mate matic as

Instituto Tecnolgico de Roque Ciencias Bsicas

Matemticas 1

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMTICAS


Matemticas 2

INSTITUTO TECNOLGICO DE ROQUE

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMTICAS

DEPARTAMENTO

CIENCIAS BSICAS

ELABORARON:

ERIKA RAMOS OJEDA

RAQUEL ALDACO SEGOVIANO

JORGE ANTONIO BONILLA LPEZ

NABOR DURAN HERNNDEZ

ALICIA FLORES LPEZ

JOSE GABRIEL MENDOZA MANCILLA

ROQUE, CELAYA, GTO. JULIO 2013


Matemticas 3

Contenido 1. LEYES DE LOS SIGNOS ........................................................................................ 6

1.1 Introduccin a los nmeros ................................................................................. 6

1.2 Leyes de los signos ............................................................................................. 6

1.3 Propiedades de los nmeros reales ...................................................................... 6

1.4 Operaciones con nmeros reales (con signos) .................................................... 7

2. OPERACIONES CON TRMINOS SEMEJANTES .............................................. 9

2.1 Notacin Algebraica............................................................................................ 9

2.2 Signos de Operacin Algebraica ......................................................................... 9

2.3 Coeficiente ........................................................................................................ 10

2.4 Nomenclatura algebraica ................................................................................... 10

2.5 Trminos Semejantes ........................................................................................ 11

2.6 Reduccin de trminos semejantes ................................................................... 13

3. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS ............. 15

3.1. Fracciones y su escritura .................................................................................. 15

3.2. Tipos de fracciones .......................................................................................... 16

3.3. Conversin de fracciones ............................................................................ 16

3.4. Suma y resta de fracciones ............................................................................... 17

3.5 Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas con denominadores distintos 18

3.6 Multiplicacin y Divisin de fracciones ........................................................... 19

4. LEYES DE LOS EXPONENTES ........................................................................... 22

4.1 Leyes de los exponentes .............................................................................. 22

Explicaciones de las leyes ................................................................................... 23

5. DIVISIN DE POLINOMIOS .............................................................................. 25

5.1 Resolucin de divisin de polinomios: ............................................................. 25

5.2 Divisin sinttica (Regla de Ruffini). .............................................................. 27

6. PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................... 30

6.1 Binomio al cuadrado ......................................................................................... 30

6.2 Binomio al cubo ................................................................................................ 31

6.3 Binomio Conjugado .......................................................................................... 31

6.4 Binomio con trmino comn ............................................................................. 32


Matemticas 4

6.5 Binomios con trminos semejantes ................................................................... 33

6.6 Aplicacin de productos notables ..................................................................... 33

7.FACTORIZACIN ................................................................................................. 34

7.1 Factor Comn .................................................................................................... 34

7.2 Factorizacin por agrupacin ............................................................................ 35

7.3 Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto ............................................... 36

7.4 Factorizacin por el cubo perfecto de un binomio ........................................... 38

7.5 Factorizacin por diferencia de cuadrados ........................................................ 39

7.6 Trinomio de la forma + + .................................................................. 39

7.7 Trinomio de la forma + + ................................................................ 41

7.8 Aplicacin de la integral ................................................................................... 42

8. RADICALES .......................................................................................................... 42

8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales ............................................................... 43

9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES ............................... 43

9.1 Simplificacin de Radicales .............................................................................. 43

9.2 Adicin y Sustraccin de Radicales .................................................................. 45

9.3 Multiplicacin de Radicales .............................................................................. 46

9.4 Divisin de Radicales ........................................................................................ 47

10. RACIONALIZACIN DEL DENOMINADOR .................................................. 48

11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................... 50

11.1.- Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones .................................... 50

11.2 Mtodo de sustitucin ..................................................................................... 52

11.3 Mtodo de igualacin ...................................................................................... 53

Resolucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de igualacin .................. 53

11.4 Mtodo de reduccin ....................................................................................... 55

12. ECUACIONES CUADRTICAS ........................................................................ 57

12.1 Solucin por factorizacin .............................................................................. 57

12.2 Solucin mediante raz cuadrada .................................................................... 58

12.3 Solucin completando el cuadrado ................................................................. 59

12.4 Solucin mediante la frmula cuadrtica (general) ........................................ 61

13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS .................................................................. 63

14. SOLUCIN DE ECUACIONES LOGARTMICAS ........................................... 64

15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ........................................................... 65


Matemticas 5

16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS .............................................................. 69


Matemticas 6

1. LEYES DE LOS SIGNOS

1.1 Introduccin a los nmeros

Los nmeros son smbolos creados para registrar montos o cantidades. Son

un conjunto de smbolos estndar que representan cantidades,los conocidos

de 0 a 9 -. Pero adems de estos enteros, tambin hay fracciones y decimales.

Un nmero positivo es un nmero que es mayor que cero, mientras que un

nmero negativo es menor que cero. Un nmero positivo se muestra con una

signo ms ( + ), o sin ningn delante de l. Si el nmero es negativo, va

precedido de un signo menos ( - ).

1.2 Leyes de los signos

Para realizar multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar las leyes de los

signos, las cuales establecen lo siguiente:

La multiplicacin de signos iguales de un producto positivo (+) (+) = +

( - ) ( - ) = +

La multiplicacin de signos distintos da un producto negativo (+) ( - ) = -

( - )( + ) = -

La divisin de signos iguales da un cociente positivo (+) (+) = +

( - )( - ) = +

La divisin de signos distintos da un cociente negativo (+) ( - ) = -

( - )( + ) = -

Consideraremos al conjunto de nmero reales como el conjunto universal.Los

cuales se pueden representar a lo largo de una lnea recta.

1.3 Propiedades de los nmeros reales

Supongamos que a, b y c expresan nmeros reales


Matemticas 7

La adicin y la multiplicacin son conmutativas

a + b = b + a

a b = b a

La adicin y la multiplicacin son asociativas

( a + b ) + c = a + ( b + c )

(a b ) c = a ( b c )

La identidad aditiva es 0

a + 0 = 0 + a = a

La identidad multiplicativa es 1

a 1 = 1 a = a

Cada elemento a tiene un inverso aditivo expresado por - a

a + ( - a ) = - a + a = 0

Cada elemento diferente a cero a tiene un inverso multiplicativo,

expresado por a-1

a a-1 = a-1 a = 1

Ntese que a-1 = 1/a.

La multiplicacin es distributiva con respecto a la adicin

a ( b + c ) = a b + a c

1.4 Operaciones con nmeros reales (con signos)

1. Para sumar dos nmeros reales con el mismo signo, sume sus valores y

agregue su signo comn.

( + 5 ) + ( +6 ) = +11


Matemticas 8

( -

) + ( -

) = -

= -

2. Para sumar dos nmeros reales con signo diferente, encuentre la

diferencia de sus valores y aada el signo del nmero con el mayor valor.

