matematica cap 1

8/16/2019 matematica cap 1

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6 Matemática 1

Números naturales

Los números naturales fueron creados por la mente humana para

contar objetos.

La numeración escrita apareció ante la necesidad del hombre de llevar

un registro de sus pertenencias.

Las marcas halladas sobre las paredes de las cavernas prehistóricas

confirman este hecho.


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7Unidad 1 - Números naturales

Esta unidad nos permitirá…

4Realizar operaciones con números naturales.

4Reconocer diferentes sistemas de numeración.

Actividad 1

Continúa escribiendo los números que faltan para completar la pirámide.

8 12 7 19

2 6 7 5 2

Actividad 2

Observa la serie y agrega dos dibujos.

1 5 9

a) ¿Qué número debes colocar debajo del cuarto y del quinto dibujo de la serie? ¿Qué indica

este número?

b) ¿Qué número habrá que escribir debajo del décimo dibujo?

Actividad 3

Si se suman las edades de Ana y de Joaquín, se

multiplica ese número por 3, al número obtenido se lo

divide por 11 y a este último resultado se lo multiplica

por 7, se obtiene la edad del padre de los chicos.

Calcula la edad del papá de Ana y de Joaquín.

Ana: 12 años Joaquín: 10 años


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8 Matemática 1

Resuelve

1 a) 2 · [6 – (4 + 2) : 3] =b) 6 : {4 : [ 3 – (5 – 4) ] } =

c) { [ (2 – 1 + 7) : 4 ] – 1} · 3 =

d) [ (9 – 5 : 5) · (10 + 2 · 3) ] : 4 =e) 12 : (5 – 2) + 10 : (5 – 3) – 2 · [6 – 3 · (10 – 8) ] =f) {9 · [10 – (4 – 1) ] } : 3 + 6 {8 · [4 : (3 + 1)] } =

Verifica tus resultados usando la calculadora.

Actividad 4

Observa las series de dibujos y agrega un dibujo a cada una.

1 2 3

1 2 3En la figura 3, ¿en cuántas partes quedará dividida la f igura inicial?

Toda multiplicación de factores iguales puede indicarse en forma abreviada.

exponente 5 · 5 · 5 = 53 = 125 53 se lee: 5 al cubo

base potencia

Si a es un número natural: a · a = a2 se lee: a al cuadrado a · a · a = a3 se lee: a al cubo

a · a · a · a = a4 se lee: a a la cuarta potencia

En general a · a · a … a = an se lee: a a la enésima potencia

n factores

Si n = 1 a1 = a Si n = 0 a0 = 1 si a ≠ 0

Potenciación


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Resuelve

2 Completa el cuadro calculando los cuadrados y cubos de los números naturales

menores o iguales que 10.

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a2

a3

3 Calcula y compara los resultados.

(3 · 2)2 = 32 · 22 =(10 : 2)2 = 102 : 22 =

(4 · 2)2 = 42 · 22 =(6 : 3)2 = 62 : 32 =

(3 + 2)2 = 32 + 22 =

(10 – 2)2 = 102 – 22 =

(4 + 2)3 = 43 + 23 =

(6 – 3)3 = 63 – 33 =

4 Completa.

a) El cuadrado de un producto

b) El cuadrado de un cociente

c) El cuadrado de una suma no es igual, en general,

5 Separa en términos y halla el resultado. Verifica tus resultados usando la calculadora.

a) 3 · (6 + 4)2 =b) 52 · (7 – 5)3 =c) (10 : 2)3 + (10 – 8)4 =

d) (16 – 10 – 4 )4 – 20 : (20 : 10)2 =

e) (10 + 2)2 · (9 – 6)3 + (30 : 3)3 =f) 24

· (26 – 25) – 63 : (40 – 4) =

6 Completa.

52 · 54 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 72 · 73 · 7 = =

93 · 92 = = 26 · 2 · 27 · 20 · 22 = =

Pista:

observa los resultados

obtenidos en

el ejercicio 3.

