matemÁticas 1º espa/espad -...

Departamento de Matemáticas

CEPA Plus Ultra

MATEMÁTICAS 1º ESPA / ESPAD

ÍNDICE

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES ...................................................................................................................... 4

1. NÚMEROS NATURALES .............................................................................................................................. 4

1.1.- Comparar y aproximar....................................................................................................................... 5

2. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES ............................................................................................. 6

3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO .............................................................................................. 13

3.1.- Múltiplos de un número .................................................................................................................. 13

3.2.- Divisores de un número .................................................................................................................. 13

3.3.- Números primos y números compuestos ....................................................................................... 14

3.4.- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor ......................................................................... 14

TEMA 2: NÚMEROS ENTEROS ......................................................................................................................... 16

1. NÚMEROS ENTEROS ................................................................................................................................ 16

2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ................................................................................................ 17

TEMA 3: NÚMEROS DECIMALES ..................................................................................................................... 21

1. NÚMEROS DECIMALES ............................................................................................................................ 21

1.1.- Tipos de números decimales ........................................................................................................... 22

2. REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES ............................................................... 22

3. APROXIMACIONES: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO ............................................................................... 23

4. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES ............................................................................................ 24

TEMA 4: FRACCIONES ..................................................................................................................................... 27

1. EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES ...................................................................................................... 27

2. FRACCIONES EQUIVALENTES ................................................................................................................... 30

3. ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................... 33

4. OPERACIONES CON FRACCIONES ............................................................................................................ 33

5. PROBLEMAS CON FRACCIONES ............................................................................................................... 36

TEMA 5: SISTEMAS DE MEDIDA...................................................................................................................... 37

1. MAGNITUDES Y MEDIDAS ....................................................................................................................... 37

2. UNIDADES DE LONGITUD: EL METRO ...................................................................................................... 38

3. UNIDADES DE MASA: EL GRAMO ............................................................................................................ 40

4. UNIDADES DE SUPERFICIE: EL METRO CUADRADO ................................................................................. 41

5. UNIDADES DE VOLUMEN: EL METRO CÚBICO ......................................................................................... 42

5. UNIDADES DE CAPACIDAD: EL LITRO ....................................................................................................... 43

6. UNIDADES DE TIEMPO: EL SEGUNDO ...................................................................................................... 45

6.1 Operaciones con unidades de tiempo ............................................................................................... 46

TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA .......................................................................................................................... 49

1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA .......................................................................................................... 49

2. PUNTOS Y RECTAS ................................................................................................................................... 50

3. ÁNGULOS ................................................................................................................................................. 50

3.1. Clasificación de ángulos .................................................................................................................... 51

3.2. Relación entre ángulos ..................................................................................................................... 51

3.4. Medida de ángulos. .......................................................................................................................... 52

4. POLÍGONOS ............................................................................................................................................. 52

4.1. Clasificación de los polígonos ........................................................................................................... 53

5. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS ............................................................................................................. 54

5.1. Clasificación de los triángulos ........................................................................................................... 54

5.2. Clasificación de los cuadriláteros ..................................................................................................... 55

6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO ................................................................................................................... 55

7. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS .................................................................................................... 56

8. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES .................................................................................... 58

8.1. El número Pi ...................................................................................................................................... 58

9. PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS ........................................................ 60

1º ESPA. Departamento de Matemáticas Pág. 4 CEPA Plus Ultra. Logroño

TEMA 1: NÚMEROS NATURALES

1. NÚMEROS NATURALES

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos

pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. Desde la prehistoria hasta nuestros días,

egipcios, babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes, mayas… han manejado sistemas

muy diversos, con similitudes y diferencias. Los sistemas de numeración sirven para escribir

números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos.

Piensa en el sistema de numeración romano (que ya conoces) e imagina cómo se las apañarían

para efectuar sumas.

Por ejemplo MCCCXLVI + DCCCXXXIV.

Seguramente los agruparían en unidades, decenas,

centenas,...

No parece fácil. Pues imaginemos lo complicado que tendría que ser multiplicar.

Nosotros usamos el sistema de numeración decimal, que nació en la India en el siglo VII y

llegó a Europa por medio de los árabes. Como sabes, utiliza solo diez símbolos o cifras: 0 1 2 3

4 5 6 7 8 9, cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los diferentes órdenes o

categorías de unidades.

En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediato superior. Así, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional.

1 decena = 1 D = 10 unidades = 10 U

1 centena = 1 C = 10 decenas = 10 D = 100 unidades

1 millar = 1 M = 10 centenas = 10 C = 1 000 unidades

1 decena de millar = 1 DM = 10 millares = 10 M = 10 000 unidades

Ejemplo: El número 5 217 podemos descomponerlo de la siguiente manera:

5 217 = 5 000 + 200 + 10 + 7 = 5·1000 + 2·100 + 1·10 + 7 = 5 UM + 2 C + 1 D + 7 U

Con este sistema de numeración formamos el conjunto de los números naturales

que nos sirven para contar, identificar, ordenar, medir,…

= {1, 2, 3, 4, 5,………., 101, 102,……., 999, 1 000, …}


Los números naturales se pueden representar sobre una semirrecta. Para ello, se sitúa el 0 sobre el origen de la semirrecta y se escoge la longitud de la unidad, que se lleva hacia la derecha tantas veces como indique el número que se quiere representar: 1.1.- Comparar y aproximar Comparar El conjunto de los números naturales está totalmente ordenado, dados dos números naturales distintos siempre podemos determinar si uno es mayor (o menor) que otro. Para ordenar los números utilizaremos los símbolos “<: menor que”, “>: mayor que” y “=: igual que” Ejemplo: 257 es menor que 1 340: 257 < 1 340

1 340 es mayor que 257: 1 340 > 257

Aproximar Para manejar ciertos datos, como distancias, número de habitantes de un país, tamaño de un planeta,… es frecuente realizar aproximaciones del número que expresa esos datos. Estas aproximaciones se pueden hacer de dos maneras, mediante truncamiento o mediante redondeo.

Para truncar un número natural en una de sus cifras, se sustituyen por ceros todas las cifras de orden inferior, esto es las situadas a la derecha de la deseada.

Para redondear un número natural a una de sus cifras, se sustituyen por ceros las cifras de orden inferior, y la cifra redondeada:

Se deja igual si la inmediatamente siguiente es menor que 5

Se aumenta una unidad si la inmediatamente siguiente es mayor o igual que 5 Ejemplo: Dado el número 145 693 294

Truncamiento a centenas → 145 693 200

Redondeo a centenas → 145 693 300

Truncamiento a decenas de millar → 145 690 000

Redondeo a decenas de millar → 145 690 000

Redondeo a unidades de millón → 146 000 000


2. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

2.1.- Suma

Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir. Las cantidades que se suman reciben el

nombre de sumandos.

Recordamos con este ejemplo como se suman varios números

4 397 Se colocan los números en columnas de forma

que coincidan las unidades con las unidades, las

decenas con las decenas,…

6 253

+ 589

10

Empezamos sumando las unidades, 7 + 3 + 9 = 19, o sea, decena y 9 unidades. Se escribe el 9 en la cifra de las unidades y “nos llevamos 1” a las decenas.

4 397

6 253

+ 589

9

2 10

Continuamos sumando la cifra de las decenas, 1 + 9 + 5 + 8 = 23. Se escribe 3 debajo de las decenas y 2 encima de las centenas.

4 397

6 253

+ 589

39

1 2 10

Ahora sumamos las centenas, 2 + 3 + 2 +5 = 12. Escribimos 2 debajo de las centenas y 1 encima de la unidad de millar.

4 397

6 253

+ 589

239

1 2 10

Por último, sumamos las cifras de unidades de millar, 1 + 4+ 6 = 11, y como no hay más cifrase escribimos 11 y ya hemos terminado

4 397

6 253

+ 589

11 239


Propiedades de la suma:

Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a

74471174

1147

Propiedad asociativa. Si se suman tres o más sumandos, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a + b) + c = a + (b + c)

543543

1293543

1257543

Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 0. a + 0 = a

7 + 0 = 7 15 + 0 = 15

2.2.- Resta

¿En qué situaciones de la vida diaria se utiliza la resta?, por ejemplo, si tienes en el banco 948 euros y te cobran una factura de 325 euros, ¿cuánto te queda?

Restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia. La cantidad inicial, que debe ser mayor, se llama minuendo, y la cantidad sustraída, sustraendo, el resultado de la resta es la diferencia. La resta es la operación opuesta a la suma.

Recuerda con este ejemplo como se restan dos números:

8 4 5 7 Se colocan los números en columnas de forma que coincidan las

unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc. - 6 2 9 3

8 4 5 7 Empezamos restando las unidades 7 – 3 = 4. Se escribe 4 debajo de

las unidades. - 6 2 9 3

4

8 315 7 Continuamos con las decenas pero no se puede restar 9 de 5, cogemos una centena que son 10 decenas, y la añadimos a las decenas, ahora hay 15, menos 9 quedan 6. (En la práctica: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1)

- 6 2 9 3

6 4

8 3 5 7 Ahora las centenas, me quedan 4 centenas y al quitar 3, queda una.

