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MATEMÁTICAS 3Geometría analítica básica

primera edición ebook 2014

Joaquín Ruiz Basto

BACHILLERATO GENERAL

SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Matemáticas 3.

Geometría analítica básica

Serie integral por competencias

Derechos reservados: ©2014, Joaquín Ruiz Basto

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-744-000-0

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

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Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloElaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 26-28, 56, 57, 82, 83, 116, 117, 156, 157, 198, 199Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas MartínezFotografías: Thinkstock

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DATOS

DedicatoriaA Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.

A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

Contenido Parte1 Desarrollo

decompetencias . . . . . . . 1

BLO

QU

E

1Reconoceslugaresgeométricos . . . 2

BLO

QU

E

2 Aplicaslaspropiedadesdesegmentosrectilíneosypolígonos . . . . . . . . . . . 32

BLO

QU

E

3 Aplicasloselementosdeunarectacomolugargeométrico . . . . . . . . . . 58

BLO

QU

E

4 Utilizasdistintasformasdelaecuacióndeunarecta . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

BLO

QU

E

5 Aplicasloselementosylasecuacionesdeunacircunferencia . . 118

IV

Parte2 Materialdeconsulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Sección1 .Gráficaseinterseccionesconlosejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Sección2 .Simetríasdeunagráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Sección3 .Laecuacióngeneraldeprimergrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

SolucionesaejerciciosimparesdeautoevaluacióndelaParte1 . . . . . . . . . . . . 269

SolucionesaejerciciosimparesdelaParte2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Anexo . Valoresyfórmulastrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

BLO

QU

E

7 Aplicasloselementosylasecuacionesdelaelipse . . . . . . . . . . 200

BLO

QU

E

6 Aplicasloselementosylasecuacionesdelaparábola . . . . . . . . 158

V

CompetenciasgenéricasdelBachilleratoGeneral

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y las cuales les per-mitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar

una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, fami-liar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

CompetenciasdisciplinaresbásicasdelcampodelasMatemáticas

CompetenciasdisciplinaresbásicasBloquesdeaprendizaje

1 2 3 4 5 6 7

1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionalesparalacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

X X X X X X X

2. Formulayresuelveproblemasmatemáticos,aplicandodiferentesenfoques. X X X X X X X

3. Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

X X X X X X X

4. Argumentalasoluciónobtenidadeunproblema,conmétodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónycomunicación.

X X X X X X X

5. Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

X

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.

X X X X X X

7. Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoofenómeno,yargumentasupertinencia.

X

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

X X X X X X X

VII

CompetenciasgenéricasdelBachilleratoGeneral

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y las cuales les per-mitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar

una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, fami-liar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

CompetenciasdisciplinaresbásicasdelcampodelasMatemáticas

CompetenciasdisciplinaresbásicasBloquesdeaprendizaje

1 2 3 4 5 6 7

1. Construyeeinterpretamodelosmatemáticosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvariacionalesparalacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

X X X X X X X

2. Formulayresuelveproblemasmatemáticos,aplicandodiferentesenfoques. X X X X X X X

3. Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

X X X X X X X

4. Argumentalasoluciónobtenidadeunproblema,conmétodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónycomunicación.

X X X X X X X

5. Analizalasrelacionesentredosomásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

X

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.

X X X X X X

7. Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoofenómeno,yargumentasupertinencia.

X

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

X X X X X X X

VIII

Es el tercer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general.

Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.

Así, cada uno de los 7 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.

La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del aná-lisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.

Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.

Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.

La distribución de los contenidos del curso en 7 bloques permitirá al profesor disponer de variados problemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.

Esta segunda edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.

Problema propuesto

Situación didáctica

Análisis de la situación

Conocimientos

Consulta

Secuencia didáctica

Proyecto de trabajo

Rúbrica de evaluación Segmento informativo

Parte teórica

Ejemplos

Comentarios adicionales

Aplicaciones

Autoevaluaciones

Sugerencias para los ejercicios

Presentación

IX

Joaquín Ruiz Basto

MATEMÁTICAS 3Geometría analítica básica

n Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasygráficas,asimismo,interpretatablas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

n Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

n Construyehipótesis;diseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.

n Utilizalastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretarinformación.

n Eligelasfuentesdeinformaciónmásrelevantesparaunpropósitoespecíficoydiscriminaentreellasdeacuerdoasurelevanciayconfiablidad.

n Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstruccióndeconocimientos.n Proponelamaneradesolucionarunproblemaydesarrollaunproyectoenequipo,

definiendouncursodeacciónconpasosespecíficos.n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanera

reflexiva.n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadescon

losquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.

Reconoces lugares geométricos

Competencias a desarrollar Desempeños del estudiante al concluir el bloque


n Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasygráficas,asimismo,interpretatablas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

n Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

n Construyehipótesis;diseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.

n Utilizalastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretarinformación.

n Eligelasfuentesdeinformaciónmásrelevantesparaunpropósitoespecíficoydiscriminaentreellasdeacuerdoasurelevanciayconfiablidad.

n Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstruccióndeconocimientos.n Proponelamaneradesolucionarunproblemaydesarrollaunproyectoenequipo,

definiendouncursodeacciónconpasosespecíficos.n Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanera

reflexiva.n Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadescon

losquecuentadentrodedistintosequiposdetrabajo.


Objetos de aprendizaje

¿Qué sabes hacer ahora?

