matemÁtica financiera mat - 121

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PROGRAMA DEL MÓDULO

I I: IDENTIFICACIÓN

NOMBRE DEL MÓDULO:  MATEMÁTICA FINANCIERA

UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módu lo los participantes serán capaces de: Resolver problemas de matemática financiera en el contexto de laactividad empresarial, utilizando eficazmente calculadora científica einterpretar dicha información en el marco de situaciones reales.

DURACIÓN: 72 horas pedagógicas

HORAS AULA: 36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, clase expositiva)

HORAS TALLER 36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, trabajo en aula)

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO Área de formación: general diferenciadaUbicación en la malla: 2o semestre

Prerrequisito: Matemática I

III: UNIDADES DE APRENDIZAJE1° Unidad: Fundamentos Funcionales de la Matemática Financiera

Duración: 24  horas pedagógicas 

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos relevantes

Operar con funciones, relacionando suestudio con el ámbito de lasmatemáticas financieras, demostrandohabilidad en el uso de calculadoracientífica.

-Representan la función lineal en formaanalítica y gráfica, relacionando suestudio a situaciones del ámbitofinanciero y económico.

-Representan la parábola en formaanalítica y gráfica, relacionando suestudio a situaciones del ámbitofinanciero y económico.

-Analizan fenómenos de crecimientoexponencial en forma analítica y gráficarelacionados con el ámbito financiero yeconómico.

-Analizan fenómenos de crecimientologarítmico en forma analítica y gráficarelacionados con el ámbito financiero yeconómico.

- Función li neal

Características

Ecuación representativa

Gráfico

 Aplicaciones financieras

- Función cuadrática.

Características

La parábola

Elementos

Ecuación general y particular 

Gráfico

 Aplicaciones financieras

- Función exponencial:Gráficos

 Aplicaciones financieras

- Función logarítmica:

Gráficos

 Aplicaciones financieras

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2ª UNIDAD: Cálculos financieros básicos  

Duración: 48 horas pedagógicas

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos

RelevantesOperar con fundamentos deinterés simple y compuesto,anualidades y amortizaciones,demostrando capacidad paracalcular, evaluar y decidir alternativas financieras encasos sencillos, con apoyo decalculadora científica.

-Calculan interés simple.

-Calculan monto o valor futuro con interés simple.

-Calculan valor actual, utilizando tasa de interéssimple.

-Calculan valor actual, utilizando tasa dedescuento.

-Analizan y comparan valor futuro a distintastasas de interés simple. 

-Resuelven problemas de aplicación de interéssimple financiera y comercialmente.

-Calculan valor futuro, valor actual, interés ynúmero de períodos en situaciones de interéscompuesto.

-Analizan y comparan valor futuro a distintastasas de interés compuesto.

-Resuelven problemas de aplicación de interéscompuesto financiera y comercialmente.

-Resuelven problemas de cálculo de anualidades:vencidas, anticipadas, diferidas, perpetuas.

-Comparan tasas de interés de distintas casascomerciales y su impacto en las anualidades.

-Confeccionan tablas de amortización segúnsistema francés.

-Identifican particularidades de otros sistemas deamortización.

- Comparan gráficamente las tasas de interésofrecidas por diversas casas comerciales(mensualmente, trimestralmente, semestralmenteetc.)

-Construyen tablas de Amortización, paradiferentes valores de créditos, tasas y períodos.

Interés simple:

-Cálculo del interés

-Cálculo de la tasa de interés

-Cálculo del número de períodos

-Valor Futuro o Monto

-Valor actual

-Problemas de interés simple aplicados

Interés compuesto:

-Cálculo de Valor futuro y valor actual con

interés compuesto.-Cálculo de interés y períodos a interéscompuesto.

-Comparación del interés simple ycompuesto.

 Anual idades: 

-Anualidades Vencidas, Anticipadas,Diferidas, Perpetuas.

-Gráfico de anualidades.

 Amor tización:-Definición. Distinciones de los Sistemasde Amortización y sus características.

-Sistema de amortización Francés, Alemán, Americano.

Interés y Tablas de Amortización:

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I. DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD:

CLASE 1 y 2

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Representan la función lineal enforma analítica y gráfica,relacionando su estudio asituaciones del ámbito financiero yeconómico

Función lineal:CaracterísticasEcuación representativaGráfico Aplicaciones financieras

Una función expresa la idea de que una cantidad esté determinada o dependa de

otra, es aquí donde decimos que esto está en función de lo otro. Por ejemplo:

- El costo mensual de producir un determinado bien depende del número de bienes

producidos. Entonces decimos que el costo mensual está en función del número de

bienes producidos.

- El área de un círculo depende de la longitud de su radio, es decir, si se conoce la

longitud del radio, podemos afirmar que el área es una función del radio.

Una función se define de la siguiente forma:

Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que se

asigna a cada elemento x pertenece X una única y ∈ Y. Si una función asigna y a un x

∈ X particular, decimos que y es el valor de la función en x.

Generalmente una función se denota por f, g, F ó G. En el siguiente caso

denotaremos con f una determinada función. El conjunto X para el cual f asigna una

única y que pertenece a Y se denomina dominio de la función f. Frecuentemente se

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indica mediante Df . El conjunto de valores correspondientes a y ∈ Y se conoce

como rango de la función y se anota como Rf 

Ejemplo 1: Sea X el conjunto de estudiantes de una clase. Sea f la regla que asigne a

cada estudiante su calificación final. Dado que cada uno tiene una sola calificación

final, esta regla define una función. En este caso, el dominio es el conjunto de todos

los estudiantes de la clase y el rango es el conjunto de todas las calificaciones

Ejemplo 2: El valor de los activos de una empresa es una función del tiempo. Aquí el

dominio es el conjunto de valores del tiempo y el rango de la función es el conjunto de

valores de los activos

En síntesis una función puede estar definida por casos tales como:

• Le regla que asigna a cada persona el número de hijos.

• La regla que asigna a cada persona los nombres de sus hijos.

• Un diccionario de inglés alemán.

• 

Ejemplo 3: Dada 152)( 2 +−= x x x f  , calcule el valor de )( x f  para

41;2;3; −=−=== x x xa x  

Solución: Dado que 152)( 2 +−= x x x f  , con el objetivo de calcular f(a) reemplazamos

x por a en la ecuación, es decir, 152 2 +− aa  

Lo mismo para los casos siguientes:4

1;2;3 −=−== x x x obteniendo como

resultados: 4, 19 y 19/8 respectivamente.

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Ejemplo 4: Consideremos 25,02)( x x f  += , el dominio de f es el conjunto de todos lo

números reales, ya que podemos evaluar f(x) para cualquier valor real de x. Alguno de

los valores de esta función aparecen en la tabla 1, en la cual algunos valores de x

están listados en el renglón superior y los valores de y = f(x) están debajo de los

valores correspondiente a x. Los puntos correspondiente a los valores de x e y se

graficaron como puntos en la figura 1. La gráfica de la función 25,02)( x x f  += es una

curva con forma de U que pasa por los puntos ya graficados.

Tabla 1

x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

y=f(x) 2 2,5 4 6,5 10 2,5 4 6,5 10

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EJEMPLOS

1. El departamento de policía de una pequeña ciudad estudia la compra de un

nuevo carro de patrulla. Los analistas de la policía, estiman que el costo del

carro, completamente equipado, es de 18.000 dólares. Han estimado un costo

promedio de operaciones de 0,40 dólares por milla.

a) Determine la función matemática que represente el costo total C de la obtención y

operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra.

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil?

c) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 100.000 millas en su vida útil?

Solución:

El costo del carro completamente equipado es de 18. 000 dólares.

El costo promedio de operaciones es de 0,40 dólares por milla.

a) Determinar la función matemática que represente el costo total de la obtención y

operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra.

Solución:

Como lo que queremos determinar es una función en x, primero definimos x.

X = total de millas recorridas.

Entonces la función de costo la denotaremos con la letra C y estará en función de x,

es decir, el costo estará en función del total de millas recorridas.

C(x)

Y como el costo promedio por milla es de 0.40, entonces tenemos

C(x) = 0.40x

Y ahora debemos agregarle el total del costo del carro, que son 18.000 dólares. Por lo

cual la función nos queda:

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C(x) = 0,40x + 18.000

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil?

Tendremos que evaluar:

C (50 .000) = 0,40(50.000) + 18. 000

C (50 000) = 20.000 + 18. 000

C (50 000) = 38 000

El costo proyectado del carro si recorre 50.000 millas será de 38.000 dólares.

c) Si recorre 100.000 millas.

C (100.000) = 0,40(100.000) + 18 000

C (100 000) = 40 000 + 18.000

C (100.000) = 58. 000

El costo proyectado para el carro cuando recorra 100.000 millas será de 58.000

dólares.

2. Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la

prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de 10dólares por todas las pólizas más 1,5 dólares por cada mil dólares del importe de la

póliza. Por ejemplo, una póliza de 20.000 dólares costará 10 dólares por el cargo fijo

más 30 dólares, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. Si p es la

prima anual en dólares y x denota el valor nominal de la póliza (expresado en miles de

dólares), a) a) a) Determine la función que puede emplearse para calcular las primas

anuales.

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b) Determine el importe de la prima anual si la póliza es de 250.000 dólares.

Solución:

Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas.

Se cobra 1,5 dólares por cada mil del importe de la póliza.

X = el valor nominal de la póliza.

El importe de la prima anual de la póliza está en función de x, es decir, en función del

valor nominal de la póliza. Entonces denotamos como P(x)

Como hay que multiplicar 1,5 por cada mil del importe de la póliza, entonces debemos

dividir X entre 1.000 y luego multiplicarlo por 1,5.

Lo que nos da la siguiente función:

101000

5.1)( +⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =

x xP  

Esta es la función para determinar el importe de la prima anual de la póliza.

 Ahora determinemos el valor de la prima anual cuando la póliza es de 250.000

dólares.

10000.1

000.2505,1)000.250( +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =P  

10000.1

000.2505,1)000.250( +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ =P  

( ) 102505.1)250000( +=P  

10375)000.250( +=P  

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385)250000( =P  

El valor anual de la prima de una póliza de 250.000 dólares será de 385 dólares.

CLASE 3 y 4

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOSRepresentan la función cuadráticaen forma analítica y gráfica,relacionando su estudio asituaciones del ámbito financiero yeconómico

Función cuadrática:CaracterísticasEcuación representativaGráfico Aplicaciones financieras

Función Cuadrática

Una función de la forma )0()( 2 ≠++= acbxax x f   

Con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática. El dominio de f(x) es el

conjunto de todos los números reales.

La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo

caso obtenemos 2)( xa x f  = Las gráficas más comunes de esta función en los casos

en que a es positiva o negativa son:

El punto más bajo de la gráfica cuando a > 0 ocurre en el origen, mientras que este

mismo es el punto más alto si a < 0, a cada una de estas se les denomina parábolas.

El origen que es el punto más bajo o alto en los dos casos se denomina vértice.

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La función cuadrática general )0()( 2 ≠++= acbxax x f  tiene una gráfica idéntica

en tamaño y forma a la correspondiente a 2)( xa x f  = ; la única diferencia es que el

vértice de )0()( 2 ≠++= acbxax x f  está trasladado fuera del origen.

EJEMPLOS

1.-Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno

rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es

el área máxima que puede cercarse?

Solución:

Denotemos los lados del terreno con x e y como se indica en la figura, con el lado y el

paralelo ya existente. Se sigue que la longitud de la nueva cerca es:

2x +y = 200

Comparando la expresión anterior con cbxax x f  ++=2

)( , advertimos que A es una

función cuadrática de x, con a=-2, b=200 y c=0. Por lo tanto, dado que a<0, la

función cuadrática tiene un máximo en el vértice, este es cuando:

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El área máxima que puede encerrarse es de 5.000 metros cuadrados. Las

dimensiones de esta área máxima son x=50 e y=100 metros.

CLASE 5

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Analizan fenómenos de crecimientoexponencial en forma analítica ygráfica, relacionando su estudio asituaciones del ámbito financiero yeconómico.

Función exponencial:Gráficos Aplicaciones financieras

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de

1, a la función:

+⇒ IR IR f  :

 Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas

propiedades de las potencias:

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Ejemplos de funciones exponenciales

1. La función  x y 2= es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores

que toma esta función +⇒ IR IR f  : son:

 Algunos de los valores que toma esta función +⇒ IR IR f  : son:

Propiedades de la función exponencial  xa y=  

1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f (0) = 10 =a  

2. Para x = 1, la función toma el valor a: f (1) = aa =1  

3. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x)>0.

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Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de

base positiva da como resultado un número positivo.

4. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Representación gráfica de la función exponencial

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de

distinguir dos casos para hacer la representación de una función

 xa y =  

 A) a > 1

Para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva

Como caso particular se representa la función  x y 2= .

B) 0 < a < 1

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

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CLASE 6

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Analizan fenómenos de crecimientologarítmico en forma analítica ygráfica relacionados con el ámbitofinanciero y económico

Función logarítmica:Gráficos Aplicaciones financieras

Se llama función logarítmica de base a a la función  x x f  alog)( = , siendo a > 0 y a ≠ 

1.

Ejemplo:

Son funciones logarítmicas  x x f  2log)( = ,  x x f  10log)( = (logaritmo decimal),  x xh ln)( =  

(logaritmo neperiano).

El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) y las gráficas son similares,

dependiendo del valor de a:

Si 0 < a < 1, la función  x x f  alog)( = es siempre decreciente y su gráfica es del tipo:

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Si a >  1, la función  x x f  alog)( = es siempre creciente y su gráfica es del tipo:

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SEGUNDA UNIDAD:

CLASES 7, 8 y 9.

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOSCalculan interés simple

Calculan monto o valor futuro coninterés simpleCalculan valor actual, utilizando tasade interés simpleCalculan valor actual, utilizando tasade descuento Analiza y comparan valor futuro adistintas tasas de interés.Resuelven problemas de aplicaciónde interés simple financiera ycomercialmente.