( - 4 ) + ( + 3 ) = - 1

( + 5 ) + ( - 3 ) = + 2

(

) + ( + ) =

3. Para sustraer un nmero real de otro, cambie el signo del nmero y

aada el signo del nmero que se resta y siga con la adicin.

( - 9 ) ( - 8 ) = ( - 9 ) + ( + 8 ) = - 1

16 ( 8 ) = 16 + ( - 8 ) = + 8

4. El producto de dos nmeros reales con signos iguales es positivo

( - 3 ) ( - 4 ) = 12

(

) ( 4 ) = 3

5. El producto de dos nmeros reales con signos diferentes es negativo

(5 )( - 3 ) = - 15

( - 3 ) ( 4 ) = - 12

6. El cociente de dos nmeros reales con signos iguales es positivo

( - 14 ) ( - 2 ) = 7

= 9

7. El cociente de dos nmeros reales con signos diferentes es negativo

= - 7

= -9


Matemticas 9

Resuelva las siguientes operaciones:

1. - 4 + 3

2. ( - 4 + 3 )2 + 3

3. 42 + 3

4. 6 2 ( 2 + 1)

2. OPERACIONES CON TRMINOS SEMEJANTES

2.1 Notacin Algebraica

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean

conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a,

b, c, d,se denominan tambin literales.

Las cantidades desconocidas se representan por las ltimas letras del

alfabeto: u, v, w, x, y, z.se denominan incgnitas.

Variable es una letra o smbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto

de nmeros, es decir, puede cambiar el valor.

Constante es cualquier letra o smbolo con un valor numrico fijo o establecido,

es decir, no puede cambiar su valor.

2.2 Signos de Operacin Algebraica

Los signos de operacin son los siguientes:


Matemticas 10

+ (Suma o Adiccin) ~ (Equivalente a)

- (Resta o Sustraccin) ~ (Aproximadamente igual a)

x (Multiplicacin o Producto) (Diferente de)

(Divisin o Cociente) > (Mayor que)

> (Mayor que) < (Menor que)

< (Menor que) (Raz de)

= (Igual a) % (Por ciento)

Los signos de agrupacin son: el parntesis ordinario ( ), el parntesis angula

o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vnculo. Estos signos indican que la

operacin colocada entre ellos debe efectuarse primero.

2.3 Coeficiente

Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado

coeficiente del otro factor.

As, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el

factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a. Estos son

coeficientes numricos.

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numrico, su coeficiente es la

unidad.

2.4 Nomenclatura algebraica

Expresin algebraica es la representacin de un smbolo algebraico o de una

o ms operaciones algebraicas

Trmino es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o varios

smbolos no separados entre s por el signo + -.

Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal

y el grado.


Matemticas 11

El coeficiente es generalmente el primero de los factores que conforman un

trmino, el coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:

Coeficiente numrico. Es el factor numrico de un trmino. Ejemplo:

El coeficiente numrico del trmino 5ax es 5

Coeficiente literal. Es el factor literal de un trmino.

Ejemplo:El coeficiente literal del trmino mby es m

Es importante sealar que el coeficiente siempre va a acompaado del signo

del trmino.

Ejemplo:El coeficiente numrico de -2by es -2

Cuando un trmino no tiene coeficiente numrico indicado, se sobreentiende

que su coeficiente es la unidad.

Ejemplo: axy = 1 axy

Parte literal. Son los factores literales que contiene el trmino.

Ejemplo:En el trmino 5ax, la parte literal es ax

2.5 Trminos Semejantes

Trminos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales,

cada uno con la misma base y el mismo exponente.

Trminos semejantes Trminos No semejantes

7x y 5x 7x y 5y


Matemticas 12

8a2 y a2 8a2 y a3

5rs2 y 2rs2 5rs2 y 2r2s

Para asociar trminos semejantes han de sumarse o restarse

Procedimiento:

1.- Sumar o restar los coeficientes numricos:

2.- Conservar el coeficiente literal comn

Grado de un trmino. El grado de un trmino puede ser de dos formas

absoluto y relativo a una literal

Grado absoluto. El grado absoluto de un trmino es el nmero que se obtiene

al sumar los exponentes de la parte literal. Ejemplo:

2x es de primer grado x3y es de cuarto grado

5ab es de segundo grado 3m2n2x es de quinto grado

8a2x es de tercer grado x3y2z es de sexto grado

Grado relativo. El grado de un trmino relativo a una literal es el mayor

exponente que tenga la literal considerada.

Ejemplo:xy2 = Primer grado con respecto a x y de segundo grado con

respecto a y

Clases de trminos.

Los trminos se clasifican en enteros, fraccionarios, racionales, irracionales,

homogneos y heterogneos, los cuales se definen de la siguiente manera:

Trmino entero: Es aquel que no tiene denominador literal.

Ejemplo: 3a, 2x, 2y


Matemticas 13

Trmino fraccionario: Es aquel que contiene en el denominador una literal.

Ejemplo:

2.6 Reduccin de trminos semejantes

Es una operacin que tiene por objeto convertir en un solo trmino dos o ms

trminos semejantes. En la reduccin de trminos semejantes pueden ocurrir

los tres casos siguientes:

a) Reduccin de dos o ms trminos semejantes del mismo signo

Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo

signo que tienen todos y a continuacin se escribe la parte literal.

Ejemplos:

3a + 2a = 5 a

-5b 7b = -12b

- a2 9a2 = - 10 a2

Realiza los siguientes ejercicios:

1. 8a + 9a =

2. -b 5 b =

3. ax + 3ax + 8ax =

4.

5. x2y 8x2y 9x2y 20x2y =

b) Reduccin de dos trminos semejantes de distinto signo

Regla 2. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el

signo de mayor y a continuacin se escribe la parte literal.

Ejemplo:

2a 3a = -a


Matemticas 14

18x 11x = 7x

-8ax + 13ax = 5ax

=


1. 8a 6a =

2. 15ab 9ab =

3. -14xy + 32xy =

4.

=

5.

=

6. 7x2y 5x2y =

7. 4a2 -

a2 =

c) Reduccin de ms de dos trminos semejantes de signos distintos.

Regla 3. Se reducen a un solo trmino los positivos, se reducen a un solo

trmino todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla

del caso anterior. Ejemplo:

5a 8a + a 6a + 21a = 13a

+

+

+ =


1. 9a -3a + 65a =


Matemticas 15

2. 12mn 23mn + 5 mn =

3. 11ab 15ab + 26ab

4.

+

=

5.

+

=

6. 7ab + 21ab ab + 80ab =

7. 105a3 464a3 + 58a3 + 301a3 =

3. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

3.1. Fracciones y su escritura

Una fraccin representa una parte de un nmero entero. Las fracciones sirven

para dividir un nmero en partes iguales.

Una fraccin con literales, por ejemplo:

es una fraccin algebraica, es decir,

es el cociente de dos expresiones algebraicas. Los trminos de una fraccin

algebraica, se denomina numerador al que ocupa la parte supeior y

denominador al que ocupa la parte inferior.