Paraguiarseduranteelvuelo,lasaeronavesdisponendesistemaselectrónicosqueubicansuposiciónconrelaciónaunsistemadereferenciabasadoenlascoordenadasgeográficas—latitudylongitud—,delsitiodondeviajan.

Laposicióndelaviónserepresentaencadamomentocomounpuntoy,durantesumovimiento,éstedescribeunalíneaotrayectoriaenelespacio.

EnMatemáticasseutilizandistintossistemasdereferenciaparaubicarpuntosenelplanooenelespacio.Lascurvas,figurasosuperficiesquedescribenalmoversebajociertascondiciones,seconocencomo“lugaresgeométricos”.

Competencias a desarrollar

1B LO Q U E

Geometría analítica introductoria.

Sistema de coordenadas rectangulares.

Parejas ordenadas: igualdad de parejas.

Lugares geométricos.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Identificalascaracterísticasdeunsistemadecoordenadasrectangulares.

Interpretalainformaciónapartirdelanocióndeparejasordenadas.

Reconocelasrelacionesentrevariablesqueconformanlasparejasordenadasparadeterminarunlugargeométrico.

�

Reconoces lugares geométricos GrupoEditorialPatria®

A1BLOQUE


Conocimientos

Parejas ordenadas

Están formadas por dos elementos, numéri-cos o no, escritos en el orden: (Primerelemento, segundoelemento) .

Ejemplos

Parejasnonuméricas

(1er . apellido, 2o . apellido):

(Campos, Pasquel); (Lugo, Díaz)

(Nombre, número de cuenta):

(Alberto Cruz Neri, 201025367)

Parejasnuméricas

(Mes, año): (3, 2012); (2, 1998)

Algunas equivalencias posibilitan expresar como números los elementos no numéricos . Ej . Marzo ↔ 3 .

Igualdad de parejas ordenadas

Dos parejas ordenadas son iguales, si y sólo si, tienen iguales sus respectivos elementos .

Así, (3, 4) = √ 9 ,

12 3 ;

(Gil, Díaz) ≠ (Díaz, Gil);

(2, 1) ≠ (2, 2) ≠ (4, 1) .

Consulta

En libros y otras fuentes sobre geometría analítica:

Parejasordenadasdenúmeros

Igualdaddeparejasordenadas

Situación didáctica Horas y días

Cuandodicenqueuneventoserealizaráalas15horas,¿cómosabesqueseestánrefiriendoalas3delatarde?

Por lo regular, estableces mentalmente esta equivalencia:

12 12 1 13 2 14 3 p .m . ↔ 15 horas

Puedes también restar 15 - 12 = 3, o usar el residuo de la división 12 |1

153 .

Se procede así porque las horas del día pueden contarse en módulos de 12 horas (di-ferenciándolos mediante a .m . y p .m .) o con un ciclo de 24 horas .

El código general de correspondencia p .m . ↔ horas puedes indicarlo con una tabla, o con parejas ordenadas: (1, 13), (2, 14), (3, 15), . . ., (12, 24) .

Supón ahora que no dispones de un calendario y deseas saber en qué día de la semana caerá el 25 de enero de 2015, partiendo del hecho que el día 1o será jueves .

Como las semanas forman ciclos de siete días, puedes elaborar el calendario del mes, o bien hacer un código de correspondencia (Residuo, día) para los primeros siete días y obtener después parejas (Fecha,día) .

¿Cuál es este código? Empléalo y justifica su utilidad .


1. El cociente (1) de la división 15 entre 12 indica que 15 contiene un ciclo de 12 horas y el residuo (3) indica las horas que corresponden a otro nuevo ciclo de 12 horas . De 15 = 1(12) + 3 se tiene 15 - 12 = 3 .

2. Para la fecha 16 de un mes, ¿qué expresa el cociente 7 |2

162 en términos de sema-

nas y días?

3. Según el código (Día,residuo): (Martes, 1) (Miércoles, 2), (Jueves, 3), . . ., (Lunes, 0), ¿qué día corresponde a la fecha 16? ¿Y a la fecha 14?


�


Rúbrica de evaluación

Haz un reporte escrito que incluya:

1. El desarrollo de la secuencia didáctica, con las respuestas a las actividades plan-teadas .

2. La solución a la situación didáctica, con conclusiones y comentarios sobre el re-sultado matemático y su interpretación en el contexto del problema .

3. La descripción de los pasos para elaborar el código de correspondencia entre resi-duos y días de la semana para las fechas de cada mes .

4. La descripción del procedimiento mate-mático para hallar el día de la semana que corresponde a una fecha determinada .


1 . Completa el calendario siguiente . ¿Qué día es el 25?: ____________________ .

L M M J V S D

E 1 2 3 4 2

n 0

e 1

r 5

o

2 . Haz las divisiones 7 |0 11 7 | 2 7 | 3 7 | 4 7 | 5 7 | 6 7 | 7

¿Qué relación observas entre la fecha 1, 2, 3, . . ., 7 y los residuos? ________________________________________________________________________________ .

¿Cuál residuo corresponde al séptimo día? ____________________ .