(En la práctica en lugar de quitar una centena al 4 se la añadimos al 2 y

hacemos 2 más 1 que me llevo, 3, de 3 a 4 va 1.Escribo 1)

- 6 2 9 3

1 6 4

8 4 5 7 Por último las unidades de millar, 8 – 6 = 2

(En la práctica: de 6 a 8 van 2. Escribo 2) - 6 2 9 3

2 1 6 4


La resta no cumple las propiedades conmutativa, ni asociativa. Los paréntesis nos indican que operación hay que hacer primero.

2.3.- Multiplicación

Imagina que vas a pagar 5 entradas para el cine y cada entrada cuesta 7 euros, para calcular el precio total puedes sumar 5 veces los 7 euros, 7+7+7+7+7 = 35 o bien multiplicar 5 · 7 = 35.

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales. Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto. Para indicar la multiplicación se emplea el símbolo "×", o bien un punto "·", situado entre los dos factores, se lee "por". Aquí emplearemos más a menudo el punto.

Recuerda con este ejemplo como se multiplican dos números:

2 5 7 8 3

Primero se multiplica 25 783 · 6 = 154 698 unidades. Luego se multiplica 25 783 · 4 = 103 132 decenas y se coloca el resultado debajo de las decenas. Después 25 783 · 3 = 77 349 centenas, el resultado irá debajo de las centenas. Por último se suman los tres productos obtenidos.

x 3 4 6

1 5 4 6 9 8 1 0 3 1 3 2

7 7 3 4 9

8 9 2 0 9 1 8

Multiplicar por la unidad seguida de ceros: para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros se le añaden a dicho número tantos ceros como siguen a la unidad.

5 · 100 = 500 26 · 10 000 = 260 000

Propiedades de la multiplicación:

Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto: a · b = b · a

35531535

1553

Propiedad asociativa. Si se multiplican tres o más factores, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a · b) · c = a · (b · c)

35235230152352

30310352

Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 1. a · 1 = a

7 · 1 = 7 15 · 1 = 15

Propiedad distributiva. El producto de un número por una suma o por una resta, es igual a la suma, o la resta, de los productos del número por cada uno de los sumandos:

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b - c) = a · b – a · c

5323523211565323

2173523


12421426281242

632142

Sacar factor común: Sacamos factor común cuando aplicamos la propiedad distributiva en el sentido inverso. Es decir, la suma o la resta de productos que tienen un factor común es igual al producto de este factor por la suma o la resta de los otros factores

a · b + a · c = a · (b + c) a · b - a · c = a · (b - c)

Al sacar factor común, dentro de los paréntesis habrá tantos términos como había en la operación inicial. Si uno de los términos coincide con el factor común, podemos considerar que está multiplicado por 1 (aprovechando la propiedad del elemento neutro).

32434242054324

201283424

2.4.- División

Recuerda que dividir es repartir en partes iguales. La cifra que se debe dividir es el dividendo; el número de partes en que se divide, el divisor, y el resultado de hacer la operación, el cociente, la parte no repartida es el resto. Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto:

División exacta: el resto es cero

Dividendo divisor → En la división exacta se cumple: D = d · c 0 cociente

División entera: el resto es distinto de cero Dividendo divisor → En la división entera se cumple: D = d · c + r

Resto cociente

Recuerda con este ejemplo como se dividen dos números:

4 8 0 5 52 9

Se divide 480 entre 52 obteniendo 9 de cociente. (En la práctica: el divisor tiene dos cifras, tomamos las dos primeras del dividendo, pero como 48 no se puede dividir entre 52, se toma una cifra más 480 : 52 que aproximadamente es 9)

4 8 0 5 52 Se multiplica 9 · 52 = 468 y este resultado se resta de 480, 480 – 468 = 12 (En la práctica: se hace esta operación directamente 9 · 2 = 18, a 20 van , y llevamos 2, 9 · 5 = 45 más las 2 que llevamos 47, al 48 va 1)

1 2 9

4 8 0 5 52 Se baja el 5, y se repiten los pasos anteriores, 125 : 52 es aproximadamente 2. 52 · 2 = 104, 125 – 104 =21. El cociente de la división es 92 y el resto 21

1 2 5 92 2 1


2.5.- Potencia

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. El factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente. Baseexponente

3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 se lee “3 elevado a la quinta” o “3 elevado a 5”

Base Exponente

Ejemplos: a) 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256 b) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

c) 6 · 6 · 6 = 63 = 216 d) 15 · 15 = 152 = 225

El cuadrado de un número es la potencia de exponente 2. El cuadrado de 5 es: 52 = 5 · 5 = 25

El cubo de un número es la potencia de exponente 3. El cubo de 5 es: 53 = 5 · 5 · 5 = 125

Potencias de base 10. Aplicaciones

Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un 0. Teniendo en cuenta esto el cálculo de las potencias de 10 resulta muy sencillo y has de procurar hacerlo mentalmente.

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente:

107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000

Recuerda que al principio de la unidad viste cómo se puede descomponer un número según el valor de posición de sus cifras, y observa cómo escribirlo utilizando las potencias de 10.

23 478 = 20 000 + 3 000 + 400 + 70 + 8 = 2 · 10 000 + 3 · 1 000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 8 =

= 2 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 7 · 10 + 8

Esta descomposición de un número en la que cada orden de unidades está representado por una potencia de 10, se llama descomposición polinómica

Los números con muchos ceros los podemos escribir utilizando las potencias de 10, por ejemplo, 100 000 000 000 000 = 1014. Esto nos permite escribir números muy grandes de una forma abreviada, como se indica en el siguiente ejemplo:

Un año luz equivale, aproximadamente, a 9 500 000 000 000 kilómetros

9 500 000 000 000 = 95 · 100 000 000 000 = 95 · 1011 Descomposición en un Transformación de la unidad producto por la unidad seguida de ceros seguida de ceros en potencia de base 10

En los cursos siguientes veremos cómo utilizar las potencias de base diez para escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica.


Propiedades de las potencias:

Ejemplo

1.- Cualquier número puede escribirse en forma de potencia de exponente 1 …. a1 = a 51 = 5

2.- Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a 1……………..……

a0 = 1

30 = 1

3.- El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes………………….……

am · an = am+n

32 · 34 = 34+2 = 36

4.- El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base y el exponente es la resta de los exponentes……………….………

am :an = am-n

75 : 73 = 75-3 = 72

5.- Una potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base y el exponente es el producto de los exponentes ………………….………………..

(am)n = am·n

(62)3 = 62·3 = 66

6.- La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores………………………………………………….…………………….............

(a · b)n = an · bn

(2 · 3)2 = 22 · 32

7.- La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor………………………………………………………...

(a : b)n = an : bn

(15 : 3)3 = 153 : 33

Ejemplo: a) 23 · 22 · 2 = 23+2+1 = 26 = 64 b) 55 : 52 = 53 = 125

c) 93 : 93 = 93-3 = 90 = 1 d) (32)3 = 32·3 = 36 = 729

e) 74 : 73· 72 = 74-3+2 = 73 = 343 f) 152 : 32 = (15 : 3)2 = 52 = 25

2.6.- La jerarquía de las operaciones

A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente:

1.-Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes.

2.- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes

3.-Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.


4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial.

Ejemplo: a) 5 + 2 · 3 = 5 + 6 = 11

b) (5 + 2) · 3 = 7 · 3 = 21

c)


3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

3.1.- Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural. Por ejemplo, 15 es múltiplo de 3, pues 15 = 3 · 5 Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica ese número por los números naturales.

Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos.

3.2.- Divisores de un número Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta. Por ejemplo, 3 es divisor de 15, pues la división 15 : 3 = 5 es exacta; 5 es divisor de 30, pues la división 30 : 5 = 6 es exacta. Para obtener todos los divisores de un número, buscamos las divisiones exactas.

Todo número es divisor de sí mismo, y 1 es divisor de todos los números.

Los divisores de un número son finitos.

3.2.1.- Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para decidir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Estos son los criterios más utilizados:

Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por 2 si termina en cifra par o 0.


Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.


Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.


Un número es divisible entre 11 cuando la suma de las cifras que ocupan la posición par menos la suma de las cifras que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11.

Ejemplo: Comprobamos que el número 80 729 es divisible por 11:

- Suma de las cifras de lugar par: 0 + 2 = 2

- Suma de las cifras de lugar impar: 8 + 7 + 9 = 24

- Diferencia de las sumas: 24 – 2 = 22, que es múltiplo de 11


3.3.- Números primos y números compuestos

Un número natural es primo cuando tiene únicamente dos divisores, el 1 y él mismo. Hay infinitos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…

Un número natural es compuesto si tiene tres o más divisores: el 1, él mismo y algún otro. Así, 4, 6, 9, 14,…son números compuestos porque tienen más divisores aparte del mismo número y el 1.

El 1 no se considera número primo, ni tampoco un número compuesto, porque solo tiene un divisor. Por tanto, el número primo menor es el 2.