Al igual que las fracciones aritmticas, las algebraicas se fundamentan en

principios como:

Si una fraccin algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad,

la fraccin no se altera.

(

) (

) = (

)

Si el numerador de una fraccin algebraica se multiplica o se divide por una

cantidad, la fraccin queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha

cantidad.


Matemticas 16

(

) (

) = (

)

(

) (

) =

=

Si el denominador de una fraccin algebraica se multiplica o se divide por

una cantidad, la fraccin queda dividida y multiplicada respectivamente por

dicha cantidad.

(

) (

) = (

)

(

) (

) =

=

3.2. Tipos de fracciones

a) Fraccin propia. El nmero de partes examinadas se muestra en la

parte superior y es menor que el entero.

b) Fraccin impropia. El numerador ms grande indica que las partes

provienen de ms de un entero.

c) Fraccin mixta. Un entero combinado con una fraccin propia.

16

3.3. Conversin de fracciones

Conversin de fracciones impropias en mixtas


Matemticas 17

Para convertir una fraccin impropia en fraccin mixta, se divide el numerador

por el denominador.

Conversin de fracciones mixtas en impropias

Una fraccin mixta puede convertirse en fraccin impropia multiplicando el

nmero entero por el denominador y agregando el resultado al numerador.

3.4. Suma y resta de fracciones

a) Suma y Resta de fracciones con el mismo denominador

Para sumar y restar fracciones que tienen el mismo denominador,

sencillamente suma o resta sus numeradores para obtener el resultado. Los

denominadores no cambian.

d) Suma de fracciones con distinto denominador.

Para sumar fracciones con distintos denominadores, debes cambiar una o

ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. Para ello hay que

hallar un comn denominador.

e) Resta de fracciones con diferentes denominadores

Para restar fracciones con diferentes denominadores, debes hallar un

denominador comn.

Nota: Para fracciones algebraicas con denominadores iguales, se procede del mismo

modo que en las fracciones aritmticas: se conserva el denominador y se suman o

restan los numeradores.

Ejemplos

Consideremos los siguientes casos

3 + 14 + 19

5=

29 + 19

5


Matemticas 18

7 4

17 + 19

=

10 23

Realice los siguientes ejercicios:

Ejercicios:

1.

+

=

2.

=

3.

=

4.

++

+

+

+

+=

5.

++

+

+ =

6.

+

=

3.5 Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas con denominadores distintos

En la adicin y sustraccin de fracciones algebraicas con denominadores

distintos es necesario obtener el mnimo comn mltiplo de los denominadores

(mnimo comn denominador).

Ejemplo: 3+4

152+

23

102

Calculando el mnimo comn denominador

15xy2 = 3 5 x y2

10x2y = 2 5 x2 y

Mnimo comn denominador = 2 3 5 x2 y2

Como el denominador comn es 30x2y2, las fracciones se deben igualar los

denominadores:


Matemticas 19

3x+4y

15xy2+

2x3y

10x2y =

2x(3x+4y)

30x2y2+

3(2x3y)

30x2y2=

6x2+14xy9y2

30x2y2

Ejemplo: 2

33

6

44

Calculando el mnimo comn denominador:

3a-3b = 3 (a-b)

4a 4b = 4(a-b)

Mnimo comn denominador = 3 4 (a-b) = 12 (a-b)

2

3 3

6

4 4=

4(2 )

12( )

3( 6)

12( )=

26 7

12 ( )

Resolver los siguientes ejercicios:

1.

+

2.

+

3.

+

4.

+ +

5.

+

6. +

+

3.6 Multiplicacin y Divisin de fracciones


Matemticas 20

Las fracciones se pueden multiplicar por otras fracciones. Para multiplicar

fracciones por fracciones mixtas o por nmeros enteros, primero debes

convertirlas a fracciones impropias.

a) Multiplicacin de dos fracciones propias

Las fracciones propias se pueden multiplicar entre s.

b) Multiplicacin de fracciones mixtas

Para multiplicar una fraccin propia por una mixta primero debes convertir la

fraccin mixta a fraccin impropia.

c) Multiplicacin de fracciones algebraicas

En la multiplicacin de fracciones algebraicas se procede igual que en las

fracciones aritmticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si,

simplificando si es posible. Ejemplo:

3

7

2

=

6

7

32 + 2

92 42

15 10

2

Factorizando y simplificando

(3 + 2)

(3 + 2)(3 2)

5 (3 2)

2= 5/2

Ejercicios

Resolver el producto de las siguientes fracciones algebraicas

1.

2. ()

()

3.

4.


Matemticas 21

5.

+

+

6.

+

d) Divisin de dos fracciones propias

Las fracciones propias se pueden dividir por otras haciendo una operacin

inversa

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones

aritmticas: se multiplica la fraccin dividiendo por el inverso multiplicativo de

la fraccin divisor. Ejemplo:

3

5

9

203

2

= 42

3

2 4

5 + 15

6 12

15 + 45= 1

2 2 +

2 2= 2( )2

Resolver los siguientes ejercicios:

1.

2.

3.

4.

5. +

+

6. +

+


Matemticas 22

4. LEYES DE LOS EXPONENTES

Los exponentes tambin se llaman potencias o ndices

El exponente de un nmero dice cuntas veces se multiplica

el nmero.En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a

la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o tambin "reglas de los exponentes")

vienen de tres ideas:

El exponente de un nmero dice multiplica el nmero por s mismo

tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, as que un exponente negativo

significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere

decir hacer la raz n-sima: x1/n =

4.1 Leyes de los exponentes

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x23 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

x1/n =

x2/3= 3

2


Matemticas 23

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son slo parte de la sucesin

natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Potencias de 5

52 1 5 5 25

51 1 5 5

50 1 1

5-1 1 5 0,2

5-2 1 5 5 0,04

vers que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de

un mismo patrn, es decir 5 veces ms grande (o pequeo) cuando el

exponente crece (o disminuye).

a) Principio de multiplicacin xmxn = xm+n

En xmxn, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,

despusotras"n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) * (xxx) = xxxxx = x5

As que x2x3 = x(2+3) = x5

b) Principio de divisin xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"

veces, despus reduce eso "n" veces (porque ests dividiendo), en total "m-n"

veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

Esta ley tambin te muestra por qu x0=1

x2/x2 = x2-2 = x0 =1


Matemticas 24

c) Principio de potencia (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Despus tienes que hacer eso "n" veces, en

total mn veces.

