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Matemática y Razonamiento

Lógico6to. semestre EMT

Seguimos develando los extraordinarios apren-dizajes de dos disciplinas que van de la mano: la Matemática y la Física. ¿Por qué estudiarlas? Hay una sencilla pero poderosa razón: estas nos per-miten explicar numerosos fenómenos de nuestro diario acontecer que suelen ser complejos, dado que intervienen muchos factores o variables si-multáneamente. Algunos fenómenos son sus-ceptibles de ser medidos y estudiados mediantes modelos matemáticos o físicos, cuya finalidad es simplificar el hecho en cuestión para que lo com-prendas de una forma clara y sencilla. ¡Sin estas disciplinas no podríamos entender los fenómenos de la naturaleza! Los modelos pueden presentar-se a través de una sencilla ecuación o mediante un dibujo, como es el caso del estudio del átomo.

Los modelos suelen ser abstracciones que nos ayudan a imaginar lo que no podemos ver y hacer predicciones sobre el comportamiento de ciertos fenómenos. En la física, además, se hace énfasis

Seguimos develando los extraordinarios aprendizajes de dos disciplinas que van de la mano: la Matemática y la Física. ¿Por qué estudiarlas? Hay una sencilla pero poderosa razón: estas nos permiten explicar numerosos fenómenos de nuestro diario acontecer que suelen ser complejos, dado que intervie-nen muchos factores o variables simultáneamente. Algunos fenómenos son susceptibles de ser medidos y estudiados me-diantes modelos matemáticos o físicos, cuya finalidad es simplificar el hecho en cuestión para que lo comprendas de una forma clara y sencilla. ¡Sin estas disciplinas no podría-mos entender los fenómenos de la naturaleza! Los modelos pueden presentarse a través de una sencilla ecuación o me-diante un dibujo, como es el caso del estudio del átomo.

Semana 1Conoce tu casa de estudio

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Presentación

Conoce tu casa de estudio Semana 1en el uso de analogías. En general, todos los contenidos de esta guía apuntan a for-mar personas integrales, capaces de tomar decisiones, críticas de su propio trabajo, constructoras de una sociedad fraterna donde se resalte el valor de todos los seres por igual. Veamos algunos aportes de esta área a la formación del desarrollo humano:

• Capacidadparasolventarproblemasdelavidadiaria.

• Comprender la importanciayutilidadde laMatemáticay laFísicaennuestrodiario vivir.

• Reconocereidentificarlosprocesosypropiedadespropiosdecadadisciplina.

• Adoptar actitudes propias del pensamiento científico como la capacidad deanálisis e inferencia, formulación de hipótesis, comprobación de resultados, perseverancia en la solución de ejercicios y apertura a nuevas ideas.

• Compartirexperienciasyparticiparagustoeneltrabajoenequipo.

En la construcción del conocimiento partimos de tus saberes previos, pero, no nos estancamos allí, buscamos crecer, abrir nuevos horizontes, conocer el fundamento del mundo tecnológico en el cual estamos inmersos. Y para no hacer a un lado las inno-vaciones, hemos enfocado los temas (en la medida de lo posible) considerando las aplicaciones de la Física en los avances tecnológicos creados por la mente infinita de seres humanos.

Probablemente después de leer no encuentres respuestas a todas las preguntas planteadas al final de la semana. Pues, precisamente, el propósito de esta guía es lle-varte a la investigación, a que indagues y que busques los conocimientos que resultan complejos. Nuestra meta es ambiciosa pero no imposible: formar personas que se in-teresen en la investigación científica, como elemento clave para mejorar la calidad de vida de nuestras sociedades.

Al igual que en los semestres anteriores, las semanas toman en cuenta los temas centrales,queson:“Movimientoycambio”,“Construccióndeciudadanía”y“Desarrollosustentable”.

Siempre el primer encuentro de una jornada, taller, inicio de semestre, es motivo de inquie-tudes. ¿Qué beneficios voy a obtener allí?, ¿qué me ofrecen?, ¿qué cosas nuevas me aporta-rán? Nosotros te ofrecemos el combustible para tu vehículo y de ti dependerá ponerlo en marcha y dirigirlo por cami-nos cuesta arriba, empinados, llenos de piedras, por trinche-ras o por carreteras. Así que te motivamos para que sigas y no abandones tus convicciones, pero eres tú el único capaz de decidir si aceptas nuestras recomendaciones, si investigas, realizas las actividades, participas y te involucras en los intercambios de experiencias con tus compañeros delCentroComunitariodeAprendizaje(CCA).Comoves,estesistemaesmaravilloso,porque las reglas, los horarios personales de estudio y cómo aprender, lo decides tú. ¡Éxitos!

Diviérteteconesteamargana,¡Ups!Perdón,anagrama.Unanagramaesunapalabrao frase obtenida mediante la transposición de las letras de otra palabra o frase, por ejemplo un anagrama de la palabra “letras” sería “lastre” y el anagrama de “frase” sería “fresa”.

Ahora, debes completar los espacios en blanco para descubrir la frase misteriosa. ¿Cómo?Búscalesentidoalaspalabrasycolócalasensurespectivocolor.

1. Cocaidenu 2. Abrile 3.Censada 4. Giraincano

La ____________ nos _____________ de las ____________ de la _____________

Duranteestasemanatenemostrescosasenmenteparati:primero,mostrartequéeselIRFA;segundo,motivarteparaquecomiencesainteractuarcontuscompañerosy, por último, a través de una lectura, miraremos cómo ha sido nuestro actuar hasta el momento para aprender de la experiencia.

Conoce tu casa de estudioSemana 1 Semana 1Conoce tu casa de estudio

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Saber más

Enriquece tu vida disfrutando de interesantes mini lecturas para reflexionar, dis-ponibles en la siguiente dirección web: http://www.shoshan.cl/tesoro_de_pala-bras.html

EltiempodeeducaciónqueofreceelIRFA,paraseraprovechadoalmáximonecesitadel intercambio de ideas con tus compañeros acerca de una temática, socializando así los aprendizajes, es decir, se construye el conocimiento nutriéndose con los saberes del otro. Por lo cual, te invitamos a que te acerques a tus compañeros, te presentes y dialogues sobre lo que consideras pertinente, intercambia con ellos los números de teléfonos y direcciones de correo electrónico.

Comoes costumbreal iniciode semestre,diseña tuhorariodeestudiopersonal;sujeto, claro está, a tu dinámica real de trabajo.

Tanto para aprender

La culpa es de la vaca (2002)

Aprendí que la mayoría de las cosas por las que me preocupo nunca suceden.

Aprendí que cada logro alguna vez fue considerado imposible.

Aprendí que nada de valor se obtiene sin esfuerzo.

Aprendí que nunca hay que dormirse sin resolver una discusión pendiente.

Aprendí que no debemos mirar atrás, excepto para aprender.

Aprendí que hay que luchar por las cosas en las que creemos.

Aprendí que las personas son tan felices como deciden serlo.

Aprendí que los días pueden ser largos, pero la vida es corta.

Aprendí que si tu vida está libre de fracasos, es porque no has arriesgado lo suficiente.

Aprendí que es bueno estar satisfecho con lo que tenemos, pero nunca con lo que somos.

Aprendí que el odio es como el ácido: destruye el recipiente que lo contiene.

Aprendí que todavía tengo mucho que aprender.

Toma una hoja de papel y en una de sus caras escribe los aprendizajes obtenidos de las buenas experiencias y, si lo deseas, de las experiencias no gratas. En la otra cara de la hoja escribe lo que consideres que te hace falta para ser mejor hijo, mejor padre de familia,mejorcompañero,enfin,paraseguircreciendo;anexatambiénloquefaltapor reforzar o aprender desde el ámbito académico. Ten siempre presente lo que falta por aprender y en función de esto dirige tus actividades. Guarda la hoja, posterior-mente volveremos nuestra mirada sobre ella.

Si escribes con la tinta de tu corazón, tus legados quedarán grabados en el pergamino de la vida.

Diagnóstico de aprendizajes Semana 2 Semana 2Diagnóstico de aprendizajes

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Apreciado participante: en esta semana, como es cos-tumbre, te mostramos una vista panorámica de los te-mas del área. A grosso modo veremos cómo serán aborda-dos durante este semestre y daremos algunas sugerencias para que aproveches este ma-terial al máximo. Además se proponen una serie de ejer-cicios del semestre anterior, que puedes asumir como una evaluación diagnóstica cuya única finalidad es detectar las fallas y fortalezas, ¡jamás para juzgar ni encasillar! También dejamos “colar” algunos pro-blemas de esta guía, otros de

razonamiento lógico y algunas curiosidades matemáticas, para incentivar y encender en ti una “chispa de curiosidad”, para motivar tu creatividad.

Resuelveestecrucigramamixto.

Verticales Horizontales

1. Valor de la velocidad en un movi-miento circular uniforme.

3.Unidaddelamagnitudtiempo.

2. Método analítico de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

6. Sistema de ecuaciones que no tiene solución.

4. Variación de la velocidad respecto al tiempo.

9. Elemento de un vector.

5. Valor absoluto del desplazamiento. 10. Magnitud usada para medir el largo de una manguera.

7. Magnitud escalar.

8. Segmento de recta orientado.

Diagnóstico de aprendizajesSemana 2

Nuestro primer bloque de temas está referido a las Leyes de la dinámica o Leyes de Newton. Las planteamos considerando el contexto histórico para que veas que éstas no surgieron de la noche a la mañana, sino que ameritaron la experimentación, obser-vación cuidadosa, paciencia y cambios radicales en las formas de pensar. Estas cues-tiones están intrínsecamente relacionadas con el tema central “Movimiento y cambio”. Nuestro mundo no está quieto, sino en constante interacción con los demás entes del universo. En el transcurso de estos temas verás que se hace énfasis en el análisis de situaciones de tu diario acontecer, tratadas desde un punto de vista científico. Tendrás la oportunidad de realizar algunos experimentos y de asumir tu papel de investigador, a través de las preguntas que te planteamos.

Luego presentamos un bloque de contenidos de Matemática. Allí abordaremos tópi-cos que dan continuidad al tema de los radicales, como son las operaciones básicas y la racionalización.Paraayudarenla“Construccióndeciudadanía”queesnuestrosegun-do tema central, proponemos unas lecturas que invitan a reflexionar sobre los aportes que haces para afianzar la identidad nacional. También se incluyen temas de geome-tría, como el Teorema de Tales, que nos permite hallar segmentos proporcionales.

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Por último, retomamos otros tópicos de Física, calor y temperatura, donde esta-bleceremos la diferencia entre estos dos conceptos y los efectos que pueden causar las centrales térmicas al ambiente. Veremos que hay formas de energía alternativas, comoeselcasodelaenergíasolar,teniendocomomarcoeltemacentral“Desarrollosustentable”.

Saber más

Sugerencias para obtener un aprendizaje integral: realiza las actividades y expe-rimentos, consulta las direcciones web recomendadas, no dudes en revisar otras fuentes bibliográficas (enciclopedias, revistas científicas y educativas), acude en lamedidadeloposiblealaBibliotecadetuEstado.Sivasaestudiarestascien-cias debes ser un investigador, indagando y preguntándote el por qué de las cosas.RevisaelCDmultimediadeestesemestrequehasidodiseñadoparamos-trar los contenidos en forma lúdica, activando todos tus sentidos para potenciar aprendizajes eficaces. Te invitamos a compartir tus conocimientos asertivos y tus dudas. ¡Anímate a trabajar en equipo!

1. Unjovensaledesucasa,caminaporlacallehastaunatienda,dondetomaunrefresco, e inmediatamente regresa a su hogar. En la figura 1, t representa el tiempo transcurrido desde el instante que salió de casa y d la distancia hasta su casa en cada instante. Trata de interpretar el gráfico que describe la situación y responde:

a) ¿Qué distancia hay desde la casa del joven a la tienda y cuánto tarda en llegar a ella?

b) ¿Cuántotiempopermaneceallí?

c) ¿Cuántotardóparavolveracasa?

d) Calculalarapidezencadatramo.

Figura 1

200

5.0 10 15 20 25

d (m)

t (minutos)

2. Unaviónvuelahaciaelnortea300km/h,mientrasqueotrovuelahaciaelsura300km/h.¿Sonigualessusrapideces?,¿sonigualessusvelocidades?Explicaporqué.

3. Laluzviajaenlínearectaconunarapidezconstantede300,000km/s.¿Cuálessu aceleración?

4. Describeunejemplodealgoqueacelereyque,almismotiempo,semuevaconrapidez constante. ¿Puedes describir también un ejemplo de algo que acelere y al mismo tiempo tenga una velocidad constante? Explica tu respuesta.

5. En un domingo de paseo al zoológico asistieron 183 personas. Si las entradas deadultoscuestanBs.11ylaentradadeniñosBs.7yserecaudaronBs.1521.¿Cuántosniñosycuántosadultosasistieron?

6. Cuandococinasalgúnalimentoenunasarténconmangometálicoodemadera,por experiencia sabes que al cabo de poco tiempo no podrás sujetar el sartén con mango metálico, pero si podrás sujetar el de madera. Explica a qué se debe este fenómeno.

7. Indica cuál es el cambio de fase en cada una de las siguientes situaciones:

a)Untrozodehielosedejaalairelibreysederrite.

b) La ropa mojada se saca al sol para que se seque.

c) La acetona se “desvanece” si se deja el frasco destapado.

d)Untrozodenaftalina“desaparece”enelinteriordeuncloset.

8. Algunos centros comerciales tienen pistas de hielo. Has notado que algunos jóvenes para tomar impulso empujan (aplican una fuerza) contra la pared y ésta también ejerce una fuerza sobre ellos. ¿Qué ley física está presente en esta situación?

9. Sabes que un cuerpo que está en caída libre cerca de la superficie de la Tierra tiene una aceleración de 9,8m/s2.¿Cuáleslafuerzaqueproporcionaestaaceleraciónal cuerpo?

10. ¿Por qué no es aconsejable que tomes un molde caliente con un trapo mojado?

11. En un espectáculo de caballos, los jinetes han situado sus animales en forma de trianguloconunvérticedirigidoa la izquierda. ¿Cómoharíanparaqueeltriángulo quede con un vértice dirigido a la derecha, desplazando tan solo 3 caballos? (ver figura 2).

Figura 2


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Figura 4

Sus contemporáneos reconocieron el hecho de que, en realidad, Aquiles acabaría adelantandoalatortuga;suproblemaeraquesusmatemáticasnopodíanmostrardonde estaba la clave de este pensamiento de Zenón. La geometría griega no tenía en cuenta el tiempo, por lo que no podía saber que Aquiles terminaría superando a la tortuga. La nueva geometría desarrollada por el científico inglés Isaac Newton en los siglos XVII y XVIII introdujo el concepto de tiempo. La figura 4 muestra claramente dónde y cuándo Aquiles alcanzará a la tortuga.

Investiga la relación entre la Física y la Tecnología, sobre los aportes de la primera en el progreso y bienestar de las sociedades. Indaga además por qué la Matemática juega un papel muy destacado para las ciencias y la ingeniera.

No hay que hacer de prisa lo que quieres que te dure toda una vida. Mann.

12. Esta cruz se ha hecho con 12 fichas del juego de damas. Si contamos con la fichas deAaBodeAaC,odeAaD,siemprehallamosuntotalde8.¿Sepuedehacerunacruzcon10fichasenlaquelostrayectosAB,ACyADsumentambién8?

Figura 3

Paradoja de Zenón sobre la carrera entre Aquiles y la tortuga

Moscovich, Ivan (2009)

La más famosa paradoja de Zenón (matemático de la antigua Grecia) es la de la ca-rrera entre Aquiles y una tortuga. En esta carrera Aquiles concede a la tortuga una ventaja de salida de 100 unidades de distancia, dado que él corre diez veces más rápi-do. El relato de Zenón dice: Aquiles corre 100 unidades y llega al punto donde arrancó la tortuga, pero en ese tiempo la tortuga ha cubierto una décima parte de lo que ha corridoél,esoes10unidadespordelantedeAquiles.Éstecubreesas10unidades;mientras la tortuga va una décima más lejos otra vez, y ahora está 1 unidad por de-lante de Aquiles. Por ello, razona Zenón, Aquiles siempre está detrás de la tortuga, acercándosele más y más, pero sin lograr alcanzarla. La conclusión de Zenón fue que a Aquiles le llevaría un tiempo infinito alcanzar a la tortuga y que su viaje se divide en infinitas partes. La distancia original no puede ser recorrida y por ello el movimiento es imposible.

Ahora, si sabemos que el movimiento es posible, entonces, ¿qué falla en la lógica de Zenón?, ¿puedes encontrar el razonamiento incorrecto en sus argumentos?

A

B

C D120110100

908070605040302010

0 10 20 30 40 50 60Salida

de Aquiles

Salida de la tortuga

tortuga

Aquiles

Salida de Aquiles Salida de la tortuga0 100 110 111

¡Que la fuerza te acompañe!Semana 3 Semana 3¡Que la fuerza te acompañe!

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Bienvenidos a otro mara-villoso encuentro con el fas-cinante mundo de la Física. Arranquemos, como decimos coloquialmente, ¡con las pilas puestas!

Durante el semestre anteriornos dedicamos al movimiento de los cuerpos, pero sin indagar las causas que lo producen, es decir, nos limitamos al estudio de la Cinemática. Ahora esta-mos interesados en saber ¿qué es lo que produce el movimien-to? E indudablemente esto nos introduce a un campo que complementa el anterior, la Dinámica. Esta rama de la Física se encarga de describir cuáles son las causas o “razo-nes” que modifican el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo.

En esta semana estableceremos el concepto de fuerza, su carácter vectorial y la re-gla de equilibrio. El propósito reside en que logres explicar fenómenos de tu diario acontecer donde se evidencia la aplicación de fuerzas. Y, en consonancia con el tema central “Movimiento y cambio”, estudiaremos el tipo de movimiento que desarrollan los cuerpos y cuál es la razón de determinados cambios.

Para cuestionarnos, examínenos las ideas que poseemos respecto a las siguientes interrogantes: ¿por qué cuando lanzas cualquier objeto, éste cae?, ¿por qué se mueve una moneda al acercarle un imán?, ¿qué es para ti la fuerza?, ¿es posible que si un ob-jeto se encuentra en “reposo” o detenido estén actuando fuerzas sobre él?

Posiblemente habrás escuchado a algunos aficionados decir “Que la fuerza te acom-pañe”. Esta frase fue utilizada por los personajes de la famosa trilogía del universo de ficción, “Star Wars” (“La guerra de las galaxias”), que indicaba buena suerte, sabi-duría,logrodeobjetivos.Cabeahorapreguntarnos¿quéeslafuerza?,¿unconjuntode cualidades?, ¿rendimiento físico?, ¿poder? A diario usamos este término en frases como: “ese hombre es muy fuerte, él solo logró levantar ese tronco”, “estoy cansado, he quedadosinfuerzas”.Constantementecuandorealizamosactividadeshacemosfuer-za contra algo: si corremos hacemos fuerza contra el suelo, cuando jugamos fútbol le damos fuerza al balón. En fin, esta palabra tiene una acepción muy amplia, ¡búscala en el diccionario! Podemos afirmar que la mayoría de las personas asocian la fuerza con “algo que nos impulsa”, “jalones” o “resistencia”.

¡Que la fuerza te acompañe!Semana 3Interacción de los cuerpos

Detallalassiguientessituacionesquepermitiránestablecerloqueimplicalafuerza.Deantemanotecomentamosqueésteesuntérminocomplejodesdeelpuntodevista físico.

1. Si acercamos un imán a un clavo, podemos notar la acción mutua entre ellos.

2.Cuandopateasunbalón,hayunaacciónmutuaentretupieyelbalón.

3.Cuandounfuertevientogolpealasaspasdeunmolino,sedicequehubounainteracción entre las aspas y el viento.

4. Si sueltas un objeto, evidentemente caerá atraído por la Tierra. Hay una acción mutua Tierra-objeto.

Delosejemplosanteriores,tenemosquelaacciónmutuaquesueleocurrirentredoso más cuerpos en la naturaleza se denomina interacción. Y se conocen tres formas básicas en que puede interaccionar la materia. Estas interacciones son las gravitato-rias, las electromagnéticas y las nucleares. Anímate a ampliar la información sobre éstas en la sección de Lecturas complementarias. Algunas interacciones pueden ser de atracción, como es el caso de la interacción gravitatoria, o de repulsión y atracción, como es el caso de las interacciones electromagnéticas.

Comoconsecuenciadelasinteraccionesentrecuerpos,aparecensobreefectosaloscuales daremos el nombre de fuerza. Por ejemplo, al interaccionar el clavo y el imán, aparece la fuerza magnética;al interactuarlaTierraycualquierobjeto,aparecedeuna manera natural la fuerza gravitatoria. Por tanto, podemos decir que:

La fuerza es una consecuencia de las interacciones entre cuer-pos o, dicho de otra manera, la intensidad de una interacción la denominamos fuerza.

