matemática aplicada

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Exercícios de Fixação

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    Unidade II5 EQUAES

    Introduo

    A resoluo de problemas matemticos est sempre associada lgica. Isso quer dizer que voc tem que usar raciocnio lgico quando analisa os problemas a serem resolvidos. Para que a matemtica possa ajud-lo a solucion-los, voc deve construir o que chamamos de uma sentena matemtica. O primeiro passo para resolver um problema construir a sentena matemtica em que aparece pelo menos um elemento que voc desconhece: o resultado. Na linguagem matemtica temos uma maneira de escrever por meio de smbolos.

    Linguagem e matemtica

    Sentena em portugus: Sentena matemtica:

    cinco somado a 8 5 + 8

    trs vezes cinco 3 x 5

    o dobro de um nmero 2 x X

    Note que quando desconhecemos o valor do elemento utilizamos uma letra para represent-lo; no exemplo acima, usamos o x para representar esse elemento. Esse elemento desconhecido recebe, na linguagem matemtica, o nome de varivel ou incgnita.

    Utilizando essa linguagem, qualquer pessoa que a conhea, no Brasil, Japo, China etc. pode resolver o problema.

    Uma equao pode ser comparada a uma balana de dois pratos, isto , deve manter o equilbrio. O contedo de cada lado deve ser equivalente. Assim, o smbolo de igualdade = usado para separar os dois lados da equao que se assemelham aos pratos da balana. Outro elemento importante em uma equao a resposta ao problema representado na equao. Para representar o valor desconhecido usamos uma letra qualquer, por exemplo, x. Assim, voc pode escrever uma equao desta forma:

    4x + 4 = 28

    Note que a sentena matemtica diz: quatro vezes x mais quatro igual a vinte e oito. A letra x representa a varivel ou incgnita.

    Podemos notar que toda equao tem:

    Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos que so denominadas variveis ou incgnitas.

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    Um sinal de igualdade, denotado por =.

    Uma expresso esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda.

    Uma expresso direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

    4 x + 4 = 28

    1 membro sinal de igualdade 2 membro

    As expresses do primeiro e segundo membro da equao so os termos da equao.

    Para resolver essa equao, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

    4x + 42 = 28 Equao original

    4x + 4 - 4 = 28 - 4 Subtramos 4 dos dois membros

    4x = 24 Dividimos por 4 os dois membros

    x = 6 Soluo

    Muito importante: quando adicionamos (ou subtramos) valores iguais em ambos os membros da equao, ela permanece em equilbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equao por um valor no nulo, a equao permanece em equilbrio. Esse processo nos permite resolver uma equao, ou seja, permite obter as razes da equao.

    5.1 Equaes do 1 grau

    Definio

    Uma equao definida como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domnios.

    Resoluo de uma equao do 1 grau

    Resolver uma equao do 1 grau significa achar valores que estejam em seus domnios e que satisfaam sentena do problema, ou seja, ser preciso determinar de forma correta a raiz da equao.

    Na forma simples de entender a soluo de equao do 1 grau, basta separar as incgnitas dos

    nmeros, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Dessa forma, os nmeros ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

    Para assimilar, veja alguns exemplos de fixao resolvidos:

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    a) Determine o valor do X:

    4x 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 x= 20/4 x = 5 >> V = {5} b) Qual o valor da incgnita x?

    2 3.(2 - 4x) = 82 6 + 12x = 812x = 8 - 2 + 612x = 6 + 6x = 12/12 x = 1V = {1} Outros exemplos de equaes de 1 grau: x + 5 = 10 5x 3 = 28 3x + 12 = 4

    2x 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 (x + 8) Observe que, como informado no mtodo de resoluo dos problemas que envolvem equaes do

    1 grau, sempre colocamos de um lado as incgnitas e de outros os nmeros para que se tenha assim a soluo da equao. Ao resultado da raiz d-se o nome de conjunto V ou conjunto de soluo S.

    Lembrete

    Os valores do conjunto solues tm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentena.

    A constante a tem que ser diferente de zero (a 0) Observe:

    Para a 0 e b 0, temos: x = -b/a S = {-b/a}

    Para a 0 e b = 0, temos: x = 0/a S = {0}

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    Agora, se a constante a for igual = 0 (a = 0), temos: b 0 e x = -b/0V = {0} Assim possvel notar que quando a constante a for igual a zero (a = 0), temos a conjunto V,

    chamado de conjunto Verdade, igual a zero.

    V = {0}, no existindo, neste caso, raiz ou soluo que satisfaa a equao, e a equao ento denominada de impossvel ou sem soluo.

    Ainda se tratando da forma (a 0), observe a seguinte suposio de equao:

    b = 00x = 0V = R Assim, possvel dizer que a equao indeterminada, pois qualquer valor para a incgnita x se

    torna raiz ou soluo da equao ou do problema dado.

    Incgnita com valor negativo

    Quando efetuarmos as devidas redues de termos, pode acontecer de o coeficiente que estiver acompanhando a varivel ser um nmero negativo (-).

    Caso isso ocorra, o correto a fazer multiplicar ambos os membros da equao por (-1), eliminando assim o sinal negativo.

    Veja alguns exemplos: a) 4x 2 = 6x + 8

    Reduzindo os termos:

    4x 6x = 8 + 2 -2x = 10 Verifique que o nmero que acompanha o x, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), e ento

    multiplicam-se os termos da equao por (-1). Assim, temos aos valores: -2x = 10 (-1) 2x = - 10

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    Verifique, ento, que aps multiplicar os termos por (-1) temos o coeficiente da incgnita x na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operao.

    x = -10/2 >> x = -5

    Como o valor de x = -5, ento V = {-5} Observao:

    O mtodo de resoluo de equaes do 1 grau, no qual se colocam os valores de um lado do sinal (=) e as incgnitas do outro, apenas uma forma prtica. Veja o que realmente ocorre:

    Repare:

    2x + 4 = 8

    Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x separado.

    Veja o que acontece:

    2x + 4 - 4 = 8 - 4 2x = 4 x = 2 V={2}

    Saiba mais

    As equaes do 1 grau que vimos neste item permitem resolver muitos problemas apresentados na vida cotidiana. Veja definies e exemplos em:

    .

    .

    . Acesso em: 08 maio 2011.

    5.2 Equaes do 2 grau

    As equaes algbricas so equaes nas quais a incgnita x est sujeita a operaes algbricas como: adio, subtrao, multiplicao, diviso e radiciao.

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    Denominamos equao do 2 grau toda equao do tipo ax+bx+c com coeficientes numricos a, b e c com a 0.

    Exemplos:

    Equao a b c

    x+4x+1 1 4 1

    -2x+3x-2 -2 3 -2

    Observe a equao e os coeficientes a, b e c separados.

    As equaes do 2 grau podem ser completas ou incompletas. So chamadas de incompletas se um dos coeficientes (b ou c) for nulo.

    Resoluo da equao do 2 grau incompleta:

    Caso 1: b=0A equao do 2 grau incompleta, veja a resoluo:

    x-9=0 x=9 x= x= Note que o coeficiente b no est presente.

    Caso 2: c=0A equao do 2 grau incompleta, veja a resoluo:x-9x=0 basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 x=0,9Note que o coeficiente c no est presente.

    Caso 3: b=c=02x=0 x=0Note que os coeficientes b e c no esto presentes.