3.3.1.- Descomposición en factores primos

Un número compuesto se puede expresar como un producto de diferentes factores. De todas las descomposiciones posibles, hay una en la que todos los factores son números primos, la llamada descomposición en factores primos. De hecho, cualquier número se puede expresar como un producto de números primos. Para ello, hay que recordar los criterios de divisibilidad y seguir este método: Se dibuja una raya vertical y, a continuación, a la izquierda se sitúa el número que se quiere descomponer en factores primos y a la derecha el factor primo menor que es divisor de este número. En la fila siguiente se escribe, en la columna de la izquierda, el cociente de la división entre el número y el factor primo, y en la columna de la derecha, el factor primo menor que es divisor de este cociente que tiene a la izquierda, y así sucesivamente:

60 2 30 2 15 3 60 = 22 · 3 · 5 5 5 1

3.4.- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

3.4.1. El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar los primeros múltiplos de cada uno de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el menor. Pero este método para obtener el m. c. m. no siempre es práctico, ya que puede resultar un número muy alto. Por ello conviene disponer de algún método más efectivo.

Método para obtener el m. c. m.

1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.

2. Tomar los factores, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

3. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. m. buscado.


Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de 12, 18 y 24

12 2 18 2 24 2

6 2 9 3 12 2

3 3 3 3 6 2

1 12 = 22 · 3 1 18 = 2 ·32 3 3

1 24 = 23 · 3

m. c. m.(12, 18, 24) = 23 · 32 = 72

3.4.2. El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor divisor

que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar todos los divisores de cada uno

de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el mayor. Ahora bien, aunque el número

de divisores de un número sea finito, no siempre es práctico encontrarlos todos, especialmente

cuando el número es alto y tiene muchos divisores, ya que podríamos dejarnos alguno. Por ello es

necesario disponer de algún método más práctico para obtener el máximo común divisor.

Método para obtener el m. c. d.

1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.

2. Tomar los factores comunes a todos los números elevados al menor exponente.

3. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. d. buscado.

Ejemplo: Halla el máximo común divisor de 12, 18 y 24

12 2 18 2 24 2

6 2 9 3 12 2

3 3 3 3 6 2

1 12 = 22 · 3 1 18 = 2 ·32 3 3

1 24 = 23 · 3

m. c. d. (12, 18, 24) = 2 · 3 = 6

Cuando el máximo común divisor de dos o más números es la unidad, dichos números son

primos entre sí.

Ejemplo: ¿Son primos entre sí los números 84 y 55?

Para saber si los números son primos entre sí, calculamos su máximo común divisor

84 2 55 5

m. c. d. (84 , 55) = 1 → 84 y 55 son números primos entre sí porque su máximo común divisor es 1.

42 2 11 11

21 3 1 55 = 5· 11

7 7

1 84 = 22 · 3 · 7


TEMA 2: NÚMEROS ENTEROS

1. NÚMEROS ENTEROS

Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud de situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los números negativos. Por ejemplo:

Estamos a 8 grados centígrados + 8 Nº natural

Estamos a 8 grados bajo cero – 8 Nº negativo

Julián gana 20 euros + 20 Nº natural

Julián gasta 20 euros – 20 Nº negativo

Aparcamos en el segundo sótano – 2 Nº negativo

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros, que se representa con la letra El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y los que están por debajo del cero, que llamamos negativos y se escriben precedidos del signo menos y el cero. Al escribir los números enteros positivos no se suele escribir el signo + delante del número.

= {…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Igual que los números naturales, los números enteros se pueden representar sobre una recta. Para ello, se sitúa el 0 en un punto de la recta y se escoge la longitud de la unidad. Del 0 hacia la derecha se sitúan los números enteros positivos, y del 0 hacia la izquierda los enteros negativos.

Valor absoluto de un número entero: El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numérica. Se expresa escribiendo el número entre barras: El valor absoluto de – 7 es 7: |– 7| = 7

El valor absoluto de 15 es 15: |15| = 15


Opuesto de un número entero: El opuesto de un número entero es otro número entero con el

mismo valor absoluto y distinto signo.

El opuesto del número 6 es – 6: op(6) = – 6

El opuesto del número – 15 es 15: op(– 15) = 15

Comparación de números enteros:

Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +20 > +8.

Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que cualquier negativo. Por ejemplo: + 8 > 0 > – 8.

Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por ejemplo: – 8 > – 20.

2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

2.1.- Suma

Para sumar dos números enteros con el mismo signo, sumamos sus valores absolutos

y se pone el signo que tenían los sumandos:

(+ 5) + (+ 12) = + 17 = 17 (– 4) + (– 7) = – 11

Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto: (– 6) + (+ 8) = + 2 = 2 (+ 12) + (– 20) = – 8

Para sumar más de dos números enteros podemos:

Sumarlos de dos en dos sucesivamente: (– 5) + 3 + (– 6) + 7 = (– 2) + (– 6) + 7 = (– 8) + 7 = – 1

Sumar por separado los positivos y los negativos: (– 5) + 3 + (– 6) + 7 = (– 5) + (– 6) + 3 + 7 = (– 11) + 10 = – 1

Ejemplo: Un ascensor que está parado en el portal lo llaman del segundo sótano y luego sube cinco plantas. ¿En qué piso se para el ascensor? (– 2) + (+ 5) = + 3 El ascensor se para en el tercer piso


2.2.- Resta

Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Se pueden dar cuatro casos:

La resta de dos números enteros positivos pasa a ser la suma de un número positivo y otro negativo: (+ 12) – (+ 9) = (+ 12) + (– 9) = 12 – 9 = 3

La resta de un número positivo menos un número negativo se pasa a ser la suma de dos números positivos: (+ 6) – (– 5) = (+ 6) + (+ 5) = 6 + 5 = 11

La resta de un número negativo menos un número positivo pasa a ser la suma de dos números negativos: (– 4) – (+ 6) = (– 4) + (– 6) = – 4 – 6 = – 10

La resta de dos números negativos se transforma en la suma de un número negativo más un número positivo: (– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 8 + 5 = – 3

La operaciones con números enteros parecen complicadas por el uso de los

paréntesis, podemos simplificar la notación teniendo en cuenta que el signo menos

delante de un paréntesis cambia los signos de los términos que hay dentro, y el

signo más deja el mismo signo; como se indica en el cuadro de la derecha.

Ejemplo: A las 3 de la madrugada el termómetro de una localidad marcaba – 3º C y a las 10 de la mañana marcaba 7º C, ¿cuántos grados ha subido la temperatura? 7 – (– 3) = 7 + 3 = 10 La temperatura ha subido 10º C


Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo “+” si los dos números tienen el mismo signo, y el signo “–“ si tienen distinto signo. (– 7) · ( + 3) = – 21 (– 12) · (– 4) = + 48 = 48 (+ 12) · (– 2) = – 24 Para obtener el signo del producto de dos números enteros se utiliza la regla de los signos:

+ · + = + + · – = – – · + = – – · – = +

– (– a) = a

+ (– a) = – a

+ (+ a) = a

– (+ a) = – a


Ejemplo: El grifo de una bañera está estropeado y pierde 2 litros de agua cada día, ¿qué cantidad de agua habrá perdido en una semana? (– 2) · 7 = – 14 En una semana habrá perdido 14 litros

2.4.- División

Para calcular la división de dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos, y al resultado se le añade el signo “+” si los dos números tienen el mismo signo, y el signo “–“ si tienen distinto signo. (– 42) : (+ 7) = – 6 (– 12) : (– 3) = + 4 = 4 (+ 15): (– 3) = – 5 Al igual que en el producto, se emplea la regla de los signos para calcular el signo del cociente:

+ : + = + + : – = – – : + = – – : – = +

2.5.- Potencias de base entera

Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales, 43 = 4 · 4· 4 = 64 Si la base de la potencia es un número negativo se obtienen, alternativamente, resultados positivos y negativos: (– 3)2 = (– 3) · (– 3) = + 9 (– 3)3 = (– 3) · (– 3) · (– 3) = – 27 (– 3)4 = (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = + 81 En general, al elevar un número negativo a una potencia:

Si el exponente es par, el resultado es positivo: (– a )par → positivo

Si el exponente es impar, el resultado es negativo: (– a )impar → negativo

2.6.- Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero. Calcular la raíz cuadrada de un número es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado:

a)b(ba 2

b a igual es a de

cuadrada raíz la :lee Se

Por la regla de los signos, un número positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas entre sí, y un número negativo no tiene raíz cuadrada, porque ningún número entero elevado al cuadrado es negativo.

¡Cuidado! Cuando las potencias tienen base negativa, el uso del paréntesis cambia el resultado:

– 52 = – 5·5 = – 25

(– 5)2 = (– 5) · (– 5) = 25


Raíces cuadradas exactas: Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, son cuadrados perfectos 36, 100 ó 400.

40020y4002020400

10010y1001010100366y366636

22

2222

Ejemplo: a) 11121 b) 981 c) 14196

2.7.- Operaciones combinadas A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente:

1.- Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes.

2.- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes

3.- Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.

4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial.

