- 1 -

Matemáticas I 1º GRADO

Tema 1: Preliminares ......................................................................... 3

Tema 2: Funciones Reales de una Variable ............................... 13 Tema 3: Cálculo Diferencial ............................................................ 17 Tema 4: Integración ......................................................................... 29 Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones ........... 37

- 3 -

Tema 1: Preliminares

DERIVADAS

• ky = 0=′y

• uky ·= uky ′=′ ·

• vuy += vuy ′+′=′

• uuny n ′=′ − ·· 1

• vuy ·= vuvuy ′+′=′ ··

• vuy = 2

··v

vuvuy′−′

=′

• u

y 1= uu

y ′−=′ ·12

• uy ln= uuy

′=′

• uey = uey u ′=′ ·

• uy sin= uuy ′=′ ·cos

• uy cos= uuy ′−=′ ·sin

• uy tan= u'uy )tan( 21+=′

INTEGRALES

• = xkkdx ·

• +=

+

1

1

nxdxx

nn si 1−≠n

• xdxx ln1 =

• axax ea

dxe ·1 =

• [ ] +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

• = dxxfkdxxfk )()(·

nuy =

- 4 -

LIMITES DE SUCESIONES

•

0

·

· lim

<

=

>∞

=++

∞→

lksi

lksi

lksi

nbna

ba

l

k

n

•

00

0

0

000

lim

=

∞=∞

=∞

∞=

=∞

∞=∞

=∞→

a

a

a

a

ba

n

n

n

• ex

n

n

x

nx lim =

+

∞→

11

• 111

100

>∞=

<<=∞

asiasi

asia

k y l son los máximos exponentes del numerador y denominador respectivamente.

- 5 -

LOGARITMOS

• xayx ya =⇔=log

• xeyx y =⇔=ln

• baba lnln)·ln( +=

• baba lnln)ln( −=

• anan lnln =

• −∞=0ln

• 01ln =

POTENCIAS

• ( )nnn baba ·· =

• n

n

n

ba

ba

=

• mnmn aaa +=·

• mnm

n

aaa −=

• ( ) mnmn aa ·=

• nn

aa 1=−

PRODUCTOS NOTABLES

• ( ) 222 2 bababa ++=+

• ( ) 222 2 bababa +−=−

• ( ) ( ) 22· bababa −=−+

• ( ) 32233 33 babbaaba +++=+

• ( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

- 6 -

ECUACIONES

• 02 =++ cbxax a

acbbx2

42 −±−=

• 024 =++ cbxax Hallamos 2x mediante la fórmula anterior y extraemos la raíz cuadrada.

• Ecuaciones con la incógnita en el exponenteDejamos la expresión que contenga la incógnita en uno de los lados de la ecuación y tomamos logaritmos.

• Ecuaciones con la incógnita dentro de un logaritmo Dejamos la expresión que contenga la incógnita en uno de los lados de la ecuación y tomamos exponenciales.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Recta

• 0=++ CByAx para esta ecuación la pendiente es BAm −= .

• baxy += para esta ecuación la pendiente es a .

Circunferencia de centro ( )ba, y radio R

• ( ) ( ) 222 Rbyax =−+−

Elipse de centro ( )0,0 y semiejes a y b

• 12

2

2

2

=+by

ax

- 7 -

Ejercicios Tema1: Preliminares

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

1. 23 += xy

2. 124 2 ++= xxy

3. ( ) ( )13·ln13 2 ++= xxy

4. )23cos()12sin( 2

++=

xxy

5. 12 5 += xy

6. 4 cos xy =

7. 242· += xexy

8.

−+=

1312ln

xxy

9. 2

1x

y =

Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:

10. 323),( 2 ++= xyxyxf

11. 123),(2

++= xyxyxf

12.

= 2ln),(

xyyxf

13. x

yxf31),( =

- 8 -

Calcular las siguientes integrales:

14. dxx23

15. ( ) ++ dxxx 254 43

16. dxx 4

1

17. − dxe x2

18. dxx 4

1

19. dxx3 2

1

20. dxxx

e x

++ 8

4 11

21. 2

1

4dxx

22. ∞

−

0

8 dxe x

23. ( ) +2

1

43 dxxx

24. ( ) ++ dxyxyx 254 243

25. ( ) ++ dyyxyx 254 243

26. dyx23

- 9 -

Calcular los siguientes límites:

27. 6·5

24·32

2

lim +++

∞→ nnn

n

28. 12·3

2·52

3

lim +++

∞→ nnn

n

29. 112

46

4

lim ++++

∞→ nnnn

n

30. 23

221

3

24

limnn

nnnn +

++

∞→

31. 13

21 2

limn

nn +

+

∞→

32. n

n

∞→ 21 lim

33.

31

3

2

lim ++

∞→

nn

ne

34.