    Resoluo da equao do 2 grau completa:

    As equaes do 2 grau completas so do tipo ax+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

    Uma equao do 2 grau pode ter at 2 razes reais, que podem ser determinadas pela frmula de Bhaskara.

    A frmula quadrtica de Bhaskara, Sridhara

    O fundamento usado para obter essa frmula foi buscar uma forma de reduzir a equao do 2 grau.

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    Seja a equao:

    a x + b x + c = 0

    com a no nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

    x + (b/a) x + c/a = 0

    Considerando a equao: ax+bx+c=0, vamos determinar a frmula de Bhaskara:

    Multiplicamos os dois membros por 4a:

    4ax+4abx+4ac=04ax+4abx=-4ac

    Somamos b aos dois membros:4ax+4abx+b=b-4ac

    Fatoramos o lado esquerdo e substitumos o lado direito (b-4ac) por (delta), temos ento:

    (2ax+b) =

    2ax+b =

    2ax=-b

    Temos ento a frmula de Bhaskara:

    Vamos agora usar a frmula de Bhaskara para resolver alguns exerccios:

    1) 3x-7x+2=0a=3, b=-7 e c=2

    = (-7)-4.3.2 = 49-24 = 25

    Substituindo na frmula:

    =

    e

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    Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao :

    2) -x+4x-4=0a=-1, b=4 e c=-4 = b2 - 4ac = 4-4.-1.-4 = 16-16 = 0

    Substituindo na frmula de Bhaskara:

    x=2

    Neste caso, tivemos uma equao do 2 grau com duas razes reais e iguais ( = 0).

    3) 5x-6x+5=0a=5 b=-6 c=5 = b2 - 4ac = (-6)-4.5.5 = 36-100 = -64

    Note que < 0 e no existe raiz quadrada de um nmero negativo. Assim, a equao no possui nenhuma raiz real.

    Logo: V = V = (conjunto vazio).

    As equaes do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano. Essa representao tem a forma de uma parbola.

    Grfico da funo:

    Lembre-se: a o coeficiente do x2 (ax2).

    Como podemos observar, a parbola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, depende o valor do coeficiente a.

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    Coeficiente a > 0, parbola com a concavidade voltada para cima.

    Coeficiente a < 0, parbola com a concavidade voltada para baixo.

    A funo do 2 grau pode ter trs resultados possveis, chamados razes. Esses resultados dependem do valor de . Fazendo f(x) = 0 podemos calcular essas razes pela formula de Bhskara. Lembrando que: = b2 - 4ac

    Quando > 0

    A equao do 2 grau possui duas solues distintas, isto , a funo do 2 grau ter duas razes reais e distintas. A parbola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos, como podemos ver abaixo:

    Quando = 0

    A equao do 2 grau possui uma nica soluo, isto , a funo do 2 grau ter apenas uma raiz real. A parbola ir intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

    Quando < 0

    A equao do 2 grau no possui solues reais, portanto, a funo do 2 grau no intersectar o eixo das abscissas (x).

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    Exemplos de aplicao

    1) A soma das idades de Andr e Clio 24 anos. Descubra as idades de cada um deles sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos.

    Resoluo: primeiro passamos o problema para a linguagem matemtica. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de Andr, logo a=c-4. Assim:

    c + a = 24c + (c - 4) = 242c - 4 = 242c - 4 + 4 = 24 + 42c = 28c = 14

    Resposta: Clio tem 14 anos e Andr tem 14-4=10 anos.

    2) O levantamento da populao de duas cidades revelou que a populao de uma delas, que chamaremos de cidade A, o triplo da populao da outra, chamada de cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

    Resoluo: identificaremos a populao da cidade A com a letra a e a populao da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma podemos escrever:

    a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000

    Resposta: Como a=3b, ento a populao de A corresponde a: a=325.000=75.000 habitantes.

    3) Uma casa com 260m2 de rea construda possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual a rea de cada quarto se as outras dependncias da casa ocupam 140m2?

    Resoluo: tomaremos a rea de cada dormitrio com letra x.

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    3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40

    Resposta: Cada quarto tem 40m2.

    4) Existem trs nmeros inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que nmeros so esses?

    x + (x + 1) + (x + 2) = 393 3x + 3 = 3933x = 390x = 130

    Voc pode verificar que os nmeros procurados so: 130, 131 e 132. 5) Resolva as equaes a seguir:

    a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

    Resposta a:

    18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6

    Resposta b:

    23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = 3/4

    Resposta c:

    10y - 5 - 5y = 6y - 6 -205y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21

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    Resposta d:

    x + 4x + x + 2x = 2x + 122x + 6x = 2x + 12Diminuindo 2x em ambos os lados:6x = 12x = 12/6 = 2

    Resposta e:

    [2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21

    Resposta f:

    4x + 24x - x = 5x4x - x - 5x = -24x-2x = -24x

    Dividindo por x em ambos os lados:

    -2x = - 24x = 24/2 = 12

    6) Determine um nmero real a para que as expresses (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais. (3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 66 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 802a = 44a = 44/2 = 22

    7) Resolva as seguintes equaes (na incgnita x):

    a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

    Resposta a:

    (20 - 8x) / 4x = x/4x20 - 8x = x

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    -8x = x 20-8x - x = -20-9x = -20x = 20/9

    Resposta b:

    3bx = 7bx + 3bc - 6bc3bx - 7bx = -3bc-4bx = -3 bcx = (3bc/4b)x = 3c/4

    Saiba mais

    Veja um exemplo de resoluo de equao do segundo grau no site abaixo:

    . Acesso em: 08 maio 2011.

    6 FUNES

    6.1 Conceito

    Em matemtica, uma relao apenas um conjunto de pares ordenados. Se utilizamos { } como o smbolo para o conjunto, temos abaixo alguns exemplos de relaes entre pares ordenados:

    {(0, 1), (55.22), (3, - 50)}

    {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}

    {(- 1,7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}

    Por vezes podemos identificar, em vrias situaes prticas, variveis que esto em relao de dependncia. Aqui, buscamos explicitar situaes que envolvam essa relao de dependncia, determinando, assim, suas variveis.

    Essa identificao ser baseada em parte da teoria de conjuntos vista na unidade I. L, verificamos que podemos relacionar nmeros por meio de relaes grficas em um plano cartesiano, nmeros que, de maneira geral, so chamados de x e y pelos matemticos.

    Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia empregamos o conceito de funo, at sem perceber.

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    Exibiremos a seguir algumas situaes do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relaes funcionais.

    Quando completamos rapidamente o clculo do valor de um lanche em que pedimos dois salgados e um refrigerante, no sabemos imediatamente quanto iremos gastar?

    Ao completarmos uma previso de gastos residenciais e compar-los com a renda familiar, saberemos se teremos condies de adquirir um bem?

    Ao finalizarmos um credirio e verificarmos que o valor final ter um acrscimo de determinada soma, poderemos aceitar ou no os juros propostos pela empresa.

    Ao calcularmos a quantidade de material necessria para uma reforma, poderemos estimar os gastos iniciais?

    fato que o conceito de funo, juntamente com sua representao grfica, a ferramenta matemtica mais potente na formatao de problemas empresariais, motivo que nos levar a estud-lo de modo amplo. Alm disso, deve-se exercitar continuamente, pois o gestor precisa tomar decises constantemente, amparado por ferramentas matemticas, para obter o sucesso pretendido. Claramente, em uma relao entre pares ordenados, no h absolutamente nenhuma condio especial que a estabelea, isto , qualquer conjunto de nmeros uma relao, contanto que esses nmeros sejam pares ordenados.