Ejemplo:

Ejemplos: a) (12 – 2) : ( 1 – 6 ) = 10 : (-5) = -2

b) – 2 + (– 5 – 12 : 3 ) · (– 3 + 4 : 2 ) = -2 + (-9) (-1) = 7

c) 18 + [ 13 + 4 – ( 5 – 7 ) + 6 ] = 18 + [13 + 4 – (–2) + 6] = 43


TEMA 3: NÚMEROS DECIMALES

1. NÚMEROS DECIMALES

Para expresar cantidades comprendidas entre dos números enteros utilizamos los números decimales. Los números decimales se componen de dos partes separadas por una coma; las cifras de la izquierda de la coma corresponden a la parte entera del número, mientras que las cifras a la derecha de la coma son la parte decimal. La parte decimal de un número representa una cantidad menor que la unidad y sus órdenes de unidades tienen la misma estructura que la parte entera, una unidad de cualquier orden se divide en diez unidades del orden inmediato inferior: Al dividir la unidad en diez partes iguales, cada parte es una décima. 0’1 → 1 décima

Al dividir la décima en diez partes iguales, cada parte es una centésima. 0’01 → 1 centésima

Al dividir la centésima en diez partes iguales, cada parte es una milésima. 0’001 → 1 milésima Al dividir la milésima en diez partes iguales, cada parte es una diezmilésima. 0’0001 → 1 diezmilésima …………………………………………………………………………………………………………………. Para leer un número decimal:

– Se nombra la parte entera expresada en unidades.

– Se nombra la parte decimal expresada en el orden de unidades de la cifra decimal que queda más a la derecha.

26’375 → Veintiséis unidades y trescientas setenta y cinco milésimas


1.1.- Tipos de números decimales

Los números decimales pueden ser:

Exactos. Su parte decimal tiene un número limitado de cifras. 45’7863

Periódicos. Su parte decimal tiene un número ilimitado de cifras que se repiten, llamadas periodo. Pueden ser:

- Periódicos puros. Toda su parte decimal es periódica. 31’2828282828… = 2831'

- Periódicos mixtos. Hay cifras que no se repiten delante del periodo llamadas

anteperiodo.7’8955555…… = 57'89

Todos estos números forman el conjunto de los números racionales:

No periódicos. Su parte decimal tiene un número ilimitado de cifras que no se repiten, sin

periodo. Por ejemplo: 1,121221222…, π = 3,1415…, .1'414213..2

Los números decimales no periódicos forman el conjunto de los números irracionales,

2. REPRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

2.1.- Representación de números decimales Cualquier número decimal estará situado entre dos números enteros. El procedimiento para representar sobre la recta un número decimal es el siguiente:

1. Localizamos sobre la recta los dos números enteros entre los que se encuentra el número decimal que queremos representar.

2. Dividimos el segmento determinado por estos números en 10 partes iguales para representar las décimas. Si el número decimal tiene centésimas, localizamos las décimas entre las que se encuentra.

3. Dividimos, de nuevo, el segmento anterior en 10 partes iguales para representar las centésimas. Si nuestro número tiene milésimas, tendremos que repetir el proceso.

Ejemplo: Representa el número 3’86


2.2.- Orden en los números decimales

Los números decimales quedan ordenados en la recta numérica, pero también se pueden

comparar sin acudir a la representación en la recta, observando las cifras y el lugar que ocupan. El

procedimiento para ordenar números decimales es el siguiente:

- En primer lugar nos fijamos en la parte entera, es mayor el número que tiene mayor parte

entera.

- Si tienen las partes enteras iguales, nos fijamos en las cifras decimales. Si las cifras del

mismo orden son iguales continuamos comparando. Si son distintas es mayor el número

cuya cifra es mayor.

Ejemplo: De los números 21’646 y 21’63745, ¿cuál es mayor?

Los dos números tienen la misma parte entera, comparamos las cifras decimales:

La cifra de las décimas coincide:

La cifra de las centésimas es mayor en

Por lo tanto, 21’ 646 > 21’63745

3. APROXIMACIONES: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO

A veces, cuando operamos con números decimales, nos encontramos con un resultado

con muchas cifras decimales. Es posible que no necesitemos tantas cifras decimales, o que

incluso no tengan sentido. En estos casos, realizaremos una aproximación por truncamiento o por

redondeo.

Truncamiento

Para truncar un número hasta un orden pedido, se escriben iguales hasta la cifra pedida, y

el resto de las cifras decimales se suprimen.

Ejemplo: El truncamiento a centésimas del número 138’7645 es 138’76

Redondeo

Para redondear un número a un determinado orden:

1º Se suprimen todas las cifras decimales a la derecha de dicho orden.

2º Si la primera cifra siguiente al orden pedido es cinco o mayor que cinco, se suma uno a

la cifra del orden pedido; si es menor que cinco la dejamos igual.

Ejemplo: Dado el número 138’7654, escribe:

a) Redondeo a centésimas: 138’77

b) Redondeo a milésimas: 138’765


4. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

4.1.- Suma y resta

Las reglas para sumar o restar números con decimales son las mismas que se utilizan para

los números enteros.

1º Escribimos uno debajo del otro, de modo que coincidan las cifras del mismo orden de

unidad y la coma decimal.

2º Sumamos o restamos como si fueran enteros.

3º En el resultado colocamos la coma debajo de las comas

Ejemplo: Calcula:

a) 134’56 + 23’175 b) 234’78 – 104’9

Ejemplo: Si compramos un artículo cuyo precio es 1548,16 € y para pagarlo entregamos 1566 €, ¿cuánto nos devolverán?

1566 - 1548,16 = 17,84 € Nos devolverán 17,84 €


Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por uno entero:

1º Se multiplican los números como si fueran enteros.

2º Se coloca la coma en el producto, dejando tantas cifras decimales como la suma de

cifras decimales que tienen los dos factores.

Ejemplo: Calcula 12’85 · 3’5

1 3 4’ 5 6 2 3 4’ 7 8

+ 2 3’ 1 7 5 – 1 0 4’ 9

1 5 7’ 7 3 5 1 2 9’ 8 8

1 2’ 8 5 ← 2 cifras decimales

x 3’ 5 ← 1 cifra decimal

6 4 2 5 3 8 5 5

4 4’ 9 7 5 ← 2 + 1 = 3 cifras

decimales


Multiplicación por la unidad seguida de ceros

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000, …, no es necesario seguir el

procedimiento habitual, es mucho más fácil y rápido: desplazamos la coma hacia la derecha

tantos lugares como ceros sigan a la unidad, y si se agotan los decimales se añaden ceros.

Ejemplo: a) 87’95 · 10 = 879’5 b) 154’15 · 1 000 = 154 150

Multiplicación por 0’1, 0’01, 0’001, …

Para multiplicar un número por 0’1, 0’01, 0’001,…, desplazamos la coma hacia la izquierda

tantos lugares como decimales tengamos (uno, dos, tres, …)

Ejemplo: a) 23’76 · 0’1 = 2’376 b) 154’15 · 0’0001 = 0’015415

4.4.- División

División de un número decimal entre un entero

Para dividir un número decimal entre un número entero, se hace la división como si fueran

enteros, pero al bajar la cifra de las décimas se pone coma en el cociente.

Ejemplo: 8’55 : 3

División entre un número decimal

Cuando el divisor es un número decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000 …, de modo que el divisor se transforme en un número entero. Luego se efectúa la división entre un número entero.

Ejemplo: 14’58 : 1’2 ·10

145’8 : 12

División entre la unidad seguida de ceros

Para dividir por la unidad seguida de ceros desplazamos la coma del dividendo hacia la

izquierda tantos lugares como ceros sigan a la unidad.

Ejemplo: a) 34’65 : 10 = 3’465 b) 8’65 : 100 = 0’0865

8’ 5 5 3

2 5 2’ 8 5 1 5

0

1 4 5’ 8 1 2

2 5 1 2’ 1 5 1 8

6 0

0


División entre 0’1, 0’01, 0’001, …

Para dividir entre 0’1, 0’01, 0’001,…, desplazamos la coma hacia la derecha uno, dos, tres,

… lugares

Ejemplo: a) 34’65 : 0’1 = 346’5 b) 8’65 : 0’001 = 8 650

Ejemplo: Por una bolsa de plátanos que pesa 2’5 kg se han pagado 3’5 €, ¿a cómo está el kilo de

plátanos?

3’5 : 2’5 35 : 25 = 1’4 · 10 El kilo de plátanos cuesta 1’4 €

Ejemplo: Un cable mide 8,1 m y su precio es de 10,53€. ¿Cuánto vale 1 m de cable? 10,53 : 8,1 = 1,3 € El metro de cable costará 1’3 €

3 5 25

1 0 0 1’ 4 0


TEMA 4: FRACCIONES

Hasta ahora has trabajado con números naturales, enteros y decimales, pero sigue

habiendo situaciones que no podemos expresar con estos números, por ejemplo, cuando

decimos: “Medio litro de agua”, “Tres cuartos de kilo de carne”, “Un cuarto de hora”… Para poder

expresar estas cantidades necesitamos las fracciones.

1. EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES

Una fracción es una expresión de la forma b

a, en la que a y b son números enteros,

con b 0. En dicha expresión llamaremos: rdenominado

numerador

b

a

Para nombrar una fracción se lee primero el numerador y luego el denominador de la siguiente forma:

El numerador se lee con el nombre del número.

El denominador se lee así:

Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno, respectivamente.

Si es 10, se lee décimos, y si es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación - avo.

Ejemplo:

Fracción Numerador Denominador Lectura

3

1 1 3 Un tercio

5

2 2 5 Dos quintos

15

7 7 15 Siete quinceavos

10

3 3 10 Tres décimos

2

5 5 2 Cinco medios

Ejemplo: Merche está pintando una puerta formada por 5 tablones iguales. Ya ha pintado 2

tablones. ¿Qué fracción representa la parte de la puerta pintada?

5

2


Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como

una división.