31

2

3

lim ++−

∞→

nn

ne

35. 213

limn

n n

+

∞→

36. 213

2limn

n n

+

∞→

- 10 -

Expresar utilizando o ∏ según proceda:

37. 223

22

21 nxxxx ++++

38. nxxxx 2··2·2·2 321

39. ( ) ( ) ( )2··2·2 21 −−− nxxx

40. ( ) ( ) ( )nn nxxx −++−+− ·21 2

21

1

41. nxn

xx exexex 222

21 ······ 21 −−−

42. n

n

x

xn

x

x

x

x exexex2···

2··

2· 22

22

12

2

1

1 −−−

43. n

n

xn

xx

xn

xx

exexexexexex

332

31

222

21

············

21

21

−−−

−−−

Expresar abreviadamente y tomar logaritmos de las siguientes expresiones:

44. nxxx eee 333 ·3···3··3 21 −−−

45. 22

221

·21···

21 nxx

ee−−

ππ

46. !2···

!2· 2

1

2 1

n

xx

xe

xe n−−

47. 2···

2··

2· 3232

232

121 nx

nxx exexex −−−

- 11 -

Ecuaciones:

48. 0862 =−− xx

49. 03613 24 =+− xx

50. 02 23 =++ xxx

51. 05.01 =− − xe

52. 11ln43 =+ x

Representar gráficamente y en el caso de las rectas, hallar la pendiente:

53. 42 += xy

54. 0232 =−+ yx

55. 922 =+ yx

56. ( ) 42 22 =−+ yx

57. 194

22

=+ yx

58. 2xy =

59. ( )212 −=− xy

60. 42 −= xy

61. 3x4x3 21 =+

- 12 -

Tema 2: Funciones Reales de una Variable

NOCIÓN DE FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE

Una función de A en B es una regla que asigna, a cada elemento del conjunto A un elemento y sólo uno del conjunto B.

Algunas funciones importantes

Recta

• 0=++ CByAx para esta ecuación la pendiente es BAm −= .

• baxy += para esta ecuación la pendiente es a .

Circunferencia de centro ( )ba, y radio R

• ( ) ( ) 222 Rbyax =−+−

Elipse de centro ( )0,0 y semiejes a y b

• 12

2

2

2

=+by

ax

Parábola

• cbxaxy ++= 2 coordenada x del vértice: ab 2/−

• 200 )( xxkyy −=− parábola de vértice ( 0x , 0y )

Hipérbolas

• xky =

- 13 -

DOMINIO

El dominio de una función es el conjunto de puntos en el que la función está definida. Dominio de algunas funciones importantes: Funciones polinómicas:

01

1 ...)( axaxaxf nn

nn +++= −

− ( ) =

Funciones racionales

)()()(

xhxgxf = donde g y h son polinomios ( ) = { ∈ / ℎ( ) ≠ 0}

Función raíz enésima

n xxf =)( si n impar D(f) = Rsi n par D(f) = {x ∈ R/x ≥ 0}

Funciones seno y coseno:

xxf sin)( = ó xxf cos)( = ( ) = Función exponencial:

xexf =)( ( ) = Función logaritmo:

)ln()( xxf = ( ) = { ∈ / > 0}

LÍMITES

Escribir que bx→

lim Axf =)( significa que podemos hacer que ( ) se aproxime a A tanto como queramos

para todo suficientemente próximo a b, pero no igual a él.

- 14 -

Reglas para límites:

Si bx→

lim Axf =)( y bx→

lim Bxg =)( , entonces:

1. bx→

lim BAxgxf +=+ )]()([

2. bx→

lim BAxgxf −=− )]()([

3. bx→

lim BA)x(g)x(f ⋅=⋅

4. bx→

lim BAxgxf /)(/)( = (siempre que B ≠ 0)

5. bx→

lim [ ] qpxf /)( = [ ] qpA / (si [ ] qpA / está definido)

CONTINUIDAD

Supongamos que el dominio de contiene un intervalo abierto de centro b. Se dirá que es continua en = si el límite de ( ) cuando tiende a b es ( ):

bx→

lim )()( bfxf =

Para que f sea continua en x = b, se deben verificar las tres condiciones siguientes: 1. La función f debe estar definida en = 2. Debe existir el límite de ( ) cuando tiende a b 3. Este límite debe ser igual a ( ) Si alguna condición no se verifica decimos que es discontinua en b. Si la condición que no se verifica es la condición 2, la discontinuidad se llama “inevitable”. Si es la condición 3 la que no se cumple, la discontinuidad se llamará “evitable”. Si y son continuas en b, entonces: 1. + y – son continuas en b 2. · es continua en b 3. / es continua en b si ( ) ≠ 0 4. [ ] qpxf /)( es continua en b si [ ] qpbf /)( Toda función que se construya a partir de funciones por medio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división (excepto por cero) y composición será continua en todos los puntos donde esté definida.

- 15 -

TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS

El teorema de los valores intermedios establece que: Sea una función continua en un intervalo [ , ]. Entonces para cada u tal que ( ) < < ( ), existe al menos un c dentro de ( , ) tal que ( ) = .

TEOREMA DE BOLZANO

Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [ , ] con ( ) y ( ) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto ( , ) con ( ) = 0.

- 17 -

Tema 3: Cálculo Diferencial

La derivada de la función en el punto se define como sigue:

´( ) = lim→ ( + ℎ) − ( )ℎ

TEOREMA

Si ( ) es derivable en = , entonces es continua en = .

RECTA TANGENTE

La ecuación de la tangente a la gráfica de = ( ) en el punto ( , ( )) es:

– ( ) = ´( ) ( − )

APROXIMACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

La aproximación lineal de f en un entorno de a es: ( ) ≈ ( ) + ´( )( − )

La aproximación cuadrática de f en un entorno de a es:

( ) ≈ ( ) + ´( )( − ) + 12 ´´( )( − )

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar (expresión alternativa a y´):

1. Derivar cada miembro de la ecuación respecto de x, considerando a y como función de x.

2. Despejar de la ecuación resultante.

- 18 -

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Si queremos calcular la derivada de = ( ) mediante derivación logarítmica:

1. Tomar logaritmos a ambos lados de la igualdad.

2. Aplicar si es posible alguna de las propiedades de los logaritmos.

3. Derivar a ambos lados, considerando a y como función de x.

4. Despejar de la ecuación resultante.

TEOREMA DE LOS VALORES ÓPTIMOS

Si una función es continua en un intervalo [ , ] cerrado y acotado, tiene en él un máximo y un mínimo.