    J para uma funo temos condies precisas que definem sua existncia. Ainda assim, funes so um tipo especial da relao.

    Vejamos:

    Uma relao f: A B chamada de funo se:

    (I) no h elemento x em A sem correspondente y em B (no podem sobrar elementos de A);

    (II) qualquer elemento x de A tem um nico correspondente y em B (no pode haver elemento de A associado a mais de um elemento de B).

    Observao: no entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de B e podem sobrar elementos de B.

    Outra representao, mais conveniente e muito mais utilizada, : uma funo uma relao entre duas variveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribudo e a cada valor x seja associado um e somente um nico valor para y, como y = f(x).

    Nesse caso:

    O conjunto de valores de x nomeado o domnio da funo.

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    As variveis x e y so nomeadas, simultaneamente, independente e dependente.

    A relao entre as variveis x e y tem uma significao de grande apelo visual, que destaca propriedades da funo.

    Pode-se, por meio da descrio grfica da funo, observar diretamente, por exemplo, se as variveis esto em relao crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variao de y dependente quadrtica da variao de x, etc.

    6.2 Definio

    Dados dois conjuntos A e B no vazios, chama-se funo (ou aplicao) de A em B, representada por f : A B ; y = f(x), a qualquer relao binria que associa a cada elemento de A um nico elemento de B.

    Portanto, para que uma relao de A em B seja uma funo, exige-se que a cada x A esteja associado um nico y B, podendo, entretanto, existir y B que no esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

    Observao: na notao y = f(x), entendemos que y imagem de x pela funo f, ou seja: y est associado a x por meio da funo f.

    Exemplos:

    f(x) = 4x+3 ; ento f(2) = 4.2 + 3 = 11 e, portanto, 11 imagem de 2 pela funo f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto, 23 imagem de 5 pela funo f , f(0) = 4.0 + 3 = 3 etc.

    Para definir uma funo, necessitamos de dois conjuntos (domnio e contradomnio ) e de uma frmula ou uma lei que relacione cada elemento do domnio a um e, somente, um elemento do contradomnio.

    Quando D(f) (domnio) R e CD(f) (contradomnio) R, sendo R o conjunto dos nmeros reais, dizemos que a funo f uma funo real de varivel real. Na prtica, costumamos considerar uma

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    funo real de varivel real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possveis para x, chamado de domnio e o conjunto dos valores possveis para y, chamado de conjunto imagem da funo. Assim, por exemplo, para a funo definida por y = 1/x, temos que o seu domnio D(f) = R, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se de que no existe diviso por zero), e o seu conjunto imagem tambm R, j que se y = 1/x, ento x = 1/y e, portanto, y tambm no pode ser zero.

    Lembre-se: o smbolo significa contido em.

    Dada uma funo f: A B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) f onde:

    x A e y B, num sistema de coordenadas cartesianas. O grfico obtido ser o da funo f.

    Assim, por exemplo, sendo dado o grfico cartesiano de uma funo f, podemos dizer que:

    a) a projeo da curva sobre o eixo dos x nos d o domnio da funo.

    b) a projeo da curva sobre o eixo dos y nos d o conjunto imagem da funo.

    c) toda reta vertical que passa por um ponto do domnio da funo intercepta o grfico da funo em, no mximo, um ponto.

    Veja a figura abaixo, relativa aos itens acima:

    6.3 Tipos de funes

    6.3.1 Funo sobrejetora

    aquela cujo conjunto imagem igual ao contradomnio.

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    Exemplo:

    6.3.2 Funo injetora

    Uma funo y = f(x) injetora quando elementos distintos do seu domnio possuem imagens distintas, isto :

    x1 x2 f(x1) f(x2)

    Exemplo:

    6.3.3 Funo bijetora

    Uma funo dita bijetora quando , ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

    Exemplo:

    Exemplos de aplicao

    1) Considere trs funes f, g e h, tais que:

    A funo f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade.A funo g atribui a cada pas a sua capital.A funo h atribui a cada nmero natural o seu dobro.

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    Podemos afirmar que, das funes dadas, so injetoras:

    a) f, g e h

    b) f e h

    c) g e h

    d) apenas h

    e) nenhuma das alternativas anteriores

    Resoluo:

    Sabemos que numa funo injetora elementos distintos do domnio possuem imagens distintas, ou seja:

    x1x2 f(x1) f(x2)

    Logo, podemos concluir que:

    f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.

    g injetora, pois no existem dois pases distintos com a mesma capital.

    h injetora, pois dois nmeros naturais distintos possuem os seus dobros tambm distintos.

    Assim, conclumos que a alternativa correta a letra C.

    2) Seja f uma funo definida em R - conjunto dos nmeros reais tal que f(x - 5) = 4x. Nessas condies, pede-se determinar f(x + 5).

    Resoluo:

    Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:

    x - 5 = u x = u + 5

    Substituindo agora (x - 5) pela nova varivel u e x por (u + 5), vem:

    f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

    Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

    3) (UEFS 2005) Sabendo-se que a funo real f(x) = ax + b tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, para todo x ?R, pode-se afirmar que b/a igual a:

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    a) 2 b) 3/2c) 1/2d) -1/3e) -3

    Resoluo:

    Ora, se f(x) = ax + b, ento f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b

    Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem igualando:

    a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2

    Efetuando o produto indicado no primeiro membro fica:

    2ax2 + a + b = -2x2 + 2

    Ento, poderemos escrever: 2a = -2 a = -2/2 = -1

    E, tambm, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo:

    (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

    Logo, o valor procurado a/b ser a/b = -1/3, o que nos leva tranquilamente alternativa d.

    Agora resolva este:

    A funo f em R tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).

    Resposta: 9x + 5.

    6.4 Funes usuais

    6.4.1 Funo par

    A funo y = f(x) par, quando x D(f) , f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu domnio, f(x) = f (-x). Portanto, numa funo par, elementos simtricos possuem a mesma imagem. Uma consequncia desse fato que os grficos cartesianos das funes pares so curvas simtricas em relao ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.

    Lembre-se, o smbolo l-se qualquer que seja.

    Exemplo:

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    y = x4 + 1 uma funo par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(-2) = (-2)4 + 1 = 17

    O grfico abaixo de uma funo par.

    6.4.2 Funo mpar

    A funo y = f(x) mpar, quando ?? x D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do seu domnio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa funo mpar, elementos simtricos possuem imagens simtricas. Uma consequncia desse fato que os grficos cartesianos das funes mpares so curvas simtricas em relao ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

    Exemplo:

    y = x3 uma funo mpar, pois para todo x teremos f(-x) = - f(x). Por exemplo, f(-2) = (-2)3 = - 8 e - f(x) = - (23) = - 8.

    O grfico abaixo de uma funo mpar:

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    Entenda mais: se uma funo y = f(x) no par nem mpar, diz-se que ela no possui paridade.

    Exemplo:

    O grfico abaixo representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao origem.

    6.4.3 Funo constante

    toda funo f(x) = k, em que k uma constante real. Verifica-se que o grfico dessa funo uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. O grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo dos x. Veja o grfico abaixo:

    Exemplos:

    a) f(x) = 7b) f(x) = -2

    6.4.4 Funo linear

    Sendo A e B conjuntos de nmeros reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma funo f: A B, com f (x) = a.x uma funo linear.

