matemática discreta - unip
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MATEMÁTICA DISCRETA
Profa Dra Clarice Favaretto Salvador
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PLANO DE ENSINO
I – EMENTA
Combinatória: Princípios da adição e da multiplicação, permutações e combinações.
Primeiro e Segundo Princípios da Indução Matemática.
Recursão: Relações de Recorrência, Sequências recursivas e algoritmos recursivos.
Comparação entre algoritmos recursivos e iterativos.
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PLANO DE ENSINO
II – OBJETIVOS GERAIS
Desenvolver o raciocínio em matemática discreta com o estudo de combinatória, indução matemática e recursão. Fazer contagens, desenvolver demonstrações por indução, compreender relações de recorrências e algoritmos recursivos. Diferenciar algoritmos recursivos de algoritmos iterativos.
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PLANO DE ENSINO
III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Utilizar os métodos para fazer contagens;
Compreender a diferença entre combinações e permutações;
Fazer demonstrações de conjecturas usando as técnicas de demonstração por indução matemática;
Compreender definições recorrentes de seqüências, coleções de objetos e operações sobre objetos.
Escrever definições recorrentes para determinadas seqüências, coleções de objetos e operações sobre objetos.
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PLANO DE ENSINO
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Módulo 01:
Princípio da multiplicação
Princípio da adição
Módulo 02:
Arranjos e Permutações
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PLANO DE ENSINO
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Módulo 03:
Combinações.
Módulo 04:
Combinações com elementos repetidos e Permutações circulares.
Módulo 05:
Princípio de Inclusão-exclusão
Princípio da Casa dos Pombos.
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PLANO DE ENSINO
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Módulo 06:
Primeiro Princípio de Indução Matemática
Módulo 07:
Segundo Princípio de Indução Matemática
Módulo 08:
O Princípio de Indução Matemática e o Princípio da Boa-Ordem.
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PLANO DE ENSINO
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Módulo 09:
Funções Recursivas e Sequências recursivas
Módulo 10:
Relações de recorrência e conjuntos recursivos.
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PLANO DE ENSINO
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Módulo 11:
Alfabetos e conjuntos recursivos.
Módulo 12:
Comparação entre algoritmos recursivos e iterativos
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PLANO DE ENSINO
V – ESTRATÉGIA DE TRABALHO
Aulas teóricas expositivas.
Aulas de exercícios com a participação dos alunos e com a orientação dos professores.
Recursos audiovisuais.
VI – AVALIAÇÃO
Duas provas bimestrais.
Entrega de trabalhos, individuais ou em grupos, e/ou resolução de listas de exercícios.
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PLANO DE ENSINO
VII – BIBLIOGRAFIA
Básica:
GERSTING, J. L. - Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação Rio de Janeiro. – Ed. LTC. - 2004.
LOPES, L. - Manual da indução matemática. - Ed. Interciência - 1999.
SCHEINERMAN, E. R. - Matemática discreta. Uma introdução. – Ed. Pioneira Thomson -2003.
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PLANO DE ENSINO
VII – BIBLIOGRAFIA
Complementar :
ALENCAR FILHO, E. - Iniciação à Lógica Matemática. – Ed. Nobel - 2002.
ROSS, K. A.; WRIGHT, C. R. B.- Discrete mathematics. 3. ed. Englewood Ciffs, N. J.: Prentice-Hall - 2003.
GRAHAM, R. L., KNUTH, D. E. e PATASHNIK, O. - Concrete Mathematics. A foundation for computer science. New York. Addison Wesley.- 1994.
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PLANO DE ENSINO
VII – BIBLIOGRAFIA
Complementar :
GARCIA LOPEZ, Javier. TOSCANI, Laira Vieira. MENEZES, Paulo Blauth. Aprendendo Matemática Discreta com Exercícios. Livros Didáticos Informática UFRGS, V.19. Bookman Companhia Ed., 2009.
MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. Bookman Companhia Ed., 2010.
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Símbolos da Lógica
Símbolo Lê-se
não
ou
e
Se...então
....se e somente se....
Para todo
Existe
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Símbolos da Álgebra
Símbolo Lê-se
pertence
está contido ou é igual
união
intersecção
Produto cartesiano
Conjunto das partes
Conjunto vazio
ou
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Inclusão de Conjuntos
Observação:
)( BxAxBA
ABBABA
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União de Conjuntos
Bx ouA xxBA :BxAxBAx
BA
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Intersecção de Conjuntos
Bx eA xxBA :
BxAxBAx
BA
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Diferença entre Conjuntos
Bx eA xxBA :
BA
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Partes de um Conjunto
Exemplo:
Se , então
indica o número de elementos de
AX se )AX (
dcbaA ,,,
,,,,,,,,,,,, dcbdcadbacba
,,,,,,,,,,,, dcdbcbdacaba
,,,,,{)( dcbaA
},,, dcba
A2A )(A A
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Produto Cartesiano
Exemplo:
Bb eA abaBA :),(
21A , 432B ,,
),(),,(),,(),,(),,(),,( 423222413121BA
BABA .
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Interatividade
Considerando o conjunto , indique a alternativa falsa :
a)
b)
c)
d)
e)
4321A ,,,
A3
)(A3 A3 )(A3 A3
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Resposta
Alternativa d):
Justificativa:
é um subconjunto de A e não um elemento de A.
A3
3
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para dois conjuntos)
BABA
A B
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para dois conjuntos)
BABABA
BA
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para dois conjuntos)
Exemplo
Entre 50 frequentadores de uma academia 40 praticam musculação, 25 praticam natação e 20 praticam ambas as modalidades. Qual é o número de frequentadores que não praticam nenhuma das duas modalidades?
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para dois conjuntos)
Solução:
Número total de frequentadores: 50
A = conjunto formado pelos que praticam musculação;
B= conjunto formado pelos que praticam natação;
, e
Portanto,
R: 5 frequentadores não praticam nem musculação, nem natação;
40A 25B 20BA
45202540BA
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para três conjuntos)
CBA CBA
A B
C
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para três conjuntos)
CBA CB A CBCABA
CB
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Princípio da Inclusão-Exclusão (para três conjuntos)
CBA CB ACBCA BA
CBA
CBA
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Princípio da Inclusão-Exclusão (Caso Geral)
ni1iA
nji1
jini1
i AAA
... nkji1
kji AAA
ni1
i1n A1
.)...(
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Exercícios
Uma pesquisa sobre o estudo de línguas estrangeiras em um colégio com 305 alunos, em que todos estudam ao menos uma língua, revelou que 200 deles estudam inglês, 100 estudam francês e 80 estudam alemão. Ainda, 45 estudam inglês e francês, 25 estudam inglês e alemão e 5 estudam as três línguas. O número de alunos que estudam francês e alemão é:
a) 20
b) 10
c) 15
d) 23
e) 8
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Resposta
Alternativa b) 10
Justificativa:
A: conjunto dos alunos que estudam inglês
B: conjunto dos alunos que estudam francês
C: conjunto dos alunos que estudam alemão
Assim
200A 80C 100B 45BA 25CA 5B CA
5CB254580100200305
10CB
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Princípio Fundamental da Contagem (para dois conjuntos finitos)
Exemplo
O percurso entre as cidades de Campinas e São Paulo é feito pelas empresas de ônibus E1, E2 e E3, e o percurso entre as cidades de São Paulo e Santos pelas empresas V1 e V2. De quantas formas diferentes pode-se ir de Campinas até Santos, passando por São Paulo?
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Princípio Fundamental da Contagem (para dois conjuntos finitos)
Solução:
A= Campinas, B= São Paulo, C=Santos
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Princípio Fundamental da Contagem (para dois conjuntos finitos)
Se A e B são conjuntos tais que
e , então .
mA
nB nmBA .