TEOREMA

Supongamos que está definida en un intervalo I y sea c un punto interior de I (esto es, distinto de los puntos

inicial y final). Si c es un máximo o un mínimo de , y si existe ´( ), entonces:

´( ) = 0 TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [ , ] y derivable en el intervalo abierto ( , ), existe al menos un

punto interior c del intervalo ( , ) tal que:

´( ) = ( ( ) ( ))( )

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo I y derivable en el interior de I:

1. ´( ) > 0 para todo x del interior de I entonces f es estrictamente creciente.

2. Si ´( ) < 0 para todo x del interior de I entonces f es estrictamente decreciente.

3. Si ´( ) = 0 para todo x del interior de I entonces f es constante.

OPTIMIZACIÓN EN UNA VARIABLE

Definiciones básicas:

Si ( ) tiene dominio D, entonces

∈ es un máximo de ó ( ) ≤ ( ), ∈ ∈ es un mínimo de ó ( ) ≥ ( ), ∈

ox ´( ox ) = 0

Test de la primera derivada para los puntos óptimos:

´( ) ≥ 0 ≤ ´( ) ≤ 0 ≥ , = á . ´( ) ≤ 0 ≤ ´( ) ≥ 0 ≥ , = í .

Cómo buscar los máximos y mínimos:

Supongamos que sabemos que una función tiene un máximo y/o un mínimo en un intervalo acotado I. Los máximos o mínimos pueden ser únicamente de los tres tipos siguientes:

1. Puntos interiores de I en los que ´( ) = 0

2. Los dos extremos de I

3. Puntos de I en los que no exista ´

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Si queremos hallar los valores máximos y mínimos de una función derivable f definida en un intervalo [ , ] cerrado y acotado:

1. Hallar todos los puntos estacionarios de ( , ) esto es, hallar todos los puntos ∈ ( , ) que satisfacen la ecuación ´( ) = 0.

2. Evaluar f en los extremos a y b del intervalo y en todos los puntos estacionarios que se han hallado en el paso 1. 3. El mayor valor de la función hallado en el paso 2, es el valor máximo de [ , ].

4. El menor valor de la función hallado en el paso 2 es el valor mínimo de [ , ].

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES

Si ( ) está definida en el dominio A, tenemos las siguientes definiciones:

1. La función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo ( , ) centrado en c tal que ( ) ≤ ( ) ∈ ∩ ( , ). 2. La función f tiene un mínimo local en d si existe un intervalo ( , ) centrado en d tal que ( ) ≥ ( ) ∈ ∩ ( , ).

Para hallar los posibles máximos y mínimos locales de una función f definida en un intervalo I, podemos buscar de nuevo entre los siguientes tipos de puntos:

1. Puntos interiores de I donde ´( ) = 0. 2. Los dos extremos de I.

3. Puntos de I para los que no exista ´.

Teorema (Test de la derivada primera para puntos óptimos locales)

Supongamos que c es un punto estacionario de = ( ).

1. Si ´( ) ≥ 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y ´( ) ≤ 0 en un intervalo ( , ) a la derecha de c, entonces = es un máximo local de f.

2. Si ´( ) ≤ 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y ´( ) ≥ 0 en un intervalo ( , ) a la derecha de c, entonces = es un mínimo local de f.

3. Si ´( ) > 0 en un intervalo ( , ) a la izquierda de c y en un intervalo ( , ) a la derecha de c, entonces = no es un punto óptimo local de f. Lo mismo ocurre si ´( ) < 0 a ambos lados de c.

- 21 -

Test de la derivada segunda (condiciones suficientes)

Sea f una función derivable dos veces en un intervalo I. Supongamos que c es un punto interior de I. Entonces:

1. ´( ) = 0 ´´( ) < 0 implica que c es un máximo local estricto.

2. ´( ) = 0 ´´( ) > 0 implica que c es un mínimo local estricto.

3. ´( ) = 0 ´´( ) = 0 no podemos afirmar nada.

FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Suponiendo que f es una función continua en el intervalo I y derivable dos veces en el interior de I:

1. f es convexa en I si y sólo si ´´( ) ≥ 0 para todo x perteneciente al interior de I.

2. f es cóncava en I si y sólo si ´´( ) ≤ 0 para todo x perteneciente al interior de I.

Punto de inflexión

El punto c es un punto de inflexión de una función f derivable dos veces cuando existe un intervalo ( , ) centrado en c tal que se verifica una de las dos condiciones siguientes:

1. ´´( ) ≥ 0 < < ´´ ( ) ≤ 0 < < o 2. ´´( ) ≤ 0 < < ´´ ( ) ≥ 0 < <

Teorema (Test de puntos de inflexión)

Sea f una función con derivada segunda continua en un intervalo I y sea c un punto interior de I.

1. Si c es punto de inflexión de f, entonces ´´( ) = 0.

2. Si ´´( ) = 0 ´´ cambia de signo en c, entonces c es un punto de inflexión de f.

La condición ´´( ) = 0 es necesaria para que c sea un punto de inflexión. Sin embargo no es suficiente porque ´´( ) = 0 no implica que ´´ cambie de signo en = . (Ejemplo ( ) = 4x )

- 22 -

Teorema (Máximos y mínimos de funciones cóncavas y convexas)

Supongamos que f es una función cóncava (convexa) en un intervalo I. Si c es un punto estacionario de f interior a I, entonces c es un máximo (mínimo) de f en I. En otras palabras, si c es un punto interior de I, entonces:

1. ´´( ) ≤ 0 ∈ ´( ) = 0, entonces = es un máximo de f en I.