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    O grfico de uma funo linear um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0), ou a origem do grfico cartesiano:

    f(x) = ax (a R)

    Voc pode dizer tambm: o grfico da funo linear uma reta no perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

    6.5 Funo do 1 grau

    Esse tipo de funo apresenta um grande nmero de aplicaes em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados, em primeira aproximao, por esse tipo de funo, da seu uso frequente em economia, gesto de recursos humanos, descries de mercado etc.

    Uma funo chamada de funo afim (ou funo do 1 grau) se sua sentena for dada por y = a.x + b, sendo a e b constantes reais com m 0.

    Verifica-se que o grfico de uma funo do 1 grau uma reta. Assim, o grfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos.

    1. A constante b chamada de coeficiente linear e representa, no grfico, a ordenada do ponto de interseo da reta com o eixo y.

    MATEMTICA APLICADA2. A constante a chamada de coeficiente angular e representa a variao de y correspondente a

    um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando a > 0, o grfico corresponde a uma funo crescente, e, quando a < 0, o grfico corresponde a uma funo decrescente.

    Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1

    1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes quelas abscissas. Teremos:

    y1 = a . x1 + by2 = a . x2 + b

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    Subtraindo membro a membro as duas relaes anteriores e tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtm-se o coeficiente angular a:

    2. Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1, y1) e B (x2, y2), o coeficiente angular a facilmente determinado.

    3. Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0, y0) de uma reta e seu coeficiente angular a, a funo correspondente dada por y y0 = a (x x0). Ou seja: equao da reta y=a.(x - x0) + y0

    Propriedades da funo do 1 grau:

    1. O grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta.

    2. Na funo f(x) = ax + b, se b = 0, f dita funo linear e se b 0 f dita funo afim.

    3. O grfico intercepta o eixo dos x na raiz da equao f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a.

    4. O grfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), onde b chamado coeficiente linear.

    5. O valor a chamado coeficiente angular e d a inclinao da reta.

    6. Se a > 0, ento f crescente.

    7. Se a < 0, ento f decrescente.

    8. Quando a funo linear, ou seja, y = f(x) = ax, o grfico uma reta que sempre passa na origem.

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    6.6 Aplicaes

    O valor a ser pago na conta de gua de uma empresa depende do consumo medido no perodo; o tempo de uma viagem de caminho entre duas cidades depende da velocidade mdia desenvolvida no trajeto; consequentemente, um clculo que nos leva a um custo logstico.

    Unidade IQuando uma indstria lana um produto no mercado, para fixar o preo desse produto, ela

    tem que levar em conta os custos para a sua produo e distribuio, que dependem de diversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prdio, custo das matrias-primas e salrios. Como esses custos podem variar, a indstria tem que equacionar essas variveis para compor o preo do seu produto.

    Podemos utilizar a linguagem matemtica para representar essas relaes de dependncia entre duas ou mais grandezas.

    Dizemos que:

    o preo de uma pea de carne dado em consequncia do peso da pea;

    a taxa de desemprego dada conforme o ms.

    Vejamos algumas definies teis em uma anlise gerencial em que se utilizam os conceitos e mtodos analticos das funes.

    6.6.1 Demanda e oferta de mercado

    6.6.1.1 Funo demanda de mercado

    A demanda (ou procura) de um determinado bem a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, ms, ano e outros). Podemos entender a demanda como a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir em diversos nveis de preo. Devemos observar uma relao inversa/negativa entre preo e quantidade (lei geral da demanda). O que isso significa?

    Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja:

    Se o preo estiver subindo, eu vou comprar menos.

    A demanda de um bem se d por causa de vrias variveis: preo por unidade do produto, renda do consumidor, preos de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variveis mantenham-se constantes, exceto o preo unitrio do produto (p), verifica-se que o preo p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se funo de demanda a relao entre p e x, indicada por p = f(x).

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    O que regula a demanda de consumo? Fatores como:

    preo; renda; preo de produtos similares; gosto; expectativa; nmero de consumidores; marca; atendimento; localizao; forma de pagamento; qualidade; propaganda; status; etc.

    Existe a funo de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, em um nvel de preo p). Em geral, quando nos referirmos funo de demanda, estamos nos referindo a um grupo de consumidores que chamaremos de funo de demanda de mercado.

    Qd = -a.P +b

    Onde:

    Qd a quantidade de demanda por unidade de tempo;

    P o preo do bem.

    Essa funo de 1 grau representada por uma reta decrescente, j que a < 0. Isso est em concordncia com o grfico de p em funo de x (que chamaremos de curva de demanda), o de uma funo decrescente, pois, quanto maior o preo, menor a quantidade demandada. Cada funo de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variveis (renda, preo de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configurao dessas outras variveis, teremos nova funo de demanda.

    6.6.1.2 Funo oferta de mercado

    Por outro lado, temos a definio de funo oferta: a quantidade de produtos que vendedores desejam e podem produzir para vender em diversos nveis de preo. Existe uma relao direta/positiva entre preo e quantidade (lei geral da oferta).

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    Quando se tratar de oferta, pense como um empresrio: Se o preo estiver subindo, eu vou vender mais produtos.

    Quais so os fatores que influenciam a oferta feita ao mercado?

    preo; preo dos insumos; tecnologia; expectativa; concorrncia; demanda; sazonalidade; impostos; temperatura; disponibilidade dos insumos; tecnologia; religio; etc.

    Chama-se de oferta de um bem a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado em certo intervalo de tempo. A oferta depende de muitas variveis: preo do bem, preo dos insumos utilizados na produo, tecnologia utilizada e outras. Mantidas constantes todas as variveis, exceto o preo do prprio bem, chamamos de funo de oferta a relao entre o preo do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).

    Normalmente, o grfico de p em funo de x o de uma funo crescente, pois quanto maior o preo, maior a quantidade ofertada. Tal grfico chamado de curva de oferta. Observemos que temos uma curva de oferta para cada configurao das outras variveis que afetam a oferta.

    6.6.2 Preo e quantidade de equilbrio

    o ponto de interseo entre as curvas de demanda e oferta. Assim, temos um preo e uma quantidade de equilbrio:

    Por exemplo:

    demanda

    oferta

    500

    p

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    x I

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    6.6.3 Receita total

    Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de funo receita o produto de x pelo preo de venda e indicamos por R.

    6.6.4 Custo total5

    Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produo (ou simplesmente custo) depende de x, e relao entre eles chamamos de funo custo total (ou simplesmente funo custo) e a indicamos por C.

    Existem custos que no dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que no depende da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo varivel e indicamos por CV. Assim, podemos escrever:

    C = CF + CV

    Verificamos tambm que para x variando dentro de certos limites (normalmente no muito grandes), o custo varivel geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante chamada de custo varivel por unidade.

    6.6.5 Ponto crtico (break even point) ou ponto de nivelamento

    O ponto de nivelamento o valor de x tal que R(x) = C(x).

    6.6.6 Funo lucro

    definida como a diferena entre a funo receita R e a funo custo C. Assim, indicando a funo lucro por L, teremos:

    L(x) = R(x) C(x) APLICADA

    6.6.7 Margem de contribuio

    a diferena entre o preo de venda e o custo varivel por unidade.

    Vamos, agora, resolver alguns exerccios repetindo e exemplificando essas definies administrativas de grande importncia em atividades empresariais.

