matemáticas 2 recursos didacticos.pdf
TRANSCRIPT
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 1/168
Recursos didácticos
Mayra Martínez de Garay
Jaime Omar Lugo de la TejeraEduardo Mancera Martínez
Matemáticas
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 2/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 3/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Matemáticas 22Recursos didácticos
Mayra Martínez de Garay,
Jaime Omar Lugo de la Tejera
Eduardo Mancera Martínez
E i ro Matemáticas 2. Recursos didácticos u
obra colectiva creada y diseñada en el Departamento
e Investigaciones E ucativas e E itoria Santi ana, con
la dirección de Antonio Moreno Paniagua
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 4/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Recursos didácticos
Mayra Martínez de Garay
Jaime Omar Lugo de la Tejera
Eduardo Mancera Martínez
ayra Martínez de Garayz
ame mar ugo e a TeeraTa me mar u o e a T e er a
EduardoManceraMartínezu ar o a nc er a a rt n ez z
Matemáticas
1 1 0 5 4 5 P M
D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.v. Universidad 767
03100, México, D. F.
SBN: 978-607-01-0114-
Primera edición: enero 2009
Miem ro e la Cámara Nacional e la
Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802
mpreso en México
Eduardo Mancera Martínez
El libro Matemáticas 2. Recursos didácticos fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Edición: Guillermo Trujano Mendoza y José Luis Acosta
Lectura e prue as: E uar o Men oza
Colaboración: Claudia Navarro Castillo y Javier Esquivel
Revisión Técnica: José Luis Córdova Frunz
Corrección e esti o: José Luis Acosta y Car os e Razo
Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott, Rocío Echavarrí Rentería, Mauricio Gómez Morin Fuentes, José Francisco Ibarra Meza,Tania Rendón López y José Luis Acosta
Diseño de portada: Francisco Ibarra Meza
Coordinación de diagramación: Alejo Nájera Hernández
Ilustración: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Abelardo Culebro Bahena, Eliud Monroy, Augusto Mora, Israel Ramírez y Susana Inés Morales Juárez
Diagramación: Fausto A rián Ur án Brizue a, Sergio Bourguet, Héctor Ovan o Jarquín, Luis Va ver e Sa va or y Pe ro Santiago Cruz
Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la
reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 5/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Presentación III
Presentación
¿Para qué estudiar Matemáticas? Seguramente sus estudiantes se han hecho estapregunta muchas veces. Este libro de recursos está pensado para apoyarlo en la
relación con sus alumnos: para que usted pueda guiarlos a contestar las preguntasque se hacen, a animar os a seguir cuestionándose, a buscar, exp orar, entender ydisfrutar el mundo de la matemática.
Con base en las orientaciones que contiene este texto, usted podrá guiar a sus alum-nos al descubrimiento de los conocimientos de esta materia, pero sobre todo, a darsecuenta de que a matemática es mucho más que aprender fórmu as y reso ver opera-ciones, mucho más que números y signos.
Matemáticas 2. Recursos didácticos es una herramienta que permite a los docentesde la asignatura acompañar el trabajo de los escolares. Este material brinda a losmaestros y las maestras elementos para facilitar a los estudiantes el desarrollo de ha-
ilidades. Proporciona a los profesores herramientas para despertar la curiosidad yayudar a los alumnos en el desarrollo de las habilidades como seres humanos, comoentes pensantes, creadores y transformadores.
En esta obra encontrará una dosificación en cinco bimestres de os temas delibro del alumno, prevista para 38 semanas de clases. En ésta se especifican lospropósitos de cada bloque y las competencias, además de los conceptos, habili-dades, actitudes y aprendizajes esperados de cada tema. Asimismo, con base enlas actividades realizadas, el logro de los propósitos previstos, las observaciones deos docentes y a ap icación de exámenes, sugiere os momentos convenientes para
evaluar el aprendizaje de las alumnas y los alumnos.
Se incluyen, como una propuesta más para la evaluación de los estudiantes, dos
modelos de exámenes por bimestre elaborados a partir de la dosificación de los con-tenidos del libro del alumno y, para facilitar el trabajo de calificación, se añadenas respuestas de los diez exámenes. Además, se adjunta una bibliografía para el docente.
Este ejemplar también presenta la reproducción del libro del alumno, acompa-ñado de orientaciones para conducir las clases de Matemáticas 2, adecuadas alprograma de a asignatura. E propósito es faci itar a as profesoras y os profesoresalgunos elementos que, sumados a su experiencia y creatividad, les permitan or-anizar y dirigir el trabajo de los educandos.
Deseamos que el libro Matemáticas 2. Recursos didácticos responda a las necesi-dades de os docentes que dedican su práctica profesiona y su entusiasmo a a
enseñanza de las matemáticas de los estudiantes de secundaria.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 6/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 7/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 8/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 9/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 10/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
PRIMER BIMESTRE
Bloque temático 1
Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Resolverán problemas que requieran efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo. Encontrarán explicaciones para entender por qué
a suma e os ángu os internos e cua quier triángu o es 180º y a e os e un cua ri átero es e 360°. Reso verán pro emas e conteo me iante a rea ización ecálculos numéricos. Resolverán problemas de valor altante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Construirán polígonos de recuencia e interpretarán la
información contenida en ellos.
Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros
1
ema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Problemas multiplicativos
Lección :oner y quitar… tantas veces
Páginas: 12 - 47
Plantea problemas que impliquen la multiplicación y división de enteros.Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelveproblemas operando con expresiones algebraicas.
2
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Problemas aditivos
Lección 1:Poner y quitar… tantas vecesPáginas: 12 - 47
Plantea problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelveproblemas operando con expresiones algebraicas.
3
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Operaciones combinadas
Lección 1:Poner y quitar… tantas vecesPáginas: 12 - 47
Reconoce y obtiene expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelosgeométricos.Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicasa partir de modelos geométricos.
4
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Operaciones combinadas
Lección 1:Poner y quitar… tantas vecesPáginas: 12 - 47
Resuelve problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimalescon signo.Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicasa partir de modelos geométricos.
5
Tema:Formas geométricasSubtema: Rectas y ángulos
Lección 2:Qué dicen los ángulos y susmedidasPáginas: 48 - 77
El estudiante resuelve y plantea problemas que impliquen el reconocimiento y la medición deángulos.
A partir de intersecciones de dos rectas en el plano, y de dos rectas paralelas cortadas por una
transversal, el estudiante reconoce relaciones entre ángulos del tipo opuestos por el vértice,adyacentes, colaterales, correspondientes, alternos, internos, externos, etcétera.
6
Tema:MedidaSubtema: Estimar, medir y calcular
Lección 2:Qué dicen los ángulos y susmedidasPáginas: 48 - 77
El alumno deduce la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Deduce las relacionesentre medidas de ángulos interiores de triángulos y de paralelogramos. Resuelve problemasoperando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelve problemas operando conexpresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos.
7
ema:Análisis de la informaciónSubtema: Relaciones de proporcionalidad
Lección :Si uno aumenta, el otrotambiénPáginas: 78 - 97
El estudiante elabora procedimientos para obtener el factor inverso a partir de una relación deproporcionalidad y resuelve problemas de proporcionalidad múltiple.
8
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Diagramas y tablas
Lección 4:Cuentas de cuántosPáginas: 98 - 105
Pronostica resultados en situaciones de conteo reconociendo regularidades.Comprueba resultados usando arreglos rectangulares, diagramas de árbol, etc.
9Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 5:Gráficas que hablanáginas: 106 - 117
Analiza y representa datos utilizando polígonos de frecuencia. Interpreta y comunica lainformación mediante polígonos de frecuencias.
PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL
Dosificación
III
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 11/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados
Monomio, parte numérica y literal de unmonomio.Término de una expresión algebraica.
• Inferencia de propiedades,características y tendencias.
• E xpresión y representació n numérica.
• Reconocer la importancia del álgebran la solución de problemas.
• Comprender que las matemáticas son,sobre todo, razonar y producir ideas.
• Asumir el reto de construir conceptos.
• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulosinteriores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de losángulos interiores de cualquier triángulo y de cualquier cuadrilátero;desarrollar argumentos que lo justifiquen.
• Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números consigno. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo.Resolución de problemas que involucran números con signo.
Monomio, parte numérica y literal de unmonomio.Término de una expresión algebraica.
• Infere ncia de propiedade s,características y tendencias.
• E xpresión y representació n numérica.
• Reconocer la importancia del álgebran la solución de problemas.
• Comprender que las matemáticas son,sobre todo, razonar y producir ideas.
• Asumir el reto de construir conceptos.
• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulosinteriores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de losángulos interiores de cualquier tri ángulo y de cualquier cuadrilátero;desarrollar argumentos que lo justifiquen.
• Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números consigno. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo.
• Resolución de problemas que involucran números con signo.
Monomio, parte numérica y literal de unmonomio.Término de una expresión algebraica.
• Argumentación.• Anti cipar y justifica r resultados.• D esarrollo de la intuición.
• Reconocer la importancia del álgebran la solución de problemas.
• Comprender que las matemáticas son,sobre todo, razonar y producir ideas.
• Asumir el reto de construir conceptos.
• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificaciónde expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtenerexpresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.
• Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresionesalgebraicas.
Monomio, parte numérica y literal de unmonomio.Término de una expresión algebraica.
• Argumentación.• Anti cipar y justifica r resultados.• D esarrollo de la intuición.
• Reconocer la importancia del álgebran la solución de problemas.
• Comprender que las matemáticas son,sobre todo, razonar y producir ideas.
• Asumir el reto de construir conceptos.
• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificaciónde expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtenerexpresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.
• Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresionesalgebraicas.
Ángulo, vértice y lados de un ángulo.Grado.Ángulo llano, recto, agudoy obtuso.
• E stimar, justificar y anticipar resultados.• D esarrollo de la intuición.• I nferir y deducir.• Argumentación.• Interpretación de ideas y
procedimientos.
• Poner a prueba sus conocimientos.• Razonar y compartir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Interés por investigar.
• Identificar, en distintas situaciones, ángulos como abertura entre dosplanos. Mediante situaciones simples; identificar ángulo recto, de 3 60° yde 180° ; identificar mediante comparaciones ángulos menores y mayores,ángulo agudo y ángulo obtuso. Comprender unidades de medida y realizarconversiones. Dadas dos rectas que se intersecan, reconocer las relacionesentre los ángulos que se forman identificando ángulos opuestos por el vértice
y ángulos adyacentes; y establecer si las rectas son perpendiculares o no.
Ángulos suplementarios.Ángulos adyacentes y opuestos por elvértice.Rectas perpendiculares y paralelas.Ángulos colaterales, correspondientes,alternos internos y externos.
• E stimar, justificar y anticipar resultados.• D esarrollo de la intuición.• Inferir y deducir.• Argumentación.• Interpretación de ideas y
procedimientos.
• Poner a prueba sus conocimientos.• Razonar y compartir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Interés por investigar.
• Dadas dos rectas que no se intersecan, y una tercera recta que corte a lasdos anteriores, determinar si éstas son paralelas o no. Construir definicionespara distintos tipos de ángulos, con base en sus atributos.
• Distinguir, identificar y comparar rectas, semirrecta y ángulos. Deducircuándo dos ángulos son opuestos y argumentar por qué, sin recurrir amediciones. Dadas dos rectas paralelas cortadas por una transversal;establecer las distintas relaciones entre esos ángulos; dar argumentos para
justifica r las relaciones de igualdad .
Relación de proporcionalidad directa,factor constante de proporcionalidad,directo e inverso.Proporcionalidad múltiple.
• E xpresar, representar, identificar yanalizar información.
• E lección adecuada de procedimientos.• rgumentación.• Desarrollo de la intuición y el
razonamiento.
• Compartir ideas.• Abordar un problema bajo distintas
ormas.• Apreciar la aplicación de las
matemáticas en problemas ysituaciones bajo distintos contextos.
• Identificar una relación de proporcionalidad directa, dar la expresiónalgebraica que la modela y encontrar el factor constante de proporcionalidad.Establecer que toda relación de la forma kx es equivalente a (1/k ,identificando ambas expresiones como relaciones de proporcionalidaddirecta, y reconociendo a 1/k como factor inverso. Resolver problemas deproporcionalidad directa, identificar el factor directo y el inverso; reconocer
bajo qué circunstancias interviene uno y en cuáles el otro; dar la expresiónalgebraica correspondiente y la gráfica, comparar y reconocer diferencias ysimilitudes. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
Relación de proporcionalidad directa,factor constante de proporcionalidad,directo e inverso.Proporcionalidad múltiple.
• E xpresar, representar, identificar yanalizar información.
• E lección adecuada de procedimientos.• Argumentación.• Desarrollo de la intuición y el
razonamiento.
• Compartir ideas.• Abordar un problema bajo distintas
ormas.• Apreciar la aplicación de las
matemáticas en problemas ysituaciones bajo distintos contextos.
Desarrollar el razonamiento combinatorio al resolver problemas de conteo,identificar regularidades y utilizar distintos recursos para organizar lainformación, enumerarla, averiguar el total de combinaciones posibles yenunciar fórmulas de recuento. Comprobar resultados, usando arreglosrectangulares, diagramas de árbol u otros métodos.
Polígono de frecuencia.Ubicación de puntos en el plano.
• O rganizar, representar e interpretar.• Manejo de técnicas, gráficas y tablas.
• Tomar decisiones y justificar las, conargumentos razonados.
Organizar información en tablas, elaborar polígonos de f recuencia con base enla tabla correspondiente; analizar e interpretar la información; distinguir lasventajas de tener la información organizada en tablas y tenerla organizada enpolígonos; sacar conclusiones a partir del análisis de la información.
PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL
Dosificación IX
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 12/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
SEGUNDO BIMESTRE
Bloque temático 2 Propósitos: En este oque as a umnas y os a umnos:• Eva uarán, con o sin cacu a ora, expresiones numéricas y expresiones a ge raicas en as que se uti icen paréntesis. Reso verán pro emas que imp iquen operar o expresar
resultados mediante expresiones algebraicas. Anticiparán diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Resolverán problemas en los que sean necesarios calcular cualquierade los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establecerán relaciones de variación entre dichos términos. Resolverán problemas
que implican comparar o igualar dos o más razones. Resolverán problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central.
Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros
10
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Operaciones combinadas
Lección 6:Operaciones con números
y letrasPáginas: 120 - 143
El estudiante jerarquiza las operaciones y los paréntesis en diferentes problemas.Resuelve problemas multiplicativos, usando expresiones algebraicas.
11
Tema:MedidaSubtema: Justificación de fórmulas
Tema:Formas geométricas
Subtema: Cuerpos geométricos
Lección 7:Prismas y pirámidesPáginas: 144 -163
El alumno reconoce las características de cubos, prismas y pirámides.Elabora desarrollos planos de prismas y pirámides.Distingue diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
12
ema:MedidaSubtema: Justificación de fórmulas
Lección 8:Encuentra volúmenes deprismas y pirámidesPáginas: 164 - 179
Reconoce y utiliza fórmulas para calcular el volumen de prisas y pirámides rectos.Argumenta su utilización.
13
Tema:MedidaSubtema: Estimar, medir y calcular
Lección 8:Encuentra volúmenes deprismas y pirámidesPáginas: 164 - 179
Obtiene aproximaciones de volumen de prismas y pirámides a partir de datos relacionadoscon las fórmulas de volumen.Hace conversión de unidades de volumen.
14
ema:Análisis de la informaciónSubtema: Relaciones de proporcionalidad
Lección :Las razones de laproporcionalidadPáginas: 180 - 185
El estudiante comprende el significado de una razón, compara razones y dimensiona lassituaciones comparadas.
15
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Medidas de tendencia central y de dispersión
Lección 10:Tendencia central ydispersión de datosPáginas: 186 - 193
El alumno analiza las medidas de tendencia central, las interpreta y las utiliza para obtenermás información de los datos dados.
16
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Medidas de tendencia central y de dispersión
Lección 10:Tendencia central ydispersión de datos
Páginas: 186 - 193
Calcula las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.
SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 13/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Dosificación
Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados
Monomio.Binomio.Polinomio.Área.
• Ma nejo y representació n numérica.• Deducir reglas.• Anti cipar y justifica r resultados.
• Descubrir y construir figuras , ideasrazonamientos. Creatividad.
• Familiarizarse con el uso de paréntesis en operaciones; establecer el ordencorrecto para efectuar los cálculos numéricos.
• Expresar algebraicamen te el área involucrad a(s) en distintos modeloseométricos.
• Dado el producto de dos monomios, el de un monomio con un binomio yel de dos binomios, representarlos con modelos geométricos.
Poliedro.Cubo.Prisma.Pirámide.Cara.Arista.
Vértice.
• D esarrollo de la imaginaciónespacial.
• Abordar un problema bajo distintas formas.• Investigar, conjeturar y poner a prueba.• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.
• Dadas las características de un cuerpo geométrico, identificarl o y elaboraru desarrollo plano; y viceversa, dado un cuerpo geométrico, describir sus
características y su desarrollo plano.• Identificar número de caras, aristas y vértices de poliedros, así como
deducir la fórmula de Euler que relaciona dichos datos.
Volumen.Capacidad.Decímetro cúbico.
• Uso de fórmulas y manejoalgebraico de literales.
• Desarrollo de la intuición y laargumentación.
• Abordar un problema bajo distintas formas.• Investigar, conjeturar y poner a prueba.• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.
• Deducir y justificar la fórmula para el volumen de un cubo; a partir de ello,construir la fórmula para el volumen de un prisma. Comprobarde distintas formas que el volumen de una pirámide es la tercera parte delprisma con base y altura iguales a las de la pirámide.
Volumen.Capacidad.Decímetro cúbico.
• D educción y justificació n deresultados.
• Inferir propiedades, características y tendencias.
• Abordar un problema bajo distintas formas.• Investigar, conjeturar y poner a prueba.• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.
• Estimar y calcular el volumen de prismas y pirámides. A partir de ciertosdatos de un cuerpo geométrico, calcular los datos desconocidos,relacionándolos con la fórmula correspondiente de volumen. Identificar
y establecer relaciones entr e el volumen de dos prismas , así como elvolumen de un prisma y una pirámide, al variar la altura y dejar fija la base,
y al fijar un lado y variar los demás.• Distinguir volumen y capacidad, realzar conversiones.
Cociente.Razón.
Fracción.
• Uso y elección adecuada deprocedimientos expertos.
• Análisis de las cosas y los problemas. • Identificar una razón (fracción) como una relación entre doscantidades, comprender el significado de esa relación y establecer
comparaciones con otras razones que también representan relacionesentre dos datos. Manejar la noción de equivalencia en la comparación derazones. Interpretar y usar razones y razones equivalentes en la resolución
e problemas.
Moda.Media.Mediana.
• Manejo de la información. Análisise interpretación de datos.
• Comunicación y argumentación.• Investigación.
• Interés en información estadística sobreproblemas socioeconómicos.
• Toma de decisiones justificadas, conargumentos razonados.
• Reconocer, en gráficas y tablas, las medidas estadísticas ; interpretarlas,nalizarlas y sacar conclusiones. Estimar las medidas estadísticas en
conjuntos grandes de datos, agrupándolos por intervalos.
Intervalo de agrupamiento de datos. • Representar e interpretar datos.• Uso de procedimientos en solución
de problemas.
• Investigación.• Actitud positiva hacia la estadística y sus
aplicaciones.
• Aplicación de polígonos de frecuencia, medidas estadístic as, así comorazón entre dos cantidades y distintos problemas relacionados concomportamientos poblacionales.
SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL
XI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 14/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
TERCER BIMESTRE
Bloque temático 3
Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Construirán sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Resolverán problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax b =cx + d; donde
los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Expresarán mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntosde cantidades. Establecerán y justificarán la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. Argumentarán las razones por las cuales una figura geométrica sirve
como modelo para recubrir un plano. Identificarán los efectos de los parámetros e a unc ón , en a grá ca que correspon e.
Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros
17
Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Patrones y fórmulas
Lección 11:Dos pasos adelante y unoatrásPáginas: 196 -205
El estudiante es capaz de crear sucesiones de números con signo a partir del algoritmo.Asimismo, obtiene la fórmula a partir de los términos de una sucesión.
18
Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: cuaciones
Lección 12:Cuando las letras secomportan como númeroságinas: 206 - 217
Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la formaax + bx + x + x + f .
19
Tema:
Significado y uso de las literalesSubtema: Ecuaciones
Lección 12:
Cuando las letras secomportan como númeroságinas: 20 - 217
Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la forma
ax + bx + x + x + f .
20
Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Relación funcional
Lección 13:La realidad a través demodelos linealesPáginas: 218 - 231
El alumno resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entreotras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma + b . Discute laconveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.
21
Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Relación funcional
Lección 13:La realidad a través demodelos linealesPáginas: 218 - 231
El estudiante resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entreotras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma y x + b . Discute laconveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.
22
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 14:Funciones lineales y susgráficasPáginas: 232 - 257
Utiliza gráficas con relaciones lineales ligadas a diversos fenómenos para resolver y plantearproblemas. Aplica conceptos aprendidos en el bloque a situaciones de la vida cotidiana.
23
ema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 14:Funciones lineales y susgráficasPáginas: 232 - 257
Predice el comportamiento de gráficas lineales de la forma + b al cambiar el valor deb cuando m es constante, así como cuando se hace variar m y b permanece constante.
24
Tema:Formas geométricasSubtema: Justificación de fórmulasSubtema: Figuras planas
Lección 15:Mosaicos y recubrimientosPáginas: 258 - 267
El estudiante obtiene la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.Explica y argumenta el porqué una figura geométrica puede recubrir el plano.
TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL
II
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 15/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Dosificación
Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados
Sucesión. Intuición.Identificar propiedades,características y tendencias.Sentido numérico.
Investigar, conjeturar y poner aprueba.Descubrir y construir.
• Abordar problemas que involucran sucesiones de números con signo, buscandoregularidades, formulándolas, deduciendo una regla general, comprobarla ydesarrollar argumentos que la justifiquen.
• Dada una regla general, construir la sucesión correspond iente y, viceversa, dadauna sucesión, deducir la regla general.
Eliminación de paréntesis, agrupación yreducción de términos semejantes.
Anticipar resultados.Uso de procedimientos expertos.
Apreciar el uso de ecuaciones comomodelos en la solución de situacionesproblemáticas.
• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con unaincógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición detérminos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.
Eliminación de paréntesis, agrupación y
reducción de términos semejantes.
Anticipar resultados.
Uso de procedimientos expertos.
Apreciar el uso de ecuaciones como
modelos en la solución de situacionesproblemáticas.
• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con una
incógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición detérminos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.
Relación funcional lineal. Su expresiónalgebraica, tabla y gráfica.
Manejo y uso de las literales.Interpretación y análisis de gráficas,tablas y expresiones algebraicas.
Reconocer la presencia de lasmatemáticas en situaciones endiversos contextos.Razonar y construir ideas.
• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencialineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependientee independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de laotra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que encualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y x + b.
Relación funcional lineal. Su expresiónalgebraica, tabla y gráfica.
Manejo y uso de las literales.Interpretación y análisis de gráficas,tablas y expresiones algebraicas.
Reconocer la presencia de lasmatemáticas en situaciones endiversos contextos.Razonar y construir ideas.
• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencialineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependientee independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de laotra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que encualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y x + b.
Relación funcional lineal. Su expresiónalgebraica, tabla y gráfica.
Uso de procedimientos expertos enla resolución de problemas.Interpretación de ideas yprocedimientos.Argumentación.
Confianza en la capacidad deaprender.Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.
• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediantetablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante yvariando b deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, ;comparar distintas gráficas para mx variando m y deducir que son recta sque pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo constante
y variando m ; deducir que son rectas que pasan por (0, ).• Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones
lineales, extraer conclusiones.
Relación funcional lineal. Su expresiónalgebraica, tabla y gráfica.
Uso de procedimientos expertos enla resolución de problemas.Interpretación de ideas yprocedimientos.Argumentación.
Confianza en la capacidad deaprender.Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.
• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediantetablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante yvariando b deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, ;comparar distintas gráficas para y mx variando m y deducir que son recta sque pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo constante
y variando ; deducir que son rectas qu e pasan por (0, ).• Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones
lineales, extraer conclusiones.
Suma de ángulos interiores de unpolígono.Recubrimiento de superficies planas,repitiendo una pieza o un mosaico.
Identificar propiedades,características y tendencias.Desarrollo de la intuición.Interpretación de ideas yprocedimientos.Creatividad.
Investigar, conjeturar y poner aprueba.Descubrir y construir.
• Mediante construcciones basadas en uniones de triángulos, deducir el valorde la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros y los pentágonosconstruidos. Comprobar la deducción con distintos procedimientos. En eltrazado de polígonos, encontrar la relación que hay entre el número de lados delpolígono y el número de triángulos en que se subdivide al trazar diagonalesdesde un vértice; deducir la fórmula para calcular suma de los ángulosinteriores de cualquier polígono.
• Mediante construcciones , deducir la condición necesaria para que, al repetirun mismo polígono regular, se pueda recubrir un piso, sin dejar huecos y sintraslapes. Concluir cuáles son los polígonos regulares que cubren una superficieplana sin dejar huecos y sin traslapes. Mediante construcciones, deducir conqué polígonos es posible formar mosaicos que, al repetir, cubran una superficieplana sin dejar huecos y sin traslaparse.
TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL
XIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 16/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
CUARTO BIMESTRE
Bloque temático 4 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Conocerán procedimientos para trabajar con las leyes de los exponentes y de la notación científica; además resolverán problemas relacionados con estos contenidos. Abordarán
algunos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Analizarán in ormación registrada por dos omás grá icas de unciones lineales para interpretar y relacionar di erentes características de un enómeno o situación problemática. Resolverán problemas que impliquen el cálculo de
la probabilidad de dos eventos independientes. Relacionarán adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.
Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros
25
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Potenciación y radicación
Lección 16:La potencia de los númerosPáginas: 270 - 285
El estudiante puede hacer uso de diferentes métodos para calcular productos, cocientes depotencias enteras, potencias de potencias y justifica tales métodos.
26
Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Potenciación y radicación
Lección 16:La potencia de los númerosPáginas: 270 - 285
Resuelve operaciones de potencias, usando incluso exponentes negativos.Trabaja con notación científica, represent ando números muy pequeños y muy grand es.
27
ema:Formas geométricasSubtema: Figuras planas
Lección 7:Triángulos en todas partesPáginas: 286 - 301
Determina cuáles triángulos son o no congruentes basándose en los diferentes criterios decongruencia.
28
Tema:Formas geométricasSubtema: Rectas y ángulos
Lección 17:Triángulos en todas partesPáginas: 286 - 301
El alumno traza o reconoce las alturas, bisectrices y mediatrices de un triángulo y resuelveproblemas, haciendo uso de sus propiedades.
29
Tema:Análisis de la informaciónSubtema: Noción de probabilidad
Lección 1 :Independencia de eventosPáginas: 302 - 313
El estudiante obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabediferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.
30
Tema:Análisis de la informaciónSubtema: Noción de probabilidad
Lección 18:Independencia de eventosPáginas: 302 - 313
El alumno obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabediferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.
31
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 19:Poligonales e informaciónPáginas: 314 - 321
Analiza y obtiene información de gráficas.Se apoya en la información que le proporcionan las gráficas para tomar decisiones.
32
Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 20:Gráficas segmentadaságinas: - 7
El estudiante construye gráficas para representar situaciones relacionadas con elmovimiento y las interpreta.
CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL
IV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 17/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Dosificación
Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados
Base y exponente de un número elevado auna potencia.Notación científica.
• Ubicar patrones.• U so de procedimientos recursivos.• Sentido numérico.• Argumentar.
• Razonar y compartir ideas.• Apreciar el uso de las matemáticas en
istintas ciencias.
• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y elcociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base(natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias deexpresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muypequeñas.
• Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes depotencias; la notación científica.
Base y exponente de un número elevado auna potencia.Notación científica.
• Ubicar patrones.• U so de procedimientos recursivos.• Sentido numérico.• Argumentar.
• Razonar y compartir ideas.• Apreciar el uso de las matemáticas en
istintas ciencias.
• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y elcociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base(natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias deexpresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muypequeñas.
• Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes depotencias; la notación científica.
Altura, mediana, mediatriz y bisectriz deun triángulo.Gravicentro.Concurrencia de tres rectas. Circuncentro,incentro y ortocentro.Circulo inscrito y circunscrito a untriángulo.
• Intuición.• Argumentación.• Inferencia.• Manejo de la información.• Deter minación de procedimientos .
• Razonar y construir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Autonomía para enfrentar situaciones
y problemas.• Uso de conocimientos para formular o
rechazar ideas.
• A partir de construcciones, ubicar el gravicentro de un triángulo; deducir larelación entre la distancia de cada vértice del triángulo al gravicentro yla distancia del vértice correspondiente al punto medio del lado opuesto.
• Construir el circuncentro de triángulos; deducir la relación que hay entrela distancia de un vértice al circuncentro y la distancia de otro vértice alcircuncentro.
Altura, mediana, mediatriz y bisectriz deun triángulo.Gravicentro.Concurrencia de tres rectas. Circuncentro,incentro y ortocentro.Circulo inscrito y circunscrito a untriángulo.
• Intuición.• Argumentación.• Inferencia.• Manejo de la información.• Deter minación de procedimientos .
• Razonar y construir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Autonomía para enfrentar situaciones
y problemas.• Uso de conocimientos para formular o
rechazar ideas.
• Construir el incentro de un triángulo y deducir cómo es la distancia de cadavértice al incentro. Construcción del ortocentro de distintos triángulos,deducir el comportamiento de las alturas.
• Resolver problemas de construcción de figuras geométrica s que involucrantriángulos, usando las propiedades de las rectas notables de un triángulo yestablecer relaciones entre los lados de las figuras construidas.
Espacio muestral.Frecuencia relativa.Probabilidad de un evento.Eventos independientes, probabilidad deque ocurran dos de ellos simultáneamente.
• Análisis y organización de información.• Inferir y predecir.
• Socializar y divertirse sanamente.• Interés por investigar.• Toma razonada de decisiones.• Actitud positiva hacia la probabilidad
y sus aplicaciones.
• Ante distintos experimentos aleatorios, anticipar y determinar el númerode resultados posibles; analizar y decidir si todos los resultados delexperimento tienen la misma posibilidad de ocurrir; anticipar y determinarel número de casos favorables a que ocurra un evento.
• Determinar la probabilidad de que ocurra un evento.
Espacio muestral.Frecuencia relativa.Probabilidad de un evento.Eventos independientes, probabilidad deque ocurran dos de ellos simultáneamente.
• Análisis y organización de información.• Inferir y predecir.
• Socializar y divertirse sanamente.• Interés por investigar.• Toma razonada de decisiones.• Actitud positiva hacia la probabilidad
y sus aplicaciones.
• Elaborar procedimientos sistemáticos (tablas, diagramas , gráficas) pararealizar conteos y comprobar resultados. Distinguir cuando dos eventosson independientes y cuando no lo son; argumentar por qué. Elaborarprocedimientos sistemáticos para decidir la probabilidad de que ocurrandos eventos simultáneamente.
• Cuando los eventos son independientes, deducir la relación que hay entre laprobabilidad de que ambos ocurran simultáneamente y las probabilidadesde que cada uno de ellos ocurra por separado.
Funciones.Gráficas.Histográmas.Tablas de datos.
• Manejo de técnicas, diagramas y tablas. • Apreciar el uso de técnicas yherramientas matemáticas en la toma
e decisiones.
• Elaborar, analizar e interpretar dos gráficas que modelen una mismasituación, con distintas características, así como compararlas y sacarconclusiones para la toma de decisiones.
Funciones.Gráficas.
istogr mas.Tablas de datos.
• O rganizar, representar e interpretar.• Manejo y uso de literales y de técnicas.
• Confianza en la capacidad deaprender.
• Apreciar la importancia de usarsus conocimientos al cuestionar yresponder situaciones.
• Distinguir fenómenos y situaciones que se pueden modelar mediante graficasformadas por segmentos de rectas; organizar los datos, elaborar la gráfica
y sacar conclusiones sobr e el desarrollo del fenóme no o la situación quemodele; y viceversa, dada la gráfica, analizar los datos, interpretarla yextraer conclusiones.
CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL
XV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 18/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
QUINTO BIMESTRE
Bloque temático 5 Propósitos: En este oque as a umnas y os a umnos:• Resolverán problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Reconocerán algunas trans ormaciones (traslación, rotación o
simetría) que se puedan aplicar a una figura. Realizarán simetrías axiales y centrales y caracterizarán sus efectos sobre las figuras. Abordarán problemas que implicancalcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.
Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros
33
Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Ecuaciones
Lección 21:Ecuaciones con dosincógnitasPáginas: 330 - 339
El estudiante es capaz de obtener los valores de las incógnitas de un problema utilizando,para ello, ecuaciones con literales.
34
ema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas
Lección 22:Gráficas y sistemas deecuacionesPáginas: 340 - 349
Define la solución de un sistema de ecuaciones lineales a partir de la interpretación degráficas.
35
Tema:TransformacionesSubtema: Movimientos en el plano
Lección 23:Transformaciones y figuraságinas: 350 - 363
El alumno identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construye odiseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.
36
Tema:TransformacionesSubtema: Movimientos en el plano
Lección 24:Teselaciones y movimientosen el planoPáginas: 364 - 373
El estudiante identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construyeo diseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.
37
Tema:Análisis de la informaciónSubtema: Noción de probabilidad
Lección 25:Probabilidad de eventosexcluyentesPáginas: 374 - 379
El alumno determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entreeventos mutuamente excluyentes y los que no lo son.
38
Tema:Análisis de la informaciónSubtema: Noción de probabilidad
Lección 25:Probabilidad de eventosexcluyentesPáginas: 374 - 379
Determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entre eventosmutuamente excluyentes y los que no lo son.
QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL
VI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 19/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Dosificación
Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados
Sistema de dos ecuaciones de primergrado, con dos incógnitas.
Uso de literales y lenguaje algebraico.Determinación y uso de procedimientosinformales y formales.
• Ponerse a prueba ante variadosproblemas.
• Confianza en la capacidad deaprender.
• Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.
• Dar las expresiones algebraicas para modelar problemas que llevan alplanteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dosincógnitas.
• Resolver un problema y el sistema de ecuaciones mediante procedimientosinformales. Resolver usando procedimientos formales: método desustitución y método de igualación.
Sistema de dos ecuaciones de primergrado, con dos incógnitas.
Uso de literales y lenguaje algebraico.Determinación y uso de procedimientosinformales y formales.
• Ponerse a prueba ante variadosproblemas.
• Confianza en la capacidad deaprender.
• Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.
• Modelar gráficamente problemas que llevan al planteamiento de un sistemade dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas; ubicar los puntosde intersección; determinar y argumentar por qué son puntos “solución” delsistema planteado, así como determinar y argumentar por qué, cuando lasrectas son paralelas, no hay solución al sistema planteado.
• Ante distintos problemas, determinar el procedimiento que se consideremás adecuado.
Traslación.Reflexión.Rotación.Simetría.
Anticipar resultados.Intuición, deducción y análisis depropiedades.Argumentación.Comunicación.Creatividad.
• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Reconocer la importancia de usar
sus conocimientos para formular orechazar ideas.
• A partir de construcciones, deducir lo que es una traslación, una reflexión y una rotación; deducir y explicar las pro piedades de polígo nos que sufrendichas transformaciones.
• Realizar reflexiones sucesivas en dos rectas paralelas; identificar estemovimiento con una traslación. Realizar dos traslaciones sucesivas en dosrectas que se intersecan; identificar este movimiento con una rotación,si las rectas no son perpendiculares; y con una reflexión, si las rectas sonperpendiculares.
Traslación.Reflexión.Rotación.Simetría.
Anticipar resultados.Intuición, deducción y análisis depropiedades.Argumentación.Comunicación.Creatividad.
• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.• Flexibilidad para modificar puntos
e vista.• Reconocer la importancia de usar
sus conocimientos para formular orechazar ideas.
• Reconocer ejes de simetría de distintos polígonos y figuras geométri cas;identificar la simetría como movimiento que deja igual una figura.
• Reconocer y construir diseños combinando los distintos movimientos.
Eventos mutuamente excluyentes.Eventos independientes.
Usar conocimientos previos en lasolución de problemas.Argumentación.Comunicación.
• Actitud positiva hacia la investigación,l trabajo en equipo y la colaboración.
• Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.
• Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrirsimultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientosinformales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien,los dos simultáneamente.
• Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcularla probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventosA y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de queocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos sonindependientes, así como describir las diferencias.
Eventos mutuamente excluyentes.Eventos independientes.
Usar conocimientos previos en lasolución de problemas.Argumentación.Comunicación.
• Actitud positiva hacia la investigación,l trabajo en equipo y la colaboración.
• Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.
• Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrirsimultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientosinformales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien,los dos simultáneamente.
• Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcularla probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventosA y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de queocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos son
independientes, así como describir las diferencias.
QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL
XVII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 20/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (A)
om re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. En la siguiente figura se señalan con números las rectas y con letrasalgunos ángulos. Observa la figura y responde: (12 puntos)
a) ¿Cuá es de os ángu os seña ados miden 180 grados?) ¿Cuá es mi en 90 gra os?
c) ¿Cuáles miden más de 0 y menos de 90 grados?d) ¿Cuá es miden más de 90 y menos de 180 grados?e) ¿Qué rectas se intersecan y son perpendicu ares?
2. En la siguiente figura, las rectas 1 y 2 son paralelas. Analiza y responde: (12 puntos)
a) ¿Cuánto mide el ángulo a , ¿por qu ?
) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu
c) ¿Cuá es e resu tado de sumar os ángu os con g , ¿por qué?
) ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos n h?, ¿por qu ?
3. En una tienda se venden cajas de galletas con a galletas cada una. Juan compró un número x de cajas y Pilar
compró una tercera parte de las cajas que compró Juan. Escribe una expresión algebraica para indicar el total
de galletas que tienen Juan y Pilar juntos. (10 puntos)
4. Debajo de cada una de las siguientes figuras, escribe una expresión algebraica que represente su área, un
ejemplo se muestra en la figura a). (16 puntos)
figura a) figura ) figura c)
+ 1 + 2
a) ¿Son equivalentes las expresiones algebraicas para las tres figuras?, ¿por qué?
) La expresión x + x + 2, ¿es equiva ente a as anteriores?, ¿por qué?
c) ¿Son equiva entes as expresiones 3 x + x – ax + x – 5 y 12 x + 7 + 6ax – x – ax – 12?, ¿por qué?
8
7
6
5
3h
a b d ec 9
1
30°70°
1
2
+ 1
+ 2
+ +
+ +
+
+ +
f
VIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 21/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación primer bimestre A
5. Reproduce la figura de la siguiente ilustración, ampliando la longitud de cada lado al doble. Llama reproduc-
ción 1 a tu nueva figura. Supón que el lado de cada cuadrito de la cuadrícula mide ½ cm. (30 puntos)
Lado original reproducción 1 reproducción 2 reproducción 3
longitud a
longitud b
ongitud c
ongitud
longitud e
Supón que después se hace una reproducción 2, amp iando a ongitud de cada ado origina a 4/3. En a reproduc-
c ón 3, se amplía cada lado de la eproducción 2, al triple. Llena las tablas.
reproducción 1 reproducción 2
Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de lafigura original con la longitud de los lados de la reproducción
¿Es una relación de proporcionalidad directa?
El factor de proporcionalidad directa es
El factor inverso de proporcionalidad es
Para re ucir a reproducción a tamaño de a igura origina ,
debo multiplicar la longitud de cada lado por
6. Una estación de radio transmite tres noticieros al día, cada uno es conducido por un solo locutor. (20 puntos)
a) ¿Cuáles son todas las combinaciones posibles en las que se pueden asignar los noticieros a dos locutores?b) L amemos N , y a os noticieros y L y a
os ocutores; az un iagrama y una ta a, paraque compruebes tu respuesta.
iagrama:
c) Si en ugar de tres noticieros fueran cuatro y hubiera tres ocutores en a estación, ¿de cuántas formas dis-
tintas podemos or anizar os noticieros? . Y, ¿si fueran tres noticieros y hubiera cuatro ocutores?