Ejemplo:(x3)4 = (xxx)4

= (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

As que (x3)4 = x3*4 = x12

d) Principio de potencia (xy)n = xnyn

Para ver cmo funciona, slo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como se

muestra:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy =

= xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

(

)3 = (x/y)(x/y)(x/y) =

xxx

yyy=

3

3

e) Principio de razxm/n = m

Para entenderlo, slo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m):

Ejemplo:xm/n = x (m * 1

)= (xm)1/n = m

Qu pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0

Exponente negativo (n


Matemticas 25

Ejercicios: Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos. 1. x 6 x -10 2. 6x4y7 12x5y-8 3. (6x10) (3x4)2 4. 4 * 10 -12 6 * 10 4 5. x5/2 + x1/2

5.DIVISIN DE POLINOMIOS

La divisin de polinomios es la operacin que consiste en hallar uno de los

factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor,

llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

5.1Resolucin de divisin de polinomios:

Si P(x) = x5 + 2x3 x 8 y Q(x) = x2 2x + 1

Para P(x) Q(x)

a) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completo

dejamoshuecos en los lugares que correspondan.

x5 + 2x3 x 8 x2 2x +1

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

b) Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor.

x5 x2 x3


Matemticas 26

c) Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior

y lo restamos del polinomio dividendo:

x5 +2x3 -x - 8 x2 2x +1

-x5 +2x4 x3 x3

2x4 x3-x - 8

d) Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo

restamos al dividendo.

2x4 x2 = 2 x2

x5 +2x3 -x - 8 x2 2x +1

-x5 +2x4 x3 x3 + 2x2

2x4 x3-x - 8

-2x4+4x3 2x2

5x3 2x2 x - 8

Procedemos igual que antes.

5x3 x2 = 5 x

x5 +2x3 -x - 8 x2 2x +1

-x5 +2x4 x3 x3 + 2x2+5x

2x4 x3-x - 8

-2x4+4x3 2x2

5x3 2x2 x 8

-5x3 + 10x2 5x

8x2 6x 8


Matemticas 27

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 x2 = 8

x5 +2x3 -x - 8 x2 2x + 1

-x5 +2x4 x3 x3 + 2x2+5x + 8

2x4 x3-x - 8

-2x4+4x3 2x2

5x3 2x2 x 8

-5x3 + 10x2 5x

8x2 6x 8

-8x2 + 16x 8

10x - 16

10x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto

no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

5.2 Divisin sinttica (Regla de Ruffini).

Para explicar los pasos a aplicar en la divisin sinttica vamos a tomar de

ejemplo la divisin:

(x4 3x2 + 2 ) (x 3)

a) Si el polinomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos

que faltan con ceros.

b) Colocamos los coeficientes del dividendo en una lnea.

c) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independen diente

del divisor.

d) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.


Matemticas 28

1 0 -3 0 2

3 .

1

e) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del

siguiente trmino.

1 0 -3 0 2

3 3 .

1

f) Sumamos los dos coeficientes.

1 0 -3 0 2

3 3 .

1 3

g) Repetimos el proceso anterior.

1 0 -3 0 2

3 3 9 .

1 3 6

Volvemos a repetir el proceso.

1 0 -3 0 2

3 3 9 18 .

1 3 6 18


Matemticas 29

Volvemos a repetir.

1 0 -3 0 2

3 3 9 18 54 .

1 3 6 18 56

h) El ltimo nmero obtenido, 56, es el resto.

i) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo

y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo:

(x5 32)(x 2)

1 0 0 0 0 -32

2 2 4 8 16 32 .

1 2 4 8 16 0

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0

Ejercicios divisin de polinomios

Dividir:

1. (x4 2x3 11x2 + 30x 20) (x2 + 3x 2) 2. (x 6 + 5x4 + 3x2 2x) (x2 x + 3) 3. P(x) = x5 + 2x3 x 8 Q(x) = x2 2x + 1 4. (x3 + 2x + 70) (x + 4) 5. (x5 32) (x 2) 6. (x4 3x2 + 2 ) (x 3)


Matemticas 30

Indica cules de estas divisiones son exactas:

1. (x3 5x 1) (x 3) 2. (x6 1) (x + 1) 3. (x4 2x3 + x2 + x 1) (x 1) 4. (x10 1024) (x + 2) 5. ( x4 3x2 + 2) (x 3)

6. PRODUCTOS NOTABLES

Se conoce como producto notable a ciertos productos que cumplen reglas fijas

y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin verificar

la multiplicacin.

6.1 Binomio al cuadrado

El cuadrado del primero, mas-menos () el doble producto del primero por el

segundo, ms el cuadrado del segundo.

( ) = +

Ejemplo:

Desarrollar:

( ) = () ()()() + () =

+

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios al cuadrado.

1. ( )

2. ( + )

3. ( )

4. ( + )

5. ( )

. ( + )

. ( )

. ( + +)

. (+ )

. ( + )


Matemticas 31

6.2 Binomio al cubo

El cubo del primer trmino ms-menos el triple producto del cuadrado de la

primera por la segunda, ms el triple producto de la primera por el cuadrado

de la segunda, ms- menos el cubo del segundo trmino

( ) = +

Ejemplo:Desarrollar:

( ) = () + ()()() + ()()()+() =

+

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios al cubo.

1. ( + )

2. ( )

3. ( )

4. ( + )

5. ( )

6.3 Binomio Conjugado

El producto de la suma de dos nmeros ( + ) por diferencia ( ).

El cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino

Ejemplo:

( + )( ) = ( ) + ( ()) + ( ) + ( ()) =

+ =

. ( + )

. ( )

. ( + +)

. (+ )

. ( + )


Matemticas 32

. (

+

) (

)

. (

+

) (

)

. ( +

) (

)

. (

+ +

) (

+

)

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios conjugado

. ( + )( )

. ( + )( )

. ( + )( )

. (+ + )(+ )

. ( + )( )

. ( + )( )

6.4 Binomio con trmino comn

El producto notable de dos binomios con un trmino comn se caracteriza

por tener un mismo trmino en ambos binomios.

El cuadrado del trmino comn ms la suma de los trminos no comunes

multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no

comunes.

Ejemplo:

( + )( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) =

+ + + =

+ ( + ) +

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios con trmino comn

. ( + )( + )

. ( )( )

. ( + )( )

. ( + )( )

. (

) (

)

. (

+ ) (

)

. (

+

) (

+ )

. (

+ ) (

+ )

5. (6x2-2y)(6x2-7y)

. ( + )( )


Matemticas 33

6.5 Binomios con trminos semejantes

El producto de trminos semejantes ms, el producto de los trminos de los

medios ms, el producto de los extremos ms, el producto de los trminos no

comn.

Ejemplo:

( + )( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) =

+ + + =

+ +

Ejercicios

Resuelve los siguientes binomios con trmino semejante

. ( + )( )

. ( )( )

. ( + )( )

. (+ + )( )

. ( )(

)

. (+

+ )(+

)

6.6 Aplicacin de productos notables

Resuelve los siguientes problemas de productos notables.

1. Un fabricante de pelotas de plstico inflables, las construye de

diferentes tamaos y con un espesor en su pared de 2mm. Si x es el

radio inferior en la pelota, encuentra una expresin algebraica en

trminos de x que proporcione el volumen del plstico utilizado para

construir cada pelota.