Interés simple:

Cálculo del interésCálculo de la tasa de interésCálculo del número de períodos

Matemáticas Financieras

Son aplicaciones a las operaciones comerciales que realiza la empresa de manera

que a partir de una base matemática y un lenguaje técnico y simbólico podamos

interpretar las variables que participan en la evaluación del dinero a través del tiempo.

Estas variables son:

-  Capital (c): suma de dinero prestado o invertida.

-  Tiempo (t): período durante el cual se usa el capital.

-  Tasa de interés (i): es el precio que se paga por usar el dinero.

Interés Simple

En general se da en períodos de corto plazo.

La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital durante un período de

tiempo.

Los intereses se capitalizan al final del período en el cual se contrajo esa obligación.

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  t ic I  ⋅⋅=  

Interés

Comercial

Interés Real

 Año = 360 días

Mes = 30 días

 Año = 365 días

Mes = 28, 30 ó 30 días

Ejercicios

1. Determine el interés pagado por un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés

de 4% trimestral durante 2 meses.

c = 2.000.000

i = 4% trimestral

t = 2 meses

I= 2.000.000 * 0.04 * (2/3)

I = 53.333//

2. Calcular la cantidad de dinero prestada, si se paga por ella un interés de $15.000

con una tasa de interés semestral de 3,5% durante 145 días.

i = 3, 5 % semestral

t = 145 días

I = 15.000

15.000 = c * 0.035 * (145/180)

c = $532.020

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3. Determine la tasa de interés mensual aplicada a un capital de $550.000 si éste

genera un interés de $6.500 en 7 meses.

c = 550.000

t = 7 meses

I = $6.500

6.500 = 550.000 * i * 7

i = 0.0016883116883 * 100 i = 0.17%

4. ¿En cuantos meses, un capital de $200.000 genera un interés de $80.000 con una

tasa de interés de 5% semestral?

I = $80.000

c = $200.000

i = 5% semestral

80.000 = 200.000 * 0.05 * (t/6)

t = aproximadamente 50 meses

5. Se deposita un 60% de un capital al 3% de interés simple y el resto se deposita al

3,5% de interés simple durante 8 meses con lo cual se genera un interés de $45.000,

calcular el capital.I = $45.000

i = 3% anual

t = 8 meses

45.000 = (0, 6 c * 0,03 * (8/12)) + (0,4 c * 0.035 * (8/12))

c = $2.109.375

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Monto Simple

Es la suma del capital y los intereses.

 I C  M  +=  

Reemplazando la fórmula de Interés simple tenemos

)( t iC C  M  ⋅⋅+=  

Luego

)1( t iC  M  ⋅+⋅=  

Capital (c) Inversión o Préstamo de la empresa.

Capitalizar calcular Valor Futuro, Valor Final, Monto Futuro o Monto Final.

Monto

MontoCapital

Valor FuturoValor Final

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Ejercicios

a) Calcular el monto de un capital de $1.800.000 a una tasa de interés de 4% por un

período de 245 días.

c = 1.800.000

i = 4% trimestral

t = 245 días

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⋅=

90

24504,011.800.000 M   

000.996.1$= M   

b) Calcular el valor actual de $500.000 pagaderos en 8 meses y 10 días a una tasa de

interés del 5,22% semestral.

M = 500.000

i = 5,22% semestral

t = 8 meses, 10 días

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⋅=180

2500522,01000.500 c  

200.466$=c  

c) Calcular la tasa de interés aplicable a un capital de $2.600.000 para obtener un

monto de $2.800.000 durante 11 meses y 25 días. (Cuando nada se dice se entiende

que la tasa es anual)

c = 2.600.000

M = 2.800.000

t = 11 meses, 25 días

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=360

3551000.600.2000.800.2 i  

%8,7=i

 

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Tiempo

¿En cuanto tiempo un capital de $1.200.000 depositado al 4% de interés un monto de

$1.236.000?

c = 1.200.000

i = 4%

M = 1.236.000

[ ]t ⋅+⋅= 04,01000.200.1000.236.1  

díast  270=  

CLASES 10

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOSCalculan valor futuro, valor actual,interés y número de períodos en

situaciones de interés compuesto. Analizan y comparan valor futuro adistintas tasas de interés compuesto.Resuelven problemas de aplicaciónde interés compuesto financiera ycomercialmente.

Interés compuesto:Cálculo de Valor futuro y valor 

actual con interés compuestoCálculo de interés y períodos ainterés compuesto.Comparación del interés simple ycompuesto.

Interés Compuesto

En cada período de tiempo se agregan los intereses al capital, con lo cual se forma un

nuevo capital.

( ) )11( −+⋅=n

ic I   

n = tiempo

c = capital

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Ejercicios

Si usted deposita hoy $1.950.000 a un tasa de 4,25% durante 3 años ¿Cuál es el

monto de interés que recibirá?

( )[ ]10425,011.950.0003−+⋅= I   

341.259$= I   

Monto Compuesto con capitalización Anual

Indica que los intereses se transforman en capital en forma anual.

( )nic M  +⋅= 1  

Monto

¿Cuánto dinero se recibirá dentro de 5 años si hoy se deposita $2.500.000 a un tasa

de 3,75%?

( )50375,01.500.0002 +⋅= M   

250.005.3$= M   

MontoCapital

Capitalización

 Actualización

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Capital

¿Cuánto tiene que depositar hoy a interés compuesto de un 5,25% anual para obtener 

$4.200.000 en 3 años?

( )30525,01000.200.4 +⋅= c  

326.602.3$=c  

Tasa de interés (usaremos raíces)

Un depósito de $550.000 produce un monto de $685.000 durante 4 años, determine la

tasa de interés aplicada al depósito.

( )41000.550000.685 i+⋅=  

%64,5=i  

Tiempo (usaremos Log)

¿Cuánto tiempo debe transcurrir para obtener un monto de $1.200.000 si hoy se

deposita $1.000.000 a una tasa de i de 3,65%?

( )n0365,01000.000.1000.200.1 +⋅=  

díasn 1831=  

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Monto compuesto con capitalización anual y tiempo fraccionario

Regla Comercial

 A interés compuesto se trabaja período anual.

 A interés simple se trabaja período fraccionario.

( ) ( ) f iic M n

⋅+⋅+⋅= 11 Con f = meses

Período Anual Período Fraccionario

Calcular el monto de una deuda de $3.500.000 pagaderas en 3 años, 5 meses a una

tasa de 4,35%

( ) ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+•+⋅=12

50435,010435,01000.500.3

3 M   

988.048.4$= M   

Monto compuesto con períodos de capitalización

mn

m

 jc M 

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= 1  

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 j = tasa nominal anual

m = período de conversión o capitalización dentro el año

E F M A M J J A S O N D

Período de conversión

Ejercicios (guía de ejercicios)

Guía ejercicios de Interés compuesto con capitalización.doc

Monto

1.- ¿Cuál es el monto de un capital de $300.000 depositado a una tasa de interés del

3% mensual y que se capitalizó mensualmente durante un año?

c = 300.000

 j = 3% mensual

m = 12

n = 1

( )103,01000.300 +⋅= M   

728.427$= M  √ 

Anual m = 1

Semestral m = 2Trimestral m = 4Cuatrimestral m = 3Bimestral m = 3Mensual m = 12

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2.- ¿Cuál será el monto que se obtiene por un capital depositado a 5 años plazo y

una tasa del 6% capitalizable trimestralmente, si el capital es de

$ 371.235?

c = 371.235

 j = 6%

m = 4

n = 5

45

4

06,01235.371

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= M   

000.500$= M   

3.- Ud. necesita obtener un préstamo por $400.000 a 4 años. En el mercado de

capitales existen las siguientes ofertas:

a) 15% de interés capitalizable trimestralmente

44

4

15,01000.400

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= M  891.720$= M   

b) 15,375% de interés capitalizable semestralmente

24

2

15375,01000.400

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= M   

891.723$= M   

c) 15,5% de interés simple

( )4155,01000.400 ⋅+⋅= M   

000.648$= M   

Es más rentable la opción b.

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4. Calcular monto con los siguientes datos:

c = 100.000

 j = 8% semestral

m = 2 (períodos de capitalización)

n = 3 años

( ) 2308,01000.100

⋅+⋅= M   

687.158$= M  √ 

Monto

5.- ¿Qué cantidad de dinero se deposito hace 2 años, con una tasa de interés del 5%

trimestral capitalizable trimestralmente, si hoy se convirtió en $ 30.458?

 j = 5% trimestral

m = 4 capitalizable trimestral

n = 2 años

M = 30.458

( ) 4205,01458.30

⋅+⋅= c  

615.20$=c  

6.-Calcule el Valor Presente de $360.000 pagaderos dentro de 3 años al 5%

capitalizable semestralmente

 j = 5%

m = 2 capitalizable semestral

n = 3 años

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M = 360.000

23

2

05,01000.360

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= c  

427.310$=c 

Tasa de interés

7.- ¿A qué tasa de interés semestral estuvo invertido un capital de $220.000, si al

cabo de 2 años se convirtió en $364.174, habiéndose capitalizado semestralmente?

m = 2 capitalizable semestral

n = 2 años

M = 364.174

c = 220.000

( ) 221000.220174.364

⋅+⋅= j  

%43,13= j  

Tasa nominal anual

8.- Determine la tasa nominal anual para:

a) $125.000 se transformen en $237.650 en 15 años con capitalización trimestral

n = 15 años

M = 237.650

c = 125.000

m = 4 capitalizable trimestral

415

41000.125650.237

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=

%31,4= j  

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b) $250.000 se transformen en $275.391 en 4 años con capitalización mensual

n = 4 años

M = 275.391

c = 250.000

m = 12 capitalizable mensual

124

121000.250391.275

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=

%42,2= j  

Tiempo

9.- ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital de $250.000, que con

capitalizaciones semestrales y a una tasa del 10% semestral se convirtió en

$442.890?

M = 442.890

c = 250.000

 j = 0.01

m = 2 capitalizable semestral

( ) n⋅+⋅=

21,01000.250890.442  

díassemestresn 5403 ⇒=  

10.-Determine el tiempo que es necesario esperar para que:

a) $ 85.000 se transformen en $150.000 al 15% capitalizable semestralmente

M = 150.000

c = 85.000

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 j = 15% capitalizable semestral

m = 2

n⋅

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=

2

2

15,01000.85000.150 díassemestresn 7079,3 ⇒=  

b) $47.500 se transformen en $104.700al 14% capitalizable mensualmente

M = 104.700

c = 47.500

 j = 14% capitalizable mensual

m = 12

n⋅

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=

12

12

14,01500.47700.104  

díasmesesn 17067,5 ⇒=  

Monto compuesto con períodos de capitalización y tiempo f raccionario

Recordemos que:

( ) f  jm jc M 

mn

⋅+•⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +⋅=

11 Con f = meses

Período Anual Período Fraccionario

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11- Calcule el valor presente de $280.000 pagaderos en 3 años 2 meses a la tasa de

5% capitalizable trimestralmente.

M = 280.000

 j = 5%

m = 4 capitalizable trimestral

n = 3 años

f = 2 meses

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+•⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=

12

205,01

4

05,01000.280

34

c  

229.239$=c √ 

Tasa de interés Efectiva – Tasa de interés Nominal

Tasa Efectiva (i): que NO tiene períodos de capitalización dentro del año.

( )nic M  +⋅= 1  

Monto compuesto con capitalización anual

Tasa Nominal (j): que SI tiene períodos de capitalización dentro del año.

mn

m

 jc M 

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅= 1  

Monto compuesto con períodos de capitalización en el año.

Igualando

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( )cm

 jcic

mn

n

•⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⋅=+⋅

11  

( )( )n

mn

n

m

 ji 111

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=+  

Nos queda

m

m

 ji ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=+ 11  

Tasa Efectiva Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Ejercicios

1- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 4% capitalizable

trimestralmente?

4

4

04,011 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=+ i  

%06,4=i  

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2- ¿A que tasa nominal anual capitalizable semestralmente equivale una tasa

efectivamente anual de 8,16%?

2

210816,01 ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +=+ j

 

%8= j  

Tasa de interés Nominal - Tasa de interés Nominal

21

21

11

mm

m

 j

m

 j⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +  

Tasa Nominal ( 1m )

Tasa Nominal ( 2m )

Ejercicios

1- ¿Que tasa nominal anual capitalizable trimestralmente es equivalente a un 5%

nominal anual capitalizable mensual?

124

1205,01

41 ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +=⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  + j

 

%02,5= j √ 

2- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de

6,25% capitalizable semestralmente?

2

2

0625,0

11 ⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎝ 

⎛ 

+=+ i  

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  %35,6=i  

3- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente equivale a una tasa

efectiva anual de 5,75%?

3

310575,01 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛  +=+j

%64,5= j √ 

4- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable bimestralmente es equivalente a un

4,45% nominal anual capitalizable trimestral?

46

4

0445,01

61 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

j %44,4= j √ 

Tasa de interés Equivalente

Dos tasas de interés son equivalentes no iguales si aplicadas sobre el mismo capital

durante el mismo tiempo generan intereses iguales.