1.1.- La fracción como parte de la unidad

Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman.

En la fracción b

asus términos representan

Ejemplo:

En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que

representa las partes coloreadas es 12

5.

Ejemplo:

Pinta los16

9 de este triángulo.

Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura.

Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños.

La parte coloreada representa los 16

9 de

1.2.- La fracción como cociente

La fracción b

a, expresa el cociente de dos números enteros a y b (a : b). Calculamos su

valor dividiendo el numerador entre el denominador.

Ejemplo: Tenemos 28 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. ¿Cuántas gominolas le corresponden a cada niño?

4

2828 : 4 =7 A cada niño le corresponden 7 gominolas

b número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo

a número de partes que se toman de la unidad


Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador.

Ejemplo: 18

8 , 1

3

3

,

15

151 ,

7

71

1.3.- La fracción como operador Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador).

Ejemplo:4

3 de 24, se lee, los tres cuartos de veinticuatro.

Para calcularlo tenemos que dividir 24 en 4 partes, 24:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos 3 de esas partes, que harían un total de, 3 6, dieciocho.

4

3

de 24 →

4

3·24 = (24:4) 3 = 6 3 = 18

También:

4

3

de 24 →

4

3·24 = (24 3):4 = 72 : 4 = 18

Ejemplo:5

2 de 100 →

5

2 · 100 = (100 : 5) 2 = 20 2 = 40

Ejemplo: Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los 3

2 del presupuesto. Si la

factura asciende a 2 400 €. ¿Cuánto tenemos que pagarle por adelantado?

16003

2400·22400·

3

2:2400de

3

2

Tenemos que pagarle 1 600 € por adelantado

b

ade c =

(c a):b

(c:b)·a

4

3

de 24 = 18


2. FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma parte de la

unidad, es decir, cuando tienen el mismo valor numérico.

Observa:

Las fracciones 8

2

4

1 son equivalentes

Para saber si dos fracciones son equivalentes podemos hacerlo de varias formas:

Realizar los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el mismo resultado.

Por ejemplo: 8

12 y

2

3(ambas valen 1,5)

Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el

producto de los extremos es igual al producto de los medios.

cbdad

c

b

a

Por ejemplo:

2

3?

8

12 ; 8·3

?2·12 ; 2424

2

3

8

12

Son equivalentes

20

12?

5

4 ; 12·5

?20·4 ; 6080

20

12

5

4

No son equivalentes

Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador

y denominador de la otra por la misma cantidad.

Por ejemplo:

2

3

8

12 Son equivalentes;

20

12

5

4 No son equivalentes

: 4

: 4

· 3

· 4


· 3

· 3

: 2

: 2

2.1. Cómo obtener fracciones equivalentes: Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación.

Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un mismo número

Ejemplo: Calcula tres fracciones equivalentes a 2

3

6

9

32

33

2

3

10

15

52

53

2

3

14

21

72

73

2

3

Por lo tanto, 14

21

10

15

6

9

2

3

Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada

entre un divisor común a ambos.

Ejemplo: Busca fracciones equivalentes a 28

42por simplificación.

Los divisores comunes a 42 y 28 son 2, 7 y 14, obtendremos fracciones

equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números.

14

21

2:28

2:42

28

42

4

6

7:28

7:42

28

42

2

3

14:28

14:42

28

42

Por tanto, 2

3

4

6

14

21

28

42

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. El máximo común divisor del

numerador y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. La fracción 2

3 es irreducible.

Para calcular la fracción irreducible equivalente a una fracción dada, se dividen numerador y denominador por su máximo común divisor o se van realizando sucesivas divisiones al numerador y denominador por el mismo número hasta llegar a la fracción irreducible.

Ejemplo: Halla la fracción irreducible equivalente a 28

42

42 = 2 · 3 · 7 28 = 22 · 7 m.c.d. (42, 28) = 2 · 7 = 14

28

42=

2

3

Multiplicamos el numerador y el

denominador por 5.

Multiplicamos el numerador y

el denominador por 7.

Dividimos el numerador y el

denominador por 7.


denominador por14.


denominador por 14.


También podemos calcular esta fracción irreducible del siguiente modo:

2

3

14

21

28

42

La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, el numerador. Fracción inversa de

b

a

a

b

Ejemplo: Fracción Fracción inversa

3

5

5

3

4

1

4

1

4

7 = 1

7

7

1

5

9

9

5

2.2. Reducción de fracciones a mínimo común denominador

Para realizar algunas operaciones con fracciones (sumar, restar, comparar…) es necesario transformar las fracciones dadas en otras equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para reducir fracciones a común denominador:

1º Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Se amplifican todas las fracciones utilizando como denominador el mínimo común múltiplo.

Dividimos el denominador común entre el denominador inicial y multiplicamos el cociente

obtenido por el numerador.

Ejemplo: Reduce a común denominador las siguientes fracciones: 3

2y

12

5,

8

7

8 = 23 12 = 22· 3 3 = 3 m.c.m. (8, 12, 3) = 23.3 = 8 · 3 = 24

24

21

8

7

24

10

12

5

24

16

3

2

24 : 8 = 3 3 · 7 = 21

24 : 12 = 2 5 · 2 = 10

24 : 3 = 8 8 · 2 = 16


denominador por 2.


denominador por 7.


3. ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Puesto que las fracciones son números podemos ordenarlas o compararlas, decir cuál es mayor o cuál es menor. Nos encontramos tres casos distintos: que las fracciones tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distinto numerador y denominador Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

Ejemplo: 8

4>

8

3>

8

1

Si dos fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador.

Ejemplo:3

4>

5

4>

7

4

Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, se reducen primero a común denominador. La fracción mayor es la que tiene mayor numerador

Ejemplo: Compara las fracciones 4

5y

6

7

Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. de 4 y 6:

4 = 22 6 = 2 · 3 m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12

12

15

4

5

12

14

6

7

Como

6

7

4

5

12

14

12

15 entonces

4. OPERACIONES CON FRACCIONES

4.1.- Suma y resta

Mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.

Ejemplo: 6

11

6

175

6

1

6

7

6

5

Distinto denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior.

Ejemplo: 18

85

18

24245

18

2

18

42

18

45

9

1

3

7

2

5

m.c.m. (2, 3, 9) =18

18

2

9

1

18

42

3

7

18

45

2

5


Ejemplo: 012

0

12

1515

12

15

12

15

4

5

12

15

4.2.- Producto

Para multiplicar fracciones se multiplican el numerador por el numerador y el denominador

por el denominador: db

ca

d

c

b

a

Ejemplo: 9

5

18

10

3·6

2·5

3

2

6

5

El producto de una fracción y su inversa es uno:

115

15

5·3

3·5

5

3

3

5 1

4

4

4

1 4 1

7

77

7

1 1

45

45

9

5

5

9

4.3.- Cociente

Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la

segunda, que será el numerador del resultado, y el denominador de la primera por el numerador

de la segunda, que será el denominador: cb

da

d

c:

b

a

Ejemplo: 4

5

12

15

26

35

3

2:

6

5

4.4.- Operaciones combinadas con fracciones:

Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad:

1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera.

2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3.- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha.

Ejemplo:

3

8

5

2

4

3

6

16

5

2

4

3

6

5

6

21

5

2

4

3

6

5

2

7

5

2

4

3

60

109

60

64

60

45

15

16

4

3

15

16

4

3

3

8

5

2

4

3

Simplificamos, 3

8

6

16

1º Calculamos la resta

2º Efectuamos el producto 3º Efectuamos la suma

Recuerda: 0a

0


PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

SU

MA

Conmutativa Asociativa Elemento neutro Distributiva

Si se cambia el orden de los

sumandos, la suma no varía:

a + b = b + a

Ejemplo:

2

1

3

1

3

1

2

1

6

5

2

1

3

16

5

3

1

2

1

Los sumandos se pueden

agrupar de diferentes formas sin

que varíe el resultado:

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

3

19

6

38

2

3

6

29

2

3

3

7

2

5

3

19

6

38

6

23

2

5

2

3

3

7

2

5

El 0 es el elemento neutro de

la suma, pues, al sumarlo, el

resultado no varía:

a + 0 = a

Ejemplo:

4

50

4

5

4

50

El producto de un número

por una suma es la suma

de los productos de dicho

número por cada uno de

los sumandos:

a (b + c) = a b + a c

Ejemplo:

9

29

6

29

3

2

3

7

2

5

3

2

9

29

9

14

3

5

3

7

3

2

2

5

3

2

MU

LT

IPL

ICA

CIÓ

N

Si se cambia el orden de los

factores, el producto no varía:

a b = b a

Ejemplo:

2

1

3

1

3

1

2

1

6

1

2

1

3

16

1

3

1

2

1

Los factores se pueden agrupar

de diferentes formas sin que

varíe el resultado:

(a b) c = a (b c)

Ejemplo:

35

4

105

12

7

6

15

2

7

6

5

1

3

2

35

4

105

12

35

6

3

2

7

6

5

1

3

2

El 1 es el elemento identidad

de la multiplicación, pues, al

multiplicar por él, el resultado

no varía:

a 1 = a

Ejemplo:

4

3

4

311

4

3


5. PROBLEMAS CON FRACCIONES

Ejemplo: Tenemos dos botellas de agua. La primera contiene 3

1 de litro de agua y la segunda

2

1

de litro de agua. ¿Qué cantidad de agua tenemos?