Clases de fuerzas

Haydostiposdefuerzas,unasllamadasdecontactoyotrasdeacciónadistancia.Delos ejemplos 1 y 4 se puede deducir que las fuerzas magnéticas (también eléctricas) y la fuerza de atracción de la Tierra son ejercidas sin necesidad de contacto entre los cuerpos, son fuerzas de acción a distancia. Mientras que en los ejemplos 2 y 3 estas fuerzas sólo pueden ser ejercidas si existe contacto directo entre los cuerpos, por lo que se dice que son fuerzas de contacto;porejemplo,cuandohalasunobjetoatra-vés de una cuerda.

Las fuerzas producen efectos al aplicarse sobre un cuerpo, por ejemplo, la fuerza hace que un palo de golf cambie el estado de reposo de una pelota y la ponga en movimiento;tambiénunafuerzapuedehacerlocontrario:detener un objeto en mo-vimiento,queesloqueocurreenelcasodelosfrenosdeunautomóvil;ademásunafuerza puede cambiar la forma de un objeto (depende del material del objeto), como cuando un niño presiona la plastilina. A parte de los efectos anteriores, la fuerza es capaz de cambiar la trayectoria de los cuerpos.


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Fuerza es la acción capaz de deformar un cuerpo o de modifi-car su estado de reposo o de movimiento.

Observa la figura 5 y responde: ¿en qué sentido están haciendo la fuerza estas per-sonas? Si las dos personas aplican una fuerza con la misma intensidad, ¿qué pasará con el carrito?

Figura 5

Detusrespuestashabrásadvertidoquelafuerza es una magnitud vectorial (re-visa el tema de Vectores de la guía del semestre 5to), ya que ésta precisa de dirección y sentido. En la figura 5 las personas están haciendo una fuerza sobre el carro, la di-rección de la fuerza es la misma, pero los sentidos son contrarios: una persona hace la fuerza a la derecha mientras la otra la hace hacia la izquierda.

La figura 6 muestra un bloque que se desplaza en dirección horizontal hacia la de-recha y cuya magnitud es F = 2N (medida de la intensidad de la fuerza). Ten en cuenta que para representar y cuantificar las magnitudes vectoriales se usan vectores.

Figura 6

Cuandoseejercenfuerzasdeigualmagnitud(intensidad)sobreunmismoobjeto,en la misma dirección pero de sentidos contrarios, las fuerzas se cancelan y el objeto permanece en equilibrio.

La punta de la flechadefine el sentido

La dirección viene dadapor la recta de acción

El valor o módulo se representa por lalongituddelvector.Cuantomáslargosea mayor es la fuerza

F= 2N

Σ

Resistencia Empuje

En notación matemática, la regla de equilibrio se expresa así: F = 0

El símbolo Σ representa “la suma vectorial de” y la F representa “fuerzas”. La regla manifiesta que las fuerzas que actúan hacia arriba (hacia la derecha o izquierda) sobre algo que está en reposo deben estar equilibradas por otras fuerzas que actúan hacia abajo (hacia la izquierda o derecha), para que la suma vectorial sea igual a cero.

Una pregunta que desafía… ¿Equilibrio de cosas en movimiento?

Pararesponderaestapregunta,temostramosunasituación:Unaviónvuelaarapi-dez constante en una trayectoria recta y horizontal. En otras palabras, el avión, al volar, está en equilibrio. Sobre él actúan dos fuerzas horizontales: una es el empuje de las hélices, que lo impulsa hacia adelante y la otra es la resistencia al aire, que actúa en ladirecciónopuesta.¿Cuáldeellaseslamayor?Sidetallasconatención,elproblemamanifiestaqueelavióntieneMRUyaseveraqueestáenequilibrio¿esestoposible?

Figura 7

El reposo sólo es una forma de equilibrio

Unobjetoquesemueveconrapidezconstanteenunatrayectoriarectilíneatambiénestá en equilibrio. El equilibrio es un estado donde no hay cambios de movimiento.

¡Ah! podemos decir entonces que un cuerpo cumple con la condición de equilibrio si se encuentra en los siguientes casos:

1. El cuerpo se halla “inmóvil”

2. El cuerpo tiene movimiento rectilíneo uniforme

Hemos visto que sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas simultáneamente pero, ¿es posible reemplazar esas fuerzas por solo una? La respuesta es sí. Analicemos otroejemploparaafianzarlasideas:Unauto“estáquedado”enplenavía,loschicosdel auto aplican una fuerza por detrás del mismo para modificar su estado de repo-so, pero a uno de ellos se le ocurre que mejor sería atarlo a otro carro para moverlo. Efectivamente, solo la fuerza del carro es capaz de hacer el mismo efecto que las fuer-zas de todos ellos. Lo anterior muestra que varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden ser sustituidas por una sola fuerza que realice el mismo efecto. Esta fuerza


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única se llama fuerza neta o resultante y se obtiene de la suma vectorial de todas las fuerzas.Retomandoelejemplo,paraqueelcarrosemueva¿cómodebeserlafuerzaneta resultante?

Comotodaslasmagnitudes,lafuerzatienesurespectivaunidad,enelSIU(SistemaInternacionaldeUnidades):elNewton (N), en honor al científico Isaac Newton.

A modo de resumen:

• Loscambiosdemovimientosonproducidosporunafuerza, su causa puede ser gravitacional, eléctrica o magnética o simplemente esfuerzo muscular.

• Cuando sobreun cuerpo actúamásdeuna fuerza, lo que se considera es lafuerza neta o resultante (la sumatoria de todas las fuerzas).

• Cuandolafuerzanetaqueactúasobreuncuerpoescero,sedicequeesecuerpoestá en equilibro.

Saber más

En esta dirección web http://www.araucaria2000.cl/fuerza/fuerza.htm puedes ampliar la información sobre el carácter vectorial de la fuerza.

1. En la columna de la derecha halla la fuerza neta o resultante e indica el sentido hacia donde se moverá el objeto.

Fuerza aplicada Fuerza neta o resultante

5N

5N

5N 5N

5N10 N

2.¿Cuáleslafuerzanetasobreunobjetodelcualsetiracon100Nhacialaderechay con 30N hacia la izquierda?, ¿cuál es el sentido de la fuerza resultante?

3. ¿Puede estar un objeto en equilibrio mecánico cuando sólo hay una fuerza que actué sobre él? Explica por qué.

4. ¿Cuál es la prueba para decidir si un objeto en movimiento está o no enequilibrio?

El origen de las interacciones

Delastresinteraccionesfundamentales,unadeellasoperaenlaescaladelnúcleoatómico (a distancias menores que 10-12m), pero produce enormes efectos observa-bles: son las interacciones nucleares (nuclear fuerte y nuclear débil). En las dimen-siones cósmicas domina la gravedad, que es la atracción universal de la materia, pro-motora de la aparición de galaxias, estrellas y planetas. También se registra en todo fenómeno de nuestra experiencia terrestre asociado a la caída de cuerpos: cursos de agua, proyectiles, tropismos. La interacción electromagnética, consiste en la fuerza de atracción o de repulsión mutua entre dos objetos, debido a una propiedad deno-minada carga eléctrica. Las fuerzas actuantes son llamadas fuerzas electrostáticas si las cargas están en reposo, pero cuando éstas se ponen en movimiento se llaman fuerzas electromagnéticas.

Continúaestalecturaenlasiguientedirecciónweb:www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/Tema6a.html

1. La figura 8 muestra un andamio de pintor en equilibrio mecánico. La persona pesa 250N y las tensiones en cada cuerda son de 200N ¿cuál es el peso del andamio?

Figura 8

2. Imagina que vas en un auto desplazándote en una carretera horizontal, con MRU.Elmotorproporcionaalautounafuerzadepropulsión1500N.Responde:a)¿Cuáleselvalordelaresultantedelasfuerzasqueactúansobreelauto?;b)¿Cuáleselvalordelasfuerzasderetardaciónquetiendenaactuarensentidocontrario al movimiento del auto?

No pidas tareas iguales a tus fuerzas, pide fuerzas iguales a tus tareas.Brooks.

200 N 200 N

W=?250 N

Ley de inerciaSemana 4 Semana 4Ley de inercia

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Estimado participante, ¡man-tente dinámico y activo! Primero, para que vayas a tono con el tema central: “Movimiento y cambio”; y segundo, porqueempezaremos a estudiar las Leyes de la dinámica o Leyes de Newton.

Hemos organizado el con-tenido tomando en cuenta el contexto histórico, pues éste es fundamental para comprender las teorías que abordaremos. Realizaremos un recuento quedescribe el antagonismo en las ideas de los pensadores de la época, veremos que a través de los experimentos del italiano

Galileo Galilei se logran cambios radicales en cuanto a las concepciones de las mis-mas, sentando las bases para que el inglés Sir Isaac Newton formule las leyes que hoy llevan su nombre. La comprensión de la Primera Ley de inercia o Ley de Newton nos ayudará a darle explicación científica a las múltiples situaciones de nuestro diario acontecer como, por ejemplo, explicar por qué en un choque automovilístico nuestro cuerpo sale “despedido” si no usamos el cinturón de seguridad.

A continuación se muestran dos situaciones concretas que engloban las ideas a tra-tar en esta semana. Procura darle respuesta y compartirlas con tus compañeros del CCA.

1. ¿Por qué cuándo un autobús frena, los pasajeros son impulsados hacia delante?, ¿por qué si el autobús estando en reposo, arranca bruscamente, tu cuerpo es impulsado hacia atrás?

Figura 9

Ley de inerciaSemana 42. Posiblemente habrás visto personas que muestran que cuando un mantel se

retira con cierta habilidad por debajo de una vajilla colocada sobre una mesa, los platos quedan en su estado inicial ¡no se rompen! ¿Magia o física? Explica el fundamento de este hecho.

Analicemos las ideas que tenían algunos científicos de otras épocas sobre las rela-ciones entre la fuerza y el movimiento, las cuales durante mucho tiempo orientaron el conocimiento del hombre.

Fuerza y movimiento: Aristóteles y Galileo

ElfilósofoAristóteles(384a.C.-322a.C.),alanalizarestasrelaciones,creíaqueuncuerpo sólo podría mantenerse en movimiento si sobre él actuara continuamente unafuerza.Deestamanera,cuandosobreelcuerposeejercieraunafuerza,éstesepondría en movimiento, pero al suprimir su acción, el cuerpo volvería al reposo. Estas afirmaciones pueden parecer correctas, pues, por ejemplo, si “impulsamos” una caja sobre el piso, se detendrá inmediatamente cuando dejemos de empujarla (figura 10).

Figura 10

Estas ideas fueron aceptadas por casi 2000 años ya que era “evidente” para la mayo-ría de los personas durante este periodo.

Posteriormente Galileo Galilei (1564-1642), al introducir el método experimental en el estudio de los fenómenos físicos, corroboró que estando en reposo una esfera sobre una superficie horizontal, al empujarla con cierta fuerza ésta se ponía en movimiento y continuaba recorriendo cierta distancia, aún después que se dejaba de empujarla. Otro experimento lo realizó con superficies aún más pulidas y observó que el cuerpo recorría mayor distancia luego de suprimir la fuerza. Galileo concluyó que el cuerpo se detenía después de haber dejado de impulsarlo, no por su “naturaleza” como lo afirmaba Aristóteles, sino por la fricción o roce entre la superficie y el cuerpo, que siempre actúa para retardar su movimiento.

Galileo dedujo que, en ausencia de fricción, un objeto en movimiento horizontal continuaríamoviéndoseindefinidamente,conMRU,esdeciruncuerpopuedeestaren movimiento, aunque ninguna fuerza actúe sobre él, demoliendo así la aseveración de Aristóteles.

Reposo Reposo

Movimiento

F = 0 F F = 0


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Los conflictos o cambios de ideas han estado presentes en diversos fenómenos de la anti-güedad. Así, vemos que un paradigma sirve para explicar el hecho en un determinado momento, pero a veces ya no es aplicable en la siguiente generación. Vivimos en un mun-do dinámico, cambiante incluso en cuanto a los pensamientos, posturas o ideologías.

Los experimentos de Galileo lo llevaron a atribuir a todos los cuerpos una propie-dad denominada inercia, por la cual un cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, hasta tanto alguna fuerza no modifique suestado.Diferentessituacionesdenuestroentornoserelacionanconelconceptodeinercia. Ya puedes intuir que las situaciones presentadas al inicio se explican a través de la noción de inercia.

Primera Ley de Newton o Ley de inercia

En 1642, varios meses después de la muerte de Galileo, nace Isaac Newton (1642-1727), filósofo y matemático, que sintetizó las ideas de Galileo para formular su prime-ra ley, conocida como Ley de inercia.

Todo objeto continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas externas no equilibradas que actúen sobre él.

Fuerzas de fricción o de roce

Cuandolassuperficiesdedosobjetossedeslizanentresíotiendenahacerlo,actúauna fuerza de fricción o rozamiento, que suele reducir la fuerza resultante. La fricción sedebea las irregularidadesen las superficiesqueestánencontactomutuo;esasirregularidades tienden a “encajarse”, lo que impide que ambas superficies se deslicen suavemente una sobre otra, y esto depende del material de las superficies. La fuerza de fricción se opone al movimiento.

Unautobúsestacionadoenunacalleinclinadanosedeslizagraciasalafricciónen-tre losneumáticosyelsuelo;siéstanoexistiese,sería imposibleestacionarlode lamanera que muestra la figura 11.

Figura 11

De igualmanera, si lospisos fueranmuypulidos (pocorozamiento), laspersonastendrían dificultad para caminar.

La fricción no se restringe a sólidos, también se presenta en líquidos y gases, que colecti-vamente se llaman fluido. La fricción en éstos se llama resistencia.

Saber más

Haciendo uso de la propiedad de inercia, analicemos un ejemplo que nos puede salvar la vida. Si, se trata del cinturón de seguridad, la herramienta más eficaz en la prevención de las consecuencias de accidentes de tránsito. Para ello, visita estos interesantes sitios web:

http://revista.consumer.es/web/es/20030401/miscelanea1/

http://www.youtube.com/watch?v=dZxbCraFIc0

Visualiza también un interesante video acerca de la Primera Ley de Newton, dis-ponibleenelCDmultimediadelIRFAdeestesemestreyenlasiguientedirec-ción web: http://www.youtube.com/watch?v=M00l_Qm5NIc&feature=related

Y si se te hace difícil creer que puede moverse un mantel sin romper la vajilla que tiene encima, visualiza este video: http://www.youtube.com/watch?v=-cM9S2AzU28&

La Física es una ciencia experimental, como ya sabes, por esto te presentamos algu-nasexperienciasquepuedesrealizarencasaycompartirlasenelCCA.

Aprópiate de la siguiente frase, tómala como un lema para el éxito en tus estudios:

Oigoyolvido;veoyrecuerdo;leoycomprendo;hagoyaprendo.

f

f


210 211

¡A experimentar!

1.Colocaunatarjetatelefónicasobreundedodetumanoizquierdayunamonedasobre la tarjeta. Golpea la tarjeta con el dedo índice de la otra mano. ¿Qué sucede?, ¿en qué principio físico se fundamenta está experiencia?

2. Ahora experimentemos sacando un papel que tiene sobre él una moneda, sin que ésta se caiga. A ello, se le suma la dificultad que todo está haciendo equilibrio en la boca de un vaso.

Figura 12

Materiales: Tira de papel de 25 cm x 3 cm, vaso plástico, moneda y regla.

Procedimiento:Colocaelvasocercadelbordedeunamesa.Luegoponeslatiradepapel como se muestra en la figura 12 y sobre ella dejas la moneda haciendo equilibrio. Parasacarelpapelmásviolentamente,tienesquegolpearloconlaregla.Cuantomásrápido sea el golpe, más probabilidades habrá de que el experimento sea exitoso.

Astronomía: nuestro universo

Jouette, André (2008)

ElgriegoClaudioPtolomeo,quevivióentre losaños90a168,expusoensuobraAlmagesto, una teoría sobre el sistema del mundo: la Tierra es el centro del universo (teoríageocéntrica)ypermaneceinmóvil;asualrededorgiralaluna,elsol,planetasy estrellas en una serie de esferas. Más allá de la Tierra, la nada. Esta teoría, llamada geocentrismo, aún tenía partidarios en el siglo XVII. Platón y Aristóteles creían que una inteligencia motriz presidía el movimiento de cada esfera celeste. El polaco Nicolás Copérnico(1473-1543),contrarioalasideaspredominantesensuépoca,anuncióensuobra“De revolutionibusorbiumcoelestium”,que laTierray losplanetasgirabanalrededordelsol;estanuevateoría,elheliocentrismo,fueconfirmadaporGalileoysus anteojos.

Finalmente el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-1630) publicó su pri-meraobra,“MisteriumCosmographicum”en1596,dondeseñalabaque,deacuerdoa observaciones y cálculos realizados, los planetas se mueven alrededor del sol, pero susórbitassonelípticasynocirculares,comosuponíaCopérnico.Asíquecadavezco-

nocemos mejor el espacio, gracias a las observaciones con telescopios de espejo, con radiotelescopios y a través de la exploración de los vehículos lanzados al espacio.

Contradecir las ideas aristotélicas, era cues-tionar a la iglesia misma. Contrario a esasideas, Galileo divulgó y defendió la teoría he-liocéntrica, por ello fue acusado de herejía y sometido a juicio por la inquisición en 1633. Para evitar ser quemado vivo, se vio obligado a arrodillarse y negar sus ideas, según cuenta la tradición, al levantarse murmuró: “¡Eppur, si muove!” (“¡y sin embargo, se mueve!”). A me-diadosdelsigloXX,laIglesiaCatólicaatravésde distintos Papas, tuvo un acercamiento y consideración de las ideas de Galileo.

Realizauninformeacercadelasinterrogantesmostradasacontinuaciónyposterior-mentecontrastatusideasconlasdetuscompañerosenelCCA.

1. Si un cuerpo se está moviendo: a) ¿qué tipo de movimiento tiende a desarrollar envirtuddesuinercia?;b)¿quédebehacerparaquelavelocidaddelcuerpodisminuya, aumente o cambie de dirección?

2. En términos de la primera Ley de inercia, ¿cómo puede ayudar la cabecera del asiento en un automóvil a proteger la nuca en un choque por atrás?

3. Unasondaespacialpuedeserconducidaporuncohetehastaelespacioexterior.¿Qué mantiene el movimiento de la sonda después que el cohete ya no la sigue impulsando?

4. Cuandoempujasuncarritodel supermercado,éste semoverá.Cuándodejasde empujarlo, se detiene. ¿Viola estoy la Ley de inercia de Newton? Explica tu respuesta.

5. Describe qué sucede en un día lluvioso con la fuerza de fricción entre losneumáticos y el pavimento. ¿Qué precauciones deben tomar los conductores?

6. En un juego de jalar la cuerda sobre un piso liso, entre mujeres que utilizan gomas y hombres que usan medias ¿por qué ganan las chicas?

7. Investiga en que situaciones cotidianas se evidencia la fuerza de fricción, indicando las ventajas y desventajas y explica cómo se logra reducir la fricción en motores y diferentes partes mecánicas.

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo.Galileo Galilei.

Ley fundamental de la dinámica Semana 5 Semana 5Ley fundamental de la dinámica

212 213

En esta oportunidad nos abo-caremos al estudio de la Segunda Ley de Newton, también conoci-da como Ley fundamental de la Dinámica, considerada una delas leyes básicas de la mecánica, por permitir el análisis de los mo-vimientos de objetos en la super-ficie terrestre y el de los cuerpos celestes. Esta semana veremos también la construcción y aná-lisis de los diagramas de cuer-po libre. Sin más preámbulo, ¡empecemos!

En un laboratorio se aplicaron diferentes fuerzas para provocar el movimiento de uncuerpode3kgsdemasa,apoyadoenunasuperficie(sedesprecialafuerzadefric-ción). En la tabla 1 se registraron sus respectivas aceleraciones:

Tabla 1

F(N) 0 15 30 45

a (m/s2) 0 5 10 15

Construyeenunahojamilimetrada,unagráficadefuerzavs.aceleraciónydetermi-nalapendientedelagráfica.¿Quétesugiereelresultado?Condensalosresultadosde manera que puedas escribir un enunciado acorde a la expresión de la pendiente e incluye en tu análisis los conceptos de proporcionalidad.

Segunda Ley de Newton o Ley fundamental de la Dinámica

Evoquemos las ideas de las semanas anteriores. La Primera Ley de Newton nos indica que si la sumatoria de las fuerzas es nula, el objeto está en reposo o tiene movimiento rectilíneo uniforme. Estarás preguntándote ¿qué tipo de movimiento desarrolla un cuerpo si la resultante de las fuerzas que actúan en él es distinta de cero (fuerza no equilibrada)?

Ahora analiza la figura 13 para concretar la idea anterior y establecer cómo están relacionadas las magnitudes: masa, aceleración y fuerza.