Ejemplo

1- Si tenemos una tasa de 15% anual y la queremos convertir en tasa mensual

Interés Simple

mensualii %25,112

15,0=⇒=  

Interés Compuesto

( ) ( )ae ii +=+ 11  

lenteTasaEquivai e =  

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  TasaAnualia=  

( ) ( )15,01112

+=+⇒ ei  

mensualie%17,1=  

Tasa Equivalente

Mensual ( ) ( )ae ii +=+⇒ 11

12

 

Trimestral ( ) ( )ae ii +=+⇒ 114

 

Cuatrimestral ( ) ( )ae ii +=+⇒ 113

 

Semestral ( ) ( )ae ii +=+⇒ 11

2

 

Bimestral ( ) ( )ae ii +=+⇒ 116

 

 Anual ( ) ( )ae ii +=+⇒ 11  

Ejemplo

mensualie =  

anualia%8=  

( ) ( )08,011 12+=+⇒ ei  

%64,0=ei √ 

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Tasa de interés Equivalente con períodos de capitalización

Mensual ( )a

e ii +=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +⇒ 1

121

12

 

Trimestral( )a

e ii

+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ 1

41

4

 

Cuatrimestral( )

a

e ii

+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ 1

31

3

 

Semestral( )

a

e ii

+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ 1

21

2

 

Bimestral( )a

e ii

+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ 1

61

6

 

 Anual ( ) ( )ae ii +=+⇒ 11  

6.- Con las siguientes tasas:

1.- 12,4% anual

2.- 7,5% trimestral con capitalización quincenal

3.- 14% anual con capitalización mensual

Calcule las tasas:

a.- Equivalente mensual

b.- anual con capitalización trimestral

c.- efectiva anual capitalización anual

d.- efectiva trimestral

1.a) ( ) ( )124,011 12+=+⇒ ei  

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  %98,0=ei  

1.b) ( )124,014

1

4

+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ ei

 

%86,11=ei  

1.c) ( ) ( )124,011 +=+⇒ ei  

%4,12=ei  

1.d) ( ) ( )124,011 4+=+⇒ ei  

%97,2=ei  

2.a) ( )64

12

6

075,011

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=+⇒ ei  

%52,2=ei  

2.b)644

6

075,01

41

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⇒ ei  

%95,30=ei  

CLASES 11,12, 13 y 14

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOSResuelven problemas de cálculo de Anualidades Vencidas

Comparan tasas de interés de

distintas casas comerciales y suimpacto en las anualidades

 Anualidades:VencidasGráfico de anualidades

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Rentas o Anualidades

Corresponde a una serie de cuotas iguales que pueden ser percibidas o pagadas en

intervalos iguales de tiempo las cuales incluyen intereses determinados con interés

compuesto.

Clasificación:

De acuerdo a la certeza de la renta.

Cierta: existe la certeza absoluta de que será percibida o pagada. Ej.: Sueldo.

-  Incierta: es aquella que ocurrirá solamente si se provoca un evento que no es

controlable. Ej.: seguro de vida.

De acuerdo al agotamiento de capital.

Temporal: el capital se agota, la duración del pago se fija. Ej.: Préstamo.

Perpetua: el capital no se agota, la duración de pagos es indefinida. Ej.: pensión

vitalicia.

De acuerdo a la recepción de la renta:

Vencida: percibida o pagada al final del período de renta. Ej.: sueldo.

 Anticipada: percibida o pagada al inicio del período. Ej.: mensualidad escolar.

Según convenio o contrato:

Inmediatas: percibidas o pagadas por la sola aceptación del contrato.

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Diferida: percibida o pagada después de existir un cierto rendimiento. Ej.: período de

gracia, pago diferido.

Valor Presente de una serie de flujos

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

n

n

i1i

1i1R P  

P = valor presente.

R= renta o cuota

i = tasa de interés

n = Nº de cuotas

Ejemplo

Una persona solicita un préstamo y debe cancelar la deuda en 2 años con cuotas

mensuales iguales de $24.000. ¿Cuál es el valor hoy del préstamo si la tasa de

interés es del 1% mensual?

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

24

24

01,0101,0

101,01000.24P 841.509P =  

Valor Futuro de una serie de flujos

Corresponde a la ∑ de los valores futuros de cada uno de los flujos que componen la

renta.

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 ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+•=

i

1i1R F

n

 

Ejemplo1

¿Cuánto se obtiene al depositar durante 6 meses la suma de $150.000 si al final de

cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es de 1,25% mensual compuesto?

( )⎥

⎤⎢

⎡ −+•=

0125,0

10125,01000.150F

5

598.928F =  

Renta, calcular la cuota

Ejemplo2

Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000

pagadero en 12 cuotas mensuales considerando 1,8% de interés con capitalización

mensual.

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +•

−⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

•=

12

08,0112

08,0

112

08,01

R 000.200.1

12

029.97R =  

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Renta Cierta Temporal Inmediata Anticipada

Se pagan o perciben al INICIO del período de renta. De ella se calcula:

Valor Presente (Sumatoria de valores presentes de cada uno de los flujos de renta

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

n

n

i1i

1i1R P  

Ejemplo

Calcular el valor de contado (valor de hoy, valor presente) de una propiedad vendida a

11 años plazo con pago de $350.000 mensuales por mes anticipado a una tasa de

interés de 8% convertible mensual.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +•

−⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ +

•=

131

1211

12

08,01

12

08,0

1

12

08,01

000.350P 612.864.30P =  

Valor Futuro (Sumatoria de valores futuros de cada uno de los flujos de renta)

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+•=

i

1i1R F

n

 

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Ejemplo

Una persona arrienda una casa en $250.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan

pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que paga el 1,5% mensual.

¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+•=

015,0

1015,01000.250F

12

303.260.3F = √ 

Renta (Cuota)

¿Qué suma debe depositarse al principio de cada año en un fondo que abona el 6%

para proveer la sustitución de máquinas, cuyo costo es de $2.000.000 con una vida

útil de 5 años y un valor residual estimado de 10% del costo.

000.000.2V bien =  

000.200Vresidual =  

años5VidaUtil =  

%6i =  

000.800.1VV residual bien =−  

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

4

5

06,0106,0

106,01R 000.800.1 126.403R =  

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CLASES 15 y 16

 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOSConfeccionan Tablas de Amortización según sistema francésIdentifican particularidades de otrossistemas de amortización- Comparan gráficamente las tasasde interés ofrecidas por diversascasas comerciales (mensualmente,trimestralmente, semestralmenteetc.)- Construyen tablas de Amortización,para diferentes valores de créditos,tasas y períodos

 Amortización:Definición. Distinciones de losSistemas de Amortización y suscaracterísticas. Sistemas deamortización Francés, Alemán, Americano

Interés y Tablas de Amortización

 Amortización

Extinguir una deuda, pagando una cuota que se compone por los intereses más el

capital amortizado.Es la devolución a través de una serie de pagos o plazos regulares del capital

prestado pagando también los intereses que sobre ella (deuda) se devengan.

En este sistema cada pago amortiza una parte de la deuda y el interés

correspondiente al período. Las cuotas incluyen interés y amortizaciones del capital y

por lo general de igual monto.

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Ejemplo

Se obtiene un préstamo de $20.000.000 se acuerda pagar 48 cuotas mensuales con

una tasa del 12% anual capitalizable mensual.

Tasa mensual

2. Calcular la cuota (o renta) (R)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +•

−⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

•=48

48

12

012,01

12

012,0

112

012,01

R 000.000.20 677.526R = √ 

3. Tabla Amortización para los últimos 4 meses.

PERIODO CUOTA INTERESCAPITAL

 AMORTIZADO

DEUDA

RESIDUAL

2.055.074

45 526.677 20.551 506.126 1.548.948

46 526.677 15.489 511.188 1.037.760

47 526.677 10.378 516.299 521.461

48 526.677 5.215 521.461 (+1) √ 

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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* Para calcular la Deuda Residual:

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

4

4

06,0101,0

101,01677.526P 074.055.2P = √ 

* Para calcular el capital amortizado:

rtizadoCapitalAmoInteresCuota =−  

* Para calcular el Interés:

Deuda Residual • intereses mensuales.

Ejercicios1.- Si Ud. al comprar se compromete a pagar 10 cuotas mensuales de $150.000.

Determine el valor contado del artículo si la tasa de interés del crédito es del 2,8%

mensual efectiva.

R= 150.000

i = 2,8% mensual

n = 10 cuotas mensuales

ntaVencidaRe  

esentePr Valor lValorActuadoValorConta ==  

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( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

10

10

028,01028,0

1028,01000.150P 690.292.1P =  

2.- Cuánto se obtiene al depositar durante 5 meses la suma de $100.000. Si al final

de cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es del 3% mensual compuesta.

R= 100.000

i = 3%

n = 5 meses

ntaVencidaRe  

oValorFutur   

( )⎥⎦

⎢⎣

⎡ −+

•= 03,0

103,01000.100F

5

914.530$F =  

3.-Si Ud. solicita un préstamo de 200 UF pagaderas en 32 cuotas iguales de pago

vencido. Si la tasa de interés efectiva del período es de 2,1778%. ¿Cuál es el valor 

de la cuota a cancelar?

R =?

i = 2,18%

n = 32 cuotas

P = 200 UF

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esentePr Valor lValorActuadoValorConta ==  

ntaVencidaRe  

( )

( ) ⎥⎦

⎢⎣

+⋅

−+•=

32

32

0218,010218,0

10218,01

R 200 UF75,8R =

(valor cuota)

 Agregado en clases oValorFutur   

( )⎥

⎤⎢

⎡ −+•=

0218,0

10218,0175,8F

32

UF399F = √ 

4.- Una persona deposita $200.000 al final de cada año, durante 15 años en una

cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el monto al efectuar el último

pago.

ntaVencidaRe  

P = 200.000

n = 15 años

i = 8%

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+•=

08,0

108,01000.200F

15

423.430.5F =  

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5.- A cuanto deben ascender los ahorros previsionales de una persona que jubilara

dentro de 12 años. Si la AFP ofrece una rentabilidad anual y se deja una pensión

mensual de 32 UF por 14 años

ntaVencidaRe  

12UF32R  mensual •= anualUF384R =  

esentePr Valor lValorActuadoValorConta ==  

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

14

14

034,01034,0

1034,01384P 75,221.4P =  

6- Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000

pagaderas en 144 cuotas mensuales, considerando un 8% de interés con

capitalización mensual.

ntaVencidaRe  

P =12.000.000

n = 144

i = 8% (/12)

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⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ +•

−⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

•=144

144

12

08,01

12

08,0

112

08,01

R 000.000.12 894.129R = √ 

 Agregado en clases oValorFutur   

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡ −⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +

•=

12

08,0

112

08,01

894.129F

144

671.240.31F = √ 

7.- Halle el monto y el valor actual de una anualidad de $50.000 pagadera

semestralmente durante 7 años y 6 meses al 8,6% capitalizable semestralmente

esentePr Valor lValorActuadoValorConta ==  

R =50.000

n = 7 años y 1 semestre

i = 8,6% (/2 son semestres)

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

+⋅

−+•=

15

15

043,01043,0

1043,01000.50P 437.544P = √ 

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oValorFutur   

( )⎥

⎤⎢

⎡ −+•=

043,0

1043,01000.50F

15

793.023.1F = √ 

8- Una persona viaja fuera de la ciudad deja una propiedad en arriendo por 5 años

con la condición que se pague $900.000 por trimestre vencidos que serán

consignados en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual nominal. Halle el monto

en los 5 años y el valor actual del contrato de arriendo

ntaVencidaRe  

esentePr Valor lValorActuadoValorConta ==  

R =900.000

n = 5 años (*4 son trimestres)

i = 8% (/4 son trimestres)

( )

( ) ⎥⎦

⎢⎣

+⋅

−+

•=20

20

02,0102,0

102,01

000.900P 290.716.14P = √ 

oValorFutur   

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+•=

02,0

102,01000.900F

20

633.867.21F = √ 

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III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1. Problemas de Interés Simple

Formulas de Interés Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de:

a $2.500 durante 8 meses al 8%.

C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08

133$08,012

8500.2 =⋅⋅= I   

b. $60.000 durante 63 días al 9%.

I =$60.000 t =63 días i =0,09

945$09,0360

63000.60 =⋅⋅= I   

c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.

C =12.000 t =3 meses i =0,085

255$085,012

3000.12 =⋅⋅= I   

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre.

Del mismo año.

C =$15.000 i =0,10 t =167 días

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  696$10,0360

167000.15 =⋅⋅= I   

Calcular el interés simple comercial de:

a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000 i = 0,0075 t =38,67 meses

3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

30

20meses = 38,67 meses

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresada en meses por lo que debe

transformarse el tiempo también a meses

b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

C = $8000 t =7,5 i = 0,015

mesesmeses 5,730

157 =+  

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900.

1.2 Un señor pagó $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996

a una tasa del 41/2 % de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = 2.500,20

C =2.400

i = 0.045

t =?

VF = C (1 + i * t)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

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0,04175=0,045 t

t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de

 julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro

inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer 

inversionista?

000.124360

15008,01000.120 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+⋅=VF   

201.122360

531,01000.124

1

=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+

 

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré

tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que

exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del

vencimiento?

280.1412

308,01000.14 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+=VF   

558.14$360

7010,01280.14 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+=VF  (Valor de mora)

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el13 de agosto y recibe $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático

se le descontó el pagaré?

)1( t iVPVF  ⋅+=  

)360

901(90,559.19000.20 ⋅+= i  

i =0, 09 o 9%

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Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8

meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6

meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de

rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

200.2112

908,01000.201 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+=VF   

427.1612

408,01000.162 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+⋅=VF   

Deuda = 21.200 + 16.427

Deuda = 37.62

Pagos

 x xP 04,112

608,011 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅+=  

 xP =2  

Pagos = 21 PP +  

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debes llevarse los valores

de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar 

operaciones sobre estos valores.

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2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y

fechas indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

750.19360451,01000.20 =⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  ⋅−⋅  

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

730.1712

209,01000.18 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅−⋅  

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el

18 de septiembre del mismo año.

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704.13360

9508,01000.14 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅−⋅  

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es

para el 14 de febrero del año siguiente.

761.9$360

861,01000.10 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅−⋅  

2.2. Se vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de

cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de

la venta.

a. 20.000 contado

b. 540.19360

9209,01000.20 =⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎝ 

⎛ 

⋅−  

c. 853.28360

15309,01000.30 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅−  

Total =20.000 + 19.540 + 28.853 = $68.393

Un pagaré de $10.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco $9.789.

Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 años

0,21 años * 12 meses = 2,52 meses

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El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su

vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular 

la utilidad del Banco Ganadero.

000.78360901,01000.80 =⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  ⋅−  

500.78360

7509,01000.80 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⋅−  

Utilidad 78.500-78.000=$ 500

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700

dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67

dólares netos?

⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎝ 

⎛ 

+= 360

60167,666700  

i = 0.30 o 30%

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se

descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  ⋅−=

3608549,0152,146 VF   

VF = 165,68 dólares.

