matemáticas financierasjogoes75.weebly.com/uploads/1/4/0/0/14000276/matemticas... ·...
TRANSCRIPT
1
Semestre 3
Fascículo
5
Matemáticas
Financieras
Matemáticas
financieras Semestre 3
Matemáticas financieras
Matemáticas financieras
Semestre 3
Tabla de contenido Página
Introducción 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual fascículo 5 1
Logros 2
Series variable o gradientes 2
Gradiente aritmético 3
Valor Futuro 3
Valor Presente 7
Gradientes aritméticos crecientes y decrecientes 10
Gradientes aritméticos diferidos 16
Gradiente geométrico 16
Valor Futuro 17
Valor Presente 17
Actividad de trabajo colaborativo 18
Resumen 18
Bibliografía recomendada 19
Nexo 19
Seguimiento al autoaprendizaje 21
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórico – Práctica
Matemáticas
financieras Semestre 3
Matemáticas financieras
Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN
Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,
“Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización
por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA
Tutor Programa Administración de Empresas
Sede Bogotá, D.C.
Revisión de estilo y forma;
ELIZABETH RUIZ HERRERA
Directora Nacional de Material Educativo.
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ
ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.
1
Fascículo No. 5
Semestre 3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Series Fijas o Anualidades
Interés Compuesto
A partir del
y con base en conceptos de
se construyen operaciones de
Gradiente geométrico
Gradiente aritmético
con algunas variantes
CrecientesDecrecientes
Y Diferidas
Introducción
Con el fin de facilitar los cálculos para la construcción de amortizaciones y
capitalizaciones de series variables, se han sistematizado unas fórmulas
que le permiten al gestor financiero concentrarse en el desempeño de sus
funciones con facilidad, en la medida que reducen las operaciones para la
toma de decisiones.
Estas series variables son cantidades de dinero que usualmente provienen
de créditos bancarios o particulares y en otras ocasiones representan
modalidades de ahorros programados en entidades financieras.
Para comprometer recursos financieros se deben consultar los flujos de
caja, quienes dan la pauta para definir los tipos de amortización o
capitalización de valores monetarios.
Conceptos previos
El estudiante deberá comprender y aplicar conceptos de Interés
Compuesto, incluidos los pormenores de conversiones de tasas de interés
y construcción de anualidades.
Mapa conceptual fascículo 5
2
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en
capacidad de:
Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde
intervienen series variables, crecientes o decrecientes.
Argumentar la pertinencia en el uso y construcción de ecuaciones y
gráficas de tiempo y valor para la resolución de problemas de gradientes.
Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series
variables, como condición para gestionar con suficiencia créditos
financieros y otras operaciones a plazos.
Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante
series variables y sus transformaciones frente a los plazos y tasas.
Series variables o gradientes
Se conocen como Series Variables o Gradientes, los pagos que presentan
un comportamiento creciente o decreciente de manera constante.
También son llamados “Gradiente Aritmético” si la variación es periódica y
lineal y ·Gradiente Geométrico” si la variación es periódica y porcentual.
Algunos autores denominan estas operaciones como Anualidades
crecientes o Anualidades Decrecientes.
En este fascículo se analizarán diferentes clases de gradientes, calculando
sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, así como los
detalles de manejo e interpretación que correspondan.
Respecto de la notación que se utilizará en este fascículo se encuentran
las siguientes variables:
VP = Valor Presente del gradiente
VF = Valor Futuro del gradiente
g = Cantidad en que se incrementa o disminuye el pago
periódico
i = Tasa de Interés
n = Número de períodos: diferencia entre el período que termina
y el período donde está localizado su cero.
LogrosLogrosLogros
3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Gradiente Aritmético
En este tipo de transacciones, los pagos aumentan gradualmente en cada
período, es decir, aumentan en forma aritmética. Sobre el gradiente es
posible calcular al menos dos momentos de consolidación de todos sus
valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente) y al final de la
serie de pagos (Valor Futuro).
Valor Futuro
Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los
pagos acumulados al final de la serie, utilizando para ello fórmulas de valor
futuro a interés compuesto.
En un gradiente aritmético, el Valor Futuro se ubica justo en el último pago.
El número de períodos se calcula como la diferencia entre el período
donde termina la serie de pagos y su período cero. El período cero de un
gradiente aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los
pagos.