2. ´´( ) ≥ 0 ∈ ´( ) = 0, entonces = es un mínimo de f en I.

- 23 -

PROBLEMAS Tema 2: Funciones Reales de una Variable

Tema 3: Cálculo Diferencial PROBLEMA 1

Resolver en x las ecuaciones:

a) 3 = 27 b) 2 =

c) 5 = 25

PROBLEMA 2

a) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4). ¿Cuál es su pendiente? b) Escribir la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por (1,2). c) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (2,1) y radio 3 d) La ecuación + + 2 + 4 = 8, ¿a qué curva plana corresponde? e) Escribir la ecuación general de las parábolas con eje de simetría vertical y vértice (2,-1). ¿Cuál de ellas pasa

por el punto (0,0)?

PROBLEMA 3

a) Hallar el dominio de las siguientes funciones: ( ) = √ − 3 , ( ) = , ( ) = , ( ) = ( − 1) / − ( + 2) /

b) ¿Tienen el mismo domino ( ) = ( ) = √√ ?

c) Escribir el dominio y dibujar las gráficas de: ( ) = , ( ) = √

PROBLEMA 4

a) ¿Para qué valores de ∈ ≥ ?

b) ¿Cuál es conjunto de números ∈ para los que | −4| ≤ 3? ¿es acotado? ¿Cuáles son su supremo e ínfimo?

c) ¿Cuál es el conjunto de números ∈ para los que | −4| > 3? ¿es acotado? ¿Cuáles son su supremo e ínfimo?

- 24 -

PROBLEMA 5

Dibuja las gráficas de:

a) ( ) = | | , para | | ≤ 2 b) ( ) = | | , 0 < | | ≤ 2

PROBLEMA 6

Estudiar la continuidad y dibujar la gráfica de la función, = + |2 + 1 |

PROBLEMA 7

Encontrar ∈ tal que, en cada uno de los siguientes casos, hace a la función f continua para todo punto:

a) ( ) = + , < 0+ , ≥ 0

b) ( ) = 2 , <+ 2 , ≥

c) ( ) = , ≠ 12 , , = 1

d) ( ) = , ≠2 , =

PROBLEMA 8

Probar que cada una de estas ecuaciones tiene al menos una solución en el intervalo dado:

a) − 4 + 6 − 2 = 0 (−1,1). b) + 2 − 7 = 0 (0,2).

- 25 -

PROBLEMA 9

a) Sean , funciones continuas en el intervalo [ , ], y tales que ( ) < ( ), ( ) > ( ). Justificar que la ecuación ( ) = ( ) tiene al menos una solución en el intervalo ( , ).

b) Si f( ) = 1/ , (−1) < 0, (1) > 0 pero no existe ningún ∈ [−1,1] tal que ( ) = 0, ¿por qué este ejemplo no contradice el teorema de los valores intermedios?

PROBLEMA 10

Calcular ´( ) mediante la definición de derivada:

a) ( ) = 2 + 3 − 1 b) ( ) = − + c) ( ) = 1/

PROBLEMA 11

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) = 2 + 3 − + 5 en el punto (1,4).

PROBLEMA 12

Encontrar los valores de a, si existen, para los que las siguientes funciones son derivables en todo punto:

a) ( ) = , < 02 , ≥ 0

b) ( ) = + , < 0+ 2 , ≥ 0

c) ( ) = + , < 0+ 2 , ≥ 0

PROBLEMA 13

Hallar la aproximación lineal y cuadrática en los siguientes casos:

a) ( ) = (1 + ) en un entorno de = 0 b) ( ) = (1 − ) / en un entorno de = 2 c) ( ) = (1 + ) / en un entorno de = 0

- 26 -

PROBLEMA 14

Derivar las siguientes funciones:

a) = 3 b) = c) = 3 d) = √

e) = − √

f) ( )

g) ( )

h) =

i) ( ) = (2 − 7)(3 + 4 )

j) ( ) = + (3 − )

k) ( ) = ( + 4)√ l)

m)

n) √√

o) (2 + 1)( − )

p)

PROBLEMA 15

Calcular los valores de x para los que ´( ) = 0 siendo:

a) ( ) = 3 − 2 + 4 b) ( ) = − 3 c)

PROBLEMA 16

Calcular, usando la regla de la cadena, las derivadas de:

a) = ( )

b) = + √ c) = (√ + ) d) = +

e) =

f) = (cos ( )) g) =

- 27 -

PROBLEMA 17

Calcular ´ = , mediante derivación implícita, si y es función de x, cumpliendo estas ecuaciones:

a) = 2 b) 2 − + 2 = 3 c) ( + 2) = ( + 1) d) + = e) / + / = / f) 2 − =

PROBLEMA 18

Calcular las derivadas de las siguientes funciones usando derivación logarítmica:

a) ( ) = 2 b) ( ) = c) ( ) = d) ( ) =

PROBLEMA 19

Usar los cambios de signo de la derivada ´( )para localizar los puntos de máximo y mínimo en R de:

a) ( ) = 2 + 3 − 12 + 4 b) ( ) =

c) ( ) =

PROBLEMA 20

Hallar los puntos óptimos (máximo o mínimo) locales, con sus valores correspondientes, para las siguientes funciones en su dominio de definición:

a) ( ) = 5 − ( − 1) b) ( ) = 2 − 6 + 2 c) ( ) = +

d) ( ) =

- 28 -

PROBLEMA 21

Hallar los puntos de máximo y mínimo de cada función en el intervalo indicado:

a) ( ) = 4 − 2 + 2 [1,3] b) ( ) = − 6 + 4 [1,4]

c) ( ) = [2,4]

d) ( ) = − 10 [−1,3]

PROBLEMA 22

Estudiar las siguientes funciones:

Hallar el dominio. ¿En qué intervalos es continua?