Estas propiedadesvalen si en lugar

de cuadrado se considera

el cubo y, en general,

cualquier otra potencia.4


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10 Matemática 1

7 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior, calcula directamente.

45 · 44 =

2

10

· 210

· 211

=

10 · 106 =

6 · 60

· 68

=

123 · 127 =

5

3

· 57

· 59

=

92 · 93 · 94 =

16

4

· 163

· 16 =

8 Completa.

26 : 22 =2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

2 · 2 = 24 53 : 5 = =

67 : 65 = = 104 : 104 = =

9 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio 4, calcula directamente.

39 : 36 = 919 : 910 = 1012 : 109 = 54 : 54 =

715 : 78 = 113 : 110 = 416 : 415 = 100100 : 10099 =

10 Completa.

(22)3 = 22 22 22 = 26 (55)4 =

(34)2 = (69)2 =

11 Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, calculadirectamente.

(26)3 = (22)2 = (32)3 = (75)5 = (812)0 = (15)2 =

12 Calcula expresando el resultado como una potencia.

2 · 24 : 2 = 59 : 56 · 5 =(32)4 · 33 = (43)5 : (42)7 =(62 · 63)2 = (93 : 9)2 =(6 – 2)3 · (6 – 2)4 = (3 + 1)2 · (3 + 1)5 : (3 + 1) =(7 – 3)2 · (8 – 4)3 : (6 – 2)2 = (9 + 2)6 : (112)2 =

13 Utiliza la calculadora. Escribe las diez primeras potencias de 3 y responde.

• ¿En qué cifras terminan esas potencias?

• ¿En qué cifras terminan las potencias de exponente par?

• ¿En qué cifra termina 312?

• ¿Y 372?

• Justifica tus respuestas.


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Actividad 5

¿Qué responde Emilio?

¿Qué número naturalelevado a la cuartaes igual a 81?

Si la potencia cuarta

de un número es625, ¿cuál es esenúmero?

¿Qué número deboelevar al cubo paraobtener el número

216?

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

= 625

= 216

Si 34 = 81 entonces 3 = 4√81

4√81 se lee raíz cuarta de 81

Se llama raíz n-ésima de un número natural a al número natural b tal que b elevado a la n es igual a a .

n√a = b porque bn = a n ∈ N, n > 1

índice n√a = b Si el índice es 2, no se escribey la raíz se llama raíz cuadrada .

radical radicando raíz n-ésima

Radicación


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12 Matemática 1

Resuelve

14 Calcula.

√36 =3√27 = √1 =

4√16 = √81 =

√100 =5√1 =

3√64 =3√125 =

5√32 =

15 Completa la siguiente tabla.

a b + a + b

0 1

4 0

9 4

1 9

4 1

Si comparas las columnas sombreadas, ¿qué puedes expresar?

16 Coloca los signos = o ≠ según corresponda.

√9 + 16 √9 + √16 √100 – 36 √100 – √36

√9 · 4 √9 · √43

√64 : 83

√64 :3

√8

17 Calcula el valor del número natural c, siendo c = b – a, si:

a3 = 64 b =3√ 8 · 125

18 Observa los siguientes cálculos. Corrígelos indicando los errores que se cometieron

y explica con tus palabras el porqué de ese error.

a) √82 + 62 + 6 – 2 = 18

b) 35 + 10 : 5 – √16 = 5

c) 12 – √ 25 · 4 :3√ 8 = 7

d)3√ 27.000 –

3√ 27 –3√ 1.000 = 0

19 En cada caso, ¿cuál es el número natural a?

a) La raíz cuadrada del número a disminuido en 7 unidades es 3.

b) La raíz cúbica de la diferencia del doble del número a y la unidad es 3.

c) Si a la raíz cúbica del número a se le suma 26 se obtiene 30.

d) Si al cuadrado del número a se le resta 2 se obtiene 14.


