c) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

P (B)− P (A ∩B)P (B) =

1/2− 3/101/2

= 210 · 2 =25



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d) P (B | A) = P (A ∩B)P (A) =

P (A)− P (A ∩B)P (A) =

3/4− 3/103/4

= 920 ·43 =

35

◦


Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:

P (A) = 0.5 & P (B) = 0.4 & P (A ∩B) = 0.1

a) P (A ∪B) b) P (A ∪B) c) P (A | B) d) P (A ∩B)

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio FE 2010 - Opción A )

Solución.

a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0.5 + 0.4− 0.1 = 0.8

b) P (A ∪B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 0.1 = 0.9

c) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

0.10.4 = 0.25

d) P (A ∩B) = P (B)− P (A ∩B) = 0.4− 0.1 = 0.3

◦


En una residencia universitaria viven 183 estudiantes de los cuales 130 utilizan labiblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la lavandeŕıa, mientras quesólo 20 de los que no usan la biblioteca utilizan la lavandeŕıa. Se elige un estudiantede la residencia al azar.

a) ¿Cuál es la probabildad de que utilice la lavandeŕıa?

b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandeŕıa, ¿cuál es la probabilidad de queutilice la biblioteca?

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre FE 2010 - Opción A )


L ≡ “Usar la lavandeŕıa”B ≡ “Usar la biblioteca”

Como nos han dado datos de alumnos (y no probabilidades) haremos una tabla de conti-gencia en donde pondremos los datos (en azul) y completaremos el resto.


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B B Total

L 70 20 90L 60 33 93

Total 130 53 183

a)

P (L) = Nº Alumnos que usan la lavandeŕıaTotal de alumnos =90183 = 0.4918

Pero también podemos ver este apartado como:

P (L) = P (L ∩B) + P (L ∩B) = 70183 +20183 =

90183

e incluso como:

P (L) = P (B) · P (L | B) + P (B) · P (L | B) = ��130

183 ·70��130

+ ��53

183 ·20��53

= 70183 +20183

b) P (B | L) = P (B ∩ L)P (L)

=60/��18393/��183

= 6093 = 0.6452

◦


Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidadde que ambos ocurran simultáneamente es de 1/6 y la probabilidad de que no ocurraninguno de los dos es igual a 7/12. Se sabe además que P (A | B) = 1/2.

a) Calcular la probabilidad de que ocurra A o B.

b) Calcular la probabilidadd de que ocurra A.


Solución.

P (A ∩B) = 16 & P (A ∩B) =712 & P (A | B) =

12

a) P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 712 =⇒ P (A ∪B) = 1−712 =

512

b) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

12 =⇒ P (B) = 2 · P (A ∩B) = 2 ·

16 =

13

◦



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Los datos de la tabla siguiente se han extráıdo de las estad́ısticas oficiales de laprueba de acceso a estudios universitarios (fase general) de la convocatoria del curso2009/10 del Distrito único de Madrid:

Chico ChicaApto 12109 9863

No apto 1717 1223

Se elige un alumno al azar de entre los que se presentaron a dicha prueba.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno elegido sea chica o haya resultadoapto?

b) Si el alumno elegido es chico, ¿Cuál es la probabilidad de que haya resultado noapto?

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2011 - Opción B - Reserva)


| ≡ “El alumno elegido es chico”~ ≡ “La alumna elegida es chica”A ≡ El alumno es apto

Como nos han dado datos relativos al número de alumnos (y no probabilidades) haremosuna tabla de contigencia en donde pondremos los datos (en azul) y completaremos elresto.

| ~ Total

Apto 12109 9863 21972No apto 1717 1223 2940

Total 13826 11086 24912

a) P (~ ∪ A) = P (~) + P (A) + P (~ ∩ A) = 1108624912 +2197224912 −

986324912 = 0.9311

b) P (A | |) = A ∩ |P (A)

=1717/2491213826/24912

= 0.124

◦


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Se consideran los sucesos incompatibles A y B de un experimento aleatorio talesque P (A) = 0.4, P (B) = 0.3. Calcúlese:

a) P (A ∩B)

b) P (B ∩ A)

Nota: S denota al suceso complementario del suceso S.


Solución.Vamos a reunir los datos que nos dan en el enunciado:

P (A) = 0.4 & P (B) = 0.3 & A y B incompatibles⇒ P (A ∩B) = 0

a) P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))= 1− (0.4 + 0.3− 0) = 0.3

b) P (B ∩ A) = P (B)− P (A ∩B) = 0.3− 0 = 0.3

◦


Las probabilidades de que cinco jugadores de baloncesto encesten un lanzamientode tiro libre son, respectivamente, de 0.8; 0.9; 0.7; 0.9; 0.93. Si cada jugador lanza untiro libre siguiendo el orden anterior y considerando los resultados de los lanzamientoscomo sucesos independientes, calcúlese la probabilidad de que:

a) Todos los jugadores encesten su tiro libre.

b) Al menos uno de los tres primeros jugadores enceste.


Solución.Sean los sucesos: Ei ≡ ”El jugador i encesta”

a) La probabilidad de que todos los jugadores encesten, teniendo en cuenta que sonsucesos independientes será:

P (E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ E5) = P (E1) ·P (E2) · . . . ·P (E5) = 0.8 ·0.9 ·0.7 ·0.9 ·0.93 = 0.4218

b) P (”Alguno enceste”) = 1− P (”Ninguno enceste”) = 1− P(E1 ∩ E2 ∩ E3

)= 1− (0.2 · 0.1 · 0.3) = 0.994

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El 30 % de los individuos de una determinada población son jóvenes. Si una personaes joven, la probabilidad de que lea prensa al menos una vez por semana es 0.20. Si unapersona lee prensa al menos una vez por semana, la probabilidad de que no sea jovenes 0.9. Se escoge una persona al azar. Calcúlese la probabilidad de que esa persona:

a) No lea prensa al menos una vez por semana.

b) No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción B )

Solución.

Sean los sucesos:J ≡ Ser jovenS ≡ Leer prensa al menos una vez a la semanaP (J) = 0.3 & P (S | J) = 0.2 & P (J | S) = 0.9

a) Hallar P (S)

P (S | J) = 0.2 =⇒ P (S ∩ J)P (J) =

P (S ∩ J)0.3 = 0.2 =⇒ P (S ∩ J) = 0.06

P (J | S) = 0.9 =⇒ P (J ∩ S)P (S) =

P (S)− P (S ∩ J)P (S) =

P (S)− 0.06P (S) = 0.9

=⇒ 0.1P (S) = 0.06 =⇒ P (S) = 0.6 =⇒ P (S) = 0.4

b) P (S ∪ J) = P (S ∩ J) = 1− P (S ∩ J) = 1− 0.06 = 0.94

◦


Una máquina tiene dos chips de control A y B. Se sabe que al encender la máquinala probabilidad de que falle el chip A es de 0.2, la probabilidad de que falle el B esde 0.3 y la probabilidad de que fallen los dos es de 0.015. Calcúlese la probabilidad deque al encender la máquina:

a) Haya fallado el chip A si se sabe que ha fallado el B.

b) No falle ninguno de los dos chips.

Nota: S denota el suceso complementario del suceso S.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción B - Coincidentes)

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2017 - Opción B - Coincidentes)

Solución.