Hallar los límites en los extremos de los intervalos de continuidad.

¿En qué intervalos es derivable?

Hallar los puntos de máximo y mínimo locales y globales.

Encontrar los intervalos de convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.

a) ( ) = 2 + 3 − 12 + 4

b) ( ) = + 3 + 3 + 4

c) ℎ( ) = − 6 + 8 + 2

d) ( ) = + 2 − 3 − 4 + 2

e) ( ) =

f) ℎ( ) =

g) =

- 29 -

Tema 4: Integración INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ACOTADAS SOBRE CONJUNTOS

COMPACTOS

Integral de una función acotada sobre un intervalo acotado

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: y sea [ ] Dba ⊂, . Intentamos aproximar el área comprendida entre la función y el eje de abscisas mediante las sumas superiores y sumas inferiores.

- 30 -

Cuantos más elementos tenga la partición, más conseguiremos acercarnos al área que queda entre la función y el eje de abscisas. La integral de f en el intervalo [ ]ba, se define como el área que queda limitada entre

la función y el eje y se denota b

af

.

Integrabilidad de funciones continuas

Si RRDf ⎯→⎯⊂: en continua en un intervalo [ ]ba, f es integrable en [ ]ba, .

Propiedades de la integral

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: , [ ] Dba ⊂, y f acotada en [ ]ba, , entonces

1. Sea [ ]bac ,∈ , si existen dos de las siguientes integrales, también existe la tercera y se cumple que

+=b

c

c

a

b

afff

2. 0=a

af

3. −=a

b

b

aff

4. Dadas dos funciones gf , acotadas e integrables en [ ]ba, , entonces gf + también es acotada e integrable en [ ]ba, y se verifica que

+=+b

a

b

a

b

agfgf

5. =b

a

b

afkfk·

6. Las funciones acotadas e integrables en un intervalo [ ]ba, tienen estructura de espacio vectorial. 7. Si dos funciones gf , son acotadas e integrables en [ ]ba, y )()( xgxf = salvo en un número

finito de puntos, entonces =b

a

b

adxxgdxxf )()( .

8. Si una función es continua en [ ]ba, salvo quizás en un número finito de puntos (seccionadamente continua), entonces f es integrable en [ ]ba, .

Integrales inmediatas

kaxdxx

aa +

+=

+

1

1

1−≠∀a kxdxx += ln1

+= kaxdxa kedxe xx +=

ka

adxax

x += ln kxdxx +−= cossin

kxdxx += sincos kea

dxe axax +=1

- 31 -

TEORÍA DEL CÁLCULO DE INTEGRALES

Primitiva o antiderivada de una función

Dada una función RRDf ⎯→⎯⊂: , se llama primitiva o antiderivada de f en [ ]ba, a toda función continua que cumpla que fF =' dentro de ),( ba . Si F es una primitiva de f , entonces también es primitiva kF + Rk ∈∀ .

Regla de Barrow

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: , f continua en [ ]ba, y sea F una primitiva de f en el intervalo [ ]ba, . Entonces

)()()( aFbFxfb

a−=

Cambio de variable

Sea f una función continua , en [ ]ba, y g una función con derivada continua en [ ]βα , tal que ag =)(α , bg =)(β y [ ] [ ]bag ,),( ⊂βα , entonces

( ) =b

adxxfdxxgxgf · )()(')(

β

α

Integración por partes

Sean gf , dos funciones con derivadas continuas en [ ]ba, . Entonces:

−−=b

a

b

agfagafbgbfgf '·)()·()()·('·

o bien

−=b

a

b

a

b

aduvvudvu ···

- 32 -

INTEGRALES IMPROPIAS

Integrales impropias de 1ª especie

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: tal que f es integrable en cada intervalo [ ]xa, ax ≥∀ . Se llama integral impropia de 1ª especie de f sobre el intervalo [ )+∞,a al límite:

∞→

∞=

x

axaflimf

Si el límite existe, se dice que la integral es convergente y en caso contrario, divergente. Análogamente, sea RRDf ⎯→⎯⊂: tal que f es integrable en cada intervalo [ ]ax, ax ≤∀ Se llama integral impropia de 1ª especie de f sobre el intervalo ( ]a,∞− al límite:

−∞→∞−=

a

xx

aflimf

Si el límite existe, se dice que la integral es convergente y en caso contrario, divergente.

Sea RRf ⎯→⎯: , si existe Ra ∈ de modo que existan las dos integrales impropias ∞−

af y

∞

af ,

entonces existe la integral impropia en el intervalo ),( ∞−∞ y se tiene que

∞

∞−

∞

∞−+=

a

afff

Si alguna de las integrales anteriores no existe, se dice que la integral es divergente.

Integrales impropias de 2ª especie

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: tal que f es integrable y acotada en cada subintervalo [ ] [ ]babx ,, ⊂ y tal que f no esta acotada por la derecha de a . Se llama integral impropia de 2ª especie de f sobre el intervalo [ ]ba, al límite:

>→+

=b

xaxax

b

aflimf

Sea RRDf ⎯→⎯⊂: tal que f es integrable y acotada en cada subintervalo [ ] [ ]baxa ,, ⊂ y tal que f no esta acotada por la izquierda de Se llama integral impropia de 2ª especie de f sobre el intervalo [ ]ba, al límite:

<→

−

=b

xbxbx

b

aflimf

En ambos casos, si existe el límite se dice que la integral es convergente y en caso contrario se dice que la integral es divergente.