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Actividad 6

I V X L C D Mson símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Qué número, expresado en sistema decimal, representa cada símbolo?

Sistema de numeración

I V X L C D M

Decimal

• Completa las siguientes tablas utilizando esos símbolos básicos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000

• ¿Qué reglas cumple el símbolo I?

• ¿Qué otros símbolos cumplen las mismas reglas?

• ¿En qué ocasiones se utilizan en la actualidad estos símbolos?

Los mayas idearon un

sistema de base 20, con

el 5 como base auxiliar.

Desde el tercer milenio

a.C., los egipcios usaron

un sistema de escribir

los números en base 10,

utilizando los jeroglíficos

de la figura para

representar los distintos

órdenes de unidades.


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14 Matemática 1

Actividad 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9son símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Cómo se agrupan estos símbolos básicos?

• Si se ubica cada unidad simple con un punto, ¿cómo pueden representarse los números

34 y 23?

3 4 2 3

• ¿Qué valor tiene el número 3 en cada caso?

• 6 · 103 + 2 · 102 + 0 · 10 + 4 es el desarrollo decimal ¿de qué número?

0 1son símbolos básicos, ¿de qué sistema de numeración?

• ¿Cómo se agrupan?

• Si 7 = 1112 porque

¿cuáles son las representaciones en binario del número 9? ¿Y del número 12?

• El desarrollo binario de 7 es: 7 = 1.

• El desarrollo binario de 12 es: 12 =

• •

• •

•

••

1 1 1

El sistema de numeración

decimal, hoy de uso

universal, es una

invención hindú que

luego desarrollaron los

árabes. Fue introducida

en Europa, durante la

Edad Media, por los

comerciantes italianos,

quienes la habían

aprendido de los árabes.

El sistema de numeración

decimal tiene su origen enlos diez dedos de la mano.


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Resuelve

20 Completa la secuencia.

• V X XV XX

• III IX XV XXI

21 Completa la siguiente tabla.

Sistemas denumeración

Decimal 2.124 3.010

Romano DCCIV CMLVI MXC

22 Escribe el número que representa.

4 c, 7 d, 1 u = 6 u de mil, 3 d, 4 u =

8 d de mil, 2 u de mil = 5 c de mil, 8 u de mil, 9 d =

23 Escribe el desarrollo decimal de cada número.

25.315 = 12.004 =

132.032 = 400.612 =

24 Completa escribiendo el número correspondiente.

= 2 · 103 + 3 · 102 + 5 · 10 + 6 = 5 · 103 + 4 · 10 + 2

= 9 · 104 + 5 · 102 + 1 · 10 = 4 · 104 + 7 · 103 + 8 · 102 + 3

25 Realiza las agrupaciones necesarias para escribir en base 4 la cantidad expresada

por puntos en cada caso.

a) •

• •

• • •

b) • •

• • •

• • •

c) • • •

• • • •

• • • •

d) • • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

• Romano - No posicional

- No usa cero

- Es aditivo

• Decimal - Posicional

- Los símbolos básicos se agrupan en unidades de 10 en 10 (base 10)

• Binario - Posicional

- Los símbolos básicos se agrupan en unidades de 2 en 2 (base 2)

Un sistema de numeración es posicional porque además del valor que tiene en sí mismo cada símbolobásico, este tiene también un valor que depende de la posición que ocupa en la representación delnúmero.