3. Transformación de Tasas

Método de igualación

Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable

mensualmente

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1212

124

31

4

18,01 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

ntmn 

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 o 17,01% R.

l capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable

trimestralmente.

44

44

21

4

12,01 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

nsct  

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 o 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

( ) ( ) 66

62

122,01 eb+=+  

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 o 6,85%

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral

capitalizable semestralmente.

( ) ( ) 22

21

2152,01 ⋅+=+ ntcs  

Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 o 11,54%.

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4. Problemas de Interés Compuesto

Formulas de Interés Compuesto:

( )niC  M  += 1  

( ) ni M C  −+= 1  

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con

capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 años

M = 20.000

C =?

410

4

15,01000.20

⋅−

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=C   

C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que

paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500?

n =?

C = 2.000

i = 0, 03

M =7.500

7.500 = 2.000 (1 +0, 03) n  

ln 15/4 = n ln 1,03

n = 44,71 años

44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05) 10 = 162,89 Respuesta

b. al 5% capitalizable mensualmente

( )1210

12

05,01100

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ += M   

= M  164,20

c. al 5% capitalizable trimestralmente

( )410

4

05,01100

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ += M   

M =164,36

d. al 5% capitalizable semestralmente

( )210

2

05,01100

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ += M   

M = 163,86

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante

10 años 4 meses.

( ) 12410

08,01000.20⋅

+=VF   

VF = 44.300,52

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable

trimestralmente?

22

24

2

..1

4

08,01 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +

scn 

i =0,0808 o 8,08% Respuesta

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Hallar la tasa nominal capitalizable semestralmente, a la cual $10.000 se convierten

en $12.500, en 5 años.

10

21000.10500.12 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +=

i =0,0451 o 4,51%

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que

acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08) n  

n = 13,024 /2

n = 6,512 años

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar 

el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el

6% capitalizable trimestralmente?

M =2

C = 1

2=1(1+ i)10  

i = 7,17% sociedad maderera

--------------

40

4

06,011 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ += M   

M =1,8140 no duplico

Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Una inversionista ofreció comprar un pagaré de $120.000 sin interés que vence dentro

de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio

ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)3−

 

C = 95.259,87

Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés.

Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, capitalizable mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89

VF = 20.000120

12

05,01 ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ + = 32.940,19 capitalizable mensualmente.

5. Problemas de Anualidades Vencidas

Formulas de Anualidades Vencidas

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

i

i AF 

n11

Valor Futuro

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

i

i AP

n11

Valor presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-financiera-mat-121 64/130

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas

ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

04,0

104,01000.2

17

F   

F  =47.395,07 valor futuro

( )⎥⎦

⎢⎣

⎡ +−

=

04,0

04,011

000.2

17

P  

P = $24.331,34 valor presente

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

=F ( )

⎤⎢

⎡ −+

073,0

1073,01000.4

6

 

F = 28.830,35 valor futuro

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

073,0

073,011000.4

6

P  

P = 18.890,85 valor presente

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-financiera-mat-121 65/130

(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

0067,0

10067,01200

40

F   

F = 9.139,68 valor futuro

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

0067,0

0067,011200

40

P  

P = 6.997,26 valor presente

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes

condiciones: 20.000 dólares de contado; 1.000 dólares por mensualidades vencidas

durante 2 años y 6 meses y un último pago de 2.500 dólares un mes después de

pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización

mensual.

i =0,09/12=0,0075

( )08,775.26

0075,0

0075,011000.1

30

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

P  

09,983.1)0075,01(500.2 31 =+ −  

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 dólares

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 14.000

dólares de cuota inicial; 1.600 dólares mensuales durante 2 años 6 meses con un

último pago de 2.500 dólares, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

( )33,292.41

01,0

01,011600.1

30

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

P  

44,836.1)01,01(500.2 31 =+ −  

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 dólares

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que

se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento

del dinero es del 8%.

( )19,651.680.53

08,0

08,011000.000.8

10

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

P  

En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables

por el valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si

estas representan el 25% de la producción.

( ) 23,790.69408,01000.500.110=+

−  

8,420162.1325,019,651.680.53 =⋅  

694.790,23 + 13.420.162,80 = $14.114.953,03

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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En el momento de nacer su hija, un señor depositó 1.500 dólares en una cuenta

que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,

aumento sus consignaciones a 3.000.dólares. Calcular la suma que tendrá a

disposición de ella a los 18 años.

( )23,968.24

08,0

108,01500.1

11

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=F   

( ) 16,791.4208,0123,968.247=+  

( )41,768.26

08,0

108,01000.3

7

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=F   

03,994.5)08,01(500.1 18 =+  

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,03 = 75.553,60 dólares

Una persona deposita 100 dólares al final de cada mes en una cuenta que abona el

6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de

20 años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

( )09,204.46

005,0

1005,01100

240

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=F  Dólares

6. Problemas de Anualidades Anticipadas

Formulas de Anualidades Anticipadas

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

i

ii AF 

n11

)1( Valor Futuro

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

i

ii AP

n11

1 Valor Presente

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con

pagos de 3.000 dólares mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del

12% capitalizable mensualmente.

( )( )

64.464.25201,0

01,01101,01000.3

180

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

P Dólares

Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) 400.000 euros

de contado; (b) 190.000 euros de contado y 50.000 euros semestrales, durante 2 ½

años (c) 20.000 euros por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de 250.000

euros , al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del

8% anual?

Oferta b

( )( )

76,494.231

04,0

04,01104,01000.50

5

=⎥

⎤⎢

⎡ +−+=

P  

76,494.421000.19076,494.231 =+=P  

Oferta c

( )96,736.215

02,0

02,011)02,01(000.20

12

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

P  

( ) 46,757.18308,01000.2504=+

−  

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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¿Cuál es el valor presente de una renta de 500 euros depositada a principio de cada

mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, capitalizable

mensualmente?

( ) 42,666.490075,0

0075,011)0075,01(500180

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=−

P Euros

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6%

para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de

$2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el

10% del costo?

2.000.000 * 0.10= 200.000

2.000.000 - 200.000 = 1.800.000

( )⎥

⎤⎢

⎡ −++=

06,0

106,01)06,01(000.800.1

5

 A  

 A = 301.239,17 Respuesta.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en

pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% capitalizable mensualmente.

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅+= 0075,0

10075,010075,01000.8

12

 A  

 A = 634,85 Respuesta.

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Un empleado consigna 300 dólares al principio de cada mes en una cuenta de

ahorros que paga el 8%, mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000

Respuesta: n = 76,479 meses

7. Problemas de Anualidades Diferidas

Formulas para anualidades diferidas

Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen

un periodo de gracia.

Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería

muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se

estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de

$2.400.000. Suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se

agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la

renta que espera obtenerse.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

08,0

108,01000.400.2

15

VF   

VF = 65.165.073,43

En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el

momento de la adquisición de los yacimientos.

( )85,542748.20

08,0

08,011000.400.2

15

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

VP  

20.542.748,85 (1 + 0,08) 6− = 12.945.416

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La

producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio

de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

( ) 487,968.587.406,0

06,011000.40020

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=−

VP  

VP = 4.587.968,487 (1 + 0,06) 5− = 3.428.396,90

Una persona deposita 100.000 euros en un banco, con la intención de que dentro de

10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de 2.500 euros, a principio de

cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6%

capitalizable mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005) 120 = 181.939,67

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

005,0

005,011005,01500.267,939.181

n

 

n = 90,13

Respuesta = 7 años 7meses

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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8. Problemas de Rentas Perpetuas

Formulas de Rentas Perpetuas

i

 AP=  

i

 A AP +=  

i

ComCoCC  +=  

P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;

i = interés

Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro

de 6 meses, con tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente

000.50001,0

000.5==P  

M =500.000(1 + 0,01)

5−

= 475.732,84

Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un

interés de:

a. 6% efectivo

000.600.206,0

000.156=  

b. 6% convertible semestralmente

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

03,0

103,01000.156

2

 A  

29,847.76= A  

35,576.561.203,0

29,847.76==P  

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-financiera-mat-121 73/130

 

c. 6% convertible mensualmente.

( )⎥

⎤⎢

⎡ −+=

005,0

1005,01000.156

12

 A  

 A = 12.646,36

61,272.529.2005,0

36,646.12==P  

Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para

su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima

en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.

000.70007,0

000.35000.200 =+=P  

Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide

establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en

$300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.300

5

 A  

300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

 A = 53.218,92

982.88606,0

92,218.53==P  

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una

vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo.

Calcular con la tasa del 6%. 

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.800

12

 A  

 A = 47.421,62

06,0

62,421.47000.800 +=CC   

CC = 1.590.360,39 Respuesta.

En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de

salvamento igual al 15% del costo original.

000.12015,0000.800 =⋅  

( ) =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −+=

06,0106,01000.680

12 A  

 A = 40.308,38

06,0

38,308.40000.800 +=CC   

CC = 1.471.806,33 Respuesta

Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual

rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7

años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10

años. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más conveniente?

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-financiera-mat-121 75/130

Primera oferta

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.380

7

 A  

 A = 45.271,30

06,0

30,271.45000.380 +=CC   

CC = 1.134.521,78 Respuesta

Segunda Oferta

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.510

10

 A  

 A = 38.692,66

06,0

66,692.38000.510 +=CC   

CC = 1.54.877,65 Respuesta

Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86

9. Problemas de Amortización

Formulas para anualidades diferidas

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

i

i AF 

n 11

Valor Futuro

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

i

i AP

n11

Valor Presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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9.1 Una deuda de 20.000 dólares debe amortizarse con 12 pagos mensuales

vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de

amortización para los dos primeros meses.

1212

1

121)08,01( ⎟

 ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛  +=+ em  

31043,6 −⋅=i  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

0064,0

0064,011000.20

12

 A  

 A = 1.737,19 Respuesta

Fecha Periodo Cuota Interés Amortización Saldo

0 0 1.737,19 0 0 20.000

0 1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

0 2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

0 3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

0 4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

0 5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

0 6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

0 7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

0 8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

0 9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

0 10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

0 11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

0 12 1.737,19 11,10 1.726,08 0

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo

en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.

Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago

300.000 – 100.000 = 200.000

000.200000.100000.300 =−  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

05,0

05,011000.200

8

 A  

 A = 30.944,36

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

05,0

105,0136,944.30

5

F   

F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]

0,05

F = 170.987,13

M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000

D comprador = 215.730.83

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de 9.500 dólares se pagaría la

adquisición de un terreno que cuesta 29.540 dólares si se carga una tasa anual de

34% capitalizable mensualmente?

Conversión de la tasa

( )si+=⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ + 1

12

36,01

6

 

Interés semestral = 0,1825

( )

⎥⎦

⎢⎣

⎡ +−=

1825,0

1825,011

500.9540.29

n

 

ln 0,4325 = - n ln(1,1825)

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta

Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a

crédito de un automóvil que cuesta 48.000 euros y se vende con un enganche de 45%

y el resto a pagar en mensualidades vencidas de 1.254,75 euros con interés al 39%

capitalizable mensualmente.

Enganche: 21.600 euros

Quedan: 26.400 euros

12

39,0=i  

i = 0,0325

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

0325,0

0325,01175,254.1400.26

n

 

n = 36 mensualidades Respuesta

7/15/2019 MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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10. Problemas de Fondo de Amortización

Formulas para anualidades diferidas

( )⎥

⎤⎢

⎡ −+=

i

i AF 

n11

Valor Futuro

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

i

i AP

n11

Valor Presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

10.1 Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable

semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.

03,02

06,0=  

( ) 39,319.5703,0

103,01000.5

10

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=F   

Fecha Periodo Cuota Interés Valor 

agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 5.000 0 5.000 5.000

0 2 5.000 150 5.150 10.150

0 3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

0 4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

0 5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

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0 6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

0 7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

0 8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

0 9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

0 10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39

Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales

en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%.

Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.80

5

 A  

 A = 14.191,71 Primeros dos años

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= 06,0

106,0171,191.14

2

F   

F = 29.234,92

M = 29.234,92 (1+ 0,07) 3 = 35.814,04

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

07,0

107,0195,185.44

3

 A  

11,744.13= A Los tres últimos años

Fecha Periodo Cuota Interés Valor 

agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

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0 1 14.191,71 0 14.191,71 14.191,71

0 2 14.191,71 851,502 15.043,21 29.234.92

0 3 13.744,11 2.046,44 15.790,56 45.025,48

0 4 13.744,11 3.151,78 16.895,89 61.921,38

0 5 13.744,11 4.334,49 18.078,61 80.000

Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el

8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y

que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

000.16008,0000.000.2 =⋅  

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

06,0

106,01000.000.2

10

 A  

 A = 151.735,92 depósitos anuales

151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual

Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25

años una deuda de $100.000.

( )

⎥⎦

⎢⎣

⎡ −+=

07,0

107,01

000.100

25

 A  

 A = 1.518,05 depósitos anuales

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Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para

pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál

sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que

rinde el 26% convertible mensualmente?

( ) ( ) 66

612

126,01 bimestrali+=+  

i = 0,04380

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

04380,0

104380,01000.29

6

 A  

 A = 4330,4922 Respuesta.

Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000

contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral

capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos

quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual

efectivo.

( ) 2424

2412

.1)0279,01( qe+=+  

Efectiva quincenal = 0,0134

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

0134,0

10134,0196,872.16

6

 A  

 A = 2719,34677 Respuesta.

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Fecha Periodo Cuota Interés Valor 

agregado al

fondo

Saldo

0 0 0 0 0 0

0 1 2.719,34 0 2.719,34 2.719,34

0 2 2.719,34 36,46 2.755,81 5.475.16

0 3 2.719,34 73,42 2.792,76 8267,92

0 4 2.719,34 110,87 2.830,22 11.098,14

0 5 2.719,34 148,82 2.868,17 13.966,32

0 6 2.719,34 187,28 2.906,63 16.872,96

IV EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIOS INTERES SIMPLE

Nº 1.- Se tienen dos capitales que suman $1.500.000. Se colocan a tasas diferentes y

la diferencia de las tasas es de 0,04. Los intereses que se obtienen al cabo de un año

son de $110.000. Si el primer capital se hubiera colocado a la tasa del segundo y

viceversa, los intereses obtenidos serían de $130.000.