Sean los sucesos:A ≡ Falla el chip AB ≡ Falla el chip BP (A) = 0.2 & P (B) = 0.3 & P (A ∩B) = 0.015


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a) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

0.0150.3 = 0.05

b) P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− [P (A) + P (B)− P (A ∩B)]= 1− (0.2 + 0.3− 0.015) = 0.515

◦


La probabilidad de que cierto ŕıo esté contaminado por nitratos es 0.6, por sulfatoses 0.4, y por ambos es 0.2. Calcúlese la probabilidad de que dicho ŕıo:

a) No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos.

b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.

Solución.

Sean los sucesos:N ≡ El ŕıo está contaminado por nitratosS ≡ El ŕıo está contaminado por sulfatosP (N) = 0.6 & P (S) = 0.4 & P (N ∩ S) = 0.2

a) P (N | S) = P (N ∩ S)P (S) =

P (S)− P (N ∩ S)P (S) =

0.4− 0.20.4 = 0.5

b) P (N ∩ S) = P (N ∪ S) = 1− P (N ∪ S) = 1− [P (N) + P (S)− P (N ∩ S)]= 1− (0.6 + 0.4− 0.2) = 0.2

◦


Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0.5, P (A | B) = 0.375 y P (B∩A) = 0.3.Calcúlese la probabilidad de que:

a) Ocurra B.

b) Ocurra B pero no A.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2017 - Opción B - Coincidentes)

a) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

0.3P (B) = 0.375 =⇒ P (B) =

0.30.375 = 0.8

b) P (B ∩ A) = P (B)− P (A ∩B) = 0.8− 0.3 = 0.5

Solución.

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Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P (A) = 0.4 P (B) = 0.5 P (A | B) = 0.7

. Calcúlese:

a) P (A ∪B).

b) P (A | B).



Solución.

a) Hallar P (A ∪B)

P (A | B) = P (A ∩B)P (B) = 0.7 =⇒ P (A ∩B) = 0.7 · P (B) = 0.7 · 0.5 = 0.35

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)) = 0.4 + 0.5− 0.35 = 0.55

b) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

P (B)− P (A ∩B)P (B) =

0.5− 0.350.5 = 0.3

◦


Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

P (A) = 0.3 P (B) = 0.8 P (A ∪B) = 0.9

. Calcúlese:

a) P (A | B).

b) P (A | B).



Solución.

a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)=⇒ P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) = 0.3 + 0.8− 0.9 = 0.2

P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

P (B)− P (A ∩B)P (B) =

0.8− 0.20.8 = 0.75

b) P (A | B) = P (A ∩B)P (B)

= P (A)− P (A ∩B)1− P (B) =0.3− 0.21− 0.8 = 0.5

◦


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En una agencia de viajes se ha observado que el 75 % de los clientes acude buscandoun billete de transporte, el 80 % buscando una reserva de hotel. Se ha observado ademásque el 65 % busca las dos cosas. Elegido un cliente de dicha agencia al azar, calcúlesela probabilidad de que:

a) Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.

b) Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de trans-porte.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2018 - Opción A )

Solución.

Sean los sucesos:T ≡ El cliente busca billete de transporteH ≡ El cliente busca un hotelP (T ) = 0.75 & P (H) = 0.8 & P (T ∩H) = 0.65

a) P (T ∪H) = P (T ) + P (H)− P (T ∩H) = 0.75 + 0.8− 0.65 = 0.9

b) P (T | H) = P (T ∩H)P (H) =

0.650.8 = 0.8125

◦


Se toma un coche al azar de la Comunidad de Madrid. Se sabe que la probabilidadde que tenga motor diésel es 0.4. La probabilidad de que tenga mas de 8 años es 0.5.Finalmente se sabe que la probabilidad de que tenga más de ocho años o motor diéseles 0.55. Calcúlese la probabilidad de que:

a) Tenga motor diésel sabiendo que tiene más de ocho años.

b) No tenga motor diésel ni tenga más de ocho años.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2018 - Opción A - Coincidentes)


D ≡ ”El coche tiene motor diésel”O ≡ ”El coche tiene más de ocho años”

Del enunciado sabemos las siguientes probabilidades:

P (D) = 0.4 & P (O) = 0.5 & P (D ∪O) = 0.55

a) P (D | O) = P (D ∩O)P (O) =

P (D) + P (O)− P (D ∪O)P (O) =

0.4 + 0.5− 0.550.5 = 0.70



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b) P (D ∩O) = P(D ∪O

)= 1− P (D ∪O) = 1− 0.55 = 0.45

◦


Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P (A) = 0.4,P (B) = 0.6 y P (A ∪B) = 0.8, Calcúlese:

a) P (A ∩B)

b) P(A ∪B | A

)Nota: S denota el suceso complementario del suceso S.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2018 - Opción B )

Solución.

a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)=⇒ P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) = 0.4 + 0.6− 0.8 = 0.2

b) P(A ∪B | A

)=

P(A ∪B ∩ A

)P (A) =

00.4 = 0

◦


Se escoge al azar un cliente de un determinado hotel de la costa española. Sesabe que la probabilidad de que sea español es 0.2. La probabilidad de que, siendoextranjero, sea hombre es 0.45. Finalmente la probabilidad de que sea una mujerespañola es 0.1. calcúlese la probabilidad de que:

a) Conocido que es español, sea un hombre.

b) Sea una mujer.



H ≡ ”El cliente es hombre”M ≡ ”El cliente es mujer”

E ≡ ”El cliente es español”

En el enunciado nos dicen que:

P (E) = 0.2 & P (H | E) = 0.45 & P (M ∩ E) = 0.1


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a) Hallar P (H | E)

P (E) = P (M ∩ E) + P (H ∩ E) =⇒ 0.2 = 0.1 + P (H ∩ E) =⇒ P (H ∩ E) = 0.1

P (H | E) = P (H ∩ E)P (E) =

0.10.2 =⇒ P (H | E) = 0.5

También lo podŕıamos haber planteado de esta manera:

P (M | E) = P (M ∩ E)P (E) =

0.10.2 = 0.5 =⇒ P (H | E) = 1− 0.5 = 0.5

b) Hallar P (M)

P (H | E) = P (M ∩ E)P (E)

= P (M)− P (M ∩ E)1− P (E) =⇒ 0.45 =P (M)− 0.1

1− 0.2

=⇒ P (H | E) = 0.46 =⇒ P (M) = 0.54

Pero este apartado es, sin duda más fácil hacerlo dibujando el esquema:

E

E

H

M

H

M

0.2

0.8

0.5

0.5

0.45

0.55

P (M) = P (E ∩M) + P (E ∩M)= P (E) · P (M | E) + P (E) · P (M | E)= 0.2 · 0.5 + 0.8 · 0.55= 0.54

◦


Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que

P (A) = 0.6, P (B) = 0.8 y P (A ∩B) = 0.1

a) Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso A si no ha ocurrido el suceso B ydetermı́nese si los sucesos A y B son independientes. B denota el complementariodel suceso B.

b) Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos, A o B.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2019 - Opción A )

Solución.

a) P (A | B) = P (A ∩B)P (B)

= P (A ∩B)1− P (B) =0.1

1− 0.8 = 0.5

P (A) · P (B) = 0.6 · (1− 0.8) = 0.12Como P (A ∩B) 6= P (A) · P (B) =⇒ los sucesos A y B no son independientes