Ley fundamental de la dinámicaSemana 5

Figura 13

La fuerza F que actúa en un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración a que produce en el mismo, escribimos: Aceleración ~ fuerza neta.

Figura 14

Observa que, al aumentar la masa, disminuye la aceleración en la misma proporción. Decimosentoncesquelaaceleraciónesinversamenteproporcionalalamasa

de los cuerpos. Y escribimos: Aceleración ~

Tenemos que: Aceleración , en lenguaje matemático a=

Así,laSegundaLeydeNewtonoLeyfundamentaldelaDinámica,expresa:

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a la masa del objeto.

LaLeydelaDinámicatambiénpuedeexpresarseasí:F neta = m · a

Unidades de fuerza

Para obtener la unidad de fuerza usamos la fórmula: F neta = m · a, y, remplazando las respectivas unidades, obtendremos la unidad para la fuerza. Al considerar los sistemas M.K.Syc.g.sobtenemosdosunidades:elNewtonylaDina,respectivamente.Veamosel significado de estas unidades.

Sistema M.K.S F neta=kg.m/s2 Newton

Sistema c.g.s F neta = g.cm/s2 Dinas

1masa

fuerza netamasa

F netam

La fuerza de la mano acelera el ladrillo

Si la fuerza es el doble, la aceleración es el doble

Si la fuerza es el doble y la masa es el doble se

produce la misma aceleración

La fuerza que ejerce la mano acelera el ladrillo

La misma fuerza acelera la mitad a 2 ladrillos

Con3ladrillos,laacelera-ción es 1/3 de la orignal


214 215

P

mg

UnNewton1N=1kgm/s2 es la fuerza que se le aplica a un objetode1kilogramodemasaparaqueésteacelere1m/s2

Unadina 1 dyn = g.cm/s2 es la fuerza capaz de comunicarle a 1 gramo de masa la aceleración de 1 cm/s2

Entre estas dos unidades se puede establecer una relación, veamos como:

1N = = = = 105 dinas , luego 1N = 105 dinas

Enelsistematécnicolaunidaddefuerzaseexpresa:kilogramofuerza(kgf ).

Fuerzas mecánicas especiales

En la tabla 2 se definen las fuerzas mecánicas especiales en forma breve con sus respectivas imágenes.

Tabla 2

Peso (P) Fuerza normal (N)

El peso es la fuerza de atracción gra-vitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella.

El peso siempre está dirigido hacia abajo.

Es la fuerza que produce una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apo-yado en ella. Es siempre perpendicular al plano.

Fuerza de roce (fr) Fuerza elástica Fuerza de tensión (T)

Es la fuerza que existe en-tre dos superficies en con-tacto y siempre se opone a la tendencia al movimien-to de los cuerpos.

Es aquella que viene definida por la Ley de Hooke y que se opone al estiramiento o compre-sión de los objetos.

Los hilos y las cuerdas sirven para transmitir fuerzas de un cuerpo a otro; éstas se cono-cen como fuerzas de tensión.

1 kg · ms2

1000 g · 100 cms2

105 g cms2

Diagramas de cuerpo libre

Al aplicar las Leyes de Newton se deben identificar las fuerzas externas que actúan sobreelcuerpoyrealizarundiagramadecuerpolibre(DCL),quevieneaserunesque-ma donde se muestra el cuerpo o punto que lo representa, en el que se dibujan todas las fuerzas externas (fuerzas de fricción, tensión, peso) que inciden en él.

Para facilitar su representación colocamos el cuerpo en el origen de un plano de coordenadas y representamos únicamente las fuerzas que actúan sobre éste a través de vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

Determinemoslasfuerzasqueactúansobrecadaunodeloscuerpos.

1.Representacióndefuerzasqueactúansobreuncomputadorenreposo.

Figura 15

Figura 16

N : Fuerza normal, que ejerce la mesa sobre el computador.

P : Peso del computador, dirección vertical hacia abajo.

2.Bloques(acelerados)conectadosporunacuerdaatravésdeunapolea.

Figura 17

N

fr

T

N

mg

Y

X

N

mg


216 217

Enesteproblemaintervienendoscuerpos,porlotanto,hayquerealizarunDCLpara cada uno.

Figura 18

BloqueA:

En el eje x

T : Tensión que ejerce la cuerda sobre el bloque actuando hacia la derecha.

fr : Fuerza de roce actuando hacia la izquierda.

En el eje y

N : Fuerza normal, que ejerce la mesa sobre el bloque.

PA : Peso del bloque A.

BloqueB:

T : Tensión de la cuerda actuando hacia arriba.

PB:PesodelbloqueB.

3. Auto que sube por una pendiente.

Figura 19

Figura 20

En el eje x

fr : Fuerza de roce actuando hacia la izquierda.

F : Fuerza proporcionada por el motor del auto.

Px :Componentedelpesoenelejex.

En el eje y

Py :Componentedelpesoenelejey.

N : Fuerza normal que ejerce la superficie sobre el auto.

Comopuedesverenlafigura20,lasuperficienoeshorizontal,sinoinclinada;porello,elplanocartesianoaparece“girado”;yporconvenienciasecolocanlosejesdetalmanera que uno de ellos coincida con el movimiento del cuerpo.

Hasta ahora nos hemos limitado a indicar las fuerzas que actúan en el cuerpo sin cuantificarlas;durantelapróximasemanaveremoscómoresolverestosproblemas.

Conectando ideas… Por la Primera Ley deNewton sabemos que no es necesaria una fuerzaparamantenerunobjetoconMRU;sinembargo, de acuerdo a la Segunda Ley, es ne-cesaria una fuerza para aumentar o disminuir la velocidad de un cuerpo o para que cambie dedirección;enestoscambiosdevelocidado dirección siempre interviene la aceleración. ¡Las fuerzas producen aceleraciones!

Y

X

f

mAg

mBg

X

N

T

T

Y

X

f

N

F

mg α

mg sin α

mg cos α

α


218 219

Saber más

LautilidaddelosDCLesvisualizarmejorelsistemadefuerzasqueactúanso-bre un cuerpo y nos permiten determinar con facilidad la aceleración de siste-mas de cuerpos (intervienen dos o más cuerpos). En la siguiente dirección web podrásvisualizarvariosejemplosacercadelosDCL:

http://www.jfinternational.com/mf/diagrama-cuerpo-libre.html

ConstruyeunDCLparacadasistema,considerandolafuerzaderoceenloscasosque sea pertinente.

1. 2.

Figura 21 Figura 22

3. 4.

Figura 23 Figura 24

Importante: en las figuras la flecha indica la dirección del movimiento. En el ejerci-cio2,realizaelDCLsoloparaelbloquedemasaM.

Masa y peso: no son sinónimos

Alvarenga,BeatrizyRibeiro,Antonio(2001)

La masa de un cuerpo es una cantidad escalar. Experimentalmente se ha comproba-do una propiedad de la masa: su valor en el universo es constante, independiente de la localización de dicho cuerpo e incluso, cuando su temperatura se altera o cuando el cuerpo cambia de un estado físico a otro, la masa no cambia. El instrumento de medida es una balanza.

Todos los cuerpos, en o cerca de la superficie de la Tierra, son atraídos hacia su cen-tro. Esta atracción o fuerza se llama peso y como el peso es una fuerza, entonces es una magnitud vectorial. Si se dejara caer desde cierta altura un cuerpo, sobre la super-ficie de la Tierra, se moverá debido a la acción de su peso P, siendo P la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, adquirirá la aceleración de la gravedad g. La aceleración de la gravedad sufre variaciones cuando nos desplazamos de un lugar a otro de la superficieterrestre,tambiénvaríadeunplanetaaotro;pesaríasmenosenlasuperfi-cie de los planetas o satélites con menos gravedad que la Tierra (la aceleración de la gravedad en la luna es 1.66m/s2);ypesaríasmásenlosplanetasconmayorgravedad,como por ejemplo Júpiter. Por tanto el peso P de un cuerpo también sufrirá cambios debido a las variaciones que se observan en g. El instrumento de medida del peso es el dinamómetro.

Siguiendo con la lectura complementaria, el peso P de un cuerpo está relacionado con su masa a través de la expresión P = m x g. Y lo consigues multiplicando la masa del cuerpo por su aceleración de gravedad.

1.CalculatupesoenlaTierra,enlalunayenMarte,respectivamente.Completalainformación con el valor de tu masa.

Peso T = __ x 9,8 m/seg2 Peso L = ___x 1,6 m/seg2 Peso M = __ x 3,7 m/seg2

2.Tuamigatecomenta“estoyobesa,peso88kgs,voyaempezarunadietaparaper-derpeso”.Corrigeesaexpresiónhaciendousodelostérminosfísicosadecuados.

Los hombres superficiales creen en la suerte, creen en las circunstancias… Los hombres fuertes en las causas y los efectos. Ralp Waldo Emerson.

Θ

F

m1

m2

gmayor

PmayorN

gmenor

Pmenor

S

Aplicación de la Segunda Ley de NewtonSemana 6 Semana 6Aplicación de la Segunda Ley de Newton

220 221

Constancia, perseverancia ypaciencia son cualidades funda-mentales que no sólo ayudan a resolver problemas matemáti-cos, sino que además brindan a los dirigentes herramientas para el diálogo y manejo de conflictos en los movimientos sociales que han surgido recientemente.

Esta semana verás la aplicabi-lidad de la Ley fundamental de laDinámicaenlaresolucióndeproblemas, en los que puedes determinar la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, su acele-ración y, a partir de ésta, hallar la velocidad, la posición del cuer-poenuninstantedetiempo;es

decir, puedes describir con mayor precisión el movimiento.

Para que asimiles con facilidad este tema, es de suma importancia que repases las características del movimiento uniformemente acelerado y tengas claro lo referido a vectores.

¡Unextrañofenómeno!¿Cómopodríasexplicarelhechodequehaylecturasdife-rentes para la misma persona en cada ascensor?

Figura 25

Aplicación de la Segunda Ley de NewtonSemana 6

Problemas de la Segunda Ley de Newton

1. Unmicrobúsdemasa2500kgsquecirculaa90km/hfrenabajo laaccióndeuna fuerza de 3200 N. Halla la distancia recorrida y el tiempo que tardará en detenerse.

Datos Incógnita Fórmulas

m=2500kgs

vo=90km/h

F = 3200N

vf =0km/h

x =?

t =?

Para hallar el tiempo o distancia, previamente necesitamos el valor de la acelera-ción. Aplicamos la fórmula:

a = = =

Por otro lado, sabemos que la aceleración es un cambio de la velocidad respecto al tiempo. Escribimos:

Despejamost de la ecuación anterior y resulta:

¡Atento! Posiblemente estés pensando en sustituir los valores, pero la aceleración está expresada en el sistema M.K.S. mientras que la velocidad no está expresada en esesistema(repasalasemana3del5tosemestre).Realizandolatransformación,setiene:90km/h=25m/s.

Ahora, sustituyendo:

t = = = 13,89 s = = = s

Para hallar la distancia, aplicamos:

x = vo · t + = · 13,89 s + = 347,25 m - = 61,74m

¿Por qué razón se consideró la aceleración negativa en las fórmulas anteriores?, ¿qué tipo de movimiento es?

Fneta

ma =

vf - vo

at =

a - t2

2t = vo· t +

Fneta

m3200 n

2500 kg1,28 m

s2

vf - vo

ta =

vf - vo

at =

vf - vo

a0 - 25 m

s1,28 m

s2

ms

ms2

m · s2

m · ss · s

s

a · t2

225 m

s

· (13,89 s)2

2

1.28 ms2 246,95 m

2(- )

Básculadebaño

Básculade baño = 500 N

Gravitación= 500 N

Básculade baño = 600 N

Gravitación= 600 N

Elevador en “reposo” o velocidad constante.

Lectura de la báscula 500NPeso 500N

Ascensor en caída libre.Lectura de la báscula 0

Peso 0Acelerado hacia arriba.

Lectura de la báscula 600NPeso 600N


222 223

2. Una caja de 2 kg es arrastrada por el piso de una fábrica, adquiriendo unaaceleración de 4,5 m/s2.

a)Calculaelvalordelafuerzaresultantequeactúasobrelacaja.

Figura 26

El valor de la fuerza resultante está dada por la Segunda Ley de Newton, Fneta = m · a . En la figura 26 observamos las fuerzas que actúan: la de roce y la aplicada por el hombre;lasumavectorialdedichasfuerzasnosdarálafuerzaneta.Peronosfaltalamagnitud de la fuerza de roce, ¿qué hacemos? ¡Exacto! Si miramos el otro lado de la igualdad, podemos calcular la fuerza resultante dado que el problema proporciona masa y aceleración. Obtenemos:

Fneta = m · a = 2 Kg · = 9 N

b) Sabiendo que la caja es arrastrada por una fuerza de 20N, calcula el valor de la fuerza de fricción que actúa sobre ella.

RealicemosunDCL.Parafacilitarlacomprensióndelejercicio,seharepresentadoeneldiagramalafuerzaneta;porlogeneral,éstanodeberepresentarseeneldiagrama.Contusconocimientosdesumadevectoresdeigualdirecciónperodiferentessenti-dos, puedes obtener el valor de fr .

Figura 27

Luego

Fneta = F - fr fr = F - Fneta = 20N - 9N = 11N

Por tanto, la magnitud de la fuerza de roce es 11N, en la dirección horizontal y su sentido es contrario a la F (la fuerza mayor), hacia la izquierda.

3. Analicemos este interesante problema: un ascensor comienza a ascender con una aceleración de 2 m/s2.¿Cuántoseleeráenunabalanzasiunapersonade60kgsestáparadaenelladuranteelmovimientodelascensor?

Podemos comenzar por hacernos otras preguntitas: ¿qué fuerzas actúan sobre la persona?, ¿cuál es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la persona?

Paraqueaceleredebehaberunafuerzadesequilibradaempujándolahaciaarriba;ya que la persona está en contacto con la balanza, debe ser ésta la que la impulse hacia arriba (nos centraremos en las fuerzas que se ejercen en la persona y no en la ba-lanza)yelpeso,dirigidohaciaabajo.¿Cuáldelasdosfuerzasesmayor?Lalecturadela balanza será mayor que la de su peso, dado que el ascensor acelera hacia arriba, la fuerza resultante debe ser también hacia arriba (suma de vectores con igual dirección ysentidosdiferentes).DeacuerdoalaSegundaLeydeNewton,lafuerzaresultantetendrá la misma dirección que la aceleración. Las dos fuerzas presentes en esta situa-ción se ilustran en el tercer elevador (ver figura 25).

La Segunda Ley de Newton establece Fneta = m · a

Ya que la fuerza del resorte es mayor que el peso y están en sentidos contrarios, puede escribirse:

Fuerza del resorte - peso = m.a

Fuerza del resorte -588N = 120N

Fuerza del resorte = 120N+588N = 708N

Fuerza del resorte = 708N

Vemos entonces que si el ascensor acelera hacia arriba, la balanza marcará un valor mayor que el peso real de la persona.

Saber más

Visita la dirección web recomendada, donde encontrarás una variedad de ejer-cicios con dos masas, que serán de gran ayuda para ampliar tu aprendizaje:

http://www.unalmed.edu.co/fisica/paginas/cursos/paginas_cursos/fisica_1/no-tas/capitulo_3_b_leyes_newton_aplicaciones_I.pdf

4,5 ms2

Y

X

Nfr = 11 N

Fneta = 9 NF = 20

Σ Σ

*Tenemosquem=60kgya=2m/s2,

*Peso,P=m.g=60kg.9,8m/s2= 588N

* Sustituyendo los respectivos valores y despejando obtenemos el resultado

fc

a = 4.5 m /s2

F = 20 N


224 225

1. Calcula la aceleración de un coche que soporta una fuerzamotriz de 4500Nyuna fuerzade rozamientode1300N.Sabiendoque sumasaesde860kgs,determina lavelocidad (enkm/h)quealcanzaráen12 segundos, sipartedelreposo y mantiene constante la aceleración.

2. Se ve que dos cajas aceleran igual cuando se aplica una fuerza f a la primera y se aplica una fuerza 4falasegunda.¿Cuáleslarelacióndesusmasas?

3. Unelevadortieneunamasam=500kgs.

a) ¿Cuáleselvalordelatensiónenelcabledeaceroquelosostienecuandoestá inmóvil?, ¿cuándo sube con velocidad constante?, ¿cuándo baja con velocidad invariable?

b) Imagina que al iniciar un ascenso, el elevador posee una aceleración de 2.0 m/s2.¿Cuáles,enesteinstante,latensiónenelcable?

c) Consideraque la tensiónmáximaqueelcablepuedesoportares iguala8.0x103N.¿Cuántovalelaaceleraciónmáximaquepodrásercomunicadaalelevador sin que se rompa el cable?

Limitaciones de la mecánica newtoniana


A finales del siglo pasado, los científicos comenzaron a encontrar algunos desajustes entre la teoría y observación experimental de cuerpos en movimiento que no se po-dían describir adecuadamente por medio de las leyes de Newton (conocida como la MecánicaClásica).Estosucedíaenloscuerposquesemovíanavelocidadesmuygran-des;parasermásexactos, las fallasde laMecánicaClásicaempezabanapercibirsecuando estas velocidades alcanzaban casi el 10% de la velocidad de la luz, haciéndose más evidente conforme aumentaban las velocidades.

La velocidad de la luz suele representarse por c y su valor es muy elevado (c = 3x108 m/s=300000km/s).Entonces,comoloscuerposquevemosdiariamente(unapiedra,un automóvil, un avión, etc.) siempre se desplazan con velocidades muy inferiores a 10% de c, las leyes de Newton pueden usarse, sin dificultad, para describir los mo-vimientos de dichos cuerpos. Las leyes newtonianas también se emplean muy exi-tosamente en el cálculo de las órbitas y del lanzamiento de los veloces y modernos cohetes y satélites.

Sin embargo, se observa que las partículas atómicas (electrones, protones, etc.) pue-den lograr velocidades muy elevadas, llegando a alcanzar hasta 99% de la velocidad delaluz.Enestoscasos,laMecánicaClásicaresultatotalmenteinadecuadaparades-cribir el comportamiento de una partícula.

1. Los cohetes más rápidos que se lanzan actualmente, utilizados para colocar satélitesenórbita,alcanzanvelocidadescercanasalos9km/s.

2. Unelectrónavanza,enunaceleradordepárticulasatómicasaunavelocidadde2,7x105km/s.Responde:

a)¿Qué porcentaje de la velocidad de la luz representa ese valor en cada caso?

b) En base al resultado anterior, ¿en qué caso consideras que las leyes de Newton pueden aplicarse con éxito?

Si he hecho descubrimientos invaluables, ha sido más por tener paciencia que cual-quier otro talento. Isaac Newton.

Tercera Ley de Newton Semana 7 Semana 7Tercera Ley de Newton

226 227

Recordemos que las fuerzasaparecen como resultado de la interacción de dos cuerpos. Si so-bre un cuerpo actúa una fuerza es porque otro objeto debió pro-vocarla;másaún,Newtondetallóque el primer cuerpo también ejerce una fuerza sobre el segun-do. Estas observaciones meticu-losas lo llevaron a establecer la Ley de acción y reacción.

Esta semana verás como a tra-vés de esta ley podemos explicar diversos fenómenos de nuestra cotidianidad;porejemplo,cuandoquieressaltarhaciaarribaejercesunaacciónsobreel suelo y éste ejerce una reacción sobre ti que te impulsa hacia arriba. Este principio también puede explicar hechos científicos como, por ejemplo, el despegue de un co-hete;vehículoqueha logradodesafiar lafuerzagravitatoriaqueejerce laTierraso-bre los cuerpos que están sobre su superficie, pero más interesante aún es que estos ponen en órbitas a los satélites, construidos con fines y aplicaciones diversas, cuyos avances tecnológicos conllevan al desarrollo y bienestar de sus sociedades.

Analicemoslassiguientessituaciones…¿Quétienenencomún?

a) La persona en el bote intenta zarpar, para ello golpea el muelle con el remo, reci biendo así una fuerza que lo aleja del muelle.

Figura 28

b) El joven, montado sobre sus patines, para comenzar a moverse, empuja la pared y sale disparado.

Explica para cada situación: ¿en qué sentido aplicó la fuerza cada joven? Entonces, si el joven en el bote (o el patinador) aplica una fuerza sobre el muelle (o la pared) ¿éste(a) también ejerce una fuerza sobre el bote (o el patinador)?, ¿en qué sentido se aplicó la fuerza sobre el bote (o el patinador)?

Tercera Ley de NewtonSemana 7

Figura 29

Delasfiguras28y29,nospreguntamos:¿sobrecuálcuerpoactúalafuerza?Pues,comohabrásadvertido,sobrecadacuerposemanifiestaunafuerza.Reforcemosestasideascon el análisis de situaciones que nos llevarán a enunciar la Tercera Ley de Newton.