. Y, ¿si ueran noticieros y ocutores?
XIX
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 22/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (B)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Observa la figura y responde: (10 puntos)
a) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu ?
) ¿Cuánto mide e ángu o ?, ¿por qu ?
c) ¿Cuánto mide e ángu o , ¿por qu ?
) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu ?
e) ¿Cuánto mide e ángu o , ¿por qu
2. Dibuja lo que se te pide a continuación. (15 puntos)
a) Un rectángulo cuya área sea a + c .In ica en tu i ujo os a os e rectángu o.) E rectángu o a), e forma que pue as expresar su área como a suma e as
áreas de dos rectángulos.Indica en tu dibujo os ados de os dos rectángu os y escribe una expresióna ge raica que represente a suma e as áreas.
¿Son equivalentes las expresiones algebraicas de los dos incisos?, ¿por qué?
3. Una secretaria lleva una caja chica para gastos menores. Para llevar bien las cuentas, ella registra sus movi-
mientos, por día, en la siguiente tabla. Completa la tabla escribiendo las expresiones algebraicas correspon-
dientes y simplifícalas. (20 puntos)
Movimiento por día Entra Sale Movimiento del día (entra)–(sale)Saldo (saldo anterior) +
(movimiento del día)
1. Hay cierta cantidad x encaja. Entran $50 y salen $100.
50 100( x + 50) – (100)= + –= ( – )
( )
2. Entra e trip e de . Sa e edob e de .
– = +
3. Entran 200 pesos más .Sale el saldo del día anterior.
( – )= ( ) + ( )=
. Entra x. Sale el doble de x
más 220 pesos.2 x + 220
( ) – (2 + 220)
=
( ) + ( )
=
5. Entran 100 pesos. Saleel triple del saldo del díaanterior.
3( )=
( – )=
( ) + ( )=
55°
115°a
ec
X
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 23/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación primer bimestre B
4. En la siguiente tabla, aparecen los ingredientes necesarios para hacer un flan para seis personas. Completa la tabla si
quisiéramos los ingredientes necesarios para hacer el flan para una y para ocho personas respectivamente. (25 puntos)
a Si x representa la cantidad que se necesita de cada ingredientepara seis personas, y representa a canti a necesaria para una per-
sona, escri e una expresión a ge raica que represente a re aciónque hay entre estas cantidades:) Escribe una expresión a gebraica que represente a re ación que
ay entre a canti a e ingre iente para seis personas y a canti-dad de ingrediente para ocho personas:
c) ¿Son re aciones de proporciona idad directa?d) ¿Cuá es a constante de proporciona idad en e inciso a)?
e) ¿Cuá es su factor e proporciona i a inverso?f) ¿Cuá es a constante de proporciona idad en e inciso b)?
) ¿Cuá es su factor e proporciona i a inverso?) Si e ponemos vaini a a f an, 12 cuc ara as para 8 personas, ¿qué canti a ay que poner e e vaini a para 6 personas?
5. Un candado tiene 2 rodillos. El primer rodillo tiene 5 letras: A, B, C, D y E. El segundo rodillo tiene 4 nú-
meros: 1, 2, 3 y 4. (15 puntos)
a) ¿Cuá es e número de todas as combinaciones posib es en-re los dos rodillos? labora un diagrama y una
a a para que comprue es tu respuesta.) Si e primer rodi o tuviera 3 etras, y e segundo 5 números,¿cuál sería el número combinaciones?
c) Si e primer ro i o tuviera etras y e segun o números,¿cuá sería e número e com inaciones?
6. En el año 2004, la SEP realizó una encuesta a maestros de secundaria. El polígono de frecuencia que aparece
a un lado, resume las respuestas que dieron los maestros, al preguntarles su edad (rango de edades en años y
número de maestros que está en ese rango). Responde: (15 puntos)
a) ¿En qué rango de edades se encontraba, en aque año,el mayor número de maestros? De a os.
) ¿Era ésta a e a me iana e os maestros?c) Estima a mediana entre e número de profesores:
Márcalo en el polígono de frecuencia.) ¿Entre qué rangos e e a es se encontra a ese número
e profesores? De a años y e a años.e) Estima el número de maestros más jóvenes en aquel año:
Estima e número de maestros con mayor edad:
Ingredientes 6p 1p 8p
Leche evaporada (tazas)
Leche condensada (tazas)
Huevos (unidades)
Queso (gramos) 150
Azúcar (cucharadas) 5
1
80 000
60 000
40 000
20 000
025 o de 26 a de 36 a de 46 a mayores
menos 35 45 55 de 55
XXI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 24/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (A)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Con base en la siguiente figura escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente a la expresión algebraicaque represente al enunciado, y escribe el resultado final para cada operación. (15 puntos)
( ) rea de + a)
rea de + + C – D b)
Doble de área de C + c
El perímetro de lad
figura comp eta.
El triple del área de A m s e
e o e e área e
2. Escribe las expresiones algebraicas necesarias para hallar x. (20 puntos)
a) E área e trapecio es:b) Si a un número le sumas 7 y al resultado lo divides
entre 3 da 3. ¿Cuá es ese número?
3. A partir de las siguientes figuras, responde lo que se te pide: (20 puntos)
a) Los cubos de la izquierda están hechos a escala. ¿Cuántos cu-os azu es ca en en e cu o ver e, si ca a a o e cu o azu
equiva e a 10 ?, ¿cuánto mi e ca a a o e cu o ver e?
) De os siguientes prismas hechos de queso sin hoyos, ¿cuá tiene mayor vo umen? Ayuda a ratón a decidir antes
de que egue e gato.
)
ii)
A
x x
5 + (2 ¥ 6) + 2 + 29 =
¥ 5 + 2 ¥ 5 =
(5 ¥ 6) - = 5 ¥ 3 + 6 ¥ 5
2
3 ¥ + 2 ¥ =
XII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 25/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación segundo bimestre A
4. Con base en los siguientes poliedros, completa la tabla. (10 puntos)
Figura 1 Figura
5. Analiza los datos de la siguiente gráfica que muestra la rapidez de un móvil y responde: (20 puntos)
a) ¿Cuántos datos se representan en a gráfica?
) Con base en a gráfica, ¿podemos saberla rapidez exacta del móvil en un tiem-po determinado?, ¿por qué?
c) Calcula la rapidez media en el inter-valo de tiempo que va del minuto 2 alminuto .
) ¿Entre qué canti a es está a rapi ezme iana?
6. La siguiente tabla muestra el número de saltos realizados por cinco tarántulas y la distancia total recorrida
verticalmente. (15 puntos)
Tarántulas
1 2 3 4 5
Núm. de sa tos 1
istanciarecorridavertica mente
50 cm 5 cm 4 cm 0 cm 45 cm
a) ¿Cómo se calcula la longitud vertical de cada salto?
) ¿Qué tarántu a sa tó más a to?, ¿hay a gún empate?
c) ¿Qué tarántula saltó menos alto?
d) ¿De qué tamaño fueron los saltos de la 2ª tarántula?
Número de caras Número de aristas Número de vértices
FiguraFigura 2
Rapidezm/s)
440
2
11
2 3 4 5 6 7 8 iempomin
XXIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 26/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (B)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Resuelve el matematigrama, escribiendo el resultado de cada operación en las casillas correspondientes: (20 puntos)
A A ϫ 4 + (2 ϫ ) 6) 7ϫ (8 – )
+ ÷ ϫ 9 – 7ϫ – 7 ϫ (5 – 3)
4) (18 ÷ 3)ϫ 10 + 3 ÷ 3
2. Observa el rectángulo y haz lo que se pide: (15 puntos)
a) Expresa e área e os rectángu os A, untos:) Expresa e área e rectángu o A:
c) Expresa el área del rectángulo :d) Expresa e área de rectángu oe) Si a = y = 9, sustituye sus va ores en as expresiones anteriores y ca cu a as áreas:
Sustitución: Cá cu o de área:i) =
ii) =
iii) =iv) =
3. Analiza los desarrollos planos y responde: (20 puntos)
¿Cuá es son esarro os p anos e un cu o?
¿Cuáles son desarrollos planos de un tetraedro?
¿Alguno de los desarrollos no corresponde ni al cubo ni al tetraedro? tu respuesta es a rma-
iva, di cuál o cuáles:
–
+
XIV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 27/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación segundo bimestre B
4. En la figura aparece una pecera y una pirámide que tienen la misma base y la misma altura. El volumen de
la pirámide es de 30 cm3. Haz lo que se pide a continuación: (25 puntos)
a) Calcula el volumen de la pecera:
) ¿Cuá es e va or de a a tura? =c) Si variamos a a tura e a pecera y ejamos fija, en , a a tura e a pirámi e, cómo varía a razón entre e vo-
umen de la pirámide (que permanecerá constante en 30 cm ) y el volumen de la pecera (que variará conformevaríe su a tura). Para saber o, comp eta a siguiente tab a.
Altura de la pecera a a a na (1/
Volumen de la pecera
Razón
(Vol. pirámide) ÷ (Vol. pecera)
d) ¿Qué cantidad de agua le cabe a la pecera, si la llenamos completamente? Da la respuesta en decímetroscúbicos, en itros y en mi i itros. (Recuerda cuá es a capacidad –en itros– de un recipiente de un decímetrocú ico. Recuer a tam ién que en un ecímetro cú ico ca en mi centímetros cú icos).
anti a e agua en ecímetros cú icos:
anti a e agua en itros:
Cantidad de agua en mi i itros:
5. En un taller, el dueño gana $20 000 mensuales, el encargado $10 000, la secretaria $6 000, el jefe de los tra-
bajadores gana $8 000, dos técnicos ganan cada uno $6 000, una empleada gana $3 000, y los 18 trabajadores
ganan $ 4 500 mensuales cada uno. (20 puntos)
a) ¿Cuántas personas tra ajan en e ta er?) ¿Cuá es e sa ario que más personas ganan en e ta er?
c) ¿Cómo se llama esta medida?d) ¿Cuá es a mediana sa aria ?e) ¿Cuá es e sa ario prome io?
) ¿Cuántas personas ganan un salario que se aproxime al salario promedio?g) ¿Consideras que este dato muestra cuánto gana cada trabajador?, ¿por qué?h) ¿Qué harías para obtener un promedio que se aproxime más a o que gana cada trabajador?i) ¿Cuál es la proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabajador?
sa ario dueñosalario trabajador
j) Encuentra el valor de x, a partir de las razones equivalentes: 0 = salario dueñosa ario trabajador
x =
Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un trabajador gana .
a
cm cm
XXV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 28/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (A)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Escribe los términos de las siguientes sucesiones: (10 puntos)
a) Un a bañi cubre una pared con mosaicos. Cada vez que unta pegamento, co oca cuatro mosaicos, de modo quee número e mosaicos co oca os es 4 . Escri e os primeros 10 términos e esta sucesión.
b) Escribe los términos 15, 20 y 30 de la siguiente sucesión 3n – 1:
c Marca con una ✗ aque os términos que no pertenezcan a a sucesión 9 – 3( + 1 .
–1 , 1 , – , – , – , –1, , , , 1 , 1
2. Escribe la regla para obtener el número que ocupa el lugar n en cada una de las siguientes sucesiones. (15 puntos)
a)
c) –4, –6, –8, –10, –12, –14
3. Encuentra el valor de x tal que el perímetro de los dos polígonos sea igual. Plantea la expresión algebraica yresuélvela. (15 puntos).
4. Lizet tiene 6 años y su mamá 30. Plantea las ecuaciones correspondientes y resuelve. (15 puntos)
a) ¿Dentro e cuántos años a e a e Lizet será igua a a tercera parte e a e a e su mamá?
) ¿Qué e a ten rá Lizet y qué e a ten rá su mamá?
1 4 16 2 10 1
+
+
+ x +
x
XVI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 29/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación tercer bimestre A
5. A una temperatura de 0° C, la rapidez del sonido en el aire es de aproximadamente 300 m/s, mientras que en
hidrógeno es de aproximadamente 1 200 m/s. (20 puntos)
a) Escri e as os ecuaciones inea es que representen a rapi ez e soni o en am os me ios.
) Se emite una onda de sonido que viaja en aire y una vez que la onda ha recorrido 300 metros se mide su ve-oci a . Se emite otra on a e soni o que viaja en i rógeno y se mi e su ve oci a espués e os primeros
600 metros recorridos por la onda.
Grafica en el plano cartesiano las rectas que representen el movimiento de estas ondas de sonido.
6. Las siguientes gráficas muestran la producción P de café en tres fincas en relación con la inversión realizada I. (15 puntos)
a) ¿En cuáles fincas la producción aumentó conforme la inversión aumentó?) ¿En cuál de las fincas la producción no aumentó?
c) ¿En cuá e as fincas u o mejor pro ucción?
d) ¿En cuál de las fincas no se necesitó una inversión inicial para la producción?
e) ¿En cuá e as fincas a pro ucción isminuyó?
7. Explica por qué no se puede utilizar el pentágono regular para recubrir un plano, y menciona al menos un
polígono regular con el que sí es posible hacerlo. (10 puntos)
Distancia(m)
omies)
2 400
1 800
1
300
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Finca 1 Finca 2 Finca 3
XXVII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 30/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (B)
om re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Escribe los términos que se piden para cada sucesión. (10 puntos)
a n – 32 es un número entero. Escribe e término anterior y e término siguiente.
) Escribe los términos 10, 100 y 1 000 correspondientes a la sucesión 10 1- .
c) Escribe os primeros cinco términos de a sucesión 5.66 – 1.66n.
2. ¿Cuál es la regla correspondiente a cada una de las siguientes sucesiones? (15 puntos)
a)
c) –0.1, –0.2 , –0.3 , –0.4 , –0.
3. Hugo salió de la biblioteca central a las 3 p. m., con una rapidez de un paso por segundo. Alma salió de la
misma biblioteca a las 3:10 p. m. con una rapidez de dos pasos por segundo. Suponiendo que ambos caminan
en línea recta con la misma dirección y que los pasos son de igual longitud, responde: (20 puntos)
a) P antea una ecuación que re acione as expresiones para as istancias que recorren os estu iantes, cuan o Alma alcanza a Hugo.
) ¿Cuánto tiempo tardó Alma en alcanzar a Hugo?
c) ¿A cuántos pasos e a i ioteca se encontraron Hugo y A ma?
10 1 16
1 4 9 16
XVIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 31/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación tercer bimestre B
4. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a cada planteamiento y responde: (15 puntos)
a) La suma de tres números pares consecutivos es 96. ¿Cuá es son estos números? Comprueba tu resu tado.
b) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al resultado que se obtiene al duplicar el entero menorde os tres números, más doce. ¿Cuá es son estos tres enteros? Comprueba tu resu tado.
5. Dos personas practican diversos modos de respiración para relajarse. Para iniciar, la primera persona se mantiene 2
segundos sin respirar, después inhala en 3 segundos y exhala en otros 3 segundos. La segunda persona se mantiene
4 segundos sin respirar y a partir de éstos inhala en 5 segundos y exhala en otros 5 segundos. (25 puntos)
a) Considerando que una inhalación y una exhalación hacen un ciclo de respiración, ¿cuál de las dos personas
ace más ciclos por hora?) Escri e una expresión a ge raica que represente e méto o e respiración para ca a persona.
c) Grafica as ecuaciones de inciso anterior.) Dado que estas ecuaciones son de la forma = + , ¿qu
interpretación se puede dar si aumentara el valor de
e) ¿Cuál sería la interpretación si = ?
6. Elige una figura geométrica diferente del cua-
drado y del rectángulo que sirva para recubrir
un plano y dibújala repetidas veces en la cuadrí-cula para representar el recubrimiento. Explica
por qué se puede asegurar que esta figura sirve
como modelo para recubrir un plano. (15 puntos)
iempo(s)
es dcloCiiónacipires i
30
2624222018114
12108642
1 2 3 4 5 61
XXIX
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 32/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (A)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Un grupo de artesanos trabaja con alambre de plata, cada uno fabri-ca cierto número de artesanías por día, como se muestra en la tabla.
Se contratará a un artesano del grupo. Para elegirlo, se meten en una
bolsa tarjetas con el nombre de cada artesano y se sacará una tarjeta
al azar. El nombre del artesano escrito en la tarjeta será la persona
por contratar. (20 puntos)
a) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: A: Se contrata a una mu er.
: Se contrata a un varón.C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día.
: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día.) Si se contrata a os e os artesanos y a primera tarjeta tiene e nom re e Javier, ca cu a a pro a i i a e os
s gu entes eventos:E: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de una mujer?F: ¿Cuá es a probabi idad de que a segunda tarjeta tenga escrito e nombre de Sandra?
c) Si Mayar no participa en el sorteo y la primera contratada es Nancy, ¿cuál es la probabilidad de que el segundocontratado sea José?
) Se meten en una o sa tres tarjetas con os nom res e quienes acen 5, 4 y 3 artesanías y en otra o sa tresarjetas con los nombres de quienes hacen 4, 3 y 2 artesanías, y se saca al azar una tarjeta de cada bolsa. Calculaa probabi idad de os siguientes eventos:
G: Se o tienen os nom res e José y Cora .: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 artesanías por día.
I: Se obtienen dos nombres de grupo de artesanos.
2. Determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes y explica el criterio que usaste. (15 puntos)
3. Un papalote está formado por dos parejas de triángulos congruentes como se muestra en la figura. (15 puntos)
a) Escribe cuáles son las parejas de triángulos congruentes.b Si la bisectriz en ro o corta a A en su punto medio, ¿qué tipo de triángulos
son D A A
c) Traza las mediatrices de los triángulos y B . ¿Cómo es la distancia decada circuncentro al segmento A
) ¿Cuánto mi e e ángu o
e) ¿Cuánto mide x
Artesano Número deartesanías
terminadas en
un día
Sandraayaroséoralancy
avier
5° 45 °
t tt
t t7
A
0°
A
x + 15
XX
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 33/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación cuarto bimestre A
4. La mamá de Gloria acordó con su hija que a partir del 1º de enero leería cada una de ellas una página de un
libro, el 2 de enero leerían 2 páginas, el 3 de enero, 4 páginas, de modo que siempre al día siguiente leerían
el doble de páginas leídas el día anterior. (10 puntos)
a) ¿Cuántas páginas habrán leído entre las dos hasta el 15 de enero?
b) ¿Cuántas páginas debe eer cada una e 7 de enero?
c) ¿Cuántas veces más es el número de páginas que se tienen que leer el 10 de enero respecto al número de pági-nas que se deben eer e 5 de enero?
5. Escribe en notación científica las respuestas. (10 puntos)
a) En unidades de energía una caloría equivale a 26 130 000 000 000 000 000 electron-volt, es decir, 1 cal =eV. ¿A cuántos eV equiva rán 2ϫ 1 ca ?
) En uni a es e tiempo, 1 año equiva e a 31 560 000 segun os, es ecir, 1 año = s. ¿A cuántos años
equivale un segundo?
6. En el siguiente triángulo equilátero encuentra: (15 puntos)
a Ortocentro o) Incentro
c) Gravicentro g
Circuncentro
escri e una característica e ca a uno e estos puntos:
7. Las siguientes gráficas muestran la eficiencia de máquinas que realizan trabajo termodinámico y sus costosen porcentajes respecto a un presupuesto establecido. (M = Máquina) (15puntos)
a) ¿Cuá es a máquina más eficiente?b) ¿Cuál es la máquina menos eficiente?c) ¿Cuál es la máquina más costosa?) ¿Cuá es a máquina menos costosa?
e) ¿Cuál máquina se debería comprar?
.
.0.50.40.3.
.0
140
E iciencia Costo %
XXXI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 34/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (B)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Se elige al azar uno de los siguientes f loreros y después, también al azar, se toma una flor del florero. (20 puntos)
f 1 f 2 f 3
a) De os siguientes eventos, escri e I si es in epen iente o N si no o es. Exp ica tu respuesta. A: Se e ige e f orero f3.B: Se elige una flor amarilla.
) Escri e, para ca a f orero, a pro a i i a e e egir a azar una f or amari a.
c) Se toma al azar una f lor de cada f lorero. ¿Cuál es la probabilidad de elegir tres f lores rojas?
d) ¿Cuá es a probabi idad de e egir una f or negra de f orero 1, una amari a de f orero 2 y una b anca de f orero3, simu táneamente?
e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una f lor amarilla de florero 1, una flor amarilla del florero 2 y una flor ama-ri a de f orero 3 de forma simu tánea?
) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, una flor roja del florero 2 y una flor blancadel florero 3, simultáneamente?
2. Agrupa en parejas los triángulos que son congruentes, justifica tu respuesta. (15 puntos)
ólo una de sus bisectricescorta en el punto mediode un ado de triangu o T1.
as isectrices coinci encon las mediatrices, es decirse cortan en el mismo punto.
T T
T4 T T
0° 060°
XXII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 35/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación cuarto bimestre B
3. Con base en la siguiente figura resuelve: (15 puntos)
a) Encuentra el centro de la circunferencia que pasapor los tres vértices del triángulo de mayor área.
) Encuentra e punto que equi ista e os tres a osdel triángulo de menor área.
4. Resuelve utilizando la notación científica. (15puntos)
a) 1 mol es igual a 6.022 ϫ 1 23 partículas. ¿Cuántas partículas equivalen a 2ϫ 1 moles?
La ve oci a e reacción e os sustancias y S es e 1.2ϫ – m/s mientras que a e S y S es e 3.6ϫ 1 –
m/s. ¿Cuá es a razón e proporciona i a entre as ve oci a es e reacción?
c) Un picómetro equivale a 1 ϫ 0– metros, es decir, 1 pm = 1ϫ 10– m. El radio de un átomo es aproximada-mente e 100 pm mientras que e ra io e núc eo atómico es só o e 5ϫ 1 – pm. ¿Cuántas veces es más c ico
el radio del núcleo que el del átomo?) Un estudiante de secundaria recogió una basura del suelo en su escuela, al día siguiente 3 estudiantes siguieron
su ejemp o y ca a uno recogió una asurita, a tercer ía 9 estu iantes icieron a misma acción e impieza,al cuarto día cada uno de 27 estudiantes recogió basura. Si siguiera aumentando de la misma forma el númerode estudiantes que recogen basura cada día, ¿cuántos estudiantes ayudarían en la limpieza al octavo día?
5. Con base en los siguientes triángulos traza lo que a continuación se pide: (15 puntos)
a) Traza una circunferencia circunscrita. b) Traza una circunferencia inscrita.
c) Explica qué características tiene el centro de cada circunferencia.
6. Carla nadaba en una playa del Pacífico cuando vio caminar sobre el malecón a un amigo que tenía muchas
ganas de ver. Ella nadó hasta la orilla durante 2 minutos, corrió sobre la arena 30 metros hasta llegar a la
calle empedrada sobre la cual recorrió 10 metros más hasta alcanzar a su amigo. Carla nadó 50 metros, corrió
sobre la arena 30 segundos y 5 segundos más sobre la calle, siempre de manera uniforme. (20 puntos)
a) Haz la gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a su amigo.b) ¿Cuá fue e tiempo transcurrido desde que Car a empezó a dirigirse hacia su amigo?c) ¿Qué distancia recorrió?) ¿Cuántos metros nadó cada minuto?
e) ¿Cuántos metros recorrió en a p aya ca a segun o?) ¿Cuántos metros recorrió en la calle cada segundo?
XXXIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 36/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (A)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Esteban sale de su casa rumbo a la escuela con una rapidez de 50 cm/s, pero olvida su libro de Matemáticas2. La mamá de Esteban sale de su casa 100 segundos más tarde con una rapidez de 90 cm/s para alcanzar a
su hijo y darle el libro olvidado. (20 puntos)
a) Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que represente la situación planteada.
) ¿A qué distancia a canza a mamá a Esteban?
c) ¿Cuánto tiempo e tomó a a mamá a canzar a su ijo?
2. Dibuja el siguiente hexágono, con una rotación de 120º respecto al centro O y al hexágono resultante, reflé-jalo respecto a la recta R y dibújalo también. (15 puntos)
3. Encuentra las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. (25 puntos)
E
A y = 3 x + 15
y = –2 x – 2 y = 6 x + 12
XXIV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 37/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación quinto bimestre A
4. Analiza la siguiente figura y responde: (10 puntos)
a) ¿Son congruentes los triángulos AB A’B’ ?, ¿por qué?
b) Encuentra el centro de rotación.
c) Compara a istancia e centro e rotación a ca a vértice.¿Cómo son estas distancias del triángulo AB n mp -ción con las del triángulo A’B’ ?
5. En la tabla siguiente, se muestra el número de platos que se lavan colectivamente en un campamento de
verano en una hora. Para ver quién empieza a lavar platos en la semana de limpieza, se selecciona al azar a
uno de los equipos. (15 puntos)
a) Ca cu a a pro a i i a e que e equipo se ecciona o sea uno que ave:
i) Más de 50 platos.ii) Menos de 60 p atos.ii) Más e 70 p atos.v) Más de 10 platos.
b) Escribe una ✓ a ado de cada inciso si os eventos son mutuamenteexcluyentes y una ✗ si no lo son.
i) E número e equipo es par y ava más e 50 p atos.ii) E número de equipo es impar y ava 60 p atos.iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos.
6. Se hace girar la f lecha de la siguiente ruleta en una feria. (15 puntos)
Ca cu a a probabi idad de que a f echa se detenga en:
a) La región .
) Un número impar.
c) Un número par y región azu .d) El número ocho o región verde.
e) Un número entre tres y oc o que sea región anaranja a.
) Un múltiplo de tres.
) Una región anaranjada o un múltiplo de cuatro.
) Escri e un evento con pro a i i a uno.
Nombre
del equipo
Número de platos
lavados en 1 hora
Equipo 50
Equipo
Equipo
Equipo 5Equipo 5 6
A
A ’
XXXV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 38/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (B)
Nom re:Fec a: rupo: a ificación:
Número de puntos totales por cubrir: 100
1. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas correspondiente a cada situación y resuelve.(20 puntos)
a) En un estacionamiento ay icic etas y coc es. Hay 110 antas y 35 ve ícu os. ¿Cuántas icic etas y cuán-tos coches hay?
) Una señora intercambió bo sas con una mandarina por bo sitas de 5 uvas con su vecina. Si en tota había 18olsas y 50 frutas, ¿cuántas mandarinas y bolsas de uva se intercambiaron?
2. Refleja el polígono en la recta R 1 y luego refleja el polígono que obtuviste en la recta R 2. (20 puntos)
a) Comprue a que e tercer po ígono es una rotacióne primero.
) Mi e e ángu o entre y 2. Compara este ángu ocon e ángu o de rotación entre e primero y e tercerpolígono. ¿Qué relación hay entre estos ángulos?
3. Traza las rectas que representa el sistema de dos ecuaciones, encuentra la solución y comprueba tus resulta-
dos. (20 puntos)
x + y =
y – x =
XXVI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 39/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Evaluación quinto bimestre B
Eventos Mutuamente
excluyentes
A, E A,
A,
,
, F
,
C,
, F,
,
,
,
4. ¿Cuántas simetrías tiene un triángulo isósceles? Dibújalas y explica. (10 puntos)
5. De la siguiente caja se extrae una canica al azar. (15 puntos)
a) Ca cu a a probabi idad de os siguientes eventos:
i) Se extrae una canica verde o roja.
i) Se extrae una canica amari a o roja.
iii) Se extrae una canica blanca o negra.b) Escribe un par de eventos D y E, para os cua es en uno a pro-
abi idad sea igua a 1 y para e otro a probabi idad sea cero.
6. En una caja hay 8 playeras de distintos colores y diversos equipos. Se saca al azar una playera. Escribe dentro
de la tabla E si los eventos son mutuamente excluyentes o N si no lo son. (15 puntos)
Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo
Equipo Equipo Equipo 1 Equipo
ventos A: Se saca una playera roja.B: Se saca una p ayera azu .C: Se saca una p ayera ver e.
: Se saca una playera amarilla.E: La p ayera es de equipo 1.F: La p ayera es de equipo 2.G: La playera es del equipo 3.
XXXVII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 40/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
RESPUESTAS
Guía docente
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (A)1.
Ángulos que miden 180 grados: c. Ángulos que miden 90 gra-dos: g, i, Ángulos que miden más de 0 y menos de 90 grados:, e ngulos que miden más de 90 grados y menos de 180: b, d,
h. Rectas perpendiculares: 2 y 5, 3 y 4, 5 y 6, 5 y 7.2.
a) Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180
grados, a + + = 18°. Luego, b mide 30 grados por ser opuestopor el vértice a ese ángulo y c mide 70 grados por ser correspon-diente a g y éste es opuesto por el vértice al ángulo de 70grados; entonces a + b + c a + 70 + 30 = a + 100 = 18°. Porlo tanto, a) = 80 grados. b) f = 180 – 70, pues f y el ángu-lo de 70 grados, son complementarios. c) El ángulo g mide70º porque es opuesto por el vértice al ángulo de la mismamedida. El ángulo e mide 30º por ser alterno interno al otroángulo de la misma medida. d) La suma de los ángulos i yh es 100º porque forman un triángulo con el ángulo a, quemide 80º.
3.Juan compró x ca as con a galletas cada una, por lo que Juan
tiene x galletas. Pilar compró la tercera parte de las cajas quecompró Juan, entonces compró x/3 cajas y tiene a( x 3) galletas.Por lo que los dos juntos tienen ax + a( x/3) galletas en total.
4.Expresión algebraica para la suma de áreas de la figura b): x2 + x + 2 x + 2. Expresión algebraica para la figura c): x( x + 1) + ( x +1) + x + 1. a) Sí son equivalentes las tres expresiones algebraicaspara las tres figuras, pues representan la misma área. b) La ex-presión x2 + 3 x + 2 sí es equivalente a las dos anteriores, pues x2 + x + 2 x + 2 = x2 + 3 x + 2 y x( x + 1) + ( x + 1) + x + 1 = x2 + x +( x + 1) + x + 1= x2 + 3 x + 2. c) Sí son equivalentes.
5.
6.a) Dos conductores en las 3 t ransmisiones, se pueden presentar
de 6 formas distintas.b) Denotando con N , N2 y N3 los noticieros y con L , L2 los
conductores, el diagrama y la tabla quedan:
N N2 N3
L L2 L L2 L L2
c) Si fueran 4 noticieros y 3 conductores, tendríamos 12 formasdistintas de presentar a los conductores en los noticieros. Sifueran m noticieros y n conductores, serían n distintas for-mas de presentarlos.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (B)1.a) Ángulo b = 115º porque es opuesto por el vértice a dichoángulo. b) El ángulo c mide 115º, porque b y c son correspon-dientes. c) El ángulo e = 180 – 115 = 65, por que c y suman180º, (son complementarios). d) ngulo a = 360 – 115 – 65 – 55= 125, porque la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de360 grados. e) El ángulo = 180 – 65 – 55 = 60, porque la sumade los ángulos de un triángulo es de 180 grados.
2.a) Un rectángulo de área a( + ) sería:
b) Un rompecabezas sería:
Así tenemos dos rectángulos cuya suma de áreas es igual alárea del rectángulo del inciso a). La expresión algebraica querepresenta su área es: ab + c.Las dos expresiones algebraicas sí son equivalentes, pues repre-sentan la misma área.
Longitud
ladoOriginal Reproducción
1
Reproducción
2
Reproducción
3a 3/2 (3/2)2 = 3 (4/3) (3/2) = 12/6 = 2 3ϫ 2 = 6
b 5/2 5 (4/3)(5/2) = 20/6= 3.3 3(20/6) = 10
2/2 = 1 2 (4/3) 3(4/3) = 4
d 4/2 = 2 4 (4/3)2 = 8/3 3(8/3) = 8
1/2 1 (4/3)(1/2) = 4/6 = 2/3 3(2/3) = 2
Reproducción1
Reproducción2
Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de la figurariginal con la longitud de los lados de la reproducción 2 x 4/3 x
¿Es una relación de proporcionalidad directa? Sí Sí
Factor de proporcionalidad directa 2 4/3
Factor inverso de proporcionalidad 1/2 3/4
Para reducir la reproducción a la figura original,debo multiplicar la longitud de cada uno de sus lados por 1/2 3/4
N N2 N3
L (L ,N1) (L1,N ) (L ,N )
2 (L2,N1) (L2, 2) (L2, 3)
+
a
b
+ a
b
e
dc
XXVIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 41/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Respuestas
3.La tabla de la secretaria queda como sigue:
4.
) Expresión algebraica: y = x 6.
b) Expresión algebraica y=8 x/6.
c) Las dos son relaciones de proporcionalidad directa. d) La cons-tante de proporcionalidad en el inciso a) es 1/6. e) Su factor deproporcionalidad inverso es 6. f) La constante de proporcio-nalidad directa en el inciso b) es 8/6. g) Su factor de propor-cionalidad inverso es 6/8. h) Si le ponemos vainilla al flan, 12cucharadas para 8 personas, la cantidad que hay que ponerlede vainilla para 6 personas es (6/8) ϫ 12 = 9
5.a) Combinaciones posibles: 4ϫ 5 = 20
Diagrama:
A B C D E
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
b) Con 3 letras y 5 números serían 15 combinaciones.c) Con a letras y n números serían n combinaciones.
Tabla:
6.a) Rango de edades en que se encontraba el mayor número
de maestros: de 36 a 45 años. b) Sí, ésta era la edad medianade los maestros. c) Mediana entre el número de profesores:60 000. Rangos de edades de ese número de profesores: de26 a 35 años y de 46 a 55. d) Estimación del número demaestros más jóvenes: 10 mil maestros. Estimación del nú-
mero de maestros con mayor edad: 10 mil maestros.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (A)1.
d) Área de A + B
c) Área de A + B + C – D
b) Doble de área de C + D
) El perímetro de la figura completa.
e) El triple del área de A más el doble del área de D.
d) 5 5
2 2
45
c) 52
2 52-]
b) 2=
) + =#
e) 5 451= +
Movimiento Entra Sale Movimiento del día (entra)–(sale)Saldo (saldo anterior) +(movimiento del día)
1. Hay cierta cantidad x en caja. Entran$50 y salen $100
0 100 x + 50 – 100 = x – 50 ( x – 50)
2. Entra el triple de x. Sale el doble de x. 3 x 2 x 3 x – 2 x = x ( x – 50) + x = 2 x – 50
3. Entran $200 más x. Sale el saldo delía anterior
200 + x 2 x – 50(200 + x) – (2 x – 50)= 200 + x – 2 x + 50 = 250 – x
(2 x – 50) + (250 – x)= 2 x – 50 + 250 – x = x + 200
. Entra x. Sale el doble de x más $220 x 2 x + 220( x) – (2 x + 220)= x – 2 x –220 = – x – 220
x + 200 + (– x – 220)= x + 200 – x – 220 = – 20
5. Entran $100. Sale el triple del saldoel día anterior
1003( – 20)= – 60
(100) – ( – 60) = 100 + 60= 160
– 20 + 160 = 140
Ingredientes 6p 1p 8p
Leche evaporada (tazas) 1 1/6 8/6
Leche condensada(tazas) 1 1/6 8/6
Huevos (unidades) /6 32/6
Queso (gramos) 150 150/6 150 ϫ 8/6
Azúcar(cucharadas) 5 5/6 5ϫ 8/6
A
(A, 1) (B, 1) (C, 1) (D, 1) (E, 1)
(A, 2) (B, 2) (C, 2) (D, 2) (E, 2)(A, 3) (B, 3) (C, 3) (D, 3) (E, 3)
4 (A, 4) (B, 4) (C, 4) (D, 4) (E, 4)
XXXIX
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 42/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
2.a) El área del trapecio es 16, porque 2(3) + 2 x = 16, entonces
2 x = 16 – 6 y por tanto
x2
x = 5
b) El número es:
+
x + 7 = 9 x = 23.a) 6 veces el lado del cubo azul equivale a una vez el lado del
cubo verde. Entonces caben 6 ϫ 6 ϫ 6 = 216 cubos azulesen el cubo verde. El lado del cubo verde mide 60u.
b) El volumen del queso i) es ( )ϫ 12 = 72, mientras que
el volumen del queso ii) es de ( ) 6 = 144, por lo
an o, el queso ii) tiene mayor volumen.4.
Número de caras Número de aristas Número de vértices
Figura 1 10 24 16
Figura 2 8 18 12
5.a) Se representan 9 datos en la gráfica.b) No podemos saber la rapidez exacta del móvil en un tiem-
po determinado porque sólo se muestran algunos puntos porintervalo.
c) El primer punto es (2,5), entonces en el minuto 2 tenemosuna rapidez de 5 m/s y al minuto 5 tenemos una rapidezde 20 m/s. Por tanto, la rapidez media en el intervalo delminuto 2 al 5 es (5 + 20)/2= 25/2 = 12.5 m/s.
d) La rapidez mediana es 25 m/s, pues antes y después de estedato hay la misma cantidad de valores (5, 10, 15, 20 antes y30, 35, 40 y 45 después).
6.
a) La longitud vertical de cada salto, se calcula dividiendo ladistancia recorrida verticalmente entre el número de saltos.
b) La razón correspondiente a cada tarántula con base en losdatos es T1 = 5, T2 = 4.58, T3 = 6, T4 = 6 y T5 = 4.09, por lotanto, las tarántulas que saltaron más alto fueron la 3 y la 4,hay un empate.
c) La tarántula que saltó menos alto fue la última, la tarántula 5.d) El tamaño de los saltos de la segunda tarántula es de 4.58 cm.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (B)1.El matematigrama queda:
2 ) 2 2) 7
3) 1 ) 4
) 4 8
5) 1
HORIZONTALES1) 3ϫ 4 + (2 ϫ 5) = 12 + 10 = 222) 4 + (6 ÷ 2) = 4 + 3 = 73) 7 (5 – 3) = 7 2 = 144) (18 ÷ 3)ϫ 8 = 6ϫ 8 = 485) (10 + 35) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15
VERTICALES6) 7ϫ (8 – 5) = 217) (8ϫ 9) – (7ϫ 5 – 7) = 44
2.a) Área de los rectángulos A, B y C juntos: a( + 3) = ab + 3a.b) rea del rectángulo A = 3b. c) Área del rectángulo B = 3ϫ 3
= 32 = 9. d) Área del rectángulo C = (a – 3)(b + 3).e) Si = 8 y b = 9, sustituyendo, queda:
i a(b + 3) = ab + 3 = (8ϫ 9) + (3ϫ 8) = 72 + 24 = 96 u2
ii 3b = 3ϫ 9 = 27 u2
iii 32 = 9 u2
iv (a – 3)(b + 3) = (8 – 3)(9 + 3) = 5 + 12 = 60 u2
3.Desarrollos planos del cubo son las figuras b y . Un desarrolloplano del tetraedro es la figura . La figura c no es desarrollo planoni del cubo ni del tetraedro.
4.a) (volumen de la pecera)/3 = volumen de la pirámide = 30, por
lo que el volumen de la pecera es de 30 ϫ 3 = 90 cm3.b) El volumen de la pecera es (área de la base)ϫ = (2ϫ 5)a =
10a = 90, por lo que el valor de la altura es a = 9 cm.
c) La tabla queda:
Altura de la pecera a a 3 2a 7a na (1/5)a
Volumen de lapecera
90 cm3 30 cm3 180 cm3 630 cm3 0n 18 cm3
Razón (Vol.pirámide) ÷ (Vol.
pecera)1/3 1 1/6 1/21 1/(3n) /3
d) La cantidad de agua que le cabe a la pecera es de 90/1000 = 0.09decímetros cúbicos; 0.09 litros; que es equivalente a 0.09 ϫ1 000 = 90 mililitros.
5.a) 7 + 18 = 25 personas trabajan en el taller.
b) Salario que más personan ganan en el taller: $4 500.
c) Esta medida se llama moda
d) Para encontrar la mediana, acomodamos los datos en ordendescendente (o ascendente):
20 000, 10 000, 8 000, 6 000 , 6 000, 6 000, 4 500, 4 500, 4 500,4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500,4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 3 000. El dato que apa-rece en el centro es la mediana; es decir, mediana = 4 500
e) Salario promedio = suma de todos los datos entre 25:(38 000 + (3 ϫ 6 000) + (18ϫ 4 500) + 3 000)/25 =(38 000 + 18 000 + 81 000 + 3 000)/25 = 140 000/25 = 5 600
L
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 43/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Respuestas
f) Número de personas que ganan un salario que se aproximal salario promedio: 3 (los 3 que ganan 6 mil pesos).