Sistemas de numeración


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16 Matemática 1

1 Resuelve las siguientes sumas algebraicas y comprueba con la calculadora

los resultados que obtuviste.

a) 50 – 16 – 1 + 8 + 6 + 4 – 7 =

b) 15 + 6 – 10 + 7 – 18 =

c) 696 + 50 – 44 – 39 + 15 – 9 =

d) 81 – 3 + 48 + 20 – 32 – 10 + 1 =

2 En cada una de las siguientes sumas algebraicas, tacha los términos que puedan

suprimirse y luego resuelve.

a) 18 + 1 – 9 + 5 + 7 – 9 + 8 – 5 + 4 – 1 =

b) 4 + 2 – 4 + 5 – 3 + 6 – 2 + 3 – 5 =

c) 3 + 6 + 4 – 5 + 1 – 4 + 10 – 6 – 5 + 3 =

3 Calcula.

a) {10 – [2 + (5 – 4) – 1] } –2 =b) 45 + { [25 – (10 – 5) ] } =

c) (20 – 2) – { [ (12 – 3) + 1] – 4} =

4 Partiendo de 45 – 3 – 18 + 2 – 1 – 9 + 3 + 1,

a) calcula el resultado;

b) encierra el 2.do y el 3.er término en un paréntesis precedido por el signo menos; procede

del mismo modo con el 6.to y el 7.mo, de manera tal que al calcular el resultado, en este caso,

sea igual que en el ejercicio dado.

5 Separa en términos y resuelve.

a) 104 : 2 – 8 · 3 + 7 · 6 : 3 + 15 · 9 : 5 =

b) 10 · 20 · 30 – 50 · 5 + 4 · 10 · 100 =

c) 50 : 2 + 200 : 8 + 84 – (8 + 17) – 9 + 60 : 2 + 120 : 5 =

d) (10 – 5) · 4 – 2 · 8 + (4 – 3 + 2) · (15 – 4) =

e) (2 . 3 . 4 – 4 . 5) . (7 . 6 . 5 – 70) – (14 + 2 . 8) =

f) (15 · 4 – 30) · [25 – (10 + 5) ] =

g) 2 · {50 – 3 · [6 – 2 · (50 – 35 – 14) ] } =

h) {20 – [30 – 2 · (10 + 3) ] } + {4 · [2 · (6 – 1) ] } =

i) 625 : [5 – (5 – 1) ] – 5 · 2 · 50 + 6 · 5 : 15 – 3 =

j) 25 · (22 : 11) + 1.250 : 5 : 10 – 10 =

k) 192 : 2 + { [15 : 5 + (12 : 6) ] · 120} – 5 · 41 =

l) 8 · 6 : 4 : 2 + 1 + (3 + 9) · 5 – 2 · (23 –2) – 5 · (2 + 3) =

6 a) ¿Cuál es el dividendo?

Sabemos que el resto es inferior en una unidad al divisor, el cociente entero supera

en 2 unidades al divisor y el divisor es 5.

b) ¿Cuál es el resto?

Sabemos que el cociente es 3, el divisor supera al cociente en 2 unidades y el dividendo

es 6 veces el resto.

c) ¿Cuál es el resto?

Sabemos que el dividendo es igual a 26, el cociente igual a 4 y el divisor es el triple del resto.

El número cero ocupa

un papel primordial en lahistoria del desarrollo de

la abstracción por parte

del ser humano.

Se dice que, si bien ya

aparecía en la cultura

de la India hace unos

17.000 años, solo hace

alrededor de 1.500 años

que fue incorporado

como cifra en los cálculos

matemáticos.


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7 ¿En qué cifra termina 820? ¿Y 329? Justifica tus respuestas.

8 Separa en términos y resuelve.

a) (30 : 3)2

– 4 : 2 – 2 + 43

= b) (63

– 82

) – (100 : 10)2

+ 520

=

c) 44 : 42 – 3 + (12 : 4 + 3)2 = d) (128 : 24)2 : 25 + (3 · 2)3 =

e) [2 + 5 · 32 + 33 + 24] : 2 – (23 + 100)0 = f) √125 – 4 + 20 : √100 =

g)3√2 · 4 · 6 –

3√27 = h) √32 · 24 – (16 + 4 : 2) : 3 =

i)3√1.000 + √121 – √64 : 4 = j) √22 · 2 + 1 – (2 : 2 + 2) =

k) √9 – (30 + 2) : (5 – 2) = l) (1 + √16)2 : 5 –4√16 =

m) 52 · 24 : 4 + (2 · 3) 2 = n) (24 – 2 · 32 : 5√32) : 3 · 102 =

o)3√27 (8 – 2)2 · √100 – 64 = p) √32 : 23 · (62 – 25) =

9 Encuentra el número de 4 cifras que debes escribir en el recuadro, teniendo en cuenta

las referencias.