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b) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)P (A∩B) = P (A)−P (A∩B) =⇒ P (A∩B) = P (A)−P (A∩B) = 0.6−0.1 = 0.5P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0.6 + 0.8− 0.5 = 0.9

◦


Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio tales que:

P (A | B) = 14 & P (B | A) =16 & P (A) =

23

Calcúlese:

a) P(B ∪ A

).

b) P(A ∩B

)Nota: S denota el suceso complementario del suceso S.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Junio 2019 - Opción B - Coincidentes)

Solución.

a) Antes de empezar vamos a ver qué podemos obtener de las probabilidades condicio-nadas que nos dan

P (B | A) = P (A ∩B)P (A) =

P (A ∩B)2/3

= 16 =⇒ P (A ∩B) =19

P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

1/9

P (B) =14 =⇒ P (B) =

49

Pasamos ahora a hallar lo que nos piden:

P(B ∪ A

)= P

(B ∩ A

)= 1− P (A ∩B) = 1− 19 =

89

b) P(A ∩B

)= P (B)− P (A ∩B) = 49 −

19 =

13

◦


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Los escolares de un cierto colegio de Madrid fueron encuestados acerca de su ali-mentación y de su ejercicio f́ısico. Una proporción de 2/5 haćıan ejercicio regularmentey 2/3 siempre desayunaban. Además, entre los que siempre desayunan, una proporciónde 9/25 haćıan ejercicio regularmente. Se elige al azar un escolar de ese colegio.

a) ¿Es independiente que siempre desayune y que haga ejercicio regularmente?

b) Calcúlese la probabilidad de que no siempre desayune y no haga ejercicio regu-larmente.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2019 - Opción A )


E ≡ El alumno hace ejercicio regularmenteD ≡ El alumno desayuna diariamente

En el enunciado nos dicen que.

P (E) = 25 & P (D) =23 & P (E | D) =

925

a) Dos sucesos E y D son independientes si P (E ∩D) = P (E) · P (D).

P (E | D) = P (E ∩D)P (D) =

925 =⇒ P (E ∩D) =

925 ·

23 =

625

P (E) · P (D) = 25 ·23 =

415 6=

625 =⇒ los sucesos D y E no son independientes

b)

P (E ∩D) = P (E ∪D) = 1− P (E ∪D) = 1− [P (E) + P (D)− P (E ∩D)]

= 1−(2

5 +23 −

625

)= 1− 6275 =

1375

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Sean A y B dos sucesos con:

P (A) = 0.3 & P (B | A) = 0.4 & P (B | A) = 0.6

. Calcúlese:

a) P (A | B)

b) P (A | B)

Nota: S denota al suceso complementario de suceso S


Solución.

a) P (B | A) = P (B ∩ A)P (A) =⇒ P (B ∩ A) = P (A) · P (B | A) = 0.3 · 0.4 = 0.12

P (B | A) = P (B ∩ A)P (A)

= P (B)− P (A ∩B)1− P (A) =P (B)− 0.12

1− 0.3 = 0.6 =⇒

P (B) = 0.6 · 0.7 + 0.12 = 0.54

P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

P (B ∩ A)P (B) =

0.120.54 = 0.222

b)

P (A | B) = P (A ∩B)P (B)

= P (A ∪B)1− P (B) =1− P (A ∪B)

1− P (B)

= 1− [P (A) + P (B)− P (A ∩B)]1− P (B) =1− (0.3 + 0.54− 0.12)

1− 0.54 = 0.609

◦


Se lanza un dado para decidir el número de veces que se lanza una moneda.

a) Obtenga la probabilidad de no observar ninguna cruz.

b) Dado que no se observó ninguna cruz, ¿cuál es la probabilidad de haber lanzadola moneda 2 veces?


Solución.

a) El número de cruces obtenidas al lanzar una moneda al aire n veces es una variablebinomial X : B(n, 1/2), pues la probabilidad de obtener una cruz es p = 1/2, y portanto q = 1− p = 1/2.La probabilidad de sacar r cruces en los n lanzamientos será:

P (X = r) =(

n

r

)· pr · qn−r =

(n

r

)·(1

2

)r·(1

2

)n−r=(

n

r

)·(1

2

)r+n−r=(

n

r

)·(1

2

)n


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Y, más en concreto, la probabilidad de obtener cero cruces en n lanzamientos seráP (X = 0) =

(n0

)·(

12

)n=(

12

)n.

Llamamos ahora Di ≡ ”Sacar i en el lanzamiento del dado”, con una probabilidadP (Di) = 16 .De esta forma la probabilidad de lanzar el dado y obtener cero cruces será:

P (X = 0) = P (D1 ∩X = 0) + P (D2 ∩X = 0) + · · ·+ P (D6 ∩X = 0)= P (D1) · P (X = 0 | D1) + · · ·+ P (D6) · P (X = 0 | D6)

= 16 ·(1

2

)1+ 16 ·

(12

)2+ · · ·+ 16 ·

(12

)6

= 16 ·[

12 +

(12

)2+ · · ·+

(12

)6]= 16 · S6 =

Prog. geométrica

a1 = 1/2 & r = 1/2Sn =

anr − a1r − 1

= 16 ·

(12

)6· 12 −

12

12 − 1

= 16 ·[1−

(12

)6]= 0.164

b) P (X = 0 | D2) =P (X = 0 ∩D2)

P (D2)= P (D2) · P (X = 0 | D2)

P (D2)=

16 ·(

12

)20.164 = 0.2541

◦


Un estudio sobre la obsolescencia programada en una marca de electrodomésticosreveló que la Probabilidad de que un microondas se estropee durante el periodo degarant́ıa es 0.02. Esta probabilidad se eleva a 0.05 para hornos eléctricos y se sabe queestos sucesos son independientes. Cuando el microondas se ha estropeado en el periodode garant́ıa, la marca ampĺıa ésta por dos años más. El 40 % de los clientes con garant́ıaampliada no conserva la factura de compra durante los dos años de ampliación.

a) Un cliente compra un horno y un microondas de esta marca. Obtenga la proba-bilidad de que se estropee al menos uno de ellos durante el periodo de garant́ıa.

b) Un cliente ha comprado un microondas. Calcule la probabilidad de que se leestropee durante el periodo de garant́ıa y conserve la factura durante los dosaños de ampliación.


Solución.Sean los sucesos independientes

M ≡ ”El microondas se estropea durante el periodo de garant́ıa”H ≡ ”El horno eléctrico se estropea durante el periodo de garant́ıa”G ≡ ”El cliente conserva la factura de compra”

Del enunciado tenemos:

P (M) = 0.02 & P (H) = 0.05 &Independientes︷︸︸︷P (M ∩H) = P (M) ·P (H) & P (G |M) = 0.4



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a) P (M ∪H) = P (M) + P (H)− P (M ∩H) = 0.02 + 0.05− 0.02 · 0.05 = 0.069

b) P (M ∩G) = P (M) · P (G |M) = P (M) ·[1− P (G |M)

]= 0.02 · (1− 0.4) = 0.012

◦


En un kiosco de prensa del aeropuerto de Madrid el 40 % de las ventas son pe-riódicos y el resto revistas. Un 90 % de las publicaciones están en castellano. Ademásse sabe que un 8 % del total de las publicaciones son revistas en otro idioma. Calculela probabilidad de que una publicación elegida al azar:

a) Sea un periódico, dado que está publicado en otro idioma distinto del castellano.

b) Sea un periódico o esté publicado en otro idioma distinto del castellano.