) Este dato NO muestra cuánto gana cada trabajador, porquela diferencia entre el promedio y el salario de un trabajadores de más de mil pesos, de $1 100.
h) Para obtener un promedio que se aproxime más a lo quegana cada trabajador, se podría sacar el promedio sin consi-
derar al dueño y al encargado; de esta forma el salario pro-medio sería de (140 000 – 30 000)/23 = 4 783.
i) Proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabaja-dor:
Salario dueñoSalario trabajador
= 20 000/4 500 = 4.44
j) Para encontrar el valor de x, a partir de las razones equi-valentes: 20 000/4 500 = 100/x, usando productos cruza-dos, se tiene que 20 000 x = (100 ϫ 4 500) = 450 000; así x = 450 000/20 000 = 22.50.(Otra forma: (20 000 ÷ 200) = (4 500 ÷ 200) = 100/22.50= 100/ ; por lo tanto, x = 22.50.)
Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un traba-jador gana 22.50.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (A)1.
) Los primeros 10 términos de la sucesión 4n son 4, 8, 12, 16,20, 24, 28, 32, 36, 40.
b) Los términos 15, 20 y 30 para la siguiente sucesión 3n – 1on 44, 59, 89.
c) Los términos que no pertenezcan a la sucesión 9 – 3(n + 1)on: 10, –9, –3, 3, 9 y 10.
2.La regla para cada sucesión es la siguiente:) n2 b) n2 + 1 c) –2n – 2 = –2(n+1)
3.La expresión algebraica para el perímetro del hexágono es6 + (2 + x) + (3 + x) + 2 x = 11 + 2 x + 2 x = 9+ 4 x.La expresión algebraica para el perímetro del pentágono es(1 + x) + (1 + x) + 3 + 3 + 3 x = 8 + 5 x.Igualamos ambas expresiones, entonces 9 + 4 x = 8 + 5 x.Despejamos x por an o x = 1 para que los perímetros sean iguales.
4.) 6 + x = 1/3 (30 + x) entonces 6 + x = 10 + x/3 entonces 3 x 3 – x 3 = 10 – 6 entonces 2/3 x = 4 por lo tanto x = 12/2 = 6.Dentro de 6 años Lizet tendrá la tercera parte de la edad de
u madre.b) 6 + x = 6 + 6 = 12 Lizet tendrá 12 años.
30 + x = 30 + 6 = 36 su madre tendrá 36 años.5.
) En aire ya = 300 x, donde x es el tiempo transcurrido y y re-presenta la distancia recorrida.En hidrógeno, y = 1200 x.
b) Gráfica en el plano cartesiano de las rectas que representanel movimiento de las ondas de sonido:
6.) En las fincas 1 y 3 la producción aumentó conforme la in-
versión lo hizo.b) En la finca 2 la producción no aumentó.c) En la f inca 1 hubo mejor producción.d) En las fincas 2 y 3 no se necesitó una inversión inicial para
la producción.e) En ninguna de las fincas la producción disminuyó.
7.Los ángulos internos de un pentágono regular no son divisiblesentre 360, por lo cual no se puede cubrir el plano.El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pue-den recubrir un plano.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (B)1.
) El número siguiente es 8(nϩ 1)Ϫ 2El número anterior es 8(nϪ 1)Ϫ 2
b)
100 – 1 000 – 0 10 000 – 00
c) Los primeros cinco términos de la sucesión 5.66 – 1.66n son:4, 2.34, 0.68, – 0.98, – 2.64 ...
2.La regla correspondiente a cada una de las sucesiones dadas
on:) 4 + 3n
b) n2
c) – n (0.1)3.
) Cuando Alma sale de la biblioteca, Hugo habrá dado60(pasos/min)ϫ 10min = 600 pasos, entonces si x represen-
ta el tiempo y el movimiento de Hugo es x + 600. Mientrasque para Alma la expresión algebraica correspondiente es 2 x. Cuando Alma
lcanza a Hugo están a la misma distancia de la biblioteca, enton-ces x + 600 = 2 x.
b) x + 600 = 2 x entonces 600 = x Alma tardó 600 segundos en alcanzar a Hugo, o bien 10minutos.
c) Hugo y Alma dieron el mismo número de pasos cuando se en-contraron. Como pasaron 600 segundos entonces: 600 ϫ 2pasos/s = 1 200 pasos/s. Alma y Hugo se encontraron a 1 200 pasos de la biblioteca.
Distancia(m)
empo(s)
300
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
nogrE
n a re
XLI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 44/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
4.a) Un número par es de la forma 2n; el número par anterior es
2n–2 y el sucesor 2n+2, entonces (2n–2) + 2n + (2n+2) = 96entonces 6n = 96, por tanto, n = 16Sustituyendo el valor de n enemos que2n – 2 = 2(16) – 2 = 32 – 2 = 30 2n = 2(16) = 32 n +2 = 2(16) + 2 = 32 + 2 = 34Por lo tanto, los números pares consecutivos son 30, 32 y 34.
Comprobando 30 + 32 + 34 = 96b) Tres enteros consecutivos se puede expresar como (n – 1) +
n + (n + 1).Duplicar el menor 2(n – 1) y sumarle 12 nos da 2 (n – 1) + 12Como ambas sumas son iguales, entonces igualamos (n – 1)+ n + (n + 1) = 2 (n – 1) + 12Despejamos n: 3n = 2n + 10 por lo tanto n = 10Los tres enteros son 9, 10 y 11.Comprobación: 9 + 10 + 11 = 2(9) + 12 30 = 18 + 1230 = 30.
5.a) La primera persona hace más ciclos por hora porque emplea
menos tiempo para respirar.
b) Primera persona y = 6x + 2
Segunda persona y2 = 10 x + 4
Donde x representa el número de ciclos de respiración y Y, eltiempo en el que se realizan estos ciclos.
c) Gráfica:
d) Significa que los ciclos de respiración se realizan en un tiem-po mayor.
e) Si b = 5 significa que la persona deja de respirar 5 segundosantes de iniciar su método de respiración.
6.Para recubrir un plano con polígonos regulares sólo sirven eltriángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.Si los ángulos internos de una figura son divisores de 360º en-tonces la figura se puede usar para recubrir un plano.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (A)1.
a) A: Se contrata a una mujer, P = 4/6 = 2/3.B: Se contrata a un varón, P = 2/6 = 1/3.C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día, P =3/6 = 1/2.D: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día,P = 1/6.
b) E: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito elnombre de una mujer es P = 4/5.F: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito elnombre de Sandra es P = 1/5.
c) La probabilidad de que el segundo contratado sea José es P = 1/4.d) G: Se obtienen los nombres de José y Coral, P = 1/3 ϫ 1/3
= 1/9.H: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 arte-
sanías por día, P = 1/3ϫ 0 = 0.I: Se obtienen dos nombres del grupo de artesanos, P = 3/3 ϫ
3/3 = 1.2.
Son congruentes:
(t1 y t3), (t2 y t ), (t4 y t6). Los criterios pueden ser LAL, ALAy LLL .3.
a) Una pareja de triángulos congruentes es AOB y DOA, y laotra pareja de triángulos congruentes es DOC y OCB.
b) Los triángulos DOA y AOB son isósceles.c) Las mediatrices de los triángulos DOC y OBC se muestran
en la figura. La distancia de cada circuncentro al segmento AC es igual una respecto a la otra.
d) el ángulo = 60º.e) x = 15º.
4.a) Habrán leído en total entre las dos hasta el 15 de enero
2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + )2ϫ (20 + 2 + 22 + 23 + 2 + … + 2 ) == 2 ϫ (2 5–1) páginas.
b) 26
es el número de páginas que debe leer cada una el 7 deenero.c) 5 de enero: 2 10 de enero: 29 29/2 = 25
5.a) 1 cal = 2.613 ϫ 10 9 eV ; 2ϫ 103 cal = 5.226ϫ 1022 eV.b) 1 año = 3.156 ϫ 107 seg; 1 s. = 3.169 ϫ 10–8 años.
6.a) Ortocentro ob) Incentro ic) Gravicentro gd) Circuncentro c
C
D B
A
d 60°
30° x = 15°
O
26
2422
161412
8
4
Tiempo(s)
Ciclos derespiracióni
1 2 3 4 51
y2
y1
LII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 45/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Respuestas
Sólo en triángulos equiláteros, estos puntos coinciden.a) Es el punto de intersección de las alturas.b) El incentro equidista de los 3 lados del triángulo, es donde
concurren las bisectrices del triángulo.c) Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo.
La distancia de cada vértice al gravicentro es igual a 2/3 de ladistancia del vértice al punto medio del lado opuesto.
d) Es el punto donde concurren las mediatrices de los 3 lados
de un triángulo. Este punto es el centro de una circunferen-cia que pasa por los 3 vértices del triángulo.
7.a) La máquina más eficiente es la M5.b) Las máquinas menos eficientes son las M1 y M3.c) La máquina más costosa es la M5.d) La máquina menos costosa es la M1.e) La máquina que se debe comprar es la M4.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (B)1.
a) A: Se elige el florero f3.I, porque no depende de otro evento.
B: Se elige una flor amarilla.N, porque depende del evento anterior, es decir, del floreroque se elija.
b) Para cada florero, la probabilidad de elegir una flor amarillaes: P1= 1/2, P2 = 1/4 y P3 = 3/4.
c) La probabilidad de escoger tres flores rojas, una de cada flo-rero, es cero.
d) La probabilidad de elegir una flor negra del florero 1, unaamarilla del florero 2 y una blanca del florero 3 es 1/4 ϫ 1/4ϫ 1/4 = 1/64.
e) La probabilidad de elegir una flor amarilla de florero 1, unaflor amarilla del florero 2 y una flor amarilla del florero 31/2ϫ 1/4ϫ 3/4 = 3/32.
f) La probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, unaflor roja del florero dos y una flor blanca del florero tres es1/4ϫ 3/4ϫ 1/4 = 3/64.
2.Son congruentes: T1 y T3 porque T1 es isósceles y T3 tam-bién además de tener la longitud de dos lados iguales. T2 yT4, porque T2 debe ser equilátero para cumplir tal propiedady T4 es triángulo equilátero por tener sus tres ángulos iguales,además de tener las longitudes de sus lados correspondientesiguales. T5 y T6, porque son dos triángulos rectángulos condos ángulos de la misma medida y uno de sus catetos tiene lamisma longitud.
3.) El circuncentro se encuentra en el punto de intersección de
las medianas.b) El incentro se encuentra en el punto de intersección de las
bisectrices.
4.) 2ϫ 102 moles = 12.044ϫ 1025 partículas.
b) La razón de proporcionalidad entre las velocidades de reac-ción es:
. 1
. 01
#=- m/s
c) 1
0
= 20ϫ
103
veces más chico el radio del núcleo queel del átomo.
d) El número de estudiantes que ayudarían en la limpieza aloctavo día es de 37 estudiantes.
5.Circunferencia circunscrita. Circunferencia inscrita.
El circuncentro pasa por los tres vértices del triángulo.El incentro equidista de los 3 lados del triángulo.
6.) Gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a
u amigo.
b) El tiempo transcurrido desde que Carla empezó a dirigirsehacia su amigo fue de 2 minutos con 35 segundos.
c) Recorrió una distancia de 90 metros.d) Nadó 25 m cada minuto.e) Recorrió en la playa 1 m cada segundo.f) Recorrió en la calle 2 m cada segundo.
o, i. g, c.
i
C
D(m)
T(s)
XLIII
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 46/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (A)1.
a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitasque representa la situación planteada es: y = 50 ( x + 100)
y = 90 x.b) La mamá alcanza a su hijo a 112.5 metros de distancia:
90(125) = 11 250cm = 112.5 metros.c) A la mamá de Esteban, le tomó 125 segundos alcanzar a su
hijo:0 x + 5 000 = 90 x x = 0 = 125.
2.Primer hexágono con rotación de 120º respecto al centro O ysegundo hexágono reflejado respecto a la recta R.
3.Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son las si-uientes:
– 2x – 2 = 3x + 15x = – 17/5y = 24/5 Vértice A (– 17/5, 24/5)
Vértice B:– 2x – 2 = 6x + 12x = – 14/8y = 3/2 Vértice B: (– 14/8, 3/2)
4.a) Los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes porque las ro-
taciones conservan ángulos y longitudes.b) Ver figura.c) La distancia del centro de rotación a cada uno de los vértices
correspondientes de los triángulos ABC y A’B’C’, es siemprela misma por definición.
5.a) La probabilidad para cada evento es:
i Lave más de 50 platos. P = 4/5ii Lave menos de 60 platos. P = 1/5iii Lave más de 70 platos. P = 0iv Lave más de 10 platos. P = 1
b) ✗ i) El número de equipo es par y lava más de 50 platos.✓ ii) El número de equipo es impar y lava 60 platos.✓ iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos.
6.La probabilidad de que la flecha se detenga en:
a) La región 5. =
b) Un número impar. 4 1
c) Un núnero par y región azul.
d) El ocho o región verde. = + =
e) Un número entre tres y
ocho que sea región anaranjada.
f) Un múltiplo de tres. =4
1
g) Una región de anaranjada + =
o un número múltiplo de cuatro.
h) Escribe un evento cuya probabilidad sea uno.
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (B)1.
a) 2 x + 4 y =110 x + y = 35, por lo tanto, son 15 bicicletas y 20coches.
b) x + y = 18 x + 5 y = 50, por lo tanto, se intercambiaron 8bolsas de uvas y 10 mandarinas.
2.a) Un polígono P’ es la rotación del polígono P con centro de ro-
tación en O y ángulo de rotación a asi los vértices correspon-dientes de los dos polígonos están a la misma distancia de O ysi cada uno de los ángulos que se forman al unir cualesquierados vértices correspondientes con el punto O es igual a a.
b) La relación que hay entre esos ángulos es que son iguales.
R
E
C B
D A
F
A D
E
B C
O O
F
A
C
B
A’
C’
B’
Centro derotación
O
R2
R1
Vértice C:3x + 15 = 6x + 12x = 1y = 18
LIV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 47/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Respuestas
3. y = 8 – x
y = 1/2 + 3/2 x
x = 3 y = 5Comprobación:Sustituimos los valores de x y y encontrados en las ecuaciones
x + y = 8 2 y – 3 x = 12(5) – 3(3) = 10 – 9 = 13 + 5 = 8
4.Un triángulo isósceles tiene un eje de simetría y una rotación de
360º, por lo tanto un triángulo isósceles tiene dos simetrías.
5.
a) La probabilidad de los siguientes eventos es:i) Se extrae una canica P = 4/10 + 3/10 = 7/10
verde o roja.ii) Se extrae una canica P = 2/10 + 3/10 = 5/10
amarilla o roja.iii) Se extrae una canica P = 1/10 + 0/10 = 1/10
blanca o negra.
6.
a) La probabilidad de los siguientes eventos es:
Eventos Mutuamenteexcluyentes
A, E N
A, F N
A, G E
B, E E
B, F E
B, G N
C, E N
C, F N
C, G E
D, E E
D, F ND, G E
8
5
8
(3, 5)
60°
XLV
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 48/168
P R O H I B I D A
S U V
E N T A
Guía docente
BIBLIOGRAFÍA PARA LOSDOCENTES
Alarcón, B., Bonilla, R. et a ., Libro para el maestro educación secundaria , SEP, México, 1994.García, J. y C. Bertrán. eometría y experiencias, Alhambra Mexicana, México, 1997.Gardner, Howard, a mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar en las escuelas. Fon o
Mixto Paidós-SEP, México, 1997.Noger B. Nelsen. Demostraciones sin palabras, ejercicios de pensamiento visua . Proyecto Sur de Ediciones, España,
2 1.erelman Y., Aritmética recreativa, Ediciones de Cultura Popular, México, 1978.
Rivaud, uan osé. Matemáticas para to os (compilación), Fomento Mexicano para la Educación y el Desarrollo, A.C., México, 2005.
Bibliografía para el escolar
Ber anga, Ricardo et a ., Las matemáticas, pereji e to as as sa sas, FCE, México, 1999.Enzensberger. E ia o e os números, Sirue a, México, 1998.Gardner, Martín. Acertijos matemáticos. Se ector, México, 2000.
ere man, Y., lgebra recreativa uinto So , México, 1983.ere man Y., Aritmética recreativa, E iciones e Cu tura Popu ar, México, 1978.a an, Ma a, E om re que ca cu a a, Noriega E itores-Limusa, México, 1988.
Páginas de internet
http://euler.ciens.ucv.ve/matematicos/kepler.html (sobre matemáticos famosos).http://es.geocities.com/yakovperelman1 (con en aces a astronomía, matemáticas, geometría y física recreativa, así
como víncu os a prob emas y experimentos recreativos. Ir a en ace de “matemáticas” y después a de “á gebrarecreativa”).
http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.html (rica en información matemática para nive es e primaria ysecun aria, así como para maestros y pa res e fami ia. En os iferentes víncu os y en aces se encuentranartículos, lecciones, problemas, actividades y juegos, con contenido matemático).
http://redescolar.ilce.edu.mx (ir al enlace de “actividades permanentes”, ahí encontrarán diferentes actividades paradiferentes asignaturas, incluida matemáticas).
http://interactiva.matem.unam.mx (dedicada a la enseñanza de las matemáticas. En los diferentes vínculos haytalleres y juegos con información de álgebra, geometría e historia de las matemáticas, tanto para jóvenes como paramaestros .
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/juegos.htm (con muchos juegos dematemáticas, mayoritariamente de geometría y álgebra).
http://e21.ilce.edu.mx (ir a al enlace de “asignaturas”, donde se encuentran vínculos y enlaces a actividadesrelacionadas con matemáticas y otras asignaturas. En el enlace “matemáticas” hay diferentes actividades de
aritmética, geometría y álgebra).http://redescolar.ilce.edu.mx ir al enlace de “actividades permanentes”, donde hallarán diferentes actividades paradiversas asignaturas, incluidas matemáticas.
www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas (ir al vinculo “taller”, donde se presentan dos vínculos: unosobre información didáctica acerca del juego en matemáticas y a una página con muchos juegos de matemáticas,mayoritariamente de geometría y álgebra).
www.juegosmensa.com (en a que se encontrará una co ección que reúne juegos de ingenio y prob emas dematemática recreativa .
http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/ (geometría interactiva con e programa Cabri).
LVI
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 49/168
Matemáticas 2Eduardo Mancera Martínez
El libro Matemáticas 2 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones
Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 50/168
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 51/168
Presentación
Origina lmente o sficb sucó o cífic. L pb v
d o Athenaion,qu po d A As, dod os pos, odos
y fiósofos copí sus obs. E Ro u, o u dsdo sudo
d s s y s éccs . Po xsó, cudd o sfic sucó dod s
cuv cooco y pco d s s.
A dos d pz, sdd, c y sbduí. Su
psb, os coss, pudc. D hí qu pb o hs usos dís
s soc co poso cu y spu d s huo.
S dos duccó coo o, zoo cífico y sbduí pácc
qu xd os ís d bd y p s psos qucs y quc
qus s od, ocs, objvo d s Ao suá sdo sfo s
psos p qu s sfo udo d fvob.Dsd os pos os s sbí qu s huo uc sá cop hcho,
so cou ch, pfccoádos d u odo cbb. E sujo d duccó
s u cosuccó po hc, p cz ás os vs d xsc y ssfc ods
s csdds d su spíu.
S bo, pso s pfcco coudd; s v sus sjs y os y
co os dscub su dso. A so po, coudd soc bé s pfcco
spo d dvduo. L vocó d pso s dspsb p qub s
ps co odo.
E ps bo d s Ao coo objvo ofc opoudds p
cosuccó d cooco áco, d cudo co os ps y pos d su-
do vs. S poy bo scucs ddáccs obds d dvss fus coo
hso d dscp y uos sudos d vscó y dsoo ducvo, d-ás d qu s fo bjo codo co us copños.
P u so s bo ofc u h d bjo flxb, co focó
básc p cuv cooco áco y pco po s su. Po o s-
o, dsoo d os codos s cup páccs d Ao, cosdds -
bé os ps y pos d sudo d su d ács p duccó
scud, coo so flxó, foucó d ucos y xpocó d d-
fs vís p poxs cooco y sov pobs.
E foqu pdo cup s xpcs soucó d pobs, bjo
codo duc flxó sob s ods d su. Tbé s d
pv có d os p d pus fcus y cvdds fouds p
s popóso.
E dd qu ú suds y pps, sás ás cpz d qué qus s y
d sfo fvob udo qu ocó vv. Po o, s xo d s
p duccó scud, quos vv spíu d Ao y pcp co sos
s u focó qu p cz s s qu fijs coo s huo
y coo cuddo d u pís qu cs psos coo ú, u udo cuy copjdd
xá qu sp sés uy ppdo y o.
L uucó d u uv scu, coo pouv s ás cs dcs du-
cvs, s u xc opoudd p vz o s xpuso, sí qu, ienveni o
al ateneo.
PROHIBIDA
SU VENTA
Algunas de las ideas básicas de las
corrientes constructivistas tienen
relación con el cambio constante
y la renovación de significados,
aspectos que se han incorporado
en las lecciones que constituyen elpresente texto.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 52/168
1 Poner y quitar…tantas veces 12
• En busca del equilibrio 14• Operaciones de cuadritos 1• aminos entre números
letras 2• Caminos entre letras y figuras• Expresiones algebraicas
equivalentes 34• Expresiones equivalentes y
operaciones algebraicas 7
2 Qué dicen los ángulosy sus medidas 48
• etras para figuras 5• Clases de ángulos• Ángulos y rectas 4• Ángulos entre rectas 66• Suma de los ángulos interiores
de un polígono 69
3 Si uno aumenta,el otro también 78
• as buenas proporciones 80• Cuando lo grande
se hace pequeño 87• scala tras escala 9
4 Cuentas de cuántos 98
• Tablas, árboles y posibilidades 1
5 Gráfcas que hablan 106
• istogramas y polígonosde frecuencia 1
6 Operacionescon números y letras 120
• ¡Que alguien me ayude
a calcular! 122• Gente calculadora 12• Uso de los paréntesis 126• Geometría para calcular 1• Figuras que dividen 140
7 Prismas y pirámides 144
• Anatomía de los cuerpos…
geom tricos 14• Volúmenes de cuerposgeométricos
8 Encuentra volúmenesde prismas y pirámides 164
• Áreas y volumen 166• Volúmenes y fórmulas 17
9 Las razonesde la proporcionalidad 180
• Uso de proporcionalidad 18
10 Tendencia centraly dispersión de datos 186
• ¿Qué nos dicenlas tendencias? 1
21Contenido BloqueBloque
PROHIBIDA
SU VENTA
Conviene recordar que la educación secundaria
es el último paso del nivel de educación básica,
en el cual es importante centrar la atención en la
formación integral del individuo. En matemáticas,
los estudiantes deben tener la oportunidad de
reflexionar sobre lo que han aprendido y usar
ese conocimiento para abordar nuevos
contenidos. Esa posibilidad se tiene desde elinicio del curso; en efecto, al revisar varios
contenidos integrados en los bloques 1 y 2,
hay algunos contenidos que los estudiantes ya
conocen del grado anterior, así que pueden
aprovecharse para profundizar sobre relaciones
matemáticas nuevas.
Frecuentemente, se presta más atención al
manejo simbólico de las entidades matemáticasque a darle significado a esos símbolos; la
intención de planes y programas de estudio
es invertir esa tendencia y atender a la formación
de significados antes de abordar la
manipulación simbólica.
Una tendencia reciente en la didáctica de las
matemáticas es la atención a varios “lenguajes”
en los que se presenta un contenido matemático.
Por ejemplo, en el caso de las funciones,es posible trabajar este contenido con tablas
numéricas (lenguaje aritmético), con expresiones
algebraicas lineales (lenguaje algebraico) o por
medio de representaciones en el plano cartesiano
(lenguaje gráfico).
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 53/168
11 Números con signo 196
• os números negativos
en la historia 198• Negativos y positivos
en todos lados 199• Sucesiones de números
con signo 201
12 Cuando las letrasse comportancomo números 206
• Ecuaciones de las fichas 20
13 La realidad a travésde modelos lineales 218
• e rectas y costos 220• Funciones lineales
en distintas disciplinas 225
14 Funciones linealesy sus gráfcas 232
• Funciones crecientesy decrecientes 23
• La recta que sube y que baja 237• Cuando las rectas giran 24
15 Mosaicosy recubrimientos 258
• Sólo para convexos 260• Para no perder el piso 263
16 La potenciade los números 270
• La bacteria prolífica 272• Bases y exponentes 273• Multiplicación de potencias 75• Potencias de potencias 277• División de cantidades
expresadas en potencias,el caso de los exponentesnegativos 279
• Notación científica(cálculos con cantidadesgrandes o pequeñas) 281
17 Triángulosen todas partes 286
• Preámbulo: ¿Cómo se hacenlos triángulos? 288
• Congruencia de triángulos• Puntos y rectas notables
en el triángulo 9
18 Independenciade eventos 302
• ¿Cuándo son independientesdos eventos? 304
• ¿Cuándo son dependientesdos eventos? 308
19 Poligonales einormación 314
• Lo que una gráfica dice 1
20 Gráfcas segmentadas 322
• Cobros y su modelación 2
21 Ecuacionescon dos incógnitas 330
• El papiro Rhind
y las matemáticas antiguas
que estudias hoy 33• Sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas• Métodos para solucionar
ecuaciones con dos incógnitas 33
22 Gráfcas y sistemasde ecuaciones 340
• Ecuaciones extrañas 342• Gráficas de rectas
que se cortan: una soluciónal sistema de ecuaciones 4
• Gráficas de rectas que no secortan: ninguna soluciónal sistema de ecuaciones 4
• Gráficas de rectasque se enc man:infinidad de solucionesal sistema de ecuaciones 4
23 Transormacionesy fguras 350
• Geometría y movimiento 352• Traslación• Rotación 354• Reflexión
24 Teselacionesy movimientosen el plano 364
• La geometría de los tapices 366
25 Probabilidadde eventos excluyentes 374
• Eventos que no sonmutuamente excluyentes 376
• ventos mutuamenteexcluyentes 377
Glosario
Simbología 381Bibliografía general
3 4 5Bloque Bloque Bloque
PROHIBIDA
SU VENTA
En los bloques 3, 4 y 5 se abordan contenidos no
trabajados en los niveles anteriores por los estudiantes,
por ello es importante intentar abordar éstos
a partir de relaciones conocidas, aprovechando
lo que ya saben los estudiantes.
Las ecuaciones de primer grado dan la
oportunidad de utilizar algunas actividades para
analizar desde otra perspectiva algunos procesos
y conocimientos.
Algunas actividades pueden ser inventadas
por los propios estudiantes; no basta que ellos
repitan lo que se les plantea en clase, es muy
importante que diseñen sus propias actividades.
En general, las lecciones se han diseñado a fin
de apoyar al maestro en su planeación de clase.
El docente puede identificar los contenidos quese pueden trabajar y la cantidad de páginas por
abordar.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 54/168
n este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa deestudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarro-lan dichos temas en la obra.
Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico
T E M A Subtema Lección Página
Signifcado y uso
de las operaciones Operaciones combinadas1 12
6 120
Problemas aditivos 1 12
Problemas multiplicativos 2
Potenciación y radicación 1 7
T E M A Subtema Lección Página
Signifcado y uso
de las literales
Patrones y fórmulas 196
Ecuaciones12 206
21 330
Relación funcional 1 1
Eje Forma, espacio y medida
T E M A Subtema Lección Página
Formas geométricas
Rectas y ángulos
4
8
Cuerpos geométricos
Justificación de fórmulas 258
Figuras planas15 258
17 286
Índice temático
PROHIBIDA
SU VENTA
En este índice se muestra cómo es posibleabarcar todo el programa de estudios con
las lecciones que contiene este texto.
Esta relación de temas puede ser de
utilidad para que el maestro diseñe
diferentes secuencias de contenidos y adapte el desarrollo del curso a las
condiciones del grupo.
El maestro puede observar en este índice el
espacio que se ha dado a cada eje en
el programa, lo cual puede serle útil para la
toma de decisiones respecto a sus planes
de clase y sobre el espacio que requiere
cada eje en las evaluaciones o exámenes
parciales.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 55/168
T E M A Subtema Lección Página
MedidaEstimar, medir y calcular
4
8 164
Justificación de fórmulas 7 144
T E M A Subtema Lección Página
TransormacionesMovimientos en el plano
50
Eje Manejo de la inormación
T E M A Subtema Lección Página
Análisis de la inormaciónRelaciones de proporcionalidad
3 78
9 180
Noción de probabilidad
18 302
25 374
T E M A Subtema Lección Página
Representacìón
de la inormación
Diagramas y tablas
Gráficas
232
19 314
20 322
40
Medidas de tendencia central y de dispersión 1
PROHIBIDA
SU VENTA
Con este índice se pueden generar varias
ideas para la integración de contenidos, de tal
modo que el maestro puede utilizar el texto
con varias propuestas de organización
de contenidos, dado que existe flexibilidad
en el manejo de los temas.
Además de una secuencia de contenidos, en
el índice se muestra uno de los puntos
importantes de los planes y programas: el
que se refiere al avance espiral, en el cual
un aspecto de un contenido se trabaja
desde el inicio y a medida que se avanza,
se profundiza; se recomienda leer con
detenimiento el enfoque descrito en planes yprogramas de estudio.
Al intentar realizar una evaluación global del
curso, el índice ayudará a decidir el tipo
de contenidos por considerar. Además, se
encontrarán algunas ideas para construir ítems
que reflejen las competencias mencionadas en
los documentos oficiales
al consultar las lecciones respectivas.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 56/168
En cada entrada de bloque se incluyen lospropósitos señalados en los programas deestudio, resaltando la importancia de éstospara el estudiante.
Las entradas de lección se componende tres apartados:
• is Retos informa al estudiante losconocimientos que se espera que adquierao amplíe al terminar la lección.
• ¿Qué sé? recuerda al estudiante loscontenidos trabajados en cursos anterioresque están relacionados con el desarrollo dela lección que inicia.
• ¿Qué lograré aprender? plantea cuestionesespecíficas al estudiante que lo ayudarán adeterminar su dominio de los contenidos alterminar la lección.
Entrada de bloque
Eneste bloque…
Conocerásprocedimientos paratrabajar
con lasleyesdelosexponentesy dela
notacióncient ífica;ademásresolverás
problemasrelacionados conestos
contenidos.
Abordarásalgunosproblemas
geométricosqueimplicaneluso delas
alturas,medianas, mediatricesybisectricesen triángulos.
Analizarásinformación registradaen
variasgráficasde funcioneslineales para
interpretary relacionardiferentes
característicasde unfen ómeno o
situación problemática.
Resolverásproblemasque impliquen elcálculo dela probabilidadde doseventos
independientes.
Podrásrepresentar medianteuna gráfica
compuestapor distintossegmentos de
rectaselcomportamientodeun
fenómeno.
Bloque 4“Conocimientospuedetenerloscualquiera,
pero elartedepensareselregalo más
escaso dela naturaleza.”
FedericoII
Emperador prusiano
Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”
Misretos
Utilizaráslasideas delcurso anteriorparacon struirsucesiones de
números,pero ahoraincorporarásnúmeros negativos,demodo que
podrásobtenerlareglaparaconstruircualquieradelostérminosde
unadeterminada sucesión.
¿Qué sé?
Ya pudisteanalizar,en elcursoanterior,varias sucesionesde
númerosnaturales, algunasde ellasrelacionadascon
configuracionesgeométricas.
Con baseen regularidadesquedetectaste endeterminadas
sucesionespudiste plantearuna fórmulao reglaparaobtener
cualquiermiembrodeellassintenerquepartirsiempredelprimer
término.
¿Qué lograré aprender?
Aprenderásalgunasestrategiaspara detectarregularidadesen
sucesionesde númeroscon signo.También podrásrepresentar
algebraicamentelaregla paraencontrar términosde lasucesión.
11 meros con s no1 Setieneungrupode15troncosdemaderaapiladosen5filascomolo
muestralafigura.¿Cuántostroncossepuedenapilardemanerasemejanteen
10 filas? ¿Cuántostroncos podríanapilarse entres filas?
2 ¿Quénúmerosigueenla secuencia1,6,36,…?
3 Delasiguientessecuenciasnuméricasdeterminalafórmulageneralyanota
otrostres números.
5 , 15 , 5 ,7
,9
11 , ,
4 Dadaslassiguientesfórmulas,encuentraloscincoprimerostérminosdela
sucesiónque generan.
Sn= 2n + 2 S
n=
4n
2+ 1
n= 3´ 5n-1
5 Encuentraos primeros10términosdeunasucesióncuyoprimertérmino
es5y dondeelsiguienteessiempreeltripledelanteriormenoslamitaddel
anterior.¿Quésucesiónseformarásilareglaesmásbienque cadatérmino
sea el anterior menosla mitaddel anterior?
196
197
ALGODE LOQUEME ENSEÑARON “Algo de lo que me enseñaron” proponeactividades sobre contenidos que esconveniente tener claros antes de abordarlos temas de la lección. También sirve comoevaluación diagnóstica.
Las actividades planteadas en las secciones“Algo de lo que me enseñaron” y“Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) debendosificarse de acuerdo con el criterio delmaestro. No es indispensable resolver todoslos incisos, sino sólo aquellos necesariospara asignar tiempos adecuados altratamiento de los contenidos y de acuerdocon el avance del curso.
Estructura de la obra
PROHIBIDA
SU VENTA
Al inicio de cada bloque se incluye una frase
célebre, en parte para recordar personajes
importantes, o para conocer algunos que sondesconocidos pero que han contribuido en
el desarrollo de la ciencia, o también para
resaltar aspectos relacionados con el desarrollo
del conocimiento matemático.
La entrada del bloque permite al maestro relatar
anécdotas o situaciones que conoce sobre el
desarrollo de las matemáticas y la importancia de
algunos temas; incluso a partir de las secciones
incluidas en dichas entradas se puede recordar
lo que deben conocer los estudiantes y hacer
planes para superar deficiencias de manera
conjunta, de acuerdo con las estrategias
preferidas del maestro.
La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede ser aprovechada de varias formas: para revisar
el uso eficiente de procedimientos y el manejo de conceptos necesarios para abordar la lección;
plantear discusiones sobre contenidos ya estudiados y, en general, confirmar habilidades útilespara trabajar esta lección.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 57/168
Secciones particulares
Desarrollo de lección
Cada contenido planteado en elprograma de estudios constituye untema o subtema de la lección, loscuales se resaltan para su mejoridentificación.
Este apartado, específico de la primeralección de cada bloque, exploraalgunas situaciones didácticasindicadas en los planes y programasde estudio.
Apertura de lección
“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipopara buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual losinvolucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.
Para curiosos
“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que serecomienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en sucuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí tambiénse invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando seconsidera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.
E N
E L AT E N E O
Al final de cada lección se incluyen lassiguientes dos secciones:
“Demuestro lo que sé y hago”
Es una evaluación sumaria en la quese integran los diversos contenidosestudiados en la lección. El maestroencontrará aquí actividades con lascuales puede plantear tareas oconstruir exámenes de acuerdo consus necesidades.
“Conéctate”
Esta sección presenta opciones deconsulta en Internet o en libros quepermiten profundizar en algunoscontenidos.
Considerando que los contenidosde Internet cambian o desaparecensin previo aviso, las direcciones que seofrecen sólo son un ejemplo de lo quese puede encontrar en este medio deinformación. Se recomienda utilizar un
“motor de búsqueda” para hallar otraspáginas sobre el tema de interés.
Por otra parte, aun cuando algunasreferencias bibliográficas que sesugieren son publicadas por editoria-les extranjeras, son parte de las fuentesque se pueden obtener en idiomaespañol y se han detectado en bibliote-cas de varias instituciones o en librerías.
Se pueden obtener artículos sobrela enseñanza y el aprendizaje de lamatemática en revistas especializadas,
como las incluidas en el índice derevistas de excelencia sobre investiga-ción del CONACYT. También se cuentacon revistas digitalizadas de distribu-ción gratuita, como la revista Uno, yotras publicaciones periódicas en
emerotecas de servicio gratuito enlínea, como Redalyc.
¡Que alguien me ayude a calcular!¿Cuántasformasde hacer cálculostenemos?
Algunosutilizanlos
dedos de la mano,
incluso partesde la
mano comolas
falanges.
Antesseusabantablas
de contar o ábacos
de diferentestipos.
Algunoshacen
mentalmente
oscálculos.
Pero enla actualidad
uchoscálculos
e realizancon
alculadoras
o computadoras.
Independientemente del recurso que usemos para calcular se deben tener en cuenta
algunas reglas, pues de no hacerlo, aunque parezca increíble, se pueden obtener
diferentes resultados en cada ocasión.
Por ejemplo, sitú ytus compañerosrealizan operaciones con pocos términos, como
123 + 35 ´ 76 o 34 - 56 ´ 93, no seríaextraño que obtuvieranresultados diferentes.
Lo anterior se complica cuando se requiere realizar operaciones complicadascomo:
+ ´ 7 - 2 ´(-4 + 7) ´ - 3)+ (-7)¸ + 2 - 7 + 4 ¸ 2 ´ 7 -(-12),
8 +(-3)
2
3- 3 ´ (-5)+ 4 +
2
-3(2 + 7 - 8)
(-3)5
- 2 + 7 -4
´-
Tratade resolver los casos sencillos ylos complicadosparacomprobar sillegana
resuta os i erentes .
¿Por qué se obtienen resultados diferentes, tanto en casos sencillos como com-
plicados?
122
L O U E 2
Argumentatu respuesta.
.
Tambiénpuedesutilizar elresultado de loscuadriláterospara segmentar polígo-
nos convexos de más de 5 lados y así calcular la suma de sus ángulos interiores.
Observala figura8.
360°
180°
360°
360°
A
A
B
BC C
D
D
E
E F
uma e osánguosinteriores
e po ígono A B DE:
+ =
uma e osánguosinteriores
e po ígono B DEF:
+ =
Ahoracompletala siguiente tablacuyosdatos se refierena polígonosconvexos:
Número
delados
Suma delos
ángulos interiores
Expresión querelaciona el número delados
con la suma delos ángulos interiores
3 180° (3 - 2)180°= 1 ´ 180°= 180°
4 360° (4 - 2)180°= 2 ´ 180°= 360°
5
6
7
1
25 140° 25 - 2)180°= 23 ´ 18 °= 4 14
3
7
n
Laexpresión a la que llegarásal completar elúltimo renglón de la tabla esla fór-
mula para obtener la suma de los ángulos interioresde un polígono convexo.
Figura 8
262
BL UE 3
PROHIBIDA
SU VENTA
Desde el inicio de cada lección, el texto induce
a utilizar la resolución de problemas para el
tratamiento de contenidos.
El desarrollo de la lección atiende de manera
preferencial al manejo de imágenes pues “una
imagen dice más que cien palabras”.
La sección “Conéctate” abre las puertas para el
autoaprendizaje, para utilizar los medios como
fuente de información o ideas que complementanlos temas vistos o resolver posibles dudas.
Las secciones “Para curiosos”, son “proyectos” que se plantean a
los estudiantes como oportunidades para profundizar en aspectos
relevantes del conocimiento o para escudriñar aspectos interesantesdel conocimiento, además de mostrar algunas formas de plantearse
preguntas cuando se aborda algún tema.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 58/168
“En la medida en que las leyes de la
matemática se referen a la realidad no son
ciertas, y en la medida que son ciertas no se
referen a la realidad”.