La fórmula para hallar el Valor Futuro de un gradiente aritmético es:
2
11
i
iniGVF
n
(Fórmula 5.1)
Ejemplo 1
Un padre de familia decide realizar un ahorro para la educación superior
de su hijo en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% mensual. Se
requiere establecer cuál es el valor final del ahorro si se efectúan las
siguientes consignaciones: $500.000 dentro de 2 meses; $1.000.000
dentro de 3 meses; $1.500.000 dentro de 4 meses; $2.000.000 dentro de 5
meses; y $2.500.000 dentro de 6 meses.
4
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
6
i = 1,1% mensual
5
VF
2.500.0002.000.000
1.500.000
0 1 2 3 4
1.000.000500.000
6
i = 1,1% mensual
5
VF
2.500.0002.000.000
1.500.000
0 1 2 3 4
1.000.000500.000
Período cerodel gradiente
Período de inicio de los pagos
Período del Valor Futuro
Figura 5.1 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 1.
En este caso, el Valor Futuro del gradiente se ubica en el período 6 y el
número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y
el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importante anotar que el número de
pagos es n-1, o sea 6-1 = 5.
Figura 5.2 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 1.
Este ejemplo constituye un gradiente típico, en el que el valor del primer
pago es igual a la variación periódica de los pagos Se resuelve de la
siguiente manera: se calcula el Valor Futuro del gradiente, para lo cual se
trasladan todos los pagos al final del sexto mes, de acuerdo con la fórmula
5.1, así:
2
11
i
iniGVF
n
2
6
011,0
011,061011,01000.500VF
5
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
000121,0
001841841,0000.500VF
VF = 500.000 (15,221823)
VF = 7.610.911,50
Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es
de $7.610.91150
Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor
futuro de cada Pago por separado. Así:
VF = Pago 1 (Valor Futuro de 500.000 durante 4 meses) +
Pago 2 (Valor Futuro de 1.000.000 durante 3 meses) +
Pago 3 (Valor Futuro de 1.500.000 durante 2 meses) +
Pago 4 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 1 mes) +
Pago 5 (2.500.000)
VF = 500.000(1+0,011)4
+ 1.000.000(1+0,011)3
+ 1.500.000(1+0,011)2
+ 2.000.000(1+0,011)1
+ 2.500.000
VF = 522.365,67 + 1.033.364,33 + 1.533.181,50 + 2.022.000 +
2.500.00
VF = 7.610.911,50
Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depósitos
(Valor Futuro) es de $7.610.91150
Ejemplo 2
El Gerente de la empresa requiere renovar los equipos de cómputo al
finalizar el año. Para ello decide realizar consignaciones cada fin de mes, a
partir del mes de febrero, iniciando con $200.000 y cada mes aumentará la
6
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
i = 1,3% mensual
1.800.000
2.000.000
2.200.000
200.000
400.000
600.000
800.000
VF
1.000.000
1.200.000
1.400.000
1.600.000
consignación del mes anterior en $200.000. La entidad financiera ofrece
pagar una tasa del 1,3% mensual. ¿Qué valor podrá retirar a fin de año?
Figura 5.3 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 2.
Este caso se resuelve con la fórmula 5.1 para hallar el valor final de la serie
de pagos, así:
2
11
i
iniGVF
n
2
12
013,0
013,0121013,01000.200VF
000169,0
011651776,0000.200VF
VF = 200.000 (68,94542171)
VF = 13.789.084,34
Respuesta: El valor acumulado al final de los depósitos (Valor Futuro) es
de $13.789.08434
Para comprobar la anterior operación se construirá una tabla de
capitalización que representa los ahorros de la empresa:
7
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Mes Saldo Inicial Interés Consignación Saldo final
0
1
2 200.000,00 200.000,00
3 200.000,00 2.600,00 400.000,00 602.600,00
4 602.600,00 7.833,80 600.000,00 1.210.433,80
5 1.210.433,80 15.735,64 800.000,00 2.026.169,44
6 2.026.169,44 26.340,20 1.000.000,00 3.052.509,64
7 3.052.509,64 39.682,63 1.200.000,00 4.292.192,27
8 4.292.192,27 55.798,50 1.400.000,00 5.747.990,77
9 5.747.990,77 74.723,88 1.600.000,00 7.422.714,65
10 7.422.714,65 96.495,29 1.800.000,00 9.319.209,94
11 9.319.209,94 121.149,73 2.000.000,00 11.440.359,67
12 11.440.359,67 148.724,68 2.200.000,00 13.789.084,34
Tabla 5.1 Comportamiento de los pagos en la cuenta de ahorro.