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Princípio Fundamental da Contagem (para dois conjuntos finitos)
Exemplo
Um ginásio de esportes tem 5 portas. De quantas maneiras distintas um atleta pode entrar e sair dele por uma porta diferente da que entrou?
Solução:
(no de portas para a entrada)
(no de portas para a saída)
R: De 20 maneiras distintas
Entradas Saídas
5m 4n
2045nm ..
5 4
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Princípio Fundamental da Contagem
(para n conjuntos finitos)
Sejam conjuntos finitos
e tais que , para ,
então
n21 AA A ,....,,
ii mA n21i ,...,
........... n21n21 mmmAAA
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Princípio Fundamental da Contagem (para n conjuntos finitos)
Exemplo
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5
a) quantos números de três algarismos podem ser formados?
b) quantos números pares de três algarismos podem ser formados?
Solução:
a) 5 5 5
Total: 5.5.5 = 125 números
b) 5 5 2
Total: 5.5.2 = 50 números
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Exercício
Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma seqüência de quatro algarismos distintos. Sabe, também, que o algarismo dos milhares é 2 e que o das unidades é 0. Se, em média, o ladrão leva 2 minutos para testar uma possível seqüência, o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre é de:
a) 3 horas e 20 minutos;
b) 1 hora e 4 minutos;
c) 1 hora e 52 minutos;
d) 1 hora e 12 minutos;
e) 50 minutos;
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Resposta
Alternativa c) 1 hora e 52 minutos;
Justificativa:
1 8 7 1
1.8.7.1 = 56 possibilidades
que, multiplicadas pelos 2 minutos necessários para cada teste, resulta em 112 minutos;
2 0
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Arranjos com Repetições
Seja um conjunto com elementos.
O número de k–uplas ( )
ordenadas de elementos de é dado
por
n
nk1 S
kRkn nA ,
S
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Arranjos com Repetições-Exemplo
Em certo jogo de computador, um objeto está parado na origem de um sistema de coordenadas e ele pode mover-se para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda, com apenas um movimento por vez. Após 3 passos, quantas trajetórias distintas são possíveis?
Solução:
:possibilidades de movimentos
: número de passos (geram as 3-uplas)
trajetórias.
S4S
k
644A 3R34 ,
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Arranjos sem Repetições
Seja um conjunto com elementos.
O número de - uplas ( )
ordenadas de elementos de ,
sem repetições, é dado por
Sk nk1
S
)!(
!, kn
nA kn
n
![Page 45: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/45.jpg)
Arranjos sem Repetições - Exemplo
Quantas senhas de 5 dígitos existem se não podem haver algarismos repetidos.
Solução:
senhas.
!
!.....
)!(
!, 5
5678910510
10A 510
10nS 987654321S ,,,,,,,,,
5k
30240678910 ....
![Page 46: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/46.jpg)
Permutações (arranjo com k=n)
Seja um conjunto com elementos.
O número de -uplas ordenadas de elementos de , sem repetições, é dado por
Sn
n
S
!nPn
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Permutações – Exemplo
Um anagrama de uma palavra é qualquer reordenação das letras da palavra original, tenha essa reordenação sentido ou não (a palavra original é também considerada um anagrama de si própria).
Quantos anagramas possui a palavra “amor”?
Solução:
anagramas
12344P4 ...!24
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Permutações – Exemplo
Um grupo formado por 6 pessoas, sendo 2 italianos, devem formar uma fila. Considerando que os italianos devem ficar juntos, quantas filas distintas são possíveis?
Solução: Considerar, inicialmente os italianos como uma única pessoa. Teremos 5! filas possíveis.
Os italianos também poderão trocar de lugares, entre si: 2! possibilidades.
Logo são possíveis 5!.2!=240 filas distintas.
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Permutações com Elementos Repetidos
Seja um conjunto com elementos e
um subconjunto
de .