Albert Einstein
Bloque 1
La cita incorporada provoca una reflexiónimportante pues indica algo que puede ir en contra de nuestras creencias más fuertes;la utilidad inmediata de las matemáticas.En realidad, las estructuras matemáticas sepueden desarrollar totalmente desligadasde problemas de la vida o de los que nacenen las sociedades; pueden ser el productode razonamientos acuciosos sobre objetosabstractos regidos por las reglas deinferencia de la teoría; en ese nivel el rigor matemático es extremo y no se permitenambigüedades. Sin embargo, al aplicar lasmatemáticas, se requiere flexibilizar las exigencias sometidas a los objetosmatemáticos en la teoría y a veces hasta sehace necesario pasar por alto algunascaracterísticas de los objetos matemáticospara ajustarlos a los sucesos que sepresentan en diversas problemáticas enel mundo.
El maestro puede aprovechar esta cita paraplantear a los alumnos la importancia delconocimiento teórico como un modeloriguroso. Por ello, una habilidad que debendesarrollar los estudiantes con el trabajoen la asignatura de Matemáticas, es que
puedan reconocer formas de modelar oaplicar el conocimiento matemático, quepongan en juego diversos contenidos y nose restrinjan a uno solo, esto es, quepuedan enfrentar las mismas situaciones yproblemáticas parecidas con diferentescontenidos; adquirir esta competencia esnecesaria para la vida.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 59/168
En este bloque…
Resolverás problemas que requieran
efectuar sumas, restas, multiplicacioneso divisiones de números con signo.
Encontrarás explicaciones para entender
por qué la suma de los ángulos internos
de cualquier triángulo es 180∞ y la de los
de un cuadrilátero es 360∞.
Hallarás la solución de problemas de
conteo mediante la realización de
cálculos numéricos.
Determinarás el valor faltante en
problemas en los que intervienen más de
dos conjuntos de cantidades.
Construirás polígonos de frecuencia
e interpretarás la información contenida
en ellos.
Los aprendizajes esperados se enlistan en este apartado. Es buenotenerlos a la mano para conocer el avance que debe lograrse en este
bloque.
El maestro puede revisar el programa de estudios y compararlo con lospropósitos de este inicio. Podrá observar que en algunos se hamodificado un poco la redacción, pues se considera que además delograr lo que se pide en planes y programas de estudio, pueden lograrseotros conocimientos o competencias adicionales.
Una actividad que puede ser interesante es compartir con los estudianteslos propósitos y pedirles que al final del bloque se recapitule sobre lo quese alcanzó y lo que requiere un esfuerzo adicional.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 60/168
Mis retos
Ya as tra aja o con números con signo, pero so amente rea izaste
a iciones y sustracciones con e os. En esta ección apren erás a
realizar operaciones de multiplicación y división con este tipo de
números, además de resolver problemas que los involucren.
Tam ién, emp ean o as reg as que se an o teni o para operar
con números con signo, y usando figuras geométricas y sus
relaciones, abordarás procedimientos para obtener expresiones
algebraicas equivalentes, sumarlas y restarlas.
¿Qué sé?
En e curso anterior rea izaste operaciones a itivas, sumas y restas,
e números de varios tipos: naturales, racciones, decimales e
incluso números con signo; para ello utilizaste modelos como la
recta num rica.
Tam ién e a oraste a representación a ge raica e situaciones
relacionadas primordialmente con funciones lineales y expresiones
e la orma = .
Así mismo, pudiste resolver problemas en los que las letras
representan relaciones numéricas vinculadas a configuraciones
geométricas, y tam ién tra ajaste con otros on e as etras
representan inc gnitas.
¿Qué lograré aprender?
A gunos conteni os en esta ección sintetizan otros que a or aste
en el primer año y sirven para repasar algunos procedimientos.
Utilizando guras geométricas aprenderás algunos elementos de
álgebra elemental que sentarán las bases para abordar contenidose mayor comp eji a .
En esta ección as itera es representan números y se pue en operar
como tales aunque no se conozca su valor numérico. Las reglas de
este tipo de manipulación algebraica las podrás descubrir
empleando agrupaciones de figuras geométricas.
1 Poner uitar… tantas veces
Aquí se establecen loscontenidos aprendidos en cursosanteriores y que se utilizarán enla presente lección. Los alumnos y el maestro pueden hacer actividades para recordar algunos de ellos.
Los retos establecidos al inicio sedesglosan en preguntas, lascuales serán un punto dereferencia para los alumnos,pues al final podrán ofrecer respuestas a estoscuestionamientos.
PROHIBIDA
SU VENTA
La sección “Mis retos” presenta los contenidos del curso organizados como “Conocimientos y habilidades” para enfatizar el enfoque de construcción de significados por parte de los alumnos,
con base en la resolución de problemas.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 61/168
1 Encuentra el resultado de las siguientes operaciones y efectúa las comproba-
ciones. Es decir, si obtienes por ejemplo que (-3) (+8) (+5), esto se com-
prueba con la operación (-3) ( 5) - (+8).
Representa las operaciones en una recta numérica con la escala adecuada.
Interpreta as operaciones usan o “ganar” para canti a es positivas y “per-
der” para cantidades negativas; escribe tus interpretaciones.
• (+3) ( 5) • (-6) (-3)
• (+ ) 9) • (-4) +7)
• (-2) ( 6) • (+3) (+5)
• - 3 • +12 - -
• (+15) + (+23) • (+12) - (+25)
• - 2 + - 4 • + 4 - -43
• (+67) + (-123) • (-122) - (-345)
• - 67 56 • -456 - + 27
2 Analiza cada una de las siguientes expresiones numéricas en las cuales hay un
valor desconocido, simbolizado por un pequeño recuadro. Encuentra dicho
valor faltante y escribe, con tus propias palabras, la forma de encontrarlo.
• + = 9 • 6 =
• + 12 = 18 • 8 - = 17
• + = • = -
• - 3 = 29 • +
• - = • . + 1 .
Empleando el mismo procedimiento sugerido en el enunciado de la activi-
dad 1, comprueba cada una de tus respuestas.
3 En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de x . Comprueba cada una de
tus respuestas.
• + = 1
• - =
1
ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON
La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede utilizarse como tarea al iniciode una lección y ser resuelta individual o colectivamente; también sirve comotema de discusión en clase para resolver dudas y asegurar el manejo adecuadode conceptos o procedimientos necesarios para desarrollar los temas de lalección. No debe usarse como evaluación con fines de acreditación.
Como ya se trabajaronalgunos aspectos de laoperaciones con númecon signo con el modela recta numérica, esnecesario conocer lo qsaben los estudiantes seste punto y qué ideastienen sobre este tipode operaciones.
El enfoque que se ha d
a las ecuaciones de primgrado enfatiza el manelas relaciones aritméticentre las cantidades, pulos procedimientotradicionales aún no sehan trabajado, por ellose requiere conocer córesuelven los estudianteste tipo de situaciones
PROHIBIDA
SU VENTA
32
→ 4x = 8 x = 2
→ 7x = 14 x = 2
10
(–9)
–9
11.2
35
6
2
74
53
= 8= 8
= -4= -4
= -8= -8
= -1= -1
= 38= 38
= -46= -46
= -56= -56
= -11= -11
= -3= -3
= -11= -11
= -2= -2
= 21= 21
= -13= -13
= 77= 77
= 223= 223
= -583= -583
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 62/168
Poner y quitar
Si tienes una balanza equilibrada y quitas
peso de uno de los platos, ¿qué sucede con
la balanza? Si en cambio pones más peso en
un plato, ¿qué sucede con la balanza?
Si en la balanza equilibrada quitas tres fichas
de uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la ba-
lanza de nuevo?
Si pones cinco fichas en uno de los platos,
¿cómo equilibrarías la balanza de nuevo?
Ganar y perder
Algo similar sucede cuando ganas y pierdes.
• Si tienes cinco monedas de $1.00 y ganas en un
juego ocho monedas más, pero pierdes nueve
monedas en otro juego, ¿con cuántas te que-
das?
• Si pierdes 10 monedas y ganas otras 10, ¿cuán-
to te queda?
• Si ganas tres veces cuatro monedas, ¿cuántas
monedas tendrás?
• ¿Ganar tres monedas y perder cuatro da el
mismo resultado que ganar siete monedas y perder seis?
En esta primera lección veremos cómo pode-
mos representar y resolver lo que se plantea en
situaciones como las anteriores mediante el uso
de los números con signo.
En busca
del
equilibrio
Premisas importantes enciertas corrientes
pedagógicas se refieren aque “el aprendizaje se lograde lo sencillo a lo complejo” y que “se debe partir de loconcreto para arribar a loabstracto”, por ello, setrabajarán las operacionescon enteros a partir de casossencillos y concretos.
Si los signos en losnúmeros se asocian a“ganar” o “perder”, comose hizo en el gradoanterior, también puedenasociarse a “poner” (signo+ en el número) o “quitar”(signo − en el número).
Con las interpretacionesformuladas para los signosen los números, el cero seconsiderará no comoausencia de cantidad, sinocomo equilibrio entre poner y quitar.
PROHIBIDA
SU VENTA
4 monedas.
10 monedas.
12 monedas.
No.
El plato con más fichas baja.
Quitando 3 fichas al otro plato.
Poniendo 5 fichas en el otro plato.
La balanza se desequilibra.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 63/168
Operaciones de cuadritos
Para estudiar los números negativos trabajaste con la recta numérica en cursos ante-
riores. Ahora, para comprender mejor la adición y sustracción de números con signo
podemos recurrir a representaciones diferentes a la recta numérica; tal es el caso de
la siguiente actividad, en la que emplearemos fichas de dos colores.
Tú mismo puedes elaborar las fichas. De una cartulina recorta 20 fichas azules y
20 amarillas, todas de forma cuadrada y de 1 cm de lado, como las que se muestran
en la figura 1.
Ahora bien, si tomas al azar varias de estas fichas recortadas, ¿cómo sabrás que
tienes un “equilibrio” en el número de fichas de cada color? Si conviniéramos en que
una ficha azul indica “ganar” una vez y una ficha amarilla “perder” una vez, ¿cómo
representarías cuándo ganaste y perdiste lo mismo? ¿Qué instrucciones darías a un
compañero para representar mediante agregados de fichas el resultado de un partido
de futbol?
Con nuestro material podemos investigar algunos hechos interesantes sobre las
operaciones de números con signo. Asignaremos el valor (+1) a cada ficha azul y (-1)
a cada ficha amarilla.
De esta forma, el cero se representará con un equilibrio de fichas: es decir, un agru-
pamiento compuesto por una misma cantidad de fichas de cada color, como se ilustra
en la figura 3.
Observa que cada número puede representarse de varias maneras con las fichas
(figura 4).
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
Figura 1
Figura 4
- +
0 0 0
- - -
- - -
+ + +
Figura 2
Figura 3 Tres formas de representar el
cero con “equilibrios” de
fichas.
1
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Los equilibrios se puedenrepresentar con fichas de colores; laforma de las fichas no importasiempre y cuando sea la mismapara todas y no incluyan diferenciasentre ellas que desvíen la atenciónde los estudiantes en los signos.
Este modelo servirá para cantidadespequeñas, pero es sencillo ymuestra ejemplos concretosde los números negativos.
Conviene trabajar mucho lasrepresentaciones de un númerocon signo, a partir de las fichaspues continuamente las utilizaránlos estudiantes.P
ROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 64/168
Ya que hemos asignado valores a las fichas que nos servirán como unidades, y que
determinamos representar al cero mediante un equilibrio de éstas, vamos a repre-
sentar operaciones de números con signo empleando las fichas.
Comencemos por la adición. Considera que sumar una cantidad a otra se puede
interpretar como “añadir” o “juntar” una cantidad con otra: a partir de esta interpre-
tación puedes usar las fichas para representar la suma de números con signo. Observa
los siguientes ejemplos. Anticipa tu resultado y después compruébalo con el uso de
fichas de colores:
• ( 3) ( 2) ( ): A e añade resulta
• ( 3) ( 2) ( ): A e añade resulta
Recuerda que las fichas de distintos colores se “equilibran”.
• ( 3) ( 2) ( ): A e añade resulta
• ( 3) ( 2) ( ): A e añade resulta
También puedes usar las fichas para representar sustracciones o restas de núme-
ros con signo. Esta operación implica lo contrario de “añadir”, esto es, “retirar”.
• ( 3) ( 2) : A e le retiran resulta
¿Puedes hacer esto usando fichas de los dos colores?
• ( 3) ( 2) = ( ): A e deben retirar ¡pero no tiene fichas,
amarillas!
¿Es posible agregar un cero con fichas suficientes para retirar lo necesario? Explica
tu respuesta:
De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue:
Discute con tus compañeros la manera de representar números con signo de distin-
as maneras.
• Encuentra varias representaciones con fichas para los siguientes números: (-5),
(-2), ( 4) y ( 7).
• ¿Las fichas tienen que ser necesariamente cuadradas? ¿Pueden ser de otra forma?
• ¿Los colores tienen que ser azul y amarillo?
• ¿Las fichas amarillas siempre deben estar a la izquierda y las azules a la derecha?
• ¿Es necesario colocar las fichas en línea?
Para curiosos
BLOQUE 1
La sección “Para curiosos” propicia
que el alumno asuma la
responsabilidad de buscar al menosuna manera de resolver cada
problema que se plantea. Junto con
ello, crea condiciones para que los
alumnos vean la necesidad e
importancia de formular
argumentos que den sustento al
procedimiento o solución con base
en las reglas del debate. Este
mecanismo es básico para que los
estudiantes aprendan a construir y
fundamentar los conceptos.
En este proyecto, los estudiantes deben
analizar si la actividad depende de
aspectos secundarios como la forma
o el color de las fichas.
Mientras el signo en el número se
reserva para “poner”, el signo de la
operación de suma sigue teniendo
la misma connotación de “añadir”
o “juntar”.
Se recomienda que los alumnos no
trabajen varias sumas de un solo tipo,
luego otras tantas de otros
tipos, etc. En vez de ello, conviene
hacer todas las posibilidades de
operaciones con ciertos números
para que los estudiantes
discriminen y traten de encontrar
reglas para entender lo que se debe
hacer en cada caso. Los estudiantes
deben hacer sus conjeturas y el
maestro debe evitar a toda costa
darles el procedimiento.
PROHIBIDA
SU VENTA
5 cinco.
1 uno.
– 1 menos uno.
– 5 menos cinco.
1 uno.
5
SÍ. Utilizando el mismo número tanto de fichas azules como amarillas no altera el equilibrio.
Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas.Los colores pueden ser diferentes.Las fichas pueden tener otro orden. El orden que se propone aquí essemejante al de la recta numérica.
Respuesta modelo.
Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas, podrían ser de otra forma.
Los colores pueden ser otros
Las fichas pueden estar en otro orden pero el orden propuesto asemeja a la recta numérica que es una línea.
No.
0
0
0
0
(-5)
(-2)
(4)
(7)
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 65/168
A l rtran rsulta
• ( 3) (+2) : A dbn rtrar ¡pro no hay fichas,
azuls para rtrar d ( 3
¿Podrás rcurrr nuvamnt a un “cro”? Explca tu rspusta:
D acurdo con lo antror, la opracón pud rplantars como su:
A l rtran rsulta
¿Con cuántas fichas podrías ncar para no tnr qu arar?
• ( 3) (-2) ( ): A l rtran rsulta
Con l tratamnto d los númros con sno a partr d fichas d colors, tns
otra forma d vsualzar las opracons artmétcas, apart d la qu studast n l
rado antror, la cual s basa n la rcta numérca, y qu rcordamos n “Alo d lo
qu m nsñaron”.
Discute con tus compañeros los procedimientos para sumar y restar números con
signo empleando las chas.
Realiza operaciones como las siguientes, comprueba los resultados y discútelos con
tus compañeros. Primero utiliza números “pequeños” para que te alcancen las chas.Intenta anticipar el resultado de cada operación, luego compáralo con el resultado
obtenido al utilizar el material.
• (+5) (+4) • (+5) ( 4)
• + -4 • +5 4
• (-5) (+4) • (-5) ( 4)
• - -4 • -5 4
Posteriormente, plantea con tus compañeros operaciones de números con signo
“grandes”, donde tus fichas no te alcancen, por ejemplo:
• (+13) + (+22) • (+25) - (+14)
• + 5 + - 4 • + 7 - -24• (-25) + (+14) • (-35) - (+14)
• -35 + -44 • -35 - - 1
Discute con tus compañeros la redacción de una regla para sumar y restar números
con signo, de tal forma que la puedan entender otros compañeros de tu grupo. Com-
para el método que redactaste con el que elaboraron otros compañeros y consulta
otros libros para que analices los procedimientos que en ellos se plantean y los com-
pares con tu método.
Para curiosos
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
También, la resta conserva la
interpretación de “retirar”,
“sustraer” o “eliminar”.
Aunque el enfoque del tema
apunta principalmente al desarrollo
del sentido numérico y del
pensamiento algebraico, no
podemos dejar de lado el desarrollo
de la competencia de “Manejo de
técnicas”, es decir, el uso eficiente
de procedimientos y formas de
representación al efectuar cálculos
con el apoyo de la tecnología o sin
él. Muchas veces el manejo
eficiente o deficiente de técnicas
establece la diferencia entre
quienes resuelven un problema de
manera óptima y quienes no
alcanzan una solución eficiente.
Después de realizar varias
actividades con números chicos y
las fichas, el maestro observará que
los estudiantes se desprenden poco
a poco de las fichas y realizan las
operaciones mentalmente.
Finalmente, conviene que los
estudiantes realicen operaciones
con cantidades “grandes” de tal
modo que manejar las fichas no sea
sencillo; esto ayudará a que tengan
la necesidad de encontrar reglas o
procedimientos generales.
En este tipo de operaciones es
fundamental “agregar un cero”
para poder realizar la operación.
PROHIBIDA
SU VENTA
cinco.
– 5
Se añade un cero para de ahí retirar dos.
menos cinco.
Con otro “cero”, digamos un par: una ficha azul y una amarilla.
– 1 menos uno.
= 9
= 1
= – 1
= – 9
= 1
= 9
= – 9
= – 1
= 35
= – 19
= – 11
= – 79
= 11
= 41
= – 49
= 6
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 66/168
Lo antror t ayudará a utlzar las fichas para analzar las opracons d mult-
plcacón y dvsón d númros con sno.
Es mportant rcordar cómo s ntrprta la multplcacón d dos númros na-
turals. Por jmplo, la opracón 3 ¥ 2 s ntrprta como “trs vcs dos” o “dos
vcs trs”. ¿Cómo ntrprtarías —n térmnos d “ponr o qutar tantas vcs”— las
sunts multplcacons?
( 5) ( 3) y ( 4) (+2).
Puds multplcar númros con sno mplando la sunt ntrprtacón: El
prmr númro ndca, con su sno, s “s pon o s quta”, y la cantdad.
• ( 7) ndca . • ( 6) ndca .
Como l prmr factor ndca l númro d vcs qu s “pon o quta”, al nco no
hay fichas, s dcr, s part d un cro.
Analza los sunts casos:
• ( 3) ( 2) ) s ntrprta como “Ponr trs vcs ( 2)”, y rsulta:
• ( 3) ( 2) ( ) s ntrprta como “Ponr trs vcs ( 2)”, y rsulta:
• ( 3) ( 2) ( ) s ntrprta como “Qutar trs vcs (+2)”, y rsulta:
=
3ª1ª 2ª
(+2) (+2) (+2)
=
3ª1ª 2ª
(-2) (-2) (-2)
=
3ª1ª 2ª
(+2)(+2)(+2)(-6)
BLOQUE 1
Cuando se trabaja la multiplicación,
se utiliza la forma de interpretar
una multiplicación con números
naturales (en matemáticas: lo
“nuevo”, siempre debe parecerse alo conocido), lo cual implica partir
de lo sencillo a lo complejo.
La interpretación de números consigno de “poner tantas veces…” o
“quitar tantas veces…” es relevante
para mostrar ejemplos concretos de
las operaciones de multiplicación
de números con signo, pues a
veces se piensa que no existe
representación posible en este caso.
Además, se conservan las ideas que
se han manejado en las operaciones
de suma y resta, es decir, no se
introducen nuevas interpretaciones.
No hay que confundir el modelo
que se utiliza para enseñar con el
contenido, el modelo solamente
sirve para “introducir” o “motivar”,
no es el concepto abstracto que
suele comportarse de maneras
diversas y sin las limitaciones del
modelo. Las fichas son una manera
de aproximarse al contenido, pero
no son el contenido en sí, los
estudiantes deben llegar a manejar
las relaciones matemáticas enabstracto; la diferencia es partir de
lo abstracto dando solamente
reglas o dándoles la oportunidad
de que ellos construyan sus propias
reglas por medio de un modelo
sencillo.PROHIBIDA
SU VENTA
Ponemos tres veces cinco y quitamos cuatro veces dos.
Se pone 7. Se quita 6.
6
2 + 2 + 2
– 6
– 2 – 2 – 2
– 6
– 6 + 2 + 2 + 2
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 67/168
• ( 3) (-2) s ntrprta como “Qutar trs vcs (-2)”, y rsulta:
Para ntndr la dvsón d númros con sno puds apoyart n l msmo mo-
dlo d las fichas, pro rcurda para mpzar cómo s ntrprta la dvsón d dos
númros naturals. Por jmplo, la opracón 6 2 s ntrprta como “¿cuántas
vcs cab 2 n 6?” o “¿por cuál cantdad s db multplcar 2 para obtnr 6?”:
6 2 = ? 2 ¥ ? = 6.
En l caso d los númros con sno s smlar, pro db consdrars l sno qu
tn cada númro, así como su ntrprtacón (“ponr” o “qutar”).
Así, las dvsons con stos númros s pudn ralzar como su:
• ( 6) ∏ ( 2) = (+3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (+2)
para obtnr ( 6)?”
¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡Pus d un cro!:
Ponmos trs vcs (+2):
=
(-2) (-2)(-2) (+6)
3ª1ª 2ª
+ + +
Discute con tus compañeros este procedimiento de multiplicación y experimenta
con él usando otros números con signo. Primero usa números “pequeños” y luego
números “grandes”.
edacta un método para multiplicar números con signo y luego discútelo con tus
compañeros.
Cuan o mu tip icas os números que tienen signos contrarios, ¿qué signo ten rá e
resultado?
i multiplicas dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado?
Para curiosos
1
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
En este proyecto, se pide hacer varios
tipos de operaciones con números
con signo y no caer en la repetición
de casos que no permiten a los
estudiantes discernir ni construir sus
propios procedimientos generales.
También en el proyecto, se pide que
los estudiantes trabajen con
cantidades pequeñas y mayores paradesprenderse del material y
construyan sus propias reglas, las
cuales deben escribir en lenguaje
común y posteriormente simbolizar
lo que han planteado como regla
o procedimiento general.
La división entre números con signo
puede introducirse como una
“ecuación”, atendiendo a reglas
aritméticas, es decir, se puede trabajar
la división como una relación de
multiplicación con una cantidad
desconocida, o de otra manera como
la operación inversa de la
multiplicación, lo cual ayuda a repasar
términos como divisor, dividendo,
residuo o cociente, además del
algoritmo de la división con
números naturales.
PROHIBIDA
SU VENTA
6
– 2 – 2 – 2 + 6
Negativo.
Positivo.
6 ÷ 2 = 3 2 ϫ 3 = 6
Para multiplicar números con signos,
se sigue la siguiente regla:
– ϫ – = +
– ϫ + = –
+ ϫ – = –
+ ϫ + = +
Signos iguales da +.Signos diferentes da –.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 68/168
El cro s vulv (+6):
• ( 6) ∏ ( 2) = (-3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (-2)
para obtnr ( 6)?”
¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡D un cro! :
Qutamos trs vcs (-2):
El cro s vulv (+6):
• ( 6) ∏ ( 2) = (-3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (+2)
para obtnr (-6)?”
¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡Pus d un cro!:
Qutamos trs vcs (+2):
El cro s vulv (-6):
• ( 6) ∏ ( 2) = (+3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar ( 2)
para obtnr (-6)?”
¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡Pus d un cro!:
+
- - -
+
+
+ + +
-
-
BLOQUE 1
La división se presenta un poco
más difícil que la multiplicación,
pero la forma de trabajo será muy
útil para proponer procedimientos
en la resolución de ecuaciones.
La idea de “adivinar” el signo del
resultado es muy útil, no importa
que los estudiantes se confundan y
cometan errores, pues discutir la
actividad será muy importante para
su formación matemática.
En este tipo de situaciones se
puede constatar la necesidad de
trabajar todas las combinaciones
posibles de los mismos números
con signo, para hacer una misma
operación.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 69/168
Ponmos trs vcs (-2):
El cro s vulv (-6):
- - -
-
Discute con tus compañeros este procedimiento de división y ponlo a prueba con
otros números con signo. Recuerda que, en principio, debes utilizar números chicos yespués números gran es.
scri e un méto o para ivi ir números con signo y iscúte o con tus compañeros.
Además aplícalo a diversas cantidades.
La división es una operación inversa de la multiplicación, esto es,
(+8) ∏ ( 2) = (+4) porque (+8) (+4) ¥ ( 2)
(+8) ( 2) = (-4) porque (+8) (-4) ¥ ( 2)
(-8) ( 2) = (-4) porque (-8) (-4) ¥ ( 2)
(-8) ∏ (-2) = (+4) porque (-8) (+4) ¥ (-2)
• De acuerdo con lo anterior, cuando divides dos números que tienen signos contra-
rios, ¿qué signo ten rá e resu ta o? ¿Por qué?
• Si divides dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por
qué?
En una de las actividades anteriores se mostró que:
( 6) ∏ (+2) = (+3) se escribe (+6)
+2( 3), y puede omitirse el signo “ ” = .
( 6) ∏ (-2) = (-3) se escribe (+6)-2
( 3), y puede omitirse el signo “ ”-
3.
( 6) ∏ (+2) = (-3) se escribe (-6)
22( 3), y puede omitirse el signo “ ” - .
( 6) ∏ (-2) = (+3) se escribe (-6)
-2( 3), y puede omitirse el signo “ ” -
-3.
¿Entonces podemos decir que: - =-
= - y = ? ¿Por qué?
Para curiosos
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Nuevamente, del trabajo con
números chicos se pasa a números
grandes y al final se escribe una reglageneral para realizar las operaciones
que se trabajan; discutir la regla
general propiciará en los alumnos un
mejor entendimiento del contenido
matemático.
PROHIBIDA
SU VENTA
Positivo.
Negativo.
Porque al aplicar la regla de los
signos la igualdad se mantiene.
Se sigue la misma regla
que con la multiplicación:
– ϫ – = +
– ϫ + = –
+ ϫ – = –
+ ϫ + = +
La división se puede ver como una
multiplicación, de ahí que el
tratamiento con signos sea igual
que para la multiplicación. Ejemplo:
= = =– a – b
(– 1)a
(– 1) b
(–1)(–1)a
b(1) a
b
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 70/168
Efectúa las siguientes operaciones, comprueba en cada caso el resultado obtenido y
discútelo con tus compañeros. ¿Coincidieron todos? Si hubo diferencias, ¿a qué se
debió?
• (+4) ( 2 ) • ( 5) + (-6) • (+9) + (+8)
• (-12) + (+14) • ( 18) + (-17) • (+24) ( 15)
• (-144) (-50) • (+232) + ( 62) • (+358) + (-125)
• (+3) ( 4) • (+7) - (+6 ) • (+10) ( 5)
• (-16) - (+19) • ( 25) - (-13) • (-32) ( 17)
• (-111) (+44) • ( 369) - ( 31) • (-670) - (-270)
• (-3) (-5) • ( 7) (+6) • (+4) ( 8)• (+11) (-7) • ( 38) ( 4) • (-57) (-9)
• (+250) ( 12) • ( 421) (-43) • (+682) (-62)
• (+12) ∏ (+6) • ( 28) ∏ (+7) • (+36) ( 12)
• (-20) ∏ (+5) • ( 48) ∏ (-6) • (+50) ( 5)
• (-24) ∏ (+4) • ( 72) ∏ (+9) • (-30) ∏ ( 6)
•( 44)
11•
(+60)
+ 0•
(+25)
5•
( 72)
-8
Encuentra el número faltante en las siguientes expresiones.
• +3 + • + -5 -
• + • -7 + -
• +4 - - • +6 - -8
• ( ) 3) -9 • ( ) - (- ) +6
• -3 + • - - +5
• + 0 - +4 • +7 + -
• -4 + • -5 -1
• -5) (-3) • ( ) (-4) +8
• +2 +12 • + + 0
• -7 +2 • 4 +
• +5 - • - -18
1
E N
E L AT E N E O
2
BLOQUE 1
En algunas actividades los
estudiantes pueden utilizar las
fichas y en otras no, pero al no
presentarse en orden de dificultad
los obligará a que las trabajen
sin fichas.
Se insiste en la búsqueda decantidades, no como ecuaciones, sino
atendiendo a las relaciones aritméticas;
el maestro puede llamar la atención
hacia los casos que considere
conveniente.
PROHIBIDA
SU VENTA
= 2
= 2
= – 194
= – 11
= – 35
= 294
= 17
= 9
= 233
= – 15
= – 77
= – 3000
= 7
= – 35
= – 155
= – 42
= – 152
= 18103
= – 4
= 8
= – 8
= 1
= – 12
= 400
= – 32
= 513
= – 42284
= – 3
= 10
= – 5
= – 4 = 6 = – 5 = 9
= 15
= – 15
= – 400
= 2
= – 4
= – 6
+ 9
+ 6
+ 11
12
10
6
– 5
15
6
– 14
– 1
– 4
2
14
2
– 1
– 18
2
– 2
20
3
2
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 71/168
• ( 8) (+2) = • ( ) ( 4) = +
• ( 15) ∏ ( ) = - • (-18) ∏ ( )
• ( ) ∏ (-4) = 20 • (+84) ∏ (-7) =
• ( 96) ∏ (-6) • ( ) ( 2) = +
• ( 5) ∏ ( ) = - • (-122) ( ) = -
Se ha convenido en omitir el signo “+” en los números con signo positivo; tomando
en cuenta esto realiza las siguientes operaciones.
• (12) + (23) • (20) - (31) • (-26) + (14)
• (-38) + (18) • (-42) - (36) • (+55) - (15)
• ( 248) + (122) • (364) - (234) • (-580) (220)
• (21) (11) • ( 30) (15) • (41) (-18)• ( 160) (13) • (455) ( 29) • (-386) (-63)
• (135) (15) • ( 126) (18) • (264) ∏ (-24)
• (-294) ∏ (21) • (168) ∏ (-42) • (-639) ( 71)
Las reglas para operar con números con signo son válidas también para fracciones y
decimales. Encuentra los resultados de las siguientes operaciones con este tipo de
n meros.
• + • + • + • +
•ͩ ͪ ͩ ͪ •ͩ-ͪ +ͩ
-ͪ •ͩ-ͪ ͩ ͪ •ͩ
-ͪ +ͩ
-ͪ
• . . • . + .4 • .7 . • .1 + .
• • - • • -
•ͩ ͪ -ͩ ͪ •ͩ-ͪ -ͩ ͪ •ͩ
-ͪ ͩ ͪ •ͩ
-ͪ +ͩ
-1ͪ
• . . • - . + . • .4 . • - . + 1.
•ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ
•ͩ-ͪͩ 2ͪ •ͩ
4ͪͩ •ͩ-ͪͩ
-ͪ •ͩ
-
-ͪͩ -
-7ͪ
• (0.2)(0.4) • (-0.5)(0.4) • (0.6)(-0.8) • ( 0.4)(-0.7)
3
4
2
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Se han omitido signos de
multiplicación y ahora se omiten
los signos positivos a fin de que losestudiantes centren su atención en
el manejo de los números
negativos; incluso el maestro podría
preguntar si también se pueden
omitir los signos de los números
negativos sin causar confusión.
Siempre será importante
generalizar los procedimientos a
otro tipo de números como las
fracciones y los decimales. El
maestro puede pedir a los estudiantes
los representen en la recta o que
modifiquen cantidades, para
que analicen lo que sucede.
PROHIBIDA
SU VENTA
– 4
– 3
– 80
16
– 1
12
2
– 12
– 34
11
= – 11
= – 78
= – 130
= – 450
= – 13195
= – 7
= – 4
= 12
= 40
= – 800
= – 738
= 24318
= – 11
= + 9
= 35
= – 20
= – 126
= 231
= – 2080
= 9
= – 14
37
28
– 16
15
– 6
5
5
8
11
10
28
15
5
4
= 1 = = =
= = = =
= = = =
= = = =
= = = =
= = = =
= 1 = 1.3 = 1.0 = 0.6
– 3
14
26
10
– 4
6
4
11
7
18
7
6
9
20
5
3
= 0.27 = – 0.4 = 1.9 = 0.9
= 0.08 = – 0.2 = – 0.48 = 0.28
20
14
18
56
– 12
28
– 10
18
6
14
15
72
4
35
2
18
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 72/168
Caminos entre números y letras
La suma 2 + 7 = 9 pud rprsntar la forma d rsolvr un problma, ¿como cuál?
Dscut con tus compañros y rdacta varos problmas qu s rsulvan con dcha
suma.
Rdacta varos problmas qu s rlaconn con la rsta 8 5 = 3.
•5
• • •-18
•ͩ6ͪ
∏ͩ-
4ͪ•ͩ
-ͪ ∏ͩ
-ͪ •ͩ-3ͪ ∏ͩ ͪ •ͩ
-ͪ ∏ͩ-ͪ
•
2
• •-
-2•
-2
Encuentra el número altante en las siguientes operaciones.
• ͩ-ͪͩ ͪ =ͩ ͪ • ͩ ͪͩ ͪ =ͩ ͪ
•ͩ-ͪͩ ͪ =ͩ ͪ •ͩ ͪͩ -
5ͪ=
• - .5 +1.0 • .3 .24
• 0.8 0.1 • -2.2 + .4
• 0.5 + . • .4 +0.5
• 4.2 1.05 • 0.5 .
• 1.5 -5 • .14 ∏ = -0.2
• 0.2 + .2 • 5.8 .2
5
BLOQUE 1
En estas actividades, el maestro
puede resaltar lo que implica
considerar a una fracción negativa
en tanto el numerador o
denominador sea negativo.
Resulta adecuado en la enseñanza
partir de una operación y que los
estudiantes planteen problemasrelacionados con esa operación,
cambiando el lugar de la incógnita,
para ver el efecto que se produce
en el texto del problema y en el
proceso de resolución.
PROHIBIDA
SU VENTA
= = = =
= 9 = – 7 = 7 = – 9
= = = =
– 16
6
12
5
24
10
48
27
8
5
30
16
– 18
7
– 12
18
– 3
– 2
– 7
– 3
– 3
– 4
6
– 20
– 2
.08
.4
– 4
– 0.3
– 0.25
0.8
– 1.1
1.2
2.25
.028
– 29
Omar toma dos cucharadas de azúcar con café, pero su mamá no sabía que ya estaba
endulzado y le echó siete más. ¿Cuántas cucharadas de azúcar tiene el café de Omar?
En el grupo de 2° A hay ocho alumnos de los cuales cinco son mujeres. ¿Cuántos hombres hay?
Respuesta
modelo:
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 73/168
S tns una opracón como 6 + 11 = 17, rdacta un problma dond los datos
san 11 y 17. Tambén rdacta un problma dond los datos san 6 y 17.
Datos 11 y 17:
Datos 6 y 17:
Mdant los númros con sno puds xprsarrelaciones aditivas con las cuals,
a su vz, puds modlar stuacons qu mplcan l uso d adcons y sustraccons.
Comncmos por analzar una stuacón qu s modla mdant una adcón n
la qu ntrvnn númros con sno postvo y a partr d la cual podmos construr
alunos problmas.
S Pdro tn $63.00 y ana $15.00 al ralzar un trabajo, obtn n total $78.00.
La xprsón numérca con qu s rprsnta sta stuacón s:
63 + (+15) = 78.
Est prmr plantamnto d problmas con la suma 63 ( 15) = 78 (la cual
tambén s pud scrbr: 63 + 15 = 78) lo puds rsolvr con los conocmntos
adqurdos n prmr rado.
A partr d una xprsón como la antror, qu modla la rlacón ntr los datos,
s pudn plantar varos problmas n los cuals s dsconoc aluna d las trs
cantdads. Es dcr, una d las trs cantdads s propon como incógnita .
Analza los sunts problmas —cuyo plantamnto tn como bas la rla-
cón 63 ( 15) 78— y su l dsarrollo d su solucón.
1) S Pdro tn $63.00 y ana $15.00 al ralzar un trabajo, ¿cuánto tn n total?
Esta stuacón s pud modlar mdant la sunt xprsón, qu ndca qu
s dsconoc la cantdad final dspués d habr anado $15.00:
63 + (+15) = ?
S pud rprsntar la cantdad dsconocda por una ltra:
63 + (+15) = x.
++ = ?
Figura 5
2
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Es más importante que los estudiantes
comprendan las relaciones aditivas,
que aprender procedimientos
estereotipados de resolución.
Se pueden hacer representaciones
del problema con objetos concretos y,
posteriormente, plantearlos sin ellos.
Los procesos de resolución también
se pueden presentar a los
estudiantes, de manera que
observen que no se está haciendo
nada extraño, sino que el proceso
de resolución debe representar la
situación planteada en el problema.
PROHIBIDA
SU VENTA
Julián tiene en su casa 17 arbolitos de aguacate.Si su papá sembró 11 de esos
árboles y el resto Julián, ¿cuántos árboles plantó Julián?
Julian y su papá cosecharon 17 kilos de café de los cuales 6 fueron recolectados por
su mamá.¿Cuántos kilos de café recolectaron Julián y su papá?
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 74/168
La forma d rsolvr l problma consst solamnt n ralzar la opracón n-
dcada:
63 ( 15) x Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos.
63 + 15 x S pud omtr l sno + d ( 15).
x
Así, Pdro tn finalmnt $ .
La cuacón antror la pudst rsolvr con lo qu ya sabías dl prmr rado d
scundara. Srá la bas para lo qu vn más adlant. En st caso, la ncónta fu
l rsultado d la opracón.
El sunt caso tambén lo puds rsolvr con lo ya aprnddo, pro s l nco
d otras stuacons qu vrmos dspués. Ahora analza lo qu sucd s la ncón-
ta s uno d los dos sumandos.
2) uan tnía alo d dnro, anó $15.00 al ralzar un trabajo; ahora tn $78.00.
¿Cuánto dnro tnía ornalmnt?
No s conoc la cantdad qu ncalmnt tnía Juan:
x + 15 78.
La solucón s pud obtnr consdrando qu, s a la cantdad dsconocda s l
suma 15 y da como rsultado 78, ntoncs la cantdad dsconocda db obtnrs
rstando 15 a 78.
x + 15 = 78 Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos. x = 78 - 15 S a 78 l qutamos 15 s obtn l valor d x.
x =
Entoncs Juan tnía ornalmnt $ .
3) osé Lus tnía $63.00. Dspués d ralzar un trabajo l paan una crta cantdad
y al final tn $78.00. ¿Cuánto anó?
Figura 6
=? +
BLOQUE 1
Al inicio no importa que los
estudiantes utilicen el lenguaje
cotidiano para referirse al problema
o su resolución, pues a partir de
ello se pueden elaborar
convenciones necesarias para llegar
al uso del lenguaje algebraico.
PROHIBIDA
SU VENTA
78
78
63
63
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 75/168
El modlo corrspondnt s rprsnta con la xprsón
63 + x 78.
Para rsolvrlo s procd como su:
63 + x 78 Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos.
x 78 - 63 S a 78 l qutamos 63 s obtn l valor d x.
x
Es dcr, José Lus anó $ .
Vamos ahora alunas stuacons qu s pudn modlar mdant rlacons adt-
vas n las qu ntrvnn númros con sno natvo.
1) Pablo tn 18 lapcros n su tnda. Su prmo Jam tn 7 lapcros mnos qu
él, d ahí qu Jam tn 11 lapcros.
Escrb la rlacón numérca qu modla la stuacón antror:
Figura 7
+ ? =
Discute con tus compañeros sobre lo siguiente.
• ¿Es necesario usar siempre para representar una nc gn ta
• ¿Qué sucede si utilizas otra letra? ¿Cambia el proceso de resolución? ¿Cambia el resultado final?
Considera la siguiente situación: Alguien tenía 63.00 y pagó 15.00; le quedaron 48.00.