3 . Completa el código del mes de enero de 2015 con dichos residuos:

Residuo 1 2 3

Día Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles

4 . Halla el residuo de la división 7 | 25 : _________________ ¿A qué día de la semana

corresponde según el código anterior? ____________________ . Exprésalo como pareja ordenada del tipo (Fecha,día): ___________________________________ . Obtén de manera similar los días para cinco fechas distintas de enero de 2015:

____________________________________________________________________ La utilidad del código reside en: ___________________________________________________________________________________________________________ .

Proyecto de trabajo

1. Parejas ordenadas no numéricas Para septiembre de 2015:

a) Completa la tabla de correspondencia Residuo- día:

Residuo 1 4 5 0

Día martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes

b) Reescribe ésta con parejas (Residuo,letrainicialdeldía) .

c) ¿En qué día caerán el 16 y el 27 de septiembre de 2015?

Denótalo con parejas ordenadas (Fecha,letrainicialdeldía) .

2. Parejas ordenadas numéricas Reescribe como parejas ordenadas numéricas (Residuo,día) el código de julio de 2015: (1, M), (2, J) (3, V), (4, S), (5, D), (6, L), (0, m), empleando la equivalencia D↔1, L↔2, m↔3, M↔4, J↔5, V↔6, S↔7 .

a) En este código, ¿qué indica la pareja (3, 6)? ¿Y (6, 3)?

b) ¿Cuál pareja (Fecha,día) carece de sentido: (26, 1) o (1, 26)?

c) Completa las parejas (18, ) y (28, ) . ¿Qué informan?

�


Segmentoinformativo 1A


Observaciones importantes

1 . Las parejas ordenadas pueden referirse a cualquier tipo de objetos .

2 . Las parejas (-1, 5), (3, 4 .6), (x, 10), (x, y) tienen como elementos números o variables numéricas (variables que deno-tan números) .

En las subsecuentes lecciones sólo traba-jaremos con este tipo de parejas .

3 . Las variables no siempre representan números . Variables como f, A, 2M-1, L, pueden representar funciones,conjuntos,puntos, matrices, rectas, etc ., que son objetos matemáticos distintos a los nú-meros .

4 . No todas las parejas ordenadas son nu-méricas, por ejemplo, la pareja ordenada (S, *) denota al conjuntoScon laoperación * .

Ejemplo 1

Recuerda

1 . La potencia cero de cualquier número (distinto del cero) siempre es igual a 1 .

150 = (-6)0 = 1 2 0

= 1 .

2 . 12 = 1 × 1 = 1 .

Parejas ordenadasUna pareja ordenada está constituida por dos términos escritos en un orden especí-fico .

Parejas ordenadas

La pareja ordenada (a, b) tiene a como primerelemento, y b como segundoelemento .

El primer elemento de la pareja ordenada (5, 3) es el número 5 y su segundo elemento es el número 3 .

Dos parejas ordenadas son iguales únicamente si ocurre lo siguiente:

Igualdad de parejas ordenadas

1 . Sus primeros elementos son iguales, y

2 . Los segundos elementos son iguales

(a, b) = (c, d) ↔ a = c y b = d

Así, (2, 1) = (√ 4 , 1) puesto que son iguales sus respectivos elementos: 2 = √ 4 y 1 = 1 . En cambio, (5, 3) ≠ (3, 5) ya que 5 ≠ 3 y 3 ≠ 5 .

Ejemplo 1 Identificando parejas ordenadas iguales

Determina en cada inciso si las parejas ordenadas son iguales o distintas .

a) (3, 8), (3, -5)

b) (12, 7), 150,

14 2

Solución

a) (3, 8) ≠ (3, -5) pues 3 = 3, pero 8 ≠ -5

b) (12, 7) = 150,

14 2 ya que 12 = 1 = 150 y 7 =

14 2

Ejemplo 2 Información con parejas ordenadas

Representa en forma de parejas ordenadas la información dada .

a) Fruta Sabor b)

Pera

Limón

Papaya

Fresa

Dulce

Amargo

Ácido

Salado5

1 2 3 4 5

(1 ←→ 1995)

6 7 8 9 10

Azúc

ar (M

ill. d

e to

nela

das)

10

15

20

Producción

Año


�



Toda pareja ordenada cambia al variar el orden de sus elementos*

*excepto cuando éstos son iguales, como en (6, 6) = (6, 6) .

Cuando dos magnitudes se relacionan, es útil emplear la noción de pareja ordenada para expresar dicha relación .

Ejemplo 1

Fíjate en lo siguiente…

Las restricciones del problema determinan que a la variable x se le asignen sólo valores enteros y positivos (incluso, acotados hasta cierto valor) .

Ampliando el conocimiento

1 . El dominio de cada variable está forma-do por el conjuntodevaloresquepuedetomar a partir de las condiciones del pro-blema y del tipo de ecuación .

2 . Si el dominio no aparece especificado, debe investigarse a partir de la informa-ción disponible .

Solución

a) (Fruta,sabor) b) (Año,producciónazucarera):

(Pera, dulce) (1, 15 .5) (2, 11) (3, 16 .5)

(Limón, ácido) (4, 18) (5, 13 .5) (6, 18)

(Papaya, dulce) (7, 20) (8, 18) (9, 16 .5)

(Fresa, ácido) (10, 18)

Ejemplo 3 Obteniendo parejas ordenadas iguales

Halla los valores para x, y, que hacen que las parejas ordenadas sean iguales .

a) (1, 9) = (x, 9)

b) (2x, y) = (x - 8, 3y + 2)

Solución

a) La igualdad de los primeros elementos implica 1 = x . Así, (1, 9) = (1, 9)

b) Igualdad del primer elemento Igualdad del segundo elemento

2x = x - 8 y = 3y + 2 2x - x = -8 y - 3y = 2 x = -8 -2y = 2 y = -1

Comprobación:

(2x, y) = (2(-8), -1) = (-16, -1)

(x - 8, 3y + 2) = (-8 - 8, 3(-1) + 2) - (-16, -3 +2) = (-16, -1) .