6

5

6

3

6

2

2

1

3

1

Tenemos

6

5 litros de agua

Ejemplo: Se quieren envasar 600 litros de vino Rioja en botellas de 4

3 de litro. ¿Cuántas se

necesitarán?

8003

2400

4

3600 :

Se necesitarán 800 botellas

Ejemplo: En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el número de chicos es 9

4 del total,

¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en el centro?

2929

2628

9

6574657

9

4

657 – 292 = 365 En el centro hay 292 chicos y 365 chicas


TEMA 5: SISTEMAS DE MEDIDA

1. MAGNITUDES Y MEDIDAS

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir y expresar su valor mediante un número. Son magnitudes la longitud, la superficie, el tiempo, etc. Medir una magnitud es comparar su valor con el de un patrón que llamamos unidad de medida, y determinar el número de veces que la contiene. Ejemplo: Clasifica como magnitud o unidad de medida: a) Litro: unidad de medida b) Tiempo: magnitud c) Altitud: magnitud d) Memoria de un ordenador: magnitud e) Gramo: unidad de medida f) Kilómetros por hora: unidad de medida g) Presión: magnitud Ejemplo: Relaciona cada magnitud con su unidad de medida posible

Ejemplo: Indica la unidad más adecuada para expresar las siguientes magnitudes:

a) La capacidad de una botella: litro

b) El tamaño del suelo de la clase: metro cuadrado

c) La distancia de Logroño a Madrid: kilómetro

d) La masa de un tren: tonelada

Para poder comparar el valor de varias magnitudes debemos utilizar una misma unidad de medida. En la actualidad, para medir magnitudes se utiliza el Sistema Internacional de Medidas (abreviado S.I.) también llamado Sistema Métrico Decimal (abreviado S.M.D.) porque sus unidades se relacionan en potencias de 10. Algunas unidades en este sistema son:

El metro, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir longitudes.


El kilogramo, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir masas.

El litro, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir capacidades.

El metro cuadrado, y sus múltiplos y submúltiplos, para medir superficies.

El metro cúbico y sus múltiplos y submúltiplos, para medir volúmenes. Como hemos dicho, cada unidad posee una serie de múltiplos y submúltiplos que se designan con los siguientes prefijos:

Múltiplos Unidad Submúltiplos

Kilo- Hecto- Deca- Deci- Centi- Mili-

K h da d c m

1 000 U 100 U 10 U 1 U 0’1 U 0’01 U 0’001 U

Las medidas se pueden escribir de forma compleja, cuando para expresarla se utilizan distintas unidades de medida, o de forma incompleja si al expresarla utilizamos una sola unidad. Ejemplo: Forma incompleja: 22’5 km Forma compleja: 22 km 500 m

2. UNIDADES DE LONGITUD: EL METRO

La magnitud longitud la utilizamos para medir la distancia entre dos puntos. Podemos ver

algunos ejemplos:

La unidad de medida de longitud del S.M.D. es el metro y se representa por m.

Unidades mayores y menores al metro son respectivamente los múltiplos (decámetro, hectómetro y kilómetro) y los submúltiplos (decímetro, centímetro y milímetro), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa.


Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

km hm dam m dm cm mm

1 000 m 100 m 10 m 1 m 0’1 m 0’01 m 0’001 m


Hay otras unidades de medida de longitud menos comunes para medir longitudes muy

pequeñas o muy grandes, algunas de ellas son:

Micrómetro, μm: 1 μm = 0’001 mm

Nanómetro, nm: 1 nm = 0’000001 mm

Unidad astronómica, UA: 1 UA = 150 000 000 km

Año luz equivalente a 9’5 billones de km Ejemplo:

La Vía Láctea tiene de radio 50 000 años luz.

El diámetro de un cabello es de aproximadamente 0’1mm.

Un espermatozoide mide 53μm, un hematíe 7μm.

Los chips electrónicos están compuestos de transistores de 22 nm de tamaño.

Ejemplo: Transforma las siguientes medidas a las unidades que se indican:

a) 7 hm a m: 7 hm = hm1

m1007hm = 700 m

b) 1500 m a km: 1500 m = m1000

mk11500m = 1’5 km

c) 8’5 dm a m: 8’5 dm = dm10

m1dm8'5 0’85 m

d) 35 dam a cm: 35 dam = dam1

mc1000dam35 = 35 000 cm

Ejemplo: Expresa las siguientes medidas en forma incompleja en m a) 2 km 3 hm 8 dam = 2 000 m + 300 m + 80 m = 2 380 m b) 72 dam 9 m 23 dm = 720 m + 9 m + 2’3 m = 731’3 m

Ejemplo: Expresa las siguientes medidas en forma compleja

a) 54 915 m = 54 km 9 hm 1 dam 5 m

b) 675’ 46 m = 6 hm 7 dam 5 m 4 dm 6 cm


3. UNIDADES DE MASA: EL GRAMO

La unidad de medida de masa del S.M.D. es el gramo y se representa por g. Sin embargo,

el gramo es una unidad muy pequeña por lo que solemos utilizar el kilogramo en nuestro

lenguaje habitual.

Ejemplo: Un adulto puede pesar, o mejor dicho puede tener una masa de 70 kg.

Podemos necesitar para un bocadillo 45 g de embutido.

Un elefante africano puede pesar hasta 7,5 t.

Unidades mayores y menores al gramo son respectivamente los múltiplos (decagramo, hectogramo y kilogramo) y los submúltiplos (decigramo, centigramo y miligramo), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa.


Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

kg hg dag g dg cg mg

1 000 g 100 g 10 g 1 g 0’1 g 0’01 g 0’001 g

Hay otras unidades de medida de masa más grandes para medir pesos grandes, algunas de ellas son:

El quintal, q: 1 q = 100 kg

La tonelada, t: 1 t = 1000 kg

Ejemplo: Expresa en forma incompleja en g: a) 2 kg 3 hg 7dag 5g = 2 000 g + 300 g + 70 g + 5 g= 2 375 g b) 8 dag 7 g 5 dg = 80 g + 7 g + 0,5 g = 87,5 g

c) 8 g 3 dg 5 mg = 8 g + 0,3 g + 0,005 g = 8,305 g

Ejemplo: Un bolsa de naranjas pesaba 3 kg 30 g. Nos hemos comido 3 naranjas que pesaban

650g. ¿Cuánto pesa ahora la bolsa de naranjas? ¿Cuántos kg me quedan?

3 kg 30 g = 3 000 g + 30 g = 3 030 g

3 030 g - 650 g = 2 380 g = 2,380 kg

Ejemplo: Transforma estas cantidades en la unidad indicada:

a) 0,0365 kg a g: 0,0365 kg = kg1

g1000kg 0,0365 = 36,5 g


b) 15345 kg a t: 15345 kg = kg0001

t1kg 34515 = 15,345 t

c) 34 hg a g: 34 hg = hg1

g100hg 34 = 3400 g

d) 3456 g a dag: 3456g = g01

dag1g 3456 = 345,6 dag

4. UNIDADES DE SUPERFICIE: EL METRO CUADRADO

El área de una superficie se mide en unidades cuadradas, su unidad en el S.M.D. es el metro cuadrado, y se representa por m2. Un m2 es la superficie que tiene un cuadrado de 1m de lado.

Las medidas de superficie son el resultado de medir dos dimensiones, es decir mide longitudes en el plano, y sirve para calcular las áreas.

Se miden en unidades de longitud las dimensiones largo y ancho y se calcula el área multiplicando las dos dimensiones (es como cuadricular un espacio) para conseguir el área del espacio deseado.

Ejemplos:

Un piso suele medir entre 65 m2 y 100 m2.

Un campo de fútbol para partidos internacionales miden entre 64 dam2 y 82,5 dam2.

Unidades mayores y menores al metro cuadrado son respectivamente los múltiplos

(decámetro cuadrado, hectómetro cuadrado y kilómetro cuadrado) y los submúltiplos (decímetro cuadrado, centímetro cuadrado y milímetro cuadrado), donde cada unidad equivale a 100 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por100 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa.

Múltiplos Unidad Submúltiplos Kilómetro

cuadrado

Hectómetro

cuadrado

Decámetro

cuadrado

Metro

cuadrado

Decímetro

cuadrado

Centímetro

cuadrado

Milímetro

cuadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0’01 m2 0’0001 m2 0’000001 m2 Hay otras unidades de medida de superficie para medir campos, algunas de ellas son:

La hectárea, ha: 1 ha = 10 000 m2 = 1 hm2

La área, a: 1 a = 100 m2 = 1 dam2

La centiárea, ca: 1 ca = 1 m2



a) 7cm2 a m2 ---------- 7cm2 = 20000cm1

21m27cm = 0,0007 m2

b) 3dm2 a cm2 ---------- 3dm2 = 2dm1

2100m23dm = 300 m2

c) 4,5 m2 a mm2 ----------- 4,5 m2 = 2m1

2mm 100000024,5m = 4 500 000 mm2

Ejemplo: Pasa a forma compleja:

a) 523,76 hm2 = 5km2 + 23 hm2 + 76 dam2

b) 3012,635 dm2 = 30 m2 + 12 dm2 + 63 cm2 + 50 mm2

Ejemplo: Expresa en hectáreas:

a) 5,7 km2 = 570 hm2 = 570 ha

b) 340000 ca = 34 ha

c) 200000 dm2 = 0,2 hm2 = 0,2 ha

5. UNIDADES DE VOLUMEN: EL METRO CÚBICO

El volumen de un recipiente, (cuánto volumen le cabe) se mide en unidades cúbicas, su unidad en el S.M.D. es el metro cúbico, y se representa por m3.