• ¿Cuál es la relación numérica correspondiente?
• Usando dicha relación, redacta con tus compañeros problemas modelados por cada una de las
siguientes expresiones:
a) + (-15) x (se puede escribir como 63 = x )
b) 15 40 (se puede escribir como x 40
c) + x 4
Para curiosos
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Hay relaciones de comparación que
son más complejas de interpretar,
esto ayuda a que los alumnos no
utilicen objetos concretos para
plantear problemas y busquen
formas simbólicas de representar
las relaciones entre los datos del
problema.
Cada vez que sea necesari
es importante recalcar alos estudiantes que las
literales empleadas son
convencionales y el uso d
la “x ” para representar la
incógnita en una ecuació
es parte de dichas
convenciones.
Una competencia
importante que deben
desarrollar los estudiante
es plantear problemas
sujetos a condiciones prev
PROHIBIDA
SU VENTA
Nota : para ser consecuente deberia decir 48 en vez de 40 (con el desarrollo y el ejemplo del cual se partió)
Yo tenia 63 gatos y murieron 15. ¿Cuántos gatos tengo?
$15 + $48 = $63
No cambia nada, es exactamente lo mismo.
No. Podemos usar cualquier letra pero generalmente se usa x.
15
15
7 + 11 = 18
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 76/168
2) osé l dbía $381.00 a Manul y l dvulv $123.00. Ahora solamnt l db
$258.00.
Puds xprsar sta rlacón numérca como:
3) Pablo l db 12 stampllas a Flp, pro Flp l db 7 a Pablo, así qu Pablo
solamnt l db 5 stampllas a Flp.
La rlacón ntr los númros mplcados s la sunt:
Consdrando los trs ncsos antrors y las rlacons adtvas qu s dtrm-
naron n llos, rtoma la stuacón ornal y planta trs problmas qu tnan la
ncónta n l luar ndcado, ncuntra l valor d la ncónta n cada caso y d-
trmna la solucón dl problma.
Stuacón adtva dl ncso 1): Pablo tn 38 lapcros n su tnda. Su prmo Jam
tn 17 lapcros mnos qu él, d ahí qu Jam tn 21 lapcros.
a) Planta un problma n l qu la ncónta sa l prmr sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: x +
• Opracons:
• Rsultado: x =• La solucón dl problma s: .
b) Planta un problma n l qu la ncónta sa l sundo sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + x
Discute con tus compañeros por qué siempre se uti iza e signo + para p antear arelación aditiva. ¿Se podría hacer utilizando el signo -?
Para curiosos
BLOQUE 1
En el curso anterior se dio sentido a
los números enteros a través de la
representación en la recta numérica
de diversas situaciones de
comparación, adición y sustracción.
Puesto que no abundan los
problemas reales que impliquen
operaciones de números con signo,
el plantear situaciones en base a
“deber y pagar”, facilitará la
comprensión de este tema a los
alumnos.
PROHIBIDA
SU VENTA
381.00 – 123.00 = 258
12 – 7 = 5
Se ha convenido utilizar el signo +
para la adicion y – para la
sustracción, sin embargo, una restaes una suma de un número
negativo.
A la hora de la cena la familia se comió un total de 17 panes. Si se compraron 38 panes,
¿cuántos quedan para el desayuno?
2121 panes quedan para el desayuno
17 38
x = 38 – 17
Rodrigo tiene 38 años y tuve a su hijo a los 21 años.
¿Cuántos años tiene el hijo?
21 38
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 77/168
• pracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s: .
c) Planta un problma n l qu la ncónta sa l rsultado d la suma:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + x
• Opracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s: .
Stuacón adtva dl ncso 2): José l dbía $570.00 a Manul y l dvulv $356.00.
Ahora solamnt l db $214.00.
a) Planta un problma n l qu la ncónta sa l prmr sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: x +• Opracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s: .
b) Planta un problma n l qu la ncónta sa l sundo sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + x =
• Opracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s:
2
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Los aspectos algorítmicos del álgebra
no van separados del proceso de
modelación. Esto es, se propone que
los alumnos vayan aprendiendo a
operar con expresiones algebraicas
a medida que sean necesarias en la
resolución de problemas.
PROHIBIDA
SU VENTA
21 + x = 38 21 – 21 + x = 38 – 21 x = 38 – 21
17
17
Si Andrea y Ximena tenían 21 estampitas de colección y las juntaron con las de Carlos
y Jorge que contaban ya con 17, ¿cuántas estampas tenían en total?
El uniforme de la escuela cuesta $570. Alfredo solo tiene $214,
¿cuánto le falta para poder comprar el uniforme?
214 570
x + 214 – 214 = 570 – 214
356
$ 356
17 21
17 + 21 = 38
38
38
En una escuela se cuenta con 570 estudiantes de los cuales 356 se fueron de excursión al
bosque. ¿Cuántos alumnos se quedaron estudiando en la escuela suponiendo que nadie faltó?
356 570
356 – 356 + x = 570 – 356
214
214 estudiantes
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 78/168
c) Planta un problma n l qu la ncónta sa l rsultado d la suma:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + = x• Opracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s:
Stuacón adtva dl ncso 3): Pablo l db 27 stampllas a Flp, pro Flp l
db 9 a Pablo, así qu Pablo solamnt l db 18 stampllas a Flp.
a) Planta un problma n l qu la ncónta sa l prmr sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: x +
• Opracons:
• Rsultado: x• La solucón dl problma s: .
b) Planta un problma n l qu la ncónta sa l sundo sumando:
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + x
• Opracons:
• Rsultado: x =
• La solucón dl problma s: .
c) Planta un problma n l qu la ncónta sa l rsultado d la suma:
BLOQUE 1
Siempre que se trabajen temas
algebraicos es conveniente insistir
en que los alumnos interpreten,
simbolicen y manipulen las
variables incluidas en los
problemas.
PROHIBIDA
SU VENTA
En un establo tienen 27 bestias, de las cuales 9 son vacas y el resto caballos y becerros.
¿Cuántos animales distintos a las vacas hay en esl establo?
9 27
9 – 9 + x = 27 – 9
18
18 animales.
En Io A se clasificaron 17 insectos diferentes en 2° B se clasificaron 9 insectos diferentes.
¿Cuántos clasificaciones se tienen en los dos grupos en total?
En una fiesta se partió un pastel en 27 rebanadas pero sólo se comieron 18.
¿Cuántas rebanadas de pastel quedaron?
18 27
x + 18 – 18 = 27 – 18
9
9 rebanadas.
356 214
356 + 214 = x
570
570
La primera semana doña Gonzala gastó en despensa $356 y la segundo $214.
¿Cuánto gastó en total las dos semanas?
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 79/168
Rsolucón dl problma:
• Ecuacón: + = x
• Opracons:
• Rsultado: x =• La solucón dl problma s:
Resuelve los siguientes problemas utilizando adiciones y sustracciones de números
con signo. Discute los resultados con tus compañeros.
• Si Andrés tiene $81.00 y gana $50.00 en una apuesta, ¿cuánto tiene en total?
• A Miguel le pagaron 350.00 y perdió 125.00. ¿Con cuánto dinero se queda?• Juan tiene $250.00 y le deben $75.00. ¿Cuánto dinero tendrá cuando le paguen?
• Silvia tiene 32 estampas, Miriam tiene 6 más que Silvia. ¿Cuántas estampas tiene
Miriam?
• Rosa tiene 18 muñecas, Elvira tiene 6 menos que Rosa. ¿Cuántas muñecas tiene
E vira?
• Gerardo ganó 5 boletos para el cine, y en una ri a ganó otros 3. ¿Cuántos boletos
tiene?
• Leonardo ganó 25 estampas en un volado, y perdió 6 en otro volado. ¿Con cuántas
estampas se que ó?
• Luis perdió 11 canicas, y al jugar perdió otras 6. ¿Cuántas canicas perdió en total?
• Rodolfo realizó dos trabajos para una empresa. De uno le deben 310.00 y del otro,160.00 ¿Cuánto dinero le deben en total?
• Ernesto ganó 460.00 y le debe a Yolanda 540.00. ¿Cuánto dinero le seguirá de-
biendo a Yolanda si le paga todo lo que ganó?
• Beto tenía 82.00 y después cobró una cantidad que le debían; al final tiene 98.00.
¿Cuánto le debían?
• Jorge le debía 175.00 a José y le devuelve 58.00. ¿Cuánto le debe todavía?
• Antonio tenía ahorrado un poco de dinero. Le debían y le pagaron $94.00 de una
venta, con lo que ahora tiene 132.00. ¿Cuánto dinero tenía?
Resuelve los siguientes problemas en los que realizarás adiciones y sustracciones de
números decimales o racciones con signo.
• Roberto le debe 20.00 a Luis, y si Roberto le da 30.00 a Luis, ¿quién debe a quién
y cuánto?
• Si Francisco tiene ahorrados 250.00, y le pagan por una venta la mitad de lo que
tiene, ¿cuánto dinero tiene ahora?
• Manuel le debe a su hermano 750.00, y a Pedro le debe e o que e e e a su
hermano. ¿Cuánto dinero debe en total?
E N
E L AT E N E O
1
2
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
La resolución de problemas
implica, en la perspectiva delautor, una estimación
del resultado antes de
resolverlo, aplicar varios
procedimientos, discutir
los procedimientos
empleados, modificar
los datos para valorar los
procedimientos de
resolución, plantear una
solución diferente, encontrar
los datos que se acomodan
a dicha solución y plantear
problemas similares referidos
a otros contextos.
Siempre que sea posible
hay que incluir números
decimales y fracciones,sobre todo para resaltar las
relaciones numéricas y que
los estudiantes no centren
su atención en el tipo de
números empleados.PROHIBIDA
SU VENTA
9 18
9 + 18 = x
2727 clasificaciones.
$ 131
$ 225
$ 325
38 estampas
12 muñecas
8 boletos para el cine
19 estampillas
17 canicas
$ 470
$ 80
$ 16
117
$ 38
Luis debe a Roberto $10.00.
$ 375
$ 1 000
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 80/168
Caminos entre letras y fguras
Dspués d analzar los procdmntos para ralzar opracons artmétcas con
númros con sno, puds utlzar las msmas rlas para fctuar opracons con
ltrals, a fin d cuntas pudn rprsntar númros tambén.
• Si de lo que tenía de lápices doy a Jorge y me quedan 12 lápices, ¿cuántos lápi-
ces tenía?
• Un albañil cobra $500.00 por un trabajo, y Tito tiene 3 veces lo que le cobra el al-
bañil, ¿con cuánto dinero se queda Tito después de pagar el trabajo?
• José cobra $1600.00 por un trabajo, y si le piden que haga solamente2
de esetrabajo, ¿cuánto tendrá que cobrar?
• Brenda tiene 46 estampas, y jugando con Gloria pierde2
de ellas. ¿Cuántas estam-
pas obtiene Gloria?
• Un carpintero tiene una tabla que mide 2.54 m de largo y necesita usar7
de esa
longitud. ¿Cuánto mide el pedazo de tabla que le queda?
• Para pintar un muro de 3 m se utiliza L de pintura. ¿Cuántos m se pintar n con9
L de pintura?
Resuelve los siguientes problemas en los que se puede utilizar una multiplicación o
división de números con signo.
• Pongo $35.00 en una apuesta y gané 5 veces ese valor. ¿Cuánto dinero gané?
• Si paso libros de un librero a otro empleando una caja a la que le caben 15 libros,
¿cuántos libros cambié de librero si realicé 7 viajes?
• En una apuesta puse $1500.00, y me prometieron que si ganaba me darían 6.5
veces lo apostado. ¿Cuánto dinero me ganaría?
• Toño tiene 36 canicas y en secreto sus padres le pusieron en el costal de canicas
4.5 veces la cantidad que originalmente tenía. ¿Cuántas canicas tiene ahora Toño
en su costal?
• Mariana tiene una colección de 424 estampillas y por accidente perdió8
e esa
cantidad. ¿Cuántas estampas perdió?
• arcos tiene de los 123 libros que tiene Marta. ¿Cuántos libros le altan a Marcos
para tener a misma canti a que Marta
• Guillermo y Octavio juntaron dinero para comprar un boleto de avión para Guiller-
mo. Guillermo puso $426.00 y Octavio puso de lo que puso Guillermo. ¿Cuánto
cost el oleto e Guillermo
• De 350 aves que tiene una granja, son ga inas, son gansos, e resto son patos.
¿ uántas aves ay e ca a especie?
• ¿Cuántos lápices son la mitad de las tres cuartas partes de 64 lápices?
3
2
BLOQUE 1
Más que resolver un
problema particular, los
estudiantes deben
aprender a plantearlo y
resolverlo con las
modificaciones que han
incorporado; ese tipo de
actividad es más relevante
que repetir un
procedimiento de
resolución muchas veces.
Se inicia el proceso para
introducir la manipulación
algebraica, dado que en
los problemas anteriores
debieron prevalecer
solamente las relaciones
aritméticas: “si a este
número se le debe sumar
(restar, multiplicar o
dividir) un número para
que me dé este valor,
entonces dicho número
debe ser tal”.
PROHIBIDA
SU VENTA
48 lápices.
$ 1000.
$1 066.67.
18 estampas.
0.66 m.
8.1m2.
$75.
105 libros.
$9 750.
198 canicas 36 X 4.5 162 + 36 = 198 canicas.
Perdió 159 estampillas.
82 libros.
$781.
140 gallinas, 175 gansos, 35 patos.
24 lápices.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 81/168
Para llo ralzarmos una actvdad. Comncmos por amplar l matral utlza-
do n l prmr apartado d sta lccón. D un matral rído rcorta 10 pzas
azuls y 10 amarllas d cada una d las undads qu s mustran n la fiura 8, s-
undo las mddas qu ahí s ndcan.
Antrormnt asnamos a cada cuadrado pquño d color azul l valor ( 1) y a
cada cuadrado amarllo l valor ( 1).
Ahora, a cada rctánulo d color azul l asnarmos l símbolo “ x” y al d color
amarllo, “ x”.
Así msmo, cada cuadrado rand azul s asocará con “ x2”, y cada cuadrado ran-
d amarllo con “ x2”.
Como cada tránulo s obtn al dvdr por la mtad, rspctvamnt, l cua-
drado pquño, l rctánulo y l cuadrado rand (sún s aprca n la fiura 8),
ls asnarmos la mtad dl valor qu tna l cuadrlátro qu ls corrsponda.
Así pus, n la fiura 9 s mustra l valor asocado a cada pza.
3.3 cm 3.3 cm
3.3 cm 3.3 cm
1 cm 3.3 cm 3.3 cm
3.3 cm 3.3 cm
1 cm
1 cm
3.3 cm 3.3 cm
1 cm 1 cm 1 cm
1 cm 3.3 cm 3.3 cm1 cm
1 cm 1 cm 1 cm 1 cm
Figura 8
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Se describen materiales similares a
los que Dienes presentó en la
década de 1950 y en los cuales
basó sus propuestas para la
enseñanza del álgebra.
Para trabajar con los bloques
algebraicos de Dienes seutilizaron algunos elementos
que presentó Bruner por la misma
época, en particular tres modos
básicos mediante los cuales el ser
humano representa la realidad, los
modos enactivo, icónico y simbólico.
Representación enactiva: consiste
en representar cosas mediante la
reacción inmediata de la persona,
en la cual se fusionan la acción con
la experiencia externa. En este caso la
representación es meramente
concreta, como sucede en las
matemáticas naturales.
Representación icónica: consiste en
representar cosas mediante una
imagen o esquema. Sin embargo talrepresentación sigue teniendo algún
parecido con la cosa representada.
La elección de la imagen no es
arbitraria.
Representación simbólica:
consiste en representar una cosa
mediante un símbolo arbitrario que
en su forma no guarda relación con
la cosa representada.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 82/168
Expresiones algebraicas equivalentes
Para qu vas cómo s manjan las pzas, a las qu llamarmos fichas, analza l s-
unt jmplo y dscútlo con tus compañros.
Toma las sunts pzas:
Toma n cunta cada pza y haz una lsta d las qu tns:
S juntas las pzas, ¿cuántas fichas d cada una tndrías? ¿cómo smbolzarías l
juntar todas las pzas? ¿qué opracón artmétca stá asocada a juntar las pzas?
Figura 9
Figura 10
x
-
-
-
x
4
BLOQUE 1
Las representaciones geométricas
son un modelo claro de
las expresiones algebraicas. Estas
representaciones ayudan a los
alumnos a comprender notaciones
y procesos algebraicos a partir de
elementos gráficos sencillos.
No todo lo que se puede hacer en
álgebra se podrá hacer con el
material sugerido, hay que recordar
que el material solamente ayuda al
inicio y que el objetivo es que los
estudiantes se desprendan de élpara realizar el trabajo formal
con símbolos.
PROHIBIDA
SU VENTA
x , x , 1, 1
Si las juntamos tendríamos 2x y 2.
La operación aritmética al asociar las piezas es una suma 2x + 2.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 83/168
Entoncs, l rsultado d juntar todas las pzas pud sr xprsado smbólcamn-
t como: .
¿Con cuáls pzas rprsntarías: 2 x + 2; 3 x + 5; x 1; 3 x 2; 2 x 1; 4 x 5?
Con las pzas d la fiura 10 s pud formar l rctánulo mostrado n la fiu-
ra 11. ¿Cómo xprsarías, con las dnomnacons d las pzas, cada uno d sus la-
dos? ¿Qué opracón utlzarías para rprsntar l ára dl rctánulo? ¿Cómo x-
prsarías, usando las dnomnacons d las pzas, l ára dl rctánulo?
Como con las msmas pzas x, x, 1 y 1 construmos dstntas cosas, las dfrnts
xprsons para rprsntar la msma cantdad d pzas s ls llama expresiones
equivalentes.
x + x 1 + 1 2 x + 2 2 ¥ ( x 1).
Tambén podmos construr xprsons quvalnts con otras fichas. Analza lo
qu ocurr con las sunts confiuracons d las fichas.
Las fichas qu tnmos n la fiura 12 son:
, , , , , , , .
Sumando térmnos smjants, s obtn la sunt xprsón:
+ .
S s forma un rctánulo con las fichas (fiura 14), s obtn:
( + ) ( + ).
Figura 11
Figura 12
Figura 13
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Se puede partir de un conjunto de
fichas y agregar o quitar fichas para
representar simbólicamente los
cambios. También, se puedenhacer actividades en las cuales
algunos estudiantes muestren a
otros expresiones algebraicas y
estos últimos indiquen las fichas
que pueden servir para representar
lo que se indica.PROHIBIDA
SU VENTA
Para representar el área del
rectángulo multiplicamos base por
altura.
(x + 1) ϫ (x + 1)
2x + 2
x 2 x x x x 1 1 1
x 2 4x 3
x 3 x 1
2x 2
1 1
x x
4x 5
1 1 11 1
x x x x
2x 1
x x
1
x 1
1x
3x 5
1 1 1 1 1
x
x x
3x 2
1 1
x x x
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 84/168
D sta forma, tnmos qu con las fichas x , x, x, x, x, 1, 1, 1 s pudn obtnr
las sunts xprsons quvalnts:
Con tus compañros, ncuntra xprsons quvalnts para las confiuracons
qu s pudn obtnr con las sunts fichas:
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
BLOQUE 1
En el caso de la suma se usa la
conocida idea de “juntar”, pero en
el caso de la resta conviene utilizar
la idea de “eliminar”.
PROHIBIDA
SU VENTA
(x +3) (x + 1) = x 2 + 4x + 3
(3x – 6) = – 1 + 3x – 5
(–x 2 + 4x ) = 2x – x 2 + 2x
(x 2 + x ) – 1 + x = x 2 + 2x – 1
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 85/168
Expresiones equivalentes y operaciones algebraicas
Habndo asnado valors a las pzas qu nos srvrán d undads, procdamos
ahora a rprsntar opracons con llas.
Consdra, para mpzar, qu puds arupar y combnar pzas dl msmo tpo
pro no d tpos dfrnts. Obsrva la fiura 18.
Con las fichas d la fiura 18 s forman trs arupamntos dstntos. Tomados
por sparado son:
, , .
Tomadas las pzas n conjunto y dado qu sumar s juntar, s pud scrbr la
xprsón albraca:
+ .
En la fiura 19 l conjunto d los trs arupamntos , , s pu-
d rprsntar con la adcón:
+ .
Figura 18
Con tus compañeros, encuentra expresiones equiva entes a as siguientes:
• (+ x ) • ( x ) • (+ ) • (- )
• ͩ + ͪ • ͩ - x ͪ • ͩ + ͪ • ͩ x ͪ
Para curiosos
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Las identidades algebraicas son
un concepto central del álgebra
y constituyen la base para la
transformación de expresiones
algebraicas en la resolución de
ecuaciones y en la simplificación
de expresiones. Este modelo
geométrico permite establecer
algunas identidades algebraicas
elementales.
PROHIBIDA
SU VENTA
= 3x = – 2x = (2x )2 = – (3x )2
= x 2/2 = – 3x 2/2 = 3x /2 = – x /2
2x 2 5x 3
2x 2 5x 3
+ x 2 – 2x 1
x 2 (– 2x ) 1
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 86/168
Puds usar las pzas tranulars, qu rprsntan parts d las pzas cuadra-
das o rctanulars, para xprsar d dvrsas manras una msma stuacón. Por
jmplo, scrb n l rcuadro una xprsón albraca asocada a las pzas mos-
tradas n la fiura 20:
.
Esta xprsón tambén s pud scrbr como:
o o ,
por lo tanto, s pudn obtnr varas xprsons quvalnts. Con tus compañros
dscut as posbls xprsons quvalnts y scrb n tu cuadrno las ualdads
corrspondnts.
En st tpo d fichas tambén s aplcan los qulbros ntr colors, s dcr,
l msmo númro d fichas smjants azuls con l msmo númro d fichas s-
mjants amarllas s qulbran y forman un cro, como s hzo antrormnt n
sta lccón.
Escrb xprsons quvalnts rlaconadas a la fiura 21:
Figura 19
Figura 20
Figura 21
BLOQUE 1
La relación entre la formación de
figuras con las piezas y su
representación en el lenguaje
algebraico es un punto importante
en el uso de este tipo de materiales.
La representación de algunos
polinomios sencillos es el comienzo
para reconocer términos
semejantes y constatar que no se
pueden operar de manera
arbitraria.
PROHIBIDA
SU VENTA
x 2 + ½ x 2
3/2 x 2 1.5x 2 3x 2/2
= – 3x + x + ½ x + ½ x
= – 2x + 2/2x
= – 2x + x
= – x
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 87/168
Obsrva qu:
Esto conduc a:
.
¿Cómo rprsntarías las sunts opracons usando fichas d los dos colors?
• (2 x + 4) + ( x 2)
• ( 3 x + 2) + (4 x 5)
• ( x 2 x + 1) + ( 2 x + 3)
¿Cuál sría l rsultado s al juntar las pzas n cada caso no consdras los qu-
lbros? ¿Por qué no mporta consdrar los qulbros?
Una manra d obtnr xprsons quvalnts s ralzar opracons. Con los
procdmntos para sumar númros con sno puds sumar xprsons al-
bracas apoyándot tambén n l uso d las pzas. Por jmplo, para sumar las
xprsons
+3 x2 2 x 5
x x 3
s procdrá d la sunt manra:
iscute con tus compañeros lo siguiente.
Encuentra diversas ormas de representar las siguientes expresiones algebraicas. En
cada caso dibu a al menos dos disposiciones que representen la misma expresión
algebraica.
• +3
• - -5
2
• - x + 2 • -
Para curiosos
Figura 22
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Las maneras de escribir una
expresión algebraica asociada a las
mismas piezas, pero acomodadas
de diferente forma, ayuda a entender
algunas equivalencias entre
expresiones algebraicas.
La escritura de expresiones
algebraicas que se pueden
reducir es un tema importante.
La reducción de piezas se puede
hacer manualmente a partir de las
reglas y equilibrios con fichas de
colores que se emplearon en el
trabajo de los números enteros.
PROHIBIDA
SU VENTA
Respuesta modelo.
Porque con las fichas el orden no afecta el resultado.
= ½ x 2 + 2x 2 + x + ½ x
= – 2x
2 + 1/2x
+ 2x
= 4x 2 + 3x – 2 – ½
= x 2 – 1 – ½
– 3x + x + ½ x + ½ x = – x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 88/168
La suma qu acabamos d ralzar tambén s pud hacr n forma scrta, prs-
cndndo d las pzas, pro oprando solamnt con térmnos smjants, colum-
na por columna:
+3 x2 2 x 5
- x2 x 3
3 x - 2 x 5
x + x 3
2 x
3 x 2 x - 5
x x + 3
2 x - x
Así obtuvmos xprsons quvalnts, xprsadas d la sunt manra:
(3 x2 2 x - 5) + ( - x2 + x + 3) = 2 x x 2.
La sustraccón d xprsons albracas la puds ralzar d manra smlar.
Tommos l sunt jmplo:
3 x 2 x - 5
x x 3
Rprsntamos cada sumando con pzas.1
3 x2 - 2 x - 5 - x2 + x + 3
Para sumar, juntamos todo.2 Postrormnt, lmnamos las p-
zas qu forman qulbros. (Solamnt
podmos “qulbrar” pzas dl ms-
mo tpo, s dcr, piezas semejantes.)
3
+
3 x2 2 x 5
- x2 + x + 3 +
3 x2 2 x 5
- x2 + x + 3
2 x2 - x - 2
BLOQUE 1
Los estudiantes deben trabajar
constantemente en la
transformación de expresiones
algebraicas para que se familiaricen
con el manejo de las fichas. En esta
parte pueden emplear fracciones
y decimales.
PROHIBIDA
SU VENTA
2x 2 – x – 2
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 89/168
En st caso, al mnundo (la xprsón d arrba) hay qu “qutarl” l sustrando (la xprsón d abajo).1
(mnundo) (sustrando)
Tal y como s procdó n la sustraccón con númros ntros, s s tn un mnundo qu carc d las
pzas ncsaras para qutarl l sustrando, s l aran cros.
2
Para obtnr l rsultado rtramos dl mnundo las pzas qu conforman l sustrando.3
3 x 2 x - 5
x x + 3
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
La suma de polinomios es un buen pun
de partida para trabajar con las fichas.
El maestro debe ir elaborando pregunt
para reducir términos semejantes y res
el procedimiento “usual” empleado pa
realizar esta operación a partir del uso
exclusivo de términos.
Se deben utilizar las fichas del minuendo
para ir eliminando fichas que se indiquen en el
sustraendo; en el caso de faltar fichas solamente se
añadirá un cero o un equilibrio con el número de
fichas suficientes para poder realizar la operación.
PROHIBIDA
SU VENTA
x 2 – x 2 + x – x + 3 – 3 = 0
4x 2 – 3x – 8
3x 2 – 2x – 5 – x 2 + x + 3
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 90/168
En símbolos, sta opracón tambén s llva a cabo por columnas d térmnos
smjants:
-3 x2 2 x 5
- x2 x 3-
3 x - 2 x - 5
x + x 3
4 x
-3 x - 2 x - 5
x2 x + 3
4 x - 3 x
S obtuvron las sunts xprsons quvalnts:
(3 x2 2 x - 5) - ( x2 x + 3) = 4 x - 3 x 8.
bserva que en el e emplo anterior se puede obtener el mismo resultado sumando
el sustraendo con los signos cambiados:
3 x 2 - x -
x 2 - -4 x 2
x - 2 x -
- x - x - 3 x
+
x - 5
- 34 x - 8
¿Esto es válido en general?
Escri e os expresiones que si se suman o se restan, consi eran o que a suma y a
resta son expresiones de signo contrario, den el mismo resultado. ¿Es posible?
Para curiosos
Para ca a uno e os siguientes 12 agrupamientos e piezas escri e a expresión a ge raica que e
corresponda. Además, cuando sea el caso, encuentra expresiones equivalentes en cada inciso.
1
E N
E L AT E N E O
(a (b ( (
( (f (g (h
BLOQUE 1
El maestro debe ir señalando
momentos que indican pasos
generales para resolver la operación
de manera simbólica.
PROHIBIDA
SU VENTA
5 5x + 2x = 7x – 3x 2 ½ x + ½ x + ½ x + ½ x = 2x
– 4x – 5x = – 9x 2/2 x 2 + 5/2 x 2 = 7/2 x 2 5 + 5 = 10 5x 2
Sí, por la ley de los signos.
Por la regla de los signos es posible.
Ejemplo.
4x 2 – 8x + 3
– 2x 2 – 6x – 1
6x 2 – 2x + 4
Es lo mismo que:
4x 2 – 8x + 32x 2 + 6x + 1
6x 2 – 2x + 4
4x 2 – 3x – 8
+
–
– +
2 – +
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 91/168
Representa con piezas las siguientes expresiones algebraicas.
• + - • - x + 2
• + + • - - +
• - - 5 • - +
Para cada uno de los siguientes 9 agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones alge-
braicas equivalentes.
2
3
( ( ( (
(a) (b) (c )
( ( ) (f )
(g (h) ( )
4
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Es importante trabajar
piezas triangulares jun
con las piezas cuadrad
y rectangulares.
Conviene insistir en qu
los estudiantes deben
trabajar una configura
de fichas considerando
varias representacione
algebraicas; por lo me
una tomando en cuen
todas las fichas y otra
después de reducir el
número de fichas por
equilibrios o reacomod
de las fichas.
PROHIBIDA
SU VENTA
5/2 x 2 5 – 5/2x – 4/2x = – 9/2x 3 + 5 = 8
– x 2 – 2x 2/2 = – x 2 – ½ x 2 – ½ x 2 = – 2x 2
– 2x – ½ x – ½ x = – 3x –1 – 3/2 = – 5/2
3x 3/2x + x = 5/2 x 5/2 + 1 = 7/2
4 – 2 + 5/2 – 5/2 = 2
– x 2/2 + 3/2 x 2 + 2x 2 – x 2 = 2x 2 3/2 x – 4/2x – x + 3x = 3/2 x 4 – 2 + 5/2 – 5/2
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 92/168
Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra dos expresiones algebraicas equivalentes.
• - x • 2 x • x • - x
• 2 x • - 2 x • - 2 x • 2 x
• 2 • - • • -
Realiza con las piezas las siguientes operaciones entre las expresiones algebraicas dadas y escribe el
procedimiento que emplearías si las resolvieras simbólicamente.
• +- - -
x - 3 x + 2• +
+ +
3 x 2 3 x +• -
- +
-2 x - x 3
• -- +
- a a
• ++ w -
-2 - w +
•m - +
-2m + m -
Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas.
• Adición:
• ustracción:
• Adición:
4
5
6
Primer sumando Segundo sumando
Primer sumando Segundo sumando
inuendo ustraendo
BLOQUE 1
Conviene usar una
ustracción para
omprobar una suma de
olinomios e inversamente,
sar una suma para
omprobar una sustracción
e polinomios.
No son necesarias largas
stas de operaciones, basta
artir de algunas de las
ue se plantean,
modificarlas y analizar lo
ue sucede.
PROHIBIDA
SU VENTA
= – ½ x 2 – x 2 = 2x 2 + x2/2 = x 2 + ½ x 2 = x 2 – 3/2 x 2
= x – ½ x = – 1/2x – x = x – ½ x = 3x
= ½ + ½ + ½ + ½ + ½ = – 4 –½ = 2 + ½ = – 3 – ½
– x 2 – 5x – 5 – 2x 2 – x + 5 – 2x 2 + 4x – 2
2a2 (1) + 7a – 5 2w 2 +3 m2 – 8m + 7
– 4x 2 – 3x – 3 + 2x 2 + 2x + 5 = – 2x 2 – x + 2
4x 2 – 5x – 4 – (– 2x 2 + 3x + 3) =
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 93/168
Demuestro lo que sé y hago1 Rsulv las sumas, rstas, multplcacons y dv-
sons sunts.
• (-10) + (+18) • (-21) + (-14) • ( 26) (-13)
• ( 16) (+29) • ( 15) ( 17) • ( 30) ( 18)
• (+21)( 9) • (+25)( ) • ( 42)( 8)
• (-22) ∏ (+11) • ( 42) ( 6) • ( 60) (-15)
•ͩ 1
-2ͪͩ
5
6ͪ• ͩ
4
7ͪͩ
-3
8ͪ • ͩ
-2
5ͩ 2
-5ͪ
• (0.2)(1.5) • ( 0.8)(6.2) • ( .3)( 3.2)
2 Encuntra l númro faltant n las sunts op-
racons.
• (+8) + ( ) = 12 • ( ) + (-4) = -15
• ( ) + ( 6) = 12 • ( 6) ( ) = -6
• (+9) - (-8) = • ( 13) ( 7)
• ( )(-5) = +20 • (-5)( ) 20
• (-4)(-2) = • ( )( 4) +12
• (+7)( ) = +35 • (+5)(+10) =
• ( ) ∏ ( 2) = 20 • (+35) ( 7)• (-90) ∏ (-5) = • ( ) ∏ (-2) = +14
• (+4) ∏ ( ) 4 • ( 144) ( ) = -24
•ͩ 1
-3ͪͩ ͪ ͩ -2
9ͪ•ͩ ͪͩ 2
5ͪ ͩ 6
20ͪ
•ͩ 1
2ͪͩ ͪ ͩ 3
-14ͪ•ͩ 3
4ͪͩ
2
5ͪ=ͩ ͪ
•ͩ 2
9ͪͩ
4
-5ͪ ͩ ͪ •ͩ ͪͩ 1
8ͪ ͩ 4
-40ͪ
• (-0.8)(+0.5) = • ( )( .9) = +3.42
• (+0.4)( ) = 0.4 • ( 1.6)( ) = 5.44
• (-0.25) ∏ ( 0.5) =
• ( ) ∏ ( 0.13) +3.8
• (+0.18) ( ) = -0.3
• (-0.936) ∏ ( ) = 2.6
3 Rsulv los problmas sunts.
• A Manul l paaron $650.00 y prdó $225.00.
¿Con cuánto dnro s quda?
• Jor tn $450.00 y l dbn $65.00. ¿Cuánto d-
nro tndrá dspués d cobrar sa duda?
• Raúl anó $420.00 por un trabajo, y l dbían por
otro trabajo $210.00. ¿Cuánto dnro tndrá?
• Alfonso tnía $52.00 y dspués cobra una suma
qu l dbían; al final tn $720.00. ¿Cuánto
anó?
• Javr l dbía $850.00 a Susana, l dvulv
$230.00. ¿Cuánto l db todavía?
• S d lo qu tno d lápcs l doy 12
a Jssca y
m qudan 19 lápcs, ¿cuántos lápcs tnía?
• S un albañl cobra $2 500 por un trabajo, y
Tomás tn 4 vcs lo qu l cobra l albañl,
¿con cuánto dnro s quda Tomás dspués d
paar por s trabajo?
• Lus cobra $3 400 por un dtrmnado trabajo, y
s l pdn qu solamnt haa3
4d s trabajo,
¿cuánto tndrá qu cobrar?
• Un carpntro tn una tabla qu md 3.25 m dlaro y tn qu cortarla n dos parts para usar4
7d la lontud total. ¿Cuánto md l pdazo d
tabla qu l quda?
• Sandra tn una colccón d 536 stampllas y
por accdnt prdó2
5d llas. ¿Cuántas stam-
pllas prdó?
• S María tn1
3d los 693 lbros qu tn Elsa,
¿cuántos lbros l faltan para tnr la msma can-
tdad qu Elsa?
• Aída puso1
3d los $725.00 qu tn Gonzalo
para compltar l costo d su vaj. ¿Cuánto paó
Gonzalo por su vaj?
• D 550 avs qu tn una ranja,2
5son allnas,
1
2son ansos, l rsto son patos. ¿Cuántas avs
hay d cada spc?
4
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Las actividades planteadas pueden ser
aprovechadas de diversas formas; como
evaluación parcial o de la lección,
como temas de discusión en clase o como
actividades por resolver en casa
o como base para que los estudiantes
planteen actividades similares.
El maestro puede elegir solamente algunas
de las actividades: no es necesario que se
resuelvan todas.
PROHIBIDA
SU VENTA
8 =
– 45 =
– 189 =
– 2 =
= 2
= – 100
= 7
= 13
= – 12
= 336
= – 4
= – 5/12 = 3/14 = 4 /25
= 0.3 = – 4.96 = 0.96
4
6
17
25
8
5
– 40
18
– 1
– 2
– 3
– 3
– 7
8
– 45
– .4
– 1
0.5
– 0.94
– 0.6
0.36
– 11
0
20
4
– 3
50
– 5
– 28
6
– 3
– 4
6
20
4
5
3.8
3.4
$425.
$115.
$630.
$668.
$620.
38 lápices.
$7 500.
$2 250.
1.39.
214.4.
462 libros.
$483.33.
220 gallinas.
275 gansos.
55 patos
= –35
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 94/168
4 Escrb la xprsón albraca qu corrsponda a
cada uno d los sunts arupamntos d pzas.
5 Para cada uno d los sunts arupamntos d
pzas scrb al mnos dos xprsons albracasquvalnts.
6 Rsulv con símbolos las sunts opracons.
•2 x2 + 3 x + 2
3 x2 4 x + 3
•2 x2 + 4 x - 2
2 x2 - 3 x - 1
•6 x2 3 x 9
3 x2 2 x + 5
7 Rsulv los sunts problmas.
• En la msa d un rstaurant s han colocado
12 cucharas más qu cuchllos. S n total son
76 cubrtos, ¿cuántos son d cada uno?
• Corté una tabla d 60 cm d laro n dos parts.
S una md 14 cm más qu la otra, ¿cuánto md
cada part?
8 Rsulv con símbolos las sunts opracons
rprsntadas con pzas.
• Adcón:
• Adcón:
9 En un rctánulo l laro s cuatro vcs l ancho, y
l prímtro s 30 cm. ¿Cuánto md cada lado?
rimer sumando
Segundo sumando
rimer sumando
Segundo sumando
x
BLOQUE 1
En la actividad 8, el maestro puede solicitar que
los términos no se sumen solamente, sino
que también se resten en el orden que se presentan
e invirtiendo los términos de la operación a fin de
comparar los resultados obtenidos.
PROHIBIDA
SU VENTA
– 4x 2 5x + x = 6x
5 + 1 = 6 5 + 3 = 8
x 2 + x 2/2 = 3/2x 2 4x + ½ x + ½ x = 5x 3 + 5/2 = 11/2
– x 2 – x +5
4x 2 + 7x – 1
– 3x 2 – 5x – 4
32 cuchillos.
44 cucharas.
23 cm una parte.
37 cm la otra.
5x 2 – 4x – 5
– 7x 2 + 8x + 8
– 2x 2
+ 4x + 3
– 3x 2 – 5x – 4
3x 2 + 5x – 3
– 7
2x + 2 (4) (x ) = 30
10x = 30
x = 3 cm y y = 12 cm
+
+
– + +
– 7
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 95/168
10 Calcula l valor d cada lado qu s pd. ( P corrs-
pond al prímtro d la fiura.)
11 Encuntra l valor d la cantdad dsconocda n las
sunts fiuras.
P 4 cm
x +
x +
x x
w
w + w
2 cm
P 40 cm
*h
*&Yc
h h h h
'&Yc
d d
ConéctatePuds consultar alunas pánas d Intrnt para pro-
fundzar n lo qu hmos studado n sta lccón.
• http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
En este sitio encontrarás opciones de materiales virtuales
de enseñanza en varios grados y temas.
Tambén puds consultar los sunts lbros.
• Aurlo Baldor
ÁlgebraGrupo Cultural Patra, Méxco, 2007.
• José María Chamoso y Wllam Rawson
A vueltas con los númerosColccón Dáloos d matmátcas
Nvola, Madrd, 2003.
• Edouard Lucas
El laberinto y otros juegos matemáticosZuarto Edcons, Madrd, 1996.
• Eduardo Mancra
Matematebloquemática: el arte de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritos
gei, Méxco, 2001.• Yakov Prlman
Álgebra recreativa.En lína: http://www.lbrosmaravllosos.com/
albrarcratva/ndx.html.
• Inmaculada Varas-Machuca et al. Números enterosSíntss, Madrd, 1990.
LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES
Lo que se ha trabajado con geometr ía y expresiones
algebraicas se puede generalizar para trabajar otras
situaciones geométricas.
En Internet hay diversos sitios en los cuales se enlistan varias
operaciones con polinomios que se pueden trabajar con las
fichas. También hay textos clásicos que tratan sobre la
enseñanza con manipulativos, de donde el maestro puede
obtener ideas valiosas.
PROHIBIDA
SU VENTA
x = 6 cm
x = 21/5 cm
w = 7 cm
r = 5 cm
d = 2 cm
d = 2 cm
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 96/168
Mis retos
Ya conoces os ángu os, a ora uti izarás sus me i as para estimar,
me ir y ca cu ar en iversas situaciones. Las me i as e ángu os as
realizarás con una unidad que conoces, los grados.
Haciendo uso de los ángulos podrás analizar las relaciones que se
esta ecen entre varias rectas en virtu e sus posiciones re ativas
en e p ano (rectas para e as, perpen icu ares u o icuas). E
conocimiento de esas relaciones es undamental en algunas
construcciones geométricas.Utilizarás criterios para reconocer ángulos opuestos por el vértice o
a yacentes. A emás, esta ecerás re aciones entre os ángu os que
se forman al cortar dos rectas paralelas por una transversal, lo cual es
muy útil para justi car relaciones entre los ángulos interiores de los
triángulos y paralelogramos.
¿Qué sé?
En el primer grado ya trabajaste con los ángulos, con bisectrices y
me iatrices.
También abordaste varios aspectos de la geometría que implicaron
el uso de figuras con ángulos de diversos tipos.
¿Qué lograré aprender?
Muchas propiedades de las guras geométricas provienen de
considerar los ángulos que forman sus lados, ya que a partir de ellos
se establecen criterios para clasificarlas o para obtener unas figuras a
partir de otras.
2Qué dicen los ángulos
sus medidas
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 97/168
1 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
• ¿Qué es un ángulo?
• ¿Cuántos grados mide un ángulo recto?
• ¿Cuántos grados mide un ángulo colineal?
• ¿Qué instrumento de medición usamos para saber cuántos grados mide un
ángulo?
• ¿Qué es una bisectriz?
• ¿Qué es una mediatriz?
• ¿Cuáles son los ángulos complementarios?
• ¿Cuáles son los ángulos suplementarios?
• ¿Cuáles son las rectas paralelas?
• ¿Cuáles son las rectas perpendiculares?• ¿Qué es la simetría?
2 Traza la bisectriz de los ángulos DE F y .
3 Traza la mediatriz de los segmentos D
4 En la gura (a) y en la gura (b), respectivamente, ¿cómo son entre sí los pares
de ángulos D DB
:
; < N O
P
L
MC
: :
9
9
7
7
8
8W X
4
ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON
Los estudiantes puede
responder usando el
lenguaje cotidiano; sin
embargo, la idea es qu
conozcan la terminolo
que se emplea en
estos casos.
En la escuela primaria
alumnos estudiaron el
ángulo como giro y co
elemento de las figura
geométricas. El desarr
de este tema permite
plantear situaciones en
que, mediante deducc
simples, se pueda calc
la medida de un ángu
Es importante que los
alumnos manejen eltransportador y utilice
compás para trazar án
PROHIBIDA
SU VENTA
Es la abertura entre dos rectas que se intersecan.
90°.
180°.
Transportador.
Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
La mediatriz de un segmento está formada por todos los puntos que equidistande los extremos del segmento.
La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 180°. La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 90°.
Un par de figuras son simétr icas respecta de una recta l si cada par de puntoscorrespondientes de las figuras es simétrica respecto a l.
Los que forman un ángulo de 90° entre sí.
Aquéllas que se cruzan en el infinito.
Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180°,se dice que son suplementarios.
La suma de dos ángulos que son complementarios es siempre igual a 90°.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 98/168
Letras para fguras
Discute con tus compañeros la forma en que te referirías a una línea recta que pasa
por dos puntos diferentes y B, sin usar palabras y sin hacer dibujos. En el mismo
sentido: ¿cómo te referirías al segmento de extremos A y B?, ¿a la distancia entre A y B?, ¿cómo te referirías a un ángulo?
Como vimos anteriormente, las letras nos sirven para representar números. ¿Nos
servirán también para referirnos a figuras geométricas?
Dibuja un triángulo en tu cuaderno y da instrucciones a otro de tus compañeros
para que, sin ver tu triángulo, pueda reproducir uno igual.
Ahora conviene hacer algunas precisiones.
Por dos puntos pasa una y sólo una recta.
Una recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB.
Un segmento de recta cuyos extremos están en los puntos A y B se denota
como AB. La longitud del segmento o la distancia entre los puntos extremos se sim-
boliza por AB.
De esta forma, un punto R está entre A y B si se cumple que AR + RB = AB, siendo
R A y R π B.
Un punto O en una recta divide a ésta en dos partes. Cada parte se denomina se-
mirrecta y el punto O que divide a la recta se conoce como origen de semirrectas.
Cada semirrecta queda determinada por el origen y un punto por donde pasa.
Cabe aclarar, sin embargo, que las semirrectas no incluyen a su punto de origen; en
otras palabras, el origen de una semirrecta no es un punto de ella.
¿Por qué el origen no puede ser punto de ninguna de las semirrectas?
En la figura 4 el punto O divide a la recta MN en dos semirrectas, que se denotan
como OM y ON respectivamente.
Cuando una semirrecta incluye su origen se denomina rayo, de tal modo que un
rayo queda determinado por su punto de origen y otro punto por donde pasa. El rayo
con origen en O y que pasa por R se denota como R (figura 5). La flecha indica la
dirección hacia donde continúa el rayo indefinidamente.
A
Figura 1
ecta
Figura 2
egmento A
Figura 3 A
Figura 4 M N O
Figura 5
ayo R RO
BLOQUE 1
La simbología que actualmente
se utiliza en geometría permite
referirse a los objetos geométricossin causar confusiones, es
conveniente iniciar desde los
objetos más sencillos hasta
los más complejos.
Un par de letras puede servir para
nombrar muchos objetos
geométricos: rectas, segmentos,
distancias entre dos puntos,
semirrectas o rayos, por ello se
utilizan otros elementos gráficos
para resaltar el tipo de objetos a
los que refieren un par de letras.
La diferencia entre rayo y semirrecta
es solamente un punto, pero es
importante notar esto porque
en los programas de cómputo se
utilizan semirrectas en vez de rayos,
dada la imposibilidad de eliminar
un punto de un trazo.
PROHIBIDA
SU VENTA
(PA)
Sí, también.
Un segmento con extremos A y B se denota como AB , la distanciacomo AB y a un ángulo como ü AB o ü AOB
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 99/168
Los ángulos y sus medidas
Ya sabes, del curso anterior, que un ángulo es una figura geométrica formada por dos
rayos, denominados lados del ángulo, que tienen un origen común llamado vértice
del ángulo. Esto se ilustra en la figura 6.
Discute con tus compañeros las siguientes preguntas, haz los dibujos necesarios.
• ¿ or qu e or gen e as sem rrectas no se nc uye en n nguna
• ¿La recta A es la misma que la recta ?
• ¿El segmento A es el mismo que el segmento ?• ¿La distancia es la misma que la distancia ?
• ¿La sem rrecta A es la misma que la semirrecta ?
• ¿El rayo A es el mismo que el rayo ?
• Si un punto est entre , ¿será punto de la semirrecta A ?, ¿de la semirrecta
?, ¿del rayo A ?, ¿o del rayo A ?
Para curiosos
Dadas las siguientes expresiones simbólicas, explica a qué se re eren y haz una gu-
ra que corresponda con lo que simbolizan.
• La recta RS • El rayo QL • El segmento RS
• El rayo AB • El segmento EF • La recta WX
Escribe el nombre y la notación correspondiente a las siguientes seis guras.
1
E N
E L AT E N E O
2
A
W
Y
J
G
O
A
Vértice
Lado
LadoFigura 6
Ángulo AOB
U Y
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Vale la pena dedicar un espacio en
el curso a manejar adecuadamente
la notación en geometría.
Una de las nociones en las que se
detectan muchos errores es en el
manejo de los ángulos dado que
los alumnos confunden esta figura
con la medida de la figura y los
manejan indistintamente.
PROHIBIDA
SU VENTA
Porque por definición, el origen de unasemirrecta no es punto de ella, de locontrario la llamaríamos rayo.Sí.
Sí.
Sí.
Sí.
No.
Sí a todo salvo que M fuera el origen, en su caso,no pertenecería a la semirrecta pero sí al rayo.
Recta que pasa por los puntos RS.
Rayo AB.
Rayo QZ.
Segmento EF.
Segmento RS
Recta que paso por los
puntos WX: recta WX
W X
R S
E F
Q L
A B
R S
Rayo DE .Recta DE.
Recta UY .Semirrecta WY .
Rayo JG.
Segmento AB .
RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.
AB.AB.AB.AB.AB.AB.AB.AB.
QL.QL.QL.QL.QL.QL.QL.QL.
EF.EF.EF.EF.EF.EF.EF.EF.
RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.
WX WX.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 100/168
Denotaremos un ángulo mediante tres puntos: el vértice y un punto en cada uno
de los rayos, ubicando en medio el punto que indica el vértice. Así, por ejemplo, el
ángulo de la figura 6 se denota como ü OB.Aun cuando hemos definido los ángulos en términos de rayos, que son semirrec-
tas de longitud infinita, en adelante representaremos los ángulos usando segmentos
de rectas, por comodidad, prescindiendo de las flechas.
A los ángulos se les asigna una medida. Esta medida es un número que se denota
anteponiendo una “m” al nombre del ángulo. La medida del ángulo representado en
la figura 6 se denota como m(ü AOB).
Para medir ángulos se utiliza un instrumento que consiste en un semicírculo divi-
dido en 180 partes, llamado transportador.
Cada una de las 180 divisiones de ese semicírculo se denomina grado. Observa la
figura 7.
Generalmente cuando mides la longitud de un segmento rectilíneo, colocas el
cero de la escala en uno de los extremos del segmento e identificas el número que se
corresponde con el otro extremo (figura 8).
Medir ángulos no difiere mucho de ese procedimiento: se hace coincidir el origen
del eje de referencia del transportador con el vértice del ángulo, de tal modo que los
dos lados pasen por la zona graduada. Un lado debe corresponder con la marca del
cero en la escala y se observa por qué marca pasa el otro lado: ésa será la medida en
grados del ángulo. Observa un ejemplo en la figura 9.
Figura 8
Medición de un segmento
Eh_][dZ[b[`[
Z[h[\[h[dY_W
']hWZe
Figura 7
El transportador
La cantidad de grados que abarque un ángulo será su medida.
2
BLOQUE 1
Además de los grados, las unidades
utilizadas para la medida de los
ángulos en el plano son:
Radián: se define como el ángulo
que limita un arco de circunferencia
cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia. Es usado oficialmente
en el sistema internacional de
unidades.
Grado centesimal: resulta de dividir
un ángulo recto en cien unidades.
El proceso de medición de ángulos
es parecido al de medición de
longitudes, solamente que en el
caso de longitudes el instrumento
no representa muchas dificultades
por sus dimensiones, pero con los
ángulos el tamaño y la forma del
transportador puede plantear
algunas dudas a los estudiantes.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 101/168
Tal vez has podido observar que en la medición de ángulos queda por determinar
lo que se está midiendo. Hay dos posibilidades: lo de “afuera” (llamado el exterior del
ángulo) o lo de “adentro” (llamado el interior del ángulo). Observa la figura 10 y res-
ponde ¿a qué región corresponde la medida?
iscute con tus compañeros o que
s gue.
En la figura, ¿el ángulo AO es igual al
ángulo SO ? En otras palabras, verifica
si m(ü OB m(ü SOR).
Para curiosos
A
S
R
O B
Exterior
Interior
Figura 10
Figura 9
Medición de un ángulocon e transportador
& ' . &
' &
' - &
( &
' , &
) & '
+ &
* & '
* &
+ & ' ) &
, & ' ( &
- & ' ' &
. & '& &
/&' & &
. & ' ' &
- & ' (
&
, &
' ) &
+ &
' * &
* &
' + &
) &
' , &
( &
' - &
' &
' . &
&
BWc[Z_ZWZ[b|d]kbeFHG
[iZ['(&°
BWb[YjkhWi[^WY[[dbW[iYWbW
j[d_[dZe[dYk[djW[bi[dj_Ze
Z[b|d]kbe
BWc[Z_ZWi[b[[[dbW[iYWbW
gk[Yec_[dpWYedY[he
[d[ij[YWiebWc|i[nj[h_eh
G
F H
Discute con tus compañeros cómo caracterizar geométricamente el interior de un
ángulo. Puedes apoyarte en la siguiente figura:
¿Qué observas? ¿Cada segmento trazado en dónde está respecto al ángulo?
Para curiosos
?dj[h_eh
;nj[h_eh
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
La medición de los ángulos se
realiza tomando en cuenta el
interior del ángulo, lo cual implica
mediciones entre cero y 180°.
El tratamiento de ángulos mayores
de 180° se reservará para otros
niveles educativos.
Casos especiales serán los de los
ángulos de cero grados y 180° que
no tienen interior pues
corresponden a rayos colineales; en
esos casos solamente se indica la
medida sin referirse al interior.
PROHIBIDA
SU VENTA
Los ángulos AOB y SOR son iguales,es decir m (ü AOB ) = m (ü SOR)
porque A y R son colineales y lo son
S y B también. Por tanto, forman el
mismo ángulo.
Los segmentos dividen al interior
del exterior del ángulo.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 102/168
¿Cómo son los segmentos de recta, es decir qué
posición relativa tienen, si son los lados de un
ángulo de 90∞?
A un ángulo que mide 90∞ se le denomina
ángulo recto.
Al trazar la bisectriz de un ángulo recto cada
ángulo debe medir .
Al dividir un ángulo recto en tres partes iguales,
cada parte debe medir .
Dos terceras partes de un ángulo recto corres-
ponde a una medida de .
Un ángulo que indica media vuelta se le deno-
mina ángulo llano y le corresponde a una me-
dida de .
Un ángulo que indica una vuelta completa le
corresponde a una medida de .
9 ∞
4
BLOQUE 1
La comparación de
ángulos requiere
conocer las figuras
que corresponden a
ángulos familiares.
PROHIBIDA
SU VENTA
45°
60°30°
360°
180°
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 103/168
Para curiosos
Estima la medida de cada uno de los siguientes ángulos. Posteriormente determina su medida con un
ransportador y denota cada ángulo utilizando la notación de tres letras.
1
E N
E L AT E N E O
O
Q
L
G
T
V
U
Discute con tus compañeros las siguientes preguntas.
i en un círculo se trazó un ángulo recto, con vértice en su centro, ¿qué parte o racción del círculo
abarca el interior del ángulo? ¿Cuál parte el exterior?
¿Un ángulo que mida 180∞ tiene interior y exterior?
Considera que tienes tres transportadores para medir un ángulo. ¿Puedes usar cualquiera de ellos?, es
decir, ¿la medida del á isma si utilizas cualquiera de los transportadores? ¿Por qué?
ara me r un ngu o, ¿ e es e eg r un os a os en part cu ar para u car o en e cero e ae su
escala circular del transportador?
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
En este proyecto se requiere que lo
estudiantes discutan las secciones d
círculo que representan ciertas
medidas de ángulos y que también
discutan si se modifican las
mediciones por el tamaño del
transportador.
Es importante que los
alumnos se acostumbren
a medir ángulos sin lado
paralelos a la horizontal,
dado que eso puede
conducirles a errores.
PROHIBIDA
SU VENTA
¼ del interior, ¾ del exterior
No, sería indistinto
Sí, porque están hechos bajo el mismo principio.
Sí.
23°
15°66°
70°
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 104/168
Estima la medida de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Suma dichas es-
timaciones y compara ese resultado con el que obtienes al medir los ángulos con tu transportador y
calcular la suma con esas medidas.
Traza el lado altante para que los ángulos así ormados tengan las medidas indicadas.
2
3
<
<
;
7
@
@
B
B
A
A
C
D
E
:
9
;
=
8
>
?
?
>
=
m(ü ABC ) m(ü XYZ ) ∞m(ü GH ) 17
m(ü TU ) ∞ m( R 1
G
A
Y
X
T
O
BLOQUE 1
Las mediciones de ángulosinteriores en polígonos son
importantes, por ello se
requiere que los estudiantes
se involucren y empiecen
a hacer estimaciones de
la medida de este tipo
de ángulos.
Esta actividad ayuda
a que los estudiantes
reconozcan el vértice
del ángulo y se
enfrenten a
problemas con más
de una solución.
PROHIBIDA
SU VENTA
F
E G
108
4131 120
120120
85
95
I
E
H
G
F
103120
230
53
33H
K
J I
L
255
2025
60
C
A
B
D
278
125
60
8697
74
J
O
L
N
M
24
A
B
GF
175
85
Y
X
RO
160
17
S
T
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 105/168
Clases de ángulos
Entre los ángulos se presentan diferentes tipos de relaciones que es importante cono-
cer pues ayudan a estudiar las propiedades de distintas figuras geométricas.
Ángulos congruentes
Dos ángulos con la misma medida se dice que son ángulos congruentes.
Observa que en la figura 11, el ángulo PQR es congruente al ángulo MTN, pues
m(ü PQR) = m(ü MTN ).
El signo se utiliza para expresar la congruencia de ángulos. Con los ángulos de
la figura 11, tendríamos que
ü PQR @ ü MTN.
Cómo copiar ángulos
Tal vez conoces los pasos para copiar un ángulo con regla y compás. Para que lo re-
cuerdes, observa la secuencia de pasos de la figura 12, en la que a partir del ü AOB se
obtiene el ü O B¢.
Discute con tus compañeros qué se hizo en cada paso para copiar el ángulo en la
figura 12, y escríbelo en tu cuaderno. Comprueba además que ü AOB ü ¢O B ;
para ello puedes utilizar un transportador.
A los siguientes ángulos les alta el vértice, complétalos y obtén sus medidas.4
C
(,$.°
(,$.°D
F
GH
J
Figura 11
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Esta actividad está orientada a que
los estudiantes determinen la figura
completa conociendo algunas de sus
partes, además de que vean que es
importante encontrar el vértice para
determinar la medida del ángulo. El
maestro puede sugerir que
encuentren la medida del ángulo sindeterminar el vértice, para provocar
una discusión en el grupo acerca de la
relevancia del vértice.
El tema de la congruencia de ángulos
es una noción que se empleará en
varios contenidos relacionados con
figuras geométricas a lo largo de la
escuela secundaria y por ello debe
prestársele atención.
A veces la noción de congruencia se
basa en la superposición de figuras,
pero el plantear este concepto en
términos de la medida del ángulo
resulta más conveniente.
PROHIBIDA
SU VENTA
12050
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 106/168
Figura 12
Copia del ángulo AOB
1
O
R I G I N A L
C O P I A
3 5
O
AA
B
O
A
O
B ¢
A
B¢¢
O ¢ O ¢ O ¢
2 4 6
Analiza con tus compañeros lo siguiente.
Si se sa e que os ángu os cump en con a re ación ü PR ü , sien o PR
RQ = , ¿será cierto que ü QRP @ ü ? ¿Será cierto que ü PQR @ ü ? Re-
acta revemente una exp icación e tu respuesta.
Conjuntamente con algunos de tus compañeros, dibuja un ángulo y cópialo en otrahoja. Posteriormente encima las figuras de los ángulos y observa a contraluz si coin-
ciden. También puedes recortar uno de los ángulos y sobreponer su interior con el
e otro para sa er si son congruentes o no.
Para curiosos
Haz una copia de cada uno de los siguientes ángulos, pero en diferentes posiciones.1
E N
E L AT E N E O
OQ
J
D
F
BLOQUE 1
Al copiar ángulos es importante recalcar que el
ángulo que es copia de otro puede estar en
cualquier posición.
En este proyecto se pide que los
estudiantes analicen lo que se
realiza con regla y compás y se les
prepara para otras relaciones de
congruencia entre figuras
geométricas.
En esta actividad los
estudiantes pueden
encimar figuras o medir
ángulos e incluso tratar
de ver si los pasos para
copiar a un ángulo se
pueden reproducir enotro; las estrategias
pueden ser diversas.
PROHIBIDA
SU VENTA
Son ciertas las relacionesü QRP @ ü NTM yü PQR @ ü NMT
porque si dos ángulos y dos pares
de segmentos son congruentes,
entonces los triángulos formados
por éstos, son congruentes.
A
B
ab
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 107/168
Relaciones entre pares de ángulos
Estudia las siguientes figuras:
O
A
B
C
Con tu transportador, mide los ángulos ü AOB, ü BOC y ü AOC .
• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?
• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?
• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?
Detecta en cada una de las siguientes guras ángulos congruentes, si los hay.2
A
AB
B
C
C
D
D
E
F
G
N
K
L
MM
N
O
P
P
Q
R
T
U
V
W
X
Y
Z
Figura 13
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Los alumnos deberán construir sus
definiciones para diferentes tipos de
ángulos a partir de la descripción
de las figuras propuestas.
El maestro deberá pedir todas las
representaciones geométricas de cada
definición para ver si se puede
considerar matemáticamente correcta
y, en caso de que no sea así, deberá
hacer uso de contraejemplos que
ayuden a los alumnos a reconstruir
sus propias definiciones.
PROHIBIDA
SU VENTA
ü AOB + ü BOC = ü AOC
Sí.
Sí, ü AOC Ϫü BOC = ü AOB y ü AOC Ϫü AOB = ü BOC
Q
R
P
P
N
M
G
E
D
V
U
T
X
W
Y
Z
L
M
K
N
B
AC
B
A
C
D
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 108/168
S
P R
Q
Con tu transportador, mide los ángulos ü PSQ, üQSR y ü PSR.
• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?
• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?
• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?
Dado el siguiente rayo, dibuja un par de ángulos que tengan el vértice y un lado
común y que la suma de sus medidas sea 90 grados.
Z
V
¿Cuánto suman las medidas de cualquiera de los ángulos que se forman en cada
una de las siguientes figuras?
O
Q
P
R
Z
V
U
M
L N
Traza dos ángulos que tengan como lado común el segmento de la figura 17, que
su vértice sea común y que sus medidas sumen 180 grados.
Figura 14
Figura 15
Figura 16
BLOQUE 1
Esta actividad permitirá a los
alumnos elaborar una lista de
los atributos relevantes de los
ángulos adyacentes y, a partir de
esta lista, construir su propia
definición. Es probable que definan
ángulos adyacentes como “ángulos
que comparten un lado y un
vértice”, “ángulos que tienen
un vértice común” o “ángulos que
tienen un lado común”, el profesor
deberá usar contraejemplos queayuden a los alumnos a elaborar
una definición correcta.
PROHIBIDA
SU VENTA
Z
90
O
R
P
O
97
82
15
L
267399
26
U
Z
V
73
732697196
Sí. ü PSQ + ü RSQ = ü PSR
Sí.
Sí, ü PSR – ü PSQ = ü RSQ y ü PSR – ü RSQ = PSQ
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 109/168
Z
V
¿Cuánto suman las medidas de cualquier par de los ángulos que se forman en cada
una las siguientes figuras?
Z
V
U
M
L N
O
P
Q
Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios
adyacentes si comparten el vértice y un lado (uno de los rayos
que los conforman).
Nótese que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es la medida del
ángulo total que conforman. Esto se ilustra en la figura 19, donde
m(ü MQN ) m(ü PQN ) m(ü PQM ) ;
es decir,
47.8∞ + 23.6∞ 71.4∞.
Dos ángulos cuyas medidas suman 90∞ se dice que son complementarios.
Por ejemplo, en la figura 20 las medidas de ü RWS y üSWT suman 90∞:
m(ü RWS ) + m(ü WT ) = m(ü RWT )
66.4∞ + 23.6∞ 90∞.
Figura 17
Figura 18
()$,°
*-$.°
G
F
D
C
Figura 19
ü PQN y ü MQN sonadyacentes
,,$*°
()$,°
M
H
I
J
Figura 20
ü RW y ü soncomplementarios
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Se ha preferido introducir
medidas de ángulos que no
sean necesariamente números
enteros, pues en la práctica
casi siempre se presentan en
medidas decimales.
PROHIBIDA
SU VENTA
180
Z
V
77
U
V
Z
27
M
N
75
752710277751527725102P
Q
O
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 110/168
Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180∞ se dice que son suple-
mentarios
Observa que, en la figura 21, las medidas de ü RWS y üSWT suman 180∞:
m(ü RWS ) + m(ü WT ) = m(ü RWT )
156.4∞ + 23.6∞ 180∞.
Discute con tus compañeros cómo las medidas de ángulos escritas en forma decimal
(por ejemplo, 37.56∞) se pueden convertir a expresiones equivalentes en grados, mi-
nutos y segundos. Por ejemplo,
7. ∞ = ∞ . ¢ = ∞ ¢ ≤ .
Si un ángu o se expresa en gra os, minutos y segun os, ¿cómo se pue e encontrar
su expresión en forma decimal?
Para curiosos
()$,°'+,$*°
M H
I
J
Figura 21
RW suplementarios
¿Puede haber ángulos complementarios o suplementarios que no sean adyacentes? ¿Por qué?
Considera dos ángulos con lados correspondientes paralelos (es decir, las rectas que contienen a sus
lados son respectivamente paralelas de un ángulo a otro). ¿Estos ángulos serán congruentes?
Comprueba si lo son o no usando el transportador, también puedes copiar uno de los ángulos so-
bre el otro, o puedes recortar uno de ellos para sobreponerlo al otro.
es paralela a
es para e a a R
1
E N
E L AT E N E O
2
7
8
9
F
G
H
2
BLOQUE 1
Es importante que los
alumnos reconozcan
ángulos congruentes
utilizando diversoscriterios.
El maestro puede presentar ángulos no
adyacentes, incluso sin tener partes en
común para señalar ángulos complementarios
y suplementarios, puede formar algunas
figuras geométricas con los estudiantes para
adelantar resultados que posteriormente se
trabajarán.
PROHIBIDA
SU VENTA
Sí, basta que sumen 90° o 180°.
Sí.
Sí lo son.
Basta con hacer las conversiones.
° ‘ “
1 grado 1° 60’ 3 600”
1 minuto 1.667 x10-2 1 60
1 segundo 2 778 x 10-4 1.667 x 102 1
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 111/168
¿Son congruentes dos ángulos que tienen sus lados paralelos?
Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares ¿serán congruentes?
Si se intersecan dos segmentos de recta perpendiculares ¿cuántas parejas de ángulos adyacentes se
orman?, ¿cuánto miden cada uno de ellos?
¿Cuántas parejas de ángulos adyacentes orman dos rectas paralelas? ¿Por qué?
En cada una de las siguientes guras identi ca pares de ángulos que sean complementarios o suple-
mentarios, si los hay. Compara ángulos interiores que provengan de una misma gura. Puedes usar
un transportador o reproducir cada gura y recortar sus ángulos para ver cuáles de ellos ormanángulos rectos o llanos; también puedes copiarlos con regla y compás de tal orma que queden ad-
yacentes, y ver si orman un ángulo recto o llano; otra orma de reproducir los ángulos es doblando
un papel.
3
5
6
7
4
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Cuando dos ángulos
tienen lados paralelos,
hay que saber la relació
que se puede establece
entre dichos ángulos,
pues ese tipo de relacio
se requieren al estudiar
las propiedades de vari
figuras geométricas.
Cuando los ángulos tie
lados perpendiculares,
también se requiere
reconocer la relación qu
puede establecer entre
ángulos.
Los estudiantes podrán
conjeturar sobre alguna
relaciones entre los áng
interiores de triángulos
cuadriláteros; no impor
que se equivoquen en s
conjeturas, pues deben
ponerlas a prueba
analizando si se cumple
en otras situaciones.
PROHIBIDA
SU VENTA
a y b son congruentes y a es congruente con b.
Sí y serían suplementarios.
4 de 90° cada uno.
Ninguna porque no se cruzan.
A
Bb
a
a b
d c
c b
a
a bc 180
c
b
a
a bc 180
c
b
a
a bc 180
r s
r s 90
a
b
d
c
a c 180a b180c d 180bd 180a d 180c b180b
c
a
a bc 180
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 112/168
Ángulos y rectas
En las siguientes figuras, elige los puntos necesarios y denomínalos con letras para
determinar, con la medida de ángulos o mediante regla y compás, las parejas de án-
gulos que son congruentes, complementarios y suplementarios.
a)
En la gura, los segmentos rectilíneos AC y BD son perpendiculares. Con esta in ormación encuentra
la medida de los siguientes ángulos.
• ü A
•ü
BOI • ü B
• ü COJ
En los siguientes pares de ángulos suplementarios encuentra la medida del ángulo que se pide.
• ü GH
• ü BCA
• ü T
• ü L
8
9
7
8 9 :
=
A B C
>
?
D
@
F
H
I
J
)&°
/&°
')+°
((°
7
8
9
:
=
>
? @
*&°
-&°
,&°
(+°)&ÔE
Figura 22
4
BLOQUE 1
El cálculo de medidas de
ángulos, conociendo otros
en una figura, es unaparte necesaria al estudiar
figuras geométricas y
establecer la manera de
emplearlas en algunas
aplicaciones, por ello este
ipo de actividad debe ser
ampliada por
el maestro.
PROHIBIDA
SU VENTA
= 20°
= 30°
= 50°
= 64° 30´
ü MON + ü NOP = 180°ü POR + ü ROM = 180°
N
M
R
P
150°
90°
45°
158°
T R
O
O
X
V
T
U
W
R
S
W
S
O
RU
T
D
OA
b)
c)
d)
B C
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 113/168
b)
c)
Para curiosos
Si varías la posición de alguna de las rectas en:
los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-
tarios y suplementarios. Si varías la posición de la recta que corta al par de rectas paralelas:
los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-
tarios y suplementarios.
Construye dos rectas que se intersecten y ormen un par de ángulos de 90 grados. Esas rectas tienen
alguna relación? ¿Cómo se les denomina a ese tipo de rectas?
Si dos rectas al cortarse forman solamente un ángulo de 90 grados, ¿son perpendiculares?
ibu a dos rectas que al ser cortadas por otra recta que sea perpendicular a una de ellas, sea perpen-
dicular a la otra recta. ¿Cómo se denomina a ese par de rectas?
Figura 23
Figura 24
Figura 25
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Un problema interesante consiste en pedir
a los alumnos que busquen argumentos para
justificar que los ángulos opuestos por el
vértice son iguales, sin recurrir a la medición.
Respecto a los
ángulos que se forman entre dos
rectas paralelas
cortadas por una
secante, no sólo se
trata de que los
alumnos recuerden
los nombres, sino
también de que
establezcan
relaciones de
igualdad entre ellos y
que busquen
argumentos para
justificarlos.
PROHIBIDA
SU VENTA
ü AOB + ü BOC = 180°
ü AOD + ü DOC = 180°
ü ROS + ü UOR = 180°ü R´O´W + ü S O‘R‘ = 180°ü ROU + ü VOT = 180°ü ROS + ü SOT = 180°
ü XOV + ü VOU = 180°ü WOT + ü ROT = 180°ü WO´S + ü RO´S = 180 °
ü UTO + ü TOX = 180°
T R
O
O
X
V
T
U
W
R
S
W
S
O
RU
T
D
OA
b)
c)
d)
B C
T R
O
O
X
V
T
U
W
R
S
W
S
O
RU
T
D
OA
b)
c)
d)
B C
R
L
Son perpendiculares.
Sí.
Son paralelas.
L y R
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 114/168
Ángulos entre rectas
Ángulos determinados por dos rectas oblicuas
Dibuja dos rectas que se intersequen, ¿cuántos ángulos se forman? Dibuja dos rectas
paralelas y otra recta que corte ambas, ¿cuántos ángulos se forman?
Para referirnos a dichos ángulos hay terminología que conviene conocer.
Dos rectas que se cortan y no son perpendiculares se denominan oblicuas. Estas
rectas forman varias parejas de ángulos adyacentes, como se observa en la figura 26.
Los ángulos üYPZ y ü FPE se denominan ángulos opuestos por el vértice.
También ü ZPF y ü YPE son opuestos por el vértice.
Observa que los ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados en semirrectas
opuestas respecto al vértice.
En la figura 27 hay varias parejas de ángulos suplementarios adyacentes, ¿cuáles son?
¿Es posible que con dos rectas perpendiculares u oblicuas se formen ángulos com-
plementarios?
Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una secante
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta se forman varios ángulos
(figura 28). La recta que corta las paralelas es una recta secante a ellas.
Vamos a identificar a continuación cuáles de estos ángulos son congruentes, para
lo cual conviene clasificarlos por parejas según su ubicación respecto a la secante y
las dos paralelas dadas.
Figura 26
as rectas
oblicuas
Figura 27
;
<
F
O
P
A B
C D
O
Figura 28
a recta es secante a as
paralelas y
7 ;
8 :
<
9
E
F
Con algunos de tus compañeros dibuja varias parejas de rectas oblicuas y comprueba
que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Usa el transportador o al-
gún otro recurso de medición para hacer esta comprobación.
Para curiosos
BLOQUE 1
Muchas veces se detectan ángulos
en configuraciones geométricas
que implican varias figuras, por ello
es indispensable que los estudiantes
aprendan a detectar ángulos
congruentes en varias posiciones
relacionadas con rectas paralelas o
que se intersecan.
El maestro puede simplificar la
notación utilizando letras griegas
para las medidas de los ángulos,
pero a veces eso hace que
los estudiantes no reconozcan al
ángulo como una figura, sino como
la medida de una “abertura”. Serecomienda usar la notación con
letras de nuestro alfabeto para
identificar ángulos.
PROHIBIDA
SU VENTA
Faltaría una más.
ü AOC + ü AOB = 180°ü COD + ü BOD = 180°
Forman 4 ángulos.
4.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 115/168
Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos
PF @ OP FP @ PO BOC @ APO CO @ OP
ü APO ü POD ü BOP ü OPE ü APF @ üCOD ü PE @ üBOC
A
B
E
F
C D
O
P A
B
E
F
C D
O
P A
B
E
F
C D
O
P A
B
E
F
C D
O
P
Ángulos correspondientes
A
B
E
F
C
DO
P A
B
E
F
C
DO
P
A
B
E
F
C
DO
P A
B
E
F
C
DO
P
En la siguiente figura identifica, junto con tus compañeros, todas las parejas de ángu-
los suplementarios y de ángulos opuestos por el vértice.
¿Será posible dibujar dos rectas paralelas y una secante que corte a ambas de tal
modo que se formen parejas de ángulos complementarios?
Para curiosos
A E
B D
F
C
O
P
Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos corres-
pondientes de dos rectas paralelas cortadas por una secante.
1
E N
E L AT E N E O
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
El maestro puede trabajar con
rectas paralelas cortadas por una
secante en diversas posiciones y
completar algunas figuras
geométricas en ellas para resaltar
congruencias con los ángulos que
se forman.
PROHIBIDA
SU VENTA
Opuestos por el vértice.ü FPE @ ü APO
ü APF @ ü OPEü BOC @ ü PODü BOP @ ü COD
Parejas de ángulos suplementarios.ü APF , ü FPE
ü APO, ü OPE ü BOC , ü CODü BOP , ü POD
No. Faltaría uno más.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 116/168
Completa la gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos
internos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.
Completa la gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos
externos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.
n cada una de las siguientes guras considera las rectas que contienen a sus lados
y, en donde sea posible, identi ca algunos ángulos correspondientes, alternos inter-
nos o alternos externos.
En las siguientes actividades hay situaciones en las que el trazo de paralelas es rele-vante, y en caso de no usarlas puede complicarse mucho su resolución. Por eso, pri-
mero intenta resolverlas sin usar paralelas.
Utiliza el trazo de paralelas para encontrar cinco triángulos que tengan la misma área
que el siguiente:
Para ello, observa la siguiente gura, donde se ha trazado AB paralela al segmento .
2
3
4
5
7 8
C D
E
BLOQUE 1
Resulta importante que los
estudiantes tengan la oportunidad
de conocer propiedades de diversas
figuras geométricas a partir de
las relaciones entre sus ángulos.
También es necesario que los
alumnos reconozcan algunas de las
propiedades de figuras trazadas
entre paralelas, como es el caso de
los triángulos y las relaciones entre
sus áreas si están entre paralelas y
tienen la misma base.
PROHIBIDA
SU VENTA
Correspondientes. Alternos internos.
Correspondientes.
Alternos externos. Alternos externos.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 117/168
Suma de los ángulos interiores de un polígono
Toma un triángulo cualquiera como el de la figura 29.
Haz dobleces siguiendo las líneas punteadas (figura 30).
Para cada uno de los siguientes cuadriláteros construye un triángulo que tenga la
misma área que él.
Para ello, observa la siguiente construcción, donde Z se construyó paralela a ,
Z paralela a D
6
7 : 7 : 7 :
9
P P
Figura 29
Figura 30
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Problemas de este tipogeneralmente no son resueltos por
los estudiantes de varios niveles
educativos, porque casi siempre se
enfatizan relaciones algebraicas en
las figuras geométricas y se hacen
de lado las relaciones
esencialmente geométricas.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 118/168
Obtendrás algo como lo siguiente (figura 31):
¿Coinciden los tres vértices? ¿Siempre coincidirán con este tipo de dobleces?
¿Cuál sería la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren
los vértices?
Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del
ángulo que no se recortó, como se ilustra en la figura 33. ¿Qué ángulo se forma?
Tam ién pue es recortar tres triángu os iguales y ensamblarlos como en un rom-
pecabezas; observa la figura 34.
De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto debe medir la suma de los tres ángulos inte-
riores de un triángulo?
Figura 31
Figura 32
Figura 33
Figura 34
BLOQUE 1
Hay argumentaciones sobre la
suma de los ángulos interiores de
un triángulo que pueden realizarse
directamente manipulando algunos
materiales.
También pueden aprovecharse
construcciones geométricas para
reproducir un triángulo las veces
que sea necesario y encontrar
relaciones entre los ángulos
internos.
PROHIBIDA
SU VENTA
Los tres vértices
coinciden.
180°.
180°.
180°.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 119/168
En la figura 35 se muestran las medidas de los ángulos interiores de tres triángulos
diferentes. Suma los ángulos en cada triángulo y anota el resultado.
¿Lo que obtuviste concuerda con la respuesta que diste a la pregunta anterior so-
bre la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ¿Qué concluyes?
Los procedimientos anteriores parecen arrojar un mismo resultado para la suma
de los ángulos interiores de un triángulo; discute con tus compañeros cuánto debe
ser dicha suma.
Observa las siguientes figuras. ¿Cómo debe ser la recta “verde” para que exista
congruencia de algunos de los ángulos? ¿Por qué?
111.9°26.2°
41.9°
41.9°
26.2°
21.7° 56°
21.7° 56°102.3°
126.3°14.4°
14.4° 126.3°39.3°
Considera cualquier triángulo y traza la recta “verde” de manera conveniente para
tener congruencia de ángulos, como en las figuras anteriores.
¿Qué infieres de estas figuras respecto a la suma de los ángulos interiores de un
triángulo?
Figura 35
Figura 36
Figura 37
87.4°
54.3°
60.5°
13.6°
152.3°
14.1°
65.2°
36.2° 56.4°
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
El trabajo con paralelas permitirá
iniciar el estudio del comportamiento
de las medidas de ángulos interiores
en los polígonos.
Las argumentaciones que se
construyen con los métodos de la
página 70, si bien se basan en casosparticulares de una prueba física,
sirven como apoyo al establecer
relaciones más formales; aunque no
se planteen como una meta en la
enseñanza en secundaria, tampoco se
trata de limitar las posibilidades de
los alumnos en la búsqueda
de argumentos.
PROHIBIDA
SU VENTA
Sí. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, suman siempre 180°.
Paralela a una de las bases del triángulo, en
este caso de la base horizontal. Ocurre esto
por las propiedades de una secante que
corta a dos paralelas.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
180°.
180°.