O número de -uplas ordenadas de
elementos de , sem repetições, mas
considerando os elementos
indistinguíveis entre si para uma
determinada situação , é dado por
k211 aaaS ,...,,S
Sn
k21 aaa ,...,,
!
!
kn
Pkn
n
S
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Permutações com Elementos Repetidos – Exemplo
a) Escrever todos permutações da palavra “mala” considerando as duas letras “ a ” como distintas (utilizar a e a);
b) Desconsiderar as diferenças das letras
“a“ e eliminar as palavras repetidas;
c) Verificar a validade da fórmula para permutações com elementos repetidos, neste exemplo.
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Permutações com Elementos Repetidos – Exemplo
Solução:
a) mala, mala, mlaa, mlaa, maal, maal, amla, alma, aaml, amal , alam, aalm, amla , alma, aaml, amal , alam, aalm, lama, lama, lmaa, lmaa, laam, laam;
b) mala, mlaa, maal, amla, alma, aaml, amal , alam, aalm, lama, lmaa, laam
c)
12342
23424
P24 .
!
!..
!
!
2k 4n
![Page 52: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/52.jpg)
Permutações Circulares
Imagine uma situação em que “n” pessoas se sentarão em torno de uma mesa redonda. Se o importante é “quem está à esquerda” e “quem está à direita” de cada pessoa, há determinadas distribuições das pessoas, em torno dessa mesa, que são equivalentes. Pode-se observar que para cada distribuição, existem “n” equivalentes. Logo o número de distribuições possíveis é
)!(!
1nnn
n
Pn
![Page 53: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/53.jpg)
Um grupo de 7 pessoas precisa sentar-se, em roda, para uma reunião. De quantas formas isso pode ser feito?
Solução:
(7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1
= 720 formas
Permutações Circulares - Exemplo
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Combinações
Seja um conjunto com elementos.
O número de subconjuntos de com elementos ( ) é dado por
S nS
k nk1
!)!(
!, kkn
nC kn
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Combinações
Observação Importante:
Para arranjos e permutações a ordem dos elementos é importante (por exemplo , analogamente a quando consideramos pares ordenados), enquanto que para combinações a ordem não é importante. Se somente a ordem dos elementos é alterada, na combinação estaremos mos referindo a mesma possibilidade!
),(),( abba
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Combinações - Exemplo
Com os pontos A, B, C, D e E da figura abaixo, quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos construir?
triângulos.
!!.
!..
!)!(
!, 32
345335
5C 35
10
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Exercício
Considere um grupo de 8 pessoas, dentre os quais será selecionada uma comissão com 3 participantes. O número de maneiras que essa comissão poderá ser composta é :
a) 112
b) 40320
c) 56
d) 336
e) 6720
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Resposta
Alternativa: c) 56
Justificativa:
A ordem das pessoas na comissão não é importante. Logo
56655678
3388
C 38
!.
!...
!)!(
!,
![Page 59: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/59.jpg)
Princípio da Casa do Pombo
Se mais de “n” objetos forem distribuídos em “n” caixas, então haverá pelo menos uma caixa com mais de um objeto.
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Princípio da Casa do PomboLinguagem Matemática
Forma 1
Sejam e conjuntos finitos, e
uma função.
Se , então não é injetora.
Forma 2
Sejam e conjuntos finitos, e
uma função.
Se , então não é sobrejetora.
A BBAf :AB f
A BBAf :BA
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Princípio da Casa do PomboExemplo
Um serviço de encontros por computador tem uma lista contendo 100 homens e 100 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente.
a) Quantos nomes devem ser selecionados para garantir que apareçam nomes de uma pessoa de cada sexo?
b) Quantos nomes devem ser selecionados para garantir que apareçam dois nomes de pessoas do mesmo sexo?