Un m3 es el volumen que tiene un cubo de 1m de arista.

La magnitud del volumen la utilizamos para medir la capacidad de un objeto en tres dimensiones (largo x ancho x alto). Ejemplos:

El consumo de agua y de gas en las facturas se mide en m3. Una persona consume de

media 4,5 m3 de agua al mes.

El tamaño de un embalse puede ser 50 hm3 de capacidad.

Unidades mayores y menores al metro cúbico son respectivamente los múltiplos

(decámetro cúbico, hectómetro cúbico y kilómetro cúbico) y los submúltiplos (decímetro cúbico, centímetro cúbico y milímetro cúbico), donde cada unidad equivale a 1000 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 1000 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa.



Kilómetro cúbico Hectómetro

cúbico

Decámetro

cúbico

Metro

cúbico

Decímetro

cúbico

Centímetro

cúbico Milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1000 m3 1 m3 0’001 m3 0’000001 m3 0’000000001 m3


a) 7 cm3 a m3 ------ 7cm3 = 3

m0,0000073

cm000 0001

31m

7cm3

b) 3 dm3 a cm3 ------ 3 dm3 = 3cm0003

3dm1

3cm100033dm

c) 4,5 m3 a mm3 ------ 4,5 m3 = 3

000cm00050043

m1

3cm00000000013

m4,5

Ejemplo: Expresa en metros cúbicos:

a) 0,843 hm3 = 843 dam3 = 843 000 m3

b) 7 km3 63 hm3 7 m3 = 7 063 000 007 m3

c) 4 dam3 5 m3 23 dm3 = 4 005, 023 m3

5. UNIDADES DE CAPACIDAD: EL LITRO

La unidad del litro nos permite saber la capacidad de un recipiente y se representa por l pero no pertenece al S.M.D. De hecho, el litro coincide con el volumen de un cubo de un decímetro de arista.

Ejemplos:

Una botella de agua grande tiene una capacidad de 1,5 l.

Una lata de refresco tiene una capacidad de 33 cl.

Un depósito de gasóleo para una casa podría tener una capacidad de 3 hl.

Unidades mayores y menores al litro son respectivamente los múltiplos (decalitro, hectolitro

y kilolitro) y los submúltiplos (decilitro, centilitro y mililitro), donde cada unidad equivale a 10 veces la unidad inmediatamente inferior. Para transformar unas unidades en otras multiplicamos o dividimos por 10 sucesivamente para llegar de una unidad a otra según pasemos de una unidad mayor a una menor y viceversa.


Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1 000 l 100 l 10 l 1 l 0’1 l 0’01 l 0’001 l


Ejemplo:

a) 4,2 hl = l 420hl 1

l 100hl 4,2

b) 350 ml = l 0,35ml 0001

l 1ml 350

c) 0,00234 kl = dl 3,42kl 1

dl 0000 1kl 0,00234

d) 234 500 cl = dal 234,5000cl1

dal 1cl 500 234

5.2 Relación entre las unidades de capacidad y de volumen

La diferencia fundamental entre volumen y capacidad es que, de una manera intuitiva, volumen hace referencia al espacio que ocupa un objeto y capacidad al espacio que contiene. Llevado al campo de la medida, calcular el volumen de un cuerpo es medir cuánto ocupa y calcular su capacidad es medir cuánto cabe en él.

Los litros, unidad de capacidad, se relacionan con las unidades de volumen ya que 1 l = 1

dm3. Por lo tanto,

Ejemplos:

Un depósito de agua de 1 m3 tiene una capacidad de 1 kl, que es lo mismo que 1000 l.

En los botellines de agua, la cantidad de agua se expresa en ml o en cm3. Puede poner

250 ml o 250 cm3.

Un litro de leche ocupa un volumen de 1 dm3.

Ejemplo: Expresa en litros

a) 4,2 dm3 = 4,2 l

b) 12 m3 = 12 kl = 12 000 l

c) 30 cm3 = 30 ml = 0,03 l

1 l = 1 dm3

1 ml = 1 cm3

1 kl = 1 m3


Ejemplo: Expresa en decímetros cúbicos

a) 0,835 hl = 83,5 l = 83,5 dm3

b) 0,7 dl = 0,07 l = 0,07 dm3

c) 43,4 kl = 43 400 l = 43 400 dm3

Ejemplo: Ordena de menor a mayor estas medidas

a) 7,0001 hm3 b) 23000 l c) 8 ml d) 4 mm3

a) 7,0001 hm3= 7 000 100 000 dm3 = 7 000 100 000 l

b) 23000 l

c) 8 ml = 0,008 l

d) 4 mm3 = 0,000004 dm3 = 0,000004 l

Por lo tanto: 4 mm3 < 8 ml < 23000 l < 7,0001 hm3

Ejemplo: Calcula esta resta 8 ml – 800 mm3

8 ml = 0,008 l

800 mm3 = 0,0008 dm3 = 0,0008 l

8ml – 800 mm3 = 0,008 – 0,0008 = 0,0072 l

6. UNIDADES DE TIEMPO: SEGUNDO

Para medir el tiempo, en principio, se

empezó midiendo los movimientos de los astros,

el movimiento aparente del sol y de la luna. Luego

se utilizaron relojes como el reloj de sol, de arena

o la clepsidra o reloj de agua. Ahora existen

relojes y cronómetros muy perfeccionados.

La unidad utilizada para medir la magnitud tiempo es el segundo, que se representa por la

letra s, en minúscula y sin punto. Es una unidad de Sistema Internacional de Unidades pero no

es decimal, es sexagesimal. El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que

cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior.

Minuto: 1 min = 60 s Hora: 1 h = 60 min


Para pasar segundos a horas y minutos, o viceversa, debemos multiplicar o dividir por 60,

según haya que transformar una unidad de medida en la unidad inmediata inferior o superior.

Ejemplo: Expresa 3 956 s de forma compleja (en horas, minutos y segundos)

Dividimos los segundos por 60 para obtener los

minutos, el cociente de dicha división serán minutos y el resto

segundos. Como los minutos son más de 60, dividimos de

nuevo entre 60 para obtener horas. El cociente son horas y el

resto minutos.

3 956 s = 1 h 5 min 56 s

Ejemplo: Expresa en segundos 3 h 26 min 53 s

Pasamos las 3 h a segundos multiplicando por 3 600 (1 hora son 60 min y un min son 60 s,

por lo tanto 1 h son 60 · 60 = 3 600 s), y los 26 minutos a segundos multiplicando por 60; y

sumamos los segundos obtenidos

3 · 3 600 + 26 · 60 + 53 = 10 800 + 1 560 + 53 = 12 413

3 h 26 min 53 s = 12 413 s

6.1 Operaciones con unidades de tiempo

Suma: Para sumar unidades de tiempo hay que seguir los siguientes pasos:

Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna las horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y las horas con

las horas. Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a minutos. Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a horas.

Ejemplo: Efectúa la suma 15 h 45 min 38 s + 8 h 34 min 26 s

15 h 45 min 38 s + 8 h 34 min 26 s = 24 h 20 min 4 s

Resta: Para restar unidades de tiempo hay que seguir los siguientes pasos:

Se colocan el minuendo y el sustraendo de manera que queden en una misma columna los horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Si el número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos del

sustraendo se resta un minuto a los minutos del minuendo y se suman sesenta segundos a los segundos de dicho minuendo.


Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del sustraendo se resta una hora a las horas del minuendo y se suman sesenta minutos a los minutos de dicho minuendo. Se restan las horas con las horas, los minutos con los minutos y los segundos con los

segundos.

Ejemplo: Efectúa la resta 42 h 39 min 5 s - 21 h 45 min 12 s

42 h 39 min 5 s - 21 h 45 min 12 s = 20 h 53 min 53 s

Multiplicación por un número natural: Para multiplicar un tiempo por un número natural

hay que seguir los siguientes pasos:

Se multiplican las horas, minutos y segundos por dicho número. Si una vez multiplicados los segundos por el número son más de 60 se pasan a

minutos. Si una vez multiplicados los minutos por el número y sumados los minutos procedentes

del paso anterior son más de 60 se pasan a horas.

Ejemplo: Efectúa el producto 21 h 31 min 22 s x 4

21 h 31 min 22 s x 4 = 86 h 5 min 28 s

División por un número natural: Para dividir un tiempo por un número natural hay que

seguir los siguientes pasos:

Se dividen las horas por dicho número y el resto obtenido se pasa a minutos. Se suman los minutos y se dividen por dicho número, pasando el resto a segundos. Se suman los segundos y se dividen por el número


Ejemplo: Efectúa la división 46 h 53 min 18 s : 3

46 h 53 min 18 s : 3 = 15 h 37 min 46 s

Ejemplo: Sergio estudió Matemáticas y Lengua el sábado por mañana. Si empleó 1 h 35 min

para Lengua, y en total estudió 2 h 30 min, ¿cuánto tiempo dedicó a Matemáticas?