180°.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 120/168
Comencemos con el triángulo ABC que se ilustra en la siguiente gura:
A
B
C
PQ a la recta que contiene al lado AC y que pase por el vértice B del
triángulo como se muestra a continuación:
A
B
C
P
Q
Discute con tus compañeros las siguientes preguntas y elabora con ellos una res-
puesta para cada una (los datos se refieren a la figura 24).
• ¿Por qué ü @ ü ü BC ü B
• ¿Por qué m(ü A P ) = m(ü A ) y m(ü BC ) m(ü BC )?
• ¿Por qué m(ü A P ) + m(ü B ) + m(ü B ) 1 ∞
• ¿Por qué m(ü BA ) + m(ü AB ) + m(ü B ) 1 ∞
¿La conclusión hubiera sido la misma si en la gura 24 se hubiera trazado PQ paralela
a cualquier otro lado del triángulo B
¿Qué pasaría si se usa cualquiera de los siguientes triángulos?
Para curiosos
7
8
9
7
8
9 F
F
G
G
A
A
B
B
C
C
A
B
C
BLOQUE 1
La demostración es una
argumentación como la que se
presenta, en la cual las afirmaciones
del inicio apoyan a las siguientes y
así sucesivamente hasta obtener el
resultado deseado.
Las demostraciones se pueden
desarrollar apoyándose en otros
elementos de la figura o en
otras figuras y la conclusión no
debe variar.
PROHIBIDA
SU VENTA
Lo mismo. El resultado y análisis es el mi
Sí.
180°.
180°.
180°.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 121/168
Considera el cuadrilátero ABCD de la figura 38.
¿Cuál debe ser la suma de los ángulos internos del ese cuadrilátero?
Considera la siguiente figura:
¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?
Completa las siguientes relaciones:
• m(ü ABC ) m(ü BCA) m(ü CAB) =
• m(ü ADC ) m(ü DCA) + m(üCAD) =
• m(ü ABC ) m(ü BCA) m(ü CAB) + m(ü ADC ) + m(ü DCA) + m(üCAD)
• m(üCAB) m(üCAD) =
• m(ü BCA) m(ü DCA) =
• m(ü ABC ) + m(ü BCD) + m(ü ADC ) + m(ü DAB) =
De lo anterior obtenemos que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero
ABCD es .
Si hubieras utilizado alguno de los cuadriláteros mostrados en la figura 40, ¿val-
drían todos los elementos que utilizaste, es decir, la conclusión sería la misma?
Figura 38
Figura 39
A
B
C
D
A
B
C
D
7
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Dada una demostración, el
resultado obtenido se puede usar
en otras figuras para deducir
propiedades en éstas.
El uso de trazos auxiliares para
dividir una figura en dos figuras
conocidas es algo frecuente en
geometría. A veces dichos trazosdeben hacerse en partes específicas
o en ocasiones no importa en
dónde se realice el trazo, pero este
asunto no se debe determinar por
advertencia del maestro, los
estudiantes deben tener la
oportunidad de hacer los trazos
donde deseen y constatar si son
de utilidad para encontrar el
resultado deseado.
PROHIBIDA
SU VENTA
Sí.
360°.
180°.
180°.
180°.
60°.
360°.
360°.
360°
90°.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 122/168
AB
B
B A
D
C
C
A
D
C
D
ángulos interiores de ABCD se cumple cada una de las siguientes igualdades.
• m(ü DAC ) + m(ü ACD) m(ü CDA) 18 ∞
• m(ü BAC ) + m(ü AC B) + m(ü CBA) 18 ∞
• m(ü BA ) + m(ü C B) + m(ü CBA) m(ü AC ) m(ü ACD) + m(ü DA) = 36 ∞
• m(ü BA ) + m(ü AC ) m(ü A )
• m ü C m ü AC m ü C
• m ü BC + m ü BCD + m ü DA m ü A 360∞
Para curiosos
Figura 40
BLOQUE 1
Para dar consistencia a la
argumentación, cada paso de
la demostración debe tener razones
para llevarse a cabo; esta parte es
en la que el maestro debe llamar la
atención, no al tipo de figuras o
letras empleadas, sino a las razones
que sustentan cada paso.
PROHIBIDA
SU VENTA
Como estudiamos,comprobamos y
demostramos que la suma de
los ángulos internos de todo
triángulo es igual a 180°,
podemos estar seguros.
Podemos deducir que la
suma de cualquier
cuadrilátero es igual a 360°:
esto lo podemos demostrar
triangulando al cuadrilatero.
Obtenemos dos triángulos
180 ϫ 2 = 360°
Por las relaciones entre ángulos
congruentes, alternos internos y
alternos externos; esto gracias
a las propiedades que tienen dos
rectas paralelas cortadas por
una recta secante.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 123/168
Dados el siguiente triángulo y cuadrilátero, calcula las medidas de los ángulos que
altan:
52.3°
81.3°
134.8°
36.4°
31.9°
P
R
Q
B
C
A
D
Si te dicen que un triángulo tiene dos ángulos congruentes cuyas medidas suman
2 ∞, ¿de que tipo es el triángulo?
En un triángulo, dos de sus ángulos son complementarios. ¿Qué tipo de triánguloes
En un triángulo, la suma de dos de sus ángulos es 133∞ y uno de ellos mide 86∞. ¿De
qué tipo es e triángu o
En un cua ri átero, os e os ángu os opuestos mi en 3 ∞. ¿De qué tipo es e cua ri-
látero?
En un cuadrilátero, todos los ángulos internos miden lo mismo. ¿Qué tipo de cuadri-
tero es
¿Pue e trazarse un triángu o isósce es cuyas me i as e os tres ángu os internos
sean di erentes?
En un triángulo rectángulo, ¿cuál es la suma de los dos ángulos que no son rectos?
¿Puede haber un triángulo con dos ángulos internos rectos?
1
2
4
6
3
5
7
8
9
E N
E L AT E N E O
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Varias propiedades de los triángulos
pueden utilizarse en cuadriláteros, pues
éstas pueden “triangularse” de tal
modo que lo que debe quedar claro
a los alumnos son dichas propiedades
de los triángulos y la forma de utilizarlas
para analizar propiedades en los
cuadriláteros.
PROHIBIDA
SU VENTA
Equilátero.
Rectángulo.
90°.
No.
No. Dos de sus ángulos son iguales.
Un cuadrado o rectángulo.
Uno diferente al cuadrado y rectángulo.
Escaleno.
O
R
P
46.4
81.3
52.3
A
B
C D
134.8
156.9
31.9
36.4
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 124/168
1 Con la ayuda del transportador traza la bisectriz de
los siguientes ángulos:
2 Con ayuda de la regla y el transportador, traza la
mediatriz de los siguientes segmentos:
3 Traza lo que se indica
• La recta MN • El rayo TU • El segmento CD
4 Anota el nombre de las siguientes figuras.
5 Dados los siguientes ángulos que tienen como un
lado el del dibujo, completa la figura que corres-
ponda.
6 Dados los siguientes lados de ángulos, traza el lado
faltante de modo que el ángulo resultante tenga la
medida que se indica.
7 Con ayuda del transportador, traza una paralela a la
recta dada que satisfaga las condiciones pedidas:
• Que pase por el punto señalado en rojo
• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos
ángulos alternos internos de 65∞.
• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos
ángulos alternos externos de 123∞.
8 Si en la figura el segmento CG es perpendicular al
segmento AE , encuentra el valor de los siguientes
ángulos.
• ü BOC • ü EOD• ü FOG• üGOH
Demuestro lo que sé y hago
G
H I
C
R
S
J
A
B
H
G J
m(
m( ) 1
m(ü MN ) 12
C
E
G
A
BD
F
H
80∞20∞
50∞ 35∞O
61.7°
34.9°
Completa el triángulo
61.7°
57.4°
Completa el cuadrilátero
BLOQUE 1
Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de
diversas formas, como evaluación parcial o de la lección,
como temas de discusión en clase o como actividades
por resolver en casa o como base para que los
estudiantes planteen actividades similares.
PROHIBIDA
SU VENTA
= 70∞
= 10∞
= 40∞
= 55∞
F
C
D
J
G
H
M N T U C D
Segmento HG
Rayo JK
Recta AB
A
D
B H
J
I
G
N
M
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 125/168
9 Encuentra las medidas de todos los ángulos forma-
dos por las tres rectas.
10 Dadas las parejas de ángulos suplementarios en-
cuentra el valor de los siguientes ángulos.
• ü GHJ • ü BCA
11 Calcula los ángulos interiores del siguiente para-
lelogramo:
Puedes consultar algunas páginas de Internet para pro-
fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.
• http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm
• http://www.eneayudas.cl/optentrada.htm#angulo
También puedes consultar los siguientes libros.
• Aurelio Baldor
Geometría y trigonometríaGrupo Cultural Patria, México, 2007
• José María Chamoso y William Rawson
Contando la geometríaNivola, Madrid, 2004.
• Ana Millán Gasca
Euclides. La fuerza del razonamiento matemáticoNivola, Madrid, 2004.
• Yakov Perelman
Geometría recreativa.En línea: http://www.librosmaravillosos.com/
geometriarecreativa/index.html.
Conéctate
A
B C D
G
H
I
J
80∞
140∞
38.6°
55.8°
LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
En Internet hay diversos sitios con
configuraciones geométricas en las
que se pueden calcular algunos
ángulos internos o la suma de ellos.
El maestro puede utilizar esas
figuras para plantear algunos
diseños de pirámides o artesanías.
PROHIBIDA
SU VENTA
14.14
14.14
14.14
14.14
J
G
I
H
A
B C D
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 126/168
Mis retos
Las re aciones e proporciona i a son muy importantes para
a or ar istintas c ases e pro emas. En esta ección apren erás a
trabajar con actores de proporcionalidad raccionarios.
Si tienes una canti a que varía proporciona mente con re ación a
otra canti a , aprenderás cómo se establece un factor inverso
para conocer c mo var a s es a que cam ia e va ores.
Al nal podrás encontrar procedimientos para relacionar más de dos
conjuntos de cantidades por medio de relaciones de proporciona-lidad múltiples.
¿Qué sé?
En el curso anterior estudiaste varias relaciones de proporcionalidad
irecta e inversa, y las aplicaste a la solución de algunos problemas.
También trabajaste con tablas, expresiones algebraicas y gráficas
asocia as a re aciones e proporciona i a .
¿Qué lograré aprender?
Establecerás relaciones de proporcionalidad como las que se
manejan frecuentemente en el dibujo a escala.
Por otra parte, si ay una canti a que varía proporciona mente con
respecto a otra, pero esta última también varía proporcionalmente
respecto a otra cantidad, y así sucesivamente se relacionan varias
canti a es, po rás conocer a re ación que se pue e esta ecer
entre a primera canti a y a ú tima.
3Si uno aumenta,
el otro también
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 127/168
1 ¿Qué es una variación directamente proporcional?
2 ¿Qué es una variación inversamente proporcional?
3 Si tu mamá invierte $85 en una comida para 10 personas, ¿cuánto tendrá que
invertir en una comida para 24 personas sin disminuir la ración que le
corresponde a cada una?
4 Si tienes un cubo de 4 cm de arista, ¿cuántos cubos de 1 cm de arista necesi-tas para igualar su volumen? ¿Cuántos de 2 cm de arista? ¿Cuántos para
incrementar 10 el volumen?
5 ¿Cuántos kilogramos pesan 30 metros de alambre, si 120 metros pesan
10 kilogramos?
6 Si Elia compró un tramo de tela de 1 m a $120, ¿cuánto le costará m ?
¿Cuánto 14 m
7 Se asignó a tarea e pintar tres ar as a tres óvenes. Hugo tar a 3 ías en
pintar su barda, Luis tarda e lo que tarda Hugo en completar la suya, y
aco se eva e o que tar a Hugo en terminar a suya.
• ¿Cuánto tardan Paco y Luis en pintar sus bardas?
• Si Hugo pue e pintar una casa en 11 ías, ¿cuánto se tar arían respectiva-
mente Paco y Luis en llevar a cabo la misma tarea?
4 cm
7
ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON
El trabajo con
proporciones se realiz
durante todo el grado
anterior. Se requiere
conocer si los alumno
manejan o reconocen
algunos elementos de
variación proporciona
directa.
PROHIBIDA
SU VENTA
Es una variación de la forma y = xk, donde k es la constante de proporcionalidad.
Es una variación donde si x aumenta, y disminuye (a diferencia de la directamente
proporcional donde si x aumenta y aumenta) y viceversa, si x disminuye, y crece.
$204
64 cubos de 1 cm de arista.
8 cubos de 2 cm de arista.
Para incrementar 10 veces el volumen
se necesitan 640 cubos de 1 cm
de arista, 80 cubos de 2 cm de arista.
Tienen 2.5 kilogramos.
$1680
$60.
Luis 2 días y 1.2 días Paco.
Luis 7.3 días y Paco 13.2 días.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 128/168
Las buenas proporciones
En el mismo tipo de problemas que trabajaste en “Algo de lo que me enseñaron” con-
sidera la siguiente situación: Varios amigos se juntan para planear una fiesta y deci-
den que la bebida que se repartirá será agua de sabores. Saben que cada sobre del
sabor requerido se debe preparar con litro y medio de agua. Con tus compañeros
completa la siguiente tabla.
Usando fracciones Usando decimales
Sobres de sabor Litros de agua requeridos Sobres de sabor Litros de agua requeridos
Especificando el valor de los sobres requeridos, se determina la cantidad de litros
de agua.De la tabla anterior se sacan los elementos necesarios para contestar las siguientes
preguntas:
• Considerando las cantidades de los renglones de la tabla, ¿cuál es el resultado de
los cocientes del tipo
sobres de sabor
litros de agua requerida?
BLOQUE 1
Nuevamente se trabajan varias
representaciones simultáneamente:
aritméticas (por medio de
tabulaciones), algebraicas (con
expresiones algebraicas) y
geométricas (con las gráficas); la
coordinación de estas
representaciones permitirá
enriquecer los significados
relacionados con la variación
proporcional directa.
PROHIBIDA
SU VENTA
1/2 x 3/2 = 3/4 0.5 0.75
1 x 3/2 = 3/2 1 1.5
3/2 x 3/2 = 9/4 1.5 2.25
1 x 1/2 x 2 = 3/2 x 2 = 6/2 = 3 2 1.5 x 2 = 3
5/2 x 3/2 = 15/4 2.5 3.75
3 x 3/2 = 9/2 3 4.5
7/2 x 3/2 = 21/4 3.5 5.25
4 x 3/2 = 12/2 = 6 4 6
9/2 x 3/2 = 27/4 4.5 6.75
5 x 3/2 = 15/2 5 7.5
= 0.6
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 129/168
Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6
Cantidad de so res
Cantidad de litros
ocientesobres
litro
Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6
Cantidad de sobres
Cantidad de litros
ocientesobres
litro
¿Lo anterior indica que hay proporcionalidad en los datos?
En su caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
En fracciones: . En decimales:
Si conoces la cantidad de sobres de sabor, ¿puedes calcular la cantidad de litros de
agua que se necesitan?
Si se representa la cantidad de sobres con la letra x, y con y a la cantidad de litros
de agua, ¿cuál sería su expresión algebraica?
, o bien con decimales ,
cuya gráfica se muestra en la figura 1.
Los puntos marcados en la recta de dicha gráfica, ¿qué represen-
tan? Por ejemplo, ¿cómo se interpreta el punto (2, 3)?
El 2 indica
El 3 indica
En la pareja (4.5, 6.75), ¿que representan cada uno de los núme-
ros?:
El 4.5 indica El 6.75 indica
En la pareja (6, 9), ¿que representan cada uno de los números?:
El 6 indica
El 9 indica
Discute con tus com-pañeros lo siguiente.
Si hay 12 sobres de
sabor y hay 5 litros de
agua, ¿se utilizarán
los 12 sobres?
Si hay 17 sobres y 23
litros de agua, ¿se uti-
lizarán todos los litros
de agua?
Para curiosos
'
/
.
-
,
+
*
)
(
'
( ) * + , - . /
O
N&
9Wdj_ZWZZ[ieXh[i
(")
*$+",$-+
,"/
B_jhei
Z[W]kW
Figura 1
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
Es importante que los alumnos entiendan que los puntos de la gráfic
una relación de valores entre dos elementos del problema, no solament
como puntos en el plano.
Conviene recordar que al resolver problemas, un tema a trabajar e
modificar los datos para valorar los procedimientos de resolución, pe
los estudiantes que planteen problemas similares o encuentren dato
se acomodan a una solución dada. De esta manera se enfatizará el ti
de relación entre variables que define una proporcionalidad directa.
La constante de proporcionalidad es 3/2
bien 1.5. La expresión algebraica es y = 3
o bien y = 1.5x . El 2 indica la cantidad de
sobres y el 3 indica la cantidad de litros.
PROHIBIDA
SU VENTA
1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3
3/4 3/2 9/4 3 15/4 9/2
4/6 4/6 2/3 2/3 20/30 6/9
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5
0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6
Sí.
Y x 2
3y 0.6 x
Sí.
Sí.
2
30.6
Cantidad de sobres.
Litros de agua.
Cantidad de sobres.
Litros de agua.
Cantidad de sobres.
Litros de agua.
La constante es 0.6
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 130/168
¿Qué sucedería si tienes 10 litros de agua para preparar las bebidas de la fiesta?
¿Cuántos sobres necesitarías?
Con tus compañeros considera que tienes varios litros de agua y determina la can-
tidad de sobres que se requieren.
También puedes suponer que tienes varios sobres para hacer la mezcla, determina
los litros de agua necesarios en cada caso.
La cantidad de sobres y la cantidad de agua están relacionados, encuentra la ex-
presión algebraica correspondiente y determina si hay o no una relación de propor-
cionalidad entre dichas cantidades.
Construye la siguiente tabla (algunos valores incluidos en ella son aproximaciones).
Usando fracciones Usando decimales
Litros de agua Sobres de sabores Litros de agua Sobres de sabores
12
3 1 0.67
7
10
Discute con tus compañeros cómo saber, aproximadamente, los litros de agua que se
necesitan para y 6 sobres.
Usa la expresión algebraica que relaciona la cantidad de sobres con la cantidad de li-
tros de agua para saber los valores exactos correspondientes para y 6 obres.
Para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, ¿es preferible usar decimales
o fracciones? ¿Por qué?
Para curiosos
2
BLOQUE 1
Los estudiantes deben aprender a
plantearse preguntas y atreverse
a modificar las situaciones que ya
enfrentaron; solamente de esta
manera descubrirán las relaciones más
importantes.
El uso de distintos números es un
tema para trabajar siempre, pues
por lo general las aplicaciones
requieren de fracciones odecimales, no necesariamente se
presentan con números enteros.
PROHIBIDA
SU VENTA
33/8 litro y 75/8 litro
11/4 ϫ 3/2 = 33/8 y
25/4 ϫ 3/2 = 75/8
Sí hay una relación de proporcionalidad. La expresión algebraica es 3/2 y =
Depende. Ambos se pueden usar indistintamente, sólo que con decimales a
veces se pierde información por la cola infinita de cifras decimales y sólo
podemos aproximar, mientras que con fracciones tenemos el resultado exacto.
Basta multiplicar por 3/2.
6.6 sobres.
4/3 2 1.3
6/3 = 2 3 2
8/3 4 2.6
10/3 5 3.3
12/3 = 4 6 4
14/3 7 4.6
16/3 8 5.3
18/3 = 6 9 6
20/3 10 6.6
22/3 11 7.3
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 131/168
De acuerdo con las cantidades que calculaste, por cada renglón de la tabla, ¿cuál
es el resultado de lo cocientes del tipo:
litros de agua requeridos
sobres de sabor ?
Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6
Cantidad de litros
Cantidad de sobres
ocientelitros
so re
Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6
Cantidad de litros
Cantidad de so res
Cocientelitros
sobre
¿Hay proporcionalidad entre los datos? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?
En fracciones: . En decimales:
En este caso, para calcular la cantidad de sobres ( x) si conoces la cantidad de agua
( y), se observa que se puede utilizar la expresión algebraica:
x = y,
En los siguientes ejes coordenados construye una gráfica de esta relación e inter-
preta las coordenadas de cada punto en términos de la situación analizada.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Litros de agua
Cantidadde sobres
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
Hacer ensayos y modificar lo
realizado es una forma de trabajo
que ayuda a ordenar los
pensamientos y desarrollar habilidades que no solamente
servirán en matemáticas, sino que
tienen repercusiones importantes
en otros campos y en el
pensamiento crítico.
La constante de proporcionalidad
es 2/3. La expresión algebraica
es x = 2y /3. El 2 indica la
cantidad de sobres y el 3 indica
la cantidad de litros. Algunos
puntos en la recta son (3, 2),
(7, 4.67) y (12, 8).
PROHIBIDA
SU VENTA
1 2 3 4 5 6
2/3 4/3 2 8/3 10/3 4
3/2 6/4 3/2 12/8 15/10 6/4
1 2 3 4 5 6
0.67 1.3 2 2.6 3.3 4
1.49 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
= 3/2
3
2
3
2
1.5
Hay proporcionalidad entre los datos.
El factor de proporcionalidad es 3/2.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 132/168
Cuando a partir de la cantidad de sobres requeridos ( x) se determinó la cantidad
de litros de agua ( y), la expresión algebraica correspondiente fue:
y =2
x.
En este caso, el factor de proporcionalidad es3
2.
Sin embargo, cuando invertimos la relación entre las cantidades, es decir, cuando
a partir de la cantidad de litros de agua ( y) se determinó la cantidad de sobres reque-
ridos ( x), la expresión algebraica correspondiente fue:
x3
y .
En este caso, el factor de proporcionalidad es2
3
.
Como
3
2
2
3= = =
Resulta que2
es el recíproco (también llamado inverso multiplicativo) de3
. En
el grado anterior ya trabajaste con este tipo de números.
Por analogía podemos decir que2
3es el factor de proporcionalidad inverso de
3
2.
Discute con tus compañeros lo siguiente.
¿Qué es más útil para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, usar decima-
les o racciones? ¿Por qué?
Observando la grá ca es posible encontrar la expresión algebraica de una relación de
proporcionalidad y algunos valores en orma aproximada. Utiliza la siguiente grá ca
para determinar la expresión algebraica correspondiente y encontrar algunos valores
de y a partir de los de x.
Ana iza o que suce e con e punto (6, 8) que está so re a recta.
'&
.
-
,
+
*
)
(
'
( ) * + , - . /
O
N
Para curiosos
4
BLOQUE 1
En este proyecto se promueve que los
alumnos partan de relaciones gráficas
para conocer las relaciones
numéricas y algebraicas, lo cual se
logra si se comprende el papel que
juegan los puntos en la recta.
PROHIBIDA
SU VENTA
Depende de lo que se quiera analizar.
3 2 6
2 3 6
(6, 8)
y = 4/3 x
(3, x)
8/6 = 4/3 = pendiente.
1
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 133/168
Dada la relación de proporcionalidad encuentra los valores que altan en las tablas.
• Un vendedor de autos recibe por cada unidad vendida de cierto modelo y marcade su costo, que es de 123 589.00. Llena la siguiente tabla:
Unidadesvendidas
( x)
Pago querecibe
( y)
¿Cuá es a expresión a ge raica correspon iente para acer os cá cu os
Elabora una grá ca de la situación.
¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?
¿Qué parte de la venta de cada unidad, de otra marca y modelo, recibe el vende-
dor si se conoce que el precio de cada unidad es de: 154 978.00? Llena los espa-
cios vacíos de la siguiente tabla:
Unidadesvendidas
( x)
Pago querecibe
( y)
$21 7 $ 7
¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?
Elabora una grá ca de la situación.
¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?
1
E N
E L AT E N E O
Analiza y responde con tus compañeros:
¿Podemos decir que es el actor de proporcionalidad inverso de ?
i = = x ¥ , ¿es correc o que x ∏ ? ¿Por qué
Para curiosos
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
En estas actividades se pone énfasis en
la relación de proporcionalidad
asegurada solamente por pocos
elementos de las tablas.
PROHIBIDA
SU VENTA
148 306 247 175 346 045 593 220 1 680 790 2 224. 575 2 966. 100
155 379 266 364 754 698 998 865 1 331. 820
Recibe por unidad 49 435.6
Sí, pues 3/2 ϫ 2/3 = 1.
No, porque la multiplicación de x por 3/2
no es igual a x entre 3/2 a menos que x = 0.
49 435ϫ
n, donde n es el número de unidades vendidas.
49 435 ϫ n, donde n es el número de unidades vendidas.
22 197 ϫ n, donde n es el número de unidades vendidas.
y kx
y
x
k49 435
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 134/168
• Un en ermo debe consumir 456 gramos de carbohidratos diarios. Cada gramo de
comida proporciona4
de gramo de carbohidratos. Llena la siguiente tabla:
Gramos de comida
por día ( x)
7 5 7 14 4
Gramos decarbohidratos ( y)
¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?
Elabora una grá ca de la situación.
¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?
• Un automóvil consume de tanque de gasolina en un día. ¿Cuánto consume en
7 días?
Días
Tanque de gasolina
¿Cuá es a expresión a ge raica e este caso
Elabora una grá ca de la situación.
¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?
Dadas las siguientes gráficas encuentra la relación de proporcionalidad.
Observa que en la gráfica de la izquierda (1, 2) y (2, 4), están sobre la recta.
Observa que en la gráfica de la derecha (2, 1) y (4, 2), están sobre la recta.
¿Las gráficas anteriores tienen alguna relación? ¿Una es inversa de la otra?
Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla.
2
BLOQUE 1
Se trabajan las relaciones gráficas
para determinar las relaciones
aritméticas y algebraicas, pues en
los cursos de matemáticas,
generalmente se presentan las
relaciones algebraicas para obtener
las numéricas y las gráficas, cuando
en la práctica lo que se debe
interpretar es el comportamiento
contenido en gráficas y a partir de
ello determinar los modelos
algebraicos correspondientes.
PROHIBIDA
SU VENTA
No son inversas.
93.75 132 196.5 35.5 87 138.75 115
2/3 3/3 4/5 5/3 6/3 7/3
X 0 1 2 3
(1,2)
(2,4)
4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
X 0 1 2 3
(2,1)
(4,2)
4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
y
Y 2x
y 1/2x
x 4
1
y
y 1/4x
X 3
1
y
y 1/3x
y = ¼ x
y = 1/3 x
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 135/168
Cuando lo grande se hace pequeño
Recorta un dibujo sencillo de un periódico y trata de reproducirlo al doble de su ta-
maño original.
Toma dos puntos cualesquiera en el dibujo original y mide la longitud del segmen-
to que los une. ¿Qué longitud deberá tener la réplica de ese segmento en el dibujo que
hiciste al doble del tamaño?
Si ahora intentas reproducir el dibujo pero para que sea más pequeño, digamos a
la tercera parte, ¿qué longitud deberá tener la réplica del segmento en el dibujo más
pequeño?
Procedimientos como estos son muy frecuentes al reproducir figuras a escala.
Por ejemplo, en la figura 2 el triángulo grande ( ABC ) se utiliza para dibujar otro
más pequeño ( PRQ), a escala.
x y
Encuentra expresiones con un factor de proporcionalidad inverso al de las siguientes
expresiones algebraicas.
• = x • 4
= L • b • m3
4
3
4
'&
'&
/
.
-
,
+
*
)
(
'
( ) * + ,
O
N
'&Yc
,Yc
)Yc
*Yc
+Yc
.Yc 7
9
8 F G
H
Figura 2
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
Aquí se hace énfasis en la relación
que tienen los puntos de la gráfica
para determinar los valores en una
tabla, sin mediar la expresión
algebraica.
Las relaciones de proporcionalidad
directa no siempre aparecen escritasen forma explícita, por ello
es importante que los estudiantes
sepan reconocerlas y realizar
las manipulaciones algebraicas
necesarias para determinar las
constantes de proporcionalidad
respectivas.
Las constantes de proporcionalidad
se pueden expresar con números
menores que uno y la situación
equivalente, puede representarse con
una constante de proporcionalidad
con un coeficiente mayor que uno;
por ello los estudiantes deben
analizar ambas situaciones y
encontrar relaciones entre dichas
representaciones.
PROHIBIDA
SU VENTA
1/3.
El doble
1/4 4 3 4/3
1.5
8
10
3
3.5
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 136/168
Las longitudes de los lados del triángulo pequeño equivalen a la mitad de las lon-
gitudes de los lados del triángulo grande. También es posible establecer una expre-
sión algebraica en estos casos.
Denotemos por x la longitud de cada lado del triángulo grande ABC, y por y la de
cada lado del triángulo chico PQR. En la tabla siguiente se describe el procedimiento
por el que se obtienen los lados del triángulo chico a partir de los del grande.
Lados del triángulo grande( x )
Cálculo de los lados deltriángulo chico
Lados del triángulo chico( y )
A cm P
cm
CA 1 cm
Generalizando este procedimiento llegamos a que la relación proporcional que seda entre las longitudes de los lados del triángulo chico y el grande está dada por
y ,
donde es el factor de proporcionalidad.
Nota que cualquier longitud medida dentro del triángulo mantiene dicha relación,
como se ilustra en la figura 3.
Inversamente, si se parte del triángulo chico para dibujar el triángulo grande, se
establecería una relación inversa (figura 4).
Figura 3
' & Y c
,Yc
)Yc
*Yc
+ Y c
*$ + Y c
/ Y c
.Yc
7
9
8
F G
H
D
C
N AM
BLOQUE 1
En los dibujos a escala todas las
partes de una figura son
afectadas por la misma
constante de proporcionalidad.El profesor debe plantear
situaciones donde esto sea
evidente.
PROHIBIDA
SU VENTA
8/2 4
6/2 3
10/2 5
x 1
1
2
2
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 137/168
El resultado es que la longitud de los lados del triángulo chico debe ser del
para construir el triángulo grande.
Si x es la longitud de los los lados del triángulo chico y y es la longitud de los lados
del triángulo grande, llena la tabla siguiente:
Valores de x Cálculos Valores de y
PQ 4 cm AB
QR cm BC
cm
La expresión algebraica correspondiente es:
y = .
En este caso también, cualquier longitud medida en el triángulo chico será el do-
ble en el triángulo grande (figura 5).
¿Qué sucedería si hubiera que agrandar cada parte del triángulo 2.56?
¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?
Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:
'&Yc
,Yc
)Yc
*Yc
+Yc
.Yc 7
9
8 F G
H
ura 5 Figura 4
Figura 5
' & Y c
,Yc
*Yc
+ Y c
* $ . Y c
( $ * Y c
.Yc
7
9
C
D
8
F G
H
)Yc
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
El maestro puede analizar una
situación en la que se detecte
una relación de proporcionalidad
directa con constante de
proporcionalidad mayor que uno
e intercambiar el papel de las
variables implicadas para obtener
otra relación de proporcionalidad
directa con constante menor queuno.
Puede trabajarse en clase lo que
sucede con algunos cuadriláteroso polígonos.
PROHIBIDA
SU VENTA
4 ϫ 2 8
3 ϫ 2 6
5 ϫ 2 10
Se tiene y = 2.56x
2.56, 1/ 2.56 = 0.39
y = 2.56 x , y = 0.39x
2 x
doble
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 138/168
¿Que sucedería si hubiera que agrander cada parte del cuadrilátero 0.46?
¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?
Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:
Discute con tus compañeros lo siguiente.
• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es mayor que 1?
¿Qué se está haciendo?
• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es igual a 1?
¿Qué se está haciendo?
• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es menor que 1?
¿Qué se está haciendo?• Si en un i u o a esca a sa es que cua quier ongitu es un écimo e tamaño
real, y mides en ese dibujo un segmento de 12 cm, ¿cuánto mide la longitud co-
rrespondiente en el objeto real?
• Si la escala de un mapa es de y una carretera en el mapa mide 28 cm de lon-
gitud, ¿cuál es la longitud de la carre era real?
Para curiosos
Toma las medidas necesarias de las guras y, en cada caso, encuentra el actor de
proporcionalidad que se aplicó. También encuentra el actor de proporcionalidad
inverso y las expresiones algebraicas asociadas.
1
E N
E L AT E N E O
BLOQUE 1
En este proyecto se incorporan
algunas preguntas que los
estudiantes se formulan y son
importantes en la comprensión del
concepto de proporcionalidad.
PROHIBIDA
SU VENTA
Se agranda.
Queda igual.
Se reduce.
1.2 cm.
2 800 cm.
x 1/3 3x
x 1.61 x 1.57x 1.61 x 1.57x 1.61 x 1.57
x 1/3 x 3
y = 0.46 x y = x / 0.46
0.46, 1/0.46
Se hace y = x (0.4
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 139/168
Escala tras escala
Una empresa que fabrica carteles educativos desarrolla cuatro versiones del apara-
to circulatorio: la original, una que debe tener una altura de la mitad del original, otra
que debe ser la tercera parte de la primera versión y una más que se reduce a una
cuarta parte de la segunda versión.
Las longitudes de los lados de un rectángulo son 12 y 23 cm. Si se hace un dibujo
a escala de éste de tal modo que las longitudes de sus lados sean 5.14ͩ ͪy 9.86ͩ ͪ .
¿Cuál sería el actor de proporcionalidad directa e inversa?
¿Cuáles serían las expresiones algebraicas correspondientes a los dos actores?
En la reducción, ¿qué longitudes tendrían los segmentos marcados en la gura?
Se hizo un dibujo a escala de un rectángulo usando un actor de proporcionalidad
de . Si el rectángulo a escala tiene dimensiones de 9.75 cm por 4.5 cm, dibuja el
rectángulo original.
2
3
'(Yc
()Yc
+ Y c
/Yc
- Y c
Figura 6
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
Con mucha frecuencia en mapas o
catálogos de diseño se emplean
relaciones de proporcionalidad con
constante de proporcionalidad
menor que uno, por ello conviene
hacer énfasis en este tipo
de situaciones.
El trabajo con escalas repetidas se
puede motivar con el diseño demantas o carteles, en los cuales se
modifican las dimensiones de letras
y figuras, ello suele ser el resultado
de la aplicación de diferentes
escalas.
PROHIBIDA
SU VENTA
Tendría dimensiones de 26 cm x 12 cm.
2.3 y 0.42 y = 2.3x , y = 0.42x
9N 3.78 cm, 5N 2.1cm 7N 2.94 cm
26 cm
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 140/168
Para cerciorarte de que todas las partes del cartel se redujeron proporcionalmen-
te, escribe las expresiones algebraicas y encuentra también la expresión algebraica
correspondiente a las situaciones inversas, que corresponderían a:
• La reducción de la versión original a la primera versión:
• La reducción de la versión original a la segunda versión:
• La reducción de la versión original a la tercera versión:
• La reducción de la primera versión a la segunda versión:
• La reducción de la segunda versión a la tercera versión:
• Si el cartel tiene dimensiones de 50 por 35 cm, encuentra el tamaño de la primera,
segunda y tercera versión.
, y .
2
BLOQUE 1
Es importante encontrar una
relación entre las dimensiones del
objeto inicial y el resultado de la
última reducción o ampliación,
la cual se puede calcular a partir
de las reducciones o ampliaciones
sucesivas del efecto final.
PROHIBIDA
SU VENTA
Y = 1/2 x
El proceso inverso sería y = 2x.
y = 1/3 x
El proceso inverso sería y = 3x.
y = 1/8 x .
El proceso inverso y = 8x .
y = 0.6x
y = 1/0.6 x
y = 0.75 x
y = 1.33 x
25 ϫ 17.5 16.6 ϫ 11.66 4.15, 2.9
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 141/168
• Si la tercera versión debe ser de 5 por 3 cm, ¿cuál debe ser el tamaño de la segun-
da y primera versión, así como el original?
, y
Se edita un libro de arte y las reproducciones de las pinturas deben quedar enmar-
cadas con cuadros de dimensiones 2.75 por 1.56.
Las reducciones deben ocupar media cuartilla impresa en tamaño carta (21.59 por
27.94 cm) con márgenes de 2.5 cm en cada orilla.
• ¿Cuál sería el tamaño de la reproducción que mejor se acomodaría?
.
• ¿Con qué fórmula se calcularían las reducciones necesarias de otras obras de arte
para ocupar el mismo espacio?
• Para promoción, se quieren imprimir folletos que contengan reducciones de algu-
nas obras de arte en un octavo de cuartilla, con los márgenes antes señalados.
Encuentra la fórmula que acomodaría mejor a esta situación
Compara los resultados con tus compañeros. Pueden variar, pero en conjunto se-
guramente encontrarán la mejor solución para esta situación.
A veces se aplican relaciones de proporcionalidad de manera reiterada.
Por ejemplo, si se desea incluir en un libro una imagen a escala de una pintura que
tiene dimensiones de 2 m (200 cm) de largo por 1 m (100 cm) de alto, y se tiene que
ocupar un espacio de 20 cm 10 cm, se aplica una escala de1
10.
También se quiere imprimir un folleto promocional que contenga dicha imagen
en un espacio de 10 cm por 5 cm. En este caso, a la reproducción de la pintura en el
libro se le aplica una escala de1
2.
Finalmente, se desea hacer estampas de 2 cm por 1 cm a partir de la imagen el
folleto. Para lograr esto, se aplica a dicha imagen una escala de1
5.
Así pues, la imagen de la pintura original ha sufrido varias reducciones hasta su
impresión en las estampas, como se aprecia en la figura 7. La primera reducción fue
de1
10, a la cual se le aplicó después una escala de
1
2y a esta última una escala de
1
5.
Esto quiere decir que la imagen original se redujo en una escala de
1
10
1
2
1
5=
1
100.
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
Las reproducciones a escala son
buenas oportunidades para
desarrollar la habilidad de determinar
el factor inverso dada una relación
de proporcionalidad y el factor de
proporcionalidad fraccionario.
Esta actividad permite relacionar
datos de más de dos conjuntos y
utilizar procedimientos para
resolver problemas de
proporcionalidad múltiple.
PROHIBIDA
SU VENTA
22.94ϫ 5.79 cm
Y = 1/12x
y = 1/8x
20, 12, 13.33, 8 40, 24
Primera versión, segunda versión original.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 142/168
Discute con tus amigos lo siguiente.
Una foto primero se reduce , luego posteriormente y finalmente . Si la foto
original tiene dimensiones de 30 cm por 20 cm, ¿cuáles son las dimensiones de
cada reducción y cuál será el actor que indica la reducción del original a la últimareducción?
Si se tiene una oto de 15 cm por 30 cm después de haber su rido las mismas reduc-
ciones que en el inciso anterior, ¿cuál era el tamaño del original?
1
E N
E L AT E N E O
2
F_djkhWeh_]_dWb0
(c´'c
;iYWbW
H[fheZkYY_d[d[bb_Xhe
H[fheZkYY_d[d[b\ebb[je
H[fheZkYY_d
[dbWi[ijWcfWi
'Yc
(Yc
'&Yc
'&Yc
(&Yc
+Yc
2
1
10
5
Figura 7
4
BLOQUE 1
Las actividades planteadas pueden
ser aprovechadas como evaluación
parcial o de la lección, como temas
de discusión en clase o como
actividades para resolver en casa o
como base para que los estudiantes
planteen actividades similares.
PROHIBIDA
SU VENTA
20 ϫ 13.33, 12 ϫ 7.99; 1.7 ϫ 1.19, 1.27 ϫ 0.85
La reducción total fue de 18/420.
350 ϫ 700 cm.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 143/168
Demuestro lo que sé y hago1 De la siguiente gráfica, encuentra la relación de pro-
porcionalidad.
2 Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes
de la tabla.
x
y
3 Alberto cobra por cada hora de trabajo $150. ¿Cuánto cobrará en
7 horas?
Horas 2 3 6
Cobro $150
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
La posibilidad de representar una situación de diferentes maneras es una
habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello,
una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas,
la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar
estos aspectos. Estos problemas permiten hacer esa integración.
PROHIBIDA
SU VENTA
2 3 5 7 8 9 10
300 450 600 750 900 1 050
$1,050
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
y 4x
x 0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 144/168
4 A partir de cada uno de los siguientes triángulos, di-
buja otro a escala usando el factor de proporcionali-
dad que se pide.
5 ¿Cuántas botellas de3
4de litro se requieren para
embotellar 240 litros de aceite?