. (

) (

)

. (

+ ) (

)

. ( +

) ( + )

. ( + )( + )


Matemticas 34

2. Un depsito para agua de un inodoro tiene forma de un prisma

rectangular y est construido con cermica de 1 cm de espesor. Si las

dimensiones exteriores son de x cm de ancho, su largo es el doble de

su ancho y su altura es el triple de su ancho, encontrar una ecuacin en

trminos de x que represente el volumen de cermica utilizado en la

construccin del depsito.

3. Un tubo de concreto para drenaje de 2m de largo tiene 3 cm de espesor

de pared. Si x es el radio exterior, encuentra una expresin algebraica

en trminos de x que proporcione el volumen de concreto utilizado para

construir dicho tubo.

4. Un vaso cilndrico de vidrio tiene 4mm de espesor, tanto en el fondo

como en sus paredes. Si x representa su radio interior, y tiene 150 mm

de profundidad(sin contar la base), encuentre una expresin algebraica

en trminos de x que represente el volumen de vidrio utilizando la

construccin del vaso.

7. FACTORIZACIN

La factorizacin es un proceso matemtico que se realiza con el objetivo de

modificar expresiones algebraicas convirtindolas en otras que sean

equivalentes. Factorizar significa encontrar factores que puedan originar una

cantidad.

7.1 Factor Comn

La trasformacin de una suma algebraica en trminos de factores aplicando la

propiedad distributiva.


Matemticas 35

Se reconoce por que tiene una literal en comn en ambos trminos

a) Se extrae el factor comn de cualquier clase, que viene a ser el primer

factor.

b) Se divide cada parte de la expresin entre el factor comn y el conjunto

viene a ser el segundo factor.

Ejemplo:

+ + = ( + + )

( + ) ( + ) + ( + ) =

( + )( + )

Ejercicios

Factoriza las siguientes funciones

. ( + )

. (

+

)

. ( + )

. (

+

)

. (

+ +

+)

. [( + )( ) ( + )( ) ( )( )]

7.2 Factorizacin por agrupacin Cuando se tienen polinomios cuyos trminos no contienen el mismo factor

comn pero algunas literales se repiten en el.

. [( + ) ( + )]

. ( + )

. [( ) ( ) + ( )]

. (

+

) (

) + (

+

) (

)


Matemticas 36

Ejemplo:

+

( ) + ( )

( ) + ( )

= ( )( + )

Ejercicios


. ( + + )

. ( + )

. ( + )

. ( + + )

. ( + + )

6.3 Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto

Identificacin de un trinomio cuadrado perfecto

a) El primer trmino y el tercero deben tener races cuadradas exactas.

b) El segundo trmino debe ser el doble del producto de la raz cuadrada

del primer y tercer trmino.

La factorizacin del trinomio cuadrado perfecto una vez identificado consiste

en los siguientes pasos:

. ( + + )

. ( + + )

. ( + )

. ( + )

. ( + )


Matemticas 37

a) Se extrae la raz cuadrada del primer trmino del trinomio y la del

tercero.

b) Con estas races se forma un binomio que tendr el signo del segundo

trmino del trinomio.

c) Este binomio ser la raz cuadrada del trinomio, por lo que deber

expresarse multiplicando por si mismo o elevado al cuadrado para que

sea igual al trinomio cuadrado perfecto dado.

Ejemplo:

+

=2 =

()() =

= ( )

Ejercicios


. ( + )

. ( + )

. (

+

+

)

. ( +

)

. ( + + )

. (

+

)

. (

+

)

. ( + + )

. ( + + )

. ( + + )


Matemticas 38

7.4 Factorizacin por el cubo perfecto de un binomio

Se extrae la raz cbica al primer y cuarto trminos, con las races formamos

un binomio; separando las races con (+) si todos los trminos del cubo son

positivos y con ( - ) si los trminos del cubo son alternadamente positivos y

negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

Ejemplo:

+

=

=

()() = ()() =

( )

Ejercicios


. ( + + + )

. ( + )

. ( + + )

. ( + )

. ( + )

. ( + + + )

. (

+

)

. (

+

+

+

)

. (

+

)

. ( + )


Matemticas 39

6.4 Factorizacin por diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados, es

decir, es el resultado de multiplicar un la suma de dos monomios por la

diferencia de los mismos.

Ejemplo:

= =

= ( + )( )

Ejercicios


. ( )

. ( )

. (

)

. ( )

. ( )

6.5 Trinomio de la forma + +

a) El primer trmino de ambos factores es la raz cuadrada del primer

trmino del trinomio dado.

. ( ). (

)

. (

)

. (( ) ( ))

. ( )


Matemticas 40

b) Los dos trminos que faltan, uno en cada binomio, deben cumplir las

condiciones siguientes:

a. El producto de ambos debe ser igual al tercer trmino del

trinomio dado, c, y la suma algebraica de ambos debe ser igual

al coeficiente del segundo trmino del trinomio, b.

Ejemplo: + +

=

( )( )

( )( ) = , ( ) + ( ) =

= ( + )( + )

Ejercicios


. ( + + )

. ( )

. ( + )

. ( + )

. ( + )

Dos nmeros cuyo

producto sea +6 y su

suma +5

. ( + )

. ( + + )

. ( + )

. ( + )

. ( + )


Matemticas 41

6.6 Trinomio de la forma + +

Son productos de un par de binomios con terminos semejantes , es decir que

tiene la misma lateral, pero su coeficiente puede ser diferente.

Ejemplo:

+

( )( ) = , ( ) + ( ) =

+ ( ) +

+

( ) + ( + )

( ) + ( + )

( ) ( )

= ( )( )

Ejercicios


. ( + + )

. ( + + )

. ( + )

. ( + + )

. ( + )

. ( )

. ( )

. ( + )

. ( + + )

. ( + + )


Matemticas 42

7.8 Aplicacin de la integral

1. Las expresiones + + + + representan el area de un

rectangulo . a)Tiene la misma forma? , b)Qu dimensiones tiene

cada uno de los cuadrilateros?, c)Cul seria el rea de cada uno de

ellos si en ambos casos x=3 metros?

2. Presentar la expresin el rea de un rombo o un romboide?

8. RADICALES

Un radical es una expresin de la forma

que representa la raz ensima de

a llamada radicando o subradical, n es el ndice del radical y no suele

escribirse en caso de ser 2 y el smbolo es el signo radical.

Definicin de

. Sean n un entero positivo mayor de 1 y a un nmero real.

(1) Si a = 0, entonces

= 0.

(2) Si a > 0, entonces

es el nmero positivo b tal que = .

(3) (a) Si a < 0 y n es impar, entonces

es el nmero real negativo

b tal que = a.

(b) Si a < 0 y n es par, entonces no es un nmero real.