Tercera Ley de Newton: Ley de acción y reacción

Si halas de un resorte como el mostrado en la figura 30, cabe preguntar ¿el resorte tirará de ti? ¡Por supuesto!

Si tú halas del resorte con una fuerza f1, el resorte reacciona y te hala con una fuerza f2 , igual en magnitud que f1 , pero en sentido contrario (tú halas a la izquierda y el resorte te hala a la derecha).

Figura 30

Newton pudo comprobar que las fuerzas siempre aparecen en pares

Veamos en las siguientes imágenes otras situaciones en la que podemos comprobar que las fuerzas siempre aparecen en pares.

Acción: el neumático se empuja en el pavimento.Reacción:elpavimentoempujaalneumático.

Figura 31

Acción: el cohete empuja los gases.Reacción:losgasesempujaalcohete.

Figura 32


228 229

Conbaseenestosejemplos,enunciamoslaTercera Ley de Newton:

CuandouncuerpoA ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, éste reacciona sobre A con una fuerza de la misma magnitud y di-rección, pero en sentido contrario.

La Tercera Ley de Newton también suele enunciarse así: “A cada acción siempre se opone una reacción igual”.

Vamos a seguir ahondado en otros fenómenos interesantes donde se aplica el prin-cipio de la Ley de acción y reacción.

Por ejemplo, el peso P del televisor, apoyado sobre la mesa ejerce una compresión N*perpendicularalasuperficie;lamesareaccionasobreeltelevisor,ejerciendoenéluna reacción N (fuerza normal). Luego N y N*sonunpardeacciónyreacción;tienenlamismamagnitudydirección,pero,sentidoscontrarios.Dadoqueeltelevisorestáen reposo, ¿cuáles son las fuerzas que se anulan?

Figura 33

¡Atención! La fuerza de acción es aplicada a uno de los cuerpos y la reacción actúa en el cuerpo que ejerce la acción. Esto significa que están aplicadas en diferentes cuerpos y por tanto no pueden anularse.

Ley de gravitación universal

Iniciemos con una pregunta clave: ¿cuál es la diferencia entre la fuerza de grave-dad que nos mantiene unidos a la Tierra, y la que conserva en órbita a la luna o a los planetas alrededor del sol? La respuesta a esta pregunta va a permitirnos encontrar elementos que nos ayuden a formular la presente ley.

En las ideas aristotélicas prevalecía la noción de dos conjuntos de leyes naturales: una para los objetos de la Tierra y otra, muy distinta, para el movimiento de los cie-los. Hoy la historia nos muestra que Newton dedujo que esas leyes son “harina de un mismo costal”. A esta unión de las leyes terrestres y cósmicas se le ha llamado síntesis newtoniana.

Fuerzas de atracción entre el sol y los planetas

Los estudios de Kepler permitieron conocer las leyes físicas que rigen el movimiento delosplanetas.Pero,¿porquétienenesemovimiento?Conbaseenlasobservacionesde Kepler y en fórmulas, Newton logró dar una respuesta convincente, cuando obser-vóque,comolosplanetas,describenórbitasalrededordelsol;porserunmovimientocircular son acelerados, por ende, deben estar sujetos a una fuerza centrípeta que haga posible ese movimiento (tiene que ser una fuerza atractiva), pues de lo contrario sus trayectorias no serían curvas.

La fuerza que hace que un cuerpo siga un movimiento circular se llama fuerza centrípe-ta, que significa “hacia el centro”.

Figura 34

Conestedibujo(figura34)Newtonilustrócómolamismafuerzadegravedadquehace que los objetos lanzados hacia arriba vuelvan a la Tierra, es la que mantiene a los objetos en órbita (en particular a la luna) girando alrededor de ella. Por ejemplo, si sueltas una piedra, cae porque la Tierra la atrae. Si la lanzas horizontalmente, describi-rá una semiparábola, terminará cayendo, pero el recorrido será tanto más lejos cuanto mayor sea su velocidad. Newton pensaba que es posible lograr que cualquier objeto, lanzado con una velocidad horizontal suficientemente grande, terminara dando la vuelta a la Tierra y regresaría a su punto de partida, describiendo una órbita circular.

Reuniendolasideasdequeelsolatraealosplanetas,laTierraalalunayalapiedra,llegóalaconclusióndequelaatracciónobservadadebíaserunfenómenouniversal;por lo cual, las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mis-mas que rigen el movimiento de los cuerpos en la Tierra.

Unodelosdescubrimientosmássensacio-nales en el campo de la astronomía mate-mática fue el planeta de Neptuno, en 1846. Solo usando la Teoría de gravitación uni-versal calcularon donde debía estar ubica-do el supuesto planeta. Luego, apuntaron sus telescopios en la posición indicada y ¡allí estaba Neptuno!

*


230 231

Veamos la expresión matemática que dedujo Newton de sus observaciones, válida para los cuerpos de la Tierra y para los astros en el cielo.

DesignandoporF esta fuerza Newton llego a establecer la Ley de gravitación universal:

Doscuerposcualesquieraseatraenconunafuerzaproporcio-nal al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellos.

G es una constante de proporcionalidad denominada constante de gravitación uni-versal, cuyo valor en el SI es G = 6,67x10-11 N.m2/kg2.

Cabepreguntar:silafuerzadeatracciónsemanifiestasobrecuerposmasivos,¿porqué la luna no se estrella con la Tierra o la Tierra contra el sol? ¡Anímate a investigar!

Según la leyenda, Newton al ver caer una manzana de un árbol, dedujo que la fuer-za que hace orbitar a la luna alrededor de la Tierra y a los planetas alrededor del sol es, en esencia, la misma que hace caer la manzana al suelo.

Saber más

Veamos una de las aplicaciones de la Tercera Ley de Newton. Analicemos cómo un helicóptero obtiene su fuerza de sustentación. Las aspas de las hélices tienen una forma tal que empujan hacia abajo a las partículas de aire (acción) y el aire empuja las aspas hacia arriba (reacción). Esta fuerza de reacción hacia arriba sellamasustentación.Cuandolasustentaciónesigualalpesodelvehículo,elhelicópteroquedasuspendidoenelaire.Cuandolasustentaciónesmayor,elhelicóptero asciende. Las aves también aplican este principio físico en su vuelo.

Visualiza un interesante video, que presenta de manera sencilla las tres le-yes de Newton o de la dinámica, en el CD multimedia de este semestre,también disponible en la siguiente dirección web: http://www.youtube.com/watch?v=g6EHqQSpv-I&feature=related

m1 · m2

r2F = G


Cohete con agua

Materiales: Botelladeaguade2 litros, corchodebotelladevinoo similar, cintaadhesiva, madera (no importa el tamaño), tornillo para madera de 5 cm de largo, vina-gre, polvo para hornear y servilleta de papel.

Procedimiento: Primero realiza la base del cohete, para lo cual, debes tomar la ma-dera e incrustar el tornillo de manera que sobresalga de ésta. Prueba si el corcho entra apresiónenelpicodelabotella.Denoserasí,tienesquecolocarcintaadhesivaenelcorcho hasta que entre con presión. Luego enrosca el corcho en la parte del tornillo que sale de la madera.

Prepara la mezcla que hará que el cohete despegue. Para esto tienes que combinar unvasoymediodeaguaconunvasoymediodevinagre.Colocalamezcladentrodela botella.

Ahora debes tomar una servilleta de papel y colocar sobre ella unas 4 o 5 cucharadas depolvoparahornear,espárcelassobrelasservilletas.Doblalaservilletademodoquequede un cilindro largo, que entre por el pico de la botella y que el polvo no se caiga de ella.

Llegó el momento del lanzamiento del cohete. Tienes que elegir un lugar al aire li-bre.Colocaelcilindroconpolvoparahorneardentrodelabotella,peronolosueltes,no debe tocar el líquido aún. Ahora toma la base, y mientras dejas que caiga el polvo conlaservilleta,introduceelcorchoapresión.Davueltaalcoheteyaléjate,puesencualquier momento éste saldrá disparado a una velocidad increíble.

Para conocer más detalles respecto del experimento, visita la siguiente dirección web: http://experimentoscaseros.net/2011/01/cohete-casero-de-agua/

Satélite artificial


Unsatéliteartificialesuncuerpolanzadodesdelasuperficieterrestrequecirculauorbita en torno a la Tierra. Para orbitar un satélite debemos elevarlo mediante pode-rosos cohetes hasta una altura determinada, la cual (aunque varia de un satélite a otro notablemente),nodebesermenora150kmsparaque,sienlaregióndondeelsaté-lite se moverá la atmósfera esté enrarecida, la fuerza resultante del aire no perturbe la órbita del satélite.

Cuandoalcanzalaalturadeseadaelsatélite,tambiénpormediodecohetes,eslan-zado horizontalmente a una velocidad conocida.

Semana 8Racionalización

233

Tercera Ley de Newton Semana 7

232

La Tierra ejercerá sobre dicho satélite una fuerza de atracción que alterará la dirección de la velocidad provocando que describa una trayectoria curvilínea.

Unavezpuestoenórbita,ysinoexisteperturbaciónalguna,estecontinuarágirando indefinidamente en torno a la Tierra. El primer satélite artificial de la his-toria,elSputnik,fuelanzadoel4deoctubrede1957porlaUniónSoviética.

Revisatextos,enciclopediaseinternet,paradarrespuestaalassiguientesinterro-gantes.PosteriormenterealicenunaexposicióngrupalenelCCA.Sugerencia:elabo-ren, rotafolios, mapas mentales y conceptuales, trípticos, etc.

1. Movimiento de los planetas del sistema solar y su relación con la Ley de gravitación universal.

2. ¿CómoselograponerenórbitaunsatéliteartificialalrededordelaTierra?

3. Describe las característicasde losdistintos tiposde satélitesque seclasificansegún la órbita que describen alrededor de la Tierra.

4. Diferentesaplicacionesdelossatélitesartificialessegúnsusfines.

Investiga todo lo referente al Satélite Simón Bolívar (Venesat-1): fecha delanzamiento, antecedentes, tipo de órbita, tiempo de vida útil, tipo de satélite, inversión del proyecto, importancia de éste en el progreso y desarrollo y si ha repercutido en la construcción de un mejor ciudadano, en cuanto a las actitudes que adoptan los venezolanos en el manejo de las telecomunicaciones (uso de internet, radio, televisión).

5. CuálesactitudescaracterizaronaIsaacNewtonycuálesfueronsusaportescomociudadano en el desarrollo de la humanidad.

6. RealizaunmapaconceptualomentalsobrelastresleyesdeNewton.

Sufrimos mucho lo poco que nos falta y gozamos poco lo mucho que tenemos. Shakespeare.

Durante esta semana retoma-remos algunos temas matemáti-cos, pues su utilidad te permitirá adquirir herramientas prácticas para la resolución de ejercicios que ameriten la racionalización. Para avanzar satisfactoriamente en la comprensión del proceso de racionalización y sus casos, aparte de tu disposición, necesitas tener consolidados los tópicos de raíces y sus propiedades, potenciación y productos notables. Consultasobre esto en las guías de los se-mestres anteriores ¡hazlo, te ayu-darán mucho!

Iniciemosconunasituación…

Consideremosqueluegodevariosexperimentosconunmóvil,sepudodeterminar

que la velocidad, a cierta distancia, está expresada por el valor de m/s. A partir

de esa expresión se desea conocer los valores de la distancia y el tiempo con los cuales se experimentó, sabiendo además que el tiempo se midió con un reloj cuya lectura era en segundos.

Para este caso podemos recurrir a la expresión matemática de la velocidad: V = ,

con lo cual un primer valor a considerar pudiera ser V = , donde la distancia

correspondería a 1 m y el tiempo a 2 s. No obstante, las condiciones del problema nos dicen que el tiempo se expresó en unidades exactas. ¿Qué hacemos en este caso?

EnlasituaciónplanteadaenConocimientospreviosnosvemosenlanecesidaddeque el denominador quede expresado en unidades enteras y es donde el proceso de racionalización puede resultarnos de gran utilidad.

Racionalización Semana 8

12

Xt1m

2 s

Racionalización Semana 8 Semana 8Racionalización

234 235

1. Racionalización de radicales

Racionalizarconsisteeneliminarlosradicalesdeunafracciónyaseaenelnumera-dor o en el denominador.

Comoelprocesoderacionalizacióntienemayoraplicaciónparafraccionesalgebrai-cas de denominador irracional, abordaremos solo este caso. Antes de seguir, debemos recordar que la expresión (n a )n= α, significa que si el índice de la raíz y la potencia coinciden, el resultado es simplemente la cantidad subradical. Esto será de gran ayu-da, tenlo presente.

1. Racionalización de un monomio

1.1. Racionalización de raíces cuadradas

Retomemoselproblema…Veamoscómoseaplicalaracionalización.

¿Por qué factor debemos multiplicar de tal manera que se obtenga un núme-ro entero en el denominador?

Multiplicamos numerador y denominador por un radical igual al denominador

Efectuamos el producto, en el denominador

Vemos que V = , es una expresión equivalente al valor dado y de donde se

puede ver claramente que un valor para el tiempo corresponde a 2s.

Para racionalizar fracciones cuyo denominador es una raíz cua-drada, sólo tienes que multiplicar el numerador y denomina-dor de la fracción por la raíz cuadrada del denominador.

Es decir, buscamos otra fracción equivalente a ella, si queremos racionalizar el nu-merador el procedimiento es análogo.

Veamos otro ejemplo: racionalizar el denominador de la expresión

· = = = =

Fíjate que se multiplicó el numerador y denominador por 12xy, luego se aplicó la

expresión (n α )n y en el tercer paso simplificamos 12 = 22 · 3 = 2 3 .

1.2. Racionalización de raíces cuyo índice es mayor que 2

Racionalicemoslasiguienteexpresión

En estos casos multiplicamos por una raíz de igual índice (en este caso, 5) cuyo ra-dicando es el mismo, pero, su exponente es la cantidad que falta para completar el índice de la raíz o el múltiplo más próximo. Ejemplifiquemos:

·

= ·

=

=

=

=

=

2. Racionalización de binomios

a) El denominador es un binomio y tiene un radical de índice 2.

Empecemosconunminúsculoproblemita:DixeniayVíctorsondosestudiantesque,con esfuerzo, constancia y mucha práctica, han desarrollado unas habilidades extraor-dinariasparalaMatemáticaylaFísica.Realizandoestudiossobreelcomportamientode las hormigas han logrado definir un patrón para conocer la cantidad de alimento recolectado A(h), en función de la cantidad de hormigas que realizan esta labor h. Este es un estudio empírico y requieren someterlo a comprobación. El modelo desarrolla-do es:

A(h) =

Víctor rápidamente nota que el modelo no funciona para el caso de 4 hormigas, dado que al hacer la sustitución observa que:

A(2) = = =

12

12

22

·

1 · 22

22

=1

2 m2s

3x12xy

3x12xy

12xy12xy

3x · 12xy( 12xy)2

3x · 2 3xy 12xy

6x 3xy 12xy

3xy 2y

4 a · b5 3a2 · b4

4 a · b5 3a2 · b4

5 3?a? · b?

5 3?a? · b?

4 a · b5 3a2 · b4

5 34a3 · b5 34a3 · b

4 a · b 5 34a3 · b 5 34a3 · b 5 34a3 · b

4 a · b 5 34a3 · b 5 3 · 34 a2 a3 b4 b

4 a · b 5 34a3 · b 5 35 a5 b5

4 a · b 5 34a3 b3 a b

4 5 34a3 b3

Formamos la raíz con igual índice y la misma can-tidad subradical

Los exponentes se forman así:¿Cuántolefaltaalexponente31 para llegar al índice 5? 4¿Cuántolefaltaalexponentea2 para llegar al índice 5? 3¿Cuántolefaltaalexponenteb4 para llegar al índice 5? 1

Efectuamos el producto.

Propiedad producto de raíces.Propiedad de multiplicación de potencia de igual base. Ejemplo 3.34=35

Propiedad de multiplicación de potencia de igual base. Ejemplo 3.34=35

Aplicamos (n a )n = a

Finalmente, simplificamos los valores.

5 3?a? · b?

7 ( h - 4)h - 2

7 ( 4 - 4)4 - 2

7 . 02 - 2

00

Racionalización Semana 8 Semana 8Racionalización

236 237

EstacuestiónenMatemáticaseconocecomounaindeterminación.Dixenia,obser-vando detenidamente la expresión, le plantea a Víctor que quizás el error puede estar en la manera como se ha escrito y aplica un proceso de racionalización para conseguir unaexpresiónequivalentequesupereelproblemadelaindeterminación.Veamos…

Observa que en este caso el denominador es un binomio ( h - 2) . Antes de avanzar necesitas saber que la expresión conjugada del binomio, es aquel binomio que se obtiene al cambiar el signo que separa los dos términos. Por ejemplo, la conjugada del binomio h - 2 es h +2

·

=

=

=

7 ( h + 2)

Deestamanera,laexpresión:A(h) = 7 ( h + 2) resultó ser más conveniente, senci-llaensuusoyaplicablealcasode4hormigas.Superadoelproblema,VíctoryDixeniaahora esperan que la comunidad científica les valide el modelo. ¿Qué cantidad de alimento recolectan las 4 hormigas?

Cuando la expresión fraccionaria contengaun solo radical en el denominador, hablamos de racionalización de monomios; si tienensumas o restas de términos donde al menos uno de ellos tiene raíz cuadrada, hablamos de racionalización de binomios.

Saber más

Si lo deseas, puedes reforzar con más ejercicios resueltos en la siguiente dirección web: http://algebrabaldor.webcindario.com/id288.htm

7 ( h - 4)h - 2

h + 2h + 2

7 ( h - 4) ( h + 2)h - 2 · h + 2

7 ( h - 4) ( h + 2)( h )2 - (2)2

7 ( h - 4) ( h + 2) h - 4

Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada del binomio del denominador es h+2

Efectuamos el producto.

Fíjate que el denominador es un producto nota-ble suma por su diferencia (a+b) (a-b)=a2-b2

( h - 2 ) · ( h + 2 ) = ( h )2 - (2)2

Resolvemos las potencias del denominador ysimplificamos.

1.Racionalizaeldenominadordelassiguientesexpresiones;simplificaencasodeser posible.

a) b) c) d) e)

f ) g) h) i) j)

k)l)m)

Torre de HanoiEl fin de la población mundial


Unodelosmásbellosrompecabezasjamáscreados,latorredeHanoi,loinventóen1883elmatemáticofrancésEdouardLucas(1842-1891).Constadetrespostesvertica-les alineados: en un extremo se apilan un determinado números de anillos de varias medidas, con el más grande abajo. El juego consiste en mover uno de los discos de uno de los postes de los extremos al otro sin poner nunca ningún anillo grande enci-ma de otro más pequeño, y utilizando el tercer poste como lugar de transferencia.

Una leyendaacompañaeste rompecabezasenungrantemplodeBenarés, India,donde hay un plato de latón con tres varillas verticales fijadas en él. Al principio de los tiempos había 64 discos de oros, apilados en una de las varillas, ordenados de mayoramenordesdeelfondodelplato.Díaynoche,siguelaleyenda,unsacerdotese dedicaba a transferir los discos de una varilla a otra en una proporción constante, sinquenuncaquedaraunomayorporencimadeotromáspequeño.Unavezlatorresea reedificada en una de las otras dos varillas, el universo llegará a su fin. Aunque la leyenda fuera cierta,nohabríanecesidaddepreocuparse.Considerandoquecadamovimiento de disco durará un segundo, la tarea llevaría cerca de seiscientos mil mi-llones de años (unas 60 veces más tiempo la vida del sol).

El número de movimientos necesarios para completar una torre de Hanoi de un nú-mero de discos menor determinado puede calcularse en 2n-1. Si dos discos requieren 3 movimientos, 3 discos requieren siete movimientos y así sucesivamente.

4x2x

23 + 1

34 144

2xy2

3 3x2y2 + 32 - 3

2ab3 a2 b6 c

1a2 10 a4 b14

23 9x

3 27 2 + 6 3

b 3

2 + 14 3 (2+1)2

a + ba + b

4 (x -1)3 x2 - 2x + 1

Semana 9Operaciones con radicales

239

Racionalización Semana 8

238

A un grupo de estudiantes se aplica una prueba diagnóstica para conocer cuánto uso pueden hacer de sus conocimientos básicos en matemática para emplearlos en nuevassituaciones.Unodelosproblemaslesplantea:

Resuelve la siguiente operación con fracciones utilizando elmétodo del mínimo múltiplo común:

+ -

Constancia es la fe en la perseverancia, en el entusiasmo y en la diligencia.Cesáreo Gil.

3 5

12

7 3 4

Seguimos construyendo nues-tros conocimientos matemáticos, dando continuidad al tema de la radicación. En esta ocasión resol-veremos operaciones con radicales semejantes y avanzaremos en el estudio de las nuevas ecuaciones que surgen para dar solución a los problemas planteados por otras ciencias; nos referimos a las ecua-ciones irracionales. La riqueza de este tema está en que nos permi-te consolidar y/o poner en práctica aprendizajes anteriores a medida que vas adquiriendo destreza y soltura en la resolución de los ejercicios propuestos durante la semana.