    5 Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

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    Exerccios aplicados administrao

    1. Quando o preo de venda de uma determinada mercadoria $ 100,00, nenhuma vendida; quando a mercadoria fornecida gratuitamente, 50 produtos so procurados. Ache a funo do 1 grau ou equao da demanda e calcule a demanda para o preo de $ 30,00.

    Resoluo

    Sejam: p = preo de venda e D = demanda.

    Do enunciado, temos: 1) p = 100 D = 0 e 2) p = 0 D = 50.

    Como a funo do 1 grau, y = ax + b e, fazendo x = p e y = D, temos:

    D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da funo.

    Substituindo p = 100 e D = 0 0 = a.100 + b (Equao I).

    Substituindo p = 0 e D = 50 50 = a.0 + b b = 50.

    Voltando equao I, temos:

    0 = a.100 + 50 a = 0,5, e da, D = -0,5p + 50.

    A equao de demanda ou funo demanda :

    D = 0,5p + 50.

    Substituindo p = 30 na equao D = 0,5p + 50, temos:

    D = 0,5. 30 + 50 = 65.

    Assim, para o preo de $ 30,00 a demanda de 65 unidades.

    2. Suponha que as funes demanda e oferta sejam dadas por funes lineares, tais que:

    D(p) = 34 - 5pS(p) = -8 + 2p

    Qual o preo de equilbrio de mercado para essas funes?

    Resoluo

    De acordo com a definio dada, o equilbrio de mercado um par (p,y) tal que y = D(p) = S(p), ou seja:

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    34 - 5p = -8 +2p34 + 8 = 2p + 5p42 = 7pp = 6

    Logo, o preo do equilbrio R$ 6,00.

    Para obter a quantidade de equilbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funes, utilizando a funo oferta; temos:

    S = -8 + 2.6 = 4.

    Logo, a quantidade de equilbrio de 4 unidades.

    3. Considere a funo RT = 20,5.q, em que o preo fixo (R$ 20,50) e q a quantidade de produtos vendidos (0 q 120 unidades). Qual a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00?6

    Resoluo

    RT = 102520,5.q = 1025q = 102520,5q = 50 unidades vendidas.

    Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando so vendidas 50 unidades do produto.

    Saiba mais

    Veja outras consideraes e tambm grficos de uma funo nos sites:. .

    Acesso em: 08 maio 2011.

    7 AJUSTE DE CURVAS Em matemtica e estatstica aplicada existem muitas situaes em que conhecemos uma tabela

    de pontos (x; y). Nessa tabela, os valores de y so obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expresso analtica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos.

    6 Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

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    Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo total (CT) de um produto em funo da quantidade q de produo, como mostra a tabela abaixo:

    Quantidade (q) Custo total (CT)

    1 164

    2 272

    3 348

    4 416

    5 500

    Fazendo a representao grfica dos pontos da tabela abaixo, temos:

    Custo total x Quantidade

    Observamos que no grfico acima no passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos fazer as seguintes perguntas:

    1) Qual a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto , qual a expresso analtica ou a funo que melhor se ajusta para os pontos (x; y)?

    2) Qual a previso do custo total para dez unidades do produto?

    Observao: As respostas destas duas questes voc encontrar mais frente, no item 7.2.

    7.1 Introduo regresso linear

    A ttulo de exemplo, utilizaremos pares ordenados resultantes de algum experimento, como:

    x x1 x2 x3 x4 x5 ... xn-1 xn

    y y1 y2 y3 y4 y5 ... yn-1 yn

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    A ordenao desses pares em uma distribuio cartesiana ser influenciada pelos valores de xi e yi, (i = 1...n), logo, podemos obter, por exemplo, o seguinte grfico:

    Figura 4: Fonseca; Martins; Toledo (2009).

    Podemos constatar a possibilidade de obteno de uma funo real que passe nos pontos ou pelo menos passe prxima dos pontos (xi,yi) dados.

    A teoria de interpolao a rea matemtica destinada a estudar tais processos para obter funes que passem exatamente pelos pontos dados, enquanto que a teoria de aproximao estuda processos resultantes de funes que se aproximem ao mximo dos pontos dados. Lgico que se pudermos gerar funes que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expresso fcil de ser manuseada teremos gerado algo positivo e de valor cientfico.

    Existem vrios processos matemticos para a soluo do problema; podemos destacar o mtodo dos mnimos quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em estatstica de regresso linear ou ajuste linear.

    Entre as curvas mais comuns aplicadas, esto:

    Ordem Funo Nome

    1 y = ao+a1 x Reta

    2 y = ao+a1 x+a2 x Parbola

    A proposta de qualquer uma das funes encontrar quais so os valores dos coeficientes a0, a1 e a2, de forma que a soma dos quadrados das distncias (tomadas na vertical) da referida curva y = f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a praticvel, da o nome mtodo dos mnimos quadrados. Isso pode ser feito atravs de clculos avanados que consideram todas as variveis utilizadas ou simplificado pelo chamado mtodo dos mnimos quadrados que estudaremos a seguir.

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    Mtodo dos mnimos quadrados (MMQ)

    Consiste em um dos mais simples e eficazes mtodos da anlise de regresso. utilizado quando temos uma distribuio de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.

    7.2 Regresso linear

    Analisaremos o caso em que a curva de ajuste uma funo linear, muito frequente nos casos empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e tomadas de decises, problemas mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variveis mais significativas para cada caso.

    Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo grfico uma reta.

    A equao da reta ou a funo que aproxima o conjunto de pontos dada por:

    y = Ax + B

    Onde: n = nmero de pontos observados;x= soma dos valores de x (abscissas);y= soma dos valores de y (ordenadas);x.y = soma dos produtos entre x e y;x2 = soma dos quadrados dos valores de x;

    (mdias aritmticas).

    Aplicaremos o modelo para responder s duas perguntas do problema inicialmente proposto no item 7.

    Para facilitar os clculos, construmos a tabela e calculamos os elementos da frmula do mtodo dos mnimos quadrados, onde y representa o custo total (CT) e x representa a quantidade q.

    x y x.y x2

    1 164 164 1

    2 272 544 4

    3 348 1044 9

    4 416 1664 16

    5 500 2500 25

    Soma = 15 1700 5916 55

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    Substituindo os valores de A e B, a equao da reta que aproxima os pontos da tabela :

    y = 81,6x + 95,20

    Isto , CT = 81,6q + 95,20, e a previso para a quantidade q = 10 unidades dada por:

    q = 10 CT = 81,6. 10 + 95,20 = 911,20.

    Assim, o custo total para dez unidades de $ 911,20.

    Graficamente:

    Custo total x Quantidade

    y = 81,6x + 95,2

    Lembramos aqui que o smbolo a representao de um somatrio e corresponde letra grega sigma maiscula.

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    7.3 Regresso quadrtica

    Em muitos problemas de matemtica aplicada tambm comum ocorrerem situaes em que a curva de ajuste no uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo grfico uma funo quadrtica, exponencial, logartmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste uma funo quadrtica: y = ax2 + b.x + c.

    O modelo de ajuste da regresso quadrtica dado por y = Ax + Bx + C, onde A, B e C so uma soluo do sistema de equaes lineares abaixo:

    Exemplo:

    A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preos de venda correspondentes em determinado perodo:

    Quantidade vendida 150 185 210 173 145

    Preo de venda 15 38 59 80 100

    Ajuste uma parbola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preo de venda igual a R$ 120,00.

