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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_006

O estudo das funções exponenciais, apesar de ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desen-volvimento no século XVII, que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações.

As funções exponenciais aparecem em diver-sas aplicações científicas e profissionais, como por exemplo, o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa.

Função exponencialSeja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial

de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x

Exemplo: `

f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = 5( )X

PropriedadesComo f(0) = a1) 0 = 1, o par ordenado (0, 1) per-tence ao gráfico da função exponencial.

Quando 0 < a < 1, a função f(x) = a2) x é de-crescente. Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente.

0 < a < 1:

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

a > 1:

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais.

Função Exponencial

A função f(x) = a3) x, com 0 < a ≠ 1 é injetora.

f(x1) = f(x2) x1 = x2

Essa propriedade respalda a solução das equa-ções exponenciais.

A função f(x) = a4) x, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+

*).

GráficoO gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0

< a ≠ 1, tem as seguintes características:

está todo acima do eixo Ox; •

corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1; •

é crescente para a > 1 e decrescente para •0 < a < 1;

o eixo x é assíntota do gráfico. •

É interessante observar que o crescimento ex-ponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.

Os gráficos da função exponencial estão exem-plificados abaixo:

1.º caso: a > 1 (função crescente)

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

f(x) = ax (a>1)


2 EM

_V_M

AT

_006

2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

f(x) = ax (0<a<1)

Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) = (1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x) = g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x.

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

y = 2x

y =

12

Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a.

(1) y = 2x

(2) y = 3x

(3) y = 4x

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

(3) (2) (1)

(4) y = (1/2)x

(2) y = (1/3)x

(3) y = (1/4)x

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

(4) (5) (6)

Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo exponencial e x1, x2, ..., xn uma progressão aritmé-tica de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(xn) formam uma progressão geométrica de razão ar.

Equações exponenciaisEquações exponenciais são equações cuja in-

cógnita encontra-se no expoente.

Nesse módulo, vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois mem-bros a uma base comum, o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial.

Sendo 0 < a 1, então:

ax = an x = n

Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema.

Exemplos de equaçõesPara a resolução dessas equações basta adotar

o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os membros a uma base comum.


3EM

_V_M

AT

_006

31) x =243 3x=35 x=5

82) x = 132

(23)x=2–5 23x = 2–5 3x = – 5

x= – 53

( 43 )x = 3

9 3 x4 = 3

23 x

4= 2

3 x = 8

33)

No próximo exemplo é necessário observar que, para todo a 0, tem-se a0 = 1.

54) 2x2+3x–2 =1 52x2+3x–2 =50 2x2+3x – 2=0

x = –2 ou x = 12

25) 3x–1 . 42x+3 = 83–x 23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x

23x–1. 24x+6 = 29–3x 27x+5 =29–3x

7x + 5 = 9 – 3x 10x = 4 x = 0,4

Nesse caso, devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente.

56) x–2 – 5x + 5x+1 = 505

5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505

5x–2 . (1–52+53) = 505 101 . 5x–2 = 505

5x–2 = 51 x – 2=1 x = 3

No caso abaixo, devemos fazer a substituição y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º grau.

47) x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0

y = 2x y2 – 5y + 4 = 0 y = 1 ou y = 4

2x = 1 2x = 20 x = 0

2x = 4 2x = 22 x = 2

Agora a base também é uma variável. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou 1, que devem ser analisados em separado.

x8) x2 – 5x+6 = 1

x=0 • 06=1 (falso)

x=1 • 12=1 (verdadeiro)

0<x • 1: xx2–5x+6 = 1 xx2–5x+6 = x0

x2 – 5x+6=0

x=2 ou x=3

S= 1, 2, 3

Esse é um caso especial, em que temos várias bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base comum.

49) x + 6x=2 . 9x (: 9x) 49

x

+ 69

x

– 2=0

23

2x

+ 23

x

– 2=0

y = 23

x

y2 + y – 2 = 0

y=1ouy= – 2 (não convém)

23

x

= 1 x = 0

Inequações exponenciaisA resolução de inequações exponenciais é ba-

seada na monotonicidade da função exponencial. Os dois casos estão apresentados abaixo:

a > 1: ax >an x > n

0 < a < 1: ax >an x < n

As expressões acima refletem o fato da expo-nencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação entre os expoentes é a mesma que entre as expo-nenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1.