De esta manera queda comprobado que el comportamiento de la cuenta
de ahorros al final arroja un saldo de $13.789.08434
, que para efectos
financieros es el Valor Futuro de la serie de pagos.
Valor Presente
Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los
pagos, descontados al inicio de la serie, utilizando para ello fórmulas de
valor futuro a interés compuesto.
En un gradiente típico, el Valor Presente se ubica dos períodos antes del
primer gradiente, que en este caso es el primer pago. El número de
períodos se calcula como la diferencia entre el período donde termina la
serie de pagos y su período cero. El período cero de un gradiente
aritmético se ubica dos períodos antes de donde empiezan los pagos.
8
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i = 4,5% trimestral
4.000.000
VF
24.000.000
20.000.000
16.000.000
12.000.000
8.000.000
32.000.000
28.000.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i = 4,5% trimestral
4.000.000
VF
24.000.000
20.000.000
16.000.000
12.000.000
8.000.000
32.000.000
28.000.000Período del
Valor Presente(cero del
gradiente)
Período de inicio de los pagos
Período del Valor Futuro
La fórmula para hallar el Valor Presente de un gradiente aritmético es:
n
n
ii
iniGVP
1
112 (Fórmula 5.2)
Ejemplo 3
Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la
empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar
la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos
trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior
en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá
constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral?
Figura 5.4 Representación gráfica del gradiente Ejemplo 3.
En este caso, el Valor Presente del gradiente se ubica en el período 0 y el
número de períodos se calcula como la diferencia entre el período del VF y
el período del VP, es decir 9-0 = 9. Es importante anotar que el número de
pagos es n-1, osea 9-1 = 8.
Figura 5.5 Representación gráfica y descripción de variables Ejemplo 3.
9
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Este ejemplo también constituye un gradiente típico, en el que el valor del
primer pago es igual a la variación periódica de los pagos.
Se resuelve de la siguiente manera: se calcula el Valor Presente del
gradiente, para lo cual se trasladan todos los pagos al inicio de la serie dos
períodos antes del primer pago, de acuerdo con la fórmula 5.2, así:
n
n
ii
iniGVP
1
112
92
9
045,01045,0
045,091045,01000.000.4VP
003009343,0
08109514,0000.000.4VP
VP = 4.000.000 (26,94779212)
VP = 107.791.168,50
Respuesta: El valor acumulado descontando los pagos en el período cero
(Valor Presente) es de $107.791.16850
Ahora se explicará el comportamiento del gradiente, calculando el valor
presente de cada pago por separado. Se trasladarán los valores al período
cero utilizando para ello la tasa de interés del 4,5% trimestral, así:
VP = Pago 1 (Valor Presente de 4.000.000 durante 2 trimestres) +
Pago 2 (Valor Presente de 8.000.000 durante 3 trimestres) +
Pago 3 (Valor Presente de 12.000.000 durante 4 trimestres) +
Pago 4 (Valor Presente de 16.000.000 durante 5 trimestres) +
Pago 5 (Valor Presente de 20.000.000 durante 6 trimestres) +
Pago 6 (Valor Presente de 24.000.000 durante 7 trimestres) +
Pago 7 (Valor Presente de 28.000.000 durante 8 trimestres) +
Pago 8 (Valor Presente de 32.000.000 durante 9 trimestres) +
10
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
VP = 4.000.000(1+0,045)2
+ 8.000.000(1+0,045)3
+
12.000.000(1+0,045)4
+ 16.000.000(1+0,045)5
+
20.000.000(1+0,045)6
+ 24.000.000(1+0,045)7
+
28.000.000(1+0,045)8
+ 32.000.000(1+0,045)9
VP = 3.662.919,80 + 7.010.372,83 + 10.062.736,12 +
12.839.216,74 + 15.357.914,77 + 17.635.882,98 +
19.689.183,56 + 21.532.941,69
VP = 107.791.168,50
Este resultado confirma que el valor acumulado al principio de los
depósitos (Valor Presente) es de $107.791.16850
5.1
Formule dos casos de transacciones financieras en los que se
configuren las dinámicas de gradientes aritméticos. Uno con Valor
Futuro y uno con Valor Presente. Socialícelos con el tutor.