Ejemplo 4 Cálculo de tu ingreso salarial

A partir de la información proporcionada, determina:

a) La pareja ordenada que indica tu salario al cabo de 12 días de trabajo .

b) Si las parejas de números (7, 900) y (5, 500), te proporcionan información correcta .

Relación entre tu salario y número de días que has trabajado

Días Salario

1 100

2 200

3 300

4 400

Representación medianteparejas ordenadas (x, y)

donde y = 100x

(Días,salario)

(1, 100)

(2, 200)

(3, 300)

(4, 400)

Solución

Conocer la relación y = 100x entre ambos elementos de las parejas, permite:

a) Obtener nuevas parejas . Así, para x = 12, resulta y = 100(12) = 1,200 . La pareja ordenada (12, 1,200) informa que por 12 días obtendrás $1,200 .

�

Reconoces lugares geométricos GrupoEditorialPatria®Reconoces lugares geométricos GrupoEditorialPatria®

b) Determina si es correcta la información proporcionada por una pareja .

La pareja (7, 900) no cumple con la relación y = 100x, pues 900 ≠ 100(7) .

En cambio, (5, 500) sí la satisface: 500 = y = 100x = 100(5) .Por tanto, sólo la segunda pareja proporciona información correcta dado que hace verdadera (satisface) la ecuación .

Ejemplo 5 Hallando parejas ordenadas

Encuentra tres parejas ordenadas de números que satisfagan x + 2y = 20 .

Solución

1. Expresamos y en términos dex:

x + 2y = 20 Ecuación dada

2y = 20 - x Restando x en ambos lados

y = 20 - x 2

Dividiendo ambos lados entre 2

2. Asignamos tres valores a x para obtener otros tantos para y:

a) Para x = 2, b) Para x = 0 c) Para x = -4

y = 20 - 2 2

y = 20 - 0 2

y = 20 - (-4) 2

y = 9 y = 10 y = 12

Así, las parejas (2, 9), (0, 10) y (24, 12) son soluciones de la ecuación .

Verificación.Se reemplaza cada par ordenado en la ecuación x + 2y = 20:

(2, 9) (0, 10) (-4, 12)

x + 2y = 20 x + 2y = 20 x + 2y = 20

2 + 2(9) = 20 0 + 2(10) = 20 -4 + 2(12) = 20

20 = 20 20 = 20 20 = 20

Las tres parejas satisfacen la ecuación, pues conducen a una igualdad verdadera .

Recuerda

Si una pareja numérica satisface (hace ver-dadera) la ecuación en dos variables, se dice que dicha pareja es solución (o también, que pertenece al conjunto solución) de la ecua-ción .

Ejemplo 5

¿Cómoelegirvaloresparalax?

Considerando:

a) Elproblema

En este caso no se indica qué modela la ecua-ción; no hay restricción en tal sentido para los valores de x .

b) Eltipodeecuación

Dado que x no aparece en el denominador ni dentro de radicales, admite cualquier valor .

Ejemplo 5


En la ecuación: y = 20 - x 2

1 . Conviene asignar valores a x que hagan que el numerador sea par (para que sea divisible entre 2) .

2 . Como x admite cualquier valor real, el conjunto solución de esta ecuación está constituido por una infinidaddeparejasordenadas.

Sugerencias para la autoevaluación 1A

1 y 2. Verifica la igualdad de los elementos respectivos .

3. Revisa el ejemplo 3 .

3 b). Hay dos números cuyo cuadrado es 9 .

4. Revisa el recuadro de Observacionesimportantes.

1. Clasifica cada igualdad como falsa o verdadera .

a) (3, 7) = (3, -7) b) (0, 0) = (3 × 0, √ 0 ) c) 1 3

, -2 = 2 5

, -2 .

2. Determina si son iguales las siguientes parejas ordenadas de números .

a) (1 - 2, √ 9 ), (-1, 3) b) (24, -1), (15, -1) c) (1, 0), (0, 1)

3. ¿Cuáles valores de x, y, hacen que sean iguales las siguientes parejas?

a) (3, 7) = (x, y + 4) b) (x - 2, y2) = (5, 9) c) (3x, y) = (2x -5, -8)

4. a) ¿Cómo deben ser a y b para que (a, b) sea igual que (b, a)?

b) Encuentra cinco parejas ordenadas que ilustren lo anterior .

Autoevaluación 1A


�


5. Asocia cada pareja ordenada con la descripción que corresponde a la relación entre sus dos elementos .

a) (3, 1) I . El segundo elemento es el cuadrado del primero .

b) (-5, 25) II . El segundo elemento es igual al primero .

c) (√ 3 , √ 3 ) III . El segundo elemento es un tercio del primero .