Ejemplos:

1) 9 = 3, 32 = 9

2) 1

32

5=

1

2, (

1

2)

5=

1

32

3) 273

= 3, (3)3 = 27

4) 92


Matemticas 43

8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales

LEY EJEMPLO

(1)

=

= (

) 51

2 = 52

= (52

)3; 2

3 = 23

= (3

)2

(2)

= (

) = 733

= (73

)3 = 7

(3)

=

(2)(16) = 216 = 2(4) = 42

(4)

=

7

27

3

= 73

273 =

73

3

(5)

=

6432

= 646

= 266

= 2

9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES

9.1 Simplificacin de Radicales

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer

algunos cambios en los radicales, como son:Simplificacin del radicando,

Introducir un factor al radical, Racionalizacin del denominador o numerador,

Expresar un radical como otro de orden (ndice) menor.

Simplificacin del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores

cuyos exponentes sean mltiplos del ndice. Las races de estos factores se

escriben fuera del radical y los factores sobrantes forman el nuevo radicando.

Ejemplos. Simplificacin del radical

3 8 4 2 3 53 3(a) 320 (b) 16 (c) 3 6x y z a b a b

PRECAUCION Si a0 y b0 Ejemplo

(1)2 + 2 + 32 + 42 = 25 = (3 + 4 = 7)

(2) + + 4 + 9 = 13 (4 + 9 =5)


Matemticas 44

Solucin

3 33 3 3 3(a) 320 64 5 = 4 5 = 4 5

3 8 4 3 3 6 3 2 2 3 2 2 3 2 2 23 3 3 3 3 3(b) 16 (2 )(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 2 2x y z x y z y z xy z y z xy z y z xy z y z

2 3 5 2 3 5

2 6 4 3 2 2 3 2 2 3 2

(c) 3 6 3 (2)(3)

(3 )(2 ) (3 ) (2 ) (3 ) 2 3 2

a b a b a b a b

a b a a b a a b a a b a

Ejemplo. Simplificacin de potencias racionales

52

3 615233 2

1 12 3

2 6 2 3(a) 27 4 (b) (c) x x

r sy y

Solucin:

52

3 2

22 5 2 53

5

3 9(a) 27 4 27 4 3 2

2 32

1 1 1

23 3 332 6 2 6 2(b) r s r s r s

545 5 8 52 4 13 63 6 3 6 6 6 2

1 1 1 412 3 3 331 4

3

4 32 3 4 3 12 12 (c)

xx x x x x x

y yy y y yy

Ejemplo. Combinacin de radicales

Cambia una expresin que contenga un radical de la forma :n ma

43

3 2(a) (b)

aa a

a

Solucin

51 1 113 3 2 62 ( ) ( ) 6 53(a) a a a a a a a


Matemticas 45

14

1 2 54 3 12

2 53 12

4( ) ( )

3 2 512

1 1(b)

a aa a

a aa a

Simplifica los siguientes radicales:

1. 121

2. 64 33. 64

64. 64

5. 18 36. 3 108

7. 75

8. 200 39. (800)(270)

Reduce el orden de los siguientes radicales y simplifcalos:

41. 45

62. 125 43. 64

124. 64

6 245. 9x y 3 666. 27x y

4 287. 64x y

5 15198. 32x y

9.2 Adicin y Sustraccin de Radicales

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo ndice de

la raz y el mismo radicando, slo difieren en el signo y el coeficiente.

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales,

previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de

radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta

de suma algebraica de los coeficientes numricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:


Matemticas 46

a) 32 + 52 = 82

b) 1

234

+ 1

334

= 5

634

c) 5 65 + 25 = 35

d) 505 + 2323 = 522 + 822 = 1322

Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:

1. 3 12 27

2. 20 45 80

3 3 33. 2 16 54

3 3 34. 5 40 320

5. 2 3 5 3 27

3 36. 2 5 250 432

347. 9 12 24

468. 8 3 4 8

2 39. 8 18 50x y y y y

3 210. 20 45 2 45x xy x x

9.3 Multiplicacin de Radicales

Cuando se tienen radicales del mismo ndice, se utiliza la ley de los radicales:

=

Cuando se tienen radicales de distinto ndice:

En este caso, los radicales se reducen al mnimo comn ndice y se multiplican

como en el caso descrito anteriormente.

La reduccin de los radicales al mnimo comn ndice requiere obtener el

mnimo comn mltiplo (m.c.m) de los ndices, que ser el ndice comn;


Matemticas 47

posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta

de dividir el ndice comn entre el ndice del subradical.

Para multiplicar un radical por una expresin que contiene ms de un trmino

o dos expresiones radicales, cada una con ms de un trmino, se aplica la

metodologa o proceso empleado en la multiplicacin de polinomios.

Ejemplo:

a) 26 = 2(6) = 23

b) 2 ( 6 = 2 23

c) (6 + 3) (6 3) = 6 3 = 3


1. 2 3 2 3

2. 2 2 3 3 2 3

3. 5 2 5 2

4. 7 3 5 2 7 5

5. 6 5 6 5

6. 5 2 3 5 3 3

7. 2 3 5 2 3 5

8. 7 5 3 7 5 3

9.4 Divisin de Radicales

Cuando se tienen radicales del mismo ndice, se utiliza la ley de los radicales.

Cuando se tienen radicales de diferente ndice: Se expresan los radicales en

forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los

exponentes. Y se lleva a cabo la racionalizacin.


Matemticas 48

Ejemplo:

4

3 2 (a)

a

aSolucin:

14

1 2 54 3 12

2 53 12

4( ) ( )

3 2 512

1 1(a)

a aa a

a aa a


271.

12

3

3

402.

135

3

3

243.

576

3

3

1924.

108

3 5

2

125.

75

a b

ab

5 4

3

276.

48

a b

a b

3 96

6 24

87.

4

a y

a y

10. RACIONALIZACIN DEL DENOMINADOR

Es un procedimiento que consiste en transformar una fraccin que contiene un

radical en el denominador en otra fraccin equivalente que no contenga ningn

radical en el denominador.

Casos:

Caso 1. Cuando es una fraccin cuyo denominador es un radical monomio En

este caso, se multiplica el numerador y el denominador por el radical que se

encuentra en el denominador (y que de una raz exacta) y se simplifica la

expresin que resulta.

Ejemplo.


Matemticas 49

523

1 1 2(a) (b) (c) (d)

35

x

yx

Solucin

2

1 1 5 5 5(a)

55 5 5 5

3 3 32 2 2

3 3 3 32 3

1 1(b)

x x x

xx x x x

2

2 2 2 3 2 3 6(c)

3 33 3 3 3

3 3 35 5 5 5 5

52 2 2 3 55 5 5 5

(d) y xy xyx x x

y yy y y y

Caso 2. Cuando la fraccin tiene como denominador un binomio que contiene

radicales de ndice 2.En este caso, para racionalizarlo se multiplica el

numerador y el denominador por el conjugado de la expresin de dicho

denominador.

