UvodMatrice je kao matematički pojam uveo engleski matematičar A.Kejli (1821-1895). U njegovom radu, napisanom 1857., matrice predstavljaju sisteme brojeva kojima se može računati isto kao i sa brojevima, što vodi ka zaključku da se matrice u određenom smislu uopštavaju u brojeve.J.J.Silvester je 1850 godine definisao matricu kao skup elemenata poređanih u pravilnoj šemi od redova i kolona koji obrazuje matricu dimenzije .Ova šema može biti prikazana, odnosno zatvorena na jedan od sledeći načina:

, , , .U ovom radu su obrađene operacije sa matricama, kao što su sabiranje i množenje, zatim, objašnjene su transponovane matrice, kvadratne, skalarne, inverzne, itd., kao i njihove determinante i rang.

www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/I%20semestar/.../M1_RO_MiD.pdf

Matrica je pravougaona šema sa elemenata raspoređenih u vrsta i kolona. Označava se velikim latiničnim slovima (A, B, C,...) sa ili bez indeksa, i njene vrste i kolone se upisuju između uglastih zagrada:

Zapravo, matrica preslikava Dekartov proizvod u skup X, pri čemu se uređeni par preslikava u element matrice , koji pripada -toj vrsti i -toj koloni.Matricu tipa nazivamo matricom vrsta.Matricu tipa nazivamo matricom kolona.Nula matrica je matrica kod koje su svi elementi jednaki nuli, a obeležava se ili samo 0 ili . Najčešći oblik matrice jeste kvadratna matrica , koja ima isti broj vrsta i kolona (m=n). Za nju se može reći da je dijagonalna matrica kad su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli:

Skalarna matrica je dijagonalna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki, a u slučaju da su ti elementi na glavnij dijagonali jednaki 1 onda bi to bila jedinična matrica koja se označava slovom I.

Transponovana matrica matrice A tipa jeste matrica koja se dobija tako što vrste matrice A zamene mesta sa odgovarajućim kolonama.Zamenom mesta vrstama i kolononama matrice A tipa , dobija se transponovana matrica tipa koja se obeležava sa .

Za transponovane matrice važi:

Operacije sa matricama:

Prema knjizi sa ekofa dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki i to označavamo sa .

i

Zatim, proizvoljnu matricu A možemo da pomnožimo nekim brojem, tj. skalarom α i to se definiše sledećim jednakostima:

Iz ovog primera se može zaključiti da se matrica množi skalarom tako što se svaki njen element pomnoži tim skalarom pri čemu važe sledeće jednakosti:Komutativnost: αA = AαAsocijativnost: (αβ)A = α(βA)

Zbir matrica A i B je moguć samo za matrice koje su istog tipa, pri čemu se dobija matrica C. Sabiranje se vrši tako što im se saberu odgovaraju elementi.

i

Dakle,

I sabiranje ima osobine komutativnosti i asocijativnosti:

Komutatuivnost: A+B = B+AAsocijativnost: (A+B)+C = A+(B+C)Neutralni element za sabiranje matrica tipa je nula matrica istog tipa.A+O = A Takođe, prema istoj knjizi, za proizvolje skalare α i β i proizvoljne matrice A i B istog tipa važi:Distributivnost: α(A+B) = αA+αBDistributivnost: (α+β)A = αA+βA

Množenje matrica je nešto složeniji postupak. Za dve matrice, A tipa i B tipa , proizvod , u oznaci AB, biće definisan samo u slučaju kada su matrice saglasne, tj. kad je

, odnosno ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B.

i

Ovako dobijena matrica C ima broj vrsta kao matrica A i broj kolona kao matrica B, a proizvoljni element matrice C, u preseku i –te vrste i j-te kolone, se obrazuje kao zbir proizvoda elemenata i –te vrste matrice A i j-te kolone matrice B.

gde, za sve i važi i za sve j važi

Primer: množenje proizvoljnih matrica J i K

A rezultat je nova matrica L:

Kod operacije množenja matrica važe sledeće pretpostavke:(AB)C = A(BC)A(B+C) = AB+AC ili (A+B)C = AC+BCAO =O ili OA=Oα(AB) = (αA)B(AB)’ = B’A’AI = IA = A

Stepen kvadratne matrice

Ako imamo kvadratnu matricu A i prirodan broj k, tada se pod k-tm stepenom matrice

podrazumeva:

Kada bi matricu A stepenovali nulom, dobili bi jediničnu jednačinu: A ako bi je stepenovali sa k i l kao nenegativnim celim brojevima: ili

. U slučaju komutativnih matrica A i B: Ukoliko bi kvadratna matrica bila reda n tada izraz:

predstavlja matrični polinom k-tog stepena.

Determinante

Svakoj realnoj kvdratnoj matrici pridružujemo jedan realan broj, odnosno determinantu, u oznaci detA.

KJ

213120

321

21

0221

232380

Determinanta je kvadratna šema brojeva od elemenata, raspoređenih u n vrsta i n kolona. Za razliku od matrice koja je samo šema brojeva, determinanta jeste broj.Za već pomenutu matricu A, determinanta se izračunava kao:

I ukoliko je , ta matrica je singularna, a ako je , matrica je regularna.Elementi determinante se označavaju isto kao i elementi matrice, gde indeks m označava vrstu, a indeks n kolonu determinante kojoj pripada neki element amn.Determinanta može biti:Prvog reda:

Drugog reda:

Trećeg reda:

Za ovu determinantu specifično je da važi Sarusovo pravilo po kome se determinanti dopišu prva i druga kolona, a zatim se prave proizvodi elemenata po dijagonalama. Dijagonala odozgo nadole, i njoj paralelne trojke, ne menja znak, ali dijagonala koju vučemo odozdo nagore ima predznak minus. Ovako dobijeni proizvodi se zatim sabiraju i daju traženu vrednost determinante.