Gradientes Aritméticos Crecientes y Decrecientes
Como se analizó anteriormente, las dinámicas de gradientes aritméticos
suponen que los pagos realizados en determinada transacción financiera,
sufren una variación constante, donde cada pago es igual al anterior más
una cantidad constante (gradiente). No obstante, el comportamiento de
estos pagos en ocasiones decrece cada período y en este caso, cada
pago es igual al anterior menos una cantidad constante (gradiente).
Es frecuente que en ejercicios de amortización de créditos o de
capitalizaciones de sumas de dinero, el primer pago sea de un valor
diferente al del gradiente. A continuación se analizarán dos casos en los
que el primer valor es diferente al del gradiente; en el primero de ellos su
comportamiento es Creciente y en el segundo es Decreciente:
11
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
6
i = 0,5% mensual
1.800.000
2.200.0002.000.000
0 1 2 3 4 5
VF
2.800.0002.600.000
2.400.000
1.000.000GradienteAnualidad +
200.000400.000
600.000800.000
0 1 2 3 4 5 60
1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000
1 2 3 54 6
Ejemplo 4
La empresa decide constituir un fondo para futuras contingencias. Para
ello, realiza unas consignaciones mensuales crecientes, iniciando en
$1.800.000 al final del primer mes y de ahí en adelante incrementando
cada consignación en $200.000. ¿Cuál es el saldo del fondo al realizar la
consignación del sexto mes? La tasa que reconoce la entidad financiera es
del 0,5% mensual.
Figura 5.6 Representación gráfica Ejemplo 4.
Se puede observar que, en este caso, el primer pago no corresponde al
gradiente (diferencia entre los pagos), luego no es posible utilizar la
fórmula 5.1 de Valor Futuro como se aplicó en los dos primeros ejemplos.
Analizando la serie de pagos, esta se puede descomponer en dos series:
la primera, una anualidad de seis pagos de $1.800.000 y la segunda un
gradiente de 5 pagos que inicia en $200.000 y se incrementa en $200.000
cada período.
Esta descomposición se representa así:
Figura 5.7 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 4
Así las cosas, es posible utilizar las fórmulas de:
VF de una Anualidad Vencida y
VF de un Gradiente Aritmético,
12
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Lo anterior con el fin de hallar el Valor Futuro de estas consignaciones,
mediante procedimientos abreviados sumando los dos resultados, así:
Valor Futuro de la Anualidad Vencida
i
iRVF
n 1)1(
005,0
1)005,01(000.800.1
6
VF
005,0
030377509,0000.800.1VF
VF = 1.800.000 (6,075501879)
VF = 10.935.903,38
Valor Futuro del Gradiente Aritmético,
2
11
i
iniGVF
n
2
6
005,0
005,061005,01000.200VF
000025,0
000377509,0000.200VF
VF = 200.000 (15,10037575)
VF = 3.020.075,15
Ahora se suman los resultados para obtener el Valor Futuro
VF de la Anualidad Vencida = 10.935.903,38
VF del Gradiente Aritmético = 3.020.075,15
Valor Futuro consolidado = 13.955.978,53
13
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Respuesta: El saldo del fondo al realizar la consignación del sexto mes es
de $13.955.97853
El desarrollo de este problema se puede abreviar, simplemente, plantean-
do una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF de la Anualidad
Vencida + el VF del Gradiente Aritmético, así:
i
iRVF
n 1)1( +
2
11
i
iniG
n
VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético
Ahora se comprobará el resultado del gradiente, calculando el valor futuro
de cada Pago por separado. Se trasladarán los valores al período 6
utilizando para ello la tasa de interés del 0,5% mensual, así:
VF = Pago 1 (Valor Futuro de 1.800.000 durante 5 meses) +
Pago 2 (Valor Futuro de 2.000.000 durante 4 meses) +
Pago 3 (Valor Futuro de 2.200.000 durante 3 meses) +
Pago 4 (Valor Futuro de 2.400.000 durante 2 meses) +
Pago 5 (Valor Futuro de 2.600.000 durante 1 mes) +
Pago 6 (Valor de 2.800.000)
VF = 1.800.000(1+0,005)5
+ 2.000.000(1+0,005)4
+
2.200.000(1+0,005)3
+ 2.400.000(1+0,005)2
+
2.600.000(1+0,005)1
+ 2.800.000
VF = 1.845.452,26 + 2.040.301,00 + 2.233.165,28 + 2.424.060,00 +
2.613.000,00 + 2.800.000,00
VF = 13.955.978,53
14
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
0 4
i = 0,8% mensual
2.500.000
1 2 3
VF
4.000.0003.500.000
3.000.000
Este resultado confirma que el valor acumulado como saldo del fondo al
realizar la sexta consignación es $13.955.97853
Del caso anterior se deduce que cuando el primer pago es diferente del
gradiente, se puede resolver el problema considerando por separado y
sumando el resultado de la anualidad con el resultado del gradiente
aritmético.