6 En un poblado,2
3del total de los varones están casa-
dos con2
5del total de las mujeres. ¿Qué parte de la
población total está soltera?
7 Una máquina para retirar lirio acuático retira 2 to-
neladas por día.
• ¿Cuántas toneladas retira en la tercera parte de un
día?
• ¿Cuántas toneladas retira en 4 días y medio?
• ¿Cuántos días se requieren para retirar 13 tonela-
das?
8 Reproduce a escala las siguientes figuras usando un
factor de proporcionalidad de1
3.
9 En una medicina se agregan 30 ml de la sustancia A,
a 76 ml de la sustancia B.
• Si se tienen 12, 17, 34, 56 ml de la sustancia A,
¿con cuántos ml de la sustancia B se pueden mez-
clar cada uno?
• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-ancia B que se necesitan, dadas ciertas cantida-
des de ml de la sustancia A.
• Si se tienen 56, 89, 102, 306 ml de la sustancia B,
¿cuántos ml de la sustancia A se requieren para
mezclar en cada caso?
• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-
ancia A que se necesitan, dadas ciertas cantida-
des de ml de la sustancia B
actor
Factor
BLOQUE 1
Es importante que los
estudiantes manejensituaciones en las que el
álgebra sea el primer
contexto por utilizar y
otras donde se haga
referencia a figuras
geométricas.
PROHIBIDA
SU VENTA
Queda enorme, de 20, 16 y 12 unidades en cada lado.
320 botellas.
8/15
2/3 de tonelada
6.5 días.
9
30.4, 43.06, 86.1, y 141 ml, respectivamente.
B = 76/30 x
22.1, 35.1, 40.2 y 120 ml, respectivamente.
A = 30 / 76 x
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 145/168
10 Mi reloj se adelanta 8 minutos al día, ¿cuánto se ade-
lantará en 3 horas?
11 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de
proporcionalidad.
12 Una empresa de juguetes decide hacer un modelo a
escala de un auto que ocupa un espacio de 2.8 m de
largo por 1.5 m de ancho y 1.6 m de altura.
• Quiere hacer un modelo, en un auto de pedales quedebe reducir el largo del vehículo a 1.2 m. ¿Cuánto
deberán reducirse las otras dimensiones?
• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-
nes de distintas partes de la reducción.
• Si del auto de pedales se desea hacer una reduc-
ción, como adorno, donde su altura sea de 5 cm,
¿cuánto deben reducirse las otras dimensiones?
• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-
nes de diversas partes de la reducción del auto de
pedales al auto de adorno.
• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-
nes de distintas partes de la reducción del auto ori-
ginal al auto de adorno.
13 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de
proporcionalidad.
Conéctate
fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.
• http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/
documentos/10021635.pdf Encontrarás información sobre el manejo de escalas en
distintas situaciones.
También puedes consultar los siguientes libros.
• Aurelio Baldor
Geometría y trigonometría
Grupo Cultural Patria, México, 2007
• Grupo Beta
Proporcionalidad geométrica y semejanza
Síntesis, Madrid, 1990.
•María Luisa Fiol y Josep Maria Fortuny Proporcionalidad directa
Síntesis, Madrid, 1990.
• Yakov Perelman
Geometría recreativa
En línea: http://www.librosmaravillosos.com/
geometriarecreativa/index.html.
Matemática recreativa
En línea: http://www.librosmaravillosos.com/
matematicarecreativa/index.html.
LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN
En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden obtener imágenes
que se pueden modificar de diversos modos con un solo factor o por
medio de la aplicación de varios, lo cual podrá ayudar a los estudiantes
a conocer con mayor profundidad los efectos que tienen la aplicación
de uno o varios factores de proporcionalidad.
PROHIBIDA
SU VENTA
1 minuto.
y = 3x
y = 1/2 x
y = 0.31 x
y = 3.2 x
3.2 m
y = 2.33 x
Reducción de 2.33 m.
x 0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
34
5
6
7
8
9
10
11
12
y
y 3x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
y 1/2x
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 146/168
Mis retos
En esta ección a or arás situaciones e conteo apoyán ote en e
uso e arreg os rectangu ares y iagramas e ár o , entre otros
recursos, con el n de determinar el número de casos posibles en
iversos problemas.
¿Qué sé?
En el curso anterior trabajaste con algunas técnicas de conteo,
empleando tablas y diagramas. Además abordaste diversassituaciones en las cuales se presentan regularidades numéricas.
¿Qué lograré aprender?
Abordarás problemas de conteo en los cuales, para organizar la
in ormación y averiguar el total de combinaciones posibles,
uti izarás recursos asocia os a a mu tip icación e números, como
es e caso e os arreg os rectangu ares y os enomina os
iagramas de árbol, gracias a los cuales puedes analizar todas las
posibilidades de organización de un conjunto de datos. Esto
conducirá a la deducción de un principio undamental de conteo.
4 Cuentas de cuántos Se presenta de manera genérica lo que se espera que los
estudiantes aprenderán en esta lección.
Aquí se establecen los contenidos ya
aprendidos en la escuela primaria y
que se utilizarán en la presente
lección; los alumnos y el maestro
pueden recordar algunos de ellos.
Los retos establecidos al inicio se
desglosan en preguntas por
responder, lo cual será un punto de
referencia para los alumnos, pues al
final deberán poder responder estos
cuestionamientos.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 147/168
1 Si echo volados con dos monedas a la vez, una de $10 y otra de $1, ¿de
cuántas maneras distintas pueden caer esas monedas?
2 Si tengo 2 playeras, una verde y otra amarilla, y también tengo 3 pantalones
cortos: uno rojo, otro blanco y otro verde, ¿cuántas formas distintas de
combinar ambos tipos de prendas tengo?
3 Si se deben etiquetar varias cajas con tres dígitos del 000 al 999 seguidos de
a etra A o a etra B. ¿Cuá es e número máximo e cajas que se pue en
etiquetar utilizando este sistema?
4 ¿Qué es un diagrama de árbol?
5 Una señora gana dos boletos para viajar a Cancún, Puerto Vallarta o Ixtapa, y
solamente puede llevar a su esposo, hija o hermana. ¿Cuántos lugares y
com inaciones posi es ten rá a señora para e egir?
6 Si un mago tiene escon i as en una o sa 3 pe otas, una ver e, una roja y
una amarilla, ¿cuántas maneras diferentes tiene para sacar las 3 pelotas?
ecuer a que as pe otas no se regresan a a o sa espués e sacar as.
7 En una cafetería venden 3 tipos de café y 5 tipos de sándwich. ¿Cuántos
almuerzos diferentes se pueden formar con un tipo de café y un tipo de
sándwich?
8 En una eliminatoria hay 5 boxeadores de Asia que deben pelear con 7
boxeadores europeos. ¿Cuántas parejas de contrincantes se pueden formar?
ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON
Esta sección puede considerarse una prueba escrita o ut ilizarse como tarea
al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o
colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase
para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o
procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que
se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos
del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de
acreditación.
Las técnicas de conteo
basan en diagramas
rectangulares o de árbo
por ello una exploració
inicial antes de avanzar
el tema es necesario, so
todo dado que el tema
se ha trabajado
anteriormente.
PROHIBIDA
SU VENTA
4
6
2 000
Es una gráfica que sirve para analizar todas las combinaciones posibles.
Se le llama así porque gráficamente se va ramificando como un árbol.
9
6
15
35
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 148/168
Tablas, árboles y posibilidades
En una escuela se está organizando un baile para conmemorar la Revolución mexica-
na. A uno de los grupos le toca organizar una presentación de bailes regionales. En él
hay dos hombres y tres mujeres dispuestas a participar (figura 1).
¿Cómo se podrán organizar las parejas para el baile?
Hay muchas posibilidades para realizar la asignación de parejas. ¿Cuántas parejas
se pueden formar en total?
Si en cada baile debe actuar por lo menos una pareja diferente, ¿cuántos bailes se
podrían montar?
Si después de algún tiempo ya se cuenta con cinco hombres y tres mujeres, ¿cuán-
tas parejas se podrían formar?
¿Cuántos bailes se podrían considerar en la función con la condición de que por lo
menos una pareja fuera diferente?
Figura 1
Figura 2
1
BLOQUE 1
Debido a que los estudiantes ya
han trabajo aspectos relacionados
con los diagramas rectangulares y
de árbol, conviene que “jueguen”
con este tipo de herramientas de
conteo, lo cual se logra ampliandoo disminuyendo el número de
componentes para determinar el
número de posibilidades.
En muchas situaciones se utilizan
estrategias de conteo que ayudan a
planear eventos o a realizar
presupuestos, de tal modo que las
estrategias y ejemplos planteados
pueden servir de pauta para que los
estudiantes planteen situaciones
análogas pero de otros contextos.
PROHIBIDA
SU VENTA
B
1
2
3
Se pueden formar 6 parejas.
6, si no son del mismo sexo.
6
15 parejas.
6
A
1
23
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 149/168
¿Empleaste diagramas de árbol o rectangulares como en la sección “Algo de lo que
me enseñaron”? Si no fue así, trata de utilizarlos para resolver las preguntas y analiza
qué tipo de diagrama es más adecuado para cada pregunta.
¿Qué operación utilizarías para hacer los cálculos en las preguntas anteriores?
Veamos otro ejemplo. Analiza con tus compañeros la siguiente situación y respon-
de las preguntas.
En el periodo de elecciones de una escuela, para determinar cuáles serán los dos
estudiantes que se encargarán de la organización estudiantil, hay 4 candidatos de un
grupo A y 3 de otro grupo, el B. Ambos grupos están de acuerdo en lanzar candida-
turas conjuntas.
¿Cuántas parejas de posibles contendientes se pueden formar?
¿Cómo utilizarías un diagrama rectangular para resolver esta situación?
¿Puedes utilizar un diagrama de árbol? ¿Cómo?
¿Qué operación harías para determinar el número de casos posibles?
iscute con tus compañeros:
¿Cuántas parejas se pueden ormar para tener planillas si en cada grupo (A y B) hay 5
estudiantes para ormar la planilla?
¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si hubiera 7 estudiantes en el
grupo A y 12 en el B?
¿Cuántas ternas se pueden ormar para tener planillas si se trataran de poner de
acuer o tres grupos, uno con 2 can i atos, otro con 4 y otro con 5?
Para curiosos
1
LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS
PROHIBIDA
SU VENTA
Diagrama de árbol.
Diagrama rectangular.
12
Multiplicación 3 ϫ 2 _= 6 y
3 ϫ 5 = 15
B
1
2
3
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3
A4
A A2 A3 A4
B1 A1B1 A2B1 A3B1 A4B1
B2 B2 A1 A2B2 A3B2 A4B2
B3 A1B3 A2B3 A3B3 A4B3
25 parejas.
40 ternas.
84 parejas.
3 ϫ 4 = 12
Multiplicación.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 150/168
Analiza otra situación.
Se organiza un torneo de yudo entre dos clubes deportivos, el Club A y el Club B.
En el Club A hay cinco competidores y en el Club B, 12 competidores.
¿Cuántas parejas se podrán formar en el primer encuentro eliminatorio?
Si usas un diagrama rectangular, ¿cuántas filas y columnas se forman?
Si usas un diagrama de árbol, ¿de cuántos puntos inicias las ramas? ¿En cuántas
ramas se despliega cada una?
¿Con qué operación aritmética se calcula el resultado del total de posibilidades?
Se van a mezclar 5 tonos de pintura verde con tres tonos de pintura café ¿Cuántoscolores se obtendrían de todas las combinaciones posibles?
¿Se pueden realizar operaciones aritméticas para obtener la solución?
¿Cómo calcularías el total de colores que se obtendrían con las combinaciones?
Plantea la solución empleando solamente sumas.
Plantea el procedimiento para resolver la situación con una multiplicación.
Utiliza un diagrama de árbol y un diagrama rectangular para comprobar tus res-
puestas
Lo anterior se resume en lo que se denomina el rincipio de multiplicación: si
tienes dos grupos con determinado número de elementos, el total de parejas que se
pueden formar con un elemento de cada grupo, sin considerar permutaciones, es
1
BLOQUE 1
PROHIBIDA
SU VENTA
Multiplicando 3 x 5.
5 + 5 + 5 = 15
o 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 155 ϫ 3 = 15
Sí, 5 ϫ 3 = 15.
15
Con la multiplicación.
De 5 con 12 ramas o 12 con 5 ramas cada uno.
5 filas, 12 columnas o viceversa.
60 parejas
C1 C2 C3
V 1 V 1C1 V 1C2 V 1C3
V 2 V 2C1 V 2C2 V 2C3
V 3 V 3C1 V 3C2 V 3C3
V 4 V 4C1 V 4C2 V 4C3
V 5 V 5C1 V 5C2 V 5C3
V 1 V 2 V 3 Tonos de pintura verde.
V 4 V 5
C1
C2 Tonos de pintura café.
C3
c1
c2
c3
c1
c2
c3
c1
c2
c3c1
c2
c3
c1
c2
c3
V 1 V 2
V 4 V 5
V 3
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 151/168
igual al producto de las cantidades que indican los elementos de cada uno de los
grupos. Este principio se puede aplicar a más de dos grupos.
¿Cuántas parejas se puede formar con cinco hombres y siete mujeres?
.
Si fueran 32 hombres y 45 mujeres, ¿cuántas parejas se formarían?
¥ .
Plantea un problema que se resuelva con una tabla como esta:
¿Cuántas parejas se pueden formar?
.
Plantea un problema que se resuelva con el diagrama de árbol de la figura 3.
En las siguientes actividades, analiza con tus compañeros si es más útil un diagrama
de árbol o uno cartesiano (la tabla) para resolver los problemas.
Unos amigos llegaron a un expendio de tacos. En él se o recen tacos de bistec y pollo,
con cebolla, con salsa y cilantro.
¿Cuántas posibles combinaciones de tacos se pueden elegir?
¿Cuántas maneras ay para contestar un examen e 6 preguntas que só o a mite
como opciones de respuesta verdadero o also?
i e examen tiene 15 preguntas y ca a una con 5 opciones e respuesta, ¿cuántas
maneras hay para responderlo?
1
E N
E L AT E N E O
2
LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS
El maestro debe llamar la atención
a los estudiantes en el método de
cálculo que se desprende de los
diagramas rectangulares y de árbol.
El uso de cantidades “grandes”
inhibe el uso de tablas o diagramas
de árbol, por ello deben plantearse
con dichos números, además deincluir más de dos componentes y
generalizar así el método.
PROHIBIDA
SU VENTA
6
12
75
Respuesta modelo.
Tienes 10 galletas de animalitos diferentes y 6 chocolates con distintos rellenos. ¿De cuántas maneras te puedes
comer una pareja de galleta y chocolate?
Tienes 4 playeras de distinto color y 3 faldas con diferente estampado. ¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir?
10 6 60
5 7 35
32 45 1440
Respuesta modelo.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 152/168
¿Cuántos números de 3 ci ras se pueden ormar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?
Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por
dentro. ¿De cuántas ormas puede una persona entrar y salir de la tienda?
Para el lanzamiento de dos monedas y un dado:
• Construye el diagrama de árbol y enumera todos los casos posibles.
• ¿Cuántas veces saldrá dos soles y el uno?
Construye el diagrama de árbol para el lanzamiento de tres dados.
¿Cómo podrías distribuir en un diagrama cartesiano todas las posibles formas en que pueden caer
tres monedas que se lanzan? ¿Cuántas combinaciones se obtienen?
Ahora se tienen cuatro monedas de distinto valor, al lanzarse generan di erentes combinaciones.
¿Cuántas combinaciones se obtienen?
Construye el diagrama de árbol para dos dados de di erente color y una moneda.
Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde 100.
El hombre empieza con un billete de 100 y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su
dinero o si gana 300, esto es, si tiene cuatro billetes de 100. Hace el siguiente diagrama para deli-
near su estrategia.
• Después de cinco juegos, ¿en cuántos puede ganar $400, en cuántos puede ganar $200 y en cuán-
tos no gana
9
10
3
4
5
6
7
8
$100
$200
$300
$400 $200 $200 $0 $400 $200 $200 $0
$400 $200
$300 $100 $300 $100
$200 $0
$100
$0Juego 1
Juego 2
Juego 3
Juego 4
Juego 5
BLOQUE 1Hay varias situaciones
que pueden analizarse
con los diagramas
rectangulares y de
árbol, pero más que
hacer que los
estudiantes abarquen
muchas situaciones, es
importante que ellos
las diseñen y
resuelvan, de tal modo
que las actividades
aquí planteadas sirven
de ejemplo para que
los alumnos imaginen
nuevas situaciones.
PROHIBIDA
SU VENTA
16 combinaciones
Tres columnas, 8 renglones. Hay 8 combinaciones.
En el diagrama aparece una sola vez. p = 1/ 24
a = águila.
s = sol.
35
12
En 3 o en 5 puede ganar $400.
En 1, 3 o 5 puede ganar $200.
En 1, en 3 y 5 puede quedarse con $0.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 153/168
Demuestro lo que sé y hago1 De cuántas formas diferentes se puede responder
un examen que consta de 12 preguntas de falso y
verdadero.
2 De cuántas formas diferentes se puede responder
un examen de 6 opciones por pregunta, si consta de
25 preguntas.
3 ¿Cuántas palabras de siete letras se podrán formar
utilizando solamente las cinco vocales?
4 ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con
los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo repeticiones?
5 Eduardo tiene 6 camisas y 4 pantalones que com-binan perfectamente. Haciendo un diagrama de
árbol, ¿cuántas combinaciones tendrá para elegir?
6 Se tiene un dado verde y un rojo, al arrojarlos se
producen diferentes combinaciones. ¿Cuántas son?
7 ¿De cuántas maneras puede acomodarse una enci-
clopedia de 4 volúmenes en el anaquel de un librero?
8 Si arrojamos un dado y una moneda al mismo tiem-
po, ¿de cuántas formas distintas podrán caer?
9 En un problema de arrojar dos dados de distinto co-lor, ¿cuántas combinaciones existen en donde apa-
rece un cinco?
ConéctatePuedes consultar algunas páginas de Internet para pro-
fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.
• http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm
Encontrarás elementos para analizar las técnicas de
conteo que se aplican en diagramas como los de árbol.
También puedes consultar los siguientes libros.
• Juan Díaz Godino et al.
Azar y probabilidad
Síntesis, Madrid, 2001.• Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés
Castro
Kolmogórov: el zar del azar
Nivola, Madrid, 2003.
LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS
Las actividades planteadas pueden ser
aprovechadas de diversas formas, como
evaluación parcial o de la lección, como
temas de discusión en clase o como
actividades para resolver en casa o como
base para que los estudiantes planteen
actividades similares.
Cuando se hacen búsquedas en Internet para obtener datos se
suelen encontrar pocas situaciones en las que se utilicen diagramas
de árbol o rectangulares, pero pueden adaptarse algunas para ser
utilizadas en clase.PROHIBIDA
SU VENTA
SOLUCIONARIO
12
10
24 formas
150 formas
En castellano no existen esas palabras. Si no importa que no
tenga ningún sentido, podemos formar 35 palabras.
30
24
36
24
P =
C=
P1
C1C2
C3
C4
C5C6
C1C2
C3
C4C5C6
C1C2
C3
C4
C5C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
P2
P3
P4
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 154/168
Mis retos
Conocerás un nuevo tipo de gráfica que te ayudará a interpretar
información contenida en conjuntos de datos.
¿Qué sé?
En el curso anterior trabajaste con representaciones gráficas básicas,
as cua es pue en ayu ar a a or ar otro tipo e representaciones
grá cas y a partir de ello analizar la conveniencia de utilizar unas u
o ras.
¿Qué lograré aprender?
Aprenderás a leer nuevos tipos de gráficas que te permitirán
interpretar las características de un conjunto particular de datos, lo
cual resulta relevante cuando se quiere comparar dos conjuntos de
atos.
5 Gráficas ue hablan
1
Se presenta de manera genérica lo que se espera que los
estudiantes aprenderán en esta lección.
Aquí se establecen los contenidos ya
aprendidos en la escuela primaria y
que se utilizarán en la presente
lección; los alumnos y el maestropueden recordar algunos de ellos.
Los retos establecidos al inicio se
desglosan en preguntas por
responder, lo cual será un punto de
referencia para los alumnos, pues al
final deberán poder responder estos
cuestionamientos.
PROHIBIDA
SU VENTA
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 155/168
1 Define los términos “frecuencia absoluta” y “frecuencia relativa”.
2 Si tienes el valor de la frecuencia relativa en una tabla de datos, ¿cómo
ca cu as e porcentaje correspon iente?
3 En un estudio se recolectaron los siguientes datos:
Deporte avoritoFrecuencias
absolutasFrecuencias
relativasPorcentajes
Golf 1
Voleibol
Futbol 2
Beisbol 1
Natación
Total
• Completa la tabla, calculando las recuencias relativas y los porcentajes
altantes.
• Elabora una gráfica de barras que presente la información recabada en la
tabla.
4 La siguiente tabla muestra la cantidad de veces que se obtuvo un número al
lanzar un dado.
Resultado del lanzamiento
Frecuencia absoluta 1
• Elabora una grá ca circular para representar esta in ormación.
7
ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON
Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio
de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo,
se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar
cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas
de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los
conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación
con fines de acreditación.
Para interpretar gráfic
es importante saber si
estudiantes manejan
algunos temas
relacionados con las
frecuencias absolutas
y relativas.
PROHIBIDA
SU VENTA
Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un evento y la relativa es la frecuencia absolutaentre el número total de veces que se realizó el experimento.
Con el cociente
Con el cociente.
G 13/610 2%
V 81/610 13%
F 235/610 38%
B 167/610 27%
N 114/610 18%
610 610 /610 98%
16.41% 15% 20.5%
Total: 73.
G F B V
20
140
F r e c u e n c i a s
160
40
60
80100
120
180
200
220
240
Deporte
1
2
3 6
5
4
16.4 %
16.4 %16.4 %
15 % 15 %
20.5 %
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 156/168
Histogramas y polígonos de frecuencia
S ralizó una nusta on studiants d sundaria. En una part s ls prguntó
qué volun (n litros) d agua pura y d bbidas gasosas qu toan al día. Los
datos rabados s nuntran n la siguint tabla.
Llna las olunas d frunia rlativa y porntaj d ada una d las tablas
ostradas abajo.
Elabora una gráfia d barras on los datos d ada tabla, usando los valors d las
frunias rlativas.
Distribución de recuencias para consumo de agua pura
Litros de agua bebidosrecuenc a
absoluta
Frecuenc a
relativaPorcentajes
. ero
2. Más de cero hasta medio litro 1
3. Más de medio litro hasta un litro
. Más de un litro hasta un litro y medio 7
5. Más de un litro y medio hasta dos litros 4
. Más de dos itros asta dos itros y medio
. Más de dos itros y medio asta tres itros 1
8. Más de tres litros
Distribución de recuencias para consumo de gaseosas
Litros de gaseosas bebidosrecuencia
a soluta
Frecuencia
relativaorcenta es
1. Cero
. Más de cero asta medio itro
. M s de medio litro hasta un litro
. Más de un litro hasta un litro y medio
5. Más de un litro y medio hasta dos litros
. Más de dos litros hasta dos litros y medio
7. Más de dos litros y medio hasta tres litros 1
. Más de tres itros
BLOQUE 1
Una dificultad de trabajar
interpretaciones de gráficas en
clase es que muchos datos son
ficticios o poco reales, pero sobre
todo generalmente son pocos
datos, los cuales no requieren
tantos elementos para ser
analizados, por ello debe iniciarse
con situaciones que impliquen una
cantidad importante de datos.
PROHIBIDA
SU VENTA
25/256 9.7 %
16/256 6.2 %
54/256 21 %
76/256 29 %
45/256 17 %
23/256 8.9 %
12/256 4.6 %
5/256 1.9%
Total: 256
15/257 5.8 %
28/257 10.8 %
69/257 26.8%
71/257 27.6%
30/257 11.6%
21/257 8.1%
19/257 7.4%
4/257 1.5%
Total: 257
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 157/168
Frecuencia relativa para consumo de agua pura
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
recuencia re ativa para consumo de gaseosas
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Al oparar las gráfias, ¿qué obsrvas rspto al onsuo d agua o gasosas?
Puds plantart prguntas oo:
¿Qué bbida s onsu ás?
¿Qué antidads d agua o gasosas son ás bbidas?
Elabora una gráfia qu inluya las dos gráfias.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 1
Gráfica con barras encimadas
LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN
PROHIBIDA
SU VENTA
04
09
1
1 2 3 4 5 7 6
0
07
08
01
02
03
05
06
04
09
1
1 2 3 4 5 7 86
0
07
08
01
02
03
05
06
04
09
1
1 2 3 4 5 7 6
0
07
08
01
02
03
05
06
a) Los estudiantes beben en su mayoría, entre medio y litro
y medio de gaseosas.
La mayoría bebe entre un litro
y litro y medio de agua.
b) Se consume más agua.
c) De agua entre litro y litro
y medio, de gaseosas entre
litro y litro y medio.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 158/168
¿Qué problas s prsntan al intntar har la gráfia d barras d dos onjun-
tos d datos?
Si n la gráfia qu intgra a las dos gráfias, n lugar d dibujar las barras opl-
tas, solant dibujas la part suprior d las barras y nlazas los salons rsultan-
ts diant sgntos d rta, ¿óo s vrá ahora la gráfia?
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
01 2 3 4 5 6 7 8
Si n lugar d salons utilizas l punto dio d ada salón y los nlazas -
diant sgntos d rta, ¿óo quda la gráfia ahora?
A la gráfia rsultant d st aso s l dnoina polígono de frecuencias.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 2
Gráfica con escalones de
colores unidos por segmentos
de recta
Figura 3
Gráfica con el punto mediodel escalón unidos por
segmentos de recta
Supongamos que agregas 20 a cada recuencia absoluta en las dos tablas. ¿Cambia-
rán las recuencias relativas y los porcentajes?
¿Se modi carán las grá cas?
Si en vez de usar en las gráficas frecuencias relativas, usas frecuencias absolutas o
porcentajes, ¿se modificarán en su forma las gráficas?
Para curiosos
11
BLOQUE 1
PROHIBIDA
SU VENTA
No porque al aumentar la misma cantidad se
conserva la proporcionalidad.
No.
La forma es la misma, la más alta corres-
ponde a la de mayor frecuencia que corresponda a la de mayor porcentaje. Son formas de representar lo mismo.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 159/168
Considra ahora los siguints datos obtnidos d un studio sobr las longituds
dl urpo d irta spi d srpints. S roltaron los siguints datos:
43, 41, 17, 24, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 10, 17, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 19, 44, 38,
28, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43,
25, 39, 44, 13, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 43, 25, 39, 44,
13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 24, 19,
16, 43, 25, 39.
Si t pidn laborar una tabla qu indiqu la frunia d ada diión, ¿uán-
tos rnglons tndría la tabla? ¿Cuántas barras tndría la gráfia?
Coo aabas d dduir, sría iprátio harlo d sta anra. ¿Qué onvn-
dría har ntons?
El nor dato s , l ayor dato s .
Quir dir qu todos los datos s nuntran ntr y .
Puds dividir l sgnto on xtros nor dato y ayor dato n varias par-
ts y onsidrar n ada una a los datos qu an n llas.
Divid n dos parts l spaio ntr l nor y ayor dato. Así, l núro qu s
l punto dio ntr l dato ayor y l nor s .
¿Cuántos datos an n la prira part (d a ) y uántos an n la
sgunda part (d a ). Pro, ¿n qué part s onsidra?
La posibilidad qu ás s usa s:
La prira part s d hasta ants d (sto s siboliza d la siguin-
t anra: , à).La sgunda part s dsd hasta (sto s siboliza: ó , ò).Llna la siguint tabla:
recuencia a soluta
ó , à
ó , ò
Haz una gráfia on sta inforaión, pro usando las frunias rlativas.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN
PROHIBIDA
SU VENTA
27.5 45 27.5 45
10 27.5 47
27.5 45 45 Total: 92
27.5 45 27.5
10 27.5
27.5
10 45
10 45
10
10
27.5
27.5
04
09
1
1 2 3 4 5 7 86
0
07
08
01
02
03
05
06
10, 27.5 27.5, 45
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 160/168
Puds dividir l spaio ntr y n ás parts; por jplo, n ino
parts. Llna la siguint tabla y labora una gráfia on los datos d la tabla:
Frecuencia absoluta Frecuencia relativa orcenta e
1
0.9
0.8
0.70.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Divid l spaio ntr y , n 12 parts iguals.
Llna la siguint tabla y labora una gráfia on los datos d la tabla:
Frecuencia absoluta Frecuencia relativa orcentaje
BLOQUE 1
PROHIBIDA
SU VENTA
(10, 13) 5 5/92 5.4
(13, 16) 6 6/92 6.5
(16, 19) 13 13/92 14.1
(19, 22) 9 9/92 9.7
(22,25) 7 7/92 7.6
(25, 28) 7 7/92 7.6
(28, 31) 1 1/92 1.0
(31, 34) 5 5/92 5.4
(34, 37) 6 5/92 6.5
(40, 43) 11 11/92 11.9
(43, 44) 13 13/92 14.1
(44, 45) 9 9/92 9.7
(10, 17) 19 19/92 20.6 %
(17, 24) 14 14/92 15.2 %
(24, 31) 14 15/92 16.3 %
(31, 38) 11 11/92 11.9 %
(38, 45) 33 33/92 35.8 %
10 45
10 45
Para que el espacio entre 10 y 45 se
pueda dividir en partes iguales,
se tendrían que hacer intervalos
de 2.916 de diferencia entre datos,
lo cual NO es posible.
Por ello aproximamos para hacerlo
de 3 en 3.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 161/168
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Sobr las gráfias qu laborast, traza un polígono d frunias.
La siguint tabla ustra la inforaión rabada n un studio sobr l tipo
qu los plados d una fábria ddiaron a aprndr una tara d arpintría.
Distribución de recuencias
Intervalo
(en minutosPunto medio
Longitud
del intervalo
Frecuencia absoluta
(empleados)
Porcentaje
(empleados
[20, 25) .5 .
[25, 30 7.5 .
[30, 35 .5 .
[35, 40) 7.5 .
[40, 45 .5 .
[45, 50 . 4 7.
[50, 55) .5 .
[55, 60) . .
[60, 65 .5 .
Totales 360 100.0
Cada intrvalo abara un rango d tipo n l qu
s logró aprndr diha tara. Los paréntsis rtan-
gulars indian qu l valor adjunto s inluy y los
irulars indian qu s xluy.La inforaión d la tabla s rgistra n la gráfia d
la figura 4.
A st tipo d gráfias s ls dnoina histograma.
En la figura 4 s obsrva qu uy poos plados
aprndiron uy rápido, y tabién uy poos aprn-
diron uy lnto. La ayor part rquirió ntr 30 y 55
inutos para lograrlo y, d éstos, la ayoría logró aprn-
dr la tara ntr 40 y 45 inutos.
35
30
25
20
15
10
5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Tiempo (en minutos)
Porcentaje
de empleados
Tiempo de aprendizaje de la tarea
Figura 4
1
LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN
PROHIBIDA
SU VENTA
04
09
1
1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 126
0
07
08
01
02
03
05
06
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 162/168
Si n ada barra s idntifia l punto dio d ada intrvalo y s unn dihos
puntos on una lína rta s obtin lo qu s ono oo olígono de frecuen-
cias, l ual s ustra, on barras y sin llas, n las gráfias d la figura 5.
En la tabla, un dos intrvalos y labora la tabla d frunias.
ntervalos Punto medioLongitud del
intervalo
Frecuencia
absoluta
recuencia
relativa
60 65
35
30
25
20
15
10
5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Tiempo (en minutos)
P o r c e n t a j e
d e e m p l e a d o s
Tiempo de aprendizaje de la tarea
(polígono de frecuencias)
35
30
25
20
15
10
5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Tiempo (en minutos)
P o r c e n t a j e
d e e m p l e a d o s
Figura 5
Discute con tus compañeros os siguiente.
¿Hay di erencias entre un diagrama de barras y un histograma? Si las hay, ¿cuáles son?
¿Es necesario tener la gráfica de barras para dibujar el polígono de frecuencias corres-
pondiente?
Dado un polígono de recuencias, ¿será posible dibujar la grá ca con las barras?
Para curiosos
BLOQUE 1
PROHIBIDA
SU VENTA
[20, 30] 25.5 10 6 6/360
[30, 40] 35.5 10 126 126/360
[40, 50] 40.5 10 172 172/360
[50, 60] 50.5 10 54 54/360
[60, 70] 60.5 10 2 2/360
No. Basta tener los datos.
La diferencia es sólo la forma
gráfica pues presenta los mismos
datos
1o
2o
3o
4o
5o
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 163/168
Tabién labora l histograa orrspondint y l polígono d frunias para
la atividad qu propusist utilizando los datos d la tabla antrior.
Ahora vaos otro jplo. Dada la iportania qu tin la apaitaión para
jorar la produtividad n las prsas, irta fábria didió valuar las alifia-
ions obtnidas por l prsonal atutino (grupo A) y l vsprtino (grupo B) para
irto urso ipartido. El infor final d la valuaión inluyó las alifiaions
d los dos grupos qu ribiron apaitaión y una gráfia, las uals s ustran
a ontinuaión:
Califcaciones
Grupo Grupo B
2
4 7
7 1
4
1
2 2
1
2 4
4 4
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Calificaciones
Grupo A
Grupo B
Personal
evaluado
Calificaciones de capacitación
¿Cuál d los dos grupos s l ás stabl porqu tin nos variaions?
¿En uál d los grupos la gnt stá jor apaitada?
¿En qué grupo s ongloran ás las alifiaions bajas?
¿En uál las ás altas?
Figura 6
1
LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN
Las gráficas que se pueden
desarrollar con datos brutos
requieren de mucho esfuerzo para
sistematizar y ordenar los datos,
hasta conformar las clases y la
escala necesaria para realizar el
dibujo necesario. Por ello, es
adecuado partir de una tabla de
frecuencias para obtener
histogramas.
Los polígonos de frecuencias se
presentan como una alternativa
para obtener una representación
gráfica de datos que muestre el
comportamiento global de una
variable, sin recurrir a muchos
efectos visuales como se logra con
las barras.
PROHIBIDA
SU VENTA
1
0
35
P o r c e n t a j e d e e m p l e a d o s
5
15
Intervalos de tiempo
2 4 3 5
Grupo B.
Grupo B.
Grupo A.
Grupo B.
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 164/168
Se obtuvieron los siguientes resultados en un examen de matemáticas en una escuela (el puntaje
máximo era e 50 :
6, 7, 14, 31, 32, 30, 25, 17, 13, 25, 6, 8, 14, 30, 31, 26, 40, 17, 20, 45, 7, 15, 24, 26, 36, 41, 35, 17, 20, 39, 12,
24, 24, 38, 26, 43, 41, 17, 36, 17.
• Construye una tabla de recuencias, el histograma correspondiente y el polígono de recuencias,
para e o uti iza interva os e ongitu 5.
Se registraron los siguientes tiempos (en minutos) para completar un examen:
6.3 4.9 49.1 9. 5.2 30.3 37.8 46. 36. 46.
40. 1.0 52. . 47.6 36.3 3.1 48. 53.5 42.
8.4 . 9.8 2. 3.8 35. 37.8 45.3 . 43.8
9.4 51.0 3. . 1.9 33. 6.7 . 1.9 4.8
5. 38.0 45. 3. 6.2 0. 3.0 41. 2. .
8. . 45.3 3.5 40.3 44. 35.5 4.8 37.2 0.8
41. 7. 52. 34. 47.3 . . 3. 35.1 .
8. 3.5 3. 32. 41.3 40.4 5.0 . 7.2 .
4.4 2.7 7.7 31.5 52.3 38.4 35. 43. 4. 2.
1.3 . 40.1 38. 49.1 0. 3.5 42. 2. 9.
• Construye una tabla de recuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígo-
no de recuencias. Determina la longitud del intervalo.
• Construye una tabla de recuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polí-
gono de recuencias. Determina la longitud del intervalo.
Para cada uno de los siguientes polígonos de frecuencias reconstruye el histograma
correspondiente y la tabla de frecuencias relativas.
2
E N
E L AT E N E O
1
3
11
BLOQUE 1
Solamente analizando
diversas situaciones será
posible conocer elaprovechamiento de las
gráficas que se pueden
construir como
histogramas o polígonos
de frecuencia, pues cada
tipo de gráficas tienen
ventajas y limitaciones.
Esta actividad presenta
una situación en la cual
será necesario reconstruir
una tabla de la cual se
extrajo la gráfica original y
con esa información
poder construir otra
representación gráfica
como el histograma. En
general se construye elhistograma y luego el
polígono de frecuencias,
pero si se conocen las
relaciones entre estos dos
tipos de representaciones
gráficas se podrá pasar de
una a otra sin problemas.PROHIBIDA
SU VENTA
34
600
P o r c e n t a j e
5
10
15
120 240 300180
20
30
0
P o r c e n t a j e
5
10
15
25
34 4238 46 50
SOLUCIONARIO
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 165/168
Demuestro lo que sé y hago1 Para l siguint polígono d frunias rlativas
nuntra la tabla d frunias absolutas y rlati-
vas y l histograa orrspondint.
Utiliza l punto dio d ada intrvalo oo r-
prsntant d toda la las o intrvalo.
2 Elabora un polígono d frunias on los siguin-
ts datos:
33.9 41.7 31.9 33.9 46.7 55.4
45.6 43.4 36.2 50.7 43.0 41.2
45.3 53.5 40.3 44.9 35.5 34.8
52.5 34.3 47.3 41.7 51.5 53.9
33.2 32.8 41.3 40.4 45.0 44.1
3 S obtuviron los siguints datos sobr l tipo
(n inutos) para opltar un xan:
35.1 38.0 45.6 43.4 36.238.6 41.7 45.3 53.5 40.3
41.0 47.8 52.5 34.3 47.3
38.2 43.5 33.2 32.8 41.3
34.4 42.7 37.7 31.5 52.3
31.3 41.4 40.1 38.8 49.1
30.3 37.8 46.6 36.4 46.5
• Construy una tabla d frunias on trs in-
trvalos, l histograa orrspondint y l po-
lígono d frunias. Dtrina la longitud d
los intrvalos.
• Construy una tabla d frunias on ino in-trvalos, l histograa orrspondint y l po-
lígono d frunias. Dtrina la longitud d
los intrvalos.
4 La siguint grá a orrspond a dos grupos
valuados d aurdo on di rnts d taras.
• ¿Qué grupo tuvo jor dspño?
• ¿Qué grupo obtuvo las puntuaions ás altas?
• ¿Hubo algún onto n qu los grupos s
parjaron
30
25
20
15
10
5
0
30 34 38 42 46 50
Porcentaje
Puds onsultar algunas páginas d Intrnt para pro-
fundizar n lo qu hos studiado n sta lión.
• http://www.mty.itesm.mx/dia/profs/anavarro/
Cap6NAV.htm
• http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/
guia_estadistica/modulo_2.htm
Tabién puds onsultar los siguints libros.
• Carn Azárat y Jordi Dulofu
Funciones y gráficas
Síntsis, Madrid, 1990.
• Shll Cntr for Maths (d.)
El lenguaje de las funciones y gráficas
Univrsidad dl País Vaso y mec, Madrid, 1990.
Conéctate
100
80
60
40
20
0
1 2 4 6 8 103 5 7 9
Calificaciones
Grupo A
Grupo B
Trabajos manuales
LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN
Las actividades planteadas pueden ser
aprovechadas de diversas formas, como
evaluación parcial o de la lección, como
temas de discusión en clase o como
actividades para resolver en casa o como
base para que los estudiantes planteen
actividades similares.
En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden encontrar
datos para usar en clase, también será posible localizar software
gratuito para construir graficas y tabulaciones, lo cual ayuda a los
estudiantes a experimentar y hacer cambios libremente en losdatos originales.
PROHIBIDA
SU VENTA
Grupo A.
Grup
Sí, en 3 de calificación.
Histograma
SOLUCIONARIO
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 166/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 167/168
7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-2-recursos-didacticospdf 168/168
Matemáticas 2