6. Asocia cada pareja ordenada con la expresión algebraica que corresponde a la relación entre sus dos elementos .

a) (2, 4) b) (-1, 1) c) -10,

1 3

I . 3y = x + 11 II . 2x + 3y = 1 III . y = 2x

En cada uno de los ejercicios 7 a 10 encuentra tres parejas ordenadas (x, y) que satisfagan la relación indicada .

7. x - y = 0 8. x + y = 0 9. x = 2y 10. -9x + 3y = 12

11. Ligas mayores La tabla indica los equipos de ligas mayores de béisbol que fueron campeones en el periodo 2000-2004 . Describe la información utili-zando parejas ordenadas del tipo:

a) (Año,nombredelequipo) . b) Numéricas, usando dígitos .

12. Atletismo La gráfica siguiente muestra, en orden alfabético, los países que ocuparon los 10 primeros lugares de atletismo en las competencias olímpicas del 2004 .

Suecia

Rusia

Marruecos

Jamaica

Italia

Grecia

Gran Bretaña

EUA

Etiopía

Cuba

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Posición

País

a) Describe la información utilizando parejas ordenadas de números .

b) ¿Qué indica la pareja (8, 5)?

c) ¿Expresa lo mismo (1, 3) que (3, 1)?

6. Revisa Verificación en el ejemplo 5 .

7 a 10. Véase el ejemplo 5 .

11. b) Codifica cada equipo con un dígito y los años con 0 ↔ 2000 .

12. Con un dígito codifica los países . Usa los datos del eje horizontal como primer elemento .

Anaheim 2002

Arizona 2001

Marlines 2003

Medias Rojas 2004

NY Yankees 2000

10


Conocimientos

Sistema de ejes cartesianos

Un sistema de ejes cartesianos está forma-do por dos rectas numéricas perpendiculares que se intersecan en su origen .

Las rectas numéricas se denominan ejescartesianosrectangulares (usualmente en posi-ción horizontal —eje x—, y vertical —eje y—); dividen al plano en cuatro partes (CuadrantesI,II,III,IV) .

0−

−

−

−+

+

+

+ x

yIII

III IV

Las escalas (iguales o distintas) dispuestas en los ejes, permiten medir las distancias di-rigidas de éstos a los puntos del plano .

La distancia dirigida horizontal (x) se deno-mina abscisa y la vertical (y) ordenada . Cada pareja ordenada de números (x, y) se asocia con un punto del plano y viceversa; x y y son las coordenadas del punto .

Consulta

En libros y otras fuentes sobre geometría analítica:

Ejescoordenadosrectangulares(oSistemadeejescartesianos).

Situación didáctica Navío turístico

Unbarcoturísticosemuevecercadelacosta,comoindicalagráfica.Elmarsehaconsideradounasuperficieplanadondesehasobrepuestounaretículacoordenada.Cadaunidadenlafigurarepresenta5kmenelmundoreal.

Si el navío sigue una trayectoria en la que se desplaza desde su punto de partida (situado en el origen) 10 km hacia el Poniente, 25 km hacia el Norte, 5 km hacia el Sur, 40 km hacia el Este, 35 km hacia el Sur y concluye su recorrido regresando 15 km hacia el Poniente,

1 Unidad = 5 km

x0

y

¿Cuáles son las coordenadas de los extremos de cada desplazamiento que realizó el buque?

¿Qué indican las coordenadas (6, -3) de la trayectoria del barco?

Al concluir su trayecto, ¿queda situado el barco al Oriente o al Poniente del punto de partida inicial?


1. Las coordenadas de los puntos, ¿deben escribirse atendiendo la equivalencia de conversión, o sólo tomando como referencia las unidades establecidas en los ejes? ¿Por qué?

2. Explica de qué manera interpretarías las soluciones matemáticas como solucio-nes reales, atendiendo la posición del buque en relación con los cuatro puntos car-dinales . ¿Tendrían alguna función los signos de las coordenadas en este aspecto? Argumenta tu respuesta .

B1BLOQUE


11


Rúbrica de evaluación

Elabora un resumen que contenga lo siguiente:

1. La secuencia didáctica con todas las res-puestas solicitadas .

2. Una copia de la gráfica de la situación di-dáctica, ubicando cada punto de llegada en la trayectoria del buque, con las coor-denadas respectivas .

3. La interpretación en kilómetros y la ubi-cación respecto al origen de las distintas posiciones del buque .


1 . En la gráfica, ubica los cuatro puntos cardinales:

Arriba: ________________ . A la derecha: ________________ .

Abajo: ________________ . A la izquierda: ________________ .

2 . Determina mediante signos: positivo (+), negativo (-), las potenciales posiciones del buque en el plano cartesiano, tomando como guía o referencia cada eje coor-denado:

Arriba: ________________ . A la derecha: ________________ .

Abajo: ________________ . A la izquierda: ________________ .

3 . ¿Cuál signo atribuirías al primer desplazamiento hacia el Oeste (Poniente) _____

___________ . ¿Por qué? ________________________________ .

¿Hay algún desplazamiento vertical? ________________ . ¿Qué distancia recorre

verticalmente el buque en este desplazamiento? ________________ .

Escribe las coordenadas del punto A al cual llega el buque después de este primer

desplazamiento: A( , ) .

