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2009
MATEMÁTICA ELEMENTAR II:situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Marcelo GorgesOlímpio Rudinin Vissoto Leite
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L55m
Leite, Olímpio Rudinin Vissoto.Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a
dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. – Curitiba, PR: IESDE, 2009.
444 p.
Sequência de: Matemática elementar IISBN 978-85-387-0414-0
1. Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título.
09-3612. CDD: 510CDU: 51
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Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de
Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP.
Olímpio Rudinin Vissoto Leite
Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica
do Paraná.
Marcelo Gorges
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SumárioNúmeros e operações | 11
Números naturais | 11Números inteiros | 14
Números racionais | 17Números reais | 20Porcentagem | 24
Fator de aumento | 26Fator de redução | 27
Geometria e medidas | 33Comprimento e massa | 33
Área, volume e capacidade | 37Volume e capacidade | 42
Estimativas e arredondamentos | 46Teorema de Tales | 51
Teorema de Pitágoras | 58
Gráficos | 65Tipos de gráficos | 65
Introdução às funções | 83Conceito intuitivo de função | 83
Gráfico cartesiano | 85Domínio e imagem de uma função | 88
Uma nova notação para função | 89
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Função afim | 97Gráfico da função afim | 97Função linear | 98Função identidade | 98Função constante | 99Coeficientes da função afim | 100Interseção da reta com eixo x (raiz da função afim) | 101Equações da reta | 108
Função quadrática | 115Gráfico de uma função quadrática | 115Domínio e imagem da função quadrática | 126Máximo ou mínimo de uma função quadrática | 127
Tópicos complementares de funções | 135Função definida por várias sentenças | 135Estudo da variação das funções | 139Valores extremos de uma função | 141Estudo do sinal de uma função | 147Inequação | 149
Funções exponenciais | 155Potenciação | 155Propriedades das potências | 156Notação científica | 157Função exponencial | 163Equações exponenciais | 169
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Função logarítmica | 175O que é logaritmo? | 175
Propriedades dos logaritmos | 178Função logarítmica | 186
Equação logarítmica | 190A função exponencial de base ‘e’ e de base 1
e | 192
Logaritmo natural | 193
Introdução à trigonometria | 197As razões trigonométricas | 197
Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? | 199Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso | 211
Lei dos senos | 219Lei dos cossenos | 219
Progressão Aritmética (P.A.) | 225Sequência numérica | 225
Progressão Aritmética (P.A.) | 228
Progressão Geométrica (P.G.) | 241Progressão Geométrica | 241
Classificação de P.G. | 242
Sistemas lineares | 259Matrizes | 259
Determinantes | 265Sistemas lineares | 269
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Princípio fundamental da contagem | 279Princípio fundamental da contagem | 279Tipos de agrupamentos | 281
Análise combinatória | 287Fatorial | 287Permutação simples | 288Permutação com repetição | 289Arranjo simples | 292Combinação simples | 295
Noções de probabilidade | 299Experimentos aleatórios | 299Probabilidade | 300Probabilidade condicional | 306
Matemática Financeira | 313Porcentagem | 313Porcentagem de uma quantia | 314Porcentagem de um número em relação a outro | 314Aumento | 315Desconto | 317Juros | 320
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Geometria espacial | 327Prismas | 327
Paralelepípedo reto-retângulo | 329Cubo | 330
Pirâmides | 334Cilindro | 339
Cone | 341Esfera | 342
Estatística | 345Notações | 345
Tipos de variáveis | 345Medidas de tendência central | 346
Medidas de dispersão | 350Apresentação de dados estatísticos | 353
Frequências | 354
Circunferência trigonométrica | 359Circunferência trigonométrica | 359
Relações trigonométricas | 363
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EstatísticaMarcelo Gorges
Notações População: é o grupo observado, ou seja, todos os elementos de um conjun-
to que geralmente é numeroso.
Amostra: é um subconjunto típico da população observada, ou seja, apenas uma parte da população.
Tipos de variáveis Variáveis qualitativas: São as variáveis relativas a atributos dos indivíduos
ou objetos pesquisados.
Exemplos: nível de escolaridade, nacionalidade, religião, preferências etc. �
Variáveis quantitativas: São variáveis expressas em números.
Exemplos: salário, idade, número de filhos, estatura etc. �
As variáveis quantitativas podem ser classificadas em variáveis contínuas e discretas.
Quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real, ela é denominada variável contínua. Características como altura, peso, compri-
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346 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
mento, espessura, temperatura enquadram-se nesta categoria. Nesta situação, os dados são gerados por um processo de medição.