Otro problemita más: El señor José decidió vender la mitad de la finca y la otra parte la repartirá en sus tres hijos (lo notaremos en el gráfico como AH1, AH2 y AH3). Al cabo de un tiempo, se acerca un comprador, que al detallar el croquis de la finca (que ocupa la superficie de un cuadrado), alega que las hectáreas del terreno que están a la venta no se corresponden con la mitad de la finca.

Gráfico 1

Mirando el croquis, ¿podrías decir si la repartición de las tierras se realizó en los tér-minos pautados?, ¿cuántas hectáreas de la finca suman las tierras de los tres herma-nos?, ¿cuántas hectáreas corresponden para la venta, según el croquis? Para simplifi-car los cálculos, asumimos que todas las longitudes están expresadas en metros y las áreas en metros cuadrados.

Operaciones con radicales Semana 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

AH1

AH3

AH2

20

2 5

180Área en venta (Av)

Operaciones con radicalesSemana 9 Semana 9Operaciones con radicales

240 241

Vamos a resolver este problema. Si queremos saber la parte de la tierra que corres-ponde a los hijos, bastará con sumar las tres superficies sombreadas. Primero debe-mos conocer las áreas de cada una de ellas, ¡sencillo! Luego de hallar el área de cada terreno, obtenemos AH1 = 2 180 , AH2 = 12.5 5 y AH3 = 7 20 , así que el área asig-nada a los hijos es: AH = A1+ A2+ A3 = 2 180 + 24 5 + 7 20¿cómo realizar esta suma de radicales sin usar la calculadora? Posiblemente te sientas tentado a realizar lo si-guiente: 2 180 + 24 5 + 7 20= (2+24+7) 180 + 5 + 20

¡No lo hagas! Esa igualdad no es cierta. ¿Qué se te ocurre? Vamos a evocar los apren-dizajesanteriores;simplifiquemoscadaunadelasraícesaverqueresulta.Porelmo-mento consideremos solamente las raíces.

Primero procedemos a descomponer la raíz en sus factores primos:

La raíz 5 está en su forma más simple, por ello no hallamos su factores.

Luego, simplificamos el radical 180 = 22 32 5 = 2·3 5 = 6 5 y 20 = 255 = 2 5

Veamos los resultados:

180 = 6 5 5 = 5 y 20 = 2 5

¿Se parecen los resultados resaltados en rojo?, ¿qué tienen en común? Los números 6,1y2sellamancoeficientes.Comopuedesapreciar,estosradicalestienenigualín-dice y la misma cantidad subradical. Por eso, se conocen como radicales semejantes. En general,

Dosomásradicalessonsemejantessialsimplificarlos,tienenla parte radical igual, es decir, si tienen igual índice y la misma cantidad subradical.

Pero aún no hemos respondido a la pregunta principal: ¿cuál es la porción de tierra correspondiente a los hermanos? Sea AH = área de las tierras de los hijos, AH = A1+ A2+ A3= 2 180 + 24 5 + 7 20Reemplazandolosresultados:

= 2 · 6 5 + 24 5 + 7 · 2 5

= 12 5 + 24 5 + 14 5 = ( 12 + 24 +14 ) 5 = 50 5

Conelprocedimientoanteriordefiniremoslaadiciónysustracciónderadicales.

Adición y sustracción de radicales semejantes

Para sumar o restar dos o más radicales semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se conserva el radical.

En algunos casos tendrás que comprobar si los radicales son semejantes antes de realizar la operación.

Ya sabemos el área de las tierras de los hermanos. Procedamos ahora a calcular las hectáreasquefueronasignadasparalaventa.Unaopciónesrestarlealáreatotallacantidaddehectáreasquefuerepartidaentreloshijos;elresultadonosdarálapartede tierra destinada para la venta. AT = área total de la finca, AH = área de las tierras de los hijos, AV = área en venta, AT=AH+AE AE= AT- AH. Ahora calculamos el área completa de la finca AT= bxh= 12 · 320 = 12 · 8 5 = 96 5 , luego AV= AT- AH= 96 5 - 50 5 = (96-50)5=465.Delosresultadossetienequeelcroquisnosedistribuyócorrec-tamente;eláreaenventatieneunpocomenosdelamitaddelterreno.

Ejercicios

Compruebasilassiguientesparejasderadicalessonsemejantes:

a) 8 , 3 8 b) 6 7, -2 7 c) 3 16 y -4 3 2 d) 18 y 54

En el ejercicio a) tienen igual radicando, pero, diferentes índices, por tanto no son se-mejantes. Los radicales del ejercicio b) son semejantes ¿por qué? En el ejercicio c) los radicalestienenigualíndice,pero,diferentecantidadsubradical;sinembargo,debe-mossimplificarlosradicandosyluegocompararlos;losradicandossedescomponenen sus factores primos y luego simplificamos 3 16 = 3 24 = 3 23 22 = 3 23 3 2 = 3 32;la segunda raíz no hace falta simplificarla puesto que está en su forma simple -4 3 2 . Luego 3 3 2 y -4 3 2 son radicales semejantes.

Descompónlosradicalesycompruebaqueefectivamentedebesobtener:

18 = 322 = 3 2 y 54 = 332 = 32 3·2 = 3 6 .

Luego 18 y 54 no son radicales semejantes, pues al simplificarlos obtenemos distintos radicandos.

Otroejemplo.Resolvamoslasiguienteoperación:

-43 56 + 3 875 - 6 3 189 - 4 3 56 + 3 875 - 6 3 189

3 56 + 3 8 · 7 - 3 23 7 = 23 7 + 3 875 - 3 53 · 7 = 53 7, 3 189 = 3 33 7 = 3 3 7

- 43 56 + 3 875 - 6 3 189 = -4 · 2 3 7 + 5 3 7 - 6 ·3 3 7

= -8 3 7 + 5 3 7 - 18 3 7 = (-8 + 5 - 18) 3 7 = -21 3 7

Fíjate que los radicales al principio no parecen semejantes, por ello debes simplifi-carlos y, de acuerdo a los resultados, decides si son semejantes o no.

180904515

51

22335

2010

51

225


242 243

Ecuaciones irracionales

UntipodemovimientodegranrelevanciaenlaFísicaeselmovimientoarmónicosimple(MAS).Larazóndeserloseleatribuyeadiversosfenómenoscotidianos;porci-tar algunos: el movimiento de una hamaca o de una mecedora, el aleteo de una abeja, el movimiento del péndulo de un reloj (relojes antiguos). Este movimiento se carac-terizaporserperiódico.Basadosenunbreveestudiodelpéndulo,introduciremoslasecuaciones irracionales. En términos simples, un péndulo consta de un objeto atado al extremo de una cuerda, el movimiento de ida y vuelta se llama oscilación y el tiempo que tarda en dar una oscilación se llama período.

Para calcular el período del péndulo, usamos la siguiente fórmula T = 2 π

donde T = período (expresado en segundos), L= longitud del péndulo (expresada en metros), y g = aceleración de gravedad.

Veamoslaaplicacióndeésta,atravésdelsiguienteejemplo:Deltechodeunahabi-tación cuelga un péndulo simple, cuyo periodo es de 4s (realiza 50 oscilaciones com-pletas en 200s). Si la esferita que constituye el péndulo está situada a 15 cm del suelo, ¿qué altura tiene la habitación?

La altura de la habitación vendrá dada por la suma de la longitud del péndulo y la altura a la que se encuentra la esferita respecto al suelo. Necesitamos hallar la longitud del péndulo. Sustituyendo los valores en la fórmula obtenemos,

4 = 2x3.14

Has advertido que la incógnita está “dentro” del radical. Hemos obtenido una ecua-ción irracional y la definimos así:

Una ecuación irracional es aquella en la cual la incógnita esparte de la cantidad subradical.

Para resolver este tipo de ecuaciones con radicales, primero hay que transformarlas a ecuaciones sin radicales. ¿Qué operación aplicarías para eliminar la raíz cuadrada? ¡Exacto! Sabes que la raíz cuadrada es la operación contraria de elevar al cuadrado. Vamos a darle solución.

4 = 2x3.14 4 = 6,28

=

(0,636...)2 =

Luego el valor (aproximado) de la longitud del péndulo es L = 3,9758 m ≈ 3,98 m. Luego la altura de la habitación será 3,98 m más 0,15 m

1.Resuelve3+x - 1 = 5

x - 1 = 5 - 3 Se aísla el radical, es decir, se deja solo en un miembro.

( x - 1)2 = 22 Elevamos al cuadrado ambos miembros.

x - 1 = 4 Procedemos a despejar la incógnita.

x = 5

3+ 5 - 1 = 5 Finalmente, sustituimos el valor de x en la ecuación y resolve mos para verificarla.

5 = 5

2.Resuelvex - 7 = x - 5

(x - 7)2 = ( x - 5)2 Elevamos al cuadrado ambos miembros.

x2 - 14x + 49 = x-5 Desarrollamoselproductonotable.

x2 - 15x + 54 = 0 Agrupamos los términos semejantes.

(x - 9) (x - 6) = 0 Factorizamos la ecuación de segundo grado.

(x - 9) = 0 x = 9 o (x - 6) = 0 x = 6 Principio de los productos nulos.

Comprobemossilassolucionesobtenidasdelaecuacióndesegundogrado,satisfa-cen la ecuación irracional. Simplemente sustituimos los valores, así:

x - 7 = x - 5 x - 7 = x - 5

9 - 7 9 - 5 6 - 7 6 - 5

2 2 -1 1

Fíjate que en la resolución de ecuaciones irracionales pueden aparecer ecuaciones desegundogrado.Utilizalafórmulageneralparalaresolucióndeecuacionesdese-gundo grado o para algún caso de factorización.

Saber más

Te invitamos a reforzar las operaciones de radicales, visitando la siguiente dirección web: http://algebrabaldor.webcindario.com/id276.htm

Lg

L9,8

L9,8

L9,8

4 2

6,28( ) ( ) L 2

9,8

L9,8

Simplificamos en caso de ser posible

Para despejar la incógnita ele-vamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Aplicamos (n a )n Procedemos a despejar la incógnita.

El número 9 verifica la igualdad, pero el 6 no, por tanto la única solución es 9.


244 245

1.Determinacuálestérminossonsemejantes.

a) 150 y 216 b) 3 9a y 9a c) 43 4 y 3 64 d) 8 y 162

2. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica.

a) 7 · 27 - 8 · 243 + 675 b) -3 · 162 + 50 + 4 · 288

c) 8 · 3 40 - 7 · 3 5 - 3 135

3.Resuelvelassiguientesecuacionesirracionales.

a) 2x + 5 = 5x - 1 b) 3x + 4 - 6x - 8 = 0 c) 3 x + 1 - 2 3 = 0

d) 4 + y - 3 = 11 e) x2 + 4 = x +2 f ) 4x + 1 = x + 1 g) x - x - 6 = 0

Péndulo: la oscilación de las cosas


Durantesigloselpéndulohafascinadoaloscientíficos.Unpéndulopuedemarcarelpaso del tiempo, medir la fuerza de la gravedad y detectar un relativo movimiento. El científico Galileo entendió que un péndulo se mueve durante (casi) el mismo tiempo, tantosiefectúaunaoscilacióncortacomosies larga.Conestasimpleobservacióninventó el reloj de péndulo. El tiempo de oscilación no depende de la masa pendular (por ejemplo una esfera). En efecto, si se toman dos péndulos de igual longitud, uno de hierro y otro de madera, se observará que tardan en oscilar el mismo tiempo.

En lugares donde la gravedad es más débil, como en la cima de las montañas o en la luna, el péndulo es más lento. Y un péndulo en un planeta gigante como Júpiter, donde la gravedad es más fuerte, oscilaría más rápido.

Pero si un péndulo oscila más rápido bajo mayor fuerza gravitatoria, ¿por qué una esfera pesada no se mueve más de prisa que una ligera? La razón es que la inercia incrementada de la esfera más pesada exige mayor fuerza para acelerarla y la fuerza extra requerida es exactamente la misma que la atracción gravitatoria aumentada. Eso significa que inercia y gravedad están estrechamente relacionadas.

Unpéndulosimpletieneunperiodode2.4s,enunlugardondelaaceleracióndelagravedad es de 9.81 m/s2.¿Cuálseráelvalordelagravedadg en otro lugar sobre la superficie de la Tierra, donde el mismo péndulo tiene un período de 2,41 s?

Si no vives por algo, morirás por nada. Anónimo.

Proporcionalidad y Teorema de Tales Semana 10 Semana 10Proporcionalidad y Teorema de Tales

246 247

Hasta el momento has visto que la proporción permite esta-blecer relaciones entre magni-tudes, además se puede analizar el efecto de una magnitud so-bre la otra; esta semana segui-mos ampliando este concepto. También mediante el estudio de proporcionalidad de segmentos estableceremos el teorema de Tales de Mileto y veremos sus aplicaciones en la resolución de problemas.

Otro aspecto que mostraremos es que el ser humano, conscien-te o inconscientemente, en la construcción de múltiples obras

arquitectónicas y artísticas, ha plasmado el concepto de proporción, como expresión de una sensación de bienestar y armonía, belleza y arte.

Repasemoslosaprendizajesqueposeessobreelconceptodeproporcióntrabajadoenel2dosemestre.Revísalo,puesesfundamentalparaconstruirlosconocimientosque iremos desarrollando esta semana.

1. Carmendecideayudarasuabuelaaprepararelarroz.Laabuelaleindicaquepor cada taza de arroz debe añadir dos de agua. Si pone seis tazas de agua, ¿cuánto arroz debe echar? Y si echa 5 tazas de arroz, ¿qué cantidad de agua debe añadir?

2. Halla el término que falta en las siguientes proporciones:

a) = b) = c) =

3. El precio de los pisos es proporcional a la superficie que tienen. Si un albañil construye un piso de 85 m2en7650Bs.,señalacuántocobraráporlaconstrucciónde pisos con las siguientes medidas: a) 100m2 b) 120m2 c) 70m2

Proporcionalidad y Teorema de TalesSemana 10

x21

23

4z

z21

65

48x

Segmentos proporcionales

Veamos un ejemplo. Sean los segmentos:

A B E F

C D G H

¿Qué condición deben cumplir las razones entre cada par de segmentos para que sean proporcionales? Hallamos sus respectivas razones.

= y = = =

Son proporcionales, dado que las razones entre los respectivos segmentos son iguales.

Para que los segmentos sean proporcionales lo deben ser sus medidas. La propor-cionalidad entre segmentos (y figuras geométricas) no es más que un caso particular de la proporcionalidad de magnitudes, ya que la longitud es una magnitud.

Dadoscuatrosegmentosenunciertoorden,silarazóndelosdos primeros es igual a la razón entre las longitudes de los dos segundos, dichos segmentos forman una proporción.

Para conocer la proporcionalidad de segmen-tos solo hace falta conocer la longitud de tres de ellos y encontrar un cuarto que cumpla la regla de la proporcionalidad directa.

El ingenio de uno de los sabios de Grecia: Tales

ElmatemáticoyfilósofogriegoTalesdeMileto,quevivióentrelossiglosVIyVaC.consiguió, de una manera ingeniosa, medir la altura de la Gran Pirámide de Keops, para ello se valió de un teorema que hoy lleva su nombre.

Lapirámidetieneunabasecuadradade230mdelado.DicelaleyendaqueTalesmi-dió su altura observando que la sombra proyectada por la pirámide era de 85 m desde la base y colocando su bastón de 1,46m en el punto donde acababa la sombra, midió laqueproyectabaelbastón,erade2m.¿Cuáleslaalturadelapirámide?

ABCD

23

EFGH

46

23

46

ABCD

EFGH


248 249

Figura 35

Las distancias P y b son, respectivamente, las longitudes de las sombras de la pirámi-de y el bastón. H y h representan la longitud de la altura de la pirámide y el bastón.

Tales halló la siguiente relación = , donde M representa la longitud del ex-

tremo de la sombra hasta el centro exacto de la pirámide (ver figura 35), la longitud de M está dada por la suma de la longitud de la sombra (85 m) y la mitad del lado de la

pirámide (115 m). Sustituyendo los respectivos valores = , de donde

H = 146m.Tales comprobó que la relación que el bastón establece con su sombra es la misma que la pirámide establece con la suya. Es decir están en proporción.

¡Proporcionalidad entre segmentos! La otra forma equivalente de expresar la igual-

dad anterior es =

Si analizamos la figura 35, “aparecen” unos triángulos. Si extendemos las líneas (por conveniencia) visualizamos rectas: tal y como se muestra en la figura 36, tenemos dos rectas paralelas, l y l’ , que a su vez cortan a las rectas r y s secantes (se cortan en pun-to).BasadosenesascaracterísticasestablezcamoselteoremadeTales.

Figura 36

Teorema de Tales

Lafigura36essimilarala37;constaderectassecantesyvariaslíneasparalelasentresí que cortan a las líneas secantes.

HM

hb

H200

1,46 m2

bM

hH

l

r

s

o

A

A’ B’ C’

B

C

Figura 37

Calculalassiguientesrazones= = = ==

¿Cómo son los resultadosobtenidos? Si has realizado conprecisión lasmedidas,puedes notar que la razón entre cada par de segmentos correspondientes es el mis-mo, a ese valor se le conoce como razón de proporcionalidad (k). Escribimos:

= = = = k

En base a estos resultados se enuncia el teorema de Tales:

“Si dos rectas que se cortan en un punto (secantes), son cor-tadas a su vez por varias rectas paralelas entre sí, los segmen-tos correspondientes que estas paralelas determinan sobre las dos rectas son proporcionales”.

En términos más sencillos, este teorema afirma que la razón entre dos segmentos de cualquiera de una de ellas (rectas secantes) es igual a la razón correspondiente de la

otra. La relación = es equivalente a =

A ejercitar…

1. Un grupo de la brigada de Guardaparques del Zulia, emprendió un viaje deaventura.Comopartedesuitinerario,ensusandanzas,encontraronunenormerío bravo que debían cruzar. El más valiente y mejor nadador debe cruzarlo para amarrar una cuerda al otro extremo. Veamos un dibujo de la situación (figura 38).¿Cuáleselanchodelrio?,¿cuántosmetrosdelongituddecuerdanecesitanpara asegurar que el osado chico atraviese sin menores dificultades el río?

OAOA’

ABA’B’

BCB’C’

OBOB’

OCOC’

OAOA’

ABA’B’

BCB’C’

12

OAOA’

ABA’B’

OAAB

OA’A’B’


250 251

OAOA’

Figura 38 Figura 39

Si gráficamente haces coincidir dos de los lados correspondientes, obtendrás una fi-guracomola39.Lasfiguras38y39representanotraformadelteoremadeTales.¿Cuáldelasproporcionesutilizarías,parahallarelanchoelrío?AsignemosalsegmentoABla letra x: longitud ancho del rio. Establecemos la razón entre segmentos correspon-

dientes = = x = 32m. Sólo falta hallar la longitud de la cuer-

da, que viene dada por la suma de los segmentos OB y OB’. Si utilizas la proporción = 1,6m = solamente conocemos dos segmentos así que, por el

Teorema de Tales, no podemos resolverla. ¿Qué se te ocurre? Aplica el Teorema de Pitágoras.¿Porquépuedesaplicarlo?,¿quéladosdelteoremarepresentaOByOB’?Alrealizar los cálculos obtienes que la longitud es de aproximadamente 58,13 m.

2. Si en la figura l1 l2 l3 calcula cuánto es x+y

Aplicando Tales: = x = = 3

Ahora solo falta hallar y.

Determinaquelaposicióndelasotrasrectassecantesessimilaralafigura38.

Se establece que = y = = 8

La suma x+y = 11

Figura 40

xA’B’

16m10m

x20m

OBOB’

BAA’B’

OBOB’

84

6x

4 · 68

84

16y

4 · 168

L1

L2

L3

6

x y

8 16

4

Saber más

El número de oro

Aprovechemos el estudio de segmentos proporcionales para establecer, a través de estos, un valor que ha trascendido en el tiempo: el número de oro. Los griegos descubrieron el número de oro al dividir un segmento de una manera especial.

Figura 41

La figura 41 expresa que la razón entre la longitud total del segmento y la parte mayor es proporcional a la razón entre la parte mayor y la parte menor.

Expresamos la igualdad entre razones = 1 + x = x2 x2 - x -1 = 0

Al resolver la ecuación de segundo grado, tomamos la solución positiva:

x = = φ = 1,6180339...

Ese valor obtenido es el número de oro, que también se conoce como sec-ción áurea, razón áurea y divina proporción.

Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.