4 . En el segundo avance del buque, hacia el punto B situado 25 km hacia el Norte

del punto A, el navío se desplaza verticalmente hacia _________________ (arri-

ba/abajo) _________________ unidades . Como el desplazamiento horizontal se

mantiene en ________________ unidades a la izquierda del origen, la abscisa del

punto es ________________ y sus coordenadas son: B( , ) .

5 . En forma análoga, las coordenadas de los otros puntos de la trayectoria del barco,

son: C( , ), D( , ), E( , ), F( , ). Las coordenadas (6, -3) indican

que el barco se halla a ________________ km al ________________ (Este/Oeste)

y ________________ km al ________________ (Norte/Sur) del punto de partida .

6 . Los signos de la posición del buque al término de su viaje, indican que éste quedó

al ________________ (Oriente/ Poniente) del origen .

Proyecto de trabajo

1. Obtén las coordenadas de las luces guía que se hallan en la pista de un ae-ropuerto, dispuestas como muestra la figura de la derecha .

2. Escribe las coordenadas de cada punto .

0−5 5

5

10

20

25

10 15 20 25 x

y

−5

−10

−15

−20

−25

−10−15−20−25

15

0−1 1

1

2

34

5

2 3 4 5 x

y

−1−2−3

−4

−5

−2−3−4−5

A

B

C

D

E

12


Recuerda

1 . Las coordenadas de un punto son los nú-meros que lo ubican .

2 . La gráfica de un número (o un par) es el punto que lo representa .


1 . Una distanciadirigida implica un senti-do . Los sentidos opuestos se distinguen con un signo (+ hacia arriba o a la dere-cha; - hacia abajo o a la izquierda) .

Así, si AB = 3, es la distancia dirigida de A a B, entonces BA = -3 .

A

A

B

B

3

−3

AB ≠ BA,

AB = −BA

2 . Geométricamente, las coordenadas de un punto constituyen las distancias dirigidas de cada eje al punto .

3 . La distanciadirigida horizontal se llama abscisa, y la vertical, ordenada del punto .

0 x

y

(1)

Orde

nada

(2)Abscisa

Sistema de coordenadas rectangularesCada parejaordenadadenúmeros se puede representar gráficamente como un punto del plano .

Así, para dibujar la gráfica de (-5, 3) se trazan dos rectas numéricas, una horizontal —ejex— y otra vertical —ejey—, con el mismo origen en sus escalas .

Sobre estos ejes localizamos los elementos de la pareja (-5, 3): -5 en el eje x, 3 en el eje y .

0−1 1

1

2

4

5

2 3 4 5 x

y

−1

−2

−3

−4

−5

−2−3−4−5

(−5, 3) 3

La gráfica de (-5, 3) es el punto de intersec-ción de las rectas trazadas por -5 y 3, parale-las a los ejes .

También es posible asociar cada punto delplano con una pareja ordenada de números .

Desde el punto P trazamos un segmento vertical hasta el eje x, que corta a éste en 25 y otro horizontal hasta el eje y, que lo corta en 3 .

La pareja ordenada asociada al punto P es (-5, 3) . Los números -5 y 3 son las coordenadas de P: -5 es la coordenadax; 3 es la coordenaday .

0−1 1

1

2

34

5

2 3 4 5 x

y

−1−2

−3−4

−5

−2−3−4−5

P

Los ejes x, y, donde se localizan las coordenadas, se llamanejescoordenados.

Las cuatro regiones en que los ejes dividen al plano se denominan cuadrantes . Se distinguen con un número, como se muestra .

Los ejes coordenados delimitan a los cuadrantes, pero no pertenecen a ninguno de ellos .

o x

y

III

III IV

Cuadrantes

Ejemplo 1 Gráficas de parejas ordenadas

Muestra geométricamente que las parejas or-denadas (-5, 3) y (3, -5) son distintas .

Solución

La gráfica muestra que (-5, 3) y (3, -5) son parejas ordenadas distintas: cada una repre-senta un punto distinto del plano .

0−1 1

1

2

34

5

2 3 4 5 x

y

−1−2

−3−4

−5

−2−3−4−5

P(−5, 3)

Q(3, −5)

Segmentoinformativo 1B


13


Recuerda

PR = distancia entre el punto P y la recta r. (El segmento PR es perpen-dicular a la recta r) .

P

r

R

Ejemplo 3


La escala en un eje puede tomarse de manera distinta a la del otro .

La escala utilizada para medir las distancias se establece arbitrariamente, fijando a la de-recha del origen otro punto como unidad . Después se repite esta distancia a izquierda y derecha del origen y se asigna a cada punto una distancia al origen, basándose en un he-cho fundamental que une a la aritmética con la geometría:

A cada punto de la recta corresponde un número real (su coordenada), y a cada número real corresponde un punto sobre la recta (su gráfica) .


1 . Cuando los ejes coordenados son perpen-diculares, el sistema se denominasistema coordenadorectangular, sistemacoordenado ortogonal o sistema de coordenadascartesianasrectangulares.

Ortogonal = perpendicularCartesianas proviene de Descartes .

2 . Es posible, en un sistema cartesiano, que los ejes coordenados no sean perpen-diculares . En este caso se dice que los ejes son oblicuos.

0

a

b

x

y

P(a, b)

Por simplicidad, son de uso más frecuen-te los sistemas rectangulares .