Em situações em que os dados são gerados por processo de contagem, a vari-ável é denominada como discreta. Neste caso, a variável pode assumir somente cer-tos valores, em geral inteiros. Alguns exemplos de variável discreta seriam: número de filhos, quantidade de carros, número de acidentes etc.
Resumindo, uma variável pode ser:
variável
qualitativa
quantitativacontínua
discreta
Medidas de tendência central
Média aritmética A média aritmética pode ser calculada da seguinte forma:
Ma = x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
Média aritmética ponderada É a soma do produto dos números pelos respectivos pesos, dividida pela
soma desses pesos.
Map = a . p1 + b . p2 + c . p3 + ... + x . pn
p1 + p2 + p3 + ... + pn
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Estatística 347
Exemplos: Qual a média aritmética entre as idades 9, 28, 43 e 72 anos?1.
Solução:
Ma = 9 + 28 + 43 + 724
= 1524
= 38
Em uma escola a média dos 16 alunos do 8.º ano foi 6,2 e das 22 alunas foi 2. 6,8. Qual a média da turma toda?
Solução:
Map = 16 . 6,2 + 22 . 6,838
= 99,2 + 149,638
= 248,838
= 6,55
ModaModa (Mo): é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distribuição
ou população.
Exemplo:Qual é a moda na seguinte distribuição de valores: 6, 9, 6, 9, 3, 5 e 6.
Solução:Moda é o valor que mais aparece, portanto:
Mo = 6
MedianaMediana (Md) é o valor que ocupa a posição central em uma distribuição
de valores organizada em ordem crescente ou decrescente. Se o número de va-lores da distribuição for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.
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348 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Exemplos: Qual a mediana das seguintes distribuições, já ordenadas, abaixo:1.
2, 3, 3, 3, 4, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11.a)
Solução: Como a distribuição tem um número ímpar de elementos, a mediana é o ter-
mo central, Md = 9.
20, 20, 20, 18, 16, 16, 12, 12, 12, 8, 6, 1.b)
Solução: Como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média
entre os termos centrais.
Md = 16 + 122
= 282
= 14
Exercícios1. Qual a média aritmética de um aluno que obteve os seguintes resultados no
colégio: no 1.º trimestre 8,4; no 2.º trimestre 6,8 e no 3.º trimestre 7,2.
2. Qual é a média de idade de um time de futebol em que há 5 atletas de 22 anos, 3 atletas de 25 anos, 2 atletas de 29 anos e 1 atleta com 32 anos.
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Estatística 349
3. Um aluno que tirou 8,0 no primeiro bimestre, 6,8 no segundo bimestre e 5,4 no terceiro bimestre, necessita tirar quanto no quarto bimestre para passar com média final 7,0?
4. Em um torneio de futebol um time marcou, respectivamente, em cada um de seus jogos, 2, 1, 4, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3 e 3 gols. Determine:
a moda (Ma) o);
a mediana (Mb) d);
a média aritmética dos gols marcados (Mc) a).
5. Qual a moda, a mediana e a amplitude da seguinte distribuição de valores: 56, 48, 22, 63, 47, 35, 64, 21, 43 e 35.
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350 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Medidas de dispersão
Amplitude total É a diferença entre o maior e o menor valor em uma distribuição de dados.
Exemplo: Qual a amplitude da seguinte distribuição de temperaturas, em graus Celsius,
dada abaixo?
8, 20, 36, 5, 18, 21, 12, 14, 30, 33.a)
Solução:Analisando a distribuição, a menor temperatura é 5ºC e a maior é 36ºC, por-
tanto a amplitude será:
Amplitude = 36 – 5 = 31ºC.
Desvio padrão O desvio padrão pode ser calculado pela seguinte fórmula:
Para a população:
Dp = (x1 – Ma)
2 + (x2 – Ma)2 + (x3 – Ma)
2 + ... (xn – Ma)2
n
, quando forem considerados todos os elementos da população.
Para uma amostra:
Dp = (x1 – Ma)
2 + (x2 – Ma)2 + (x3 – Ma)
2 + ... (xn – Ma)2
n – 1
, quando for considerada apenas uma amostra da população.
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Estatística 351
Exemplo: Em uma competição de salto em distância, foram registrados os seguintes
resultados: 4,23m; 4,62m; 4,56m; 4,44m e 4,60m. Calcule o desvio padrão da com-petição.