Disfrutaunvideosobrelosdiversosfenómenosdondeapareceladivinaproporción,disponibleenelCDmultimediadeestesemestreyen lasi-guiente dirección web: http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc

1. En la figura 42, que AD BE calcula la medida de los lados AB y EF.

Figura 42

1 + x x

x1

1 + 5 2

O D E F

AB

C

30

1021

135

(d)(d’)

A

A’

B

B’

OEquivalente

parte mayor parte menor

segmentox + 1

x 1


252 253

2.UnpuntoP divide interiormente a un segmento AB en la razón 5:3. Si PB = 36 cm, ¿cuánto mide AB ?

3. Sea ABunárbolcuyacopaesinaccesible.UnobservadorcolocaunespejoS sobre el terreno y se aleja de él hasta el punto C, desde el cuál ve la imagen de la copa. Si DC = 1,7 m, CS = 3 m, SB = 12 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

Figura 43

4.AplicaelTeoremadeTalesparahallarlossegmentos:AC,CEyEG

Figura 44

La razón de oro

En el rectángulo (figura 45), la razón o cociente entre su base y altura es

φ =

El rectángulo de oro aparece en grandes obras arquitectónicas, como, por ejemplo, el Partenon, las pirámides de Egipto, en obras de arte como la Mona Lisa, El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, en las dimensiones de insectos. También está presente en el cuerpo humano, nuestra mano nos proporciona una fiel ilustración de las proporciones del número de oro (figura 46).

D

C S B

A

E

3040

20

120G

CA

B

DF H

Figura 45

Figura 46

¡A medir! Toma las medidas del largo y ancho de las tarjetas de banco, de alimenta-ción,cartas(obarajas);divideelmayorvalorentreelmenor.¿Cómosonlosresultadosentre sí?, ¿a qué valor se aproxima?

Para saber que tan hermoso(a) eres, bueno, al menos matemáticamente, halla la ra-zón entre tu altura y la distancia entre tu ombligo y el suelo, este cociente debe ser muy próximo a la razón de oro.

La vejez inicia cuando nos levantamos sin metas y nos acostamos sin esperanzas. Belmont.

1 + 5 2

T U

S

P

QR

5 2

1 2

Calor y temperatura Semana 11 Semana 11Calor y temperatura

254 255

Bienvenidos a otro encuentrocon el mundo de la Física, donde seguimos afinando los concep-tos partiendo de tus vivencias. En esta oportunidad estudiaremos la rama de la calorimetría o ter-mología, referida a fenómenos térmicos.

Al culminar la semana serás ca-paz de explicar los términos de energía térmica, calor, tempera-tura, equilibrio térmico y, lo más importante: podrás reconocer que calor y temperatura son con-ceptos diferentes.

El calor es una forma de energía (como lo verás más adelante), por ello puede trans-formarse en otras formas de energía. En las centrales termoeléctricas se genera ener-gíaeléctricayprecisamenteeltemacentraldeestasemana:“Desarrollosustentable”,nos invita a considerar y evaluar los impactos de ésta y tomar acciones en cuanto a respetar las diferentes formas de vida, asumiendo sensibilidad y compromiso en el mantenimiento de futuras generaciones.

Es posible que hayas escuchado informaciones como esta: “El incremento de gases invernadero,haproducidouncalentamientoenlaTierra;enlosúltimoscienaños,sutemperaturapromediohaaumentadoalgomásde0,5ºC”.Siteparecepoco,teinvita-mos a que investigues los efectos que esto ha generado en nuestro planeta.

Indudablemente la temperatura condiciona la forma de vivir de los seres vivos, pues éstos tienen sus propios mecanismos reguladores de temperatura, que les permiten adaptarse a los cambios térmicos. Pero, ¿qué genera las variaciones de temperatura? ¡El calor! El calor es energía, por ello puede transformarse en otras formas de energía.

Realicemoslasiguienteexperiencia:toma3recipientesdealuminio(ovidrio),conigual cantidad de agua. Añade agua tibia en la primera, agua del grifo en otra y en la tercera añade agua fría, introduce tu mano izquierda en el recipiente con agua fría y la mano derecha en el recipiente con agua caliente. Luego de unos minutos, introduce ambasmanosenlaollaconaguadelgrifo.¿Quésientesencadamano?¡Realízalo!

Calor y temperaturaSemana 11

Posiblemente pienses que calor y temperatura son conceptos muy elementales por estar presentes en tu día a día, pero ya verás que algunas ideas son erróneas. Para unoselcaloresloquesesienteosepercibeamuyaltastemperaturas;otroscreenqueelcaloresalgomaterialqueseacumulaenloscuerpos;porejemplo,siestásenMaracaibo, probablemente dirás ¡qué calor tengo! Esta frase esta errada, porque los cuerpos ¡no contienen calor, sino energía térmica! Toda la materia (el pupitre, el auto, tú…)estáconstituidaporpartículas(átomosymoléculas)queestánencontinuomo-vimiento(agitacióntérmica).Cadapartículatienemasayenergía.Cabepreguntar¿dedónde proviene esa energía? Primero, de su movimiento (energía cinética): ninguna partículaestaquieta;segundo,delmaterialdelapartículaydelacantidad,delaener-gía potencial de las interacciones entre sus partículas. La suma de ambas energías se denomina energía interna o térmica.

Temperatura

SirealizastelaexperienciaplanteadaenConocimientosprevios,comprobarásqueen tu mano izquierda sentirás la sensación de calor y en tu mano derecha sentirás frío. A pesar de que ambas manos están en el agua del grifo, y debieron percibirse las mismas sensaciones, no ocurrió de esa manera porque en el proceso están vinculados nuestros sentidos y estos nos dan información que puede ser errada.

En términos simples, la temperatura de un cuerpo es una propiedad que se relacio-naconelhechodequeuncuerpoesté“máscaliente”o“másfrío”.Desdeelpuntodevista microscópico, se define:

La temperatura es una medida del grado de agitación de las partículas que componen un cuerpo, específicamente tiene que ver con la energía cinética promedio del movimiento de las moléculas.

En nuestra experiencia vimos que comparar la temperatura de los cuerpos por me-dio del tacto sólo nos da una apreciación cualitativa. Para que la temperatura sea con-siderada una magnitud física es necesario medirla para darle un carácter cuantitativo, por ello usamos el termómetro.

Equilibrio térmico

Si vives en el estado Zulia y vas de vacaciones a algún pueblito de Mérida, segura-mente se te hará difícil bañarte con agua fría. Por ejemplo, si tienes una bañera con agua a baja temperatura, abres el grifo del agua caliente hasta conseguir que la mez-cla esté a tu gusto y puedas meterte en ella para reconfortarte. En otras palabras ob-tuviste una temperatura intermedia de las dos masas de agua. ¿Qué ha ocurrido? Se ha producido un intercambio de energía, que va desde el agua a altas temperaturas hasta el agua a baja temperatura y que dura hasta que se igualen las temperaturas de ambas, es decir, llegaran a una situación final donde la temperatura es constante, esto se conoce como equilibrio térmico.


256 257

Figura 47

Figura 48

Figura 49

En la figura 47 puedes observar que la masa es constante (cantidad de agua) y la temperatura varía. Si introduces la misma cantidad de hielo en cada vaso, ¿en cuál de ellos se fundirá mayor cantidad de éste? A medida que va aumentado la temperatura de un objeto, ¿aumenta o disminuye la cantidad de calor que puede ceder?, ¿qué re-lación puedes establecer entre la temperatura y el calor?

En la figura 48 se observa que la temperatura es constante y la masa es variable. Si introduces un trozo de hielo igual en cada recipiente. ¿En cuál de ellos se funde más hielo?, ¿qué relación puedes establecer entre el calor y la masa?

En la figura 49, si por ejemplo se colocan al sol (le suministramos la misma cantidad decalor)igualescantidadesdemasadediferentessustancias(agua,keroseneyacei-te), ¿por qué se obtienen diferentes lecturas en el termómetro?

En la experiencia de la sección de conocimientos previos, se deduce que:

a) A mayor diferencia de temperatura ( Δ T) corresponde mayor cantidad de calor (Q). Q es directamente proporcional a Δ T.

CuandodecimosqueenMéridahacefríoyenel Zulia mucho calor, lo que queremos decir en realidad es que la temperatura del am-biente es baja o, en el segundo caso, que la temperatura es alta.

¿Qué causa estos cambios de temperatura entre los dos cuerpos? La energía que se transmitió en los cuerpos debido a una diferencia de temperaturas (masa de agua fría y masa de agua caliente) se llama calor.

El calor es la energía transferida en forma espontánea de un cuerpo que se encuentra a mayor temperatura a otro de me-nor temperatura. El cuerpo que recibe o absorbe calor aumen-ta su temperatura, “se calentará”, y el que cede calor disminuye su temperatura, “se enfriará”.

Porserunaformadeenergía,elcalornotieneformanivolumen,noesalgomaterial;si fuera así, los cuerpos, después de calentarse, ganarían peso.

Uncuerpoatemperaturaconstanteposeeenergía interna o térmica, pero no ca-lor. El calor no se acumula en los cuerpos, es el nombre que se le da a la energía interna quepasadeuncuerpoaotromientrasexistaunadiferenciadetemperaturas.Cuandose alcanza el equilibrio térmico todavía existe energía interna aunque no calor.

El calor también tiene su unidad de medida, se mide en joules (julios, J) que es la unidad de energía en el S.I.

Comosabes,elcuerponecesitaenergíaparavivir y la obtiene de los alimentos que inge-rimos en cada comida. La unidad de energía enlosalimentoseslakilocaloría(otraunidadempleadaparamedirelcalor);estavienere-flejada en la etiqueta de los alimentos.

Cantidad de calor

A través de la siguiente experiencia estableceremos una expresión que permitirá determinar de cuáles variables depende la cantidad de calor.


258 259

¡A experimentar!

¿Qué le pasa al volumen de un líquido cuando aumenta su temperatura?, ¿y si dis-minuye su temperatura?

Toma un frasco de compota, llénalo completamente con agua previamente teñida con colorante, perfora la tapa y pasa a través de ésta un tubito plástico de los que se usa para revolver el azúcar con el café (ver figura 51). Ponle la tapa al frasco y asegúra-te de ajustarla, sella con plastilina cualquier orificio que haya quedado en la superficie de la misma. El agua subirá hasta cierta altura en el interior del tubo.

Figura 51

Sumerge completamente el frasco en un baño de agua muy caliente. Observa qué sucede con el nivel de agua en el tubo.

Despuésdecierto tiempo, sacaeldispositivoyponloenunbañoconaguamuyfría (mezcla de agua y hielo). Observa entonces lo que sucede al nivel de agua del tubo ¿coincide lo que observaste con lo que creías?, ¿qué le falta para parecerse a un termómetro?

Figura 52

Central termoeléctrica

En una central termoeléctrica, la producción de energía se realiza a partir de la com-bustión de carbón, petróleo o gas en el interior de una caldera. Generalmente este tipo de instalaciones se denominan centrales termoeléctricas convencionales, para diferenciarlas de otras centrales termoeléctricas, como las nucleares o las solares, que también generan electricidad, pero utilizando fuentes de energía diferentes de los combustibles fósiles y recurriendo a una tecnología muy avanzada.

b) El calor absorbido o cedido por un cuerpo es proporcional a su masa. Significa quesiduplicamos,triplicamos,…,sumasa,lacantidaddecalortambiénseduplicará,triplicará…

c) La cantidad de calor depende de la naturaleza de la sustancia.

En líneas textuales decimos:

La cantidad de calor (Q) que puede ceder o absorber un cuer-po, al ponerse en contacto con otro a distinta temperatura, es proporcional a la variación ( Δ T), proporcional a su masa m y depende de la naturaleza del cuerpo c. En lenguaje matemáti-co, Q= m. Δ T.c

Para la figura 49 ¿cómo es la temperatura en cada caso? Esto nos indica que la tem-peratura no depende de la masa (cantidad de partículas).

No dudarías en pensar que la temperatura de una vela es mucho mayor que, por ejemplo, el agua que contiene una piscina. Pero ¿quién tiene mayor cantidad de ca-lor? A pesar de esa gran diferencia en la temperatura, podemos afirmar que el agua de la piscina funde mayor cantidad de hielo que la flama. Sin exagerar, podemos decir que un iceberg contiene más cantidad de calor que un litro de agua hirviendo.

Saber más

Algunos materiales presentan la propiedad físi-ca de cambiar el volumen, la resistencia, el co-lor, la longitud, con el aumento de temperatura. Se aprovecha este principio para la fabricación de termómetros: existe una gran variedad en el mercado, pero analicemos el más común, que es el termómetro clínico de mercurio o de al-cohol teñido, pues se fundamenta en dilatación de los líquidos. El líquido está encerrado en una ampolla pequeña o bulbo que, al calentarse, se dilata;elexcesodelíquidosaledelaampollayasciende por un tubo de diámetro muy angos-to, llamado tubo capilar. Para leer la tempera-tura se utiliza una escala que está grabada en el vidrio.


Semana 12Propagación del calor

261

Calor y temperatura Semana 11

260

Sea cual sea el combustible fósil utilizado (petróleo, gas o carbón), las centrales ter-moeléctricas funcionan según el mismo esquema básico:

1. El calor generado al quemar el combustible (carbón, petróleo) se emplea para calentar agua en una caldera, que se transforma en vapor.

2. Este vapor de agua se dirige hacia unas turbinas y las hace girar, debido a su empuje.

3. Un generador, el aparato capaz de producir electricidad, está acoplado a las turbinas, de manera que a medida que estas giran, se produce la energía eléctrica.

4. El generador está conectado a un transformador que convierte la corriente eléctrica para que se distribuya por los tendidos eléctricos.

ContinúaestalecturaenelCDmultimediadeestesemestre,tambiéndisponibleenlasiguientedirecciónweb:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0226-01/capi-tulo7.html

1. Si dejas caer una piedra caliente en un tobo con agua, cambiaran las temperaturas de la piedra y el agua hasta que ambas se igualen. La piedra se enfriará y el agua se calentará. ¿Sucederá lo mismo si la piedra caliente se deja caer en el Océano Atlántico? Explica por qué.

2. Si se agrega la misma cantidad de calor a dos objetos distintos no se produce necesariamente el mismo aumento de temperatura. ¿Por qué?

3. ¿Por qué se utiliza el alcohol en la fabricación de termómetros para temperaturas inferioresa-30ºC?

4. ¿Por qué el hielo no se conserva a temperatura ambiente, sino que hay que meterlo en cavas para aislarlo del medio ambiente?

5. Investiga y realiza un breve resumen sobre los efectos ambientales de las centrales termoeléctricas e indaga las medidas que han tomado las empresas (por ejemplo, el uso de nuevas tecnologías) y el gobierno, a fin de minimizar el impacto nocivo de estos residuos a la atmósfera.

Donde hay poca justicia es un peligro tener razón. Quevedo.

Cuando nuestra maravillosaestrella, el sol, nos transfiere su energía radiante, desde ese mo-mento hay un proceso de pro-pagación de energía a gran es-cala, en este caso por radiación. Durante esta semana veremoslas diferentes formas de propa-gación del calor: conducción, convección y radiación, y verás que estos procesos no te son ajenos.

Actualmente se construyen edificaciones con materiales no-vedosos, buscando que éstos frenen la pérdida o ganancia del calor de una vivienda. Para lograr esto se usan aislantes térmicos, que es la capacidad de los materiales para oponerse al paso del calor. Y la eficiencia de estos permite un ahorro de energía mini-mizandolosimpactosnegativosenelambiente;estoimplicaademáselusososteni-ble de la energía, donde cabe mencionar la aplicación de energías renovables como la solar.

Analicemos detenidamente las siguientes situaciones:

1. Observa la figura 53, luego describe y explica la secuencia que observas ahí y plantea tus argumentos.

Figura 53

2. Habrás visto en algún programa a personas que pueden caminar descalzos sobre las brasas (carbones al rojo vivo) con temperaturas muy altas y aún así no salen lastimados. ¿Magia o física? Argumenta tu respuesta.

Propagación del calor Semana 12

Propagación del calor Semana 12 Semana 12Propagación del calor

262 263

Elcalornolopodemosver,pero,sipodemosnotarsusefectos;elcalorhacevariarlatemperatura, dilata los cuerpos, modifica el estado físico en que se encuentra (sólido, líquido o gaseoso), incluso un cuerpo llega a arder si la temperatura es muy alta, aun-que no todos los materiales arden.

Dilatación térmica

¡Muybien!De tu interpretaciónde la situación1,vemosquecuandoaumenta latemperatura de una sustancia sus átomos o moléculas se mueven con más rapidez y, en promedio, se alejan entre sí, resultando una expansión o dilatación del cuerpo, es decir, un aumento en las dimensiones del mismo. Por lo general (salvo algunas excep-ciones), todos los sólidos, líquidos, gases y plasmas, se dilatan cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían.

No tenemos que idear un experimento para explicar la dilatación, ya que podemos observar sus efectos en situaciones de nuestro acontecer, por ejemplo, los grandes puentes están segmentados y tienen huecos “machihembrados” llamados juntas de expansión, para que el puente se dilate y se contraiga “libremente” cuando aumente la temperatura por efecto del calor solar, evitando así daños en la estructura.

¿Has notado en los vasos de las licuadoras, por ejemplo en los de plástico o de vidrio común, que si licuas continuamente alimentos muy calientes, el vaso se rompe o se quiebra? Esto sucede porque la parte expuesta sufre mayor dilatación que las que noestánexpuestasalosalimentoscalientes;encambio,sitienesunvasorefractario(vidrio pyrex) no se quiebra, dado que este material tiene un coeficiente de dilatación muchomenorqueelvidriocomún(vertabla3).Uncoeficientededilataciónbajoin-dica que se expande muy poco y viceversa.

Tabla3.Coeficientededilataciónlineal

Sustancia α (ºC-1) Sustancia α (ºC-1) Sustancia α (ºC-1)

Aluminio 23x10-6 Cobre 17x10-6 Invar 0.7x10-6

Vidrio común 9x10-6 Cinc 25x10-6 Acero 11x10-6

Vidrio Pyrex 3.2x10-6 Sílice 0.4x10-6 Plomo 29x10-6

Veamos qué nos indica el coeficiente de dilatación de una sustancia, por ejemplo, para el aluminio, tenemos que α = 20x10-6 ºC-1 , lo cual significa que una barra de aluminiode1cm(1mo1km)delongitud,aumenta23x10-6 cm(mokm)cuandosutemperaturaseelevaen1ºC.

Propagación o transferencia de calor

Recuerdaqueelcalorsetransmitedesdeloscuer-poscalientesalosfríos.Cuandoloscuerposencon-tacto tienen temperaturas diferentes, los que están calientes se enfriarán y los que estén fríos se calenta-rán, hasta que igualen sus temperaturas. Esto se lleva a cabo por conducción, convección y radiación.

Conducción

Cuandoponesunsarténcompletamentemetálicosobrelallama,alratoverásqueno puedes tocar el mango aunque el fuego sólo se aplicó en la base de ésta. El calor entraporelextremoqueestájuntoalallamaysetransmitealrededordelsartén;estaforma de propagarse el calor se llama conducción.¿Cómoseexplicalosucedido?Laspartículas del extremo más caliente aumentan su energía cinética moviéndose con más rapidez, átomos y electrones chocan con sus vecinos y ceden parte de esa ener-gíaalosotros;asícontinúahastaqueelmovimientosetrasmitaatodoslosátomosytodo el sartén se haya calentado. ¿Todas las sustancias conducen igualmente el calor? No. Si, por ejemplo, el asa es de madera, notarás que no está caliente debido a que ésta no conduce muy bien el calor.

Hay materiales, como los metales que, aparte de ser buenos conductores de electri-cidad(revisalasemana6deCienciayTecnología)sontambiénexcelentesconducto-res de calor. Asimismo existen los llamados aislantes térmicos, como la lana, madera, papel, corcho, aire, entre otros, cuyo comportamiento es exactamente contrario al de los metales.

Por su parte, el aire conduce poco calor, lo cual puedes apreciar cuando introduces y sacas rápidamente la mano en el horno de tu cocina, pero si tocas las paredes del hor-no ¡pobre de ti! Se supone que tanto el aire como el metal están a igual temperatura, la diferencia está en lo que se conoce como conductividad térmica (ver tabla 4).

Tabla4.ConductividadtérmicaKcal/s.m.ºC

Aluminio 4.9x10-2 Asbesto 2.0x10-5 Madera 2.0x10-5

Vidrio 2.0x10-4 Aire 5.7x10-6 Corcho 1.0x10-4

Concreto 2.0x10-4 Hidrogeno 3.3x10-5 Plomo 8.3x10-3

Cobre 9.2x10-2 Plata 9.9x10-2 Acero 1.1x10-2

Cuantomayorseaelvalordelaconductividadtérmica,mayoreselflujodecalorqueconduce el material (es mayor en los metales), y por tanto será mejor conductora de calor;porelcontrario,enelcasodelamadera,corcho,gases(aire,hidrógeno…)estosposeen una conductividad muy baja, significa que se “oponen” o “resisten” a la trans-misión de calor, por esto son muy usados en la construcción de casas, ya que mantie-nen una temperatura estable en zonas de bajas temperaturas y altas temperaturas.