Determine los capitales y las tasas.

R: P 1 = $500.000, P 2 =$1.000.000, i 1=0.1, i 2 =0.06

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Nº 2.- Una persona adeuda $500.000 que debe liquidar dentro de 8 meses y que ya

incluye los intereses, y $400.000 contratados hoy al 51 % para pagar dentro de seis

meses.

Si decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y otro

dentro de un año, y la operación se calcula al 55%, ¿cuál será el importe de esos dos

pagos iguales?

a) Resuelva el problema utilizando la fecha para realizar los cálculos (Fecha Focal)

la del primer pago.

b) Haga los mismos usando la fecha del segundo pago.

R: a) $594.910,49, b) $588.868,52

Nº 3.- Colocamos $3.000.000 al 52% anual de interés simple. A los cuatro meses la

tasa de interés baja al 36% anual, por lo cual decidimos retirar $1.000.000 de capital.

Determine el monto que retiraremos 14 meses después de haber efectuado la

colocación.

R: $3.120.000

Nº 4.- Dos capitales iguales se colocaron a interés simple. El primero al 45% anual

durante 5 meses y el segundo al 32% anual durante 9 meses. Determine la cantidad

de cada capital invertido si los montos recibidos de los dos capitales suman8.496.250.

R: $3.500.000

Nº 5.- .Disponemos de 6.000.000 de euros para invertirlos en tres negocios a interés

simple. El primero de ellos devenga intereses a una tasa de 36% anual; el segundo

gana intereses al 30% anual; y el tercero a una tasa de 45% anual.

¿ Qué cantidad debe colocarse en cada uno de los tres negocios, si se desea que

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cada uno de ellos gane al año los mismos intereses?.

R: P 1 =$2.000.000, P 2 =$2.400.000, P 3 =$1.600.00

Nº 6.- Una persona deposita $100.000 en una cuenta que paga 30% de interés anual.

Transcurrido un mes retira $ 20.000 y dos meses después retira $30.000.

a) Elabore el diagrama temporal

b) Halle el saldo disponible a los seis meses contados a partir de la fecha del

depósito.

R: $60.250

Nº 7.- Elabore el diagrama temporal para una deuda que dentro de un año es de

$6.000.000. La tasa de interés simple aplicada a la operación es de 30% anual y se

quiere cancelar así: un pago de $4.000.000 a los seis meses y el saldo a un año.

Calcule el monto del último

pago. R:

$1.400.000

Nº 8.- Hoy se cumplen dos meses de que una persona consiguió un préstamo por 

$750.000 con un recargo del 45 % anual y vencimiento a cinco meses. Hace cuatro

meses, la misma persona, firmó un pagaré con un valor nominal de $1.500.000 a un

plazo de seis meses e intereses del 24 % anual.

Hoy hace un abono de $1.200.000 y acuerda con el banco liquidar su deuda con otro

pago dentro de cuatro meses y con recargos del 40 %. ¿Por cuánto será ese pago?

Use como fecha focal:

El día de hoy b) El día del pago

R:

$1.188.365; $1.160.312

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Nº 9. Una persona tiene dos capitales que ha colocado durante el mismo tiempo, el

primero le produce el 7 % de interés simple anual y el segundo el 10 % de interés

simple anual. El primero produce de intereses $ 1.000, el segundo que excede al

primero en $ 1.000 le produce en intereses $ 2.000. Halle:

a) Tiempo de colocación b) Valor de cada capital

R: 68,5 meses; $3.500 y $2.500

Nº 10. Una persona coloca su fortuna al 8 % anual, un año después retira la cuarta

parte del capital inicial y deja el resto producir intereses durante cuatro meses,

después de este tiempo retira una cuarta parte del capital inicial que quedaba

entonces colocado y deja el capital restante durante ocho meses más.

El total de intereses ha subido a $ 10.000. ¿Cuál era el capital inicial?

R: $76.923

Nº 11.- Se coloca un capital al 19% anual de interés simple. Cuando termina el primer 

año, se recogen los intereses y se retira del capital un monto equivalente a 7/3 de los

intereses. Al finalizar el segundo año, se vuelven a retirar los intereses y se retira del

capital un monto equivalente a 13/6 de los intereses. De este modo se logra que el

capital disminuya en 268.997,77. Hallar el capital inicial colocado.

R: $400.000

Nº 12.- Se colocan $4.000.000 a interés simple durante 3 años. El primer año a una

tasa de 24% anual y en los dos siguientes al 36% anual. Al final del mes 10 se retira

del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes ocho y al final del segundo

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año se deposita una cantidad igual al 75% del monto acumulado al final del mes 16.

Calcular el monto acumulado al final de los tres años.

INTERES SIMPLE

Problema Nº 1.-

Calcular el interés que ganará un capital de 5.000.000 euros, colocado a una tasa del

36 % anual de interés simple durante un año y siete meses.

Solución: 2.850.000 euros

Problema Nº 2.-

Calcular la tasa de interés simple trimestral a la que debe colocarse un capital de

1.000.000 de dólares durante 9 meses para que produzca 240.000 dólares de

intereses

Solución: 8%

Problema Nº 3.-

¿Durante cuantos semestres debe colocarse un capital de 1.200.000 euros para que

a una tasa de 15% semestral de interés simple devengue . 540.000 euros deintereses?

Solución: 3 semestres

Problema Nº 4.-

¿Qué cantidad debe colocarse durante 5 cuatrimestres, a una tasa de 27% anual de

interés simple, para que pueda reunirse un capital final de 5.800.000 euros

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Solución: 4.000.000 euros

Problema Nº 5.-

Dos capitales iguales se colocan a interés simple durante 7 meses; el primero al 30%

anual y el segundo al 18% anual. Calcular el valor de los capitales iniciales si los

montos recibidos al final de los 7 meses suman 5.700.000 dólares

Solución: 2.500.000 dólares

Problema Nº 6.-

Un inversionista coloca el 20% de su capital al 25% anual de interés simple; el 50% al

12% anual y el 30% al 10% anual. Al cabo de un año, el interés devengado por el

inversionista es de 700.000 dólares. Calcular la cantidad de dinero que el

inversionista colocó en cada operación.

Solución: 1.000.000; 2.500.000; 1.500.000 dólares

Problema Nº 7.-

Se invierte un capital al 30% anual de interés simple. Transcurridos dos años y tres

meses se retira la mitad del capital invertido. Ocho meses más tarde se retira una

cantidad de dinero equivalente a la cuarta parte del capital invertido inicialmente.

Después de 10 meses contados a partir del último retiro comprobamos que el total de

intereses ganados asciende a 50.250.000 euros. Calcular el capital invertido

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inicialmente.

Solución: 60.000.000 euros

Problema Nº 8.-

Se colocó un capital a interés simple durante dos años. El primer año al 24% anual y

el segundo año al 36% anual. A los 7 meses se aportó una cantidad de dinero igual a

los intereses ganados hasta esa fecha. El monto al final de los dos años es de

3.157.700 dólares. Calcular el capital inicial.

Solución: 1.750.000 dólares

Problema Nº 9.-

Se invierten $6.000.000 al 14% de interés simple durante 3 años y 6 meses para

pagar una deuda que vence al final de ese mismo lapso. Cuando han transcurrido 18

meses la tasa de interés disminuye a 11% anual. Calcular el depósito adicional que

debe hacerse para cumplir con la obligación en el tiempo convenido.

Solución: $295.081,96

Problema Nº 10.-

Para reunir $2.700.000 en un plazo de 48 meses hace el depósito necesario en un

instituto financiero que paga el 20% anual de interés simple. Al solicitar la cantidad

ahorra al final de los 48 meses, recibo $2.600.000. Al preguntar la causa me

contestan que a partir de cierto momento la tasa disminuye a 12% anual de interés

simple y 6 meses antes de vencerse el plazo, la tasa volvió a su valor inicial de 20%

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anual. Calcular en cuáles meses se aplicó la tasa de 12% anual.

Solución: Entre el mes 32 y el mes 42

Problema Nº 11.-

Se coloca $5.000.000 a interés simple durante 6 años. En los dos primeros años a

una tasa de 24% anual; en el tercer año al 36% anual y en los tres últimos años al

33% anual. A los 18 meses se realiza un aporte de capital igual al monto acumulado

hasta finales del mes 9 y al término del quinto año se efectúa un retiro de capital igual

a los intereses ganados hasta el final del cuarto año. Calcular el monto acumulado al

final de los 5 años.

Solución: $14.586.430

Problema Nº 12.-

Se coloca un capital a interés simple durante 3 años a una tasa de 24% anual. Al final

del mes 10 se retira del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes seis y

al final del segundo año se deposita una cantidad igual al 25% del monto acumulado

al final del mes 15. Al final de los tres años el monto acumulado es de $6.034.020.

Calcular el capital invertido.

Solución: $3.000.000

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Problema Nº 13.-

Se colocaron $ 5.000.000 a interés simple durante dos años. El primer año al 24%

anual y el segundo año al 30% anual. A los 15 meses se retiró una cantidad de

dinero igual al 10% del monto acumulado hasta los seis primeros meses. Calcular el

monto acumulado al final de los dos años.

Solución: $7.042.000

EJERCICIOS INTERES COMPUESTO

Nº 1.- Una persona pide prestada la cantidad de 800 euros. Cinco años despuésdevuelve 1.020 euros. Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si

el interés es:

a) Simple

b) Capitalizado anualmente

c) Capitalizado trimestralmente

d) Compuesto mensualmente R: a)

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5,5%, b) 4,979%, c) 4,889%, d) 4,869%

Nº 2.- Una letra de $17.000 que vence en 10 años, es ofrecida por $10.000. Estando

el dinero al 6% efectivo anual, ¿cuál será la utilidad o pérdida que se puede producir 

en la compra de la letra?

R: -$507,29

Nº 3.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse, si el interés a

que está invertida es el 6% nominal anual compuesto cada cuatro meses?

R: 27,09 años

Nº 4.- Un capital de $10.000 se acumula durante 30 años. El interés durante los

primeros 10 años es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6% y los

últimos 10 años del 7%. ¿Qué capital tendrá al finalizar el tiempo?

R: 57.383,83

Nº 5.- Al comprar una persona un terreno, tiene las siguientes opciones:

a) 5.000 dólares de contado y 25.000 dólares dentro de cinco años, o

b) $25.000 de contado.

Si el dinero puede invertirse al 6% anual capitalizado trimestralmente, ¿cuál de lasopciones es más ventajosa?

R: La primera por 1.438,24 dólares

N °6.- Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la

cantidad de 5.000 dólares. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto

trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del

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depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad

tendrá cada uno cuando cumplan 21 años?

R: 5.879,48 y 2.280,55 dólares

Nº 7.- Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con

un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de

edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compañía por la

muerte de su asegurado es de 100.000 dólares. El interés que abona la empresa

aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal

anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las

edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21

años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una?

R: 54.132,11 dólares

Nº 8.- Usted compra una póliza de vida con un valor de 25.000 dólares y paga por ella

una prima única de 15.000 dólares. Si usted no se muere antes, la compañía le

pagará dentro de 20 años la cantidad de 25.000 dólares. ¿A qué interés nominal anual

compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para

realizar una utilidad de 2.000 dólares en la póliza, si los gastos que ésta le ocasiona

son de 500dólares ?.R: 3,06%

Nº 9.- ¿Cuál será el monto final acumulado en una cuenta que paga el 29% anual

compuesto mensualmente, si usted realiza depósitos anuales de 100.000 dólares al

final de cada uno de los próximos tres años, abriendo su cuenta con la misma

cantidad hoy?.

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R: 646.793,106 dólares

Nº 10.- ¿Cuánto dinero tendré que depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga

el 25% nominal anual capitalizado mensualmente, para poder hacer retiros de

200.000 euros al final de los próximos cuatro años, quedando en la cuenta 100.000

euros una vez transcurridos los cuatro años?.

R: 484.799,328 euros

Nº 11.- Una persona coloca el 60% de su capital a razón del 18% anual capitalizable

semestralmente durante 15 años y el resto a razón del 20% nominal anual

capitalizable trimestralmente durante 15 años. Si se conoce que el total de intereses

devengados durante el segundo quinquenio fue de 750.000 dólares , determine:

a) Capital inicial para cada inversión.

b) El monto total acumulado a l finalizar el décimo año.

R: a) 202.872,42, b) 1.253.476,04

Nº 12.- Se invierten 250.000 euros a una determinada tasa anual capitalizable

semestralmente para que al transcurrir 12 años se obtenga como capital final

1.012.233,36 euros. Si al final de cada trienio a lo largo de toda la operación

financiera la tasa anual se reduce en 1%, determine las cantidades adicionales

iguales a ser colocadas al final de los años 6 y 10 para seguir disponiendo del mismo

capital final original.

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R: 54.087,78 euros

Nº 13.- Un inversionista coloca dos capitales en un banco. Uno de ellos al 24% anual

con capitalización cuatrimestral y el otro al 24% anual con capitalización trimestral. Al

transcurrir 12 años los montos de los dos capitales son iguales. Además se conoce

que la diferencia de los intereses ganados en el segundo año por los dos capitales es

de 1.538,576 dólares. Determine la cantidad de dinero que recibirá el inversionista al

final de los 12 años.

R: 5.588.976,28 dólares

Nº 14.- Un Banco presta a un cierto tipo de interés compuesto. Sabiendo que si se

cancela un préstamo a los cuatro años, la cantidad a cancelar es un 21 % superior a

la cantidad necesaria para cancelar el mismo préstamo a los dos años, ¿cuál sería el

tipo de interés nominal para pagos de frecuencia trimestral?.

R: 9,64 % nominal anual

Nº 15.- Se invierte un capital a razón de 36 % nominal anual capitalizado

cuatrimestralmente. Si se conoce que los intereses ganados durante un cierto año

son de $500.000, determine el capital al final de ese año.