Solução: Vamos dividir em passos este exercício:
1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados. �
Ma = 4,23 + 4,62 + 4,56 + 4,44 + 4,605
= 22,455
= 4,49
2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética. �
4,23 – 4,49 = – 0,26
4,62 – 4,49 = 0,13
4,56 – 4,49 = 0,07
4,44 – 4,49 = – 0,05
4,60 – 4,49 = 0,11
3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado. �
(– 0,26)2 = 0, 0676
(0,13)2 = 0, 0169
(0,07)2 = 0, 0049
(– 0,05)2 = 0, 0025
(0,11)2 = 0, 0121
4.º passo: Substituir os valores na fórmula adequada, como foram �considerados todos os valores da população temos:
Dp =0,0676 + 0,0169 + 0,0049 + 0,0025 + 0,0121
5 = 0,104
5 =
= 0,0208 0,144
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352 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Coeficiente de variação
CV = Dp
Ma
Onde CV representa o coeficiente de variação, Ma a média aritmética e Dp o desvio padrão.
Dizemos que o coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, pois leva em consideração uma medida de dispersão absoluta, no caso o desvio padrão, e a média.
Exemplo: Considere a seguinte situação:
Uma empresa resolveu fazer um estudo com relação aos valores salariais de seus funcionários e a quantidade de anos de escolaridade, considerando os ensinos fundamental, médio, superior e pós-graduações.
Veja alguns dos dados levantados neste estudo:
Com relação aos valores dos salários, chegou-se a uma média de R$2.300,00 e um desvio padrão de R$460,00.
Com relação a escolaridade, os dados são os seguintes:
A média de anos de escolaridade foi de 14 anos, com desvio padrão de 2,8 anos.
Qual das grandezas apresentou maior variabilidade?
Solução: CV = DP
Ma
Para os salários temos:
CV = 4602 300
CV = 0,2
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Estatística 353
Para os anos de escolaridade temos:
CV = 2,814
CV = 0,2
Considerando o Coeficiente de Variação, nenhuma das grandezas estudadas apresentou maior variabilidade.
Apresentação de dados estatísticos Para facilitar a análise e interpretação dos dados estatísticos devemos organi-
zá-los. Acompanhe alguns exemplos:
Em uma determinada escola foram coletados os “pesos” (em kg) de 50 alunos. Os resultados obtidos estão dispostos no quadro a seguir:
58 70 58 56 70 56 67 68 70 58
70 56 68 70 70 61 71 56 58 71
71 71 61 56 58 71 56 71 58 68
56 58 68 61 70 59 68 61 56 71
71 56 56 67 56 68 58 56 71 59
O primeiro passo para organizar esses dados é dispormos em uma determina-da ordem, crescente ou decrescente. Organizando, a tabela fica assim:
56 56 56 56 56 56 56 56 56 56
56 56 58 58 58 58 58 58 58 58
59 59 61 61 61 61 67 67 68 68
68 68 68 68 70 70 70 70 70 70
70 71 71 71 71 71 71 71 71 71
Os dados após a ordenação recebe o nome de ROL.
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354 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Frequências Frequência absoluta: é o número de vezes que a variável assume valor na
pesquisa.
Frequência relativa: é a razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos considerados.
Observação: a frequência relativa percentual é a representação da frequên-cia relativa em forma percentual.
No tratamento de informações é muito comum a representação dos dados coletados em tabelas ou gráficos.
Tabela de frequências A partir do ROL, podemos construir uma tabela chamada tabela de frequências.
Para o ROL do exemplo anterior podemos montar a seguinte tabela de frequências:
Pesos Frequências (f)
56 12
58 8
59 2
61 4
67 2
68 6
70 7
71 9
A partir desta tabela de frequências vamos determinar a média desses da-dos já organizados.
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Estatística 355
Para o cálculo da média aritmética, multiplicamos cada nota pela frequência correspondente, em seguida anotamos o produto obtido em uma nova coluna.
Pesos Frequências (f) xi . fi
56 12 672
58 8 464
59 2 118
61 4 244
67 2 134
68 6 408
70 7 490
71 9 639
Total: 50 3169
Agora devemos dividir o somatório do produto entre pesos e frequências pelo somatório das frequências, assim temos:
Ma = 3 16950
= 63,38
Então, 63,38kg representa a média aritmética do "peso" dos 50 alunos.
Ainda a partir desta tabela vamos determinar a mediana.
Nesse caso, como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais.
Os termos centrais são o 25.º termo equivalente ao número 61 e 26.º termo também equivale ao número 61, assim a mediana é:
Md = 61 + 612
= 61
Por fim, a moda é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distri-buição, assim sendo, a moda será:
Mo=56
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356 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
Exemplo: Nível de escolaridade de um determinado bairro.