A seguir serão apresentados exemplos de reso-lução de inequações exponenciais.

Exemplos de inequaçõesA resolução das inequações a seguir é feita

reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade das consequências imedia-tas, que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1 e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.

31) x >243 3x >35 x>5

35

x

2) 12527

35

x

53

3

35

x

35

–3

x –3

(273) x–2)x+1 (9x+1)x–3 33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3)

3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3) x2+x 0

x –1

ou x 0

No caso a seguir, devemos colocar em evidência 3 elevado ao menor expoente.


4 EM

_V_M

AT

_006

34) 2x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42

32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42

33 . 32x–2 – 32 . 32x–2 – 3 . 32x–2 – 32x–2 42

32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42 14.32x–2 42

32x–2 3 2x – 2 1 x 32

Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.

35) 2x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3

32x – 4 . 3x +3 > 0

y=3x y2– 4y+3>0 y<1 ou y>3

3x<1 x<0

3x>3 x>1

S= x R x<0 ou x >1

No próximo exemplo, a base também é uma va-riável, sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1.

Resolva em R6) +, xx2– 5x+7 x.

I) x = 0 07 0 (verdadeiro)

II) x = 1 13 1 (verdadeiro)

III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1

x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3

S1 = ]0, 1[

IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0

2 x 3 S1 = [2, 3]

S = [0, 1] [2, 3]

Equações exponenciaisA definição de logaritmo como inversa da função

exponencial permite resolver de imediato equações exponenciais.

ax=b x = logab

Cabe observar que se deve colocar a equação exponencial na forma ax = b .

Uma outra maneira de se resolver a equação exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os mem-bros da equação exponencial.

ax = b logc ax = logc b x =

logcblogca

=logab

Nesse caso, não é necessário sempre colocar a equação na forma ax = b, podendo alternativamente aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente e posteriormente determinar a variável.

Exemplos: `

21) x+2 =3 x+2 = log2 3 x = log2 3 – 2

72) 2x –1 = 33x+4

1.a sol.: 72X

7 =33X . 34 72X

33X = 7 . 34

72

33 x=7 . 34 x = log 567

2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4

(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3

2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7

x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7

x = log 7+4 log 32 log 7– 3 log

Inequações exponenciaisDa mesma forma que as equações exponenciais,

as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos, considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decres-cente quando a base está entre 0 e 1.

x > loga b, se a>1x < loga b, se 0< a<1

ax > b

x < loga b, se a>1x > loga b, se 0< a<1

ax < b

Caso seja conveniente, pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a.

21) 3x+2 > 9 3x+2>log2 9 x> log29 – 2

3

13 2)

x

5 x log 5 x – log35

23) x–2 > 32x–1 x – 2 >(2x – 1) log23

x(1 – 2 log23) > 2 – log23 x < 2 – log2 31 – 2log2 3

Note que 1 – 2 log23<0.

(UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de 1. um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex


5EM

_V_M

AT

_006

2,72

0,370,13

–1–2 1

y=ex

x

Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:

5a)

10b)

15c)

20d)

Solução: ` B

f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87 e−0,2.d = 0,13

No gráfico dado, temos 0,13 = e−2, então

e−0,2⋅d = e−2 ⇔ −0,2d = −2 d = 10

(UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a 2. população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que me-lhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo, respectivamente, são:

População

Tempo

População

Tempo

População

Tempo

População

Tempo

gráfico 1 gráfico 2

gráfico 3 gráfico 4

gráfico 2 e gráfico 1.a)

gráfico 1 e gráfico 2.b)

gráfico 3 e gráfico 1.c)

gráfico 2 e gráfico 4.d)

gráfico 3 e gráfico 4.e)

Solução: ` A

A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da cidade A.

A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da cidade B.

Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente, o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.

(Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-3. ponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:

a)

y

0,5

0,5

x10 2 3–3 –2 –1

b)

y

1

x10 2–1 0,5 1,5 2,5–0,5–1,5

c)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1


6 EM

_V_M

AT

_006

d)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

e)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

Solução: ` C

O gráfico de g(x) =

x12

x é:

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico

de h(x) =

x12

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

O gráfico de f(x) = 1–

x12

é:

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medi-camento pode comprometer a saúde do usuário: subs-tâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y = y0 . 2

–0,5.t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora.

Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após:

1/4 de hora.a)

meia hora.b)

1 hora.c)

2 horas.d)

4 horas.e)

Solução: ` E

y0

4 = y0 . 2–0,5.t 2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas

5. (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da

equação 5x2–2 : 25= 1125

–x

. Então, m é um número:

par.a)

primob)

não-real.c)

irracional.d)

divisível por 3.e)

Solução: ` C

5x2–2 : 25 = 1125

–x

5x2–2 . 5–2 = (5–3)–x

5x2–4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0

x = –1 ou x = 4


7EM

_V_M

AT

_006

O menor número real que é solução da equação é m = – 1, logo

m = –1 = i que não é real.

6. (UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 . 5x2= 0,001.(103–x)2, então + é:

5a)

10b)

13c)

34d)

Solução: ` B

2x2 . 5x2= 0,001.(103 – x)2 (2.5)x2 = 10–3. 106 – 2X

10x2= 103 – 2X x2 = 3–2x x2 + 2x – 3 = 0

x = –3 ou x =1

+ = (–3)2 + 12 = 10

7. (Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1, então:

– 2 < x < 2a)

x = 1b)

x = 0c)

x < 3/2d)

x > −3/2e)

Solução: ` E

2x . 4x < 8x+1 2–x . (22)x < (23)x+1 2–x .22x < 23x+3

2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > – 32

8. (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é:

inferior a 15 minutos.a)

superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.b)

superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.c)

superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.d)

superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.e)

Solução: ` E

m = 32t – 3t+1+ 108 = 0 –32t – 3.3t +108 = 0

y = 3t –y2 – 3y + 108 = 0 y = 9y = –12 (não convém)

3t = 9 = 32 t = 2 horas = 120 minutos.

Como aos 120 minutos o material se volatilizou total-mente, o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.

9. (FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente:

2,15a)

2,28 b)

41c)

2,54 d)

2,67e)

Solução: ` D

5x = 60 log 5x = log60 x.log 102 = log(2 . 3 . 10)

x (1 – log2) = log2 + log3 + 1

x = ≅ 2,54log2 + log3 + 11 – log2

= 0,30 + 0,48 + 11 – 0,30

= 1,780,70

10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera po-luentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados:

Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x. Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4)

1 333a)

2 333b)


8 EM

_V_M

AT

_006

3 333c)

4 333d)

5333e)

Solução: ` A

Custo da poluição = custo do controle da poluição

2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x 22x − 2x − 6 = 0

a = 2x a2 − a − 6 = 0 a = −2 ou a = 3

a > 0 2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3

= log 3log 2 = 0,4

0,3= 4

3.1 000kg =1 333kgton = 4

3

(PUC-Rio) Dada a função f(x) = 51. x (5 x − 1)

Ache f (0) e f (1).a)

Resolva f (x) = 0.b)

(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, 2. sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:

ex 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2

x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de:

21a)

22b)

23c)

24d)

(Unesp) Num período prolongado de seca, a variação 3. da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2

(–0,1).t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

5a)

7b)

8c)

9d)

10e)

(UENF) A inflação anual de um país decresceu no período 4. de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme o gráfico a seguir.

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

(FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu 5. a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência.

Experiência (meses) 0 6

Produção (unidades por hora 200 350

Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.

Considerando que as projeções do gerente de pro-a) dução dessa indústria estejam corretas, quantos me-ses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora?

Desse modo, qual será a máxima produção possível b) dos operários dessa empresa?

(UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de 6. bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante.

A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25 Q(0).

Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto.

12,5a)

25b)

312,5c)

625d)

1 000e)


9EM

_V_M

AT

_006

(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera foto-7. gráfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo:

Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, •medido em segundo;

Q • o a carga máxima; e

λ • uma constante.

Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine:

a expressão de t em função de Q.a)

o tempo necessário para que o capacitor recarre-b) gue 90% da carga máxima.

(UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função 8. y = 2x no plano cartesiano.

Com base nesse gráfico, é correto afirmar que:

ya) 0 = y2 − y1

yb) 1 = y3 − y2

yc) 1 = y3 + y0

yd) 2 = y1 ⋅ y0

ye) 3 = y1 ⋅ y2

(UFJF) A função c(t)=200 . 39. k.t, com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo:

[0, 4]a)

[4, 12]b)

[12, 36]c)

[36, 72]d)

[72, 108]e)

(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão represen-10. tados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e suas imagens.

Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente:

a2

a) e 4a

a b) −1 e a + 2

2a e c) a4

a + 1 e a d) − 2

(UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de 11.

variável real definidas por f xx

( ) =

−32

1

e g (x) = x,

representadas no mesmo sistema de coordenadas carte-sianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:

[0, 3]a)

12

4, ]

b)

[1, 5)c)

32

6, ]

d)

(2, 6)e)

(UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) 12. proposição(ões) correta(s).

(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamen-tos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber.

(02) Se numa área urbana o número de pessoas atin-gidas por certa doença (não controlada) aumenta

50% a cada mês, então a função n t Nt

( ) = ⋅

32

for-

nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área.

(04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está pra-ticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B.

(08) Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide-


10 EM

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AT

_006

mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com 10 000 habitan-tes, não ocorrendo aumento populacional, oito me-ses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal.

Soma ( )

(Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em 13. um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t. Após quantos meses a sua dívida duplicou?

loga) 1,10 2

logb) 2 1,10

log 2c)

log 1,10d)

log 2,10e)

(PUC-Rio) Uma das soluções da equação 14. 101

100

23x − =

é:

x = 1a)

x = 0b)

x = 2c)

x = d) −2

x = 3e)

(UFJF) As raízes da equação 15. 2 1 2 17 4x x+ =/ / são:

iguais em módulo.a)

ambas negativas.b)

ambas positivas.c)

quaisquer números reais.d)

nulas.e)

(UFF)16.

Ao resolver uma questão, José apresentou o se-a) guinte raciocínio:

“Como 14

18

> tem-se 12

12

2 3

>

e conclui-se que 2 > 3.”

Identifique o erro que José cometeu em seu racio-cínio, levando-o a essa conclusão absurda.

Sem cometer o mesmo erro que José, determine o b) menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à

inequação: 12

14

4 1

>

+m m

.

(UFMG) Suponha que a equação 17. 8 4 2

2 23 5 5 8ax bx c x x x+ + + − += ⋅ seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:

53

a)

173

b)

283

c)

12d)

(UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 18. 2 3 2 322 1 2x x+ +− ⋅ = , é:

(UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).19.

Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de )(f(g(1)) é 9.

O gráfico da função f(x) = 2x – 1 )( não intercepta o terceiro quadrante.

O conjunto solução da equação )( log ( ) log32

3 2x x− = é {−1, 2}.

O conjunto solução da inequação exponencial )(

17

17

x 5x 1 12

≥

+ +

é {x ∈ R −5 ≤ x ≤ 0}.

(M. Campos) Resolvendo as duas equações expo-20. nenciais 4 81 5x − = e 3 52 3 2 3y y+ += , obtém-se uma raiz para cada equação. Nessas equações valor de x − y corresponde a:

2,8a)

– 0,2b)

0,8c)

1d)

(EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação 21.

9.35

243125

x x 92

=− −

são, respectivamente:

1 e –12a)

7 e 12b)

–2 e –8c)

–1 e 12d)

7 e 10e)

(AFA) O conjunto-solução da inequação 22. ( , ) ( , )( ) ,0 5 0 252 15x x x⋅ − −< é:

{x R l x <1}a)

{x R l x >3}b)


11EM

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_006

{x R l 1 < x <3}c)

{x R l x < 1 ou x > 3}d)

(UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a 1. temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T=T0+K e-ct

Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC.