R: $ 1.734.872,80

Nº16. Una persona deposita 20.000 euros en un Banco que abona el 6% de interés

compuesto anualmente. Si desde el fin del primer año hasta el fin del cuarto año retira

cada vez 1/5 de los intereses devengados en cada uno de esos años. Determine el

monto acumulado al final del año 9.

R: 32.285,28 euros

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Nº 17.- Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20 % anual

capitalizado semestralmente, por los siguientes 4 meses a 30 % anual capitalizado

mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27 % anual capitalizado

cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses más a una tasa de 24 % anual

capitalizado trimestralmente.

El monto al término de la operación fue de 4.049.457,10 euros. Determine el capital

inicial y la tasa efectiva anual de la operación.

R: P=2.000.000 euros; tasa efectiva anual = 26,5 %

Nº 18.- En una institución financiera se colocan 100.000 dólares al 30% nominal

anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se

retiraron 200.000 y 500.000 dólares respectivamente. Si la tasa de interés

disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del

séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del

año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr 

reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.

R: 12.552.332,12 dólares

Nº 19.- Un deudor conviene en tomar prestados 1.000 dólares y en pagar por anticipado el 10%, devolviendo al cabo del primer mes los 1.000 dólares Si no lo

hace, puede renovar el préstamo mediante el pago de otros 100 dólares. El préstamo

se renueva mensualmente hasta que al fin del año cancela los 1.000 dólares ¿Cuál es

la tasa nominal anual y la tasa efectiva de interés para el acreedor si se considera

capitalización mensual?.

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R: tn = 133,33%; te = 253,65%

Nº 20.- ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?

a) 90.000 dólares de contado.

b) $40.000 dólares de contado y el saldo en tres pagarés iguales de 20.000 dólares

cada uno a uno, dos y tres años de plazo, si el rendimiento del dinero es del 8%

capitalizable semestralmente.

R: b) superior por 1.393,50 dólares

Nº 21.- ¿A qué tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagarés de

$11.000 cada uno, con vencimiento a uno y dos años respectivamente?

R: 6,6 %

Nº 22.- Se coloca un capital de $1.000.000 en una cuenta por espacio de 18 meses a

razón del 40% nominal anual con capitalización mensual. Al observar hoy el saldo

final, 18 meses después, nos damos cuenta de que hay $99.993,89 de menos, y al

preguntar al banco al respecto nos informa que la diferencia proviene de dos

conceptos. Primero, a finales del mes tres fueron retirados erróneamente $100.000 de

nuestra cuenta, los cuales fueron reintegrados tres meses más tarde y segundo, latasa de interés fue disminuida a partir de finales del mes seis. Averiguar cuál fue la

nueva tasa de interés y cuánto debemos solicitarle al banco de reintegro hoy, por 

habernos debitado y acreditado la misma suma en dos fechas

distintas.

R: 35% y $14.595,69

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Nº 23.- Se invierte una cantidad de $500.000 durante tres años a una tasa de 60%

nominal anual capitalizable mensualmente. Al final de cada año se retiran los

intereses; el 55% de ellos se invierten a una tasa de 68,02% nominal anual con

frecuencia semestral, y el resto a una tasa de 58,548% nominal anual capitalizado

trimestralmente. Determine la tasa efectiva anual de la

operación.

R: 78,43 %

Nº 24.- ¿A qué tasa efectiva, un pago único de 1.500 dólares hecho hoy es

equivalente a dos pagos de 800 dólares cada uno hechos a 1 y 2 años

respectivamente. R: 4,41

%

INTERES COMPUESTO

Problema Nº 1:

Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa de 36% minina anualcon capitalización mensual.

Solución: 42,576%

Problema Nº 2:

Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa efectiva trimestral de

8%.

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Solución: 36,05%

Problema Nº 3:

Calcular la tasa efectiva mensual que es equivalente a una tasa efectiva semestral de

15%.

Solución: 2,3576%

Problema Nº 4:

Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa de 24% nominal anual

con capitalización trimestral.

Solución: 26,82%

Problema Nº 5.-

Calcular la tasa efectiva bimestral que es equivalente a una tasa efectiva cuatrimestral

de 15%.

Solución: 7,238 %

Problema Nº 6.-

Calcular el monto final de 4 años de un capital de $5.000.000 colocado a una tasa de

interés de 36 % nominal anual capitalizable mensualmente.Solución: $20.661.259,39

Problema Nº 7.-

Calcular la tasa nominal anual con capitalización trimestral que es equivalente a un

tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual.

Solución: 37,09%

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Problema Nº 8.-

Calcular la tasa nominal anual con capitalización bimestral que es equivalente a una

tasa efectiva anual de 28%.

Solución: 25,20%

Problema Nº 9.-

Calcular el capital que será necesario colocar a una tasa de interés de 20 % nominal

anual capitalizable trimestralmente para reunir $10.000.000 en dos años.

Solución: $6.768.393,62

Problema Nº 10.-

Un capital de $3.000.000 se coloca al 24% nominal anual con capitalización trimestral

durante 5 años. Al finalizar el segundo año la tasa de interés se aumenta a 30%

nominal anual con capitalización mensual. Calcular el monto al final de los 5 años.

Solución: $11.631.275,18

Problema Nº 11.-

Una persona recibe un préstamo de $24.000.000 que cancelará en cuatro pagos dela siguiente manera: $10.000.000 dentro de dos meses;

$ 8.000.000 dentro de 6 meses; $ 2.000.000 dentro de diez meses y el resto dentro

de un año. La tasa de interés es de 24% nominal anual con capitalización mensual.

Calcular el valor del último pago.

Solución: $7.157.759,52

Problema Nº 12.-

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Se coloca $1.000.000 al 12% anual de interés compuesto. Calcular la cantidad que

deberá depositarse a finalizar el sexto año para que en los años 21, 22 y 23 pueda

retirarse al final de cada año $4.000.000, $5.000.000 y $ 6.000.000 respectivamente.

Solución: $446.436,60

Problema Nº 13.-

Hace cinco años contraje la primera de 3 deudas en años consecutivos, por 

$1.000.000, $1.5001.000 y $1.800.000, al 15%, 18% y 20% efectivo anual para

cancelarlas en 10, 8 y 12 años respectivamente. Hoy puedo hacer una inversión al

24% anual para cancelar las deudas en el tiempo previsto. Calcular el valor de la

inversión.

Solución: $6.080.358,38

Problema Nº 14.-

Un capital de $1.000.000 se coloca a la tasa de 24% nominal anual de capitalización

trimestral durante los primeros 4 años y a la tasa efectiva de 19,25% anual durante los

siguientes seis años. ¿Qué cantidad de dinero se debe depositar a finales del sexto

año para poder retirar exactamente . $5.000.000 y $ 8.000.000 a finales de los años

8 y 10 respectivamente.

Solución: 3.859.208,74

Problema Nº 15.-

Un capital de $1.000.000 se coloca a la tasa de 24% nominal anual de capitalización

trimestral durante 8 meses y a la tasa efectiva de 19.25% anual durante los siguientes

10 meses.

¿Qué cantidad de dinero se debe depositar a finales del primer año para poder retirar 

exactamente $2.000.000 y $800.000 en los meses 15 y 18 respectivamente.

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Solución: 1.407.906,43

Problema Nº 16.-

Se coloca una cantidad de dinero a una tasa efectiva de 3 % mensual para cancelar 

tres obligaciones por $2.000.000, $3.000.000 y $4.000.000 que vencerán en los

meses 6, 9 y 14 respectivamente. En el mes 12 se retiran . $1.500.000 y aun así se

puede cancelar la tercera obligación sin que sobre ninguna cantidad de dinero.

Calcular la cantidad colocada inicialmente.

Solución: $7.670.759,75

Problema Nº 17.-

Un inversionista coloca un capital a una tasa de 18% nominal anual capitalizable

semestralmente durante 12 años. Si el total de intereses devengados entre el final del

año 5 y el final del año 10 es de $16.185.235,47, calcular el capital al final de los 12

años.

Solución: $39.555.415,87

Problema Nº 18.-

Se coloca $1.000.000 al 30 % nominal anual capitalizable mensualmente para reunir un capital a los 20 años. Si la tasa cambia a 24% anual capitalizable trimestralmente a

partir de finales del séptimo año, calcular la cantidad que debe depositarse al término

del año 14 para reunir el mismo capital al final del año 20.

Solución: $83.066.404

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Problema Nº 19.-

Dos capitales que suman $9.000.000 se colocaran a una tasa de 12% efectivo anual.

El primer capital por 10 años y el segundo capital por 5 años. Los intereses

producidos por las dos colocaciones fueron iguales. Calcular el valor de los dos

capitales.

Solución: $2.392.127,80 y $6.607.872,20

Problema Nº 20.-

Se coloca $1.000.00 al 1% efectivo mensual. Al finalizar el quinto año se retiró cierta

cantidad de dinero. Al término del séptimo año se retiraran $200.000. Al final de los

años 9, 10 y 11 se depositaran $100.000, $120.000 y $150.000 respectivamente.

Calcular la cantidad retirada el quinto año si el monto al finalizar el año 20 fue de

$2.000.000 y la tasa al comienzo del décimo año aumentó a 15% nominal anual con

capitalización semestral.

Solución: $1.602.631,24

Problema Nº 21.-

Se coloca una cantidad de dinero hoy a una tasa de 28% nominal anual concapitalización trimestral para reunir $10.000.000 dentro de 5 años. Sin embargo

desde el mes 15 hasta el mes 24, ambos inclusive, se retiraran los intereses

ganados en esos meses y a finales del mes 40 se efectuó un depósito igual a los

intereses ganados en los 7 meses anteriores. ¿Que cantidad debe depositarse al

final del mes 50 para alcanzar el objetivo de reunir los $10.000.000 al término del año

5?

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Solución: $514.703,15

Problema Nº 22.-

Se colocan hoy $20.000.000 en una institución financiera, a una tasa efectiva de

32% anual, para cancelar una deuda que vence dentro de 34 meses. El deudor se

propone hacer ajustes inmediatos (depósitos o retiros) cuando se modifique la tasa

de interés de la colocación, a fin de cancelar la deuda en la fecha prevista. Al final del

mes 14 la tasa de interés bajó a 20% nominal anual capitalizable trimestralmente y al

final del mes 29 la tasa aumentó a 27% efectiva anual. Calcular le valor de los dos

ajustes.

Solución: $733.160,14

Problema Nº 23.-

Una persona deposita hoy en una institución financiera una determinada cantidad

de dinero a una tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual, para cancelar 

dos deudas por $50.000.000 y $70.000.000 que vence a finales de los meses 18 y

26 respectivamente. Al comienzo del segundo año, la tasa que paga la institución

financiera disminuye a 21% efectivo anual y al término del mes 16 el deudor realiza un

depósito de $5.000.000 en el mismo fondo. Al momento de cancelar la primera

deuda, el deudor decide depositar en el fondo la cantidad que le falta para cancelar exactamente la segunda deuda que vence al final del mes 26. Calcular el valor de

este depósito.

Solución: $9.529.998

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EJERCICIOS DESCUENTO

Nº 1.- Si un banco desea ganar 65% anual en el descuento racional de documentos,

¿qué tasa de descuento comercial debe utilizar si el plazo es de :

a) 3 meses

b) 9 meses.

R: a) 55,91%, b) 43,69%

Nº 2.- El banco M descuenta a un cliente al 60% anual, un pagaré con valor nominal

de $2.500.000 que vence en 60 días. Ese mismo día el banco M descuenta al banco

H ese mismo documento al 53%. ¿Cuál fue la utilidad del banco M? (Suponga que

ambos descuentos son comerciales).

R: $29.166,67

Nº 3.- El señor A le debe al señor B la cantidad de $5.000.000. Este acepta como

pago un documento a 90 días. Si el señor B puede descontar este documento de

inmediato en un banco que aplica un tipo de descuento racional del 50% anual. ¿Cuál

debe ser el valor nominal del documento para que el señor B reciba del banco hoy

$5.000.000?R: $5.625.000

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Nº 4.- Una persona firma una letra por $385.000 con vencimiento en 6 meses. A esta

persona se le entrega el valor actual de dicha letra aplicando un descuento comercial

del 25% anual. Sin embargo, una vez transcurridos 2 meses descontamos esta letra a

una tasa del 20% anual de descuento racional. Determine la ganancia o pérdida en la

operación y la tasa anual de interés simple de toda la operación.

R: $24.062,50, 42,86%

Nº 5.- Un documento que vence en 120 días tiene un valor actual de $1.000.000 y

paga un interés de 24% anual de interés simple al vencimiento.

a) Si un comprador lo adquiere 30 días antes de su vencimiento por $1.050.000,

¿cuál es la tasa anual de descuento comercial aplicada?

b) ¿Qué tasa anual de interés simple obtiene?

R: a) 33,33%, b) 34,29%

Nº 6.- A una persona se le vence hoy un pagaré por $1.200.000, dentro de 30 días

se le vence otro pagaré por $1.000.000. Sesenta días después del vencimiento del

primer pagaré, conviene pagar a su acreedor $1.500.000 y recoger los dos pagarés

firmados reemplazándolos por uno solo a 90 días, contados a partir de ese momento,

Si la tasa de interés simple acordada es de 9 % mensual, determine el pagoconvenido usando como fecha focal el momento del acuerdo.

R: $1.277.620

Nº 7. Una compañía desea obtener un préstamo que hoy sea de $1.000.000 y firmar 

por el un pagaré con vencimiento a 6 meses. Para ello se dirige a dos bancos de los

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cuales recibe las siguientes proposiciones:

Banco A: Tasa de descuento comercial del 10 % anual más una comisión del 5 %

sobre los primeros $500.000 y el 1 % sobre el resto del valor nominal.

Banco B: Tasa de descuento comercial del 9% anual mas una comisión del

7 % sobre los primeros $500.000 y ½ % sobre el resto del valor nominal.

¿Cuál es el banco que más le conviene a la compañía?