Níveis Escolaridade Frequência Absoluta
Frequência Relativa
Frequência Relativa
porcentual
1 Nenhuma 3 3200
= 0,015 1,5%
2 E. Fundamental 34 34200
= 0,170 17,0%
3 E. Médio 103 103200
= 0,515 51,5%
4 Graduação 52 52200
= 0,260 26,0%
5 Pós - Graduação 8 8200
= 0,040 4,0%
Total 200 1,000 100%
Dada a tabela anterior , pode-se montar o seguinte gráfico de barras:
Frequência Absoluta
120
100
80
60
40
20
0
Nível de Escolaridade
Núm
ero
de p
esso
as
Escolaridade
Nenh
uma
E. F
unda
men
tal
Grad
uaçã
o
Pós-
Grad
uaçã
o
E. M
édio
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Estatística 357
Exercícios6. Determine o desvio padrão do conjunto de valores: 13, 42, 26, 34 e 24.
7. De acordo com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), a avaliação da conformidade vem sendo cada vez mais usada por fornecedores para agregar valor e distinguir seus produtos, atraindo os consumidores e alcançando maiores fatias do mercado (retirado de: <www.inmetro.gov.br>). O laboratório de controle de qualidade de uma indústria de laticínios analisou duas máquinas envasadoras de iogurte e apre-sentou os resultados na seguinte tabela:
Iogurte Vida – Volume ideal: 250ml Iogurte Saúde – Volume ideal: 250 ml
Envasado na máquina A Envasado na máquina B
Resultados reais do volume do
iogurte (em ml)
247
Resultados reais do volume do
iogurte (em ml)
250
248 241
251 252
253 259
243 243
Calcule, para cada tipo de iogurte, as seguintes medidas:
a média aritmética;a)
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358 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
a mediana;b)
a moda;c)
a amplitude;d)
e o desvio padrão.e)
De acordo com as medidas que você calculou, qual máquina envasa os iogur-tes de maneira mais conforme? Por quê?
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Gabarito
Gabarito
Estatística
1. Ma = 8,4 + 6,8 + 7,23
= 22,43
= 7,47
2. Map = 5.22 + 3.25 + 2.29 + 1.3211
=
= 110 + 75 + 58 + 3211
= 27511
= 25 anos
3. Ma = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB4
7,0 = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB4
8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB = 7,0 . 4
20,2 + 4ºB = 28,0
4ºB = 28,0 –20,2
4ºB = 7,8
4.
moda, Ma) o = 1 e 3 (cada valor aparece 4 vezes na distribuição de valores).
a mediana, Mb) d = 2 + 32
= 2,5
Mc) a = 2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 3 + 312
= 2812
= 2,33 gols por partida.
5. Moda, Mo = 35 ( o valor aparece 2 vezes na distribuição de valores).
Mediana, Md = 43 + 472
= 902
= 45
6. 1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados.
Ma = 13 + 42 + 26 + 34 + 245
= 1395
= 27,8
2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética.
13 – 27,8 = –14,8
42 – 27,8 = 14,2
26 – 27,8 = –1,8
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Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia
34 – 27,8 = 6,2
24 – 27,8 = –3,8
3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado.
(–14,8)2 = 219,04
(14,2)2 = 201,64
(–1,8)2 = 3,24
(6,2)2 = 38,44
(–3,8)2 = 14,44
4.º passo: Substituir os valores na fórmula, assim:
DP = 219,04 + 201,64 + 3,24 + 38,44 + 14,445
= 476,85
= 9,765
7.
máquina A: Ma) a = 248,4;
máquina B: Ma = 249;
máquina A: Mb) d = 248;
máquina B: Md = 250;
em nenhum dos casos existe moda, pois não há nenhum valor que tem uma fre-c) quência maior que a frequência dos demais termos;
máquina A: h = 10;d)
máquina B: h = 18;
e) máquina A:
DP = (247 –248,4)2 + (248 – 248,4)2 + (251 – 248,4)2 + (253 – 248,4)2 + (243 – 248,4)2
5 Dp = 3,85
máquina B:
Dp = (247 –249)2 + (248 – 249)2 + (251 – 249)2 + (253 – 249)2 + (243 – 249)2
5
Dp = 7,25
A máquina A envasa os iogurtes de maneira mais conforme (constante), pois a amplitude e o desvio padrão são menores em relação à máquina B, apesar de a média e a mediana estarem um pouco mais distantes do volume ideal.
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