    Soluo - grfico

    Quantidade X preo de venda

    Quan

    tidad

    e em

    unid

    ades

    Preo de venda em R$

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    Para facilitar os clculos, construmos uma tabela e calculamos os elementos da frmula do ajuste da parbola, onde y representa a quantidade e x o preo de venda, e, na ltima linha, os somatrios das colunas.

    x y x.y x2 x3 x4 x2. y

    15 150 2250 225 3375 50625 33750

    38 185 7030 1444 54872 2085136 267140

    59 210 12390 3481 205379 12117361 731010

    80 173 13840 6400 512000 40960000 1107200

    100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000

    292 863 50010 21550 1775626 155213122 3589100

    Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equaes e resolvendo, obtemos:

    A = -0,0298 B = 3,3416 e C = 105,95.

    A equao que aproxima os pontos da tabela :

    y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95.

    Isto , q = - 0,0298 p2 + 3,3416 p + 105,95,

    onde q representa a quantidade demandada e p o preo de venda.

    Calculando a projeo da quantidade para o preo de venda igual a R$ 120,00, temos:

    p = 120 q = -0,0298. (120)2 + 3,3416. 120 + 105,95 = 77,82.

    Assim, a quantidade demandada para o preo de R$ 120,00 de 77,82 unidades. Note que quando tratamos de unidades vendidas o resultado pode ser aproximado, no caso, podemos aproximar para 78 unidades.

    Graficamente:Quantidade X preo de venda

    y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95

    Qua

    ntid

    ade

    em

    unid

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    Preo de venda em R$

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    O estudo das regresses muito aplicado em problemas de estatstica. Se estamos interessados em aprender o processo (isto , fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as mudanas que ocorreram quando passamos da reta para a parbola. No construiremos o processo para funo cbica ou at mesmo qurtica, mas a analogia entre os casos permanece.

    Obviamente, quando necessitamos desse tipo de anlise empresarialmente, buscamos solues rpidas para os casos de interesse. A grande aliada desse tipo de clculo a informtica, que nos possibilita ter disposio programas domsticos, pacotes e at sistemas dedicados a cada nova situao a ser simulada.

    O mtodo de regresso linear consta, por exemplo, no tutorial do Microsoft Excel, que faz parte do pacote Office da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos profissionais.

    fcil utiliz-lo para ajustar curvas ou equaes de mltiplas variveis. O programa possui duas ferramentas para desenvolver regresses.

    A primeira a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opo precisa ser instalada por meio do menu Ferramentas/Suplementos/Anlise de dados, escolhendo-se depois a opo Ferramentas/Anlise de dados/Regresso.

    Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resduos e gerar os grficos automaticamente, porm, cada nova equao precisa ser gerada desde o incio.

    No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente s alteraes nos dados e o programa aceita at 16 variveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em uma planilha a partir do formato da varivel dependente (y), como descrito a seguir:

    A ferramenta de anlise Regresso realiza uma anlise de regresso linear usando o mtodo de quadrados mnimos para encaixar uma linha em um conjunto de observaes. Podemos analisar como uma nica varivel dependente afetada pelos valores de uma ou mais variveis independentes.

    Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta afetado por fatores como idade, altura e peso. Podemos distribuir partes da medio de desempenho para cada um desses trs fatores, com base em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, usar os resultados para prever o desempenho de um novo atleta no testado. A ferramenta Regresso usa a funo de planilha LINEST.

    Sistemtica de clculo

    Para uma funo linear, com o aspecto formal tipo Y = a0 + a1*X1+ a2*X2+... +ak*Xk, o ajustamento

    da equao de regresso pode ser realizado com a funo estatstica PROJ.LIN (na verso em ingls, LINEST), da seguinte forma:

    1) Selecionar (com mouse ou teclas de movimentao) um grupo de clulas: 5 linhas x nmero de colunas igual ao nmero de parmetros a estimar (variveis independentes mais a constante);

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    2) Entrar a frmula, indicando primeiro a coluna da varivel dependente, em seguida a faixa de colunas das variveis independentes, depois a existncia ou no da constante no modelo (default = sim, 0 = no) e o desejo de receber o conjunto de informaes completo (default = no, verdadeiro = sim), adquirindo o seguinte aspecto:

    =PROJ.LIN (A2:A13; B2:D13; verdadeiro).

    Nem sempre se usar e . Conforme opes de instalao do programa, em vez de verdadeiro, sendo que tambm possvel que o correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (A2:A13, B2:D13,,true).

    3) Inserir esta funo como matriz, pressionando simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer alterao na frmula somente ter efeito se a matriz resposta for selecionada inteiramente e a nova frmula for inserida igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER.

    Como resultado dos clculos efetuados pelo programa, ser exibida uma matriz sempre com o seguinte formato:

    ak ak-1 ... a2 a1 a0

    epk epk-1 ... ep2 ep1 ep0

    r2 epy #N/D #N/D #N/D #N/D

    F GL #N/D #N/D #N/D #N/D

    SQRegres SQResid #N/D #N/D #N/D #N/D

    Onde a0 a constante, a1.ak so os coeficientes das variveis, ep0...epk so os erros padro de cada estimativa destas, R2 o coeficiente de determinao, epy o erro padro da estimativa, F o parmetro de teste de Fischer-Snedecor, GL o nmero de graus de liberdade, SQRegres a soma dos quadrados da regresso e SQResid a soma dos quadrados dos resduos. Os elementos marcados como #N/D so espaos sem resultado, normais, decorrentes do desenho da funo (na verso em ingls vem #N/A).

    importante verificar que a posio dos elementos no quadro de resultados sempre a mesma, independentemente da posio dos dados da amostra na planilha, indicados na frmula.

    Os testes t podem ser determinados pela razo entre os dados da primeira e da segunda linha, (tai=ai/epi). Os erros sero calculados utilizando os coeficientes determinados (ateno posio deles: a constante est na ltima coluna, o coeficiente da primeira varivel na penltima e assim por diante).

    Mais esclarecimentos podem ser encontrados no item regresso (regression), no menu Ajuda do programa.

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    8 MATEMTICA FINANCEIRA

    8.1 Conceitos de juros e taxas

    A maioria das questes financeiras construda por algumas frmulas-padro e estratgias de negcio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os bancos ou empresas oferecem juros compostos para seus clientes. Estamos em um momento financeiro mundial em que as chamadas taxas de juros devem baixar para que no tenhamos um colapso da estrutura econmica (desemprego, repercusses sociais etc.). Assim, a matemtica financeira destina-se a fornecer subsdios para a anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.

    De modo geral, podemos afirmar que esta disciplina a diviso da matemtica aplicada que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, quantificando as transaes que ocorrem no universo financeiro, levando em conta a varivel tempo, ou seja, o valor monetrio no tempo (time value money, como se diz usualmente no mercado financeiro). As principais variveis tratadas no processo de quantificao financeira so taxa de juros, capital e tempo.

    Os conceitos de matemtica financeira so integralmente aplicveis tanto nos fluxos de caixa sem inflao, expressos em moeda estvel forte, quanto nos fluxos de caixa com inflao, expressos em moeda fraca, que perdeu seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrncia da inflao.

    Iniciaremos nossos estudos considerando a hiptese de moeda estvel, isto , assume-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantm o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo.