Ejemplo:

a) 1

55= (

1

55) (

5 + 5

5 + 5) =

5 + 5

255=

5 + 5

20


3 21.

3 2

4 32.

4 3


Matemticas 50

2 3 53.

3 2 5

6 3 24.

6 2

3 55.

15 3

14 2 36.

7 2

11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Dos ecuaciones con dos incgnitas forman un sistema, cuando lo que

pretendemos de ellas es encontrar su solucin comn.

a1x + b1y= c1

a2x + b2y= c2

La solucin de un sistema es un par de nmeros x1, y1, tales que reemplazando

x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

3x 4y = -6

2x + 4y =16

3 * 2 4*3 = - 6 6 12 = -6 -6 = - 6

2 * 2 + 4 * 3 =16 4 + 12 = 16 16 = 16

11.1. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1. Si a ambos miembros de una ecuacin de un sistema se les suma ose

les resta una misma expresin, el sistema resultante es equivalente.


Matemticas 51

3x 4y = -6 3x 4y + 3 = - 6 + 3

2x + 4y =16 2x + 4y 5y = 16 - 5y

x = 2, y = 3

2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un

sistema por un nmero distinto de cero, el sistema resultante es

equivalente.

3x 4y = -6 3*(2x + 4y) = 16 * 3

2x + 4y =16 2(2x + 4y) =16 2

x = 2, y = 3

3. Si sumamos o restamos a una ecuacin de un sistema otra ecuacin

del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

3x 4y = -6 3x 4y = -6

2x + 4y =16 2x + 4y + 3x 4y = -6 +16

x = 2, y = 3

4. Si en un sistema se sustituye una ecuacin por otra que resulte de

sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o

divididas por nmeros no nulos, resulta otro sistema equivalente al

primero.


Matemticas 52

3x 4y = -6 3x 4y = -6 3x 4y = -6

2x + 4y =16 2x 4y

2 =

16

2 x + 2y = 8

3x 4y + x + 2y = -6 + 8 4x 2y = 2

x + 2y = 8 x + 2y = 8

x= 2, y = 3.

5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de

las incgnitas, resulta otro sistema equivalente.

3x 4y = -6 2x + 4y =16

2x + 4y =16 3x 4y = -6

3x 4y = -6 -4y + 3y = -6

2x + 4y =16 4y + 2x = -6

11.2 Mtodo de sustitucin

Resolucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de sustitucin

1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin,

obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.

3. Se resuelve la ecuacin.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la

incgnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.


Matemticas 53

3x 4y = -6

2x + 4y =16

6. Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2x + 4y =16 x= 8 2y

7. Sustituimos en la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3(8 2y) 4y = -6

8. Resolvemos la ecuacin obtenida:

24- 6y 4y = -6 -10y= 30 y=3

9. .Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

x= 8 2 * 3 = 8 6 x=2

10. Solucin

x=2 y=3

11.3 Mtodo de igualacin

Resolucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de igualacin

1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con

una incgnita.


Matemticas 54

3. Se resuelve la ecuacin.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en

las que apareca despejada la otra incgnita.


3x 4y = -6

2x + 4y =16

6. Despejamos, por ejemplo, la incgnita x de la primera y segunda

ecuacin:

3x = -6 + 4y x = 6+4

3

2x = 16- 4y x= 164

2

7. Igualamos ambas expresiones:

6+4

3 =

6+4

3

8. Resolvemosla ecuacin:

2(-6 + 4y) = 3 (16-4y) -12 + 8y= 48 12y

8y + 12y = 48 +12

20y=60 y=3

9. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresionesen las que

tenemos despejada la x:

x= 6+43

3 =

6+12

3 = 2


Matemticas 55

10. Solucin:x= 2 y=3

11.4 Mtodo de reduccin

Resolucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de reduccin

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incgnitas.

3. Se resuelve la ecuacin resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se

resuelve.


3x 4y = -6

2x + 4y =16

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las

ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el

proceso.

3x 4y = -6 2 (3x 4y = -6) 6x 8y = -12

2x + 4y =16 -3 (2x + 4y =16) -6x 12y = -48

6. Sumamos y resolvemos la ecuacin:

6x 8y = -12

-6x 12y = -48

- 20y = - 60 y=3

7. Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.


Matemticas 56

2x + 4(3) =16 2x + 12 = 16 2x = 4 x= 2

8. Solucin:

x = 2, y = 3

Ejercicios de sistemas de ecuaciones Resolver por cualquier mtodo los siguientes sistemas:

1.

+ 3y = 1

3y = 15

2. 3x 2y = 8

x + y =6

3. X + 2y = 9

3x y = 20

4. 2x+ y = 7

x+3y=11

5. 3x 4y = -6

2x + 4y =16

2.- Cul es el rea de un rectngulo sabiendo que su permetro mide 16 cm

y que su base es el triple de su altura?

3.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas.

Cuntos cerdos y pavos hay?

4.- Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes t", y

Pedro contesta: "si t me das seis euros tendremos los dos igual cantidad".

Cunto dinero tena cada uno?


Matemticas 57

12. ECUACIONES CUADRTICAS

Una ecuacin cuadrtica de una variable es cualquier expresin que pueda

ser escrita en la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0 a 0

siendo x una variable y a, b, y c son constantes. Esta forma se conoce como

forma general de la ecuacin cuadrtica.

Una ecuacin cuadrtica siempre debe ordenarse en forma descendente (de

mayor a menor exponente) con respecto a la incgnita.

12.1 Solucin por factorizacin

Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales que ax2 + bx + c se puede escribir

como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros. El

mtodo de solucin por factorizacin se basa en la propiedad del cero entre

los nmeros reales. Se obtienen factores lineales que se igualan a cero para

obtener as los dos valores de la incgnita.

Propiedad del cero

Si m y n son nmeros reales, entonces mn = 0 si y slo si m = 0 n = 0 (o

ambos).

Ejemplo:

Encuentre las races resolviendo por factorizacin la siguiente expresin:

a)

+ + =

( + )( + ) =

( + ) = ( + ) =

= =

Para comprobar se sustituyen los valores de la variable en la ecuacin inicial:

+ + =


Matemticas 58

Sustituyendo el valor de las races:

() + () + = () + () + =

+ = + =

= =

= =

b)

+ =

+ =

( + ) ( + ) =

( + )( ) =

( + ) = ( ) =

= =

Ejercicios

Resolver los siguientes ejercicios por factorizacin:

6. = . + =

7. + = . + =

8. + + = . =

9. + + = . + =

10. + + = . = +

12.2 Solucin mediante raz cuadrada

Es para ecuaciones cuadrticas a las que les falta el trmino de primer grado,

es decir de la forma: ax2 + c = 0 donde a 0. El mtodo de solucin hace uso

directo de la definicin de raz cuadrada de un nmero.