Ahora se analizará el segundo caso: Gradiente Aritmético Decreciente. En
ocasiones para la amortización de las deudas es conveniente, según los
flujos de caja, comprometer los pagos de tal manera que sean descen-
dentes en el tiempo; otra situación se presenta cuando se hacen retiros
permanentes y descendentes de una cuenta o un fondo y sobre los saldos
se calculan intereses compuestos; también es posible realizar depósitos
decrecientes en una cuenta para obtener al final un saldo. Esta situación
corresponde al siguiente ejemplo:
Ejemplo 5
Con el fin de contribuir con los gastos universitarios del segundo semestre,
se realizan en una cuenta de ahorros los siguientes depósitos mensuales
vencidos decrecientes: $2.000.000 a finales de marzo y cada fin de mes
sucesivo, $500.000 menos que el mes anterior, hasta el 30 de junio. La
tasa de interés pactada es del 0,8% mensual. ¿Qué cantidad se podrá
retirar a mitad de año?
Figura 5.8 Representación gráfica del Gradiente Aritmético Decreciente. Ejemplo 5
15
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000
Anualidad Gradiente
0 1 2 3 40 1 2 3 4
1.000.000500.000
-
1.500.000
En este caso, igual que en el ejemplo anterior, se observa que el primer
pago no corresponde al gradiente (diferencia entre los pagos), luego se
requiere descomponer estos movimientos en dos series: la primera, una
anualidad de cuatro pagos de $4.000.000 y la segunda un gradiente de 3
pagos que inicia en $500.000 y disminuye en $500.000 cada período.
Esta descomposición se representa así:
Figura 5.9 Representación gráfica de Anualidad y Gradiente en el ejemplo 5.
Así las cosas, se plantea una ecuación donde el Valor Futuro es igual al VF
de la Anualidad Vencida menos (-) el VF del Gradiente Aritmético, así:
i
iRVF
n 1)1( -
2
11
i
iniG
n
VF de la Anualidad Vencida VF del Gradiente Aritmético
008,0
1)008,01(000.000.4
4
VF -
2
4
008,0
008,041008,01G
VF = 16.193.026,05 - 3.016.032
VF = 13.176.994,05
Respuesta: A mitad de año se podrá retirar de la cuenta $13.176.99405
A continuación se presenta un resumen de las fórmulas más utilizadas en
Gradientes aritméticos (tabla 5.1):
16
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Valor Presente
n
n
ii
iniGVP
1
112
Aritm
ético o
lin
eal Gradiente en
Valor Presente
ini
iVPiG
n
n
11
12
Valor Futuro
2
11
i
iniGVF
n
Gradiente en
Valor Futuro
ini
iVFG
n
11
2
Tabla 5.1 Resumen de fórmulas: Gradientes Aritméticos.
Gradientes Aritméticos Diferidos
Al igual que ocurre con las anualidades diferidas, este tipo de operaciones
se presentan cuando se requiere de un tiempo denominado “período de
gracia”, en el que no se realizan abonos al capital de la deuda. No
obstante, se deben liquidar los intereses y en el momento del inicio de los
pagos, estos deben sumarse al capital para calcular el valor de cada cuota.
También es usual, para no alterar el monto del crédito inicial, cancelar los
intereses generados durante el período de gracia. Esto permite que el
monto de las cuotas no se incremente por efecto de la capitalización de
intereses.
La variación se reduce a que hay que calcular unos intereses al principio
de la operación, que se cancelan o se capitalizan y luego se establece el
monto de las cuotas para amortizar el crédito, utilizando para ello, las
mismas fórmulas de una serie creciente o decreciente, según corresponda.
Gradientes Geométricos
En algunas transacciones se construyen series de pagos cuyo
comportamiento consiste en un crecimiento geométrico, es decir, cada
17
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
i = 0,4% mensual
200.000
288.000240.000
01-Ene 31-Ene 28-Feb 31-Mar 30-Abr 31-May
VF
497.664414.720
345.600
30-Jun
pago corresponde al anterior, multiplicado por un número llamado razón
(r).
Supóngase una serie de pagos como los que se plantean:
Figura 5.10 Representación gráfica del Gradiente Geométrico..