    A seguir, veremos os reflexos da inflao na anlise dos fluxos de caixa, segundo os modelos pr-fixado e ps-fixado.

    A diferena bsica existente nos dois modelos corresponde ao valor percentual da taxa de juros a ser adotada em cada caso. evidente que nenhum conceito de matemtica financeira sofre qualquer alterao pela mera variao do valor da taxa de juros.

    Consideremos um breve estudo dos conceitos mais utilizados:

    Juros

    Juro a remunerao gerada por um capital aplicado ou emprestado. O valor obtido pela diferena entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes.

    Podemos, ento, dizer que juros so a remunerao de um capital aplicado a uma taxa estipulada previamente durante um determinado prazo. Resumindo: o valor recebido pela utilizao de dinheiro emprestado.

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    Logo,

    Juros (J) = preo do crdito.

    A incidncia de juros resultado de vrios fatores, entre os quais podemos destacar:

    inflao: reduo do poder aquisitivo da moeda num determinado espao de tempo;

    risco: os juros recebidos representam garantia contra possveis riscos do investimento;

    fatores prprios da natureza humana, lembrando que a relao entre o homem e o dinheiro uma das mais complexas de descrever, tanto social quanto psicologicamente.

    Taxa de juros

    a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor percentual a ser pago pelo uso do capital emprestado durante um tempo pr-estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal etc.). Assim, a taxa de juros o valor produzido numa unidade de tempo e simbolizada pela letra i.

    Exemplo:

    10% ao ms; sua representao poder ser feita na forma decimal, isto , 0,10.

    Podemos observar tambm na tabela abaixo:

    Forma percentual Transformao Forma unitria

    20% a.m. 20 100 0,20 a.m.

    3% a.a. 3 100 0,03 a.a.

    13,5% a.m. 13,5 100 0,135 a.m.

    5% a.d. 5 100 0,05 a.d.

    A modalidade em que a taxa de juros aplicada ao capital inicial ao longo de determinado perodo denomina-se sistema de capitalizao simples (juros simples). J quando a taxa de juros aplicada sobre o capital atualizado com os juros do perodo (montante), temos um sistema de capitalizao composta (juros compostos). Em geral, e por razes bvias, o mercado financeiro trabalha apenas a modalidade de juros compostos, em que temos maior rentabilidade.

    8.2 Fluxo de caixa

    Diagrama de fluxo de caixa

    Um diagrama de fluxo de caixa a representao grfica de um conjunto de entradas e sadas monetrias, identificado temporalmente (isto , em razo do tempo). fundamental para que se

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    compreendam as operaes de matemtica financeira, demonstrando de forma clara o que ocorre com o capital durante o perodo estipulado.

    A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operao. O ponto zero indica o instante inicial e os demais pontos representam os demais perodos de tempo (datas).

    Exemplo:

    Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:

    O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.

    Dinheiro recebido flecha para cima valor positivoConvenoDinheiro pago flecha para baixo valor negativo

    8.3 Capitalizao

    Regras bsicas

    Nas frmulas da matemtica financeira, o prazo da capitalizao e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Os critrios de transformao do prazo ou da taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalizao definido para a operao. Para juros simples, podemos observar os seguintes exemplos:

    24% a.a. = 24/12 = 2% ao ms. 24% a.a. = 24/6 = 4% ao bimestre. 24% a.a. = 24/4 = 6% ao trimestre. 24% a.a. = 24/2 = 2% ao semestre.

    Critrios de capitalizao

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    8.4 Capitalizao simples7

    Capitalizao simples aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; no incide, pois, sobre os juros acumulados. A taxa varia linearmente em funo do tempo. Se quisermos converter a taxa diria em mensal, basta multiplicar a taxa diria por trinta; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por doze, e assim por diante.

    Portanto, consiste na apurao de juros aplicando-se a taxa contratada sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo vrias adies consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas tm a mesma dimenso, significando isso que as parcelas de juros geradas anteriormente no se incorporam ao capital como base para a gerao de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progresso aritmtica.

    Juros simples i = 10% ao perodo

    Ano Saldo do inciodo perodoJuros apuradosa cada perodo Saldo ao final do perodo

    1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00

    2 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00

    3 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00

    4 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00

    * Crescimento de 40% em 4 perodos

    8.5 Capitalizao composta8

    Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Nesse regime de capitalizao, a taxa varia exponencialmente em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da dvida.

    Consiste na apurao peridica de juros com sua imediata incorporao ao capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao final do perodo x passa a ser o capital inicial para o perodo x+1. Os juros abonados em

    7 Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

    8 Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

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    cada perodo tornam-se geradores de novos juros, e o montante de capital e juros se comporta como uma progresso geomtrica.

    Juros compostos i = 10% ao perodo

    Ano Saldo do inciodo perodo

    Juros apuradosa cada perodo

    Saldo ao finaldo perodo

    1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00

    2 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00

    3 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00

    4 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,00

    * Crescimento de 46,41% em 4 perodos

    Juros simples

    Os juros simples, diante de suas restries tcnicas, tm aplicaes prticas bastante limitadas. So raras as operaes financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalizao linear. O uso de juros simples restringe-se, principalmente, s operaes praticadas no mbito de curto prazo.

    No entanto, as operaes que adotam juros simples, alm de apresentarem geralmente prazos reduzidos, no costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros simples so utilizados para o clculo dos valores monetrios da operao, mas no para apurao do efetivo resultado percentual (taxa interna de retorno).

    Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema financeiro esto referenciadas a juros simples, porm, a formao dos montantes das operaes processa-se exponencialmente. Um exemplo disso a caderneta de poupana com juros de 6% ao ano, juros mensais de 0,5% ao ms, com capitalizaes mensais a juros compostos.

    Vejamos outro exemplo:9

    Considere que R$ 100,00 so aplicados taxa de juros simples de 1% ao ms, durante trs meses; teramos, nesse caso:

    juros produzidos ao final do primeiro ms: J = 100.(1%).1= 100.(1/100) . 1 = R$ 2,00;

    juros produzidos ao final do segundo ms: J = 100.(1%).2= 100.(1/100) . 2 = R$ 2,00;

    juros produzidos ao final do terceiro ms: J = 100.(1%).3 =100.(1/100) . 3 = R$ 3,00.

    9 MARQUES, Paulo. Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

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    Note que:

    (a) Os juros nesse caso, simples so calculados sempre em relao ao capital inicial de R$ 100,00.

    (b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.

    Frmulas de juros simples10

    O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em frmula, temos:

    J = C i n

    Onde:

    J = jurosC = principal (capital) i = taxa de jurosn = nmero de perodos

    Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante.

    Montante = Principal + Juros Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Nmero de perodos)

    M = C (1 + i n)

    Saiba mais

    Voc pode assistir a um interessante filme sobre matemtica, envolvendo lgica e teoria dos jogos. O filme Uma mente brilhante conta a histria de John Nash, um gnio da matemtica que, aos 21 anos, formulou um teorema que provou sua genialidade e o tornou aclamado no meio onde atuava. John Nash ganhou um Prmio Nobel.

    10 MARQUES, Paulo. Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

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    Resumo

    Nesta unidade comeamos nossos estudos com as equaes, lembrando que preciso utilizar o raciocnio lgico para resolver problemas matemticos.

    Uma equao pode ser comparada a uma balana de dois pratos, ela deve manter o equilbrio. O contedo de cada lado deve ser equivalente. Assim, o smbolo de igualdade = usado para separar os dois lados da equao, os pratos da balana.