- 33 -

INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL EN R2

Integración en un recinto rectangular. Teorema de Fubini

Sea RRDf ⎯→⎯⊂ 2: , f continua en D y sea el rectángulo [ ] [ ] DbabaU ⊂×= 2211 ,, , entonces:

dydxyxfdxdyyxffb

a

b

aU

b

a

b

a

=

= 2

2

1

1

1

1

2

2

),(),(

- 34 -

PROBLEMAS Tema 4: Integración

PROBLEMA 1 Calcular las siguientes integrales utilizando el método de cambio de variable:

a) ( ) dxxx 503

1

2 10·2 + b) dxe

ex

x

+

3

1 3 1

c) dxxx

8

3

ln d) dxex x ·cos2

0

sinπ

e) dxxx ·cossin f) dxex x

1

0

2

·

PROBLEMA 2 Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes: a) dxxx ·ln b) dxxx ·sin

c) dxex x + ( )·22 d) dxx ln

PROBLEMA 3 Clasifica y calcula, si es posible, las siguientes integrales:

a) (i) dxx

−2

3 10

10 (ii) dxe x ∞−

4 10

b) ∞

0)( dxxf

>≤≤

=− 2x

2·

20·)(

xexex

xfx

c) ∞−

1)( dxxf y

∞

∞−dxxf )(

220

0)(

1

2

>≤<

≤

=x

xx

xe

xf

x

x

d) ∞

−1dx

x

13

e) ∞−

4)( dxxf

4x

≤<≤<

≤

+=

110

0

2)( 1 x

x

x

exf

x

x

f) ∞

∞−dxxf )(

≤≤−>

=111

)(xxx

xf

2

x12

- 35 -

PROBLEMA 4

Sea la integral dxxx p− −2

1

2 )1·(2 , donde p es un entero.

a) Clasificar la integral para los distintos valores de p . b) Calcular la integral para 2=p . PROBLEMA 5

Considérese la integral dxx

a −0 3 1

4, donde 0>a .

a) Clasificar la integral para cada 0>a . b) Calcular la integral para 2=a . PROBLEMA 6

Sea la integral dxxx pq∞

−

− +1

)1·( con qp, enteros distintos de cero.

Clasificar la integral para los distintos valores de qp, . Calcular la integral, si es posible para 2=p y 1=q . PROBLEMA 7 Clasifica y calcula, si es posible, las siguientes integrales:

a) dxx

x

+

4

1 5 2 1

2 b) dx

x ∞− −

3

5)2(1

- 37 -

Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones Definiciones básicas Consideramos el conjunto { }niRxxxxR in

n ,,1 / ),,,( 21 =∀∈= y las operaciones suma y producto

por un escalar definidas de la siguiente forma: ),,( ),,( ),,( 1111 nnnn yxyxyyxx ++=+== yxyx

R∈λ y ),,( 1 nxx =x )·,,·(· 1 nxx λλλ =x

El espacio nR con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial. Subespacios vectoriales Sea E un espacio vectorial y S un subconjunto de E . Se dice que S es un subespacio vectorial de E si

S∈∀ yx, S∈+ yx R∈∀λ Sx∈∀ Sx∈·λ

Nota: El vector 0 está en todos los subespacios vectoriales, por tanto si un conjunto no contiene al vector 0 , no puede ser subespacio vectorial. Sistemas libres. Sistemas generadores Dado un sistema de vectores n1 xx ,, , se llama combinación lineal del sistema n1 xx ,, a todo

vector de la forma nnxxx λλ ++= 11 donde nλλ ,,1 son números reales cualesquiera.

Se dice que un sistema de vectores es ligado si alguno de los vectores es combinación lineal de los restantes. En caso contrario, se dice que el sistema es libre. Se define el rango de un sistema de vectores como el rango de la matriz que resulta al escribir los vectores en las columnas de una matriz. Un sistema de n vectores es libre si su rango es igual al número de vectores y es ligado si es menor que el número de vectores.

Rango n1 xx ,,

<=

ligado es sistema El

libre es sistema El

nn

- 38 -

Se dice que un sistema de vectores n1 xx ,, es sistema generador de un espacio vectorial E cuando

todo vector de E se puede escribir como combinación lineal de n1 xx ,, .

Bases Se dice que un sistema de vectores n1 xx ,, es base de un espacio vectorial E si:

n1 xx ,, es libre.

n1 xx ,, es sistema generador de E .

Un espacio vectorial puede tener infinitas bases, pero todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama dimensión del espacio. Se llama base canónica de nR a la base formada por los vectores )0,,0,1(1 =e )0,,1,0(2 =e ,...,

)1,,0,0( =ne

Teoremas:

Todo espacio vectorial tiene alguna base. La dimensión de un subespacio vectorial es siempre menor o igual que la del espacio en el que está

contenido. Sea un espacio vectorial de dimensión 1>n .Entonces:

Cualquier sistema de más de n vectores es ligado. Un sistema de menos de n vectores no puede ser generador. Todo sistema libre de n vectores es una base. Todo sistema generador de n vectores es una base.

Sea un espacio vectorial de dimensión n

Todo sistema libre de menos de n vectores se puede completar hasta obtener una base (completando con vectores de la base canónica).

Todo sistema generador de más de n vectores se puede reducir hasta obtener una base (eliminando los vectores que sean combinación lineal de los restantes).