Calcule a temperatura do café 50 minutos após a a) xícara ter sido colocada na sala.

Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça b) o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

(UENF) Em um município, após uma pesquisa de 2. opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:

A(t) = 2.105(1,60)t B(t) = 4.105(0,4)t

Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1.° de janeiro de 2000.

Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B a) em 1.° de janeiro de 2000.

Determine em quantos meses os candidatos terão b) o mesmo número de eleitores.

Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão c) entre os números de eleitores de A e B era maior que 1.

(FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma 3. substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t, sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real.

Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades.

Qual o volume diário de vendas 30 dias após o en-a) cerramento da promoção?

Quando se espera que a venda diária seja reduzida b) a 6 400 unidades?

Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.

(FGV) Uma empresa estima que após completar o pro-4. grama de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t)=A - b . 3-k.t, com A, B e k constantes obtidas expe-rimentalmente, pede-se:

determinar as constantes A, B e k, sabendo que o a) gráfico da função V é

admitindo-se que um novo programa de treinamen-b) to básico introduzido na empresa modifique a fun-ção V para V(t) = 55 – 24 . 3-t, determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.

(UFC) Sejam f: R 5. → R e g: R → R, sendo R o conjunto dos números reais, funções tais que:

f é uma função par e g é uma função ímpar;I)

f(x) + g(x) = 2II) x.

Determine f(log23) – g(2).

(UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indi-6. cado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a ______, sendo f(x) = 2x.

2a)

2b) 2

3c)

3d) 2

4e)


12 EM

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AT

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(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida 7. pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em 1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –, em

joules (J), de acordo com a expressão E EM

= ⋅0

3210 ,

em que E0 é uma constante. Com base nessas infor-mações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F)

Se a energia liberada por um terremoto for igual a )(1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter.

A energia liberada por um terremoto de magnitude )(5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4.

Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) )(libere 5 100

92E ⋅ J durante uma explosão, então um

terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT.

A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema )(de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia li-berada em função da magnitude de um terremoto.

(UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em 8. uma determinada população de 30 000 frangos em uma

granja pode ser descrita pela equação P t t( ) =+ −

11 4801 34

, em

que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do apareci-mento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F).

A quantidade de frangos infectados no momento em )(que a doença foi detectada é superior a 150.

Caso a doença não seja controlada, toda a popula- )(ção de frangos da granja será infectada.

4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log )( 3 5 dias do momento da detecção da doença.

O número de frangos infectados somente no terceiro )(dia é inferior a 1 200.

(Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas pro-9. ximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi

descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t, com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:

1a)

2b)

4c)

8d)

10e)

(Unesp) Considere a função dada por 10. f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.

Quando m = a) − 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.

Determine todos os valores de m para os quais a b) equação f(x) = m +1 não tem solução real x.

(Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha 11. uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:

a expressão para p (t);a)

o tempo mínimo necessário, em número inteiro de b) anos, após a saída da fábrica, para que um automó-vel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log , log ,2 0 301 3 0 477≅ ≅ e .

(Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de 12. uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

Encontre as constantes a e b de modo que a po-a) pulação inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da po-pulação inicial.

Qual o tempo mínimo para que a população se re-b) duza a 1/8 da população inicial?

Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].c)

(Unicamp) O processo de resfriamento de um determi-13. nado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e a e b são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.

Encontre os valores numéricos das constantes a) a e b.

Determine o valor de t para o qual a temperatura b)

do corpo no congelador é apenas 23

o

C superior à temperatura ambiente.


13EM

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AT

_006

(UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o 14. locutor informa:

“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”.

Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão

f tP

k t( ) .( ).=+ −1 9 3

, sendo t ≥ 0, P a população do

país e k uma constante.

Calcule o percentual da população que tomou a) conhecimento da notícia no instante de sua di-vulgação.

Calcule em quantas horas 90% da população b) teve acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação.

(FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 19. 2 2 5 3 53 1 3x x y y+ + ++ = + ⋅ . Então x − y é:

8a)

5b)

9c)

6d)

7e)

(UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema 20. 4 32

3 3

x y

y x

+

−

=

=

é:

532

,

a)

532

,−

b)

323

,

c)

132

,

d)

112

,

e)

(ITA) Dada a equação 321. 2x + 52x – 15x = 0, podemos afirmar que:

Não existe x real que a satisfaça.a)

x = log b) 3 5 é solução dessa equação.

x = log c) 5 3 é solução dessa equação.

x = log d) 3 15 é solução dessa equação.

x = 3.log e) 5 15 é solução dessa equação.

(ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os 22. valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . ax + a3 < 0 são:

aa) 2 < x < a

x < 1 ou x > 2b)

1 < x < 2c)

a < x < d) a

0 < x < 4e)

(ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 23. 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0 somam:

–log a) 3 12

1b)

–(1/3).log c) 3 12

(IME) Determine os valores de 15. λ que satisfaçam à

inequação, 2749

27 27 02 1λ λ− + >− , e represente, grafi-camente, a função, y x x= − + −27

49

27 272 1

(UFF) Resolva o sistema 16. 3 3 36

3 243

x y

x y

+ =

=

+

(UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro 17. termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros

termos é 3 900, pode-se afirmar que 5

5

2x −

é igual a:

1/25a)

1/5b)

1c)

5d)

25e)

(Unicamp) Considere a equação 18. 2 2 2 2 02x xm m+ ⋅ − − =− , onde m é um número real.

Resolva essa equação para m = 1.a)

Encontre todos os valores de m para os quais a b) equação tem uma única raiz real.


14 EM

_V_M

AT

_006

–1d)

log e) 3 7

(ITA) Seja a 24. ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a ax x x2 1 1⋅ − −>( ) é:

] a) −1 , 1[

]1 , +b) ∞[

] c) −1/2 , 1[

] d) −∞ , 1[

vazio.e)

(ITA) A soma das raízes positivas da equação 25. 4 5 2 4 0

2 2x x− ⋅ + = vale:

2a)

5b)

2c)

1d)

3e)

(UECE) Um empregado está executando a sua 26. tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N t= − − ⋅640 1 2 0 5 . ( ), seja o número de unidades fa-bricadas por dia por esse empregado, após t dias, do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 , N = 635, então t1 é igual a:

10a)

12b)

14c)

16d)

(IME) Resolva o sistema 27. x y

y ax

y x==

onde a ≠ 1 e a > 0.


15EM

_V_M

AT

_006

1.

f(0) = 0 e f(1) = 20a)

x = 0b)

C 2.

E3.

60%4.

5.

12 meses.a)

499b)

C6.

7.

tQQ

= − −

2 1

0

na)

t b) ≈ 4,6s.

E8.

C9.

D10.

C11.

E, C, E, C 12. ⇒ soma 10

A13.

A14.

A15.

16.

12

12

2 3

>

a) ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2

é decrescente.

m = 2b)

C17.

318.

C, E, C, C19.

A20.

A21.

D22.


16 EM

_V_M

AT

_006

1.

22,5ºCa)

15 minutos.b)

2.

200 000 e 400 000 eleitores.a)

6 meses.b)

Razão = c) 2 > 1

3.

5 120 unidades.a)

20 dias.b)

4.

A = 50, B = 30 e k = 1/2a)

1,4b)

−5. 5/24

C 6.

F, F, F, F7.

F, F, V, F8.

E9.

10.

0 e a) −1

−12 < m b) ≤ 0

11.

p(t) = (0,81)a) t⋅F

15 anos.b)

12.

a = 1024 e b = 1/10a) 30 anos.b)

13.

aa) = 54 e β = −1/90

360 minutos.b)

14.

10%a)

2 horas. b)

λ15. < − 2

3 ou λ > −

1

3(2, 316. ) ou (3, 2)

B17.

18.

S = {1}a)

(b) −∞, 0] ∪ {1}

B19.

D20.

A21.

C22.

A23.

C24.

C25.

C26.

x aa= −1

127. e y aa

a= −1


matemática - · pdf fileque podem ser resolvidas reduzindo os dois mem-bros a uma base...

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