a) 4 · √4

b) √25 : 5

c) Potencia cero de la raíz cuadrada de 121 disminuida en 3.

d) Número cuya raíz cuadrada aumentada en 6 da por resultado 8.

a) b) c) d)

10 Dado el número 22.109.791, escribe un número que sea:

a) mayor en 220 decenas; b) menor en 1.999 unidades;

c) menor en 18 centenas de mil; d) mayor en 21 decenas de millón.

11 ¿Cuántos números naturales expresados en sistema decimal son menores que…?

a) 1002 b) 101

3

12 Escribe en sistema binario:

a) el mayor número de 4 cifras; ¿qué número decimal representa?

b) el menor número de 3 cifras; ¿qué número decimal representa?

13 Responde verdadero (V) o falso (F) y justifica.

a) 23 y 11.0002 son consecutivos. V F

b) 110.0102 y LII representan el mismo número. V F

c) 104 es múltiplo de 1.1012.

V F

Las computadoras

“utilizan” el sistema

de numeración

binario, basado en la

combinación de los

números cero y uno (0

y 1). Cada valor binario

se denomina bit ( binary

digit ). Ocho bits forman

un byte.

El matemático alemán

del siglo XVII, Leibniz,

fue el primero en

proponer el uso de un

sistema binario para

realizar los cálculos.


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18 Matemática 1

1 Si a = 5 y b = 3, ¿cuáles de las siguientes expresiones representa un número par?

I. 3a + 5b II. a (a + b) III. b + 2a + a ∙ b

A) Solo I. B) Solo II. C) Solo III. D) Ninguna opción es V.

2 Si se triplica la expresión 32, se obtiene:

A) 33 B) 36 C) 92 D) Ninguna opción es V.

3 ¿Qué valor debe tener x para que √x2 = 8?

A) 64 B) 16 C) 8 D) 4

4 En numeración decimal, el número MCMLXII se escribe así:

A) 1.957 B) 2.157 C) 2.962 D) 1.962

5 El número 11.101 expresado en binario corresponde, expresado en decimal, a:

A) 30 B) 29 C) 31 D) Ninguna opción es V.

14 Completa el siguiente crucinúmero binario. (Las referencias están en sistema decimal.)

Horizontal: 1) 2 2) 5 4) 3 5) 9 6) 7

Vertical: 1) 15 2) 6 3) 23 4) 14

1 2 3

4

5

6


14/14

id d ú t l

Encuentra los números de esta multiplicación.

5 2 4× ✱ ●

◆ 0 ■ 8

3 ✿ ✿ 8

3 7 7 2 8

¿Cuántos números capicúa de 4 cifras hay?

Continúa la serie.

★★ º / \\ : # ★★ º /

1 2 3 4 5 6 7 8 9

¿Qué símbolo ocupa el lugar 43? ¿Y el lugar 1.997?

Si hay 1.000 símbolos; ¿cuál ocupa el último lugar?

¿Cuántas campanadas

da el reloj durante

un día completo?

(Solo da campanadas

cada hora.)

Completa las casillas vacías con los números del 1 al 6,

de modo que no se repita ninguna cifra en ninguna fila, ni

columna, ni región.

• Siempre que dos casillas llevan números consecutivosestán ligadas por un círculo. Si no hay círculo, los números

no son consecutivos.

matematica cap 1

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