Matemticas 59

Ejemplo:

Resolver por el mtodo de la raz cuadrada:

=

=

=

= =

Ejercicios

Resuelve las siguientes expresiones usando el mtodo de la raz cuadrada:

1. + =

2. =

3. + =

4. ( ) =

5. ( +

) =

12.3 Solucin completando el cuadrado

Se basa en el proceso de transformar la ecuacin general ax2 + bx + c = 0 en

la forma (x + A)2 = B donde a y b son constantes.

El procedimiento para completar el cuadrado en la forma cuadrtica x2 + bx

consiste en sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se

suma (b/2)2. Entonces:

+ + (

)

= ( +

)

Ejemplo:

Completar el cuadrado y encontrar la solucin de las siguientes expresiones:

a) + =

+ =

+ + = +


Matemticas 60

( + ) =

+ =

=

= + =

b) + =

se divide entre 2, para que el coeficiente de x2 sea 1

+

=

=

Se completa el cuadrado

+ =

+

( ) =

=

= +

=

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios completando el cuadrado.

1. + =

2. =

3. + =

4. + =

5. + + =


Matemticas 61

12.4 Solucin mediante la frmula cuadrtica (general)

Si no es posible buscar la solucin con los otros mtodos, se utiliza la ecuacin

que se llama frmula cuadrtica. Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales

que ax2 + bx + c = 0 y a 0, entonces:

=

a

Al trmino b2 4ac de la ecuacin se le llama discriminante y da informacin

til sobre las races obtenidas:

Discriminante Races de ax2 + bx + c = 0

Positivo Dos races reales distintas

Cero Una raz real

Negativo Dos races complejas no reales,

conjugadas entre s

Ejemplo:

Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin:

+ =

Sustituyendo los coeficientes en la frmula general tenemos:

a = 12, b = 7 y c = - 10

= () ()()

()

= +

()

=

=+

=

=

=

=

=


Matemticas 62

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios mediante la frmula cuadrtica:

1. = . =

2. + = . + =

3. + = . + =

4. = . = +

5. ( ) = . =

Aplicaciones de ecuaciones cuadrticas:

1. La suma de dos nmeros es 23 y su producto es 132. Encontrar los

dos nmeros. [Sugerencia: si un nmero es x, el otro es 23 x].

2. En la parte central de un terreno rectangular de 8 metros de ancho y 16

metros de largo, se construir una alberca que cubrir un rea de 48

metros cuadrados de modo que alrededor de sta haya una banqueta

de ancho constante. cunto medir el ancho de la banqueta?

3. Encontrar dos enteros positivos consecutivos tales que su producto sea

168.

4. Se puede llenar un tanque en 4 horas, si se usan dos tuberas.

Cuntas horas necesita cada tubo para llenar el tanque si el tubo

menor necesita 3 horas ms que el mayor? Calcular las respuestas con

una exactitud de dos cifras decimales.

5. Si la base y la altura de un rectngulo que mide 4 x 2 pulgadas

aumentan la misma cantidad, el rea del nuevo rectngulo ser el doble

del antiguo. Cules son las dimensiones, con dos cifras decimales, del

nuevo rectngulo?


Matemticas 63

13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS Los logaritmos comunes (tambin llamados de Briggs) son los de base 10.

Los logaritmos naturales (llamados tambin neperianos) son los de base e.

Se denotan de la siguiente manera: log x = log10x y ln x = logex.

Las propiedades de los logaritmos permiten convertir problemas de

multiplicacin en problemas de adicin, los de divisin en problemas de resta

y los que implican elevar a una potencia y extraer races, en multiplicaciones.

Adems permiten resolver ecuaciones exponenciales.

Si b, M y N son nmeros reales positivos, b 1 y p es un nmero real,

entonces:

1.- logbbu = u

2.- logb MN = logbM + logbN

3.- logb =

= logbM - logbN

4.- logbMp = p logb M

5.- logb 1 = 0

Todas estas propiedades aplican de la misma manera al logaritmo natural.

Ejemplos:

Aplicar las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones:

1. = +

.

=

. =

.

= = + ( )

= +

5. ()

=

=

( + )


Matemticas 64

6.

=

=

Ejercicios :

Aplica las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones.

1. . (

)

2.

. ( )

3. . (

)

4.

. (

)

14. SOLUCIN DE ECUACIONES LOGARTMICAS

Son las ecuaciones en las que intervienen funciones logartmicas, tales como

log (x + 3) + log x = 1. Las propiedades de los logaritmos tienen un papel muy

importante en la solucin.

Ejemplo:

Resuelva:

a)

( ) =

( ) =

( ) =

Factorizando:

( )( ) =

Igualando a cero los factores:

= ( ) =


Matemticas 65

= =

= =

= .

b)

( ) =

( ) =

( ) =

Factorizando:

[( ) ] =

[( + )( )] =

Igualando a cero los factores:

= + = =

= =

= = ( ) = ()

= =

=

= = . =

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas:

1. ( ) =

2. ( ) =

3. ( ( )) =

4. =

5. ( ) =

15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS


Matemticas 66

Las identidades trigonomtricas son igualdades que se satisfacen para todos

los valores de las variables, excepto aquellos para los cuales carezcan de

sentido.

Para que una igualdad quede demostrada se debe llegar a:

1) Una identidad, es decir, a algo igual a s mismo; o bien

2) a una cualquiera de las formulas trigonomtricas.

Setienen las siguientes identidades bsicas:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. + = 10. + =

11. ( ) = 12. + =

13. ( ) = 14. ( ) =

15. =

16. =

=

=

17. =

18.

=

19.

=

+

20.

=

+

21. + = +

22. = +


Matemticas 67

23. + = +

24. =

+

25. =

[( + ) + ( )]

26. =

[( + ) + ( )]

27. =

[( ) ( + )]

28. (

) =

29. (

) =

30. (

) =

Ejemplo:

+

+ =

( + ) + ( )

( )( + )=

+ +

=

( )=

+ =

=

=

=

Resuelve los siguientes ejercicios


Matemticas 68

Demostrar que las siguientes igualdades son identidades

1. + = 2.

+ =

3. + = 4.

+ =

5. + = 6. + =

7.

+ = 8.

+

=

9. + = 10. +

=

11.

=

12. =

13.

=

14.

+ =

15. +

=

16. +

=

17. +

=

18. + + =

19.

+

=

20.

+ =

21.

=

+

22.

=

+

23.

= +

24.

= +


Matemticas 69

25.

= + + 26.

=

+

16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

16.1 Ecuacin trigonomtrica. Se aplica a toda ecuacin en que las

variables figuran solo como argumento de funciones trigonomtricas. Una

ecuacin trigonomtrica puede no tener soluciones.

Ejemplo:

+ =

=

=

= ( )

=

( = + )

= ( + ) = + +

+ = + +

= + +

=

=

= ()

=

Resuelve los siguientes ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas


Matemticas 70

1. =

2. =

7. =

3. + =

8. () + =

4. () + () =

9. =

5. () () = 10. =

6. =

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