Para calcular el tiempo que dedicó a estudiar Matemáticas, restamos del tiempo total el

dedicado a Lengua

Sergio dedicó 55 min a estudiar Matemáticas

Ejemplo: Pedro hizo un trabajo en dos tardes. Le dedicó 1 h 45 min 37 s la primera tarde, y tres cuartos de hora la segunda. ¿Cuánto tiempo en total le dedicó al trabajo?

Tres cuartos de hora → 45 min

Pedro le dedicó al trabajo 2 h 30 min 37 s


TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA

1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

En nuestro entorno podemos visualizar objetos que se

relacionan con elementos geométricos: por ejemplo la ventana de

nuestra casa tiene forma rectangular.

También aplicamos la geometría en las

tareas diarias de muchas profesiones:

interpretando o elaborando planos.

Aplicamos los conocimientos de geometría

para elementos habituales de nuestro día a día: por

ejemplo, interpretar los planos de un armario que

hemos comprado.

La geometría plana estudia las propiedades de las figuras que se representan en un plano

y que tienen únicamente dos dimensiones (largo y ancho). Los tres elementos básicos de la

geometría son: el punto, la recta y el plano.


2. PUNTOS Y RECTAS

Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos

se nombran con letras mayúsculas: A, B, C… La recta está formada por infinitos puntos y se

nombra con letras minúsculas: r, s, t…

Un punto A de una recta la divide en dos semirrectas

El trozo de recta comprendido entre dos puntos se llama segmento

Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos.

Secantes Paralelas Coincidentes

r P s

r s

r s

Tienen un solo punto en común

No tienen ningún punto en común

Tienen todos los puntos en común

3. ÁNGULOS

Se llama ángulo a la región del plano limitada por dos semirrectas con un origen común. Las semirrectas que lo limitan se llaman lados y el origen vértice. Los ángulos se nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la

letra: BA ˆ,ˆ …

Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro

ángulos iguales, llamados rectos.


3.1. Clasificación de ángulos

Recto Agudo Obtuso Llano

Menor que un ángulo

recto

Mayor que un ángulo

recto

Formado por dos

rectos

Convexo Cóncavo

Menor que un ángulo

llano

Mayor que un ángulo

llano

3.2. Relación entre ángulos

Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios

Tienen el vértice en común, y

los lados están sobre la

misma recta.

Al colocarlos consecutivamente

forman un ángulo recto.

Al colocarlos consecutivamente

forman un ángulo llano.

3.3. Ángulos iguales Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

DC

BA


Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios

BA Los ángulos DyC son suplementarios

3.4. Medida de ángulos.

Para medir ángulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado se divide en otras unidades más pequeñas: ● Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo ‘.

1º = 60‘

● Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el

símbolo “. 1’ = 60”

Una medida de ángulos puede ser expresada en:

● Forma compleja: con más de una unidad. Por ejemplo: A = 15º 13’ 27 “

● Forma incompleja: con una sola unidad. Por ejemplo: B = 54,23º

El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite

construir y medir ángulos.

4. POLÍGONOS

Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal. Si

el origen del primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal

cerrada, en caso contrario se llama línea poligonal abierta.


La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de

los elementos de un polígono son:

Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal

cerrada.

Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados.

Ángulo interior: ángulo formado por dos lados.

Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos vértices no

consecutivos.

4.1. Clasificación de los polígonos

Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios:

Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos:

Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.

Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo

Según el número de lados los polígonos se clasifican en:


Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en:

Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales

Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los

polígonos regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los

siguientes elementos:

Centro: punto que equidista de los vértices.

Radio: cualquier segmento que une el centro

con el vértice.

Apotema: cualquier segmento que une el

centro con el punto medio de un lado.

Ángulo central: ángulo determinado por dos

radios consecutivos.

5. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

5.1. Clasificación de los triángulos

Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según

sus lados y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos:

Según sus lados

Equilátero Isósceles Escaleno

Todos los lados

iguales

Dos lados iguales y

uno desigual

Todos los lados

distintos

Según sus ángulos

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso


5.2. Clasificación de los cuadriláteros

Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden

clasificarse por el paralelismo y la igualdad de sus lados.

Paralelogramos 2 pares de lados paralelos

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

4 lados iguales 4 ángulos rectos

Lados paralelos iguales

4 ángulos rectos

4 lados iguales Ángulos iguales dos a

dos

Lados paralelos iguales

Ángulos iguales dos a dos

Trapecios 1 par de lados paralelos

Trapezoides Ningún lado paralelo

Isósceles Rectángulo Escaleno

Lados no paralelos iguales

Dos ángulos rectos Lados y ángulos

distintos

6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma

distancia de otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se

llama círculo.

Los elementos de la circunferencia son:

Centro: punto fijo O.

Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la

circunferencia.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia y

pasa por el centro.

Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Cuando la

cuerda es el diámetro, el arco que se forma es una semicircunferencia.

A

B

C

D

A

B C

D


7. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS

En la vida cotidiana realizamos cálculos para hallar el perímetro y área de diferentes

objetos.

¿Cuánto alambre necesitaremos para cercar este

terreno?

Quiero poner unas baldosas en la casa ¿Qué

necesito saber?

El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma

representa una medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus

múltiplos y submúltiplos.

Ejemplo: Calcularemos el perímetro si queremos medir el contorno del marco de una ventana o lo

que mide la valla de ese cercado.

El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades

utilizadas para medirla son el m2 (metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos.

Ejemplo: Calcularemos el área si queremos pintar el techo de la habitación o si queremos

envolver un objeto con una tela ya que necesitaremos saber cuánta pintura necesito o cuánta tela

tengo que comprar, como mínimo.


L

ba

h c

b

hc

b

a

dD

L

Bh

bL

ap

L

Áreas y perímetros de polígonos

Polígono Perímetro (P) Área (S)

Triángulo

P = a + b + c 2

hbS

Cuadrado

P = 4·L S = L2

Rectángulo

P = 2·(a+b) S = a·b

Romboide

P = 2·(b+c) S = b·h

Rombo

P = 4·L 2

dDS

Trapecio

P = B + b + 2·L

h2

bBS

Polígono regular de n

lados

n ≥ 5

P= n·L 2

apPS


8. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES

8.1. El número Pi

Independientemente de las dimensiones de una circunferencia, la relación entre su longitud y su diámetro siempre es constante, es decir, al dividir la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) entre su diámetro obtenemos siempre el mismo resultado: 3,141596253… A este número se le llama Pi y normalmente se representa con el símbolo π.

Si medimos el perímetro de la rueda de un tractor y el de la rueda de una bicicleta de niño,

al dividirlos por sus respectivos diámetros obtendremos como resultado 3,14159…, es decir el número π

Conocer el número Pi es fundamental para poder calcular el perímetro de

circunferencias y áreas de círculos.

Al ser un número con infinitos decimales es necesario redondearlo para poder hacer

cálculos, por ejemplo podemos utilizar el redondeo a centésimas:

π = 3,141592653… ≈ 3,14


r

nºr

r

R

r

Longitud y área de figuras circulares

Figuras circulares Longitud (L) Área (S)

Circunferencia

y círculo

L = 2 r S = r2

Arco y sector

º360

ºnr2L

º360

ºnrS

2

Segmento

circular

L = Longitud del

arco + Longitud de

la cuerda

S = Área del sector-

Área del triángulo

Corona

circular

L = Lon. cir.exterior

+ Lon. cir. interior S = (R2 – r2)


9. PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS

Ejemplo: Calcular el área y el perímetro del siguiente triángulo (los datos están en cm)

2cm6

2

12

2

2,45

2

hbS

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 cm

Ejemplo: Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su

lado mide 17 cm.

2402

1630

2

dDS

cm2

P = 4 · L = 4 · 17 = 68 cm

Ejemplo: Calcula el área de esta figura:

252

50

2

105

2

hbST cm2

60610 baRS cm2

25522 lcS cm2

110256025 CRT SSS S cm2

Ejemplo: Calcula el área del siguiente octógono.

172,8

2

345,6

2

7,268

2

apPS

cm2


Ejemplo: Calcula el área y la longitud de la corono circular

S = Rr2

cm2

L = P = 2R + 2r = ∙∙∙∙cm

Problema: Si queremos vallar una piscina o calcular la longitud de una rueda como la de la figura

que se muestra a continuación. ¿Qué necesitamos saber?

Necesitamos calcular el perímetro.

P = 2 ∙∙ 2 = 12,56 m

Problema: Queremos barnizar la parte superior de una mesa de madera como la que vemos en

la figura. Si en total tengo que pintar 15 mesas iguales ¿Cuántos litros de barniz tendré que

comprar si con 1 litro cubro 10 m2?

S = ∙ 0,602 = 1,1304 m2

Como son 15 mesas -> 1,1304 ∙ 15 = 16,956 m2

Para calcular los litros que necesito -> 16,956 : 10 = 1,6956 l

Tendré que comprar 1’7 l de barniz

Problema: ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado si el metro lineal de

alambrada cuesta 1,5 euros?

P = 4L = 4 ∙ 14 = 56 metros

56 ∙ 1,5 = 84 euros Vallar la finca costará 84 €

matemÁticas 1º espa/espad -...

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