R: Banco A

Nº 8. Una empresa firma un documento de crédito a noventa días, cuyo valor al

vencimiento es de 198.900 dólares. A los 15 días lo descuenta comercialmente al 38%

anual en el banco A. Un mes más tarde, el banco A lo redescuenta comercialmente en

el banco B al 39% anual. Determine la tasa de interés simple anual que gana el

banco A y la tasa de interés simple anual que gana el banco B. ¿Cuál es la tasa de

interés simple que paga la empresa?

R: 39,64% / 41% / 34,39%

Nº 9.- Un inversionista realiza las siguientes operaciones durante un año:

a) Durante los tres primeros meses coloca un capital de $3.000.000 en un FAL al

37% nominal anual con capitalización diaria (360).

b) Con el capital final compra un giro que vencerá dentro de cuatro meses, que lerinde 39% anual de interés simple.

c) A los dos meses descuenta el giro al 42% de descuento comercial.

d) Los fondos obtenidos al descontar el giro los invierte en un depósito a plazo fijo al

40% anual capitalizable mensualmente.

e) ¿Cuál es la tasa efectiva de toda la operación?

R: 45%

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Nº 10.- Calcule el rendimiento anual obtenido al adquirir una letra del Tesoro al 95 %

de su valor nominal, cuando faltan 270 días para su vencimiento, sabiendo que en

este tipo de operaciones se utiliza el descuento racional.

R: 7,02 %

Nº 11.- Un documento que vence en 120 días tiene un valor actual de Bs. 1 MM y

paga un interés de 24 % anual simple al vencimiento.

a) Si un comprador lo adquiere 30 días antes de su vencimiento por 1.050.000,

¿cuál es la tasa de descuento comercial anual aplicada?

b) ¿Qué tasa de interés anual simple obtiene?

R: 33,33 %; 34,29 %

Nº 12.- Se adquiere una letra cuyo valor nominal es de $300.000 con vencimiento en

10 meses; descontada a una tasa de descuento comercial del 30 % anual.

Transcurridos 3 meses se descuenta esta letra a una tasa de descuento racional de

28 % anual. El dinero obtenido se coloca en una cuenta en un banco cuyo saldo en

ese momento es de $500.000 a una tasa nominal de 38 % anual con capitalización

mensual. Cuatro meses mas tarde con el dinero de esa cuenta se adquiere otra letra

con vencimiento en 9 meses y con un valor nominal de $961.443,80. Determine latasa de interés compuesto con capitalización mensual aplicada en la adquisición de

esta última letra.

Nº 13.- Un banco carga el 6 % de interés simple por adelantado en un préstamo a

corto plazo. Determine la cantidad recibida por una persona que solicita $1.500.000 a

60 días y la tasa de interés anual de la operación.

R: $.1.485.000 y 6,06 %

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Nº 14.- Se tienen 3 giros por 2.000, 5.000 y 7.000 dólares, que vencen a 30, 60 y 90

días respectivamente. Se quieren sustituir por un giro que venza a los 72 días.

Determine el valor nominal del nuevo giro si el descuento es racional al 6%

anual.

R: 14.000 dólares

Nº 15.- Se poseen dos pagarés de 4.000 y 8.000 dólares, con vencimiento a 3 y 5

años respectivamente y se les desea sustituir por dos pagos iguales con vencimiento

a 2 y 4 años. Suponiendo un interés del 5% capitalizable trimestralmente, halle el

valor de los pagos R: $5.527,32

Nº 16.- Se debe efectuar el pago de 10.000 dólares, dentro de 40 días y queremos

hacer un pago dentro de 20 días y otro dentro de 90 días. ¿Qué cantidad se debe

hacer efectiva en cada fecha si aplicamos una tasa de descuento comercial de 10 %

anual, y suponemos que 40 días es el vencimiento medio?

R: 7.159,22 y 2.840,78 dólares

Nº 17.- Deseamos sustituir un giro de 20.000 dólares, con vencimiento a 80 días por 

otros tres: uno de 3.000 dólares a 20 días, otro de 8.000 dólares a 45 días y un tercer 

giro que venza a 80 días. Calcule el valor del último giro, si la tasa de descuento

comercial es de 7 % anual.

R: 8.909,15 dólares

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Nº 18.- Un cliente nos debe 80.000 dólares, que vencieron hace 5 meses, 125.000

dólares, con vencimiento en el día de hoy, 200.000 dólares que vencen en 14 meses y

235.000 dólares, con vencimiento en 18 meses. Para pagar su deuda este cliente

acepta una letra de cambio a 8 meses. A esta operación se le aplicó una tasa de 1,5%

efectivo mensual. Una vez transcurridos 4 meses se descuenta la letra a una tasa de

25% nominal anual con capitalización mensual. Determine la cantidad de dinero que

se recibe al descontar la letra.

R: 573.951,21

Nº 19.- Una persona tiene las siguientes obligaciones: 10.000 dólares dentro de 36

meses, 40.000 dólares dentro de 20 meses y un giro de 50.000 dólares, que venció

hace 17 meses. Hoy abona 20.000 dólares, mas el

25 % del valor actual de la deuda y pide al acreedor que emita dos letras de valores

nominales iguales que consoliden las deuda al cabo de 8 meses y 15 meses a partir 

de ahora.

¿Cuánto será el valor de los pagos requeridos si la tasa de interés es de 12%

efectivo anual con capitalización semestral?

R: 30.195,70 dólares

Nº 20.- Se tienen tres giros, uno vencido hace año y medio, otro de 10.000 euros quevence dentro de año y medio, y otro de 5.000 euros, con vencimiento dentro de 40

meses. Se reemplazan estas obligaciones por dos giros de 15.000 euros cada uno,

que vencen uno dentro de dos años y el otro dentro de 30 meses. Determine el valor 

del primer giro si el interés es:

a) 12 % anual con capitalización trimestral

b) 12 % efectivo anual con capitalización bimensual

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R: $9.427,00 y $9.612,25

Problema Nº 1.-

¿Cuál es el valor actual de un documento de crédito, cuatro meses antes de su

vencimiento, si su valor nominal es de $2.000.000 y se descuenta comercialmente a

una tasa de 39% anual?

R: $1.740.000

Problema Nº 2.-

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que se descuenta por $650.000, cinco meses

antes de su vencimiento, en un banco que aplica una tasa de 48% anual de

descuento comercial?

R: $812.500

Problema Nº 3.-

Un banco "A" descuenta un pagaré por $8.000.000 al 10% anual de descuento

comercial, 90 días antes de su vencimiento. Quince días después el banco "A" lo

redescuenta en otro banco "B" a una tasa de 9% anual de descuento comercial.

Calcular la utilidad del banco "A".

R: $50.000

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Problema Nº 4.-

Compramos una máquina por $5.400.000. Entregamos $2.400.000 de inicial y por el

resto firmamos dos letras de cambio del mismo valor nominal cada una para ser 

canceladas a 90 y 180 días respectivamente. Si se aplica a la operación una tasa de

12% anual de descuento comercial, calcular el valor nominal de cada letra.

R: $1.570.680

Problema Nº 5.-

Un comerciante vende una mercancía y recibe una letra de cambio con un valor 

nominal de $1.000.000 y vencimiento en 4 meses. La letra produce intereses simples

a razón de 18% anual. Un mes después el comerciante descuenta la letra en un

banco que aplica una tasa de descuento comercial de 24% anual. Calcular la tasa de

interés simple que gana el banco.

R: 25,53%

Problema Nº 6.-

Una letra de cambio con vencimiento en 9 meses se adquiere a una tasa de

descuento comercial de 20% anual. Transcurridos 6 meses se descuenta esta letra a

una tasa de 30% anual de descuento comercial. El dinero obtenido se coloca en un

banco a una tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual. Diez meses más

tarde, con el dinero que tiene esa cuenta se adquiere una letra de cambio, aplicando

una tasa de 48% anual de descuento comercial. Esta segunda letra tiene un valor 

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nominal de $12.000.000 y vence a los 15 meses. Calcular el valor nominal de la

primera letra.

R: $3.571.650

Problema Nº 7.-

Se adeudan tres letras a 30, 60 y 180 días. El valor nominal de la primera letra es

dos veces el valor nominal de la segunda letra y cuatro veces el valor nominal de la

tercera. Se propone sustituir estas tres letras por dos letras a 60 y 120 días

respectivamente, aplicando una tasa de 24% anual de descuento comercial. Si el

valor nominal de cada una de las dos letras propuestas es de $1.000.000, ¿cuál es el

valor nominal de cada una de las letras?

R: $1.119.047; $559.523; $279.761

Problema Nº 8.-

Se emiten tres letras con los montos y plazos que se describen a continuación: la

primera por $8.000.000 a 6 meses, la segunda por $5.000.000 a 9 meses y latercera por $6.000.000 a 10 meses. Transcurridos tres meses se decide sustituir estas

tres letras por una cancelación única de $18.000.000. La tasa es de 36% anual de

descuento comercial. Determinar el vencimiento común y el vencimiento medio de la

nueva obligación.

R: 3,48 meses; 5,05 meses

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Problema Nº 9.-

Se tiene un documento de crédito por 180.000 euros con vencimiento a 90 días que

gana intereses simples al 42% anual. A los 15 días es descontado comercialmente al

38% anual en el banco A. Un mes más tarde es redescontado comercialmente en el

banco B al 39% anual. Calcular la tasa anual de interés simple que gana el banco A y

la tasa anual de interés simple que gana el banco B.

R: 39,64%; 41%

Problema Nº 10.-

Se tienen las siguientes deudas: $350.000 con vencimiento a los 15 meses, $450.000

con vencimiento a los 36 meses y $550.000 con vencimiento a los 48 meses. Se

desea refinanciar estas deudas mediante tres pagos cada uno con 12 meses de

diferencia a partir de hoy, de tal forma que el primer pago sea la mitad del segundo y

el doble del tercero. Calcular el valor de cada pago asumiendo una tasa de descuento

de 36% de descuento racional.

R: $319.450; $638.901; $159.725

Problema Nº 11.-

Uno de nuestros clientes nos firma una letra por $3.850.000 con vencimiento en 6

meses. A este cliente se le entrega el valor actual de dicha letra aplicando una tasa de

descuento comercial de 25% anual. Una vez transcurridos dos meses descontamos

esa letra a una tasa de 20% anual de descuento racional. Calcular la ganancia o

pérdida obtenida en la operación.

R: $240.625

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EJERCICIOS DE RENTAS

Problema Nº 1.-

Se obtuvo un préstamo de $10.000.000 para cancelarlo mediante 16 cuotas

trimestrales a una tasa de 31.125 % nominal anual capitalizable semestralmente.

Calcular la cuota trimestral.

R: $1.093.911

Problema Nº 2.-

Obtenemos un préstamo de $5.000.000 a una tasa de 30% nominal anual con

capitalización mensual para cancelarlo en 24 mensualidades. Al pagar la décima

cuota, decidimos amortizar el saldo deudor. Calcular la cantidad que debemospagar.

R: $3.268.359

Problema Nº 3.-

Se obtiene un préstamo por $20.000.000 a una tasa de 36% nominal anual

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capitalizable mensualmente para cancelarlo en 24 cuotas mensuales y dos cuotas

anuales extraordinarias de $5.000.000 cada una. Calcular el valor de las cuotas

mensuales.

R: $828.637

Problema Nº 4.-

Un banco le concede un préstamo hipotecario de $50.000.000 para la compra de un

apartamento. El préstamo se cancelará en diez años en diez años mediante el pago

de cuotas mensuales de $500.000 y cuotas especiales que se pagarán al final de

cada año. La tasa afectiva de interés es de 2% mensual. Calcular el valor de las

cuotas anuales.

R: $8.079.465

Problema Nº 5.-

Con el fin de construir un fondo para nuestro retiro depositamos en una institución

financiera, al final de cada mes, la suma de $50.000 durante 20 años a una tasaefectiva de 1% mensual. Al final de los 20 años esperamos retirar de dicho fondo la

cantidad de $709.647 mensuales durante 10 años. Calcular la cantidad que

tendremos disponibles en el fondo luego de transcurridos 25 años contados a partir 

de hoy.

R: $31.902.211

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Problema Nº 6.-

Una Entidad de Ahorro y Préstamo ofrece un fideicomiso que consiste en depositar 

1.000 dólares mensuales, al principio de cada mes durante 20 años a cambio de

40.000.000 de dólares, pagaderos dentro de 20 años.

Una compañía de seguros ofrece un plan de jubilación con cuotas de 5.000 dólares

trimestrales durante 20 años y al cabo de 20 años entrega 55.000.000 de dólares

¿Cuál es la tasa de interés efectiva aplicada en cada caso?

R: 42,31% y 41,20%

Problema Nº 7.-

Un préstamo se debe cancelar en 5 años mediante cuotas mensuales. La tasa de

interés es de 24% nominal anual capitalizable mensualmente y el saldo por pagar 

al final del tercer año es de $8.161.727,53. Calcular la cuota mensual y la cantidad

prestada.R: $15.000.000

Problema Nº 8.-

Un inversionista coloca en un Banco 40.000 euros anuales, al final de cada año,

durante diez años al 28% efectivo anual. Calcule los intereses devengados en el

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segundo quinquenio.

R: $995.705

Problema Nº 9.-

Una empresa debe hacer 10 pagos trimestrales de $5.000.000 cada uno,

comenzando dentro de tres meses. La empresa decide cambiar este plan de pago por 

otro en el que hará 18 pagos mensuales vencidos. La tasa efectiva de interés es de

30% anual. Calcular el valor de los pagos mensuales

R: 2.410.475

Problema Nº 10.-

Dentro de siete años queremos comenzar a disfrutar de una renta vencida de 1.000

dólares, durante diez años. Para ello depositamos al final de cada mes, durante

cuatro años 1.000 dólares y efectuamos un depósito especial de 22.477,41 dólares.