Pored Sarusovog pravila za računanje determinanti trećeg reda, postoji Laplasovo pravilo koje je primenljivo na determinante bilo kojeg reda.Prema knjizi sa singija, osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante -tog reda svodi na izračunavanje determinante , a njeno izračunavanje se svodi na

. Ovaj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda.Iz matrice A, možemo naći determinantu D -tog reda:

Daljim postupkom, iz determinante D se može izdvojiti nova determinanta odbacivanjem –te vrste i -te kolone i ona se naziva minor elemenata i obeležava se sa .

Za primenu Laplasovog pravila važno je pomenuti i kofaktor. Kofaktor elementa je broj .Dakle, prema Laplasovom pravilu, vrednost determinante predstavlja zbir proizvoda elemenata ma koje vrste ili kolone odgovarajućih kofaktora.

(razvoj po elementima -te vrste)

(razvoj po elementima -te kolone)

Osobine determinanti:

Vrednost determinante se ne menja ako vrste i kolone zamene mesta, sto znači da je

Determinanta menja znak kad sve vrste ili kolone zamene mesta

Ako se jedna vrsta ili kolona pomnoži brojem , tada je i vrednost determinante pomnožena tim brojem.

Determinanta je nula ako su dve vrste ili kolone proporcionalne vrednosti ili ako su svi elementi neke vrste ili neke kolone jednaki nula.

Vrednost determinante se ne menja ako se elementima jedne vrste ili kolone dodaju elementi druge vrste odnosno kolone, pomnoženi brojem .

Ako su elementi jedne vrste ili kolone date determinante zbirovi od dva ili više sabiraka, tada se determinanta može razložiti na zbir od dve ili više determinanata.

Inverzna matrica

Kao što je već rečeno, singularna matrica je matrica kod koje je determinanta jednaka nuli, a regularna kad je različita od nule.Prema knjizi sa ekofa, kvadratnu matricu X tipa nazivamo inverznom matricom matrice A tipa ako je:

Inverznu matricu matrice A označavamo sa A-1.

Adjungovana matrica matrice A, u oznaci adjA, je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A. Adjungovana matrica se dobija ako se svaki element u

kvadratnoj matrici A zameni svojim kofaktorom , a zatim se tako dobijena matrica transponuje.

Za adjungovanu matricu važi:

Pri čemu je skalarna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki vrednosti determinante polazne matrice A.

Inverzna matrica ima sledeće osobine:

Ako si A i B regularne matrice istog reda sledi da je:

Rang matricePrema knjizi sa ekofa, ako pođemo od bilo koje matrice tipa i izdvojimo proizvoljnih vrsta i kolona iz nje, za . Elementi koji su zajednički za tih izdovjenih vrsta i kolona, koji se, dakle, nalaze u njihovim presecima, obrazuju jednu kvadratnu matricu tipa , tzv. podmatricu polazne matrice. Na urpavo opisani način, od jedne matrice tipa , u opštem slučaju, može se dobiti ukupno podmatrica tipa .Ako imamo matricu tipa ,

ona ima ukupno podmatrica tipa , a ukupan podmatrica tipa

je i to su:

Broj podmatrica tipa je :

Može se videti da su sve navedene podmatrice tipa singularne, te da postoji podmatrica tipa koja je regularna, npr., prva u datom nizu. Tako, prema datoj definiciji, zaključujemo da je .Dugim rečima, da bi se odredio rang matrice, neophodno je da se ispitaju redom sve njene podmatrice, pri čemu se polazi od onih koje su najvišeg reda ( , ). A ukoliko se ispostavi da je neka od dobijenih podmatrica regularnam onda je rang matrice jednak , a u slučaju da su sve podmatrice singularne, ispituje se da li među podmatricama reda ima regularnih. Ako ni tu ne bude regularnih, prelazi se na , i tako redom. Najniži mogući rang matrice koja nije nula matrica je 1.Određivanje ranga matrice može se pojednostaviti primenom elementarnih transformacija matrice.Elementarne transformacije matrice su:Transponovanje matriceZamena mesta proizvoljne dve vrste ili koloneMnoženje elemenata neke vrste ili kolone matrice bilo kojim realnim brojem (skalarom)

Dodavanje odgovarajućih elemenata bilo koje vrste ili kolone matrice elementima bilo koje vrste, odnosno kolone te matrice.Matrice A i B su ekvivalentne ako i samo ako se mogu trasformisati jedna u drugu pomoću konačno mnogo uzastponih elementarnih transformacija, tj. ako je

Elementarne transformacije, konačno mnogo puta primenjene na matricu, ne menjaju rang matrice.

ZaključakUloga matrica je višestruka u savremenoj matematici. Naime operacije množenja matrica i inverzna matrica su vezane za rešenje sistema linearnih jednačina, a pomoću determinanti se može rešavati sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih. Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih se može rešiti preko ranga matrica, odnosno Kroneker-Kapelijeve teoreme, koja je dobijena kao posledica Teoreme o bazisnom minoru i utvrđuje da li je taj sistem saglasan.Njihovom naglom razvitku i sve većoj upotrebi doprinela je činjenica da se sve računske operacije sa matricama mogu izvršiti na računarima, pomoću specijalizovnih softvera. A upravo su ti softveri pojednostavili i znatno umanjili potrebno vreme za izvođenje pojedinih, veoma komplikovanih matričnih računa. Uloga i značaj matrica se može uvideti i u fizici, tehnici, statistici, ekonomiji, geodeziji, pa čak i psihologiji i mnogim drugim naučnih disciplinama.