264 265

Radiación

¡Seguramente,no tehasperdidodeunaparrillada familiar!Cuandoencienden labrasa,cualquierpersonauobjetocercanoaellaaumentaransutemperatura.¿Cómose propagó el calor? Las capas de aire caliente suben, por tanto no recibimos calor por convección ni tampoco por conducción, ya que el aire es mal conductor del calor ¿Entonces? El calor de la brasa llega por radiación.

La radiación es la propagación de energía a través del vacío, es decir, no hace falta un medio transmisor. Es así como recibimos la energía radiante del sol, a través de los cientocincuentamillonesdekilómetrosdeespaciovacío.

Todos los cuerpos calientes emiten radiaciones que, al ser ab-sorbidas por otro cuerpo, incrementan la temperatura de éste.

Por ejemplo, una plancha caliente emite una cantidad apreciable de radiación tér-mica, lo cual puedes comprobar si colocas tu mano a una cierta distancia de ésta. Cuandolaradiaciónincideenuncuerpo,partedeellaseabsorbeyparteserefleja.Loscuerpos oscuros absorben la mayor parte de la radiación que incide en ellos, mientras que los cuerpos claros (también los plateados) reflejan en su totalidad la radiación térmica.

Veamos la aplicación de esto en nuestra industria petrolera: para un tanque que al-macena petróleo combustible, el color más propicio es el negro, ya que este absorbe grancantidaddecalor;luego,porradiaciónsutemperaturaseincrementayhacemásfluido el petróleo, lo cual facilita el transporte de éste a través de la tubería (oleoduc-tos). Por otro lado, los productos derivados del petróleo: diesel, querosene, gasolina, entre otros, están almacenados en tanques cuyo color (de la pintura) refleja la radia-ción térmica, por lo que se escoge el aluminio brillante (plateado) o el blanco brillante, con la finalidad de evitar la combustión de estas sustancias.

En general, la transmisión del calor por con-ducción suele manifestarse en cuerpos só-lidos y en la convección a través los fluidos (líquidos y gases); ambas formas exigen lapresenciadeunmediomaterial;encambio,laradiación puede efectuarse en el vacío, pues no necesita estar en contacto para intercam-biar calor.

Convección

Si colocamos una olla con agua sobre una llama, el líquido de la parte inferior se calentará por conducción del calor a través de la olla, las moléculas comienzan a mo-verse con más rapidez, se apartan entre sí, el fluido se hace menos denso (más lige-ro) y asciende, mientras que el líquido frío desciende de la parte superior. El proceso continúa, con una circulación continua de masas, movimientos que se denominan corrientes de convección (ver figura 54).

Veamos una aplicación de estos en la calefacción y refrigeración: en un aire acon-dicionado las corrientes de convección hacen que el aire frío por ser más denso se desplacehacialaparteinferiorsustituyendoalairecaliente.Debidoaqueelairefríotiendeabajaryelairecalienteasubir;éstesedirigealaparato,lograndoasíquesuefi-ciencia sea máxima. Este mismo principio suele darse en los calentadores. También se forman por convección la acción de los vientos, las corrientes oceánicas, entre otras.

Figura 54

Figura 55

Figura 56


266 267

la producción de energía limpia se ha convertido en algo fundamental. La energía so-lar fotovoltaica es la única alternativa limpia para los que se preocupan por el medio ambiente en el que viven.

Siestalecturatepareceinteresante,puedescontinuarlaenelCDmultimediadeestesemestre,tambiéndisponibleenlasiguientedirecciónweb:http://www.yuraku.com.sg/energia_renovable/sun_and_sand.php

ConlaenergíaradiantequellegaaVenezuela,sería interesante crear políticas que permitan buscar los medios materiales (laboratorios, capacitación de personal) para el empren-dimiento en la producción de este tipo de energía.

1. Explica por qué un vaso de vidrio común probablemente se romperá si se le llena parcialmente con agua hirviendo. Y ¿por qué, si lo llenamos completo, hay menos probabilidad de que se rompa?, ¿qué pasaría si fuera vidrio pyrex?

2. Dosbarras,AyB,delmismotamaño,sufrenlamismaelevacióndetemperatura.¿Podría dilatarse una más que la otra?, ¿de qué factor depende esto? Explica tu respuesta.

3. ¿Por qué vuela un globo aerostático? Explícalo desde el principio de convección.

4. ¿Te has preguntado por qué los aires acondicionados se colocan en la parte superior de una habitación al igual que los congeladores de una nevera? Pero si estás en una zona de bajas temperaturas verás que los calefactores están siempre en la parte inferior ¿A qué se debe? Investígalo.

5. Si estás en tu habitación donde la temperatura es uniforme, ¿por qué sientes lasensacióndequeelC.P.Udetucomputador(demetal)estámásfríoquelamesita de madera? Explica tu respuesta.

6. En un día soleado ves dos personas: una vestida de ropa blanca y la otra con vestimenta negra. ¿Cuál de ellas, crees que sentirá mayor aumento detemperatura?

Las virtudes se pierden en el interés, como los ríos en el mar. La Rochefoucauld.

Saber más

Amplía y refuerza todos los aspectos trabajados durante esta se-mana y la anterior, mediante la visualización de un video con si-mulaciones de lo que ocurre a nivel microscópico en el cuerpo, dis-ponible en el CD multimedia de este semestre y en la siguientedirección web: http://www.librosvivos.net/smtc/pagporformulario.asp?idIdioma=ES&TemaClave=1062&pagina=7&est=2

Deigualmanera,puedesdisfrutardeunbreveeinteresantevideoacercade la conducción, radiación y convección, disponible en http://www.you-tube.com/watch?v=E5chWfVLmHk&feature=related


¡A experimentar!

Dilatacióndeungas

Materiales: 1 botella de plástico de agua mineral, 1 globo, 1 recipiente con agua fría (con hielo) y 1 recipiente con agua caliente.

Procedimiento: Tapa el cuello de la botella con el globo. Pon la botella dentro del recipiente con agua caliente. ¿Qué obser-vas?, ¿qué le ocurrió al volumen del aire cuando se calentó? Después,pasa labotellaal recipientequecontieneaguafría.¿Qué sucede?, ¿cómo relacionas estas observaciones con los contenidos estudiados? Escribe tus conclusiones.

Energías alternativas

Cuandolaradiaciónsolaratraviesalaatmósfera,el6%esreflejadayel16%esabsor-bida. Esta enorme cantidad de energía libre puede ser utilizada. La tecnología fotovol-taica convierte la luz en energía eléctrica utilizando células solares. Las células solares están hechas de un elemento muy abundante en la naturaleza: silicio. Pero, a pesar de que la luz del sol es gratis y el silicio abundante, el coste de cada KW/h que se puede producir con la radiación solar es elevado. La producción de energía con petróleo o gas resulta más barato. Sin embargo, la producción de petróleo casi está en su punto máximo y la producción de gas lo estará dentro de 20-30 años. Las necesidades ener-géticas mundiales están aumentando y la contaminación está cambiando el medio ambiente de manera drástica, con previsiones catastróficas para el futuro. Por lo tanto,

Estados de la materiaSemana 13 Semana 13Estados de la materia

268 269

Durante la semana anterior vi-mos uno de los efectos que pro-duce el calor sobre los cuerpos: la dilatación. En esta sesión segui-remos profundizando los efec-tos de éste en los cambios de la materia.

Tenemos unos propósitos bien definidos con este tema: primero, que sepas reconocer los cambios de la materia que se dan en tu entorno; segundo, que puedasexplicar, fundamentado en el sa-ber científico, fenómenos como la formación de nubes (conden-sación), el ciclo del agua (vapori-zación, condensación), el proceso

de fusión en la industria siderúrgica, entre otros.

Vemos la necesidad de asumir responsabilidad en cuanto al uso consciente de los recursos y que los gobiernos creen políticas económicas, sociales y ambientales en pro de la calidad de vida de sus ciudadanos. Y, en términos de nuestro tema central, promover un desarrollo sustentable.

Quizás te has preguntado el por qué de las siguientes situaciones:

1. ¿Por qué materiales como la gasolina, el agua de colonia y la acetona se evaporan con sólo dejar destapado el envase?

2. ¿Por qué se derrite el hielo, la mantequilla o el helado cuando los dejamos al aire libre?

3. Es común observar en los días lluviosos que, cuando tenemos las ventanas del auto cerradas, el vidrio se empaña.

Intenta responder desde tu experiencia, para posteriormente hacer contraste con el saber científico.

Estados de la materiaSemana 13

Estados de la materia

Enel1ersemestre,semana4deCienciayTecnología,setrabajóeltemadeestadosde la materia. Es importante que revises esos contenidos pues serán puntos de refe-rencia para que puedas analizar de manera satisfactoria las situaciones que plantea-remos a continuación.

Ya sabes que la mayoría de la naturaleza de las sustancias se presenta en los estados sólido, líquido y gaseoso.Detallalafigura57querepresentacadaunodelosestadosy analízalas. ¿Qué infieres de ellas?

Figura 57

Pero además hay un cuarto estado: el plasma, que se presenta cuando los materia-les gaseosos se calientan a altas temperaturas. Sus partículas cargadas de electricidad son la materia que forman las estrellas (nuestro sol en sí mismo, es un plasma gigan-tesco) y se utiliza en lámparas fluorescentes, al igual que en los televisores de pantalla plasma.

Cambios de fase

Los fenómenos anteriores nos indican que por la acción del calor, bien sea porque al cuerpo se le añade energía o porque cede energía, la materia sufre un cambio de fase o cambio de estado (la presión también influye). Naturalmente, los cuerpos que ceden calor deberán producir efectos inversos a aquellos que absorben calor.

La figura 58 ilustra de forma esquemática los cambios de estados de la materia. Por ejemplo, ¿cuál es el cambio de estado de líquido a gaseoso?


270 271

Figura 58

En la tabla 5 se describen los cambios en las sustancias, explicando en la columna derecha lo que ocurre internamente en los materiales durante este proceso.

Tabla 5

Cambio de estado de la materia

Ejemplos Estructura interna

Sólido - líquido

• Si dejas un trozo de hielo a tempe-ratura ambiente, al cabo de un instante (depende de la temperatura del lugar) se derretirá; se dice que el hielo se ha“fundido”.

•Puedesobservarelprocesocontrarioal poner en el congelador un recipiente con agua, de donde luego se obtienen los típicos cubitos de hielo. Este es el pro-ceso de solidificación.

Consideremos un sólido que re-cibe calor, esta energía incrementa violentamente el movimiento de los átomos, como consecuencia se eleva la temperatura del cuerpo (ver figura 59). Esta agitación térmica alcanza un grado de intensidad suficiente para deshacer la red cristalina del sólido (la ordenación de sus moléculas no pue-de mantenerse), la fuerza de cohesión se vuelve menor y, por consiguiente, las partículas tendrán mayor libertad de movimiento, es decir, el cuerpo pasa del estado sólido al líquido.

¿Podrías explicar el proceso que se da de líquido a sólido?

Figura 59

Procesos

•La fusión es el proceso que permite que una sustancia en estado sólido cam-bie a líquido. Mientras que la solidifica-ción es el paso de una sustancia en esta-do líquido a sólido.

Sólido - gaseoso

•Sidejasuntrozodenaftalinaenelar-mario, ésta “desaparecerá” con el tiempo: pasa directamente del estado sólido al gaseoso (sublimación progresiva).

• El hielo seco pasa del estado sólidodirectamentealgaseoso;éstefenómenolo has visto en los carritos de helado. En la naturaleza la sublimación inversa se observa en la formación de la nieve o de escarcha

Los sólidos tienen presiones de va-por, características que oscilan con la temperatura como sucede con líqui-dos. Acrecentando la temperatura, aumenta también la presión del va-por del sólido.

Se determina como sublimación el indicar la conversión directa sóli-do-vapor, sin la intervención líquida. Por ejemplo, la purificación del yodo, azufre, naftaleno y el alcanfor resul-tan muy viables por sublimación, de-bido a que las presiones de vapor de estos sólidos tienen valores bastante elevados.

Procesos

• La sublimación progresiva es el cambio del estado sólido al gaseoso. Mientras que la sublimación inversa es el proceso contrario.

La fusión es aplicada en la industria siderúr-gica para hacer aleaciones, como, por ejem-plo, se puede mezclar mercurio y plata para elaborar amalgama o relleno dental; hierro,carbono, cobalto y níquel (acero inoxidable) para crear instrumentos de cirugía, cubiertos de mesa, entre otros.

Sólido Líquido Gaseoso


272 273

Líquido - gaseoso

•Unfrascoconcoloniaabierto(sucedeigual con la acetona y el alcohol) se seca-rá (evaporación).

•Cuandocolocasunaollaconaguaalfuego, al cabo de poco tiempo el agua empezará a hervir, parte del agua se con-vierte en vapor de agua, hay un cambio de fase, la vaporización.

•Si tapasunaollaconpastaenplenococimiento, verás que se forman en la tapa unas gotas: el vapor de agua (esta-do gaseoso) pasa a ser líquido.

Ya sabes que la materia se constitu-ye de átomos que están en constante agitación o movimiento (sin importar la temperatura). En cualquier mo-mento algunos átomos del líquido se mueven con rapideces muy altas y otras casi no se mueven. Las que tienen velocidades suficientemente elevadas, al llegar a la superficie del líquido tienen la energía suficiente paraliberarsedeéste.Despuésdees-capar, estas moléculas se encuentran alejadas unas de otras, de manera que la fuerza entre ellas es prácticamente nula;deestamanerasetransformanen moléculas de vapor, es decir, al-canzan el estado gaseoso.Procesos

La vaporización es el cambio de es-tado líquido a gaseoso y se manifiesta a través de dos formas:

•Laevaporación que se produce úni-camente en la superficie del líquido y a cualquier temperatura.

Cuando la temperatura de un líquidoalcanza un valor determinado, se obser-va una formación tumultuosa de vapo-res, afectando a todo el líquido y no sólo a su superficie, ésta forma de vaporiza-ción se denomina ebullición.

•Lacondensación es el paso del esta-do gaseoso al líquido.

Saber más

Disfrutadosinteresantesvideos:elprimero,sobrelamateriaysusestadosy el segundo, una simulación de lo que ocurre en el interior de los materia-les.AmbosdisponiblesenelCDmultimediayenlassiguientesdireccionesweb:

http://www.youtube.com/watch?v=c4EP-7cbpQY

http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/93_iniciacion_interactiva_mate-ria/curso/materiales/estados/cambios.htm


¡A experimentar!

Colocaunaollaconaguaycaliéntalahastaqueelaguaentreenebullición.Retiralaolla de la fuente de calor y comprueba que la ebullición se interrumpe de inmediato.

Toma una jeringa y, tirando del émbolo, deja entrar un poco de esta agua caliente en su interior. Tapa perfectamente el orificio de la jeringa para evitar que penetre el aire, puedes presionar firmemente con tu dedo pulgar. En seguida, tira del émbolo hasta el extremo de la jeringa. Observa que entonces el agua contenida en la jeringa volverá a entrar en ebullición. Explica en términos físicos lo que ocurre.

Siembra de nubes

¿Sabes que el aire caliente se eleva, y al subir se expande y enfría? Al enfriarse, las moléculas de vapor se hacen más lentas. Los choques moleculares con menores ra-pideces dan como resultado que las moléculas de agua se peguen entre sí. Si hay presente partículas o iones mayores y de movimiento más lento, el vapor de agua se condensa en ellas, y cuando se acumulan las suficientes, se forman las nubes. Si no hay esos iones, se puede estimular la formación de nubes “sembrando” el aire con partículas adecuadas.

La siembra de nubes es una forma de manipulación del clima. Es el intento de cam-biar la cantidad o el tipo de precipitación que cae de las nubes mediante la dispersión de sustancias en el aire (por lo general, se utiliza yoduro de plata) que sirven como núcleos de condensación de nubes o núcleos de hielo, que alteran los procesos den-tro de la microfísica de las nubes. La intención siempre es aumentar la precipitación (lluvia o nieve), pero la supresión del granizo y la niebla son también ampliamente practicados en los aeropuertos (en este caso se utiliza dióxido de carbono).

Si te resulta interesante, amplía esta información visitando las siguientes direccio-nes web: http://www.madrimasd.org/blogs/remtavares/2006/06/29/33206 y http://es.wikipedia.org/wiki/Siembra_de_nubes

1. ¿Se puede formar agua en las ventanas, si el interior de un local esta frío, en un día caluroso? Explica tu respuesta.

2. ¿Por qué la ropa mojada se seca más rápido cuando está extendida?

Semana 14Consolidación de aprendizajes

275

Estados de la materiaSemana 13

274

3. ¿Porquéelaguapurahierveamenosde100ºCen lacimadeunamontaña?(sugerencia: investiga cómo la presión modifica la temperatura de ebullición).

4. ¿Por qué cuando tapamos una olla con agua, ésta hierve más rápido?

5. Las siguientes preguntas establecen una clara relación de los contenidos de esta semanaconeltemacentral:“Desarrollosustentable”.Amedidaquerespondas,ten presente la actitud que vas a asumir en pro del equilibrio ecológico de tu comunidad.

Conlasorientacionesdelfacilitador, formengruposparahacerunaplenariaydistribúyanse losplanteamientosquemostraremos a continuación. Recuerdautilizar variedad de estrategias y recursos: mapas conceptuales y/o mentales, elaboración de trípticos, videos, entre otros.

a) ¿Cuálessonlasfuentesdeemisióndeplomoquecontaminanelaire?

b) Indaga cuáles son las enfermedades que se originan por la exposición excesiva al plomo. ¿Qué población es más sensible a desarrollar enfermedades por la inhalación del plomo?

c) ¿Cómoafectan losgasesqueemiten las fundidorasdemateriales reciclables,(comúnmente conocidas como chatarreras) al ambiente?, ¿qué medidas o tecnologías limpias han implementado a fin de contribuir al equilibrio ambiental?

d) Explica cuáles fueron las causas que llevaron al gobierno venezolano a “sembrar nubes” a finales del año 2009 y principios del 2010. Relata las ventajas ydesventajas de este proceso.

Me pregunto quién nos ha dado el derecho de estropear nuestro planeta. Kurt Vonnegut.

¡Alegría, alegría! No sólo por-que terminas invicto este semes-tre, sino que además culminas la EMT. ¡Gracias por ser un miem-bro de este maravilloso equipo! Posiblemente viviste momentos duros, producto de la dinámica social tan abrupta de la que so-mos parte, pero hoy nos demues-tras que esas situaciones son los obstáculos que están a lo largo de una carrera y, a medida que avanzaste, fuiste superándolos, con tesón, compromiso, expe-riencia, sabiduría y persistencia. Ahora cuando ves el final más cerca, es momento de prepararte para nuevas aventuras y retos.

Copiaelsiguientecuadroenunacartulinayrecortalastarjetitas.Laprimeradice:Yo comienzo,solamentetieneunapregunta;yenlaúltimatarjetaaparecelarespuestaa una de las preguntas (identifícala con el asterisco *)

Yo comienzo

Nombra las cua-tro interacciones fundamentales

Peso.

¿Con qué ins-trumentos se mide la masa y el peso?

A cada acción se opone una reac-ción igual.

¿Una buena ra-zón para usar mercurio en los termómetros?

Conducc ión ,convección y radiación.

¿Cómo se de-termina el c o n t e n i d o energético de los alimentos?

Gravitación, elec-t r o m a g n é t i c a s , fuerza débil y fuer-za fuerte.

¿Qué es la fuerza?

Balanzaydinamómetro.

¿Quién llegó a la conclusión de qué un cuer-po puede estar en movimiento, aunque no ac-túen fuerzas so-bre él?

Se dilata uniformemente.

Generalmente los utensilios de coci-na están fabrica-dos de aluminio, ¿cuál es la causa de que se utilice este metal?

A través de la Kilocaloría.

Las tapas me-tálicas de los frascos de vi-drio se pue-den aflojar c a l e nt á n d o -las. Explica el fenómeno físico.

Consolidación de aprendizajes Semana 14

Consolidación de aprendizajesSemana 14 Semana 14Consolidación de aprendizajes

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Es toda acción que modifica el mo-vimiento de los cuerpos.

¿Fuerza con que la Tierra atrae los cuerpos que es-tán sobre ella?

Galileo.

Enuncia la Tercera ley de Newton.

El aluminio es buen conductor del calor, por con-ducción el calor pasa a través del metal y calienta los alimentos.

¿Cuáles son las tres formas de propagación del calor?

*Cambio delongitud, volu-men o alguna otra dimen-sión métrica que sufre un cuerpo debido al cambio de temperatura.

¿Cómosejuega?