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Princípio da Casa do PomboExemplo
Solução:
a) Pelo princípio, após a seleção de 101 nomes, com certeza, existirão nomes de uma pessoa de cada sexo;
b) Pelo princípio, após a seleção de 3 nomes, com certeza, existirão nomes de pessoa s do mesmo sexo;
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Princípio da Indução FinitaIntrodução
n
0
1
2
3
4
5
6
........
41
0n 41nnnf 2 ,)(
4141002 4141112
4341222 4741332 5341442 6141552 7141662
22 41414141
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Princípio da Indução FinitaIntrodução
n Soma do n primeiros ímpares
1 1
2 1+3=4
3 1+3+5=9
4 1+3+5+7=16
5 1+3+5+7+9=25
6 1+3+5+7+9+11=36
7 1+3+5+7+9+11+13=49
.....
n 1+3+5+7+9+11+13+....= n2
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Princípio da Indução Finita(PIF fraco)
Seja uma afirmação sobre um número natural arbitrário.
Se provarmos que
1) é válida;
2)
Então .
( é válida para qualquer )
)(nAn
)(0A
];()( 1kAk[A k, )(n A,n
)(nA n
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Princípio da Indução Finita(PIF fraco)
O item 1, do enunciado do PIF, é chamado de Base de Indução e mostra que a propriedade vale para o primeiro número natural, mas a afirmação pode valer somente a partir de um certo natural e, nesse caso a base de indução toma a forma .
O item 2 é chamado Passo de Indução, sendo que é chamado de Hipótese de Indução (HI) e (que deverá ser provada) é chamada de Tese.
0n)( 0nA
)(kA)( 1kA
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Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 1
Provar que
ou seja
2n1n27531 )(...
2n
1i
n1i2
)(
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Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 1
1) Base de Indução (n=1)
Para n=1 o lado esquerda da expressão é
enquanto que o lado direito é
Logo é verdadeira.
2) Hipótese de Indução (HI):
11121i21
1i
.)(
112
)(1A
2k1k27531 )(...
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Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 1
3) Tese
4) Demonstração da Tese:
5) Pela PIF,
2
2
2
HI
1k
1k2k
12k2k
11k21k27531
)(
)(
))(()(...
)(n A:1n
21k
11k21k27531
)(
))(()(...
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Exercício
É falso afirmar que:
a) a indução matemática é uma técnica para provar propriedades dos números inteiros;
b) a base da indução pode ser
onde pode ser qualquer número natural;
c) se , é válida para qualquer ;
d) uma demonstração por indução não precisa começar com ;
e) uma demonstração por indução não precisa começar com ;
)( 0nA
0n
]()( 1kAk[A k, )(nAn
0n
1n
![Page 71: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/71.jpg)
Resposta
Alternativa c) se ,
é válida para qualquer ;
Justificativa: Para que seja válida para qualquer é preciso que seja válida na base ( para ).
]()( 1kAk[A k, )(nA n
)(nAn
1n
![Page 72: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/72.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 2
Provar que
ou seja
21nn5
n515105)(
...
21nn5
i5n
1i
)(
![Page 73: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/73.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 2
1) Base de Indução (n=1)
Para n=1 o lado esquerda da expressão é
enquanto que o lado direito é
. Logo é verdadeira.
2) Hipótese de Indução (HI):
515i5n
1i
.
52
1115
)(.)(1A
21kk5
k515105)(
...
![Page 74: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/74.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 2
3) Tese
22k1k5
211k1k5
1k5k515105
))(((
)))(((
)(...
![Page 75: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/75.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 2
4) Demonstração da Tese:
5) Pela PIF, 2
2k1k52
2k3k5
210k15k5
25k521kk5
5k52
1kk5
1k5k515105
2
2
HI
))(()(
)()(
)(
)(...
)(n A:1n
![Page 76: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/76.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 3
Provar que
Prova
1) Base de Indução (n=1)
Para n=1 tem-se que é verdadeira.