Si la tasa de interés es del 6% anual con capitalización mensual, ¿en qué fecha debe

hacerse el depósito especial?R: a los 60 meses

Problema Nº 11.-

Se solicita un préstamo de $10.000.000 para cancelarlo en 5 años, mediante cuotas

mensuales y una cuota especial de $43.000.000 que será cancelada al final del quinto

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año. Si la tasa de interés es de 48% nominal anual de capitalización mensual, calcular 

el valor de las cuotas mensuales y la cantidad total de intereses pagados durante los

5 años.

R: $429.412,92 $18.764.774,95

Problema Nº 12.-

Con el fin de constituir un fondo para nuestro retiro depositamos al final de cada mes,

durante treinta años, la suma de 5.000 euros, en una cuenta que capitaliza sus

intereses mensualmente. A partir del final de los treinta años esperamos retirar de

dicha cuenta la suma de 150.000 euros mensuales por espacio de 20 años.

Determinar la cantidad que tendremos disponible en nuestro fondo luego de

transcurridos 40 años contados a partir de hoy. La operación se realiza a una tasa de

interés de 12% nominal anual de capitalización mensual.

R: 23.167.865,69 euros

Problema Nº 13.-

Se deposita una renta durante 15 años. Determine el valor final de la renta si se

depositan cuotas anuales vencidas de 10.000 euros, durante los primeros cinco años,cuotas anuales vencidas de 20.000 euros, durante los siguientes cinco años y cuotas

anuales vencidas de 30.000 euros, durante los últimos cinco años. Las respectivas

tasas de interés son 12% anual con capitalización mensual durante los cinco primeros

años, 8% anual con capitalización trimestral los cinco años siguientes y 6% anual con

capitalización semestral los cinco últimos años.

R:

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Problema Nº 14.-

Una empresa se endeuda con un banco por un monto de 50.000.000 dólares a una

tasa de 12% nominal anual con capitalización mensual. La empresa pagará cuotas

semestrales vendidas durante 15 años. Cuando han transcurrido 6 años, contados

desde el inicio de la operación, la empresa se ve obligada a renegociar el pago de su

deuda. El banco y la empresa acuerdan las siguientes condiciones a partir de ese

momento:

1) El banco concede tres años de gracia.

2) Se reduce la tasa de interés a 5% efectiva semestral.

3) Se aumenta el plazo a 20 años contadas desde el inicio de la operación.

Calcular el valor de la nueva cuota.

R: 4.004.168 dólares

Problema Nº 15.-

Se quiere reunir un capital de $20.000.000 dentro de 5 años mediante depósitos

constantes y vencidos realizados a finales de cada mes, a una tasa de 36%

nominal anual de capitalización mensual. A finales del año 3 la tasa disminuye a

26,824% efectivo anual y durante todo el año no se realizan depósitos. Calcular elvalor de los depósitos mensuales que deben hacerse durante el año 5 para reunir 

los $20.000.000 al finalizar el quinto año. .

R: $560.416,10

Problema Nº 16.-

Una caja de ahorros establece en sus estatutos que la tasa de interés mensual de los

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préstamos hipotecarios será de 18% nominal anual con capitalización mensual. Sin

embargo, si el socio se retira de la caja de ahorros la tasa de interés que se le

colocará sobre los saldos deudores será de 42,57% efectiva anual por el período

que falta para amortizar el préstamo. Uno de los socios obtuvo un préstamo de

$8.000.000 para cancelarlo en 10 años, mediante cuotas mensuales. El socio decide

retirarse de la caja de ahorros después de pagar la cuota 70. Calcular la nueva cuota

mensual que debe pagar.

R: $196.081

Problema Nº 17.-

Se desea recibir una renta mensual vencida de 100.000 dólares, durante 120 meses

dentro de 5 años, ¿qué renta anual anticipada se debe depositar durante 5 años a

partir de ahora a una tasa del 36% nominal anual con capitalización mensual?

R: 197.629,15 dólares

Problema Nº 18.-

Se desea recibir una renta trimestral vencida de $4.000.000 durante 15 años dentro

de 20 años, ¿qué renta mensual anticipada se debe depositar durante 20 años a partir de ahora a una tasa del 40% efectivo anual?

R: $1.498,40

Problema Nº 19.-

Encuentre la cuota de una renta anual anticipada, de valor final 10.000 dólares,

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durante 30 años si el banco paga 6% efectivo anual durante los 10 primeros años y

8% efectivo anual durante los 20 años restantes.

R: 87 dólares

Problema Nº 20.-

Una persona contrajo una deuda por 41.000.000 para cancelarla en 60

cuotas constantes, mensuales y vencidas a la tasa de 36% nominal anual con

capitalización mensual. Durante los primeros dos años los pagos se realizaron

mensualmente, pero en los siguientes 6 meses sólo se pagan los intereses

correspondientes. En los diez meses siguientes se continuó pagando la cuota

original del préstamo más 10.000 dólares adicionales cada mes, y al final de dicho

periodo se interrumpieron los pagos, durante 5 meses. Al término de este último

período, el deudor comenzó a pagar una nueva cuota para cancelar el préstamo en el

tiempo previsto. Calcular el valor de la nueva cuota.

R: 51.594 dólares

Problema Nº 21.-

Una empresa se endeuda con un banco por un monto de $5.000.000 a una tasa de

12% nominal anual capitalizable semestralmente. La empresa pagará cuotas

semestrales vencidas durante 15 años. Cuando han transcurrido 6 años contados

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desde el inicio de la operación, la empresa se ve obligada a renegociar el pago de su

deuda. El banco y la empresa acuerdan las siguientes condiciones a partir de ese

momento:

1) El banco concede tres años de gracia.

2) Se reduce la tasa de interés a 5% efectivo semestral

3) Se aumenta el plazo a 20 años, contados a partir del inicio de la operación

Se pide:

a.-) Hallar el valor de la nueva cuota

b.-) Calcular el total de interés pagados en cada una de las dos etapas de la

operación.

R: $400.416; $3.933.067

RENTAS VARIABLES

Problema Nº 22.-

Una maquinaria tiene un costo inicial de $1.000.000 y costo de mantenimiento anual

de $100.000 el primer año con un incremento del 25% anual durante 5 años, al final

del cual se vende por $200.000 (valor de salvamento).a) ¿Cuál es el valor presente de los costos a una tasa de 30% efectiva anual?

b) ¿Cuál es el costo mensual equivalente?

R:

$1.302.280 y $39.393

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Problema Nº 23.-

Un ingeniero estima que un grupo de pozos producirá petróleo durante 20 años. La

producción actual es de 3.000.000 de barriles a partir del primer año, disminuyendo

150.000 barriles por año. Se estima un precio de 18 dólares por barril los próximos 5

años y de 25 dólares por barril del sexto año en adelante. Calcule el valor presente

de la producción total con una tasa del 12%

R: 322,60 MM

Problema Nº 24.-

Un activo tiene ingresos anuales de $14.000.000 al final del primer año,

incrementándose $1.000.000 anual y costos de $8.000.000 al final del primer año,

incrementándose 20% anual. Si el activo está en funcionamiento mientras que el

ingreso supera al costo, calcule el valor futuro neto en el último año de operación conuna tasa de 10% anual. Grafique Ingreso y Costo en función del número de años

n.

R: 26.297 MM

Problema Nº 25.-

Para cancelar una deuda de 5.000 dólares, se efectúa un pago de 500 dólares al final

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del primer año, aumentando 500 dólares anuales hasta el cuarto año más una cuota

especial al final del quinto año. Halle el monto de la cuota especial si la tasa de interés

es de 8% efectivo anual. Si se ofrece como alternativa cancelar 2.000 dólares en el

5º año y cuatro cuotas iguales los años anteriores ¿cuáles serían estas?

R: 1.497,22 y 1.098,64 dólares

EJERCICIOS DE AMORTIZACION

Nº 1.-Una deuda de $5.000.000 se debe cancelar en 10 años por medio de cuotas

mensuales y de acuerdo al sistema de amortización progresiva. Si la tasa es de 30%

efectivo anual, calcule el balance al final del 5º año.

R: $3.938.870; $31.404; $87.743

Nº 2.- Una deuda de $4.000.000 se debe cancelar en 5 años por medio de cuotas

mensuales iguales, además de 5 cuotas especiales anuales de $500.000. Si la

tasa es de 48% nominal anual capitalizable mensualmente, calcule la cuota mensual

constante.

R: $143.529

Nº 3.- Una deuda de 100.000 dólares se debe cancelar en cuatro años con cuotas

anuales iguales. Si la tasa es de 10% efectiva anual, calcule

a) la cuota anual

b) la nueva cuota si al final del 2º año la tasa cambia al 15% efectiva anual

R: 31.547; 33.678 dólares

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Nº 4.- Una deuda puede ser cancelada por el método de amortización progresiva en

6 cuotas mensuales iguales y vencidas de $92.298,75. Si la tasa de interés aplicada

es del 3% efectivo mensual, ¿cuál es el monto de la deuda y el total de los intereses

pagados? Si la misma deuda fuese cancelada por el método de amortización

constante en 5 pagos mensuales vencidos, ¿cuál sería el total de los intereses

pagados? Haga el cuadro de amortización.

R: $500.000 y $53.793; $45.000

Nº 5.- Se solicita un préstamo de $6.000.000 a pagar en 24 cuotas mensuales

vencidas al 24% anual capitalizable mensualmente por el método de amortización

constante.

a) ¿Cuál es el saldo deudor y la cuota total al final del mes 12?

b) Si el segundo año la tasa baja al 18% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál

sería la cuota final?, calcule el valor presente de los intereses cancelados en los dos

años.

R: $3.000.000; $ 315.000; $253.750; $1.402.500

Nº 6.- Para cancelar un préstamo de 100.000 dólares, se pagan intereses del 12%

anual capitalizable mensualmente durante 12 meses y además se crea un fondo de

amortización mediante depósitos mensuales anticipados que generan intereses del

6% anual con capitalización mensual para obtener un monto final igual al principal de

la deuda. Construya el cuadro de amortización y halle la tasa real de toda la

operación.

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i= 20% efectiva anual

Nº 7.-Un préstamo de 15 MM es cancelado mediante cuotas mensuales vencidas de

533.597,49 euros, durante 10 años.

a) ¿Cuál es la tasa efectiva anual aplicada? ¿Cuál es el monto total de los intereses

pagados? Determine el balance de los intereses y la amortización al final del quinto

año.

b) Si el préstamo se cancela mediante cuotas de amortización mensuales y

constantes, ¿cuál es el valor actual de los intereses totales cancelados manteniendo

la tasa de interés?

c) Si se desea pagar anualmente sólo intereses y amortizar los 15 MM al final de los

10 años, se puede crear un fondo con depósitos semestrales anticipados que ganan

una tasa de interés de 36% anual con capitalización mensual. ¿Cuál sería el valor de

los depósitos semestrales? ¿Cuál es la tasa de interés de la operación?

51,11% anual; 49.031.698; 31.762.500; 72.268 euros

Tasa: 42,58%

Nº 8.- La caja de ahorros de una empresa otorga un préstamo de $100.000 a uno de

sus afiliados a pagar en 5 meses y ofrece tres alternativas para cancelar la deuda:

1) La primera (A) consiste en amortizar el capital mediante cinco cuotas iguales

pagaderas al final de cada mes más el 1,5% mensual sobre el saldo deudor.2) En la segunda (B) el capital se paga al final pero los intereses se cancelan

mensualmente sobre el saldo deudor a la misma tasa.

3) En la tercera (C) el capital y los intereses acumulados se pagan al final.

Construya las tablas de amortización.

Nº 9.- Se solicita un préstamo para ser cancelado mediante cuotas constantes

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mensuales durante 10 años a razón de 24% anual capitalizado mensualmente por el

sistema francés. Cuando han transcurrido 4 años decidimos cambiar al sistema

alemán con pagos mensuales a razón de 20% anual con capitalización mensual,

respetando el plazo original de vencimiento. Cuando faltan dos años para terminar de

cancelar la obligación decidimos nuevamente modificar la forma de cancelación y

constituimos un fondo de amortización con pagos quincenales constantes que paga

un interés de 30% anual con capitalización quincenal, cuyo saldo a los dos años nos

permitirá cancelar la deuda , y cancelar intereses de forma mensual a razón de 2%

efectivo mensual. Si la cuota de este fondo de amortización es de $17.538,26, calcule

el monto del préstamo

R: $4.098.000

Nº 10.- Un banco hipotecario ofrece un préstamo para vivienda a pagar en 10 años

mediante cuotas mensuales de 30.000 dólares y pagos especiales anuales de

100.000 dólares. Si el banco aplica una tasa efectiva anual de 50%, ¿cuál es el monto

del préstamo?

R: 1.053.560 dólares

Nº 11.- Nos ofrecen dos opciones para la cancelación de un préstamo de $1.000.000.

La primera consiste en el pago de 60 cuotas mensuales inmediatas y vencidas de

$28.767,97 cada una. La segunda supone la constitución de un fondo de

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amortización de cuotas mensuales inmediatas y vencidas por 5 años y pagos de

intereses mensuales hasta la cancelación total del préstamo a razón del 25% anual.

Calcule cuál es la tasa mínima que debe pagar el fondo para que resulte conveniente

la segunda opción

R: 1,62% mensual

V RECURSOS COMPLEMENTARIOS

 ARYA,JADINSH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicada ala administración

y economía. Pearson educación, México, 2002. Páginas 219, 220 y 221

http://filemon.upct.es/~juan/docencia/matbas/problemas

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Primaria

 ARYA, JADINSH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicada ala administración

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http://slidepdf.com/reader/full/matematica-financiera-mat-121 130/130

y economía. Pearson educación, México, 2002.

 AYRES, JR. FRANK. Matemáticas Financieras, Mc Graw Hill, México 27

GARCÍA, JAIME A. Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. 5ta

edición, Pearson Educación de Colombia Ltda, 2008

LINCOYAN PORTUS G. Matemáticas Financieras, 4° edición 1998

DÍAZ MATA ALFREDO y AGUILERA G. VÍCTOR MANUEL. Matemáticas Financiera.

Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998

Recursos de Internet

http://www.matematicas-financieras.com/

http://www geocities com/funcion ve/