- 39 -

ESPACIO EUCLÍDEO Producto interno Sean ),,( 1 nxx =x , ),,( 1 nyy =y dos vectores de nR . Se define el producto interno euclídeo entre

yx , como:

nn yxyx += 11yx

El producto interno verifica las siguientes propiedades: 1) 0≥xx nR∈∀x nR∈∀x

2) 0xxx =⇔= 0 nR∈∀x

3) xyyx = nR∈∀ yx,

4) xxxxxxx 22112211 λλλλ +=+ R∈∀ 21 , λλ nR∈∀ 21 ,, xxx

Al espacio vectorial nR con el producto interno interno así definido se le llama espacio euclídeo nR . Norma de un vector. Ángulo entre dos vectores

Llamamos norma del vector x al número real xxx = . 2xxx =

La norma verifica las siguientes propiedades: 1) 0≥x nR∈∀x

2) 0xx =⇔= 0 nR∈∀x

3) yxyx +≤+ nR∈∀ yx,

4) yxyx ·≤ nR∈∀ yx,

5) xx λλ = nR∈∀x R∈∀λ

Se define el ángulo formado entre dos vectores como el ángulo θ que cumple yxyx

·cos =θ .

- 40 -

Sistemas ortogonales y ortonormales Se dice que yx, son ortogonales cuando 0=yx .

Se dice que n1 xx ,, es un sistema ortogonal cuando jiji ≠∀= 0xx .

Se dice que n1 xx ,, es un sistema ortonornal cuando

===≠∀=

,1,...,1,10

21 n

ji jixxx

xx

Teoremas:

Si dos vectores son ortogonales, forman un ángulo de º90 . Si n1 xx ,, es un sistema ortogonal que no contiene al vector cero, entonces es libre.

Todo sistema ortonormal es libre. Un vector es ortogonal a todos los vectores de un subesapacio vectorial S cuando es ortogonal a todos

los vectores de una base de S .

- 41 -

MATRICES

Definiciones. Operaciones con matrices

Un matriz de orden mxn es una aplicación

{ } { }( ) ijaji

nmM⎯→⎯

ℜ⎯→⎯×

, ,...,1,...,1:

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

M

21

22221

11211

Se dice que una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de matrices cuadradas de orden n se denota ( )nM . Llamamos matriz fila a una matriz que está formada por una fila y n columnas, y llamamos matriz columna a una matriz formada por una columna y m filas. Se dice que una matriz es triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Análogamente se define triangular inferior. Dadas dos matrices del mismo orden, se define la matriz suma como la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar.

+++

++++++

=+

=

=

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

babababababa

BA

bbb

bbbbbb

B

aaa

aaaaaa

A

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

Dadas ( ) ( )pnMBnmMA ,,, ∈∈ , se puede definir la matriz producto como

=⋅

mnmm

n

n

ccc

cccccc

BA

21

22221

11211

donde ijc son el resultado de multiplicar la fila i por la columna j.

Notas: No siempre se pueden multiplicar matrices. El número de columnas de la primera tiene que coincidir con

el número de filas de la segunda. Aunque se puedan multiplicar, las matrices no verifican la propiedad conmutativa.

- 42 -

Traspuesta de una matriz

Se define la traspuesta de una matriz como la matriz que resulta al intercambiar filas por columnas, es decir:

=

=

nmnn

m

m

t

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

aaa

aaaaaa

A

21

22212

12111

21

22221

11211

Se dice que una matriz es simétrica cuando es igual a su traspuesta.

Matrices escalonadas

Se llama matriz escalonada a una matriz que verifica que cada una de las filas a partir de la segunda comienza por una sucesión de ceros que contiene algún cero más que la anterior. El primer elemento no nulo de cada fila se llama elemento cabecera de la fila. Se llama matriz escalonada reducida a una matriz escalonada que verifica que en las columnas en las que estén los elementos cabecera de las filas, todos los demás elementos son nulos.

Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz como el orden del mayor determinante distinto de cero contenido en esa matriz. El rango de una matriz no varía al aplicar a esa matriz cualquiera de las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales:

Intercambiar el orden de las filas Multiplicar una de las filas por un escalar (número real) distinto de cero. Sumar a una de las filas cualquiera de las otras. Aplicar reiteradamente cualquiera de las operaciones anteriores. El rango de una matriz escalonada es igual al número de filas con algún elemento distinto de cero. En la práctica, para calcular el rango de una matriz, haremos operaciones elementales hasta convertirla en una matriz escalonada y calcularermos el rango contando las filas no nulas. Matrices invertibles. Cálculo de la matriz inversa Se dice que una matriz cuadrada ( )nMA∈ es invertible si existe una matriz ( )nMA ∈−1 que cumpla que

nIAA =⋅ −1 y nIAA =⋅−1 . En la práctica, usaremos que ( )nMA∈ es invertible 0≠⇔ A .