(Madrid - Matemáticas CCSS - Julio 2020 - Opción B - Coincidentes)


P ≡ ”La venta es un periódico” R ≡ ”La venta es una revista”C ≡ ”La edición es en castellano” O ≡ ”La edición es en otro idioma”

Escribimos los datos en una tabla de contingencia supuesto un total de 100 publicaciones.

P R Total

C 38 52 90O 2 8 10

Total 40 60 100

a) P (P | O) = 210 = 0.2

b) P (P ∪O) = P (P ) + P (O)− P (P ∩O) = 40100 +10100 −

2100 = 0.48

◦


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Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio tales que: P (A | B) = 14 , P (B) =16

y P (A) = 23 . Calcule:

a) P (A ∪B).

b) P(A ∩B

)∪ (B ∩ A).


(Madrid - Matemáticas CCSS - Septiembre 2020 - Opción A )

Solución.Del enunciado tenemos:

P (A | B) = 14 & P (A) =23 & P (B) =

16

a) P (A | B) = P (A ∩B)P (B) =

14

=⇒ P (A ∩B) = 14 ·16 =

124

P (A ∪B) = 1− P (A ∩B)= 1−

[P (B)− P (A ∩B)

]= 1−

(16 −

124

)= 1− 18 =

78

A B

b) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

= 23 +16 −

124 =

1924

P(A ∩B

)∪ (B ∩ A) = P (A ∪B)− P (A ∩B)

= 1924 −124 =

34

A B

◦


Sean C y D dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P (C) = 0.4, P (D) =0.6 y P (C ∪D) = 0.8 Calcule:

a) P (C | D).

b) P(C ∩D | C

).


Solución.Del enunciado tenemos:

P (C) = 0.4 & P (D) = 0.6 & P (C ∪D) = 0.8



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a) P (C ∪D) = P (C) + P (D)− P (C ∩D)=⇒ P (C ∩D) = P (C) + P (D)− P (C ∪D) = 0.4 + 0.6− 0.8 = 0.2

P (C | D) = P (C ∩D)P (D) =

0.20.6 = 0.33

b) P(C ∩D | C

)=

P(C ∩D ∩ C

)P (C) =

P((

C ∪D)∩ C

)P (C) =

P(��

��:∅C ∩ C ∪D ∩ C)

P (C)

=P(D ∩ C

)P (C) =

P (C)− P (C ∩D)P (C) =

0.4− 0.20.4 = 0.5

◦


Iñigo Zunzunegui Monterrubio 1 de 37 [email protected]

SUC-1 En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad

0,4, de molinos eólicos con probabilidad 0,26 y de ambos tipos de instalaciones

con probabilidad 0,12. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la

energía sea suministrada al edificio:

a) Por alguna de las dos instalaciones.

b) Solamente por una de las dos.

(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG – Opción A)

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

S: “la energía suministrada proviene de placas solares”

E: “la energía suministrada proviene de molinos eólicos”

Sabemos que:

( ) ( ) ( )0.4 0.26 0.12p S p E p S E= = =

a) Probabilidad de que la energía se suministrada por alguna de las dos instalaciones.

( ) ( ) ( ) ( ) 0.4 0.26 0 5.12 0 4.54 %p S p S p E EE p S= + − = + − = =

b) Probabilidad de que la energía se suministrada solamente por una de las dos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20.26 0.4 2 0.12 0.42 42%

p p E p S E p S p S E p E p SS E p ES E S= − + − = + − =

= + −

=

+

=

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SUC-2 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la

probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente es de 1

6 y la

probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es igual a 7

12. Se sabe

además que ( )1

2p A B =

a) Calcular la probabilidad de que ocurra A o B.

b) Calcular la probabilidad de que ocurra A.

(PAU Madrid CCSS Modelo 2011 – Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( )1 7 1

6 12 2p A B p A B p A B = = =

( )

( ) ( ) ( ) ( )7 7 7

1 112 12 12

5

12p A B A B p A

p A

pB

B

A B

= = → − = → = − =

a)

( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 12 2

2 6 3

5

12

5 5 1 1 3

12 12 3 2

1

6 1 4

p A Bp A B p B p A B

p B

p A B p A p B p A B

p B p A B

p A

p A

= = → = = =

= + − = →

→ = − + = − + = =

b)

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SUC-3 Sean A y B dos /sucesos de un experimento aleatorio tales que ( ) 0.2p A =

y ( ) 0.4p B =

a) Si A y B son mutuamente excluyentes, determínese ( )p A B . ¿Son además A y B independientes? Razónese.

b) Si A y B son independientes, calcúlese ( )p A B . ¿Son A y B mutuamente excluyentes? Razónese

c) Si ( ) 0p A B = , calcúlese ( )p A B . ¿Son A y B mutuamente excluyentes?¿Son A y B independientes? Razónese.

d) Si A B , calcúlese ( )p A B ¿Son A y B independientes? Razónese. (PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción B)

Solución:

a) Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden verificarse al mismo tiempo,

esto es, si ( ) 0p A B = . En este caso por tanto ( ) ( ) ( )p A B p A p B = +

Dos sucesos son independientes si el resultado del segundo no depende del resultado del

primero. Esto se expresa diciendo que ( ) ( )p A B p A= . Definimos la probabilidad condicionada como:

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

p A Bp A B p A p A B p A p B

p B

= = → =

Pero en nuestro ejercicio ( ) 0 0.2 0.4p A B = , luego no son independientes.

( ) 0.08 A y B no son mutua0.2 0.4 0 mente excluyentesp A B = = →b)

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

0

Si fuesen independient

0 A

es

y B son mutuamente excluyentes

A y B no son indepen , pero 0. diente2 0 s

p A Bp A B

p B

p

p A B

A B p A p A

=

= = → →

= = →

c)

( ) ( )Si 0.2 0.2 0.4 A y B no son independientesA B p A B p A → = = →d)

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SUC-4 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:

( ) 0.5p A = ; ( ) 0.4p B = ; ( ) 0.1p A B =

a) ( )p A B b) ( )p A B c) ( )p A B d) ( )p A B (PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.4 0.1 0.8p A p B p A Bp A B = + − = + − =a)

( ) ( ) ( )1 1 0.1 0.9p A B p A Bp A B = = − = − =b)

( )( )

( )

0.1

0.0

4.25

p A B

p Bp A B

= = =c)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.4 0.1 0.3

Visto de otra manera:

0.4 0 0.. 31

p B p A B

p B p A B p A B p B p A

p A B

p BA B

= − = − =

= + → = − −

= =

d)

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SUC-5 Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con independencia. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes:

a) Obtener al menos un seis en el total de los seis lanzamientos.

b) Obtener un seis en el primer y último lanzamientos y en los restantes

lanzamientos un número distinto de seis.