Ejemplo 2 Situando puntos en el plano cartesiano

Localiza en un plano coordenado los puntos:

a) P(3, 5), Q(-4, 6), R(-5, -4), S(8, -8) .

b) T(0, 7), U(6, 0), V(0, -3), W(-6, 0) .

Solución

a) En cada eje ubicamos la coordenada res-pectiva . Trazamos por ellas segmentos paralelos a los ejes; en su intersección se halla el punto buscado .

b) Los puntos T, V se localizan a partir del origen 7 unidades arriba del eje y y 3 uni-dades debajo del mismo, respectivamen-te . U y W están sobre el eje x, 6 unidades a la derecha del origen y 6 unidades a su izquierda, respectivamente .

−2−2

2

4

8

20 4 6 8−4

−6

−8

−6−8

6

x

y

−4RV

P

T

U

S

W

Q

Ejemplo 3 Tomografía computarizada

La tomografía es una técnica para tomar imágenes de un cuerpo; consiste en barrer éste en ángulos de hasta 360°, en un mismo plano o sección (tomos = rebanada; grafía = imagen) con rayos X, delgados y rectos, que son recogidos por detectores de in-tensidad, éstos envían los datos a una computadora misma que los traduce en tonalidades de colores (falsos, de contraste) para formar la imagen .

La tomografía cerebral que se muestra exhibe un tumor en color rojo .

a) Para una intervención quirúrgica con rayo láser, ¿cuáles coordenadas leería la computadora en una retícula con las dimensiones dadas?

b) En ese plano, ¿dónde ubicaría la amígdala que aparece en color verde, y el extremo derecho del seno frontal, que aparece en morado?

c) ¿Cuáles serían, en centímetros, los anchos AB y CD de la cabeza y su largo EF, si cada pixel mide 0 .5 mm?

Solución

a) (-2 .5, 4)

0

1A B

C D

E

F

2

3

4

5

6

7

8

1−1−1

−2−3−4−5 2 3 4 5 x

y

Eje x: 1 ↔ 30 pixelesEje y: 1 ↔ 40 pixeles

b) Amígdala (3, 1) . Extremo del seno frontal (1, -0 .75)

c) AB = 6 unidades = 6 × 30 pixeles = 180 pixeles = 180 × 0 .5 mm = 9 cm

CD = 10 unidades = 10 × 30 pixeles = 300 pixeles = 300 × 0 .5 mm = 15 cm

EF = 9 unidades = 9 × 40 pixeles = 360 pixeles = 360 × 0 .5 mm = 18 cm

1�


Un plano cartesiano es un plano con un sistema de coordenadas cartesianas rec-tangulares . Dado que en un plano carte-siano se miden en cada eje las distancias dirigidas correspondientes, éstas se deno-minan:

Eje x = ejedelasabscisas.

Eje y = ejedelasordenadas.

La notación P(x, y) denota al punto P con abscisa x y ordenada y .

Ejemplo 4

Recuerda

Para obtener el valor de las razones trigo-nométricas de ángulos de 30° y 60°, utiliza-mos el triángulo equilátero de lado igual a 2 unidades . Dividimos este triángulo entre una altura para formar un triángulo rectán-gulo, como indica la figura . El Teorema de Pitágoras permite establecer que esta altura

es igual a √ 3

√ 3tan 60° = —— = √ 3 1

2 2

1 1

60°

30°

��3


Así como en la rectanumérica a cada punto corresponde un número y a cada número un punto, en el planocartesiano a cada parejaordenada de números corresponde un punto y viceversa .

Recuerda

Es importante preservar el orden en que se escriben las coordenadas de un punto cuando éste se halla en el plano, ya que corres-ponden a distancias dirigidas desde rectas específicas .

Ejemplo 4 Principios de óptica

Un rayo láser es disparado desde el punto que se indica en la figura, de modo que choca contra una superficie que lo desvía hacia un punto donde traspasará una placa con componentes microelectrónicos, dispuesta en forma vertical .

a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde choca el rayo con la superficie re-flejante?

b) ¿A qué altura sobre la superficie reflejante está el punto de la placa donde atravie-sa el láser?

x

y

60° α

M O

L N

MO = 20 cm

Solución

a) Como O es el origen de un sistema cartesiano, las coordenadas del punto M son (-20, 0) .

b) El ángulo de incidencia es igual al ángulo de re-flexión, de acuerdo con la ley fundamental de la reflexión de la luz en óptica . Así, a = 60° . Para conocer la distancia entre O y N usamos la razón trigonométrica tangente en el triángulo rectángulo MON:

O

60°

20

N

M

tan 60° = ON

MO

Definición de tangente

tan 60° = ON

20

Reemplazando 20 por MO

ON = 20 tan 60° Despejando el valor de ON

ON= 35 Reemplazando tan 60° por √ 3 y simplificando

El punto N se halla aproximadamente a 35 cm de la superficie reflejante . Por estar sobre el eje y, las coordenadas de este punto son (0, 35) .


1�


Información histórica

René Descartes(1596-1650)

Trece años antes de morir en Suecia por una neumonía, el filósofo y matemático francés René Descartes publicó su obra Géométrie, en la que dio a conocer el método de coor-denadas para estudiar las propiedades de las curvas por medio de ecuaciones, dando ori-gen así a la geometría analítica, que sirvió de base para el desarrollo de la matemática y, en particular, del cálculo diferencial e integral . En otros campos del saber realizó importan-tes contribuciones: en filosofía introdujo el rigor de las demostraciones racionales (simi-lar al de la matemática), contraponiendo tal método al escolástico, que se sustentaba en el principio de autoridad; en óptica, Descar-tes aportó la ley fundamental de la reflexión: los ángulos de incidencia y de reflexión de la luz son iguales .