Pasos para calcular la matriz inversa:

1. Calcular tA 2. Calcular ( )tc AAdjA =

3. cAA

A 11 =−

- 43 -

DETERMINANTES Determinante de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada )(nMA ∈ , se define su determinante como un número real asociado a esa matriz, que se calcula de la siguiente forma: Para 2=n

211222112221

1211 ·· aaaaaaaa

−=

Para 3=n

122133113223312213133221312312332211

333231

232221

131211

············ aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−++=

Desarrollo por una fila o columna Dada la matriz

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

se llama adjunto del elemento ija y se denota ijA a ( ) ji+−1 por el determinante que resulta al eliminar de la

matriz original la fila i y la columna j . Para calcular determinantes de orden mayor que 3, podemos utilizar el siguiente desarrollo:

Desarrollo por la fila i =

=n

jijij AaA

1

·

Desarrollo por la columna j =

=n

iijij AaA

1

·

- 44 -

Propiedades de los determinantes

1) Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por una constante, todo el determinante queda multiplicado por dicha constante.

nnnn

n

n

aaak

aaakaaak

21

22221

11211

·

··

=

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

k·

2) Si permutamos entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

12

22122

11112

21

22221

11211

−=

3) Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales entre si, su valor es cero. 4) Si a una fila o columna le sumamos una combinación lineal de las restantes, el determinante no varía. 5) BABA ·· =

- 45 -

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS Definiciones básicas Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto de ecuaciones:

(1)

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

yxaxaxa

yxaxaxayxaxaxa

2211

22222121

11212111

ija son los coeficientes del sistema

nxx ,1 son las incógnitas o variables independientes

myy ,1 son los términos independientes

Se llama solución del sistema a un vector ),,( 1 nxx que verifique todas las ecuaciones simultáneamente. Un sistema se dice que es compatible cuando tiene solución y se dice que es incompatible cuando no tiene solución. Los sistemas compatibles pueden ser determinados (solución única) o indeterminados (infinitas soluciones). Expresión matricial El sistema de ecuaciones lineales (1), se puede escribir de forma matricial considerando las matrices

),( nmMA ∈ matriz de coeficientes, )1,(nMX ∈ matriz incógnita e )1,(mMY ∈ matriz de términos independientes, de la siguiente manera.

=

⋅

mnnnmm

n

n

y

yy

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

⇔ YXA =·

Sistemas homogéneos Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero.

=+++

=+++=+++

0

00

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Es inmediato comprobar que si tomamos 0,,0,0 21 === nxxx , se cumplen todas las ecuaciones, es decir, un sistema homogéneo siempre tiene la solución )0,,0( (llamada solución trivial). Por tanto TODO SISTEMA HOMOGÉNEO ES COMPATIBLE.

- 46 -

Sistemas equivalentes Se dice que dos sistemas de ecuaciones con el mismo número de incógnitas son equivalentes cuanto tienen las mismas soluciones. Un sistema de ecuaciones es equivalente al sistema que resulta al efectuar con su matriz asociada operaciones elementales, es decir: Intercambiar el orden de las distintas ecuaciones. Multiplicar una de las ecuaciones por un escalar (nº real) distinto de cero. Sumar a una de las ecuaciones una combinación lineal de las restantes. Aplicar reiteradamente cualquiera de las operaciones anteriores. Teorema de Rouché Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, con la correspondiente matriz ampliada

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

[ ]

=

mmnm

n

n

baa

baabaa

BA

1

2221

1111

:

Si [ ] [ ]BArAr := SISTEMA COMPATIBLE

Si [ ] [ ] == BArAr : nº de incógnitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si [ ] [ ] <= BArAr : nº de incógnitas SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Si [ ] [ ]BArAr :< SISTEMA INCOMPATIBLE Método de Gauss. Método de Gauss-Jordan. El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en un sistema equivalente que sea escalonado. Así calcularemos fácilmente el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada, contando el número de filas distintas de cero. Pasos a seguir:

1) Escribir la matriz ampliada 2) Hallar una matriz escalonada equivalente a la anterior usando operaciones elementales. 3) Discutir el sistema utilizando el Teorema de Rouché. 4) Si es compatible, escribimos el sistema equivalente y resolvemos.

El Método de Gauss-Jordan es análogo al método de Gauss, pero obteniendo una matriz escalonada reducida.

- 47 -

PROBLEMAS Tema 5: Vectores, Matrices y Sistemas De Ecuaciones

PROBLEMA 1

a) Sean nR∈yx, . Probar que si yx, son ortogonales, entonces 222 yxyx +=− .

b) Sean nR∈yx, . Demostrar que si yx = , entonces 0=−+ yxyx .

PROBLEMA 2

¿Para qué valores de R∈α son ortogonales los vectores )1,0,1,( −αα y )1,3,,2( αα ? ¿y los vectores )1,0,,( −αα y )1,,0,2( αα ? PROBLEMA 3

Dado el conjunto )4,4,2(),,4,5( aS = , Calcular:

a) El valor de Ra ∈ para que el vector ( )1,2,2 − sea ortogonal a x S∈∀x . PROBLEMA 4 Calcular el rango de las siguientes matrices:

a)

−−−

325214421

b)

−−−

812278541

c)

−−−

123235124

d)

401121012110

e)

−−

111111111111

f)

−−

−

729541732152

PROBLEMA 5 Calcular la inversa de la siguientes matrices:

a)

−− 325436752

b)

−−−−

153132543

c)

351493372

d)

−)cos()sin()sin()cos(

αααα

- 48 -

PROBLEMA 6

Resolver mediante el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

=++−=−−

=+−

03122

52

zyxzyxzyx

b)

=++−=++

=++=++

2212

333022

zyxzyxzyxzyx

c)

=++=+−=++

04432362

zyxzyxzyx

d)

=−+=+−=−+

8233423

zyxzyxzyx

e)

=−+=−+=+−

05354257643

zyxzyxzyx

PROBLEMA 7

Discutir y resolver los siguientes sistemas según los distintos valores de Ra ∈ :

a)

=++=++

23

zyaxazyx

b)

=++−=−+=++

azyxzyxzyx

9753203

PROBLEMA 8

Discutir los siguientes sistemas según los valores de los parámetros Rba ∈, .

a)

=+=+−=++

bazxzyxzyx

213

b)

=++=+=+−

2242

zyxzx

bzayx

c)

=+=++=−+

54531

ayxazayxzyx