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción B)

Solución:

( ) ( )66

5,6

6

6.6

5 51 "No obtener ningún 6" 1 1 1

6"Obt

6

1 0.3

ener al menos un 6"

66.535 0.6 5 %6

VRp

VRp

= − = − = − = − =

= − = =

a)

( )4

6

1 5 5 5 5 1 50.0134

6 6 6 6 6 66 6 1.3

64%p xxxx = = = =b)

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




SUC-6 Se consideran los sucesos A, B y C de un experimento aleatorio, tales que:

( ) ( )p A C p B C ; ( ) ( )p A C p B C Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta.

a) ( ) ( )p A p B b) ( ) ( )p A p B

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p A p A C p C p A C p C

p A C p B C p A p B C p C p B C p C

p A C p B C

= +

+ →

( ) ( )p A p B

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



SUC-7 En una residencia universitaria viven 183 estudiantes de los cuales 130 utilizan la biblioteca. De estos últimos, 70 estudiantes hacen uso de la

lavandería, mientras que sólo 20 de los que no usan la biblioteca utilizan

la lavandería. Se elige un estudiante de la residencia al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice la lavandería?

b) Si el estudiante elegido no utiliza la lavandería, ¿cuál es la probabilidad de

que utilice la biblioteca?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción A)

Solución:

Sean los sucesos:

L: “Usar la lavandería”

B: “Usar la biblioteca”

Como nos dan datos de alumnos (y no probabilidades) haremos una tabla de

contingencias en donde pondremos los datos y completaremos el resto:

Biblioteca ( )B No Biblioteca ( )B Total

Lavandería ( )L 70 20 90

No Lavandería ( )L 60 33 93

Total 130 53 183

a) ( )nº alumnos que usan la lavandería 90

0.4918 49.18%nº total de alumnos 183

p L = = = =

b) ( )( )( )

600.6452 64.52%

93

p B Lp B L

p L

= = = =

http

s://a

pren

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om




SUC-8 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatoria, tales que ( ) 0.6p A = .

Calcúlese ( )p A B en cada uno de los siguientes casos: a) A y B son mutuamente excluyentes. b) A B

c) B A y ( ) 0.3p B = d) ( ) 0.1p A B = (PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción B)

Solución:

a) Si A y B son mutuamente excluyentes B A=

( ) ( ) ( ) 0.6 60%p A B p A A p A→ = = = =

b) Si A B A B → =

( ) 0p A B =

c) Si B A A B A B → = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.6 0.3 0 303 %.

p A p A B p A p Bp A B = − = −

= − = =

=

d) Si ( ) 0.1p A B =

( ) ( ) ( ) 0.6 0.1 0.5 50%p A B p A p A B = − = − = =

A B

B

A B B

B

A B

B

A B A

B

http

s://a

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om



SUC-9 Según cierto estudio el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a Internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 20%

dispone de ambos servicios. Se selecciona al azar un hogar europeo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por

cable?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos

servicios?

(PAU Madrid CCSS Modelo 2010 Opción A – Junio 2007 Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( )0.4 0.33 0.2p I p C p I C= = =

( ) ( ) ( ) 00.33 2 .130.p C p I Cp C I = − = − =a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1

1 0.4 0.33 0 47.2 0.

p I C p I C p I p C p Ip I C C = = − = − + − =

= − + − =

b)

http

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SUC-10 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:

( )3

4p A = ; ( )

1

2p B = ; ( )

1

20p A B =

Calcúlese:

a) ( )p A B b) ( )p A B c) ( )p A B d) ( )p B A . (PAU Madrid CCSS Modelo 2010 Opción B – Septiembre 2007 Opción B)

Solución:

( ) ( ) ( )191

1 120 0

12

p A B p Bp B AA = − = − = − =a)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 19 15 10 19 6

4 2 20 2 2 00

3

10

p A B p A p B p A B p A p B p A

p A B

p A B B = + − → = + − =

+ −

= + = =

− =

b)

( )( )( )

( ) ( )

( )

1 32 42 10 2

1 10

2

10

2

5

p A B p B p A B

p Bp B

p BA

− − = = = = = =c)

( )( )( )

( ) ( )

( )

3 39 3

5

44 103 20 3

4

p A B p A p A B

p A pp A

AB

− − = = = = =d)

http

s://a

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deco

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SUC-11 Se consideran tres sucesos A, B, C de un experimento aleatorio tales que:

( )1

2p A = ( )

1

3p B = ( )

1

4p C = ( )

2

3p A B C =

( ) 0p A B C = ( ) ( )1

2p A B p C A= =

a) Calcúlese ( )p C B .

b) Calcúlese ( )p A B C . La notación A representa al suceso complementario de A.

(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción A)

Solución:

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

1 2 3 6

1 1 12

2 2 4

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20

3 2 3 4 6 40

2 3 4 6 4 3

p A Bp A B p A C

p A B p C Ap B p A

p A C

p A B C p A p B p C p A B p B C p A C p A B C

p C B

p Bp B C C

= =

• = = = =

= =

• = + + − − − + →

→ = + + − − − + →

= + + − − − =

a)

( ) ( ) ( ) 0 11 1p A Bp A B p A BC C C= = − = − =b)

http

s://a

pren

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SUC-12 La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la

Comunidad de Madrid le guste la música moderna es igual a 0.55 : la

probabilidad de que le guste la música clásica es igual a 0.40 y la

probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual a 0.25 . Se elige al azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste:

a) Al menos uno de los dos tipos de música.

b) La música clásica y también la música moderna...

c) Sólo la música clásica.

d) Sólo la música moderna.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 Opción B)

Solución:


M: “Gustar la música moderna”

C: “Gustar la música clásica”

( ) 0.55p M = ( ) 0.40p C = ( ) 0.25p C M =

( ) ( ) ( )1 1 1 0. 02 755 .p C M pp M CC M= − = − = − =a)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0.40 0.55 0.75 0.20

p C M p C p M p C M

p C pM Cp MC M p

= + − →

= + − = + − =

b)

( ) ( ) ( ) 0.40 0.20 0.20p C M p C p C M = − = − =c)

( ) ( ) ( ) 0.55 0.20 0.35p M C p M p C M = − = − =d)

http

s://a

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SUC-13 En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si

obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara

y un número mayor o igual que cinco en el dado.

a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane.

b) Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera

dos caras al lanzar las monedas?

(PAU Madrid CCSS Junio 2008 Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2" 5" " 5"

1 1 3 1 1 2 1 1 2 3 2 2 7

2 2 6 2 2 6 2 20.29

6 24 24 24 242

p C C Pap Ganar r p C X p X C= + + =

= + + = + + = =

a)

( )( )

( )

( )

( )1 2 1 2

1 2

1 1 3 332 2 6 24

7 70.