2) Hipótese de Indução (HI):
onde
n2n :1n
221 1
k2k 1k
![Page 77: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/77.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 3
3) Tese
4) Demonstração da Tese:
5) Pela PIF,
1k21k
1kk
kk
kHI
222
22
121k
.
)(n A:1n
![Page 78: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/78.jpg)
Princípio da Indução FinitaVersão para Conjuntos
Seja um subconjunto dos números naturais , tal que:
1)
2)
Então, .
S
S0];S1kS[k k,
S
![Page 79: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/79.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF forte)
Seja uma afirmação sobre um número natural arbitrário.
Se provarmos que
1) é válida;
2)
Então .
( é válida para qualquer )
)(nAn
)(0A
)];()(, 1kAtA( ,ktt[ k, )(n A,n
)(nA n
![Page 80: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/80.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF forte) - Exemplo
Teorema Fundamental da Aritmética
Provar que todo número natural
ou é primo ou pode ser escrito como
um produto de primos.
Prova:
1) Base (n=2): Como 2 é primo, OK.
2) Hipótese de Indução (HI):
Seja . Então todo número
ou é um número primo ou pode ser
decomposto como produto de números
primos.
2n
2k kt
![Page 81: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/81.jpg)
Princípio da Indução Finita(PIF forte) - Exemplo
3) Tese: é um número primo ou pode ser decomposto como produto de números primos.
4) Demonstração da Tese:
Se é primo, está provado;
Se não é primo, então é um produto
de dois números e tais que
e
Pela HI, é primo ou é produto de
primos e o mesmo ocorre com . Logo
é um produto de números primos.
a b ka kb a
b1k
1k 1k
1k
![Page 82: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/82.jpg)
Exercício
É falso afirmar que:
a) a indução matemática é uma técnica para provar propriedades dos números inteiros;
b) a base da indução pode ser
onde pode ser qualquer número natural;
c) se , é válida para qualquer ;
d) uma demonstração por indução não precisa começar com ;
e) uma demonstração por indução não precisa começar com ;
)( 0nA
0n
]()( 1kAk[A k, )(nAn
0n
1n
![Page 83: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/83.jpg)
Resposta
Alternativa c) se ,
é válida para qualquer ;
Justificativa: Para que seja válida para qualquer é preciso que seja válida na base ( para ).
]()( 1kAk[A k, )(nA n
)(nAn
1n
![Page 84: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/84.jpg)
Recursão - Definição
Processo de obtenção de certos objetos a partir de outros obtidos em passos anteriores.
![Page 85: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/85.jpg)
Recursão – Linguagem Matemática
Uma função , com domínio nos números naturais, é definida recursivamente, se uma função é conhecida e o seguinte esquema é satisfeito:
é a base da recursão e é um número fixo.
1n se 1nFnGnF
c)0F(
)),(,()(
F
G
c)0F( c
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Recursão – Exemplo 1
A função potência com a base fixa, é definida recursivamente por
Para entender melhor:
.....
1n se aaa
1an1n
0
,.
a
1a0 aa1aaa 010 .
3212 aaaa
2111 aaaaaa .
![Page 87: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/87.jpg)
Recursão – Exemplo 2
A função fatorial, é definida recursivamente por:
Para entender melhor:
........
1n se n1n1n
10
,!).()!(
!
10 ! 11101010 .!).()!(
21211111 .!).()!(
62321212 .!).()!(
![Page 88: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/88.jpg)
Recursão – Exemplo 3
Dada a seguinte função , definida por recursão, escrever os 5 primeiros termos gerados:
Solução:
F
1n se 1nFnnF
11F
),(.)(
)(
11F )(2121F212F22F .)(.)(.)(
6232F313F33F .)(.)(.)(
24643F414F44F .)(.)(.)(1201454F515F55F .)(.)(.)(
![Page 89: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/89.jpg)
Recursão – Exemplo 4
Os primeiros membros da Associação de Pitágoras definiram números poligonais como sendo o número de pontos em determinadas configurações geométricas. Os primeiros números triangulares são 1, 3, 6 e 10:
Encontrar uma função recursiva que defina esses números.