En este caso, se propone un ahorro inicial de de $200.000 al final del
primer mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes,
con un incremento del 20% sobre el depósito anterior.
Valor Futuro
La fórmula para establecer el Valor Futuro de la serie de pagos en un
Gradiente Geométrico, es:
ri
riKVF
nn11
(Fórmula 5.3)
En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:
2,0004,0
2,01004,01000.200
66
VF
VF = 2.001.778,28
El Valor Futuro del Gradiente Geométrico es $2.001.77828
Valor Presente
La fórmula para establecer el Valor Presente en un Gradiente Geométrico,
descontando la serie de pagos al inicio, es:
18
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
n
nn
iri
riKVP
1
11 (Fórmula 5.4)
En el caso que se analiza, la fórmula se despeja así:
6
66
004,012,0004,0
2,01004,01000.200
VP
VP = 1.954.401,09
El Valor Presente del Gradiente Geométrico es $1.954.40109
En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras y
establezcan al menos una transacción en la que se configure el comportamiento
de gradientes crecientes o decrecientes. Socialicen las respuestas con el tutor.
Como una variante de las anualidades, aparecen las operaciones de
gradientes, que presentan las mismas estructuras de aquellas, pero los
pagos (ingresos o egresos) no son fijos sino variables (crecientes o
decrecientes).
Estas series de valores se incrementan o disminuyen de dos maneras: en
una cantidad constante o a una proporción dada (razón). En la primera
forma se denominan Gradientes aritméticas o lineales y en la segunda
forma se denominan Gradientes Geométricas o Exponenciales.
Sobre estas series de valores se han sistematizado unas fórmulas que
permiten hallar las equivalencias presentes o futuras de todos los pagos,
con el fin de facilitar los cálculos y los diseños de planes de capitalización
o tablas de amortización. Estas fórmulas se han dispuesto en cada uno de
los temas desarrollados en el fascículo.
19
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 2001.
BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).
CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.
Primera edición. Mexico: Trillas, 2004
CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:
CECSA, 1999. (Texto guía).
DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 1997.
GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia
finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,
2000. (Texto guía).
PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:
Mc Graw Hill, 1997.
SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.
Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.
En el Fascículo 6 se construirán y analizarán diferentes estructuras de
amortización, representan periódicamente los comportamientos de
anualidades, gradientes y otras transacciones financieras.
20
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
21
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Matemáticas Financieras - Fascículo No. 5
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad __________________________________Semestre: _______________
Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de
selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de
autoaprendizaje:
1. Una serie de pagos en forma creciente con variación constante puede ser
llevada a su Valor Futuro con la fórmula:
A.
i
iRVF
n 1)1(
B.
ri
riKVF
nn11
C.
2
11
i
iniGVF
n
D. niPF )1(
2. Para establecer el Valor Futuro de una serie de pagos donde el primero de
ellos es de $1.000.000 y se incrementa en $50.000 cada mes, se deben
conjugar las siguientes fórmulas, así:
A.
ri
riKVF
nn11
menos
i
iR
n 1)1(
B.
2
11
i
iniGVF
n
más niP )1(
C.
i
iRVF
n 1)1( más
ri
riK
nn11
D. niPF )1( menos
i
iR
n 1)1(
22
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 5
Semestre 3
3. La diferencia entre el Gradiente Aritmético y el Gradiente Geométrico radica
en que:
A. El Gradiente Aritmético tiene un comportamiento positivo y el Gradiente
Geométrico, negativo
B. El Gradiente Aritmético es creciente y el Gradiente Geométrico es
decreciente
C. El Gradiente Aritmético tiene una variación constante y el Gradiente
Geométrico, porcentual
D. El Gradiente Aritmético se calcula al final del período y el Gradiente
Geométrico, al principio
4. Una deuda será cancelada mediante 6 pagos mensuales, el primero de ellos
por valor de 500.000 y cada uno de los pagos sucesivos incrementados en
500.000. El primer pago se realizará a los seis meses del desembolso. Si la
tasa de financiación es del 1,8% mensual, ¿cuál fue el valor del crédito?
5. Debo pagar un crédito de la siguiente manera:
i = 1,95% mensual
4 5 6
600.000300.000
0 1 2 3
1.800.0001.500.000
1.200.000900.000
Pero solicito se me permita realizar 12 pagos mensuales iguales vencidos. ¿Cuál
será el valor de los pagos?