7

24 2

428

4

p C C Ganar p C C Par

p Ganar p Ganarp C C Ganar

= = = = = =a)

http

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SUC-14 Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

( )1

4p A = ( )

3

1=Bp ( )

2

1= BAp

a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese

b) Calcúlese ( )p A B (PAU Madrid CCSS Junio 2008 Opción B)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

4 3 2 12

Para que dos sucesos sean independientes debe cumpli

S

rse que:

1 1 1

4

ucesos

independient3 2 e1 s

p A B p A p B p A B p A p B p A B

p A B p A

p

p A p B

A

B p A

B = + − → = + − =

= + − =

= → = → =

→

a)

( )( )( )

( )( )

( )

( )

1 111 2 2

1 21

30.75

14

3 3

p A Bp A B p A B

p Bp B p Bp A B

− − = = = = =

= =

−−

b)

http

s://a

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om



SUC-15 Se consideran dos actividades de ocio: A: “ver televisión” y B: “visitar centros comerciales”. En una ciudad la probabilidad de que un

adulto practique A es igual a 0.46; la probabilidad de que practique B es

igual a 0.33 y la probabilidad de que practique A y B es igual a 0.15

a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad

de que no practique ninguna de las dos actividades anteriores?

b) Se elige al azar un individuo de entre los que practican alguna de las

dos actividades. ¿Cuál es la probabilidad de que practique las dos

actividades?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 Opción A)

Solución:

( ) ( ) ( )0.46 0.33 0.15p A p B p A B= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1

1 0.46 0.33 0.15 1 0 0 36. .64

p A B p A B p A p Bp A B p A B = = − = − + − =

= − + − = − =

a)

( )( ) ( ) 0.15

0.0.2

63

44

A B A B A B

A B Ap A B A

BB

= = = =

b)

http

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SUC-16 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:

( )3

4p A = ( )

1

2p B = ( )

1

20p A B =

Calcular: ( )p A B ( )p A B ( )p A B ( )p B A (PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción B)

Solución:

( ) ( ) ( )191

1 120 0

12

p A B p Bp B AA = − = − = − =a)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 1 19 15 10 19 6

4 2 20 2 2 00

3

10

p A B p A p B p A B p A p B p A

p A B

p A B B = + − → = + − =

+ −

= + = =

− =

b)

( )( )( )

( ) ( )

( )

1 32 42 10 2

1 10

2

10

2

5

p A B p B p A B

p Bp B

p BA

− − = = = = = =c)

( )( )( )

( ) ( )

( )

3 39 3

5

44 103 20 3

4

p A B p A p A B

p A pp A

AB

− − = = = = =d) h

ttps

://a

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SUC-17 Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide:

a) Describir el espacio muestral de este experimento. b) Determinar la probabilidad del suceso: Obtener una cara en la moneda y un

número paren el dado.

(PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción B)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 , ,2 , ,3 , ,4 , ,5 , ,6 , ,1 , ,2 , ,3 , ,4 , ,5 , ,6E C C C C C C X X X X X X=a)

( ) ( ) ( )

Sucesosindependientes

1

2

1

4

1

2p Cp C Parr pPa ====== = = b)

http

s://a

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SUC-18 Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extraen dos bolas al azar sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del

mismo color?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción B)

Solución:

Sean los sucesos:

B: “extraer bola blanca”

N: “extraer bola negra”

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 1

10 9 5 4

15 14 15 14

110

11

2 210 1

p B B N N p B B p N N

p B p B B p N p N N

Dos bolas delp

mismo color= = + =

+ = + =

=

=

http

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SUC-19 Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera

consecutiva) cuatro huevos.

a) Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado.

b) Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro exactamente un huevo

roto.


Solución:

Sean los sucesos:

R: “el huevo extraído está roto”

R : “el huevo extraído está en buen estado”

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 310

p R p R R p R R R p R Rp R R RR R R = =

=

a)

9

12

8

11 10

7

9

140.4242 42.42%

33= = =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2 104 4

12

p R R R R

Exactamentep

huep R R R R p R R R R

p R R R R p R

v

R R

t

R

o ro o + + +

+

=

= =

b)

9

11

10

8

9

44 0.4848

348.48%

3

=

= = =

http

s://a

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SUC-20 En un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente tres dados equilibrados de seis caras, se pide calcular la probabilidad de

cada uno de los siguientes sucesos: “Obtener tres unos”, “Obtener al menos

un dos” “Obtener tres números distintos” y “Obtener una suma de 4”.


Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

Sucesosindependient

1 2 3 1 2

s

3

e

11 1 1 1 1 1

1 1 1=======

6 6 6 216p p pp = =

( ) ( ) ( ) ( )


1 2 1 2 33

1

1 2 2 2 =======1 2 2 2

5 5 5 1251 1

6 6 6 21

91

6

2 2

216

Al menos Ningúnp p

up p

np p

= − =

− − =

= − =

− =

int 1 1 2

5

9

6 5 4

6 6 6

a a a

Cualquier cara Cualquier caraTres números Cualquierp p p p

dist os cara menos la menos la y la

= =

= =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 2 1

2 1 2 1 14

1

7

3 1 1 2

1 1 13

26 6 6

Obtenerp

sumap

ep p

dp + + = =

=

=

=

http

s://a

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SUC-21 Sean A y B dos sucesos tales que

( ) ( ) ( )1 2 3

, ,2 5 4

p A p B p A B= = = . Calcular:

a) ( )p B A

b) ( )p A B (PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción B)

Solución:

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 3 11 1

4 4 4

1 1

2

4

1 2

p A B

p A

p A B p A B p A B p A B

p B A

p B A

=

= = − = → = − =

= =

a)

( )( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) 35

1 3 1

7 205 42 3 5

15

7

12

p B p B

p A B p B p A B

p B pA

Bp B

= − =− −

= = =========== = =

−

b)

http

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SUC-22 Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forma independiente. La

probabilidad de que se active le primer indicador es 0’95 y de que se active el

segundo es 0’90.

a) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active solo uno de los

dos indicadores.

b) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de

los dos indicadores.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción A)

Solución:

Sean los sucesos:

A: “se activa el indicador nº 1” ( ) 0.95p A→ =

A: “se activa el indicador nº 2” ( ) 0.90p B→ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sucesos independientes

0.

14%95 0.10 0.05 0.90 0.14

Se activa solop

unp A B p A B p A p B p A p B

indicador= + ========= + =

= +

=

=

( ) ( ) ( )

( )


99.5

1 1 1

1 0.05 0.10 0. 5 %99

No se activap A B p A p B

ningún indica

Se activa al menosp

un indicador dor

= − = − ====== − =

= − = =

http

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SUC-23 El 45% del censo de cierta ciudad vota al candidato A, el 35% al candidato B y el resto se abstiene. Se elige al azar tres personas del censo.

Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Las tres personas votan al candidato A

b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B

c) Al menos una de las tres personas se abstiene.


Solución:

Sean los sucesos:

A: “Votar al candidato A” V: “Votar”

B: “Votar al candidato B” N: “Abstenerse”

Los tres sucesos son incompatibles entres sí. El voto de una persona es independiente al

de las demás.

( ) ( ) ( ) ( ) 30.45 0.0911p A p A pp A A AA = = = a)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dos votan A

Una vota

3 3 0.45

B

0.2126

0.45 0.35

p A A B A B A B A A p A A B

p A B A p B A A p A A

p

B

= = +

+ + = =

=

=

b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0.45 0.35 0.8

3

1 Votan las tresAl menos una

se abstien1

1 1 0.8

e

0.488

p V p A B

p V V V V V V

p V p V p V

p

= + = + =

= = − = − =

= − ============

==== − =

c)

http

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SUC-24 De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar. Determinar la probabilidad de obtener:

a) Tres reyes

b) Una figura con la primera carta, un cinco con la segunda y un seis con la

tercera.

c) Un as, un tres y un seis, en cualquier orden.