Sugerencias para la autoevaluación 1B

4. Los extremos del segmento AB son sus puntos inicial A y final B . La distancia en-tre tales puntos se denomina longitud del segmento .

A BAB = 3

Los segmentos dirigidos hacia la derecha tie-nen longitud positiva . Determina la distancia entre los extremos usando la escala del eje numérico .

1. Clasifica como falsa o verdadera cada afirmación .

a) Los números asociados con un punto, constituyen sus coordenadas .

b) La primera coordenada de un punto del plano es la coordenada x .

c) El punto (4, 0) pertenece al primer cuadrante .

d) La abscisa del punto (-6, √ 5 ) es el número √ 5 .

e) La primera coordenada de un punto es el primer elemento de la pareja ordenada de números que lo representa .

f) Las coordenadas de un punto son su abscisa y su ordenada .

2. Proporciona las coordenadas de los puntos mostrados .

−2−2

2

4

8

20 4 6 8−4

−6

−8

−6−8

6

x

y

−4U

V

P

Q

W

T

R

S

3. Encuentra las coordenadas de los vértices de la figura .

2

0

–2

–3 3

y

x

4. Basándote en el dibujo, determina la longitud dirigida de cada segmento y escribe las distancias dirigidas entre los puntos correspondientes .

x

P

T Q

S

−6 −4 −2 0 2 4 6

C D

A B

Autoevaluación 1B

1�


5. Es muy sencillo localizar fracciones co-munes en una recta numérica:

a) El denominador indica en cuántas partes iguales divides a la unidad; el numerador, cuántas de éstas debes tomar .

3 5

se sitúa así:

0 13 −− 5

b) Si la fracción es negativa, haces lo mismo a la izquierda del origen . Pue-des también situarla por simetría si has localizado antes la fracción posi-

tiva . Localizamos - 3 4

de esta forma:

−1 10 3−−4

3− −− 4

c) Si la fracción es mixta, después de ubicar al entero, localizas la par-te fraccionaria en la unidad que le sigue .

1 2 3

se representa:

1 221−− 3

d) Si la fracción es impropia (el numera-dor mayor que el denominador), con-viértela en fracción mixta y procede como se explicó antes .

2 312−− 3

6. Las abscisas y ordenadas son las distancias dirigidas de los ejes al punto .

5. Localiza en una recta numérica los puntos:

A = 1 2 A′ =

- 1

2

B = 5 8 B′ =

- 5

8

C = 2

1 3 C′ =

-21

3

D = 9 6 D′ =

- 9

6

6. Explica, en términos de abscisas y ordenadas, por qué:

a) Las coordenadas del origen son (0, 0) .

b) Los puntos sobre el eje x tienen la forma (x, 0) .

c) Los puntos sobre el eje y tienen la forma (0, y) .

7. Guiándote por los signos, indica en qué cuadrante del plano cartesiano queda-ría ubicado cada uno de los puntos:P(-3, -7), Q(3, 4), R(-2, 9), S(6, -8) .

8. Cancha deportiva Una cancha de fútbol se dibuja a escala, en un plano coordenado, como muestra la figura .

a) Proporciona las coordenadas de los puntos señalados .

b) Si la escala es 1:20, ¿cuál es la longitud real del campo, medida en metros?

1.5

–1.5

A

C D

B

–2.8 2.8


1�


7. Completa el esquema para identificar los signos de las parejas ordenadas de números, de acuerdo con el cuadrante donde se ubiquen .

I(+, +)

II(−, ?)

(?, ?)III

(?, −)IV

8. Cada unidad del plano debe aumentarse 20 veces para obtener su valor real .

9. El DABO es un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 45° . Por tanto, sus dos catetos son iguales: AO = OB . Por trigonometría se tiene AO = AB cos 45° . El valor de cos 45° se obtiene con el triángulo rectángulo:

1cos 45° = —— √ 2

1

1

2��

10. OA = 1 .5; abscisa de A = 1 .5 cos 45° .Puedes usar escala 1:1 . En tal caso, las coordenadas de los vértices en el eje x serían (-150, 0) y (150, 0) .


1 . La palabra abscisa proviene del latín abscissa, que significa cortada .

2 . La palabra ordenada también proviene del latín, del vocablo ordinatae (lineae) que significalíneasparalelas .

9. Geometría A partir de los datos proporcionados, halla las coordenadas de los vértices del paralelogramo .

a = 45°, AB = 2√ 2 , 0 punto medio de AD .

0

B C

DA x

y

α

10. Publicidad En tu trabajo requieres diseñar un anuncio luminoso con forma de estrella octagonal . Para hacerlo a escala 1:100, te auxilias de un plano cartesiano en el que realizas el dibujo como se indica . Si de una punta a otra, opuesta en la estrella, la distancia en línea recta debe ser de 300 cm, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de esta figura?

B

F

A

D H

C

0

E G

x

y

matemÁticas 3 - editorialpatria.com.mx · portafolio de evidencias, elementos que, sin duda,...

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