1. Se reparten las tarjetas entre los participantes.

2. Inicia el que tiene la tarjeta “Yo comienzo” y realiza la pregunta que tiene su tarjeta.

3. Alguien tiene la tarjeta con la respuesta a esa pregunta y debe estar atento, pues eselpróximoenjugar.Continúaasíhastallegaralaúltimatarjeta.

4. Si alguien está descuidado o se equivoca al responder, se le grita: “Ponte pilas”.

En esta semana es costumbre realizar una autoevaluación de tu quehacer como par-ticipanteenel IRFA.Paravalorartuactuaciónydesempeñoeneltrabajogrupal,tefacilitamos una sencilla ficha de autoevaluación y, para concretar los conocimientos de las áreas, te mostramos una serie de preguntas de análisis y ejercicios acordes a lo trabajado durante el semestre.

Ficha de autoevaluación

Ha llegado el momento de reflexionar sobre los logros o limitaciones en tu desem-peño académico. Analiza cada una de las afirmaciones, precisa cómo has logrado su-perar las dificultades y cuál ha sido tu actitud hacia el estudio y hacia los compañeros. Respondeconsinceridadyseriedad.

Características Si A veces No

1.Consideroquesoyelprincipalresponsabledemipropio desarrollo integral.

2. Revisé las fuentes electrónicas y bibliográficassugeridas.

3.ParticipéenelintercambiodeideasenelCCA.

4.Cumplíoportunamentecontodaslasactividadesasignadas.

5. Manifesté mis diferencias de forma respetuosa y clara.

6. Me preocupé y permití crear un clima agradable donde los miembros del grupo opinaran.

7. Propuse ideas para optimizar el trabajo en equipo.

Saber más

Indaga acerca de los beneficios de la autoevaluación y la reflexión en los procesos de aprendizaje, consultando la siguiente dirección web: http://pizarron.jimdo.com/la-autoevaluaci%C3%B3n-dignifica/

A manera de cierre, proponemos una serie de ejercicios y preguntas de análisis, cuyo propósito es afianzar las competencias trabajadas durante esta semana.

1. ¿Dóndepesamásuncuerpo,enlaTierraoenlaluna?Justificaturespuesta.

2. ¿CómovaríalafuerzadeatraccióndelaTierraconrespectoaunsatélitequesealeja de ella? Investígalo.

3. Cuandoestandoenzonasaltassientesfrío,sedebeaquehayunpasodecalordel cuerpo al medio ambiente. Explica, desde el punto de vista físico, ¿por qué al ponerte una chaqueta o una cobija, el frío es menor?

4. Cuandosoplasunatazaconcafécaliente,¿lesuministrasfríoalatazaconcafé,o le quitas calor?

5. Siunafuerzade1Naceleraunamasade1kgcon1m/s2, ¿cuál será la aceleración de2kgssobreloscualesobreunafuerzade2N?

6. Sabes que los planetas describen órbitas alrededor del sol ¿Podrías concluir que tiene que haber una fuerza que actúa sobre ellos? Justifica basándote en los aportes de Newton. Newton supo que debía haber un agente responsable de esta fuerza, ¿cuál es?

7. Explica por qué un satélite debe colocarse en órbita en regiones más allá de la atmosfera terrestre.

Consolidación de aprendizajesSemana 14 Semana 14Consolidación de aprendizajes

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8.Resuelvelassiguientesecuacionesirracionales

a) 5 - 2 x + 3 = 0 b) x + 8 = 2x + 5 c) 2x + 3 = 6 - x

9.Determinaelvalordelagravedaddeunaciudad,sabiendoquecuandosehacevibrar un péndulo de 18 cm de longitud tiene un periodo de 0,9s (realiza 50 oscilaciones en 45 segundos).

10.Racionalizalassiguientesexpresiones

a) b) c) d)

11.InvestigacómoesposiblequeunfrascoDewar,comúnmenteconocidocomotermo, permita conservar la temperatura inicial de cualquier líquido frío o caliente.

12.Unobjetoeshaladosobreunasuperficiehorizontalquevale20N.Unafuerzaconstante de fricción e igual a 5N actúa en el bloque. En estas condiciones, si elobjetotieneunamasade5kgsypartedel reposo,¿cuálserásuvelocidaddespués de 3 s?

13. En la figura 60 se observan dos bloques, A y B, que son empujados por una fuerza F = 10N en una superficie sin fricción. Siendo mA=2kgsymB=3kgs.¿Cuáles la aceleración del conjunto?, ¿cuál es la fuerza que ejerce A sobre B?, ¿cuál es la fuerza que B ejerce sobre A?

Figura 60

14. En la figura L1 || L2 || L3 ||, el valor de x es:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

Figura 61

5 3

4xy 3 a2 b3 c2 y

x - 1 x + 1

x + 3 + 3 x + 3 - 3

F

AB

L1

L2

L3

L1

L2

L3

4

x + 2 x - 1

2 4

x + 2 x - 1

2

15. Acostumbramos soplar sobre la superficie de un líquido caliente para que se enfríe más rápido.

a) Al hacer esto, ¿qué sucede con la rapidez de evaporación del líquido?

b) Explica, entonces, ¿por qué al proceder de esta forma logramos que el líquido se enfrié más rápido?

Momentos para la historia: El principio de Arquímedes

Según cuenta la leyenda, el matemático siciliano Arquímedes (287-212a.C) seemocionó tanto cuando descubrió el principio de hidrostática, que salió desnudo de labañeradondeestabayempezóacorrerpor lascallesgritando“¡Eureka!” (“¡loencontré!”).

Estaba intentando descubrir una forma de demostrar las sospechas de que la nueva corona ordenada por el rey Hierón de Siracusa no era de oro sólido, sino que tam-biénconteníaotrosmateriales.Resolvióelproblemasintenerquefundirlacorona,al descubrir el principio que hoy denominamos con su nombre. Se puede determi-nar la densidad de un objeto comparando su peso con el agua que desplaza al ser sumergido.

Pero,¿cómodescubrióArquímedesquelacoronaerafalsa?RevisaenelCDmulti-media de este semestre, donde encontrarás la ingeniosa respuesta a esta interrogante y disfruta de otras anécdotas e inventos en los que la creatividad de los personajes te dejará fascinado.

Alparecer,nohaylímitesparalamentehumana.Retomemosunavigorosaeinten-sa frase que ha sido citada en semestres anteriores “Hemos aprendido a volar como los pájaros, a nadar como los peces, pero no hemos aprendido el sencillo arte de vivir juntos como hermanos”. Imagina y realiza un escrito sobre los enormes logros que tendría la humanidad si la mayoría de las personas tuvieran una sencilla meta: hacer el bien común. ¿Qué haces tú para contribuir con el bien común?

Buscalahojadondeplasmasteaquellascosasquetefaltabanporaprender.¿Cuáldeesas lograste superar?, ¿qué acciones piensas asumir para seguir mejorando?

Todo plan que sea creado por almas generosas, motivadas por la fuerza del corazón y pensado para el servicio de los otros, está condenado al éxito.

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Referencias Referencias

Bibliográficas

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Hewit, Paul G. Física conceptual (2004), novena edición. Pearson Educación. México.

Jouette, André (2008). El secreto de los números. Swing ciencia.

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Electrónicas

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Cinemática.Recuperadoel8deagostode2010.Disponibleenwww.unet.edu.ve/ad-mision/pages/descargar_archivo.php?id=111

Calor y temperatura. Recuperado el 11 de agosto de 2010.Disponible en http://www.librosvivos.net/smtc/pagporformulario.asp?idIdioma=ES&TemaClave=1062&pagina=7&est=2

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Lasnecesidadesenergéticasdel serhumano.Recuperadoel06deagostode2010Disponibleenhttp://www.aula21.net/Nutriweb/lasnecesidenerg.htm

LeyesdeNewton.Recuperadoel6demarzode2011.Disponibleenhttp://www.pro-yectosalonhogar.com/Fisica/Leyes_Newton.htm

Matemáticayfísica.Dudasdefísicaconceptual.Recuperadoel30dejuliode2010.Disponible en http://lemfgalileo.blogspot.com/2009/01/dudas-de-fisica-conceptual.html?showComment=1237608780000#c7372840020437254069

Materia:cambiosfísicos.Recuperadoel07demarzode2011.Disponibleenhttp://www.profesorenlinea.cl/fisica/MateriaCambiosFisicos.htm

PérdidasyNormasdeseguridaden tanquespetróleo.Recuperadoel11deagostode2010.Disponibleenhttp://www.monografias.com/trabajos23/perdidas-petroleo/perdidas-petroleo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos27/transferencia-calor/transferencia-calor.shtml

Racionalizacióndenumeradoresydenominadores.Recuperadoel15deagostode2010. Disponible en http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Prerrequistos/Racionalizacion.pdf

RENacuartaetapa-Física-Ununiversodeinteracciones.Recuperadoel10deagostode2010Disponibleenhttp://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/Tema6a.html

RENaterceraetaparacionalización.Recuperadoel14deagostode2010.Disponibleenhttp://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA21/Racionalizacion.html

Teoríabásicayproblemaspropuestosdecalorytermodinámica.Recuperadoel11deagostode2010.Disponibleenhttp://www.monografias.com/trabajos34/calor-termo-dinamica/calor-termodinamica.shtml

Sublimación.Recuperadoel07demarzode2011.Disponibleenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sublimaci%C3%B3n

282 283

Clave de respuestas Clave de respuestas

Semana 2

Actividades

1. e) 200 m y tardó 5 min

f ) 10 min

g) 10 min

h) 40 m/min, 0 y -20 m/min, se observa que la rapidez es mayor en el primer tramo.

2. Susrapidecessoniguales,yaqueelvalornuméricoeselmismo;sinembargo,la velocidad es diferente, ya que ésta es una magnitud vectorial y depende del sentido;vemosquelosavionestienensentidosdiferentes.

3. Suaceleraciónesnula,dadoqueesunMRU.

4. Por ejemplo un auto que recorre una pista circular con una rapidez constante esta acelerado puesto que está cambiando de dirección. El otro caso es imposible, pues para que acelere debe cambiar la rapidez (magnitud) del móvil o su dirección, es decir debe haber una variación de la velocidad.

5. x= número de niños y y= número de adultos, x = 123 y y = 60

6. Se debe a que el metal es buen conductor del calor, mientras que la madera se clasifica dentro de los materiales aislantes.

7. a) Fusión.

b) Evaporación.

c) Evaporación.

d) Sublimación progresiva

8. La Tercera Ley de Newton, también conocida como la Ley de acción y reacción.

9. La fuerza de gravedad.

10. Porque al tocar el molde con el pañito húmedo el líquido se evapora y te quemas conelvapordeagua;elvaporcedemuchaenergíacuandosecondensaymojalapiel;esaaguaquemojalapieldetodosmodosestaalamismatemperaturadel agua hirviente y sigue dañándola.

11.

12.

Semana 3

Actividades

1. a) Fuerza neta= 10N hacia la derecha, b= fuerza neta 0N, c) fuerza neta 5N hacia la derecha.

2. Es de 70N hacia la derecha.

3. Para que este en equilibrio mecánico la suma de las fuerzas debe ser cero, y si sólo hay una fuerza actuando no es posible que se cancele, no puede estar en equilibrio mecánico.

4. Si la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el objeto es cero, se dice que está en equilibrio mecánico.

Semana 3

Aplica tus conocimientos

1. El peso del andamio es de150N.

2. a)DadoqueesunMRU,elautoestáenequilibrioyportantolasumatoriadelasfuerzas es cero. b) Las fuerzas que se ejercen en sentido contrario al movimiento del auto, es decir, la fuerza de resistencia del aire, las que existen entre las piezas mecánicas del auto, etc. Su valor debe ser de 1500N, dado que la sumatoria de las fuerzas es cero.

b) Las fuerzas que se ejercen en sentido contrario al movimiento del auto, es decir, la fuerza de resistencia del aire, las que existen entre las piezas mecánicas del auto, etc. Su valor debe ser de 1500N, dado que la sumatoria de las fuerzas es cero.

Semana 4


1.a)Unmovimientorectilíneouniforme.

b) Aplicar una fuerza sobre el cuerpo.

2. Al momento de chocar un vehículo por detrás, empuja tanto al vehículo como al pasajerohaciaadelante;latendenciadelpasajeroserápermanecerenelmismolugar,locualharáquelacabezaporlaarticulacióndelcuellose“vaya”paraatrás;el respaldo entonces ayudara a mantener la cabeza en posición con el cuerpo y evitar el famoso latigazo.

3. Por inercia mantiene ese movimiento.

4. No. Lo que sucede es que hay fuerza de fricción entre las ruedas del carrito y el pisoquehacequesedetengaelcarro;siestafuerzanoestuviesepresente,elcarrosemoveríaconMRU.

284 285


5. El coeficiente de rozamiento (fricción) es menor para el asfalto húmedo que para el asfalto seco, ya que el agua crea una película (algo así como una superficie pulida) lo suficientemente grande como para reducir el contacto entre el neumático y el asfalto, por lo que el agarre es prácticamente nulo, afectando la actividad normal del manejo. Esta situación hace que con la carretera húmeda la distancia necesaria para frenar la marcha de un vehículo o girar sea mayor.

6. Ganan las chicas porque la fuerza de fricción es mayor entre las gomas y el piso, que entre las media y el piso, lo que significa que hay un mayor “agarre” cuando las condiciones del terreno son resbaladizas.

Semana 5


3. Lo más adecuado sería decir que pierde masa.

Semana 6

Actividades

1. a = 3,72 m/s2o48211,2km/h2 y vf=44,64m/so160,7km/h

2. La masa de la segunda caja es 4 veces mayor que la de la primera.

3. El valor de la tensión es igual al valor del peso, puesto que el elevador está “quieto” T = 5000N. En los otros casos la tensión es igual a la anterior.

b) La tensión es 6000N

c) a = 6 m/s2

Semana 6


2. a) La velocidad que alcanza el cohete representa el 0,003% de la velocidad de la luz y la velocidad del electrón representa 90% de la velocidad de la luz.

b) En el primer caso porque son velocidades muy pequeñas, inferiores al 10% de c. mientras que en el otro caso no pueden aplicarse las leyes de Newton.

Semana 8

Actividades

a) = 2 2x b) = 3 - 1 c) = =

d) = 2 · y · x · y2 e) = 7 + 4 3

f ) = 2 g) =

h) = i) =

j) = k)= l) =a + b

m) = 4 · 3 x - 1


= = =

Semana 9

Actividades

1.a)Alsimplificarlosobtenemos:56y66;

b)Nosonsemejantespuestienendiferentesíndices;

c) No son términos semejantes, ya que 3 64 = 4 es un número entero y 4 3 4 esunnúmeroirracional;

d) luego de simplificar concluyes que son términos semejantes.

2. a) 7 · 27 - 8 · 243 + 675 = -36 3

b) -3 · 162 + 50 + 4 · 288 = 26 · 2

c) 8 · 3 40 - 7 · 3 5 - 3 135 = 6 3 5

4x2x

23 + 1

34 144

2xy2

3 3x2y2 + 32 - 3

2ab3 a2 b6 c

1a2 10 a4 b14

3 27 2 + 6 3

2 + 14 3 (2+1)2

a + ba + b

4 (x -1)3 x2 - 2x + 1

4 32

2

32

5 a b4 c4

b · c

10 a5 b5 a3 · b2

23 9x

2 3 3x2

3x

21 - 9 65

b 3

b · 4 34

3

4 33 (2+1) 3

3 55

7 10 42 4

12

12 5 + 10 + 35 3 42

20

286 287


3. a) 2x + 5 = 5x - 1 x = 2 b) 3x + 4 - 6x - 8 = 0 x = 4

c) 3 x + 1 - 2 3 = 0 x = 15 d) 4 + y - 3 = 11 y = 52

e) x2 + 4 = x +2 x = 0 f ) 4x + 1 = x + 1 x = 0 y x = 2

g) x - x - 6 = 0 x = 9


R=9.73m/s2

Semana 10

Actividades

1.AB=63yEF=45

2.ElsegmentoABmide96cm

3.LaalturadelárbolAB=6,8m

4. AC = 53,33m, CE = 40m, EG = 26,67m

Semana 11


1. A pesar que el agua absorbió el calor de la piedra que arrojaste, no ha variado su temperatura, por esta razón se dice que el agua (y el aire) son reservorios de temperatura.

2. Sabemos que la cantidad de calor depende de la cantidad de materia (masa) y del material del cual están hechos los objetos.

3.Elpuntodefusión(ocongelación)delalcohol(etanol)esde-114ºC,debidoasu bajo punto de congelación, ha sido empleado como fluido en termómetros para medir temperaturas inferiores al punto de congelación del mercurio, -39 °C,ycomoanticongelanteenradiadoresdeautomóviles.Porejemploparaunatemperaturade -45ºCnopodríautilizarseelmercurioporquesesolidifica (secongela), por ello se usa el alcohol.

4. La cava está construida con materiales que conducen muy mal el calor, es decir aislantes térmicos que retardan el flujo de calor del medio hacia el interior de la misma, por lo cual se conserva por mucho más tiempo el hielo.

Semana 12


1. Porque solamente se calienta y se dilata la parte del vaso que está en contacto con agua. Todo el vaso se calienta y sus partes se dilatan por igual. Si fuera de vidrio pyrex no se rompería por su bajo coeficiente de dilatación térmica, que indica que ante los cambios de temperatura se expande muy poco.

2. Si son de diferentes materiales, se dilataría una más que la otra, dado que tendrían diferentes coeficientes de dilatación térmica.

3.Globoesunaparatomás ligeroqueel aire, subeporflotación.Contienenunquemador que calienta el aire del interior del globo, el aire caliente se expande, haciéndosemenosdenso y éste se eleva.Unavez el globoestá en vuelo, sualtura se mantiene abriendo y cerrando la válvula que controla el flujo de gas quemador. Si queremos que descienda, se apaga el quemador y el aire contenido en el globo se enfría, se contrae y se hace más denso, por lo cual tiende a bajar.

5. Se debe a la conductividad térmica de cada material, la conductividad del metal es más elevada que en la madera, razón por la cual el metal conduce mejor el calor y da la sensación de estar más frío que la madera.

6. La persona que tenga ropa negra sentirá un mayor incremento de temperatura, ya que los cuerpos oscuros absorben mayor cantidad de radiación térmica que los cuerpos claros.

Semana 13


1.Si.Debidoaladiferenciadetemperaturaentreelinteriordellocalyelexterior,elvapor de agua al chocar con una superficie fría, se transforma en líquido.

2. La ropa se evapora (se seca) más rápidamente cuando el área de la superficie de contacto es mayor, en realidad cuanto mayor sea esta área, tanto mayor será el número de moléculas que podrán llegar a la superficie y escapar.

3. Debemos recordar que, a mayor temperatura (o menor temperatura) mayorpresión (o menor presión), además sabemos que en una montaña la presión es menor, lo cual produce un descenso en la temperatura de ebullición. Al reducir gradualmente la presión sobre la superficie del agua, su temperatura de ebullición se vuelve cada vez menor, y puede obtenerse hervor de agua a temperaturas muy bajas.

4. Al estar tapada el agua, los vapores de ésta no pueden escapar; estos gasespresionan en el interior de la olla ejerciendo mayor presión, lo cual eleva la temperatura y hace que el agua hierva más rápido que si estuviera destapada la olla.

288

Clave de respuestas

Semana 14

Actividades

1. El peso es proporcional a la masa y a la aceleración de gravedad, como la aceleración de gravedad es mayor en la tierra que en la luna, para un mismo objeto;supesoserámayorenlaTierra.

3. Tu cuerpo al tener una temperatura mayor que el ambiente cede calor provocándote una sensación de frío. Los abrigos están hechos de materiales aislantes(porejemplolana)queretienenelcalorquecedesalmedio;enotraspalabras, reducen la cantidad de calor o hacen que la transferencia de calor de nuestro cuerpo al medio sea mucho más lenta.

4. Al soplar haces que el líquido se enfrié porque la rapidez de evaporación aumenta, cediendo calor al medio.

5. Si duplicas la masa la aceleración se reduce a la mitad pero al duplicar la fuerza, obtienes una aceleración de 1 m/s2

6. a) Por la trayectoria curva que describían los planetas, ese tipo de movimiento es acelerado por tanto debía existir una fuerza actuando sobre éstos, la fuerza centrípeta.

b) El sol

7. Para que la resistencia del aire no altere el movimiento del satélite

8. a) 5 - 2 x + 3 = 0 x =

b) x + 8 = 2x + 5 x =3

c) 2x + 3 = 6 - x x =3

9. g = 8,78 m/s2 aprox.

10. a) b)

c) d)

12. 9 m/s

13. a = 2 m/s2

14. El valor de x es 4.

15. a) Aumenta

b) Las moléculas más veloces escapan más rápidamente del líquido.

314

5 3

4xy 3 a2 b3 c2 y

x - 1 x + 1

x + 3 + 3 x + 3 - 3

5 33

4x 3 acy2 abc

( x - 1)2 x - 1

( x + 3 + 3) 2

x