    Para solucionar um problema construmos uma sentena matemtica, na qual o valor desconhecido a resposta representado na equao por uma letra qualquer. Essa representao se d usualmente por x, y e z. Quando o valor desconhecido tem expoente igual a 1, a equao classificada como do 1 grau, e quando o expoente igual a 2, a equao classificada como do 2 grau.

    Com relao ao tpico funes, voc viu que considerados dois conjuntos A e B no vazios, chama-se funo (ou aplicao) de A em B, representada por f: A ? B ; y = f(x) , a qualquer relao binria que associa a cada elemento de A um nico elemento de B. Assim, para que uma relao de A em B seja uma funo, necessrio que a cada x A esteja associado um nico y B, podendo entretanto existir y B que no esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Existem diversos tipos de funes, mas as mais utilizadas so as funes do 1 grau (expoente igual a 1) e 2 grau (expoente igual a 2).

    Vrios segmentos utilizam as funes como ferramentas para a soluo de problemas. De acordo com a relao entre os conjuntos, podemos obter inmeras leis de formao. Nesses estudos utilizamos diversos tipos de funes, que podem ser: do 1 e do 2 grau, exponenciais, modulares, trigonomtricas, logartmicas, polinomiais. Cada funo possui uma propriedade e definida por leis generalizadas. As funes possuem representaes geomtricas no plano cartesiano, as relaes entre pares ordenados (x,y) so de extrema importncia no estudo dos grficos de funes, pois a anlise dos grficos demonstra de forma geral as solues dos problemas propostos com o uso de relaes de dependncia, especificadamente, as funes. As funes possuem um conjunto denominado domnio e outro chamado de imagem da funo; no plano cartesiano, o eixo x representa o domnio da funo, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em funo de x, constituindo a imagem da funo.

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    Ajuste de curvas em matemtica e estatstica aplicada existem muitas situaes em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela, os valores de y so obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expresso analtica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos. Existem vrios processos matemticos para a soluo do problema. Destacamos o mtodo dos mnimos quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em estatstica de regresso linear ou ajuste linear. So dois os mtodos bsicos: o primeiro mtodo dos mnimos quadrados usado quando a curva procurada ajusta-se a uma reta, o segundo, quando a curva procurada apresenta outras semelhanas.

    O mtodo dos mnimos quadrados consiste em um dos mais simples e eficazes mtodos da anlise de regresso. Ele utilizado quando temos uma distribuio de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.

    Outras curvas. Em muitos problemas de matemtica aplicada tambm comum ocorrerem situaes em que a curva de ajuste no uma reta, podendo os pontos se aproximar de uma curva cujo grfico uma funo quadrtica, exponencial, logartmica e outras. Como uma das curvas comuns a quadrtica, estudamos o ajuste a uma funo quadrtica: y = ax2 + b.x + c.

    O modelo de ajuste da regresso quadrtica dado por y = Ax + Bx + C, onde A, B e C so uma soluo do sistema de equaes lineares que obtido do problema a ser estudado.

    Exerccios

    Questo 1. (Provo 2002) A Pedroso Ltda. est realizando um estudo de viabilidade econmica para Aloha Surf Ltda., uma pequena fbrica de pranchas de surf. Para tal, determinou o custo fixo anual de operao da fbrica em R$1.500.000,00 e um custo unitrio varivel de R$100,00. A Aloha pretende vender suas pranchas a um preo unitrio de R$200,00. De quantas unidades deve ser o ponto de equilbrio (produo em que a receita total igual ao custo total) anual da fbrica?

    a) 100.000b) 75.000c) 50.000d) 20.000e) 15.000

    Resposta correta: alternativa e.

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    Anlise das alternativas:

    Ponto de equilbrio o valor de unidades que devem ser vendidas para que a receita total seja igual ao custo total, ou seja, o ponto no qual o lucro igual a zero. Desta forma, temos:

    Funo do custo total (C):

    Onde C o custo total; CF o custo fixo; Cv o custo varivel; Cu o custo unitrio e Q a quantidade vendida.

    Funo da receita total (RT);

    Onde RT a receita total e p o preo unitrio da prancha.

    Por definio, no ponto de equilbrio C = RT, logo:

    Questo 2. Considere o seguinte Diagrama de Fluxo de Caixa, relativo a uma operao de desconto de duplicatas realizada por uma empresa em um banco. Os ttulos negociados foram resgatados na data de vencimento, sem atraso.

    Nas condies em que foi realizado o desconto, a taxa efetiva de juros pagos pela empresa foi de:

    a) 3,00% a.m.b) 3,29% a.m.c) 3,49% a.m.d) 3,69% a.m.e) 3,19% a.m.

    Resoluo desta questo na Plataforma.

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    FIGURAS E ILUSTRAES

    Figura 1 - Fonte: SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2002.

    Figura 2 - Fonte: Pontos: contando na caverna. Foto: Alek Baptista/Muhpan. Disponvel em: . Acesso em: 14 abr. 2011.

    Figura 3 - Fonte: SILVA, S. M. da; SILVA, . M. ; SILVA, E. M. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2002.

    Figura 4 - Fonte: Adaptado de FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLEDO, G. L Estatstica aplicada. So Paulo: Atlas, 2009.

    REFERNCIAS

    Audiovisuais

    UMA MENTE brilhante. Direo: Ron Roward. Produo: Brian Grazer e Ron Howard. Los Angeles: Imagine Entertainment, 2001.

    Textuais

    FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade; TOLEDO, Geraldo Luciano. Estatstica aplicada. So Paulo: Atlas, 2009.

    HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemtica elementar: conjuntos, funes. vol.1, 8. ed. So Paulo: Saraiva, 2004.

    HAZZAN, Samuel; POMPEO, Jos Nicolau. Matemtica financeira. 5. ed. So Paulo: Saraiva, 2001.

    JUER, Milton. Matemtica financeira: praticando e aplicando. So Paulo: Qualitymark, 2003.

    MORETTIN, Pedro Alberto; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Clculo: funes de uma e de vrias variveis. So Paulo: Saraiva, 2003.

    MUROLO, Afrnio Carlos; BONETTO, Giacomo. Matemtica aplicada administrao, economia e contabilidade. So Paulo: Thomson Learning, 2004.

    SILVA, Sebastio Medeiros da; SILVA, lio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemtica para os cursos de economia, administrao e cincias contbeis. So Paulo: Atlas, 1999.

    _____. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2002.

    WEBER, Jean E. Matemtica para economia e administrao. 2. ed. So Paulo: Harbra, 1986.

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    Exerccios

    Unidade II - Questo 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANSIO TEIXEIRA (INEP). Provo 2002. Disponvel em: < http://download.uol.com.br/vestibular/provas/2002/enade_adm.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.

    Sites

    http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacaosimples.html

    http://www.brasilescola.com.br

    http://www.emersonmatematica.blogspot.com.br

    http://www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm

    http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-de-pertinencia-e-inclusao.jhtm

    http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-respostas-aos-problemas-da-realidade.jhtm

    http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-1-definicao.jhtm

    http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-2-resolucao.jhtm

    http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-3-problemas.jhtm

    http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm

    http://www.brasilescola.com/matematica/funcao.htm

    http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao.htm

    http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm

    http://www.infopedia.pt/

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  • Informaes:www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000