Solución:

Se trata de la extracción de tres cartas consecutivas de una baraja sin reemplazamiento,

por lo que el resultado de la segunda extracción estará condicionado por el de la

primera. Igualmente sucederá con la tercera extracción.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 11 2 3 24 3 2

40 39 38

1

2470p R p R R pp R R RR R R = = = a)

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 31 2 3 1 24

5 6 512 4 4

5 640 39 123538

p F p F pp F F= = = b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 1 2 1 3 1 23 6 3! 3 6 3

4 4 4 83

3

2 140 39 38 1235

6 P p A p A pp A pA A= = =

= =

c)

http

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SUC-25 Se elige un número natural entre el 1 y el 20 de manera que todos tengan la misma probabilidad de ser escogidos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 2 ó por

3?

b) ¿Cuál el la probabilidad de que sea divisible por 3 y no por 6?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción B)

Solución:

Sean los sucesos:

"ser divisible por 2" 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

"ser divisible por 3" 3,6,9,12,15,18

"ser divisible por 2 y por 3" "ser divisible por 6" 6,12,18

II

III

II III VI

=

=

= =

III: “ser divisible por 3”

( ) ( ) ( ) ( )10 6 3

20 20 22

13

0 0p II p IIIp I p II IIII III = + − = + − =a)

( ) ( ) ( )6 3

20

3

2020p III p IIp III V I VII = − = − =b)

http

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SUC-26 Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras tres veces consecutivas:

a) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga el seis doble.

b) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un doble

distinto del seis doble.


Solución:


A:”Al lanzar dos dados sacar seis doble “

B: “Al lanzar dos dados sacar un doble distinto del seis doble”

( ) ( )1 1 1 5 1 5

6 6 36 6 6 36p A p B= = = =

( ) ( ) ( ) ( )

Sucesosindependiente 3s

1 1 1

3 66 36 3

1

3 6p A p A p Ap A A A ===== = =

a)

( ) ( ) ( ) ( )

Sucesosindependiente 3s

5 5 5

3 66 36 3

5

3 6p B p B p Bp B B B ===== = =

b)

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SUC-27 Una persona desea jugar en una atracción de feria, donde regalan un peluche si al tirar un dardo se acierta en un blanco. Si solo se permite tirar tres

dardos y la probabilidad de acertar en cada tirada es de 0’3.

a) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche?

b) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exactamente en el tercer

intento? ¿y de llevárselo exactamente en el segundo?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2002 – Opción A)

Solución:

Sea el suceso:

D: “Hacer diana”

Su probabilidad es ( ) ( )0.3 0.7p D p D= → =

( ) ( ) ( ) ( )


1 1 2 1 2 3

0.3 0.7 0.3 0.7 0 5..7 0.3 0 7.657 6 %

pp Ganar el peluch D p D D p D D De = + + ======

= + + = =

a)

( )

( )


1 2 3

1 2

0.7 0.7 0.3 0.14 .7%3 int

2º in

7 14

0.7 0.3 0.21 1t

2 %

er

Ganar el peluchep

enel ep

nto

Ganar el peluch

D D D

ep

enel enD

top D

= ====== = =

= =

= =

b)

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SUC-28 En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban

la Lengua.

Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro,

Calcula la probabilidad de que:

a) Suspenda esas tres asignaturas.

b) Suspenda sólo una de ellas.

Solución:

Si definimos los siguientes sucesos:

4B: "Aprobar Biología" ( )

5

2M: "Aprobar Matemáticas" ( )

3

3L: "Aprobar Lengua" ( )

5

P B

P M

P L

→ =

→ =

→ =

( )


1 1 2( ) ( )

0.026

( ) ( )5 3 5

2

75

p Suspender las p B M L p B ptres asignatur M p Las = ===== = =

= =

a)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 3 4 2 2 6 12 16 34

5 3 5 5 3 5 5 3 5 75 75 75 70

5.45

p B M L B M L Bp Suspender sólo un M L

p B M L p B M L p B M L

a asignatura = =

= + + =

= + + = + + = =

b) htt

ps:/

/apr

ende

conm

igom

elon

.com



SUC-29 Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche y a continuación, sin

reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide:

a) Escribir los sucesos elementales que definen los sucesos M = “Sólo ha salido

un lápiz de color verde” y N = “El segundo lápiz extraído es de color azul”

b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y M N .

c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta.

Solución:

Sean los sucesos:

A: “Extraer lápiz azul”

V: “Extraer lápiz verde”

a) El espacio muestral sería,

( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , ,E A A A V V A V V=

( ) ( ) , , ,M A V V A=

( ) ( ) , , ,N A A V A=

b) Las probabilidades de los sucesos M, N y M N son:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1

2 3 3 2

5 4 4

3

5 5

p A V V A p A V p V A p A p V A

p V V

p M

p A

= = + = +

+ = + =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1

2 1 3 2

5 4 4

2

5 5

p A A V A p A A p V A p A p A A

p V V

p N

p A

= = + = +

+ = + =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 13 3

15 0

2

4p V A p VM p Vp AN = = = =

c) ¿Son M y N independientes?

Dos sucesos M y N son independientes si ( ) ( )p M N p M= o, lo que es lo

mismo, ( ) ( ) ( )p M N p M p N = . Y como 3 3 2

10 5 5 → M y N no son

independientes.

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SUC-30 Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su participación en distintos tipos de carreras.

El 70% suele participar en carreras de maratón (42 km 195 m)

El 75% suele participar en carreras de media maratón (21 km 97,5 m)

El 13% no suele participar en estos tipos de carreras.

Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:

a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.

b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.

c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en carreras

de media maratón.

Solución:

a) Llamamos:

M=”participar en la maratón” N=”participar en la media maratón”

Se tienen las siguientes probabilidades:

( ) 7.0=Mp ( ) 75.0=Np ( ) 0.13p M N =

a) La probabilidad de que participen en carreras de maratón o media maratón es la

probabilidad del suceso M N .

( ) ( ) 0. 71 1 .13 80p M Np M N = − = − =

b) La probabilidad de que suela participar en carreras de maratón y media maratón es la

probabilidad del suceso M N :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.7 0.75 0.87 0.58

p M N p M p N p M N p M p NN Np M p M = + − → = + − =

= + − =

c) La probabilidad de que participe únicamente en carreras de maratón o de media

maratón es la diferencia simétrica, la probabilidad del suceso ( ) ( )M N M N

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 02 0.7 0.75 2 0.58 .29

p M N p M N p M p M N p N p M N

p M p N

p M N

N

M N

p M

= + = − + − =

= + − =

− =

+

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SUC-31 Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª

también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se

pide:

a) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres

monedas, sucesivamente, y en el orden indicado.

b) Probabilidad de que se obtengan exactamente dos cruces.

c) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)”

4º) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.