![Page 90: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/90.jpg)
Recursão – Exemplo 4
Solução:
1n se n1nFnF
11F
,)()(
)(
![Page 91: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/91.jpg)
Exercício
O número de estudantes que optam pelo ensino á distância tem crescido. Suponha que, no dia de hoje, uma universidade conta com 5.000 alunos nesta modalidade e quer a taxa média de crescimento vem sendo de 10% ao ano. A previsão do número de alunos desta universidade, para este tipo de ensino, em três anos é de:
a) 6.655 alunos;
b) 6.050 alunos;
c) 500 alunos;
d) 5.500 alunos;
e) 10.000 alunos;
![Page 92: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/92.jpg)
Resposta
Alternativa b) 6.050 alunos;
Justificativa:
Basta definir a função recursiva
e encontrar
1n se 1nF100110
nF
50000F
),(.)(
)(
)(3F
![Page 93: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/93.jpg)
Conjuntos definidos por Recursividade - Exemplo
Considerar o conjunto numérico definido recursivamente por:
Quais dos seguintes elementos
pertencem ao conjunto M?
a) 2
b) 9
c) 11
d) 10
e) 14
Solução: alternativa c)
M5x então ,Mx Se b)
M1 a
)
M56M51M1
![Page 94: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/94.jpg)
O problema da torre de HanóiA situação
Existem 3 torres ( A, B e C) e na torre A estão n discos com raios distintos, empilhados de forma que seus raios estejam em ordem decrescente (dado um disco qualquer, o disco acima tem raio menor).
![Page 95: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/95.jpg)
O problema da torre de HanóiO problema
Passar todos os discos da torre A para a torre C, utilizando a B como auxiliar , obedecendo as condições:
1) É permitido mover apenas um disco de cada vez;
2) É permitido utilizar qualquer uma das torres para a movimentação dos discos;
3) Em nenhuma etapa, um disco pode ficar em cima de outro com raio menor;
![Page 96: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/96.jpg)
O problema da torre de Hanói com três discosPassos para uma solução
![Page 97: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/97.jpg)
O problema da torre de Hanói com três discosPassos para uma solução
![Page 98: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/98.jpg)
O problema da torre de Hanói com três discosPassos para uma solução
![Page 99: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/99.jpg)
O problema da torre de Hanói com três discosPassos para uma solução
![Page 100: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/100.jpg)
A Torre de Hanói - Questões
Existe solução?
A existência de solução depende do número de discos?
Caso exista solução qual é o menor número de movimentos necessários?
![Page 101: Matemática Discreta - unip](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/563db8c7550346aa9a96db13/html5/thumbnails/101.jpg)
A Torre de Hanói - Resultados
Teorema 1
Seja o número de discos.
O problema da Torre de Hanói admite solução para
Observação
A demonstração da validade deste teorema pode ser feita por indução sobre o número de discos.
1n
n
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A Torre de Hanói - Resultados
Teorema 2
Seja a função que fornece o menor número de movimentos para transferir n discos de uma torre para outra torre distinta. Então,
2n se 11nT2nT
11T
,)(.)(
)(
)(nT
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A Torre de Hanói - Conclusão
O problema de Hanói admite solução para qualquer número de discos , e o menor número de movimentos possível para atingir a configuração final é dado pela função de recorrência:
2n se 11nT2nT
11T
,)(.)(
)(
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Exercício
Considerando o problema da torre de Hanói com 5 discos, o menor número de movimentos necessários para atingir a configuração deseja é:
a) 15
b) 16
c) 30
d) 31
e) 63
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Resposta
Alternativa d) 31 movimentos;
Justificativa
11T )(3112112T22T .)(.)(
7132113T23T .)(.)(
15172114T24T .)(.)(
311152115T25T .)(.)(