Solución:

Si llamamos a los sucesos:

C: “salir cara”

X: “salir cruz”

Tendremos las siguientes probabilidades en cada moneda:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

3 3

Moneda 1: 0.4 0.6

Moneda 2: 0 1

Moneda 3: 0.6 0.4

p C p X

p C p X

p C p X

= =

= =

= =

a) Espacio muestral:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , , ,E C X C C X X X X C X X X=

b) “Sacar exactamente dos cruces” ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3, , , , ,C X X X X C=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 0.4 1 0.4 0.6 1 0.6

0.1 56 0.36 0.52 2%

p C X X p X Xp C X X X X C C= + = + =

= + =

=

c) “Suceso cara-cruz-cara” ( ) 1 2 3, ,C X C=

( )1 2 3 0.4 1 0.6 0.24 24%p C X C = = =

d) “Obtener, al menos, una cara” ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,C X C C X X X X C=

( )1 2 31 1 1 0.6 1 0.4 1 0.24 0.76

76%

NinAl menosp

una

gunap p X X X

caracara

= − = − = − = − = =

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SUC-32 En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la

probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la

probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de

que:

a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

b) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B.

c) ¿Son independientes los sucesos A y B?

Solución:

Del enunciado tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1.3 0.18p A p B p A p B p A B= + = =

Si cogemos la segunda ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.3 2 1 1.3 0.3 0.6p A p B p B p B p B p A+ = → + − = → = → =

a) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B.

( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.3 0.1 28 0.7p A p A p B p AB B= + − = + − =

b) Se verifique el contrario de A o el contrario de B

Por las leyes de Morgan:

( ) ( ) ( ) 01 1 0.18 .82p p A B p BA AB = = − = − =

c) ¿Son independientes A y B?

Para que sean independientes ( ) ( ) ( )p A B p A p B =

Como ( )

( ) ( )

0.18

0.6 0.3 0.18

p A B

p A p B

=

= =

los sucesos A y B son independientes.

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SUC-33 En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique A es 0,1. La probabilidad de que no se

verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar

la probabilidad de que:

a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

b) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los

sucesos A y B?

Solución:

Se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0.1 1 1 0.1 0.9

0.4 1 1 0.4 0.6

0.04

p A p A p A

p B p B p B

p A B

= → = − = − =

= → = − = − =

=

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 1 1 0.04 .96p A B

pp A B p A B p A B pA A BB = = − → = − = − =

a)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.9 0.6 0.9 546 0.p A B p A p B p A B p

p A B

p A A p B p AB B = + − → = + − = + − =

b)

Dos sucesos son independientes si ( ) ( ) ( )p A B p A p B =

( )

( ) ( )

0.54Los suce A y B son independies nos

0.9 0.6 0.5e

4t s

p A B

p A p B

= →

= =

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SUC-34 En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7

nuevas.

a) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva?

b) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no

tenga respaldo?

(PAU Andalucía 2006 – Opción A)

Solución:

Podemos resolverlo de dos formas. La primera de ellas es haciendo una tabla de

contingencia que nos ayude a reflejar los datos del problema, la segunda es con el

teorema de la probabilidad total.

Con respaldo ( )R Sin respaldo ( )R Total

Nuevas ( )N 7 3 10

Viejas ( )N 23 7 30

Total 30 10 40


R: “Tener respaldo”

N: “Ser una silla nueva”

a) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva?

( )nº sillas nuevas 10 1

0.25total sillas 40 4

25%p N = = = = =

Lo podemos hacer también por el Teorema de la probabilidad total

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7

30p N p N R p R p N R p R= + =

30

3

40 10+

10

7 3 10 10.25 25%

40 40 40 4

+= = = = =

b) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga

respaldo?

( )( )( )

7 40

30 40

7

30p

pN

N

p NR

R= = =

N.B./ El teorema de Bayes o de la probabilidad total nos es muy útil cuando lo que nos

dan son probabilidades de los sucesos. Cuando nos dan números es muchísimo más

fácil e intuitivo optar por la tabla de contingencias.

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SUC-35 En el lanzamiento de un dado se consideran los tres sucesos siguientes: A= Sale un número impar

B= Sale un número par

C= Sale el 1 o el 2

Se pide:

a) ¿Son independientes A y B?

b) ¿Son independientes A y C?

c) Calcular p(A/C)

Solución:

( )2

1

6

3==Ap ( )

2

1

6

3==Bp ( )

3

1

6

2==Cp

a) ¿Son independientes A y B?

Dos sucesos son independientes si se cumple que: ( ) ( ) ( )BpApBAp =

( ) 0A B p A B = → =

( ) ( ) ( )BApBpAp ==4

1

2

1

2

1, luego A y B no son independientes

b) ¿Son independientes A y C?

( )1

16

A C p A C = → =

( ) ( ) ( )CApCpAp ===6

1

3

1

2

1, luego A y C sí son independientes

c) Calcular ( )p A C

( )( )

( )6 1

2

1

1 3

p A C

p Cp A C

= = =

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SUC-36 Sean A, B y C tres sucesos incompatibles tales que ( )2

1=Ap , ( )

4

1=Bp

y ( )25

4=Cp , se pide calcular la probabilidad de los sucesos siguientes:

a) El suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B.

b) El suceso consistente en que no se dé el suceso A y no se dé el suceso B y sí

tenga lugar C.

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sucesosincompatibles

1 11 1

1

4 41

2p A B p Ap A B B p A p B

= = − ====== − + = − + =

a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sucesosincompatibles

9

1 1

1 11 41

2 4 02 105

p A B p A B C p A B C p A p B p CC = = − ====== − + + =

= − + +

=

b)

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SUC-37 Sea Ω un espacio muestral, A y B sucesos de Ω y p una medida de

probabilidad en Ω. Sabiendo que ( )5

3=Ap , ( )

5

2=Bp ,

( ) ( )3

10p A B p A B − = , se pide hallar:

a) ( )BAp b) ( )BAp

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

10 5

3 2 3 3 2 32

5 5 5 5 5 5

8

5

4

52

p A B p A B p A B p A B

p A B p A

p A B

p A

p B p A B p A B p A B

p B BA

− = → = −

= + − = + − − → = + + →

= →

=

a)

( )

( ) ( ) ( ) ( )3 3 4 3

510 5 5

1

5

p A B

pp A B p A B p A BA B − = → = − = −

=

b)

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Opción - Ejercicio 01 Opción - Ejercicio 02 Opción - Ejercicio 032008 Junio Opción B - Ejercicio 32009 Septiembre Opción B - Ejercicio 32010 Modelo Opción A - Ejercicio 32010 Modelo Opción B - Ejercicio 32010 Junio F.E. Opción A - Ejercicio 32010 Septiembre F.E. Opción A - Ejercicio 32011 Modelo Opción A - Ejercicio 32011 Septiembre Opción B - Ejercicio 32015 Modelo Opción A - Ejercicio 42016 Modelo Opción B - Ejercicio 42017 Junio Opción B - Ejercicio 42017 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 42017 Septiembre Opción B - Ejercicio 42017 Septiembre Coincidentes Opción B - Ejercicio 42018 Modelo Opción A - Ejercicio 42018 Modelo Opción B - Ejercicio 42018 Junio Opción A - Ejercicio 42018 Junio - Coincidentes Opción A - Ejercicio 42018 Septiembr Opción B - Ejercicio 42019 Modelo Opción B - Ejercicio 42019 Junio Opción A - Ejercicio 42019 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 42019 Septiembre Opción A - Ejercicio 42019 Septiembre Opción B - Ejercicio 42020 Modelo Opción B - Ejercicio 42020 Junio Opción B - Ejercicio 42020 Junio - Coincidentes Opción B - Ejercicio 42020 Septiembre Opción A - Ejercicio 42021 Modelo Opción B - Ejercicio 4

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